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Exercicios de economia resolvidos para o curso de engenharia
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QUESTÕES PARA REVISÃO
1. Uma empresa paga anualmente a seu contador honorários no valor de $10.000. Este custo é
explícito ou implícito?
Os custos explícitos são pagamentos efetivos, que incluem, portanto, todos os custos que envolvam
uma transação monetária. Um custo implícito é um custo econômico que não envolve
necessariamente uma transação monetária, apesar de estar associado ao uso de recursos pela
empresa. Quando a empresa paga a seu contador $10.000 como honorários anuais, ocorre uma
transação monetária: o contador oferece seu tempo em troca de dinheiro. Logo, os honorários anuais
são custos explícitos.
2. A proprietária de uma pequena loja de varejo cuida pessoalmente do trabalho contábil. De
que forma você mediria o custo de oportunidade desse trabalho?
Os custos de oportunidade são calculados a partir da comparação entre o uso corrente do recurso e
seus usos alternativos. O custo de oportunidade do trabalho contábil é o tempo que deixa de ser
gasto em outras atividades, como a administração de um negócio ou a realização de atividades de
lazer. O custo econômico do trabalho contábil é dado pelo maior valor monetário que poderia ser
obtido através de outras atividades.
3. Suponha que um fabricante de cadeiras descubra que a taxa marginal de substituição
técnica de capital por trabalho em seu processo produtivo seja substancialmente maior do
que a razão entre a taxa de locação das máquinas e o custo do trabalho na linha de
montagem. De que forma você acha que ele deveria alterar sua utilização de capital e trabalho
para que possa minimizar seu custo de produção?
Para minimizar o custo, o fabricante deveria usar uma combinação de capital e trabalho tal que a
taxa de substituição de capital por trabalho no seu processo produtivo seja igual à taxa de troca entre
capital e trabalho nos mercados externos. O fabricante estaria em melhor situação se aumentasse o
uso de capital e reduzisse o uso de trabalho. Ao substituir um pouco de trabalho por capital, a taxa
marginal de substituição técnica, TMST, diminuiria; o fabricante deveria continuar a substituir trabalho
por capital até o ponto em que a TMST fosse igual à razão entre a taxa de locação do capital e o
salário pago aos trabalhadores.
4. Por que as linhas de isocusto são retas?
A linha de isocusto representa todas as possíveis combinações de trabalho e capital que podem ser
adquiridas a um custo total constante. A inclinação da linha de isocusto é a razão entre os preços dos
insumos trabalho e capital. Se os preços dos insumos são fixos, a razão desses preços é fixa e a
linha de isocusto é reta. A linha de isocusto não é reta apenas no caso em que a razão dos preços
dos insumos varia com as quantidades utilizadas.
5. Se o custo marginal de produção estiver aumentando, o custo variável médio estará
aumentando ou diminuindo? Explique.
Um custo marginal crescente é compatível com um custo variável médio crescente ou decrescente.
Se o custo marginal for menor (maior) que o custo variável médio, cada unidade adicional de
produção estará adicionando ao custo total menos (mais) que as unidades anteriores, o que implica
que o CVMeestá diminuindo (aumentando). Logo, é necessário saber se o custo marginal é maior ou
menor que o custo variável médio para determinar se o CVMeé crescente ou decrescente.
6. Se o custo marginal de produção for maior do que o custo variável médio, o custo variável
médio estará aumentando ou diminuindo? Explique.
Para que o custo variável médio seja crescente (decrescente), cada unidade adicional de produção
deve adicionar ao custo variável mais (menos) que as unidades anteriores, na média; ou seja, o
custo marginal deve ser maior (menor) do que o custo variável médio. Assim, se custo o marginal é
maior do que o custo variável médio, este deve estar aumentando.
7. Se as curvas de custo médio da empresa apresentam formato em U, por que sua curva de
custo variável médio atinge seu nível mínimo em um nível de produção mais baixo do que a
curva de custo médio total?
