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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZDEPARTAMENTO DE CIENCIAS

EXATAS E TECNOLOGICASPROGRAMA DE POS GRADUACAO EM FISICA

EFEITOS DA HELICIDADE CRUZADANO DINAMO TURBULENTO DE CAMPO MEDIO

DISSERTACAO DE MESTRADO

Rafael dos Santos Oliveira

Ilheus, BA, Brasil

2018

EFEITOS DA HELICIDADE CRUZADA NO DINAMO TURBULENTO DE

CAMPO MEDIO

por

Rafael dos Santos Oliveira

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos Graduacaoem Fısica, Area de concentracao em Fısica,

da Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC, BA),como requisito parcial para a obtencao do grau de

Mestre em Fısica.

Orientadora: Dra. Alejandra Kandus

Ilheus, BA, Brasil

2018

O48 Oliveira, Rafael dos Santos. Efeitos da helicidade cruzada no dínamo turbulen- to de campo médio / Rafael dos Santos Oliveira. – Ilhéus, BA: UESC, 2018. 132f. : il. Orientadora: Alejandra Kandus. Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física. Inclui referências e apêndices.

1. Dínamos. 2. Turbulência de plasma. 3. Ener- gia - Transferência. 4. Magneto-hidrodinâmica. 5. Estrelas – Campos magnéticos. I. Título. CDD 621.313.2

Aos meus pais, Atanael e Cilene.

AGRADECIMENTOS

Agradeco a Deus, minha famılia, minha namorada: Brenda, e minha comunidade;

a minha orientadora, Alejandra Kandus. Foi enriquecedor poder trabalhar juntos. Alem

de, em todo o perıodo do trabalho, ter sido muito solıcita e compreensiva;

a FAPESB, pelo suporte financeiro;

a UESC, aos professores do LATO e aos membros do colegiado do PROFISICA;

a todos os colegas e amigos que viveram junto comigo esta experiencia.

RESUMO

Efeitos da Helicidade Cruzada no Dınamo Turbulento de Campo MedioAutor: Rafael dos Santos OliveiraOrientadora: Alejandra Kandus

A helicidade cruzada descreve a relacao entre as linhas de campo magnetico e as do campo

de velocidades. Nosso objetivo e estudar se a sua presenca pode afetar o mecanismo do dınamo

turbulento, que e uma teoria de sucesso na compreensao da origem e manutencao dos campos

magneticos em meios condutores que apresentam turbulencia. Um exemplo seria o plasma inte-

restelar galatico ou o Sol. Para levar adiante este estudo, analisamos as transferencias de energia

entre trıades de vetores de onda, no espaco de Fourier, considerando um de seus modos como o

estado estacionario inicial e buscando as situacoes nas quais ele ira decair como consequencia da

excitacao dos outros dois modos. Tais situacoes sao as que apresentam instabilidade e conversao

de energia cinetica em magnetica e, portanto, e nelas que teremos o mecanismo do dınamo. E

observado que a existencia de instabilidades depende muito pouco da presenca da helicidade

cruzada. Mediante uma analise qualitativa das equacoes de evolucao da energia e da helicidade

cruzada, observamos que a helicidade cruzada, em geral, e arrastada pela energia total. Sua

cascata podera ser direta ou inversa, dependendo da helicidade cruzada dos estados que sao

excitados pelo decaimento do estado inicialmente estacionario. Podemos entao concluir que a

helicidade cruzada nao tem um papel determinante no mecanismo do dınamo turbulento.

Palavras-chave: Turbulencia, dınamo turbulento, energia, helicidade cruzada.

ABSTRACT

Cross Helicity Effects on the Turbulent Mean-field DynamoAuthor: Rafael dos Santos Oliveira

Adviser: Alejandra Kandus

The cross helicity describes the relationship between magnetic field lines and velocity

field lines. Our aim is to study if its presence affects the turbulent dynamo mechanism, which

is a successful theory to understand the source and the maintenance of the magnetic fields in

highly turbulent, conductive media. Examples of such environments are the interstellar plasma

and the Sun. To carry out this study, we analyze the energy transfers between triads of wave

vectors, in the Fourier space, considering one of their modes as the initial steady state and look

for the situations in which it will decay as a consequence of the excitation of the other two

modes. Such situations are those that present instability and conversion of kinetic energy into

magnetic energy and, therefore, correspond to the dynamo mechanism. It is observed that the

existence of instabilities depends very little on the influence of the cross helicity. Performing a

qualitative analysis of the evolution equations for the energy and cross helicity, we observe that

in general cross helicity is dragged by the total energy cascade. Cross helicity cascade can be

direct of inverse, depending on the cross helicity of the states excited by the decay of the initially

stationary state. We may then conclude that cross helicity does not play a relevant role in the

turbulent dynamo mechanism.

Keywords: Turbulence, turbulent dynamo, energy, cross helicity.

SUMARIO

1 INTRODUCAO 11

2 TURBULENCIA HIDRODINAMICA 14

2.1 Cascatas e invariantes ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 TURBULENCIA MHD 20

3.1 Invariantes ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 DINAMO TURBULENTO 28

5 EQUACOES PARA A MHD INCOMPRESSIVEL 32

5.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Decomposicao em ondas helicoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 ESTUDO DA ESTABILIDADE LINEAR DAS SOLUCOES ESTACIONARIAS 37

6.1 Analise das diferentes interacoes helicoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1.1 O caso sk = sq , sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.1.2 O caso sk , sq = sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.3 O caso sk = sq = sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.4 O caso sk = sp , sq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7 AS EQUACOES DE EVOLUCAO PARA AS INVARIANTES IDEAIS DA MHD 51

7.1 Equacao de evolucao para a energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2 Equacao de evolucao para a energia magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3 Equacao de evolucao para a helicidade magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.4 Equacao de evolucao para a helicidade cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

8 ANALISE FORMAL DOS INTERVALOS DE SIMILARIDADE 54

8.1 Analise da equacao para a energia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.2 Analise da equacao para a helicidade magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8.3 Analise da equacao para a helicidade cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 ANALISE QUALITATIVA DAS TRANSFERENCIAS DE ENERGIA TOTAL, HELICI-

DADE MAGNETICA E HELICIDADE CRUZADA 63

9

9.1 Cascatas de Energia Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.1.1 O caso sθ = s1 = sκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.1.2 O caso sθ , s1 = sκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.1.3 O caso sθ = s1 , sκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.1.4 O caso s1 , sκ = sθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.2 Cascatas de Helicidade Magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2.1 O Caso sθ = s1 = sκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2.2 O caso sθ , s1 = sκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

9.2.3 O caso sθ = s1 , sκ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.2.4 O caso s1 , sκ = sθ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

9.3 Cascatas de Helicidade Cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.3.1 Relacao entre os nucleos de energia total e de helicidade cruzada . . . . . 69

9.4 O dınamo cinematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9.4.1 O caso k < q < p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.4.2 O caso k < p < q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.5 Termos de transferencia para o dınamo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.5.1 Termos de transferencia para energia total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

9.5.2 Termos de transferencia para a helicidade magnetica . . . . . . . . . . . . 74

9.5.3 Termos de transferencia para a helicidade cruzada . . . . . . . . . . . . . . 75

10 CONCLUSAO 79

11 EPILOGO: EQUACOES PARA AS INVARIANTES DA MHD EM TURBULENCIA

HOMOGENEA E ISOTROPICA 81

11.1 Breve descricao da aproximacao EDQNM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

11.2 Desenvolvimento das Equacoes para Turbulencia Homogenea . . . . . . . . . . . 83

A Apendice: Transformada de Fourier e funcao Delta de Dirac 87

A.1 Calculo das equacoes da MHD no espaco de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

A.1.1 Calculo das equacoes da MHD no espaco de Fourier usando coordenadas 90

B Apendice: Ondas helicoidais complexas - as autofuncoes do operador rotacional 95

B.1 Trabalhando com o produto(hsq × hsp

)· hsk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

C Apendice: Escalonamentos Conformes 100

C.1 Escalonamento de T sHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

C.2 Escalonamento de TLF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

C.3 Escalonamento de TMAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

C.4 Escalonamento de Ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

D Apendice: Implementando a aproximacao EDQNM 102

D.1 Equacoes para as funcoes de tres pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

D.2 Impondo a aproximacao EDQNM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

D.2.1 Funcao de dois pontos Velocidade-Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . 104

D.2.2 Funcao de dois pontos Campo Magnetico-Campo Magnetico . . . . . . . 112

D.2.3 Funcao de dois pontos Velocidade-Campo Magnetico . . . . . . . . . . . . 120

1 INTRODUCAO

A presenca de campos magneticos no universo e consideravelmente alta e influente.

Estamos acostumados a observar seus efeitos aqui na Terra com certa facilidade e frequencia,

trata-se do nosso primeiro contato com campos magneticos. O que melhor nos faz notar a

existencia de um campo magnetico terrestre e o funcionamento de uma bussola: sua agulha

e um pequeno ima, e sofre a acao do campo magnetico da Terra. As Auroras Boreais sao uma

outra manifestacao da presenca de campo magnetico no nosso planeta. Os campos magneticos

presentes no meio interestelar exercem muita influencia nos processos e fenomenos que ali

acontecem. Assim como a Terra, os outros planetas tambem possuem campo magnetico, ainda

que em alguns deles este campo seja considerado fraco. Outro exemplo e a relacao existente entre

os campos magneticos e a formacao de estrelas, os campos magneticos atrapalham o colapso

gravitacional da nuvem que dara lugar a uma estrela. Os campos magneticos tambem sao

parte importante da energia total existente na galaxia. A energia da mesma esta distribuıda na

massa das estrelas, nos raios cosmicos e nos campos magneticos, constituindo, estes ultimos,

uma fracao consideravel da energia total do sistema. Um outro importante exemplo da presenca

de campos magneticos no meio interestelar tem relacao com o Sol, estes campos determinam

a dinamica das erupcoes solares, que e o modo pelo qual eles se manifestam. E observado

ainda que o campo magnetico radial do Sol, medido longitudinalmente, varia no tempo num

ciclo de 11 anos, e que o campo magnetico estimado na superfıcie solar e considerado fraco, se

comparado com os valores mais altos para aqueles estimados nas erupcoes solares [1]. Portanto,

vemos como a compreensao quanto a origem e manutencao dos campos magneticos dos objetos

cosmicos ganhou muita importancia no meio astrofısico.

Quando um campo magnetico interage com um fluido, temos um fenomeno Magne-

tohidrodinamico (MHD). No caso do meio interestelar, os campos magneticos interagem cons-

tantemente com o plasma ali existente, e assim, temos fenomenos MHD, que sao altamente

turbulentos. O que nos interessa e saber como esses campos magneticos podem ser criados e

mantidos, e assim, aparece como possibilidade bastante aceitavel, o mecanismo do dınamo, que

e simplesmente o da conversao de energia cinetica em energia magnetica.

Existem trabalhos precedentes que descrevem a relacao entre a helicidade magnetica e o

dınamo turbulento, destaque para Linkmann [25], e que apenas citam, superficialmente, uma

possıvel relacao entre a helicidade cruzada e o mecanismo do dınamo. O que faremos, no nosso

trabalho, e estudar se a helicidade cruzada tem algum papel relevante no processo de trans-

12

ferencia de energia, e consequentemente no mecanismo do dınamo, ou se ela e simplesmente

um pseudoescalar que e transportado de forma passiva, isto e, transportado via alguma outra

invariante da MHD (energia total ou helicidade magnetica).

As transferencias das quantidades invariantes ocorrem sempre que tenhamos turbulencia,

ou seja, e algo inerente ao fenomeno turbulento. A possibilidade que vamos considerar e que o

mecanismo do dınamo turbulento produza e mantenha as transferencias, sabendo que o dınamo

e um processo particular dentro do fenomeno turbulento, isto e, pode ser que ele exista, ou nao.

Esta Dissertacao esta organizada da seguinte forma. No capıtulo 2 faremos uma breve

descricao sobre a turbulencia hidrodinamica apenas, ainda sem considerar a presenca de um

campo magnetico. Falaremos da importancia do numero de Reynolds na classificacao de um

escoamento hidrodinamico, de suas invariantes e como sao suas cascatas. No capıtulo 3, ja

passamos a considerar um campo magnetico que interage com um fluido em movimento, e

comecamos a falar da turbulencia MHD e suas invariantes ideais: energia total, helicidade

magnetica e helicidade cruzada. No capıtulo 4, abordamos o tema do dınamo turbulento, suas

principais caracterısticas e condicoes para que exista e funcione. No capıtulo 5, partimos das

equacoes para a MHD, a saber, a equacao de Navier-Stokes, com uma contribuicao da forca de

Lorentz, e a equacao da inducao de Faraday, e as escrevemos no espaco de Fourier. Faremos

isso porque o espaco de Fourier e uma descricao que nos permite visualizar as transferencias

de energia e outras quantidades invariantes MHD, como a helicidade magnetica, que estaremos

tratando. Em seguida, fazemos uma decomposicao em ondas helicoidais, que sao as autofuncoes

do operador rotacional. No capıtulo 6, temos uma parte importante do trabalho, que e a do estudo

da estabilidade linear das solucoes estacionarias. As transferencias das diferentes invariantes

ideais acontecem por meio da interacao entre trıades de vetores de onda no espaco de Fourier e,

nesta analise de estabilidade, consideramos um dos tres modos, numa trıade, como estacionario,

buscando solucoes que sejam instaveis para este modo. A hipotese de instabilidade que vamos

utilizar, foi proposta por Waleffe [3] e utilizada tambem por Linkmann [25]: Quando um dos

modos na trıade torna-se instavel significa que ele decai, cedendo energia para os outros dois

modos. O trabalho desenvolvido neste capıtulo esta baseado no artigo de Linkman e outros

[25], mas bem mais desenvolvido e aprofundado. Neste sentido, a analise de estabilidade foi

feita de modo mais detalhado em nosso trabalho, alem de concluirmos que a helicidade cruzada

nao tem qualquer influencia na estabilidade, ou nao, das solucoes. No capıtulo 7, escrevemos as

equacoes de evolucao para cada invariante ideal da MHD e, a partir destas equacoes de evolucao,

obtemos, no capıtulo 8, as equacoes para o fluxo de cada quantidade invariante da MHD. Aqui

tambem fomos adiante com relacao ao trabalho de Linkmann [25]: Obtivemos a equacao de

13

evolucao para a helicidade cruzada e mostramos, de forma qualitativa, que ela e arrastada pela

energia total como um escalar passivo. A partir das equacoes para o fluxo analisamos as direcoes

das cascatas para cada quantidade invariante. No capıtulo 9 fazemos uma analise qualitativa

sobre as cascatas das tres invariantes, com destaque para a helicidade cruzada e seu grau de

importancia para a teoria do dınamo, isto e, se sua influencia e, ou nao, relevante para o dınamo

turbulento.

Em seguida, particularizamos os resultados obtidos ate entao para o caso em que o campo

magnetico seja muito pequeno.

Na conclusao, 10, revemos os principais resultados deste trabalho de dissertacao, e

esbocamos o que sera feito futuramente. Finalmente, no Epılogo, capıtulo 11, mostramos de

maneira mais concreta como faremos a confirmacao dos resultados da analise qualitativa do

capıtulo 9, isto e, encararemos o estudo de um modelo bastante usado nas pesquisas de tur-

bulencia, que e o caso de turbulencia homogenea e, usando a aproximacao analıtica conhecida

em ingles como Eddy Damped Quasi Normal Markovian, escrevemos as equacoes de evolucao para

a energia e a helicidade cruzada. Estas equacoes generalizam as obtidas por Pouquet e outros

em 1976 [29].

