令和 2 年度

神戸大学大学院工学研究科 博士課程前期課程入学試験

市民工学専攻

専門科目(一): 数学

問題用紙の枚数 ページ番号

数学 1 枚 1

解答用紙の枚数

数学 4 枚

ただし，計算用紙を 1 枚配付

試験日時：令和元年 8 月 26 日（月） 13:00〜14:00

専門科目（一）数学

1

［数学］

1. 以下の問に答えなさい．ただし，さいころは 1 から 6 まで 6 個の目を持ちそれぞれの目

が出る確率は同じとする．

(1) 9 人が一列に並ぶとき，特定の 2 人 A, B の間に 4 名が入る並び方は何通りあるか求め

なさい． (2) 赤玉が 2 個と白玉が 3 個入った箱 A と，赤玉が 4 個，白玉が 2 個入った箱 B がある．

1 つのサイコロを振って 1 または 2 の目が出た時に，箱 A から 1 個の玉を取り出し，3以上の目が出た時は箱 B から 1 個の玉を取りだすものとする．この時，白玉を取り出

す確率を求めなさい． (3) サイコロを何回か投げて少なくとも 1 回以上 1 の目が出る確率を 0.99 以上にしたい．

最低，何回投げればよいか，その回数を求めなさい．

2. 以下に示す行列 Aについて，次の問に答えなさい．

3 4

1 2

A

(1) 行列 Aのすべての固有値を求めなさい． (2) 行列 A を用いた線形変換により，自分自身に写像される直線のうち，原点を通るもの

をすべて求めなさい．

3. 2 2

cos10

x yf とするとき，xy 平面上で，原点(0, 0)から点 5 , 2 5 に至る線分 C；

y = 2x に沿う f の線積分の値を求めなさい．

4. 以下の常微分方程式の一般解を求めなさい．

2

22 8 5sin 5 2

d y dyy x

dx dx

［数学 最終ページ］

令和 2 年度

神戸大学大学院工学研究科 博士課程前期課程入学試験

市民工学専攻

専門科目(二): 構造力学

問題用紙の枚数 ページ番号

構造力学 3 枚 1, 2, 3

解答用紙の枚数

構造力学 4 枚

ただし，計算用紙を 1 枚配付

試験日時：令和元年 8 月 26 日（月） 9:30〜10:30

専門科目（二）構造力学

1

［構造力学］

1. 図-1 に示す構造に関する以下の問に答えなさい．ただし，集中荷重 P と Q（P > Q）は，

図のように水平距離 0.5 l を保ちながら梁 AB 上を移動するものとする． (1) 集中荷重 P が A 点から右に距離 x（0≦x≦0.5 l）に位置する C 点に作用している．

このとき，A 点，B 点の鉛直反力 R A，R B（上向きを正とする）を求めなさい． (2) (1)と同じ位置に荷重が作用しているとき，C 点における曲げモーメント M C を求めな

さい．さらに，梁 AB の曲げモーメント図とせん断力図を描きなさい． (3) 集中荷重 P が A 点から右に距離 0.4 l に作用したとき，梁 AB の曲げモーメントが最大

となった．このときの集中荷重 P と Q の比 P / Q を求めなさい．

図-1 問 1 の構造

AC

l

B

P Q0.5 l

Dx

専門科目（二）構造力学

2

2. 構造物のたわみに関する以下の問に答えなさい．ただし，梁のヤング係数を E，断面 2次モーメントを I とする．

(1) 図-2.1 の問題において，たわみ曲線 v(x)を 0≦x≦l/2 の区間を対象として求めなさい．

また，梁の中央 B におけるたわみ1 を求めなさい．

図-2.1 単純梁の構造

(2) 図-2.2 の問題において，たわみ曲線 v(x)を 0≦x≦l の区間を対象として求めなさい． また，B 点でのたわみ2，C 点でのたわみ3 をそれぞれ求めなさい．

