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Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Curso de Licenciatura em Matemática
Edmar Luiz Maia Fernandes
Desempenho de estudantes do nível médio na resolução de situações problemas envolvendo as
operações básicas
Belém 2013
Edmar Luiz Maia Fernandes
Desempenho de estudantes do nível médio na resolução de situações problemas envolvendo as operações básicas
Trabalho de conclusão de curso apresentado como
requisito para obtenção do Título de Licenciado
Pleno em Matemática, Universidade do Estado do
Pará.
Área de concentração: Ensino de Matemática
Orientador: Prof.º Doutor Natanael Freitas Cabral
Belém
2013
Edmar Luiz Maia Fernandes
Desempenho de estudantes do nível médio na resolução de
situações problemas envolvendo as operações básicas
Trabalho de conclusão de curso apresentado como
requisito para obtenção do Título de Licenciado
Pleno em Matemática, Universidade do Estado do
Pará.
Área de concentração: Ensino de Matemática
Data de Aprovação:
Banca Examinadora
______________________________ - Orientador
Prof. Dr. Natanael Freitas Cabral
______________________________
Prof. Msc. Carlos Miranda
______________________________
Prof. Msc. Nayra Rossy
Este trabalho é dedicado à memória de
Edvan Luiz Maia Fernandes
Eunice Dias Fernandes
Luís Fernandes Filho
Ana Chaves Alves
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais Onan Dias e Leila Suely pelo incentivo e apoio.
À Yara Nunes, noiva, pelo incentivo, apoio, tolerância e suporte nos
momentos difíceis.
Ao Prof. Dr. Natanael, meu orientador, que é meu professor desde a 5ª
série do ensino fundamental, passando pelo ensino médio e superior, que sempre
demostrou ser um profissional competente e dedicado.
A Tia Nelma por me incentivar.
À Nayara Sodré, prima, e aos meus primos Odilon Maia e Savio Murillo.
Ao professores Jessileia Eiró, Miguel Chaquiam, Rose Jucá, Acylena
Coelho, Carlos Miranda, Jeane Silva e Gloria Lima pelo aprendizado e exemplos de
profissionais que são.
Aos meus colegas de curso Bruno Dias, Lucival Junior, Elly Torres,
Benedito Lima, Maycon Alves, Cimara Freire, Janaina Dantas, Flavia Carvalho, Luma
Gaia, Gleida Conde, Breno Gomes, Flavio Bastos, Pamella Barros, Nayra Rossy,
Andreza Mesquita, Adriane Lopes, Deyvide Canuto, Brunna Soares, Bruno Amaral,
Silas Rafael Dias, João Gabriel Batista, Edir Amaral, Elizabeth Branches, Camila
Trindade e André Mosca, dentre outros.
“O objetivo da escola não deve ser passar conteúdos, mas preparar –
todos – para a vida em uma sociedade moderna”.
Philippe Perrenoud
RESUMO
FERNANDES, Edmar Luiz Maia. Desempenho de estudantes do nível médio na resolução de situações problemas envolvendo as operações básicas. 2013. 123 f. Trabalho de Conclusão de Curso. Universidade do Estado do Pará (UEPA). 2013. Belém. Para.
RESUMO: O ensino aprendizagem de matemática tem sido um desafio que mobiliza as estruturas educacionais e suas metodologias. Nesta pesquisa as ferramentas utilizadas para esta discussão serão com bases no PISA (Programa Internacional de Avaliação do Estudante), os PCN (Parâmetros Curriculares Nacional), Teorias de Aprendizagem e o que apontam as pesquisas relacionadas a resolução de problemas. As dificuldades apontadas nas metodologia trabalhadas nos levam a perceber que o problema não consiste apenas no modo como se ensina matemática. Parte dos problemas se encontra nas bases da formação do futuro professor e na capacidade de relacionar a disciplina com a realidade em que existimos. Porem este tem o objetivo diagnosticar algumas dificuldades apresentadas pelos os estudantes do 1º ano do Ensino Médio ao resolver situação problemas envolvendo as operações básicas e os principais erros cometidos neste processo de aprendizagem. A sala de aula será o laboratório perfeito para a transformação no modo de ensinar e aprender. Discussões mobilizam um aperfeiçoamento dos métodos empregados idealizando novos horizontes do ensino aprendizagem de matemática.
Palavras - chave: Resolução de Problemas, Dificuldades, Operação Básicas.
.
ABSTRACT
FERNANDES, Edmar Luiz Maia. Desempenho de estudantes do nível médio na resolução de situações problemas envolvendo as operações básicas. 2013. 123 f. Trabalho de Conclusão de Curso. Universidade do Estado do Pará (UEPA). 2013. Belém. Para.
ABSTRACT: The teaching and learning of mathematics has been a challenge to mobilize the educational structures and their methodologies. In this research the tools used for this discussion will be with bases in PISA (Programme for International Student Assessment), PCN (National Curriculum Parameters), Learning Theories and research that link related problem solving. The difficulties mentioned in the methodology worked lead us to realize that the problem is not just in the way it teaches math. Part of the problem lies in the foundations of educating future teachers and the ability to relate the subject with the reality in which we exist. However, this is intended to diagnose some difficulties presented by the students of the 1st year of high school to solve problems involving state the basic operations and major mistakes in this learning process. The classroom is the perfect laboratory for the processing mode of teaching and learning. Discussions involve a refinement of the methods employed idealizing new horizons of teaching math learning.
Keywords: Problem Solving, Difficulty, Basic Operation
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Algoritmo da Adição ................................................................................... 61
Figura 2: Algoritmo da Subtração .............................................................................. 62
Figura 3: Algoritmo da Multiplicação ......................................................................... 63
Figura 4: Algoritmo da Divisão .................................................................................. 64
Figura 5: Estrutura Básica para problemas de Adição e Subtração .......................... 83
Figura 6: Estrutura Básica para problemas de Multiplicação e Divisão ..................... 84
Figura 7: Imagem questão 1 ..................................................................................... 94
Figura 8: Exemplo de dificuldade na Questão 1 ........................................................ 95
Figura 9: Exemplo de dificuldade na Questão 2 ........................................................ 96
Figura 10: Exemplo de dificuldade na Questão 9 ...................................................... 97
Figura 11: Exemplo de dificuldade na Questão 9 ...................................................... 98
Figura 12: Imagem da Questão 5 .............................................................................. 99
Figura 13: Exemplo de dificuldade na questão 5 ...................................................... 99
Figura 14: Exemplo de dificuldade de adição .......................................................... 100
Figura 15: Exemplo de dificuldade de adição .......................................................... 101
Figura 16: Exemplo de dificuldade na subtração .................................................... 101
Figura 17: Exemplo de dificuldade na subtração .................................................... 102
Figura 18: Exemplo de dificuldade na multiplicação................................................ 102
Figura 19: Exemplo de dificuldade na divisão ......................................................... 103
Figura 20: Exemplo de dificuldade na divisão ......................................................... 103
Figura 21: Dificuldade na questão 7 de Interpretação Parcial ................................. 104
Figura 22: Dificuldade na questão 3 de Interpretação Parcial ................................. 105
Figura 23: Dificuldade na questão 2 de Interpretação Parcial ................................. 106
Figura 24: Dificuldade na questão 4 de Interpretação Parcial ................................. 107
Figura 25: Dificuldade na questão 6 de Interpretação Parcial ................................. 108
Figura 26: Dificuldade de operação, Questão 1, item “c” ........................................ 109
Figura 27: Dificuldade de operação, Questão 3 ...................................................... 110
Figura 28: Dificuldade de operação, Questão 7 ...................................................... 110
Figura 29: Dificuldade de operação, Questão 6 ...................................................... 111
Figura 30: Dificuldade Conceitual, questão 8 .......................................................... 112
Figura 31: Dificuldade Conceitual, questão 4 .......................................................... 112
Figura 32: Dificuldade conceitual, Questão 6 .......................................................... 113
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Países e Economias Participantes do PISA 2009 .................................... 18
Quadro 2: Resumo das Áreas de Conhecimento em Matemática Avaliadas no PISA 2009 ......................................................................................................... 21
Quadro 3: Níveis de Proficiência em Matemática ..................................................... 21
Quadro 4: Tipos e exemplos de problemas de reunir................................................ 80
Quadro 5: Tipos e exemplos de problemas de separar ............................................. 81
Quadro 6: Tipos e exemplos de problemas de Parte-todo ........................................ 81
Quadro 7: Tipos e exemplos de problemas de Comparação .................................... 82
Quadro 8: Tipos e exemplos de problemas de Grupos Iguais .................................. 85
Quadro 9: Tipos e exemplos de problemas de Comparação Multiplicativa ............... 86
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Relação percentual das dificuldades apresentadas .................................. 92
Gráfico 2: Quantidade de Acertos, Erros e Questões em Branco ........................... 114
Gráfico 3: Quantidade de Acertos, Erros e Em Branco ........................................... 115
Gráfico 4: Percentual de Acertos, Erros e Questões em Branco ............................ 116
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Quadro comparativo dos resultados do Brasil no PISA desde 2000 ......... 22
Tabela 2: Desempenho dos Países em Matemática no PISA 2003 e no PISA 2009 23
Tabela 3: Quadro relativo à Grupo X Categoria ........................................................ 89
Tabela 4: Quantidade de dificuldade de Interpretação Incorreta. .............................. 93
Tabela 5: Quantidade total de dificuldade de tabuada ............................................ 100
Tabela 6: Quantidade de dificuldade de Interpretação Parcial ................................ 104
Tabela 7: Quantidade de dificuldade de operação por questão .............................. 108
Tabela 8: Dificuldade de conceito ........................................................................... 111
SUMÁRIO
Considerações iniciais............................................................................................ 16
1 Dificuldades observadas no Ensino Aprendizagem de Matemática no Mundo
e no Brasil. ............................................................................................................... 17
1.1 O Programa Internacional de Avaliação de Estudantes e seus resultados ......... 17
1.2 Dificuldades relacionadas com a formação de professores de matemática ........ 24
1.2.1 A formação do conhecimento matemático do Futuro Professor ....................... 25
1.2.2 A formação pedagógica do Futuro Professor nas disciplinas matemáticas. ..... 28
1.2.3 A formação matemática do Futuro Professor nas disciplinas didático-
pedagógicas. ............................................................................................................. 30
1.3 Dificuldades Pedagógicas relacionadas ao ensino de matemática. .................... 31
1.3.1 O conceito pré-formado de que a “Matemática é difícil” ................................... 32
1.3.2 Falta de contextualização ................................................................................. 33
1.3.3 Metodologia tradicional com foco na tríade definição-exemplo-exercício......... 36
2 Reflexos das Dificuldades Pedagógicas no 6ª ano ........................................... 39
2.1 Conteúdos matemáticos que são recomendados no 6º ano ............................... 39
2.2 Organização dos conteúdos ................................................................................ 43
2.3 O aluno e o saber matemático ............................................................................ 44
2.4 As relações interpessoais em sala de aula ......................................................... 45
3 Em que consiste as Operações Básicas ............................................................ 49
3.1 Teorias da Aprendizagem ................................................................................... 49
3.1.1 Teoria Behaviorista........................................................................................... 50
3.1.2 Epistemologia Genética .................................................................................... 52
3.1.3 Teoria Sócio histórica ....................................................................................... 55
3.2 Algoritmos e Resolução de Problemas das Operações Básicas ......................... 59
3.2.1 Algoritmo .......................................................................................................... 59
3.2.2 Aplicações (Resolução de Problemas). ............................................................ 66
3.2.2.1 O que é um problema? .................................................................................. 68
3.2.2.2 Objetivo da Resolução de Problemas como metodologia de ensino ............. 70
3.2.2.3 Perspectivas da Resolução de Problemas .................................................... 72
3.2.2.3.1 Ensinar Sobre Resolução de Problemas .................................................... 73
3.2.2.3.2 Ensinar Para a Resolução de Problemas ................................................... 75
3.2.2.3.3 Ensinar Através da Resolução de Problemas ............................................ 76
3.3 Desenvolvendo significados para as operações ................................................. 79
3.3.1 Problemas Aditivos e Subtrativos ..................................................................... 80
3.3.2 Problemas de Reunir ........................................................................................ 80
3.3.3 Problemas de Separar ...................................................................................... 80
3.3.4 Problemas de Parte-todo .................................................................................. 81
3.3.5 Problemas de Comparação .............................................................................. 81
3.4 Problemas de Multiplicação e Divisão ................................................................. 83
3.4.1 Tipos de Estrutura para problemas multiplicativos ........................................... 84
3.4.2 Problemas de Grupos Iguais ............................................................................ 85
3.4.3 Problemas de Comparação Multiplicativa ........................................................ 86
4 Metodologia .......................................................................................................... 87
4.1 Descrição do Teste ............................................................................................. 89
5 Analise dos resultados ........................................................................................ 92
5.1 Analise dos erros e dificuldades .......................................................................... 92
5.1.1 Dificuldade de Interpretação Incorreta da situação problema .......................... 93
5.1.1.1 Comentário da Questão 1 ............................................................................. 94
5.1.1.2 Comentário da Questão 2 ............................................................................. 96
5.2.1.3 Comentário da Questão 9 ............................................................................. 96
5.2.1.4 Comentário da Questão 5 ............................................................................. 98
5.2.2 Erro de Tabuada ............................................................................................ 100
5.2.2.1 Erro de Adição ............................................................................................. 100
5.2.2.2 Erro de Subtração ....................................................................................... 101
5.2.2.3 Erro de Multiplicação ................................................................................... 102
5.2.2.4 Erro de Divisão ............................................................................................ 103
5.2.3 Erro de Interpretação Parcial .......................................................................... 103
5.2.3.1 Comentário sobre a questão 7 .................................................................... 104
5.2.3.2 Comentário sobre a questão 3 .................................................................... 105
5.2.3.3 Comentário sobre a questão 2 .................................................................... 106
5.2.3.4 Comentário sobre a questão 4 .................................................................... 107
5.2.3.5 Comentário sobre a questão 6 .................................................................... 107
5.2.4 Erro de Operação ........................................................................................... 108
5.2.4.1 Comentário sobre a questão 1, item “c” ...................................................... 109
5.2.4.2 Comentário sobre a questão 3 .................................................................... 109
5.2.4.3 Comentário sobre a questão 7 .................................................................... 110
5.2.4.4 Comentário sobre a questão 6 .................................................................... 111
5.2.5 Erro de Conceito ............................................................................................ 111
5.2.5.1 Comentário sobre a questão 8 .................................................................... 112
5.2.5.2 Comentário sobre a questão 4 .................................................................... 112
5.2.5.3 Comentário sobre a questão 10 .................................................................. 113
Considerações finais ............................................................................................ 114
Referencias ............................................................................................................ 117
Anexo ..................................................................................................................... 120
16
Considerações iniciais
O Capitulo 1 aborda sobre o Programa Internacional de Avaliação de
Estudantes (PISA) e seus resultados. As relacionadas com a formação de professores
de matemática com ênfase na formação do conhecimento matemático do futuro
professor, a formação pedagógica do futuro professor nas disciplinas matemáticas e
na formação matemática do futuro professor nas disciplinas didático-pedagógicas.
Mostro as dificuldades pedagógicas relacionadas ao ensino de matemática com
ênfase no conceito pré-formado de que a “matemática é difícil”, falta de
contextualização e metodologia tradicional com foco na tríade definição-exemplo-
exercício.
O capitulo 2 é sobre as perspectivas das dificuldades apresentadas pelos
estudantes do 6º ano do Ensino Fundamental e também traz as discussões sobre as
recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, o saber matemático do
estudante e as relações interpessoais em sala de aula entre o Professor e Alunos e
No capítulo 3 faço reflexões sobre o Behaviorismo, Epistemologia Genética
e a Teoria Sócio histórica. Mostro o que as pesquisas afirmam sobre os algoritmos e
sua evolução histórica. Também abordo a evolução das concepções sobre a
resolução de problemas como metodologia de ensino e os significados para as
operações básicas.
No capítulo 4 mostro a metodologia utilizada pra realizar este trabalho.
No capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos na pesquisa de
campo realizada.
17
1 Dificuldades observadas no Ensino Aprendizagem de Matemática
no Mundo e no Brasil.
1.1 O Programa Internacional de Avaliação de Estudantes e seus resultados
De acordo com BRASIL (2012) o PISA, sigla do Programme for
International Student Assessment, traduzido em português como Programa
Internacional de Avaliação de Estudantes, é um projeto internacional de avaliação
comparada desenvolvido e coordenado internacionalmente pela Organização para
Cooperação e Desenvolvimento Econômico (OCDE), havendo em cada país
participante uma coordenação nacional. No Brasil, o PISA é coordenado pelo Instituto
Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP). O Brasil
participa desde a primeira edição.
O PISA, conforme BRASIL (2012), tem como objetivo avaliar se os
estudantes aos 15 anos adquiriram conhecimentos e habilidades essenciais para uma
participação plena em sociedades modernas. Uma de suas principais características
é a produção de indicadores que contribuam para a discussão da qualidade da
educação ministrada nos países participantes, de modo a subsidiar políticas de
melhoria da educação básica.
Com a propósito de verificar o desenvolvimento do entendimento do
estudante nos domínios de Leitura, Matemática e Ciências, aplicados em situações
do contexto social, o programa faz uma relação entre o desempenho dos alunos e as
políticas públicas aplicadas nos recursos educacionais. Seu compromisso é o de
avaliar periodicamente, a cada três anos, os estudantes, sendo em cada período dada
ênfase a um dos domínios verificados, para que estes possam demonstrar através
dos resultados obtidos o quão estão aptos a enfrentar os desafios do mundo
contemporâneo.
O PISA tem em seus objetivos o intuito de avaliar conhecimentos e
habilidades que tem relação direta com o cotidiano, lançando novas ideias sobre
questões governamentais de interesse em comum entre os países participantes tendo
o resultado do processo de escolarização colocado em pratica na realidade social.
18
No Quadro 1: Países e Economias Participantes do PISA 2009, abaixo,
temos os países membros da OCDE e os Países e Economias Parceiras, no qual
participaram 65 países.
Quadro 1: Países e Economias Participantes do PISA 2009
Países da OCDE País e Economias parceiras
Alemanha Estônia México Albânia Dubai(EAU) Quirguistão
Austrália Finlândia Noruega Argentina China (Hong Kong)
Romênia
Áustria França Nova Zelândia
Azerbaijão Indonésia Rússia
Bélgica Grécia Polônia Brasil Jordânia Sérvia
Canadá Holanda Portugal Bulgária Letônia Tailândia
Chile Hungria Reino Unido
Catar Liechtenstein Trinidad e Tobago
Coreia Irlanda Rep. Tcheca
Cazaquistão
Lituânia Tunísia
Dinamarca Islândia Suécia China (Taiwan)
Macau Uruguai
Eslováquia Israel Suíça China (Xangai)
Macedônia
Eslovênia Itália Turquia Cingapura Montenegro
Espanha Japão Colômbia Panamá
Estados Unidos
Luxemburgo
Croácia Peru
Fonte: OCDE, 2010.
O modelo de avaliação do PISA implica em um método de ensino-
aprendizagem em constante transformação, os conhecimentos e habilidades
adquiridos, pelos estudantes, precisam estar caminhando paralelamente com um
mundo que sofre mutações a todo instante e o sistema educacional precisa
acompanhar tais mudanças em tempo real demonstrando capacidade para organizar
e administrar o modelo atual de ensino aprendizagem adquirido. Ao avaliar
conhecimentos e habilidades observa hábitos, motivações e preferencias, dos
estudantes, através de variados métodos desenvolvidos por meio de testes cognitivos
e questionários de natureza social e cultural em um determinado espaço demográfico.
19
Com isso busca avaliar diversos aspectos do conhecimento apreendido
pelo estudante abrangendo os principais tópicos das disciplinas escolares. Sua
intenção é medir as habilidades e competências1 com que o estudante aplica
efetivamente esses conhecimentos desenvolvidos nos três domínios verificados,
separadamente em Leitura, Matemática e Ciências. Essas habilidades são definidas
com o termo “letramento”2 onde o estudante letrado sob certo aspecto adquiriu uma
determinada estrutura de conhecimento que vai utilizar em um dado processo que
será aplicado dentro do seu contexto social.
BRASIL (2000) afirma que,
As áreas avaliadas são definidas nos seguintes termos: o conteúdo ou estrutura de conhecimento que os alunos precisam adquirir; os processos que devem ser utilizados e os contextos nos quais o conhecimento e as habilidades são aplicados. (p. 20)
Essa verificação avaliativa não tem por objetivo colocar os estudantes em
uma escala classificatória e sim qualificá-los em um nível de proficiência nos três
domínios verificados e, para isso, cada área avaliada segue uma hierarquia contínua,
ou seja, as habilidades e competências aferidas posicionam o estudante em uma
determinada escala avaliativa na qual as aptidões dos estudantes são avaliadas e
distribuídas sendo representadas pela pontuação alcançada, pelos mesmos, através
dos questionários, provas e testes.
Julga-se que a escola não tem competência para socializar todo o
conhecimento necessário ao estudante para viver no mundo contemporâneo e estar
apto para o futuro mercado de trabalho durante sua vida adulta. Porém, segundo o
PISA, a escola tem a capacidade de desenvolver no estudante habilidades
1 D acordo com Perrenoud (apud AMORIM e MOREIRA, 2008, p. 4), competência é a faculdade de mobilizar um conjunto de recursos cognitivos para solucionar uma série de situações que muitas vezes vão exigir um esforço que há alguns anos atrás não seria necessário, mas que na atualidade pode extrapolar as expectativas do professor. 2 Segundo a Professora Magda Becker Soares, da UFMG, em seu Letramento, um tema em três gêneros (Belo Horizonte, Editora Autêntica, 1998), o termo "letramento" surgiu pela primeira vez no Brasil em 1986 como uma forma de distinguir um fenômeno diferente da alfabetização. Já na década de 90, tornou-se comum usar "letramento" para indicar "O resultado da ação de ensinar e aprender as práticas sociais de leitura e escrita. O estado ou condição que adquire um grupo social ou um indivíduo como consequência de ter-se apropriado da escrita e de suas práticas sociais" (Magda B. Soares, ibidem). (INEP, 2008)
20
fundamentais que irá capacita-lo a ser independente a ponto de gerenciar seu próprio
aprendizado, não só durante o processo de vivencia escolar como também fora dele
em sua vida em sociedade, além de que, espera-se que os mesmo sejam capazes
não só de manter-se atualizados em relação ao conhecimento, mas que possam
também desenvolver o aprendizado de maneira coletiva e individual através de
métodos adaptados para sua realidade social a fim de superar os eventuais desafios
que possam surgir no decorrer de sua vida após saírem da escola. Para isso é
necessário que tenham construído suas próprias opiniões e aprendam a elaborar suas
próprias estratégias de aprendizagem. Esses são os quesitos buscados pelo
questionário do PISA que objetiva estimular o estudante a descrever sua maneira
individual de assimilar esses conhecimentos.
O PISA considera o letramento em Matemática como sendo a habilidade
do indivíduo de discernir e perceber as representações matemáticas no mundo,
interno e externo aos muros escolares, de elaborar juízos apoiados nos arcabouços
da matemática e ainda de abarca-la de modo a prover as exigências de sua vida atual
e futura como indivíduo atuante na sociedade, sendo um cidadão fomentador,
perspicaz e pensante.
Por um lado, na avaliação do letramento em matemática o estudante deve
ser capaz de utilizar todas, ou grande parte, das habilidades e competências dos
conhecimentos matemáticos em vários níveis abarcando desde os conceitos mais
simples e as operações básicas até a resolução de problemas e raciocínios complexos
como também nas descobertas matemáticas.
Por outro lado, exige que o estudante tenha múltiplos conhecimentos
matemáticos e saiba aplica-los a uma grande diversidade de situações cotidianas ou
não, sendo esses conhecimentos “extraídos de áreas como: estimativa, mudança e
crescimento, espaço e forma, raciocínio quantitativo, incerteza, dependências e
relações.” (BRASIL, 2008, p. 34). Mostrados no Quadro 2: Resumo das Áreas de
Conhecimento em Matemática Avaliadas no PISA 2009 abaixo.
21
Quadro 2: Resumo das Áreas de Conhecimento em Matemática Avaliadas no PISA 2009
Áreas de Conhecimento Matemática
Definição e Características distintas
A capacidade de um indivíduo de identificar e compreender o papel que a Matemática desempenha no mundo, para sustentar juízos fundamentados. O letramento matemático relaciona-se com o uso amplo e funcional da matemática; inclui a capacidade de reconhecer e formular problemas matemáticos em situações diversas.