14

2 TURBULENCIA HIDRODINAMICA

No estudo da hidrodinamica, o tema da turbulencia nao e algo trivial. Apesar de ser um

fenomeno que pode ser observado com facilidade, nao se pode dizer o mesmo se nos referimos a

sua compreensao. Existem diferentes pontos de vista na comunidade cientıfica que vem tentando

desvendar este fenomeno fısico. Um deles e o estatıstico, que analisa a evolucao das quantidades

medias do escoamento. Uma outra via e aquela que estuda a turbulencia desde um ponto de

vista puramente determinista, com uma abordagem que envolve sistemas dinamicos, como a

estabilidade dos escoamentos em varias situacoes. Ha ainda uma terceira abordagem baseada

nos conceitos da teoria de Grupo de Renormalizacao (RNG, em ingles), que se mostrou bastante

eficaz no calculo de constantes importantes, como a de Kolmogorov e do numero turbulento de

Prandtl [28, 3]. Existem ainda outras duas possibilidades de abordagem para a turbulencia, que

sao aquelas dos experimentos de laboratorio e tambem simulacoes numericas.

Um bom motivo para o uso da abordagem estatıstica e que os escoamentos turbulentos

sao sistemas grandes, no sentido que a quantidade de graus de liberdade que interagem entre

si e consideravelmente alta. Por isso, a abordagem estatıstica pode ser vista como bastante

apropriada para o estudo da turbulencia [5]. Ainda assim, ela pode ocultar informacoes sobre

as transferencias de energia que acontecem dentro do escoamento. O que faz com que os

muitos graus de liberdade citados acima interajam e o fato de os escoamentos turbulentos serem

nao-lineares.

Um escoamento turbulento pode ser definido como aquele que e desordenado no tempo

e no espaco. Ele e tambem imprevisıvel, isto e, uma incerteza quanto ao conhecimento do

sistema num dado tempo inicial, por menor que ela seja, ira crescer, tornando impossıvel uma

determinacao confiavel da evolucao do escoamento. Fato e que um escoamento turbulento e

instavel por natureza, ou seja, e um fenomeno caotico [28].

Um escoamento pode ser classificado pelo numero de Reynolds, que e uma quantidade

adimensional e e definido como

R =ulν

(2.1)

onde u e uma velocidade tıpica do fluido, l alguma escala caracterıstica dele, e ν a viscosidade

cinematica. Quando temos um numero de Reynolds pequeno, R . 1, o escoamento e laminar.

Ja quando o numero de Reynolds e alto, R > 1, temos um escoamento turbulento [4]. Quando

Reynolds realizou seu experimento para analisar o escoamento de um fluido dentro de um

tubo, ele notou que quando tal escoamento e laminar, considerando uma escala caracterıstica l,

15

observa-se que a diferenca de pressao e proporcinal ao quadrado da velocidade media ∆U do

fluido:

∆p ∼ ρ (∆U)2 (2.2)

onde ρ e a densidade de massa. Entao, quando o escoamento apresenta turbulencia, essa

diferenca de pressao cresce consideravelmente e tera influencia na taxa de dissipacao de energia

no mesmo. Isto pode ser esbocado por meio de uma analise dimensional [4, 5]: levando em

conta a velocidade, chegamos a conclusao que a taxa de dissipacao de energia ε sera do tipo

ε ∼(∆U)3

l(2.3)

Sendo assim, no caso em que tenhamos um escoamento no qual o campo de velocidades seja

muito intenso e, portanto, tal escoamento seja altamente turbulento, observa-se que: a diferenca

de pressao tambem resultara consideravelmente alta; e os escoamentos turbulentos sao altamente

dissipativos. Desta forma, para que a turbulencia seja mantida, e necessario que energia seja

entregue ao sistema constantemente.

No regime turbulento, se notara sempre uma cascata de energia e outras quantidades,

a depender de o escoamento ser em duas ou tres dimensoes. Chamamos de cascata de uma

quantidade, uma transferencia dessa quantidade que vai de uma escala para outra (ou de um

numero de onda para outro, de um vortice turbulento para outro). Trata-se de um processo de

interacao, ou troca, da quantidade entre componentes de alguma decomposicao particular de um

campo turbulento associado com a nao linearidade e a nao localidade do fenomeno turbulento.

A caracterıstica de nao linearidade do escoamento turbulento e vista de modo mais simples

quando a turbulencia e isotropica e homogenea. Que um escoamento seja isotropico, significa

que as caracterısticas estatısticas da turbulencia sao independentes da direcao no espaco. Por

sua vez, um escoamento e dito homogeneo quando as caracterısticas estatısticas da turbulencia

sao independentes da localizacao da posicao do ponto observado no espaco.

Escoamentos desse tipo foram por vezes criticados pelo fato de serem situacoes criadas

em laboratorio, fazendo uso de simulacoes numericas, e assim, recebendo a acusacao de que

tais escoamentos sao apenas de interesse academico. Mas existem outros motivos pelos quais

vale a pena utiliza-los: destaque para a simplicidade e conveniencia analıtica, e os processos

fısicos basicos que se manifestam. Principalmente, por serem situacoes idealizadas e livres de

influencias externas (tais como cisalhamento, forca centrıfuga, campo magnetico, entre outras)

que podem ocultar os processos nao lineares [5].

16

2.1 Cascatas e invariantes ideais

Uma quantidade fundamental na analise da turbulencia e a energia. As cascatas de

energia podem acontecer em escoamentos turbulentos tridimensionais e bidimensionais. Nos

escoamentos tridimensionais incompressıveis, a turbulencia e rotacional, o que significa que

lhe e inerente possuir vorticidade em grande quantidade. A vorticidade ω e definida como o

rotacional da velocidade:

ω = ∇ × u1 (2.4)

Para vortices turbulentos, no regime inercial, o numero de Reynolds e bem maior do que

1. Consequentemente nao ha, neste regime, nenhuma dissipacao de energia nos vortices. Na

figura 2.1 esta ilustrado como se dao as transferencias de energia no espectro de Kolmogorov.

Figura 2.1: Transferencia de energia no espectro de Kolmogorov [6].

O regime inercial se da quando temos um fenomeno turbulento em que a ordem de

magnitude dos vortices grandes e muito menor que aquela da escala caracterıstica do sistema

e a ordem de magnitude dos vortices pequenos e, por sua vez, muito menor que a dos vortices

maiores [4]. A figura a seguir pode iustrar um pouco o que queremos dizer:

Algo de suma importancia na determinacao da direcao da transferencia de energia num

escoamento turbulento sao as invariantes ideais das equacoes de fluidos. Quando se trata de

escoamentos em tres dimensoes, que e o caso da presente dissertacao, tais invariantes sao a

energia e a helicidade cinetica. Esta ultima definida como a integral no volume do sistema, do

produto escalar entre a velocidade e a vorticidade:∫V

u · ω dV (2.5)

A transferencia de energia e helicidade cinetica, mediante cascatas, ocorre de forma1Nesta dissertacao, estaremos usando a notacao · para grandezas vetoriais

17

Figura 2.2: E possıvel observar, nesta imagem, a presenca de vortices maiores (no centro) emenores (a esquerda) que tornam-se sempre menores ate atingir a escala dissipativa, quando janao se esta no regime inercial.[5].

simultanea. Sendo que ambas, a energia e a helicidade, se conservam [7, 8, 9]. Essas cascatas

sao diretas, isto e, a energia e a helicidade cinetica sao transportadas desde as escalas maiores

(numeros de onda menores) para as escalas menores (numeros de onda maiores) onde sao

dissipadas pela viscosidade molecular.

Ja a teoria da turbulencia incompressıvel em duas dimensoes e vista como mais com-

plexa que em tres dimensoes [10], porque nao ha consenso quanto aos escoamentos caoticos

bidimensionais incompressıveis serem considerados como turbulentos. Isto pelo fato de que

estes escoamentos nao possuem mecanismo de vorticidade, simplesmente por nao ser possıvel

o calculo do rotacional quando se esta trabalhando num sistema bidimensional. Neste caso,

teremos uma cascata inversa de energia, ou seja, dos numeros de onda grandes para os numeros

de onda menores. Se a viscosidade for pequena, a cascata inversa ira prosseguir indefinidamente

no tempo para escalas sempre maiores transferindo virtualmente toda a energia para o numero

de onda k→ 0 [13].

A viscosidade do fluido e levada em conta para os vortices menores cujos numeros de

Reynolds sao da ordem de 1. E nestes vortices pequenos que ocorre dissipacao de energia. Por

outro lado, os vortices maiores possuem amplitudes maiores, tendo assim uma influencia muito

maior nos escoamentos turbulentos. Os vortices menores, por sua vez, tem menor amplitude,

de modo que apenas uma pequena parte da energia cinetica total presente no fluido esta ne-

les e, por isso, eles nao sao importantes levando-se em conta o padrao global do escoamento

turbulento: tal padrao vem determinado pelos vortices maiores. Diante disso, observa-se, a res-

peito da transferencia de energia em escoamentos turbulentos em tres dimensoes, que a energia

passa desde vortices maiores para vortices menores, nao ocorrendo, no caso de regime inercial,

18

praticamente nenhuma dissipacao neste processo. Em outras palavras, existe um escoamento

contınuo de energia desde os vortices maiores para os menores, ou seja, desde numeros de onda

pequenos para grandes [4].

Na turbulencia de Navier-Stokes, essas transferencias de energia ocorrem por meio de

interacoes entre trıades de vetores de onda no espaco de Fourier. Quando a interacao ocorre

entre escalas similares, esta e denominada interacao local, ou seja, a transferencia de energia

ocorre entre vetores de onda de mesmo comprimento. Ja as interacoes nao locais ocorrem

quando temos uma trıade de vetores de onda na qual uma das componentes e muito menor que

as outras duas.

No caso de cascata direta, a energia e transferida desde o numero de onda menor para

os dois maiores, ou seja, neste caso as cascatas de energia serao sempre na direcao das escalas

menores. Alem disso, cascatas diretas implicarao sempre transformacao nao local de energia.

No caso de cascata inversa, a energia vai do numero de onda medio para o maior e o menor,

sendo que a maior parte da energia transferida vai para o numero de onda maior, ou de pequena

escala. Essas cascatas inversas aparecem nas interacoes nao locais com transferencia de energia

local [3]. A seguir temos uma figura que exemplica o cascateamento inverso e direto de energia:

Figura 2.3: (a) cascata inversa de energia: a energia e transferida desde o numero de onda mediopara o maior e o menor; (b) cascata direta de energia: a energia e transferida desde o numero deonda menor para os dois maiores [3].

A caracterıstica da nao localidade e considerada como um dos motivos que fazem com

que o estudo da turbulencia seja tao complexo. Do ponto de vista fısico, o aspecto nao local

esta presente por conta da pressao fazer com que surjam forcas de longo alcance no escoamento

turbulento. Por outro lado, a nao localidade vem como consequencia do acoplamento entre

pequenas e grandes escalas que estao presentes nos problemas que apresentam decomposicoes

de escoamentos turbulentos.

19

Como falamos acima, as interacoes em questao se dao no espaco de Fourier, e sao trıades

de vetores de onda tais que

k + p + q = 0 (2.6)

onde k, p e q sao justamente os vetores de onda que compoem a trıade (ver novamente a figura

2.3 acima, e a figura B.1 no Apendice B). Isto e assim pelo fato de as equacoes com as quais

vamos tratar conterem termos nao lineares quadraticos. Quando aplicamos a transformada de

Fourier nestes termos, e necessario que a soma dos vetores de onda p e q, de cada fator dos

termos quadraticos, seja igual ao vetor de onda (ou menos ele) dos termos lineares, para que

esses termos nao lineares nao se anulem. Por isso deve ser satisfeita a soma vetorial acima.

Quem reconheceu que este processo se da no espaco de Fourier e nao no espaco fısico foi

Neumann [12]. A energia e tanto injetada quanto dissipada no sistema. A entrega de energia

acontece no limite macroscopico (numero de onda pequeno), o que quer dizer que ela tem sua

origem nos movimentos macroscopicos forcados, ou na manutencao forcada do gradiente de

pressao. A dissipacao, por sua vez, se da principalmente no limite microscopico, uma vez que

e devido ao atrito entre moleculas, sendo mais efetivo em escoamentos com alto gradiente de

velocidade, ou seja, em vortices pequenos. Sendo assim, o aspecto estatıstico da turbulencia e

essencialmente aquele do transporte de energia no espaco da transformada de Fourier [5].

20

3 TURBULENCIA MHD

Consideremos agora o caso em que um campo magnetico interage com um escoamento

envolvendo um fluido condutor eletrico. O estudo desse tipo de problema chama-se Magnetohi-

drodinamica (MHD). A presenca de um campo magnetico faz com que qualquer escoamento

carregado eletricamente sofra uma influencia pela acao desse campo, independentemente de

o escoamento ser natural ou ter sido criado em laboratorio. Escoamentos influenciados por

campos magneticos estao muito presentes na geofısica e astrofısica. Alguns exemplos sao: o

movimento dos fluidos no nucleo da Terra, que mantem o campo magnetico do planeta, e as

manchas e erupcoes solares geradas pelo campo magnetico solar [7].

Se um campo magnetico interage com um escoamento carregado eletricamente, e notorio

que o que estara acontecendo e uma interacao entre um campo magnetico B com um campo de

velocidades u. Essa interacao ira provocar a geracao, por inducao, de um novo campo magnetico

que ira interferir no movimento do fluido (ver figura 3.1). Entao, o campo magnetico original

com o qual o fluido e posto em interacao exerce uma forca na corrente eletrica e isso faz com

que o movimento do fluido seja modificado. A corrente, por sua vez, tambem modifica aquele

campo magnetico, e estas modificacoes podem ser consideraveis e complicadas, a depender da

intensidade do campo magnetico aplicado e tambem da magnitude da corrente eletrica presente

no fluido. Se, por outro lado, tivermos o caso em que um campo eletromagnetico atue num

fluido em movimento, porem este nao esteja carregado eletricamente, nenhuma mudanca sera

observada em seu movimento [7, 14].

Para estudar tal situacao e ver como se da esse comportamento complicado dos escoamen-

tos magnetohidrodinamicos, faz-se necessario o uso combinado das equacoes que governam a

mecanica dos fluidos com aquelas que governam a eledrodinamica. A forca que a corrente

eletrica sofre, por conta da atuacao do campo magnetico sobre ela, e a forca de Lorentz. Se

consideramos que o campo eletrico total seja dado pela soma vetorial entre o campo eletrico do

fluido em repouso (E), e o campo eletrico devido ao movimento do fluido (u × B), teremos a lei

de Ohm para a MHD:

J = σ(E + u × B

)(3.1)

onde J e a densidade de corrente e σ a condutividade eletrica do fluido.

O movimento macroscopico do fluido carregado produz um campo eletrico de modulo

|u×B| [7]. E evidente que o campo magnetico, que foi gerado por meio da inducao referida acima,

implicara tambem no surgimento de uma nova corrente eletrica. Ocorre ainda que o campo

21

Figura 3.1: Interacao entre um campo magnetico inicial B0 com um campo de velocidades u. Egerado um novo campo magnetico B1 induzido por uma corrente [7].

original sera incrementado (ou diminuıdo) pelo campo gerado por inducao e, simultaneamente,

o campo magnetico resultante vai interagir com a corrente eletrica acima citada. Com tudo isso,

a forca eletromagnetica (forca de Lorentz) tendera a crescer (ou diminuir) gradativamente, pois

serao gerados sempre novos campos magneticos [17].

