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Efeito da Fendilhação do Betão
na distribuição de esforços em Pontes Mistas
Comparação de modelos
Diogo Filipe Vaz Rosa Dias Ferreira
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Civil
Júri
Presidente: Professor Doutor Pedro Guilherme Sampaio Viola Parreira
Orientadores: Professor Doutor Francisco Baptista Esteves Virtuoso
Professor Doutor Eduardo Manuel Baptista Ribeiro Pereira
Vogal: Professor Doutor João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida
Junho de 2010
i
RESUMO
A presente dissertação tem como objectivo principal analisar a influência do
comportamento do betão à tracção em vigas mistas aço-betão de pontes de médio vão. São
considerados três casos de estudo com diferentes relações de vãos.
A análise dos casos de estudo foi realizada por meio de cinco modelos de cálculo diferentes.
Nestes modelos consideraram-se diferentes comportamentos do betão à tracção, que variam desde
a consideração de um comportamento elástico e linear, até à não consideração da sua resistência.
Um destes modelos foi desenvolvido com base na recomendação do Eurocódigo 4 para a
consideração deste efeito. Ainda foi estudada a influência de percentagem de armadura na laje de
betão.
A modelação e simulações dos casos de estudo foram realizadas com recurso a um
programa computacional que tem por base o Método de Elementos Finitos, através de análises
lineares de estruturas correntes tendo em conta efeitos não lineares.
No estudo são também desenvolvidas representações gráficas de níveis de redistribuição do
momento flector negativo devido à fissuração do betão em zonas traccionadas para os modelos de
cálculo estudados.
Palavra-chave:
Vigas mistas aço-betão
Fissuração do betão
Modelos de cálculo
Eurocódigo 4
ii
iii
ABSTRACT
The main objective of this work is to test different models for the concrete behaviour
when subjected to tension in composite steel-concrete medium span bridges. Three case studies
are considered, corresponding to different span relations.
The case study analysis was made through the use of five different models. In these models,
different concrete behaviours in tension were considered, going from the consideration of a linear
elastic behaviour, to the non-consideration of concrete resistance. One of these models was
developed based on the recommendation of the Eurocode 4, suited to this case. Furthermore, the
influence of the reinforcement’s percentage in the slab was also studied.
The case studies modulation and simulations were performed using a computing program
based on the Finite Elements Method through linear analysis of structures.
Finally, graphical representations of negative bending moments redistributions due to
cracking of concrete were developed.
Key-words:
Composite steel-concrete beam
Concrete cracking
Design models
Eurocode 4
iv
v
RÉSUMÉ
Cette dissertation vise analyser l’influence du béton en traction dans le comportement des
poutres mixtes acier-béton des ponts à travée moyen. On a considéré trois cas d’étude chacun
pour différents ratios de travées.
L’analyse des cas d’étude a été réalisée à l’aide de cinq modèles de calcul différents. Dans
ces modèles on a considéré de différents comportements du béton en traction qui varient dès la
considération d’un comportement élastique et linéaire jusqu’à la non considération de sa
résistance. L’un de ces modèles a été développé suivant la disposition de l’Eurocode 4 pour la
considération de ces effets. L’influence du pourcentage de l’armature dans a été dalle en béton
aussi étudié.
La modulation et les simulations des cas d’étude ont été réalisées en utilisant la méthode
des éléments finis, pour l’analyse linéaire des structures pour tenir en compte les effets non
linéaires.
Dans le travail sont aussi présentées les représentations graphiques des niveaux de
redistribution du moment fléchissant négatif dû à la fissuration du béton en traction pour les
modèles de calcul étudiés.
Mots-clés:
Poutre mixte acier-béton
Fissuration du béton
Eléments finis
Eurocode 4
vi
vii
AGRADECIMENTOS
O desenvolvimento do presente estudo só foi tornado possível com a colaboração de várias
personalidades marcantes na minha vida académica, às quais pretendo expressar a minha sincera
gratidão:
Ao excelentíssimo Professor Francisco Virtuoso, pela orientação prestada e
transmissão de conhecimento essencial ao progresso deste estudo.
Ao excelentíssimo Professor Eduardo Pereira, pela co-orientação prestada e
transmissão de conhecimento essencial ao progresso deste estudo.
À excelentíssima Ana Cristina Ferreira, minha mãe, pela revisão ortográfica e
gramatical de língua portuguesa do presente documento.
Aos meus caros colegas, Gonçalo Correia e João Vasco Lopes, pela revisão
ortográfica e gramatical de língua inglesa do resumo alargado da tese.
Visto que a apresentação da presente tese é o culminar de um mestrado integrado, gostaria
também de agradecer às pessoas que me apoiaram durante o decorrer destes últimos cinco anos:
Aos meus pais, que sempre me incentivaram e apoiaram moral e financeiramente.
Ao excelentíssimo Professor José Roberto Santos, pelo apoio prestado e
aconselhamento.
A todos os meus colegas de curso com os quais realizei trabalhos de grupo e cruzei
dúvidas.
Ao meu grupo de estudo, que embora não estudássemos as mesmas matérias,
sempre me apoiaram e estiveram presentes.
Aos meus amigos, que sempre me apoiaram e estiveram presentes.
Aluno Nº 54964
viii
ix
ÍNDICE
1. Introdução .................................................................................................................... 1
1.1. Generalidades ......................................................................................................... 1
1.2. Objectivos .............................................................................................................. 3
1.3. Plano da Dissertação .............................................................................................. 3
2. Definição do Modelo Estrutural .................................................................................... 5
2.1. Caracterização da estrutura ..................................................................................... 5
2.2.Caracterização das Acções ........................................................................................ 6
2.3. Materiais ................................................................................................................ 8
2.3.1. Aço ................................................................................................................. 8
2.3.2. Betão ............................................................................................................... 9
2.3.3. Mecanismo de fissuração do betão armado .................................................... 11
2.4. Comportamento de um tirante de betão armado .................................................. 13
2.5. Extensão média nas armaduras traccionadas ......................................................... 14
2.6. Homogeneização de secções mistas ....................................................................... 17
2.7. Armadura Passiva ................................................................................................. 18
2.8. Armadura mínima ................................................................................................ 19
2.8.1. Adaptação da fórmula ao caso de estudo perante cada EC ............................. 20
3. Modelos Computacionais ............................................................................................ 23
3.1.Selecção do modelo de cálculo a utilizar ................................................................ 23
3.1.1.Introdução ..................................................................................................... 23
3.1.2. Justificação da modelação e Calibração do modelo ........................................ 24
3.1.3. Modelo A ...................................................................................................... 24
3.1.4. Modelo B ...................................................................................................... 25
x
3.1.5. Comparação de resultados dos dois modelos ................................................. 27
3.2. Importância da Largura Efectiva ........................................................................... 32
3.3. Modelação das armaduras traccionadas ................................................................. 35
3.4. Modelação do Comportamento das zonas de betão traccionadas .......................... 36
3.4.1. Modelo I ....................................................................................................... 36
3.4.2.Modelo II ....................................................................................................... 36
3.4.3. Modelo I-II ................................................................................................... 37
3.4.4. Modelo Simplificado - EC4 .......................................................................... 37
3.4.5. Modelo Contribuição do betão entre fendas .................................................. 38
3.5. Calibração da Carga Aplicada / Verificação de Segurança ..................................... 41
3.5.1. Cálculo da resistência da secção ..................................................................... 41
3.5.1.1. Momento Resistente Positivo ................................................................. 42
3.5.1.2. Momento Resistente Negativo ............................................................... 43
3.5.2. Cálculo dos esforços actuantes ....................................................................... 45
3.5.2.1. nL=0,5 .................................................................................................... 46
3.5.2.2. nL=0,6 .................................................................................................... 47
3.5.2.3. nL=0,8 .................................................................................................... 48
4. Estudo Paramétrico ..................................................................................................... 51
4.1. Introdução ........................................................................................................... 51
4.2. Aspectos analisados .............................................................................................. 52
4.3. Vão Lateral de 16m (nL=0,5) ................................................................................ 53
4.4. Vão Lateral de 19,2m (nL=0,6) ............................................................................. 63
4.5. Vão Lateral de 25,6m (nL=0,8) ............................................................................. 69
4.6. Comparação de resultados .................................................................................... 75
5. Considerações Finais ................................................................................................... 79
xi
5.1. Conclusões ........................................................................................................... 79
5.2. Recomendações .................................................................................................... 80
5.3. Desenvolvimentos Futuros ................................................................................... 81
Bibliografia ...................................................................................................................... 83
xii
xiii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1- Exemplo de uma P.S. com tabuleiro misto na auto-estrada A1, junto à área de serviço
de Torres Novas. ......................................................................................................................... 2
Figura 2 - Perfil longitudinal genérico e secção transversal adoptada. ........................................... 5
Figura 3 - Descrição das distribuições possíveis de sobrecarga. ..................................................... 7
Figura 4 – relação constitutiva do betão. .................................................................................... 10
Figura 5 – Método do diagrama rectangular simplificado. ......................................................... 11
Figura 6 – Diagramas de tensões com secção não fissurada(a) e secção fissurada (b) ................... 12
Figura 7– Trajectórias de transferência de tensão tangencial entre os dois materiais. .................. 13
Figura 8 – Diagrama N-ε teórico com a contribuição do betão entre fendas definida. ................ 14
Figura 9 – Diagrama σs-εs. ........................................................................................................ 15
Figura 10 – Secção homogeneizada tipo. ................................................................................... 17
Figura 11 - Viga continua com os eixos de coordenadas globais identificados. ........................... 24
Figura 13 - Vista 3D do Modelo A. ........................................................................................... 25
Figura 12 - Secção homogeneizada e suas principais propriedades. ............................................. 25
Figura 14 - Secção transversal com distância entre centros de massa........................................... 25
Figura 15 - Vista 3D do Modelo B. ........................................................................................... 26
Figura 16 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos
de calibração. ............................................................................................................................. 27
Figura 17 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos de
calibração. .................................................................................................................................. 28
Figura 18 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do meio vão interior dos modelos de
calibração. .................................................................................................................................. 28
Figura 19 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do meio vão interior dos modelos de
calibração. .................................................................................................................................. 28
Figura 20 - Momento flector não fendilhado. ............................................................................ 29
Figura 21 - Esforço normal não fendilhado do elemento de betão no modelo B. ....................... 30
Figura 22 - Diagrama de momento flector não fendilhado do banzo de betão, modelo B. ......... 30
Figura 23 - Diagrama de momento flector não fendilhado do perfil metálico, modelo B ........... 31
xiv
Figura 24 – Conceito de largura efectiva (PEDRO, 2007). ......................................................... 32
Figura 25 - Distância entre pontos de momento flector nulo ..................................................... 33
Figura 26 – Distribuição longitudinal das larguras efectivas. ...................................................... 34
Figura 27 – Diagrama comparativo entre o modelo não fendilhado e um modelo com larguras
efectivas. .................................................................................................................................... 34
Figura 28 - Vista 3D do modelo II sem armadura ordinária. ...................................................... 37
Figura 29 - Método simplificado proposto pelo EC4 (CALADO, et al., 2009). .......................... 38
Figura 30 - Modelação da viga contínua considerando a resistência do betão entre fendas para um
determinado nível de armaduras. ............................................................................................... 40
Figura 31 – Secção transversal com armaduras relativas à percentagem máxima. ........................ 44
Figura 32 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,5. 46
Figura 33 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,6. 47
Figura 34 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,8. 49
Figura 35 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura máxima. ..................................................................................................................... 53
Figura 36 – Relação N-ε para a ρs,máx. ......................................................................................... 54
Figura 37 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2 ..................................................................................... 55
Figura 38 - Relação N-ε para a ρs,mín EC2 do Modelo I-II. ............................................................ 56
Figura 39 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e
nL=0,5. ...................................................................................................................................... 56
Figura 40 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura máxima. ..................................................................................................................... 58
Figura 41 – Relação N-ε para a ρs,máx. ......................................................................................... 60
Figura 42 – Relação N-ε para a ρs,mín EC4. .................................................................................... 61
Figura 43 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S3 e
nL=0,5. ...................................................................................................................................... 61
Figura 44 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura máxima. ..................................................................................................................... 63
Figura 45 – Relação N-ε para a ρs,máx. ......................................................................................... 64
xv
Figura 46 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e
nL=0,6. ...................................................................................................................................... 65
Figura 47 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura máxima. ..................................................................................................................... 66
Figura 48 – Relação N-ε para a ρs,máx. ......................................................................................... 67
Figura 49 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S3 e
nL=0,6. ...................................................................................................................................... 68
Figura 50 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura máxima. ..................................................................................................................... 69
Figura 51 – Relação N-ε para a ρs,máx. ......................................................................................... 70
Figura 52 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2. .................................................................................... 70
Figura 53 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e
nL=0,8. ...................................................................................................................................... 71
Figura 54 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura máxima. ..................................................................................................................... 72
Figura 55 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de
armadura mínima EC4. ............................................................................................................. 73
Figura 56 – Relação N-ε para a ρs,máx .......................................................................................... 73
Figura 57 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S3 e
nL=0,8. ...................................................................................................................................... 74
Figura 58 - Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o
"Modelo I-II". ........................................................................................................................... 75
Figura 59 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o
"Modelo Simplificado – EC4". .................................................................................................. 76
Figura 60 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o
"Modelo II". .............................................................................................................................. 76
xvi
xvii
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 - Características das percentagens de armadura consideradas. ............................. 18
Tabela 2 – Diferentes larguras efectivas ............................................................................ 34
Tabela 3 – Erro observado devido à simplificação de uma largura constante. .................... 35
Tabela 4 – “Larguras equivalentes” representativas de cada percentagem de armadura. ..... 35
Tabela 5– verificação da segurança para a viga continua 16-32-16. ................................... 47
Tabela 6 – verificação da segurança para a viga continua 19,2-32-19,2............................. 48
Tabela 7 – verificação da segurança para a viga continua 25,6-32-25,6............................. 49
Tabela 8 – Descrição das várias pontes analisadas. ............................................................ 51
Tabela 9 – Diferença de esforço axial e de “largura equivalente” entre combinações de
acções, relativas ao Método II. .......................................................................................... 59
xviii
xix
NOTAÇÃO E ACRÓNIMOS
Notação Latina
Ac – Área de betão
As – Área de armaduras ordinárias
Av – área de corte
bc – Largura do banzo de betão
beff – Largura efectiva
beq. – Largura de betão equivalente à armadura traccionada.
b . - Largura de betão equivalente à armadura traccionada, tendo em consideração a
contribuição do betão entre fendas.
bfsup – Largura do banzo superior do perfil I em aço
bfinf - Largura do banzo inferior do perfil I em aço
d – distância entre o centro de massa do banzo de betão e do perfil I, segundo o eixo z
Es - Módulo de elasticidade do aço
EaI1 – rigidez de flexão elástica
Ec - Módulo de elasticidade do betão
EaI2 – rigidez de flexão das zonas fendilhadas em vigas contínuas
F - Força resistente do elemento i do perfil metálico
F – Força resistente do banzo de betão
fcd – Valor de cálculo da tensão de rotura à compressão do betão
fctm – Valor médio da tensão de rotura à tracção do betão
fu – Tensão de rotura ou tensão última do aço
fy – Tensão de cedência do aço
fyd – valor de cálculo da tensão de cedência do aço
fyk – valor característico da tensão de cedência do aço
G – Carga permanente
hc - altura do banzo de betão
hw - Altura da alma do perfil I em aço
I – Momento de maior inércia de superfície da secção transversal de uma viga
xx
Med – Momento flector actuante
Mrd – Momento flector resistente
n – coeficiente de homogeneização para efeitos a curto prazo
Ncr – Esforço normal de fendilhação da secção de betão
Ncr’ – Nível limite de esforço normal da secção de betão, para o qual a extensão média nas
armaduras traccionadas é calculada pela limitação inferior da fórmula.
nL – rácio entre vãos consecutivos
smín – Distância mínima entre fendas
tfsup - Espessura do banzo superior do perfil I em aço
tfinf - Espessura do banzo inferior do perfil I em aço
tw – Espessura da alma do perfil I em aço
yg,perfil - Centro de massa do perfil I
yg,c – Centro de massa do banzo de betão
Notação Grega
α – Coeficiente de dilatação térmica
γ – Peso volúmico
εSI – Extensão das armaduras ordinárias em estado I
εSII - Extensão das armaduras ordinárias em estado II
εsm – Extensão média das armaduras ordinárias traccionadas
ν – Coeficiente de Poisson
ρs – percentagem de armadura
σ – Tensão normal
- Abertura de fenda
xxi
Siglas
EC – Eurocódigo
ELU – Estado limite último
LN – Linha neutra
PS – Passagem Superior
SC – Sobrecarga (acção variável)
VS – Verificação de Segurança
xxii
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. Generalidades
Em meados do século passado, de acordo com (MARCONCIN, 2008) procurou-se
desenvolver um sistema estrutural híbrido que tivesse resistência à compressão como é
característico de os sistemas estruturais de betão armado, mas que fosse também competente ao
nível da resistência a tensões de tracção e de menor peso próprio, tal como as estruturas metálicas.
Assim surgiram os elementos estruturais mistos aço-betão, tal como são conhecidos actualmente.
O betão e o aço, apesar de muito diferentes, são materiais perfeitamente complementares e
compatíveis, como se pode constatar:
O betão é eficiente à compressão e o aço complementa-o com a sua resistência à
tracção.
O aço traz ductilidade às estruturas.
O betão restringe deslocamentos indesejáveis dos elementos de aço (evita
encurvaduras).
Ambos os materiais possuem coeficientes de dilatação térmica (α) idênticos.
Caso o betão envolva os perfis de aço, este protege o aço contra a corrosão e isola-o
de altas temperaturas (em caso de incêndio).
Comparando os elementos mistos com elementos de betão armado, para as mesmas cargas
obtêm-se elementos com menores alturas úteis ou maiores vãos. Ou seja, este tipo de construção
permite um bom rácio vão/dimensões das peças e maior disponibilidade arquitectónica.
Do ponto de vista construtivo, segundo (CALADO, et al., 2009) este tipo de estrutura tem
um ritmo de execução mais elevado que as estruturas de betão armado tradicionais, visto que
necessita de utilizar menos escoramentos e cofragens, tirando partido da resistência dos elementos
metálicos.
No que diz respeito às obras de arte, este sistema estrutural tem vindo a ter uma utilização
crescente. Segundo (REIS, 2006), o tabuleiro de uma ponte pode ser misto multi-viga de alma
cheia para vãos até 30m; para vãos médios de 30m a 80m pode-se adoptar um tabuleiro misto bi-
viga de alma cheia; para vãos entre os 80m a 120m, pode utilizar-se um tabuleiro misto em
2
caixão; e por último para vãos maiores onde a solução adoptada seja uma ponte atirantada, pode
usar-se um tabuleiro misto aerodinâmico.
De todas as tipologias descritas, as pontes com tabuleiro misto aço-betão são mais
competitivas que as pontes de betão armado e pré-esforçado e as mais utilizadas para vãos médios
entre os 30m a 120m. Esta competitividade resulta essencialmente da facilidade e rapidez de
execução e estética. A avaliação da competitividade económica destas soluções deve ser feita caso a
caso em fase de estudo prévio.
Exemplos de pontes mistas recentemente construídas são a maioria das passagens
superiores (PS) de auto-estradas em Portugal, algumas resultantes da alteração do número de vias
de trânsito.
Figura 1- Exemplo de uma P.S. com tabuleiro misto na auto-estrada A1, junto à área de serviço de Torres Novas.
Sabendo-se que este tipo de estrutura se encontra pouco estudada ao nível do
comportamento não linear dos seus materiais constituintes e como se encontra na actualidade
com bastante aplicação, sentiu-se a necessidade de desenvolver um estudo que avalie o
comportamento do betão à tracção em secções mistas para os estados limites últimos.
Assim desenvolveu-se o presente estudo, onde foram analisados três relações de vãos,
diferentes percentagens de armadura e cinco tipos de modelo de cálculo para vigas mistas
contínuas:
Modelo I, ou Modelo não fendilhado, onde se considera que o betão resiste de
igual modo à tracção e à compressão (comportamento elástico linear).
Modelo “Contribuição do betão entre fendas” que considera a resistência do betão
entre fendas.
Modelo simplificado – EC4, prescrito pelo eurocódigo 4 que consiste na redução
de capacidade resistente de secções adjacentes aos apoios interiores.
3
Modelo I-II, onde o banzo de betão tem comportamento em Estado I até atingir a
tensão média de rotura à tracção, fctm, e após esse valor comporta-se em Estado II.
Modelo II, onde se despreza a resistência do betão à tracção.
Por último, analisaram-se as diferentes redistribuições de momentos flectores negativos
associados a estes modelos de cálculo e desenvolveram-se representações gráficas das
redistribuições dependentes da relação de vão e percentagem de armadura.
1.2. Objectivos
A presente dissertação tem como principal objectivo a análise, através de um estudo
paramétrico, da influência do comportamento do betão à tracção em vigas mistas de pontes de
médio vão com conexão total e diferentes percentagens de armadura.
Pretende-se verificar se a prescrição do EC4 – parte 2 §5.4.2.3.(3), no âmbito da fissuração
do betão à tracção, se encontra adaptada aos casos de estudos através da comparação de os
resultados com os resultados de outros modelos de cálculo adoptados.
1.3. Plano da Dissertação
Em vigas mistas aço-betão, a colocação do betão em zonas de compressão e do aço em
zonas de tracção, faz com que cada material esteja a resistir a esforços e deformações para os quais
têm maior aptidão. Esta consideração é de fácil aplicação em elementos simplesmente apoiados,
onde o sentido das tensões nas fibras extremas da secção nunca se altera ao longo de toda a viga.
