Efeito de Cargas Concentradas em Lajes de Betão Armado sem

Efeito de Cargas Concentradas em Lajes de Betão Armado

sem Armaduras Transversais

Rui Daniel Remoaldo Terras

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Júri

Presidente: Prof. José Manuel Matos Noronha da Câmara

Orientadores: Prof. João Carlos de Oliveira Fernandes de Almeida

Prof. Rui Vaz Rodrigues

Vogais: Prof. António José da Silva Costa

Prof. Augusto Martins Gomes

Dezembro de 2013

i

Summary

This thesis comprises the study of shear transfer in reinforced concrete slabs subjected to point

loading. Two recently developed approaches will be studied and tested, with the aim of comparing its

results with those obtained when applying current codes of practice.

Reinforced concrete bridge deck slabs subjected to point loads, such as wheel loads, are prone to fail

due to this type of phenomenon. Despite not being referred in current codes of practice, this problem is

often treated as punching of a slab supported by a concrete column.

However, it can be easily found in technical and scientific literature that the failure modes associated

with this type of phenomenon are either by punching, or by shear failure of the slab.

A method to illustrate the shear path in the interior of the reinforced concrete slabs developed by Vaz

Rodrigues [1] was implemented during this work. Such illustration can help to assess which failure

mode is expected to occur for each test.

A non-linear finite element model was used to predict the displacements and rotations associated

expected to occur on the slabs, associated with the different tests. The slab’s rotations will therefore

be used to determine the predicted punching failure load by one of the referred approaches.

The conclusions of this work show that using the recently developed approaches to determine the

failure load of bridge deck slabs subjected to point loads enable a better assessment of the failure

loads which will eventually lead to an economic design of such elements. Some comments respecting

the influence of the distance between the load and the support are also made, taking into account its

influence on the precision of the prediction.

Keywords: Reinforced concrete, point loading, slabs without transverse reinforcement, punching

shear, shear, non linear analysis, stress fields, model code 2010.

ii

Resumo

O presente texto aborda o estudo do encaminhamento da cargas por esforço transverso em lajes de

betão armado sujeitas a cargas concentradas. No seu decurso, são estudadas e aplicadas duas

metodologias de cálculo recentemente desenvolvidas para a avaliação deste fenómeno, sendo os

seus resultados comparados com os obtidos a partir de alguns documentos normativos em vigor.

O caso das consolas dos tabuleiros de pontes sujeitas a elevadas cargas concentradas, como as

rodas de pesados, é um problema particular associado a este tipo de fenómeno. Apesar de não ser

referido nos documentos normativos, é normalmente abordado como se tratasse do punçoamento de

uma laje apoiada numa coluna de betão.

Verifica-se, no entanto, que os modos de rotura encontrados na literatura disponível associados a

este tipo de carregamento são, ora por punçoamento, ora por esforço transverso. Por este facto, no

presente texto testa-se o cálculo da carga de rotura das lajes considerando ambos os modos de

rotura.

No decurso do trabalho é aplicado um método de representação do “caminho das forças” no interior

das lajes desenvolvido por Vaz Rodrigues [1]. Esta representação ajuda a averiguar qual o modo de

rotura expectável para cada laje, i.e. punçoamento ou esforço transverso.

Foi ainda aplicado um modelo não linear de elementos finitos, usado para estimar os deslocamentos

e rotações associadas aos vários ensaios experimentais analisados. As rotações das lajes são um

dos parâmetros utilizados no cálculo da carga de rotura por punçoamento através das metodologias

de cálculo acima referidas.

As conclusões principais obtidas revelam que as novas metodologias para o cálculo da carga de

rotura de lajes sujeitas a cargas concentradas permitem atingir valores mais próximos dos obtidos

experimentalmente, levando assim a um dimensionamento mais correcto e económico deste tipo de

elementos. Tecem-se ainda algumas observações respeitantes à influência da proximidade da carga

concentrada ao apoio e qual o seu impacto na precisão do cálculo efectuado.

Palavras chave: Betão armado, cargas concentradas, lajes sem armaduras transversais,

punçoamento, esforço transverso, análise não linear, campos de tensões, model code 2010.

iii

Índice

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1

1.1 PROBLEMA .................................................................................................................... 1

1.2 OBJECTIVOS .................................................................................................................. 2

1.3 ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO ........................................................................................ 2

2. REVISÃO DE LITERATURA ............................................................................................ 3

2.1 PERSPECTIVA HISTÓRICA ............................................................................................... 3

2.1.1 Esforço Transverso e Punçoamento ...................................................................... 3

2.1.2 Mecanismos de encaminhamento das forças de corte ......................................... 3

2.1.3 Contribuições mais relevantes ............................................................................... 6 2.1.3.1 Esforço Transverso ....................................................................................................................... 6 2.1.3.2 Punçoamento .............................................................................................................................. 10

2.2 REVISÃO DOS MODELOS ACTUAIS MAIS REPRESENTATIVOS .......................................... 14

2.2.1 Simplified Modified Compression Field Theory [6] .............................................. 14

2.2.2 Critical Shear Crack Theory ................................................................................. 17 2.2.2.1 Esforço Transverso ..................................................................................................................... 18 2.2.2.2 Punçoamento .............................................................................................................................. 20

2.2.3 ACI 318-11 ........................................................................................................... 20 2.2.3.1 Esforço Transverso ..................................................................................................................... 20 2.2.3.2 Punçoamento .............................................................................................................................. 21

2.2.4 Eurocódigo 2 (EN 1992-1-1) ................................................................................ 21 2.2.4.1 Esforço Transverso ..................................................................................................................... 21 2.2.4.2 Punçoamento .............................................................................................................................. 21

2.2.5 Model Code 2010 ................................................................................................. 22 2.2.5.1 Níveis de aproximação ............................................................................................................... 22 2.2.5.2 Esforço Transverso ..................................................................................................................... 23 2.2.5.3 Punçoamento .............................................................................................................................. 24

3. ANÁLISES EFECTUADAS ............................................................................................. 26

3.1 ENSAIOS DE LATTE – TUHH [55] .................................................................................. 26

3.1.1 Geometria ............................................................................................................ 26

3.1.2 Propriedades dos Materiais/Carregamentos ....................................................... 28

3.1.3 Modelação ........................................................................................................... 29

3.2 ENSAIOS DE VAZ RODRIGUES – EPFL [1] ..................................................................... 30

3.2.1 Geometria ............................................................................................................ 30


iv

3.2.3 Modelação ........................................................................................................... 32

3.3 ENSAIOS DE JÄGER - ETHZ [56] ................................................................................... 34

3.3.1 Geometria ............................................................................................................ 34


3.3.3 Modelação ........................................................................................................... 36

3.4 ELEMENTOS DE ESPESSURA VARIÁVEL .......................................................................... 37

3.5 CAMPOS DE CORTE ...................................................................................................... 39

3.6 MODELO NÃO LINEAR .................................................................................................. 44

3.7 RESULTADOS ............................................................................................................... 49

3.7.1 Esforço Transverso .............................................................................................. 49 3.7.1.1 Critical Shear Crack Theory ........................................................................................................ 49 3.7.1.2 Model Code 2010 ........................................................................................................................ 51 3.7.1.3 Resumo ....................................................................................................................................... 52

3.7.2 Punçoamento ....................................................................................................... 54 3.7.2.1 Critical Shear Crack Theory ........................................................................................................ 54 3.7.2.2 Model Code 2010 ........................................................................................................................ 56 3.7.2.3 Resumo ....................................................................................................................................... 57

4. CONCLUSÃO ................................................................................................................. 59

5. REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 61

6. ANEXOS ......................................................................................................................... 65

6.1 REPRESENTAÇÃO DOS CAMPOS DE CORTE ................................................................... 65

6.2 MODELO NÃO LINEAR DE ELEMENTOS FINITOS ............................................................. 68

v

Índice de Figuras

Figura 2.1 – Exemplo do comportamento de uma laje em esforço transverso (retirado de [11]) ........... 3

Figura 2.2 – Exemplo do comportamento de uma laje em punçoamento (retirado de [11]) ................... 3

Figura 2.3 – Forças internas presentes num elemento sem armaduras transversais (adaptado de [14])

......................................................................................................................................................... 4

Figura 2.4 – Modelo de interbloqueamento dos agregados de Walraven (adaptado de [16]) ................ 5

Figura 2.5 – Mecanismos de encaminhamento das forças de corte segundo [18] (Adaptado de [1]) .... 5

Figura 2.6 – Secção transversal de viga de betão armado dimensionada de acordo com método

Hennebique ...................................................................................................................................... 6

Figura 2.7 – Modelo treliça de Mörsch (adaptado de [8]) ........................................................................ 6

Figura 2.8 – Formação dos “dentes” de betão e forças internas em elemento de betão (adaptado de

[17]) .................................................................................................................................................. 7

Figura 2.9 – Mecanismos de encaminhamento das forças de corte (adaptado de [17]) ........................ 8

Figura 2.10 – Resistência relativa vs. vão de corte e taxa de armaduras longitudinais (adaptado de

[17]) .................................................................................................................................................. 8

Figura 2.11 – Tensão de corte na rotura 𝑣𝑢 vs. vão de corte 𝑎/𝑑 (adaptado de [25]) ............................ 9

Figura 2.12 – Resistência relativa 𝑟𝑢 vs. vão de corte 𝑎/𝑑 (adaptado de [25]) ...................................... 9

Figura 2.13 – Extensões médias num elemento de betão fendilhado (adaptado de [5]) ...................... 10

Figura 2.14 – Diagrama carga – rotação de acordo com o modelo proposto por Kinnunen & Nylander

(adaptado de [34]) .......................................................................................................................... 12

Figura 2.15 – Deformações na vizinhança da coluna e abertura da fissura crítica (adaptado de [10]) 12

Figura 2.16 – Modelo seccional de dimensionamento de vigas em betão armado (retirado de [40]) ... 13

Figura 2.17 – Modelo sandwich para lajes de betão armado (adaptado de [3]) ................................... 13

Figura 2.18 – Equações da Modified Compression Field Theory (retirado de [6]) ................................ 15

Figura 2.19 – Determinação dos valores de beta e teta (retirado de [6]) .............................................. 16

Figura 2.20 – Comparação entre valores da MCFT e da Simplified MCFT (retirado de [6]) ................. 16

Figura 2.21 – Comparação da banda de rotura com os critérios de rotura da CSCT (valores médios e

característicos) (adaptado de [53]) ................................................................................................ 18

vi

Figura 2.22 – Contribuições para resistência ao corte das tensões de interface e do betão em tracção

para a resistência ao corte (adaptado de [52]) .............................................................................. 18

Figura 2.23 – Comparação entre o critério de rotura e ensaios experimentais de vigas submetidas a

cargas pontuais (adaptado de [4]) ................................................................................................. 19

Figura 2.24 –Comparação entre o critério de rotura e ensaios experimentais de punçoamento

(adaptado de [4]) ............................................................................................................................ 20

Figura 2.25 – Abordagem de níveis de aproximação: tempo dedicado a uma análise vs. precisão

(adaptado de [54]) .......................................................................................................................... 22

Figura 2.26 – Localização e comprimento da secção de controlo 𝑏𝑤 para a determinação da

resistência ao esforço transverso de lajes sujeitas a cargas concentradas (retirado de [3]) ......... 24

Figura 3.1 – Geometria e posição do carregamento na laje VK1 (em baixo) e VK2 (em cima) – [mm] 26

Figura 3.2 – Geometria e posição do carregamento na laje VK3 (em baixo) e VK4 (em cima) – [mm] 26

Figura 3.3 – Esquema simplificado das armaduras superiores (em cima) e inferiores (em baixo)

presentes na laje VK1 – [mm] ........................................................................................................ 27







Figura 3.7 – Figura esquemática do modelo das lajes VK1-VK4 utilizado na alálise linear de

elementos finitos ............................................................................................................................ 29

Figura 3.8 – Geometria e posição do carregamento nas lajes DR1c e DR2c – [mm] ........................... 30

Figura 3.9 – Esquema simplificado das armaduras superiores (à esquerda) e inferiores (à direita)

presentes na laje DR1c – [mm] ...................................................................................................... 31

Figura 3.10 – Esquema simplificado das armaduras superiores (à esquerda) e inferiores (à direita)

presentes na laje DR2c – [mm] ...................................................................................................... 31

Figura 3.11 – Pormenor dos ensaios experimentais DR1c e DR2c (adaptado de [1]) – [mm] ............. 32

Figura 3.12 – Figura esquemática do modelo das lajes DR1c e DR2c utilizado na alálise de elementos

finitos .............................................................................................................................................. 33

Figura 3.13 – Condições de apoio do modelo das lajes DR1c e DR2c utilizado na alálise de elementos

finitos .............................................................................................................................................. 33

Figura 3.14 – Geometria e posição do carregamento nas lajes B3V1 e B5V1 – [mm] ......................... 34

vii

Figura 3.15 – Esquema simplificado das armaduras superiores presentes na laje B3V1 – [mm] ........ 35

Figura 3.16 – Esquema simplificado das armaduras superiores presentes na laje B5V1 – [mm] ........ 35

Figura 3.17 – Figura esquemática do modelo das lajes B3V1 e B5V1 utilizado na alálise linear de

elementos finitos ............................................................................................................................ 36

Figura 3.18 – Componentes de esforço transverso para elementos de espessura variável (adaptado

de [57]) ........................................................................................................................................... 37

Figura 3.19 – Fuxo de corte e esforço transverso principal (retirado de [58]) ....................................... 39

Figura 3.20 – (a) amplitude e direcção do esforço transverso principal; (b) representação gráfica

(retirado de [58]) ............................................................................................................................. 39

Figura 3.21 – Laje apoiada em dois lados submetida a carregamento uniforme: (a) esquema de

carregamento; (b) campos de momentos; (c) campo de corte correspondente (retirado de [58]) . 40

Figura 3.22 – Laje quadrada apoiada nos seus quatro cantos submetida a duas cargas de faca

(retirado de [58]) ............................................................................................................................. 41

Figura 3.23 – Campo de corte da laje da Figura 3.22 (retirado de [58]) ............................................... 41

Figura 3.24 – Campo de corte obtido para a laje VK1 .......................................................................... 41




Figura 3.28 – Campo de corte obtido para a laje DR1c ........................................................................ 42

Figura 3.29 – Campo de corte obtido para a laje DR2c ........................................................................ 42

Figura 3.30 – Campo de corte obtido para a laje B3V1 ........................................................................ 43

Figura 3.31 – Campo de corte obtido para a laje B5V1 ........................................................................ 43

Figura 3.32 – Relação Momento-Curvatura para uma secção de betão armado genérica ................... 45

Figura 3.33 – Fluxograma do modelo de análise não-linear de elementos finitos ................................ 46

Figura 3.34 – Comparação entre os deslocamentos obtidos no ensaio experimental e no modelo não-

linear da laje DR1c ......................................................................................................................... 46


linear da laje DR2c ......................................................................................................................... 46


linear das lajes VK1 e VK2 ............................................................................................................ 47

viii


linear das lajes VK3 e VK4 ............................................................................................................ 47

Figura 3.38 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje DR1c, Q = 910 kN ........ 48

Figura 3.39 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje DR1c, Q = 789.6 kN ..... 48

Figura 3.40 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje VK1, Q = 690 kN .......... 48

Figura 3.41 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje VK1, Q = 600 kN .......... 48

Figura 3.42 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje VK1 ............. 50

Figura 3.43 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje VK2 ............ 50

Figura 3.44 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje VK3 ............. 50

Figura 3.45 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje VK4 ............ 50

Figura 3.46 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje DR1c ........... 51

Figura 3.47 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje DR2c ........... 51

Figura 3.48 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje B3V1 ........... 51

Figura 3.49 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje B5V1 ........... 51

Figura 3.50 – Resumo dos resultados obtidos para os vários ensaios considerando o modelo

correspondente à rotura por esforço transverso e tendo em conta a componente 𝑉𝑐𝑐𝑑 ............... 52

Figura 3.51 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento da CSCT para a

laje VK1 .......................................................................................................................................... 55


laje VK2 .......................................................................................................................................... 55


laje VK3 .......................................................................................................................................... 55


laje VK4 .......................................................................................................................................... 55


laje DR1c ........................................................................................................................................ 56


laje DR2c ........................................................................................................................................ 56

Figura 3.57 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento do Model Code

2010 para a laje VK1 ..................................................................................................................... 56


2010 para a laje VK2 ..................................................................................................................... 56

ix


2010 para a laje VK3 ..................................................................................................................... 57


2010 para a laje VK4 ..................................................................................................................... 57


2010 para a laje DR1c ................................................................................................................... 57


2010 para a laje DR2c ................................................................................................................... 57

Figura 3.63 – Resumo dos resultados obtidos para os vários ensaios admitindo punçoamento. ........ 58

Figura 4.1 – Comparação entre os valores de 𝑎𝑑 e a relação 𝑉𝑒𝑥𝑝𝑉𝑚𝑜𝑑′ admitindo rotura por

esforço transverso para diferentes metodologias de cálculo ......................................................... 60

x

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Recobrimento e quantidade de armaduras nos elementos testados por Latte ................... 28

Tabela 2 – Propriedades do betão dos elementos testados por Latte .................................................. 28

Tabela 3 – Propriedades das armaduras dos elementos testados por Latte ........................................ 28

Tabela 4 – Características do carregamento dos elementos testados por Latte .................................. 29

Tabela 5 – Recobrimentos e quantidade de armaduras nas lajes ensaiadas por Vaz Rodrigues ........ 31

Tabela 6 – Propriedades do betão das lajes ensaiadas por Vaz Rodrigues ......................................... 31

Tabela 7 – Propriedades mecânicas das armaduras das lajes ensaiadas por Vaz Rodrigues ............ 32

Tabela 8 – Características do carregamento dos elementos testados por Vaz Rodrigues .................. 32

Tabela 9 – Características das armaduras dos elementos testados por Jäger .................................... 35

Tabela 10 – Propriedades do betão dos elementos testados por Jäger ............................................... 35

Tabela 11 – Propriedades das armaduras dos elementos testados por Jäger ..................................... 35

Tabela 12 – Características do carregamento dos elementos testados por Jäger ............................... 36

Tabela 13 – Resultados obtidos utilizando o Model Code 2010 para os diferentes ensaios

considerando o modelo correspondente à rotura por esforço transverso ...................................... 52

Tabela 14 – Resultados obtidos para os diferentes ensaios considerando o critério de rotura por

esforço transverso ......................................................................................................................... 53

Tabela 15 – Relação entre os resultados experimentais e os resultados obtidos para o critério de

esforço transverso ......................................................................................................................... 53

Tabela 16 – Resultados obtidos opara os diferentes ensaios para o critério de punçoamento ............ 58

Tabela 17 – Relação entre os resultados experimentais e os resultados obtidos para o critério de

punçoamento ................................................................................................................................. 58

xi

Abreviaturas

ACI 318-11 Código de Betão Estrutural em Edifícios da American Concrete Institute [2]

MC 2010 Model Code 2010 da fédération internationale du béton (fib) [3]

CSCT Teoria da Fissura Crítica, Critical Shear Crack Theory [4]

MCFT Teoria do Campo de Compressão Modificado, Modified Compression Field Theory [5]

SMCFT Teoria Modificada do Campo de Compressão Simplificada, Simplified Modified

Compression Field Theory [6]

