Efeito Casimir dinˆamico via matriz de espalhamento tipo ... · Aos meus amigos Jafra Carvalho, Carlos Alexandre Nascimento, Bruno Cayres, AdrianaMun˜ozeem especial aminhaamiga

Jeferson Danilo26 de Fevereiro de 2010

UNIVER

ES DI AD FEDERAL DO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA

INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM FISICA

Efeito Casimir dinamico via matriz de

espalhamento tipo Robin e com estados iniciais

arbitrarios

Alessandra Nascimento Braga

Orientador: Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves

Belem-Para

2013

Efeito Casimir dinamico via matriz de

espalhamento tipo Robin e com estados iniciais

arbitrarios


Dissertacao de Mestrado apresentada ao Programa de

Pos-Graduacao em Fısica da Universidade Federal do Para

(PPGF-UFPA) como parte dos requisitos necessarios para

obtencao do tıtulo de Mestre em Ciencias (Fısica).

Orientador: Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Danilo Teixeira Alves - UFPA

Prof. Dr. Carlos Farina de Souza - UFRJ

Prof. Dr. Felipe Siqueira de Souza da Rosa - UFRJ

Belem-Para

2013

i

Resumo

Efeito Casimir dinamico via matriz de espalhamento tipo

Robin e com estados iniciais arbitrarios


Orientador: Danilo Teixeira Alves

No presente trabalho, estudamos o efeito Casimir dinamico para uma fronteira

parcialmente refletora, considerando o campo de Klein-Gordon, sem massa, em 1+1

dimensoes, sujeito a condicao tipo Robin com parametro de Robin dependente do

tempo. Definimos a condicao tipo Robin como aquela imposta ao campo por uma

fronteira nao ideal, cujo limite ideal recupera a condicao de contorno de Robin. Neste

contexto, calculamos a solucao do campo para o caso da fronteira ideal (Robin) e

depois generalizamos para o caso nao ideal (tipo Robin) com parametro de Robin

dependente do tempo, por meio da introducao de uma matriz de espalhamento,

tomando como base a referencia [M. T. Jaekel & S. Reynaud, J. Physique I (1991)].

Obtemos uma formula para a densidade espectral de partıculas criadas, considerando

um estado inicial arbitrario do campo. Em seguida, particularizamos a formula para

os casos de vacuo e banho termico. Levando em conta espelhos nao ideais, estes

resultados generalizam os correspondentes resultados de Silva e Farina [H. O. Silva

& C. Farina, Phys. Rev. D (2011)] e de Farina et al [C. Farina, H. O. Silva, A. L.

C. Rego & D. T. Alves, International Journal of Modern Physics: Conference Series

(2012)].

Belem-Para

2013

ii

Abstract

Dynamical Casimir Effect via scattering matrix Robin-like

and arbitrary initial states


Supervisor: Danilo Teixeira Alves

In this work, we study the dynamical Casimir effect with a partially reflecting

boundary, considering the massless Klein-Gordon field, in 1 + 1 dimensions, subject

to a Robin-like boundary condition with time-dependent Robin parameter. We

define the Robin-like boundary condition as that imposed to the field by a non-ideal

boundary, which in the limit where the boundary becomes ideal, recovers the usual

Robin boundary condition. In this context, we first calculate the solution of the

field in the ideal case (with usual Robin condition), and then we generalize it to the

non-ideal case (with Robin-like condition) with time-dependent Robin parameter,

using an approach based on scattering matrix, based on the reference [M. T. Jaekel

& S. Reynaud, J. Physique I (1991)]. We obtain formulas for the spectral density of

created particles considering an arbitrary initial state of the field. Afterwards, we

analyze the particular cases of vacuum and thermal bath as initial states. Taking

into account non-ideal boundaries, these results generalize the corresponding results

of Silva and Farina [H. O. Silva & C. Farina, Phys. Rev. D (2011)] and Farina et al

[Farina, H. O. Silva, A. L. C. Rego & D. T. Alves, International Journal of Modern

Physics: Conference Series (2012)].

Belem-Para

2013

iii

“Para Lelio,

Aline e Gilvania”

iv

“Quando o ser humano existe enquanto ser pensante, ele e o arquiteto de suas acoes e o

construtor consciente de seu futuro.”

Lelio Braga

v

Agradecimentos

A Deus.

Ao meu pai, Lelio Braga, por toda a sua dedicacao, amor e apoio.

A minha irma Aline Braga e Ma Gilvania Alves (tia Vania), pelo apoio, carinho

e dedicacao irrestrita.

A minha avo Leonildes Favacho e famılia como todo, pelo apoio.

Ao meu orientador Danilo Alves pelo o incentivo, grande paciencia e apoio.

Agradeco por ter o privilegio de trabalhar com o senhor.

Aos meus amigos Jafra Carvalho, Carlos Alexandre Nascimento, Bruno Cayres,

Adriana Munoz e em especial a minha amiga e irma Hayane Marciel, por sua amizade

e companheirismo.

Aos meus amigos do PPGF-UFPA, em particular Jeferson Danilo (amigo-irmao

e companheiro de todas as horas), Shirsley Silva (amiga e conselheira, muito obri-

gada pelo seu apoio), Luiz Fernando Lobato, Kleber Silva, Ezequiel Belo, Natalia

Menezes, Luiz Leite e Ramon Cardias.

Aos companheiros de grupo de Casimir em especial ao Andreson Rego (por sua

amizade, dedicacao e apoio), Joao Paulo, Igor Melo e Danilo Pedrelli. Novamente, ao

meu amigo-irmao Jeferson Danilo por todo seu companheirismo, apoio e paciencia.

Ao Programa de Pos-Graduacao em Fısica da UFPA.

Ao CNPq pelo suporte financeiro.

Sumario

Introducao 9

1 Aspectos gerais da condicao de Robin 13

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 A condicao de contorno de Robin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Efeito Casimir dinamico com condicao de Robin 19

2.1 Notacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Parametro de Robin constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Modelo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Modelo nao ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Parametro de Robin dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.1 Modelo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Modelo nao ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Distribuicao espectral de partıculas criadas 33

3.1 Densidade espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1 Estado inicial de vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Estado inicial de um banho termico . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Estado inicial de vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.2 Estado de um banho termico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Consideracoes Finais 50

A Transformada de Fourier do campo livre 53

SUMARIO vii

B Funcao de Correlacao 55

B.1 Funcao de correlacao no estado de vacuo . . . . . . . . . . . . . . . . 55

B.2 Funcao de correlacao no banho termico . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Referencias Bibliograficas 58

Introducao

Denomina-se efeito Casimir dinamico (ECD) a criacao de partıculas a partir do

vacuo, devido ao movimento de uma fronteira1 ou pela mudanca nas propriedades

materiais dessa fronteira no decorrer do tempo [1]. O trabalho em que o ECD foi

previsto teoricamente foi feito por Moore [2], em 1970, que relacionou a criacao de

partıculas com a interacao entre o campo e uma fronteira em movimento. Ainda na

decada de 70, outros autores publicaram trabalhos versando sobre o ECD, dentre

eles, sao considerados como pioneiros os trabalhos de DeWitt (1975) [3] e de Fulling

e Davies (1976) [4].

Ate a decada de 90, os artigos que estudaram o ECD consideraram, ate onde

sabemos, modelos onde as fronteiras sao ideais, no sentido de que impoem reflexao

total do campo. O ECD com modelos nao ideais foi investigado pela primeira vez

por Jaekel e Reynaud em 1992 [6, 7]. Esses autores fizeram uso de uma matriz

de espalhamento (cujos elementos sao coeficientes de reflexao e transmissao) para

relacionar os campos de entrada e de saıda. O campo de entrada e aquele que incide

sobre a fronteira e ainda nao sofreu nenhuma influencia da condicao de contorno.

Ja o campo de saıda e aquele que e espalhado pela fronteira e, portanto, carrega a

informacao sobre a influencia da condicao de contorno sobre o campo. A matriz de

espalhamento deve satisfazer propriedades de unitariedade, realidade, causalidade

e no limite de altas frequencias essa matriz deve se reduzir a matriz identidade

[5]. Nessa abordagem, esses autores calcularam em 1991 a forca de Casimir2 entre

1Nesta dissertacao, os termos fronteira, espelho ou placa sao referentes aos objetos que estabe-

lecem algum tipo de condicao de contorno ao campo.2A forca de Casimir pode ser compreendida como sendo resultado da pressao de radiacao exer-

cida pelas flutuacoes de vacuo refletidas pelo espelho.

Introducao 10

espelhos parcialmente refletores estaticos [5]. Nesse artigo, os coeficientes de reflexao

(que se anulam no limite de altas frequencias) foram utilizados como regularizadores

para obter um resultado finito para a densidade de energia. Um ano depois, Jaekel

e Reynaud [6] calcularam a forca de reacao de radiacao sobre um espelho movel

e nao ideal no regime nao-relativıstico. Os mesmos autores tambem estudaram

o problema de uma cavidade unidimensional formada por espelhos parcialmente

refletores moveis colocada no vacuo [7], calculando, perturbativamente, uma formula

para a forca exercida sobre um dos espelhos da cavidade.

Varios outros autores tambem investigaram o ECD com fronteiras nao ideais

(por exemplo, [8, 9, 10, 11, 12]). Barton e Calogeracos [8, 9] usaram potenciais de

interacao tipo delta de Dirac, introduzidas a lagrangiana do modelo, para simular

uma fronteira nao ideal e deduziram os coeficientes de reflexao e transmissao que,

neste caso, sao dependentes da frequencia e de um parametro que controla a refle-

tividade da fronteira (este parametro e a constante de acoplamento do campo com

o espelho). Atraves desse modelo, estudaram o problema da radiacao emitida pelo

espelho e a forca da radiacao media que atua sobre o espelho no regime de movimen-

tos nao-relativısticos. Lambrecht, Jaekel e Reynaud [10] calcularam o numero de

partıculas criadas devido a uma fronteira parcialmente refletora movel, considerando

o vacuo como estado inicial. Obadia e Parentani [11] generalizaram o modelo de

Davies-Fulling (que descreve o espalhamento de um campo sobre um espelho ideal

movel) [4], de modo que implementaram espelhos nao ideais. Podemos citar, ainda,

Haro e Elizalde [12], que calcularam a forca em uma cavidade nao ideal, esta forca

contem um termo proporcional a aceleracao dos espelhos. Podemos destacar que

todos estes trabalhos [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], os quais discutem o ECD com fronteiras

nao ideais, no limite ideal recuperam o caso em que a fronteira impoe uma condicao

de Dirichlet sobre o campo. Ate onde sabemos, nao ha na literatura trabalhos sobre

o ECD com fronteiras nao ideais cujo limite para o caso ideal recupere o caso em que

a fronteira impoe ao campo uma condicao de Robin. No presente trabalho, vamos

considerar fronteiras nao ideais que no limite em que estas se tornam ideais, impoem

a condicao de Robin ao campo. Estas condicoes de contorno nao ideais denomina-

mos condicoes tipo Robin, e a essas condicoes associamos matrizes de espalhamento

Introducao 11

que tambem denominamos como tipo Robin.