Domínio de conhecimento
Conjunto de áreas e conceitos matemáticos:
Quantidade
Espaço e forma
Mudança e relações
• Probabilidade
Competências envolvidas
Processos que definem as competências necessárias na Matemática:
Reprodução
Conexões
Reflexão
Situação e Contexto
Área de aplicação da Matemática, com foco em seu uso em relação às configurações pessoais, sociais e globais, tais como:
Pessoal
Educacional e
Ocupacional
Público
Científico
Fonte: OCDE, 2010.
O PISA qualifica os estudantes em seis níveis de proficiência, descritos
abaixo, segundo o relatório do PISA 2006 (BRASIL, 2008).
Quadro 3: Níveis de Proficiência em Matemática (CONTINUA...)
Nível Limite Inferior
O que os estudantes em geral podem fazer em cada nível
6 669,3
No nível 6, os estudantes são capazes de conceituar, generalizar e utilizar informação baseadas em suas investigações e na modelagem de problemas complexos. Podem relacionar diferentes fontes de informação e representação e traduzi-las entre si de maneira flexível. São capazes de demonstrar pensamento e raciocínio matemático avançado. Além disso, podem aplicar essa compreensão e conhecimento juntamente com a destreza para as operações matemáticas formais e simbólicas para desenvolver novos enfoques e estratégias para enfrentar situações novas. Podem formular e comunicar com precisão suas ações e reflexões RESPECTO de descobertas, interpretações e argumentações e adequá-las a novas situações.
5 607,0
No nível 5, os estudantes podem desenvolver e trabalhar com modelos de situações complexas; identificar limites e especificar suposições. Podem selecionar, comparar e avaliar estratégias apropriadas de solução de problemas para abordar problemas complexos relacionados com esses modelos. Podem trabalhar de maneira estratégica ao utilizar amplamente capacidades de pensamento e raciocínio bem desenvolvidas; representações por associação;
22
caracterizações simbólicas e formais; e a compreensão dessas situações. Podem formular e comunicar suas interpretações e raciocínios.
4 544,7
No nível 4, os estudantes são capazes de trabalhar efetivamente com modelos explícitos para situações concretas complexas que podem implicar em limitações ou exigir a realização de suposições. Podem selecionar e integrar diferentes representações, incluindo símbolos ou associa-los diretamente a situações do mundo real. Podem usar habilidades bem desenvolvidas e raciocinar com certa compreensão nesses contextos. Podem construir e comunicar explicações e argumentos baseados em suas interpretações e ações.
3 482,4
No nível 3, os estudantes são capazes de efetuar procedimentos descritos claramente, incluindo aqueles que requerem decisões sequenciais. Podem selecionar e aplicar estratégias simples de solução de problemas. Os estudantes neste nível podem interpretar e utilizar representações baseadas em diferentes fontes de informações, assim como raciocinar diretamente a partir delas. Podem gerar comunicações breves reportando suas interpretações, resultados e raciocínios.
2 420,1
No nível 2, os estudantes podem interpretar e reconhecer situações em contextos que exigem apenas inferências direta. Podem extrair informações relevantes de uma única fonte e fazer uso de apenas um tipo de representação. Podem empregar algoritmos, fórmulas, convenções ou procedimentos básicos. São capazes de raciocinar diretamente e fazer interpretações literais dos resultados.
1 357,8
No nível 1, os estudantes são capazes apenas de responder perguntas que apresentam contextos familiares na qual toda a informação relevante está presente e as perguntas estão claramente definidas. São capazes de identificar informações e desenvolver procedimentos rotineiros conforme instruções diretas em situações explícitas. Podem realizar ações que sejam óbvias e segui-las imediatamente a partir de um estimulo dado
Fonte: INEP – Relatório PISA 2006
Através da Tabela 1: Quadro comparativo dos resultados do Brasil no PISA
desde 2000, abaixo, se constata que o Brasil evoluiu durante o período compreendido
entre 2000 e 2009 e com isso obteve um significativo crescimento. Porém ainda está
distante do nível proficiência ideal.
Tabela 1: Quadro comparativo dos resultados do Brasil no PISA desde 2000
Pisa 2000 Pisa 2003 Pisa 2006 Pisa 2009
Número de alunos participantes 4.893 4.452 9.295 20.127
Leitura 396 403 393 412
Matemática 334 356 370 386
Ciências 375 390 390 405 Fonte: http://portal.inep.gov.br/internacional-novo-pisa-resultados
23
Devido à metodologia aplicada no PISA o resultado obtido em matemática
só passa a ser equiparável caso seja comparado com o resultado obtido em 2003,
pois nesse ano a ênfase avaliativa do PISA recaiu sobre o domínio de matemática e
com isso temos dados mais precisos sobre esse domínio.
Observando a Tabela 2: Desempenho dos Países em Matemática no PISA
2003 e no PISA 2009 percebe-se que o Brasil apresenta resultados semelhantes aos
dos países latino-americanos, Peru, Argentina, Colômbia e México, entretanto se
compararmos o desempenho brasileiro com a dos países com alto desempenho,
como por exemplo, Coreia e Finlândia, observamos que ainda precisamos melhorar
muito, apesar de se notar uma diferença positiva de 30 pontos.
Tabela 2: Desempenho dos Países em Matemática no PISA 2003 e no PISA 2009
Países 2003 2009 Diferença
COREIA 542 546 4
FINLÂNDIA 544 541 -3
ESTADOS UNIDOS 483 487 4
PORTUGAL 466 487 21
ESPANHA 485 483 -2
CHILE --- 421 ---
URUGUAI 422 427 5
MÉXICO 385 419 34
COLÔMBIA --- 381 ---
BRASIL 356 386 30
ARGENTINA --- 388 ---
PANAMÁ --- 360 ---
PERU --- 365 ---
Fonte: OCDE, Inep, 2010
Comparando Quadro 3: Níveis de Proficiência em Matemática em conjunto
com a Tabela 2: Desempenho dos Países em Matemática no PISA 2003 e no PISA
2009 verificamos que o Brasil saiu do nível “Abaixo do Nível 1” (356 pontos) para o
“Nível 1” (386 pontos), ou seja, nossos estudantes tem as habilidades e competências
para somente responder questões dadas em um ambiente que já foi trabalhado em
sala de aula e que as informações pertinentes estão presentes de maneira explicita e
as perguntas são feitas de forma direta no texto do problema proposto. Eles estão
aptos a discernir informações simples e desenvolver algoritmos simples e diretos em
24
conformidade com instruções diretas em problemas explícitos. Eles ainda são
capazes de realizar ações que pode ser captadas intuitivamente.
Vale ressaltar também que mesmo os países com alto desempenho, como
é o caso de Finlândia e Coreia, que obtiveram 541 e 546 pontos, respectivamente, no
PISA 2009, encontram-se escalonados nos níveis 3 e 4, sendo o nível 6 o nível
máximo a todos os participantes do PISA, e o nível 5 que ainda não foi alcançado, em
média, pelos países avaliados pela OCDE, podemos afirmar que em sua maiorias
esses estudantes não são capazes de
desenvolver e trabalhar com modelos de situações complexas; identificar limites e especificar suposições. Podem selecionar, comparar e avaliar estratégias apropriadas de solução de problemas para abordar problemas complexos relacionados com esses modelos. Podem trabalhar de maneira estratégica ao utilizar amplamente capacidades de pensamento e raciocínio bem desenvolvidas; representações por associação; caracterizações simbólicas e formais; e a compreensão dessas situações. Podem formular e comunicar suas interpretações e raciocínios. (BRASIL, 2008, p. 40)
Podemos concluir, a partir da análise dos relatórios oficiais apresentados
fornecidos pela OCDE, no qual é feita a análise do nível de proficiência dos estudantes
ao redor do mundo e dos brasileiros, em particular, que o ensino de matemática
apresenta grandes desafios a serem superados para que nossos estudantes possam
ser considerados aptos a participar da vida em sociedade de forma crítica e autônoma.
E ainda os resultados dos países participantes demonstram que há uma longa
caminhada para se chegar ao ideal esperado.
1.2 Dificuldades relacionadas com a formação de professores de matemática
As dificuldades identificadas são as mais complexas possíveis, porem para
dar início à discussão foi necessário demonstrar as bases que precisam ser
remodeladas assim tornando-se possível problematizar o ensino da disciplina de
matemática no que tange a formação docente do futuro professor de matemática. É
preciso analisar os aspectos do discente da graduação em sala de aula e o
conhecimento escolar que o mesmo carrega consigo antes de adentrar na graduação
de licenciatura em matemática. Uma vez que um dos objetivos na educação é
trabalhar o conhecimento em parceira com a vida cotidiana.
25
Dentro dessas considerações se espera que o futuro professor seja um
pesquisador que dotado das devidas habilidades seja capaz de desenvolver, dentre
as metodologias que conhece, o caminho mais pertinente para o desenvolvimento dos
conteúdos em sala de aula. Tal objetivo poderá ser alcançado com o desenvolvimento
deste professor em formação, atuando no objetivo de identificar o problema no ensino
aprendizagem para em seguida desenvolver o método mais adequado àquela
realidade escolar.
Para o aluno superar sua dificuldade na disciplina de matemática se fazem
necessários docentes devidamente preparados para modificar ou transformar seus
métodos empregados, sendo possível assim elevar o nível de aprendizagem do aluno.
Pressupomos um professor autônomo que detêm um determinado conhecimento que
o possibilita fazer as alterações metodológicas que julgar necessárias para um maior
aproveitamento de todas as ferramentas de ensino aprendizagem, assim como,
também consiga fazer a relação dos conceitos matemáticos inseridos no cotidiano dos
estudantes.
Com relação à Formação de Professores existem muitos pesquisadores
que estudam esse assunto, porem neste trabalho será centralizado em três aspectos:
A formação do conhecimento matemático do Futuro Professor, A formação
pedagógica do Futuro Professor nas disciplinas matemáticas e A formação
matemática do Futuro Professor nas disciplinas didático-pedagógicas.
1.2.1 A formação do conhecimento matemático do Futuro Professor
O futuro professor em sua formação inicial tem acesso ao conhecimento,
conceitos e metodologias que estão prontas para seres colocadas em pratica, porem
o PISA deixou claro que esses processos precisam ser revisados. Portanto, esses
conhecimentos desenvolvidos dentro da academia se mostram insuficientes para que
se tenha um ensino-aprendizagem eficiente. Sobre o conhecimento matemático do
docente FIORENTINI (2005) assegura que,
26
pode ser focalizado a partir de três diferentes perspectivas: da prática científica ou acadêmica; da prática escolar; e das práticas cotidianas não-formais. Todas essas perspectivas interessam à formação do professor, pois a matemática escolar se constitui com feição própria mediante um processo de interlocução com a matemática científica e com a matemática produzida/mobilizada nas diferentes práticas cotidianas. (p. 108)
Os cursos de Licenciatura em Matemática devem fornecer, aos futuros
professores destes, situações propicias, no desenvolvimento dos conteúdos
matemáticos, para que os mesmos possam ser imersos em um ambiente rico de
situações de aprendizagem que sejam facilitadoras de experiências prosperas e
relevantes que futuramente possam ser aplicadas com seus alunos em sala de aula.
É evidente que em seu cerne a matemática possui situações problemas
que podem ser utilizados para edificar seus conceitos, definições e teoremas, etc.,
porem nesse sentido a matemática não seria vista como um costume cotidiano, e sim
como uma ciência, teórica, fechada e consolidada. Olhando-a sob outra perspectiva
ela emerge como uma construção relacionada a situações-problemas do cotidiano,
assim como, também em outros campos científicos, como por exemplo, a física,
química, biologia, etc. Assim “o fazer” matemática estaria diretamente relacionado
com as “descobertas” das relações surgidas da vivencia diária dos estudantes.
FIORENTINI (2005) afirma que,
O professor precisa conhecer o processo de como se deu historicamente a produção e a negociação de significados em Matemática, bem como isso também acontece, guardadas as devidas proporções, em sala de aula. Além disso, precisa conhecer e avaliar potencialidades educativas do saber matemático; isso o ajudará a problematizá-lo e mobilizá-lo da forma que seja mais adequada, tendo em vista a realidade escolar onde atua e os objetivos pedagógicos relativos à formação dos estudantes tanto no que respeita ao desenvolvimento intelectual e à possibilidade compreender e atuar melhor no mundo. (p. 109-110)
Durante a formação acadêmica, dos futuros professores, são trabalhadas
as disciplinas de cunho científico matemático, conteúdos a se ensinar e necessários
à ampliação do conhecimento matemático do professor, e também disciplinas de
conhecimentos pedagógicos: concepções, leis, teorias e as aplicações pratica, como
se ensinar determinados conteúdos, assim essas disciplinas são inter-relacionadas
somente no ambiente da graduação e de forma teórica. Esses conhecimentos teóricos
profissional são desenvolvidos em um ambiente único, normalmente a própria sala de
27
aula da graduação e destoam da sua aplicação na pratica. Tais ambientes simulados
divergem da realidade escolar e das características comumente encontradas nessa
realidade ou ambiente. De acordo com FIORENTINI (2005) que assegura,
ser professor de Matemática não basta ter um domínio conceitual e procedimental da Matemática produzida historicamente. Sobretudo, necessita conhecer seus fundamentos epistemológicos, sua evolução histórica, a relação da Matemática com a realidade, seus usos sociais e as diferentes linguagens com as quais se pode representar ou expressar um conceito matemático. (p. 110)
As pesquisas apontam que aos futuros professores deve ser proporcionado
um ambiente em que os mesmos desenvolvam um aprendizado em matemática que
seja capaz de habilitar e desenvolver competências que percorram esses
conhecimentos em uma perspectiva que possa ser aplica em sala de aula com seus
alunos. Conforme PAVANELLO ( apud CABRAL 2010):
A formação inicial deve proporcionar ao futuro professor as condições necessárias para que aprenda Matemática numa dimensão que o possibilite proporcionar, posteriormente, aos seus alunos, experiências enriquecedoras e significativas com essa disciplina. Evidentemente que isso só será possível se a perspectiva da formação inicial assumir uma educação para pensamento e não para a mera reprodução de informações. (p. 58)
Contudo afirmamos que a formação inicial também deve favorecer o estudo
da matemática formal, não apenas dando ênfase as regras, conceito e algoritmos, ou
seja, uma abordagem mais rigorosa da matemática e sim beneficiar uma abordagem
mais significativa e compreensiva, na perspectiva de orientar o futuro professor a
compreender os diversos aspectos da matemática, como um campo científico
aplicado. FIORENTINI (2005) comenta sobre o domínio compreensivo da matemática,
afirmando que,
é fundamental para que o professor tenha autonomia intelectual para produzir o seu próprio currículo, constituindo-se efetivamente como mediador entre o conhecimento historicamente produzido e aquele – o escolar reelaborado e relevante socioculturalmente – a ser apropriado e construído interativamente pelos alunos em sala de aula. (p. 110)
Nesse domínio compreensivo da matemática inserem-se também os
conhecimentos das variadas formas de concebê-la tanto na matemática cientifica
28
quanto na desenvolvida no ambiente escolar. Essa concepção mais cientifica da
matemática tem consequências pedagógicas na pratica escolar, pois dificulta o
desenvolvimento da autonomia do pensamento do estudante, pois essa concepção
enfatiza o conhecimento pronto e acabado distante dos objetivos idealizados pelos
Parâmetros Curriculares Nacionais e o PISA, ou seja, a educação para a vida.
1.2.2 A formação pedagógica do Futuro Professor nas disciplinas matemáticas.
Vale ressaltar que enquanto discente, o futuro professor, além do
conhecimento matemático que vai adquirindo ao longo do curso de licenciatura, o
mesmo também sofre influência considerável em relação ao professor formador, que
de certo modo é um modelo que serve de base a esse jovem professor em formação.
FIORENTINI (2005) reafirma essa ideia, pois, “O futuro professor não aprende dele
apenas uma Matemática, internaliza também um modo de concebê-la e de tratá-la e
avaliar sua aprendizagem”.
Com isso percebemos que durante as aulas especificas de conteúdos
matemáticos esses futuros professores além de aprender a forma mais rigorosa da
matemática, também “aprendem” a como conceber a sua atuação durante as futuras
aulas dessa disciplina.
As disciplinas especificamente matemáticas têm grande influência em
como o futuro professor irá ministrar suas aulas em detrimento das disciplinas
pedagógicas. Pois elas reforçam “como” ministrar aulas de matemática, de maneira
inconsciente, enquanto as disciplinas didático-pedagógicas ensinam apenas modelos
teóricos, treinados apenas em sala de aula, na academia, que mostram como ensinar
determinados conteúdos, perdendo assim a aplicabilidade pratica que nesse caso
reforçaria a teoria pedagógica. FIORENTINI (2005) explica que,
Uma das razões disso é o fato de as disciplinas didático-pedagógicas, muitas vezes, serem fortemente prescritivas – dizendo como o professor deve ensinar, de acordo com um modelo ideal de ensino - ou limitarem-se a promover críticas de práticas vigentes sem que os futuros professores tenham oportunidade de experienciá-las e problematizá-las em contextos de prática. Assim, na hora de iniciar a docência na escola, tendem a mobilizar aqueles modos de ensinar e aprender Matemática que foi internalizado durante a formação escolar ou acadêmica do futuro professor. (p. 111)
29
Isto se deve ao fato de todo futuro professor passar, no mínimo, 12 anos
no ensino fundamental e médio, em média, e mais 4 anos no ensino superior, ou seja,
durante 16 anos de sua formação como estudantes o mesmo fica exposto a uma
metodologia de ensino-aprendizagem e com isso acaba incorporando
inconscientemente e que futuramente será utilizado como metodologia de ensino,
conforme afirma TARDIF (apud FIORENTINI, 2005).
Esse costume pedagógico, ao qual o futuro professor é submetido,
influencia-o de forma inconsciente, pois os mesmo acabam sendo expostos a uma
forma de ensinar e aprender durante um longo período de tempo e isso faz com que
os futuros professores obtenham crenças e certezas sobre como se deve dar aula.
Segundo FIORENTINI (2005, p. 111), “esse saber da tradição escolar, herdado da
experiência escolar anterior, é muito forte e persiste através do tempo e a formação
universitária não tem conseguido transformá-lo e nem abalá-lo”.
O professor das disciplinas de matemática, durante a graduação, deve
estar consciente dessa sua influência que é exercida sobre os futuros professores e
com isso deverá ser capaz de efetivar outros métodos de ensino-aprendizagem
nessas disciplinas, favorecendo assim uma aprendizagem mais rica e significativa. As
pesquisas sugerem que essas ideias matemáticas quando compreendidas pelo futuro
professor sofrem uma ressignificação e os mesmos acabam incorporando e
transferindo aos seus alunos. SZTAJN (apud CABRAL, 2010) afirma que,
(...) inicialmente, o professor deve compreender a disciplina que irá ensinar. Mais, ainda, deve compreendê-la de diversos modos, a partir de diferentes perspectivas, estabelecendo relações entre vários tópicos e entre sua disciplina e as demais. O professor, entretanto, deve ser capaz de transformar esse seu conhecimento em algo pedagogicamente útil e adaptável aos diversos níveis de habilidade, conhecimento e formação dos seus alunos. (p. 69)
Essa forma de vivenciar o ensino-aprendizagem de matemática transforma
a visão do estudante da graduação e faz com que o mesmo se aproprie de uma
matemática mais compreensiva e ainda o auxilia a absorver uma forma didático-
pedagógica diferenciada, que terá influência em como ele ministrara suas aulas.
30
1.2.3 A formação matemática do Futuro Professor nas disciplinas didático-
pedagógicas.
As disciplinas pedagógicas têm como principal objetivo o estudo das
práticas de ensino-aprendizagem dos conteúdos, especialmente sobre os processos
de ensinar e aprender matemática nos mais variados âmbitos do cotidiano escolar,
isso colabora com a formação didática pedagógica do futuro professor. Essas
disciplinas podem auxiliar o enriquecimento dos significados sociais dos entes
matemáticos e também contribuir para a mudança da maneira a qual os estudantes
concebem a matemática. Pois de acordo com FIORENTINI (2005, p. 112) “o saber
matemático passa a ser visto como um saber sociocultural que é produzido nas
relações e práticas sociais, e pode expressar-se de múltiplas formas, sendo uma delas
a forma acadêmica formal”.
É possível que essas disciplinas pedagógicas sejam capazes de contribuir
para a ressignificação dos conceitos e procedimentos matemáticos que os estudantes
aprenderam durante o período de sua formação escolar, no qual foi aplicada a
metodologia tradicional de ensino. Essa ressignificação é fortalecida quando se utiliza
metodologias de ensino-aprendizagem capaz de fazer com que o futuro docente
consiga aprender a ter múltiplos olhares sobre os objetos matemáticos estudados, e
que futuramente serão ensinados no seu trabalho como professor, partindo de
situações problemas, onde os conceitos e procedimentos são redescobertos através
dessa metodologia, ou seja, o futuro docente romperá com aquela matemática formal,
cheio de procedimentos, regras e teoremas, a qual foi submetido ao longo da
formação escolar. FIORENTINI (2005) assegura que,
É a apropriação dessa dimensão relacional do saber matemático que pode tornar o futuro professor um profissional bem sucedido ou competente nos diversos contextos escolares, e falo especialmente naqueles relativos às escolas públicas de periferia. Realidade para a qual não há uma receita de como formar o professor. Nestes casos, para cada contexto de prática, o professor é desafiado a construir uma metodologia de ensino que melhor se adapte àquele contexto. Isso exige que a Licenciatura forme o professor com autonomia e competência para produzir e mobilizar saberes matemáticos adequados e possíveis a estes contextos. Isso exige a formação de um profissional reflexivo e pesquisador de sua própria prática. (p. 113)
31
Portanto o curso de graduação tem necessidade de ser concebido como
um ponto de partida para o futuro professor, uma vez que o mesmo inicia o processo
de investigação de sua própria pratica pedagógica. Nos conteúdos de matemática,
terá oportunidade de diligenciar sua própria autonomia profissional como também sua
evolução enquanto profissional da educação no decorrer de sua carreira. FIORENTINI
(2005) resume essa ideia, pois,
(...) a problemática aqui abordada aponta para a necessidade do formador de professores de Matemática constituir-se um profissional com características de formador-pesquisador que assume a docência como função principal de seu trabalho na universidade e busque desenvolver pesquisas que dêem o suporte necessário para a realização e desenvolvimento dessa função. (p. 114)
Portanto é necessário que o futuro professor adquira um conhecimento
capaz de abranger as suas atitudes enquanto profissional. Ele não deve conhecer
apenas os conteúdos trabalhados em sala de aula, pois os mesmo podem se mostrar
insuficientes. Por isso o professor deve aprender o máximo possível e ter um
conhecimento bastante amplo, pois assim ele vai ser capaz de dar mais sentido e
amplitude ao que ensina.
1.3 Dificuldades Pedagógicas relacionadas ao ensino de matemática.
Diversos pesquisadores desenvolvem estudos buscando compreender
mais profundamente as nuances relacionadas ao ensino aprendizagem de
matemática. Esses autores apontam possíveis caminhos para superar essas
dificuldades apresentadas, conforme mostrarei mais adiante.
Portanto tópico irei discutir sobre as dificuldades pedagógicas relacionadas
ao ensino aprendizagem de matemática: O conceito pré-formado de que a
“Matemática é difícil”, Falta de contextualização, Metodologia tradicional com foco na
tríade definição-exemplo-exercício.
1.3.1 O conceito pré-formado de que a “Matemática é difícil”
O estudo da disciplina de matemática provoca diversos sentimentos
desagradáveis nos alunos, adiciona-se a isso a dificuldade de compreender a sua
32
linguagem, puramente simbólica e que não faz sentindo algum aos estudantes. O fato
destes não conseguirem alcançar o entendimento dos conteúdos gera um sentimento
de aversão, desprezo e até mesmo ódio pela matemática. A partir disso cresce a ideia
de que a mesma é difícil, complicada, inacessível, inalcançável, etc.
Pois de acordo com SILVEIRA (apud SILVA, 2005),
(...) existe um sentido pré-constituído evidenciado na fala dos alunos de que a matemática é difícil. A autora realizou um levantamento junto a professores de Matemática, no qual verificou que para estes essa disciplina precisa tornar-se fácil, o que pressupõe que ela seja difícil. Estes identificam na voz do aluno que ela é considerada chata e misteriosa, que assusta e causa pavor, e por consequência, o aluno sente medo da sua dificuldade e vergonha por não aprendê-la. (p. 3)
No ambiente escolar apresentam-se discursos de professores que alegam
que “a matemática precisa torna-se fácil” inferindo-se que ela é de difícil compreensão.