EN 1992-1-1 Eurocódigo 2 – Projecto de Estruturas de Betão Parte 1-1 [7]

xii

Símbolos

𝐷!"# Dimensão nominal máxima dos agregados

𝐸! Módulo de elasticidade do betão

𝐸! Módulo de elasticidade do aço das armaduras

𝐸! Módulo de elasticidade do elemento segundo a direcção 𝑥

𝐸! Módulo de elasticidade do elemento segundo a direcção 𝑦

𝐸𝐼! Rigidez à flexão antes da fendilhação

𝐸𝐼! Rigidez à flexão tangencial após fendilhação

𝐺!" Módulo distorção planar do elemento

𝑀!" Momento flector actuante

𝑀!"#$. Momento flector calculado para um ensaio experimental

𝑀! Momento flector último actuante

𝑀!"#. Momento flector último obtido num ensaio experimental

𝑉! Componente de esforço transverso transferida por interbloqueamento dos agregados

𝑉! Componente de esforço transverso transferida por efeito de ferrolho

𝑉! Componente de esforço transverso transferida por efeito de arco

𝑉!!" Componente do esforço transverso de cálculo devido à zona de compressão inclinada

𝑉!" Componente do esforço transverso de cálculo devido à força de pré-esforço

𝑉!" Componente do esforço transverso de cálculo devido às armaduras traccionadas inclinadas

𝑉! Esforço transverso último actuante

𝑉!" Valor de cálculo do esforço transverso actuante

𝑉!", 𝑉! Valor de calculo da resistência do elemento ao esforço transverso/punçoamento

𝑉!"# Esforço transverso resistente de ensaio laboratorial

𝑉!"# Esforço transverso resistente de modelação numérica

xiii

𝑎 Distância da carga ao apoio

𝑎!" Área da secção das armaduras longitudinais

𝑏 Largura do elemento / Secção de controlo de esforço transverso

𝑏! Secção de controlo de esforço transverso

𝑏! Perímetro de controlo resistente ao punçoamento

𝑏! Perímetro de controlo básico de punçoamento

𝑐 Altura da zona de compressão

𝑐! Recobrimento das armaduras

𝑑 Altura útil do elemento

𝑑! Dimensão nominal máxima dos agregados

𝑑!! Dimensão de referência dos agregados

𝑑! Altura útil de corte do elemento

𝑓!, 𝑓!! Tensão de rotura do betão à compressão

𝑓!" Tensão de rotura do betão à tracção

𝑓! Tensão última à tracção do aço das armaduras

𝑓! Tensão de cedência à tracção do aço das armaduras

𝑓! Tensão de tracção principal

𝑓! Tensão diagonal de compressão

ℎ Espessura do elemento

𝑘 Factor que tem em conta o efeito de escala

𝑚! Momento flector actuante por unidade de largura

𝑚!" Momento fendilhação de um elemento por unidade de largura

𝑚! Momento resistente de um elemento por unidade de largura

𝑘!" Termo que tem em conta a dimensão nominal máxima do agregado

𝑟! Resistência relativa de um elemento

𝑠 Espaçamento entre fendas

𝑢 Perímetro de controlo

𝑣 Tensões de corte actuantes / Coeficiente de poisson

𝑥 Altura do eixo neutro

xiv

𝑤 Abertura / Largura da fenda

𝑧 Braço do binário das forças interiores

𝛼 Inclinação da face do elemento

𝛽 Factor de eficiência das armaduras longitudinais

𝜀, 𝜀! Extensão longitudinal

𝜀! Extensão última à tracção do aço das armaduras

𝜀! Extensão transversal de tracção

𝜀! Extensão de tracção principal

𝜀! Extensão diagonal de compressão

𝜇 Coeficiente de atrito entre as faces da fenda

𝜎! Tensões de contacto entre as faces da fenda

𝜌!, 𝜌! Taxa de armaduras transversais

𝜌, 𝜌! Taxa de armaduras longitudinais

𝜏! Tensão de corte limite

𝜏! Tensão de corte resistente

𝜃 Inclinação das tensões de compressão diagonais

𝜓, 𝜃 Rotação da laje

𝜙 Diâmetro da armadura de aço

∆𝑒 Excentricidade dos cabos de pré-esforço

𝜒!" Curvatura do elemento quando ocorre fendilhação

𝜒!" Decréscimo de curvatura devido ao efeito de tension stiffening

𝜒! Curvatura do elemento quando ocorre cedência das armaduras longitudinais

𝜒! Curvatura do elemento em regime estabilizado de fendilhação

1

1. Introdução

1.1 Problema

O problema da avaliação da resistência de elementos de betão armado ao esforço transverso tem

vindo a ser discutido já desde a génese deste material, podendo os trabalhos teóricos e

experimentais ser classificados como integrados em duas áreas principais: “esforço transverso” e

“punçoamento”.

Os modelos inicialmente concebidos, como o de Mörsch [8] [9], admitem que o encaminhamento das

forças de corte ocorre através da introdução de estribos fazendo com que os elementos funcionem

como uma treliça. Este modelo tem sido utilizado no dimensionamento de vigas, com algumas

alterações, até aos dias de hoje.

Ao contrário das vigas, que são elementos fortemente solicitados ao esforço transverso, em

elementos bidireccionais como as lajes, a solicitação fundamental não tem em geral a mesma

importância, o que dispensa frequentemente a utilização de armaduras transversais.

Um dos problemas associados ao estudo deste fenómeno é o estado do conhecimento ainda não ter

chegado a uma teoria que explique satisfatoriamente o encaminhamento das forças de corte em

elementos de betão armado sem armaduras transversais. Verifica-se também que os documentos

normativos da actualidade se baseiam, na generalidade, em modelos empíricos. Estas duas

ocorrências levam a que muitas lajes continuem a apresentar armaduras transversais, tanto

distribuídas ao longo da laje, como concentradas em zonas sujeitas a cargas concentradas ou

secções de dimensões elevadas, de modo a evitar o seu uso.

No que diz respeito a vigas e lajes sujeitas a esforço transverso, sem adopção de armaduras

transversais, têm sido desenvolvidas teorias baseadas em modelos racionais como a Modified

Compression Field Theory (MCFT) [5], recentemente adoptada no MC 2010, numa perspectiva de

apresentação de uma formulação unificada para os elementos com e sem armaduras transversais.

Quanto ao punçoamento de lajes sem armaduras transversais, a primeira aproximação racional

desenvolvida com sucesso foi a de Kinnunen e Nylander [10], que inspirou o trabalho de outros

investigadores. À semelhança da aproximação anterior, a Critical Shear Crack Theory (CSCT) [4] é

uma teoria baseada num modelo mecânico, que permite tratar o esforço transverso e o punçoamento

de forma semelhante, utilizando como parâmetro de controlo fundamental a deformação em regiões

críticas da laje. A aproximação para o punçoamento foi recentemente aplicada no MC 2010 numa

formulação unificada para o punçoamento de lajes com e sem armaduras transversais.

No presente trabalho irão descrever-se estas duas teorias, MCFT e CSCT, incluídas no MC 2010 e

compará-las com normas vigentes, como a EN 1992-1-1 [7] e a ACI 318-11 [2], no cálculo da

2

resistência de elementos de betão armado sem armaduras transversais sujeitos a esforço transverso

ou punçoamento.

1.2 Objectivos

O objectivo principal do presente documento é reunir uma colecção de ensaios experimentais bem

documentados, analisando e coligindo as mais recentes formulações para o cálculo da resistência ao

esforço transverso. De seguida, comparar-se-ão os resultados correspondentes às campanhas

experimentais com os correspondentes à aplicação dos documentos normativos referidos.

Analisar-se-á, igualmente, a influência no cálculo da resistência ao esforço transverso de parâmetros

como a geometria do carregamento e o vão de corte, na precisão de cálculo dos modelos utilizados.

1.3 Estrutura da dissertação

Esta dissertação está divida em 4 Capítulos.

No Capítulo 1 é efectuada a introdução ao trabalho realizado.

No Capítulo 2 é feita uma revisão da literatura publicada sobre o presente assunto. Apresenta-se uma

perspectiva histórica onde são revistos os modelos e contribuições mais importantes e pertinentes

para o actual estado do conhecimento. Ainda no Capítulo 2 é feita uma breve exposição dos modelos

de cálculo cuja aplicação se irá analisar.

No Capítulo 3 serão expostas as análises computacionais realizadas, bem como os resultados daí

decorrentes. Em primeiro lugar detalha-se a geometria dos elementos, bem como as propriedades

dos materiais e a forma como se modelaram no software de análise numérica. Ainda no Capítulo 3

são feitas algumas considerações adicionais acerca do processo de cálculo da capacidade de

resistente. Por fim, são apresentados os resultados obtidos para os modos de rotura analisados

(punçoamento e esforço transverso).

No Capítulo 4 são apresentadas as conclusões obtidas após análise dos resultados obtidos.

3

2. Revisão de Literatura

2.1 Perspectiva Histórica

2.1.1 Esforço Transverso e Punçoamento

O fenómeno relacionado com os “efeitos de corte” em elementos sem armadura transversal tem sido

estudado desde os primórdios da investigação na área do betão estrutural, tendo os trabalhos

teóricos e experimentais sido divididos em esforço transverso e punçoamento. Na Figura 2.1 e Figura

2.2 indicam-se, a título de exemplo, duas situações representativas destes modos de rotura.

Figura 2.1 – Exemplo do comportamento de uma laje em esforço transverso (retirado de [11])

Figura 2.2 – Exemplo do comportamento de uma laje em punçoamento (retirado de [11])

Na Figura 2.1 verifica-se que as forças de corte principais desenvolvem-se paralelamente ao longo

dos apoios, enquanto que na Figura 2.2 se desenvolvem radialmente em volta do apoio.

Mais à frente, na secção 3.5 discutir-se-á a representação das forças principais de corte dos

elementos em análise, de modo a identificar as zonas onde estas se propagam paralela ou

radialmente.

2.1.2 Mecanismos de encaminhamento das forças de corte

Em 1973, o relatório do comité 426 da ASCE-ACI [12], identifica quatro mecanismos de

encaminhamento das forças de corte:

- Por tensões de corte no betão não-fendilhado;

- Na interface (das fissuras), comummente designado como interbloqueamento dos agregados

(aggregate interlock) ou crack friction (atrito entre as faces da fenda), 𝑉!;

- Por efeito de ferrolho das armaduras longitudinais, 𝑉!;

4

- Por efeito de arco, 𝑉!.

Em 1998, o relatório do comité 445 da ASCE-ACI [13], sugere que tensões residuais de tracção entre

fendas também transmitem uma parcela de esforço transverso.

Os mecanismos mencionados encontram-se representados na Figura 2.3

Figura 2.3 – Forças internas presentes num elemento sem armaduras transversais (adaptado de [14])

O encaminhamento das forças de corte por tensões de corte no betão em estado não fendilhado é um

mecanismo pouco importante em elementos esbeltos ou com esforço axial reduzido visto a altura da

zona de compressão ser relativamente pequena.

Para os betões comuns, o encaminhamento das forças de corte através das fissuras dá-se

essencialmente pelo interbloqueamento dos agregados. O facto de, em geral, a fissura se propagar

“contornando os agregados” confere-lhe uma rugosidade que lhe permite resistir ao deslizamento. Os

parâmetros básicos envolvidos neste fenómeno são a tensão de corte, tensão axial, tamanho da

fissura e deslizamento da fissura. Este mecanismo foi reconhecido como um fenómeno importante de

encaminhamento das forças de corte por Fenwick, [15]. Walraven desenvolveu um modelo que tem

em conta a probabilidade dos agregados (de forma esférica) estarem salientes em relação à fissura

[16]. À medida que ocorre deslizamento, a matriz deforma-se plasticamente ao entrar em contacto

com tais agregados, gerando-se aí tensões de contacto 𝜎! e de atrito 𝜇 ∙ 𝜎! como se ilustra na Figura

2.4

5

Figura 2.4 – Modelo de interbloqueamento dos agregados de Walraven (adaptado de [16])

O efeito de ferrolho é tanto mais importante quanto maior for a quantidade de armaduras

longitudinais, especialmente quando as armaduras longitudinais estão distribuidas por mais de uma

camada. No entanto, verifica-se que a sua importância é menor em elementos com menor

percentagem de armaduras transversais visto a máxima força de corte mobilizada ser limitada pela

tensão de rotura à tracção do betão de recobrimento que suporta a armadura longitudinal.

A importância do efeito de arco relaciona-se directamente com o vão de corte 𝑎/𝑑, i.e., rácio entre a

distância da carga ao apoio e a altura útil do elemento. Verifica-se assim que vigas com baixos rácios

𝑎/𝑑 transmitem grande parte do esforço transverso através de uma escora directa entre a carga e o

apoio, o chamado apoio directo. Kani [17] deu um importante contributo na compreensão deste

fenómeno como se verá mais a frente.

Por fim, o encaminhamento das forças de corte por tensões de tracção residuais ocorre através de

fendas inclinadas com abertura inferior a 0.05 mm.

Opiniões variam acerca de qual dos mecanismos transmite maior parcela de carga. Em [18] Muttoni e

Schwartz apresentam os diferentes mecanismos de transferência de esforço através de modelos de

escoras e tirantes, no que seria uma das bases para o desenvolvimento da CSCT.

Figura 2.5 – Mecanismos de encaminhamento das forças de corte segundo [18] (Adaptado de [1])

Após a ocorrência da primeira fissura, o encaminhamento das forças de corte começa a desviar-se do

mecanismo elástico que pressupõe um comportamento homogéneo dos materiais. Caso se assuma

que não existe transferência de esforço transverso através das fissuras, o novo mecanismo pode ser

o representado na Figura 2.5 a). Este mecanismo foi inicialmente explicado por Kani em [17], como se

verá mais à frente, onde admite que depois de fissurado, o elemento de betão se divide em elementos

a) b) c)

6

que podem ser visualizados como consolas fixas na zona de compressão, solicitados pela armadura

traccionada. Outros mecanismos possíveis encontram-se representados na Figura 2.5 b) e c). A

Figura 2.5 b) representa o encaminhamento das forças de corte através do já explicado

interbloqueamento de agregados enquanto que a Figura 2.5 c) representa o já referido efeito de

ferrolho, onde se verifica a tranferência das forças por corte das armaduras longitudinais.

2.1.3 Contribuições mais relevantes

2.1.3.1 Esforço Transverso

O início da investigação do comportamento do betão ao esforço transverso começa em finais do

século XIX. Hennebique patenteou na Suíça, um método de construção que utilizava estribos em

forma de tiras de aço. Estes estribos eram abertos para facilitar a colocação das barras longitudinais,

a sua ancoragem era feita dobrando as tiras a 90 graus, Figura 2.6. Ritter apresentou este método de

construção na publicação Schweizerische Bauzeitung. Alguns anos mais tarde, Mörsch publicou um

manual no qual apresenta vários testes em elementos que apresentavam armaduras transversais

sobre a forma de estribos, varões longitudinais dobrados ou ambas, sendo também incluídos

elementos sem qualquer armaduras transversais [8], [9].

Na mesma publicação introduziu ainda o sistema resistente constituído por escoras e tirantes onde

admite que o betão fendilhado na alma de uma viga resiste a tensões de corte, 𝑣, apenas através de

tensões de compressão diagonais, 𝑓!, com uma inclinação de 45º graus em relação ao eixo

longitudinal da peça, Figura 2.7. As tensões de compressão diagonais têm um efeito de “separação

dos banzos”, provocando assim tracção nos estribos. Após cedência dos estribos, a viga deve resistir

a uma tensão de corte de 𝜌! ∙ 𝑓!. Neste modelo, a contribuição do betão à tracção é ignorada.

Figura 2.6 – Secção transversal de viga de betão armado dimensionada de acordo com método Hennebique

Figura 2.7 – Modelo treliça de Mörsch (adaptado de [8])

fyfyfyfy fy

v vf2f2 f2 f2

7

Novas teorias na resistência de elementos de betão ao esforço transverso sem armaduras

transversais apenas foram desenvolvidas na década de 50. A hipótese central na altura era que o

colapso do elemento seria provocado pelo esmagamento do betão na zona de compressão, cuja

resistência diminuiria com a propagação de fendas provocadas pelo esforço transverso. É no entanto

nas décadas de 60 a 80 que a investigação do fenómeno tem maior desenvolvimento. Em Estugarda

(1961), Leonhardt & Walther realizaram uma extensa campanha experimental e desenvolveram um

modelo que combina o efeito de arco e de viga [19]. Mostraram ainda que esses dois mecanismos

interagem, estando a importância de cada um relacionada com a esbelteza da viga.

No que diz respeito à resistência de elementos de betão ao esforço transverso com armaduras

transversais desenvolveram-se, no mesmo período, várias teorias a partir da modificação do modelo

de treliça de Mörsch. Kupfer (1964) indicou que as escoras podem apresentar uma inclinação inferior

a 45 graus [20]. Propõe ainda que a cedência dos estribos se dê ao mesmo tempo que das barras

longitudinais. Leonhardt & Mönig (1973) publicaram o manual Vorlesungen ueber Massivbau [21]

onde abordam o sistema de escoras e tirantes introduzido por Mörsch e introduzem um modelo de

treliça melhorado. Ensaios experimentais realizados pelos autores permitiram concluir que a

percentagem de armadura transversal influencia a quantidade e inclinação das fendas. Os autores

inferiram ainda a existência de um limite superior de resistência ao corte onde as escoras

comprimidas entre fendas inclinadas atingem a rotura antes da cedência das armaduras. Leonhardt et

al. (1973) mostraram também que a resistência ao corte aumenta com o grau de pré-esforço. Outros

desenvolvimentos notáveis nesta área foram mais tarde alcançados por Nielsen & Braestrup (1975) e

Schlaich et al. (1987).

Kani, em 1964, admitiu um mecanismo de transmissão de forças de uma viga de betão armado sem

armaduras transversais, onde as fissuras de flexão transformam o elemento numa estrutura com a

forma de um pente [17]. A zona em compressão corresponde a parte superior do pente enquanto que

a zona em tracção corresponde aos “dentes” do pente. Os “dentes” de betão eram assumidos como

consolas fixas na zona em compressão e carregadas horizontalmente por aderência das armaduras

longitudinais, Figura 2.9. Este mecanismo perdura desde que a capacidade dos dentes de betão não

seja excedida.

Figura 2.8 – Formação dos “dentes” de betão e forças internas em elemento de betão (adaptado de [17])

R

P

C

8

Após a resistência dos “dentes” de betão se encontrar esgotada, a transmissão de forças ocorre por

efeito do arco remanescente. Em certos casos a resistência do arco remanescente é superior à do

mecanismo inicial. Com base nesta teoria e na sua confirmação experimental, Kani apresentou um

diagrama relacionando a resistência relativa 𝑟! = 𝑀!"#./𝑀!"#$. com o vão de corte 𝑎/𝑑, Figura 2.9.

Neste diagrama em forma de vale, denota-se um mínimo local para o valor de 𝑎/𝑑 igual a 2.5, o

chamado ponto de transição, Figura 2.10. Para percentagens de armadura longitudinal mais baixas o

referido efeito é atenuado. De acordo com os resultados obtidos, o vale desaparece para valores

inferiores a cerca de 𝜌 = 0.50%.

Figura 2.9 – Mecanismos de encaminhamento das forças de corte (adaptado de [17])

Figura 2.10 – Resistência relativa vs. vão de corte e taxa de armaduras longitudinais (adaptado de [17])

Kani afirmou ainda que o maior obstáculo ao problema de comportamento ao esforço transverso é o

grande numero de parâmetros envolvidos, alguns dos quais poderiam, à data, nem ser conhecidos.