No limite de alta condutividade (σ→∞), as linhas de campo magnetico sao arrastadas

pelo fluido, ao passo que o campo magnetico tende a puxar os fluidos condutores. Tal situacao

provoca disturbios (turbulencia) no fluido, fazendo com que este oscile quase que elasticamente.

Nesta situacao, a variacao do campo magnetico sera proporcional ao prolongamento de suas

correspondentes linhas no fluido [7]. Quanto mais se prolongam as linhas de campo magnetico,

mais forte este se torna. Isto nos leva a afirmar que a intensidade do campo magnetico aumenta

(ou diminui) de acordo com o aumento (ou reducao) da escala espacial de variacao do mesmo.

Sendo assim, tambem a energia magnetica vai variar proporcionalmente a esta escala espacial,

de modo que quanto menor for esta ultima, maior tera sido a dissipacao da energia magnetica

no escoamento. Como estamos falando de um movimento turbulento, essas linhas de campo

magnetico podem nao somente se prolongar ou contrair no escoamento, mas tambem emaranhar-

se. Este emaranhamento tambem provoca uma reducao na escala espacial. Teremos entao

um constante e simultaneo fluxo de energia desde as grandes para as pequenas escalas [14].

Reconhecemos aqui uma situacao de cascatas diretas de energia.

Esta aproximacao que se faz para condutividade infinita e bastante usual em muitos

meios astrofısicos, como no caso das erupcoes solares. A lei de Ohm para MHD, ha pouco

22

citada, podera ser escrita como

E + u × B = 0 (3.2)

e sua aplicacao na lei de Faraday tambem implicara uma simplificacao na mesma. Gracas a

isso, os processos fısicos que ocorrem no fluido em movimento podem ser analisados com mais

clareza [15].

O que define o quanto um campo de velocidades pode influenciar um campo magnetico

e o produto entre a velocidade tıpica do escoamento, a condutividade do fluido e a escala

caracterıstica do movimento. Essas quantidades podem ser combinadas na forma adimensional,

σul. E este produto que permite determinar qual relacao existe entre o campo magnetico induzido

e o aplicado no sistema. Isso pode ser verificado substituindo a lei de Ampere na lei de Ohm,

na qual o campo eletrico a ser considerado e apenas aquele do fluido em movimento. Obtemos

algo do tipo

∇ × B1 = σ(u × B0

)(3.3)

onde B0 seria o campo aplicado e B1 o campo induzido. Fazendo uma analise dimensional

podemos observar que a relacao entre os dois campos magneticos sera

B1 ∼ σulB0 (3.4)

Assim como na hidrodinamica temos um parametro muito importante, que e o numero de

Reynolds, na MHD temos tambem o numero magnetico de Reynolds, que e definido justamente

pelo produto Rm = σul, do qual ja comecamos a falar no paragrafo anterior. Se consideramos a

lei de Faraday, depois que substituimos nela a lei de Ohm para a MHD, obtemos:

∂B∂t

=c2

4πσ∇

2B + c∇ ×(u × B

)(3.5)

Quando temos a situacao na qual o numero magnetico de Reynolds e muito grande

(Rm 1), teremos, como consequencia, que o termo contendo a condutividade, que aparece na

lei de Faraday acima, sera muito pequeno, podendo ser desprezado. Levando isso em conta, e

mais a definicao do fluxo magnetico que passa atraves de uma superfıcie fechada:

Φ =

∫S

B · ds (3.6)

e possıvel verificar, usando o teorema de Stokes, que o fluxo magnetico se conserva durante

o escoamento. Se Rm for pequeno, temos a situacao em que σul → 0. Neste caso, o campo

23

magnetico original ira decair resistivamente e o fluxo magnetico nao sera conservado. [7, 14].

Essas caracterısticas de que tratamos ate aqui quanto a interacao entre campo de velo-

cidades e campo magnetico sao muito importantes para compreender a teoria do dınamo na

MHD. Sobretudo no que diz respeito ao comportamento de um escoamento MHD com Rm 1,

pois o motivo principal pelo qual se comecou a desenvolver a teoria do dınamo MHD foi a

busca em entender como se da a origem e manutencao dos campos magneticos da Terra, do Sol,

das estrelas e outros corpos cosmicos [17], onde, com excecao da Terra e dos outros planetas, o

estado de suas materias e o plasma com Rm 1. Entao, e possıvel afirmar que nestes corpos

cosmicos, que estao permeados por campos magneticos, ocorrem as situacoes ate aqui descritas

num escoamento MHD. No caso dos movimentos turbulentos presentes no meio interestelar,

energia mecanica e fornecida por processos existentes na galaxia, como as supernovas, as quais

agitam o plasma interestelar. Tal energia e convertida em energia magnetica: este e o chamado

efeito dınamo. Nesta situacao o campo magnetico nao decresce, ao contrario, ele e mantido e

ate mesmo aumentado pelo proprio movimento do fluido [18].

Uma caracterıstica importante do mecanismo do dınamo e a de que o sistema nao deve

possuir simetria reflexional. “Um campo turbulento possui simetria reflexional se as quantidades

provenientes dele sao invariantes quando o campo e refletido num plano arbitrario” [18]. Um

bom exemplo para poder visualizar isso e o caso de um escoamento turbulento onde os seus

movimentos helicoidais nao possuem uma orientacao preferencial. Quando isso nao acontece, os

movimentos helicoidais presentes no escoamento turbulento irao ocorrer mais numa orientacao

que na outra, ou seja, ele tera helicidade. Por conta disso, sera produzido um campo eletrico

que sera paralelo ao campo magnetico (efeito α). Tal efeito so acontecera na ausencia de simetria

reflexional e ele pode ser, em princıpio, considerado como inesperado, uma vez que o campo

eletrico e, como ja vimos acima, da ordem de u × B [17, 18].

3.1 Invariantes ideais

Devemos falar tambem a respeito das quantidades invariantes da MHD ideal, que sao

tres: a helicidade magnetica, a helicidade cruzada e a energia total. A helicidade magnetica e

definida como a integral, no volume do sistema, do produto escalar entre o potencial vetorial

magnetico e o campo magnetico: ∫V

A · B dV (3.7)

E possıvel notar sua semelhanca com a definicao da helicidade cinetica em (2.5), quando con-

sideramos a relacao existente entre as quantidades que compoem seus respectivos produtos

24

escalares. Em ambos os casos temos o produto escalar de uma quantidade, com o seu rotacional:

∇ × u = ω

e

∇ × A = B (3.8)

A helicidade magnetica tambem e invariante numa transformacao de calibre, na condicao

em que a componente do campo magnetico normal a superfıcie que encerra o volume de

integracao seja nula (Bn = 0), isto e, as linhas de campo magnetico nao atravessam essa su-

perfıcie [21]. Com relacao a conservacao da helicidade magnetica, ela ira ocorrer no caso de

condutividade alta (σ→∞) e sua consequencia e que a topologia do campo magnetico, isto

e, o numero de nos e de torcoes nao triviais das linhas de campo, se conserva. Sendo assim,

tanto a componente normal do campo magnetico quanto a do campo de velocidades deverao

ser ortogonais a uma superfıcie tal e qual a que ja foi citada acima. Ou seja, teremos a condicao

em que Bn = 0 e un = 0 [19]. A helicidade magnetica esta associada ao aparecimento de campos

magneticos de grande escala. Em escoamentos turbulentos, ela apresenta cascata inversa, isto e,

de escalas menores para maiores, no regime inercial (aquele onde as quantidades se distribuem

entre escalas diferentes, sem dissipacao).

Num escoamento MHD estao presentes tubos de fluxo magnetico, que podem estar retor-

cidos, enroscados, amarrados e/ou entrelacados. Essas sao diferentes caracterısticas topologicas

nao triviais que os tubos de fluxo podem assumir. um exemplo de como dois tubos de fluxo

podem estar entrelacados pode ser visto na figura 3.2. O calculo da integral no volume do

sistema do produto escalar entre o potencial vetor e o campo magnetico leva em conta todas

essas topologias, sem ter que calcular cada uma separadamente. Porque apesar de existirem

propriedades topologicas especıficas, todas elas evoluem da mesma forma. Todas elas vao sofrer

cascata inversa e tambem vao contribuir para a inducao de um campo magnetico em grande

escala. Por isso, o que nos interessa realmente e a helicidade magnetica total. Quanto maior

seja a quantidade dessas torcoes e acoplamentos dos tubos de fluxo, maior sera a quantidade de

conjuntos de helicidade magnetica destes tubos. Isto nos leva a imaginar o quao complicadas

podem apresentar-se essas configuracoes.

O estudo da helicidade magnetica e muito relevante para compreender os campos magne-

ticos astrofısicos. Um exemplo disso, senao o melhor, e de como se manifesta a helicidade

magnetica no Sol. O modo como este gira em torno de seu eixo e uma rotacao diferencial, isto

e, podemos imagina-lo como uma esfera constituıda por varios aneis que giram com diferentes

25

Figura 3.2: Relacao entre dois tubos de fluxo magnetico entrelacados [21].

velocidades angulares. Os aneis mais proximos a sua regiao equatorial giram com maior velo-

cidade angular que aqueles mais proximos de seus polos. Existe um campo magnetico poloidal

que se enrola sob a acao da rotacao diferencial. Este enrolamento ocorre num sentido em um

dos hemisferios e em outro sentido no outro hemisferio, como mostra a figura 3.3 a seguir. Por

conta deste movimento, ha um acumulo de helicidade de um sinal no hemisferio norte e de

helicidade de outro sinal no hemisferio sul, de modo que o Sol possui grande quantidade de

helicidade magnetica e funciona como uma especie de bateria, emitindo grande quantidade de

helicidade magnetica no meio interestelar [21]. Essa emissao acontece atraves das erupcoes so-

lares, que acontecem por regioes na superfıcie solar. Quando a erupcao acontece no hemisferio

norte, e injetada helicidade de um sinal no meio interestelar, quando ocorre no hemisferio sul, e

injetada helicidade de outro sinal. Quando ocorrem erupcoes solares, significa que a helicidade

magnetica ja nao se conserva naquela regiao.

Outra possibilidade de explicacao para o sinal da helicidade magnetica em cada he-

misferio do Sol, sao os tubos de fluxo presentes nas regioes solares ativas, que sao acometidos

por um campo de velocidades aleatorio. A energia cinetica decorrente deste campo de velo-

cidades causa uma torcao nas linhas de campo magnetico que envolvem o eixo do tubo de

fluxo. Essa torcao ocorre num sentido oposto aquele das linhas de campo dentro do tubo, como

consequencia da conservacao da helicidade magnetica.[22]

Pode ainda acontecer que os sinais diferentes nos hemisferios sejam devidos a relacao

entre os tubos de fluxo dos campos magnetico toroidal e poloidal. As linhas do campo poloidal

acabam se enrolando nos tubos de fluxo do campo toroidal, o que faz com que surjam torcoes

26

em sentido oposto num ou noutro hemisferio.[22]

Figura 3.3: Devido a rotacao diferencial no Sol, as linhas de seu campo magnetico poloidal seenrolam num sentido no hemisferio norte e em outro sentido no hemisferio sul [21, 23].

Uma outra invariante da MHD e a helicidade cruzada, que e definida como a integral de

volume do produto escalar entre o campo de velocidades do escoamento e o campo magnetico

[19]: ∫V

u · B dV (3.9)

De modo analogo, como a helicidade magnetica descreve a relacao entre as linhas de

campo magnetico, a helicidade cruzada nos permite ter uma ideia quanto a ligacao das linhas

de campo magnetico com as linhas de velocidade no escoamento.

As condicoes para a conservacao da helicidade cruzada sao as mesmas que para a helici-

dade magnetica, isto e, Bn = 0 e un = 0, e tambem que a viscosidade molecular e a difusividade

sejam nulas. Uma caracterıstica comum tanto a helicidade magnetica quanto a helicidade cru-

zada e a de que sao pseudo-escalares, ou seja, nao tem sinal definido. Uma boa definicao para a

caracterıstica peseudo-escalar da helicidade cruzada e dada por Yokoi [24], como segue: “uma

inversao do sistema de coordenadas e equivalente a uma combinacao de transformacoes de

rotacao e reflexao. Isto corresponde a mudanca do sistema de coordenadas do lado direito

para o lado esquerdo. A velocidade e um vetor polar cujas componentes mudam de sinal sob

inversao(xi7→ xi = −xi

)como ui

7→ ui = −ui, enquanto o campo magnetico e um vetor axial

27

cujas componentes nao mudam seu sinal: bi7→ bi = bi (onde o · denota uma quantidade sob

inversao). Definida como o produto escalar entre os campos de velocidade e magnetico, a

helicidade cruzada varia seu sinal sob inversao como Hc7→ Hc = −Hc. Em um sistema com

simetria reflexional, todas as quantidades estatısticas mostram f (r) 7→ f( ˆr)

= f (−r) = f (r). Ao

mesmo tempo, por definicao, uma quantidade pseudo-escalar muda seu sinal sob inversao como

f (r) 7→ f( ˆr)

= f (−r) = − f (r). Portanto, uma quantidade pseudo-escalar num sistema com sime-

tria reflexional obedece f (r) = − f (r). Desta forma, um pseudo-escalar sempre desaparece num

sistema com simetria reflexional: f (r) = 0. Ou seja, um valor finito de um pseudo-escalar apa-

rece apenas num sistema que nao possua simetria reflexional. Neste sentido, um pseudo-escalar

esta sempre associado a falta de simetria reflexional.” O fato de tanto a helicidade magnetica

quanto a helicidade cruzada serem pseudo-escalares, mostra sua relacao e importancia para o

mecanismo do dınamo, que tem como uma condicao para a sua existencia justamente a falta de

simetria reflexional, como ja foi falado anteriormente.

Por fim, a energia total e a soma da energia cinetica com a energia magnetica presentes

no escoamento e sua conservacao tambem se da no caso em que Bn = 0 e un = 0, e a viscosidade

cinematica e a difusividade sejam nulas. A energia e um escalar e portanto sua existencia

independe de o sistema possuir, ou nao, simetria reflexional.

Aqui e valido destacar que os fluxos das tres invariantes citadas acima podem ser de

grande relevancia para o mecanismo do dınamo. Estudaremos, mais adiante nos capıtulos 8 e

9, os fluxos de cada invariante da MHD, como se relacionam entre si e como sao suas cascatas.

28

4 DINAMO TURBULENTO

Como ja falamos acima, a teoria do dınamo teve como motivacao principal a busca por

explicacoes quanto a origem e caracterısticas dos campos magneticos existentes na Terra, Sol e

outros objetos cosmicos. Uma das hipoteses para a origem de um campo magnetico poderia

ser a magnetizacao do tipo ferromagnetica. Neste caso, a magnetizacao da origem a um campo

magnetico molecular. Lembremos que a magnetizacao e definida como o momento magnetico

por unidade de volume:

M = lim∆v→0

1∆v

∑i

mi (4.1)

Segundo Heisenberg, os momentos magneticos de spin sao os unicos que contribuem para o

campo molecular. No caso de ferromagnetismo, os momentos magneticos sao quase alinha-

dos, motivo pelo qual se pode falar de magnetizacao espontanea. “Heisenberg demonstrou,

com fundamento na mecanica quantica, que, quando os spins dos atomos vizinhos mudam

de alinhamento paralelo para alinhamento antiparalelo, deve ocorrer uma variacao simultanea

na distribuicao da carga eletronica nos atomos. A variacao na distribuicao de carga altera a

energia eletrostatica do sistema e, em certos casos, favorece o alinhamento paralelo, que e jus-

tamente o caso do ferromagnetismo [15].” Essa teoria ajudou a prever como a magnetizacao

de uma substancia ferromagnetica varia com relacao a temperatura. Existe uma temperatura

crıtica para cada substancia ferromagnetica. Quando tal temperatura e excedida, ja nao acontece

magnetizacao via ferromagnetismo, e sim paramagnetismo, que e o caso em que “os atomos (ou

moleculas) de um sistema tem momentos magneticos permanentes, e tendem a orientar-se num

campo magnetico aplicado, e a aumenta-lo por inducao [15].” Desta forma, o ferromagnetismo

pode ser visto como um caso limite do paramagnetismo.