O custo total é igual ao custo fixo mais o custo variável. O custo total médio é igual ao custo fixo
médio mais o custo variável médio. Num gráfico, a diferença entre as curvas de custo total médio e
custo variável médio, ambas em formato de U, é o custo fixo médio. Se o custo fixo for positivo, o
custo variável médio mínimo deve ser menor do que o custo total médio mínimo. Além disso, dado
que o custo fixo médio diminui continuamente à medida que aumenta a produção, o custo total médio
deve continuar a diminuir mesmo após o custo variável médio ter atingido seu ponto de mínimo, pois
a redução no custo fixo médio é inicialmente maior do que o aumento no custo variável médio. A
partir de um certo nível de produção, a redução no custo fixo médio torna-se menor do que o
aumento no custo variável médio, de modo que o custo total médio passa a aumentar.
8. Se uma empresa estiver apresentando rendimentos crescentes de escala até um
determinado nível de produção, e depois tiver rendimentos constantes de escala, o que você
poderia dizer a respeito do formato da curva de custo médio de longo prazo dessa empresa?
Quando a empresa apresenta rendimentos crescentes de escala, a sua curva de custo médio de
longo prazo apresenta inclinação negativa. Quando a empresa apresenta rendimentos constantes de
escala, a sua curva de custo médio de longo prazo é horizontal. Se a empresa apresenta inicialmente
rendimentos crescentes de escala, e depois rendimentos constantes de escala, a sua curva de custo
médio de longo prazo inicialmente cai, e depois se torna horizontal.
9. De que forma uma variação no preço de um dos insumos pode alterar o caminho de
expansão da empresa a longo prazo?
O caminho de expansão descreve a combinação de insumos que a empresa deve escolher para
obter cada nível de produção com o mínimo custo. Tal combinação depende da razão entre os
preços dos insumos: se o preço de um insumo muda, a razão de preços também muda. Por exemplo,
se o preço de um insumo aumenta, menor quantidade do insumo deve ser comprada para manter o
custo total constante, e o intercepto da linha de isocusto no eixo do insumo em questão se move na
direção da origem. Além disso, a inclinação da linha de isocusto, dada pela razão de preços, muda, e
a empresa substitui parte do insumo que se tornou relativamente mais caro pelo insumo mais barato.
Logo, o caminho de expansão se inclina na direção do eixo do insumo relativamente mais barato.
10. Faça uma distinção entre economias de escala e economias de escopo. Por que um
desses fenômenos pode estar presente sem o outro?
As economias de escala se referem à produção de um bem e ocorrem quando aumentos
proporcionais nas quantidades de todos os insumos levam a um aumento mais do que proporcional
na produção. As economias de escopo se referem à produção de mais de um bem e ocorrem quando
o custo da produção conjunta dos bens é menor do que a soma dos custos de produzir cada bem
separadamente. Não há relação direta entre rendimentos crescentes de escala e economias de
escopo, de modo que a produção pode apresentar uma característica independentemente da outra.
Veja o Exercício (13) para um caso com rendimentos constantes de escala e economias de escopo.
EXERCÍCIOS
1. Suponha que uma empresa fabricante de computadores tenha os custos marginais de
produção constantes a $1.000 por computador produzido. Entretanto, os custos fixos de
produção são iguais a $10.000.
a. Calcule as curvas de custo variável médio e de custo total médio para essa empresa.
O custo variável de produção de uma unidade adicional, o custo marginal, é constante e igual a
$1.000: CV = $1000Q, e O custo fixo médio é . O
custo total médio é dado pela soma do custo variável médio e do custo fixo médio:
.
b. Caso fosse do interesse da empresa minimizar o custo total médio de produção, ela
preferiria que tal produção fosse muito grande ou muito pequena? Explique.
A empresa preferiria a maior produção possível, pois o custo total médio diminui à medida que
aumenta Q. Se Q se tornasse infinitamente grande, o CTMe seria igual a $1.000.
2. Se uma empresa contratar um trabalhador atualmente desempregado, o custo de
oportunidade da utilização do serviço do trabalhador é zero. Isso é verdade? Discuta.
Do ponto de vista do trabalhador, o custo de oportunidade de seu tempo corresponde ao período de
tempo que ele deixa de gastar com outras atividades, incluindo atividades pessoais ou de lazer. O
custo de oportunidade de empregar uma mãe desempregada com filhos pequenos é certamente
diferente de zero! A dificuldade de atribuir um valor monetário ao tempo de que um indivíduo
desempregado deixará de gozar ao ser empregado não deveria nos levar à conclusão de que seu
custo de oportunidade é zero.