Estudar condicao de contorno de Robin e interessante pois ela esta estreitamente

relacionada a primeira observacao experimental do ECD, anunciada por Wilson et

al [13] em 2011. Nesse experimento, os autores usaram um circuito supercondu-

tor composto por uma linha de transmissao coplanar com comprimento eletrico

variavel. As mudancas no comprimento eletrico sao feitas atraves de modificacoes

na indutancia de um dispositivo supercondutor de interferencia quantica (SQUID)3

localizado em uma das extremidades da linha de transmissao, por meio da acao de

um fluxo magnetico dependente do tempo. O campo eletromagnetico ao longo da

linha de transmissao e descrito em funcao de um operador de fase, representado um

campo escalar φ(t, x), que descreve o campo eletromagnetico em um guia de onda

complanar com capacitancia C0 e indutancia L0 por unidade de comprimento [14],

e que satisfaz a equacao de Klein-Gordon:

(

v−2∂2t − ∂2x)

φ (t, x) = 0, (1)

sendo v = 1/√C0L0 a velocidade do foton no guia de onda, e φ(t, x) obedece a

condicao de contorno de Robin com parametro de Robin γ dependente do tempo

dado por [14]

φ (t, 0)− γ (t) (∂tφ) (t, 0) ≈ 0, (2)

onde o parametro γ, para este caso, e dado por

γ (t) = −Φ20

[

(2π)2EJ (t)L0

]−1= −Leff (t) , (3)

sendo Φ0 o fluxo quantico magnetico, EJ a energia de Josephson efetiva dependente

do fluxo magnetico, Leff um comprimento efetivo [14, 15], e a energia Josephson

dada por

EJ (t) = E0J [1 + ǫf (t)] . (4)

Com relacao a trabalhos teoricos sobre a condicao de contorno de Robin com

parametro variando no tempo, citamos Silva e Farina [16], que calcularam a dis-

tribuicao espectral de partıculas criadas considerando o vacuo o estado inicial do

3Sigla inglesa que representa “dispositivo supercondutor de interferencia quantica”.

Introducao 12

campo, e Farina et al [17], que determinaram a distribuicao espectral com um banho

termico como o estado inicial do campo.

O presente trabalho generaliza o resultado de Silva e Farina [16] e o de Farina

et al [17], de modo que consideramos uma fronteira nao ideal, com o espalhamento

sobre a fronteira sendo descrito atraves de uma matriz de espalhamento tipo Ro-

bin. Assim sendo, relacionamos os campos de entrada e de saıda para uma fronteira

impondo a condicao tipo Robin com parametro dependente do tempo, usando uma

aproximacao perturbativa, e calculamos a distribuicao espectral das partıculas cria-

das, considerando o estado inicial de vacuo e de um banho termico.

Esta dissertacao obedece a seguinte ordem: no capıtulo 1, discutimos aspectos

gerais da condicao de Robin. No capıtulo 2, calculamos a matriz de espalhamento

de um modelo ideal usando a condicao de contorno de Robin com parametro cons-

tante e comparamos com as condicoes de contorno de Dirichlet e Neumman. Em

seguida, generalizamos essa matriz de espalhamento para um caso nao ideal, discu-

tindo as propriedades que a matriz de espalhamento deve satisfazer para o caso de

uma fronteira parcialmente refletora, tipo Robin e estatica. Depois disso, tratamos

do modelo ideal para o caso de Robin com parametro dependente do tempo e gene-

ralizamos a matriz de espalhamento para o caso de um modelo nao ideal com uma

fronteira parcialmente refletora, tipo Robin e dinamica4. No capıtulo 3, calculamos

uma expressao para a densidade espectral considerando um estado inicial arbitrario.

Por fim, calculamos o numero de partıculas criadas, para um estado inicial de vacuo

e de um banho termico, produzidos por uma fronteira parcialmente refletora tipo

Robin, com parametro de Robin dependente do tempo. Usaremos unidades naturais

c = ~ = kB = 1.

4A fronteira e dinamica no sentido de que impoe uma condicao de Robin com parametro de

Robin dependente do tempo.

Capıtulo 1

Aspectos gerais da condicao de

Robin

1.1 Introducao

No ano de 1948, o fısico Hendrik B. G. Casimir [18], previu teoricamente uma

forca de natureza atrativa entre as placas, neutras e perfeitamente condutora que

ficou conhecida posteriormente como forca de Casimir. Ainda que a pesquisa de

Casimir tenha sido feita com o campo eletromagnetico, todos os campos quanticos

relativısticos admitem modificacoes na sua energia de ponto zero, devido as condicoes

impostas ao campo.

A producao de partıculas dar-se a mudanca no estado inicial do campo; e isto esta

associado a uma placa sujeita a uma lei de movimento ou mudancas nas propriedades

desta placa no decorrer do tempo. Conforme ja mencionado, o pioneiro a estudar o

ECD foi o fısico G. T. Moore [2], que investigou o problema de geracao de partıculas

no vacuo para o campo confinado em uma cavidade unidimensional de comprimento

variavel. Nesse trabalho, Moore utilizou-se da invariancia conforme da equacao da

onda para um campo escalar nao massivo em 1+1 dimensoes, para calcular a solucao

do campo sujeito a condicoes de contorno de Dirichlet em ambas as fronteiras. Em

1976, Fulling e Davies [4], exploraram tanto o problema da cavidade quanto o de

uma fronteira, considerando espelhos ideais.

Nesta dissertacao, queremos explorar um modelo composto por fronteiras nao

1.2 A condicao de contorno de Robin 14

ideias, no sentido de que nao ha reflexao total do campo sobre a fronteira. Jaekel e

Reynaud [5], em 1991, calcularam a forca de Casimir estatica considerando fronteiras

parcialmente refletoras, com a introducao de coeficientes de reflexao e transmissao.

Eles mostraram que a divergencia associada ao infinito da energia do vacuo nao

aparece nessa abordagem e os resultados conhecidos sao recuperados no limite de

um espelho perfeito. E possıvel citar outros trabalhos desses autores em ECD com

modelos envolvendo espelhos nao ideais. Alem disso, Lambrecht, Jaekel e Reynaud

[10] estudaram a radiacao emitida por uma cavidade oscilante no vacuo, dando

uma estimativa quantitativa da producao de fotons no interior da cavidade, bem

como do fluxo de fotons irradiado a partir da mesma. Ao leitor interessado em

outros trabalhos sobre o ECD com fronteiras nao ideais sugerimos as Refs. [21, 22].

Existem outros autores que exploram diferentes problemas para o caso de fronteiras

parcialmente refletoras, tais como os de: Obadia e Parentani [11], Elizalde [23] e

Haro e Elizalde [12, 24, 25, 26].

Na proxima secao, vamos discutir o efeito Casimir com condicao de contorno de

Robin e alguns aspectos dessa condicao. Esta condicao de contorno, apesar de ser

menos frequente na literatura (em comparacao as condicoes de contorno de Dirichlet

e Neumann), e de grande interesse teorico, pois possui propriedades interessantes,

que veremos com mais detalhes.

1.2 A condicao de contorno de Robin

Conhecemos como condicao de contorno de Robin,1 sobre uma funcao f (t, x)

num ponto x = q, aquela que interpola continuamente a condicao de Dirichlet (γ0

tendendo a zero) e Neumann (γ0 tendendo a infinito):

f (t, x) |x=q − γ0∂f (t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=q

= 0, (1.1)

onde γ0 e um parametro constante que possui dimensao de comprimento.

A condicao de Robin aparece em varias situacoes fısicas. Vamos considerar,

por exemplo, o problema de uma corda vibrante [29, 30] que tem presa em um de

1Ao leitor que queira saber sobre a historia da condicao de contorno de Robin e biografia de

Victor G. Robin (1855-1897), pode encontra-las nas referencias [27, 28].


seus extremos contendo um anel nao massivo, acoplado a uma mola com constante

elastica k. O anel pode deslizar verticalmente por uma haste lisa, conforme ilustra

a figura 1.1.

Figura 1.1: Suporte elastico em x = 0 origina, no limite de pequenas inclinacoes da

corda, a condicao de contorno de Robin. Na figura, T e a tensao da corda.

No limite de pequenas inclinacoes da corda (∣

∣

∂y∂x

∣

∣ ≪ 1), usando a segunda lei de

Newton, pode-se mostrar que a condicao de contorno obedecida pela extremidade

da corda e

y (t, x = 0) =T

k

(

∂y (t, x)

∂x

)∣

∣

∣

∣

x=0

, (1.2)

onde o parametro de Robin e dado por γ0 = T/k.

No contexto do eletromagnetismo classico, por exemplo, a solucao radial do

problema de uma casca esferica perfeitamente condutora [31], satisfaz a condicao

de contorno de Robin para certos valores especıficos de γ0. Outro problema e o

modelo de plasma, onde uma onda com frequencia ω muito menor que a frequencia

de plasma ωp, simula a condicao de contorno de Robin na superfıcie de material,

podendo ser estas condicoes de Robin uteis para descreverem superfıcies penetraveis

[39]. Neste sentido, para determinadas circunstancias a condicao de Robin pode

simular o modelo de plasma em materiais reais, ou seja, em altas frequencias do

campo ω ≪ ωP, o ındice de refracao [31]:

n2 ≃ 1− ω2p

ω2(1.3)


e real e a onda se propaga livremente. No entanto, para baixas frequencias, ω ≪ ωP,

a onda que incide no plasma e refletida na superfıcie e dentro do plasma o campo

cai exponencialmente com a distancia a partir da superfıcie do material [31].

Como queremos mostrar a equivalencia do modelo de plasma e a condicao de

Robin, usaremos as referencias [33, 32, 16], e reproduziremos a demostracao desta

equivalencia. Para tal, vamos supor que uma onda monocromatica de frequencia ω,

incida sobre a fronteira na posicao x = 0. A permissividade eletrica do plasma e:

ǫ (ω) = 1− ω2p

ω2(1.4)

e o coeficiente de reflexao:

rP =n− 1

n+ 1=

√

ǫ (ω)− 1√

ǫ (ω) + 1. (1.5)

Substituindo a expressao (1.4) em (1.5) e considerado ω ≪ ωP, obtemos:

rp = −e2iω/ωP +O(

ω2/ω2P

)

. (1.6)

Agora vamos supor que o campo satisfaca a condicao de contorno de Robin, e a

solucao seja dada atraves das ondas propagantes:

φ (t, x) = Ae−i(kx+ωt) + Bei(kx−ωt). (1.7)

Definindo o coeficiente de reflexao como sendo rR = B/A, obtemos:

rR = −1 + iγ0ω

1− iγ0ω= eiσ(ω), (1.8)

onde σ (ω) = 2 tan−1 (γ0ω) e a defasagem entre a onda incidente e a onda refletida.

Tomando o limite de ωγ0 ≪ 1, a expansao do coeficiente de reflexao e dado:

rR = −e2iγ0ω +O(

γ20ω2)

. (1.9)

Comparando as expressoes (1.6) e (1.9), concluimos que o parametro de Robin γ0 e

equivalente ao comprimento de plasma λP = 1/ωP. Como essa condicao de contorno

simula modelos mais realısticos para uma fronteira, isto nos motiva a estuda-la.

Logo, γ0 → γ (t) simulara penetracao na fronteira dependente do tempo, ou seja,

simulara fronteira em movimento.