Vários trabalhos foram desenvolvidos com base neste modelo de “dentes” de betão proposto por

Kani. Em 1968, Fenwick & Paulay [15] referiram a importância de se considerarem as forças

transferidas através das fendas por interbloqueamentos dos agregados. Por sua vez Taylor, em 1974

[22], afirma que para testes de vigas normais, as percentagens de transferência de esforço transverso

pelos diversos mecanismos eram: 20-40% através da zona de compressão, 35-50% por

“interbloqueamento dos agregados” e 15-25% por efeito de ferrolho. Hamadi & Regan publicaram em

1980 uma análise de um modelo tipo “dente” onde consideram a transferência das forças de corte

através das fissuras [23]. Assumiram que as fissuras eram verticais e que o seu espaçamento

equivalia a metade da altura útil do elemento.

Resultados experimentais recentes [24] indicam que a percentagem encaminhamento de forças de

corte por atrito entre fissuras decresce com o aumento da deformação por flexão da secção,

reduzindo-se fortemente após a cedência das armaduras de flexão.

da

1.0

0

ru

min ruresistência do arco remanescente

resistência dos dentes de betão

resistência total em flexão

ad

min da

TR

vigas curtas vigas esbeltas

00

20

40

60

80

100

2 4 6 8

ѩ� ��

ѩ� ��

ѩ� ��

ѩ� ��

ѩ

Mfl

Mu

da

9

Em 1966, com o objectivo de testar a representatividade das formulações empíricas presentes na

maioria dos códigos de prática da altura, Kani testou 4 séries de vigas com 15, 30, 60 e 120

centímetros de altura (t=6, 12, 24 e 48 polegadas, Figura 2.11). Desses ensaios experimentais

concluiu que para o mesmo vão de corte, vigas com maiores alturas úteis apresentam menores

tensões de corte no colapso bem como menores resistências relativas, o chamado efeito de escala,

Figura 2.11 e Figura 2.12. Salientou ainda que caso os códigos da prática da altura fossem utilizados

para dimensionar a viga de 120 cm, ela teria um coeficiente de segurança 40 % inferior ao da viga de

15 cm.

Figura 2.11 – Tensão de corte na rotura 𝑣! vs. vão de corte 𝑎/𝑑 (adaptado de [25])

Figura 2.12 – Resistência relativa 𝑟! vs. vão de corte 𝑎/𝑑 (adaptado de [25])

Em 1990, o Model Code 90 do CEB-FIP [26], sugere uma formulação empírica baseada nos trabalhos

de Zsutty [27] e [28], com a adição de um termo adicional para ter em conta o efeito de escala. A

equação de Zsutty tinha em conta a influencia da tensão de rotura do betão à compressão e da taxa

de armaduras longitudinais.

O desenvolvimento da Compression Field Theory, por Mitchell & Collins em 1974 [29], representou

um importante passo para a obtenção de uma teoria racional. Esta teoria usa o estado de

deformações na alma para determinar a inclinação θ da tensão de compressão diagonal.

A relação fundamental é, 𝑡𝑎𝑛!𝜃 = (𝜀! + 𝜀!)/(𝜀! + 𝜀!) onde 𝜀! é a extensão longitudinal da alma, 𝜀! é a

extensão transversal de tracção na alma e 𝜀! a extensão diagonal de compressão, Figura 2.8. Como

𝜀! é frequentemente muito inferior a 𝜀!, o ângulo de inclinação dos campos de compressões 𝜃 pode

ser consideravelmente inferior a 45 graus, o que aumenta a resistência ao corte da alma. A introdução

de pré-esforço ou de compressão axial tem um efeito benéfico na resistência ao esforço transverso já

que reduz a extensão longitudinal da alma, 𝜀!.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

fc·� ��SVL

ѩ� ��

E� ��LQ�

0

100

200

300

400

500

600SVL

vu

W� ��··W� ��··W� ��··W� ��··

da

(IHLWR�GH�(VFDOD

da

Mfl

Mu

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

fc·� ��SVL

ѩ� ��

E� ��LQ�

W� ��··

W� ��··

W� ��··

W� ��··

ru=

10

Figura 2.13 – Extensões médias num elemento de betão fendilhado (adaptado de [5])

Uma das possíveis razões para explicar porque se demorou tanto a desenvolver uma teoria

adequada para a resistência ao corte é que os ensaios tradicionais consistiam numa viga

simplesmente apoiada, sujeita a carregamentos em um ou dois pontos. A região da viga entre os dois

pontos de carregamento está sujeita a flexão pura, enquanto que os vãos de corte estão submetidos

a esforço transverso constante e momento flector variável. Como o comportamento deste elemento

varia de secção para secção ao longo do vão de corte, é difícil utilizar os seus resultados como base

de um modelo teórico. Assim, se se procurar uma relação entre a magnitude da força de corte e a

extensão nos estribos, concluir-se-á que a extensão de cada estribo é diferente e também que varia

ao longo da altura do estribo.

Já a Modified Compression Field Theory, MCFT, como se verá mais à frente, foi desenvolvida

testando elementos de betão armado sujeitos a corte puro. Embora estes ensaios fossem mais

difíceis de executar, devido ao uso de um complexo equipamento de ensaio desenvolvido para

elementos de membrana, obtiveram-se resultados mais simples de interpretar, podendo mais

facilmente constituir a base de um modelo teórico mais consistente. O problema abordado pela MCFT

foi o de prever a relação entre as tensões axiais e de corte aplicadas num elemento membrana e as

extensões de corte e axiais daí resultantes.

2.1.3.2 Punçoamento

Como se mostrou, o comportamento do betão armado ao esforço transverso já era estudado desde

os primórdios da sua utilização (principalmente em elementos viga), no entanto a rotura por

punçoamento foi investigada sobretudo a partir de meados do século XX, altura em que sucederam

alguns colapsos estruturais importantes.

As contribuições mais importantes no âmbito do presente trabalho são resumidas nas seguintes

linhas.

Ʌɂ2

ɂx

ɂz

ɂ1

z

x

11

O método de cálculo da resistência ao corte através do uso de uma superfície de controlo foi

introduzido por Talbot [30]. No seu trabalho experimental testou sapatas quadradas carregadas de

forma centrada por uma coluna de secção quadrada. Verificou que as sapatas que colapsaram por

esforço transverso apresentavam superfícies de rotura a um ângulo de 45 graus com a vertical,

atingindo as armaduras longitudinais a uma distancia 𝑑 da face da coluna. Desenvolveu assim uma

superfície de controlo, de braço 𝑧, num perímetro de controlo de acordo com o formato da área de

carregamento e situado a uma distância 𝑑. Talbot concluiu ainda que o aumento da percentagem de

armaduras longitudinais resulta num aumento da capacidade de resistência ao corte.

Graf (1933) avaliou a resistência ao corte de lajes sujeitas a cargas concentradas próximas de apoios

[31]. As suas conclusões foram que a resistência decresce à medida que a carga se afasta dos

apoios e que a fissuração de flexão afecta a resistência ao corte.

Uma extensa campanha experimental foi realizada por Elstner & Hognestad em 1956, com testes a

34 lajes cuja rotura ocorreu por punçoamento [32]. Em dois espécimes, 50% da quantidade de

armaduras longitudinais concentrava-se sobre a coluna. Ao compararem esses dois espécimes com

outros nos quais a mesma quantidade de armaduras longitudinais era distribuída por toda a laje, os

autores concluíram que essa concentração de armaduras não resultava no aumento da resistência ao

punçoamento.

Em 1957, Whitney estudou os mecanismos de rotura de uma série de lajes fungiformes onde deduziu

que o colapso tinha ocorrido por insuficiente aderência das armaduras [33]. Propôs ainda uma teoria

onde a resistência ao esforço transverso dependia de uma “pirâmide” de rotura, que consistia numa

superfície piramidal e cujas faces propagavam da coluna com um ângulo de 45 graus.

Sven Kinnunen e Henrik Nylander (1960), desenvolveram no Royal Institute of Technology,

Estocolmo, um dos primeiros modelos racionais para a compreensão do comportamento das lajes na

zona de punçoamento [10].

A utilização deste modelo permite uma simples representação do comportamento em flexão da laje,

num diagrama força – rotação desde o início do carregamento até ao colapso, Figura 2.14. O

comportamento não-linear do betão e da armadura, assim como o critério de rotura, são considerados

de uma maneira bastante simples. Não obstante, este modelo já provou fornecer boas correlações

com resultados de ensaios experimentais.

Embora consistisse num modelo para prever a resistência ao punçoamento de elementos sem

armaduras transversais, rapidamente serviu de base para o desenvolvimento de modelos propostos

por outros investigadores, também incluindo armaduras transversais.

12

Figura 2.14 – Diagrama carga – rotação de acordo com o modelo proposto por Kinnunen & Nylander (adaptado de [34])

Figura 2.15 – Deformações na vizinhança da coluna e abertura da fissura crítica (adaptado de [10])

Em 1961, Moe estudou lajes com aberturas na vizinhança de colunas e concentração da armadura de

flexão em bandas sobre o apoio [35]. Concluiu que a concentração de armaduras longitudinais não

aumenta a resistência ao corte, mas que tem o efeito de aumentar a rigidez da laje bem como o nível

de carga a que ocorre o cedência das armaduras. Determinou ainda que a resistência ao

punçoamento é aproximadamente proporcional à raiz quadrada da tensão de rotura do betão à

compressão e dependente da relação entre a largura da coluna e a altura útil da laje.

Regan em 1971 [36], desenvolveu um método de cálculo da carga de rotura por punçoamento onde a

resistência deriva da zona em compressão do betão, do efeito de ferrolho, da armadura de flexão e,

caso esteja presente, da armadura de punçoamento. Em [37] ao rever campanhas experimentais

realizadas por outros investigadores, denotou que o aumento de parâmetros de resistência como a

tensão de rotura do betão à compressão ou da percentagem de armaduras não resultam num

aumento proporcional da resistência ao corte.

Bazant & Cao (1987) afirmam que, devido ao facto de a rotura por punçoamento ser um fenómeno

frágil, é possível usar as leis da mecânica da fractura para ter em conta o efeito de escala. Os seus

ensaios experimentais demonstraram que a tensão de corte do betão na rotura 𝜏!, diminui à medida

que a espessura da laje aumenta.

Em 1989, Shehata & Regan propõem um modelo racional para estimar a resistência ao punçoamento

de lajes baseado em observações experimentais bem como em simulações numéricas [38]. Segundo

os autores este modelo consistia uma evolução em relação ao modelo de Kinnunen & Nylander já que

inclui a contribuição do betão entre fendas. Mais tarde, com a contribuição de Gomes [39], foi incluída

no modelo a contribuição das armaduras transversais.

Em 1990, Marti reconhece que os métodos de dimensionamento da altura não providenciavam uma

compreensão básica de como as forças de corte eram transmitidas no interior das lajes. Desenvolve

então para lajes, um modelo análogo ao modelo treliça aplicado nas vigas, o modelo sandwich. Neste

modelo, as camadas exteriores destinam-se a transmitir os momentos e forças de membrana,

enquanto que o centro transmite as forças de corte, ver Figura 2.16 e Figura 2.17.

Rotura

Comportamento da laje

Critério de rotura

Carga aplicada

Rotação

d

ɗ

Abertura da fissura

13

Figura 2.16 – Modelo seccional de dimensionamento de vigas em betão armado (retirado de [40])

Figura 2.17 – Modelo sandwich para lajes de betão armado (adaptado de [3])

Em 1992, Alexander & Simmonds verificaram que o aumento das armaduras longitudinais que cruzam

a região da coluna podem originar colapsos por insuficiente amarração [41]. Estes colapsos têm a

particularidade de não se distinguirem externamente dos colapsos por punçoamento. Acreditavam por

isso que investigadores como Moe e Elstner & Hognestad identificaram erradamente o modo de

rotura em grande parte dos seus testes e que isso os impediu de observar uma melhoria da

resistência ao punçoamento de lajes com armaduras longitudinais concentradas sob a coluna.

Em 1994, Menétrey [42] desenvolve um modelo numérico para analisar a rotura por punçoamento de

lajes baseado no método dos elementos finitos. O modelo reproduz a não-linearidade do betão

armado por uma dissociação das acções do betão e da armadura. A carga de rotura de punçoamento

para lajes de betão com armaduras axissimétricas era prevista com boa precisão. Para lajes de betão

com armaduras ortogonais, o modelo previa uma carga de rotura inferior à dos ensaios. Esta

diferença residia no facto que o modelo ignorava a contribuição do efeito de ferrolho, que não pode

ser ignorada no caso das armaduras estarem dispostas ortogonalmente.

No início da década de 90, Broms apresenta também um desenvolvimento do modelo de Kinnunen &

Nylander [43], sugerindo ainda uma combinação de estribos e armaduras dobradas como sistema de

reforço ao punçoamento [44]. Segundo o autor, este sistema permitia uma maior capacidade de

deformação. Mais tarde em 2005, o autor resume grande parte da sua investigação num trabalho

sobre métodos de dimensionamento ao punçoamento de lajes fungiformes e sapatas com ou sem

armaduras transversais [45].

P. Marti · Kraftfluß in Stahlbetonplatten

86 Beton- und Stahlbetonbau 98, 2003, Heft 2

zuweichen, wie dies durch die Schlußlinien in Bild 1b für dasin Bild 1a dargestellte System angedeutet wird.

Durch Auftrennen eines Systems an den Querkraftnull-punkten entstehen einzelne Schnittkörper, wie in Bild 1cdargestellt. Der Kraftfluß im Innern der Schnittkörper kannmit Hilfe von Spannungsfeldern oder entsprechenden Fach-werkmodellen verfolgt werden (Bild 1d). Man erkennt, daßdie Querkräfte den Schlüssel zum Verständnis des Kraftflus-ses in Stabtragwerken liefern.

Gestützt auf die Vorstellung von Spannungsfeldern lassensich für Tragwerksbereiche, in denen keine sprunghaftenÄnderungen der Schnittgrößen und Querschnittswerte auf-treten, vereinfachte Bemessungsmethoden entwickeln. Bei-spielsweise ergeben sich gemäß Bild 2 unter Voraussetzungeines unter dem Winkel ! zur Trägerachse geneigten Druck-spannungsfeldes im Stegbeton für einen parallelgurtigenTräger mit vertikalen Bügeln die Gurtkräfte

(1)N Md

V2

+ cot2v

± !

und der erforderliche Bügelwiderstand pro Längeneinheitbeträgt

(2)

wobei dv den Abstand der Gurtkräfte bezeichnet.

3 Gleichgewichtsbedingungen für Platten

Kräftegleichgewicht in z-Richtung an dem in Bild 3 darge-stellten Plattenelement verlangt

(3)

Gleichgewicht der Momente liefert

(4)

und durch Einsetzen von Gl. (4) in Gl. (3) ergibt sich mit mxy = myx

(5)∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2 2

22 0m

x

mx y

m

yqx xy y + + + =

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

mx

my

v

mx

my

v

x xyx

yy

+ – =

+ – =

0

0yx

∂∂

∂∂

vx

vy

qx y + + = 0

Vdv

tan!

V

Schlußlinie

M

a)

b)

c)

d)

q8

2

q

q

Bild 1 Statisch unbestimmter Träger: (a) System und Belastung; (b) Schnittgrößen; (c) Spannungsfelder; (d) FachwerkmodellFig. 1 Statically indeterminate beam: (a) system and loading; (b) sectionalforces and moments; (c) stress fields; (d) truss model

V

M

N

VαV cot α

d2v

d2v

Mdv

V cot α2

N2

Mdv

V cot α2

N2

cot αdv

Bild 2 Querschnittsweise BemessungFig. 2 Sectional dimensioning

ym∂y∂ dyym dx

xm∂x∂ dxxm dy

xym∂y∂ dyxym dx

yxm∂x∂ dxyxm dy

dyxm

dxym

dxxym

dyyxm

dx

dyq dx dy

y

z

xv∂x∂ dxxv dy

yv∂y∂ dyyv dx

dyxv

dxyv

x

Bild 3 Differentielles PlattenelementFig. 3 Differential slab element

22yxo vvv +=

ѡcot22

2

o

xxxinf,supx v

vz

mnn +±=

ѡcot22

2

o

yyyinf,supy v

vz

mnn +±=

ѡcot2

yxxyxyinf,supxy

vvmnn +±=

z

nynxy vynxnyx vx myx

mx

mxymx z 2 ov

14

2.2 Revisão dos Modelos Actuais Mais Representativos

Na presente secção rever-se-ão os modelos de determinação da resistência ao esforço transverso e

punçoamento aplicados aos casos estudados.

2.2.1 Simplified Modified Compression Field Theory [6]

Com vista a estudar a relação entre a tensão de compressão diagonal 𝑓! e a extensão de compressão

diagonal, Vecchio e Collins [5] testaram 30 painéis de betão armado sujeitos a tensões biaxiais numa

inovadora célula de carga. Com estes ensaios descobriram que 𝑓! é função não só de 𝜀! mas também

da extensão de tracção principal 𝜀!. Descobriram também que, mesmo após grande fendilhação

diagonal, ainda existem tensões de tracção no betão entre fendas, que combinadas com as tensões

de corte presentes nas faces das fendas, aumentam a capacidade do betão fendilhado resistir ao

corte.

Quando as noções da Compression Field Theory [29] foram modificadas para ter em conta as

tensões de tracção principais médias no betão fendilhado, 𝑓!, foram criadas as relações de equilíbrio,

geométricas e constitutivas da MCFT [5]. Na Figura 2.18 estão representadas as 15 equações

utilizadas na MCFT. A hipótese simplificativa central da teoria é que a direcção média da tensão de

compressão principal no betão fendilhado coincide com a direcção média da extensão de compressão

principal e que as fendas críticas estão também inclinadas nesta direcção. De notar que neste

contexto, extensões médias referem-se a extensões medidas ao longo de, pelo menos, uma distância

igual ao espaçamento entre fendas. As tensões médias são calculadas considerando os efeitos nas e

entre as fendas, sendo distintas das tensões calculadas nas fendas.

Visto a resolução das 15 equações da MCFT ser um processo bastante moroso e só possível através

do uso de um programa de computador apropriado, foi derivada uma versão simplificada através da

qual a resistência ao corte de um elemento pode ser facilmente calculada [6].

Segundo Bentz et al. [6], após introdução de algumas hipóteses que concernem às propriedades

mecânicas do elemento membrana, a expressão geral para o cálculo da tensão resistente ao corte é

obtida através do rearranjo e combinação das Equações (2) e (5) da Figura 2.18:

𝑣 = 𝑣! + 𝑣! = 𝛽 𝑓!! + 𝜌!𝑓! 𝑐𝑜𝑡 𝜃 2.1

Rearranjando e combinando as Equações (2) e (14) da Figura 2.18 e a Equação 2.1, o valor de 𝛽 é:

𝛽 =0.33 𝑐𝑜𝑡 𝜃1 + 500𝜀!

2.2

15

Figura 2.18 – Equações da Modified Compression Field Theory (retirado de [6])

De igual modo, as Equações (5), (15) da Figura 2.18 e a Equação 2.1 determinam que 𝛽 satisfaça:

𝛽 ≤0.18

0.31 + 24𝑤(𝑎! + 16) 2.3

A largura da fenda, 𝑤, é calculada como o produto do espaçamento entre fendas, 𝑠!, com 𝜀!. O termo

𝑎! representa a dimensão nominal máxima do agregado em mm.

O espaçamento entre fendas, 𝑠!, depende das características de controlo de fendilhação das

armaduras na direcção longitudinal e transversal, 𝑠! e 𝑠! respectivamente. Como hipótese

simplificativa, Bentz et al. [6] admitem 𝑠! e 𝑠! como as distâncias verticais e horizontais entre

armaduras, nas direcções 𝑥 e 𝑧, respectivamente. Para os elementos em estudo (sem armaduras

transversais) 𝑠! toma o valor de 𝑠!/ sin 𝜃.