Do ponto de vista da empresa, o custo de oportunidade de empregar o trabalhador não é zero; a
empresa poderia, por exemplo, adquirir outra máquina em vez de empregar o trabalhador.
3.a. Suponha que uma empresa deva pagar uma taxa anual de franquia, que corresponda uma
quantia fixa, independente da empresa realizar qualquer produção. Como esta taxa afetaria os
custos fixos, marginais e variáveis da empresa?
O custo total, CT, é igual ao custo fixo, CF, mais o custo variável, CV. Os custos fixos não variam
com a quantidade produzida. Dado que a taxa de franquia, FF, é um valor fixo, os custos fixos da
empresa aumentam no valor da taxa. Logo, o custo médio, dado por , e o custo fixo
médio, dado por , aumentam no valor da taxa média de franquia . Observe que a taxa de
franquia não afeta o custo variável médio. Além disso, tendo em vista que o custo marginal é a
variação no custo total associada à produção de uma unidade adicional e que a taxa de franquia é
constante, o custo marginal não se altera.
b. Agora suponha que seja cobrado um imposto proporcional ao número de unidades
produzidas. Novamente, como tal imposto afetaria os custos fixos, marginais e variáveis da
empresa?
Seja t o imposto por unidade. Quando um imposto é cobrado sobre cada unidade produzida, o custo
variável aumenta em tQ. O custo variável médio aumenta em t, e dado que o custo fixo é constante,
o custo total médio também aumenta em t. Além disso, dado que o custo total aumenta em t para
cada unidade adicional, o custo marginal também aumenta em t.
4. Um artigo recente publicado na Business Week afirmava o seguinte:
Durante a recente queda nas vendas de automóveis, a GM, a Ford, e a Chrysler decidiram que
era mais econômico vender automóveis para as locadoras com prejuízo do que despedir
funcionários. Isto porque é caro fechar e abrir fábricas, em parte porque a negociação sindical
atual prevê a obrigatoriedade das empresas pagarem salários a muitos trabalhadores, mesmo
que estes não estejam trabalhando.
Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se referindo ao lucro
contábil ou econômico? Explique brevemente como eles se distinguem neste caso.
Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se referindo ao lucro contábil. O
artigo afirma que o preço obtido na venda dos automóveis para as locadoras era menor do que seu
custo contábil. O lucro econômico seria a diferença entre o preço e o custo de oportunidade dos
automóveis. Tal custo de oportunidade representa o valor de mercado de todos os insumos utilizados
na produção dos automóveis. O artigo menciona que as empresas automobilísticas devem pagar a
seus trabalhadores mesmo que estes não estejam trabalhando (e, portanto, produzindo automóveis).
Isso implica que os salários pagos a tais trabalhadores são custos "irreversíveis" e,
conseqüentemente, não entram no custo de oportunidade da produção. Por outro lado, os salários
são incluídos nos custos contábeis, que devem, portanto, ser maiores do que o custo de
oportunidade. Logo, o lucro contábil deve ser menor do que o lucro econômico.
5. Um fabricante de cadeiras contrata sua mão de obra para a linha de montagem por $22 por
hora e calcula que o aluguel de suas máquinas seja de $110 por hora. Suponha que uma
cadeira possa ser produzida utilizando-se 4 horas entre tempo de trabalho e de máquina,
sendo possível qualquer combinação entre os insumos. Se a empresa atualmente estiver
utilizando 3 horas de trabalho para cada hora de máquina, ela estará minimizando seus custos
de produção? Em caso afirmativo, qual a razão? Em caso negativo, de que forma a empresa
poderia melhorar essa situação?
Se a empresa pode produzir uma cadeira utilizando quatro horas de trabalho ou quatro horas de
máquina, ou qualquer combinação dos insumos, então a isoquanta é uma linha reta com inclinação
de -1 e interceptos em K = 4 e L = 4, conforme mostra a Figura 7.5.