Ha trabalhos recentes envolvendo a condicao de Robin. Entre esses, citamos:

Romeo e Saharian [34], usaram a condicao de Robin em duas placas paralelas e

mostraram que a forca Casimir e repulsiva para pequenas distancias entre as placas

e atrativa para grandes distancias entre as placas;

Albuquerque e Cavalcanti [35] que discutiram a renormalizacao a um laco da teo-

ria λφ4; Mintz et al [29], que usando a abordagem perturbativa introduzida por Ford

e Vilenkin [36] calcularam a forca total sobre uma fronteira em movimento no vacuo;

novamente Mintz et al [30], que calcularam a distribuicao espectral de partıculas

criadas por uma fronteira em movimento; Elizalde et al [37], que demonstraram a

existencia de um ponto de equilıbrio para distancia inter-placas, que e estabilizada

devido a forca de Casimir, e esta estabilidade e melhorada pela presenca de outras

dimensoes; e Teo [38], que calculou a forca de Casimir a temperatura finita entre

duas placas usando a condicao de contorno de Robin.

Citamos, anteriormente, alguns trabalhos usando a condicao de contorno de Ro-

bin com parametro de Robin constante. No entanto, alem desta condicao, tem a

condicao de contorno de Robin com parametro dependente do tempo:

f (t, x) |x=q − γ (t)∂f (t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=q

= 0, (1.10)

onde γ (t) = γ0 + δγ (t), sendo δγ (t) uma funcao dependente do tempo. Se expan-

dirmos em serie de Taylor a condicao de contorno de Dirichlet imposta por uma

fronteira movel

f (t, x)|x=q(t) = 0, (1.11)

onde q (t) e a funcao movimento da fronteira, ate o termo de primeira ordem de

expansao, temos:

f (t, x)|x=q(t) ≈ f (t, 0) + q (t)∂f (t, x)

∂x

∣

∣

∣

∣

x=0

, (1.12)

mostramos, em primeira aproximacao, que a condicao de Robin com parametro

de Robin dependente do tempo (1.10), imposta ao campo em um espelho fixo e

equivalente a condicao de Dirichlet (1.12), imposta ao campo em um espelho movel.

Esta condicao e interessante, pois pode simular uma fronteira em movimento e este

movimento e determinado pela dependencia no tempo do parametro Robin [32].


Recentemente, esta condicao de contorno foi estudada por Silva e Farina [16], que

mostraram que partıculas podem ser criadas a partir do vacuo, caracterizando assim

um efeito de Casimir dinamico. Em outro trabalho, Farina et al [17] utilizaram uma

abordagem perturbativa e calcularam a distribuicao espectral das partıculas criadas

e a taxa de criacao total de partıculas, considerando com estado inicial do campo

um estado termico.

No proximo capıtulo, veremos com detalhes a construcao da matriz de espalha-

mento de um modelo nao ideal usando a condicao de contorno tipo Robin.

Capıtulo 2

Efeito Casimir dinamico com

condicao de Robin

Ate onde sabemos, por volta do inıcio da decada de 90, todos os calculos so-

bre o efeito Casimir dinamico foram feitos com condicoes de contorno totalmente

refletoras. Esse modelo, embora seja interessante em muitos aspectos, traz consigo

alguns problemas como, por exemplo, divergencias associadas ao infinito da energia

total de vacuo. Jaekel e Reynaud justificam no seu artigo [5] sobre a vantagem de

estudar modelos nao ideias: “(...) Claramente, uma regularizacao mais natural deve

ser fornecida pelo estudo de espelhos parcialmente refletores. Quaisquer espelhos

reais sao certamente transparentes a frequencias elevadas, de modo que a expressao

da forca deve ser regular (...)”.

Na intencao de investigar fronteiras nao ideais, neste capıtulo, abordaremos o

ECD envolvendo uma fronteira parcialmente refletora em repouso. Suporemos que

a fronteira imponha a condicao de contorno de Robin com parametro de Robin

dependente do tempo sobre um campo escalar real e nao massivo. A partir de

uma notacao matricial escrevemos uma matriz coluna para o campo (representada

por Φ(t, x)), onde os elementos dessa matriz sao as componentes do campo que se

propagam em sentidos opostos.

Caracterizamos o espalhamento por uma fronteira atraves de funcoes transmis-

sividade e refletividade dependentes da frequencia − os coeficientes de reflexao e

transmissao. Assim, relacionamos o campo de entrada (in) e saıda (out) atraves

2.1 Notacao 20

de uma matriz de espalhamento. Essa abordagem matricial foi feita por Jaekel e

Reynaud [5, 6, 7, 19].

Nas proximas secoes, discutiremos a matriz de espalhamento de um modelo

que envolve uma fronteira ideal que impoe ao campo uma condicao de Robin com

parametro de Robin constante e, logo depois, generalizamos esta matriz para o caso

nao ideal. E, por fim, encontramos a matriz de espalhamento para o caso da condicao

de contorno tipo Robin com parametro de Robin dependente do tempo γ = γ(t).

2.1 Notacao

Nesta secao, introduziremos a notacao que usaremos no decorrer desta dis-

sertacao. Assim sendo, consideramos um campo escalar real φ (t, x) nao massivo

em 1 + 1 dimensoes que obedece a equacao de Klein-Gordon:

(

∂2t − ∂2x)

φ (t, x) = 0 (2.1)

e representamos o campo livre como a soma das componentes de propagacao do

campo, φ (t, x) = ϕ (t− x) + ψ (t+ x), sendo ϕ o campo que se propaga para a

direita e ψ o campo que se propaga para a esquerda. Em uma forma matricial,

representamos o campo livre por

Φ (t, x) =

ϕ (t− x)

ψ (t+ x)

. (2.2)

Usaremos a seguinte convencao para a transformada de Fourier:

g (t) =

∫

dω

2πe−iωtg (ω) . (2.3)

Dessa maneira, escrevendo o campo livre na forma matricial [6] no domınio de

Fourier (ver detalhes no Apendice A) obtemos

Φ (ω, x) =

eiωxϕ (ω)

e−iωxψ (ω)

= eiηωxΦ (ω) , (2.4)

onde

η =

1 0

0 −1

, (2.5)

2.1 Notacao 21

Φ (ω) =

ϕ (ω)

ψ (ω)

, (2.6)

e as componentes de propagacao do campo sao escritas [6], respectivamente, por:

ϕ (ω) =

√

1

2 |ω|[

θ (ω) aω + θ (−ω) a†−ω]

(2.7)

e

ψ (ω) =

√

1

2 |ω|[

θ (ω) bω + θ (−ω) b†−ω]

. (2.8)

A partir da relacao de comutacao dos operadores de criacao e aniquilacao,

[aω, aω′ ] =[

a†ω, a†ω′

]

= 0, (2.9)

[

aω, a†ω′

]

= 2πδ (ω − ω′) , (2.10)

[bω, bω′ ] =[

b†ω, b†ω′

]

= 0 (2.11)

e[

bω, b†ω′

]

= 2πδ (ω − ω′) , (2.12)

escrevemos as relacoes de comutacao entre os componentes de propagacao do campo

no espaco da frequencia da seguinte maneira:

[ϕ (ω) , ϕ (ω′)] = [ψ (ω) , ψ (ω′)] = 2πδ (ω + ω′) / (2ω) (2.13)

e

[ϕ (ω) , ψ (ω′)] = 0. (2.14)

Consideramos o campo espalhado pela fronteira (localizada na posicao x = q) e

escrevemos o mesmo, a seguir, atraves da uniao do campo do lado direito e do lado

esquerdo:

φ (t, x) = θ (x− q)φ+ (t, x) + θ (q − x)φ− (t, x) , (2.15)

sendo

φ+ (t, x) = ψin (t+ x) + ϕout (t− x) (2.16)

e

φ− (t, x) = ϕin (t− x) + ψout (t+ x) . (2.17)

2.2 Parametro de Robin constante 22

O ındice “in” indica o campo que chega na fronteira − o campo incidente − e o

ındice “out”, o campo que esta saindo da fronteira − o campo espalhado.

A figura 2.1 ilustra as componentes de propagacao do campo que incidem e que

sao espalhados pela fronteira:

j j

in out

inout

Figura 2.1: A fronteira na posicao x = q espalha o campo incidente.

Nas proximas secoes, discutiremos o processo de espalhamento do campo por um

espelho ideal e em repouso que impoe a condicao de contorno de Robin, tanto com

parametro de Robin constante, γ = γ0, quanto com parametro de Robin dependente

do tempo γ = γ (t). Em seguida, generalizaremos esse resultado para o caso nao

ideal, obtendo a matriz de espalhamento que, no limite em que recupera o caso

ideal, recai no caso de Robin. Essa matriz deve satisfazer algumas propriedades que

veremos mais adiante.

2.2 Parametro de Robin constante

Nesta secao, apresentaremos a expressao do campo espalhado por um espelho em

repouso ideal que impoe ao campo a condicao de Robin com parametro constante.

Tendo em vista que esta condicao interpola a condicao de contorno de Dirichlet

e Neumann, como foi observado na secao 1.2, faremos a comparacao da matriz

de espalhamento para essas condicoes de contorno a partir da condicao de Robin.

Em seguida, apresentaremos a extensao para caso de uma fronteira parcialmente

refletora, atraves da troca da matriz de espalhamento ideal por uma matriz nao

ideal. Discutiremos as propriedades que essa matriz de espalhamento deve satisfazer.


2.2.1 Modelo ideal

Consideremos uma fronteira que impoe ao campo a condicao de contorno de Ro-

bin com parametro constante, dada na expressao (1.1). Como ja havıamos mencio-

nado anteriormente na secao 1.2, essa condicao de contorno interpola continuamente

as condicoes de contorno de Dirichlet, quando γ0 → 0, e Neumann, quando γ0 → ∞.

O parametro γ0 representa uma escala de tempo, associado com atraso de tempo

(ou desvio de fase) caracterıstica da reflexao da condicao de Robin [30].