Podemos captar nas vozes dos alunos que é uma disciplina chata, sem importância,
sem sentido, etc. Como consequência se tem dificuldades em chamar a atenção do
estudante para a importância da matemática não só no contexto da vida escolar como
também na vida social. E, com efeito, o estudante não aprende o mínimo necessário
para continuar seus estudos de maneira satisfatória assim sendo o educando tem
receio, medo e vergonha em mostrar que não consegue aprende-la de maneira
simples. SILVEIRA (apud SILVA, 2005) revela que,
a insatisfação dos alunos é expressa por “Matemática é chata”, que é uma derivação de “não gosto de matemática”, como efeito de sentido do pré-construído “matemática é difícil”. “Matemática é difícil”, no sentido de que é “complicado”, foi reconhecido não apenas pelos alunos, como também no contexto histórico da disciplina, bem como, identificado nas atitudes de profissionais de educação que “Para despertar o prazer de aprender Matemática” propõem “a Matemática des-com-pli-ca-da”. (p. 4)
Em consequência dessa diversidade de sentimentos desagradáveis que a
disciplina de matemática desperta nesses estudantes, ela é caracterizada como algo
incompreensível, distante da realidade cotidiana e que só pessoas inteligentes são
capazes de aprendê-la, isto constrói impressões e concepções que influenciarão o
estudante no decorrer de seus estudos. Se o ensino aprendizagem desta disciplina se
desse de forma a priorizar sua relação com o cotidiano do aluno seria provável que
estes demonstrassem mais interesse pela disciplina e assim deixando de teme-la, pois
33
o estudo teria mais significado com sua realidade e eles conseguiriam estabelecer
conexões entre o que é ensinado na escola e seu dia-a-dia.
1.3.2 Falta de contextualização
No mundo atual é comum nos depararmos com situações-problemas no
qual existe uma variedade de opções para a sua resolução e que demanda
conhecimentos matemáticos, dentre outros. É necessário que o estudante consiga
reconhecer as informações contidas na situação-problema e os conceitos
matemáticos inseridos nela, pois os mesmos serão necessários a fim de que seja
possível encontrar uma solução plausível dentro do ambiente no qual o problema está
inserido e ainda assim está solução não deverá ser fechada, única e definida.
Segundo BRASIL (2001)
No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. (p.19)
O termo “contextualizar” sempre foi amplamente discutido nos cursos de
formação de professores de matemática, porém muitos admitem que não conseguem
adequar os conteúdos matemáticos com o cotidiano dos estudantes. De fato muitos
confundem o significado desse termo, pois não se trata simplesmente de adaptar os
conteúdos matemáticos ao cotidiano dos alunos e sim fazer com que os conceitos
tenham significado prático dentro da realidade a qual ele está imerso assim como das
outras ciências. De acordo com SILVA (2005)
A Matemática dissociada da realidade é uma ciência isolada, sem sentido. Dessa forma ela carece de estímulos para o seu aprendizado. Uma das grandes preocupações de todo professor de Matemática deve ser com relação à escolha dos conteúdos a serem ministrados, proporcionando uma prioridade para o seu aluno dentro do vasto currículo de Matemática, e como torná-los significativos. Uma alternativa que tem se mostrado bastante interessante e que tem despertado a curiosidade do aluno é a da contextualização, onde os conteúdos da Matemática aparecem vinculados a outras áreas de conhecimento e a situações do cotidiano dos alunos. (p.8)
Com a devida compreensão do significado de contextualizar, impossibilita-
se querer relacionar todos os conteúdos de matemática com o cotidiano do aluno, pois
34
na maioria das vezes em que se busca essa relação, alguns conteúdos são
priorizados e outros não explorados. Percebe-se não ser possível contextualizar todos
os conteúdos, entretanto o professor deve saber discernir em quais casos isto seria
possível adequando assim sua metodologia de ensino. Cabe ao docente orientar o
estudante para que tenha um melhor entendimento dos conceitos matemáticos,
instigando-o a buscar variadas soluções para as situações-problemas que serão
propostas. Sendo primordial que o professor trabalhe a matemática relacionada com
a vivência diária do aluno e não apenas centrada dentro dos muros da escola e sala
de aula. Pois segundo BRASIL (2001)
(...) um conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações diferentes daquelas que serviram para lhe dar origem. [...] espera-se que o conhecimento aprendido não fique indissoluvelmente vinculado a um contexto concreto e único, mas possa ser generalizado, transferido a outros contextos. (p.39)
A simbologia, algoritmos e técnicas da matemática também deverão ser
agraciados, pois são necessários ao desenvolvimento dos cálculos, porém não deverá
ser o foco principal do ensino desta disciplina. Com o desenvolvimento tecnológico,
em especifico do computador pessoal e calculadora, que possibilitam explorar com
mais profundidade os conceitos matemáticos agregados ao cotidiano em detrimento
aos procedimentos matemáticos mais mecânicos. SILVA (2005), comenta que,
A contextualização é necessária uma vez que o aluno possa ser motivado por outros elementos tais como: meio de comunicação, a cultura, problemas sociais e econômicos, dentre outros; e ainda, tudo misturado, muitas vezes. Para cumprir adequadamente sua função, o docente deveria saber como esses aspectos refletem no estudante. A defasagem entre o que o docente tem para transmitir e o que o estudante espera receber gera um desinteresse que interfere no aprendizado. (p. 8 )
Entretanto vemos que os professores sentem dificuldade em contextualizar
os conteúdos matemáticos, colocando-se um obstáculo entre o planejamento de aula
e os procedimentos de ensino e aprendizagem. É essencial que o professor
reconheça todas às nuances da matemática, características, aplicações e métodos,
pois assim conseguirá fazer uma adaptação melhor no conteúdo ministrado durante
as aulas à realidade do aluno, valorizando assim seu conhecimento informal.
35
Pois segundo D’AMBRÓSIO (apud SALVAN, 2004),
A preocupação maior no ensino da Matemática está em levar ao conhecimento do aluno uma série de algoritmos, fórmulas e símbolos, sem que fique explícito para que servem, onde serão usados e como serão usados. Não há, pois uma preocupação maior de integrar os conteúdos matemáticos com outras áreas do conhecimento. (p. 18)
Constatamos que há vários problemas a se enfrentar, pois percebemos
uma grande desmotivação por parte dos estudantes e professores, sendo assim o
ensino de matemática se torna mais adequado quando é centrado na realidade
humana, de forma contextualizada ao ambiente em que vivemos em detrimento
daquela matemática “robotizada”, cheia de procedimentos repetitivos e mecânicos, a
qual os estudantes estão acostumados a ver em sala de aula. Contudo é necessário
que os objetivos e métodos, assim como também os conteúdos, sejam repensados.
A aprendizagem só é possível se os procedimentos lógicos e a linguagem matemática
estiverem inseridos em situações culturais que façam sentido ao educando.
SALLES (apud LIMA, 2006) discorre sobre isso,
Sinto que a escola atravessa uma crise e que tem pela frente um grande desafio. Um desafio que consiste em realizar um trabalho relevante à formação do homem nos novos tempos. No que diz respeito ao ensino da Matemática, conteúdos deveriam estar mais próximos ao cotidiano dos alunos. Assim como a Matemática surgiu das necessidades humanas, hoje temos como desafio fazer com que esses conteúdos sejam significativos para os alunos (p. 29)
Ficou claro que o problema consiste na dificuldade dos professores em
ensinar matemática, de forma contextualizada, no ambiente sócio cultural do aluno,
assim como, também demonstra-se a dificuldade do estudante em assimilar e
compreender não só dessa ciência mas também o seu sentido em sua vida enquanto
ser existente.
1.3.3 Metodologia tradicional com foco na tríade definição-exemplo-exercício.
A metodologia tradicional de ensino está dividida, basicamente, em três
etapas, sendo Definição do objeto matemático, Exemplos envolvendo esses objetos
36
e Exercícios referentes ao conteúdo que foi mostrado anteriormente. A primeira etapa
é a definição na qual é dada através de aulas expositiva, onde o professor apresenta
as definições, teoremas, proposições e fórmulas, eventualmente deduzidas e faz uma
ligação direta com os conteúdos estudados pelos alunos. Finalizando a exposição das
definições segue-se aos exemplos, onde o aluno vê a “aplicação” do objeto
matemático e visualiza como este objeto será utilizado para resolver as questões que
serão propostas. Na etapa de aplicação o estudante irá utilizar toda a teoria mostrada
anteriormente, resolvendo questões diretas e fechadas, na qual serão aplicados
procedimentos rotineiros e mecânicos sem nenhuma conexão com realidade do
estudante. CARVALHO (apud SILVA, 2006) comenta,
a adoção dessa metodologia não tem apresentado bons resultados. Isso se deve ao fato de o material teórico ser memorizado pelos alunos, por meio de exercícios repetitivos, ser apresentado como simples lista de fatos e fórmulas. Além disso, as aplicações, em grande maioria, não são relacionadas à realidade dos alunos. (p. 6 )
No ensino tradicional de matemática percebe-se uma ideia predominante
em que se valoriza mais os cálculos e procedimentos rotineiros. É evidente que os
cálculos são intrínsecos a esta ciência, porém não podemos reduzi-la somente a isso,
pois o mais importante são seus raciocínios e a capacidade desenvolvida no que tange
a resolução de problemas. Uma vez que hoje possuímos computadores pessoais que
realizam bilhões de cálculos por segundo. O mais importante nos cálculos é saber
onde usa-los adequadamente e interpretar corretamente seus resultados.
A ênfase excessiva no cálculo, como se não existisse mais nada além disto,
dificulta que os estudantes adquiram outras capacidades. Apesar dessa ênfase no
cálculo, percebemos que ainda assim os estudantes demonstram incapacidade em
resolvê-los. Uma possível saída para esse problema seria deslocar a atenção que o
cálculo detém para um método matemático mais significativo associado ao dia-a-dia.
Essa dificuldade está no fato da matemática ser uma ciência em que há muita
abstração isso faz com que ela acabe se distanciando da realidade, tanto para o
professor como para os estudantes.
Hoje contamos com vários materiais a disposição de alunos e professores
como livros paradidáticos, revistas especializadas e a própria internet, que trazem
37
muitos artigos e reportagens sobre os grandes desafios da matemática. Com esses
recursos podemos fazer com que o estudante adquira uma compreensão mais
envolvente sobre a ciência matemática, fugindo, assim, da metodologia tradicional
aplicada em sala de aula.
No decorrer da história da humanidade a matemática acumulou diversos
conhecimentos, com uma metodologia muito rígida e abstrata. O estudante concebe
esses conhecimentos como pronto e acabado, pois veem isso nos livros didáticos,
apostilas e outros materiais disponibilizados durante as aulas. Mediante isso o
professor deve afastar-se, na medida do possível, desse modelo puramente
expositivo, em que o estudante fica com o papel de simples expectador passivo,
reproduzindo a fala do professor. O educador deve conduzir suas aulas utilizando uma
metodologia expositiva dialogada, na qual o estudante deverá assumir um papel mais
ativo, assim, ele será estimulado a indagar, pensar, criticar, raciocinar, etc. levando o
estudante à redescoberta da matemática num âmbito mais interessante e instigante.
A mediação do professor é de extrema importância, pois assim estará fomentando
uma aprendizagem mais significativa e menos mecânica, com isso despertando assim
o interesse dos estudantes.
Lima (2006) discorre que,
Os argumentos a favor de mudanças têm sido fervorosos, por conta dos que acreditam nela. Esses argumentos apontam os constantes fracassos do ensino tradicional, apresentados nos testes nacionais; consideram as mudanças sociais e a presente realidade dos alunos, que exigem uma nova escola e uma relação diferente entre professores e alunos. Tais argumentos destacam, também, defeitos no ensino tradicional, principalmente a prioridade numa Matemática abstrata, formal, mecanizada, expositiva, descontextualizada e apontam, ainda, para virtudes no novo ensino, que seria mais dinâmico, concretizável, participativo e socialmente significativo. Apontam que a Matemática tradicional seria uma Matemática pronta, enquanto o novo ensino teria um caráter de descoberta e construção. Ao contrário o ensino tradicional, mantém seu discurso pobre e sem muitos argumentos. “Matemática é difícil mesmo, o programa é extenso, não dá tempo de ficar inventando coisas para fazer, foi sempre assim”. (p.38)
Os Parâmetros Curriculares Nacionais, as propostas programáticas, os
novos livros didáticos, livros paradidáticos, os planejamentos e discursões entre
professores e educadores em geral no mostram que mudanças estão chegando,
embora sejam lentas. A escola precisa mudar sua dinâmica e ter suas relações
38
internas readaptadas às novas demandas da sociedade e dos estudantes, uma vez
que a conduta atual não satisfaz a educação da atualidade.
39
2 Reflexos das Dificuldades Pedagógicas no 6ª ano
A disciplina de matemática sempre se encontrou entre as mais
problemáticas, com relação ao ensino e aprendizagem, percebe-se essa dificuldade
no decorrer da vida escolar, assim como, também, após ela. Esses problemas de
ensino e aprendizagem vão aumentando conforme os estudantes vão avançando as
series. Um ponto de grandes mudanças na vida escolar, do estudante, é a transição
do 5º para o 6º ano, pois o estudante passa a ter um professor distinto para cada
disciplina, o que antes era apenas um que lecionava todas as disciplinas.
Devido ao fato dos conteúdos de matemática serem estudados do mais
simples ao mais complexo os estudantes sentem uma diferença nessa nova etapa
escolar, pois os mesmos não tem uma boa formação básica. O aprendizado de forma
efetiva desses conteúdos poderá facilitar o desenvolvimento desses estudantes. Com
isso afirma-se que a transição do 5º para o 6º ano é muito importante. Devido às
alterações ocorridas durante essa transição, os estudantes apresentam uma série de
dificuldades no decorrer de sua vida estudantil, durante o 6º ano.
Compreende-se que todos são capazes de aprender, entretanto cada
indivíduo apresenta sua própria forma de compreender e interagir com o
conhecimento. No que tange o ensino e aprendizagem de matemática cada estudante
tem sua “velocidade” de aprendizado, concerne ao professor elaborar um estratégia
metodológica capaz de abranger todas as formas de aprendizado de seus alunos.
2.1 Conteúdos matemáticos que são recomendados no 6º ano
Um obstáculo pertinente que se apresenta na seleção dos conteúdos do 6º
ano do Ensino fundamental é o de identificar, dentre o extenso domínio dos conteúdos
matemáticos quais tem relação e são relevantes ao aprendizado do estudante. Esses
conteúdos devem ser capazes de prover o desenvolvimento intelectual do estudante,
pois segundo BRASIL (1998) esses conhecimentos devem contribuir para,
40
a construção e coordenação do pensamento lógico-matemático, para o desenvolvimento da criatividade, da intuição, da capacidade de análise e de crítica, que constituem esquemas lógicos de referência para interpretar fatos e fenômenos. Embora nestes Parâmetros a Lógica não se constitua como um assunto a ser tratado explicitamente, alguns de seus princípios podem e devem ser integrados aos conteúdos, desde os ciclos iniciais, uma vez que ela é inerente à Matemática. (p. 49)
Neste cenário da estruturação do conhecimento matemático é onde se
oportuniza a abrangência dos conceitos e processos do pensamento logico
matemático o que também provoca o aprimoramento da eficiência de criar
argumentos, conjecturar e fazer generalizações e ainda criar aptidão de esclarecer
seus procedimentos através de uma demonstração mais formal. Sobre a seleção dos
conteúdos BRASIL (1998) recomendam que,
A seleção dos conteúdos a serem trabalhados pode se dar numa perspectiva mais ampla, ao procurar identificá-los como formas e saberes culturais cuja assimilação é essencial para que produza novos conhecimentos. Dessa forma, pode-se considerar que os conteúdos envolvem explicações, formas de raciocínio, linguagens, valores, sentimentos, interesses e condutas. Assim, nesses parâmetros os conteúdos estão dimensionados não só em conceitos, mas também em procedimentos e atitudes. Conceitos permitem interpretar fatos e dados e são generalizações úteis que permitem organizar a realidade, interpretá-la e predizê-la. Sua aprendizagem desenvolve-se de forma gradual e em diferentes níveis e supõe o estabelecimento de relações com conceitos anteriores. (p. 49)
Os conteúdos de matemática são divididos em 4 blocos, Números e
Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas e Tratamento de Informações.
Segundo BRASIL (1998) os conhecimentos sobre os Números são
desenvolvidos,
Ao longo do ensino fundamental o conhecimento sobre os números é construído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem como instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também como objeto de estudo em si mesmos, considerando-se, nesta dimensão, suas propriedades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram constituídos. (p.50)
E sobre as Operações BRASIL (1998) afirmam que,
41
Com relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo do cálculo, contemplando diferentes tipos, exato e aproximado, mental e escrito. Com relação às operações, o trabalho a ser realizado se concentrará na compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e no estudo do cálculo, contemplando diferentes tipos, exato e aproximado, mental e escrito. (p.50)
Neste período de estudo o estudante compreenderá que existe uma
diversidade de números, como por exemplo, números naturais, inteiros, negativos,
racionais e irracionais, e também os mais variados significados, conforme ele se
defronte com os mais variados tipos de situações problemas.
No que diz respeito às Operações o ensino e aprendizagem convergirá no
entendimento dos diversos significados de cada uma delas, nas suas relações e no
aprendizado dos algoritmos, no qual contemplará variados tipos: exato e aproximação,
mental e escrito. Através da análise de diversas situações problemas, o estudante
distinguirá as diferentes aplicabilidades da aritmética e da álgebra e desenvolverá
situações problemas através de equações e inequações.
Sobre o segundo bloco conteúdos, Espaço e Forma, BRASIL (1998) afirma
que,
Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. O estudo da Geometria é um campo fértil para trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os alunos costumam se interessar naturalmente. O trabalho com noções geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades etc. O trabalho com espaço e forma pressupõe que o professor de Matemática explore situações em que sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e compasso, como visualização e aplicação de propriedades das figuras, além da construção de outras relações. Este bloco de conteúdos contempla não apenas o estudo das formas, mas também as noções relativas a posição, localização de figuras e deslocamentos no plano e sistemas de coordenadas. (p.51)
No estudo de Espaço e Forma é de extrema importância que se utilize
situações do cotidiano que tenham como foco de exploração as obras de arte,
pinturas, desenhos, esculturas, artesanato dentre as mais diversas formas de
materialização das formas geométricas presentes no dia-a-dia, pois assim será
42
possível consolidar as ligações entre a matemática e as outras áreas do
conhecimento.
Com relação ao terceiro bloco de conteúdos, Grandezas e Medidas,
BRASIL (1998) afirma que,
Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social devido a seu caráter prático e utilitário, e pela possibilidade de variadas conexões com outras áreas do conhecimento. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. As atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos ao espaço e às formas. São contextos muito ricos para o trabalho com os significados dos números e das operações, da idéia de proporcionalidade e um campo fértil para uma abordagem histórica. (p. 51-52)
Nele são desenvolvidos conteúdos que abrangem as variadas grandezas,
tais como: comprimento, massa, tempo, capacidade, temperatura etc, abrangendo
também suas relações, como por exemplo, velocidade, energia elétrica, densidade
demográfica dentre outras.
O quarto bloco de conteúdos, Tratamento de Informação, decorre de uma
busca da sociedade em aprimorar as tomadas de decisões, apoiadas na matemática.
Devido a isso esse bloco ganha destaque e BRASIL (1998) recomenda o seguinte,
Integrarão este bloco estudos relativos a noções de Estatística e de probabilidade, além dos problemas de contagem que envolvem o princípio multiplicativo. Evidentemente, o que se pretende não é o desenvolvimento de um trabalho baseado na definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Com relação à Estatística, a finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e representações que aparecem freqüentemente em seu dia-a-dia. Além disso, calcular algumas medidas estatísticas como média, mediana e moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados estatísticos. Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis). (p.52)
43
O estudo do Tratamento de Informações tem como finalidade fazer com
que o estudante seja capaz de analisar e julgar diferentes situações problemas e
tomar decisões.
2.2 Organização dos conteúdos
Visto que os conteúdos já foram escolhidos, o professor deve separa-los
em níveis de proficiência, no qual o estudante deve aprender. E que serão estudados
no decorrer do ano letivo. Segundo BRASIL (1998) esses conteúdos pressupõem que
alguns pontos sejam analisados.
a variedade de conexões que podem ser estabelecidas entre os diferentes blocos, ou seja, ao planejar suas atividades, o professor procurará articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando a possibilitar a compreensão mais ampla que o aluno possa atingir a respeito dos princípios e métodos básicos do corpo de conhecimentos matemáticos (proporcionalidade, equivalência, indução, dedução etc.); além disso, buscará estabelecer ligações entre a Matemática, as situações cotidianas dos alunos e as outras áreas do conhecimento;
as possibilidades de seqüenciar os conteúdos são múltiplas e decorrem mais das conexões que se estabelecem e dos conhecimentos já construídos pelos alunos do que da idéia de pré-requisito ou de uma sucessão de tópicos estabelecida a priori. Embora existam conhecimentos que precedam outros, a hierarquização entre eles não é tão rígida como tradicionalmente é apresentada;
os conteúdos organizados em função de uma conexão não precisam ser esgotados necessariamente de uma única vez, embora deva-se chegar a algum nível de sistematização para que possam ser aplicados em novas situações. Alguns desses conteúdos serão aprofundados, posteriormente em outras conexões, ampliando dessa forma a compreensão dos conceitos e procedimentos envolvidos;
os níveis de aprofundamento dos conteúdos em função das possibilidades de compreensão dos alunos, isto é, levando em conta que um mesmo tema será explorado em diferentes momentos da aprendizagem e que sua consolidação se dará pelo número cada vez maior de relações estabelecidas;
a ênfase maior ou menor que deve ser dada a cada item, ou seja, que pontos merecem mais atenção e que pontos não são tão essenciais; assim, por exemplo, o estudo da representação decimal dos números racionais é fundamental devido à disseminação das calculadoras e de outros instrumentos que a utilizam. (p. 53)
É de grande importância destacar que esses conteúdos devem ser
reinterpretados de acordo com o ambiente ao qual o estudante está inserido, pois os
mesmo devem agregar os elementos específicos de cada ambiente social. E devem
ser dispostos de forma encadeada e adaptada ao projeto pedagógico de cada escola.
44
Esse trabalho tem ênfase exclusiva nas quatro operações básicas, portanto será
analisado somente nesse aspecto.
2.3 O aluno e o saber matemático
Na vivencia diária, os estudantes se deparam com situações nas quais eles
precisam desenvolver de forma empírica suas capacidades matemáticas, pois os
mesmos têm necessidades no qual precisam explorar problemas cotidianos e, por
consequência buscar e selecionar dados para decidir o que fazer, mediante o
problema que se apresenta, ou seja, eles lidam com matemática diariamente. Nos
casos em que essas capacidades são exploradas durante as aulas o estudante
apresenta uma compreensão melhor dos entes matemáticos. Devido a isso é de
extrema importância explorar, o máximo possível, essa potencialidade matemática
que os estudantes trazem do seu dia-a-dia. Segundo CARRAHER (apud LIMA. 2006)
A aprendizagem da matemática na sala de aula é um momento de interação entre a matemática organizada pela comunidade científica, ou seja, a matemática formal, e a matemática como atividade humana. A sala de aula é um momento em que o aluno aprimorará o seu conhecimento informal. (p.16)
Entretanto o ensino de matemática, no modelo tradicional de ensino, não
leva em consideração o conhecimento que ele traz consigo de casa, ainda que seja
reconhecido que os estudantes aprendem matemática mesmo fora do ambiente
escolar, não levamos em consideração o conhecimento que os mesmo têm sobre os
tópicos ainda não ensinados na escola.
Um problema recorrente nas escolas é que os professores adotam uma
atitude no ensino de matemática na qual se resume a simples transmissão dos
conteúdos que estão presente no livro didático, sem fazer qualquer tipo de correlação
com o cotidiano dos estudantes. Portanto, dessa maneira, o ensino de matemática faz
com que os estudantes não a percebam como parte de sua realidade e assim não
atribuem valor e esses conhecimentos. Mediante as dificuldades apresentadas é
necessário desenvolver novos métodos que abarquem a maior quantidade de
estudantes e que estimule a curiosidade e o sentimento agradável que os mesmo têm
em aprender coisas novas e como consequência o desenvolvimento do raciocínio
logico matemático. Segundo BRASIL (1998, p 37) “O significado da atividade
45
matemática para o aluno também resulta das conexões que ele estabelece entre os
diferentes temas matemáticos e também entre estes e as demais áreas do
conhecimento e as situações do cotidiano”. Segundo MACHADO (apud SALVAN,
2004) diversos autores afirmam que,
Os alunos se dispersam quando o ensino da Matemática se faz rotineiro, ocultando consciente e inconscientemente sua verdadeira força e beleza, complicando-a inutilmente com fórmulas que não sabem de onde vem. O ensino tem que alcançar uma investigação em que o aluno sinta a sensação de estar fazendo algo com isso, em que se sinta mais confiante colocando em prática o seu trabalho efetivo e com isso, faça-o perceber o seu próprio rendimento. (p.17)
O desenvolvimento de significados é importante uma vez que o estudante
necessita compreender de maneira eficaz os conteúdos matemáticos, no entanto, se
desenvolvidos de maneira isolada acabam não sendo uma ferramenta eficiente para
se utilizar na resolução de seus problemas cotidianos e escolares, como também para
o aprendizado e/ou construção de novos conceitos matemáticos.