図-2.2 片持ち梁の構造

A C

P

l/2

x

l/2

B

AC

P

l/2

x

l/2

B

専門科目（二）構造力学

3

(3) 図-2.3 の問題において，バネに発生する力 F（圧縮力を正とする）を求めなさい．ただ

し，F=ky （F: バネに作用する力，k: バネ定数，y: バネの縮み）の関係があるものとす

る．

図-2.3 ヒンジとバネを有する構造

［構造力学 最終ページ］

P

l l/2

k

l l/2

令和 2 年度

神戸大学大学院工学研究科 博士課程前期課程入学試験

市民工学専攻

専門科目(二): 水理学

問題用紙の枚数 ページ番号

水理学 4 枚 1, 2, 3, 4

解答用紙の枚数

水理学 4 枚

ただし，計算用紙を 1 枚配付

試験日時：令和元年 8 月 26 日（月） 11:00〜12:00

専門科目（二）水理学

1

［水理学］

1. 図-1 に示すように水位差 H の貯水池が円管水路で連結されており，中間点 C の弁を開

けて管内流量 Q の半分を放出している．エネルギー損失は摩擦損失のみによって生じ

るものとして次の問に答えなさい．ただし，管径を d，摩擦損失係数を f，重力加速度

を g，AC，CB 間の管水路の長さを L とする．また，水位差は不変とする． (1) 流量 Q を表す式を誘導しなさい．

(2) 点 C の弁を閉じたときの流量を Q0 とするとき，Q0 /Q の値を求めなさい．

(3) 点 C の弁を閉じたときの AC 間の損失水頭 hf 0 を H を用いて表しなさい．

(4) 点 C の弁を閉じないときの AC 間の損失水頭 hf を H を用いて表しなさい．

L

L

H

Q

Q/2

A

B

C

弁

図-1 分岐部のある管水路

Q/2

専門科目（二）水理学

2

2. 幅 B = 80m, 勾配 I = 1/10000，マニングの粗度係数 n = 0.01 の長方形断面運河に等流

水深 H = 10m で水が流れている．以下の問に答えなさい．ただし，重力加速度 g = 10m/s2，水の密度 = 1000kg/m3 とする．

(1) この流れのフルード数 Fr を求めなさい．

(2) 底面に働くせん断応力0 を求めなさい．

(3) この水路のある区間の幅を徐々に狭くし，その部分の流れを限界状態にしたい．このとき，水

路幅はいくらにすればよいか求めなさい．ただし，この区間におけるエネルギー損失は無視

できるものとする．

専門科目（二）水理学

3

3. 図-2 のように 2 つの小孔を有する水槽から大気中へ水が放出されている．水槽の水位

h は一定であり，小孔での縮脈，摩擦などによるエネルギーの損失は無視できる．重

力加速度を g とする．以下の各問に答えなさい． (1) 2 つの小孔における水平流速 u1 と u2 を表す式を求めなさい． (2) 放水された水脈が底面に達するときの原点 O からの水平距離 x1 と x2 を表す式を求めな

さい． (3) h = 10 m，h1 = 8 m，h2 = 4 m，g = 10 m/s2 としたときの u1，u2，x1，x2 の値を求めなさい． (4) 0 < h2 < h1 < h であるとき，x1 = x2 となる条件を求めなさい．

図-2 2 つの小孔を有する水槽からの放水

専門科目（二）水理学

4

4. 図-3 のような一様勾配斜面の開水路で発生する跳水について考える．底面摩擦は無視

する．斜面勾配を tan，流体の密度を，重力加速度を g，水路の単位幅流量を q，区

間 I-II 間の距離を L とする． (1) 水平床（ = 0）のときの水深比 h1/ h2 を表す式を求めなさい．ただし，下流側検査断面

II におけるフルード数 Fr2 を用いること． (2) 角度 > 0 で水路が傾斜しているとき，区間 I-II における運動量保存式を示しなさい．

なお，区間 I-II の跳水部分の単位幅あたりの質量 W は，この区間の断面形を台形近似

して，下式のように表されるものとする．

W = gL

2h1 + h2( )