Para encontrar a matriz de espalhamento do caso ideal, aplicaremos a condicao

de Robin, por simplicidade, na posicao x = 0. Aplicaremos a condicao de contorno

na solucao do campo, primeiramente, na regiao x > 0 (lado direito da fronteira),

depois na regiao x < 0 (lado esquerdo da fronteira). Dessa forma, para x > 0:

(1− γ0∂x)φ+ (t, x)|x=0 = (1− γ0∂x) [ψin (t+ x) + ϕout (t− x)]|x=0 = 0. (2.18)

Escrevemos a expressao (2.18) no espaco da frequencia, e obtemos a seguinte relacao

entre as componentes de propagacao do campo de entrada e saıda:

ϕout (ω) = −1 + iγ0ω

1− iγ0ωψin (ω) . (2.19)

Note que o campo de saıda ϕout (ω) se relaciona com o campo de entrada ψin (ω),

atraves de uma funcao que depende da frequencia ω e do parametro γ0. Essa funcao

chamaremos de coeficiente de reflexao de Robin, associada a regiao x > 0, e repre-

sentaremos este coeficiente por r+ (ω). Assim sendo, de maneira similar ao que foi

feito a regiao x > 0, aplicaremos a condicao de contorno em φ− (t, x), que representa

o campo na regiao x < 0, e com isso obtemos

(1− γ0∂x)φ− (t, x)|x=0 = (1− γ0∂x) [ϕin (t− x) + ψout (t+ x)]|x=0 = 0. (2.20)

Da mesma forma que foi feito para o campo na regiao x > 0, escreveremos φ− (t, x)

no espaco da frequencia, e com isso obtemos

ψout (ω) = −1− iγ0ω

1 + iγ0ωϕin (ω) . (2.21)

Tal como foi observado para campo de saıda ϕout (ω) na regiao x > 0, o campo

de saıda ψout (ω) tambem relaciona-se com o campo de entrada ϕin (ω) por meio de


uma funcaoo que depende da frequencia do campo ω e do parametro de Robin γ0,

que tambem sera chamada de coeficiente de reflexao, mas associado a regiao x < 0, e

o representaremos por r− (ω). Desta forma, agrupando as expressoes (2.19) e (2.21),

encontradas anteriormente, na forma matricial temos

Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω) , (2.22)

onde S0R (ω) e a matriz de espalhamento ideal que relaciona a matriz campo de

saıda Φout (ω) e a matriz campo de entrada Φin (ω). Como havıamos mencionado na

secao (2.1), a matriz campo Φ e uma matriz coluna composta pelas componentes de

propagacao ϕ e ψ. A seguir temos a representacao da matriz S0R (ω):

S0R (ω) =

0 −1+iγ0ω1−iγ0ω

−1−iγ0ω1+iγ0ω

0

=

0 ei tan−1(2γ0ω)

e−i tan−1(2γ0ω) 0

. (2.23)

Observe que a diagonal secundaria da expressao (2.23) e composta pelos coe-

ficientes de reflexao do lado direito e do lado esquerdo da fronteira. E, ainda, os

elementos da diagonal principal sao nulos, o que indica que a regiao x > 0 e desco-

nectada da regiao x < 0. Podemos observar, tambem, que recuperamos a matriz de

espalhamento do caso Dirichlet [6], quando γ0 → 0, a saber

S0D =

0 −1

−1 0

=

0 eiπ

e−iπ 0

. (2.24)

onde S0D e a representacao da matriz de espalhamento de Dirichlet ideal. Perceba

que esta matriz carrega a informacao que a onda reflete com uma fase π ao ser

espalhada pela fronteira. Agora, quando tendemos γ0 → ∞, obtemos a matriz de

espalhamento para o caso da condicao de Neumann:

S0N =

0 1

1 0

=

0 ei0

e−i0 0

. (2.25)

De modo analogo, a matriz de espalhamento S0N carrega a informacao de que a onda

reflete sem mudar a sua fase. Entao, de maneira a agrupar a matriz de espalhamento

ideal dos casos de Robin, Dirichlet e Neumann, escreveremos a matriz seguinte:

S0i (ω) =

0 eiσ(ω)

e−iσ(ω) 0

=

0 r+ (ω)

r− (ω) 0

, (2.26)


onde o ındice “i” indica o tipo de matriz ideal (i=D, N, R). Podemos compreender

melhor a expressao (2.26) atraves da Tabela 2.1 que ilustra um comparativo entre

os coeficientes de reflexao para cada condicao de contorno.

Condicao de contorno ındice “i’ r+ (ω) r− (ω) σ (ω)

Dirichlet D −1 −1 π

Neumann N 1 1 0

Robin R −1+iγ0ω1−iγ0ω

−1−iγ0ω1+iγ0ω

tan−1 (2γ0ω)

Tabela 2.1: Comparativo entre as condicoes de contorno de Dirichlet, Neumann e

Robin e os coeficientes de reflexao r ± (ω). E ainda, a fase σ(ω) da onda.

As informacoes do comportamento do campo refletido sobre a fronteira estao

contidas na matriz de espalhamento S. Isto e expressado nos elementos da diagonal

secundaria dessa matriz pelos coeficientes r+ (ω) e r− (ω).

Na proxima subsecao, generalizamos a matriz para o caso nao ideal, explorando

as propriedades que a mesma deve satisfazer para conservar a consistencia do modelo.

2.2.2 Modelo nao ideal

A generalizacao para o modelo nao ideal e feita atraves da troca da matriz

ideal S0i (ω) por uma matriz nao ideal Si (ω;α). Escrevemos, agora, os elementos

da diagonal principal − coeficientes de transmissao −, e os elementos da diagonal

secundaria − coeficientes de reflexao −, da seguinte forma:

S0i (ω) → Si (ω;α) =

s+ (ω;α) r+ (ω;α)

r− (ω;α) s− (ω;α)

. (2.27)

O ındice “+” indica que a onda esta sendo refletida ou transmitida no sentido

x > 0, enquanto o ındice “−” indica que a onda esta sendo refletida ou transmitida

no sentido x < 0. Esses coeficientes dependem da frequencia ω e de um parametro

α que foi introduzido para regular a refletividade da fronteira, de maneira que no

limite α → ∞ deva-se recuperar a matriz do caso ideal dada pela Eq. (2.26) −podendo ser Robin, Dirichlet ou Neumann.


A matriz de espalhamento Si (ω;α) deve satisfazer propriedades de unitariedade

e causalidade, para que sejam preservadas as relacoes de comutacao do campo. E

como estamos considerando que o campo e real, a matriz de espalhamento tem,

necessariamente, que ser real no domınio do tempo. Alem disso, no limite de altas

frequencias ela deve reduzir-se a identidade, condicao esta que se traduz no fato

de que todo espelho existente na natureza deve ser transparente para frequencias

altas o suficiente. A seguir, veremos como essas propriedades impoem restricoes aos

elementos que compoem a matriz na equacao (2.27).

Partiremos da solucao geral do campo livre, que e dada por

φ (t, x) =

∫

dk

√

1

(2π)2ωk

[

ake−iωkteikx + a†ke

iωkte−ikx]

, (2.28)

onde ωk = |k| e k e o numero de onda. Reorganizando os termos da expressao (2.28),

para enfatizar os campos que propagam-se em sentidos opostos, obtemos

φ (t, x) =

∫

dω√2π

[

ϕ(ω)e−iω(t−x) + ψ(ω)e−iω(t+x)]

. (2.29)

Como havıamos mencionado na secao 2.2.1, toda a informacao sobre a condicao

de contorno reside na matriz de espalhamento. Dessa maneira, escrevemos a relacao

entre o campo de entrada e saıda:

Φout(ω) = S(ω;α)Φin(ω). (2.30)

Partimos da expressao (2.30), podemos escrevemos

ϕout(ω) = s+(ω;α)ϕin(ω) + r+(ω;α)ψin(ω) (2.31)

e

ψout(ω) = r−(ω;α)ϕin(ω) + s−(ω;α)ψin(ω). (2.32)

Pelo fato de o campo ser real, φ (t, x) = φ∗ (t, x), concluımos que os elementos

da matriz de espalhamento sao reais no domınio temporal:

s∗+(−ω;α) = s+(ω;α) e r∗+(−ω;α) = r+(ω;α), (2.33)

e isso implica

S(−ω;α) = S∗(ω;α). (2.34)


A relacao de comutacao [φ(t, x), φ(t, y)] = 0 implica [φ±(t, x), φ±(t, y)] = 0 e

[φ±(t, x), φ∓(t, y)] = 0, o que implica a validade da condicao de unitariedade, tra-

duzida nas seguintes equacoes:

s±(ω;α)s∗±(ω;α) + r±(ω;α)r

∗±(ω;α) = 1 (2.35)

e

s±(ω;α)r∗∓(ω;α) + r±(ω;α)s

∗∓(ω;α) = 0. (2.36)

A relacao de comutacao [φ(t, x),Π(t, y)] = −iδ(x− y), sendo Π ≡ φ o momento

conjugado associado ao campo φ, implica na condicao de causalidade. Essa relacao

de comutacao leva, simultaneamente, a [φ±(t, x), Π±(t, y)] = iδ(x− y) e a [φ±(t, x),

Π∓(t, y)] = 0, que implicam [24]

∫

dωr±(ω;α)e−iωt =

∫

dωs±(ω;α)e−iωt = 0 ∀ t < 0. (2.37)

A partir das propriedades acima, notamos que a matriz de espalhamento nao

pode ser qualquer matriz. Entao, como consequencia da propriedade de unitarie-

dade, devemos ter

Si (ω;α) =

|s (ω;α)| eiωξ+(ω;α) |r (ω;α)| eiωσ+(ω;α)

|r (ω;α)| eiωσ−(ω;α) |s (ω;α)| eiωξ−(ω;α)

, (2.38)

onde as funcoes nos argumentos das exponenciais devem satisfazer:

ξ+ (ω;α)− σ− (ω;α) = σ+ (ω;α)− ξ− (ω;α) (2.39)

e a soma dos modulos quadratico dos coeficientes deve ser igual a um:

|s (ω;α)|2 + |r (ω;α)|2 = 1. (2.40)

Estamos, portanto, tratando de um modelo com uma fronteira nao ideal que

impoe uma certa condicao de contorno, tal que, no limite ideal, recai na condicao de

Robin. A essa condicao de contorno denominaremos tipo Robin. Na proxima secao,

mostraremos a matriz de espalhamento para uma condicao de contorno tipo Robin

mas, agora, com parametro de Robin dependente do tempo.

2.3 Parametro de Robin dependente do tempo 28

2.3 Parametro de Robin dependente do tempo

Nesta secao, apresentaremos a expressao do campo espalhado em duas situacoes

nas quais consideramos o parametro de Robin dependente do tempo (γ (t)): (i) na

presenca de um espelho ideal que impoe a condicao de Robin; (ii) na presenca de

um espelho nao ideal tipo Robin.

Iniciamos com o problema de uma fronteira em repouso na posicao x = 0, que

impoe ao campo a condicao de contorno

φ (t, 0)− γ (t) ∂xφ (t, x)|x=0 = 0, (2.41)

onde

γ (t) = γ0 + δγ (t) , (2.42)

γ0 e o parametro de Robin estatico (γ = γ0 para δγ = 0), e

δγ (t) = l0ǫf (t) , (2.43)

sendo l0 uma constante com dimensao de comprimento, ǫ ≪ 1 um parametro

constante adimensional e f(t) uma funcao adimensional do tempo, oscilatoria com

frequencia caracterıstica ω0, e tal que |f(t)| ≤ 1.

Note-se que, no caso geral que estamos considerando, as constantes γ0 e l0 sao

desconectadas uma da outra. Um caso particular e aquele no qual γ0 = l0, o que

implica |δγ(t)| ≪ γ0 [16]. Neste caso particular, considerado em [16], γ0 → 0 ⇒φ(t, 0) = 0 (condicao de Dirichlet estatica), enquanto γ0 → ∞ ⇒ ∂xφ (t, x) |x=0 = 0

(condicao de Neumann estatica), sendo que em ambos esses limites nao ocorre efeito

Casimir dinamico.

Seguiremos, agora, investigando o caso geral no qual as constantes γ0 e l0 sao des-

conectadas uma da outra, mas faremos a seguinte restricao para l0: l0 ∼ 1/ω0, o que

implica |δγ(t)| ≪ 1/ω0. Com essa desconexao, γ0 → 0⇒ φ(t, 0)−δγ(t)∂xφ (t, x) |x=0 =

0 (que corresponde, em primeira aproximacao, a condicao de Dirichlet relacionada a

um espelho movel, tal que φ(t,−δγ(t)) = 0), sendo que neste limite, diferentemente

do que ocorre quando conectamos γ0 e l0, ainda temos o efeito Casimir dinamico.