Mas em casos de vigas contínuas sujeitas a aplicação de cargas gravíticas permanentes, o betão
adjacente aos apoios interiores encontra-se totalmente traccionado, apresentando resistência
diminuída. Assim surge a necessidade de se desenvolver estudos incisivos sobre esta temática e que
avaliem a resistência global da viga mista e a influência da fissuração do betão em zonas
traccionadas.
No capítulo 2 da presente tese é exposto o problema em estudo, sendo definidas as
características da estrutura tipo estudada e das combinações de acções analisadas. Descreve-se
4
ainda as propriedades dos materiais envolvidos e é apresentada a formulação usualmente adoptada
para a consideração da resistência do betão entre fendas.
No capítulo 3, são descritos todos os modelos de cálculo adoptados neste estudo, incluindo
as suas calibrações computacionais e processos de implementação. Neste capítulo são ainda
apresentados alguns resultados de calibração da modelação e os ajustes das cargas aplicadas para as
análises realizadas, tendo em conta a verificação dos estados limites últimos.
O capítulo seguinte é destinado à análise de resultados. Neste capítulo desenvolve-se o
estudo paramétrico, iniciando-se pela análise individual de cada caso de estudo, tendo em conta
os diferentes modelos e as diferentes percentagens de armadura adoptadas. Seguidamente, são
analisados em simultâneo os resultados dos três casos de estudo relativos a cada modelo de cálculo
individualmente. Com base nesta análise, desenvolvem-se representações gráficas do nível de
redistribuição do momento flector negativo em vigas mistas contínuas.
Por fim, são referidas as conclusões do estudo paramétrico realizado, efectuando-se algumas
recomendações e referem-se possíveis desenvolvimentos futuros na área.
5
Figura 2 - Perfil longitudinal genérico e secção transversal adoptada.
2. DEFINIÇÃO DO MODELO ESTRUTURAL
2.1. Caracterização da estrutura
Nesta subsecção, é definido o perfil longitudinal genérico das vigas contínuas e a secção
transversal adoptada. Para o presente estudo paramétrico foi definida uma tipologia base como
objecto de análise. Essa tipologia é definida como uma viga de três tramos com vão central de
média dimensão.
Na Figura 2 encontram-se caracterizados o perfil longitudinal genérico da viga contínua e a
secção transversal adoptada no estudo.
O vão central foi considerado com uma dimensão de 32m, tendo sido adoptadas três
relações entre os vãos laterais e o vão central: nL=0,5; nL=0,6; e nL=0,8.
Para além das características apresentadas, é associado ao caso de estudo um carregamento
uniformemente distribuído em sentido gravítico que será quantificado ao estado limite último de
resistência da viga contínua para os diferentes perfis longitudinais e percentagens de armadura
adoptadas. Para as operações de calibração dos modelos computacionais, é utilizado um
carregamento de intensidade de 200 kN/m.
[mm]bc 6000hc 250
bfsup 450
tfsup 30
hw 1280tw 14
bfinf 600
tfinf 40
6
2.2.Caracterização das Acções
A acção aplicada no presente estudo é constituída por uma parcela de carga permanente,
que engloba o peso próprio da estrutura e a restante carga permanente; e uma parcela de carga
variável, constituída pela sobrecarga (SC). Como o presente estudo não se alargou à determinação
pormenorizada das acções (G e Q), considerou-se uma proporção de uma vez e meia para a
relação entre a sobrecarga e a carga permanente, tal como descrito nas equações (2. 1) e (2. 2).
1,5. (2. 1)
0,6 (2. 2)
Pretendendo-se considerar a alternância de sobrecarga, foram analisadas as combinações de
acções consideradas condicionantes para a verificação aos Estados Limites Últimos (ELU), como
prescrito no EC0. A equação geral para o Estado Limite Último é a seguinte:
. . (2.3)
sendo,
G – acção permanente
Q – acção variável
– coeficiente de majoração da acção permanente
– coeficiente de majoração da acção variável
Assim considerando a alternância de sobrecarga, tem-se as seguintes combinações de
acções:
1 1 (2. 4)
2 2 (2. 5)
3 2 (2. 6)
4 3 (2. 7)
5 3 (2. 8)
7
Os vários tipos de distribuição de sobrecarga encontram-se numerados de acordo com a
seguinte figura:
Figura 3 - Descrição das distribuições possíveis de sobrecarga.
A diferença entre a combinação S2 e S3 ou S4 e S5 consiste na consideração da carga
permanente, G, como uma carga favorável, 1.0, ou como carga desfavorável com 1.5,
respectivamente, (EN 1990, 2001). Como SC2 e SC3 não se encontram distribuídas por toda a
viga, a carga permanente poderá ter um efeito favorável ou desfavorável, sendo necessária a análise
dos dois efeitos.
O EC0 recomenda que o coeficiente de majoração de acções permanentes relativo ao
Estado Limite Último seja tomado igual a 1,35, mas por simplificação este foi considerado igual
ao coeficiente de majoração de acções variáveis, 1,5, tal como evidenciado na expressão (2. 9).
1,5 (2. 9)
8
2.3. Materiais
Os materiais constituintes de um tabuleiro misto são o aço estrutural, o betão e as
armaduras passivas. É pouco usual a utilização de armaduras activas de pré-esforço, neste tipo de
tabuleiros.
Tanto o betão como o aço, quando sujeitos a elevadas solicitações, apresentam um
comportamento fisicamente não linear. Deste modo, estudos admitindo o comportamento
elástico linear dos dois materiais são apropriados para estados de serviço e estados de construção,
onde os níveis de solicitação do tabuleiro não são muito elevados. No caso de análises à rotura das
estruturas, a consideração do comportamento não linear dos materiais é mais correcta e torna-se
pouco adequado despreza-lo. Assim neste tipo de análises os efeitos não lineares dos materiais
devem ser considerados.
Por motivos de extensão do estudo e por se considerar mais importante e influente no
comportamento global de uma viga mista, apenas se analisará o comportamento não linear do
betão. De seguida são descritas as características e comportamento dos materiais envolvidos no
presente estudo.
2.3.1. Aço
O aço é uma liga metálica formada essencialmente por ferro e carbono, com percentagens
deste último variando entre 0,80% a 2,11%. Numa secção de betão estrutural é importante a
utilização de armaduras ordinárias de aço para controlo indirecto da fendilhação e para melhorar a
resistência da secção. Deste modo, ao longo deste estudo foram consideradas armaduras ordinárias
constituídas por A500NR, com um comportamento elástico e linear e com as seguintes
propriedades:
Módulo de elasticidade, Es = 210 GPa
Coeficiente de Poisson, ν= 0,3
Coeficiente de dilatação térmica, α = 10-5 ºC-1
Valor característico da tensão de cedência, fyk = 500 MPa
Valor cálculo da tensão de cedência, fyd = 434,78 MPa
Peso volúmico, γ = 76,97 kN/m3
9
Por forma a analisar-se várias percentagens de armadura e existir um controlo de qualidade
dos resultados obtidos, serão analisadas quatro percentagens de armadura. Estas percentagens de
armadura serão definidas e justificada a sua adopção em “2.7. Armadura Passiva”.
Como referido anteriormente, para além do aço nas armaduras ordinárias, a secção mista
utilizada é constituída por um perfil metálico em I, mais propriamente uma viga de alma cheia.
Para o perfil, o aço adoptado foi o S355 com comportamento isotrópico e as seguintes
propriedades:
Módulo de elasticidade, Ea = 210 GPa
Coeficiente de Poisson,ν= 0,3
Coeficiente de dilatação térmica, α = 10-5 ºC-1
Valor característico da tensão de cedência, fy = 355 MPa
Valor característico da tensão última, fu = 510 MPa
Peso volúmico,γ = 76,97 kN/m3
2.3.2. Betão
A relação constitutiva que melhor se adapta ao comportamento do betão encontra-se
definida na Figura 4. O conhecimento da relação constitutiva é um dos aspectos importantes de
uma análise não linear, dado que o betão apresenta comportamentos diferentes quando
submetido a esforços de tracção ou compressão. Em compressão a relação constitutiva inclui duas
partes distintas: uma primeira ascendente designada por “strain-hardening”, em que a tensão
aumenta com o acréscimo da deformação; e uma segunda parte designada por “strain-softening”,
em que acréscimos de deformação correspondem à redução da tensão instalada.
10
No caso de tracções, o betão tem um comportamento elástico linear enquanto a tensão for
inferior à tensão de rotura do betão à tracção simples (fct). Quando a tensão de tracção excede fct,
desenvolvem-se fissuras no betão, ficando a resistir apenas a armadura ordinária existente nesses
locais. A resistência à tracção do betão é um parâmetro que apresenta grande variabilidade.
Conhecendo-se o comportamento adoptado do betão, serão definidas a classe e as
propriedades do betão utilizado. Neste estudo foi considerado um betão da classe C30/37 com as
seguintes propriedades:
o Módulo de elasticidade, Ec = 32 GPa
o Coeficiente de Poisson,ν= 0,2
o Coeficiente de dilatação térmica, α = 10-5 ºC-1
o Valor de cálculo da tensão de rotura à compressão, fcd = 20 MPa
o Peso volúmico, γ = 25 kN/m3
o Valor médio da tensão de rotura à tracção, fctm = 2900 kPa
No cálculo da capacidade resistente da secção de betão armado será utilizado um método
simplificado que permite simular, de forma simples, a resultante das tensões de compressão
desenvolvidas no betão. Esse método é conhecido por método do diagrama rectangular
simplificado e consiste em admitir que a área de tensões parabólicas desenvolvidas no betão
equivale a uma área rectangular onde a largura do rectângulo mantém-se igual a 0,85fcd e a altura
é 80% da altura da zona comprimida de betão. O processo encontra-se ilustrado na Figura 5.
Figura 4 – relação constitutiva do betão.
11
Figura 5 – Método do diagrama rectangular simplificado.
Salienta-se que no estudo paramétrico será adoptado um comportamento elástico e linear
para o betão à compressão, independentemente do modelo de cálculo adoptado.
2.3.3. Mecanismo de fissuração do betão armado
Neste subcapítulo, será explicado e analisado o mecanismo de fissuração de um tirante de
betão armado e de um tirante misto aço/betão. Para definir o início da fissuração é utilizado o
valor médio da resistência à tracção, fctm, como referência.
Um tirante de betão armado solicitado por uma carga de tracção apresenta três fases de
comportamento, tal como descrito em (FAVRE, et al., 1980) & (APPLETON, et al., 2006). A
fase A constituída pela não fendilhação do tirante, a fase B constituída pelo aparecimento da
primeira fenda e pela fase C constituída pela estabilização do número de fendas no tirante.
Até ser atingida a tensão de fendilhação, σcr, o tirante apresenta-se não fendilhado – fase A.
Nesta fase, o tirante tem uma extensão igual à extensão de um tirante de betão simples, visto que
a armadura apenas acompanha a extensão do betão, comportando-se como um só material. As
tensões nos dois materiais podem ser observadas na Figura 6 a) que se representa a relação entre o
módulo de elasticidade do aço e o módulo de elasticidade do betão.
Quando a tensão de fendilhação é ultrapassada, é formada a primeira fenda – fase B. Esta
fenda é dada devido ao betão simples atingir a sua extensão máxima, observando-se a rotura do
tirante numa zona mais fragilizada. Neste local a armadura ordinária absorve todos os esforços de
12
tracção anteriormente suportados pela secção de betão (Naço = Ncr = Ac x fctm), fazendo com que
haja alongamentos diferentes entre a armadura e o betão, que se traduz na abertura de uma fenda.
No caso de secções mistas, o aço, que absorve os esforços, é constituído pelas armaduras e pelo
perfil metálico o que fará com que esta abertura de fendas seja inferior, quando comparada, para a
mesma solicitação, com uma secção de betão armado, visto que a extensão no aço é inferior,
devido à existência de uma área maior de aço a resistir. Salienta-se para o facto de a abertura de
fendas ter uma relação directamente proporcional à extensão da secção em questão.
Após fissuração, poderão ser observados valores de tensão normal na armadura ordinária da
secção mista inferiores ao esforço axial de fissuração do banzo de betão, visto que parte desse
esforço é absorvido pelo perfil metálico. Os diagramas característicos de tensões normais no aço e
no betão relativos à fase B poderão ser observados na Figura 6 b).
Figura 6 – Diagramas de tensões com secção não fissurada(a) e secção fissurada (b)
13
Em regiões adjacentes a fendas, o betão opõe-se aos alongamentos excessivos do aço e por
efeito de aderência ocorre transferência de tensão tangencial, , do aço para o betão, tal como
ilustrado nas Figura 6 e Figura 7.
Figura 7– Trajectórias de transferência de tensão tangencial entre os dois materiais.
A partir de uma certa distância da fissura, Sr, a compatibilidade dos alongamentos aço -
betão é restabelecida. Teoricamente, é a partir desta distância Sr que a resistência à tracção do
betão é novamente atingida. E como consequência uma nova fissura pode formar-se. Na prática,
quando há um pequeno aumento de carga, a fissura aparece onde a resistência à tracção do betão
for menor.
Uma terceira fissura entre as duas primeiras, pode aparecer apenas se a transferência por
aderência da força de tracção do aço para o betão for suficiente para que seja atingida a resistência
à tracção do betão, fctm. E assim ininterruptamente até ao momento em que a tensão à tracção do
betão entre duas fendas não consiga atingir a tensão de cedência, fctm.
Com um determinado grau de solicitação da peça, atinge-se uma fase onde o número de
fissuras e as suas distâncias não se alteram, chegando-se a um nível de fissuração estabilizada – fase
C.
2.4. Comportamento de um tirante de betão armado
Neste subcapítulo será descrito teoricamente o comportamento não linear à tracção do
betão. Este comportamento encontra-se descrito como um comportamento intermédio entre o
estado elástico linear não fendilhado (Estado I) e o estado elástico linear fendilhado (Estado II),
onde se considera a contribuição do betão entre fendas para a resistência da viga.
Relembra-se que no Estado I não se considera a fissuração do betão, facto que corresponde
à realidade para solicitações inferiores ao esforço axial de fendilhação, Ncr. A partir desse esforço,
14
os valores das extensões afastam-se das observadas na realidade. No Estado II, para solicitações de
tracção apenas se considera a resistência das armaduras passivas. Este estado é muito conservativo
para pequenas solicitações, mas para solicitações maiores, os valores das extensões aproximam-se
da realidade.
Figura 8 – Diagrama N-ε teórico com a contribuição do betão entre fendas definida.
A Figura 8 descreve o comportamento não fendilhado (Estado I), o comportamento
fendilhado (Estado II) e o comportamento real da secção, alvo de análise na presente tese.
Segundo (APPLETON, et al., 2006), após a peça formar a primeira fenda (N>Ncr), este
comportamento caracteriza-se como uma curva entre o estado I e o estado II, onde o betão entre
fendas também contribui para a resistência da secção. A curva em questão inicia-se quando o
esforço normal atinge Ncr e com o aumento de esforço normal a curva aproxima-se
assimptoticamente da recta do estado II.
2.5. Extensão média nas armaduras traccionadas
Neste subcapítulo será deduzida uma fórmula utilizada no estudo paramétrico para calcular
a extensão média nas armaduras traccionadas. O elemento resistente numa secção de betão
fissurada é o aço. Assim torna-se importante o cálculo da extensão média desse elemento.
Dado que o betão entre duas fendas mantém-se solidário em tracção com as armaduras, a
extensão das armaduras no estado II é e é reduzido de certo valor ∆ devido à contribuição da
rigidez do betão para a extensão média da armadura, (2. 10). Estas grandezas podem ser
observadas na Figura 9.
15
Figura 9 – Diagrama σs-εs.
Numa viga sujeita à tracção pura que se encontre parcialmente fendilhada, ou seja, numa
viga que apresente algumas fendas, mas que ainda possua capacidade para formar mais fendas
í , poder-se-á calcular e medir na prática a extensão máxima nas armaduras traccionadas
nas zonas de fendas, onde só existe armadura resistir. A extensão média nas armaduras já tem em
conta os efeitos da rigidez de toda a zona traccionada e será deduzida seguidamente.
Como já referido e tendo por base a Figura 9, observa-se que:
∆ . (2. 10)
Segundo ensaios de Rostasy, Rao e (FAVRE, et al., 1980), pode-se afirmar que a redução
da extensão média das armaduras, , segue uma lei hiperbólica em função da tensão na
armadura, , da forma:
∆ max ∆ . (2. 11)
e como,
max∆ (2. 12)
Desprezando a extensão do betão e substituindo-se a equação (2. 12) na equação (2. 11),
tem-se que:
∆ . . (2. 13)
e assim,
. 1 (2. 14)
16
A esta fórmula apenas lhe foi acrescentado dois parâmetros, e , para melhor ajuste às
várias situações. Assim a extensão média na armadura pode ser calculada pela seguinte fórmula
presente em (REBAP, 2007) & (Betão Armado e Pré-esforçado, 1988) & (Decreto-Lei n.º 60/96/M)
e anteriormente deduzida:
1 0,4 (2. 15)
onde,
σs – tensão normal de tracção na armadura, correspondente ao esforço resultante da
combinação de acções em causa; esta tensão deve ser calculada em secção fendilhada.
β1 – coeficiente dependente das características de aderência dos varões da armadura, que
deve de ser tomado igual à unidade para varões de alta aderência (NR).
β2 – coeficiente dependente da permanência ou da repetição das acções, que deve ser
tomado igual a 0,5 no caso de combinações frequentes ou quase permanentes.
σsr – tensão de tracção na armadura, calculada em secção fendilhada, correspondente ao
esforço que provoca o início da fendilhação; este esforço é o que, em secção não fendilhada,
conduz a uma tensão de tracção máxima no betão de valor de fctm.
17
2.6. Homogeneização de secções mistas
Após a descrição do comportamento dos dois materiais estruturais de vigas mistas, para
análises elásticas é conveniente homogeneizar um material em relação ao outro, com o intuito de
se trabalhar apenas com um material. Para que tal aconteça, é utilizado o coeficiente de
homogeneização para efeitos a curto prazo, sem a consideração de efeitos diferidos, n, tal como
referido em (CALADO, et al., 2009):
21032
6,563 (2. 16)
Para homogeneizar uma secção mista, segundo (PIRES, 1987), basta dividir a largura do
banzo de betão por n, obtendo-se uma largura homogeneizada do banzo, . Assim transforma-se
a secção mista numa secção equivalente e homogénea composta por apenas aço, tal como
ilustrado na Figura 10.
Figura 10 – Secção homogeneizada tipo.
Para a secção adoptada ao longo deste trabalho e descrita na Figura 2, obtém-se o seguinte
.
6,06,563
0,914
Todas as propriedades da secção podem ser calculadas através da secção homogeneizada.
Para calcular a tensão normal na fibra extrema superior referente ao betão, é necessário dividir a
tensão normal pelo coeficiente de homogeneização para se obter a real tensão normal observada:
.. (2. 17)
18
2.7. Armadura Passiva
Numa peça linear de betão estrutural, é sempre necessário que essa peça seja composta por
betão e armaduras ordinárias passivas. As principais funções de armaduras passivas são o controlo
indirecto da abertura de fendas da peça de betão e o aumento de resistência da secção de betão.
Como já referido, o betão sujeito a esforços de tracção a partir da tensão média de fendilhação,
fctm, fissura ao longo da peça. Existem regulamentos de betão armado que aconselham a utilização
de certas fórmulas para o cálculo de áreas de armadura mínima, cuja única função é a limitação de
abertura de fendas. Neste subcapítulo são abordadas as várias percentagens de armadura utilizadas
e a formulação das expressões prescritas pelos eurocódigos para o cálculo de armadura mínima.
Na presente dissertação serão adoptadas quatro percentagens de armaduras diferentes,
como indicado na Tabela 1.
Armadura ρs As [cm2] Máxima 1,257% 188,52
Intermédia 0,804% 120,60 Mínima - EC2 0,580% 87,00 Mínima - EC4 0,384% 57,66
Tabela 1 - Características das percentagens de armadura consideradas.
A percentagem de armadura máxima não é a percentagem de armadura máxima
regulamentar da secção de betão, mas é um valor máximo de referência de projecto para a secção
em questão. A percentagem de armadura intermédia foi determinada como um valor de referência
comummente utilizado e que se situa entre a ρ , á e ρ , . As percentagens de armadura
mínimas foram determinadas com base nas fórmulas de armadura mínima presentes no
Eurocódigo 2 e Eurocódigo 4.
19
2.8. Armadura mínima
O conceito de armadura mínima existe para evitar uma rotura frágil de um elemento de
betão, assim aquando da fendilhação do elemento a tensão de fissuração é absorvida por esta
armadura havendo a formação de uma fissura, sem rotura total do elemento de betão armado. No
caso das secções mistas em estudo, a armadura mínima é constituída pela armadura do banzo de
betão e pelo banzo superior do perfil metálico. Assim admite-se que a armadura ordinária mínima
de uma secção de betão armado é superior à armadura ordinária mínima de uma secção mista de
banzo de betão igual.
Surge assim a fórmula presente em (EN 1992: Dezembro, 2004) & (EN 1994-2: Outubro,
2005) para o cálculo das armaduras mínimas de controlo de fendilhação relativas a secções de
betão armado e secções mistas:
, í , (2.18)
onde,
As,mín – área mínima de armadura ordinária na zona traccionada.
ks – coeficiente que tem em conta o efeito da redução do esforço normal do banzo de betão
devido à fendilhação inicial e ao deslizamento local no conector de corte.
kc – coeficiente que tem em conta quer a natureza da distribuição de tensões na secção
imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da força. Esta distribuição de
tensões é resultante da combinação dos efeitos das acções e das deformações impostas impedidas.
k – coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não uniformes.
fct,ef – valor médio da resistência do betão à tracção, na idade em que se prevê a ocorrência
das primeiras fendas.
Act – área de betão traccionada imediatamente antes da formação da primeira fenda.
σs – tensão máxima admissível na armadura imediatamente após a formação da fenda.
