Efeito Casimir no Espaço-tempo da Corda Cósmica

Eugênio R. Bezerra de MelloDept. de Física, UFPB

Vitória, 31/01/2014

Plano do Seminário

Flutuação do vácuo e o Efeito Casimir (Revisão).

Condições de contorno.

Espaço-tempo de uma corda cósmica.

Polarização de vácuo induzida por uma fronteira plana.

Considerações finais.

Flutuações do Vácuo

O efeito Casimir é um exemplo que mostra que condições de contorno impostas a campos quânticos modificam as flutuações do vácuo quando comparadas a casos de espaços livres.

Quantização do Campo Eletromagnético (EM).

De acordo com a M. Q. um OHS tem níveis de energia discretos dados por:

O estado fundamental (vácuo) é caracterizado por n=0:

No contexto de TQC, o campo EM, é considerado um conjunto de OHS de todas as frequências. Assim a energia do vácuo é dado por:

Continuação

Para o campo EM propagando-se no espaço de Minkowski livre, os modos são rotulados por vetores de onda tri-dimensionais de espectro contínuo.

Impondo condições de contorno, algumas das componentes do vetor de onda tornam-se discretas. Por exemplo a componente tangencial do vetor campo elétrico, E, anula-se em uma superfície metálica, implicando que a componente do vetor de onda perpendicular a essa superfície seja discreta.

Foi Casimir quem primeiro calculou a diferença de energia (infinita) do vácuo de campos EM quantizado na presença de superfície metálica, da energia (infinita) correspondente no espaço livre de Minkowski. O resultado encontrado foi uma energia finita. A esse procedimento denomina-se por renormalização:ERen=EF-EM

Efeito Casimir

Hendrik Casimir

• Em 1948 H. Casimir propôs que duas placas metálicas paralelas descarregadas próximas estão sujeitas a uma força atrativa. Essa força somente é mensurável quando a distância entre as duas placas é extremamente pequena, da ordem de (apenas) alguns diâmetros atômicos. Esta atração é chamada Efeito Casimir.

• A energia de Casimir, e sua força, podem ser calculada a partir da energia do ponto zero do campo eletromagnético entre as placas. (kz=n/d, n=1, 2, 3, ...)

• A força de Casimir por unidade de área para placas ideais, perfeitamente condutoras com vácuo entre si é:

• O efeito Casimir foi medido em1997 por Steve K. Lamoreaux e por Umar Mohideen.

Continuação

Modificações nas Flutuações Quântica do Vácuo

Topologia não trivial do espaço-tempo

Curvatura não-nula do espaço-tempo

Condições de contorno impostas aos campos (Efeito Casimir)

As flutuações de vácuo, podem ser modificadas devido aos seguinte fatores:

Dirichlet: O campo se anula nas fronteira.

Neumann: A derivada normal dos campos se anulam na fronteira.

Robin: Combinção das duas condições anteriores

Condições de Contorno

Campo escalar.Campo escalar.

Equação de Klein-Gordon

A equação de movimento obedecida por um campo escalar em um espaço-tempo curvo, admitindo um acoplamento com a curvatura, é:

m: massa associada ao campo

Constante de acoplamento do campo com a

geometria

Acoplamento mínimo

Acoplamento conforme

R: Escalar de curvatura (Ricci)

Continuação

Campo fermiônico.Campo fermiônico.

M.I.T. bag. Condição de sacola do MIT

Vetor unitário normal à superfície

A equação de movimento obedecida por um campo fermiônico em um espaço-tempo curvo é:

As cordas cósmicas são defeitos topológicos da gravitação. Esses objetos estão presentes em um contexto de teorias grande unficadas, e podem ter sido produzidas no Universo promóridal como consequência de um processo de quebra espontânea de simetria de gauge.

Cordas Cósmicas

Embora as observações da radiação cósmica de fundo tenham discartado as cordas cósmicas como fontes primórdias para para gerar pertubação da densidade.

As cordas cósmicas continuam ainda candidatas para geração de uma de vários fenômenos físcos interessantes:

Lentes gravitacionais

Geração de ondas gravitacionais

Raios cósmicos energéticos, etc.

Espaço-tempo de uma corda cósmica (Topologia cônica)

Elemento de linha:

singularidade cônica (tipo-δ)

, onde p=1/(1-4) 1 (G=1), r 0, e

densidade linear de massa

Espaço localmente plano (R=0); entretanto apresenta um déficit de ângulo planar

Corda

Para T.G.U, , assim

Modelo idealizado para uma corda cósmica:

•O espaço gerado por uma corda cósmica ideal é localmente plano.