A equação 2.3 pode então tomar a seguinte forma:

𝛽 ≤0.18

0.31 + 0.686𝑠!"𝜀!/ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 2.4

com

𝑠!" =35𝑠!

𝑎! + 16 2.5

16

Em elementos construídos em betão de alta resistência, as fendas provocam a rotura dos agregados

em vez de provocar a rotura da matriz à sua volta, nestes casos 𝑎! deve tomar o valor de zero. Para

elementos sem armadura transversal, o máximo valor de 𝛽 ocorre quando se igualam as equações

2.2 e 2.4 [46], o que resulta na seguinte equação:

𝑡𝑎𝑛 𝜃 =0.568 + 1.258𝑠!"𝜀!/ 𝑠𝑖𝑛 𝜃

1 + 500𝜀! 2.6

Na Figura 2.19 está representado, a cheio, a maneira como esta equação exprime a variação da

inclinação 𝜃 com 𝜀! para diferentes valores de 𝑠!".

A relação entre 𝜀! e 𝜀! obtém-se através do rearranjo das equações (6) e (7):

𝜀! = 𝜀! 1 + 𝑐𝑜𝑡! 𝜃 + 𝜀!(1 + 𝑐𝑜𝑡! 𝜃) 2.7

Ao se admitir que 𝜌! e 𝑓! são zero, que devido às tensões de compressão desses elementos serem

pequenas 𝜀! é aproximadamente igual a 𝑓!/𝐸! [6] e que 𝐸! pode ser tomado como 4950 𝑓!! [MPa], as

equações (2), (3) e 2.7 podem ser rearranjadas e combinadas para se obter:

𝜀! = 𝜀! 1 + 𝑐𝑜𝑡! 𝜃 +𝑐𝑜𝑡! 𝜃

15000(1 + 500𝜀!) 2.8

Esta equação está igualmente representada na Figura 2.19 a tracejado.

Figura 2.19 – Determinação dos valores de beta e teta (retirado de [6])

Figura 2.20 – Comparação entre valores da MCFT e da Simplified MCFT (retirado de [6])

17

Da análise desta Figura pode-se concluir que à medida que 𝑠!" aumenta os valores de 𝛽, e assim a

resistência, diminuem. Esta constatação vai ao encontro aos ensaios experimentais realizados na

década de 60 [25], onde foi descoberto que vigas de betão armado de grandes dimensões sem

armaduras transversais atingem a rotura quando sujeitas a tensões de corte inferiores a vigas

semelhantes de inferiores dimensões, o chamado efeito de escala.

A explicação física é que, visto fendas de maiores dimensões estarem associadas a uma menor força

de interbloqueamento de agregados [16], qualquer factor que aumente o valor da dimensão da fenda,

𝑤, irá certamente diminuir a capacidade de resistência ao corte. Assim, se o espaçamento entre

fendas, 𝑠 ou 𝑠!", aumentar devido à construção de um maior elemento, o valor de 𝑤 aumentará

devido à relação 𝑤 = 𝜀 ∙ 𝑠 e por conseguinte, a sua resistência diminuirá [47].

Para além de 𝑠!", como está patente nas Equações 2.4 e 2.8, 𝛽 também depende de 𝜀!, denominado

por Bentz et al. como strain effect [6]. Segundo os autores este efeito traduz o facto que, se a

extensão longitudinal média no betão fendilhado aumentar devido a, e.g., tensão aplicada, então 𝛽

assim como a resistência ao corte diminuirão. Apesar de menos conhecido, o strain effect tem é de

comparável importância ao efeito de escala [47].

Estes dois efeitos apresentam uma relação de interdependência, no entanto, na versão simplificada

da MCFT, Eq. 2.9 [6], 𝛽 é calculado através do produto destes dois efeitos.

𝛽 =0.4

1 + 1500𝜀!∙

13001000 + 𝑠!"

2.9

Quanto ao ângulo de inclinação das fendas, 𝜃, a expressão simplificada é [6]:

𝜃 = 29º + 7000𝜀! 0.88 +𝑠!"2500

≤ 75º 2.10

Na Figura 2.20 está presente a comparação entre os valores obtidos pela MCFT, para elementos sem

armaduras transversais, e pela expressão simplificada da MCFT.

2.2.2 Critical Shear Crack Theory

A teoria da Fissura Crítica, CSCT, foi desenvolvida por A. Muttoni em 1985 na Escola Politécnica

Federal de Zurique, sendo mais tarde integrada como modelo de cálculo da resistência ao

punçoamento na norma suíça SIA 162 [48]. Posteriormente, com a melhoria do modelo de cálculo, foi

também possível a sua aplicação na determinação de resistência ao esforço transverso e

punçoamento em vigas e lajes sem armadura transversal na norma SIA 262 [49]. Mais ensaios

experimentais permitiram validar os seus resultados bem como extender a sua aplicação a casos

como lajes com armaduras de punçoamento ou punçoamento não simétrico.

Esta teoria foi baseada na hipótese que a resistência ao corte em elementos sem armadura

transversal depende da abertura e da rugosidade de uma fissura que se propaga através da biela

inclinada de compressão que transmite o esforço transverso [50] [51].

18

De acordo com [50], admitindo como grau de liberdade a rotação da laje numa zona próxima da

coluna, a resistência ao esforço transverso reduz-se com o aumento da rotação. Uma análise mais

detalhada do fenómeno [52] revela que a contribuição do betão à tracção é determinante para

pequenas rotações (quantidades elevadas de armadura longitudinal, alturas úteis baixas) enquanto

que para rotações moderadas a altas, é a tensão de interface (interbloqueamento de agregados) que

domina na resistência ao corte, Figura 2.22. De notar ainda que efeito de ferrolho não se considera

devido à fragmentação do betão de recobrimento.

Figura 2.21 – Comparação da banda de rotura com os critérios de rotura da CSCT (valores médios e característicos) (adaptado de [53])

Figura 2.22 – Contribuições para resistência ao corte das tensões de interface e do betão em tracção para a resistência ao corte (adaptado de [52])

O comportamento de uma laje sem armadura transversal pode ser estimado através do critério de

rotura, Figura 2.21. Para isso, é necessário caracterizar o comportamento da laje através da sua

curva carga-rotação na região da coluna ou carga. A intersecção das duas curvas permite calcular

tanto a carga de rotura 𝑉! como a rotação de rotura 𝜓! o que possibilita determinar a capacidade de

deformação e o carácter dúctil ou frágil do elemento.

A curva carga-rotação pode ser calculada de várias maneiras:

• Fórmulas analíticas, para casos simples (axi-simétricos);

• Fórmulas simplificadas baseadas nas equações analíticas;

• Métodos numéricos baseados em diferenças finitas ou elementos finitos

No presente trabalho, a curva carga-rotação irá ser calculada com recurso a métodos numéricos

baseados em elementos finitos.


Para lajes sem armaduras transversais o parâmetro decisivo é a abertura nominal das fendas na zona

crítica. O modelo estima a abertura das fendas supondo que a zona crítica está localizada numa

secção distanciada 0.5 ∙ 𝑑 da carga/apoio e a 0.6 ∙ 𝑑 da face comprimida do betão. A outra hipótese

banda de rotura

critério de roturavalores médios

critério de roturavalores característicos

00

0.2

0.4

0.6

0.8

0.1 0.2 0.3

ɒɒc

ɗ d kdg [mm]

betão em tracção

interbloqueamentodos agregados

critério derotura

ѩ�HOHYDGR

ɒɒc

ɗ d kdg [mm]

ѩ�UHGX]LGR

19

admitida em [4] é que a abertura de fissuras na zona crítica é proporcional ao produto da extensão

longitudinal pela altura útil, 𝜀 ∙ 𝑑. De acordo com estas hipóteses, a expressão proposta para a

determinação da extensão longitudinal é:

𝜀 =𝑚!

𝑑 ∙ 𝜌 ∙ 𝐸! ∙ (𝑑 − 𝑥/3)∙0.6 ∙ 𝑑 − 𝑥𝑑 − 𝑥

2.11

Onde 𝜌 é a taxa de armaduras longitudinais, 𝐸! o módulo de elasticidade das armaduras longitudinais,

𝑚! o momento flector actuante na zona crítica e 𝑥 a altura da zona comprimida dada por:

𝑥 = 𝑑 ∙ 𝜌 ∙𝐸!𝐸!∙ 1 +

2 ∙ 𝐸!𝜌 ∙ 𝐸!

− 1 2.12

Com 𝐸! o módulo de elasticidade do betão.

Assim, a resistência ao esforço transverso é dada por:

𝜏 =𝑉!𝑏 ∙ 𝑑

=𝜏!

0.9 + 2.3 ∙ 𝜀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!" 2.13

Com 𝜀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!" em mm, onde a tensão nominal de corte do betão 𝜏! = 0.3 ∙ 𝑓! com a tensão de rotura

do betão à compressão 𝑓! em MPa e o termo que tem em conta a influência da dimensão máxima do

agregado 𝑘!" igual a

𝑘!" =48

𝐷!"# + 16 2.14

Com 𝐷!"# a dimensão nominal máxima do agregado em mm.

Como se pode observar na Figura 2.23, a Equação 2.13 prevê satisfatoriamente resultados

experimentais. Vigas fracamente armadas, de grande altura útil e com agregados de pequeno

diâmetro demonstram frequentemente inferior resistência ao esforço transverso.

Figura 2.23 – Comparação entre o critério de rotura e ensaios experimentais de vigas submetidas a cargas pontuais (adaptado de [4])

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 2.20

ɂ�� [mm]

ɒɒc

20


Para lajes sem armaduras transversais a resistência ao punçoamento é dada como uma função das

deformações na zona crítica. De acordo com [18] a abertura da fissura crítica relaciona-se com 𝜃 ∙ 𝑑.

A resistência ao punçoamento pode então ser expressa como função de 𝜃 ∙ 𝑑:

𝜏! =𝑉!𝑢 ∙ 𝑑

=𝜏!

0.4 + 0.125 ∙ 𝜃 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!" 2.15

Com 𝜃 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!" em mm, 𝑢 o perímetro de controlo localizado a uma distância de 0.5 ∙ 𝑑 da carga/apoio,

a tensão nominal de corte do betão 𝜏! = 0.3 ∙ 𝑓! em MPa e os restantes termos já definidos

anteriormente. A representação desta Equação está presente na Figura 2.24, que como se pode

observar apresenta uma satisfatória correlação com ensaios experimentais

Figura 2.24 –Comparação entre o critério de rotura e ensaios experimentais de punçoamento (adaptado de [4])

2.2.3 ACI 318-11


Para lajes sem armaduras transversais, o método de cálculo proposto no ACI 318-11 consiste na

verificação da tensão de corte na secção efectiva, distanciada de 0.5 ∙ 𝑑 da carga/apoio. São

apresentadas duas equações consoante se pretenda um cálculo mais ou menos rigoroso. A

expressão mais detalhada é:

𝑉! = 0.16 ∙ 𝑓!! + 17 ∙ 𝜌! ∙𝑉! ∙ 𝑑𝑀!

∙ 𝑏!,!"# ∙ 𝑑 ≤ 0.29 ∙ 𝑓!! ∙ 𝑏!,!"# ∙ 𝑑 2.16

Onde 𝑓!! representa a tensão de rotura do betão à compressão, 𝜌! a taxa de armaduras longitudinais,

𝑉! o esforço transverso último actuante na secção considerada, 𝑀! o momento flector último actuante

na secção considerada, 𝑑 altura útil da laje e 𝑏! a largura da secção de controlo da laje. O termo !!∙!!!

deverá ter um valor máximo de 1.

Ʌ�� [mm]0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ʌ

ɒɒc

21

A expressão simplificada é obtida a partir da anterior, considerando que o termo 17 ∙ 𝜌! ∙!!∙!!!

é igual a

0.01 ∙ 𝑓!!, resultando assim:

𝑉! = 0.17 ∙ 𝑓!! ∙ 𝑏!,!"# ∙ 𝑑 2.17


Para lajes sem armaduras transversais, o método de cálculo proposto no ACI 318-11 consiste na

multiplicação da área situada a um perímetro de controlo por uma tensão de corte admissível. A

equação proposta é a seguinte:

𝑉! =13∙ 𝑓!! ∙ 𝑏!,!"# ∙ 𝑑 2.18

Onde 𝑏! é o perímetro de controlo definido a uma distância de 𝑑/2 da face da carga/apoio, 𝑑 altura

útil da laje e 𝑓!! a tensão de rotura do betão à compressão em MPa.

No ACI 318-11 é ainda permitido utilizar um perímetro de controlo de forma rectangular caso se trate

de uma coluna, carga concentrada ou reacção de formato quadrado ou rectangular.

2.2.4 Eurocódigo 2 (EN 1992-1-1)


O método de cálculo proposto pela EN 1992-1-1 para lajes sem armadura transversal é baseado, com

algumas variações, na equação do Model Code 90. Ao contrário da ACI 318-11, na EN 1992-1-1 tem-

se em conta o efeito de escala. A equação proposta é a seguinte:

𝑉! = 0.18 ∙ 𝑏!,!"! ∙ 𝑑 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌 ∙ 𝑓!)!/! ≥ 𝑣!!" ∙ 𝑏!,!"! ∙ 𝑑 2.19

Onde 𝑏! representa secção de controlo, 𝑑 a altura útil da laje, 𝑓! a tensão de rotura do betão à

compressão em MPa, 𝜌 a taxa de armaduras longitudinais (com um limite máximo de 2%), 𝑘 o factor

que tem em conta o efeito de escala, 𝑘 = 1 + !""!≤ 2.0 e 𝑣!"# uma tensão mínima resistente (devido

ao facto de a equação tender para 0 com taxas de armaduras longitudinais baixas) definida por:

𝑣!"# = 0.035 ∙ 𝑘!/! ∙ 𝑓!!/! 2.20


O método de cálculo proposto pela EN 1992-1-1 para lajes sem armadura transversal é baseado na

formulação anterior. Foi no entanto feito um ajuste ao perímetro de controlo para que o método

coincida com os resultados dos testes nos quais é baseado. A equação proposta é a seguinte:

22

𝑉! = 0.18 ∙ 𝑏!,!"! ∙ 𝑑 ∙ 𝑘 ∙ (100 ∙ 𝜌 ∙ 𝑓!)!/! ≥ 𝑣!"# ∙ 𝑏!,!"! ∙ 𝑑 2.21

Onde 𝑏! representa o perímetro de controlo, definido a uma distância de 2𝑑 da face da carga/apoio,

tendo os restantes parâmetros sido definidos na formulação anterior.

2.2.5 Model Code 2010

2.2.5.1 Níveis de aproximação

Antes de expor quais as bases teóricas dos modelos presentes no MC 2010 para o cálculo de

resistência ao corte das estruturas de betão armado, é conveniente explicar um novo conceito

presente nestas formulações, referente ao “nível de aproximação”, já que altera a maneira como são

aplicadas.

Muitos engenheiros experientes da actualidade, projectam estruturas seguindo uma lógica de níveis

de aproximação, isto é, numa primeira fase de projecto adoptam valores menos precisos para as

dimensões da estrutura, de modo a que esta primeira aproximação seja rápida e fácil de obter. Depois

de a estrutura ter dimensões calculadas, o engenheiro parte para uma análise mais pormenorizada,

alterando dimensões ou adoptando diferentes soluções estruturais de modo a obter uma maior

economia na construção.

Os actuais documentos normativos têm por vezes tendência a apresentar formulações muito

extensas e complicadas de aplicar, particularmente se os modelos resultam de uma base empírica,

podendo a sua aplicação tornar-se demasiado complexa para ser aplicada numa fase preliminar do

projecto. Por outro lado, caso se esteja perante um problema complexo ou numa fase mais avançada

do projecto, onde é em geral necessária maior precisão, este tipo de modelos pode não fornecer uma

avaliação satisfatória.

Foi devido a este problema que no MC 2010, os modelos que permitem o cálculo da resistência ao

corte empregam teorias que se baseiam em modelos físicos, permitindo assim implementar com

facilidade vários níveis de aproximação, de modo a que o projectista possa ajustar a precisão em

função do tempo que deseja ou seja necessário dispender na análise, como se ilustra na Figura 2.25.

Figura 2.25 – Abordagem de níveis de aproximação: tempo dedicado a uma análise vs. precisão (adaptado de [54])

níveis de aproximação

precisão

IIIIIIIV

tempo dedicadoà análise

23

Como se verá seguidamente, devido ao facto de serem baseadas em modelos físicos, apenas a

precisão com que os parâmetros mecânicos são estimados varia entre níveis de aproximação, o que

permite usar a mesma expressão geral para todos os níveis de aproximação.


O método de cálculo da resistência ao esforço transverso do MC 2010 é baseado na já referida

MCFT. Para a resistência ao esforço transverso de elementos sem armaduras transversais são

definidos 2 níveis de aproximação para o parâmetro 𝑘!.

A resistência ao esforço transverso de elementos sem armaduras transversais é então definida como:

𝑉!" = 𝑘! ∙ 𝑓! ∙ 𝑧 ∙ 𝑏!,!" 2.22

Onde 𝑏! é a secção de controlo definida como exemplifica a Figura 2.26, 𝑧 o braço do binário das

forças interiores, 𝑓! a tensão de rotura do betão à compressão em MPa e 𝑘! dado, para o nível de

aproximação II, por:

𝑘! =0.4

1 + 1500 ∙ 𝜀!∙

13001000 + 𝑘!" ∙ 𝑧

2.23

Onde 𝜀! representa a extensão longitudinal e 𝑘!" a medida de rugosidade das fendas definida como:

𝑘!" =32

16 + 𝑑!≥ 0.75 2.24

Sendo 𝑑! a dimensão nominal máxima do agregado em mm. A extensão longitudinal deve ser

calculada da seguinte maneira:

𝜀! =1

2𝐸!𝐴!𝑀!"

𝑧+ 𝑉!" + 𝑁!"

12∓∆𝑒𝑧

2.25

Onde 𝐸! representa o módulo de elasticidade das armaduras longitudinais, 𝐴! a área de armaduras

longitudinais na secção em análise, 𝑀!" o momento flector actuante, 𝑉!" o esforço transverso

actuante, 𝑁!" o esforço axial aplicado e ∆𝑒 a excentricidade dos cabos de pré-esforço, caso existam.

O processo de cálculo do esforço transverso resistente é iterativo e começa com a escolha de uma

primeira aproximação para o valor de 𝜀!. De seguida, calcula-se o valor de 𝑘! e de 𝑉!". Com base no

valor de 𝑉!! calculado, determina-se o correspondente 𝑀!" de maneira a que a relação !!"!!"

se

mantenha constante. Com base nestes dois valores, determina-se um novo valor de 𝜀!. O processo

iterativo termina quando o valor da extensão longitudinal convergir.

Na Equação 2.25 os valores introduzidos de 𝑀!" e 𝑉!" devem ser positivos, já que, como se referiu,

apenas se tem de garantir que a relação !!"!!"

se mantém constante para cada passo de iteração.