20
2.8.1. Adaptação da fórmula ao caso de estudo perante cada EC
Eurocódigo 2
De acordo com (EN 1992: Dezembro, 2004) & (APPLETON, et al., 2006), o coeficiente ks
não se encontra representado na fórmula, assim deve de ser tomado pela unidade. Para o
coeficiente kc, é recomendado o valor da unidade no caso de tracção simples. O caso em estudo
pode ser tomado como se o banzo de betão estivesse totalmente sob tracção simples, k deve ser
tomado igual à unidade, uma vez que é o valor recomendado para o carregamento em questão
(cargas aplicadas) e para secções rectangulares com altura inferior a 0,30m. fct,ef deve ser tomado
como a tensão média de rotura do betão à tracção (fctm). Act é equivalente à secção total de betão,
visto que esta se encontra totalmente traccionada. σs foi considerada como o valor característico
da tensão de rotura nas armaduras, fyk.
, í 1,0 1,0 1,0 29006,0 0,25500000
87,00
logo, , í _ 0,580%
Eurocódigo 4
De acordo com (EN 1994-2: Outubro, 2005), para o valor do coeficiente ks foi adoptado
0,9, seguindo-se a respectiva indicação. Para o cálculo do coeficiente kc, foi utilizada a seguinte
fórmula:
1
1 2
0,3 1,0 (2 19)
onde,
hc – altura do banzo de betão, excluindo algum reforço.
z0 – distância entre o centro de massa do banzo de betão não fendilhado e o centro de
massa da secção mista não fendilhada, calculado usando o coeficiente de homogeneização elástico,
n.
21
Assim, para a secção adoptada, ilustrada na Figura 2, tem-se que:
0,250
Cálculo de z0
,, 1,2951
Com,
0,05542
,∑ , 0,5537
Simplificadamente, tem-se que:
21,35 0,125 1,475
0,914 0,250 0,2285
0,05542 0,2285 0,2839
Assim, obtiveram-se os seguintes parâmetros:
, 0,1798 0,180
1
1 0,2502 0,180
0,3 0,890 1,0
O coeficiente k foi tomado como 0,8, tal como prescrito. A tensão efectiva de tracção do
betão, fct,ef, foi adoptada igual a 3000 kPa, visto que fctm era inferior a este valor. E o regulamento
prescreve usar-se o valor de fctm até um mínimo de 3000 kPa. Act é equivalente à secção total de
betão, visto que esta se encontra totalmente traccionada. σs foi considerada como o valor
característico da tensão de rotura nas armaduras, fyk.
, í 0,90 0,89 0,80 30001,5
50000057,66
logo, , í _ 0,384%
22
23
3. MODELOS COMPUTACIONAIS
3.1.Selecção do modelo de cálculo a utilizar
3.1.1.Introdução
Toda a modelação realizada ao longo da dissertação foi realizada com recurso a ficheiros
input, ou seja, nada foi modelado através do interface do programa. Tudo foi programado em
Excel de forma a gerar modelos computacionais de SAP2000. Após a informação ser toda
colectada em ficheiros do tipo .s2k, o programa lê essa informação e gera automaticamente o
modelo pretendido. Um exemplo deste ficheiro pode ser analisado no anexo I.
Como já referido anteriormente, a presente dissertação consiste no estudo da influência da
fendilhação do betão na distribuição de esforços em vigas mistas em pontes, tornando possível a
modelação do problema através de um modelo onde se considera a secção homogeneizada e a viga
constituída apenas por um tipo de elemento de barra (Modelo A), ou através de um modelo
constituído por dois tipos de elementos barra em paralelo, um representando a lâmina de betão e
o outro o perfil de aço, com compatibilização de deslocamentos entre nós pertencentes à mesma
secção mista (Modelo B).
Na modelação do comportamento da viga a efectuar no presente trabalho, é conveniente a
modelação em separado da secção de betão armado e do perfil de aço (modelo B). Assim por
forma a calibrar a utilização deste modelo, será analisado o comportamento da viga em regime
elástico e linear, utilizando os modelos A e B e verificando se os esforços e deformações obtidas
são iguais.
No processo de calibração será utilizada a viga mista com secção transversal descrita na
Figura 2 e uma relação de vãos (nL) igual a 0,5. A carga aplicada é uma carga uniformemente
distribuída de 200kN/m com sentido gravítico (ecarga_aplicada = - ez). De seguida, este processo de
calibração e respectivas ilações serão descritas.
24
3.1.2. Justificação da modelação e Calibração do modelo
Primeiramente, eliminaram-se certos graus de liberdade de cada nó que não são necessários
à obtenção de resultados deste tipo de modelos. Esta operação teve como intuito de tornar o
modelo mais “leve” computacionalmente e eliminar alguma propagação de erros inerentes à
resolução de um número de equações maior do que o número de equações necessário. Como se
irá realizar uma análise longitudinal, usar-se-ão elementos de barra para a modelação da viga
mista, os graus de liberdade não necessários são: uy (deslocamento transversal), rx e rz (rotações fora do
plano que contem o eixo longitudinal, eixo z). Os eixos de coordenadas globais encontram-se
ilustrados na Figura 11.
Figura 11 - Viga continua com os eixos de coordenadas globais identificados.
O grau de refinamento considerado inicialmente foi o de elementos barra com o
comprimento de um metro.
3.1.3. Modelo A
Este modelo, como já referido, é apenas constituído por um tipo de elemento de barra. A
secção transversal deste elemento de barra é definida pelas propriedades da secção homogeneizada.
Assim, no programa computacional é definida esta secção como uma secção genérica, onde são
caracterizadas as propriedades da secção: área e momento de inércia segundo o eixo de maior
inércia. Para o cálculo de essas propriedades da secção homogeneizou-se o betão em relação ao
aço, obtendo-se assim a secção homogeneizada, observada na Figura 12. Salienta-se para o facto
de que a homogeneização foi efectuada utilizando-se o coeficiente de homogeneização para efeitos
a curto prazo, sem a consideração de efeitos diferidos, n, presente na equação (2. 16).
25
Figura 12 - Secção homogeneizada e suas principais propriedades.
66,5625
0,914
0,284
0,0569
Após a definição da secção genérica em SAP2000, modelaram-se os tramos da ponte com
elementos barra, tal como ilustrado na Figura 13.
Figura 13 - Vista 3D do Modelo A.
3.1.4. Modelo B
Este modelo é constituído por dois elementos de barra em paralelo, onde cada elemento
corresponde a um material estrutural. Assim, os dois elementos de barra são modelados em
paralelo a uma distância segundo o eixo Z de d. d é a distância entre os centróides do banzo de
betão e do perfil metálico I, tal como exemplificado na Figura 14.
Figura 14 - Secção transversal com distância entre centros de massa.
26
Por forma a ter em conta o funcionamento conjunto dos dois elementos foi utilizado a
hipótese das secções planas, hipótese de Bernoulli, através da compatibilização dos deslocamentos
entre os nós dos elementos de barra de materiais diferentes. Caso a compatibilização não
acontecesse e como as restrições de apoio são definidas no centróide do perfil I, o banzo de betão
deslizaria sobre o perfil de aço.
A compatibilização dos deslocamentos foi conseguida com o recurso a uma função do
programa, “joint constraint – body”. Esta função faz com que os nós associados se movam
tridimensionalmente em conjunto como um corpo rígido. Por definição, todos os graus de
liberdade se encontram ligados. Assim as equações do constrangimento, definidas em (Computers
and Structures, Inc., 2008), relacionam deslocamentos dos nós associados, tal como expresso de
seguida:
∆ (3. 1)
(3.2)
onde,
∆ (3. 3)
Observa-se na figura seguinte o resultado da modelação do modelo B.
Figura 15 - Vista 3D do Modelo B.
O momento flector global da estrutura não é obtido directamente do modelo
computacional, pois a partir do modelo apenas são obtidos o diagrama de momentos flectores e o
diagrama de esforço normal referente ao elemento de barra de betão e referente ao elemento de
barra do perfil I. É necessário calcular o momento flector resultante em relação ao centro elástico
da secção mista. Este valor pode ser calculado pela seguinte fórmula:
, ,
27
na ausência de esforço axial na secção global,
e , , , tal como
exemplificado na Figura 14.
(3. 4)
A extensão de um elemento de barra também não é obtida directamente do programa
SAP2000. São obtidos os deslocamentos longitudinais de nós consecutivos e calculada a extensão
através da seguinte fórmula:
, %∆
100, com (3. 5)
3.1.5. Comparação de resultados dos dois modelos
Com o intuito de confirmação dos bons resultados, calcularam-se tensões normais em
diferentes secções. Os resultados das tensões normais a 0,5m do primeiro apoio interior e do meio
vão interior apresentam-se de seguida.
Figura 16 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos de calibração.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
‐330 ‐280 ‐230 ‐180 ‐130 ‐80 ‐30 20
h (m)
σ [MPa]
1º Apoio ‐ Esquerda
Modelo A
Modelo B
28
Figura 17 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do primeiro apoio interior dos modelos de calibração.
Figura 18 - Tensões normais na secção à esquerda 0,5m do meio vão interior dos modelos de calibração.
Figura 19 - Tensões normais na secção à direita 0,5m do meio vão interior dos modelos de calibração.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
‐330 ‐280 ‐230 ‐180 ‐130 ‐80 ‐30 20
h (m)
σ [MPa]
1º Apoio ‐ Direita
Modelo A
Modelo B
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
‐20 30 80 130 180 230 280
h (m)
σ [MPa]
1/2 Vão ‐ Esquerda
Modelo A
Modelo B
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
‐20 30 80 130 180 230 280
h (m)
σ [MPa]
1/2 Vão ‐ Direita
Modelo A
Modelo B
29
Figura 20 - Momento flector não fendilhado.
Denota-se que a esta escala e para as diferentes secções estudadas é imperceptível a
diferença entre as tensões dos diferentes modelos. Acrescenta-se ainda que os erros relativos foram
calculados para as várias situações e a sua média não ultrapassa 0,03%, podendo-se afirmar que se
atingiu uma boa calibração do modelo B.
Este modelo será o modelo adoptado para desenvolvimentos futuros, visto permitir uma
actuação directa e intuitiva na modelação do banzo de betão e torna a secção metálica não
susceptível a alterações de modelação quando se pretende alterar propriedades do banzo de betão,
reduzindo-se possíveis erros.
Assim o andamento do diagrama de momentos flectores elásticos da viga contínua
analisada é o seguinte:
O andamento do diagrama é parabólico com valores negativos de pico sobre os apoios
interiores e o valor máximo e mínimo são verificados a meio vão do vão interior e nos apoios
interiores, respectivamente. Todos os aspectos referidos são os esperados para o problema em
questão.
Na Figura 20 encontra-se indicado o diagrama de momentos flectores global da viga. No
entanto analisando-se o modelo B, pode-se também analisar os diagramas de esforço normal e
momentos flectores de elementos de barra do banzo de betão e do perfil de aço.
De seguida, na Figura 21 encontra-se o diagrama de esforço normal não fendilhado do
banzo de betão.
11225,7
‐14374,3
1205,6
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector não fendilhado
30
Figura 21 - Esforço normal não fendilhado do elemento de betão no modelo B.
O diagrama de esforço normal apresentado é constante ao longo de cada elemento de
barra, havendo descontinuidades no diagrama aquando da passagem de um elemento para outro.
Este esforço normal é igual e de sentido contrário ao obtido nos elementos de barra do perfil
metálico. A sua variação ao longo do vão representa o fluxo de corte na ligação entre os dois
materiais.
Relativamente aos diagramas de momento flector do banzo de betão e do perfil metálico,
podem ser observados nas Figura 22 e Figura 23, respectivamente.
Figura 22 - Diagrama de momento flector não fendilhado do banzo de betão, modelo B.
‐10000
‐7500
‐5000
‐2500
0
2500
5000
7500
10000
0 16 32 48 64
N [kN
] L [m]
Esforço Normal não fendilhado
‐400
‐300
‐200
‐100
0
100
200
300
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector do banzo de betão
31
Figura 23 - Diagrama de momento flector não fendilhado do perfil metálico, modelo B
As descontinuidades dos momentos flectores de cada material são observadas na transição
de um elemento de barra para o seguinte, tal como observado no diagrama de esforço normal
(Figura 21). Este facto deve-se à compatibilização de deslocamentos imposta em cada nó do
elemento, gerando-se um esforço normal em cada elemento. O equilíbrio na viga é verificado,
uma vez que o diagrama de momentos flectores global não apresenta qualquer descontinuidade,
tal como pode ser observado na Figura 20. Ou seja, as oscilações dos diagramas de momentos
flectores de cada material são compensadas com as oscilações dos diagramas de esforço normal,
todas contabilizadas para o cálculo do momento flector global, tal como indicado na equação (3.
4).
Entenda-se que o termo descontinuidade é aqui utilizado para descrever oscilações de pico
locais não expectáveis nos diagramas.
‐6000
‐4000
‐2000
0
2000
4000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector do perfil metálico
32
3.2. Importância da Largura Efectiva
Neste subcapítulo será avaliado a importância da utilização da largura efectiva na
estabilidade global de uma ponte. A largura efectiva simula o efeito de “shear lag” e consiste na
definição de uma região do banzo de betão que funcione em conjunto com cada perfil metálico
na resistência às forças exteriores aplicadas, e na qual a distribuição de tensões se admite ser
uniforme e igual à tensão máxima que se desenvolve ao longo da largura do banzo, tal como
demonstrado na Figura 24.
Esta distribuição de tensões não uniforme ao longo de toda a largura real do banzo de
betão (Figura 24 a)) é devida a forças concentradas aplicadas pelos conectores que actuam
longitudinalmente no banzo de betão e geram deformações por corte longitudinal no seu próprio
plano, fazendo com que as secções transversais do elemento deixem de ser planas. Assim somando
as deformações devidas à flexão do elemento com as da actuação do corte longitudinal obtêm-se
deformações que variam ao longo de cada secção transversal.
Para o caso de estudo inicial foram calculadas as diferentes larguras efectivas e
implementadas num modelo computacional. O objectivo era comparar os diagramas de esforços
desse modelo com o modelo onde o banzo de betão tem a largura original constante em todo o
comprimento da ponte. O cálculo das larguras efectivas será evidenciado seguidamente.
Figura 24 – Conceito de largura efectiva (PEDRO, 2007).
a) b)
33
Cálculo das larguras efectivas
O cálculo da largura efectiva encontra-se regulamentado em EC4 - parte 2 §5.4.1.2.(5)e(6)
e em (CALADO, et al., 2009).
Para as secções de apoios de extremidade, a largura efectiva é calculada pelas seguintes
fórmulas:
, ∑ , (3. 6)
0,55 0,025 / 1,0 (3. 7)
Para as restantes secções, a largura efectiva é calculada pela seguinte fórmula:
, ∑ , (3. 8)
onde,
bo – distância entre centros das filas de conectores exteriores na mesma secção.
bei – valor da largura efectiva do banzo para cada lado da alma do perfil e é tomado como
Le/8, recomendado em EC4
bi – largura real da secção
Le – distância entre pontos de momento flector nulo
As diferentes distâncias entre pontos de momento flector nulo foram calculadas com base
na Figura 25, retirada de (EN 1994-2: Outubro, 2005).
Figura 25 - Distância entre pontos de momento flector nulo
34
A Tabela 2 mostra os valores das larguras efectivas para as várias secções.
Secção bo [m] Lei [m] βi beff [m] Apoio de extremidade 0,0 13,6 0,75 2,55
1/2 vao lateral 0,0 13,6 - 3,40 Apoio interior 0,0 12,0 - 3,00
1/2 vao interior 0,0 22,4 - 5,60
Tabela 2 – Diferentes larguras efectivas
Salienta-se para o facto de que em todas as secções a largura entre conectores de corte na
mesma secção, bo, foi considerada nula, sendo a situação mais desfavorável.
Na Figura 26, encontra-se descrita a distribuição longitudinal de larguras do banzo de
betão adoptada no modelo.
Figura 26 – Distribuição longitudinal das larguras efectivas.
Na Figura 27 demonstra-se a ligeira diferença entre se usar a largura original ou a largura
efectiva prescrita pelo EC4, para o caso em estudo.
Figura 27 – Diagrama comparativo entre o modelo não fendilhado e um modelo com larguras efectivas.
2,5
3,5
4,5
5,5
0 16 32 48 64
beff [m
]
L [m]
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
0 16 32 48 64M [kN
.m]
L [m]
Diagrama de momentos flectores
Não Fendilhado
Beff
35
Como se pode constatar pela Figura 27, relativamente a resultados finais a diferença é
mínima, não se justificando toda a complexidade no modelo inerente à implementação das
diferentes larguras efectivas ao longo de toda a viga. Assim e como análise preliminar calculou-se o
erro relativo obtido nas secções de maiores momentos.
Modelos M+ [kN.m] M- [kN.m] Não Fendilhado 8980,59 -11499,41 beff 9283,55 -11196,45
Erro 3,263% 2,706%
Tabela 3 – Erro observado devido à simplificação de uma largura constante.
Sendo o erro do momento flector sempre inferior a 3,3% nas duas secções analisadas,
reafirma-se que em cálculos futuros se desprezará o cálculo as larguras efectivas e se usará a largura
original uniforme ao longo da viga.
3.3. Modelação das armaduras traccionadas
Com o objectivo de se considerar a resistência à tracção das armaduras ordinárias existentes
no banzo de betão da secção mista, foi desenvolvida uma secção de betão com uma “largura
equivalente” representativa da resistência das armaduras. Esta secção continua a ser rectangular e
com a altura original, hc. A fórmula utilizada para a largura equivalente é deduzida de seguida.
.
. (3. 9)
Assim obtêm-se larguras equivalentes diferentes para cada percentagem de armadura
analisada, tal como evidenciado na Tabela 4.
Armadura ρs As [cm2/m] beq. [m] Máxima 1,257% 188,52 0,495
Intermédia 0,804% 120,60 0,317 Mínima - EC2 0,580% 87,00 0,228 Mínima - EC4 0,384% 57,66 0,151
Tabela 4 – “Larguras equivalentes” representativas de cada percentagem de armadura.
36
Na subsecção seguinte, serão apresentados os cinco modelos de cálculo adoptados na
presente dissertação e também será descrita o procedimento como as “larguras equivalentes” serão
implementadas.
3.4. Modelação do Comportamento das zonas de betão traccionadas
Os modelos de cálculo que são abordados ao longo desta subsecção, foram desenvolvidos
tendo em conta o comportamento do betão traccionado e foram os modelos adoptados no
presente estudo paramétrico:
Modelo I (não fendilhado)
Modelo II (fendilhado)
Modelo I-II
Modelo Simplificado – EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas
3.4.1. Modelo I
O modelo I, ou modelo não fendilhado, consiste no modelo B anteriormente descrito na
secção “3.1.4. Modelo B” do presente documento. Este modelo representa um comportamento
elástico linear puro da estrutura, ou seja, não considera o efeito de fendilhação do banzo de betão.
Assim este modelo será o modelo de referência para a análise dos outros modelos estudados. Será
o modelo para os quais se irão obter momentos flectores negativos maiores.
3.4.2.Modelo II
No modelo II considera-se desprezável a resistência à tracção do betão. Assim, em zonas
onde o banzo de betão se encontra traccionado, ou seja, em zonas adjacentes aos apoios interiores,
é utilizada apenas a rigidez de flexão dos elementos de aço, armaduras ordinárias e perfil metálico,
EaI2.
37
Em situações de ausência de armadura, o método de implementação deste modelo
consistiu na eliminação progressiva dos elementos de barra referentes a banzos de betão
traccionados até se atingir o elemento de barra a partir do qual o esforço normal é negativo. O
resultado final de um destes procedimentos encontra-se ilustrado na Figura 28.
Figura 28 - Vista 3D do modelo II sem armadura ordinária.
Para casos onde se considerou a armadura, a eliminação dos banzos traccionados é
substituída pela troca dos elementos de betão traccionados por elementos de betão de igual
resistência à armadura considerada, tal como apresentado na secção “3.3. Modelação das
armaduras traccionadas”.
3.4.3. Modelo I-II
O modelo I-II considera um comportamento elástico linear do betão, até este atingir a
tensão de fendilhação; e após esta seja excedida a resistência considerada é a resistência das
armaduras existentes no banzo de betão.
Assim afirma-se que este modelo apresenta um comportamento em Estado I até o banzo de
betão atingir fctm, e em Estado II quando excedida este tensão.
3.4.4. Modelo Simplificado - EC4
O modelo simplificado – EC4 é um modelo de cálculo previsto no regulamento europeu.
Poder-se-á encontrar em EC4 – parte 2 § 5.4.2.3 (3) (EN 1994-2: Outubro, 2005) & (CALADO,
et al., 2009), a proposta de análise de vigas mistas contínuas através de um método simplificado
de análise global elástica.
Assim em EC4 está referido que para vigas mistas contínuas com banzo de betão sobre o
perfil metálico e sem forças horizontais impostas (quer por pré-esforço, quer por funcionarem
38
como contraventamento), o seguinte método simplificado poderá ser adoptado. Para vigas em que
os rácios de comprimentos adjacentes excedam 0,6, o efeito de fendilhação do betão
poderá ser tomado em conta utilizando-se a rigidez de flexão dos elementos de aço, EaI2 ao longo
de 15% para ambos os lados de cada apoio interior, enquanto que no restante da viga
considera-se a rigidez de flexão elástica da secção mista, EaI1, tal como ilustrado na Figura 29.
Figura 29 - Método simplificado proposto pelo EC4 (CALADO, et al., 2009).
Embora a viga continua considerada inicialmente tenha um rácio de vãos inferior a 0,6
0,5 , este método simplificado também foi aplicado a este caso.