Ja o limite γ0 → ∞ ⇒ ∂xφ (t, x) |x=0 = 0 (condicao de Neumann estatica), tal como

ocorre no caso em que γ0 e l0 sao conectados.


Ao aplicarmos a condicao (2.41) encontramos a matriz espalhamento para o caso

ideal que relaciona o campo entrada e saıda. Depois generalizaremos para o caso

nao ideal atraves da uma matriz de espalhamento nao ideal.

2.3.1 Modelo ideal

No intuito de simular fronteiras ideais em movimento atraves de um sistema

em repouso com propriedades materiais variando no tempo, vamos considerar um

espelho estatico que impoe condicao de Robin com γ(t). Usaremos o mesmo proce-

dimento feito na subsecao 2.2.1, e escreveremos o campo espalhado pelo espelho na

regiao x > 0. Depois aplicaremos a condicao de contorno nesta regiao, a saber

(1− γ (t) ∂x)φ+ (t, x)|x=0 = (1− γ (t) ∂x) [ψin (t+ x) + ϕout (t− x)]|x=0 = 0.

(2.44)

O mesmo procedimento e feito para regiao x < 0:

(1− γ (t) ∂x)φ− (t, x)|x=0 = (1− γ (t) ∂x) [ϕin (t− x) + ψout (t+ x)]|x=0 = 0.

(2.45)

Agrupando as expressoes (2.44) e (2.45) da seguinte forma:

(I − γ (t) ∂x)

0 1

1 0

ϕin (t− x)

ψin (t+ x)

+

ϕout (t− x)

ψout (t+ x)

= 0, (2.46)

sendo I a matriz identidade. Reescrevemos a expressao (2.46) na notacao matricial

e identificamos a matriz campo, tal que:

(I − γ (t) ∂x) Φout (t, x) = S0 (I − γ (t) ∂x) Φin (t, x) , (2.47)

onde definimos

S0 =

0 −1

−1 0

. (2.48)

Em seguida, escrevemos a expressao (2.47) no domınio da frequencia, usando as

seguintes definicoes de transformadas de Fourier:

Φ (t, x) =

∫

dω

2πΦ (ω, x) e−iωt e γ (t) =

∫

dω

2πΓ (ω) e−iωt. (2.49)


A expressao (2.47) no espaco das frequencias:

∫

dω

2πe−iωtΦout (ω) = S0

[∫

dω

2πe−iωtΦin (ω)+

−∫

dω′

2πe−iω

′t

∫

dω′′

2πe−iω

′′tΓ (ω′′) iω′ηΦin (ω′)

]

+

∫

dω′

2πe−iω

′t

∫

dω′′

2πe−iω

′′tΓ (ω′′) iω′ηΦout (ω′) . (2.50)

Faremos a mudanca ω = ω′ + ω′′ → ω′′ = ω − ω′ na equacao anterior e sabendo

que a funcao Γ (ω − ω′) = 2πδ (ω − ω′) γ0+ δΓ (ω − ω′) e a transformada de Fourier

de γ (t). Depois, usamos a expressao do Φout como uma relacao de recorrencia para

obter:

Φout (ω) = (I − γ0iωη)−1 S0 (I − γ0iωη) Φin (ω)

− (I − γ0iωη)−1

∫

dω′

2πδΓ (ω − ω′) [S0iω

′η

−iω′η (I − γ0iω′η)

−1S0 (I − γ0iω

′η)]

Φin (ω′) +O(δΓ2). (2.51)

Definimos a matriz M (ω)=I − γ0iωη e identificamos a matriz de espalhamento de

Robin ideal no primeiro termo da expressao anterior, a seguir:

S0R (ω) = M (ω)−1 S0M (ω) =

0 −1+iγ0ω1−γ0iω

−1−iγ0ω1+γ0iω

0

. (2.52)

Fazemos essas alteracoes na expressao (2.51) e considerando apenas os termos de

primeira ordem em δΓ na mesma:

Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω)−M (ω)−1

×∫

dω′

2πiω′δΓ (ω − ω′) [S0η − ηS0R (ω′)] Φin (ω

′) . (2.53)

Sabendo que I = M (ω)M (ω)−1, usamos isto no segundo termo da expressao (2.53)

e obtemos

Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω)−∫

dω′

2πiω′δΓ (ω − ω′)

×[

S0R (ω)M (ω)−1 η −M (ω)−1 ηS0R (ω′)]

Φin (ω′) . (2.54)

Reescrevendo esta expressao, redefinindo o termo a seguir:

N (ω) = M (ω)−1 η, (2.55)


entao obtemos:

Φout (ω) = S0R (ω) Φin (ω)−∫

dω′

2πiω′δΓ (ω − ω′)

× [S0R (ω)N (ω)−N (ω)S0R (ω′)] Φin (ω′) . (2.56)

Podemos ainda definir

δS0R (ω, ω′) = −iω′δΓ (ω − ω′) [S0R (ω)N (ω)−N (ω)S0R (ω′)] (2.57)

e assim a expressao (2.56) ficara:

Φout (ω) =

∫

dω′

2π[S0R (ω′) δ (ω − ω′)− δS0R (ω, ω′)] Φin (ω

′) . (2.58)

Reescrevemos a expressao (2.58) de forma mais compacta:

Φout (ω) =

∫

dω′

2πS0R [ω, ω′] Φin (ω

′) , (2.59)

onde a matriz de espalhamento no caso ideal e dada por

S0R [ω, ω′] = S0R (ω′) δ (ω − ω′)− δS0R (ω, ω′) . (2.60)

Portanto, a expressao (2.59) mostra a relacao entre os campos de entrada e de

saıda para a condicao de contorno de Robin com parametro dependente do tempo. A

matriz representada pela equacao (2.60) possui diagonal principal nula, isto significa

que o lado esquerdo (x < 0) e direito (x > 0) da fronteira sao independentes,

em outras palavras, nao existe qualquer conexao entre os campos do lado direito

e esquerdo do espelho. Isto ja e esperado, haja visto que o modelo considerado

e, por enquanto, ideal. Alem disso, note que a informacao sobre a condicao de

contorno reside na matriz de espalhamento e a frequencia do campo muda devido ao

processo de espalhamento. Esta informacao esta contida na matriz de espalhamento

S0R [ω, ω′].

2.3.2 Modelo nao ideal

A finalidade desta subsecao e discutir sobre o modelo de uma fronteira parci-

almente refletora em repouso, cujas propriedades variam com o tempo. Para tal,

generalizamos a matriz de espalhamento ideal que relaciona o campo de entrada e


saıda encontrada na subsecao 2.2.2. Assim como no caso com parametro γ = γ0, esta

matriz deve satisfazer as propriedades de unitariedade, causalidade e a condicao de

transparencia para altas frequencias. No limite de um espelho perfeito recupera-se a

expressao (2.59). Dessa forma, generalizamos o caso ideal atraves da seguinte troca

de matriz:

S0R (ω) → SR (ω;α) =

s+ (ω;α) r+ (ω;α)

r− (ω;α) s− (ω;α)

(2.61)

Agora os elementos da diagonal principal sao diferentes de zero, caracterizando a

ligacao entre o campo dos lados esquerdo e direito da fronteira. Alem disso, estes no-

vos coeficientes dependem do parametro α (refletividade do espelho) e da frequencia

do campo. A troca da matriz ideal pela nao ideal e feita quando substituımos (2.61)

na expressao (2.57) que fica:

δSR (ω, ω′;α) = −iω′δΓ (ω − ω′) [SR (ω;α)N (ω)−N (ω)SR (ω′;α)] (2.62)

E assim, a relacao entre os campos de entrada e de saıda para a condicao tipo Robin

com γ (t) ficara:

Φout (ω) =

∫

dω′

2π[SR (ω′;α) δ (ω − ω′)− δSR (ω, ω′;α)] Φin (ω

′) . (2.63)

Reescrevemos a expressao anterior de forma mais compacta da seguinte maneira:

Φout (ω) =

∫

dω′

2πSR [ω, ω′;α] Φin (ω

′) , (2.64)

sendo

SR [ω, ω′;α] = SR (ω′;α) δ (ω − ω′)− δSR (ω, ω′;α) (2.65)

e δSR (ω, ω′;α) e dada na equacao (2.62). Na expressao (2.64), a matriz que relaciona

os campos de entrada e saıda carrega a informacao do tipo de condicao de contorno

e mostra que a frequencia muda com o processo de espalhamento. Esta mudanca

na frequencia e proveniente da condicao de contorno que a fronteira impos.

No proximo capıtulo, calcularemos a densidade espectral para um estado inicial

arbitrario do campo. Faremos uma aplicacao para o caso de um estado inicial de

vacuo e de um banho termico, usando a condicao de contorno tipo Robin.

Capıtulo 3

Distribuicao espectral de

partıculas criadas

Por causalidade, a informacao da mudanca no sistema (fronteira variando as suas

propriedades no decorrer do tempo) esta contida na expressao para Φout. Entao, por

este argumento, o campo que aparece na expressao da densidade espectral deve ser

o campo de saıda. Nosso objetivo neste capıtulo e, usando a Eq. 2.64, encontrarmos

a expressao para a densidade espectral de partıculas criadas, para um estado inicial

arbitrario do campo, bem como fazer uma aplicacao dessa expressao.

3.1 Densidade espectral

O numero de partıculas criadas para um estado inicial arbitrario do campo e

dado a seguir [40, 41]:

N =

∫ ∞

0

dω

2πn (ω) , (3.1)

no qual n(ω) e dado por:

n(ω) =⟨

a†ωaω⟩

+⟨

b†ωbω⟩

. (3.2)

Para encontrarmos a expressao de n (ω), primeiramente escrevemos a transformada

de Fourier para uma das componentes de propagacao do campo, ϕ (u):

ϕ (u) =

∫

dω

2πϕ (ω) e−iωu, (3.3)

3.1 Densidade espectral 34

sendo u a linha nula u = t − x. Sabendo que a componente de propagacao ϕ

no domınio da frequencia pode ser escrito em funcao dos operadores de criacao e

aniquilacao (2.7) [6], reescrevemos esses operadores em funcao da componente de

propagacao ϕ [ω], obtendo a expressao:

θ (ω) a†ωaω = 2 |ω|[

ϕ (−ω)ϕ (ω)−√

1

2 |ω|θ (−ω) a−ωϕ (ω)

−√

1

2 |ω|θ (−ω)ϕ (−ω) a†−ω]

+ θ (−ω) θ (−ω) a−ωa†−ω. (3.4)

Usando o fato de que ω > 0, obtemos:

a†ωaω = 2ωϕ (−ω)ϕ (ω) . (3.5)

Tomamos, agora, a media⟨

a†ωaω⟩

para um estado inicial arbitrario e obtemos a den-

sidade espectral n (ω)ϕ associada a componente de propagacao ϕ, tal como mostrado

a seguir:

n (ω)ϕ =⟨

a†ωaω⟩

= 2ω 〈ϕ (−ω)ϕ (ω)〉 . (3.6)

Analogamente, o mesmo procedimento e feito para encontrar a densidade espectral

n (ω)ψ, associada a componente de propagacao ψ:

n (ω)ψ =⟨

b†ωbω⟩

= 2ω 〈ψ (−ω)ψ (ω)〉 . (3.7)

Dessa forma, a densidade espectral total n (ω) sera dada atraves da soma das den-

sidades espectrais associadas a cada componente de propagacao do campo:

n (ω) = n (ω)ϕ + n (ω)ψ

= 2ω [〈ϕ (−ω)ϕ (ω)〉+ 〈ψ (−ω)ψ (ω)〉] . (3.8)

Reescrevemos a expressao (3.8) de forma mais compacta, tal que a densidade espec-

tral seja

n (ω) = 2ωTr[⟨

Φ (−ω) Φ (ω)T⟩]

, (3.9)

onde ΦT e a matriz transposta da matriz Φ e⟨

Φ (−ω) Φ (ω)T⟩

e a funcao de cor-

relacao [6], ou seja, a media que relaciona os campos em diferentes configuracoes.

