EC2-2_Elementos Laminares

5/9/2018 EC2-2_Elementos Laminares - slidepdf.com

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Dimensionamento de armadurasem elementos laminares

ENEN19921992--22::66..109109 -- ElementosElementos dede MembranaMembrana ((66 -- ELU)ELU)

AnexoAnexo FF -- ArmadurasArmaduras dede trac ãotrac ão parapara tensõestensões

1Eurocódigo para dimensionamento de estruturas de betão (EC2-2 e EC2-3)

nono própriopróprio planoplano (EN(EN19921992--11--11))

AnexoAnexo LLLL -- ElementosElementos dede CascaCasca

AnexoAnexo MMMM -- EsforçoEsforço transversotransverso ee flexãoflexão transversaltransversal

Paulo França



A utilização generalizada do cálculo automático (análise linear pelo método dos

elementos finitos) de estruturas laminares de betão armado obriga à verificação dasegurança em estados planos de tensão.

σ Edy

τ Edxy

τ Edxy

σ Edx

σ Edx

τ

Secção 6.109: trata dos elementos de membrana

(placas) => elementos unicamente sujeitos a esforços

no próprio plano: σ σσ σ Edx , σ σσ σ Edy , ττττEdxy


τ Edxy

σ Edy

A verificação da segurança nos elementos de membrana é garantida se:

A) existirem armaduras suficientes para suportar as forças de tracção

B) as forças de compressão máximas no betão forem inferiores aos valores

máximos admissíveis para o estado biaxial de tensão em análise



A) Tracções - Hipóteses a considerar:

1) elemento plano de betão armado de espessura constante t com uma malha dearmaduras ortogonais Asx /s e Asy /s segundo x e y solicitado com os esforços

de placa n xx , n yy , v

2) o equilíbrio do elemento é estabelecido com recurso aos esforços de placa e

ao modelo de escoras-tirantes admitindo um campo uniforme decompressões inclinadas θθθθ (arbitrário) em relação a x

v cos θ

n yy cos θ


n xx

n yy A sy /s

A sx /s

n yy

n xx

n xx sen θ

v sen θ

s e n θ

cos θ

F sx sen θ

F sy cos θ

θ

+=

+=

θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ

θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ

sen v n F

v sen n sen F

yy sy

xx sx

coscos

cos

+=

+=

θ θθ θ

θ θθ θ

tg v n F

g v n F

yy sy

xx sx cot



As armaduras são obtidas através de:

O ângulo θθθθ que minimiza a quantidade total de armadura é obtido através de:

( )

yd

yy xx Tot s

yd

sy sy

yd

sx sx

f

tg g v n n

s

A

f

F

s

A

f

F

s

A

θ θθ θ θ θθ θ +++=⇒

=

= cot,

+=

+=⇒=⇒=⇒=

∂

∂

v n F

v n F sen

s A

yy sy

xx sx o

Tot s

450 θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ

cos

,


Estas equações surgem no anexo F sob a forma de tensões:

xx

yy sy xx

sx sx n v n F

v n g e AF Se

2

00 −=⇒−==⇒≤ θ θθ θ cot ( igual se F sy ≤ 0 )

( )tracção f

f

e f

f

Edy

Edx

Edxy

tdy

tdx

Edy Edxy tdy

Edx Edxy tdx ⇒<

−=

=

−=

−=0

0

2 σ σσ σ σ σσ σ

σ σσ σ

τ ττ τ σ σσ σ τ ττ τ

σ σσ σ τ ττ τ

'

'

'

'



B) Força máxima de compressão F c nas bielas inclinadas :

F sy sen θ

F sx cos θ

v sen θ

n yy sen θ

θ

sin θ

c o s

θ

F c

θ

n xx cos θ

v cos θ0=−−+ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ coscoscos c xx sx F n sen v F

( )θ θθ θ θ θθ θ g tg v F c cot+=

( )xx sx c n F tg v F −+= θ θθ θ


v F Se c o 245 =⇒=θ θθ θ

+−=

−−=⇒

−=⇒≤

2

10xx

xx xx

xx

c xx

sx n

v n

v

n

n

v v F

v

n g F Se θ θθ θ cot ( igual se F sy ≤ 0 )