3.4.5. Modelo Contribuição do betão entre fendas
Considerando o banzo de betão à tracção, a resistência do betão entre fendas é
comummente desprezada, simplificando-se o modelo de cálculo. Este procedimento é previsto no
modelo II e no modelo I-II já apresentados.
O presente modelo, tal como os dois modelos anteriores, baseia-se numa análise elástica
global modificada da viga mista. Assim e com base na extensão média das armaduras traccionadas,
εsm, é calculada uma “largura equivalente” do banzo de betão passível de substituir a largura do
banzo inicial de betão e que depende da contribuição do betão entre fendas. Este procedimento é
semelhante ao realizado anteriormente, sendo que a principal diferença consiste na “largura
equivalente” ser dinâmica, isto é, muda de elemento para elemento, visto que agora a largura
depende da extensão média e consequentemente do esforço normal do elemento que vai
1 2 3
39
aumentando com o aproximar ao apoio interior. Assim, realiza-se uma nova análise elástica global
direccionada para a análise do comportamento não linear do betão.
De seguida, é deduzida a fórmula para a “largura equivalente” utilizada, partindo do
pressuposto que a área de armaduras equivalente é igual ao quociente entre a área de betão
equivalente e o coeficiente de homogeneização para efeitos de curto prazo.
, ., .
.
. , como
. (3. 10)
Considerando a fórmula de a extensão média nas armaduras traccionadas descrita
anteriormente (2. 15) e em (REBAP, 2007):
1 0,4
Para o valor da tensão no aço, σs, foi admitido como sendo a relação entre o esforço
normal do elemento i e a área de armadura, desprezando-se a parcela devido ao momento flector.
Parcela que é diminuta comparando-se com o valor da parcela do esforço axial. O valor de β1 foi
considerado igual à unidade, devido à utilização de varões de alta aderência (NR); e β2 igual a 0,5,
tal como recomendado. O valor de σsr foi considerado igual à relação entre o esforço normal de
fendilhação da secção e a área de armadura. Relações descritas pelas seguintes fórmulas:
Salienta-se para o facto de que a secção equivalente descrita, só foi utilizada em elementos
de betão fendilhado, ou seja, elementos que com a sua área original atingem esforços axiais
superiores ao esforço axial de fendilhação, Ncr.
40
Procedimento
Após o cálculo das primeiras larguras equivalentes, foram substituídos alguns elementos de
betão pelos novos de larguras equivalentes. Num processo iterativo, foi-se ajustando estas larguras
aos novos valores de esforços normais adquiridos no novo modelo. O processo foi dado por
concluído ao ser atingia a convergência das larguras equivalentes, com um erro aceitável. Este
procedimento foi efectuado para as quatro diferentes percentagens de armadura ordinária, já
descritas. Um resultado final de um determinado modelo pode ser observado na Figura 30.
Figura 30 - Modelação da viga contínua considerando a resistência do betão entre fendas para um determinado nível de armaduras.
Para melhorar a qualidade dos dados obtidos, foi utilizado um refinamento nas zonas
traccionadas de 0,5m de comprimento do elemento de barra.
Como complemento à Figura 30, encontram-se no Anexo II as larguras equivalentes
definidas para todos os modelos analisados e um exemplo de evolução das larguras equivalentes
até à convergência do modelo.
41
3.5. Calibração da Carga Aplicada / Verificação de Segurança
Tendo em conta que no presente trabalho se irão considerar diferentes valores para as
relações de vão e diferentes percentagens de armadura, é conveniente adoptar um critério coerente
para o valor das cargas aplicadas. Só assim será possível aferir a verdadeira influência do modelo
“contribuição do betão entre fendas” no comportamento das vigas em análise. Deste modo, foi
calibrada a intensidade do carregamento aplicado, adoptando-se o modelo simplificado - EC4 e
um carregamento uniformemente distribuído com possíveis alternâncias de sobrecarga. Esta
calibração foi realizada individualmente para cada relação de vãos consecutivos e para as quatro
percentagens de armadura utilizadas. Este processo pretende que a carga aplicada esteja calibrada
aos estados limites últimos.
A verificação de segurança à flexão simples é conferida pela seguinte inequação:
1,0 (3. 11)
onde,
Med – Momento flector actuante.
Mrd – Momento flector resistente.
O momento flector resistente pode ser calculado de acordo com uma distribuição de
tensões plásticas, se a secção pertencer à classe 1 ou 2; ou com distribuições de tensões elásticas se
a secção for de classe três ou inferior.
3.5.1. Cálculo da resistência da secção
Todos os cálculos da resistência da secção são realizados considerando a hipótese
simplificativa de o betão ter resistência nula à tracção e aquando da compressão adoptar-se-á o
diagrama rectangular simplificado, características já descritas em “2.3.2. Betão”. A secção utilizada
nos cálculos apresentados, como em todo o presente estudo, encontra-se descrita na Figura 2.
42
3.5.1.1. Momento Resistente Positivo
Classificação da secção
Para o cálculo do momento resistente e conseguinte classificação da secção foi adoptada a
hipótese de distribuição de tensões plásticas, sendo necessário provar a veracidade desta hipótese
(necessário que a secção seja de classe 1 ou 2). Para isso é necessário o cálculo da posição da Linha
Neutra plástica [LNplást]:
0,85 25500,0
. f 4792,5
f 6361,6
8520,0
∑ 19674,1
como:
∑ á . está ã ç
çã 1 2,
ó çã õ á .
0 0,85 19674,1 0,0
0,1929
Cálculo do Mrd,pl+ em relação à posição da LNplást :
,0,1929
20,85 20 10 6 4792,5 0,25 0,1929
0,032
6361,6
0,25 0,1929 0,031,282
8520
0,25 0,1929 0,03 1,280,042
18686,88 .
43
3.5.1.2. Momento Resistente Negativo
Devido à elevada interacção momento flector/esforço transverso (M-V) em zonas dos
apoios interiores, para o cálculo do momento resistente negativo foi desprezada a resistência da
alma do perfil metálico. Considerando-se que a resistência da alma do perfil estaria totalmente a
resistir ao esforço transverso. Esta elevada interacção M-V é demonstrada seguidamente.
Por exemplo, para o carregamento admitido inicialmente (psd = 200 kN/m), o esforço
transverso actuante relativo ao tramo interior junto aos apoios é pL/2, ou seja, 3200,00 kN, sendo
o esforço transverso resistente da alma do perfil dado por:
√3672,87 0,87
Assim fica provado a elevada interacção M-V para cargas iguais ou superiores às cargas
iniciais.
Para o cálculo do momento resistente foi utilizado a hipótese de distribuição de tensões
elástica linear, uma vez que a alma do perfil metálico era de classe 3 ou 4 dependendo da
percentagem de armadura analisada. Devido a se analisar várias distribuições de armadura, obter-
se-ão diferentes momentos resistentes para cada uma das diferentes percentagens de armadura.
As propriedades do perfil metálico são constantes e têm os seguintes valores:
∑ 0,05542
,∑ , 0,5537
∑ , , 0,0178136
44
Figura 31 – Secção transversal com armaduras relativas à percentagem máxima.
o As,máx = 0,01885 m2
As propriedades da secção total são as seguintes:
0,05635
0,8278
0,027562
,,
0,03329
, . , 11819,44 .
o As,int = 0,01206 m2 (distribuída igualmente pelos dois níveis de armadura do banzo de
betão – o superior e o inferior).
As propriedades da secção total são as seguintes:
0,04956
0,7323
0,023792
,,
0,03249
, . , 11534,13 .
45
o As,mín EC2 = 0,0087 m2 (distribuída igualmente pelos dois níveis de armadura do banzo
de betão – superior e inferior).
As propriedades da secção total são as seguintes:
0,0462
0,6782
0,021792
,,
, .
0,02514
, . , 10936,59 .
o As,mín EC4 = 0,005766 m2 (distribuída igualmente pelos dois níveis de armadura do
banzo de betão – o superior e o inferior).
As propriedades da secção total são as seguintes:
0,04327
0,6243
0,019791
,,
, .
0,02150
, . , 9350,65 .
3.5.2. Cálculo dos esforços actuantes
Como já referido, a calibração da carga aplicada será realizada em diferenciado para as
diferentes relações de vãos, sendo o momento negativo condicionante, obter-se-ão cargas
actuantes diferentes para cada percentagem de armadura, visto o momento negativo resistente
depender da taxa de armadura da secção mista.
No intuito de determinar o carregamento limite à verificação de segurança do estado limite
último, aplicou-se uma carga unitária no “modelo simplificado - EC4” para as diferentes
percentagens de armadura em cada relação de vãos consecutivos analisada.
De seguida, a carga actuante será calibrada, caso a caso.
46
3.5.2.1. nL=0,5
Para a relação de vãos igual a 0,5, obteve-se a seguinte envolvente de momentos flectores
para a percentagem de armadura máxima. As restantes envolventes de esforços para as outras
percentagens de armadura encontram-se no anexo III.
Figura 32 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,5.
A partir da Figura 32, pode-se concluir que para a verificação de segurança nas secções
onde ocorrem os maiores momentos positivos e negativos, as combinações de acções
condicionantes são as combinações S3 e S1, respectivamente. Assim, serão as únicas combinações
de acções futuramente abordadas.
Calibração do Carregamento
Após o cálculo dos esforços resistentes e actuantes, calibrou-se o carregamento aplicado
tendo em conta a verificação de segurança da viga.
Na Tabela 5, é verificada a segurança para os diferentes casos de percentagens de armadura
e quantifica-se o valor da carga a aplicar:
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector EC4+As,max
S1S2S3S4S5
47
EC4+ρmáx EC4+ρint EC4+ρmín EC2 EC4+ρmín EC4 Msd
+ [kN.m] 70,34 72,30 73,55 74,84Mrd,pl
+ [kN.m] 18686,88 18686,88 18686,88 18686,88Psd
+ [kN/m] 265,67 258,46 254,08 249,68Msd
- [kN.m] -61,73 -59,62 -58,28 -56,89Mrd,elást
- [kN.m] -11819,44 -11534,13 -10936,59 -9350,65Psd
- [kN/m] 191,47 193,46 187,66 164,37Psd utilizado [kN/m] 190,0 190,0 185,0 160,0Gsd [kN/m] 76,0 76,0 74,0 64,0SCsd [kN/m] 114,0 114,0 111,0 96,0
Tabela 5– verificação da segurança para a viga continua 16-32-16.
Como referido anteriormente, o carregamento uniformemente distribuído adoptado a
estudos futuros difere entre 190 e 160 kN/m em sentido gravítico, consoante a percentagem de
armadura utilizada.
3.5.2.2. nL=0,6
Para a relação de vãos igual a 0,6, obteve-se a seguinte envolvente de momentos flectores
para a percentagem de armadura máxima. As restantes envolventes de esforços para as outras
percentagens de armadura encontram-se no anexo III.
Figura 33 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,6.
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Envolvente de momento flector de EC4+As,máx
S1
S3
48
A partir da Figura 33, pode-se concluir que, para a verificação de segurança nas secções
onde ocorrem os maiores momentos positivos e negativos, as combinações de acções
condicionantes são a combinação S3 e S1, respectivamente.
Calibração do Carregamento
Após o cálculo dos esforços resistentes e actuantes, calibrou-se o carregamento aplicado
tendo em conta a verificação de segurança da viga.
Na Tabela 6 é verificada a segurança para os diferentes casos de percentagens de armadura
e quantifica-se o valor da carga a aplicar:
EC4+ρmáx EC4+ρint EC4+ρmín EC2 EC4+ρmín EC4 Msd
+ [kN.m] 71,31 73,27 74,51 74,51Mrd,pl
+ [kN.m] 18686,88 18686,88 18686,88 18686,88Psd
+ [kN/m] 262,04 255,04 250,78 250,78Msd
- [kN.m] -63,38 -61,18 -59,78 -59,78Mrd,elást
- [kN.m] -11819,44 -11534,13 -10936,59 -9350,65Psd
- [kN/m] 186,48 188,53 182,95 156,42Psd utilizado [kN/m] 185,0 185,0 180,0 155,0Gsd [kN/m] 74,0 74,0 72,0 62,0SCsd [kN/m] 111,0 111,0 108,0 93,0
Tabela 6 – verificação da segurança para a viga continua 19,2-32-19,2.
Como referido anteriormente, o carregamento uniformemente distribuído adoptado a
estudos futuros difere entre 185 e 155 kN/m em sentido gravítico, consoante a percentagem de
armadura utilizada.
3.5.2.3. nL=0,8
Para a relação de vãos consecutivos igual a 0,8, obteve-se a seguinte envolvente de
momentos flectores para a percentagem de armadura máxima. As restantes envolventes de
esforços relativas às outras percentagens de armadura encontram-se no anexo III.
49
Figura 34 – Envolvente de momentos flectores para uma carga de cálculo unitária para nL=0,8.
A partir da Figura 34, pode-se concluir que, para a verificação de segurança nas secções
onde ocorrem os maiores momentos positivos e negativos, as combinações de acções
condicionantes são a combinação S3 e S1, respectivamente.
Calibração do Carregamento
Após o cálculo dos esforços resistentes e actuantes, calibrou-se o carregamento aplicado
tendo em conta a verificação de segurança da viga.
Na Tabela 7 é verificada a segurança para os diferentes casos de percentagens de armadura
e quantifica-se o valor da carga a aplicar:
EC4+ρmáx EC4+ρint EC4+ρmín EC2 EC4+ρmín EC4 Msd
+ [kN.m] 70,85 72,88 74,17 78,81Mrd,pl
+ [kN.m] 18686,88 18686,88 18686,88 18686,88Psd
+ [kN/m] 263,74 256,39 251,95 237,12Msd
- [kN.m] -71,60 -69,03 -67,40 -61,52Mrd,elást
- [kN.m] -11819,44 -11534,13 -10936,59 -9350,65Psd
- [kN/m] 165,08 167,09 162,26 151,98Psd utilizado [kN/m] 165,0 165,0 160,0 150,0Gsd [kN/m] 66,0 66,0 64,0 60,0SCsd [kN/m] 99,0 99,0 96,0 90,0
Tabela 7 – verificação da segurança para a viga continua 25,6-32-25,6.
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Envolvente de momento flector de EC4+As,máx
S1
S3
50
Como referido anteriormente, o carregamento uniformemente distribuído adoptado a
estudos futuros difere entre 165 e 150 kN/m em sentido gravítico, consoante a percentagem de
armadura utilizada.
51
4. ESTUDO PARAMÉTRICO
4.1. Introdução
O presente estudo paramétrico consiste numa análise comparativa da influência da
fissuração do betão em pontes mistas Aço/Betão de médio vão com conexão total. Inicialmente os
casos de estudo serão apresentados e analisados individualmente comparando-se os diferentes
modelos adoptados para a mesma relação de vãos, nL. Posteriormente, os casos serão comparados
e analisados conjuntamente para cada modelo de cálculo.
Cada caso de estudo é constituído por três tramos, onde os dois vãos laterais têm o mesmo
comprimento e o vão central tem uma maior extensão, embora permaneça, em todos os casos de
estudo, com 32m de comprimento. A diferença entre os três casos analisados encontra-se
evidenciada na Tabela 8 e consiste nas diferentes relações de vãos consecutivos, nL. O primeiro
caso é constituído por uma relação de vãos de 0,5, onde o vão lateral é de 16m. No segundo caso,
o vão lateral é de 19,2m (com nL=0,6) e por último, o terceiro caso consideraram-se vãos laterais
com 25,6m (com nL=0,8).
nL Llateral [m] Lcentral [m]
0,5 16,0 32,0
0,6 19,2 32,0
0,8 25,6 32,0
Tabela 8 – Descrição das várias pontes analisadas.
Salienta-se ainda que foi adoptada uma secção transversal constante para os três casos de
estudo, sendo esta apresentada na Figura 2. Visto que se pretende analisar situações referentes ao
estado limite último e a secção transversal é a mesma para todos os casos, foi necessário o ajuste da
carga aplicada para cada relação de vãos, tal como explicado na secção “3.4. Modelação do
Comportamento das zonas de betão traccionadas”. Para as diferentes aplicações de carga, serão
analisadas as combinações de acções S1 e S3, descritas em “2.2.Caracterização das Acções”.
52
4.2. Aspectos analisados
Para os três casos estudados, foram estipulados diferentes aspectos alvos de análise. Assim
os aspectos analisados nos diferentes casos são:
Diagramas de momentos flectores da viga contínua;
Relação esforço axial extensão do banzo de betão;
Taxa de redistribuição do momento flector negativo para as diferentes percentagens
de armadura.
Por motivos de não convergência do modelo “Contribuição do betão entre fendas” para
percentagens de armadura mínimas, os resultados referente a este modelo de cálculo e para as
percentagens de armadura em questão não serão apresentados.
53
4.3. Vão Lateral de 16m (nL=0,5)
Todos os resultados analisados neste subcapítulo são referentes ao primeiro caso de estudo
constituído por uma relação entre vãos consecutivos de 0,5.
Combinação de Acções S1
Para a combinação de acções S1 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os
seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes modelos adoptados.
Figura 35 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.
Através da análise da Figura 35, observa-se a descida dos diagramas de momentos flectores
em relação ao digrama do modelo I. Esta descida é causada pela perda de rigidez de flexão nos
banzos de betão traccionados junto aos apoios interiores, adoptada pelos outros modelos
representativa da fendilhação do betão traccionado. As maiores descidas do diagrama de
momentos flectores são observadas no modelo II, modelo simplificado - EC4 e modelo I-II,
respectivamente, existindo apenas uma pequena diferença entre estes modelos. O modelo que
apresenta resultados mais próximos dos resultados do modelo I, como era expectável, é o modelo
“Contribuição do betão entre fendas”, onde se contabiliza a resistência do betão entre fendas.
Tornando o modelo mais rígido, absorvendo maiores momentos flectores negativos.
Ainda relativamente à Figura 35, pode-se afirmar que o andamento de todos os diagramas
é parabólico e simétrico em relação ao centro longitudinal da viga (x=32m). Afirma-se também
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector As,máx
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
Modelo I‐II ‐ ρs,máx
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
54
que todas as ilações aqui justificadas, podem ser justificadas através dos diagramas semelhantes
relativos às outras percentagens de armaduras. Estes diagramas encontram-se no anexo IV. Os
valores dos esforços obtidos não podem ser comparados entre os diferentes gráficos relativos a
diferentes percentagens de armadura, visto que o carregamento aplicado é diferente.
Relativamente ao comportamento do betão entre fendas, foi analisada a relação N-ε nas
secções traccionadas de betão próximas dos apoios interiores. A Figura 36 evidencia as várias
relações N-ε existentes nos vários modelos para a ρ , á .
Figura 36 – Relação N-ε para a ρs,máx.
No modelo I, obtém-se uma relação N-ε típica de um comportamento elástico linear no
estado I, onde não é contabilizado a fendilhação do betão armado. Assim a série em questão pode
ser aproximadamente linearizada por uma recta (y=mx+b) de ordenada na origem nula (b=0) e
com um declive directamente proporcional à rigidez axial da secção de betão . .
Relativamente à série “Estado II”, também foi obtida uma relação N-ε elástica linear, onde
o declive é directamente proporcional à rigidez axial da secção de armaduras ordinárias
. e ordenada na origem nula (b=0).
No modelo onde é considerada a resistência à tracção do betão entre fendas, obtém-se um
comportamento em Estado I, até ser atingido o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse
nível de esforço axial a série apresentou um comportamento não linear e com tendência
assimptótica à recta do Estado II, tal como esperado.
É de salientar que no modelo “Contribuição do betão entre fendas”, o esforço axial no
banzo de betão após se formar a primeira fenda poderá ser inferior ao esforço de fendilhação, visto
que se trata de uma secção mista onde após a fendilhação, os elementos estruturais resistentes são
0
3000
6000
9000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Estado II ‐ ρs,máx
55
as armaduras ordinárias e o perfil metálico, havendo uma redistribuição de esforço axial pelos dois
elementos. Reduzindo-se o esforço axial de tracção nas armaduras. Facto que não se verifica em
secções de betão armado, uma vez que quando o betão se encontra fendilhado, apenas a armadura
resiste. E assim após ser atingido Ncr, este é transferido na totalidade para a armadura.
Em gráficos N- ε para casos que a percentagem de armadura seja próxima da armadura
mínima, poderão existir alguns pontos, situados após ser atingido Ncr, que divergem dos valores
esperados e da tendência assimptótica à recta do Estado II. Este facto poderá ser verificado para
quando se considera a limitação inferior da fórmula de cálculo da . 0,4 , ou para
quando esta não é considerada e o processo iterativo de obtenção de resultados credíveis não
converge. Na Figura 37 pode ser observado um caso dessa divergência em alguns pontos.
Figura 37 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2
Através da Figura 37, observam-se alguns valores da série “Modelo Contribuição do betão
entre fendas” que divergem de outros valores obtidos e dos valores expectados. Os valores de
extensão entre 0,05% e 0,10% são exemplo de valores pouco consonantes comparando-se com os
outros valores da série e com outros valores obtidos para outras taxas de armadura, é resultado da
limitação inferior do modelo já abordada.
Para estes casos onde os resultados não são totalmente fiáveis, foi ainda analisada a relação
N-ε para o modelo I-II, tal como observada na Figura 38.
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Estado II ‐ ρs,mín EC2
56
Figura 38 - Relação N-ε para a ρs,mín EC2 do Modelo I-II.
A Figura 38 ilustra na perfeição o comportamento pretendido com a construção do
modelo I-II. Assim a viga apresenta um comportamento elástico em Estado I até atingir fctm, e
excedido esse valor a viga comporta-se em Estado II, tal como pretendido.
No anexo V, são apresentados os outros gráficos N-ε referentes às outras percentagens de
armadura.
Após o tratamento de todos os resultados, foi analisado o nível de redistribuição dos
momentos flectores na secção sobre os apoios interiores para os diferentes modelos e percentagens
de armadura adoptadas. A Figura 39 ilustra a redistribuição obtida.