2.4 As relações interpessoais em sala de aula
A prática de ensino que é frequentemente utilizada em sala de aula é o
chamado Ensino Tradicional. Essa prática é aquela que se dá por meio de aula
expositiva e que o professor parte das definições do objeto matemático, seguido de
demonstrações, caso aja necessidade, em seguida exemplifica-se esse objeto e
finaliza com exercícios de fixação, aplicações e imagina-se que o estudante aprenderá
se conseguir reproduzir o conhecimento estudado. E será avaliado através de
problemas modelo, caso o estudante reproduza corretamente considerará que o
mesmo aprendeu, caso contrário não. De acordo com BRASIL (1998)
Essa prática de ensino tem se mostrado ineficaz, pois a reprodução correta pode ser apenas uma simples indicação de que o aluno aprendeu a reproduzir alguns procedimentos mecânicos, mas não apreendeu o conteúdo e não sabe utilizá-lo em outros contextos. (p. 37)
Esse processo de transmissão e recepção do conhecimento matemático,
desenvolvido através da mera repetição mecanizada dos procedimentos algorítmicos
e exercícios desconsidera o estudante como um agente construtor do próprio
46
conhecimento. Nessa perspectiva, na qual o estudante constrói seu próprio
conhecimento, pode-se estabelecer interligações com conhecimento que o estudante
traz consigo pra sala de aula e a resolução de problemas. Conforme o papel dele é
redefinido diante do próprio aprendizado, é necessário, também, redefinir o papel do
professor de matemática em sala de aula. BRASIL (1998) afirma que,
Numa perspectiva de trabalho em que se considere o aluno como protagonista da construção de sua aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimensões. Uma faceta desse papel é a de organizador da aprendizagem; para desempenhá-la, além de conhecer as condições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos alunos, precisará escolher os problemas que possibilitam a construção de conceitos e procedimentos e alimentar os processos de resolução que surgirem, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir. (p. 38)
Entendemos que o professor assume uma importância essencial, pois o
mesmo é responsável por organizar os conteúdos, assim como, um facilitador do
processo de ensino aprendizagem. Deixando de lado seu antigo papel de simples
expositor de conteúdos, que ministrava os objetos matemáticos necessários, uma vez
que o estudante não era capaz de aprender por conta própria. Para GOLDBERG
(apud CHAGAS, 2004),
Educar é transformar; é despertar aptidões e orientá-las para o melhor uso dentro da sociedade em que vive o educando;” é desenvolver estruturas cognitivas que permitam ao indivíduo não somente ler e compreender o mundo em que vive, mas atuar e, se possível, gerar progresso na sociedade como um todo. (p. 242)
O professor pode, também, assumir a postura de um mediador, uma vez
que o mesmo pode diligenciar as respostas dos estudantes e promover uma
discussão em sala de aula, tendo o cuidado de gerenciar o modo como cada estudante
poderá expor sua resolução, fazer questionamentos e discutir a resolução de outros
colegas. Sobre essa postura BRASIL (1998) afirma que,
O professor é responsável por arrolar os procedimentos empregados e as diferenças encontradas, promover o debate sobre resultados e métodos, orientar as reformulações e valorizar as soluções mais adequadas. Ele também decide se é necessário prosseguir o trabalho de pesquisa de um dado tema ou se é o momento de elaborar uma síntese, em função das expectativas de aprendizagem previamente estabelecidas em seu planejamento. (p. 38)
47
Cabe ao professor incentivar o diálogo entre os estudantes, além da própria
interação deles consigo, pois ao se deparar com as ideias dos colegas de classe e do
seu professor, eles vivem uma nova perspectiva sobre o ensino aprendizagem à qual
estão sendo submetidos, uma vez que se admite a necessidade de confrontar suas
soluções com a dos colegas e criar argumentos e/ou demonstrações que possam
convencê-los e ainda validar sua resolução satisfazendo a resposta à situação
problema proposta. BRASIL (1998) reforçam essa ideia, pois,
Além da interação entre professor-aluno, a interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Em geral, explora-se mais o aspecto afetivo dessas interações e menos sua potencialidade em termos de construção de conhecimento. Ao tentar compreender outras formas de resolver uma situação, o aluno poderá ampliar o grau de compreensão das noções matemáticas nela envolvidas. (p. 38-39) [...] Assim, trabalhar coletivamente, por sua vez, favorece o desenvolvimento de capacidades como:
. perceber que além de buscar a solução para uma situação proposta devem cooperar para resolvê-la e chegar a um consenso;
. saber explicitar o próprio pensamento e procurar compreender o pensamento do outro;
. discutir as dúvidas, supor que as soluções dos outros podem fazer sentido e persistir na tentativa de construir suas próprias idéias;
. incorporar soluções alternativas, reestruturar e ampliar a compreensão acerca dos conceitos envolvidos nas situações e, desse modo, aprender. (p. 39)
Essa interação interpessoal em sala de aula se tornará possível caso o
professor proporcione um ambiente de estudo no qual o estudante seja incentivado a
buscar soluções, discutir seu pensamento, comparar resultados, analisar sua
resolução, fazer questionamentos e amplificar suas ideias. Segundo BRASIL (1998)
É importante atentar para o fato de que a explicitação clara de papéis e de responsabilidades é fundamental para nortear as interações que ocorrem na sala de aula. entre professor e aluno ou entre alunos. Também é necessário avaliar em conjunto essas relações em função dos papéis e responsabilidades definidas para redirecionar os rumos do processo de ensino e aprendizagem. (p. 39)
Um ponto importante é o professor desenvolver um método avaliativo que
contemple todo o processo educativo em sala de aula. Ele deve buscar reconhecer e
analisar como os estudantes estão desenvolvendo suas atividades, identificando se
eles estão desenvolvendo as competências e habilidades planejadas. Cabe ao
48
professor determinar se o planejamento de ensino está tendo o resultado esperado,
caso encontre algum indicio de o objetivo não estar sendo alcançado, ou ainda, esteja
sendo parcialmente satisfeito, deverá reorganizar suas estratégias pedagógicas, a fim
de adaptar-se ao modo de aprender dos estudantes.
Ao desenvolver esse ambiente de diálogo com os estudantes, o professor
necessita considerar que eles agem em grupos e não somente de modo individual,
por isso ao se estabelecer esse diálogo o professor precisa ter o respeito dos
estudantes. Portanto o ensino de matemática deve se apoiar no desenvolvimento de
experiências agradáveis, nas quais o estudante possa desenvolver uma conduta
positiva, que como consequência levarão a uma melhor aprendizagem.
49
3 Em que consiste as Operações Básicas
Ao pensarmos no ensino e aprendizagem das operações básicas emerge
a pergunta: Quando podemos afirmar que ocorreu aprendizagem do conteúdo
abordado?
De acordo com Ferreira (apud BESSA, 2008, p. 10), “a aprendizagem é
definida como: Aprendizado; ato ou efeito de aprender; tomar conhecimento de; reter
na memória mediante o estudo, a observação ou a experiência; tornar-se apto ou
capaz de alguma coisa em consequência de estudo [...]”.
BESSA (2008) acrescenta quatro elementos no processo de
aprendizagem. A Memória que é tratada como a capacidade de armazenamento de
informações ou dados. A Atenção que é considerada como um processo de
concentração, que pode ser através de estímulos internos, como vontade de conhecer
algo, e externos como a necessidade de aprender algo que nos desperta algum
interesse. O Interesse pode ser definido como uma relação entre o sujeito e o objeto,
na qual o primeiro sente-se atraído pelo segundo por meio de algum estímulo
produzido pelo segundo em relação ao primeiro. E a Inteligência que consiste na
capacidade de uma pessoa compreender facilmente as informações que lhe são
transmitidas.
Mediante a exposição acima podemos compreender que o ato de
aprendizagem é um processo complexo, pois envolve diversos fatores. Devido a esse
fato foram desenvolvidas teorias para tentar explicar como se desenvolve a
aprendizagem em criança, jovens e adultos.
3.1 Teorias da Aprendizagem
As teorias da aprendizagem se dividem em quatro concepções sobre o
desenvolvimento humano. São elas as Teorias Inatistas, Ambientalistas,
Interacionistas e Sócio interacionistas.
Conforme BESSA (2008,) As teorias inatistas são aquelas que acreditam
em ideias ou princípios, independentes da experiência, ou seja, a aprendizagem
50
independe da vivencia do sujeito, independe das experiências cotidianas, estando o
aprendizado relacionado com a capacidade congênita do indivíduo desempenhar
tarefas que lhe são atribuídas. As teorias ambientalistas em que o ambiente é
responsável pelo que a indivíduo aprende segundo para essa teoria a criança é uma
tabua rasa, tal qual a filosofia de John Locke. Onde o aprendizado acontece de
ambiente externo ao ambiente interno, ou seja de fora para dentro. As teorias
interacionistas compreendem a aprendizagem como um processo de inter-relação
entre o sujeito e o objeto, segundo essa teoria é a inter-relação entre sujeito e objeto
que causa a aprendizagem. E as teorias sociointeracionista que explicam que a
aprendizagem ocorre a partir das interações sociais realizadas pelo sujeito que
aprende, ou seja, leva em consideração também as relações estabelecidas pelo
sujeito durante o seu processo de aprendizagem. Podemos destacar três dentre essas
teorias da aprendizagem, são elas a Teoria Behaviorista, a Teoria Construtivista de
Jean Piaget e a Teoria Sócio-histórico-cultural de Lev Vygotsky.
3.1.1 Teoria Behaviorista
A teoria behaviorista tem como principais teóricos de John Watson, Ivan
Pavlov e Burrhus Frederic Skinner. Conforme BESSA (2008,) o fisiologista Ivan Pavlov
desenvolveu as bases do compormentalismo de Watson e Skinner. Através de
pesquisas e estudos sobre o condicionamento em cães, mostrou mediante
experimentos científicos, que poderia evidenciar princípios da aprendizagem das
espécies, as quais também poderiam ser aplicadas ao homem, e também como esta
poderia ser estudada em termos objetivos. Através desses fundamentos de Pavlov,
Watson acrescenta a ideia de que a Psicologia Cientifica não deve se esforçar para
compreender o ser humano por intermédio da introspecção e nem dar conceitos ao
que foge da compreensão. A ciência tem que ter como objetivo o estudo do que pode
ser observado e descrito em termos elementares, deixando de lado a subjetividade.
Podemos inferir dessa teoria que o homem só pode ser estudado através
da observação e descrição rigorosa da manifestação do seu comportamento, através
de experimentos científicos. Levando em consideração os Estímulos (E) dados e
observar e descrever a Resposta (R) indicada pelo indivíduo.
51
Skinner sustenta que o processo de ensino aprendizagem é uma
associação entre Estímulos e Respostas acrescentando que essa organização não é
constante. Nesse âmbito as associações E-R e R-E, constatou-se que o
condicionamento acontece no momento em que a resposta é imediata após um
estimulo reforçador. Portanto o comportamento está associado ao meio no qual o
indivíduo está imerso e as mudanças no comportamento são causadas por ele.
Conforme o behaviorismo o processo de aprendizagem se desenvolve
progressivamente em função da pratica (repetição), sendo assim que se formam as
relações entre determinadas situações e suas respostas, assim as situações que não
nos fornecem respostas satisfatórias serão esquecidas ou “apagadas” da memória e
não são mais consultadas na ocorrência de situação iguais. A aprendizagem, segundo
GOLÇALVES (2007).
tinham a característica de se referirem a tarefas de resolução de problemas. O mecanismo de condicionamento instrumental indica, então, que as respostas dadas pelo organismo são condições necessárias, e por isso instrumentais (daí a designação de condicionamento instrumental), para atingir o objectivo (resolver o problema). No fim, este processo traduz-se num equilíbrio interno e na satisfação do organismo. Depois, outras situações mais complexas colocam novos problemas e originam novas aprendizagens, em função da repetição de acções, dos efeitos obtidos e da maturidade do organismo para estabelecer as necessárias conexões. (p. 40)
Essa proposta de aprendizagem se baseava em três leis, conforme expõe
GOLÇALVES (2007),
A lei do Efeito, esta lei afirma que as conexões entre uma situação e uma resposta são fortalecidas quando acompanhadas ou seguidas de satisfação e são enfraquecidas quando são acompanhadas ou seguidas de insatisfação; A lei do exercício ou da frequência – segundo esta lei a prática ou repetição fortalece as conexões enquanto a falta de prática ou repetição as enfraquece; A lei da disposição ou da maturidade específica – esta lei refere-se à existência de capacidades do organismo e de condições necessárias para que determinadas conexões possam ser estabelecidas. De acordo com a lei da maturidade específica a aprendizagem só pode ocorrer desde que se verifiquem determinadas disposições (grau de desenvolvimento, capacidade de atenção, motivação) que indiquem que o organismo está preparado para estabelecer uma dada conexão situação-resposta. Neste caso, a conexão pode estabelecer-se e o resultado será agradável; caso contrário, a conexão não se verifica e o resultado será desagradável ou insatisfatório. (p. 40)
Diante desta concepção de ensino aprendizagem a Escola deve valorizar
a formação de hábitos adequando, cabendo ao professor desenvolver esses hábitos
52
nos estudantes, ensinando-os como se deve empregar o conhecimento e as
habilidades que vão adquirindo em conjunto com os conteúdos abordados no currículo
escolar. O currículo escolar deve ser organizado de maneira sequencial e propostas
aos estudantes assim que possam ser estudados, ou seja, os estudantes possuem
capacidade de aprendê-los, ou ainda, quando o nível de dificuldade dos conteúdos for
compatível com o nível de habilidades dos estudantes. Os conteúdos propostos
devem ser articulados.
Essa teoria se mostrou ineficiente e não foi capaz de elucidar todos os
problemas referentes a aprendizagem, dentre vários estudos surge a teoria da
epistemologia genética, proposta por Jean Piaget.
3.1.2 Epistemologia Genética
Jean Piaget chama esta teoria de Epistemologia Genética ou teoria
psicogenética, porem ela é mais conhecida como Construtivismo, Segundo BESSA
(2008) o termo que dá nome a essa teoria tem como significado o Estudo da origem
do conhecimento, portanto fica fácil entender o motivo pelo qual Piaget foi estudar o
desenvolvimento do conhecimento nas crianças. Desse modo Piaget procura explicar
como o indivíduo edifica seus conhecimentos desde seu nascimento até a fase adulta.
Tentando entender como ocorre à aprendizagem, Piaget estudou as
relações interativas entre sujeito e objetos. Sendo o sujeito aquele que busca apender
e o objeto é aquilo que se deseja conhecer e as relações interativas é a ação do sujeito
sobre o objeto.
A Equilibrarão Majorante, conforme BESSA (2008, p. 45) explica, são as
etapas que integram o ato de aprender: desequilíbrio, assimilação, acomodação e
equilíbrio. Portanto, podemos compreender a equilibrarão majorante como sendo o
processo pelo qual o sujeito passa de um grau de menor conhecimento para outro de
maior conhecimento. Percorrendo do desequilíbrio ao equilíbrio, mediante
assimilações e acomodações continuas.
De acordo com BESSA (2008) Piaget propôs quatro estágios de
desenvolvimento:
53
Estagio sensório-motor (0 – 2 anos), nesse estágio o bebe interage
com o mundo de modo involuntário, isto é, a partir de reflexos neurológicos básicos
que ele começa a desenvolver os esquemas para assimilar o meio.
Estagio pré-operatório (2 – 7 anos), esse estágio é caracterizado pelos
esquemas de ação desenvolvidos no estágio anterior. Esses esquemas são seguidos
por meio das sequencias de assimilações e acomodações realizadas pela criança
durante suas diversas interações com o meio.
Durante esses dois estágio de desenvolvimento é onde se formam as
estruturas que são as bases fundamentais do pensamento logico e conceitual.
Estagio operatório-concreto (7 – 12 anos), nesse estágio a criança
desenvolve as noções de tempo, espaço, velocidade, ordem e casualidade. Ela já é
capaz de associar diferentes características e abstrair dados da realidade, apesar de
ainda depender do modo concreto para chegar à abstração. Desenvolve a habilidade
de operar uma ação em seu caminho de ida e que marca a passagem do estágio pré-
operatório para o estágio operatório-concreto.
Estagio operatório-formal ou lógico-formal (a partir de 12 anos),
nesse estágio a criança já é capaz de abstração total, não se limitando mais a
representação imediata e nem as relações previamente existentes, agora é apto a
pensar em todas as relações possíveis logicamente, investigando desde a hipótese e
não apenas observando a realidade.
Nesses dois estágios de desenvolvimento a criança/adolescente já possui
competência para realizar pensamentos e reflexões de ordem hipotético dedutivas.
Conforme COLLARES (apud RIZZON 2009),
Piaget define que há critérios para a construção dos estágios, ou seja, uma série de características mínimas, assim como a existência de fatores que influenciam no desenvolvimento mental. Quanto aos critérios de construção dos estágios, esses são em número de cinco e são assim definidos e explicitados: (1) a ordem de sucessão, que é constante e inalterada, mas que pode ocorrer variação na idade cronológica de ingresso a cada período, devido a características do indivíduo e do meio social; (2) as estruturas de conjunto, que se caracterizam pelas principais reações que ocorrem em cada estágio; (3) o caráter integrativo dessas estruturas, em que as estruturas não se substituem, mas são integrativas, isto é, uma estrutura de nível superior integra um de nível inferior; (4) os níveis de constituição das estruturas, nível de preparação e acabamento de cada estágio; (5) os processos de formação e as formas de equilíbrio finais dos estágios que, segundo Piaget39, se constituem pela “diferenciação das estruturas anteriores e preparação da seguinte”. (43 - 44) (grifo nosso)
54
Conforme BESSA (2008) existem quatro fatores básicos na mudança de
um estágio de desenvolvimento mental para o próximo: a maturidade e o sistema
nervoso, responsáveis pelo amadurecimento das estruturas biológicas
imprescindíveis para que ocorra a aprendizagem; a interação social, responsável pela
diluição do egocentrismo e perceber o outro nas nossas relações e também para
assimilação das regras sociais; a experiência física com o objeto, responsável pela
aprendizagem, mediante as interações entre sujeito e objeto; e a equilibração, que
regula o processo de aprendizagem. Dentre esses quatro fatores, Piaget não atribuía
grande importância as interações sociais.
Para Piaget Desenvolvimento Cognitivo e Aprendizagem possuem
conceitos distintos, sendo o primeiro um processo natural, que tem suporte da
maturação biológica e o segundo é um processo mais especifico, que mantem uma
subordinação entre os processos de equilibração e maturação.
Ao desenvolver a Epistemologia genética Piaget buscava compreender a
funcionamento da aprendizagem humana, apesar dessa teoria não ter como foco a
educação, suas ideias tiveram profunda influência e ressonância na área educacional.
O construtivismo piagetiano não elucida questões sobre o que e como
ensinar, porem permite entender de que maneira a criança aprende. Essa teoria
fornece um conjunto de elementos que formam um sistema de referência que nos
permitem apontar as possibilidades e limitação das crianças.
Nessa perspectiva, a apreensão do conhecimento é desenvolvida mediante
a interação entre o sujeito e o objeto, portanto o estudante deixa o papel de agente
passivo e passa a ser agente ativo na construção do seu próprio conhecimento. É
nesse contexto que o papel do professor se torna importante, pois o mesmo tem que
gerir e promover as situações de aprendizagem.
A Epistemologia Genética de Piaget centraliza o estudo do
desenvolvimento da aprendizagem humana sobre o desenvolvimento biológico e
atribui pouco valor as interações sociais. Vygotsky, por outro lado, afirma que esse
desenvolvimento se constrói a partir das relações sociais as quais o indivíduo esta
submerso.
55
3.1.3 Teoria Sócio histórica
A teoria sócio histórica ou sociointeracionista, desenvolvida por Vygotsky,
“tem como objetivo central caracterizar os aspectos tipicamente humanos do
comportamento e elaborar hipóteses de como essas características se formam ao
longo da história humana e de como se desenvolvem durante a vida do indivíduo”
(Vygotsky apud REGO, 2011. p. 38).
Segundo REGO (2011) este projeto busca responder três questões
fundamentais: Entender a relação entre os seres humanos e o seu ambiente físico
cultural; Identificar as formas novas de atividade que fizeram com que o trabalho fosse
o meio de relacionamento do homem com a natureza; Analisar a natureza das
relações do uso de instrumentos e o desenvolvimento da linguagem.
As funções psicológicas superiores, segundo REGO (2011) foi o foco de
estudo de Vygotsky, pois elas são constituintes do modo de funcionamento do
psicológico tipicamente humano. Esses processos mentais são sofisticados e
“superiores”, pois se referem aos mecanismos intencionais, ação consciente
controlada, processos voluntários que concedem ao ser a possibilidade de
independência no que diz respeito às características do momento e espaço presente.
Esses processos não são inatos e se distinguem dos processos psicológicos
elementares.
Com o propósito de investigar as origens das características psicológicas
tipicamente humanas Vygotsky se envolveu no estudo do comportamento e
psiquismos dos animais. Ele tinha o intento de identificar as principais diferenças e
presumíveis semelhanças com o ser humano. Essa comparação entre os processos
mentais entre humano e animais é frequente ao longo de seus estudos.
De acordo com REGO (2011) Vygotsky e seus seguidores apontaram três
traços característicos do comportamento animal que o diferenciam do psiquismo
humano, são eles: o primeiro é o comportamento animal que preserva suas ligações
com os motivos biológicos, ao contrário do humano, pois a atividade animal é instintiva
e circunscrita pelas necessidades biológicas; o segundo, o comportamento humano
não é impreterivelmente determinado por estímulos imediatamente perceptíveis ou
56
pela experiência passada, pois ao contrário do animal, o ser humano não se orienta
pela impressão imediata e pela experiência anterior, uma vez que é capaz de abstrair,
fazer relações, reconhecer as causa, fazer previsões, sobre acontecimentos, e depois
refletir e interpretar e ainda tomar decisões. O terceiro traço assinalado é as diferentes
fontes de comportamento humano e animal, as fontes do comportamento animal são
limitadas, sendo uma a experiência da espécie que é hereditário e outra é a
experiência imediata e individual. A principal característica que diferencia o homem
do animal é que o homem possui uma terceira fonte que é a assimilação de toda a
experiência da humanidade, responsável pela grande maioria dos conhecimentos,
habilidades e procedimentos comportamentais.
Vygotsky, segundo REGO (2011) procurou examinar a gênese do
psiquismo humano nas condições sociais da vida historicamente formada, estando
ligadas ao trabalho social, ao emprego dos instrumentos e ao surgimento da
linguagem. Essa foram as “ferramentas” que a humanidade construiu e aperfeiçoou
ao longa de sua evolução, fazendo a mediação entre o homem e a natureza.
Conforme REGO (2011) afirma, Vygotsky especifica dois elementos
imprescindíveis responsáveis por essa mediação: o instrumento, que comanda as
ações sobre os objetos e o signo, que regula as ações na psique humana. O
desenvolvimento desses elementos significou um grande avanço na evolução
humana. O signo serve de meio para o homem controlar voluntariamente sua
atividade psicológica e ampliar seu potencial de atenção, memoria e quantidade de
informações retidas, ou seja, torna-se capaz de aprender.
As particularidades das definições biológica humanas não são
desconsideradas por Vygotsky, entretanto a dimensão social, que provem os
instrumentos e símbolos que fazem a mediação entre as relações dos indivíduos com
o mundo recebem grande importância e atenção.
Segundo Vygotsky (apud REGO, 2011, p. 71), “o aprendizado pressupõe
uma natureza social especifica e um processo através do qual as crianças penetram
na vida intelectual daqueles que as cercam”, portanto o aprendizado é uma
perspectiva necessária e universal.