O efeito do paramagnetismo decorre do fato de que cada eletron possui spin e momento

magnetico associado com o mesmo. Desta forma, as moleculas terao momento magnetico

resultante da soma entre os momentos orbitais e de spin oriundos dos varios eletrons presentes

nelas. Outra caracterıstica do paramagnetismo e sua alta sensibilidade a temperatura: a medida

que ela for mais baixa, maior sera o efeito paramagnetico, sobretudo se o motivo da baixa

temperatura for o menor numero de colisoes entre as moleculas, favorecendo o alinhamento

ja explicado. Um efeito contrario ao paramagnetismo e o diamagnetismo: quando um campo

magnetico e aplicado num atomo, o efeito deste campo e enfraquecido em decorrencia da

modificacao sofrida pelas camadas eletronicas devido ao proprio campo aplicado. O efeito do

diamagnetismo e mais intenso em materiais que sao constituıdos apenas por atomos ou ıons que

29

possuem camadas eletronicas completas, de modo que todas as contribuicoes paramagneticas

acabam por serem canceladas [15, 16].

No caso da Terra, as causas de seu campo magnetico concentram-se no seu nucleo, e

acreditava-se que eram devidas a magnetizacao permanente por ferromagnetismo. No entanto,

a temperatura no nucleo terrestre e muito acima da chamada temperatura crıtica, na qual os

materiais ferromagneticos perdem a sua magnetizacao permanente. Assim, a possibilidade

de magnetizacao por ferromagnetismo acabou sendo descartada. Essa hipotese tambem foi

desconsiderada em relacao ao Sol, uma vez que a temperatura la e muito maior e, ademais, um

campo oscilante deveria ser explicado [17, 18].

A outra possibilidade para a geracao de campos magneticos esta ligada ao movimento

de partıculas livres carregadas que geram uma corrente eletrica. Para que estas possam existir,

sao necessarias duas condicoes: materia carregada eletricamente, e campo eletrico ou forca

eletromotriz. Se, por exemplo, tivermos o caso em que existe um campo eletrico por um motivo

qualquer mas nao ha forca eletromotriz, este campo eletrico, junto com a corrente eletrica e o

campo magnetico associados a ele ira obrigatoriamente decair, e toda a energia acumulada por

eles sera dissipada em calor.

Uma forca eletromotriz pode ser tanto de natureza nao-eletromagnetica quanto de natu-

reza eletromagnetica. Apesar de aquelas do primeiro tipo existirem nos objetos cosmicos (tais

como as diferentes massas de partıculas carregadas positiva e negativamente quando aceleradas

ou inomogeneidades na composicao e na temperatura da materia), foi observado atraves de

analises que, no caso da Terra, os campos magneticos gerados desta forma nao estavam em

conformidade com o observado. Ja em relacao ao Sol, os campos magneticos gerados, a par-

tir de forca eletromotriz de natureza nao-eletromagnetica, nao sao bem entendidos por conta

de sua dependencia temporal. No caso de outras estrelas, a estrutura geometrica dos campos

magneticos assim gerados nao esta em conformidade com o observado. Por esses motivos,

foi possıvel estabelecer que as forcas eletromotrizes de natureza nao-eletromagnetica nao sao

adequadas para explicar globalmente os campos magneticos da Terra e dos objetos cosmicos.

Dentre as forcas eletromotrizes de natureza eletromagnetica, a mais simples delas e aquela de-

vida a presenca de um campo magnetico cuja descricao e dada pelo termo de Lorentz(u × B

)na

equacao de inducao, que e muito importante na teoria MHD. E justamente esta forca eletromotriz

a responsavel pela atuacao de um dınamo na geracao de corrente eletrica.

Quando se trata de um dınamo excitado externamente (por exemplo, dınamo numa

central hidreletrica ou termoeletrica), o campo magnetico que gera a forca eletromotriz existe

independentemente desta forca e das correntes oriundas da mesma. No caso de um dınamo auto-

30

excitado, sao as correntes eletricas que ajudam na geracao do campo magnetico. A existencia

de um campo magnetico externo se faz necessaria somente no instante inicial do processo, e

nao ha a necessidade de que este campo seja forte, podendo ser este um campo arbitrariamente

pequeno (denominado campo semente). Este campo magnetico, que devera ser produzido por

alguma fonte externa, sera necessario apenas para que o dınamo comece a trabalhar. A situacao

subsequente e que a forca eletromotriz, a corrente eletrica e o campo magnetico irao influenciar-

se mutuamente, de modo que as tres grandezas crescam permanentemente. O crescimento sera

restringido somente se as forcas mecanicas no processo forem insuficientes para mante-lo ou

algum outro fator limite tal crescimento.

O modo como funciona um dınamo auto-excitado permite perguntarmo-nos se os cam-

pos magneticos dos objetos cosmicos podem ser explicados atraves desse mecanismo, uma

vez que em todos eles existem movimentos internos. O princıpio do dınamo acabou sendo a

possibilidade mais convincente para encontrar explicacoes gerais quanto a origem dos campos

magneticos dos objetos cosmicos. Entao, a pergunta que surgiu foi a seguinte: e possıvel que

num dado sistema existam movimentos internos que possam, nao so manter, mas ate mesmo

fazer crescer um campo magnetico? Se a resposta for positiva, sob quais condicoes deveria acon-

tecer, e qual tipo de forcas gerara o movimento? Para que um dado campo magnetico cresca

continuadamente, e necessario que os movimentos internos de que falamos acima permanecam

imutaveis. No entanto, estes movimentos sao influenciados pela forca de Lorentz resultante

do campo magnetico. A medida que este campo magnetico torna-se mais forte, mais impor-

tante sera sua influencia no processo. Quando estudamos estes movimentos ainda sem levar

em conta seus aspectos dinamicos, isto e, suas causas, estamos lidando com o problema do

dınamo cinematico, que e um primeiro passo para a solucao do problema MHD completo. As

condicoes para que um dınamo seja construıdo estao ligadas a estrutura geometrica dos campos

magnetico e de velocidades. Neste sentido, surgiram alguns teoremas que especificavam tais

condicoes. Um deles foi o de Cowling, que afirmou que um campo magnetico estacionario simetrico

com respeito a um dado eixo nao pode ser mantido por um campo de velocidades estacionario que seja

simetrico ao mesmo eixo (teoria do anti-dınamo) [17]. Mais tarde se chegou a conclusao que um

campo magnetico desse tipo nao poderia ser mantido por nenhum campo de velocidades. Isto e,

seja o campo de velocidades axial ou nao-axial, ele so podera manter um campo magnetico nao

axial. Sendo assim, um campo magnetico estacionario e axial nao podera ser mantido pela acao

de um dınamo. Braginskii generalizou o teorema de Cowling para o caso em que a geometria

dos campos seja esferica, a condutividade eletrica constante e campos magneticos que nao sao

estacionarios [18]. Ele afirmou que campos que sejam simetricos em relacao a um dado eixo

31

serao obrigados a decair se o campo de velocidades for solenoidal (isto e, no caso de incom-

pressibilidade: ∇ · u = 0), e simetrico ao mesmo eixo. No entanto, posteriormente foi visto que

esta condicao pode ser generalizada para qualquer campo de velocidades que seja solenoidal,

ainda que nao possua tal propriedade de simetria. Vemos como todas essas descobertas tiveram

como ponto de partida o teorema de Cowling e estao voltadas as condicoes de simetria para a

existencia do campo magnetico.

32

5 EQUACOES PARA A MHD INCOMPRESSIVEL

Para os desenvolvimentos matematicos deste capıtulo, seguiremos a notacao e forma-

lismo desenvolvido no trabalho de Linkmann e colaboradores [25]. As equacoes da MHD

para escoamentos incompressıveis sao, como segue, a de Navier-Stokes e aquela da inducao de

Faraday:∂u∂t

= −∇pρ−

(u · ∇

)u +

14πρ

(∇ × B

)× B + ν∇2u (5.1)

∂∂t

B = −c∇ × E (5.2)

E e o campo eletrico total detectado por um observador, o qual visualiza o fluxo escoando

com uma velocidade u. Usando a lei de Ohm, J = σE, onde σ e uma condutividade eletrica

constante, podemos decompor o campo eletrico da seguinte forma:

E =Jσ−

u × Bc

(5.3)

ondeJσ

: campo do fluido em repouso (5.4)

u × Bc

: campo devido ao movimento do fluido (5.5)

Usando esta decomposicao no lado direito da equacao (5.2) e assumindo que a condutividade

seja uniforme, teremos

∇ × E =1σ∇ × J − ∇ ×

(u × B

c

)(5.6)

usando a lei de Ampere

J =c

4π∇ × B (5.7)

podemos escrever

∇ × J = −c

4π∇

2B (5.8)

Assim, a lei de Faraday pode ser reescrita da seguinte forma:

∂B∂t

=c2

4πσ∇

2B + ∇ ×(u × B

)(5.9)

A condicao de incompressibilidade e

∇ · u = 0 (5.10)

33

e isto indica que o escoamento sera descrito por seu rotacional. Para mostrar este fato explicita-

mente na equacao de Navier-Stokes, usamos a seguinte relacao:

(u · ∇

)u =

12∇u2− u ×

(∇ × u

)(5.11)

por meio da qual a equacao para o momento sera

∂u∂t

= −∇

[pρ

+12

u2

]+ u ×

(∇ × u

)+

14πρ

(∇ × B

)× B + ν∇2u (5.12)

Tomando a divergencia da equacao acima, podemos usar a condicao de incompressibilidade,

resultando:

0 = −∇2

[pρ

+12

u2

]+ ∇ ·

[u ×

(∇ × u

)+

14πρ

(∇ × B

)× B

](5.13)

a partir disto, podemos escrever formalmente

pρ

+12

u2 =∇·

∇2

[u ×

(∇ × u

)+

14πρ

(∇ × B

)× B

](5.14)

Substituindo esta expressao no lado direito da equacao (5.12), obtemos a equacao de Navier-

Stokes para escoamentos incompressıveis, isto e

∂u∂t

=

(I −∇∇·

∇2

) [u ×

(∇ × u

)+

14πρ

(∇ × B

)× B

]+ ν∇2u (5.15)

onde a expressao entre parentesis e o operador projecao sobre o espaco da solucao incompressıvel

da equacao de Navier-Stokes.

5.1 Transformada de Fourier

Neste trabalho estaremos analisando os processos envolvendo transferencia de energia

em escoamentos turbulentos MHD, que ocorrem mediante a interacao entre trıades de vetores

de onda no espaco de Fourier. Sendo assim, passaremos a trabalhar com as equacoes de Navier-

Stokes e da lei de inducao de Faraday neste espaco. Iniciamos, entao, escrevendo a transformada

de Fourier para os campos de velocidade e magnetico

u (r, t) =1

(2π)3/2

∫dk u

(k, t

)eik·r (5.16)

34

eB (r, t)(4πρ

)1/2 =1

(2π)3/2

∫dk b

(k, t

)eik·r (5.17)

Como u (r, t) e B (r, t) sao campos reais, sua transformada de Fourier deve satisfazer

g∗(−k, t

)= g

(k, t

), onde g denota cada u ou b e o asterisco indica complexo conjugado. Le-

vando as equacoes acima, (5.16) e (5.17), nas equacoes (5.9) e (5.15), as equacoes da MHD no

espaco de Fourier serao[∂∂t

+ νk2

]u(k, t

)= −i

[I −

kk·k2

]1

(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p ×

(q × u∗q

)+

(q × b∗q

)× b∗p

](5.18)

e [∂∂t

+c2k2

4πσ

]b(k, t

)=

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)k ×

(u∗p × b∗q

)(5.19)

onde δ(p + q + k

)e a funcao delta de Dirac. Fizemos up ≡ up

(p, t

)e similarmente para uq, bp e

bq, que sao os campos de velocidade e magneticos nos distintos modos da trıade. Os calculos

detalhados para a obtencao das equacoes acima encontram-se no Apendice A. E conveniente

fazer a simetrizacao nas equacoes acima para p e q. Teremos entao[∂∂t

+ νk2

]u(k, t

)= −

[I −

kk·k2

]i

2 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) u∗p ×

(q × u∗q

)+ u∗q ×

(p × u∗p

)+

[(q × b∗q

)× b∗p +

(p × b∗p

)× b∗q

](5.20)

e [∂∂t

+c2k2

4πσ

]b(k, t

)=

i

2 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)k ×

[(u∗p × b∗q

)+

(u∗q × b∗p

)](5.21)

5.2 Decomposicao em ondas helicoidais

A condicao de incompressibilidade (5.10) e o fato de que ∇ · B = 0, requerem que tanto o

campo de velocidades (uk) quanto o campo magnetico(bk

), no espaco de Fourier, sejam ortogo-

nais ao vetor de onda k. Assim, cada um destes campos vetoriais pode ser decomposto em ondas

helicoidais. Estas ondas sao helicoidalmente polarizadas e, como elas sao as autofuncoes do ope-

rador rotacional, descrevem completamente as caracterısticas de um escoamento incompressıvel.

35

Escrevemos entao os campos de velocidade e magnetico, em termos das ondas helicoidais:

uk =∑

sk

vsk (t) hsk

(k)

(5.22)

bk =∑

sk

bsk (t) hsk

(k)

(5.23)

Notamos que vsk (t) e bsk (t) sao escalares, e hsk

(k)

sao as autofuncoes vetoriais do operador

rotacional (ver Apendice B). O que temos acima sao os campos magnetico e de velocidades

escritos como combinacoes lineares dos hsk . Substituindo as decomposicoes helicoidais em

(5.21), a lei de Faraday podera ser escrita agora como segue:[∂∂t

+c2k2

4πσ

]bsk =

i

4 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

(v∗sp

b∗sq− v∗sq

b∗sp

) [k ×

(h∗sp× h∗sq

)]·h∗sk

(5.24)

De acordo com (B.12), podemos escrever o que segue:

[k ×

(h∗sp× h∗sq

)]· h∗sk

= −iskk(h∗sp× h∗sq

)· h∗sk

(5.25)

e a expressao (5.24) e, entao, reescrita como[∂∂t

+c2k2

4πσ

]bsk =

skk

4 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

(v∗sp

b∗sq− v∗sq

b∗sp

)g∗kpq (5.26)

A vantagem em usar a decomposicao em ondas helicoidais nas duas equacoes e que

passaremos a trabalhar com equacoes escalares. Toda a informacao vetorial fica contida no fator

geometrico g∗kpq =(h∗sp× h∗sq

)· h∗sk

(ver Apendice B).