Por causalidade, o campo que carrega a informacao sobre alteracao no sistema e o


campo de saıda Φout. Neste sentido, entendemos que o campo Φ da expressao (3.9)

deve ser o campo de saıda Φout. Com esta analise, obtemos a seguinte expressao:

n (ω) = 2ωTr[⟨

Φout (−ω) Φout (ω)T⟩]

. (3.10)

A expressao (3.10) indica que, para calcularmos a densidade espectral de partıculas

criadas para quaisquer estados iniciais arbitrarios do campo, basta conhecermos o

campo de saıda (Φout) e o estado, no qual tomaremos a media do campo.

A densidade espectral gerada por uma fronteira em repouso que impoe a condicao

de contorno tipo Robin com parametro de Robin variando no tempo, na presenca de

um estado inicial arbitrario, e obtida com a substituicao de (2.64) em (3.10). Como

mostramos no Capıtulo 2, a expressao (2.64) relaciona os campos “out” e “in” para

o caso tipo Robin com parametro de Robin dependente do tempo. Assim sendo,

escrevemos as matrizes Φout (−ω) e Φout (ω)T, respectivamente, como:

Φout (−ω) =∫

dω′

2πSR [−ω, ω′;α] Φin (ω

′) (3.11)

e

Φout (ω)T =

∫

dω′′

2πΦin (ω

′′)TSR [ω, ω′′;α]

T, (3.12)

Substituindo as equacoes (3.11) e (3.12) na equacao da densidade espectral de

partıculas criadas (3.10), chegaremos a expressao

n (ω) = 2ω

∫

dω′

2π

∫

dω′′

2πTr [g (ω, ω′;α)] , (3.13)

sendo que g (ω, ω′;α) e dado por

g (ω, ω′;α) = SR [−ω, ω′;α]⟨

Φin (ω′) Φin (ω

′′)T⟩

SR [ω, ω′′;α]T. (3.14)

Nas proximas subsecoes, aplicaremos a formula (3.13) para os estados iniciais de

vacuo e banho termico.

3.1.1 Estado inicial de vacuo

Para o estado inicial de vacuo, usamos a funcao de correlacao para este estado

dada por (ver detalhes no Apendice B)

⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

=π

ωθ (ω) δ (ω + ω′) I. (3.15)


Substituindo a expressao (3.15) em (3.13), obtemos:

n (ω) =

∫

dω′

2πθ (ω′)

ω

ω′Tr

[

SR [−ω, ω′;α]SR [ω,−ω′;α]T]

. (3.16)

Como vimos no capıtulo 2, a matriz de espalhamento tem que ser real no domınio

temporal, ou seja, S[−ω, ω′] = S[ω,−ω′]∗, para preservar que o carater real do

campo, ou seja, φ(t, x) = φ∗(t, x). Assim sendo, usamos essa propriedade na ex-

pressao (3.16) e a propriedade da funcao de Heaviside, concluımos que as frequencias

relevantes sao ω′ > 0, ou seja,

n (ω) =

∫ ∞

0

dω′

2π

ω

ω′Tr

[

SR[ω,−ω′;α]∗SR [ω,−ω′;α]T]

. (3.17)

Sabendo que

Tr[

SR[ω,−ω′;α]∗SR [ω,−ω′;α]T]

= Tr[

SR[ω,−ω′;α]SR [ω,−ω′;α]†]

, (3.18)

substituımos (3.18) na expressao (3.17), obtemos

n (ω) =

∫ ∞

0

dω′

2πn [ω, ω′] , (3.19)

sendo

n [ω, ω′] =ω

ω′Tr

[


. (3.20)

A expressao (3.19) descreve o numero de partıculas no estado de saıda. Percebemos

que a criacao de partıculas associadas a frequencia ω depende da contribuicao de

todos os modos - de entrada - do espectro, o que esta relacionado ao processo de

espalhamento sobre a fronteira dinamica.

Podemos reescrever a expressao (3.19) em funcao dos coeficientes de transmissao

s± (ω, α) e reflexao r± (ω, α). Isto e feito usando a expressao (2.65), quando calcula-

mos o produto de SR[ω,−ω′;α] e SR[ω,−ω′;α]†, que por simplicidade chamaremos

de SR e S†R, respectivamente. Entao, o produto SRS

†R e:

SRSR† = δ (ω + ω′) δ (ω + ω′)SR (−ω′;α)SR (−ω′;α)

†

−δ (ω + ω′)SR (−ω′;α) δSR (ω,−ω′;α)†

−δ (ω + ω′) δSR (ω,−ω′;α)SR (−ω′;α)†

+δSR (ω,−ω′;α) δSR (ω,−ω′;α)†. (3.21)


Em seguida, substituımos a expressao (3.21) na (3.20), sendo que os tres primei-

ros dessa expressao nao irao contribuir para a expressao da densidade espectral

de partıculas criadas. Isto se da devido ao processo de filtragem feita pela delta

δ(ω + ω′). Dessa forma, somente o ultimo termo ira contribuir para a expressao

da densidade espectral de partıculas criadas. Entao, basta tomarmos o traco deste

termo para obtermos

Tr[


= ω′ω′ |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) , (3.22)

onde

λ (ω, ω′) = Re

[

1

1 + (γ0ω)2 [2− (s+ (ω;α) s+ (ω′;α)

+s− (ω;α) s− (ω′;α))] +1

(1 + γ0iω)2 r+ (ω;α) r+ (ω′;α)

+1

(1− γ0iω)2 r− (ω;α) r− (ω′;α)

]

. (3.23)

Substituindo (3.22) na expressao (3.20), temos a expressao da densidade espectral

em funcao dos coeficientes de reflexao e transmissao:

n (ω) =ω

π

∫ ∞

0

dω′

πω′ |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) . (3.24)

Perceba que, ao tomarmos o limite do caso ideal, ou seja

limα→∞

s± (ω, α) → 0 (3.25)

e

limα→∞

r± (ω, α) → −1± iγ0ω

1∓ iγ0ω, (3.26)

a expressao da densidade espectral fica

n (ω)ideal =2

π

(

ω

1 + (γ0ω)2

)∫ ∞

0

dω′

π|δΓ (ω + ω′)|2

(

ω′

1 + (γ0ω′)2

)

. (3.27)

Este resultado e igual a duas vezes o resultado existente na literatura [16], pois

estamos considerando as solucoes de ambos os lados da fronteira. Observamos,

ainda, que, conforme mencionado na secao 2.3, com a desconexao entre γ0 e l0, fazer

γ0 → 0 corresponde, em primeira aproximacao, a condicao de Dirichlet relacionada

a um espelho movel. Assim sendo, e esperado que, por consistencia, ao tomarmos


γ0 = 0 na equacao (3.27) devamos recuperar o espectro de partıculas criadas no

caso de uma fronteira de Dirichlet em movimento. De fato, e o que ocorre. Fazendo

γ0 = 0 na formula (3.27), ressaltando que δΓ nao depende de γ0, mas somente de l0,

reobtemos o resultado para a fronteira de Dirichlet movel, encontrado na referencia

[10]. Da equacao (3.27) podemos concluir, ainda, que em relacao ao espectro obtido

com γ0 = 0, o aumento no valor de γ0 provoca uma reducao no espectro.

3.1.2 Estado inicial de um banho termico

Para o estado inicial de banho termico, usamos a funcao de correlacao para este

estado dado por (ver detalhes no Apendice B)

⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

=1

2ω[θ (ω) + n (ω)] δ (ω + ω′) I, (3.28)

onde

n (ω) = 1/(

eω/T − 1)

(3.29)

e sendo T a temperatura. A expressao da densidade espectral para o estado inicial

de um banho termico e, portanto:

n (ω) =1

2π

∫

dω′

2π

ω

ω′[θ (ω′) + n (ω′)] Tr

[

SR [−ω, ω′;α]SR [ω,−ω′;α]T]

. (3.30)

Usando o argumento que a matriz de espalhamento deve ser real no domınio tem-

poral, reescrevemos a expressao anterior e obtemos:

n (ω) =1

(2π)2

∫

dω′ ω

ω′[θ (ω′) + n (ω′)] Tr

[


. (3.31)

Note que o traco do produto SR e S†R, na expressao anterior (3.31) ja foi calculado

na subsecao anterior. Entao, substituindo (3.22) na expressao (3.31), temos:

n (ω) =ω

2π

∫

dω′

2πω′ [θ (ω′) + n (ω′)] |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) , (3.32)

no qual λ (ω, ω′) e dado na equacao (3.23). Note que a distribuicao espectral para

esse caso e

n (ω) = n (ω)vacuo + n (ω)T , (3.33)

onde

n (ω)vacuo =ω

2π

∫

dω′

2πω′θ (ω′) |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) (3.34)

3.2 Aplicacoes 39

e

n (ω)T =ω

2π

∫

dω′

2πω′n (ω′) |δΓ (ω + ω′)|2 λ (ω, ω′) . (3.35)

Observe que o primeiro termo da expressao (3.33), corresponde a densidade espectral

de partıculas criadas no estado de vacuo e o segundo termo corresponde as partıculas

criadas em funcao da presenca do banho termico.

Para recuperar o caso ideal, tomamos os limites dos coeficientes dado pelas ex-

pressoes (3.25) e (3.26), e obtemos o seguinte resultado:

n (ω)ideal =2

π

(

ω

1 + (γ0ω)2

)

×∫

dω′

π[θ (ω′) + n (ω′)] |δΓ (ω + ω′)|2

(

ω′

1 + (γ0ω′)2

)

. (3.36)

Este resultado e igual a duas vezes o resultado existente na literatura [17], pois

estamos considerando as solucoes de ambos os lados da fronteira. De modo similar

ao observado para a formula (3.27), considerando a desconexao entre γ0 e l0, e

fazendo γ0 = 0 na formula (3.36), obtemos o resultado para a fronteira de Dirichlet

movel na presenca de um banho termico. Da equacao (3.36) podemos concluir,

ainda, que em relacao ao espectro obtido com γ0 = 0, o aumento no valor de γ0

provoca reducao no espectro, tanto para o vacuo, quanto para o banho termico

como estados iniciais do campo.

A seguir, vamos aplicar a formula (3.32) a um caso particular de escolha dos

coeficientes de reflexao e transmissao, bem como a um caso particular de δγ(t).

3.2 Aplicacoes

A partir de agora, vamos aplicar nossas formulas para uma funcao δγ(t) es-

pecıfica, tipicamente considerada no efeito Casimir dinamico [14, 15, 16]:

δγ (t) = ǫ0 cos (ω0t) e−|t|/τ , (3.37)

onde ǫ0 = l0ǫ e iremos considerar o limite em que ω0τ ≫ 1 (limite monocromatico).