57
De acordo com REGO (2011) Vygotsky distingui o aprendizado em dois
níveis. O primeiro é o nível de desenvolvimento real ou efetivo, ou seja, o
conhecimento já consolidado na criança, sendo aquelas funções ou capacidades que
ela já aprendeu e domina, portanto não necessita do auxílio de um adulto ou alguém
mais experiente para realiza-lo. O segundo é o nível de desenvolvimento potencial,
ou seja, são aquelas funções ou capacidades que ainda não se consolidaram na
criança, mas que com a mediação de um adulto ou alguém mais experiente ela será
capaz de fazer. A distância entre o nível real e o potencial é chamada, por Vygotsky,
de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP), ou seja, são as funções ou capacidades
que ainda não amadureceram, mas que com o auxílio de um adulto ou alguém mais
experiente, essas funções ou capacidades serão amadurecidas, tornando-se assim
um nível de desenvolvimento real ou efetivo.
Segundo Vygotsky (apud REGO, 2011),
Cada matéria escolar tem uma relação própria com o curso do desenvolvimento da criança, relação que muda com a passagem da criança de uma etapa para outra. Isto obriga a reexaminar todo o problema das disciplinas formais, ou seja, do papel e da importância de cada matéria no posterior desenvolvimento psicointelectual geral da criança. (p. 75)
O processo de formação dos conceitos e o papel que o ensino escolar
desempenha são temas muitos importantes nas proposições de Vygotsky. Conceitos
são entendidos por ele como sendo um sistema de relações e generalizações contidas
nas palavras e determinados por um processo histórico cultural, conforme explica
REGO (2011) e acrescenta que o desenvolvimento e a aprendizagem mantem uma
interação desde o nascimento da criança. Portanto muito antes de conhecer o
ambiente escolar, as crianças, já possuem uma serie de conhecimentos sobre o
mundo ao seu redor, entretanto, ao adentrar nesse novo ambiente ela entra em
contato com novos tipos de conhecimentos.
Buscando esclarecer as atribuições da escola no processo de
desenvolvimento do indivíduo Vygotsky distingui os dois tipos de conhecimento
estruturados na vivencia pessoal da criança; os conhecimentos cotidianos ou
espontâneos são aqueles formados na observação, manipulação e vivencia direta da
58
criança; e os conhecimentos científicos são aqueles formados na sistematização
cientifica e os que são obtidos nas interações escolares.
REGO (2011) ressalta que, de acordo com Vygotsky, se o meio ambiente
não conseguir desafiar, exigir ou estimular o intelecto do adolescente, o processo de
aprendizagem poderá sofrer um atraso ou ainda poderá não se completar. Portanto a
escola fornece as crianças um conhecimento científico sistematizado sobre as
perspectivas que não estão à vista ou inseridos em sua vivencia cotidiana. Podemos
fazer a seguinte conclusão, o aprendizado escolar desempenha uma relevante
influencia na desenvolvimento das funções psicológicas superiores, pois é nessa fase
que as crianças estão em pleno amadurecimento.
É devido ao fato do estudante já possuir um determinado conhecimento
antes de chegar no ambiente escolar que se torna necessário fazer uso do
conhecimento em sala de aula inter-relacionado com a realidade, onde o aluno vai se
encontrar, identificar com o novo conhecimento adquirido.
O aprendizado segundo os teóricos citados se dá por etapas com
influencias tanto biológicas quanto sociais, o estudante ao chegar no ambiente
escolar, não chega de “mãos vazias”, traz conhecimentos que podem ser
aprimorados, esclarecidos e compreendidos. Seria o entendimento do porque é
necessário todo esse aprendizado e sua aplicabilidade na realidade do estudante.
O ambiente escolar é uma representação da vida em sociedade, onde o
estudante se prepara para estar apto a se conduzir de maneira independente durante
sua existência.
3.2 Algoritmos e Resolução de Problemas das Operações Básicas
3.2.1 Algoritmo
Em sua dissertação de mestrado GONÇALVES (2010) fez reflexões sobra
a história dos algoritmos. Ele afirma que tendemos a acreditar que a forma que hoje
conhecemos dos algoritmos, simples e eficaz, nem sempre foi vista assim e sua
construção foi desenvolvida durante séculos. Esses algoritmos que utilizamos para
resolver as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, como qualquer
59
outro objeto matemático, sofreram modificações devido as necessidades histórico-
sociais e que começaram a ser desenvolvidos a partir de técnicas primitivas de
contagem e registro baseados na relação biunívoca.
Ao longo do desenvolvimento da humanidade vários povos utilizavam
diversas técnicas de cálculo para solucionar problemas. Segundo GONÇALVES
(2010) os egípcios, aproximadamente no ano 2000 a.C. recorriam ao processo de
duplicação para determinar da multiplicação e divisão de uma valor por outro. Ainda
hoje encontramos indícios de que na Índia, Síria e norte da África se utilizava os dedos
das mãos para efetuar cálculos, esse fato pode ter sido um dos fatores determinante
para a universalização do sistema de numeração de base 10, isso pode ter sido
possível com a invenção do número zero, 0, pelos povos babilônicos e maias, porem
foram os hindus que utilizaram com mais sucesso a invenção desse novo número.
Conforme IFRAH (apud GONÇALVES, 2010) os hindus desenvolveram
técnicas operatórias baseadas no sistema posicional juntamente com o conceito do
zero e devido a eles a evolução da notação dos números e do cálculo finalmente se
encontraram e evoluíram para os algoritmos que conhecemos atualmente.
Neste cenário os árabes foram importantes, pois os mesmo estudaram e
traduziram a ciência hindu e como consequência acabaram adotando o sistema
numérico deles. Segundo IFRAH (apud GONÇALVES, 2010),
Com um admirável espírito de síntese, eles conseguiram aliar o rigor da sistematização dos matemáticos e filósofos gregos ao aspecto essencialmente prático da ciência hindu, levando a um progresso admirável a aritmética, a álgebra, a geometria, a trigonometria e a astronomia. (p. 38)
Um dos matemáticos árabes que mais contribuíram para a disseminação
das técnicas de cálculo e procedimentos algébricos foi Mohamed Ibn Mussa al-
Khowarismi através de suas obras “A Aritmética” e a “Aljabr”, traduzida em latim por
álgebra, “Latinizando o nome de al-Khowarismi transformou-se em Achoarismi,
Algorismi, Algorismus, Algorismo e, por fim, em Algoritmo, que, durante muito tempo
na Europa designou o cálculo inventado pelos árabes”, conforme explica
GONÇALVES (2010, p. 39).
60
O desenvolvimento histórico dos algoritmos nos indicam que os mesmo
foram desenvolvidos para fazer com que os cálculos se tornassem um processo mais
simples e eficaz na realização das operação aritméticas. Esses algoritmos evoluíram
ao longo dos anos e atingimos o que conhecemos hoje e que ensinamos nas escolas.
NETO ET AL (apud GONÇALVES, 2010) define algoritmo como o “conjunto
de regras e técnicas gráficas utilizadas em cálculos. Temos o algoritmo da adição, o
algoritmo da subtração, da multiplicação, da divisão, do mínimo múltiplo comum, etc”,
que foram apresentados em um livro destinado a estudantes de Magistério e
professores das primeiras séries do 1º grau (atual ensino fundamental)
Na sequência eles mostram os algoritmos das quatro operações básicas,
algoritmo da adição, subtração, multiplicação e divisão.
O algoritmo da adição, Figura 1: Algoritmo da Adição é apresentado
partindo de um exemplo que busca demostrar a técnica do “vai um” mediante a
decomposição e uso de barras que foi chamado de quadro lugar. O quadro lugar é a
técnica que os professores das series iniciais utilizam para explicar o transporte de
uma ordem para a próxima, ou seja, busca justificar o “vai um” das unidades para as
dezenas, das dezenas para as centenas e assim por diante.
61
Fonte: GONÇALVES, 2010, p. 42
A subtração, Figura 2: Algoritmo da Subtração é mostrada como um passo-
a-passo, no qual o autor explica o procedimento da subtração, utilizando a técnica do
“empresta um” e em seguida o autor mostra outra técnica na qual ao invés de “tirarmos
um” do minuendo, acrescentamos um ao subtraendo, respeitando as respectivas
ordem posicional.
Figura 1: Algoritmo da Adição
62
Fonte: GONÇALVES, 2010, p. 43
Os algoritmo da adição e a subtração são apresentados com a utilização
do quadro lugar e também a decomposição dos valores conforme sua ordem de
grandeza.
A mesma ideia é utilizada para apresentar a multiplicação. Conforme a
Figura 3: Algoritmo da Multiplicação podemos perceber que é justificado o motivo pelo
qual se multiplica as unidades de cada ordem do multiplicador pelas unidades do
multiplicando.
Figura 2: Algoritmo da Subtração
63
Fonte: GONÇALVES, 2010, p. 45
Em seguida é apresentado o algoritmo da divisão, Figura 4: Algoritmo da
Divisão inicialmente mostra-se os procedimentos no qual é utilizado as ordens de
grandeza, centenas, dezenas e unidades e barras verticais com o intuito de separar
as unidades, sendo explicado passo-a-passo como resolver a divisão; na sequência
é feito o algoritmo sem explicitar as ordens de grandeza e por fim e mostrado a forma
“compacta” da divisão com resto.
Figura 3: Algoritmo da Multiplicação
64
Fonte: GONÇALVES, 2010, p. 47.
O desenvolvimentos desses algoritmos ganharam espaço devido a sua
praticidade e seu poder de generalização, pois eles apresentam um “caminho” mais
rápido e eficaz para se efetuar cálculos com as operações básicas, desde que os
procedimentos sejam efetuados de maneira correta.
LOUREIRO (apud GONÇALVES, 2010) afirma que as particularidades do
nosso sistema de numeração destacam-se na decomposição dos números que
Figura 4: Algoritmo da Divisão
65
aparecem no cálculo com os algoritmos convencionais quando na obrigação de
trabalhar ordem a ordem e na recomposição ou reagrupamento das unidades de uma
determinada ordem.
GOLÇALVES (2010) cita várias pesquisas sobre as operações básicas.
Uma delas é a de SIGNORINI (2007) que desenvolveu uma pesquisa na qual
entrevistou vinte crianças da terceira e quinta series, atuais 4º e 6º ano, verificando
que os estudantes não percebiam os princípios e as propriedades do sistema de
numeração decimal implícitos ao usar os algoritmos formais da adição e subtração e
sua análise de resultados indicaram que os estudantes destas duas series
reproduzem mecanicamente os procedimentos operatórias convencionais, portanto,
os mesmo não compreenderam as ações que realizavam.
Uma outra pesquisa citada por GONÇALVES (2010) é a de SOUZA (2009)
sobre as concepções dos professores do ensino fundamental primeiro ciclo sobre os
algoritmos das operações básicas. SOUZA constatou que muitas vezes os
professores acreditam que as técnicas algorítmicas são necessárias e naturais e que
devem ser ensinadas e seguidas de forma rigorosa não sendo possível ensina-las de
outra maneira, pois os cálculos só poderiam ser desenvolvidos desta forma, através
dos algoritmos.
MINOTTO (2006), desenvolveu uma pesquisa com professoras do ensino
fundamental primeiro e segundo ciclo, de uma escola municipal de Curitiba/PR, em
uma parceria entre a pesquisadora e as professoras, formando um equipe de reflexão,
sobre as concepções dessas professoras acerca do ensino dos procedimentos
matemáticos envolvidos nos algoritmos convencionais da adição e da subtração com
reagrupamento. A autora constatou, através de tarefas especificas, de que forma
essas professoras exprimem suas concepções segundo o ensino das técnicas
operatórias dos algoritmos envolvidos e de que forma elas se comunicam com os
estudantes ao ensinarem os algoritmos da adição e subtração. A autora concluiu que
os professores possuem uma compreensão parcial dos procedimentos relacionados
com os algoritmos usuais e utilizavam uma linguagem verbal que comprometia o
ensino desses algoritmos em sala de aula.
66
Essas pesquisas evidenciam a importância que é dada na escola aos
procedimentos convencionais de resolução das operações básicas. Muitos autores
afirmam que é possível, antes de ensinar os algoritmos das operação básicas,
incentivar os estudantes a empregar métodos próprios para resolver os problemas
propostos. Entretanto afirmam que isso não exclui o ensino dos algoritmos, portanto
ao fazer com que eles reflitam sobre as técnicas envolvidas eles podem perceber que
as técnicas algorítmicas são mais eficazes e que também “encurtam” o caminho para
a resposta.
Diante deste contexto a resolução de problemas se mostra importante, pois
a partir dela o estudante pode construir os conhecimentos matemáticos sob a
orientação do professor.
3.2.2 Aplicações (Resolução de Problemas).
De acordo com STANIC e KILPATRICK (1989) onde afirmam que os
problemas sempre estiveram presentes na história da humanidade, porem a resolução
de problemas é novidade. O interesse dos educadores pelo desenvolvimento da
habilidades de resolver problemas também é recente. O termo Resolução de
Problemas transformou-se num slogan no qual engloba uma diversidade de diferentes
visões sobre o que é educação, escolaridade, a Matemática e os motivos pelo quais
devemos ensinar matemática, no geral, e a resolução de problemas, em particular.
Essa imprecisão é ilustrada na Agenda para a acção do National Council
of Teachers of Mathematics (1980) (NCTM) que o foca da educação matemática é a
resolução de problemas. A agenda acolhe a ideia de que a resolução de problemas,
na aulas de matemática e a resolução de problemas em outras partes da vida
cotidiana estão interligadas, entretanto não é clara quanto ao seu papel sobre o que
é resolução de problemas, por qual motivo devemos faze-la ou, ainda, que posição
assume no contexto histórico, conforme discorrem STANIC e KILPATRICK (1989).
Vários exemplos podem ilustrar os problemas na história da matemática,
por exemplo, o Papiro Ahmes ou Rhind, copiado pelo escriba Ahmes, por volta de
1650 a.C, que consistia em uma coleção de problemas, um outro exemplo é o Nine
Sections, documento chinês datado de cerca de 1000 a.C.
67
A resolução de problemas teve uma mudança de papel, principalmente no
último século. Os debates sobre o ensino da resolução de problemas alterou-se da
alegação de que aos estudantes devem ser apresentado problemas ou regras para a
resolução de problemas singulares para o desenvolvimento de perspectivas mais
amplas acerca da resolução de problemas.
STANIC e KILPATRICK (1989) apresentam três temas para a resolução de
problemas nos currículos escolares, são eles: resolução de problemas como contexto,
resolução de problemas como capacidade e resolução de problemas como arte.
Deste três nos interessa o terceiro tema, a resolução de problemas como
arte, pois conforme afirmam STANIC e KILPATRICK (1989) este tema apresenta uma
visão mais profunda e compreensiva da resolução de problemas nos currículos
escolares de matemática que surgiu a partir do trabalho de George Polya, que fez
ressurgir a heurística, em nosso tempo. Essa experiência de Polya, como matemático,
fez com que concluísse que essa característica rigorosa da matemática não fazia jus
a este assunto, portanto a matemática pronta e acabada requer raciocínio
demonstrativo, entretanto “o fazer” matemática exige um pensamento plausível e se
os estudante necessitam aprender o raciocínio plausível, então é este que deve ser
ensinado.
Partindo desta perspectiva de Polya a matemática baseia-se em
informações e saber fazer. Entretanto é o contrário disto que as escolas ensinam aos
estudantes. Portanto se elas não ensinarem aos estudantes a utilizar essas
informações, os mesmo irão esquece-las, ou ainda, ignora-las.
Buscando estabelecer uma correspondência entre o desenvolvimento do
pensamento cientifico e a resolução de problemas no ensino de matemática, BRASIL
(apud ALLEVATO, 2005) afirma que,
Tradicionalmente o problema é empregado, pelos professores, na verificação e na fixação da aprendizagem. Atentando, porém, para a historia das ciências, notamos que o problema antecede invariavelmente as descobertas, é o provocador dos estudos e o orientador das construções teóricas. Por que no ensino da Matemática especialmente, invertemos a ordem natural das coisas? (p. 38)
68
Sob a ótica do construtivismo SANTOS (apud ALLEVATO, 2005, p. 38)
indaga sobre as atuais tendências de ensino sobre a resolução de problemas ao
afirmar que “de uma certa maneira, a ideia construtivista se apoia no próprio processo
histórico de construção do conhecimento cientifico, cujos objetos foram sendo
construídos como respostas a problemas específicos”.
É evidente que a resolução de problemas matemáticos demandam
determinados conhecimentos da linguagem matemática e de estruturas e relações
que dão suporte a matemática como área do conhecimento humano.
PONTES (apud ALLEVATO, 2005) reitera a visão das pesquisas em
educação matemática quando afirma que a resolução de problemas compõem-se num
importante foco de pesquisa, pois ela envolve processos que são inerentes a atividade
matemática.
BASSANEZI (apud ALLEVATO, 2005, p. 39) ressalta que durante o
processo de desenvolvimento da educação matemática, a inserção da resolução de
problemas e da modelagem matemática vem sendo defendida por vários
pesquisadores e eles argumentam que elas "fornecem ao estudante um rico arsenal
para entender e interpretar a própria Matemática em todas as suas facetas."
Ante ao que foi dito compete aos educadores de matemática investigar
sobre de que forma deve ser inserida a resolução de problemas nas aulas de
matemática para que a mesma faça sentido ao cotidiano dos estudantes.
3.2.2.1 O que é um problema?
Pesquisas afirma que a resolução de problemas vem sendo inserida no
currículo de matemática, entretanto o termo problema que se faz bastante presente
no cotidiano dos professores de matemática nem sempre tem seu significado
compreendido.
THOMPSON (apud PAGLIARINI 2007) realizou uma pesquisa com
professores de matemática a fim de investigar duas concepção sobre o que é
problema. A primeira concepção investigada apresenta o problema como sendo a
69
"descrição de uma situação envolvendo quantidades estabelecidas, seguida de uma
pergunta sobre alguma relação entre as quantidades cuja resposta pede a aplicação
de uma ou mais operações aritméticas". Nesta concepção podemos inferir que um
problema seria uma situação com objetivo de obter uma resposta e que para resolver
esses problemas teríamos, apenas, que lembrar qual técnica é utilizada na sua
resolução. A segunda concepção investigada define problema como uma coleção de
situação que inclui quebra-cabeças, labirintos e jogos e considera que os problemas
necessitam de uma variedade de estratégias para a sua resolução, mas não
dependem de elementos conhecidos, e sim conduzem a investigação e descoberta
de novas estratégias. De modo geral contem desafios.
De acordo com POLYA (apud PAGLIARINI, 2007, p.25) "ter um problema
significa: buscar conscientemente por alguma ação apropriada para atingir um objetivo
claramente definido, mas não imediatamente atingível".
WAGNER (apud ALLEVATO, 2005) considera que um problema é
composto por duas características, a primeira é uma necessidade não satisfeita e a
segunda é que são descobertos caminhos não óbvios para a sua resolução e ainda
afirma que a situação na qual se tem controle não corresponde a um problema.
Partindo da perspectiva que assume a resolução de problemas como ponto
de partida para o ensino e aprendizagem, VAN DE WALLE (apud ALLEVATO, 2005,
p. 40) um problema é considerado como "qualquer tarefa ou atividade para a qual os
estudantes não têm regras ou métodos prescritos ou memorizados, nem há um
sentimento por parte dos estudantes de que há um método “correto” específico de
solução".
ONUCHIC (apud ALLEVATO, 2005, p. 41) evidencia sua perspectiva sobre
o que é um problema afirmando que "[...] é tudo aquilo que não se sabe fazer mas que
se está interessado em resolver". E ainda esclarece que "o problema não é um
exercício no qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou uma
determinada técnica operatória [...]"
Assumimos essa última concepção de problemas como foco desta
pesquisa. Na qual um problema é definido como sendo aquela situação na qual o
70
estudante não conhece os caminhos para sua resolução, mas que busca uma maneira
de resolve-la.
As pesquisas apontam diversas concepções sobre o que é um problema
mas há também uma preocupação destes pesquisadores em explicitar as concepções
sobre qual é o objetivo da resolução de problemas como metodologia de ensino e
aprendizagem de matemática. A seguir apresentarei algumas dessas concepções.
3.2.2.2 Objetivo da Resolução de Problemas como metodologia de ensino
Diversas pesquisas foram e continuam sendo desenvolvidas com o intuito
de compreender mais a fundo as implicações e finalidades da resolução de problemas
no ensino e aprendizagem de matemática. STANIC e KILPATRICK (1989)
desenvolveram um estudo no qual revelam as perspectivas históricas da resolução de
problemas no currículo de matemática e concluíram que essa mudanças ocorrem com
o objetivo de ajustar as diferentes visões sobre o porquê de se ensinar matemática,
de maneira geral, e resolução de problemas de maneira particular.
De acordo com ALLEVATO (2005), POLYA (1980) expôs uma série de
argumentos para o trabalho com resolução de problemas no ensino e aprendizagem
em matemática. Considera como inerente a natureza humana a capacidade de
resolver problemas e ainda afirma que ela é fundamental para o desenvolvimento da
inteligência e que compõe um dos objetivos da educação.
PAGLIARINI (2007) afirma que DANTE (2000) apresenta alguns objetivos
para a resolução de problemas, são eles: “levar o estudante a pensar produtivamente
e desenvolver o raciocínio; muni-lo de estratégias para solucionar Situações-
Problema; dar-lhe oportunidade de se envolver com aplicações da Matemática, de
enfrentar situações novas e de adquirir uma boa base matemática”. Ele ainda
categoriza os problemas em seis tipos e atribui a cada um deles um objetivo
especifico.
71
Exercícios de reconhecimento: levar o estudante a identificar ou lembrar um conceito, uma definição, um fato específico, uma propriedade. Exercícios de algoritmos: treinar a habilidade de execução de um algoritmo e reforçar conhecimentos anteriores. Problemas-padrão: fixar fatos básicos e algoritmos vinculando seu emprego a situações do cotidiano; onde é preciso transformar linguagem usual em linguagem matemática. Problemas-processo ou heurísticos (ou simplesmente problemas): levar o estudante a pensar em um plano de ação e elaborar uma estratégia para chegar à solução. Estes problemas não podem ser diretamente transformados para a linguagem matemática ou solucionados por aplicação automática de um algoritmo. Iniciam o estudante no desenvolvimento de estratégias e procedimentos para solucionar Situações-Problema. Problemas de aplicação ou Situações-Problema: levar o estudante a coletar e organizar dados, “matematizar” uma situação real vivenciada diariamente e solucionar o problema utilizando a Matemática. Problemas de quebra-cabeça: através da chamada Matemática Recreativa, desenvolver no estudante a percepção, motivá-lo e desafiá-lo. (27-28) (grifo nosso)
De acordo com SCHROEDER e LESTER (apud ALLEVATO, 2005) a
resolução de problemas tem como atribuição o desenvolvimento da compreensão dos
objetos matemáticos no estudantes. Eles também defendem que indícios sobre a
compreensão, ou qualquer dificuldade relacionada com a compreensão, de objetos
matemáticos surgem quando os estudantes resolvem um problema.
Ao exporem suas considerações acerca das atribuições da resolução de
problemas, os autores evidenciam que essas atribuições são determinada pela forma
que se configura as atividades de ensino do professor de matemática, ou seja, ensinar
sobre resolução de problemas, para a resolução de problemas ou através da
resolução de problemas.
Diversas pesquisas tem sido desenvolvidas a fim de melhor compreender
e discriminar o papel que os professores de matemática conferem à resolução de
problemas no ensino de matemática, admitimos que essa compreensão se forma a
partir das perspectivas aprendidas sobre o ensino e aprendizagem de matemática
durante sua formação inicial.
Em um texto intitulado “Ensino pela resolução de problemas” VAN DE
WALLE (2001) aborda a resolução de problemas como estratégia de ensino. A partir
desta perspectiva ele afirma que os problemas devem ser propostos a fim de fazer
com que os estudantes se envolvam em atividades para refletir sobre e para
desenvolver a matemática que eles precisam aprender. E consonância com outros
72
autores, VAN DE WALLE (2001) reitera a potencialidade avaliativa que a resolução
de problemas tem, pois, segundo ele, essa metodologia fornece dados contínuos para
a avaliação que podem e devem ser utilizados para tomadas de decisões
educacionais, assim como, também, ajudar os estudantes a se desenvolverem e
avaliar seu progresso.
Concordo com VAN DE WALLE (apud ALLEVATO, 2005) quando atribui à
resolução de problemas a significativa atribuição dada a avaliação no ensino.
Compreende-se avaliação no sentido mais amplo, ou seja, como instrumento que
indica a real compreensão sobre determinados objetos matemáticos, para percepção
da presença de princípios errôneas; para detecção de falhas no conhecimento; de
necessidades específicas e oportunidades de aprender; etc. este processo avaliativo
gera um reflexão por parte do professor e o mesmo pode redirecionar, as suas
condutas de ensino e aprendizagem como um todo.