Para lidar com a equacao de Navier-Stokes, comecamos observando que

h∗sk·

[I −

kk·k2

]= h∗sk

(5.27)

pois h∗sk· k = 0 (isto tambem pode ser visto no Apendice B). Teremos entao

[∂∂t

+ νk2

]vsk =

−i

4 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

v∗sp

v∗sq

[h∗sp×

(q × h∗sq

)+ h∗sq

×

(p × hsp

)]+ b∗sp

b∗sq

[(q × h∗sq

)× h∗sp

+(p × h∗sp

)× h∗sq

]· h∗sk

(5.28)

36

ou equivalentemente[∂∂t

+ νk2

]vsk =

−i

4 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

(v∗sp

v∗sq− b∗sp

b∗sq

)[h∗sp×

(q × h∗sq

)+ h∗sq

×

(p × h∗sp

)]· h∗sk

(5.29)

Novamente, de (B.12), podemos escrever

q × h∗sq= isqqh∗sq

(5.30)

e, apos alguns ajustes, a equacao de Navier-Stokes em ondas helicoidais fica[∂∂t

+ νk2

]vsk =

−1

4 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

(v∗sp

v∗sq− b∗sp

b∗sq

) (spp − sqq

)g∗kpq (5.31)

Neste capıtulo, iniciamos escrevendo as equacoes de Navier-Stokes e da lei de inducao

de Faraday. Em seguida, usando a lei de Ohm, considerando a condutividade constante, e a

lei de Ampere, obtivemos a lei de Faraday para a MHD, com a presenca do termo de Lorentz(u × B

). No caso da equacao de Navier-Stokes, reescrevemos o termo convectivo nela presente(

u · ∇)

u, usando uma identidade vetorial, e apos ajustar os termos, encontramos uma pressao

geralizada[

pρ + 1

2u2], que nada mais e que a pressao hidrostatica (ou mesmo hidrodinamica) com

uma contribuicao da energia cinetica. Aplicando a condicao de incompressibilidade(∇ · u = 0

),

escrevemos formalmente o termo para a pressao geralizada, que sendo levado novamente na

equacao de Navier-Stokes, a obtivemos para escoamentos incompressıveis. O passo seguinte foi

escrever as duas equacoes no espaco de Fourier e em seguida, em termos de ondas helicoidais.

No capıtulo a seguir, faremos uma analise de estabilidade, considerando uma trıade de vetores

de onda(k, p, q

), com um de seus modos sendo estacionario, com o objetivo de identificar as

possıveis situacoes em que haja possibilidade de que o mecanismo do dınamo aconteca, isto e,

as situacoes nas quais tenhamos instabilidade.

37

6 ESTUDO DA ESTABILIDADE LINEAR DAS SOLUCOES

ESTACIONARIAS

O que faremos aqui sera uma analise da evolucao dos coeficientes helicoidais quanto

ao modo como eles se acoplam. A partir das duas equacoes que chegamos ate aqui, a saber:

evolucao do campo magnetico (5.26) e do campo de velocidades (5.31); obtemos as equacoes

similares para os outros quatro coeficientes helicoidais alem de vsk e bsk , isto e: vsp , vsq , bsp e

bsq . Isto nos dara o sistema de seis equacoes diferenciais escrito mais adiante. O objetivo em

estudar a estabilidade linear do sistema abaixo e para que se descubra a influencia que as

helicidades dos distintos modos interagindo exercem sobre a transferencia entre escalas de uma

determinada quantidade. Se trata de ver como o dınamo sera alimentado a partir de um estado

pre-estabelecido. Como a energia cinetica presente num escoamento se converte depois em

energia magnetica, sendo que quando o estado estacionario cede energia, significa que ele e

instavel e decai.

Seguindo Linkmann e outros [25], vamos assumir que as componentes vsp e bsp representam

o estado estacionario e estudar a instabilidade do modo p. Sendo assim, nossa solucao no estado

estacionario sera da forma (0, Usp , 0; 0, Bsp , 0

)(6.1)

Analisamos a estabilidade linear com respeito as perturbacoes de pequena escala dos

quatro modos vsk , vsq , bsk e bsq , com uma unica trıade com helicidade definida, isto e, analisamos o

efeito dos modos de numero de onda , p nas solucoes estacionarias. Para proceder, comecamos

escrevendo as equacoes para aqueles modos dentro de uma dada trıade.

∂vsk

∂t= δ

(p + q + k

) (U∗sp

v∗sq− B∗sp

b∗sq

) (sqq − spp

)g∗kpq (6.2)

∂vsq

∂t= δ

(p + k + q

) (U∗sp

v∗sk− B∗sp

b∗sk

) (spp − skk

)g∗kpq (6.3)

∂vsp

∂t= δ

(q + k + p

) (v∗sq

v∗sk− b∗sq

b∗sk

) (skk − sqq

)g∗kpq (6.4)

∂bsk

∂t= δ

(p + q + k

)skk

(U∗sp

b∗sq− v∗sq

B∗sp

)g∗kpq (6.5)

∂bsq

∂t= δ

(p + k + q

)sqq

(v∗sk

B∗sp−U∗sp

b∗sk

)g∗kpq (6.6)

38

∂bsp

∂t= δ

(q + k + p

)spp

(v∗sq

b∗sk− v∗sk

b∗sq

)g∗kpq (6.7)

onde os termos dissipativos foram omitidos por estarmos interessados no regime inercial, e

deixamos os ’deltas’ para ter em mente que os tres modos considerados devem formar um

triangulo tal que k + p + q = 0. Derivando a equacao (6.2) com respeito ao tempo, substituindo

as equacoes (6.3) e (6.6) na expressao resultante e descartando os termos de segunda ordem nas

perturbacoes, obtemos

∂2vsk

∂t2 =(sqq − spp

)g∗kpq

U∗sp

∂v∗sq

∂t− B∗sp

∂b∗sq

∂t

=

(sqq − spp

) (spp − skk

)|gkpq|

2(U∗sp

Uspvsk −U∗spBspbsk

)− sqq

(sqq − spp

)|gkpq|

2(B∗sp

Bspvsk − B∗spUspbsk

)(6.8)

reorganizando os termos ficamos com

∂2vsk

∂t2 = |gkpq|2(sqq − spp

) [(spp − skk

)|Usp |

2− sqq|Bsp |

2]

vsk

− |gkpq|2(spp − sqq

) [(skk − spp

)U∗sp

Bsp + sqqUspB∗

sp

]bsk (6.9)

Procedendo similarmente, obtemos a equacao para bsk

∂2bsk

∂t2 = skk gkpq

U∗sp

∂b∗sq

∂t− B∗sp

∂v∗sq

∂t

= sksqkq |gkpq|

2(U∗sp

Bspvsk − |Usp |2bsk

)− skk

(spp − skk

)|gkpq|

2(UspB

∗

spvsk − |Bsp |

2bsk

)(6.10)

e ajustando os termos, obtemos

∂2bsk

∂t2 = skk |gkpq|2[sqqU∗sp

Bsp −

(spp − skk

)UspB

∗

sp

]vsk

− skk|gkpq|2[sqq|Usp |

2−

(spp − skk

)|Bsp |

2]

bsk (6.11)

As equacoes (6.9) e (6.11) correspondem a um sistema de osciladores acoplados, que pode escrito

em forma compacta como

X =

α β

γ δ

X (6.12)

39

com

X =

vsk

bsk

(6.13)

e

α = |gkpq|2(spp − sqq

) [(skk − spp

)|Usp |

2 + sqq|Bsp |2]

(6.14)

β = −|gkpq|2(spp − sqq

) [(skk − spp

)U∗sp

Bsp + sqqUspB∗

sp

](6.15)

γ = |gkpq|2skk

[sqqU∗sp

Bsp +(skk − spp

)UspB

∗

sp

](6.16)

δ = −|gkpq|2skk

[sqq|Usp |

2 +(skk − spp

)|Bsp |

2]

(6.17)

Nos propomos uma solucao da forma

X ∝ exp [λt] (6.18)

e buscamos por valores de λ que correspondam a solucoes instaveis. Tais valores devem ser

positivos. Adotando o criterio de estabilidade de Waleffe, que estabelece que uma solucao instavel

e uma a partir da qual a energia e retirada, a existencia de solucoes instaveis indica que os estados

estacionarios Usp e Bsp perdem energia para os estados em crescimento exponencial. A equacao

de autovalores e a usual, isto e α β

γ δ

X =

λ 0

0 λ

X (6.19)

que tem solucoes nao triviais se∣∣∣∣∣∣∣∣α − λ β

γ δ − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (α − λ) (δ − λ) − βγ = 0 (6.20)

cujas solucoes sao

λ =(α + δ)

2±

12

√(α + δ)2 + 4

(βγ − αδ

)(6.21)

Usando os coeficientes em (6.14 - 6.17), teremos

α + δ = |gkpq|2|Usp |

2[(

spp − sqq) (

skk − spp)− sqskqk

]+ |Bsp |

2[skk

(spp − skk

)− sqq

(sqq − spp

)](6.22)

e

αδ = −|gkpq|4skk

(spp − sqq

) (skk − spp

)sqq

(|Usp |

4 + |Bsp |4)

+[(

skk − spp)2

+ s2qq2

]|Usp |

2|Bsp |

2

(6.23)

40

e

βγ = −|gkpq|4skk

(spp − sqq

) [(skk − spp

)2+ s2

qq2]|Usp |

2|Bsp |

2 + sqq(skk − spp

) (U∗2sp

B2sp

+ B∗2spU2

sp

)(6.24)

entao

βγ − αδ = |gkpq|4skksqq

(spp − sqq

) (skk − spp

) |Usp |

4 + |Bsp |4−

(U∗2sp

B2sp

+ B∗2spU2

sp

)(6.25)

Para continuar a analise da estabilidade do modo p, nos e conveniente escrever os produtos

da velocidade com o campo magnetico, presentes na expressao acima, em termos da helicidade

cruzada. Com este objetivo, seguimos [25] e escrevemos Usp e Bsp em notacao complexa:

Usp = Usp1 + iUsp2 (6.26)

Bsp = Bsp1 + iBsp2 (6.27)

E possıvel escrever Bsp = MUsp , com M = m + in. Concretamente

Bsp1 + iBsp2 = (m + in)(Usp1 + iUsp2

)Bsp1 + iBsp2 = mUsp1 − nUsp2 + i

(mUsp2 + nUsp1

)(6.28)

Portanto, temos o sistema

Bsp1 = mUsp1 − nUsp2 (6.29)

Bsp2 = mUsp2 + nUsp1 (6.30)

que pode ser invertido para dar

m =Bsp1Usp1 + Bsp2Usp2

|Usp |2 (6.31)

n =Bsp2Usp1 − Bsp1Usp2

|Usp |2 (6.32)

E facil ver, calculando diretamente, que m e n satisfazem

n2 + m2 =|Bsp |

2

|Usp |2 (6.33)

41

A componenente sp da helicidade cruzada pode ser escrita como

Hcsp

=12

(U∗sp

Bsp + B∗spUsp

)=

(Bsp1Usp1 + Bsp2Usp2

)= m|Usp |

2 (6.34)

agora

U∗2spB2

sp=

[(Usp1 − iUsp2

) (Bsp1 + iBsp2

)]2(6.35)

=(Usp1Bsp1 + Usp2Bsp2

)2−

(Usp2Bsp1 −Usp1Bsp2

)2

+ 2i(Usp1Bsp1 + Usp2Bsp2

) (Usp2Bsp1 −Usp1Bsp2

)(6.36)

portanto

12

(U∗2sp

B2sp

+ U2sp

B∗2sp

)=

(Usp1Bsp1 + Usp2Bsp2

)2−

(Usp2Bsp1 −Usp1Bsp2

)2(6.37)

= Hc2sp− n2|Usp |

4 = Hc2sp− |Usp |

4

|Bsp |2

|Usp |2 −m2

(6.38)

= 2Hc2sp− |Usp |

2|Bsp |

2 (6.39)

Substituindo na equacao (6.25), obtemos

βγ − αδ = |gkpq|4skksqq

(spp − sqq

) (skk − spp

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

](6.40)

Os valores maximo e mınimo de Hsp sao, respectivamente |Usp ||Bsp | e −|Usp ||Bsp |. Entao, e

trivial ver que o termo entre colchetes na equacao (6.40) sera sempre positivo, o que pode ser

verificado de acordo com a definicao da helicidade cruzada, que e o produto escalar entre o

campo de velocidades e o campo magnetico. Temos duas possibilidades: 1) Para o caso que os

dois campos vetoriais sejam paralelos ou antiparalelos, e aı obtemos que o cosseno entre eles

sera 1 ou -1. Como o termo contendo a helicidade cruzada e quadratico(−4Hc2

sp

), este se tornara

sempre −4|Usp |2|Bsp |

2, e o termo entre colchetes tera seu valor mınimo:(|Usp |

2− |Bsp |

2)2

. 2) A outra

possibilidade e que o campo de velocidades e o campo magnetico sejam ortogonais. Neste

caso −4|Usp |2|Bsp |

2 se anula e o termo entre colchetes assumira seu valor maximo:(|Usp |

2 + |Bsp |2)2

,

sendo, de fato, sempre positivo. Vemos como isto implica que o fator contendo a helicidade

cruzada nao altera o sinal de βγ−αδ, que podera influenciar no valor deλ em (6.21). Sendo assim,

a helicidade cruzada de um estado estacionario e de menor importancia para determinar a estabilidade

daquele estado. Mas, ainda assim, precisamos fazer a analise da instabilidade para identificar

onde ela vai aparecer. Isto e, onde teremos o mecanismo do dınamo, e a partir daı ver como

42

a helicidade cruzada das flutuacoes uk, bk, uq e bq vai influenciar no mesmo. Portanto, o sinal

global da expressao (6.40) e determinado pelos valores da helicidade e o modulo dos diferentes

modos. O que queremos ver agora e em quais situacoes a excitacao de vsk e bsk desestabiliza o

estado dado por Usp e Bsp .

6.1 Analise das diferentes interacoes helicoidais

Para analisar a estabilidade linear do estado(0,Usp , 0; 0,Bsp , 0

)consideramos que as

interacoes nao locais serao aquelas para as quais um numero de onda e muito menor que

os outros dois (que por sua vez, sao da mesma ordem), enquanto as interacoes locais sao ca-

racterizadas pelos tres numeros de onda sendo da mesma ordem. Os autovalores podem ser

combinados nas seguintes classes

sk = sp , sq (6.41)

sk = sq , sp (6.42)

sk , sq = sp (6.43)

sk = sp = sq (6.44)

cada uma das quais ocorre duas vezes porque s = ±1.

6.1.1 O caso sk = sq , sp

Neste caso α + δ resulta

α + δ = |gkpq|2∣∣∣Usp

∣∣∣2 [(spp − skq) (

skk − spp)− s2

kqk]

+ |gkpq|2∣∣∣Bsp

∣∣∣2 [skk(spp − skk

)− skq

(skq − spp

)](6.45)

Para cada valor possıvel de sk nos temos

α + δ = −|gkpq|2∣∣∣Usp

∣∣∣2 [(p + q) (

k + p)

+ qk]− |gkpq|

2∣∣∣Bsp

∣∣∣2 [k (p + k

)+ q

(q + p

)]< 0 (6.46)

Assim sendo, para ter uma solucao instavel (isto e, λ > 0) a condicao necessaria e

βγ − αδ > 0 (6.47)

43

Esta expressao resulta

βγ − αδ = −|gkpq|4kq

(p + q

) (k + p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]< 0 (6.48)

Portanto, a raız quadrada na expressao para λ e menor que α + δ e consequentemente

nao existe nenhum modo instavel para esta combinacao de helicidades, isto e, ambos os valores

de λ sao negativos. Em outras palavras, uma perturbacao com helicidade oposta ao estado

estacionario nao desestabiliza este estado. Nos resta apenas analisar como a helicidade cru-

zada do estado estacionario influencia o modo no qual as perturbacoes irao decair, isto e, se

o decaimento e exponencial ou oscilatorio. Para responder esta questao devemos mostrar se

(α + δ)2 + 4(βγ − αδ

)> 0 ou (α + δ)2 + 4

(βγ − αδ

)< 0, sendo suficiente considerar o caso Hc = 0,

porque neste caso βγ − αδ assume seu valor maximo. E direto, mas um tanto longo, checar que

o decaimento e exponencial em todos os casos, isto e, (α + δ)2 + 4(βγ − αδ

)> 0.