•Embora não haja potencial Newtoniano, a corda cósmica favorece diversos fenômenos gravitacionais:

•Lentes gravitacionais.

•Auto-forças gravitacionais e eletrostáticas.

Propriedades geradas pelo espaço-tempo de uma corda

Não há potencial Newtoniano

Lentes Gravitacionais.

Duplicação de imagens: um raio de luz emitido por um quazar chegará até o observador duplicado.

Continuação

Auto-Forças Induzidas.

a) Gravitacional: Uma partícula de massa m fica submetida a ação de uma auto-interação gravitacional atrativa.

b) Eletrostática: Uma partícula com carga q fica submetida a ação de uma auto-interação eletrostática repulsiva.

p

Flutuações Quânticas

A topologia cônica do espaço-tempo gerado por uma corda cósmica fornece uma distorção do ponto-zero das flutuações de vácuo de campos quantizados

Esse fato gera valores esperados renormalizáveis no vácuo não nulo para observáveis físicas tais como: operadores de campo ao quadrado, do tensor energia-momento, etc.

Soluções da Eq. de K-G no Espaço-tempo da Corda Cósmica

Condições de ortonormalidade:

Flutuações do vácuo: Na análise das flutuações do vácuo, dois valores esperados no vácuo (VEV) de operadores, são de particular interesse: Quadrado do operador de campo:

Operador tensor energia-momento:

Esses VEVs podem ser obtidos pelas funções de Green no limite de coincidencia de argumentos

A função de Green, é uma função de dois pontos, e pode ser calculada através do modo de soma:

Cálculos dos VEV

Esses procedimentos fornecem divergências.

É requerido renormalização:

Tensor energia-momento (TEM):

Campo quadrado:

Função de Hadamard

Efeito Casimir: Condições de Contorno na Superfície Plana

Dirichlet

Neumann

Duas contribuições distintas surgem:

Solução da Eq. de Klein-Gordon No Semi-Espaço

A solução tem a forma:

C: Constante de normalização

Solução:

Continuação

Vamos considerar a Cond. de Dirichlet:

Solução regular em r=0:

Função de Green:

Caso especial: p=inteiro.

Função de Bessel Modificada:

Propriedades:a)G(x’,x)=0 para z ou z’ iguais a zero,b)G(x’,x) diverge para x’=x. A divergência é devido à componente k=0 da primeira contribuição.

Podemos escrever:

Valor esperado

Formalmente temos:

Para nosso caso, podemos escrever:

Esse resultado é divergente. É preciso renormalizar.Apenas a primeira contribuição necessita de renormalização

Análise de

O valor esperado no vácuo de é divergente. De modo a obtermos um resultado finito e bem definido temos que renormalizá-lo:

Casos limite:

a) Não massivo:

b) mr>>1

Análise gráfica

Gráficos para p=2,3,4. (linha contínua, ponto-linha, traço-traço)x=mr.

Análise de

Casos limite:

a) z>>r:

b) m=0:

c) z<<r:

O valor esperado no vácuo é finito no limite de coincidência:

Obs. Se, ao invés da condição de Dirichlet, tívessemos considerado a condição de Neumann, o valor esperado acima seria positivo.

Análise gráfica

Gráficos para p=2,3,4. (linha contínua, ponto-linha, traço-traço)a)Painel esquerdo: Gráfico em função de mr para z fixo.b)Painel direito: Gráfico em função de mz para r fixo.

Comentários Finais

Nesse Seminário, demos uma breve introdução sobre um dos exemplos mais notáveis que reforça o conceito de vácuo em TQC, que é o Efeito Casimir. Experimentos confirmaram as previsões teóricas. Apesar do Efeito Casimir ter sido inicialmente proposto considerando campos EM, a mesma idéia pode também ser aplicada a outros tipos de campos envolvendo diferentes condições de contorno. Especificamente analisamos o VEV associado a um campo escalar massivo, , no espaço-tempo de uma corda cósmica admitindo que o campo obedece a condição de Dirichlet em z=0.Duas contribuições distintas aparecem: Uma devido ao déficit de ângulo planar, e a outra devido à condição de fronteira.A contribuição devido ao déficit é divergente para pontos próximos sobre a corda, anulando-se para pontos distantes da mesma. A contribuição devido a fronteira é finita próximo à corda, porém diverge próximo sobre a fronteira.

Obrigado