Partindo das diversas pesquisas que tem como referência os pontos de
convergência entre os objetivos e as linhas gerais é possível evidenciar as diferentes
perspectivas que a resolução de problemas assume, não obstante estudiosos e
pesquisadores nem sempre evidenciam de forma explicita a forma como
compreendem a resolução de problemas como metodologia de ensino de matemática.
Essas diferentes perspectivas não são categoria isoladas, de forma que, em alguns
trabalhos percebe-se particularidades de uma em outra, muito menos essas
particularidades entre essas perspectivas são tão evidentes.
3.2.2.3 Perspectivas da Resolução de Problemas
Três perspectiva são apresentadas no trabalhos de SCHROEDER e
LESTER (apud ALLEVATO, 2005), utilizo-as por considera que são mais amplas,
abrangentes e evidentes. Levando em consideração os objetivos e linhas que
orientam a resolução de problemas, elas se referem a: ensinar sobre resolução de
problemas, ensinar para a resolução de problemas, ensinar através da resolução de
problemas.
Ao mostrar e evidenciar as particularidades de cada uma delas,
separadamente, creio que ficarão evidentes as diferenças entre essas perspectivas.
73
3.2.2.3.1 Ensinar Sobre Resolução de Problemas
As diversas formar de interpretar a resolução de problemas estão aliadas a
uma ideologia ampla assumida com respeito ao ensino e aprendizagem de
matemática. Ensinar sobre resolução de problemas adequa-se a considera-la como
um novo conteúdo que tem sido associada as novas opções de ensino e
aprendizagem de matemática desenvolvidas após o Movimento da Matemática
Moderna.
LIMA (apud ALLEVATO, 2005) afirma que o ensino de matemática deve
abarcar três componentes fundamentais os quais chama de conceituação,
manipulação e aplicações. Ele explica que ao longo do período da Matemática
Moderna, nas décadas de 60 e 70, o ensino de matemática dava-se uma grande
ênfase a conceituação, em prejuízo dos outros dois componentes, sob essa
perspectiva a matemática que era ensinada nas escolas era repetição de
procedimentos e técnicas mecânicas, com pouco significado, o que hoje chamamos
de Ensino Tradicional.
O insucesso no ensino durante esse período deixou claro que o ensino de
matemática nos moldes basicamente conceitual e caracterizado pelo formalismo não
atingiu o resultado esperado. O ensino, durante o período em que se assumiu a
Matemática Moderna, preocupava-se excessivamente com as abstrações
matemáticas e apresentava uma linguagem matemática universal que, embora
concisa e precisa, caracterizava-se por adotar uma terminologia complexa que
comprometia o aprendizado, no sentido de que os alunos não conseguiam lhe atribuir
significado (ONUCHIC apud ALLEVATO, 2005)
Então os pesquisadores partiram em busca de alternativas para o ensino
de matemática. Eles voltaram-se para a resolução de problemas, em virtude da
heurística, que ganhou espaço e constituiu-se como novas estratégias e sugestões.
Durante esse período iniciou-se um processo de ensino e aprendizagem onde are
preciso ensinar os estudantes sobre resolução de problemas.
PAGLIARINI (2007) afirma que POLYA (1945) foi um dos autores que se
tornou referência nessa temática. Ele defende que para atender as particularidades
74
presentes na atividade de resolver problemas é essencial adotar estratégias que
sirvam como orientação sobre como resolver problemas.
POLYA (2006) considera que resolver problemas é um dos “conteúdos” que
o professor deve ensinar aos seus alunos ou que seus alunos devem aprender. O
autor evidencia que a habilidade e a competência em resolver problemas não é uma
consequência natural do ensino e aprendizagem dos conteúdos matemáticos.
Acredita que a resolução de problemas é algo especifico a ser ensinado em sala de
aula. Segundo o autor “um dos mais importantes deveres do professor é o de auxiliar
os seus alunos” (p.1) na aprendizagem de resolução de problemas.
PAGLIARINI (2007) afirma que um dos problemas que se destaca nesse
tipo de metodologia de ensino, onde a resolução de problemas são embasadas no
domínio de passos, algoritmos para a resolução de determinada situação é o fato de
que muitos entendem que esse domínio deve ser atingido através da repetição.
ONUCHIC (apud ALLEVATO, 2005) complementam essa ideia afirmando que
No ensino por repetição o aluno era submetido a longas listas de problemas, semelhantes uns aos outros, através dos quais o aluno treinava uma determinada técnica ou estratégia de resolução. Tais listas, constituídas de problemas do mesmo tipo e que podiam ser resolvidos de modo semelhante, visavam promover a fixação do caminho adotado para se chegar à solução. Ademais, se o aluno repetisse, nas avaliações, o que o professor havia feito, concluía-se que o aluno tinha aprendido. (p. 52)
No que tange essa particularidade, vale ressaltar que a repetição de uma
estratégia ou técnica operatória, ainda que executada de forma correta, não implica
na compreensão do conceito ou objeto matemático envolvido. Portanto apesar de ter
representado uma oposição ao que se praticava com a Matemática Moderna, as
estratégias ensinadas a partir desta concepção, apresentam um caráter mecânico e
repetitivo, que muito foi criticado na Matemática Moderna. À medida que essa tinha
como finalidade estruturar o ensino de matemática a partir da teoria dos conjuntos, no
ensino sobre a resolução de problemas o ensino foi estruturado em atividades
matemática com fundamentos na estratégia e também manteve as generalidades,
desconsiderando as aplicações e desvinculando os problemas de seu contexto
específico. Os conteúdos continuaram fazendo pouco sentido para o estudante,
conforme elucida ALLEVATO (2005)
75
3.2.2.3.2 Ensinar Para a Resolução de Problemas
ALLEVATO (2005) afirma que sob esta perspectiva a matemática é
considerada como utilitária, ainda que a obtenção do conhecimento matemático seja
de extrema importância, o proposito principal do ensino é ser capaz de utiliza-lo. Nesta
perspectiva o professor da ênfase no modo como a matemática que está sendo
ensinada pode ser aplicada a resolução de problemas.
Portanto percebe-se uma preocupação com o desenvolvimento da
capacidade do estudante aplicar esses conhecimentos que adquiriram em um
ambiente de resolução de problemas em outros ambientes, ou seja, ele ensina para
resolver problemas.
PENTEADO SILVA (apud ALLEVATO, 2005) desenvolveu um estudo com
professores de 5ª serie, atual 6º ano, no qual revelou que a maioria dos professores
apresenta os problemas após ensinar a parte teórica do conteúdo.
Essa visão pode fazer com que a resolução de problemas seja configurada
como uma atividade na qual os estudantes só possam realizar após a introdução de
um novo conteúdo matemático, ou ainda, somente após o exercício de alguma
habilidade algorítmica, conforme salientam SCHROEDER e LESTER e GAZIRE (apud
ALLEVATO, 2005). A vista disso a matemática é ensinada desconectada de suas
aplicações.
ALLEVATO (2005) afirma que é possível perceber que a perspectiva que é
descrita se refere à tendência que CONTRERAS e CARRILLO (1998) denominaram
tendência tecnológica na resolução de problemas. Portanto os problemas são
apresentados como questões propostas no final do conteúdo e com a aplicação da
teoria desenvolvida e exemplificada, ou seja, a resolução de problemas é utilizada
apenas para exemplificar a teoria. Neste contexto o estudante recebe o conteúdo
pronto e imita a resolução, o professor expõe e contextualiza a situação problema e
corrige as respostas dos alunos, fornecendo a forma de resolução correta. A avaliação
é um recurso utilizado para confirmar os processos considerados corretos ou
incorretos, conforme o que foi desenvolvido pelo professor.
76
SANTOS (apud ALLEVATO 2005) declara que nessa abordagem, o
professor inicia o novo conteúdo através de aula expositiva, mostrando na sequência
algumas aplicações através de exemplos. Segue-se então, uma bateria de exercícios
em que o estudante deverá aplicar o novo conhecimento; são os chamados exercícios
de fixação. Para ONUCHIC (apud ALLEVATO, 2005)
Com certeza, os usos e aplicações da Matemática merecem a atenção do professor e alunos, entretanto, a Matemática não pode ser ensinada como um acessório, subordinada a seus campos de aplicação. Os conceitos, as relações entre eles e os princípios que os unificam devem ser compreendidos. (p. 54)
Compreendo que esta perspectiva da resolução de problemas contribua
para que o ensino aprendizagem de matemática seja mais interessante e munido de
significado para os estudantes, entretanto pode fazer com que os estudantes criem
uma concepção limitada da matemática, de que ela é apenas “utilitária”, ou seja, ela
sempre terá uma aplicação imediata. Esta perspectiva determina limites ao ensino e
aprendizagem da matemática, pois os problemas passam a exigir que o estudante
saiba os conteúdos matemáticos antes de aplica-los e também desconsidera o
potencial formador da matemática, pois esta perspectiva poderia ser utilizada para
desenvolver raciocínios, a capacidade de abstrair, relacionar, representar e tomar
decisões.
3.2.2.3.3 Ensinar Através da Resolução de Problemas
Dentre as ideias que foram desenvolvidas na década de 80, acerca da
resolução de problemas, não ocasionou a melhora esperada. Isso se deve à falta de
concordância que se deu através das diferentes concepções que as pessoas e grupos
tinham sobre o significado de “resolução de problemas como metodologia de ensino”.
Dentro deste contexto surgem ideias sobre a possibilidade de conceber a
resolução de problemas como ponto de partida para o ensino e aprendizagem de
matemática. Neste período foram retomadas as ideias do construtivismo, conforme as
quais os estudantes não eram mais vistos como recipientes vazios a serem
“completados” com conhecimentos, através do ensino. Antes, são indivíduos dotados
de inteligência aos quais deve-se proporcionar, através do ensino, oportunidades de
77
interpretar situações ou problemas e de relembrar conhecimentos anteriores com o
intuito de construir novos conhecimentos. (ONUCHIC,1999, 2003a; ONUCHIC;
ALLEVATO, 2004; SANTOS, 2002 apud ALLEVATO (2005)
SCHOENFELD (apud ALLEVATO, 2005) defende que o ambiente da sala
de aula de matemática deve proporcionar aprendizagem significativa. Portanto o fazer
matemática deve ser considerado como um ato de fazer sentido, aliás os fatos e
procedimentos que os estudantes aprendem no ensino e aprendizagem de
matemática devem ser um meio para um fim e não um fim em si mesmo.
PAGLIARINI (2007) assegura que um exemplo encontrado em sala de aula
que comprova o que propicia o ensino aprendizagem de matemática como um fim em
si mesmo é o das longas lista de problemas sobre um determinado objeto matemático.
Verifica-se muitas vezes que os estudante aprendem de forma mecânica os
procedimentos e que se em um determinado problema necessitar de um procedimento
um pouco diferente os mesmo não são capazes de perceber, eles meramente repetem
e não fazem uma reflexão sobre o problema, ou seja, não atribuem significado aos
conceitos matemáticos envolvidos nos problemas que resolveram anteriormente.
Este exemplo nos mostra que ter o domínio de técnicas e procedimentos
formais dos objetos matemáticos não significa que o estudante realmente aprendeu
matemática que, por sua vez, é diferente de pensar matematicamente. Da forma como
compreende SCHOENFELD (apud ALLEVATO, 2005), os estudantes devem ser
levados a essa terceira atitude, ou seja, a de pensar matematicamente. Ele ainda
evidencia que aprender a pensar matematicamente engloba tanto o domínio dos fatos
e procedimentos matemáticos e desenvolver assim como compreensão de que a
matemática é ação de significação das coisas, quanto o costume de utiliza-la desta
maneira.
Em seus estudos NODDINGS (apud ALLEVATO, 2005) assinalou que falta
da sub-habilidade de operar os algoritmos era um dos aspectos que dificultavam o
aprendizado na resolução de problemas. Entretanto ele argumenta que essa sub-
habilidade não justifica o uso de extensas lista de exercícios repetitivos. Exercícios
prévios podem ser realizados com o intuito de fazer com que os estudantes
78
desenvolvam essas habilidades e competências indispensáveis à compreensão de
determinados conteúdos.
Conforme NODDINGS (apud ALLEVATO, 2005) explica a percepção desta
sub-habilidade um olhar a diante, uma diagnostico das dificuldades e dos novos
conceitos a serem ensinados, de modo que estas sub-habilidades possam ser
determinadas e ensinadas ou revisadas.
SANTOS (apud ALLEVATO, 2005) afirma que a aprendizagem de novos
conhecimentos está intimamente interligada com o processo de interação entre sujeito
e objeto de estudo, e que em educação matemática estamos acostumados a falar que
o estudante aprende pela resolução de problemas e não apenas ouvindo o professor
discorrer sobre o objeto matemático em sala de aula.
SANTOS apresenta o seguinte esquema:
Fonte: ALLEVATO (2005, p. 59)
Através do esquema acima podemos perceber que o estudante é colocado
em uma situação, na qual se encontra um obstáculo que produzirá um conflito
cognitivo. Esse conflito é gerado na constatação de insuficiência ou contradições entre
os conhecimentos antigos e a situação que lhe é apresentada, a qual chamamos de
situação problema. Portanto o estudante será compelido a desenvolver novos
mecanismos e assim produzir conhecimentos para solucionar a situação problema.
Assim sendo o estudante se torna responsável pela construção de novos
conhecimentos, conforma explica SANTOS (apud ALLEVATO, 2005)
Entendo que as ideias de CAMPBELL (apud ALLEVATO, 2005) sobre o
construtivismo e a educação matemática está em conformidade com essa concepção,
pois de acordo com a autora, os objetos matemáticos devem ser investigados em
79
termos da resolução de problemas a fim de que sejam significativos, levando em
consideração que a matemática é parte descoberta e parte convenção. E além disso
afirma que mesmo os problemas abstratos podem ter significado para o estudante,
desde que o mesmo compreenda o problema e se empenhe na sua resolução.
CONTRERAS e CARRILLO (apud ALLEVATO, 2005) expressam essa
perspectiva investigativa na qual o estudante aborda uma situação problema como
uma investigação. O problema passa a ter uma característica instauradora da
aprendizagem, pois são resolvidos problemas durante todo o processo de
aprendizagem em um ambiente flexível de obtenção de conhecimentos conceituais e
procedimentais. Este ambiente favorece o estudante através da construção autônoma
do conhecimento mediante situação na qual o estudante é estimulado a criar e ampliar
suas habilidades e competência através da resolução de problemas
Vale ressaltar que as demais perspectivas sobre resolução de problemas
como metodologia de ensino, não excluem as outras. Isso significa dizer que os
estudantes podem tanto aprender sobre a resolução de problemas, quando aprendem
para resolver novos problemas e à medida que aprendem através da resolução de
problemas. Podemos ainda afirmar que ao aprender através da resolução de
problemas o professor reforça as outras perspectivas.
3.3 Desenvolvendo significados para as operações
Anteriormente discorri sobre pesquisas que discutiram a evolução dos
algoritmos das operações básicas e logo após descrevi as concepções acerca da
resolução de problemas baseadas nas pesquisas desenvolvidas por diversos autores,
neste tópico irei tecer comentários sobre as estruturas dessas operação básicas com
base no que diz o autor VAN DE WALLE (2001).
VAN DE WALLE (2001) afirma que propor situações problemas
contextualizado é um método significativo de desenvolver significado para as
operações básicas.
80
3.3.1 Problemas Aditivos e Subtrativos
Diversos pesquisadores estruturaram os problemas de adição e subtração
em categorias fundamentadas nos tipos de relações envolvidas. Esses problemas são
estruturados em Problemas de Reunir, Problemas de Separar, Problemas Parte-todo
e Problemas de Comparar (CARPENTER, CAREY E KOUBA, 1990; CARPENTER,
FENNEMA, FRANKE, LEVI E EMPSON, 1999; GUTSTEIN E ROMBERG, 1995 apud
VAN DE WALLE 2001, p.168)
3.3.2 Problemas de Reunir
Para ato de reunir ou acrescentar, existem três quantidades envolvidas, são
elas: a quantidade inicial ou de partida, uma quantidade de mudança, ou parte
acrescentada e a quantidade resultante ou a quantidade final após a ação ser
realizada. Qualquer uma dessas três quantidade podem ser desconhecidas, como
mostra os exemplos abaixo. (VAN DE WALLE, 2001)
Quadro 4: Tipos e exemplos de problemas de reunir
Problemas de Reunir
Resultado Desconhecido
Sandra tinha 8 reais. Jorge lhe deu mais 4, com quantos reais Sandra ficou?
Mudança Desconhecida
Sandra tinha. Jorge lhe deu um pouco mais. Agora Sandra tem 12 reais. Quanto Jorge lhe deu?
Valor Inicial Desconhecido
Sandra tinha alguns reais. Jorge lhe deu mais 4. Agora Sandra tem 12 reais. Quantos reais Sandra tinha no início?
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p.169
3.3.3 Problemas de Separar
Para a ação de separar, a quantidade inicial é o todo ou a maior parte,
enquanto nos problemas de reunir o resultado era o todo. Neste tipo de problema,
existem três quantidades envolvidas, são elas: a quantidade inicial ou de partida, uma
quantidade de mudança ou parte separada e a quantidade resultante ou a quantidade
final após a ação ser realizada. Qualquer uma dessas três quantidades podem ser
desconhecidas, como mostra os exemplos abaixo
81
Quadro 5: Tipos e exemplos de problemas de separar
Problemas de Separar
Resultado Desconhecido
Sandra tinha 12 reais. Ela deu 4 reais para Jorge. Quantos reais Sandra tem agora?
Mudança Desconhecida
Sandra tinha 12 reais. Deu alguns reais para Jorge. Agora tem 8 reais. Quantos reais ela deu a Jorge?
Valor Inicial Desconhecido
Sandra tinha alguns reais. Ela deu 4 a Jorge. Agora Sandra tem 8 reais. Quantos reais Sandra tinha no início?
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p.169-170
3.3.4 Problemas de Parte-todo
Os problemas de Parte-todo possuem duas partes que são combinadas em
um todo. Essa combinação pode ser um ação física ou metal onde as partes não são
fisicamente combinadas. Não existe distinção significativa entre as partes um uma
situação parte-todo. Para as possibilidades, todo desconhecido e parte desconhecida,
serão mostrados em dois exemplos.
Quadro 6: Tipos e exemplos de problemas de Parte-todo
Problemas de Parte-todo
Todo Desconhecido
Sandra tem 4 bolas azuis e 8 bolas vermelhas. Quantas bolas ela tem?
Jorge tem 4 reais e Sandra tem 8 reais. Eles colocaram seu dinheiro em um cofrinho. Quantos reais eles guardaram no cofrinho?
Parte Desconhecida
Sandra tem 12 bolas. Oito de sua bolas são azuis e as restantes vermelhas. Quantas bolas vermelhas Sandra tem?
Jorge e Sandra colocaram 12 reais no cofrinho. Jorge colocou 4 reais. Quantos reais Sandra colocou?
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p.170
3.3.5 Problemas de Comparação
Os problemas de comparação envolvem comparar duas quantidades. A
terceira quantidade não existe realmente, entretanto é a diferença entre as outras
duas. Esses problemas são divididos em três tipos que corresponde a quantidade
82
desconhecida, a menos, a maior ou a diferença. Serão apresentados dois exemplos
para cada um dos três tipo. Um problema onde a diferença é declarada a partir da
maior e outra da menor.
Quadro 7: Tipos e exemplos de problemas de Comparação
Problemas de Comparação
Diferença Desconhecida
Jorge tem 12 reais e Sandra tem 8 reais. Quantos reais a mais tem Sandra?
Jorge tem 12 reais. Sandra tem 8 reais. Quantos reais a menos Sandra tem de Jorge?
Maior Valor Desconhecido
Jorge tem 4 reais a mais que Sandra. Sandra tem 8 reais. Quantos reais Jorge possui?
Sandra tem 4 reais a menos que Jorge. Sandra tem 8 reais. Quantos reais Jorge possui?
Manor Valor Desconhecido
Jorge tem 4 reais a mais que Sandra. Jorge tem 12 reais. Quantos reais Sandra possui?
Sandra tem 4 reais a menos que Jorge. Jorge tem 12 reais. Quantos reais Sandra possui?
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p. 170
A Figura 5: Estrutura Básica para problemas de Adição e Subtração
apresenta a estrutura básica para os problemas de adição e subtração.
83
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p. 169
De acordo com VAN DE WALLE (2001) os vários tipos de problemas
apresentados não possuem os mesmo níveis de dificuldades para os estudantes.
Dentre esses problemas os de mudança, na qual a parte inicial é desconhecida estão
entre os mais difíceis, presumivelmente porque ao tentar resolver o problema, os
estudantes não saibam com quantos contadores começar. Os problemas em que as
quantidades de mudança são desconhecidas também são difíceis.
Muitos estudantes terão a tendência de resolver os problemas de
comparação como se fossem problemas “parte-todo” sem formar conjuntos separados
de contadores para as duas quantidades, afirma VAN DE WALLE (2001)
3.4 Problemas de Multiplicação e Divisão
Assim como os problemas de adição e subtração, os problemas de
multiplicação e divisão, também possuem uma estrutura básica. Os pesquisadores
Figura 5: Estrutura Básica para problemas de Adição e Subtração
84
assinalam quatro classes diferentes para as estruturas multiplicativas3, são elas
grupos iguais, adição repetida e taxas, e comparação multiplicativa. (GREER apud
VAN DE WALLE, 2001).
VAN DE WALLE (2001) afirma que esses tipos de problemas são
enquadrados nessas estruturas, pois podem ser modelados com conjuntos de
contadores, retas numéricas ou arranjos. E que esse tipo de problemas são
encontrados em maior quantidade no mundo real.
3.4.1 Tipos de Estrutura para problemas multiplicativos
VAN DE WALLE (2001) diz que em problemas multiplicativos os fatos
enumera quantos conjuntos, grupos ou partes de mesmo tamanho são
compreendidos. O outro fator determina o tamanho de cada conjunto ou parte.
Chamamos tradicionalmente esses dois fatores de multiplicador, número de partes, e
multiplicando, tamanho de cada parte. O terceiro valor em cada uma dessas duas
estruturas é o produto e o total das partes. Ao estabelecer uma conexão entre as
partes e o todo tona-se útil quando se fala em adição.
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p. 177
3 O termo Multiplicativo é utilizado, aqui, para descrever todos os problemas que envolvam estruturas de multiplicação e divisão. VAN DE WALLE (2001, p. 177)
Figura 6: Estrutura Básica para problemas de Multiplicação e Divisão
85
3.4.2 Problemas de Grupos Iguais
VAN DE WALLE (2001) afirma que nesse tipo de problema quando a
quantidade e o tamanho dos grupos são conhecidos é um problema de multiplicação,
e que quando a quantidade de conjuntos ou o tamanho dos conjuntos é desconhecida
caracteriza uma divisão. Observa-se que estas duas situações são diferentes. Os
problemas em que o tamanho do conjunto é desconhecido são chamados de
problemas de partição ou de compartilhar. Já quando a quantidade de conjuntos é
desconhecida, porem o tamanho dos conjuntos iguais é conhecido, os problemas são
chamados de problemas de medida ou, as vezes, de problemas de subtração
repetida.
Quadro 8: Tipos e exemplos de problemas de Grupos Iguais
Problemas de Grupos Iguais
Todo Desconhecido
(Multiplicação)
Marcos tem 4 sacos de maças. Existem 6 maçãs em cada saco. Quantas maçãs Marcos tem ao todo?
Se Cada maça custa 7 centavos, quanto Jill terá que pagar por 5 maças? (Taxa)
Pedro caminhou durante 3 horas a 4 quilômetros por hora. Que distância ele caminhou?
Tamanho dos grupos
desconhecidos
(Divisão-Partição)
Marcos tem 24 maçãs. Ele quer distribui-las igualmente entre seus 4 amigos. Quantas maças cada amigo receberá?
Jill pagou 35 centavos por 5 maças. Quanto custa 1 maça? (Taxa)
Pedro caminhou 12 quilômetros em 3 horas. Quantos quilômetros por hora (rapidez) ele caminhou? (Taxa)
Número de grupos desconhecidos
(Divisão - Medida)
Marcos tem 24 maças. Ele as colocou em sacos contendo 6 maças cada. Quantos sacos marcos usou?