Figura 39 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e nL=0,5.
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,02% 0,04% 0,06% 0,08% 0,10% 0,12% 0,14% 0,16% 0,18% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ρs,mín EC2
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20%
M/M
elást.
ρ (%)
Redistribuição do Momento Flector NegativoModelo Contribuição do betão entre fendas
Modelo I‐II
Modelo Simplificado ‐ EC4
Modelo II
57
A Figura 39 confirma o já referido anteriormente. Adoptando o modelo “Contribuição do
betão entre fendas”, obtêm-se valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de
momento flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas as
percentagens de armadura analisadas.
O modelo II é o modelo que permite maiores redistribuições. E o modelo simplificado –
EC4 encontra-se entre os dois modelos já analisados, mas sempre mais próximo do modelo que
permite maiores redistribuições, algo já salientado aquando da análise dos diagramas de
momentos flectores.
Relativamente ao modelo I-II, este é o modelo que apresenta um comportamento mais
próximo do modelo simplificado – EC4, embora apresente sempre menores redistribuições de
momento flector negativo.
58
Combinação de Acções S3
Para a combinação de acções S3 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os
seguintes diagramas de momentos flectores.
Figura 40 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.
Através da análise da Figura 40, observa-se a descida do diagrama de momentos flectores
em relação ao diagrama do modelo I. As maiores descidas no diagrama de momentos flectores são
também observadas no modelo II, no modelo simplificado – EC4 e no modelo I-II,
respectivamente, existindo uma maior sobreposição de valores nestes últimos dois modelos.
Verifica-se ainda uma maior aproximação a estes modelos do modelo “Contribuição do betão
entre fendas”, comparando-se com os resultados obtidos para a combinação de acções S1. Este
facto é causado pela ausência de sobrecarga nos vãos laterais na combinação de acções S3, assim o
valor dos momentos flectores é sempre negativo ao longo dos vãos laterais. Deste modo, o betão
está sempre traccionado e fissura mais longe dos apoios interiores, atingindo menores valores de
pico de esforço axial, quando comparado com S1. Tal pode ser verificado na tabela seguinte.
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector As,máx
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
Modelo I‐II ‐ ρs,máx
Modelo Simplificado ‐EC4 ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
59
N [kN] bc,eq [m]
L [m] S1 S3 S1 S3
11,0 2624,8 4329,4 6,000 6,000
11,5 3144,3 3832,3 6,000 1,237
12,0 3698,0 4103,3 6,000 1,130
12,5 4286,1 4288,5 6,000 1,019
13,0 4006,4 4471,7 1,205 0,939
13,5 4355,2 4667,1 0,987 0,875
14,0 4678,8 4875,9 0,872 0,822
14,5 5040,5 5096,7 0,789 0,778
15,0 5431,8 5328,5 0,729 0,742
15,5 5850,8 5571,0 0,684 0,712
16,0 5779,0 5413,7 0,691 0,731
16,5 5222,1 4869,5 0,758 0,823
17,0 4704,1 4377,4 0,865 0,978
17,5 4175,9 4615,7 1,082 6,000
18,0 4349,9 3654,5 6,000 6,000
Tabela 9 – Diferença de esforço axial e de “largura equivalente” entre combinações de acções, relativas ao Método II.
Na Tabela 9, para a combinação de acções S3, a fissuração do banzo de betão no vão lateral
dá-se numa maior distância do que para S1 (mais um metro), razão pela qual resiste menos a
momentos flectores negativos nessa zona do que em S1, afastando-se mais do modelo I. Na
tabela, células com fundo cinza indicam a secção a partir da qual a secção fissurou e se utilizou a
fórmula (3. 10) para calcular a largura equivalente. A negrito encontram-se evidenciados os
valores pico de esforço normal atingidos. Salienta-se para o facto de, para a combinação S1, o
esforço axial de pico no banzo de betão é superior.
Afirma-se que as ilações aqui justificadas através da Figura 40, podem ser fundamentadas
através de diagramas semelhantes relativos às outras percentagens de armaduras. Estes gráficos
encontram-se no anexo IV.
A Figura 41 evidencia as várias relações N-ε nas secções traccionadas de betão próximas dos
apoios interiores, para a ρ , á .
60
Figura 41 – Relação N-ε para a ρs,máx.
Nos modelos I e II, obtêm-se relações N-ε típicas de um comportamento elástico linear.
No modelo onde é considerada a resistência à tracção do betão entre fendas obtém-se um
comportamento em Estado I até se atingir o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse nível
de esforço axial a série apresenta um comportamento não linear e com tendência assimptótica à
recta do Estado II, tal como esperado e obtido para a combinação de acções S1.
Em gráficos N-ε relativos às outras percentagens de armadura mais baixas, tal como
observado em outros casos, existem alguns pontos relativos ao modelo “Contribuição do betão
entre fendas”, que divergem dos valores esperados e da tendência assimptótica à recta do Estado
II. Para níveis de armadura próximos dos mínimos, após atingido Ncr todos os valores divergem,
tornando impossível a convergência do processo iterativo de obtenção de resultados credíveis do
modelo. Assim e à semelhança do já apresentado para casos semelhantes, onde não se alcançaram
resultados aceitáveis estudaram-se as relações N-ε do modelo I-II. Na Figura 42 observa-se a
relação N-ε relativa a ρs,mín EC4.
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
61
Figura 42 – Relação N-ε para a ρs,mín EC4.
No anexo IV, encontram-se os outros gráficos N-ε referentes às percentagens de armadura
intermédia e mínima EC2.
Após o tratamento de todos os resultados, foi analisado o nível de redistribuição dos
momentos flectores na secção sobre os apoios interiores para os diferentes modelos utilizados. A
Figura 43 ilustra a redistribuição.
Figura 43 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S3 e nL=0,5.
A Figura 43 confirma que adoptando-se o modelo “Contribuição do betão entre fendas”,
obtêm-se valores mais próximos dos valores elásticos e menores redistribuições de momento
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%
N [kN
]
ε (%)
Modelo II ‐ρs,mín EC4
Modelo I ‐ρs,mín EC4
Modelo I‐II ‐ρs,mín EC4
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%
M/M
elast
ρ (%)
Redistribuição do Momento Flector Negativo
Modelo Contribuição do betão entre fendas
Modelo I‐II
Modelo Simplificado ‐ EC4
Modelo II
62
flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas percentagens de
armadura analisadas, tal como na combinação de acções S1.
O modelo II é o modelo que permite maiores redistribuições. Perante a Figura 43 e para
esta combinação de acções, os modelos Contribuição do betão entre fendas, I e II apresentam um
comportamento em consonância entre si, ou seja, os modelos são aproximadamente paralelos.
O modelo I-II não apresenta andamento semelhante aos outros modelos devido ao nível de
refinamento utilizado. Pois para este tipo de modelo o ponto onde se deixa de considerar a
resistência do betão apresenta um esforço axial preponderante no resultado do momento flector
negativo final. Uma vez que perante a fórmula (3. 4) no cálculo do momento flector resultante a
parcela mais relevante é a do esforço axial, sendo difícil obter um refinamento ideal para todas as
situações estudadas. Assim acredita-se que os resultados obtidos através deste modelo de cálculo
são resultados fidedignos, podendo sofrer pequenas oscilações pontuais de acordo com o
andamento dos outros modelos.
O modelo simplificado – EC4 apresenta um andamento mais próximo do modelo I-II que
na combinação de acções S1, tendo-se obtido valores de redistribuição de momentos flectores
muito próximos entre estes dois modelos. Verifica-se um afastamento do modelo II, obtendo-se
menores redistribuições.
Perante o diagrama de redistribuição de momentos flectores obtido e na sua globalidade
pode-se afirmar que as séries são aproximadamente paralelas.
63
4.4. Vão Lateral de 19,2m (nL=0,6)
Todos os resultados analisados neste subcapítulo são referentes ao segundo caso de estudo
constituído por uma relação entre vãos consecutivos de 0,6.
Combinação de Acções S1
Para a combinação de acções S1 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os
seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes modelos adoptados.
Figura 44 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.
Tal como para os diagramas de momentos flectores apresentados nas Figura 35 e Figura
40, a partir da Figura 44 podem-se retirar ilações semelhantes. Ambos os diagramas têm
andamento parabólico com valores de pico sobre os apoios interiores e máximo absoluto a meio
vão interior. Os diagramas são sempre simétricos em relação ao meio vão interior, este facto é
devido à simetria verificada de comprimentos de vão, de condições de apoio, utilização simétrica
de secção transversal e aplicação da carga.
Observa-se uma descida em todos os diagramas de momentos flectores comparando-se com
o diagrama do modelo I, estando o modelo II, o modelo simplificado – EC4 e o modelo I-II
quase que sobrepostos, enquanto que o modelo “Contribuição do betão entre fendas” é o modelo
que se encontra a cima destes três modelos.
Os diagramas relativos a outras percentagens de armadura analisadas, encontram-se no
anexo IV e pode-se retirar o mesmo tipo de ilações. Os valores dos esforços obtidos não podem
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector As,máxModelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo I‐II ‐ ρs,máx
Modelo Simplificado ‐EC4 ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
64
ser comparados entre percentagens de armadura diferentes, visto que a carga de cálculo aplicada é
diferente.
Relativamente ao comportamento do betão entre fendas, obteve-se a Figura 45 para a
ρ , á .
Figura 45 – Relação N-ε para a ρs,máx.
Tal como na Figura 36 e Figura 41, através da Figura 45 obtêm-se ilações idênticas. Os
modelos “I” e “II” têm uma relação N-ε linear, com ordenada na origem nula (b=0) e com um
declive directamente proporcional à rigidez axial da secção . .
A partir do modelo “Contribuição do betão entre fendas”, obtém-se um comportamento
em “Estado I”, até se atingir o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse nível de esforço
axial a série apresenta um comportamento não linear e com tendência assimptótica à recta em
“Estado II”.
Também para este caso de estudo, houve um caso para o qual o modelo “Contribuição do
betão entre fendas” não convergiu, ρ , í ; ou obtiveram-se alguns pontos divergentes do
andamento esperado e do andamento dos outros pontos obtidos no mesmo caso, como é o caso
de ρ , í (figuras no anexo V).
No anexo V, encontram-se os restantes gráficos N-ε.
Para finalizar a análise dos resultados obtidos através desta combinação de acções, foi
analisado o nível de redistribuição dos momentos flectores na secção sobre apoios interiores para
os diferentes modelos de cálculo utilizados, descrito na Figura 46.
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
65
Figura 46 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e nL=0,6.
A Figura 46 confirma o expresso anteriormente. Através do modelo “Contribuição do
betão entre fendas”, são obtidos valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de
momento flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas
percentagens de armadura analisadas.
O “modelo II” é o modelo que permite maiores redistribuições, embora o “modelo
simplificado – EC4” atinja redistribuições bastante próximas para todas as percentagens de
armadura.
Na Figura 46, o “modelo I-II” apresenta um comportamento típico de ganho de rigidez
aquando da percentagem de armadura mínima EC4. Este facto não se encontra correcto e é
obtido por motivos de refinamento do modelo e do elemento de barra onde é alterada de rigidez
do mesmo após ser atingida a tensão de fendilhação. Ou seja, para esta determinada relação de
vãos, percentagem de armadura e combinação de acções a tensão de fendilhação do banzo de
betão não é verificada na mudança de elemento de barra utilizado. Assim adoptou-se um valor de
esforço normal do elemento em estado I mais elevado do que Ncr, e por consequência através
desse valor foi obtido um valor de máximo de momento flector negativo mais elevado do que o
esperado. Assim foi obtido o “ganho de rigidez” expressa na Figura 46.
Comparando os resultados obtidos com os obtidos para a relação de vão nL=0,5 e
respectiva combinação de acções, verifica-se agora uma maior aproximação do modelo
simplificado – EC4 ao modelo II e afastamento do modelo I-II.
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%
M/M
elastico
ρ (%)
Redistribuição do Momento Flector Negativo
Modelo Contribuição do betão entre fendas
Modelo I‐II
Modelo Simplificado ‐ EC4
Modelo II
66
Pode-se ainda afirmar que da percentagem de armadura mínima prescrita pelo EC2 para
percentagens mais elevadas, todas as séries têm um comportamento idêntico, podendo-se
considerar que as séries são aproximadamente paralelas entre si. Facto já identificado nos casos de
estudo anteriormente analisados.
Combinação de Acções S3
Para a combinação de acções S3 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os
seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes métodos adoptados.
Figura 47 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.
Através da análise da Figura 47, observa-se a descida do diagrama de momentos flectores
em relação ao digrama do modelo I verificada em todos os diagramas apresentados com ilações
semelhantes às descritas.
Os restantes diagramas de momentos flectores relativos a outras percentagens de armadura
adoptadas, dos quais as conclusões são similares, encontram-se no anexo IV.
A Figura 48 evidencia as várias relações N-ε existentes para a ρ , á .
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
20000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,máxModelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo I‐II ‐ ρs,máx
Modelo Simplificado ‐EC4 ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
67
Figura 48 – Relação N-ε para a ρs,máx.
Nos modelos “I” e “II”, obtêm-se duas relações N-ε típicas de um comportamento elástico
linear. No modelo onde é considerada a resistência à tracção do betão entre fendas, obtém-se um
comportamento em Estado I, até se atingir o esforço axial de fendilhação, Ncr, e a partir desse
nível de esforço axial a série apresenta um comportamento não linear e com tendência
assimptótica à recta do Estado II, tal como esperado e como verificado em todos os casos já
apresentados na presente dissertação.
Em gráficos N-ε relativos às outras percentagens de armadura, existem alguns pontos,
situados após ser atingido o esforço axial de fendilhação, que divergem dos valores esperados e
divergindo da tendência assimptótica à recta do Estado II. E para níveis de armadura mínimos, os
elementos de betão fissurado não conseguem atingir o Ncr’, tornando impossível a convergência
do processo iterativo.
No anexo V, encontram-se os outros gráficos N-ε referentes às percentagens de armadura
intermédia, mínima EC2 e EC4.
Por último, analisou-se a redistribuição dos momentos flectores na secção sobre os apoios
interiores para os diferentes métodos e percentagens de armadura utilizadas. O seguinte gráfico
ilustra a redistribuição.
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
68
Figura 49 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S3 e nL=0,6.
Observando-se a Figura 49, constata-se o andamento paralelo entre si de todas as séries do
gráfico ao longo da variação da percentagem de armadura.
A Figura 49 confirma que adoptando-se o modelo “Contribuição do betão entre fendas”,
obtêm-se valores mais próximos dos valores elásticos e menores redistribuições de momento
flector negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas percentagens de
armadura analisadas, tal como em todos os casos já analisados.
O “modelo II” é o modelo que permite maiores redistribuições para qualquer taxa de
armadura, seguindo-se o “modelo simplificado – EC4”, o “modelo I-II” e por último o modelo
“Contribuição do betão entre fendas”.
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%
M/M
elást
ρ (%)
Redistribuição do Momento Flector Negativo
Modelo Contribuição do betão entre fendas
Modelo I‐II
Modelo Simplificado ‐EC4
Modelo II
69
4.5. Vão Lateral de 25,6m (nL=0,8)
Todos os resultados analisados neste subcapítulo são referentes a uma relação entre vãos
consecutivos de 0,8.
Combinação de Acções S1
Para a combinação de acções S1 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os
seguintes diagramas de momentos flectores, perante os diferentes métodos adoptados.
Figura 50 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.
Tal como em diagramas semelhantes, a partir dos diagramas de momentos flectores
evidenciados na Figura 50 podem-se retirar ilações análogas. Ambos os gráficos têm andamento
parabólico com valores de pico sobre os apoios interiores e máximo absoluto a meio vão interior.
Os diagramas são sempre simétricos em relação ao meio vão interior.
Observa-se uma descida em todos os diagramas de momentos flectores comparando-se com
o diagrama do “modelo I”, estando o “modelo II” e o “modelo simplificado – EC4” sobrepostos
na maioria dos elementos, enquanto que no modelo “Contribuição do betão entre fendas”
encontra-se acima destes dois modelos e o “modelo I-II”.
Os diagramas relativos a outras percentagens de armadura analisadas, encontram-se no
anexo IV e poder-se-ão obter as conclusões similares.
Relativamente ao comportamento do betão entre fendas, obteve-se o seguinte gráfico N-ε
para a ρ , á .
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,máxModelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo I‐II ‐ ρs,máx
Modelo Simplificado ‐EC4 ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
70
Figura 51 – Relação N-ε para a ρs,máx.
Tal como em gráficos anteriores, através da Figura 51 obtêm-se ilações idênticas relativas
ao comportamento das séries apresentadas.
Também na presente relação de vãos, houve um caso de estudo para o qual o modelo
“Contribuição do betão entre fendas” não convergiu, ρ , í ; ou obtiveram-se alguns pontos
divergentes do andamento esperado e do andamento dos outros pontos obtidos no mesmo caso,
como é o caso de ρ , í (caso explicito na Figura 52).
Figura 52 – Relação N-ε para a ρs,mín EC2.
Relativamente à Figura 52, os três primeiros pontos da série “modelo Contribuição do
betão entre fendas” após ser atingido Ncr, são pontos calculados com base na limitação inferior da
fórmula (2. 15), obtendo-se uma “largura equivalente” constante ao longo desses três elementos de
betão traccionado. Assim estes resultados não serão representativos, tal como identifica o gráfico.
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
0
2000
4000
6000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Estado II ‐ ρs,mín EC2
71
No anexo V, encontram-se os outros gráficos N-ε referentes às percentagens de armadura
intermédia e mínima EC4.
Após o tratamento de todos os resultados, foi obtido o gráfico seguinte que representa o
nível de redistribuição dos momentos flectores na secção sobre os apoios interiores para os
diferentes modelos utilizados.
Figura 53 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S1 e nL=0,8.
A Figura 53 confirma que através do modelo “Contribuição do betão entre fendas”, são
obtidos valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de momento flector
negativo, comparando-se com os outros modelos adoptados e para todas percentagens de
armadura analisadas.
O “modelo II” é o modelo que permite maiores redistribuições para qualquer percentagem
de armadura, seguido de o modelo simplificado – EC4. Pode-se ainda afirmar que todas as séries
são paralelas entre si, tal como verificado em gráficos semelhantes já apresentados.
Comparando a Figura 53 com as figuras similares relativas a outras relações de vão e
combinação de acções, salienta-se uma maior aproximação do modelo simplificado – EC4 ao
modelo II. Este facto traduz que para a combinação de acções S1 e relações de vão próximas da
unidade, as prescrições do EC4 implicam a não consideração da resistência do betão quando este
se encontra traccionado.
0,70
0,80
0,90
1,00
0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%
M/M
elást
ρ (%)
Redistribuição do Momento Flector NegativoModelo Contribuição do betão entre fendas
Modelo I‐II
Modelo Simplificado ‐ EC4
Modelo II
72
Combinação de Acções S3
Para a combinação de acções S3 e a percentagem de armadura máxima, obtiveram-se os
seguintes diagramas de momentos flectores adoptando-se os diferentes modelos de cálculo já
descritos.
Figura 54 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura máxima.
Através da análise da Figura 54, observa-se a descida do diagrama de momentos flectores
em relação ao digrama do “modelo I” verificada em todos os diagramas já apresentados com
ilações semelhantes às descritas para nL=0,5 combinação de acções S3.
Os diagramas semelhantes relativos às percentagens de armadura intermédia e mínima
EC2, dos quais as conclusões são similares, encontram-se no anexo IV. Tal como ilustrado na
Figura 55, o diagrama de momentos flectores relativos à armadura mínima recomendada pelo
EC4, o “modelo II” é a série que apresenta o maior valor absoluto, tornando-se assim o modelo
que apresenta maiores redistribuições.
Em oposição o modelo que atinge menores redistribuições continua a ser o modelo
“Contribuição do betão entre fendas”, seguido do “modelo I-II” e por último o “modelo
simplificado – EC4”, tal como em todos os casos já analisados, existindo apenas uns afastamentos
entre as séries de caso para caso.
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,máx
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,máx
Modelo I‐II ‐ ρs,máx
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
73
Figura 55 – Diagramas de momentos flectores para a viga continua com a percentagem de armadura mínima EC4.
A Figura 56 evidencia as várias relações N-ε analisadas para a ρ , á .
Figura 56 – Relação N-ε para a ρs,máx
As conclusões que se podem auferir da Figura 56 em relação ao comportamento das séries
descritas, são similares às já descritas aquando da análise de figuras semelhantes.
Tal como nos outros casos de estudos, em gráficos N-ε relativos às outras percentagens de
armadura mais baixas, existem alguns pontos da série “modelo Contribuição do betão entre
fendas”, situados após ser atingido o esforço axial de fendilhação, que divergem dos valores
esperados e divergindo da tendência assimptótica à recta do modelo II. E para níveis de armadura
mínimos, os elementos de betão fissurado não conseguem atingir o Ncr’, tornando impossível que
o método iterativo convirja.
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC4
Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4
Modelo II ‐ ρs,mín EC4
0
2000
4000
6000
0,00% 0,02% 0,04% 0,06% 0,08% 0,10%
N [kN
]
ε (%)
Modelo I ‐ ρs,máx
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,máx
Modelo II ‐ ρs,máx
74
No anexo V, encontram-se os outros gráficos N-ε referentes às percentagens de armadura
intermédia, mínima EC2 e EC4.
Por último, foi analisado o nível de redistribuição dos momentos flectores na secção sobre
os apoios interiores para os diferentes métodos utilizados.
Figura 57 – Redistribuição de momento flector negativo para a combinação de acções S3 e nL=0,8.
A Figura 57 confirma que adoptando-se o modelo “Contribuição do betão entre fendas”,
obtêm-se valores mais próximos dos elásticos e menores redistribuições de momento flector
negativo, comparando-se com os outros modelos de cálculo adoptados e para todas as
percentagens de armadura analisadas, tal como em todos os outros casos analisados.