(3) 角度 > 0 で水路が傾斜しているとき，Fr2 を用いて水深比 h1/ h2 を表す式を求めなさい．

図-3 傾斜開水路上の跳水

［水理学 最終ページ］

令和 2 年度

神戸大学大学院工学研究科 博士課程前期課程入学試験

市民工学専攻

専門科目(二): 土質力学

問題用紙の枚数 ページ番号

土質力学 3 枚 1, 2, 3

解答用紙の枚数

土質力学 4 枚

ただし，計算用紙を 1 枚配付

試験日時：令和元年 8 月 26 日（月） 14:30〜15:30

専門科目（二）土質力学

1

［土質力学］

1. 盛土施工に用いる土を用いて締固め試験を行った．ある試験段階において，土を締め固

めた後に容積 1000 cm3のモールド内を占める土の質量は 1825 g であった．また，モー

ルド内の土を採取して含水比を計測したところ，12.5 %であった．水の密度を 1.00 g/cm3，

土粒子の密度を 2.70 g/cm3 として，以下の問に答えなさい．

(1) 締め固められた土の湿潤密度 t （g/cm3）を求めなさい．

(2) 締め固められた土の間隙比eを求めなさい．

(3) 締め固められた土の飽和度 rS （%）を求めなさい．

(4) この土を同じ様に締め固めた後に，土が入ったモールドを水中に浸したところ，土の飽

和度が90 %になった．土の含水量の増分（g）を求めなさい．また，浸水後の土の湿潤

密度 t （g/cm3）を求めなさい．ただし，浸水中の土の体積変化と間隙空気の圧縮性は

無視できるものとする．

専門科目（二）土質力学

2

2. 厚さ 5.0 m の均質な正規圧密粘土層の下面には不透水層があり，上面には透水性の良い

薄い砂層がある．この粘土層に一様な荷重 54 kN/m2 が載荷された時，以下の問に答

えなさい．なお，この粘土層から採取した試料を用いて，現場と同じ荷重を再現した室

内圧密試験（試料厚さ 4.0cm，両面排水条件）を実施したところ，50%圧密に達するの

に 30 分を要した．また，この粘土の体積圧密係数は vm 0.003m2/kN（一定），時間係数

は v50%T 0.195 とする．

(1) この粘土の圧密係数を求めなさい．ただし，単位も明記すること．

(2) この粘土層が50%圧密に達するのに必要な時間（日）を求めなさい．

(3) この粘土層の50%圧密時における沈下量（m）を求めなさい．

専門科目（二）土質力学

3

3. 練り返した粘土試料から三軸試験用の飽和供試体を作成し，圧密非排水圧縮せん断試

験を実施した．供試体は，300 kPa まで等方圧密され，せん断前には正規圧密状態にあ

る．せん断過程では，側圧が一定に保たれ，軸圧縮により生じる軸圧が 500 kPa に至っ

たときに，供試体は破壊状態に達した．この粘土試料を正規圧密状態から非排水せん断

したときの破壊時の間隙水圧係数 Af は 1.0 であることが分かっている．以下の問に答

えなさい．

(1) 供試体が破壊状態に達したときの過剰間隙水圧がいくらになるか，求めなさい．

(2) 破壊時における有効応力表示のモールの応力円を描きなさい．また，モール・クーロン

の破壊線も図示したうえで，有効内部摩擦角 ’を求めなさい．ただし，有効粘着力 c ’