A linha de isocusto, CT = 22L + 110K tem inclinação de (com o capital no eixo
vertical) e interceptos em e . O ponto de custo mínimo é uma solução de canto,
onde L = 4 e K = 0. Nesse ponto, o custo total é $88.
Figura 7.5
6. Suponha que economia entre em recessão e o custo de mão de obra caia 50%, sendo que
se espera que venha a permanecer em tal nível por um longo tempo. Mostre graficamente de
que forma essa variação de preço do trabalho em relação ao preço do capital influenciaria o
caminho de expansão da empresa.
A Figura 7.6 mostra uma família de isoquantas e duas curvas de isocusto. As unidades de capital são
medidas no eixo vertical e as unidades de trabalho no eixo horizontal. (Observação: A figura
pressupõe que a função de produção que dá origem às isoquantas apresente rendimentos
constantes de escala, o que resulta num caminho de expansão linear. Entretanto, os resultados a
seguir não dependem dessa hipótese.)
Se o preço do trabalho diminui enquanto o preço do capital é constante, a curva de isocusto gira para
fora em torno de seu intercepto no eixo do capital. O caminho de expansão é o conjunto de pontos
nos quais a TMST é igual à razão dos preços; logo, à medida que as curvas de isocusto giram para
fora, o caminho de expansão gira na direção do eixo do trabalho. Com a redução do preço relativo do
trabalho, a empresa utiliza mais trabalho à medida que a produção aumenta.
Figura 7.6
7. Você é responsável pelo controle de custos em um grande distrito de trânsito
metropolitano. Um consultor contratado lhe apresenta o seguinte relatório:
Nossa pesquisa revelou que o custo de operação de um ônibus a cada viagem é de $30,
independentemente do número de passageiros que esteja transportando. Cada ônibus tem
capacidade para transportar 50 passageiros. Nas horas de pico, quando os ônibus estão
lotados, o custo médio por passageiro é de $0,60. Entretanto, durante as horas fora de pico, a
média de passageiros transportados cai para 18 pessoas por viagem e o custo sobe para
$1,67 por passageiro. Conseqüentemente, recomendamos uma operação mais intensa nas
horas de pico, quando os custos são menores, e um número menor de operações nas horas
fora de pico, nas quais os custos são mais altos.
Você seguiria as recomendações do consultor? Discuta.
O consultor não entende a definição de custo médio. O aumento do número de passageiros sempre
diminui o custo médio, independente de se tratar de uma hora de pico ou não. Se o número de
passageiros cair para 10, os custos aumentarão para $3,00 por passageiro. Além disso, nas horas de
pico os ônibus estão lotados. Como seria possível aumentar o número de passageiros? Em vez de
seguir as recomendações do consultor, seria melhor incentivar os passageiros a passar a usar os
ônibus nas horas fora de pico - através, por exemplo, da cobrança de preços mais elevados nas
horas de pico.
8. Uma refinaria de petróleo é composta de diferentes unidades de equipamento de
processamento, cada qual com diferentes capacidades de fracionamento do petróleo cru, com
alto teor de enxofre, em produtos finais. O processo produtivo dessa refinaria é tal que o
custo marginal do processamento de gasolina é constante até um certo ponto, desde que uma
unidade de destilação básica esteja sendo alimentada por petróleo cru. Entretanto, à medida
que a capacidade desta unidade se esgota, o volume de petróleo cru que pode ser processado
no curto prazo se revela limitado. O custo marginal de processamento da gasolina é também
constante até um determinado limite de capacidade, quando o petróleo cru passa por uma
unidade mais sofisticada de hidrocraqueamento. Elabore o gráfico do custo marginal da
produção de gasolina, quando são utilizadas uma unidade de destilação básica e uma unidade
de hidrocraqueamento.
A produção de gasolina envolve duas etapas: (1) destilação do petróleo cru; e (2) refino do produto
destilado, que é transformado em gasolina. Dado que o custo marginal de produção é constante até
o limite de capacidade para ambos os processos, as curvas de custo marginal apresentam formato
semelhante em L.