Conforme já referido na análise de gráficos semelhantes, através da observação da Figura 57
afirma-se que as séries são aproximadamente paralelas, exceptuando para a série “modelo I-II”
para taxas de percentagem inferiores à recomendada por EC4, visto apresentar uma mudança de
inclinação não consonante com o comportamento das outras séries.
Tal como verificado na Figura 49, pode-se também afirmar que para a combinação de
acções S3 e relações de vão próximas da unidade, o modelo simplificado – EC4 aproxima-se do
modelo II e por conseguinte afastando-se do modelo I-II, embora não seja tão denunciado como
para a combinação de acções S1. Este facto é verificado independentemente da percentagem de
armadura adoptada.
0,650
0,750
0,850
0,950
0,00% 0,20% 0,40% 0,60% 0,80% 1,00% 1,20% 1,40%
M/M
elást
ρ (%)
Redistribuição do Momento Flector Negativo
Modelo Contribuição do betão entre fendas
Modelo I‐II
Modelo Simplificado ‐ EC4
Modelo II
75
4.6. Comparação de resultados
Na presente subsecção, serão analisados os resultados dos modelos de cálculo adoptados
mais representativos, ou seja, cruzar-se-ão os valores obtidos dos níveis de redistribuição de
momentos flectores negativos relativos às três relações de vãos consecutivos estudadas, obtendo-se
uma representação gráfica para cada modelo utilizado. Através destas representações, poder-se-á
aferir o nível de redistribuição do momento flector negativo aproximado, bastando conhecer-se a
percentagem de armadura e a relação entre vãos consecutivos da ponte mista de médio vão em
questão.
As representações gráficas a seguir apresentadas correspondem à combinação de acções S1.
Para o “modelo I-II”, foi obtida a seguinte representação gráfica.
Figura 58 - Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o "Modelo I-II".
Como já afirmado anteriormente, o “modelo I-II” é um modelo sensível a resultados finais,
visto que a transição do estado I para o estado II não é totalmente exacta devido à adaptabilidade
do refinamento utilizado para todos os casos de estudo. Como este facto influencia directamente a
intensidade de esforço normal verificado em cada elemento de barra e de acordo com a equação
(3. 4), para o cálculo de o momento flector global negativo a parcela preponderante é a parcela do
esforço normal, naturalmente que o valor do momento poderá em alguns casos se encontrar um
pouco distorcida da realidade. Assim encontra-se justificada a oscilação da Figura 58.
76
Para o “modelo simplificado – EC4”, foi obtida a seguinte representação gráfica.
Figura 59 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o "Modelo Simplificado – EC4".
Através da Figura 59, poder-se-á aferir o nível de redistribuição do momento flector
negativo atingido adoptando-se o modelo de cálculo sugerido pelo EC4, dependente da
percentagem de armadura e relação de vãos consecutivos.
Para o “modelo II”, foi obtida a seguinte representação gráfica.
Figura 60 – Representação gráfica da redistribuição do momento flector negativo, adoptando-se o "Modelo II".
Perante a Figura 60, acredita-se que a grande oscilação de redistribuição do momento
flector para níveis de armadura baixos e a relação entre vãos de 0,5 não corresponde à realidade, e
assim para casos de percentagem de armadura abaixo da percentagem mínima regulamentar, esta
representação não deverá ser adoptada.
Relativamente a todos os outros casos, afirma-se que foram obtidos valores credíveis
77
Salienta-se para o facto de que as três representações gráficas apresentadas nesta subsecção,
foram desenvolvidas apenas para os casos de estudo descritos no presente estudo, tendo sido
extrapolados para casos intermédios.
No anexo VI, encontram-se as representações gráficas relativas à combinação de acções S3 e
planificações em estilo ábaco (gráficos 2D) de todas as representações gráficas. Assim acredita-se
que em necessidade da obtenção de níveis de redistribuição de momentos flectores negativos para
um determinado caso, fica mais facilitada a tarefa utilizando-se um gráfico a duas dimensões.
78
79
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1. Conclusões
A presente dissertação teve como principal objectivo efectuar um estudo paramétrico sobre
a influência do comportamento do betão à tracção em vigas mistas no comportamento de pontes
de médio vão. Para que este estudo fosse possível, foram desenvolvidos cinco modelos de cálculo
diferentes de análise elástica global de vigas contínuas. O modelo I consistindo numa análise
elástica pura. O modelo II, desprezando-se todo o betão à tracção. O modelo I-II, que se
considerou a resistência do betão à tracção até ser atingida a tensão de fendilhação. O modelo
simplificado, que adopta a prescrição patente no EC4. E por último, o modelo “Contribuição do
betão entre fendas” que consiste em contabilizar a resistência do betão entre fendas. Estes modelos
foram aplicados a três casos de estudo com diferentes relações de vãos e para cada caso de estudo
foram estudadas quatro percentagens de armadura possíveis.
Através da obtenção de resultados, foi analisado cada caso de estudo individualmente e por
fim, analisou-se cada modelo de cálculo, relacionando-se os casos de estudo. Através desta análise
foram criadas representações gráficas relativas ao nível de redistribuição de momento flector
negativo obtido, dependendo apenas da percentagem de armadura e da relação entre vãos
consecutivos da ponte mistas em questão.
Perante o presente estudo paramétrico, pode-se afirmar que:
O banzo de betão em secções mistas com percentagens de armadura elevadas,
comporta-se de forma idêntica a uma secção de betão armado. Após ser atingido o
Ncr, foi determinada uma relação constitutiva, N-ε, com comportamento
tendencialmente não linear e assimptótico à recta do estado II, tal como conhecido
para secções de betão armado. A única diferença verificada consiste na possível
descida de esforço normal para valores abaixo de Ncr, devido à existência de
resistência da parte de o perfil metálico.
A redistribuição de momentos flectores negativos oscila entre 8% e 42% em
situações extremas. A gama de valores mais obtidos encontra-se entre 12% e 22%,
analisando-se os resultados obtidos através dos cinco modelos de cálculos
adoptados.
80
O modelo simplificado – EC4 simula situações intermédias entre a não
consideração da resistência à tracção do betão e a consideração da configuração
segundo o modelo I-II. À medida que a relação de vãos aumenta, , a
redistribuição de momentos flectores negativos do modelo simplificado – EC4
aproximando-se da redistribuição obtida com o modelo II e afastando-se da obtida
com o modelo I-II, independentemente da percentagem de armadura e da
combinação de acções.
Os resultados obtidos segundo o modelo simplificado – EC4 para a combinação
de acções S3 são sempre mais próximos dos resultados do modelo I-II do que a
combinação de acções S1.
A consideração do modelo “Contribuição do betão entre fendas” desenvolvido a
partir da fórmula (2. 15) para casos de tirantes de betão armado, não é adaptável a
casos de secções mistas com baixas percentagens de armadura.
5.2. Recomendações
De acordo com os resultados obtidos no presente estudo paramétrico, efectuam-se as
seguintes recomendações:
O modelo simplificado prescrito pelo EC4 pode ser adoptado mesmo para relações
de vão inferiores a 0,6. (Bom comportamento no primeiro caso de estudo –
nL=0,5).
O modelo “Contribuição do betão entre fendas” para secções mistas com baixas
percentagens de armadura não deve ser adoptado.
Perante as conclusões e recomendações apresentadas, afirma-se que os objectivos da
presente dissertação inicialmente delineados foram atingidos.
81
5.3. Desenvolvimentos Futuros
Todas as conclusões e recomendações obtidas na presente dissertação poderão ser ainda
mais certificadas, se se diversificar e aumentar o número de resultados obtidos, ou seja,
desenvolvendo-se mais casos de estudo para outros vãos não estudados e melhorando a modelação
da consideração da resistência do betão entre fendas
Como já referido, as representações gráficas apresentados em “4.6. Comparação de
resultados” foram desenvolvidas para os casos de estudo analisados, tendo-se obtido valores
intermédios através de interpolação linear. Com a necessidade da realização de mais casos de
estudo, deve-se melhorar o refinamento destas representações. Para que tal possa acontecer, no
anexo VI encontram-se os valores utilizados para a construção de cada representação gráfica.
Visto que todos os estudos apresentados foram desenvolvidos considerando conexão total,
futuramente poder-se-á desenvolver um estudo paramétrico avaliando o nível de redistribuição do
momento flector negativo em vigas mistas em pontes, considerando o comportamento do betão
com variação de percentagem de conexão.
82
83
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84
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85
ANEXOS
86
87
ÍNDICE
Anexo I……………………………………………………………………………... 89
Anexo II……………………………………………………………………………. 95
Anexo III…………………………………………………………………………… 115
Anexo IV…………………………………………………………………………… 119
Anexo V……………………………………………………………………………. 129
Anexo VI…………………………………………………………………………… 141
88
89
ANEXO I
Programação tipo para gerar modelos computacionais através do SAP2000:
“
TABLE: "PROGRAM CONTROL"
ProgramName=SAP2000 Version=12.0.0 ProgLevel=Advanced CurrUnits="kN, m, C"_
TABLE: "ACTIVE DEGREES OF FREEDOM"
UX=Yes UY=No UZ=Yes RX=No RY=Yes RZ=No
TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 01 - GENERAL"
Material=A500NR Type=Rebar SymType=Isotropic TempDepend=No
Color=Blue
Material=S355 Type=Steel SymType=Isotropic TempDepend=No Color=Orange
Material=C30/37 Type=Concrete SymType=Isotropic TempDepend=No Color=Cyan
TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 02 - BASIC MECHANICAL PROPERTIES"
Material=A500NR UnitWeight=76,9728639422648 UnitMass=7,84904613136724
E1=210000000 G12=80769230,7692308 U12=0,3 A1=0,00001
Material=S355 UnitWeight=76,9728639422648 UnitMass=7,84904613136724 E1=210000000
G12=80769230,7692308 U12=0,3 A1=0,00001
Material=C30/37 UnitWeight=25 UnitMass=2,54929001253435 E1=32000000
G12=13333333,3333333 U12=0,2 A1=0,00001
TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 03A - STEEL DATA"
Material=S355 Fy=355000 Fu=510000 EffFy=355000 EffFu=510000
SSCurveOpt=Simple SSHysType=Kinematic SHard=0,015 SMax=0,11 SRup=0,17
FinalSlope=-0,1
TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 03B - CONCRETE DATA"
90
Material=C30/37 Fc=20000 LtWtConc=No SSCurveOpt=Mander SSHysType=Takeda
SFc=0,002 SCap=0,005 FinalSlope=-0,1 FAngle=0 DAngle=0
TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 03E - REBAR DATA"
Material=A500NR Fy=434782,608695652 Fu=620528,21 EffFy=434782,608695652
EffFu=620528,21 SSCurveOpt=Simple SSHysType=Kinematic SHard=0,01 SCap=0,09
FinalSlope=-0,1 UseCTDef=No
TABLE: "MATERIAL PROPERTIES 06 - DAMPING PARAMETERS"
Material=C30/37 ModalRatio=0 VisMass=0 VisStiff=0 HysMass=0 HysStiff=0
TABLE: "FRAME SECTION PROPERTIES 01 - GENERAL"
SectionName="Banzo de Betão" Material=C30/37 Shape=Rectangular t3=0,25 t2=6
ConcCol=Yes ConcBeam=Yes Color=Cyan _
FromFile=No AMod=1 A2Mod=0 A3Mod=0 JMod=0,0001 I2Mod=1
I3Mod=1 MMod=1 WMod=1
SectionName="Perfil I" Material=S355 Shape="SD Section" ConcCol=Yes ConcBeam=Yes
Color=Red _
FromFile=No AMod=1 A2Mod=0 A3Mod=0 JMod=0,0001 I2Mod=1
I3Mod=1 MMod=1 WMod=1
TABLE: "SECTION DESIGNER PROPERTIES 01 - GENERAL"
SectionName="Perfil I" DesignType="General Steel" DsgnOrChck=Check BaseMat=S355
nTotalShp=1 nIWideFlng=1 nChannel=0 nTee=0 nAngle=0 nDblAngle=0
nBoxTube=0 nPipe=0 nPlate=0 nSolidRect=0 nSolidCirc=0
nSolidSeg=0 nSolidSect=0 nPolygon=0 nReinfSing=0 nReinfLine=0 nReinfRect=0
nReinfCirc=0 nRefLine=0 nRefCirc=0 nCaltransSq=0 nCaltransCr=0 nCaltransHx=0
nCaltransOc=0
TABLE: "SECTION DESIGNER PROPERTIES 04 - SHAPE I/WIDE FLANGE"
91
SectionName="Perfil I" ShapeName=SH1 ShapeType="User Defined" ShapeMat=S355
ZOrder=1 FillColor=4210752 XCenter=0 YCenter=0 Height=1,35
TopWidth=0,45 TopThick=0,03 WebThick=0,014 BotWidth=0,6 BotThick=0,04 _
Rotation=0 Reinforcing=No
TABLE: "SECTION DESIGNER PROPERTIES 30 - FIBER GENERAL"
SectionName="Perfil I" NumFibersD2=3 NumFibersD3=3 GridAngle=0 LumpRebar=No
FiberPMM=No FiberMC=No
TABLE: "LOAD PATTERN DEFINITIONS"
LoadPat=DEAD DesignType=DEAD SelfWtMult=1
LoadPat="Carga Aplicada" DesignType=DEAD SelfWtMult=0
TABLE: "LOAD CASE DEFINITIONS"
Case=DEAD Type=LinStatic InitialCond=Zero DesTypeOpt="Prog Det" DesignType=DEAD
AutoType=None RunCase=Yes CaseStatus=Finished
Case=MODAL Type=LinModal InitialCond=Zero DesTypeOpt="Prog Det" DesignType=OTHER
AutoType=None RunCase=Yes CaseStatus=Finished
Case="Carga Aplicada" Type=LinStatic InitialCond=Zero DesTypeOpt="Prog Det"
DesignType=DEAD AutoType=None RunCase=Yes CaseStatus=Finished
TABLE: "CASE - STATIC 1 - LOAD ASSIGNMENTS"
Case=DEAD LoadType="Load pattern" LoadName=DEAD LoadSF=1
Case="Carga Aplicada" LoadType="Load pattern" LoadName="Carga Aplicada" LoadSF=1
TABLE: "CASE - MODAL 1 - GENERAL"
Case=MODAL ModeType=Eigen MaxNumModes=12 MinNumModes=1 EigenShift=0
EigenCutoff=0 EigenTol=0,000000001 AutoShift=Yes
TABLE: "MASSES 1 - MASS SOURCE"
MassFrom=Loads LoadPat="Carga Aplicada" Multiplier=1
92
TABLE: "JOINT COORDINATES"
Joint=1 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=0 SpecialJt=No
GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=0
Joint=2 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=0 Y=0 Z=0,9213
SpecialJt=No GlobalX=0 GlobalY=0 GlobalZ=0,9213
Joint=3 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=1 Y=0 Z=0 SpecialJt=No
GlobalX=1 GlobalY=0 GlobalZ=0
(…)
Joint=129 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=64 Y=0 Z=0
SpecialJt=No GlobalX=64 GlobalY=0 GlobalZ=0
Joint=130 CoordSys=GLOBAL CoordType=Cartesian XorR=64 Y=0
Z=0,9213 SpecialJt=No GlobalX=64 GlobalY=0 GlobalZ=0,9213
TABLE: "CONNECTIVITY - FRAME"
Frame=1 JointI=1 JointJ=3 IsCurved=No Length=1 CentroidX=0,5 CentroidY=0
CentroidZ=0
Frame=2 JointI=3 JointJ=5 IsCurved=No Length=1 CentroidX=1,5 CentroidY=0
CentroidZ=0
(…)
Frame=127 JointI=126 JointJ=128 IsCurved=No Length=1
CentroidX=62,5 CentroidY=0 CentroidZ=0
Frame=128 JointI=128 JointJ=130 IsCurved=No Length=1
CentroidX=63,5 CentroidY=0 CentroidZ=0
TABLE: "JOINT RESTRAINT ASSIGNMENTS"
Joint=1 U1=Yes U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No
Joint=33 U1=No U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No
93
Joint=97 U1=No U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No
Joint=129 U1=No U2=Yes U3=Yes R1=No R2=No R3=No
TABLE: "FRAME SECTION ASSIGNMENTS"
Frame=1 SectionType=S355 AutoSelect=N.A. AnalSect="Perfil I" DesignSect="Perfil I"
MatProp=Default
(…)
Frame=64 SectionType=S355 AutoSelect=N.A. AnalSect="Perfil I"
DesignSect="Perfil I" MatProp=Default
Frame=65 SectionType=C30/37 AutoSelect=N.A. AnalSect="Banzo de Betão"
DesignSect="Banzo de Betão" MatProp=Default
(…)
Frame=128 SectionType=C30/37 AutoSelect=N.A. AnalSect="Banzo de Betão"
DesignSect="Banzo de Betão" MatProp=Default
TABLE: "CONSTRAINT DEFINITIONS - BODY"
Name=Body1 CoordSys=GLOBAL UX=Yes UY=Yes UZ=Yes RX=Yes RY=Yes RZ=Yes
(…)
Name=Body65 CoordSys=GLOBAL UX=Yes UY=Yes UZ=Yes RX=Yes RY=Yes RZ=Yes
TABLE: "JOINT CONSTRAINT ASSIGNMENTS"
Joint=1 Constraint=Body1 Type=Body
Joint=3 Constraint=Body2 Type=Body
(…)
Joint=129 Constraint=Body65 Type=Body
Joint=2 Constraint=Body1 Type=Body
Joint=4 Constraint=Body2 Type=Body
(…)
Joint=130 Constraint=Body65 Type=Body
94
TABLE: "JOINT LOADS - FORCE"
Joint=3 LoadPat="Carga Aplicada" CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-200 M1=0 M2=0
M3=0
Joint=5 LoadPat="Carga Aplicada" CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-200 M1=0 M2=0
M3=0
(…)
Joint=127 LoadPat="Carga Aplicada" CoordSys=GLOBAL F1=0 F2=0 F3=-200 M1=0
M2=0 M3=0
END TABLE DATA
“
95
ANEXO II
No anexo II será exemplificado o processo iterativo inerente ao modelo “Contribuição do
betão entre fendas”. Serão também apresentados todos resultados finais deste processo obtidos
através dos diversos casos de estudo construídos ao longo do desenvolvimento da presente tese.
Exemplo
O exemplo apresentado na presente subsecção é referente a uma relação de vãos de 0,5 com
a combinação de acções S1 e a percentagem de armadura máxima.
Tal como explicado em 3.4.5. Modelo Contribuição do betão entre fendas, o processo
iterativo consiste no ajuste sucessivo da largura equivalente dos elementos de betão fendilhados.
Assim após ser atingido Ncr, que para a secção em questão é de 4350kN, calcula-se a largura
equivalente do elemento de betão através da equação (3. 10) e vai-se ajustando essa largura através
dos novos valores de esforço normal que se obtém a partir de modelos novos considerando as
larguras equivalentes anteriores. Este processo termina quando se obtém uma convergência das
larguras equivalentes na ordem dos 5 centímetros em secções sobre os apoios.
96
1ª Iteração:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 713,3 37838,6 ‐17,593565 7,207E‐05 6,00
7301 1056,1 56023,2 ‐7,481997 1,067E‐04 6,00
74 1433,3 76028,5 ‐3,605538 1,448E‐04 6,00
7401 1844,8 97854,8 ‐1,780160 1,864E‐04 6,00
75 2290,6 121501,9 ‐0,803299 2,314E‐04 6,00
7501 2770,7 146969,9 ‐0,232472 2,799E‐04 6,00
76 3285,1 174258,7 0,123313 3,319E‐04 6,00
7601 3833,9 203368,4 0,356325 3,874E‐04 6,00
77 4417,0 234299,0 0,515055 5,747E‐04 6,00
7701 5034,4 267050,5 0,626710 7,970E‐04 6,00
78 5686,2 301622,9 0,707379 1,016E‐03 6,00
7801 6372,3 338016,0 0,766998 1,235E‐03 6,00
79 7092,7 376230,1 0,811927 1,455E‐03 6,00
7901 7847,4 416265,1 0,846364 1,678E‐03 6,00
80 8636,5 458120,9 0,873155 1,905E‐03 6,00
Alinhamento de Pilares
8001 9459,9 501797,6 0,894275 2,137E‐03 6,00
81 9339,5 495413,0 0,891533 2,103E‐03 6,00
8101 8275,4 438967,1 0,861844 1,802E‐03 6,00
82 7245,6 384342,1 0,819782 1,500E‐03 6,00
8201 6250,2 331538,0 0,757804 1,196E‐03 6,00
83 5289,0 280554,7 0,661781 8,841E‐04 6,00
8301 4362,2 231392,3 0,502794 5,540E‐04 6,00
84 3469,7 184050,8 0,214116 3,506E‐04 6,00
8401 2611,6 138530,1 ‐0,387221 2,639E‐04 6,00
85 1787,7 94830,3 ‐1,960324 1,806E‐04 6,00
8501 998,2 52951,4 ‐8,494642 1,009E‐04 6,00
Na primeira iteração, corre-se o modelo com comportamento elástico linear do betão
(beq,c=b).