6.1.2 O caso sk , sq = sp

Temos agora


2[(

spp − spq) (

skk − spp)− spskqk

]+ |Bsp |

2[skk

(spp − skk

)− spq

(spq − spp

)](6.49)

Para cada valor de sk obtemos


2 [(q − p) (

k + p)

+ qk]− |Bsp |

2 [k (p + k

)+ q

(q − p

)](6.50)

Obviamente, esta expressao nao tem um sinal definido. Para proceder com a analise devemos

considerar todos os arranjos possıveis dos numeros de onda:

Caso k 0 e, consequentemente, o sinal absoluto vai depender da relacao

|Usp |2

|Bsp |2 ≶

k(p + k

)+ q

(q − p

)(q − p

) (k + p

)+ qk

(6.51)

o caso do sinal de cima correspondendo a α + δ < 0 e o oposto ocorre para o sinal de baixo.

44

Vamos agora analisar o termo βγ − αδ. Para o presente caso temos

βγ − αδ = |gkpq|4skkspq

(spp − spq

) (skk − spp

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

](6.52)

e obtemos

βγ − αδ = |gkpq|4kq

(p − q

) (k + p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]< 0 (6.53)

Portanto |α + δ| >√

(α + δ)2 + 4(βγ − αδ

)e para ter solucoes instaveis, deve ser satisfeito que

|Usp |2

|Bsp |2 >

k(p + k

)+ q

(q − p

)(q − p

) (k + p

)+ qk

(6.54)

No caso de interacoes locais (k ∼ q ∼ p) isto indica que

|Usp |2

|Bsp |2 >

(p + k

)q∼ 2 (6.55)

enquanto para interacoes nao locais (k q ∼ p)

|Usp |2

|Bsp |2 >

k2

qk∼

kq

(6.56)

portanto, para a ordem considerada, existirao solucoes instaveis sempre que a energia cinetica

for maior que a energia magnetica do estado estacionario.

Caso k < q < p

Agora q − p < 0, entao a expressao para α + δ fica

|Usp |2

|Bsp |2 ≶

k(p + k

)− q

(p − q

)qk −

(p − q

) (k + p

) (6.57)

cujo sinal depende dos valores dos numeros de onda e a expressao para βγ − αδ e


(p − q

) (k + p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]> 0 (6.58)

Portanto, neste caso |α + δ| <√

(α + δ)2 + 4(βγ − αδ

), e sempre existirao solucoes instaveis

independentemente da relacao entre as energias cinetica e magnetica e das interacoes serem

locais ou nao locais.

45

Caso q < k < p

Aqui tambem temos q − p < 0 e temos uma situacao como a anterior.

Caso q 0 e estamos num caso semelhante a k 0, o que implica que teremos solucoes instaveis nas

mesmas condicoes do caso anterior.

Em todos os casos considerados, o aparecimento de solucoes instaveis e bastante inde-

pendente do valor da helicidade cruzada do estado estacionario.

6.1.3 O caso sk = sq = sp

Neste caso


2 [(p − q) (

k − p)− qk

]+ |Bsp |

2 [k (p − k

)− q

(q − p

)](6.59)

e


(p − q

) (k − p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

](6.60)

Mais uma vez a estabilidade depende dos valores dos numeros de onda.

Caso k 0 e nao depende dos valores dos numeros

de onda, enquanto o sinal de α + δ depende das interacoes serem locais ou nao locais. Temos


2 [(p − q) (

k − p)− qk

]+ |Bsp |

2 [k (p − k

)− q

(q − p

)](6.61)

e


(p − q

) (k − p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

](6.62)

46

Para interacoes locais (k ∼ p ∼ q), temos

α + δ ' −|gkpq|2|Usp |

2qk < 0 (6.63)

βγ − αδ ' 0 (6.64)

o que indica que as solucoes sao estaveis. Para interacoes nao locais (k p ' q) temos

α + δ ' |gkpq|2kp

[|Bsp |

2− |Usp |

2]

(6.65)

βγ − αδ ' 0 (6.66)

Portanto, neste caso existirao solucoes instaveis se a densidade de energia magnetica for maior

que a de energia cinetica, independentemente do fator da helicidade cruzada do estado esta-

cionario.

Caso k < q 0 enquanto k − p < 0. Entao

α + δ = |gkpq|2−|Usp |

2 [(p − q) (

p − k)

+ qk]+ |Bsp |

2 [k (p − k

)+ q

(p − q

)](6.67)

e


(p − q

) (p − k

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]< 0 (6.68)

Portanto existira solucao instavel se α + δ > 0, isto e, se

|Bsp |2

|Usp |2 >

[(p − q

) (p − k

)+ qk

][k(p − k

)+ q

(p − q

)] (6.69)

vemos que, no caso de interacoes locais, o denominador no lado direito se anula, de modo que

esta condicao pode ser cumprida somente para interacoes nao locais k q ∼ p. Neste caso, a

condicao e|Bsp |

2

|Usp |2 >

qkkp∼ 1 (6.70)

isto e, desde que a energia magnetica supere ligeiramente a energia cinetica, o estado estacionario

sera instavel.

47

Caso p < k < q

Neste caso p − q < 0 e k − p > 0. Assim nos temos

α + δ = −|gkpq|2|Usp |

2 [(q − p) (

k − p)

+ qk]+ |Bsp |

2 [k (k − p

)+ q

(q − p

)]< 0 (6.71)

e


(q − p

) (k − p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]< 0 (6.72)

Entao, neste caso, todas as solucoes sao estaveis, independentemente de as trıades serem locais

ou nao locais.

Caso q < k 0 e k − p < 0. E uma situacao semelhante aquela que vimos no caso

k < q < p. Existirao solucoes instaveis se a energia magnetica superar ligeiramente a energia

cinetica.

Caso p < q < k

Neste caso, p − q < 0 e k − p > 0. Trata-se da mesma situacao que vimos em p < k < q.

Sendo assim, teremos sempre solucoes estaveis.

Caso q 0 e k − p > 0. Obtemos, entao, que


2 [(p − q) (

k − p)− qk

]+ |Bsp |

2 [−k

(k − p

)+ q

(p − q

)](6.73)

e


(p − q

) (k − p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]> 0 (6.74)

Como βγ − αδ > 0, sempre existirao solucoes instaveis.

6.1.4 O caso sk = sp , sq

As diferentes quantidades agora resultam


2 [(p + q) (

k − p)

+ qk]+ |Bsp |

2 [k (p − k

)− q

(q + p

)](6.75)


(p + q

) (k − p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

](6.76)

48

Elas nao tem um sinal definido, portanto devemos, outra vez, analisar as diferentes relacoes de

numeros de onda.

Caso k < p < q

Neste caso nos temos k − p < 0, entao as quantidades precedentes podem ser reescritas

como


2 [qk −(p + q

) (p − k

)]+ |Bsp |

2 [k (p − k

)− q

(q + p

)](6.77)


(p + q

) (p − k

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]> 0 (6.78)

de modo que sempre vao aparecer solucoes instaveis neste caso, independentemente da relacao

entre as energias cinetica e magnetica.

Caso k < q 0 e os termos ficam como segue


2 [(p + q) (

k − p)

+ qk]− |Bsp |

2 [k (k − p

)+ q

(q + p

)](6.79)


(p + q

) (k − p

) [|Usp |

4 + |Bsp |4 + 2|Usp |

2|Bsp |

2− 4Hc2

sp

]< 0 (6.80)

Existirao solucoes instaveis sempre que α + δ > 0, e isto e esperado se

|Usp |2

|Bsp |2 >

[k(k − p

)+ q

(q + p

)][(p + q

) (k − p

)+ qk

] (6.81)

isto e, independente da helicidade cruzada do estado estacionario.

Para trıades locais (p ∼ k ∼ q) nos temos que

|Usp |2

|Bsp |2 >

q(q + p

)qk

∼ 2 (6.82)

Para trıades nao locais (p k ∼ q)

|Usp |2

|Bsp |2 >

k2 + q2

qk + qk∼ 1 (6.83)

49

Portanto, nao ha uma grande diferenca na magnitude relativa das duas energias nas duas

configuracoes de numero de onda para produzir solucoes instaveis.

Caso q < k 0,

portanto, sempre existirao solucoes instaveis.

Caso p < q < k

Neste caso, k−p > 0. Os resultados obtidos sao semelhantes aos do caso em que p < k < q.

Teremos solucoes instaveis caso a energia cinetica supere ligeiramente a energia magnetica.

Caso q 0. Teremos solucoes instaveis nas mesmas

condicoes que no caso anterior.

Um comentario neste sentido. Na teoria do dınamo cinematico, se assume que inici-

almente a densidade de energia cinetica prevalece sobre a densidade de energia magnetica, e

assim a primeira pode se transformar na ultima. A relacao das helicidades consideradas nesta

subsecao parece ser apropriada para permitir a acao do dınamo cinematico. Na pagina seguinte,

temos uma tabela que resume todos os resultados obtidos nesta secao.

No presente capıtulo, partimos das equacoes (5.26) e (5.31) e as escrevemos para os

distintos modos considerando a trıade de componentes k, p e q, obtendo um sistema de seis

equacoes diferenciais acopladas. Consideramos um dos tres modos como estacionario (modo

p), a fim de estudar como este decai, cedendo energia para os outros dois modos (q e k) e,

portanto, se tornando instavel. A partir da solucao obtida no estado estacionario considerado,

e derivando as equacoes uma segunda vez com relacao ao tempo, obtivemos um sistema de

osciladores acoplados, cujas solucoes (6.18) nos indicam quando temos instabilidade (λ > 0).

Entao analisamos caso a caso as diferentes possibilidades de interacoes helicoidais, buscando

identificar quais delas apresentam instabilidade. Para tanto, foi necessario, em alguns casos,

analisar a localidade e a nao-localicade das trıades. Essa analise minuciosa, feita nesta secao,

confirmou o que ja havıamos antecipado quando discutimos a equacao (6.40), isto e, que a

helicidade cruzada do estado estacionario, de fato, nao influencia no aparecimento de solucoes

instaveis. A seguir, escreveremos as equacoes de evolucao para cada uma das invariantes

da MHD, com o objetivo de investigar, posteriormente, como acontecem as transferencias das

mesmas.

50

Tabela 6.1: Tabela das possıveis solucoes instaveis para as diferentes combinacoes de helicidades.

Combinacao Arranjos de Estabilidade Condicaode helicidades numero de onda

sk = sq , sp Estavel Sempre

sk , sq = sp k |Bsp |

2

k < q |Bsp |

2

p < q < k Instavel |Usp |2 > |Bsp |

2

sk = sq = sp k |Usp |2

k < q |Usp |2

p < k < q Estavel Sempre

q < k |Usp |2

p < q < k Estavel Sempre


sk = sp , sq k |Bsp |

2

.

51

7 AS EQUACOES DE EVOLUCAO PARA AS INVARIANTES IDEAIS DA

MHD

Ate aqui vimos, estudando a estabilidade, quais estados podem proporcionar o meca-

nismo do dınamo, que sao aqueles instaveis, pois vao transferir energia do estado estavel para as

instabilidades. A ideia, agora, e estudar como as invariantes ideais destas flutuacoes evoluirao,

como serao suas cascatas.

Como ja foi mencionado no Capıtulo 3, as invariantes ideais da MHD sao a energia total,

a helicidade magnetica e a helicidade cruzada. Suas respectivas definicoes em termos das ondas

helicoidais sao

E =12

∫dp

∑sp

[∣∣∣vsp

∣∣∣2 +1

4π

∣∣∣bsp

∣∣∣2] (7.1)

Hm =

∫dp

∑sp

sp

p

∣∣∣bsp

∣∣∣2 (7.2)

Hc =12

∫dp

∑sp

[vspb

∗

sp+ v∗sp

bsp

](7.3)

e as correspondentes equacoes de evolucao sao obtidas tomando a derivada temporal de cada

expressao, e substituindo as equacoes de evolucao para os modos.

7.1 Equacao de evolucao para a energia cinetica

E obtida multiplicando a equacao (5.31) por (1/2) v∗ske adicionando os conjugados com-

plexos. Nos obtemos[∂∂t

+ νk2

]|vsk |

2 =−1

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

(spp − sqq

)×

[(U∗sp

v∗sqv∗sk− B∗sp

b∗sqv∗sk

)g∗kpq +

(Uspvsqvsk − Bspbsqvsk

)gkpq

](7.4)

52

7.2 Equacao de evolucao para a energia magnetica

E obtida multiplicando a equacao (5.26) por b∗ske adicionando seus conjugados complexos.

Temos entao[∂∂t

+c2k2

4πσ

]|bsk |

2 =skk

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

×

[(U∗sp

b∗sqb∗sk− v∗sq

B∗spb∗sk

)g∗kpq +

(Uspbsqbsk − vsqBspbsk

)gkpq

](7.5)

7.3 Equacao de evolucao para a helicidade magnetica

Se consideramos o calibre de Coulomb(∇ · A = 0

), podemos escrever a densidade de

helicidade magnetica proporcionalmente a densidade de energia magnetica, sendo a constante

de proporcionalidade 1/k. Essa constante de porporcionalidade vem do fato que B = ∇ × A, isto

e, B e uma derivada de A. A densidade de energia magnetica e da ordem de B · B, e a densidade

de helicidade magnetica e, dimensionalmente, da ordem de A · B. Portanto, de acordo com (7.2),

a equacao de evolucao pode ser obtida multiplicando a expressao para a densidade de energia

magnetica por sk/k. Temos entao

[∂∂t

+c2k2

4πσ

]Hm

sk(k) =

s2k

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

×

[(U∗sp


B∗spb∗sk

)g∗kpq +


)gkpq

](7.6)

7.4 Equacao de evolucao para a helicidade cruzada

E obtida tomando a derivada temporal da equacao (7.3). Ficamos com[∂∂t

+

(ν +

c2

4πσ

)k2

]Hc

sk(k) =

1

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq[

skk(U∗sp

v∗skb∗sq− v∗sq

v∗skB∗sp

)+

(sqq − spp

) (U∗sp

v∗sqb∗sk− B∗sp

b∗sqb∗sk

)]g∗kpq

+[skk

(Uspvskbsq − vsqvskBsp

)+

(sqq − spp

) (Uspvsqbsk − Bspbsqbsk

)]gkpq

(7.7)

O que aqui fizemos, foi escrever cada uma das invariantes ideais da MHD em termos

das ondas helicoidais e calcular a evolucao de cada uma delas, tomando suas respectivas deri-

vadas temporais. Pudemos observar a proporcionalidade que ha entre os espectros da energia

magnetica e da helicidade magnetica (isso pode ser notado olhando para os termos que aparecem

dentro dos colchetes em cada uma das equacoes acima), de modo que foi possıvel a obtencao

53

da propria equacao de evolucao para a helicidade magnetica a partir da energia magnetica. Em

contrapartida, com relacao a equacao de evolucao para a helicidade cruzada, podemos observar

que os termos presentes em seu espectro nao sao proporcionais as das outras invariantes. No

entanto eles apresentam certa semelhanca formal com os espectros da energia total. No capıtulo

seguinte, usaremos as equacoes de evolucao aqui encontradas e, a partir delas, obteremos as

equacoes para o fluxo de cada uma das invariantes. Assim, poderemos analisar como sao as

cascatas das invariantes da MHD.