Figura 7.8
O custo total marginal, CMgT, é a soma dos custos marginais dos dois processos, i.e., CMgT = CMg1
+ CMg2, onde CMg1 é o custo marginal da destilação até o limite de capacidade, Q1, e CMg2 é o custo
marginal de refino até o limite de capacidade, Q2. O formato da curva de custo total marginal é
horizontal até o menor limite de capacidade. Se o limite de capacidade da unidade de destilação for
menor que o limite da unidade de hidrocraqueamento, o CMgTserá vertical ao nível de Q1. Se o limite
da unidade de hidrocraqueamento for menor que o limite da unidade de destilação, o CMgT será
vertical ao nível de Q2.
9. Você é o gerente de uma fábrica que produz motores em grande quantidade por meio de
equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A tecnologia pode ser
resumida pela função de produção:
Q = 4 KL
em que Q é o número de motores por semana, K é o número de máquinas, e L o número de
equipes de trabalho. Cada máquina é alugada ao custo r = $12.000 por semana e cada equipe
custa w = $3.000 por semana. O custo dos motores é dado pelo custo das equipes e das
máquinas mais $2.000 de matérias primas por máquina. Sua fábrica possui 10 máquinas de
montagem.
a. Qual é a função de custo de sua fábrica — isto é, quanto custa produzir Q motores? Quais
os custos médio e marginal para produzir Q motores? Com os custo médios variam com a
produção?
K é fixo ao nível de 10. A função de produção de curto prazo é, portanto, Q = 40L. Isso implica que,
para qualquer nível de produção Q, o número de equipes de trabalho contratadas será . A
função de custo total é dada pela soma dos custos de capital, trabalho, e matérias primas:
CT(Q) = rK + wL + 2000Q = (12.000)(10) + (3.000)(Q/40) + 2.000 Q
= 120.000 + 2.075Q
A função de custo médio é dada por:
CMe(Q) = CT(Q)/Q = 120.000/Q + 2.075
e a função de custo marginal é:
CT(Q) / Q = 2.075
Os custos marginais são constantes e os custos médios são decrescentes (devido ao custo fixo de
capital).
b. Quantas equipes são necessárias para produzir 80 motores? Qual o custo médio por
motor?
Para produzir Q = 80 motores, são necessárias ou L=2 equipes de trabalho. O custo médio
é dado por
CMe(Q) = 120.000/Q + 2.075 ou CMe = 3575.
c. Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma nova fábrica. O que
você sugeriria? Em particular, com que relação capital/trabalho (K/L) a nova planta deveria
operar? Se custos médios menores fossem o único critério, você sugeriria que a nova fábrica
tivesse maior ou menor capacidade que a atual?
Agora, abandonamos a hipótese de que K é fixo. Devemos encontrar a combinação de K e L que
minimiza os custos para qualquer nível de produção Q. A regra de minimização de custo é dada por:
Para calcular o produto marginal do capital, observe que, se aumentarmos K em 1 unidade, Q
aumentará em 4L, de modo que PMgK = 4L. Analogamente, observe que, se aumentarmos L em 1
unidade, Q aumentará em 4K, de modo que PMgL = 4K. (Matematicamente, e
.) Inserindo essas fórmulas na regra de minimização de custo, obtemos:
.
A nova planta deveria operar com uma razão capital/trabalho de 1/4.
A razão capital-trabalho da empresa é atualmente 10/2 ou 5. Para reduzir o custo médio, a empresa
deveria utilizar mais trabalho e menos capital para gerar a mesma produção ou contratar mais
trabalho e aumentar a produção.
*10. A função custo de uma empresa fabricante de computadores, relacionando seu custo
médio de produção, CMe, com sua produção acumulada, QA (em milhares de computadores
produzidos), e com o tamanho de sua fábrica em termos de milhares de computadores
produzidos anualmente, Q, é dada, para uma produção na faixa entre 10.000 e 50.000
computadores, pela equação
CMe = 10 - 0,1QA + 0,3Q.
a. Existe um efeito de curva de aprendizagem?
A curva de aprendizagem descreve a relação entre a produção acumulada e os insumos necessários
para produzir uma unidade de produção. O custo médio mede os requisitos de insumo por unidade
de produção. Existe um efeito de curva de aprendizagem se o custo médio cai à medida que
aumenta a produção acumulada. No caso em questão, o custo médio diminui à medida que aumenta
a produção acumulada, QA. Logo, existe um efeito de curva de aprendizagem.
b. Existem rendimentos crescentes ou decrescentes de escala?