Para este limite, a transformada de Fourier da Eq. (3.37) apresenta dois picos muito

estreitos em torno de ω = ±ω0, de tal forma que

|δΓ (ω)|2 ≈ π

2ǫ20τ [δ (ω − ω0) + δ (ω + ω0)] . (3.38)

3.2 Aplicacoes 40

Substituindo (3.38) em (3.24) obtemos

n (ω) =ǫ20τ

2πω(ω0 − ω)λ(ω, ω0 − ω)Θ(ω0 − ω), (3.39)

para o caso de um estado de vacuo.

Substituindo (3.38) em (3.32) obtemos

n(ω) =ǫ20τ

2πω(ω0 − ω)λ(ω, ω0 − ω) [Θ(ω0 − ω) + n(ω0 − ω)] (3.40)

para o caso de um banho termico.

Particularizando o calculo, iremos supor que o espelho apresenta os seguintes

coeficientes de reflexao e transmissao:

r+ (ω;α) = −1 + iγ0ω

1− iγ0ωr (ω, α) e r− (ω;α) = −1− iγ0ω

1 + iγ0ωr (ω, α) , (3.41)

s+ (ω;α) = s− (ω;α) = s (ω, α) , (3.42)

sendo os coeficientes de r (ω, α) e s (ω, α) os usados por Barton e Calogeracos na

Ref. [8, 9]:

r (ω, α) = − iα

ω + iαe s (ω, α) =

ω

ω + iα, (3.43)

onde α e o parametro que controla a refletividade do espelho. Neste sentido, consi-

deramos que, no limite de um espelho totalmente refletor, temos:

limα→∞

r+ (ω;α) → −1 + iγ0ω

1− iγ0ωe lim

α→∞r− (ω;α) → −1− iγ0ω

1 + iγ0ω, (3.44)

limα→∞

s+ (ω, α) → 0 e limα→∞

s− (ω, α) → 0. (3.45)

3.2.1 Estado inicial de vacuo

Substituindo as expressoes (3.41) e (3.42) na expressao (3.23), obtemos a densi-

dade espectral no estado do vacuo (3.39) em funcao dos coeficientes de transmissao

e reflexao:

λ (ω, ω′) =1

1 + (γ0ω)2

[

1− 1

2

(

ωω′ +α2 − α2γ20ω

′2

1 + γ20ω′2

)

×Re

(

1

(ω + iα) (ω′ + iα)+

1

(ω − iα) (ω′ − iα)

)]

. (3.46)

3.2 Aplicacoes 41

Figura 3.1: A distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao de ω/ω0 para γ0 = 0 e

diferentes valores de α.

A seguir, nas figuras 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 mostraremos o comportamento da densidade

espectral de partıculas criadas para o caso tipo Robin dado por (3.39), com λ dado

por (3.46), para varios valores de γ0 e α.

A 3.1 mostra que, ao considerarmos γ0 = 0, recuperamos a distribuicao espectral

para o caso de uma fronteira em movimento com a condicao de Dirichlet (em primeira

ordem de aproximacao), o que ja foi discutido na secao 2.3. Observe, ainda, que,

para esse caso, quanto maior o valor de α, maior o numero de partıculas criadas.

Na figura 3.2, para γ0 = 1, temos uma perda na simetria dos graficos para

α = 0.9× ω0, α = 0.4× ω0 e α = 0.1× ω0, ou seja, ao combinarmos valores de γ0 e

α diferentes de zero ha uma perda na simetria do formato do espectro. Neste caso,

os valores do espectro sao maiores, a medida que tornamos o espelho cada vez mais

ideal, ou seja, quando aumentamos o valor de α.

Na figura 3.3, algo surpreendente foi detectado: para γ0 = 5, os valores do

espectro podem ser − em geral − maiores no caso de um espelho parcialmente

refletor do que no caso de um espelho ideal. Isto implica dizer que o numero de

partıculas criadas pode ser menor para o caso de um espelho ideal em relacao a

espelho nao ideal. Note, ainda, que a distribuicao espectral e maior para α = 0.4×ω0

3.2 Aplicacoes 42





em comparacao a α = 0.9×ω0, o que significa, neste caso, que o numero de partıculas

criadas e maior para o caso de um espelho mais transparente em relacao a um menos

3.2 Aplicacoes 43

transparente.

Figura 3.4: A distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao de ω/ω0 para γ0 = 10

e diferentes valores de α.

Agora na figura 3.4 escolhemos γ0 = 10, o mesmo comportamento e observado

em comparacao com a figura 3.3. Isto pode estar relacionado a combinacao entre

os parametros γ0 e α, o que tambem pode explicar o efeito de maior numero de

partıculas criadas para o caso de um espelho nao ideal em comparacao ao espelho

ideal.

A figura 3.5 ilustra a densidade espectral quando tomamos o limite para α muito

grande, que equivale ao caso de uma fronteira ideal, que esta de acordo com a Ref.

[16].

Vamos analisar com mais detalhes o comportamento desses graficos. Para tal,

vamos considerar como referencia o caso Dirichlet (α → ∞ e γ0 = 0) e vamos

“ligando” tanto a transparencia quanto o parametro de Robin. Para tal, vamos

considerar o parametro ξ = 1/α, de modo que um espelho ideal corresponde a

ξ = 0, e a transparencia e ligada para pequenos valores de ξ. Assim, escrevemos a

3.2 Aplicacoes 44

Figura 3.5: A distribuicao espectral n(ω) em funcao de ω/ω0 para α muito grande

e diferentes valores de γ0.

expressao (3.39), com λ dado por (3.46), em funcao do parametro ξ, obtendo:

2π

ǫ20τn (ω) = −ωθ (ω0 − ω) Re

[(

i (−ω + ω0)2 ω0γ

20 + iω + i (ω0 − ω)− 2 ξ−1

)

×ξ−1

(

ω +i

ξ

)−1 (

ω0 − ω +i

ξ

)−1

(−1 + iγ0ω)−1 (1 + iγ0ω)

−1

× (1 + iγ0 (−ω + γ0))−1 (−1 + iγ0 (ω0 − ω))−1] (ω − ω0) . (3.47)

Expandindo a expressao anterior em serie de Taylor com relacao aos parametros ξ

e γ0, temos:

2π

ωǫ20τn (ω) = n (ω)(0) + n (ω)

(1)ξ ξ + n (ω)(1)γ0 γ0 + n (ω)

(2)ξ ξ2 + n (ω)

(2)ξγ0ξγ0

+n (ω)(2)γ0 γ20 + n (ω)

(3)ξ ξ3 + n (ω)

(3)ξγ0ξ2γ0 + n (ω)

(3)ξγ0ξγ20

+n (ω)(3)γ0 γ30 + .... (3.48)

E direto verificar que os termos a seguir nao contribuem para a densidade espectral:

n (ω)(1)ξ = n (ω)(1)γ0 = n (ω)

(2)ξγ0

= 0, (3.49)

n (ω)(3)ξ = n (ω)

(3)ξγ0γ0 = n (ω)

(3)ξγ0

= n (ω)(3)γ0 = 0. (3.50)

Os termos que contribuem sao os seguintes:

n (ω)(0) =2ω

τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω) , (3.51)

3.2 Aplicacoes 45

n (ω)(2)ξ ξ2 = −ω

τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω)

(

2ω2 − 2ωω0 + ω20

)

ξ2, (3.52)

n (ω)(2)γ0 γ20 = −2ω

τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω)

(

2ω2 − 2ωω0 + ω20

)

γ20 , (3.53)

n (ω)(4)ξγ0ξ2γ20 =

ω

τ(ω0 − ω) θ (ω0 − ω)

(

4ω4 − 8ω3ω0 + 9ω2ω20

−6ω30ω + 2ω4

0

)

γ20ξ2. (3.54)

O termo de ordem n (ω)(0), corresponde ao espectro do caso Dirichlet e os demais

termos da expansao (3.48) correspondem as correcoes do espectro devido a γ0 e ξ.

Isto fica evidente nas figuras 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 e 3.10 Nas figuras 3.6 e 3.7, as pri-

Figura 3.6: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e suas primeiras

correcoes n (ω)(2)γ0 γ20 e n (ω)(4)γ0 γ

40 .

meiras correcoes ao espectro, nao levando em conta os termos cruzados (envolvendo

simultaneamente γ0 e ξ), sao negativas, com maiores valores do modulo em torno

do ponto central ω = ω0/2, o que justifica o surgimento de “corcovas” no formato

do espectro para o caso Robin (figura 3.5) e tipo Dirichlet (figura 3.1). A figura

3.8 mostra que a soma dos termos de correcao ao espectro, considerando ξ = 0,

correspondem, ao comportamento espectro do caso Robin. A figura 3.9 mostra que

a soma dos termos de correcao ao espectro, considerando γ0 = 0, correspondem ao

caso tipo Dirichlet. Em todos esses termos, encontramos simetria em relacao ao

3.2 Aplicacoes 46

Figura 3.7: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e suas primeiras

correcoes n (ω)(2)ξ ξ2 e n (ω)

(4)ξ ξ4.

Figura 3.8: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e para a soma dos

termos de ordem n (ω)(0) + n (ω)(2)γ0 γ20 + n (ω)(4)γ0 γ

40 .

ponto ω0/2. No entanto, ao ligarmos simultaneamente ξ e γ0, temos a presenca o

termo cruzado mostrado figura 3.10, que e um dos responsaveis pela perda de sime-

tria no espectro do caso tipo Robin (observe nas figuras 3.2, 3.3 e 3.4). Portanto,

3.2 Aplicacoes 47

Figura 3.9: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(0) e para a soma dos

termos de ordem n (ω)(0) + n (ω)(2)ξ ξ2 + n (ω)

(4)ξ ξ4.

um traco marcante do espectro de partıculas criadas no caso da fronteira dinamica

tipo Robin e a perda da simetria em relacao ao ponto ω0/2.

Figura 3.10: Distribuicao espectral para o termo de ordem n (ω)(4)ξγ0ξ2γ20 .

3.2 Aplicacoes 48

3.2.2 Estado de um banho termico

Substituindo (3.41) e (3.42) na expressao (3.40), obtemos uma formula para

densidade espectral na presenca de uma banho termico, sendo

n (ω)vacuo =

(

ǫ20τ

2π

)

ω (ω0 − ω) θ (ω0 − ω)λ (ω, ω0 − ω) (3.55)

e

n (ω)T =

(

ǫ20τ

2π

)

ω (ω0 − ω) n (ω0 − ω)λ (ω, ω0 − ω) , (3.56)

onde λ (ω, ω0 − ω) e dada na expressao (3.46). A expressao (3.55) corresponde a

densidade de partıculas criadas no estado de vacuo, e a expressao (3.56) representa as

partıculas adicionais criadas, devido a presenca do banho termico. As figuras 3.11 e

3.12 ilustram essa distribuicao espectral para diferentes parametros de refletividade.

Figura 3.11: A Distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao ω/ω0 para γ0 = 1. No

grafico da esquerda consideramos α muito grande; no grafico da direita consideramos

α = 0.4× ω0. Em ambos os casos, levamos em conta diferentes valores para T .