24

Figura 2.26 – Localização e comprimento da secção de controlo 𝑏! para a determinação da resistência ao esforço transverso de lajes sujeitas a cargas concentradas (retirado de [3])

A Equação 2.23 representa o cálculo definido para o nível de aproximação III. Verifica-se que o nível

de aproximação I consiste numa simplificação desta expressão, admitindo-se que a extensão ao nível

das armaduras longitudinais é o valor associado ao momento de cedência, tomando 𝜀! o valor de

𝑓!"/(2𝐸!) ou 1.25×10!!. Substituindo este valor na Equação 2.23, o parâmetro 𝑘! é dado pela

seguinte expressão:

𝑘! =180

1000 + 1.25𝑧 2.26


O método de cálculo da resistência ao punçoamento do MC 2010 para lajes sem armaduras

transversais é baseado na CSCT, como tal, a resistência ao punçoamento depende da rotação da

laje. A rotação é estimada através da relação entre a carga de dimensionamento e a resistência da

laje à flexão. Para efeitos de dimensionamento basta verificar que a resistência ao punçoamento

calculada é superior à actuante, 𝑉!" ≥ 𝑉!", no entanto, a resistência última da laje ao punçoamento

apenas se obtém quando os dois valores se igualam. Este modo de cálculo é uma consequência da

CSCT se basear num critério de rotura.

A grande diferença para a CSCT reside na utilização dos já referidos níveis de aproximação. Para o

cálculo da resistência ao punçoamento foram definidos 4 níveis de aproximação. O nível de

aproximação I deve ser utilizado para efectuar um pré-dimensionamento rápido, o nível II é

recomendado para o dimensionamento habitual de uma estrutura nova, o nível III para casos de

dimensionamento particulares bem como para verificação da segurança de estruturas existentes e,

por fim, o nível IV é recomendado para quando se deseja maior pormenor/rigor nos casos onde o

nível III é aplicado. Os autores sugerem que se deve esperar uma melhoria significativa apenas em

casos onde se verifiquem reduzidas taxas de armaduras longitudinais sobre as cargas/apoios ou

quando se prevêem grandes redistribuições de momentos entre as cargas/apoios e as regiões de

meio-vão [54]. Devido ao facto de o nível de aproximação III estar calibrado para ser utilizado no

cálculo da resistência ao punçoamento de lajes fungiformes apoiadas em pilares, neste trabalho irá

apenas ser aplicado o nível de aproximação IV.

25

A resistência ao punçoamento para lajes sem armaduras transversais é então definida como:

𝑉!" = 𝑘! ∙ 𝑓! ∙ 𝑏!,!" ∙ 𝑑! 2.27

Onde 𝑏! é o perímetro de controlo definido a uma distância de 𝑑/2 da face da carga/apoio, 𝑑! altura

útil de corte da laje, 𝑓! a tensão de rotura do betão à compressão em MPa e 𝑘! dado por:

𝑘! =1

1.5 + 0.9 ∙ 𝜓 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!"≤ 0.6 2.28

Onde 𝑑 é a altura útil em mm, 𝜓 a rotação da laje e 𝑘!" o factor que tem em conta a dimensão

nominal máxima do agregado dado por:

𝑘!" =32

16 + 𝑑!≥ 0.75 2.29

Com 𝑑!, a dimensão nominal máxima do agregado em mm.

Para o nível de aproximação IV, a rotação deve ser calculada com base numa análise não linear da

estrutura, tendo em conta a fissuração, efeitos da contribuição do betão entre fendas (tension

stiffening), cedência das armaduras longitudinais, entre outros efeitos não lineares para que se

obtenha uma avaliação mais rigorosa da capacidade resistente ao punçoamento.

26

3. Análises efectuadas

No presente capítulo descreve-se a geometria e propriedades/características das lajes cujos testes

laboratoriais foram analisados. O software utilizado nas análise de elementos finitos foi o ANSYS,

tanto para o pré processamento como para o pós processamento, utilizando o elemento em casca de

4 nós, “shell43”.

3.1 Ensaios de Latte – TUHH [55]

3.1.1 Geometria

Na seguinte figura está ilustrada a planta e perfis das lajes VK1, VK2, VK3 e VK4 bem como a

geometria do carregamento.

Figura 3.1 – Geometria e posição do carregamento na laje VK1 (em baixo) e VK2 (em cima) – [mm]

Figura 3.2 – Geometria e posição do carregamento na laje VK3 (em baixo) e VK4 (em cima) – [mm]

Na seguinte figura estão representadas as armaduras longitudinais das lajes VK1 e VK2

27

Figura 3.3 – Esquema simplificado das armaduras superiores (em cima) e inferiores (em baixo) presentes na laje VK1 – [mm]


Na seguinte figura estão representadas as armaduras longitudinais das lajes VK3 e VK4



28

3.1.2 Propriedades dos Materiais/Carregamentos

Tabela 1 – Recobrimento e quantidade de armaduras nos elementos testados por Latte

Ensaio Recobrimento

𝑐!

[mm]

Armaduras longitudinais

superiores


inferiores (consola)


inferiores (tabuleiro)

𝜙 [mm]

𝑎!" [cm2/m]

𝜌! [%]

𝜙 [mm]

𝑎!" [cm2/m]

𝜌! [%]

𝜙 [mm]

𝑎!" [cm2/m]

𝜌! [%]

VK1 45 16@100 20.1 0.81 12@100 11.3 0.46 16@100 20.1 0.81

VK2 25 16@80 25.1 1.16 12@100 11.3 0.52 12@100 11.3 0.52

VK3 25 16@80 25.1 1.16 12@100 11.3 0.52 12@100 11.3 0.52

VK4 25 16@100 20.1 1.20 12@100 11.3 0.68 12@100 11.3 0.68

Com 𝑑 medido ao nível do apoio.

Tabela 2 – Propriedades do betão dos elementos testados por Latte

Ensaio Idade de teste

[dias] 𝑓!

[MPa] 𝑓!"

[MPa] 𝐸!

[GPa]

VK1 46 35.0 2.85 29.17

VK2 45 46.0 3.42 33.99

VK3 44 46.5 3.34 33.34

VK4 36 42.5 3.23 32.49

Tabela 3 – Propriedades das armaduras dos elementos testados por Latte

𝜙 [mm]

𝑓!

[MPa] 𝑓!

[MPa] 𝜀! [%]

𝑓!𝑓!

- 𝐸!

[GPa]

12 550 607 5.09 1.11 195

16 554 646 11.61 1.17 195

29

Tabela 4 – Características do carregamento dos elementos testados por Latte

Ensaio 𝑑

[m]

Carregamento inicial

(extremidade da consola) Carregamento pontual Carga de

rotura

[kN]

𝑓!

[kN/m]

𝑒

[m]

𝑎

[m]

𝑎/𝑑

-

VK1 0.247 32.1 1.5 0.71 2.87 690

VK2 0.217 22.5 1.5 0.71 3.27 678

VK3 0.217 22.5 1.5 0.71 3.27 677

VK4 0.167 - - 0.71 4.25 487


3.1.3 Modelação

Modelou-se a consola solicitada com 1.8 m, conforme se representa na Figura 3.7. Um

encastramento total foi introduzido numa das extremidades do elemento. Na outra extremidade foi

aplicada a carga de faca, equitativamente distribuída sobre o total de nós pertencentes à linha de

simetria do perfil metálico de carregamento. A carga pontual aplicada em cada análise foi

equitativamente distribuída pelos nós situados na área interna à célula de carga.

No modelo linear os elementos shell têm a dimensão de 0.05x0.05m e, caso se verificasse, com

espessura variando linearmente de acordo com a geometria real da laje testada.

No modelo não-linear os elementos shell têm a dimensão de 0.10x0.10m, superior devido à sua maior

exigência computacional. Pelo mesmo motivo, nas lajes de espessura variável foram definidas várias

secções, cada uma com espessura constante de acordo com a geometria da laje testada.

Em ambos os modelos, os elementos de espessura variável encontram-se alinhados pelo seu eixo

gravítico.

Figura 3.7 – Figura esquemática do modelo das lajes VK1-VK4 utilizado na alálise linear de elementos finitos

30

3.2 Ensaios de Vaz Rodrigues – EPFL [1]

3.2.1 Geometria

Na seguinte figura está ilustrada a planta e secção transversal das lajes DR1c e DR2c bem como a

geometria do carregamento.

Figura 3.8 – Geometria e posição do carregamento nas lajes DR1c e DR2c – [mm]

Nas seguintes figuras estão representadas as armaduras longitudinais presentes nas lajes:

31

Figura 3.9 – Esquema simplificado das armaduras superiores (à esquerda) e inferiores (à direita) presentes na laje DR1c – [mm]

Figura 3.10 – Esquema simplificado das armaduras superiores (à esquerda) e inferiores (à direita) presentes na laje DR2c – [mm]


Tabela 5 – Recobrimentos e quantidade de armaduras nas lajes ensaiadas por Vaz Rodrigues

Ensaio Recobrimento

𝑐!

[mm]

Armaduras longitudinais superiores Armaduras longitudinais inferiores

𝜙

[mm]

𝑎!"

[cm2/m]

𝜌!

[%]

𝜙

[mm]

𝑎!"

[cm2/m]

𝜌!

[%]

DR1c 30 16@75 25.13 0.78 12@150 7.54 0.22

DR2c 30 14@75 20.53 0.60 12@150 7.54 0.22


Tabela 6 – Propriedades do betão das lajes ensaiadas por Vaz Rodrigues


[dias] 𝑓!

[MPa] 𝑓!"

[MPa] 𝐸!

[GPa]

DR1c 114 40.8 3.1 36.2

DR2c 112 42.4 3.1 37.5

32

Tabela 7 – Propriedades mecânicas das armaduras das lajes ensaiadas por Vaz Rodrigues

𝜙 [mm]

𝑓!

[MPa] 𝑓!

[MPa] 𝜀! [%]

𝑓!𝑓!

-

12 DR1c 541 629 9.05 1.16

12 DR2c 469* 580 5.19 1.24

14 505 591 11.1 1.17

16 499 600 10.7 1.20

* Tensão limite de proporcionalidade a 0.2 %

Tabela 8 – Características do carregamento dos elementos testados por Vaz Rodrigues

Ensaio 𝑑 [m]

Carregamento pontual

Carga de rotura

[kN] 𝑎

[m] 𝑎/𝑑

-

DR1c 0.342 1.30 3.80 910.0

DR2c 0.343 1.30 3.79 719.4


3.2.3 Modelação

Foram introduzidos apoios simples móveis em todos os nós que se encontravam na zona apoiada

pelo bloco de betão, não sendo utilizadas molas não lineares que permitem forças de levantamento

visto ter-se verificado que a magnitude destas era bastante reduzida. Foi ainda introduzido um

encastramento total na zona sujeita a pré-esforço vertical de fixação como se pode observar na

Figura 3.11 e Figura 3.13.

Figura 3.11 – Pormenor dos ensaios experimentais DR1c e DR2c (adaptado de [1]) – [mm]

A carga total aplicada em cada análise foi equitativamente distribuída pelos nós situados na área

interior à placa de carga.

33

No modelo linear os elementos shell têm a dimensão de 0.05x0.05m e a espessura destes varia

linearmente de acordo com a geometria real da laje testada, Figura 3.12.

No modelo não-linear os elementos shell têm a dimensão de 0.1x0.1m, superior devido à maior

exigência computacional deste. Pela mesma razão, foram definidas 14 secções diferentes, cada uma

com espessura constante de acordo com a geometria da laje testada, Figura 3.13.

Em ambos os modelos, os elementos de espessura variável encontram-se alinhados pelo seu eixo

gravítico.

Figura 3.12 – Figura esquemática do modelo das lajes DR1c e DR2c utilizado na alálise de elementos finitos

Figura 3.13 – Condições de apoio do modelo das lajes DR1c e DR2c utilizado na alálise de elementos finitos

Q

34

3.3 Ensaios de Jäger - ETHZ [56]

3.3.1 Geometria

Na seguinte figura está ilustrada a planta e perfis das lajes B3V1 e B5V1 bem como a geometria do

carregamento.

Figura 3.14 – Geometria e posição do carregamento nas lajes B3V1 e B5V1 – [mm]

As armaduras longitudinais consistem em varões de 30 mm de diâmetro com dispositivos de

amarração. Nas seguintes figuras estão apenas representadas as armaduras longitudinais superiores

das lajes visto estas não terem armaduras longitudinais inferiores:

35

Figura 3.15 – Esquema simplificado das armaduras superiores presentes na laje B3V1 – [mm]

Figura 3.16 – Esquema simplificado das armaduras superiores presentes na laje B5V1 – [mm]


Tabela 9 – Características das armaduras dos elementos testados por Jäger

Ensaio Recobrimento

𝑐! [mm]

Armaduras longitudinais superiores Armaduras longitudinais inferiores

𝜙 [mm]

𝑎!" [cm2/m]

𝜌! [%]

𝜙 [mm]

𝑎!" [cm2/m]

𝜌! [%]

B3V1 30 30@200 + 30@200 70.69 1.75 - - -

B5V1 30 30@150 47.12 1.06 - - -

Tabela 10 – Propriedades do betão dos elementos testados por Jäger


[dias]

𝑓!

[MPa]

𝑓!"

[MPa]

𝐸!

[GPa]

B3V1 276 53.7 3.9 36.0

B5V1 168 51.8 4.14 33.9

Tabela 11 – Propriedades das armaduras dos elementos testados por Jäger

𝜙 [mm]

𝑓!

[MPa] 𝑓!

[MPa] 𝜀! [%]

𝑓!𝑓!

- 𝐸!

[GPa]

30 533.6 613.7 12.47 1.15 209.8

36

Tabela 12 – Características do carregamento dos elementos testados por Jäger

Ensaio 𝑑

[m]

Carregamento

Carga de rotura

[kN]

𝑎

[m]

𝑎/𝑑

-

B3V1 0.405 1.6 3.95 1211

B5V1 0.435 1.6 3.68 1099

3.3.3 Modelação

Apenas se modelou a consola solicitada com 1.9 m pela mesma razão referida em 3.1.3. Um

encastramento total foi aplicado numa das extremidades do elemento. Na outra extremidade foi

introduzida a carga de faca, equitativamente distribuída sobre o total de nós interiores à área da viga

de carregamento como se pode observar na Figura 2.8.

No modelo linear os elementos shell têm a dimensão de 0.05x0.05m. Os elementos de espessura

variável encontram-se alinhados pelo seu eixo gravítico.

Como nestas lajes não é à partida considerada a rotura por punçoamento, não foi feito um modelo

não-linear para o cálculo das rotações.

Figura 3.17 – Figura esquemática do modelo das lajes B3V1 e B5V1 utilizado na alálise linear de elementos finitos

37

3.4 Elementos de espessura variável

Para além de serem elementos sujeitos ao tipo de fenómeno estudado neste texto, verifica-se que a

grande maioria dos tabuleiros de pontes em betão armado tem espessura variável, em geral superior

nas zonas próximas do apoio nas vigas longitudinais. Os documentos normativos mais recentes

fazem referência a métodos de dimensionamento de elementos de espessura variável como é

exemplo a EN 1992-1-1, a norma alemã DIN 1045-01, a ACI 318-11 e mais recentemente o MC 2010.

Na ACI 318-11, apenas está incluída um breve referência aos efeitos das zonas de compressão

inclinadas, enquanto que na EN 1992-1-1, na DIN 1045-01 e no MC 2010, essa contribuição aparece

explicada com algum detalhe. Na Figura 3.18 está representada a exposição feita pela DIN 1045-01:

Figura 3.18 – Componentes de esforço transverso para elementos de espessura variável (adaptado de [57])

A fórmula de dimensionamento ao esforço transverso é a seguinte:

𝑉!" = 𝑉!"! − 𝑉!!" − 𝑉!" − 𝑉!" ≤ 𝑉!" 3.1

Onde 𝑉!" o valor de cálculo do esforço transverso, 𝑉!"! o valor de cálculo do esforço transverso

devido a cargas permanentes e variáveis, 𝑉!!" a componente devido à zona de compressão inclinada

do valor de cálculo do esforço transverso, 𝑉!" a componente devido a armaduras traccionadas

inclinadas do valor de cálculo do esforço transverso, 𝑉!" a componente devido à força de pré-esforço

do valor de cálculo do esforço transverso e 𝑉!" o valor de cálculo do esforço transverso resistente.

No presente trabalho, devido ao facto de não existirem cabos de pré-esforço nem armaduras

longitudinais traccionadas inclinadas, a fórmula resulta em:

𝑉!" = 𝑉!"! − 𝑉!!" ≤ 𝑉!" 3.2

Com

𝑉!!" =𝑀!"

𝑧∙ 𝑡𝑎𝑛 𝛼 3.3

Onde 𝑀!" é o valor de cálculo do momento flector actuante, 𝛼 a inclinação da face do elemento e 𝑧 o

braço do binário das forças interiores que se pode admitir igual a 0.9 ∙ 𝑑.

Rombach et al. [57] afirmam que ensaios experimentais e análises de elementos finitos revelam que

elementos de espessura variável apresentam em geral um padrão de fendilhação diferente do

Vtd

Vpd

MEd

VEd0

NEd

FcdVccd

Fsd

Fpd

VEd1 2

3 4 5

c

(1) eixo da força de compressão(2) eixo neutro(3) centro de gravidade(4) eixo das armaduras longitudinais(5) eixo da força de pré-esforço

38

verificado em elementos de betão armado com espessura constante. Dizem ainda que de um ponto

de vista mecânico, é duvidoso que este diferente comportamento possa ser modelado através da

componente 𝑉!!" atrás referida.

Por esta razão, e por se ter modelado a variação de espessura, alinhando os elementos segundo o

seu eixo gravítico, os resultados dos elementos com espessura variável serão apresentados em

duplicado, i.e., com e sem a contribuição da componente 𝑉!!".

39

3.5 Campos de Corte

Para uma melhor compreensão da trajectória das forças de corte no interior das lajes de betão

armado interessa definir e explicar o conceito de campos de corte. Este conceito permite uma

representação gráfica que pode ajudar o engenheiro a decidir qual o comportamento/modo de rotura

da laje a dimensionar.

Como se sabe da teoria de lajes, o equilíbrio de forças verticais exprime-se por 𝑞 = !"!!"+ !!!

!" e da

equação de equilíbrio de momentos resulta:

𝑣! =𝑑𝑚!

𝑑𝑥+𝑑𝑚!"

𝑑𝑦

𝑣! =𝑑𝑚!

𝑑𝑦+𝑑𝑚!"

𝑑𝑥

3.4

Sendo que as forças de apoio nos bordos e as forças de canto se podem exprimir por 𝑟! = 𝑣! +!!!"!"

e

𝑅! = 2 ∙𝑚!", respectivamente.

O fluxo de corte principal pode ser representado em cada ponto da laje como um vector de

componentes 𝑣! e 𝑣!. A amplitude do fluxo corte principal pode ser calculada por 𝑣!"! = 𝑣!! + 𝑣!!,

fazendo um ângulo com o eixo 𝑥 de 𝜃 = arctan !!!!

. Por outro lado, como se ilustra na Figura 3.19, o

fluxo de corte principal deve estar em equilíbrio com o esforço transverso principal, que se desenvolve

num plano perpendicular à direcção principal do fluxo de corte principal. Um método vantajoso para

representar os campos de corte foi proposto por [1] onde as linhas paralelas às direcções principais

do campo de corte são desenhadas com uma espessura proporcional à amplitude do esforço

transverso principal, 𝑣!"!, Figura 3.20.

Figura 3.19 – Fuxo de corte e esforço transverso principal (retirado de [58])

Figura 3.20 – (a) amplitude e direcção do esforço transverso principal; (b) representação gráfica (retirado de [58])

Os campos de corte podem ser obtidos por meio das Equações 3.4 a partir dos campos de momentos

em equilíbrio com as acções exteriores e respeitando as condições de fronteira. A Figura 3.22 mostra

dy dx = dy · tan(ѡ)

Esforço transverso principal νtot

νy

νtotνx

θ

θνtot

)b()a(

Direcções principaisdo campo de corte

40

um exemplo de uma laje apoiada em dois lados, a carga é transmitida unicamente na direcção 𝑥,

resultando por isso o seguinte campo de momentos:

𝑚! =

𝑞 ∙ 𝑙!