Para medir os rendimentos de escala, calcule a elasticidade do custo total, CT, com relação à
produção, Q:
Se a elasticidade for maior (menor) que 1, há rendimentos decrescentes (crescentes) de escala, pois
o custo total aumenta mais (menos) rápido que a produção. A partir do custo médio, podemos
calcular o custo total e o custo marginal:
CT = Q(CMe) = 10Q - (0,1)(QA)(Q) + 0,3Q2, logo
.
Dado que o custo marginal é maior do que o custo médio (pois 0,6Q> 0,3Q), a elasticidade, EC, é
maior que 1; há rendimentos decrescentes de escala. O processo produtivo apresenta um efeito de
curva de aprendizagem e rendimentos decrescentes de escala.
c. Ao longo de sua existência, a empresa já produziu um total de 40.000 computadores e
estará produzindo 10.000 máquinas este ano. No ano que vem, ela planeja aumentar sua
produção para 12.000 computadores. Seu custo médio de produção aumentará ou diminuirá?
Explique.
Primeiro, calcule o custo médio no ano corrente:
CMe1 = 10 - 0,1QA + 0,3Q = 10 - (0,1)(40) + (0,3)(10) = 9.
Segundo, calcule o custo médio no ano seguinte:
CMe2 = 10 - (0,1)(50) + (0,3)(12) = 8,6.
(Observação: A produção acumulada aumentou de 40.000 para 50.000)
O custo médio diminuirá devido ao efeito da aprendizagem.
11. A função de custo total a curto prazo de uma empresa expressa pela equação C=190+53Q,
em que C é o custo total e Q é a quantidade total produzida, sendo ambos medidos em
dezenas de milhares de unidades.
a. Qual é o custo fixo da empresa?
Quando Q = 0, C = 190, de modo que o custo fixo é igual a 190 (ou $1.900.000).
b. Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria seu custo variável
médio?
Com 100.000 unidades, Q = 10. O custo total é 53Q = (53)(10) = 530 por unidade (ou $5.300.000 por
10.000 unidades). O custo variável médio é por unidade ou $530.000 por
10.000 unidades.
c. Qual é o custo marginal por unidade produzida?
Com um custo variável médio constante, o custo marginal é igual ao custo variável médio, $53 por
unidade (ou $530.000 por 10.000 unidades).
d. Qual é seu custo fixo médio?
Para Q = 10, o custo fixo médio é por unidade ou ($190.000 por 10.000
unidades).
e. Suponha que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica, Seu custo fixo sobe em
$50.000, porém seu custo variável cai em $45.000 para cada 10.000 unidades. A despesa de
juros (I) também entra na equação. Cada aumento de 1% na taxa de juros eleva os custos em
$30.000. Escreva a nova equação de custo
O custo fixo muda de 190 para 195. O custo total diminui de 53 para 45. O custo fixo também inclui
pagamento de juros: 3I. A equação do custo é
C = 195 + 45Q + 3I.
*12. Suponha que a função de custo total a longo prazo para uma empresa seja expressa pela
equação cúbica: CT = a + bQ + cQ2 + dQ3. Mostre (utilizando o cálculo integral) que esta
função de custo é consistente com a curva de custo médio com formato em U, pelo menos
para alguns valores dos parâmetros a, b, c, d.
Para mostrar que a equação de custo cúbica implica uma curva de custo médio com formato de U,
utilizamos a álgebra, o cálculo e a teoria econômica para impor restrições sobre os sinais dos
parâmetros da equação. Essas técnicas são ilustradas no exemplo abaixo.
Primeiro, se a produção é igual a zero, então, CT = a, onde a representa os custos fixos. No curto
prazo, os custo fixos são positivos, a >0, porém, no longo prazo, onde todos os insumos são
variáveis, a = 0. Logo, impomos a restrição de que a deve ser zero.
Em seguida, sabendo que o custo médio deve ser positivo, divide-se CT por Q:
CMe = b + cQ + dQ2.