Jill comprou cada maçã a 7 centavos. O total de suas maçãs foi 35 centavos. Quantas maças Jill comprou? (Taxa)
Pedro caminhou 12 quilômetros a um ritmo de 4 quilômetros por hora. Quantas horas Pedro demorou para caminhar os 12 quilômetros? (Taxa)
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p. 178
86
3.4.3 Problemas de Comparação Multiplicativa
Assim como no problemas de adição e subtração, nos problemas de
comparação multiplicativa existem dois conjuntos diferentes. Um desses conjuntos
equivale a múltiplas cópias dos outros. Nos problemas aditivos e subtrativos a
comparação é uma diferença, em problemas multiplicativos, a comparação baseia-se
em um conjunto sendo o múltiplo do outro.
Quadro 9: Tipos e exemplos de problemas de Comparação Multiplicativa
Problemas de Comparação Multiplicativa
Produto Desconhecido
(Multiplicação)
Jill pegou 6 maçãs. Marcos pegou 4 vezes tantas maçãs quanto Jill. Quantas maças arco pegou?
Este mês, marcos economizou 5 vezes a quantidade de dinheiro que no mês passado. Se no mês passado ele economizou R$7,00. Quanto dinheiro marcos economizou este mês?
Tamanho do conjunto
desconhecido
(Divisão-Partição)
Marcos colheu 24 maçãs. Ele colher 4 vezes a quantidade de maçãs que Jill colheu. Quantas maçãs Jill colheu?
Este mês marcos economizou 5 vezes a quantidade de dinheiro que ele conseguiu no mês passado. Se ele economizou R$35,00 neste mês, quanto ele economizou no mês passado?
Multiplicador desconhecido
(Divisão - Medida)
Marcos colheu 24 maçãs e Jill apenas 6. Marcos colheu quantas vezes a quantidade que Jill colheu?
Neste mês marcos economizou R$35,00. No mês passado ele economizou R$7,00. Quantas vezes a quantidade do mês passado ele economizou este mês?
Fonte: VAN DE WALLE, 2001, p. 178
VAN DE WALLE (2001) alerta para a forma como muitos professores
abordam o ensino da multiplicação e divisão. Essas duas operação são normalmente
ensinadas de maneira separadas, primeiro a multiplicação e logo após a divisão. O
autor afirma que é importante combinar o ensino dessas duas operações. Uma vez
que a divisão pode ser ensinada logo após a introdução da multiplicação e isso
colabora para que os estudantes percebam como elas são relacionadas.
87
4 Metodologia
Durante minha trajetória no Curso de Licenciatura Plena em Matemática,
pela Universidade do Estado do Pará, mais precisamente ao final do 1º ano de curso,
tive a oportunidade de participar no Projeto Mais Educação, do Governo Federal, em
uma Escola Público Estadual de Ensino Fundamental. Participei desse projeto por
aproximadamente dois anos e meio e no decorrer do mesmo, trabalhei ministrando
aulas de Reforço e, eventualmente, substituía professores que por algum motivo
deixavam de ir ministrar as suas aulas, mas sempre tralhando as dificuldades que os
estudantes demonstravam.
Eram as turmas do 6º e 9º ano que frequentemente eu ministrava aulas,
mas também trabalhei com turmas das outras series. Durante essas aulas percebi que
os estudantes apresentavam diversas dificuldades na resolução de situações
problemas envolvendo as quatro operações básicas ou que não conseguiam
desenvolver determinados conteúdos, pois os mesmo apresentavam dificuldades
nessas operações.
A princípio essas questões me levaram a suscitar sobre o quanto desse
conteúdo os estudantes retinham até o 1º ano do ensino médio? A partir desse
questionamento decidi investigar essa questão, com o objetivo geral de diagnosticar
algumas dificuldades que os estudantes do 1º ano do ensino médio apresentam
ao resolver situações problemas envolvendo as operações básicas. Pois
supunha que ao transcorrer o ensino fundamental o estudante superaria as
dificuldades em operar os algoritmos e resolver situação problemas da adição,
subtração, multiplicação e divisão e ainda que no decorrer dos estudos no ensino
médio, as operações básicas serviriam de suporte para os demais conteúdos.
Portanto dentro dessa temática, decidi investigar alguns objetivos
específicos, sendo eles: elaborar e propor questões problemas visando identificar
algumas dificuldades apresentadas por esses estudantes ao resolver situações
problemas envolvendo as operações básicas e, ainda, quais as principais
dificuldades apresentadas durante a resolução de situações problemas
envolvendo as operações básicas.
88
Em consequência da natureza dessa pesquisa optei fazer uma pesquisa
de campo com uma abordagem quantitativa.
Foram escolhidos para o desenvolvimento desta pesquisa estudantes do
1º ano do Ensino médio. E se desenvolveu em três escolas distintas, escolhidas de
forma aleatória, pois necessitava abranger uma quantidade significativa de
estudantes, na maior diversidade possível, a fim de conhecer a variedade de
dificuldade e erros possíveis, cometidos pelos estudantes. Em cada escola foi
escolhida uma turma. As Escolas escolhidas se distribuem em duas escolas público
estadual, que chamarei de A e B e uma pública federal, que chamarei de C, da rede
em ensino da cidade de Belém, no estado do Pará.
Com o intuito de aferir quais são as dificuldades abrangendo todas as
operações básicas, e ainda, determinar essas dificuldades a partir da operação
isolada até as situações problemas que envolvessem uma combinação, mais de duas,
dessas operações, dividi as situações problemas em três grupos:
Grupo A: operações isoladas, ou seja, somente adição ou subtração ou
multiplicação ou divisão.
Grupo B: operação combinada com e sua “inversa”, ou seja, adição e
subtração e multiplicação e divisão.
Grupo C: mais de duas operações combinadas, ou seja, a situação
problemas poderia conter três ou mais operações.
Partindo da determinação desses três grupos, decidi organizar as
operações básicas em sete categorias, relativo às operações envolvida na, possível,
resolução das situações problemas, sendo:
Categoria 1 (C1), somente Adição;
Categoria 2 (C2), somente Subtração;
Categoria 3 (C3), somente Multiplicação;
Categoria 4 (C4), somente Divisão;
Categoria 5 (C5), combinação de Adição (C1) e Subtração (C2);
Categoria 6 (C6), combinação de Multiplicação (C3) e Divisão(C4);
89
Categoria 7 (C7), formada a partir da combinação das Categorias 1
e/ou 2 e 3 e/ou 4.
Tabela 3: Quadro relativo à Grupo X Categoria
Grupo Categoria
A C1, C2, C3 e C4
B C5 e C6
C C7
Foram selecionadas uma questão das categorias C1, C2, C3, C4, duas da
C5, duas da C6 e duas da C7, totalizando 10 situações problemas.
Ao todo foram aplicados 81 testes. Sendo na Escola Estadual A, 34 testes,
na escola estadual B, 13 testes e 34, na escola C. Os estudantes dispuseram de 60
minutos para realizar a tarefa. Que foi aplicado no segundo semestre de 2012.
4.1 Descrição do Teste
As questões de 1 a 4 estão inseridas no Grupo A e subdivididas em 4
categorias, citadas acima. De modo geral essas questões abordam somente uma
operação básica em sua resolução, ainda que apresentem algumas diferenças entre
si. Todas possuem como objetivo de avaliar o domínio da operação em questão, com
algumas diferenças entre si.
Na questão 1, que aborda o conteúdo de adição, a dificuldade adicional é
avaliar se o estudante é capaz de orientar-se, no sentido horário e anti-horário e se
trata de um problema com estrutura do tipo parte-todo com o todo desconhecido.
Já a questão 2, que aborda o conteúdo de subtração, exige que o estudante
seja capaz de, utilizando um recurso gráfico, modelar o problema exposto no texto, a
resolução deste problema possui duas etapas para a sua resolução, são dois
problemas estruturados como um problema de comparação do tipo diferença
desconhecida.
90
A questão 3, que aborda a conteúdo de multiplicação, o estudante terá que
perceber as duas relação presente no problema, essas duas relação são estruturadas
em problema de comparação multiplicativa do tipo grupos iguais e todo desconhecido.
E por último, no grupo A, a questão 4, que aborda o conteúdo de divisão
com resto, o estudante deverá perceber a relação entre as duas grandezas presente
no texto do problemas, e ainda, perceber que o resto dessa divisão também faz parte
da pergunta, portanto é parte integrante da solução e é um problema de grupos iguais
do tipo número de grupos desconhecidos, divisão medida.
As situações problemas de 5 a 8, estão inseridas no Grupo B.
As questões 5 e 6, que abordam os conteúdos de adição e subtração,
simultaneamente, têm como objetivo avaliar a capacidade do estudante em perceber
as relações soma de adição e subtração contidas nas situações problemas e
apresentar sua solução. Na questão 5 o subitem “a” é um problemas aditivo,
estruturado em problemas do tipo Parte-todo com o todo desconhecido. O item “b”,
que possui duas etapas em sua resolução, é estruturado em problemas de comparar
do tipo diferença desconhecida, primeira etapa, e problemas parte-todo do tipo todo
desconhecido, na segunda etapa. O item “c” é um problema de comparar do tipo parte
todo. A resolução da questão 6 é dividida em duas etapas, a primeira, é um problema
de parte-todo do tipo todo desconhecido e a segunda é um problema de separar com
resultado desconhecido.
As questões 7 e 8, que abordam o conteúdo de multiplicação e divisão,
simultaneamente, e tem como objetivo avaliar se o estudante é capaz de perceber as
relações do problema e que seria utilizado as operações de multiplicação e divisão
para solucionar o problema. A questão 7 tem sua resolução dividida em duas etapas,
sendo a primeira, um problema de comparação multiplicativa do tipo todo
desconhecido e a segunda problema de grupos iguais do tipo número de grupos
desconhecidos (divisão-medida). Já a questão 8 também possui duas etapas em sua
resolução, a primeira é um problema de grupos iguais do tipo número de grupos
desconhecidos (divisão-medida) e a segunda problemas de comparação multiplicativa
do tipo produto desconhecido.
91
O Grupo C é formado pelas questões 9 e 10. Essas situações problemas
abordam o conteúdo de adição, subtração e multiplicação simultaneamente.
A questão 9 tem como objetivo avalizar se o estudante é capaz de compor
o valor salário de um funcionário. Nesta questão o estudante teria que compor o
salário de um vendedor. Este salario é subdividido em três valores, sendo a parte fixa
(PF), recebida independentemente da quantidade de revistas vendidas, e duas partes
variáveis, relacionada com o total de assinaturas vendidas, a primeira parte variável
(PV1), é referente as primeiras 50 assinaturas vendidas, e a segunda parte variável
(PV2) se refere a quantidade vendida acima das 50 primeiras. Portanto o salário
mensal do vendedor era composto desta forma: Salário = 𝑃𝐹 + 𝑃𝑉1 + 𝑃𝑉2. Este
problema pode ser subdividido em quatro partes. A primeira seria calcular a
quantidade de revistas vendidas acima das 50 primeiras, portanto um problema de
comparar do tipo diferença desconhecida. A segunda é calcular PV2, que é um
problema de grupos iguais do tipo todo desconhecido (multiplicação). A terceira etapa
é calcular PV1, e em um problema de grupos iguais do tipo todo desconhecido
(multiplicação). A quarta, e última, etapa é um problema de adição do tipo parte-todo
com o todo desconhecido.
A questão 10 tem como objetivo avaliar a capacidade do estudante em
perceber a relação entre Receita, Custo e Lucro. Esta questão pode ser dividida e três
etapas, calcular a receita (R), calcular a despesas (D) e, por último o lucro (L). O
cálculo da receita pode ser classificado como um problema de comparação
multiplicativa do tipo produto desconhecido. A despesa é subdividida em 2 etapas, a
primeira calcular o custo variável (CV), problema de comparação multiplicativa do tipo
produto desconhecido, e adicionar as custo fixo (CF), problema de adição parte-todo,
do tipo todo desconhecido. O cálculo do lucro pode sem entendido como um problema
subtrativo de comparar do tipo diferença desconhecida.
92
5 Analise dos resultados
Os dados serão analisados segundo as principais dificuldades cometidos
durante a resolução de situações problemas e juntamente será feita o comentário das
dificuldades apresentadas pelos estudantes ao resolver situações problemas
envolvendo as operações básicas.
5.1 Analise dos erros e dificuldades
A análise das dificuldades apresentadas pelos estudantes tem como
finalidade buscar através das situações problema resolvidas o entendimento de quais
são as dificuldades apresentadas pelos estudantes, assim como, destacar os erros
cometidos.
Durante a aplicação do teste foram encontrados 5 tipos de dificuldades, a
dizer: Dificuldade de interpretação incorreta da questão, dificuldade de tabuada,
questão incompleta, dificuldade de operação e dificuldade conceitual.
O gráfico abaixo mostra a totalidade das dificuldades apresentadas pelos
estudantes.
Fonte: Dados da Pesquisa
Através do gráfico acima, podemos perceber que 56% das dificuldades
apresentadas foram que os estudantes não conseguiram interpretar corretamente o
comando da situação problema proposta. Esse tipo de dificuldade está presente em
todas as questões. O segundo tipo de dificuldade mais frequente foi a de falta de
Interpretação Incorreta
56%
215%
Interpretação Parcial
12%
49%
58%
Gráfico 1: Relação percentual das dificuldades apresentadas
93
domínio em Tabuada, 15% das dificuldades apresentadas, presente em nove das dez
questões propostas. O terceiro tipo de dificuldade foi devido ao fato de o estudante
não completar a resolução da questão, que denominei de “Questão incompleta”, 12%,
essa dificuldade está presente em seis dentre todos os problemas propostos. A quarta
dificuldade apresentada de operação, 9 %, encontrado em seis questões e, por último,
a dificuldade encontrada, em menor quantidade, foi o de tabuada, 8%, frequente em
nove problemas.
5.1.1 Dificuldade de Interpretação Incorreta da situação problema
Esse tipo de dificuldade é caracterizada como sendo proveniente da
interpretação inadequada da situação problema proposta, ou seja, o estudante não
conseguiu relacionar o texto escrito com os conceitos matemáticos envolvidos na
situação problema, em consequência disso efetuou procedimentos incorretos para
responder a pergunta do problema.
Tabela 4: Quantidade de dificuldade de Interpretação Incorreta.
Questão 1
2 3 4 5
6 7 8 9 10 a) b) c) d) a) b) c)
Quant. de Erros 24 29 25 29 24 3 4 10 15 14 2 4 2 24 4
Fonte: Dados da Pesquisa
Através da Tabela 4: Quantidade de dificuldade de Interpretação Incorreta,
acima, se percebe grande incidência deste tipo de dificuldade nas questões 1, em
todos os itens, 2, 5, em todos os itens e 9.
Vejamos abaixo alguns exemplos que mostram a dificuldade de
interpretação da situação problema cometido durante a resolução das situações
problemas.
94
5.1.1.1 Comentário da Questão 1
A Questão 1, possui uma imagem (Figura 7: Imagem questão 1), na qual
um pentágono irregular em que cada vértice representa cinco cidades e que indica
qual a distância em cada trecho e pede para se determinar a distância que um carro
percorre entre dois ou mais trechos. Nessa questão o estudante precisaria de duas
habilidades, a primeira consistiria em orientar-se com relação ao ponto de partida e
destino, pois necessita obrigatoriamente percorrer os trechos indicados, a segunda
seria operar a adição. Essa questão possui quatro itens. Esta questão, em todos os
seus subitens, é classificada como um problema do tipo parte-todo com o todo
desconhecido.
Fonte: Dados da Pesquisa
O item “a” pergunta-se a distância de A até D passando por B e C, neste
item espera-se que o estudante calcule, utilizando a operação de adição, a da
distância entre os trechos AB + BC + CD, são as partes, e o resultado da soma destas
parte é 1.005 Km, que representa o todo.
No item “b” pergunta-se a distância de A até D passando por E, neste item
espera-se que o estudante calcule, utilizando a operação de adição, a distância entre
os trechos AE + ED, são as partes, e o resultado da soma destas parte é 955 Km, que
representa o todo. Observa-se que os itens “a” e “b”, possuem a mesma pergunta, ir
de A até D, porém em sentidos contrários, portanto, espera-se que o estudante faça
essa distinção.
No item “c” pergunta-se a distância de A até D passando por B e voltando
até C, neste item espera-se que o estudante calcule, utilizando a operação de adição,
a adição da distância entre os trechos AB + BC + CD + DC, são as partes, esse item
possui uma dificuldade adicional, pois o estudante precisa perceber que a distância
Figura 7: Imagem questão 1
95
entre C e D é a mesma que D e C, portanto este trecho seria somado duas vezes, o
resultado da soma das parte é 1.397 Km, que representa o todo.
No item “d” pergunta-se a distância de B até E passando por D, neste item
espera-se que o estudante calcule, utilizando a operação de adição, a adição da
distância entre os trechos BC + CD + DE, esse item possui uma diferença dentre os
demais, pois nesse caso parte-se de “B”, anteriormente o ponto de partida era o ponto
“A”, este item seria solucionado caso o estudante operasse a adição entre os trechos
BC + CD + DE e o resultado da soma destas parte é 1.237 Km, que representa o todo.
Figura 8: Exemplo de dificuldade na Questão 1
Fonte: Dados da Pesquisa
Nessa questão o estudante interpretou, no item a, que os valores, 406, 207,
392 e 638, representariam os “pontos” A, B, C e D, respectivamente, e fez a adição
desses pontos, chegando à resposta de 1643 km. A dificuldade encontrada neste
subitem pelo estudante, foi que ele não percebeu que esses valores representavam a
distância entre duas cidades e não um valor dado para cada cidade, ponto, portanto
sua interpretação foi incorreta.
Aplicando o mesmo raciocínio que o estudante apresentou outros itens,
podemos identificar seu modo de “pensar”. Pois no item “b” efetuou a soma, 𝐴 + 𝐸 +
𝐷 = 406 + 317 + 638 = 1.361 𝑘𝑚, no item “c”, 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐶 = 406 + 207 +
392 + 638 + 392 = 2.033 𝑘𝑚 e no item “d”, 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸 + 𝐷 = 207 + 392 + 638 +
317 + 638 = 2.192 𝑘𝑚.
96
5.1.1.2 Comentário da Questão 2
A Questão 2, esta descreve quatro cidades disposta em linha, A, B, C e D,
nessa ordem, ao longo de uma rodovia. Informavam-se as distâncias entre as cidades
A e C, B e D e A e D, perguntava-se a distância entre as cidades B e C. Nesta questão,
dentre as respostas possíveis, o estudante precisa resolver dois problemas de
comparação, do tipo diferença. A primeira seria calcular a diferença entre as distâncias
das cidades C e D, conjunto menor, e a distância das cidades A e D, conjunto maior,
encontrando a distância entre C e D, diferença, que resulta em 30 km. Após isso
efetuaria uma nova comparação entre a distância das cidades B e D, conjunto maior,
e C e D, conjunto menor, teria como resposta a distância entre as cidades B e C, 15
km, diferença.
Figura 9: Exemplo de dificuldade na Questão 2
Fonte: Dados da Pesquisa
Nessa questão a dificuldade de interpretação ficou evidente, pois no
comando da questão foi apresentado o texto: “As quatro cidades A, B, C e D foram
construídas à beira de uma rodovia reta”. A imagem mostra que o mesmo teve
dificuldade em compreender o texto da situação problema, portanto devido a isso
interpretou de maneira inadequada o problema o que ocasionou a resolução incorreta.
5.2.1.3 Comentário da Questão 9
Este salario é subdividido em três valores, sendo a parte fixa (PF), no valor
de R$ 600,00, recebida independentemente da quantidade de revistas vendidas, e
duas partes variáveis, relacionada com o total de assinaturas vendidas, a primeira
parte variável (PV1), é referente as primeiras 50 assinaturas vendidas e seria pago R$
97
15,00 por cada assinatura, e a segunda parte variável (PV2) se refere a quantidade
vendida acima das 50 primeiras vendidas e seria pago R$ 20,00 por cada assinatura.
Portanto o salário mensal do vendedor é composto desta forma: Salário = 𝑃𝐹 + 𝑃𝑉1 +
𝑃𝑉2.
Este problema pode ser subdividido em quatro partes. A primeira seria
calcular a quantidade de revistas vendidas acima das 50 primeiras, sendo 82 o
conjunto maior e 50 o conjunto menor e a diferença seria 32, portanto um problema
de comparar do tipo diferença desconhecida. A segunda é calcular PV2, que é um
problema de grupos iguais do tipo todo desconhecido (multiplicação). Sendo o
“número de conjuntos” o valor 32 e os “conjuntos iguais” o valor pago por assinatura
vendida, R$ 20,00. A terceira etapa é calcular PV1, um problema de grupos iguais do
tipo todo desconhecido (multiplicação), sendo o “número de conjuntos” o valor 50 e os
“conjuntos iguais” o valor pago por assinatura vendida, R$ 15,00. A quarta, e última,
etapa é um problema de adição do tipo parte-todo com o todo desconhecido, sendo
PF, PV1 e PV2 as partes e o salário o todo.
A Figura 10: Exemplo de dificuldade na Questão 9 e a Figura 11: Exemplo
de dificuldade na Questão 9 representam formas diferentes do mesmo erro cometido.
Figura 10: Exemplo de dificuldade na Questão 9
Fonte: Dados da Pesquisa
O estudante interpretou que o salário era composto através da soma da
parte fixa (𝑅$ 600,00) com a parte variável (82 × 𝑅$ 20,00 = 𝑅$1.640,00). Ele não
interpretou que a parte variável era composta por duas partes, a primeira é referente
às 50 primeiras assinaturas (50 × 𝑅$ 15,00 = 𝑅$ 750,00) e a segunda é sobre a
quantidade adicional de assinaturas vendidas (82 − 50) × 𝑅$20,00 = 𝑅$ 640,00.
Totalizando 𝑅$ 2.240,00
98
Figura 11: Exemplo de dificuldade na Questão 9
Fonte: Dados da Pesquisa
Esta dificuldade é semelhante à anterior, em ambas foi interpretado que a
parte variável era composta de uma única forma, e não de duas maneiras como a
interpretação adequada da questão indicava. Podemos perceber que o estudante
interpretou da seguinte maneira o salário é igual à parte fixa, (𝑅$ 600,00) somada com
a parte variável, 82 × 𝑅$20,00 = 𝑅$1. 640,00, totalizando 𝑅$ 2.990,00
Em ambos os erros o estudante não teve dificuldade em perceber que o
salário era composto através da soma das partes, fixa e variável, entretanto não
conseguiu perceber que a parte variável era composta em duas etapas, uma para as
50 primeiras assinaturas vendida e outra para as assinaturas adicionais vendidas.
5.2.1.4 Comentário da Questão 5
A questão 5 apresenta uma esquema (Figura 12: Imagem da Questão 5)
que representa uma estrada, na qual estão dispostas 5 cidades. Posiciona-se a cidade
B no Km 98, desta estrada e afirma que partindo de B e andando 127 km, chega-se a
D e voltando 49 km, chega-se a C. e pergunta-se a distância entre as cidades A e D,
item “a”, A e C, item “b” e B e C, no item “c”.
Figura 12: Imagem da Questão 5
Fonte: Dados da Pesquisa
99
Essa questão exige do estudante a habilidade de:
No item “a”, que aborda um problema do tipo parte-todo com o todo
desconhecido, ele teria que perceber a distância entre as cidades A e D, todo, é dado
pela soma das distância entre as cidades A e B, parte, e a distância entre B e D, parte,
𝐴𝐵 + 𝐵𝐷 = 98 + 127 = 225 𝑘𝑚.
O item “b”, que aborda um problema do tipo comparação com a diferença
desconhecida, a distância entre as cidades A e D representa o conjunto maior, que foi
calculada no item “a”, já a distância entre as cidades C e D representa o conjunto
menor e a diferença é dada ela subtração do conjunto maior pelo menor.
Resumidamente a operação ficaria assim: 𝐴𝐷 − 𝐶𝐷 = 225 − 49 = 176 𝑘𝑚
O item “c”, também aborda um problema do tipo comparação com a
diferença desconhecida, a distância entre as cidades B e D representa o conjunto
maior, já a distância entre as cidades C e D representa o conjunto menor e a diferença
é dada ela subtração do conjunto maior pelo menor. Resumidamente a operação
ficaria assim: 𝐵𝐷 − 𝐶𝐷 = 127 − 49 = 78 𝑘𝑚
Figura 13: Exemplo de dificuldade na questão 5
Fonte: Dados da Pesquisa
Nesse item o estudante considerou que o conjunto maior seria a distância
entre as cidades A e C, 176 km, e o conjunto menor a distância entre as cidades C e
D, 49 km, e efetuou a diferença entre esses conjuntos e chegou ao valor 127 km como
resposta. A dificuldade geradora do erro consistiu em não perceber que a distância
entre as cidades B e D representa o conjunto maior.