Observe nas figuras 3.11 e 3.12 os efeitos termicos. Na figura 3.11, em ambos

os casos, ideal e nao ideal, as partıculas podem ser criadas com frequencias maiores

que ω0, diferentemente do que ocorre no caso de vacuo. Na figura 3.12, fica evidente

que a a transparencia do espelho pode praticamente eliminar os efeitos do banho

termico sobre o espectro de partıculas criadas. Ao tomarmos o limite para α → ∞,

o que corresponde ao limite de uma fronteira ideal, os graficos obtidos aqui recaem

naqueles mostrados na Ref. [17].

3.2 Aplicacoes 49

Figura 3.12: A Distribuicao espectral (2π/ǫ20τ)n(ω) em funcao ω/ω0 para γ0 = 5. No

grafico da esquerda consideramos α muito grande; no grafico da direita consideramos

α = 0.4× ω0. Em ambos os casos levamos em conta diferentes valores para T .

Consideracoes Finais

Neste trabalho, consideramos o campo de Klein-Gordon real, nao massivo, em 1+

1 dimensoes, sujeito a condicao tipo Robin, com parametro de Robin dependente do

tempo. Nesse contexto, encontramos a relacao entre os campos de entrada e de saıda,

dada pela expressao (2.64), relacionada com uma fronteira em repouso que impoe

a condicao de contorno tipo Robin com parametro de Robin variando no tempo.

Essa formula e o primeiro resultado original deste trabalho. Em seguida, usando

a Eq. (2.64), encontramos a formula da densidade espectral de partıculas criadas,

dada pela Eq. (3.13), para um estado inicial arbitrario do campo. Essa formula e

outro resultado original do presente trabalho e, quando aplicada ao estado inicial de

vacuo, o resultado para o espectro (Eq. (3.24)) generaliza o correspondente resultado

obtido por Silva e Farina na Ref. [16]. Quando aplicada ao estado inicial de um

banho termico, o resultado para o espectro (Eq. (3.32)) generaliza o correspondente

resultado obtido por Farina et al na Ref. [17].

A partir das formulas e aplicacoes mencionadas, concluımos, em relacao ao es-

pectro obtido com γ0 = 0 para o caso ideal (em outras palavras, em relacao ao caso

Dirichlet), que o aumento no valor de γ0 provoca reducao no espectro, tanto para o

caso de vacuo, quanto para o caso de banho termico.

Ao aplicarmos a formula (3.32) a um caso particular de escolha dos coeficientes

de reflexao e transmissao − considerando os coeficientes usados por Barton e Calo-

geracos nas Refs. [8, 9] −, bem como a um caso particular de δγ(t) (funcao usada

nas Refs. [14, 15, 16]), observamos que, surpreendentemente, os valores do espectro

para o caso de vacuo podem ser maiores no caso de um espelho parcialmente refle-

tor do que no caso de um espelho que impoe a condicao de Robin (com γ0 6= 0).

CONSIDERACOES FINAIS 51

Isto implica dizer que o numero de partıculas criadas pode ser menor para o caso

de um espelho que impoe a condicao de Robin em relacao a um espelho nao ideal

(tipo Robin). Em outras palavras, a ja discutida reducao na producao de partıculas

causada pela presenca de γ0 6= 0 pode ser inibida pela introducao de transparencia

no espelho. A observacao desse comportamento e outro resultado original de nosso

trabalho. Uma das perspectivas de continuacao do presente trabalho e construir um

modelo que permita visualizar mais intuitivamente esse comportamento.

De maneira a analisar com mais detalhes o comportamento da densidade espec-

tral no vacuo, consideramos como referencia o caso Dirichlet (ξ = 0 e γ0 = 0) e

“ligamos”, perturbativamente, tanto a transparencia (ξ) quanto o parametro de Ro-

bin (γ0). Com isso, percebemos que as primeiras correcoes ao espectro, nao levando

em conta os termos cruzados (envolvendo simultaneamente γ0 e ξ), sao negativas e

com maior modulo no ponto ω = ω0/2, o que justifica o surgimento de “corcovas”

a partir do espectro para o caso Dirichlet, em duas situacoes: quando ligamos a

transparencia (vide figura 3.1) e quando ligamos γ0 (vide figura 3.5). Quando con-

sideramos apenas correcoes que nao envolvem a presenca simultanea de γ0 e ξ, o

espectro se mantem simetrico em relacao ao ponto ω0/2. No entanto, ao ligarmos

simultaneamente ξ e γ0, temos a presenca de um termo cruzado que e um dos res-

ponsaveis (junto, provavelmente, com termos cruzados de outras ordens) pela perda

de simetria no espectro do caso tipo Robin (vide figuras 3.2, 3.3 e 3.4). Portanto,

um traco marcante do espectro de partıculas criadas no caso da fronteira dinamica

tipo Robin e a perda da simetria em relacao ao ponto ω0/2. Essa conclusao e outro

resultado original do presente trabalho.

Para o caso termico, observamos que, tanto para o caso ideal quanto para o

caso nao ideal, as partıculas podem ser criadas com frequencias maiores que ω0,

diferentemente do que ocorre no caso de vacuo. Alem disso, observamos que, para o

caso de espelho tipo Robin, a transparencia do espelho pode praticamente eliminar

os efeitos do banho termico sobre o espectro de partıculas criadas (vide figura 3.12),

sendo esta observacao nosso ultimo resultado original.

Como perspectivas pretendemos investigar o modelo correspondente em 3 + 1

dimensoes, generalizando nossos resultados para essa dimensionalidade e, conse-


quentemente, generalizando os resultados da referencia [16], tanto pela introducao

de espelhos nao ideais, quanto pelo aumento na dimensionalidade do espaco-tempo.

Pretendemos, tambem, investigar outros estados iniciais do campo.

Apendice A

Transformada de Fourier do

campo livre

Neste apendice pretendemos escrever a representacao (2.4) da referancia [6]. Para

tal, escrevemos o campo livre como a soma das componentes de propagacao do

campo no domınio de Fourier usando a definicao (2.3):∫

dωφ (ω, x) e−iωt =

∫

dωeiωxϕ (ω) e−iωt +

∫

dωe−iωxψ (ω) e−iωt. (A.1)

Concluımos que

φ (ω, x) = eiωxϕ (ω) + e−iωxψ (ω) . (A.2)

Na forma matricial

Φ (ω, x) =

(

eiωxϕ (ω)

e−iωxψ (ω)

)

. (A.3)

Outra forma de representar a expressao (2.4) e escrever exponencial da expressao

(A.2) em serie de Taylor:

φ (ω, x) =(

1 + iωx+ (iωx)2 +O3)

ϕ (ω) + (A.4)

+(

1− iωx+ (iωx)2 +O3)

ψ (ω) .

Na forma matricial:

Φ (t, x) =

(iωx)0 +

1 0

0 −1

iωx+

1 0

0 −1

×

1 0

0 −1

(iωx)2 +O3

(

ϕ (ω)

ψ (ω)

)

, (A.5)


sendo η dado pela expressao (2.5). A expressao anterior:

Φ (ω, x) = eηiωxΦ (ω) .

Assim, obtemos a expressao (2.4).

Apendice B

Funcao de Correlacao

Neste apendice, iremos mostrar a funcao de correlacao para o estado inicial de

vacuo e de um banho termico. Escrevemos o produto da matriz Φ e sua transposta,

tomamos a media para o estado de vacuo e usamos as medias que os operadores

satisfazem. O mesmo procedimento e feito para o estado inicial de um banho termico.

B.1 Funcao de correlacao no estado de vacuo

Nesta secao, queremos encontrar a funcao de correlacao para o estado de vacuo.

Para tal, multiplicamos a matriz coluna campo Φ e sua transposta ΦT, depois to-

mamos a media em um estado de vacuo:

⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

=

〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉〈ϕ (ω)ψ (ω′)〉〈ψ (ω)ϕ (ω′)〉〈ψ (ω)ψ (ω′)〉

. (B.1)

Usando as relacoes aω |0〉 = 0 e 〈0| aωa†ω′ |0〉 = 2πδ (ω − ω′) [40, 41] e de acordo com

a expressao (2.7) e (2.8). Calculamos cada elemento da matriz (B.1) e obtemos os

seguintes elementos:

〈ψ (ω)ϕ (ω′)〉 =1

2ω

(

θ (ω) θ (ω′) 〈bωaω′〉+ θ (ω) θ (−ω′)⟨

bωa†−ω′

⟩

+θ (−ω) θ (ω′)⟨

b†−ωaω′

⟩

+ θ (−ω) θ (−ω′)⟨

b†−ωa†−ω′

⟩)

= 0 (B.2)

e

〈ϕ (ω)ψ (ω′)〉 = 0. (B.3)


O mesmo procedimento e feito media para 〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 e 〈ψ (ω)ψ (ω′)〉, e ob-

tendo

〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 = π

ωθ (ω) δ (ω + ω′) (B.4)

e

〈ψ (ω)ψ (ω′)〉 = π

ωθ (ω) πδ (ω + ω′) . (B.5)

Substituindo as expressoes (B.2), (B.3), (B.4), (B.5) em (B.1), temos:

⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

=

πωθ (ω) δ (ω + ω′) 0

0 πωθ (ω) δ (ω + ω′)

=π

ωθ (ω) δ (ω + ω′)

1 0

0 1

. (B.6)

Dessa forma, obtemos a expressao (3.15) que representa a funcao de correlacao no

estado de vacuo:⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

=π

ωθ (ω) δ (ω + ω′) I,

onde I e a matriz identidade.

B.2 Funcao de correlacao no banho termico

Nesta secao, queremos mostrar a funcao de correlacao de um banho termico.

Para isto, consideramos as seguintes medias [42]:

⟨

a†ωaω′

⟩

= n (ω) δ (ω′ − ω) (B.7)

e⟨

aωa†ω′

⟩

= (1 + n (ω)) δ (ω − ω′) , (B.8)

onde n (ω) = 1/(

eω/T − 1)

e T e a temperatura. Com isso, calculamos cada o

elemento da matriz (B.1) que, neste caso, o estado inicial de um banho termico.

Dessa maneira, a media do produto ϕ (ω)ϕ (ω′) na presenca de um banho termico

e dado por:

〈ϕ (ω)ϕ (ω′)〉 = 1

2ωδ (ω + ω′) [θ (ω) + n (ω)] . (B.9)


De forma analoga o mesmo procedimento e feito para a media do produto ψ (ω)ψ (ω′)

na presenca de um banho termico, representada a seguir:

〈ψ (ω)ψ (ω′)〉 = 1

2ωδ (ω + ω′) [θ (ω) + n (ω)] . (B.10)

Assim como para media do produto ψ (ω)ϕ (ω′) e ϕ (ω)ψ (ω′), e concluımos que

〈ψ (ω)ϕ (ω′)〉 = 0 (B.11)

e

〈ϕ (ω)ψ (ω′)〉 = 0.

Portanto, a matriz⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

e escrita:

⟨

Φ (ω) Φ (ω′)T⟩

=1

2ω[θ (ω) + n (ω)] δ (ω + ω′) I. (B.12)

Dessa forma, obtemos a expressao (3.28) que representa a funcao de correlacao no

banho termico a uma temperatura T .

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Efeito Casimir dinˆamico via matriz de espalhamento tipo ... · Aos meus amigos Jafra Carvalho, Carlos Alexandre Nascimento, Bruno Cayres, AdrianaMun˜ozeem especial aminhaamiga