54

8 ANALISE FORMAL DOS INTERVALOS DE SIMILARIDADE

Nosso objetivo, neste capıtulo, e ver como sera o fluxo de cada invariante atraves de

um numero de onda e, portanto, as suas respectivas cascatas. Para tanto, vamos analisar cada

invariante separadamente.

8.1 Analise da equacao para a energia total

Esta equacao e a soma das equacoes (7.4) e (7.5). Como estamos interessados no regime

inercial, a seguir omitiremos os termos dissipativos. Sendo assim, escrevemos

∂Esk

(k)

∂t=

1

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

×

[(sqq − spp

) (U∗sp

v∗sqv∗sk− B∗sp

b∗sqv∗sk

)+ skk

(U∗sp


B∗spb∗sk

)]g∗kpq

+[(

sqq − spp) (

Uspvsqvsk − Bspbsqvsk

)+ skk


)]gkpq

(8.1)

Seguindo Linkmann [25], reescrevemos a equacao (8.1) de maneira mais compacta

∂Esk

(k)

∂t=

1

4 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q − k

)∑sp

∑sq

[T

sHD

(k, p, q

)+ T s

LF(k, p, q

)+ T s

MAG(k, p, q

)](8.2)

com

TsHD

(k, p, q

)=

[Uspvsqvsk gkpq + U∗sp

v∗sqv∗sk

g∗kpq

] (sqq − spp

)(8.3)

TsLF

(k, p, q

)= −

[Bspbsqvsk gkpq + B∗sp

b∗sqv∗sk

g∗kpq

] (sqq − spp

)(8.4)

TsMAG

(k, p, q

)= skk

[(Uspbsqbsk − vsqBspbsk

)gkpq +

(U∗sp


B∗spb∗sk

)g∗kpq

](8.5)

onde HD corresponde a HidroDinamica, LF a Forca de Lorentz, MAG a MAGnetica, e

s =(sk, sp, sq

)denota uma dada combinacao de helicidades (oito possibilidades).

Denotando T s (k, p, q) = T sHD

(k, p, q

)+ T s

LF

(k, p, q

)+ T s

MAG

(k, p, q

), escrevemos

Ts (k, p, q) dk dp dq =

∫|k|=k

k2dΩk

∫|p|=p

p2dΩp

∫|q|=q

q2dΩq Ts (k, p, q) (8.6)

que expressa a contribuicao total para cada numero de onda. Cada dΩl denota o elemento de

55

angulo solido em cada espaco do momento. A partir desta ultima equacao, definimos o fluxo

de energia total atraves do numero de onda k devido a uma dada interacao s como

Πs(k) =

∫∞

kdk′

∫ k

0dp

∫ k

0dq Ts (k′, p, q) − ∫ k

0dk′

∫∞

kdp

∫∞

kdq Ts (k′, p, q) (8.7)

O primeiro termo da expressao (8.7) representa o fluxo de energia total em todos os modos

no numero de onda k′ devido as trıades com p, q < k < k′, e o segundo termo o fluxo de energia

total em todos os modos no numero de onda k′ devido as trıades com k′ < k < p, q. Em outras

palavras, a expressao (8.7) representa o fluxo entrando no numero de onda k (vindo desde os

numeros de onda menores p e q e indo para o numero de onda maior k′) menos o fluxo que sai do

numero de onda k (vindo desde o numero de onda k′ e indo para os numeros de onda maiores

p e q).2

Fluxo de uma quantidade vetorial e a integral de superfıcie do produto escalar entre essa

quantidade e o elemento de area que cruza (fluxo de campo magnetico por exemplo). Ca fluxo e

simplesmente a quantidade de uma certa ’quantidade’ que passa por um dado numero de onda

(equivalentemente, uma escala)

Seguindo Kraichnan [26], com o objetivo de que as integrais tornem-se independentes

de k, assumimos que as correlacoes triplas satisfazem instantaneamente a lei de similaridade

E (ak) = E (k) a−n, onde a e um fator de escalonamento arbitrario e n e, ate agora, indeterminado.

Na hidrodinamica ha o consenso de que n = 5/3, ou seja, o espectro de Kolmogorov. Na MHD,

no entanto, existem predicoes numericas que n = 3/2 (espectro de Iroshnikov-Kraichnan), mas

tambem que n = 5/3. Levando em conta que esta discrepancia ate agora nao foi resolvida,

consideramos

EHD (ak) = EHD (k) a−n (8.8)

EM (ak) = EM (k) a−m (8.9)

salientamos que os valores m e n aqui utilizados nao tem qualquer relacao com aqueles do

capıtulo 6.

2O que aqui consideramos como fluxo e simplesmente a quantidade de uma invariante que passa atraves de umnumero de onda. Nao se trata da definicao usual do fluxo de uma grandeza vetorial, isto e, a integral de superfıciedo produto escalar entre tal grandeza vetorial e um elemento diferencial de area daquela superfıcie.

56

A partir de (8.1) e junto com (8.2)-(8.5), temos

TsHD

(ak, ap, aq

)Ts

HD

(k, p, q

) = a−(1+3n)/2 (8.10)

TsLF

(ak, ap, aq

)Ts

LF

(k, p, q

) = a−(1+n+2m)/2 (8.11)

TsMAG

(ak, ap, aq

)Ts

MAG

(k, p, q

) = a−(1+n+2m)/2 (8.12)

Para obter este resultado, usamos o fato que Usp escalona como a−(5+n)/2 e Bsp como a(−5+m)/2.

Detalhes dos calculos que levam as expressoes (8.10)-(8.12) sao dados no Apendice C. Observa-

mos que o escalonamento de TsHD

(k, p, q

)e o mesmo que o de E3/2

HD (k) k−1/2. Notamos tambem que∫ k

0dp

∫ k

0dq no primeiro termo do lado direito da equacao (8.7) e equivalente a 2

∫ k

0dp

∫ p

0dq por

causa da simetria de Ts (k′, p, q), enquanto pela mesma razao,∫∞

kdp

∫∞

kdq no segundo termo do

lado direito da equacao (8.7) e equivalente a 2∫∞

kdp

∫∞

pdq. Consequentemente a equacao (8.7)

resulta

Πs(k) = 2∫∞

kdk′

∫ k

0dp

∫ p

0dq Ts (k′, p, q) − 2

∫ k

0dk′

∫∞

kdp

∫∞

pdq Ts (k′, p, q) (8.13)

Para que as integrais em (8.13) tornem-se independentes de k, seguimos Kraichnan [26] e

escrevemos

p =kβ→ dp = −

kβ2 dβ, q = pθ→ dq =

kβ

dθ, k′ = pκ→ dk′ =kβ

dκ (8.14)

no primeiro termo e

p =kβ, q = pκ→ dq =

kβ

dκ, k′ = pθ→ dk′ =kβ

dθ (8.15)

no segundo termo. Entao, de acordo com as equacoes (8.10)-(8.12), os diferentes termos na

primeira integral em (8.13) escalonam como

TsHD

(k′, p, q

)= Ts

HD

(kβκ,

kβ,

kβθ

)=

(kβ

)−(1+3n)/2

TsHD (κ, 1, θ) (8.16)

TsLF

(k′, p, q

)= Ts

LF

(kβκ,

kβ,

kβθ

)=

(kβ

)−(1+2m+n)/2

TsLF (κ, 1, θ) (8.17)

TsMAG

(k′, p, q

)= Ts

MAG

(kβκ,

kβ,

kβθ

)=

(kβ

)−(1+2m+n)/2

TsMAG (κ, 1, θ) (8.18)

57

enquanto para o segundo termo de (8.13) obtemos

TsHD

(k′, p, q

)= Ts

HD

(kβθ,

kβ,

kβκ

)=

(kβ

)−(1+3n)/2

TsHD (θ, 1, κ) (8.19)

TsLF

(k′, p, q

)= Ts

LF

(kβθ,

kβ,

kβκ

)=

(kβ

)−(1+2m+n)/2

TsLF (θ, 1, κ) (8.20)

TsMAG

(k′, p, q

)= Ts

MAG

(kβθ,

kβ,

kβκ

)=

(kβ

)−(1+2m+n)/2

TsMAG (θ, 1, κ) (8.21)

Para que fique mais claro, e conveniente escrever (8.13) como a soma das tres contribuicoes,

isto e

Πs(k) = ΠsHD(k) + Πs

LF(k) + ΠsMAG(k) (8.22)

e calculamos separadamente cada contribuicao.

Para ΠsHD(k), usando as equacoes (8.14-8.21) em (8.13), temos

ΠsHD(k) = 2k(5−3n)/2

∫∞

β

dκ∫∞

1β(−7+3n)/2 dβ

∫ 1

0dθ Ts

HD (κ, 1, θ)

− 2k(5−3n)/2∫ β

0dθ

∫ 1

0β(−7+3n)/2 dβ

∫∞

1dκ Ts

HD (θ, 1, κ) (8.23)

Observamos que no primeiro termo de (8.23)∫∞

1dβ

∫∞

β

dκ =

∫∞

1dκ

∫ κ

1dβ (8.24)

e no segundo termo daquela mesma equacao

∫ 1

0dβ

∫ β

0dθ =

∫ 1

0dθ

∫ 1

θ

dβ (8.25)

Portanto, a contribuicao hidrodinamica (8.23) sera

ΠsHD(k) = 2k(5−3n)/2

∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[∫ κ

1dβ β(−7+3n)/2 Ts

HD (κ, 1, θ) −∫ 1

θ

dβ β(−7+3n)/2 TsHD (θ, 1, κ)

](8.26)

As integrais em β ficam ∫ κ

1dβ β(−7+3n)/2 =

κ(−5+3n)/2− 1

(−5 + 3n) /2(8.27)

e ∫ 1

θ

dβ β(−7+3n)/2 =1 − θ(−5+3n)/2

(−5 + 3n) /2(8.28)

58

Portanto

ΠsHD(k) = 2k(5−3n)/2

∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[κ(−5+3n)/2

− 1(−5 + 3n) /2

TsHD (κ, 1, θ) −

1 − θ(−5+3n)/2

(−5 + 3n) /2Ts

HD (θ, 1, κ)]

(8.29)

A contribuicao de ΠsLF(k) e dada por

ΠsLF(k) = 2

∫∞

kdk′

∫ k

0dp

∫ p

0dq Ts

LF(k′, p, q

)− 2

∫ k

0dk′

∫∞

kdp

∫∞

pdq Ts

LF(k′, p, q

)(8.30)

o qual, com os escalonamentos (8.14) e (8.15), e a redefinicao dos limites correspondentes nas

integrais, pode ser escrita como

ΠsLF(k) = 2k(5−n−2m)/2

∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[κ(−5+n+2m)/2

− 1(−5 + n + 2m) /2

TsLF (κ, 1, θ) −

1 − θ(−5+n+2m)/2

(−5 + n + 2m) /2Ts

LF (θ, 1, κ)]

(8.31)

Finalmente, podemos escrever ΠsMAG(k) a partir da expressao (8.31), uma vez que os

escalonamentos para este caso sao os mesmos que para o caso anterior

ΠsMAG(k) = 2k(5−n−2m)/2

∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[κ(−5+n+2m)/2

− 1(−5 + n + 2m) /2

TsMAG (κ, 1, θ)

−1 − θ(−5+n+2m)/2

(−5 + n + 2m) /2Ts

MAG (θ, 1, κ)]

(8.32)

8.2 Analise da equacao para a helicidade magnetica

Comecamos escrevendo

Hmsk

=

∫dk

∑sk

sk

k

∣∣∣bsk

∣∣∣2 (8.33)

onde Hmsk

(k) satisfaz a equacao

[∂∂t

+c2k2

4πσ

]Hm

sk(k) =

s2k

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq

×

[(U∗sp


B∗spb∗sk

)g∗kpq +


)gkpq

](8.34)

A partir da relacao entre a energia magnetica e a helicidade magnetica, expressao (7.2),

nos temos

TsHm

(k, p, q) =sk

kT

sMAG(k, p, q) (8.35)

59

como acima, definimos

TsHm

(k, p, q)dk dp dq =

∫|k|=k

dk∫|p|=p

dp∫|q|=q

dq T sHm

(k, p, q) (8.36)

Como com a energia, expressamos o fluxo de helicidade magnetica atraves do numero de

onda k devido a uma dada interacao como

ΠsHm

(k) =12

∫∞

k

sk′

k′dk′

∫ k

0dp

∫ k

0dq Ts

MAG(k′, p, q)

−12

∫ k

0

sk′

k′dk′

∫∞

kdp

∫∞

kdq Ts

MAG(k′, p, q) (8.37)

Seguindo o mesmo procedimento feito para o fluxo de energia para fazer com que as integrais

fiquem independentes de k, a expressao (8.37) torna-se

ΠsHm

(k) =12

k(3−n−2m)/2∫∞

1

dκκ

∫ 1

0dθ

[sκ

∫ κ

1dβ β(−5+2m+n)/2Ts

MAG (κ, 1, θ)

− sθ

∫ 1

θ

dβ β(−5+2m+n)/2TsMAG (θ, 1, κ)

](8.38)

Calculando as integrais em β, finalmente encontramos

ΠsHm

(k) =12

k(3−n−2m)/2∫∞

1

dκκ

∫ 1

0dθ

[sκκ(−3+2m+n)/2

− 1(−3 + 2m + n) /2

TsMAG (κ, 1, θ)

+ sθθ(−3+2m+n)/2

− 1(−3 + 2m + n) /2

TsMAG (θ, 1, κ)

](8.39)

8.3 Analise da equacao para a helicidade cruzada

A equacao de evolucao para a helicidade cruzada, como vimos, e dada pela equacao (7.7):[∂∂t

+

(ν +

c2

4πσ

)k2

]Hc

sk(k) =

1

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)∑sp

∑sq[

skk(U∗sp

v∗skb∗sq− v∗sq

v∗skB∗sp

)+

(sqq − spp

) (U∗sp

v∗sqb∗sk− B∗sp

b∗sqb∗sk

)]g∗kpq

+[skk

(Uspvskbsq − vsqvskBsp

)+

(sqq − spp

) (Uspvsqbsk − Bspbsqbsk

)]gkpq

(8.40)

Nos a reescrevemos em forma compacta como[∂∂t

+c2k2

4πσ+ νk2

]Hc

sk(k) =

1

8 (2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(q + p + k

)∑sp

∑sq

[T

aHc

+ T bHc

+ T cHc

](8.41)

60

com

TaHc

(k, p, q) = skk(Uspbsq − vsqBsp

)vsk gkpq + c.c. (8.42)

TbHc

(k, p, q) =(sqq − spp

)Uspvsqbsk gkpq + c.c. (8.43)

TcHc

(k, p, q) = −

(sqq − spp

)Bspbsqbsk gkpq + c.c. (8.44)

onde c.c indica complexo conjugado.