97
2ª. Iteração:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 713,3 37838,6 ‐17,593565 7,207E‐05 6,00
7301 1056,1 56023,2 ‐7,481997 1,067E‐04 6,00
74 1433,3 76028,5 ‐3,605538 1,448E‐04 6,00
7401 1844,8 97854,8 ‐1,780160 1,864E‐04 6,00
75 2290,6 121501,9 ‐0,803299 2,314E‐04 6,00
7501 2770,7 146969,9 ‐0,232472 2,799E‐04 6,00
76 3285,1 174258,7 0,123313 3,319E‐04 6,00
7601 3833,9 203368,4 0,356325 3,874E‐04 6,00
77 4417,0 234299,0 0,515055 5,747E‐04 0,96
7701 5034,4 267050,5 0,626710 7,970E‐04 0,79
78 5686,2 301622,9 0,707379 1,016E‐03 0,70
7801 6372,3 338016,0 0,766998 1,235E‐03 0,65
79 7092,7 376230,1 0,811927 1,455E‐03 0,61
7901 7847,4 416265,1 0,846364 1,678E‐03 0,58
80 8636,5 458120,9 0,873155 1,905E‐03 0,57
Alinhamento de Pilares
8001 9459,9 501797,6 0,894275 2,137E‐03 0,55
81 9339,5 495413,0 0,891533 2,103E‐03 0,56
8101 8275,4 438967,1 0,861844 1,802E‐03 0,57
82 7245,6 384342,1 0,819782 1,500E‐03 0,60
8201 6250,2 331538,0 0,757804 1,196E‐03 0,65
83 5289,0 280554,7 0,661781 8,841E‐04 0,75
8301 4362,2 231392,3 0,502794 5,540E‐04 0,98
84 3469,7 184050,8 0,214116 3,506E‐04 6,00
8401 2611,6 138530,1 ‐0,387221 2,639E‐04 6,00
85 1787,7 94830,3 ‐1,960324 1,806E‐04 6,00
8501 998,2 52951,4 ‐8,494642 1,009E‐04 6,00
Na segunda iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
98
3ª Iteração:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 32,0 1698,2 ‐9229,84600 3,235E‐06 6,00
7301 333,5 17692,4 ‐84,047290 3,370E‐05 6,00
74 669,4 35507,5 ‐20,115140 6,763E‐05 6,00
7401 1039,6 55143,4 ‐7,754813 1,050E‐04 6,00
75 1444,1 76600,1 ‐3,537059 1,459E‐04 6,00
7501 1882,9 99877,8 ‐1,668676 1,902E‐04 6,00
76 2356,1 124976,3 ‐0,704426 2,381E‐04 6,00
7601 2863,5 151895,7 ‐0,153832 2,893E‐04 6,00
77 2606,5 138262,1 ‐0,392603 2,634E‐04 6,00
7701 2867,0 152076,8 ‐0,151087 2,897E‐04 6,00
78 3170,6 168183,6 0,058834 3,203E‐04 6,00
7801 3509,1 186139,8 0,231657 3,546E‐04 6,00
79 3877,9 205702,7 0,370851 3,918E‐04 6,00
7901 4274,3 226727,0 0,482122 5,205E‐04 6,00
80 4696,4 249119,9 0,571040 6,774E‐04 0,87
Alinhamento de Pilares
8001 5143,2 272818,7 0,642328 8,345E‐04 0,77
81 5060,8 268446,9 0,630583 8,061E‐04 0,78
8101 4450,8 236091,4 0,522390 5,873E‐04 0,95
82 3868,7 205213,7 0,367849 3,909E‐04 6,00
8201 3317,9 175994,9 0,140524 3,352E‐04 6,00
83 2804,7 148776,3 ‐0,202724 2,834E‐04 6,00
8301 2343,7 124321,1 ‐0,722439 2,368E‐04 6,00
84 2148,4 113959,3 ‐1,049908 2,171E‐04 6,00
8401 1290,2 68438,4 ‐4,683734 1,304E‐04 6,00
85 466,4 24738,5 ‐42,499805 4,712E‐05 6,00
8501 ‐323,1 ‐17140,6 ‐89,611476 ‐3,265E‐05 6,00
Na terceira iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
99
4ª Iteração:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 464,4 24634,6 ‐42,867376 4,692E‐05 6,00
7301 792,1 42018,9 ‐14,078031 8,004E‐05 6,00
74 1154,2 61224,0 ‐6,102155 1,166E‐04 6,00
7401 1550,6 82250,0 ‐2,935155 1,567E‐04 6,00
75 1981,3 105096,9 ‐1,410206 2,002E‐04 6,00
7501 2446,3 129764,6 ‐0,580961 2,472E‐04 6,00
76 2945,7 156253,2 ‐0,090375 2,976E‐04 6,00
7601 3479,4 184562,7 0,218470 3,515E‐04 6,00
77 4047,4 214693,0 0,422439 4,319E‐04 6,00
7701 4649,7 246644,3 0,562386 6,605E‐04 0,88
78 5286,4 280416,3 0,661447 8,832E‐04 0,75
7801 5957,4 316009,3 0,733416 1,104E‐03 0,67
79 6662,7 353423,1 0,786870 1,324E‐03 0,63
7901 7402,4 392657,9 0,827335 1,547E‐03 0,60
80 6066,9 321815,8 0,742949 1,139E‐03 0,67
Alinhamento de Pilares
8001 6416,4 340354,4 0,770189 1,248E‐03 0,64
81 6364,4 337598,1 0,766421 1,232E‐03 0,65
8101 5940,1 315090,5 0,731859 1,098E‐03 0,68
82 6762,9 358734,2 0,793134 1,355E‐03 0,62
8201 5767,4 305930,0 0,715561 1,042E‐03 0,69
83 4806,3 254946,7 0,590424 7,168E‐04 0,84
8301 3879,4 205784,3 0,371349 3,920E‐04 6,00
84 2987,0 158442,7 ‐0,060447 3,018E‐04 6,00
8401 2128,8 112922,0 ‐1,087740 2,151E‐04 6,00
85 1305,0 69222,2 ‐4,555751 1,319E‐04 6,00
8501 515,5 27343,3 ‐34,606829 5,208E‐05 6,00
Na quarta iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
100
5ª Iterção:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 101,2 5370,6 ‐921,962787 1,023E‐05 6,00
7301 407,0 21587,4 ‐56,126077 4,112E‐05 6,00
74 747,0 39625,0 ‐15,954918 7,548E‐05 6,00
7401 1121,4 59483,5 ‐6,523871 1,133E‐04 6,00
75 1530,1 81162,8 ‐3,041287 1,546E‐04 6,00
7501 1973,1 104663,0 ‐1,430229 1,994E‐04 6,00
76 2450,5 129984,1 ‐0,575625 2,476E‐04 6,00
7601 2962,1 157126,1 ‐0,078294 2,993E‐04 6,00
77 3508,1 186088,9 0,231237 3,545E‐04 6,00
7701 3048,1 161684,8 ‐0,018346 3,080E‐04 6,00
78 3325,2 176385,7 0,144329 3,360E‐04 6,00
7801 3647,1 193457,2 0,288682 3,685E‐04 6,00
79 4004,9 212439,4 0,410120 4,149E‐04 6,00
7901 4393,9 233074,2 0,509944 5,660E‐04 0,97
80 5089,7 269981,1 0,634770 8,161E‐04 0,78
Alinhamento de Pilares
8001 5547,2 294251,0 0,692533 9,704E‐04 0,71
81 5464,5 289861,0 0,683150 9,429E‐04 0,72
8101 4833,9 256414,2 0,595098 7,266E‐04 0,83
82 4007,9 212598,9 0,411005 4,161E‐04 6,00
8201 3481,4 184668,1 0,219362 3,517E‐04 6,00
83 3011,7 159755,3 ‐0,043094 3,043E‐04 6,00
8301 3175,1 168423,2 0,061510 3,208E‐04 6,00
84 2282,6 121081,6 ‐0,815840 2,306E‐04 6,00
8401 1424,5 75560,8 ‐3,662734 1,439E‐04 6,00
85 600,6 31860,9 ‐25,225186 6,069E‐05 6,00
8501 ‐188,9 ‐10018,1 ‐264,252417 ‐1,908E‐05 6,00
Na quinta iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
101
6ª Iteração:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 403,9 21424,3 ‐56,999242 4,081E‐05 6,00
7301 727,9 38613,9 ‐16,854456 7,355E‐05 6,00
74 1086,3 57624,4 ‐7,017153 1,098E‐04 6,00
7401 1479,1 78455,9 ‐3,324967 1,494E‐04 6,00
75 1906,1 101108,2 ‐1,604122 1,926E‐04 6,00
7501 2367,5 125581,4 ‐0,688042 2,392E‐04 6,00
76 2863,2 151875,4 ‐0,154141 2,893E‐04 6,00
7601 3393,2 179990,3 0,178258 3,428E‐04 6,00
77 3957,5 209926,1 0,395911 3,999E‐04 6,00
7701 4556,2 241682,7 0,544234 6,263E‐04 6,00
78 5189,2 275260,2 0,648645 8,502E‐04 0,76
7801 5856,5 310658,7 0,724154 1,071E‐03 0,68
79 6558,2 347877,9 0,780022 1,292E‐03 0,63
7901 5599,2 297009,1 0,698217 9,875E‐04 0,71
80 5782,2 306717,7 0,717020 1,047E‐03 0,69
Alinhamento de Pilares
8001 6170,6 327315,6 0,751515 1,171E‐03 0,66
81 6109,7 324089,6 0,746543 1,152E‐03 0,66
8101 5621,1 298169,6 0,700562 9,947E‐04 0,71
82 6645,5 352507,9 0,785762 1,319E‐03 0,63
8201 5650,0 299703,7 0,703620 1,004E‐03 0,70
83 4688,9 248720,4 0,569661 6,747E‐04 6,00
8301 3762,1 199558,0 0,331509 3,801E‐04 6,00
84 2869,6 152216,4 ‐0,148976 2,899E‐04 6,00
8401 2011,4 106695,7 ‐1,338514 2,032E‐04 6,00
85 1187,6 62995,9 ‐5,708256 1,200E‐04 6,00
8501 398,1 21116,9 ‐58,700102 4,022E‐05 6,00
Na sexta iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
102
7ª Iteração
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 161,5 8565,9 ‐361,814088 1,632E‐05 6,00
7301 470,9 24976,3 ‐41,675423 4,757E‐05 6,00
74 814,5 43207,6 ‐13,259821 8,230E‐05 6,00
7401 1192,6 63259,7 ‐5,652414 1,205E‐04 6,00
75 1604,9 85132,7 ‐2,673167 1,622E‐04 6,00
7501 2051,6 108826,6 ‐1,247831 2,073E‐04 6,00
76 2532,6 134341,3 ‐0,475076 2,559E‐04 6,00
7601 3047,9 161677,0 ‐0,018445 3,080E‐04 6,00
77 3597,6 190833,4 0,268988 3,635E‐04 6,00
7701 4181,6 221810,8 0,458911 4,847E‐04 6,00
78 3416,4 181224,6 0,189413 3,452E‐04 1,24
7801 3732,9 198009,1 0,321010 3,772E‐04 1,24
79 4087,7 216829,8 0,433766 4,479E‐04 1,14
7901 4759,4 252460,6 0,582317 7,001E‐04 0,85
80 5233,2 277591,9 0,654522 8,652E‐04 0,76
Alinhamento de Pilares
8001 5676,6 301111,5 0,706385 1,013E‐03 0,70
81 5597,9 296937,5 0,698072 9,871E‐04 0,71
8101 4992,3 264814,2 0,620378 7,823E‐04 0,80
82 4100,0 217482,2 0,437158 4,527E‐04 1,13
8201 3583,4 190081,6 0,263194 3,621E‐04 1,24
83 4218,8 223782,8 0,468406 4,991E‐04 6,00
8301 3291,9 174620,3 0,126940 3,326E‐04 6,00
84 2399,5 127278,6 ‐0,643322 2,424E‐04 6,00
8401 1541,3 81757,9 ‐2,982669 1,557E‐04 6,00
85 717,5 38058,0 ‐17,379862 7,249E‐05 6,00
8501 ‐72,0 ‐3821,0 ‐1822,36433 ‐7,278E‐06 6,00
Na sétima iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
103
Última Iteração:
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 260,4 13810,4 ‐138,578976 2,631E‐05 6,00
7301 575,7 30538,7 ‐27,545222 5,817E‐05 6,00
74 925,4 49087,8 ‐10,048078 9,350E‐05 6,00
7401 1309,4 69457,7 ‐4,518138 1,323E‐04 6,00
75 1727,8 91648,6 ‐2,169437 1,746E‐04 6,00
7501 2180,4 115660,3 ‐0,990055 2,203E‐04 6,00
76 2667,4 141492,9 ‐0,329732 2,695E‐04 6,00
7601 3188,7 169146,4 0,069518 3,222E‐04 6,00
77 3744,4 198620,7 0,325185 3,783E‐04 6,00
7701 4334,4 229915,9 0,496389 5,435E‐04 6,00
78 4057,9 215252,0 0,425435 4,361E‐04 1,16
7801 4596,9 243842,6 0,552272 6,413E‐04 0,90
79 5061,5 268483,8 0,630685 8,063E‐04 0,78
7901 5189,9 275295,2 0,648734 8,504E‐04 0,76
80 5534,2 293559,0 0,691082 9,661E‐04 0,72
Alinhamento de Pilares
8001 5937,7 314961,8 0,731640 1,097E‐03 0,68
81 5869,9 311368,3 0,725410 1,076E‐03 0,68
8101 5344,3 283484,9 0,668736 9,027E‐04 0,74
82 5096,9 270362,2 0,635799 8,186E‐04 0,78
8201 4395,9 233178,2 0,510382 5,667E‐04 0,97
83 4410,5 233954,1 0,513624 5,722E‐04 6,00
8301 3483,7 184791,6 0,220405 3,520E‐04 6,00
84 2591,2 137450,0 ‐0,409108 2,618E‐04 6,00
8401 1733,1 91929,2 ‐2,150114 1,751E‐04 6,00
85 909,2 48229,4 ‐10,444862 9,187E‐05 6,00
8501 119,7 6350,4 ‐659,141245 1,210E‐05 6,00
Na última iteração, adopta-se como fendilhado todos os elementos de barra de betão que
tenham excedido o Ncr na iteração anterior.
104
Resultados Finais
De seguida apresentam-se os resultados finais dos diversos processos iterativos realizados ao
longo da presente dissertação.
nL=0,5, S1 com , :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm beq,c [m]
73 136,4 11308,0 ‐507,407 2,154E‐05 6,00
7301 444,3 36826,6 ‐46,936 7,015E‐05 6,00
74 786,4 65190,8 ‐14,297 1,242E‐04 6,00
7401 1162,9 96400,3 ‐5,996 1,836E‐04 6,00
75 1573,8 130455,4 ‐2,820 2,485E‐04 6,00
7501 2018,9 167355,9 ‐1,321 3,188E‐04 6,00
76 2498,4 207101,9 ‐0,516 3,945E‐04 6,00
7601 3012,2 249693,5 ‐0,043 4,756E‐04 6,00
77 3560,4 295130,5 0,254 5,622E‐04 6,00
7701 4142,8 343412,9 0,449 7,338E‐04 6,00
78 3430,2 284343,1 0,196 5,416E‐04 0,79
7801 3899,5 323241,5 0,378 6,157E‐04 0,79
79 4341,3 359866,5 0,498 8,534E‐04 0,64
7901 4524,4 375044,7 0,538 9,605E‐04 0,59
80 4781,4 396344,3 0,586 1,106E‐03 0,54
Alinhamento de pilares
8001 5078,8 420994,9 0,633 1,269E‐03 0,50
81 5026,0 416624,9 0,625 1,241E‐03 0,51
8101 4636,8 384361,8 0,560 1,025E‐03 0,57
82 4360,3 361441,9 0,502 8,646E‐04 0,63
8201 3698,1 306545,5 0,308 5,839E‐04 0,79
83 4170,1 345675,9 0,456 7,505E‐04 6,00
8301 3243,3 268849,6 0,101 5,121E‐04 6,00
84 2350,8 194868,6 ‐0,712 3,712E‐04 6,00
8401 1492,7 123733,3 ‐3,246 2,357E‐04 6,00
85 668,9 55443,3 ‐20,149 1,056E‐04 6,00
8501 ‐120,7 ‐10001,1 ‐648,960 ‐1,905E‐05 6,00
105
nL=0,5, S3 com , á :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 2496,6 132432,7 ‐0,518 2,523E‐04 6,00
7301 2767,8 146815,5 ‐0,235 2,796E‐04 6,00
74 3052,6 161926,5 ‐0,015 3,084E‐04 6,00
7401 3351,2 177766,0 0,158 3,386E‐04 6,00
75 3663,6 194333,7 0,295 3,702E‐04 6,00
7501 3989,6 211629,8 0,406 4,087E‐04 6,00
76 4329,4 229654,3 0,495 5,416E‐04 6,00
7601 3832,3 203283,7 0,356 3,872E‐04 1,24
77 4103,3 217659,2 0,438 4,541E‐04 1,13
7701 4288,5 227483,2 0,486 5,260E‐04 1,02
78 4471,7 237201,8 0,527 5,951E‐04 0,94
7801 4667,1 247564,2 0,566 6,668E‐04 0,87
79 4875,9 258639,4 0,602 7,415E‐04 0,82
7901 5096,7 270350,8 0,636 8,185E‐04 0,78
80 5328,5 282649,7 0,667 8,974E‐04 0,74
Alinhamento de Pilares
8001 5571,0 295510,2 0,695 9,782E‐04 0,71
81 5413,7 287167,8 0,677 9,260E‐04 0,73
8101 4869,5 258302,8 0,601 7,392E‐04 0,82
82 4377,4 232200,2 0,506 5,598E‐04 0,98
8201 4615,7 244837,3 0,556 6,481E‐04 6,00
83 3654,5 193852,6 0,292 3,692E‐04 6,00
8301 2727,7 144688,8 ‐0,272 2,756E‐04 6,00
84 1835,2 97346,0 ‐1,809 1,854E‐04 6,00
8401 977,0 51823,9 ‐8,912 9,871E‐05 6,00
85 153,1 8122,9 ‐402,475 1,547E‐05 6,00
8501 ‐636,4 ‐33757,4 ‐22,361 ‐6,430E‐05 6,00
106
nL=0,5, S3 com , :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
73 2399,8 198926,0 ‐0,643 3,789E‐04 6,00
7301 2665,1 220915,5 ‐0,332 4,208E‐04 6,00
74 2944,1 244043,1 ‐0,092 4,648E‐04 6,00
7401 3236,8 268309,0 0,097 5,111E‐04 6,00
75 3543,3 293713,0 0,246 5,595E‐04 6,00
7501 3863,5 320255,1 0,366 6,100E‐04 6,00
76 4197,4 347935,6 0,463 7,671E‐04 6,00
7601 4545,1 376754,2 0,542 9,724E‐04 6,00
77 3536,0 293114,0 0,243 5,583E‐04 0,79
7701 3806,4 315523,9 0,347 6,010E‐04 0,79
78 3956,0 327928,0 0,395 6,246E‐04 0,79
7801 4051,8 335865,8 0,424 6,776E‐04 0,75
79 4257,1 352882,2 0,478 8,031E‐04 0,66
7901 4451,0 368954,6 0,522 9,179E‐04 0,61
80 4634,2 384139,9 0,559 1,023E‐03 0,57
Alinhamento de Pilares
8001 4819,8 399532,1 0,593 1,128E‐03 0,53
81 4695,9 389260,3 0,571 1,058E‐03 0,55
8101 4232,4 350835,5 0,472 7,882E‐04 0,67
82 3908,6 323995,0 0,381 6,171E‐04 0,79
8201 4427,9 367040,6 0,517 9,044E‐04 6,00
83 3466,7 287366,8 0,213 5,474E‐04 6,00
8301 2539,9 210538,6 ‐0,467 4,010E‐04 6,00
84 1647,4 136555,9 ‐2,486 2,601E‐04 6,00
8401 789,2 65418,5 ‐14,191 1,246E‐04 6,00
85 ‐34,7 ‐2873,3 ‐7873,377 ‐5,473E‐06 6,00
8501 ‐824,2 ‐68319,7 ‐12,928 ‐1,301E‐04 6,00
107
nL=0,6, S1 com , á :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
166 ‐561,0 ‐29757,4 ‐29,064 ‐5,668E‐05 6,00
167 ‐186,2 ‐9874,3 ‐272,038 ‐1,881E‐05 6,00
168 222,1 11781,7 ‐190,786 2,244E‐05 6,00
169 663,8 35210,7 ‐20,473 6,707E‐05 6,00
170 1138,9 60412,7 ‐6,294 1,151E‐04 6,00
171 1647,4 87387,6 ‐2,486 1,665E‐04 6,00
172 2189,4 116135,5 ‐0,974 2,212E‐04 6,00
173 2764,8 146656,3 ‐0,238 2,793E‐04 6,00
174 3373,6 178950,0 0,169 3,409E‐04 6,00
175 4015,8 213016,8 0,413 4,193E‐04 6,00
176 3839,2 203651,4 0,358 3,879E‐04 1,24
177 4255,3 225723,4 0,478 5,133E‐04 1,04
178 4611,1 244596,0 0,555 6,465E‐04 0,89
179 5001,3 265293,1 0,622 7,855E‐04 0,80
180 5420,7 287541,2 0,678 9,284E‐04 0,73
Alinhamento de Pilares
181 5867,2 311226,0 0,725 1,075E‐03 0,68
182 5815,6 308487,6 0,720 1,058E‐03 0,69
183 5269,4 279513,2 0,659 8,775E‐04 0,75
184 4757,0 252333,4 0,582 6,992E‐04 0,85
185 4288,0 227454,8 0,485 5,258E‐04 1,02
186 4530,4 240312,0 0,539 6,168E‐04 6,00
187 3627,9 192442,2 0,281 3,666E‐04 6,00
188 2758,9 146345,4 ‐0,243 2,788E‐04 6,00
189 1923,3 102021,6 ‐1,558 1,943E‐04 6,00
190 1121,1 59470,7 ‐6,527 1,133E‐04 6,00
191 ‐382,9 ‐20312,2 ‐63,524 ‐3,869E‐05 6,00
108
nL=0,6, S1 com , :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
166 ‐660,8 ‐54773,1 ‐20,683 ‐1,043E‐04 6,00
167 ‐290,3 ‐24062,9 ‐111,346 ‐4,583E‐05 6,00
168 113,6 9417,9 ‐732,406 1,794E‐05 6,00
169 550,9 45669,3 ‐30,189 8,699E‐05 6,00
170 1021,7 84691,2 ‐8,069 1,613E‐04 6,00
171 1525,9 126483,8 ‐3,066 2,409E‐04 6,00
172 2063,5 171047,0 ‐1,223 3,258E‐04 6,00
173 2634,5 218380,7 ‐0,364 4,160E‐04 6,00
174 3238,9 268485,1 0,098 5,114E‐04 6,00
175 3876,8 321360,1 0,370 6,121E‐04 6,00
176 4548,1 377005,6 0,542 9,736E‐04 6,00
177 3785,7 313805,8 0,339 5,977E‐04 0,79
178 3996,1 331246,5 0,407 6,422E‐04 0,78
179 4345,6 360219,8 0,499 8,554E‐04 0,64
180 4703,9 389917,3 0,572 1,062E‐03 0,55
Alinhamento de Pilares
181 5052,0 418779,6 0,629 1,254E‐03 0,50
182 5011,0 415376,3 0,623 1,232E‐03 0,51
183 4574,0 379152,3 0,547 9,885E‐04 0,58
184 4104,2 340209,7 0,438 7,095E‐04 0,72
185 3818,9 316560,1 0,351 6,030E‐04 0,79
186 4363,0 361666,8 0,503 8,657E‐04 6,00
187 3460,6 286860,5 0,209 5,464E‐04 6,00
188 2591,6 214825,0 ‐0,410 4,092E‐04 6,00
189 1756,0 145560,0 ‐2,070 2,773E‐04 6,00
190 953,8 79065,6 ‐9,406 1,506E‐04 6,00
191 ‐550,2 ‐45611,4 ‐30,268 ‐8,688E‐05 6,00
109
nL=0,6, S3 com , á :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
166 2385,5 126540,5 ‐0,663 2,410E‐04 6,00
167 2649,4 140539,4 ‐0,348 2,677E‐04 6,00
168 2926,7 155247,3 ‐0,105 2,957E‐04 6,00
169 3217,4 170664,5 0,086 3,251E‐04 6,00
170 3521,4 186790,8 0,237 3,558E‐04 6,00
171 3838,8 203626,4 0,358 3,879E‐04 6,00
172 4169,5 221171,1 0,456 4,800E‐04 6,00
173 4513,6 239425,0 0,536 6,106E‐04 6,00
174 3970,7 210625,9 0,400 4,012E‐04 1,24
175 4117,9 218432,0 0,442 4,598E‐04 1,12
176 4343,4 230396,9 0,498 5,469E‐04 0,99
177 4538,4 240737,7 0,541 6,198E‐04 0,92
178 4744,3 251662,4 0,580 6,947E‐04 0,85
179 4961,3 263172,7 0,616 7,715E‐04 0,80
180 5188,3 275211,0 0,649 8,499E‐04 0,76
Alinhamento de Pilares
181 5424,9 287760,4 0,679 9,297E‐04 0,73
182 5270,9 279593,0 0,659 8,780E‐04 0,75
183 4733,2 251073,1 0,578 6,907E‐04 0,86