Essa equação é simplesmente uma função quadrática, que pode ser representada graficamente em
dois formatos básicos: formato de U e formato de U invertido. Estamos interessados no formato de U,
ou seja, em uma curva com um ponto de mínimo (custo médio mínimo), em vez do formato de U
invertido, com um ponto de máximo.
À esquerda do ponto de mínimo, a inclinação deve ser negativa. No ponto de mínimo, a inclinação
deve ser zero, e à direita, a inclinação deve ser positiva. A primeira derivada da curva de custo médio
com relação a Q deve ser igual a zero no ponto de mínimo. Para uma curva de CMe com formato de
U, a segunda derivada da curva de custo médio deve ser positiva.
A primeira derivada é c + 2dQ; a segunda derivada é 2d. Se a segunda derivada deve ser positiva, d
>0. Se a primeira derivada deve ser igual a zero, resolvendo para c em função de Q e d obtemos: c =
-2dQ. Se d e Q são positivos, c deve ser negativo: c <0.
A restrição sobre b baseia-se no fato de, no seu ponto de mínimo, o custo médio dever ser positivo.
O ponto de mínimo ocorre quando c + 2dQ = 0. Resolve-se para Q em função de c e d: .
Em seguida, substitui-se Q por este valor na nossa expressão de custo médio, e simplifica-se a
equação:
, ou
o que implica . Dado que c2>0 e d > 0, b deve ser positivo.
Em resumo, para curvas de custo médio de longo prazo com formato de U, a deve ser zero, b e
ddevem ser positivos, c deve ser negativo, e 4db > c2. Entretanto, as condições não asseguram que
o custo marginal seja positivo. Para assegurar que o custo marginal possua um formato de U e que
seu ponto de mínimo seja positivo, utilizando o mesmo procedimento, ou seja, resolvendo para Q no
custo marginal mínimo e substituindo na expressão do custo marginal b + 2cQ + 3dQ2,
encontramos que c2 deve ser menor que 3bd. Observe que os valores dos parâmetros que
satisfazem essa condição também satisfazem 4db > c2; o contrário, porém, não é verdadeiro.
Por exemplo, sejam a = 0, b = 1, c = -1, d = 1. O custo total é Q - Q2+ Q3; o custo médio é 1 - Q + Q2;
e o custo marginal é 1 - 2Q + 3Q2. O custo médio mínimo é Q = 1/2e o custo marginal mínimo é 1/3
(suponha que Q seja medido em dúzias de unidades, de modo que não há produção de unidades
fracionadas). Veja a Figura 7.12.
Figura 7.12
*13. Uma empresa de computadores produz hardware e software utilizando a mesma fábrica e
os mesmos trabalhadores. O custo total da produção de unidades de hardware H e de
unidades de software S é expresso pela equação:
CT = aH + bS - cHS,
na qual a, b, e c são positivos. Esta função de custo total é consistente com a presença de
rendimentos crescentes ou decrescentes de escala? E com economias ou deseconomias de
escopo?
Há dois tipos de economias de escala a se considerar: economias de escala multiproduto e
economias de escala específicas a cada produto. Aprendemos na Seção 7.5 que as economias de
escala multiproduto para o caso de dois produtos, SH,S, são dadas por
ondeCMgH é o custo marginal de produção de hardware e CMgS é o custo marginal de produção de
software. As economias de escala específicas a cada produto são:
e
onde, CT(0,S) implica a não produção de hardware e CT(H,0) implica a não produção de software.
Sabe-se que o custo marginal de um insumo é a inclinação do custo total com relação àquele
insumo. Sendo
,
obtém-se CMgH = a - cS eCMgS = b - cH.
Inserindo tais expressões nas fórmulas de SH,S, SH, e SS:
ou
, porque cHS> 0. Além disso,
, ou
e similarmente
Há economias de escala multiproduto, SH,S> 1, porém rendimentos de escala específicos a cada
produto constantes, SH = SS = 1.
Temos economias de escopo se SC> 0, onde (a partir da equação (7.8) no texto):
, ou,
, ou
Dado que ambos cHS e CT são positivos, ocorrem economias de escopo.
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