Estas equações surgem no anexo F sob a forma de tensões:

( )tracção e Edx

Edxy

Edx cd Edxy cd ⇒<

+== 012

2

σ σσ σ σ σσ σ

τ ττ τ σ σσ σ σ σσ σ τ ττ τ σ σσ σ



Se as duas forças forem de compressão => estado de compressão biaxial:

Secção 6.109: Indica a compressão máxima no campo de tensões no betão:

( )2

2

42v

n n n n n F

yy xx yy xx

I c +−

++

==

( )2

2

42

v n n n n

n yy xx yy xx

II +−

−+

=

n yy 2θ

n xx

n I n I I

i) Se as tensões principais são ambas de compressão:

n yy

n yy

n xx n xx

n II n I

n I

n II

θ


( )1

1831850

2≤=

++=

I

II cd cd

n n com f α αα α

α αα α α αα α σ σσ σ ,,max

( )

−=

−−= 250160850850

ck

yd

s

cd cd

f

com f f ,,,max υ υυ υ υ υυ υ

σ σσ σ

σ σσ σ

( ) o el el cd cd com f 1503201 ≤−−−= θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ θ θθ θ υ υυ υ σ σσ σ ,max

ii) Se pelo menos uma tensão principal é de tracção e nenhuma armadura atinge o seu

limite de cedência:

iii) Se qualquer armadura atingir o seu limite de cedência:



Anexo LL: trata dos elementos de casca => elementos sujeitos, em geral, a

8 componentes de esforços:

- 3 componentes de esforços de placa (membrana): n Edx , n Edy , n Edxy = n Edyx

- 3 componentes de esforços de laje: m Edx , m Edy , m Edxy = m Edyx

- 2 esforços transversos: v Edx , v Edy




A verificação da segurança nos elementos de casca pode ser efectuada recorrendo a

um modelo do tipo “sandwich” no qual são identificadas 3 camadas:

( )h

t t h z i s 80

2,≅

+−=


As duas camadas exteriores, de espessura ts e ti , resistem aos esforços de placa e de

flexão: n Edx , n Edy , n Edxy ; m Edx , m Edy , m Edxy

A camada interior, de espessura tc , resiste aos esforços transversos: v Edx , v Edy

Cada camada exterior é tratada como um elemento de membrana e a sua verificação da

segurança igual ao anteriormente descrito (anexo LL (112))



Os esforços de membrana nas camadas exteriores são obtidos por equilíbrio.

Camada superior:

Camada inferior:

Esforços normais e momentos flectores nas camadas exteriores:


Esforços de corte de placa e momentos de torção nas camadasexteriores:

Camada superior:

Camada inferior:



22

EdyEdxEdo v v v +=Edx

Edytan

v

v o =ϕ ϕϕ ϕ

O esforço transverso principal , vEdo, aplicado à camada interior e a sua direcção, ϕϕϕϕo,

deverão ser avaliados do seguinte modo:

Na direcção do esforço transverso principal, o elemento de casca comporta-se como

uma viga e deverão ser aplicadas as regras de cálculo apropriadas:

- 6.2.2: elementos que não necessitam de armaduras de esforço transverso

( ) z f k C V em sen ck l c Rd c Rd o y o x l

3122 100/

,,cos ρ ρρ ρ ϕ ϕϕ ϕ ρ ρρ ρ ϕ ϕϕ ϕ ρ ρρ ρ ρ ρρ ρ =+=


- 6.2.3: elementos que necessitam de armaduras de esforço transverso.

Neste caso, o esforço longitudinal VEdocotθθθθ resultante do modelo de

treliça aumenta os esforços de placa nas direcções x e y



Anexo MM: trata dos esforços que surgem tipicamente nas almas de vigas em caixão.

A interacção entre o esforço transverso longitudinal e a flexão transversal poderá ser

considerada por meio do modelo do tipo "sandwich” apresentado no anexo LL

Esforços num elemento de alma: Modelo do tipo "sandwich" modificado:


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