184 4216,4 223655,8 0,468 4,982E‐04 1,06
185 4447,3 235903,7 0,522 5,860E‐04 6,00
186 3511,4 186261,0 0,233 3,548E‐04 6,00
187 2609,0 138391,3 ‐0,390 2,636E‐04 6,00
188 1739,9 92294,5 ‐2,125 1,758E‐04 6,00
189 904,3 47970,6 ‐10,569 9,137E‐05 6,00
190 102,2 5419,7 ‐905,327 1,032E‐05 6,00
191 ‐1401,9 ‐74363,3 ‐3,814 ‐1,416E‐04 6,00
110
nL=0,6, S3 com , :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
166 2278,8 188894,4 ‐0,823 3,598E‐04 6,00
167 2538,0 210383,9 ‐0,470 4,007E‐04 6,00
168 2810,6 232981,5 ‐0,198 4,438E‐04 6,00
169 3096,6 256687,5 0,013 4,889E‐04 6,00
170 3396,0 281501,7 0,179 5,362E‐04 6,00
171 3708,7 307424,1 0,312 5,856E‐04 6,00
172 4034,8 334454,7 0,418 6,665E‐04 6,00
173 4374,2 362593,7 0,505 8,723E‐04 6,00
174 3406,8 282397,2 0,184 5,379E‐04 0,79
175 3670,7 304274,2 0,297 5,796E‐04 0,79
176 3944,2 326949,8 0,391 6,228E‐04 0,79
177 4030,7 334119,9 0,417 6,639E‐04 0,76
178 4184,8 346890,4 0,459 7,589E‐04 0,69
179 4395,8 364380,3 0,510 8,850E‐04 0,62
180 4574,3 379179,0 0,548 9,887E‐04 0,58
Alinhamento de Pilares
181 4748,5 393619,1 0,580 1,087E‐03 0,55
182 4638,6 384508,5 0,560 1,025E‐03 0,57
183 4289,8 355592,6 0,486 8,222E‐04 0,65
184 3774,6 312891,4 0,336 5,960E‐04 0,79
185 4268,2 353805,7 0,480 8,093E‐04 6,00
186 3332,3 276228,9 0,147 5,262E‐04 6,00
187 2429,9 201422,8 ‐0,603 3,837E‐04 6,00
188 1560,9 129387,2 ‐2,886 2,465E‐04 6,00
189 725,3 60122,2 ‐16,996 1,145E‐04 6,00
190 ‐76,9 ‐6372,2 ‐1601,022 ‐1,214E‐05 6,00
191 ‐1580,9 ‐131049,2 ‐2,788 ‐2,496E‐04 6,00
111
nL=0,8, S1 com , á :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
204 ‐840,8 ‐44600,6 ‐12,383 ‐8,495E‐05 6,00
205 ‐286,2 ‐15181,4 ‐114,508 ‐2,892E‐05 6,00
206 298,2 15819,1 ‐105,382 3,013E‐05 6,00
207 912,5 48400,9 ‐10,364 9,219E‐05 6,00
208 1556,5 82563,9 ‐2,905 1,573E‐04 6,00
209 2230,3 118308,2 ‐0,902 2,253E‐04 6,00
210 2934,0 155633,9 ‐0,099 2,964E‐04 6,00
211 3667,5 194540,8 0,297 3,706E‐04 6,00
212 4430,8 235029,0 0,518 5,798E‐04 6,00
213 4193,3 222431,3 0,462 4,893E‐04 1,07
214 4579,0 242893,2 0,549 6,347E‐04 0,90
215 4999,4 265192,5 0,621 7,848E‐04 0,80
216 5453,6 289283,7 0,682 9,393E‐04 0,73
Alinhamento de Pilares
217 5936,2 314884,2 0,732 1,097E‐03 0,68
218 5933,1 314719,3 0,731 1,096E‐03 0,68
219 5444,5 288804,1 0,681 9,363E‐04 0,73
220 4985,1 264431,1 0,619 7,798E‐04 0,80
221 4560,8 241926,7 0,545 6,280E‐04 0,91
222 4169,4 221165,4 0,456 4,800E‐04 1,09
223 4365,9 231590,4 0,504 5,554E‐04 6,00
224 3590,9 190477,1 0,266 3,628E‐04 6,00
225 2845,6 150945,0 ‐0,168 2,875E‐04 6,00
226 2130,2 112994,2 ‐1,085 2,152E‐04 6,00
227 1444,5 76624,7 ‐3,534 1,460E‐04 6,00
228 788,7 41836,5 ‐14,210 7,969E‐05 6,00
229 162,7 8629,5 ‐356,490 1,644E‐05 6,00
230 ‐433,5 ‐22996,2 ‐49,341 ‐4,380E‐05 6,00
112
nL=0,8, S1 com , :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
204 ‐976,7 ‐80960,5 ‐8,924 ‐1,542E‐04 6,00
205 ‐425,7 ‐35285,8 ‐51,246 ‐6,721E‐05 6,00
206 155,1 12860,0 ‐392,345 2,450E‐05 6,00
207 765,8 63476,9 ‐15,144 1,209E‐04 6,00
208 1406,2 116564,7 ‐3,788 2,220E‐04 6,00
209 2076,5 172123,7 ‐1,196 3,279E‐04 6,00
210 2776,5 230153,8 ‐0,228 4,384E‐04 6,00
211 3506,4 290655,0 0,230 5,536E‐04 6,00
212 4266,1 353627,2 0,480 8,080E‐04 6,00
213 3643,5 302021,5 0,287 5,753E‐04 0,79
214 4124,7 341908,2 0,444 7,221E‐04 0,71
215 4456,0 369371,2 0,523 9,203E‐04 0,61
216 4774,0 395732,5 0,585 1,102E‐03 0,54
Alinhamento de Pilares
217 5128,0 425077,9 0,640 1,295E‐03 0,49
218 5125,0 424831,4 0,640 1,294E‐03 0,50
219 4765,4 395020,7 0,583 1,097E‐03 0,54
220 4419,9 366376,7 0,515 8,992E‐04 0,61
221 4113,1 340949,4 0,440 7,150E‐04 0,72
222 3593,6 297884,1 0,267 5,674E‐04 0,79
223 4181,4 346610,7 0,459 7,568E‐04 6,00
224 3406,3 282362,7 0,184 5,378E‐04 6,00
225 2661,1 220585,8 ‐0,337 4,202E‐04 6,00
226 1945,6 161280,0 ‐1,501 3,072E‐04 6,00
227 1260,0 104445,3 ‐4,963 1,989E‐04 6,00
228 604,2 50081,7 ‐24,936 9,539E‐05 6,00
229 ‐21,8 ‐1811,0 ‐19834,013 ‐3,449E‐06 6,00
230 ‐618,1 ‐51232,5 ‐23,784 ‐9,759E‐05 6,00
113
nL=0,8, S3 com , á :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
204 2372,5 125847,7 ‐0,681 2,397E‐04 6,00
205 2666,2 141426,7 ‐0,331 2,694E‐04 6,00
206 2971,8 157638,2 ‐0,071 3,003E‐04 6,00
207 3289,3 174482,3 0,126 3,323E‐04 6,00
208 3618,8 191958,9 0,278 3,656E‐04 6,00
209 3960,2 210068,0 0,397 4,001E‐04 6,00
210 4313,5 228809,6 0,492 5,355E‐04 6,00
211 3828,9 203100,8 0,355 3,869E‐04 1,24
212 4078,5 216344,1 0,431 4,442E‐04 1,15
213 4278,7 226962,9 0,483 5,222E‐04 1,02
214 4451,1 236107,8 0,522 5,874E‐04 0,95
215 4657,8 247073,1 0,564 6,635E‐04 0,88
216 4874,2 258548,9 0,602 7,409E‐04 0,82
Alinhamento de Pilares
217 5099,5 270500,0 0,636 8,194E‐04 0,78
218 4973,1 263797,1 0,617 7,756E‐04 0,80
219 4498,5 238619,7 0,532 6,050E‐04 0,93
220 4053,0 214992,9 0,424 4,341E‐04 1,17
221 4194,0 222470,3 0,462 4,896E‐04 6,00
222 3359,3 178194,4 0,162 3,394E‐04 6,00
223 2554,4 135499,7 ‐0,450 2,581E‐04 6,00
224 1779,4 94386,4 ‐1,988 1,798E‐04 6,00
225 1034,1 54854,3 ‐7,847 1,045E‐04 6,00
226 318,7 16903,5 ‐92,171 3,220E‐05 6,00
227 ‐367,0 ‐19466,1 ‐69,255 ‐3,708E‐05 6,00
228 ‐1022,8 ‐54254,2 ‐8,044 ‐1,033E‐04 6,00
229 ‐1648,8 ‐87461,2 ‐2,480 ‐1,666E‐04 6,00
230 ‐2245,0 ‐119086,9 ‐0,877 ‐2,268E‐04 6,00
114
nL=0,8, S3 com , :
Barra N [kN] σs,II [kPa] ξ εsm
beq,c [m]
204 2277,3 188773,8 ‐0,825 3,596E‐04 6,00
205 2568,5 212910,0 ‐0,435 4,055E‐04 6,00
206 2871,6 238034,5 ‐0,148 4,534E‐04 6,00
207 3186,6 264147,6 0,068 5,031E‐04 6,00
208 3513,5 291249,0 0,233 5,548E‐04 6,00
209 3852,4 319338,8 0,362 6,083E‐04 6,00
210 4203,2 348417,2 0,464 7,701E‐04 6,00
211 4565,9 378483,9 0,546 9,839E‐04 6,00
212 3560,6 295152,2 0,253 5,622E‐04 0,79
213 3839,2 318245,8 0,358 6,062E‐04 0,79
214 3952,1 327598,5 0,394 6,240E‐04 0,79
215 4045,5 335346,2 0,422 6,732E‐04 0,75
216 4249,9 352288,6 0,476 7,983E‐04 0,67
Alinhamento de Pilares
217 4451,1 368961,9 0,522 9,174E‐04 0,61
218 4330,6 358977,2 0,495 8,465E‐04 0,64
219 3960,6 328306,4 0,396 6,253E‐04 0,79
220 3552,5 294477,3 0,250 5,609E‐04 0,79
221 4064,8 336941,5 0,427 6,851E‐04 6,00
222 3230,1 267751,3 0,093 5,100E‐04 6,00
223 2425,2 201032,3 ‐0,610 3,829E‐04 6,00
224 1650,1 136784,3 ‐2,477 2,605E‐04 6,00
225 904,9 75007,5 ‐10,562 1,429E‐04 6,00
226 189,4 15701,6 ‐262,854 2,991E‐05 6,00
227 ‐496,2 ‐41133,1 ‐37,448 ‐7,835E‐05 6,00
228 ‐1152,0 ‐95496,8 ‐6,133 ‐1,819E‐04 6,00
229 ‐1778,1 ‐147389,3 ‐1,994 ‐2,807E‐04 6,00
230 ‐2374,3 ‐196810,8 ‐0,679 ‐3,749E‐04 6,00
115
ANEXO III
De seguida, serão apresentadas as envolventes unitárias de momentos flectores para as , ,
, í e , í relativas às várias relações de vão analisadas e as diferentes combinações de acções..
nL=0,5
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector EC4+As,int
S1
S2
S3
S4
S5
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector EC4+As,mín EC2
S1
S2
S3
S4
S5
116
nL=0,6
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector EC4+As,mín EC4
S1
S2
S3
S4
S5
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector de EC4+As,int
S1
S3
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector de EC4+As,mín EC2
S1
S3
117
nL=0,8
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector de EC4+As,mín EC4
S1
S3
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector de EC4+As,int
S1
S3
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector de EC4+As,mín EC2
S1
S3
118
‐80
‐60
‐40
‐20
0
20
40
60
80
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento flector de EC4+As,mín EC4
S1
S3
119
ANEXO IV
Diagramas de momentos flectores não apresentados no corpo principal da presente dissertação:
nL=0,5
o Combinação de acções S1
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,int
Modelo I ‐ ρs,int
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Modelo I‐II ‐ ρs,int
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int
Modelo II ‐ ρs,int
120
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC2
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC2
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC4
Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4
Modelo II ‐ ρs,mín EC4
121
o Combinação de acções S3
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,int
Modelo I ‐ ρs,int
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Modelo I‐II ‐ ρs,int
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int
Modelo II ‐ ρs,int
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC2
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC2
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
122
nL=0,6
o Combinação de acções S1
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 16 32 48 64
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC4
Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4
Modelo II ‐ ρs,mín EC4
‐20000
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,int
Modelo I ‐ ρs,int
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Modelo I‐II ‐ ρs,int
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int
Modelo II ‐ ρs,int
123
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC2
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC2
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC4
Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4
Modelo II ‐ ρs,mín EC4
124
o Combinação de acções S3
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,intModelo I ‐ ρs,int
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Modelo I‐II ‐ ρs,int
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int
Mdelo II ‐ ρs,int
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC2Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC2
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
125
nL=0,8
o Combinação de acções S1
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC4Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4
Modelo II ‐ ρs,mín EC4
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,int
Modelo I ‐ ρs,int
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Modelo I‐II ‐ ρs,int
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int
Modelo II ‐ ρs,int
126
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC2
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC2
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC4
Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC4
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC4
Modelo II ‐ ρs,mín EC4
127
o Combinação de acções S3
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,int
Modelo I ‐ ρs,int
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,int
Modelo I‐II ‐ ρs,int
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,int
Modelo II ‐ ρs,int
‐15000
‐10000
‐5000
0
5000
10000
15000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
M [kN
.m]
L [m]
Momento Flector com As,mín EC2
Modelo I ‐ ρs,mín EC2
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC2
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC2
Modelo Simplificado ‐ EC4 ρs,mín EC2
Modelo II ‐ ρs,mín EC2
128
129
ANEXO V
Gráficos Esforços axial – extensão (N-ε) não apresentados no corpo principal da presente
dissertação:
nL=0,5
o Combinação de acções S1
0
2000
4000
6000
8000
10000
‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,intEstado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Estado II
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,int
Estado II
130
o Combinação de acções S3
0
2000
4000
6000
8000
‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC4
Estado II
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
0
2000
4000
6000
8000
10000
‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
Estado II
131
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,int
Estado II
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC2
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC2
Estado II ‐ ρs,mín EC2
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC2
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,mín EC2
132
nL=0,6
o Combinação de acções S1
0
2000
4000
6000
8000
‐0,05% 0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC4
Estado II ‐ ρs,mín EC4
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado II ‐ ρs,int
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,int
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ ρs,int
133
0
2000
4000
6000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão As,mín EC2
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC2
Estado II ‐ ρs,mín EC2
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC2
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,mín EC2
134
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC4
Estado II ‐ ρs,mín EC4
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ ρs,mín EC4
135
o Combinação de acções S3
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado II ‐ ρs,int
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,int
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,int
136
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC2
Estado I
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ ρs,mín EC2
Estado II ‐ ρs,mín EC2
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC2
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,mín EC2
137
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Modelo I ‐ ρs,mín EC4
Modelo Contribuição do betão entre fendas ‐ρs,mín EC4
Estado II ‐ ρs,mín EC4
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Estado II
Estado I
Modelo I‐II ‐ρs,mín EC4
138
nL=0,8
o Combinação de acções S1
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Método II ‐ ρs,int
Não Fendilhado ‐ρs,int
Estado II ‐ ρs,int
0
2000
4000
6000
8000
10000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Não Fendilhado ‐ ρs,mín EC4
Método II ‐ ρs,mín EC4
Estado II ‐ ρs,mín EC4
139
o Combinação de acções S3
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,int
Método II ‐ρs,int
Não Fendilhado ‐ ρs,int
Estado II ‐ ρs,int
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20% 0,25% 0,30%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC2
Não Fendilhado ‐ρs,mín EC2
Método II ‐ ρs,mín EC2
Estado II ‐ ρs,mín EC2
0
2000
4000
6000
8000
0,00% 0,05% 0,10% 0,15% 0,20%
N [kN
]
ε (%)
Fendilhação do Betão com As,mín EC4
Não Fendilhado ‐ ρs,mín EC4
Método II ‐ρs,mín EC4
Estado II ‐ρs,mín EC4
140
141
ANEXO VI
No anexo VI são apresentados os pontos utilizados para a construção das representações
gráficas apresentadas em 4.6. Comparação de resultados. Também serão apresentadas as projecções
no plano das representações gráficas.
Os pontos apresentados são resultado da análise de resultados de modelos computacionais
desenvolvidos ao longo da presente tese. Para a obtenção das representações gráficas, como já
referido, foi realizada interpolação simples com o intuito de escalar os resultados obtidos.
Combinação de Acções S1
Modelo I‐II
ρ\nL 0,5 0,6 0,8
0,00% 0,803 0,810 0,786
0,38% 0,820 0,857 0,837
0,58% 0,839 0,845 0,855
0,80% 0,839 0,846 0,871
1,26% 0,869 0,875 0,896
Modelo Simplificado ‐ EC4
ρ\nL 0,5 0,6 0,8
0,00% 0,741 0,737 0,730
0,38% 0,783 0,788 0,782
0,58% 0,812 0,808 0,802
0,80% 0,830 0,827 0,821
1,26% 0,859 0,856 0,852
Modelo II
ρ\nL 0,5 0,6 0,8
0,00% 0,580 0,716 0,728
0,38% 0,758 0,769 0,778
0,58% 0,779 0,789 0,798
0,80% 0,799 0,809 0,817
1,26% 0,832 0,841 0,847
142
Combinação de Acções S3
Modelo I‐II
ρ\nL 0,5 0,6 0,8
0,00% 0,758 0,766 0,815
0,38% 0,815 0,821 0,833
0,58% 0,814 0,840 0,851
0,80% 0,835 0,858 0,869
1,26% 0,866 0,870 0,894
Modelo Simplificado ‐ EC4
ρ\nL 0,5 0,6 0,8
0,00% 0,742 0,739 0,733
0,38% 0,792 0,789 0,784
0,58% 0,812 0,809 0,804
0,80% 0,830 0,828 0,823
1,26% 0,859 0,857 0,853
Modelo II
ρ\nL 0,5 0,6 0,8
0,00% 0,651 0,661 0,690
0,38% 0,715 0,722 0,745
0,58% 0,739 0,746 0,767
0,80% 0,763 0,769 0,788
1,26% 0,800 0,805 0,821
143
De seguida apresentam-se as projecções das representações gráficas relativas aos níveis de
redistribuição de momento flector negativo para cada modelo de cálculo tipo e à combinação de
acções S1.
144
De seguida apresentam-se as representações gráficas e respectivas projecções relativas aos
níveis de redistribuição de momento flector negativo para cada modelo de cálculo tipo e à
combinação de acções S3.
145
146