81 −

4 ∙ 𝑥!

𝑙!

𝑚! = 𝑚!" = 0

3.5

Através da Equação 3.4, podem-se determinar os seguintes esforços transversos:

𝑣! =𝑑𝑚!

𝑑𝑥+𝑑𝑚!"

𝑑𝑦= −𝑞 ∙ 𝑥

𝑣! =𝑑𝑚!

𝑑𝑦+𝑑𝑚!"

𝑑𝑥= 0

3.6

Sendo que o campo de corte resultante é o da Figura 3.21c.

Figura 3.21 – Laje apoiada em dois lados submetida a carregamento uniforme: (a) esquema de carregamento; (b) campos de momentos; (c) campo de corte correspondente (retirado de [58])

Um outro exemplo foi ilustrado por Marti em [59], o caso de uma laje rectangular apoiada nos seus

quatro cantos e submetida a duas cargas de faca em dois bordos como está ilustrado na Figura 3.22.

A solução equilibrada, dada por Marti é:

𝑚! =𝑞 ∙ 𝑙4

1 −4 ∙ 𝑥!

𝑙!

𝑚!! =𝑞𝑙∙ 𝑥 ∙ 𝑦

𝑚! = 0

3.7

Através da Equação 3.4, podem-se determinar os seguintes esforços transversos:

𝑣! =𝑑𝑚!

𝑑𝑥+𝑑𝑚!"

𝑑𝑦= −

𝑞𝑙∙ 𝑥

𝑣! =𝑑𝑚!

𝑑𝑦+𝑑𝑚!"

𝑑𝑥=𝑞𝑙∙ 𝑥

3.8

y

x

(a)

q

mx

my

mxy

)c()b(

l l

41

Figura 3.22 – Laje quadrada apoiada nos seus quatro cantos submetida a duas cargas de faca (retirado de [58])

Figura 3.23 – Campo de corte da laje da Figura 3.22 (retirado de [58])

O campo de corte correspondente está representado na Figura 3.23. Da análise desse campo de

corte, salienta-se que a carga não se transmite directamente aos apoios pelo caminho mais curto.

Uma parte da carga é transmitida aos bordos não carregados, sendo depois transmitida aos apoios.

Segundo o campo de corte, cada bordo transmite 50% da reacção de apoio correspondente.

Vaz Rodrigues [1] desenvolveu um método de representação dos campos de corte no software

MATLAB através da análise das componentes 𝑣! e 𝑣! em cada nó. Esse método foi aplicado às lajes

analisadas no presente trabalho. A representação dos campos de corte ajuda a averiguar qual o

modo de rotura expectável para cada laje.

Figura 3.24 – Campo de corte obtido para a laje VK1 Figura 3.25 – Campo de corte obtido para a laje VK2

q

ll

Esforço transversono bordo

50 %50 %

VK1

Esfo

rço

Tran

sver

so

Punç

oam

ento

VK2Es

forç

o Tr

ansv

erso

Punç

oam

ento

42

Figura 3.26 – Campo de corte obtido para a laje VK3 Figura 3.27 – Campo de corte obtido para a laje VK4

Figura 3.28 – Campo de corte obtido para a laje DR1c Figura 3.29 – Campo de corte obtido para a laje DR2c

VK3

Esfo

rço

Tran

sver

so

Punç

oam

ento

VK4

Esfo

rço

Tran

sver

so

Punç

oam

ento

DR1c

Punç

oam

ento

Esfo

rço

Tran

sver

so

DR2cEs

forç

o Tr

ansv

erso

Punç

oam

ento

43

Figura 3.30 – Campo de corte obtido para a laje B3V1 Figura 3.31 – Campo de corte obtido para a laje B5V1

Da análise das figuras anteriores verifica-se que em redor da carga pontual, as forças de corte

principais se propagam radialmente, o que é consistente com o comportamento de punçoamento. Por

outro lado, na zona oposta à carga, no apoio, as forças de corte principais propagam-se

paralelamente, o que é consistente com o comportamento de esforço transverso.

Por estes motivos vão-se analisar as lajes admitindo o critério de esforço transverso na zona do apoio

e o critério de punçoamento na região envolvente da carga.

B3V1

Esfo

rço

Tran

sver

so

B5V1

Esfo

rço

Tran

sver

so

44

3.6 Modelo Não Linear

O modelo utilizado para o cálculo da relação momento-curvatura foi o modelo quadrilinear, como

definido em [50]. Este modelo será utilizado apenas para medir as rotações da laje devido ao

carregamento aplicado.

Assumindo que a influencia das armaduras longitudinais pode ser desprezada na fase pré

fendilhação, o momento de fendilhação pode ser estimado como:

𝑚!" =𝑓!" ∙ ℎ!

6 3.9

A rigidez antes da fendilhação pode-se exprimir como:

𝐸𝐼! =𝐸! ∙ ℎ!

12 3.10

O que leva a uma curvatura de:

𝜒!" =𝑚!"

𝐸𝐼!=2 ∙ 𝑓!"ℎ ∙ 𝐸!

3.11

Depois de ocorrida a fendilhação, a rigidez da laje diminui. Se se adoptar um comportamento elástico

linear para o betão e as armaduras, desprezando a resistência à tracção do betão e a contribuição do

betão entre fendas, a rigidez após a fendilhação pode ser estimada como:

𝐸𝐼! = 𝜌 ∙ 𝛽 ∙ 𝐸! ∙ 𝑑! ∙ 1 −𝑐𝑑

∙ 1 −𝑐

3 ∙ 𝑑 3.12

Onde 𝑐, a altura da zona de compressão é definida como:

𝑐 = 𝜌 ∙ 𝛽 ∙𝐸!𝐸!∙ 𝑑 ∙ 1 +

2 ∙ 𝐸!𝜌 ∙ 𝛽 ∙ 𝐸!

− 1 3.13

Onde 𝛽 é um factor de eficiência que tem em conta a disposição das armaduras longitudinais. Este

factor será tomado igual a 1 como será explicado mais a frente.

Caso se assuma um comportamento rígido-plástico para o betão, o momento resistente será

calculado por

𝑚! = 𝜌 ∙ 𝑓! ∙ 𝑑! ∙ 1 −𝜌 ∙ 𝑓!2 ∙ 𝑓!

3.14

A contribuição do efeito de tension stiffening é estimada por:

𝜒!" =𝑓!"

𝜌 ∙ 𝛽 ∙ 𝐸!∙16 ∙ ℎ

3.15

O que faz com que a curvatura no início do estado fendilhado seja:

𝜒! =𝑚!"

𝐸𝐼!− 𝜒!" 3.16

E a curvatura em cedência:

45

𝜒! =𝑚!

𝐸𝐼!− 𝜒!" 3.17

Apresenta-se a Figura 2.8 para uma melhor compreensão do comportamento da secção e das

variáveis definidas.

Figura 3.32 – Relação Momento-Curvatura para uma secção de betão armado genérica

A rotina de análise não linear consiste numa sucessão de análises elásticas lineares. Após cada

análise são verificados os esforços presentes na secção do elemento e actualizadas as suas

propriedades mecânicas, nomeadamente a rigidez de flexão equivalente, 𝐸𝐼, e de corte, 𝐺𝐴, de

acordo com as relações momento-curvatura calculadas. Em cada iteração, caso o momento calculado

seja superior ao momento de fendilhação, o módulo de distorção planar é reduzido para 𝐺!" =!!∙

𝐸! ∙ 𝐸! ∙!

!∙ !!!. O coeficiente de !

! aplica-se para ter em conta a redução da rigidez ao corte planar

[1], [60] dispensando assim a utilização do factor 𝛽 atrás referido. Visto a redução do módulo de

elasticidade poder fazer com que a matriz tensão-deformação fique negativa, o coeficiente de Poisson

foi considerado igual a zero [1], sendo que esta consideração tem uma reduzida influência no

comportamento da estrutura. O processo iterativo pode parar quando a diferença entre os

deslocamentos num ponto é considerada baixa, o que geralmente acontece em geral para 𝑛 ≥ 15

iterações. O fluxograma que resume o processo de cálculo está representado na Figura 3.33.

EI0EI1

mcr

mR

m

ѯcr ѯ1 ѯy ѯ

Bilinear

Quadrilinear

ѯTS

46

Figura 3.33 – Fluxograma do modelo de análise não-linear de elementos finitos

Para comprovar a validade da análise não-linear de elementos finitos foram comparados os

deslocamentos obtidos nos ensaios experimentais com os deslocamentos obtidos pela simulação. Os

resultados são apresentados da Figura 3.34 à Figura 3.37 e mostram uma boa relação entre os

deslocamentos medidos e calculados para a generalidade dos casos analisados.

Figura 3.34 – Comparação entre os deslocamentos obtidos no ensaio experimental e no modelo não-linear da laje DR1c

Figura 3.35 – Comparação entre os deslocamentos obtidos no ensaio experimental e no modelo não-linear da laje DR2c

Análise elástica linear

Leitura de esforços presentes nos elementos

Actualização das propriedades mecânicas

Relações momento-curvatura calculadas

Cálculo de rotações e deslocamentos

Início:Material não fendilhado com

E0 e G0

Diferença entre passo i e i-1 é pequena?

Não

FimSim

EnsaioModelo Não Linear

30 6 9 12 15 18 21 24 27 30

1000

800

600

400

200

0

w [mm]

Q [kN]

30 6 9 12 15 18 21 24 27 30

1000

800

600

400

200

0


w [mm]

Q [kN]

47

Figura 3.36 – Comparação entre os deslocamentos obtidos no ensaio experimental e no modelo não-linear das lajes VK1 e VK2

Figura 3.37 – Comparação entre os deslocamentos obtidos no ensaio experimental e no modelo não-linear das lajes VK3 e VK4

Embora se tenha modelado de maneira semelhante o comportamento de todas as lajes da série VK,

a relação entre os deslocamentos medidos e calculados para a laje VK3 foi pior que para as restantes

lajes da série.

A razão pela qual o modelo não-linear de elementos finitos apenas foi utilizado para medir as

rotações da laje foi devido às redistribuições de esforços que ocorrem no interior da laje, fazendo com

que existam variações muito bruscas e grandes picos de valores como se pode observar na Figura

3.38 e Figura 3.40. Verificou-se que o uso destas distribuições de esforços levaria à obtenção de

resultados pouco consistentes.

Um método para contornar este problema foi proposto em [61], que consiste numa interpolação por

média móvel de 4 pontos ou numa interpolação polinomial do 6º grau da curva de esforços. Embora

se trate apenas de uma aproximação, visto não garantir em rigor uma solução equilibrada, este

método foi testado no presente trabalho. Verificou-se então ao aplicar a interpolação polinomial do 6º

grau nos resultados obtidos que a distribuição de esforços dos modelos não lineares apenas variam

significativamente em relação à distribuição de esforços dos modelos lineares, para níveis de carga

perto da carga de rotura (visto ser onde ocorrem as maiores redistribuições). No caso da CSCT,

devido ao facto desta teoria utilizar um critério de rotura, este método não trará um aumento

significativo da precisão de cálculo. Isto acontece pois caso o critério de rotura intersecte a curva de

carregamento em níveis de carga elevados a estimativa é já bastante satisfatória. Optou-se

consequentemente por não se utilizar este método.


VK2 V1

VK1 V1

00 10 20 30 40 50 60 70 80

200

400

600

800

1000

w [mm]

Q [kN]EnsaioModelo Não Linear

VK3 V1

VK4 V1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

200

0

400

600

800

1000

w [mm]

Q [kN]

48

Figura 3.38 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje DR1c, Q = 910 kN

Figura 3.39 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje DR1c, Q = 789.6 kN

Figura 3.40 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje VK1, Q = 690 kN

Figura 3.41 – Análise do esforço transverso actuante a d/2 do apoio da laje VK1, Q = 600 kN

500 100

150

200

250

300

350

400

450

Interpolação polinomial

Q = 910 kN

Modelo não linearModelo linear

vtot [kN

]

500 100

150

200

250

300

350

400

450

vtot [kN

]


Q = 789.6 kN


0

100

200

300

400

500

v tot [

kN]


Q = 690 kN


0

100

200

300

400

500

v tot [

kN]


Q = 600 kN


49

3.7 Resultados

3.7.1 Esforço Transverso

3.7.1.1 Critical Shear Crack Theory

Os principais parâmetros são determinados como referido em 2.2.2.1. O cálculo da resistência ao

esforço transverso resume-se assim à intersecção de um diagrama carga-extensão com o critério de

rotura.

Devido ao facto de nos ensaios de Vaz Rodrigues a direcção de esforço transverso principal na

secção crítica não coincidir a direcção das armaduras longitudinais adoptou-se, como também

proposto pelo autor em [1], o esforço transverso actuante igual a 𝑣! = 𝑣!! + 𝑣!!, sendo 𝜃 o ângulo do

esforço transverso principal com o eixo 𝑥 como se pode observar na Figura 3.19. Nestas análises o

momento actuante, 𝑚!, corresponde ao momento flector na direcção do esforço transverso principal

tendo em conta a lei de transformação tensorial. A extensão na direcção do esforço transverso

principal obtém-se através multiplicação da extensão longitudinal pelo factor !!"#! !!!"#! !

. Como nos

restantes casos a direcção do esforço transverso principal na secção crítica coincide com a direcção

das armaduras longitudinais, estas considerações são desnecessárias.

Para se traçar o diagrama correspondente ao carregamento foram efectuadas várias análises

elásticas lineares para diferentes níveis de carga.

Para cada nível de carga calculou-se o valor de 𝜀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!" através da Equação 2.11, com 𝑑 medido a

uma distância de 0.5 ∙ 𝑑 do apoio. Calculou-se ainda o parâmetro !!!= !

!∙!∙!!, com !

!= 𝑣!, o esforço

transverso medido na zona crítica extraído da análise numérica (solução linear) e 𝜏! = 0.3 ∙ 𝑓!.

Depois de obtidas a curva !!!

vs. 𝜀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑘!" marca-se o ponto correspondente e assim sucessivamente

até se obter uma recta, como se pode observar na Figura 3.42. A curva que se observa na mesma

figura corresponde ao critério de rotura, definido pela Equação 2.13. A intersecção das duas linhas

define o ponto que fornece a estimativa da resistência do elemento ao esforço transverso. Esta

estimativa obtém-se depois de se multiplicar o valor obtido !!∙!∙!!

por 𝑏! ∙ 𝑑 ∙ 𝜏!. A secção de controlo,

𝑏!, pode-se determinar de acordo com [1] por 𝑏! =!

!!"#, onde 𝑄 representa a carga aplicada na laje e

𝑣!"# o valor do esforço transverso resultante desse carregamento na zona crítica. Refere-se ainda

que caso se tenha em conta a redução da força de corte devido à componente 𝑉!!", também o valor

de 𝑏! se alterará.

O resumo dos resultados obtidos para os ensaios experimentais realizados por Latte são

apresentados da Figura 3.42 à Figura 3.45, sendo que o diagrama do carregamento tem em conta a

redução da força de corte devido à componente 𝑉!!". O valor de 𝑉!"# apresentado é obtido através

dos cálculos atrás expostos.

50

Figura 3.42 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje VK1




Como se pode observar, as curvas carga-deformação são, de facto, rectas. Isto acontece devido ao

facto das deformações terem sido calculadas através do modelo linear de elementos finitos.

O resumo dos resultados obtidos para os ensaios experimentais realizados por Vaz Rodrigues são

apresentados na Figura 3.46 e Figura 3.47.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Vmod = 394.4 kN

Critério de RoturaModelo

ɂ��dg [mm]

ɒɒc

Vexp = 690 kN

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V�� = 408.6 kN


Vexp = 678 kN

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V��= 456.8 kN


Vexp = 677 kN

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V�� = 341.2 kN


Vexp = 487 kN

51

Figura 3.46 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje DR1c

Figura 3.47 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje DR2c

E por fim os resultados obtidos por Jäger:

Figura 3.48 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje B3V1

Figura 3.49 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura da CSCT para a laje B5V1

3.7.1.2 Model Code 2010

Para o cálculo da resistência ao esforço transverso segundo o MC 2010 foi implementada a rotina

descrita em 2.2.5.2. Denota-se ainda que o valor da secção de controlo utilizado é o definido no MC

2010, como foi referido em 2.2.5.2.

Os resultados bem como os valores dos parâmetros mais importantes estão apresentados na

seguinte tabela.

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V��= 880.0 kN


Vexp = 910 kN

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V��= 793.2 kN


Vexp = 719.4 kN

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V�� = 957.1 kN


Vexp = 1211 kN

ɂ�� [mm]

ɒɒc

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

V�� = 825.4 kN


Vexp = 1099 kN

52

Tabela 13 – Resultados obtidos utilizando o Model Code 2010 para os diferentes ensaios considerando o modelo correspondente à rotura por esforço transverso

Ensaio

Extensão

longitudinal

𝜀! [%]

Parâmetro

𝑘! -

Secção de

controlo

𝑏! [m]

Esforço transverso

resistente de cálculo

Esforço transverso

resistente medido

𝑉!"#

[kN] 𝑉!"# [kN]

𝑉!"#!

[kN]

VK1 0.084 0.188 1.73 426.79 487.13 690

VK2 0.078 0.200 1.79 473.12 678

VK3 0.081 0.197 1.79 467.79 538.81 677

VK4 0.087 0.196 1.89 362.09 487

DR1c 0.106 0.154 2.52 761.03 897.94 910

DR2c 0.126 0.137 2.51 694.63 819.62 719.4

B3V1 0.069 0.188 2.00 910.66 1211

B5V1 0.088 0.161 2.00 816.25 1099

Onde 𝑉!"#! representa a resistência calculada tendo em conta a componente 𝑉!!".

3.7.1.3 Resumo

O resumo dos cálculos para as diferentes lajes, assumindo uma rotura por esforço transverso são

apresentados na seguinte figura. Os resultados serão discutidos no capítulo 4

Figura 3.50 – Resumo dos resultados obtidos para os vários ensaios considerando o modelo correspondente à rotura por esforço transverso e tendo em conta a componente 𝑉!!"

VexpV’mod

EnsaiosVK1 VK3 VK2 VK4 B3V1 B5V1 DR1c DR2c

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

MC 2010CSCTEC 2$&,��ï��

53

Tabela 14 – Resultados obtidos para os diferentes ensaios considerando o critério de rotura por esforço transverso

Ensaio Carga de

Rotura

[kN]

MC 2010 CSCT EN 1992-1-1 ACI 318-11

𝑉!"#

[kN]

𝑉!"#!

[kN]

𝑉!"#

[kN]

𝑉!"#!

[kN]

𝑉!"#

[kN]

𝑉!"#!

[kN]

𝑉!"#

[kN]

𝑉!"#!

[kN]

VK1 690 426.79 487.13 345.64 394.39 319.46 381.67 307.62 367.52

VK2 678 473.12 408.59 380.40 330.38

VK3 677 467.79 538.81 385.61 456.79 363.02 453.16 315.86 386.65

VK4 487 362.09 341.21 318.11 263.78

DR1c 910 761.03 897.94 750.52 879.99 776.60 992.35 836.37 1068.71

DR2c 719.4 694.63 819.62 679.33 793.24 716.63 916.94 850.42 1088.13

B3V1 1211 910.66 957.06 960.91 851.81

B5V1 1099 816.25 825.36 842.07 907.10


Tabela 15 – Relação entre os resultados experimentais e os resultados obtidos para o critério de esforço transverso

Ensaio MC 2010 CSCT EN 1992-1-1 ACI 318-11

𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#!

𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#!

𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#!

𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#!

VK1 1.62 1.42 2.00 1.75 2.16 1.81 2.24 1.88

VK2 1.43 1.66 1.78 2.05

VK3 1.45 1.26 1.76 1.48 1.86 1.49 2.14 1.75

VK4 1.34 1.43 1.53 1.85

DR1c 1.20 1.01 1.21 1.03 1.17 0.92 1.09 0.85

DR2c 1.04 0.88 1.06 0.91 1.00 0.78 0.85 0.66

B3V1 1.33 1.27 1.26 1.42

B5V1 1.35 1.33 1.31 1.21


54

3.7.2 Punçoamento

3.7.2.1 Critical Shear Crack Theory

Os principais parâmetros são determinados como referido em 2.2.2.2, o cálculo da resistência ao

punçoamento resume-se assim à intersecção de um diagrama carga-extensão com a curva

correspondente ao critério de rotura.

Para se traçar o diagrama correspondente ao carregamento foram efectuadas análises elásticas

lineares (de onde se obtêm os valroes respeitantes ao estado de tensão no interior dos elementos) e

análises não lineares (de onde se obtêm os valores de rotação dos elementos) para os diferentes

níveis de carga atingidos nos ensaios.

A rotação na secção crítica 𝜃, foi calculada segundo o método referido em [1], tendo-se para cada

nível de carga determinado as diferenças de rotação entre o centro de gravidade da carga pontual e a

rotação no apoio mais próximo, sendo que para cada ponto 𝜃 = 𝜃!! + 𝜃!!. Estes valores foram

retirados do modelo de análise não-linear de elementos finitos.

Calculou-se ainda o parâmetro !!!= !

!∙!∙!!, com !

!, o esforço transverso medido no perímetro de

controlo extraído da análise elástica linear de elementos finitos e 𝜏! = 0.3 ∙ 𝑓!. Depois de obtidas as

coordenadas !!!

e 𝜃 𝑑 𝑘!" marca-se o ponto correspondente e assim sucessivamente até se obter a

recta que se pode observar na Figura 3.51. A curva que se observa na mesma figura corresponde ao

critério de rotura, definido pela Equação 2.15. A intersecção das duas linhas define o ponto que

fornece a estimativa da resistência do elemento ao esforço transverso. Esta estimativa obtém-se

depois de se multiplicar o valor obtido !!∙!∙!!

por 𝑢 ∙ 𝑑 ∙ 𝜏!, com 𝑢 = !!!"#

[1] [3], onde 𝑄 representa a

carga aplicada na laje e 𝑣!"# o valor do esforço transverso resultante desse carregamento no

perímetro de controlo. Refere-se ainda que caso se tenha em conta a redução da força de corte

devido à componente 𝑉!!", também o valor de 𝑢 se alterará.

O resumo dos resultados obtidos para os ensaios experimentais realizados por Latte são

apresentados da Figura 3.51 à Figura 3.54, sendo que o diagrama do carregamento tem em conta a

redução da força de corte devido à componente 𝑉!!". O valor de 𝑉!"# apresentado é obtido através

dos cálculos atrás expostos.

55

Figura 3.51 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento da CSCT para a laje VK1




Como se pode observar, as curvas de carga-rotação apresentam uma não linearidade clara. Isto

acontece devido ao facto de as rotações serem calculadas através do modelo não linear de

elementos finitos,

São da mesma maneira apresentados os resultados considerando o efeito da redução da força de

corte devido à componente 𝑉!!" para as lajes DR1c e DR2c.

Ʌ�� [mm]

ɒɒc

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

V��= 523.9 kN


Vexp = 690 kN

Ʌ�� [mm]

ɒɒc

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

V��= 650.1 kN


Vexp = 678 kN

Ʌ�� [mm]

ɒɒc

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

V��= 528.4 kN


Vexp = 677 kN

Ʌ�� [mm]

ɒɒc

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

V��= 469.3 kN


Vexp = 487 kN

56

Figura 3.55 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento da CSCT para a laje DR1c

Figura 3.56 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento da CSCT para a laje DR2c

3.7.2.2 Model Code 2010

O processo de cálculo da resistência ao punçoamento de elementos sem armaduras transversais do

MC 2010 é em tudo semelhante ao da CSCT. As principais diferenças residem na diferente expressão

que define o critério de rotura, Equação 2.28, no termo que tem em conta a dimensão máxima dos

agregados, Equação 2.29 e na utilização de 𝑓! em vez do termo 𝜏!.

Os resultados obtidos estão apresentados da Figura 3.57 à Figura 3.62.

Figura 3.57 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento do Model Code 2010 para a laje VK1


Ʌ�� [mm]

ɒɒc

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

V��= 788. kN


Vexp = 910 kN

Ʌ�� [mm]

ɒɒc

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3


V��= 729.1 kNVexp = 719.4 kN

ɗ d kdg [mm]

ɒɒc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Vmod=438.7 kN


Vexp = 690 kN

ɗ d kdg [mm]

ɒɒc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Vmod = 564.8 kN


Vexp = 678 kN

57



Figura 3.61 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento do Model Code 2010 para a laje DR1c

Figura 3.62 – Cálculo da resistência utilizando o critério de rotura de punçoamento do Model Code 2010 para a laje DR2c

3.7.2.3 Resumo

O resumo dos cálculos para as diferentes lajes, assumindo uma rotura por punçoamento são

apresentados na seguinte figura.Os resultados serão discutidos no capítulo 4

ɗ d kdg [mm]

ɒɒc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Vmod = 463.4 kN


Vexp = 677 kN

ɗ d kdg [mm]

ɒɒc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

VRd = 412.1 kN


Vexp = 487 kN

ɗ d kdg [mm]

ɒɒc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

VRd = 766.1 kN


Vexp = 910 kN

ɗ d kdg [mm]

ɒɒc

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Vmod = 717.0 kN


Vexp = 719.4 kN

58

Figura 3.63 – Resumo dos resultados obtidos para os vários ensaios admitindo punçoamento.

Tabela 16 – Resultados obtidos opara os diferentes ensaios para o critério de punçoamento

Ensaio

Carga de

Rotura

[kN]

MC 2010 CSCT EN 1992-1-1 ACI 318-11

𝑉!"# [kN]

𝑉!"# [kN]

𝑉!"# [kN]

𝑉!"# [kN]

VK1 690 438.72 523.86 231.69 406.91

VK2 678 564.82 650.09 339.78 562.26

VK3 677 463.44 528.43 232.50 400.90

VK4 487 412.08 469.33 286.72 417.01

DR1c 910 766.11 788.75 533.04 661.54

DR2c 719.4 717.01 729.06 540.05 677.40

Tabela 17 – Relação entre os resultados experimentais e os resultados obtidos para o critério de punçoamento

Ensaio MC 2010 CSCT EN 1992-1-1 ACI 318-11 𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#

𝑉!"#𝑉!"#

VK1 1.57 1.32 2.98 1.70

VK2 1.20 1.04 2.00 1.21

VK3 1.46 1.28 2.91 1.69

VK4 1.18 1.04 1.70 1.17

DR1c 1.19 1.15 1.71 1.38

DR2c 1.00 0.99 1.33 1.06

VK1 VK3 VK2 VK4 DR1c DR2c0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

MC 2010CSCTEC 2$&,��ï��

VexpVmod

Ensaios

59

4. Conclusão

No respeitante à aplicação das diferentas propostas técnicas e normativas analisadas para o

procedimento de cálculo da capacidade resistente de lajes sob cargas concentradas, resumem-se as

seguintes considerações principais, tendo-se avaliado os modos de rotura por punçoamento e esforço

transverso.

Na avaliação da rotura por punçoamento na região em volta da carga pontual, face aos ensaios

analisados disponíveis na literatura, os documentos normativos EN 1992-1-1 [7] e ACI 318-11 [2]

revelaram resultados relativamente conservativos. As cargas de rotura calculadas segundo estes

códigos forneceram resultados, em média, 2.10 e 1.37 vezes superiores à carga de rotura

experimentalmente obtida, respectivamente. No que respeita à metodologia de cálculo prescrita pelo

Model Code 2010 [3] e pela Teoria da Fissura Crítica (CSCT) [4] foram obtidos, em média, resultados

mais próximos dos obtidos experimentalmente, sendo, respectivamente, cerca de 1.27 e 1.14 vezes

superiores à carga de rotura experimentalmente obtida. Atendendo aos valores obtidos para a CSCT,

considera-se que esta é aparentemente a que fornece melhores resultados tendo em conta os

ensaios analisados, conduzindo em princípio a um dimensionamento mais económico, quer pelas

economias resultantes da não inclusão de estribos (para uma determinada espessura de laje) quer

pela eventual redução da secção de betão.

Na avaliação da rotura por esforço transverso na região junto ao apoio, face aos ensaios analisados,

os resultados dos cálculos associados aos diferentes procedimentos apresentaram, em média, uma

menor discrepância entre métodos de cálculo, (!!"#!!"#! igual a 1.25, 1.36, 1.36 e 1.46 vezes superior à

carga de rotura experimentalmente obtida respectivamente para MC 2010, CSCT, EN 1992-1-1 e ACI

318-11). Observa-se ainda que os mesmos são globalmente conservativos, com excepção para duas

situações identificadas no âmbito da avaliação da capacidade de carga das lajes DR1-c e DR2-c (!!"#!!"#!

igual a 0.85 e 0.66 para a ACI 318-11, respectivamente). Embora tal pareça indicar que a ACI 318-11

fornece resultados contra a segurança, tal não é o caso, pois como foi referido em 3.5, para além do

cálculo de resistência usando o critério de esforço transverso, também se deverá efectuar o cálculo

usando o critério de punçoamento. Isto permite concluir que para um dimensionamento seguro se

deverão sempre considerar ambos os tipos de rotura, bem como que o cálculo da resistência tendo

em conta a componente 𝑉!!" pode fornecer resultados contra a segurança, pelo que a adequabilidade

do seu uso a casos semelhantes aos efectuados deverá ser comprovada em estudos futuros.

60

Refira-se ainda que se observou alguma dispersão nos valores do quociente !!"#!!"#

, quer no cálculo

respeitante ao punçoamento quer ao esforço transverso como se depreende pela análise dos valores

extremos obtidos para este quociente (0.66 a 2.24 no cálculo respeitante ao esforço transverso,

conforme indicado na Tabela 15 e 0.99 a 2.98 no cálculo respeitante ao punçoamento, conforme

indicado na Tabela 17). Tal dispersão, particularmente associada aos valores elevados do quociente !!"#!!"#

obtida para os ensaios da série VK, poderá estar associada à maior proximidade das cargas

concentradas relativamente ao apoio. Efectivamente, verifica-se que a distância ao apoio

relativamente à altura útil das lajes, (!!), é mais reduzida nesta série de ensaios (!

! igual a 2.87, 3.27,

3.27 e 4.25 respectivamente para as lajes VK1, VK2, VK3 e VK4) relativamente às restantes (!! igual a

3.8, 3.79, 3.95 e 3.68 respectivamente para as lajes DR1c, DR2c, B3V1 e B5V1). Esta tendência

pode confirmar-se na Figura 2.8 onde se verifica que as metodologias de cálculo parecem fornecer

menos bons resultados quando o parâmetro !! se aproxima de 2.0.

Figura 4.1 – Comparação entre os valores de !! e a relação !!"#

!!"#! admitindo rotura por esforço transverso para

diferentes metodologias de cálculo

Efectivamente, os regulamentos consideram este efeito apenas para valores de !! inferiores a 2.0. No

entanto, os resultados obtidos parecem indicar que este efeito se fará sentir para além do limite

considerado de !!= 2.0. Esta hipótese carece de um maior número de analises que a suportem pelo

que se considera que este tema deve ser objecto de desenvolvimentos futuros.

VexpV’mod

ad

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

CSCTMC 2010

LIMITE NORMATIVO PARA

A CONSIDERAÇÃO DO EFEITO

DE TRANSMISSÃO DE CARGA

POR APOIO DIRECTO

61

5. Referências

1 Vaz Rodrigues R. Shear strength of reinforced concrete bridge deck slabs. Thesis. Lausanne:

EPFL; 2007.

2 ACI Commitee 318-11. Building code requirements for structural concrete. Farmington Hills: ACI

American Concrete Institute; 2005.

3 (fib) fidb. fib bulletin 66, Model Code 2010 - Final draft, Volume 2. 2010.

4 Muttoni A. Schubfestigkeit und durchstanzen von platten ohne querkraftbewerung. Beton und

Stahlbetonbau. 2003;98(2):74-84.

5 Vecchio FJ, Collins MP. The modified compression field theory for reinforced concrete elements

subjected to shear. ACI Structural Jornal. 1986;83(22):219-231.

6 Evan C. Bentz FJVMPC. Simplified Modified Compression Field Theory for Calculating Shear

Strength of Reinforced Concrete Elements. ACI Structural Journal. 2006;103(4):614-624.

7 CEN. Eurocódigo 2 - Projecto de estruturas de betão. Parte 1-1: Regras gerais e regras para

edifícios. Bruxelas 2004.

8 Morsch E. Der eisenbetonbau-seine theorie und anwendung (Reinforced concrete construction -

theory and application. Vol 1. Stuttgart 1920.

9 Morsch E. Der eisenbetonbau-siene theorie und anwendung (Reinforced concrete construction -

theory and application. Vol 2. Stuttgart 1922.

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49 SIA. Code 262 for Concrete Structures. Zurich: Swiss Society of Engineers and Architects; 2003.

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52 Muttoni A, Fernandéz MR. MC2010: The Critical Shear Crack Theory as a mechanical model for

punching shear design and its application to code provisions. fib Bulletin 57: Shear and punching

shear in RC and FRC elements. 2010 31-60.

53 Fernández Ruiz M, Sagaseta J, Muttoni A. La teoría de la fisura crítica como base teórica para el

diseño de losas frente a punzonamiento en el nuevo Código Modelo 2010. Hormigón y Acero.

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54 Muttoni A, Fernandéz MR. The levels-of-approximation approach in MC 2010: application to

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56 Jäger T. Versuche zum Querkraftwiderstand und zum Verformungsvermögen von

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57 Rombach GA, Kohl M, Nghiep VH. Shear design of concrete members without shear reinforcement

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58 Muttoni A, Fernández Ruiz M, Burdet O. Poinçonnement des planchers-dalles: Noveaux acquis et

applications pratiques. Journée d'étude. Lausanne: EPFL; 2008.

59 Marti P. Design of concrete slabs for transverse shear. ACI Structural Journal. 1990;87(5):180-190.

60 Leonhardt F, Schelling G. Torsionsversuche an stahlbetonbalken. Deutscher Ausschuss fur

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61 Hakimi PS. Distribution of shear force in concrete slabs. Master Thesis. Gotenburg: Chalmers

University of Technology; 2012.

65

6. Anexos

6.1 Representação dos Campos de Corte

No presente ponto apresenta-se o código desenvolvido por Vaz Rodrigues no software MATLAB e

que foi adaptado para a representação dos campos de corte dos elementos analisados.

Ficheiro plots_flow_cutit_perp.m:

%MACRO THAT PRODUCES AN EPS FILE WITH THE SHEAR FLOW (SEE INPUT DATA FOR %INSTRUCTIONS) clc close all clear all %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%INPUT DATA FOR STREAM name='res_ansys_elas'; %name of the example %please insert data in tab separated text file named "name".txt: %col 1: x (length) %col 2: y (length) %col 3: Vx (force/length) %col 4: Vy (force/length) dens=1.0; %density of stream lines max_ep=10000; %controls maximal thickness of lines ndiv=70; %number of divisions of domain for interpolation %other lines (e.g. slab limits, forces, etc) GEO=[0.180 0; 0.180 0.180; 0.0 0.180; 0 0; 1.090 0; 1.090 1.090; 0.0 1.090; 0 0]; color_flow=[0.7 0.7 0.7]; flow_on=1; %toggles flow on/off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%INPUT DATA FOR CROSS_SECTIONAL SHEAR FORCES % PT (coordinates of vertexes of the control perimeter) % 1st column:x ; 2nd column:y ; 3rd column: "NaN" means a line after this % vertex OR "value" is radius of the circular segment (NOTE: next vertex must be % coherent with this radius) % COUNTERCLOCKWISE IN THE INPUT ORDER OF THE POINTS! PT=[0.2275,0.000,NaN;

66

0.2275,0.180,0.0475; 0.180,0.2275,NaN; 0.0,0.2275,NaN]; m_fact=0.8; %scale factor for representation of value %number of divisions for calculation purpuses inside each segment of the %control perimeter ndiv=50; %Coordinated (x,y) of the points defining the column COL=[0 0; 0 0]; symb='-'; %line type for plotting the values on the control perimeter on=1; %swtiches on/off for text and annotations LW_cont_per=0.5; %LineWidths of control perimeter and perpendicular values LW_values=1; n_deci=6; %number of decimals to print perim_on=1; %toggles representation of control perimeter on/off %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%INPUT DATA FOR ARROWS scale_arrows=0.025; %controls size n_arrows=40; %controls number of arrows line_width_arrow=0.25; %controls line width in points lc=0.35; %size of arrow (head) teta_arrow=30; %angle for arrow's head arrows_on=1; %toggles on/off the arrows %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%CALCULATION AND DRAWINGS PART A=importdata([name '.txt']); % dados=getfield(A,'data'); dados=A; x=dados(:,1); y=dados(:,2); Vx=dados(:,3); Vy=dados(:,4); x_min=min(x); x_max=max(x); y_min=min(y); y_max=max(y); %generates domain for streamslice xd=x_min:(x_max-x_min)/(ndiv+1):x_max;

67

yd=y_min:(y_max-y_min)/(ndiv+1):y_max; [X,Y]=meshgrid(xd,yd); VX=griddata(x,y,Vx,X,Y); VY=griddata(x,y,Vy,X,Y); VTOT=(VX.^2+VY.^2).^0.5; if flow_on==1 %PLOTS SHEAR FLOW AND TOTAL SHEAR figure; % quiver(x_elem,y_elem,-Vx,-Vy); % streamslice(XE,YE,-VX,-VY,2); % streamslice with density [Vert Seta]=streamslice(X,Y,-VX,-VY,dens); hold on; %max_v=0.5*max(max(VTOT)); max_v=500; tam=size(Vert); tam=tam(1,2); for k=1:1:tam Linha=Vert{k}; if ~isempty(Linha) tam2=size(Linha); for i=1:1:tam2-1 x_ii=Linha(i+1,1); y_ii=Linha(i+1,2); x_i=Linha(i,1); y_i=Linha(i,2); x_m=x_ii*0.5+x_i*0.5; y_m=y_ii*0.5+y_i*0.5; v_m=interp2(X,Y,VTOT,x_m,y_m); %espe=max_ep*(v_m/max_v)^0.5; espe=max_ep*(v_m/max_v); h=plot(Linha(i:i+1,1),Linha(i:i+1,2),'LineWidth',espe,'Color',color_flow); hold on; end end end hold on; end plot(GEO(:,1),GEO(:,2),'-k','LineWidth',.5); axis equal; axis off; % title(name); hold on; m=size(PT); m=m(1,1); NDIV=ones(m-1,1); NDIV=NDIV*ndiv; if perim_on==1 %plots entrant V inside control perimeter % [DATA h]=plot_per2(x,y,(Vx.^2+Vy.^2).^.5,PT,m_fact,NDIV,COL,name,symb,on,LW_cont_per,LW_values); [DATA

68

h]=plot_per2_perp(x,y,Vx,Vy,PT,m_fact,NDIV,COL,name,symb,on,LW_cont_per,LW_values,n_deci); end if arrows_on==1 %plots little arrows indicating sense of shear forces m=size(PT); m=m(1,1); N_ARR=ones(m-1,1); N_ARR=N_ARR*n_arrows; tit=' '; line_type='-'; [DATA_arrow h_arrow]=plot_direc_perp(x,y,(Vx.^2+Vy.^2).^0.5,PT,scale_arrows,NDIV,N_ARR,COL,tit,line_type,line_width_arrow,lc,teta_arrow,Vx,Vy); end print('-depsc2',[name '_perimeter.eps']); close all 6.2 Modelo Não Linear de Elementos Finitos

No presente ponto apresenta-se o código implementado para efectuar uma das análises não lineares

de elementos finitos no software ANSYS.