はゼロとする．

(3) 非排水強度増加率 u 0c p を求めなさい．

(4) 同様の飽和供試体を300 kPaまで等方圧密した後，等方除荷して過圧密状態に至らしめ

て，非排水せん断した．この過圧密粘土供試体の過圧密比OCRと破壊時の間隙水圧係

数Afとして最も適切な関係を図-1の①～③から選び，その理由を「ダイレイタンシー」

という語句を用いて簡潔に答えなさい．

［土質力学 最終ページ］

図-1 過圧密比と破壊時の間隙水圧係数の関係

過圧密比OCR

破壊

時の間

隙水

圧係

数A

f

1

1.0

0.0

（正規圧密状態）

①

②

③

令和 2 年度

神戸大学大学院工学研究科 博士課程前期課程入学試験

市民工学専攻

専門科目(二):土木計画学

問題用紙の枚数 ページ番号

土木計画学 3 枚 1, 2, 3

解答用紙の枚数

土木計画学 4 枚

ただし，計算用紙を 1 枚配付

試験日時：令和元年 8 月 26 日（月） 16:00〜17:00

専門科目（二）土木計画学

1

［土木計画学］

1. 線形計画問題に関する以下の問に答えなさい．

(1) 次の線形計画問題（主問題）をシンプレックス法で解き最適解を求めなさい． Maximize f = 4x1 + 6x2

subject to

0,0

9052

27

21

21

21

xx

xx

xx

(2) (1)の主問題の双対問題を示しなさい．ただし，解答の際には主問題の 1 つ目の制約条

件(a)に対する双対変数を y1，2 つ目の制約条件(b)に対する双対変数を y2 とおきなさ

い．その上で，双対問題の最適解を答えなさい． (3) (1) の主問題における制約条件(a)，(b) の右辺定数の 1 の増加は，目的変数 f にどの

ように影響するか，それぞれ答えなさい．

2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 + 6𝑥 + 2 の極値を求める問題を，x の初期値を x0 = 1 とした

ニュートン法により近似的に解こうとした場合，近似解が収束しないことを数値的に

示しなさい．

(a)

(b)

専門科目（二）土木計画学

2

3. 近年ハッキングによる被害が頻発している．A 君は銀行口座や各種の会員認証用に n 種

類のパスワードのリストを作成し，その中から適宜ひとつを選んで定期的に変更し使用

しているが，しばらくアクセスしていなかった口座の認証ページにパスワードを入力し

ようとして，どのパスワードを使っていたかを忘れてしまったことに気がついた．認証

されるパスワードは n 種類のうち 1 種類のみである．以下の問に答えなさい．

(1) 手元のリストに記載されている n 種類のパスワードからランダムにひとつを選んで試

し，認証に失敗した場合はそのパスワードをリストから外して別のパスワードをランダ

ムに選び試す，という方法をとる場合，r 回目に認証に成功する確率 p(r)を求めなさい．

ただし，何度認証に失敗してもロックされないものとする． (2) (1)の方法で試行する時，認証に成功するまでの試行回数 X の平均値 E (X)を求めなさい． (3) 同様に，試行回数 X の分散 Var(X)を求めなさい． 4. ある工場では，海水から物質 C を抽出する方法について検討している．従来からの抽出

法 A による海水１トンあたりの物質 C の抽出量は平均𝜇 ，分散𝜎 ，新たな抽出法 B で

得られる抽出量は平均𝜇 ，分散𝜎 の正規分布にそれぞれ従うとする．なお，分散𝜎 ，𝜎

は既知と仮定する．いま，抽出法 A で抽出作業を 10 回実施したところ，以下の量 xAi

（i=1,…, 10）が抽出された． 55.17，56.65，56.72，57.56，58.27，56.58，57.08，57.13，57.92，56.21 （単位：mg） また，新たな抽出法 B で抽出作業を 8 回実施したところ，以下の量 xBj（j=1,…, 8）が抽

出された． 58.59，58.45，59.64，58.64，58.00，57.03，57.33，57.80 （単位：mg） xAi，xBj は互いに独立であるものとして，以下の問に答えなさい．

(1) 標本平均�̅� ，�̅� ，および両者の差(�̅� − �̅� )が従う確率分布を，𝜇 ，𝜇 ，𝜎 ，𝜎 を用い

て示しなさい． (2) 2 つの抽出法による抽出量の平均𝜇 と𝜇 に差があるかどうか，帰無仮説 H0 と対立仮説

H1 を立て，有意水準 α = 0.05 で検定しなさい．ただし， 𝜎 = 0.270， 𝜎 = 0.156で

ある． (3) 新しい抽出法 B を開発した会社は｢この抽出法だと抽出量は抽出法 A に比べ海水１ト

ンあたり 1mg 以上増加する｣と宣伝している．これが正しいかどうかを検定するため

の帰無仮説 H0 と対立仮説 H1 を立てなさい．

専門科目（二）土木計画学

3

表-1 正規分布表

［土木計画学 最終ページ］