100
5.2.2 Dificuldade de Tabuada
Este tipo de dificuldade ficou caracterizado como sendo o proveniente de
algum erro no algoritmo das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
no desenvolvimento dessas operações.
Tabela 5: Quantidade total de dificuldade de tabuada
Questão 1
3 4 5
6 7 8 9 10 a) b) c) d) a) b) c)
Quant. de Erros 0 3 1 4 4 11 5 8 4 4 1 3 3 7
Fonte: Dados da Pesquisa
Percebemos através da Tabela 5: Quantidade total de dificuldade de
tabuada uma grande ocorrência deste tipo de erros nas questões 4, 5, item “b”, 10, 5,
item “a”.
Comentaremos algumas das dificuldade de tabuada encontradas.
5.2.2.1 Dificuldade na Adição
Figura 14: Exemplo de dificuldade de adição
Fonte: Dados da Pesquisa
Durante a resolução desse algoritmo o estudante “esqueceu” de adicionar
o um que foi na soma de 6 + 6 e em virtude disso não somou o um que foi com o um
da casa do milhar, caracterizando assim a dificuldade de tabuada. Esse erro pode ter
sido cometido devido a falta de atenção do estudante.
101
Figura 15: Exemplo de dificuldade de adição
Fonte: Dados da Pesquisa
Nesse caso o estudante “esqueceu” de somar o “um” que foi da soma de
8 + 7, apesar de tê-lo representado em seu algoritmo, portanto ele deveria ter feito à
soma 9 + 2 + 1 = 12.
5.2.2.2 Dificuldade na Subtração
Figura 16: Exemplo de dificuldade na subtração
Fonte: Dados da Pesquisa
Ao efetuar a subtração acima, em destaque, o estudante efetuou a
subtração de 5 − 0 = 5, cada das unidades, corretamente, mas não fez a subtração
da casa das dezenas 9 − 8 = 1, de forma correta. Observa-se ao lado a subtração de
“50 − 45” efetuada de forma correta, inclusive a operações de reserva, “empresta um”,
como é comumente chamada. Portanto um falta de atenção pode ter causado o
equívoco do estudante.
102
Figura 17: Exemplo de dificuldade na subtração
Fonte: Dados da Pesquisa
Neste caso o estudante efetuou a subtração da seguinte forma: 8 − 7 = 1
e 2 − 9 = 7 e compôs o resultado 171. Fica evidente que esse estudante não tem o
domínio do algoritmo da subtração, assim como o de seu conceito, pois ao efetuarmos
uma subtração, obrigatoriamente, o resultado é um número menor do que o inicial.
5.2.2.3 Dificuldade na multiplicação
Figura 18: Exemplo de dificuldade na multiplicação
Fonte: Dados da Pesquisa
Normalmente ao efetuarmos uma multiplicação fazemos a produto do fator
“de baixo” pelo fator “de cima”, porem ao efetuar essa multiplicação o estudante usou
um método diferente de resolver a multiplicação, fez justamente o contrário do
tradicional, multiplicou o fato “de cima” pelo fator “de baixo”. No desenvolvimento desta
multiplicação ao efetuar 5 × 2 = 10 baixou o zero e “guardou” um e depois efetuou 5 ×
1 = 5 e em seguida fez depois 5 + 1 = 7 e ainda ao somar 7 + 4 = 12 e segundo erro
de tabuada na mesma operação e que gerou a dificuldade na operação.
103
5.2.2.4 Dificuldade na Divisão
Figura 19: Exemplo de dificuldade na divisão
Fonte: Dados da Pesquisa
Ao efetuar essa divisão o estudante errou ao dividir 13 ÷ 5 = 1 e resto 3,
apresentou a dificuldade de tabuada, confundindo 2 com 1.
Figura 20: Exemplo de dificuldade na divisão
Fonte: Dados da Pesquisa
Neste caso o estudante dividiu 70 ÷ 8 = 8 e resto 6, imagina-se que ele
pode ter feito 8 × 8 = 64 e depois 70 − 64 = 6, baixou o 6 e colocou o zero do 70 após
o 8, encontrando o valor 80, infere-se que o mesmo não prestou atenção no resultado,
por 80 > 70 e que, neste caso, a operação de divisão teria um resultado menos que
70.
5.2.3 Dificuldade de Interpretação Parcial
Esse tipo de dificuldade ficou caracterizada como sendo proveniente da
interpretação parcial da situação problema proposto, ou seja, o estudante não
conseguiu relacionar o texto escrito com os conceitos matemáticos envolvidos na
situação problema de forma completa, em consequência disso efetuou procedimentos
parciais para responder a pergunta do problema, ou seja, o estudante não efetuou
todos os cálculos necessários para a resolução da questão.
104
Tabela 6: Quantidade de dificuldade de Interpretação Parcial
Questão 2 3 4 6 7 8
Quant. de Erros 8 12 7 1 15 1
Fonte: Dados da Pesquisa
Observando a
Tabela 6: Quantidade de dificuldade de Interpretação Parcial percebemos
a grande incidência deste tipo de erro não questões 7, 3, 2 e 4. Será feito comentários
dos principais erros cometidos.
5.2.3.1 Comentário sobre a questão 7
A questão 7 tem sua resolução dividida em duas etapas.
A primeira etapa consiste em um problema de comparação multiplicativa
do tipo todo desconhecido, onde o total de cana produzida por hectare corresponde
ao conjunto referência, o total de hectares do sitio ao multiplicador e o total de cana
produzida no sitio ao produto, valor desconhecido.
A segunda etapa consiste em um problema de grupos iguais do tipo número
de grupos desconhecidos (divisão-medida), onde o total de cana produzida no sitio
corresponde ao produto (todo), a quantidade que o caminhão transporta por viagem
ao conjuntos iguais e o número de conjuntos ao total de viagens necessária para
transportar a cana, valor desconhecido e resposta da questão.
Figura 21: Dificuldade na questão 7 de Interpretação Parcial
Fonte Dados da Pesquisa
Nesta questão o estudante utilizou uma estratégia diferente ao tentar
resolver o problema. Através da imagem podemos inferir que ele efetuou a divisão
105
entre o total de cana produzida por hectare, que podemos entender como produto, e
a quantidade de cana transportada em cada viagem, que seria o número de conjuntos,
o que resulta no total de viagens dadas por cada hectares colhido, multiplicador, o que
caracteriza um problema de grupos iguais do tipo número de grupos desconhecidos
(divisão-medida). A partir desta estratégia utilizada faltou ao estudante efetuar o
produto entre o total de hectares plantados, que entendemos como multiplicador, pelo
total de viagens por cada hectares colhido, conjunto referência, com isso ele
encontraria o total de viagens dada pelo sitiante, produto e valor desconhecido.
Mediante a analise desta estratégia podemos inferir que o estudante teve
dificuldades em compreender o significado de cada grandeza e suas relações.
5.2.3.2 Comentário sobre a questão 3
A questão 3 possui duas etapas para a sua resolução, ambas as etapas
envolvem um problema de comparação multiplicativa do tipo grupos iguais e todo
desconhecido. Na primeira etapa o total de toneladas de cada produzida por hectare
corresponde ao conjunto referência, o total de hectares plantados ao multiplicador e o
total de cana plantada ao produto (valor desconhecido). Na segunda etapa o total de
cana plantada representa o conjunto referência, o total de litros de álcool produzidor
por tonelada de cana o multiplicador e o total de litros de álcool produzidos ao produto
(valor desconhecido).
Figura 22: Dificuldade na questão 3 de Interpretação Parcial
Fonte: Dados da Pesquisa
Nessa questão o estudante desenvolveu a primeira etapa do problemas,
fazendo o produto entre o total de hectares plantados, conjunto referência, pelo total
106
de cana produzido por hectares plantado, multiplicador, que resulta no total de cana
plantado, produto (valor desconhecido). Entretanto não foi dada continuidade na
resolução do problema, pois não foi estabelecida a relação entre o total de cana
plantada e o total de litros de álcool produzidor por tonelada de cana, o que
caracterizou a interpretação parcial da questão.
5.2.3.3 Comentário sobre a questão 2
A Questão 2, descreve quatro cidades disposta em linha, A, B, C e D, nessa
ordem, ao longo de uma rodovia. Informava-se as distâncias entre as cidades A e C,
B e D e A e D, perguntava-se a distância entre as cidades B e C. Nesta questão,
dentre as respostas possíveis, o estudante precisaria resolver dois problemas de
comparação, do tipo diferença desconhecida. A primeira seria calcular a diferença
entre as distâncias das cidades C e D, conjunto menor, e a distância das cidades A e
D, conjunto maior, encontrando a distância entre C e D, diferença (valor
desconhecido), que resulta em 30 km. Após isso efetuaria uma nova comparação
entre a distância das cidades B e D, conjunto maior, e C e D, conjunto menor, teria
como resposta a distância entre as cidades B e C, 15 km, diferença (valor
desconhecido).
Figura 23: Dificuldade na questão 2 de Interpretação Parcial
Fonte: Dados da Pesquisa
O estudante interpretou corretamente o texto da questão, modelou a figura
corretamente e colocou os valores nos lugares correspondentes. Este erro nos sugere
que houve dificuldade em estabelecer as relações entre as distâncias envolvidas.
107
5.2.3.4 Comentário sobre a questão 4
Esta questão aborda o conteúdo de divisão com resto, o estudante deverá
perceber a relação entre as duas grandezas presente no texto do problema, e ainda,
perceber que o resto dessa divisão também faz parte da pergunta, portanto é parte
integrante da solução este é um problema de grupos iguais do tipo número de grupos
desconhecidos, divisão medida, em que o total de figurinhas corresponde ao todo
(produto), a relação de 5 balas para cada figurinha ao conjuntos iguais, o total de balas
ao número de conjuntos e o resto da divisão é a “sobra”.
Figura 24: Dificuldade na questão 4 de Interpretação Parcial
Fonte: Dados da Pesquisa
A questão tinha como objetivo calcular o total de balas, número de
conjuntos, que poderiam ser trocada e a quantidade de figurinhas restante, sobra, o
estudante fez o cálculo corretamente e descobriu o total de balas, porém não
completou sua resposta afirmando que restariam 4 figurinhas. Portando a dificuldade
apresentada é não perceber que o problema envolvia divisão com resto e o resto
compunha a resposta do problema.
5.2.3.5 Comentário sobre a questão 6
A resolução da questão 6 é dividida em duas etapas, a primeira, é um
problema de parte-todo do tipo todo desconhecido, onde a quantidade de alunos que
obtiveram notas 5 ou 10 compõem as partes e a soma dessas partes corresponde ao
total de alunos que não obtiveram 0 (valor desconhecido), ou seja, obtiveram notar 5
ou 10. A segunda é um problema de separar com resultado desconhecido, onde a
quantidade inicial corresponde ao total de alunos que fizeram a prova, a mudança é a
108
quantidade de alunos que não obtiveram 0 e o resultado (valor desconhecido) é o total
de alunos que obtiveram 0 na prova.
Figura 25: Dificuldade na questão 6 de Interpretação Parcial
Fonte: Dados da Pesquisa
Nesta questão o estudante compreendeu e desenvolveu a primeira etapa
do problemas, ou seja, efetuou a soma dos estudantes que obtiveram nota 5 ou 10,
portanto resolve o problema parte-todo, entretanto ele não percebeu a relação entre
o valor achado anteriormente e o total de alunos que fizeram a prova ou seja, a
diferença entre o número de alunos que obtiveram notas 5 e 10 e o total de alunos.
5.2.4 Dificuldade de Operação
Esse tipo de dificuldade ficou caracterizada como sendo proveniente do
cálculo em que o estudante efetuou a operação diferente da que poderia ser utilizada
para solucionar a situação problema.
Tabela 7: Quantidade de dificuldade de operação por questão
Questão 1
3 4 6 7 8 c)
Quant. de Erros 14 9 1 3 4 1 Fonte: Dados da Pesquisa
Através da Tabela 7: Quantidade de dificuldade de operação por questão
percebemos que houve uma grande incidência deste tipo de erro nas questões 1, item
“c”, 3, 6 e 7. Abaixo serão feitos comentários sobre esses erros e as dificuldades
apresentadas.
109
5.2.4.1 Comentário sobre a questão 1, item “c”
A questão 1, subitem “c” aborda o conteúdo de adição é estruturada em um
problema com estrutura do tipo parte-todo com o todo desconhecido, aa distâncias
entre as cidades são as partes e a distância percorrida pelo carro é o todo (valor
desconhecido).
Figura 26: Dificuldade de operação, Questão 1, item “c”
Fonte: Dados da Pesquisa
Como este item possui a estrutura de um problema aditivo de parte-todo,
cada trecho percorrido pelo carro é uma parcela, portanto essa questão seria
solucionada efetuando-se a soma 406 + 207 + 392 + 302 = 1.397 𝑘𝑚, entretanto a
palavra-chave “voltando” foi interpretada como uma subtração, conforme percebemos
pela imagem acima.
5.2.4.2 Comentário sobre a questão 3
A questão 3 possui duas etapas para a sua resolução, ambas as etapas
envolvem um problema de comparação multiplicativa do tipo grupos iguais e todo
desconhecido. Na primeira etapa o total de toneladas de cada produzida por hectare
corresponde ao conjunto referência, o total de hectares plantados ao multiplicador e o
total de cana plantada ao produto (valor desconhecido). Na segunda etapa o total de
cana plantada representa o conjunto referência, o total de litros de álcool produzidor
por tonelada de cana o multiplicador e o total de litros de álcool produzidos ao produto
(valor desconhecido).
110
Figura 27: Dificuldade de operação, Questão 3
Fonte: Dados da Pesquisa
Nessa questão o estudante teve dificuldade em perceber que as
grandezas, total de toneladas de cada produzida por hectare e o total de hectares
plantados, são diretamente proporcionais e efetuou a divisão. Infere-se que o
estudante interpretou este problema como sendo problema de grupos iguais com
número de grupos desconhecidos (divisão-medida).
5.2.4.3 Comentário sobre a questão 7
Como já foi mencionado anteriormente, esta questão pode ser subdividida
em dois problemas. A primeiro consiste em um problema de comparação multiplicativa
do tipo todo desconhecido e o segundo consiste em um problema de grupos iguais do
tipo número de grupos desconhecidos (divisão-medida).
Figura 28: Dificuldade de operação, Questão 7
Fonte: Dados da Pesquisa
Nesta questão o estudante efetuou a operação de adição de todos dados
contido no problema, ele não compreendeu as relações entre as grandezas
quantidade de hectares do sitio e toneladas de cana produzida por hectares plantados,
assim como, a quantidade total de cana produzida e o total de cana transportada a
cada viagem.
111
5.2.4.4 Comentário sobre a questão 6
Como foi descrito anteriormente a resolução desta questão é dividida em
duas etapas, a primeira, é um problema de parte-todo do tipo todo desconhecido, e a
segunda, é um problema de separar com resultado desconhecido.
Figura 29: Dificuldade de operação, Questão 6
Fonte: Dados da Pesquisa
Nessa questão o estudante subtraiu o total de estudante que obtiveram
nota 5 na prova do total de que obtiveram 10 nesta prova. Portanto o estudante não
compreendeu que a quantidade de alunos que obtiveram notas 5 ou 10 compõem as
partes e a soma dessas partes corresponde ao total de alunos que não obtiveram 0
(valor desconhecido). Pode-se concluir que o estudante teve dificuldade em perceber
as relações entre as grandezas envolvidas na situação problema, e que,
provavelmente, ele efetuou a primeira operação que pensou.
5.2.5 Dificuldade de Conceito
Esse tipo de dificuldade ficou caracterizada como a não compreensão dos
conceitos envolvidos na questão. Envolve erros conceituais de grandezas, valores
discretos ou contínuos, dentre outros.
Tabela 8: Dificuldade de conceito
Questão 3 4 6 7 8 10
Quant. de Erros 4 9 1 4 11 7 Fonte: Dados da Pesquisa
Através da Tabela 8: Dificuldade de conceito percebemos uma grande
incidência deste tipo de erro nas questões 8, 4 e 10. Abaixo serão feitos comentários
sobre esses erros.
112
Fonte: Dados da Pesquisa
Fonte: Dados da Pesquisa
5.2.5.1 Comentário sobre a questão 8
Figura 30: Dificuldade Conceitual, questão 8
Nessa questão o estudante considerou a grandeza quantidade de Laranjas
com a grandeza Quilometro (km), unidade de medida de distância. Ele pode ter
cometido esse erro por não ter prestado atenção no texto da situação problema.
5.2.5.2 Comentário sobre a questão 4
Figura 31: Dificuldade Conceitual, questão 4
O estudante considerou que a grandeza Balas, consistia uma grandeza
continua e portando efetuou a divisão até as casas decimais. Porém nesta questão a
Grandeza Balas é discreta e não assume valores decimais.
113
5.2.5.3 Comentário sobre a questão 10
Figura 32: Dificuldade conceitual, Questão 6
Fonte: Dados da Pesquisa
A imagem deixa evidente que o estudante considerou a grandeza Lucro
como sendo a grandeza Receita. Com isso percebe-se uma dificuldade conceitual na
interpretação das grandezas envolvidas.
114
Considerações finais
A análise das dificuldades apresentadas pelos estudantes mostrou que
dificuldades encontradas são relacionadas a cinco tipos de erros, a dizer: Erro de
interpretação incorreta da questão, erro de tabuada, interpretação parcial da situação
problema, erro de operação e erro conceitual.
A partir dos resultado evidenciado pelo PISA, podemos afirmar que nosso
estudantes, em sua maioria, possuem a capacidade de responder as perguntas que
são apresentadas em contextos trabalhados em sala de aula e na qual toda a
informação relevante está presente na situação problema e com perguntas claramente
definidas. Eles conseguem identificar informações e desenvolver procedimentos
rotineiros conforme instruções diretas em situações problemas explícitas. Entretanto
os dados da pesquisa mostraram que apenas houve 43% de acertos, conforme indica
o Gráfico 2: Quantidade de Acertos, Erros e Questões em Branco. Portanto em 57%
das situações problemas proposta os estudante erraram ou não conseguiram resolver
as questões. O que nos indica que quase um terço dos estudante do 1º ano do Ensino
Média ainda não desenvolveram as habilidades e competências referentes as
operações básicas.
Gráfico 2: Quantidade de Acertos, Erros e Questões em Branco
Fonte: Dados da Pesquisa
Acertos43%
Errado31%
Em Branco26%
115
As dificuldades apresentadas pelos estudantes nos levam a refletir sobre a
formação do futuro professor, uma vez que as pesquisa nos mostram que os eles
ainda reproduzem as concepções dos professores formadores, pois enfatizam o
ensino de matemática formal.
Observando as linhas de tendência do Gráfico 3: Quantidade de Acertos,
Erros e Em Branco podemos perceber que à medida que o grau de dificuldade das
situações problemas aumentam, os estudante demostram mais dificuldades em
resolve-las.
A linha de tendência de Acertos e Erros diminuem conforme as situações
problemas são mais complexas, pois envolvem mais de uma operação em sua
resolução. Isso nos leva a supor que os mesmo não estão conseguindo fazer as
devidas conexões entre os conceitos das operação e sua aplicação na situação
problema e que quanto mais complexa a situação problema menor é a compreensão
da mesma. A linha de tendência Questões em Branco segue uma direção contraria,
partindo próxima a zero e chegando próximo a 40 questões em branco, portando
podemos inferir que os estudantes não estão compreendendo a situação problema e
com isso não esboçam nenhum tipo de resolução.
Gráfico 3: Quantidade de Acertos, Erros e Em Branco
Fonte Dados da Pesquisa
0
10
20
30
40
50
60
Qu
anti
dad
e d
e A
cert
os,
Err
os
e Em
Bra
nco
CERTAS ERRADAS EM BRANCO
Linear (CERTAS) Linear (ERRADAS) Linear (EM BRANCO)
116
A teoria sócio histórica de Vygotsky distingui dois níveis de aprendizado o
nível de desenvolvimento real ou efetivo, aquilo que o estudante consegue realizar
por conta própria, e o nível de desenvolvimento potencial, aquilo que o estudante
consegue fazer com o auxílio de um professor. Dentro desses dois níveis de
aprendizado emerge o conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP).
Analisando o Gráfico 4: Percentual de Acertos, Erros e Questões em
Branco sob a perspectiva da teoria sócio histórica podemos perceber que a parte em
cinza escuro do gráfico é análoga ao nível de desenvolvimento real, uma vez que o
estudantes conseguiram solucionar as situações problemas sem auxílio. A parte em
cinza claro é análoga ao nível de desenvolvimento potencial já que os estudantes
erraram as questões, mas tentaram resolve-las, o que nos indica que com o auxílio
do professor os mesmo seriam capazes de soluciona-las, onde está inserida a ZDP.
Gráfico 4: Percentual de Acertos, Erros e Questões em Branco
Fonte Dados da Pesquisa
A partir deste pesquisa podemos afirmar que os estudantes não estão
desenvolvendo os conhecimentos matemáticos necessário a sua formação como
cidadão. Portanto sugerimos que sejam feitas pesquisas afim de superar esses
problemas.
5345
33 35 31 28
4336
2732
54
3328
23 23
2432
40 3332
32
29
1523
18
11
24
18 2518
4 4 813
18 21
9
30 31 31
1624
35 3340
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
CERTAS ERRADAS EM BRANCO
117
Referencias
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VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: Formação de professores e aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre (RS). Editora Artmed. 2001. 584 p.
120
Anexo
Teste resolução de problemas das quatro operações básicas.
Local: ______________________________________ Id.: ________
Data:____/____/____
Nome:___________________________________________________
Questão 1 A figura abaixo representa trechos de estradas de rodagem. Os números indicam quantos quilômetros tem cada trecho. Quantos quilômetros percorrerá um carro que:
a) Vai de A até D passando por B e C? b) Vai de A até D passando por E? c) Vai de A até D passando por B e voltando até C? d) Vai de B até E passando por D?
Questão 2 As quatro cidades A, B, C e D foram construídas à beira de uma rodovia reta. A distância entra A e C é de 50km e a distância entre B e D é de 45km. Além disso, sabe-se que a distância entre a primeira e a última cidade é de 80km. Qual é a distância, em quilômetros, entre as cidades B e C? Questão 3 Um hectare de terra produz 75 toneladas de cana e cada tonelada de cana produz 85 litros de álcool. Então, quantos litros de álcool serão produzidos com a cana plantada em 1500 hectares de terra?
121
Questão 4 Alessandro troca 5 figurinhas por uma bala. Como ele tem 134 figurinhas, pergunta-se: quantas balas ele poderá obter e quantas figurinhas lhe restarão? Questão 5 O esquema representa uma estrada:
B E
D
A C
A cidade B está localizada no quilometro 98. Um carro parte de B, anda 127 quilômetros e chega em D. volta 49 quilômetros e chega em C. Pergunta-se: a) A quantos quilômetros de A está a cidade D? b) A quantos quilômetros de A está a cidade C? c) A quantos quilômetros de B está a cidade C?
Questão 6 Participaram de uma prova de Matemática 320 alunos. A prova tinha 2 questões, e o professor estabeleceu que não consideraria respostas meio certas. Assim, a cada prova só poderiam ser atribuídas notas zero, 5 e 10. Dos alunos, 87 obtiveram nota 10, e 218 obtiveram nota 5. Quantos alunos obtiveram nota zero na prova? Questão 7 Um sitio tem 8 hectares. Cada hectare produz 70 toneladas de cana. O sitiante tem apenas um caminhão, que transporta 7 toneladas. Quantas viagens deverão ser realizadas para o transporte de toda a cana?
122
Questão 8 Um quitandeiro dá uma dúzia de bananas em troca de quatro laranjas. Com 1 116 bananas, quantas laranjas ele obterá? Questão 9 Um vendedor de assinaturas de uma revista de informática tem ganho fixo de 600 reais por mês. Além desse salário fixo, ele recebe uma parte variável da seguinte forma: pelas primeiras 50 assinaturas vendidas no mês, ele ganha 15 reais por assinatura, e, se vender mais de 50 assinaturas no mês, passa a ganhar 20 reais por assinatura adicional. Quanto ele receberá no mês que vender 82 assinaturas?
Questão 10 Para produzir um objeto, uma empresa gasta 12 reais por unidade, tendo também mais uma despesa fixa de 4000 reais, independentemente da quantidade produzida. Essa empresa produziu 250 desses objetos e vendeu todos por 40 reais a unidade. Qual foi o lucro da empresa nessa venda?
Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e da Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática Curso de Licenciatura em Matemática
Av. Djalma Dutra s/n 66030-010 Belém - PA