FINISH /CLEAR,START /PREP7 !TAILLE DE LA MAILLE tam=0.1 ! MODULE D'ELASTICITE Ec=29170000 mod_el=Ec !DIMENSIONS [m] espe1 = 0.2 espe2 = 0.22 espe3 = 0.24 espe4 = 0.26 espe5 = 0.28 espe6 = 0.3 !Réaction Vd Force Vd=-arg1 num_it = arg2 t_rf_centre = arg3 num_pun=9 !Diagrama momento-curvatura Y !MOMENTO Y ES EL QUE DA LA ARMADURA EN X *dim,m_cy1,array,2,num_pun m_cy1(1,1) = -2.00000,-146.01602

69

m_cy1(1,2) = -0.02889,-146.01601 m_cy1(1,3) = -0.00298,-19 m_cy1(1,4) = -0.00098,-18.99999 m_cy1(1,5) = 0,0 m_cy1(1,6) = 0.00098,18.99999 m_cy1(1,7) = 0.00426,19 m_cy1(1,8) = 0.02528,87.15571 m_cy1(1,9) = 2.00000,87.15572 *dim,m_cy2,array,2,num_pun m_cy2(1,1) = -2.00000,-168.29368 m_cy2(1,2) = -0.02483,-168.29367 m_cy2(1,3) = -0.0026,-22.99 m_cy2(1,4) = -0.00089,-22.98999 m_cy2(1,5) = 0,0 m_cy2(1,6) = 0.00089,22.98999 m_cy2(1,7) = 0.00372,22.99 m_cy2(1,8) = 0.02165,99.59642 m_cy2(1,9) = 2.00000,99.59643 *dim,m_cy3,array,2,num_pun m_cy3(1,1) = -2.00000,-190.57134 m_cy3(1,2) = -0.02169,-190.57133 m_cy3(1,3) = -0.00231,-27.36 m_cy3(1,4) = -0.00081,-27.35999 m_cy3(1,5) = 0,0 m_cy3(1,6) = 0.00081,27.35999 m_cy3(1,7) = 0.00332,27.36 m_cy3(1,8) = 0.01884,112.03713 m_cy3(1,9) = 2.00000,112.03714 *dim,m_cy4,array,2,num_pun m_cy4(1,1) = -2.00000,-212.84901 m_cy4(1,2) = -0.01919,-212.849 m_cy4(1,3) = -0.00208,-32.11 m_cy4(1,4) = -0.00075,-32.10999 m_cy4(1,5) = 0,0 m_cy4(1,6) = 0.00075,32.10999 m_cy4(1,7) = 0.00311,32.11 m_cy4(1,8) = 0.01682,123.23376 m_cy4(1,9) = 2.00000,123.23377 *dim,m_cy5,array,2,num_pun m_cy5(1,1) = -2.00000,-235.12667 m_cy5(1,2) = -0.01716,-235.12666 m_cy5(1,3) = -0.00189,-37.24 m_cy5(1,4) = -0.0007,-37.23999 m_cy5(1,5) = 0,0 m_cy5(1,6) = 0.0007,37.23999 m_cy5(1,7) = 0.00284,37.24 m_cy5(1,8) = 0.01496,135.67447 m_cy5(1,9) = 2.00000,135.67448 *dim,m_cy6,array,2,num_pun m_cy6(1,1) = -2.00000,-257.40433 m_cy6(1,2) = -0.01549,-257.40432 m_cy6(1,3) = -0.00174,-42.75 m_cy6(1,4) = -0.00065,-42.74999 m_cy6(1,5) = 0,0 m_cy6(1,6) = 0.00065,42.74999 m_cy6(1,7) = 0.00261,42.75 m_cy6(1,8) = 0.01342,148.11518 m_cy6(1,9) = 2.00000,148.11519 !Diagrama momento-curvatura X !MOMENTO X E O QUE DA A ARMADURA EM Y *dim,m_cx1,array,2,num_pun

70

m_cx1(1,1) = -2.00000,-77.20316 m_cx1(1,2) = -0.02916,-77.20315 m_cx1(1,3) = -0.0061,-19 m_cx1(1,4) = -0.00098,-18.99999 m_cx1(1,5) = 0,0 m_cx1(1,6) = 0.00098,18.99999 m_cx1(1,7) = 0.0061,19 m_cx1(1,8) = 0.02916,77.20315 m_cx1(1,9) = 2.00000,77.20316 *dim,m_cx2,array,2,num_pun m_cx2(1,1) = -2.00000,-89.64387 m_cx2(1,2) = -0.02459,-89.64386 m_cx2(1,3) = -0.00519,-22.99 m_cx2(1,4) = -0.00089,-22.98999 m_cx2(1,5) = 0,0 m_cx2(1,6) = 0.00089,22.98999 m_cx2(1,7) = 0.00519,22.99 m_cx2(1,8) = 0.02459,89.64386 m_cx2(1,9) = 2.00000,89.64387 *dim,m_cx3,array,2,num_pun m_cx3(1,1) = -2.00000,-102.08457 m_cx3(1,2) = -0.02114,-102.08456 m_cx3(1,3) = -0.00453,-27.36 m_cx3(1,4) = -0.00081,-27.35999 m_cx3(1,5) = 0,0 m_cx3(1,6) = 0.00081,27.35999 m_cx3(1,7) = 0.00453,27.36 m_cx3(1,8) = 0.02114,102.08456 m_cx3(1,9) = 2.00000,102.08457 *dim,m_cx4,array,2,num_pun m_cx4(1,1) = -2.00000,-114.52528 m_cx4(1,2) = -0.01846,-114.52527 m_cx4(1,3) = -0.00402,-32.11 m_cx4(1,4) = -0.00075,-32.10999 m_cx4(1,5) = 0,0 m_cx4(1,6) = 0.00075,32.10999 m_cx4(1,7) = 0.00402,32.11 m_cx4(1,8) = 0.01846,114.52527 m_cx4(1,9) = 2.00000,114.52528 *dim,m_cx5,array,2,num_pun m_cx5(1,1) = -2.00000,-126.96599 m_cx5(1,2) = -0.01631,-126.96598 m_cx5(1,3) = -0.00363,-37.24 m_cx5(1,4) = -0.0007,-37.23999 m_cx5(1,5) = 0,0 m_cx5(1,6) = 0.0007,37.23999 m_cx5(1,7) = 0.00363,37.24 m_cx5(1,8) = 0.01631,126.96598 m_cx5(1,9) = 2.00000,126.96599 *dim,m_cx6,array,2,num_pun m_cx6(1,1) = -2.00000,-139.40669 m_cx6(1,2) = -0.01455,-139.40668 m_cx6(1,3) = -0.0033,-42.75 m_cx6(1,4) = -0.00065,-42.74999 m_cx6(1,5) = 0,0 m_cx6(1,6) = 0.00065,42.74999 m_cx6(1,7) = 0.0033,42.75 m_cx6(1,8) = 0.01455,139.40668 m_cx6(1,9) = 2.00000,139.40669 !1.GENERATION DES KEYPOINTS

71

*do,i,1,7 k,2*i-1,(i-1)*0.3,0,0 k,2*i,(i-1)*0.3,2.4,0 *enddo !2. GENERATION DES AIRES *do,i,1,6 a,2*i-1,2*i+1,2*i+2,2*i !i *enddo !,4.,ELEMENTS,TYPE alls lesize,all,tam !Estabeleco eixos locais LOCAL,11,0,0,0,0,0,0,0 esys,11 ET,1,SHELL43 MP,EX,1,Ec MP,GXY,1,Ec/(2*1.2)/8, !/8, Atenção! Dividido por 8 para ter em conta a fendilhação da laje. MP,DENS,1,2.551 MAT,1 TYPE,1 *do,i,1,6 lesize,all,tam espe%i%=0.1900+((0.3*i-0.15)/15) R,i,espe%i%,espe%i%,espe%i%,espe%i%,0,0 REAL,i asel,s,area,,i amesh,i *enddo alls !MATRICE QUI STOQUE LE MODULE D'ELASTICITE esel,all *get,ele_tot,elem,,count *dim,matE,array,3,ele_tot !Ex,Ey,GXY asel,all *get,num_area,area,,count *do,i,1,num_area asel,s,area,,i esla,s *get,num_ele,elem,,count *do,j,1,num_ele *get,ele_i,elem,,num,min MP,DENS,ele_i+1,2.551 MP,EX,ele_i+1,mod_el

72

MP,EY,ele_i+1,mod_el MP,NUXY,ele_i+1,0.0 MP,GXY,ele_i+1,mod_el/(2*(1+0.2)) matE(1,ele_i) = mod_el, mod_el, mod_el/(2*(1+0.2))/8 !/8 ATTENTION EMODIF,ele_i,MAT,ele_i+1 esel,u,elem,,ele_i *enddo *enddo alls !Variable necesaria en el posproceso creada aqui esel,all *get,num_ele,elem,,count *dim,mome,array,2,num_ele !alls !*get,nod_max,node,,num,max !*get,mat_max,MAT,,max !n1 = node(0,0,0) !n,nod_max+1,0,0,-1 !MP,EX,mat_max+1,1000 !MP,NUXY,mat_max+1,0.3 !ET,2,LINK8 !R,2,1 !TYPE,2 !MAT,mat_max+1 !REAL,2 !e,n1,nod_max+1 !/eof NUMMRG,NODE,0.01 /SOL !6. CHARGES !CARGA DE FACA nsel,s,loc,x,0.1,0.2 !ATENÇAO: tam=0.1 *get,n_carga,node,,count f,all,fz,-77.04/n_carga !CARGA PONTUAL nsel,s,loc,x,0.75,1.15 nsel,u,loc,y,0,0.95 nsel,u,loc,y,1.45,2.4 *get,n_carga1,node,,count f,all,fz,Vd/n_carga1 nsel,s,loc,x,1.8 d,all,all,0 nsel,s,loc,x,3.9 d,all,uz,0 ksel,s,kp,,1 ksel,a,kp,,2 nslk,s d,all,ux,0 d,all,uy,0 ACEL,,,9.8 alls

73

solve FINISH /POST1 !ROTINA DE ANALISE NAO LINEAR alls esln,s,1,all *do,ii,1,num_it /POST1 !LNSOL,ROT,Y,0,1 PLNSOL,U,Z,0,1 ESEL,ALL ETABLE,NX,SMISC,1 ! N positivo = traccion ETABLE,NY,SMISC,2 ETABLE,NXY,SMISC,3 ETABLE,MX,SMISC,5 ! se cambia el eje X por el Y para seguir el criterio normal ETABLE,MY,SMISC,4 ! se cambia el eje X por el Y para seguir el criterio normal ETABLE,MXY,SMISC,6 ETABLE,VX,SMISC,7 ETABLE,VY,SMISC,8 SADD,MY,MY,,-1 ! cambio de signo de los momentos para usar el criterio normal (tracción en la cara superior de la losa SADD,MX,MX,,-1 /PREP7 asel,all *get,num_area,area,,count *do,i,1,num_area *if,i,eq,1,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,2,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,3,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,4,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,5,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,6,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,7,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,8,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,9,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,10,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,11,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,12,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,13,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,14,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,15,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,16,then

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t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,17,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,18,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,19,then t_rf = t_rf_centre *elseif,i,eq,20,then t_rf = t_rf_centre *endif asel,s,area,,i esla,s *get,num_ele,elem,,count *do,j,1,num_ele *get,ele_i,elem,,num,min *VLEN,1 *VGET,mome(1,ele_i),elem,ele_i,etab,MX *VLEN,1 *VGET,mome(2,ele_i),elem,ele_i,etab,MY !MOMENTO Y ARMA EN DIRECCION X *if,mome(2,ele_i),lt,m_cy%i%(2,1),then mom_cal = mome(2,ele_i) cur_cal = m_cy%i%(1,1) + (mom_cal-m_cy%i%(2,1))/(m_cy%i%(2,2)-m_cy%i%(2,1))*(m_cy%i%(1,2)-m_cy%i%(1,1)) I_cal = 0.08333333*espe%i%**3 E_cal = mom_cal/(cur_cal*I_cal) E_cal = (matE(1,ele_i)+E_cal)/2 MP,EX,ele_i+1,E_cal MP,GXY,ele_i+1,(E_cal*matE(2,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf matE(1,ele_i) = E_cal matE(3,ele_i) = (E_cal*matE(2,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf *elseif,mome(2,ele_i),gt,m_cy%i%(2,num_pun) mom_cal = mome(2,ele_i) cur_cal = m_cy%i%(1,num_pun-1) + (mom_cal-m_cy%i%(2,num_pun-1))/(m_cy%i%(2,num_pun)-m_cy%i%(2,num_pun-1))*(m_cy%i%(1,num_pun)-m_cy%i%(1,num_pun-1)) I_cal = 0.08333333*espe%i%**3 E_cal = mom_cal/(cur_cal*I_cal) E_cal = (matE(1,ele_i)+E_cal)/2 MP,EX,ele_i+1,E_cal MP,GXY,ele_i+1,(E_cal*matE(2,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf matE(1,ele_i) = E_cal matE(3,ele_i) = (E_cal*matE(2,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf *else *do,k,1,(num_pun-1) *if,mome(2,ele_i),gt,m_cy%i%(2,k),and,mome(2,ele_i),lt,m_cy%i%(2,k+1),then !/GOPR mom_cal = mome(2,ele_i) cur_cal = m_cy%i%(1,k) + (mom_cal-m_cy%i%(2,k))/(m_cy%i%(2,k+1)-m_cy%i%(2,k))*(m_cy%i%(1,k+1)-m_cy%i%(1,k)) I_cal = 0.08333333*espe%i%**3 E_cal = mom_cal/(cur_cal*I_cal) E_cal = (matE(1,ele_i)+E_cal)/2 MP,EX,ele_i+1,E_cal MP,GXY,ele_i+1,(E_cal*matE(2,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf matE(1,ele_i) = E_cal

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matE(3,ele_i) = (E_cal*matE(2,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf *endif *enddo *endif !MOMENTO X ARMA EN DIRECCION Y *if,mome(1,ele_i),lt,m_cx%i%(2,1),then mom_cal = mome(1,ele_i) cur_cal = m_cx%i%(1,1) + (mom_cal-m_cx%i%(2,1))/(m_cx%i%(2,2)-m_cx%i%(2,1))*(m_cx%i%(1,2)-m_cx%i%(1,1)) I_cal = 0.08333333*espe%i%**3 E_cal = mom_cal/(cur_cal*I_cal) E_cal = (matE(2,ele_i)+E_cal)/2 MP,EY,ele_i+1,E_cal MP,GXY,ele_i+1,(E_cal*matE(1,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf matE(2,ele_i) = E_cal matE(3,ele_i) = (E_cal*matE(1,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf *elseif,mome(1,ele_i),gt,m_cx%i%(2,num_pun) mom_cal = mome(1,ele_i) cur_cal = m_cx%i%(1,num_pun-1) + (mom_cal-m_cx%i%(2,num_pun-1))/(m_cx%i%(2,num_pun)-m_cx%i%(2,num_pun-1))*(m_cx%i%(1,num_pun)-m_cx%i%(1,num_pun-1)) I_cal = 0.08333333*espe%i%**3 E_cal = mom_cal/(cur_cal*I_cal) E_cal = (matE(2,ele_i)+E_cal)/2 MP,EY,ele_i+1,E_cal MP,GXY,ele_i+1,(E_cal*matE(1,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf matE(2,ele_i) = E_cal matE(3,ele_i) = (E_cal*matE(1,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf *else *do,k,1,(num_pun-1) *if,mome(1,ele_i),gt,m_cx%i%(2,k),and,mome(1,ele_i),lt,m_cx%i%(2,k+1),then !/GOPR mom_cal = mome(1,ele_i) cur_cal = m_cx%i%(1,k) + (mom_cal-m_cx%i%(2,k))/(m_cx%i%(2,k+1)-m_cx%i%(2,k))*(m_cx%i%(1,k+1)-m_cx%i%(1,k)) I_cal = 0.08333333*espe%i%**3 E_cal = mom_cal/(cur_cal*I_cal) E_cal = (matE(2,ele_i)+E_cal)/2 MP,EY,ele_i+1,E_cal MP,GXY,ele_i+1,(E_cal*matE(1,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf matE(2,ele_i) = E_cal matE(3,ele_i) = (E_cal*matE(1,ele_i))**0.5/(2*(1+0.2))/t_rf *endif *enddo *endif esel,u,elem,,ele_i *enddo *enddo /SOLU alls solve *enddo /POST1

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*MSG,WARN CALCUL FINI! /POST1 alls !Dizer ao programa para calcular os eforços na laje da maneira qu estamos habituados !/HEADER,OFF,OFF,OFF,OFF,OFF,OFF Só numeros !/FORMAT,,F Numeros todos decimais !PRETAB,X,Y,VX,VY Faz a tabela !nsel,s,loc,z,0 !esln,s,1 allsel,all,node ETABLE,X,CENT,X ETABLE,Y,CENT,Y ETABLE,VX,SMISC,7 ETABLE,VY,SMISC,8 ETABLE,MX,SMISC,4 ETABLE,MY,SMISC,5 ETABLE,MXY,SMISC,6 !Definição de paths e que coisas representar nesses mesmos paths PATH,d/2_shear,2,10,56 PPATH,1,,1.5265,0,0 PPATH,2,,1.5265,2.4,0 PDEF,d_vx,ETAB,VX,NOAVG PDEF,d_vy,ETAB,VY,NoAVG PDEF,d_mx,ETAB,MX,NOAVG PDEF,d_my,ETAB,MY,NOAVG PDEF,d_mxy,ETAB,MXY,NOAVG PDEF,d_defx,EPEL,X,NOAVG PLPATH,d_vx,d_vy,d_mx,d_my,d_mxy PATH,d/2_punch,2,10,56 PPATH,1,,1.24,0,0 PPATH,2,,1.24,2.4,0 PDEF,d_vx,ETAB,VX,NOAVG PDEF,d_vy,ETAB,VY,NoAVG PDEF,d_mx,ETAB,MX,NOAVG PDEF,d_my,ETAB,MY,NOAVG PDEF,d_mxy,ETAB,MXY,NOAVG PDEF,d_defx,EPEL,X,NOAVG PLPATH,d_vx,d_vy,d_mx,d_my,d_mxy PATH,rot1,2,10,36 PPATH,1,,0,1.2,0 PPATH,2,,1.8,1.2,0 PDEF,d_rot,ROT,SUM,NOAVG PLPATH,d_rot PRPATH,D_ROT !Lista de valores rotaçao

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PLNSOL, ROT,SUM, 0,1.0 !Plot de valores de rotacao !/CONT,1,11,0,0.01,0.011 !Editar intervalos de valores

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Efeito de Cargas Concentradas em Lajes de Betão Armado sem