Em contraste com a helicidade magnetica, cujo espectro e proporcional aquele da energia

magnetica, nenhum termo no espectro da helicidade cruzada e encontrado nas outras duas

invariantes. Mas existe uma similitude formal entre os espectros da energia total e da helicidade

cruzada. Como com as outras duas invariantes, escrevemos

TsHc

(k, p, q

)dk dp dq =

∫|k|=k

dk∫|p|=p

dp∫|q|=q

dq T sHc

(k, p, q

)(8.45)

Usando os escalonamentos de energia magnetica e energia cinetica acima, temos

TaHc

(ak, ap, aq) = a−(13+2n+m)/2T

aHc

(k, p, q) (8.46)

TbHc

(ak, ap, aq) = a−(13+2n+m)/2T

bHc

(k, p, q) (8.47)

TcHc

(ak, ap, aq) = a−(13+3m)/2T

bHc

(k, p, q) (8.48)

A partir da equacao (8.45) temos entao

TaHc

(ak, ap, aq) = a−(1+2n+m)/2TaHc

(k, p, q) (8.49)

TbHc

(ak, ap, aq) = a−(1+2n+m)/2TbHc

(k, p, q) (8.50)

TcHc

(ak, ap, aq) = a−(1+3m)/2TbHc

(k, p, q) (8.51)

O fluxo de helicidade cruzada atraves do numero de onda k e definido de modo analogo as

expressoes (8.7). Calculando as transformacoes conforme definidas em (8.14) e (8.15) temos para

o primeiro termo do fluxo

TaHc

(k′, p, q

)=

(kβ

)−(1+2n+m)/2

TaHc

(κ, 1, θ) (8.52)

TbHc

(k′, p, q

)=

(kβ

)−(1+2n+m)/2

TbHc

(κ, 1, θ) (8.53)

TcHc

(k′, p, q

)=

(kβ

)−(1+3m)/2

TcHc

(κ, 1, θ) (8.54)

61

e para o segundo termo

TaHc

(k′, p, q

)=

(kβ

)−(1+2n+m)/2

TaHc

(θ, 1, κ) (8.55)

TbHc

(k′, p, q

)=

(kβ

)−(1+2n+m)/2

TbHc

(θ, 1, κ) (8.56)

TcHc

(k′, p, q

)=

(kβ

)−(1+3m)/2

TcHc

(θ, 1, κ) (8.57)

A contribuicao de TaHc

para o fluxo de helicidade cruzada e

ΠaHc

= k(5−2n−m)/2∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[∫ κ

1dβ β(−7+2n+m)/2Ta

Hc(κ, 1, θ) −

∫ 1

θ

dβ β(−7+2n+m)/2TaHc

(θ, 1, κ)]

= k(5−2n−m)/2∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[κ(−5+2n+m)/2

− 1(−5 + 2n + m)/2

TaHc

(κ, 1, θ) −1 − θ(−5+2n+m)/2

(−5 + 2n + m)/2Ta

Hc(θ, 1, κ)

](8.58)

A contribuicao de TbHc


ΠbHc

= k(5−2n−m)/2∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[∫ κ

1dβ β(−7+2n+m)/2 Tb

Hc(κ, 1, θ) −

∫ 1

θ

dβ β(−7+2n+m)/2 TbHc

(θ, 1, κ)]

= k(5−2n−m)/2∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[κ(−5+2n+m)/2

− 1(−5 + 2n + m)/2

TbHc

(κ, 1, θ) −1 − θ(−5+2n+m)/2

(−5 + 2n + m)/2Tb

Hc(θ, 1, κ)

](8.59)

e a contribuicao de TcHc


ΠcHc

= k(5−3m)/2∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[∫ κ

1dβ β(−7+3m)/2 Tc

Hc(κ, 1, θ) −

∫ 1

θ

dβ β(−7+3m)/2 TcHc

(θ, 1, κ)]

= k(5−3m)/2∫∞

1dκ

∫ 1

0dθ

[κ(−5+3m)/2

− 1(−5 + 3m)/2

TcHc

(κ, 1, θ) −1 − θ(−5+3m)/2

(−5 + 3m)/2Tc

Hc(θ, 1, κ)

](8.60)

O que fizemos no presente capıtulo foi partir das equacoes de evolucao das invariantes

ideias da MHD, encontradas no capıtulo precedente, e calcular o fluxo de cada uma delas atraves

de um numero de onda. Para isso, escrevemos as referidas equacoes em modo mais compacto e

usamos tecnicas de escalonamento, de acordo com a lei de similaridade mostrada em (8.8) e (8.9).

O que obtivemos foram as equacoes para o fluxo de energia total, de helicidade magnetica e de

helicidade cruzada ainda com integrais a serem solucionadas. As equacoes encontradas para os

fluxos nos indicarao como serao as cascatas de cada quantidade. A seguir, vamos analisar os

integrandos presentes nas ja referidas equacoes para o fluxo das diferentes quantidades, para

62

assim obter uma analise qualitativa das cascatas das mesmas. Vamos tambem comparar os

resultados para cada invariante, para ver como uma esta relacionada com a outra, sobretudo a

helicidade cruzada em relacao as outras duas.

63

9 ANALISE QUALITATIVA DAS TRANSFERENCIAS DE ENERGIA

TOTAL, HELICIDADE MAGNETICA E HELICIDADE CRUZADA

A partir das expressoes a que chegamos, no capıtulo precedente, para os fluxos das

diferentes invariantes ideais com suas respectivas contribuicoes, e possıvel conhecer o sinal

de cada contribuicao, e portanto, a direcao das cascatas de cada invariante da MHD. Para

fazer a analise aqui proposta, sera necessario olharmos cuidadosamente para os casos vistos na

analise de estabilidade feita no capıtulo 6. Naquela ocasiao, buscavamos por solucoes nas quais,

considerando uma trıade de vetores de onda, um de seus modos decaıa, cedendo energia e/ou

helicidade para os outros dois modos, sendo ele instavel.

9.1 Cascatas de Energia Total

Vamos fazer esta analise para o caso em que o fluxo de energia total seja independente do

numero de onda. Entao, vamos considerar n = 5/3 e m = 5/3 nas equacoes (8.29), (8.31) e (8.32), e

assim, estaremos fazendo a analise das transferencias de energia no regime inercial considerando

um espectro de Kolmogorov [4, 28]. O integrando, em cada uma das equacoes citadas, e que vai

determinar o sinal, e consequentemente, a direcao das cascatas. Mais precisamente, o sinal sera

aquele dos termos de transferencia presentes em cada contribuicao: Ts (κ, 1, θ) e Ts (θ, 1, κ), com

θ ≤ 1 ≤ κ. Onde

Ts = TsHD + Ts

LF + TsMAG (9.1)

Com os valores indicados acima para m e n, temos que

− 5 + 3n = 0 (9.2)

e

− 5 + n + 2m = 0 (9.3)

De modo que, nas tres expressoes teremos um limite do tipo:

limx→0

κx− 1x

= lnκ (9.4)

e

limx→0

θx− 1x

= lnθ (9.5)

64

Assim, o integrando, considerando todas as contribuicoes para o fluxo de energia total,

sera:

IET = Ts (κ, 1, θ) lnκ + Ts (θ, 1, κ) lnθ (9.6)

Como θ ≤ 1 ≤ κ, entao teremos sempre que lnκ > 0 e lnθ < 0. No primeiro termo do

lado direito de (9.6) vamos considerar os casos onde, numa trıade, o numero de onda no estado

estacionario (no nosso caso e o modo p) e o maior. No segundo termo, vamos considerar os casos

onde, numa trıade, o numero de onda no estado estacionario e o menor. O que faremos agora

sera analisar as quatro possıveis combinacoes de helicidade e ver as possibilidades de cascatas

diretas e inversas de energia total, e em quais condicoes essas cascatas acontecem.

9.1.1 O caso sθ = s1 = sκ

Este caso e equivalente a sk = sq = sp, que analisamos na subsecao 6.1.3. Nesta combinacao

de helicidades, vimos que para os casos que apresentam instabilidade quando o numero de onda

p e o maior (que e a situacao de Ts(κ, 1, θ) < 0), sao aqueles onde k < q < p ou q < k < p, na

condicao em que a energia magnetica supere ligeiramente a energia cinetica. Entao, caso a

energia cinetica supere a energia magnetica, os modos que correspondem ao numero de onda

maior serao estaveis. Considerando agora os modos correspondentes ao numero de onda menor,

serao as situacoes onde p < k < q ou p < q < k. Ambos apresentam estabilidade, o que implica

que Ts(θ, 1, κ) > 0, e temos a seguinte situacao:

IET = Ts (κ, 1, θ) lnκ + Ts (θ, 1, κ) lnθ < 0 (9.7)

no caso em que o numero de onda maior, no estado estacionario, seja instavel (Ts (κ, 1, θ) < 0), e

o numero de onda menor, tambem no estado estacionario, seja estavel (Ts (θ, 1, κ) > 0). Trata-se

de uma cascata inversa de energia total.

Se o mesmo numero de onda maior for estavel (Ts (κ, 1, θ) > 0), entao pode ser que as

duas contribuicoes se cancelem:

IET = Ts (κ, 1, θ) lnκ + Ts (θ, 1, κ) lnθ = 0 (9.8)

E nao podemos afirmar, neste caso, se teremos cascatas diretas ou inversas de energia.

A seguir, faremos um procedimento semelhante para as outras combinacoes de helicidade.

65

9.1.2 O caso sθ , s1 = sκ

Para o termo Ts(κ, 1, θ), devemos buscar as situacoes nas quais o numero de onda do

estado estacionario seja o maior, sua helicidade seja igual aquela do numero de onda medio

e diferente da do numero de onda menor. De acordo com o estudo da estabilidade feito no

capıtulo 6, vemos que tais situacoes sao:

1. Caso sk , sq = sp, com k < q < p

2. Caso sk = sp , sq, com q < k < p

Nestas situacoes, o numero de onda maior e instavel, isto e, Ts (κ, 1, θ) < 0

Para o termo Ts (θ, 1, κ), devemos buscar as situacoes nas quais o numero de onda do

estado estacionario seja o menor e sua helicidade seja diferente das helicidades dos numeros de

onda medio e maior, que por sua vez sao iguais. Esta situacao e encontrada no caso sk = sq , sp,

onde todas as solucoes sao estaveis (Ts (θ, 1, κ) > 0). Portanto, o integrando para o fluxo de

energia total resultara:


e teremos cascata inversa neste caso.

9.1.3 O caso sθ = s1 , sκ

Para o termo Ts (κ, 1, θ), buscamos situacoes nas quais p seja o numero de onda maior e

sua helicidade seja diferente das helicidades de k e q. Trata-se do caso sk = sq , sp, e ja vimos

que, nesta combinacao de helicidades, todas as solucoes sao estaveis. Entao, Ts (κ, 1, θ) > 0.

Para o termo Ts (θ, 1, κ), devemos observar os casos onde p seja o numero de onda menor,

com sua helicidade diferente das helicidades de k e q. Isso ocorre nas seguintes combinacoes de

helicidades:

1. Caso sk , sq = sp, com p < q < k

2. Caso sk = sp , sq, com p < k < q

Nestes dois casos, temos solucoes instaveis na condicao que a energia cinetica supere a energia

magnetica, e portanto Ts(θ, 1, κ) < 0. Levando em consideracao toda a analise feita nesta

subsecao, temos que

IET = Ts (κ, 1, θ) lnκ + Ts (θ, 1, κ) lnθ > 0 (9.10)

o que indica que teremos cascatas diretas.

66

Se acontecer que os modos que correspondem ao numero de onda menor sejam estaveis,

isto e, Ts (θ, 1, κ) > 0, entao podemos ter tanto cascatas diretas quanto inversas. Seria o caso em

que a energia cinetica nao seja dominante, para este caso do numero de onda menor.

9.1.4 O caso s1 , sκ = sθ

Para o termo Ts (κ, 1, θ), devemos buscar as situacoes onde p seja o numero de onda maior

e sua helicidade seja igual a do numero de onda menor, e diferente da do numero de onda medio.

Isso ocorre nos seguintes casos:

1. Caso sk , sq = sp, com q < k < p

2. Caso sk = sp , sq, com k < q < p

Nos dois casos, sempre existirao solucoes instaveis. Portanto, Ts (κ, 1, θ) < 0

Para o termo Ts (θ, 1, κ), olhamos para as situacoes nas quais a helicidade do numero de

onda menor seja igual a do numero de onda maior e diferente da do numero de onda medio.

Novamente temos dois casos:

1. Caso sk , sq = sp, com p < k < q

2. Caso sk = sp , sq, com p < q < k

No primeiro caso, teremos sempre solucoes instaveis. No segundo caso, teremos solucoes

instaveis na condicao que a energia cinetica supere a energia magnetica. Portanto, caso os

modos correspondentes ao numero de onda menor sejam instaveis (Ts(v, 1,w) < 0), pode ser que

as duas contribuicoes no integrando se cancelem:

IET = Ts (κ, 1, θ) lnκ + Ts (θ, 1, κ) lnθ = 0 (9.11)

e assim, existe a possibilidade de cascatas diretas ou inversas. Se os modos correspondentes ao

numero de onda menor forem estaveis (Ts (θ, 1, κ) > 0), teremos


o que indica que teremos cascatas inversas.

67

9.2 Cascatas de Helicidade Magnetica

Nesta secao vamos considerar as transferencias de helicidade magnetica no regime inercial

da energia total. Portanto, vamos considerar novamente n = 5/3 e m = 5/3. Usando estes valores

para m e n na expressao (8.39), teremos um integrando da forma

IHm = TsEm

(κ, 1, θ) sκ (κ − 1) + TsEm

(θ, 1, κ) sθ (θ − 1) (9.13)

Podemos observar que ha uma dependencia explıcita das helicidades sκ e sθ. Vamos agora

analisar as quatro possıveis combinacoes de helicidades dos distintos modos, considerando

s1 = 1. Lembrando que θ ≤ 1 ≤ κ, teremos que κ − 1 > 0, assim como lnκ > 0 no integrando

para o fluxo de energia total, e θ − 1 < 0, assim como lnθ < 0 tambem no caso para a energia

total. O sinal correspondente aos termos de transferencia serao os mesmos encontrados na secao

anterior para as cascatas de energia.

9.2.1 O Caso sθ = s1 = sκ

Neste caso, sκ = sθ = 1, o que implica que

IHm = TsEm

(κ, 1, θ) (κ − 1) + TsEm

(θ, 1, κ) (θ − 1) (9.14)

Vemos que esta e uma expressao semelhante aquela que encontramos para esta mesma

combinacao de helicidades no caso para o fluxo de energia total. Portanto, levando em conta a

discussao feita no paragrafo anterior para os termos de transferencia e os sinais de κ − 1 e θ − 1,

as cascatas de helicidade magnetica serao, neste caso, na mesma direcao das de energia total:

a saber, cascata inversa, caso a energia magnetica domine sobre a energia cinetica; havendo

ainda a possibilidade de que as duas contribuicoes se cancelem, e assim poderemos ter cascatas

inversas ou diretas.

9.2.2 O caso sθ , s1 = sκ

Para esta combinacao temos sκ = 1 e sθ = −1, o que resulta

IHm = TsEm

(κ, 1, θ) (κ − 1) − TsEm

(θ, 1, κ) (θ − 1) (9.15)

Para este caso, quando vimos o fluxo de energia, tınhamos encontrado que as cascatas

68

eram sempre inversas. Mas podemos observar que o sinal, devido a contribuicao correspondente

aos modos de numero de onda menor, e agora negativo. Isso implica que temos possibilidade

tanto de cascatas inversas quanto diretas de helicidade magnetica.

9.2.3 O caso sθ = s1 , sκ

Neste caso, temos sκ = −1 e sθ = 1, e o integrando fica

IHm = −TsEm

(κ, 1, θ) (κ − 1) + TsEm

(θ, 1, κ) (θ − 1) (9.16)

Dessa vez, o sinal correspondente aos modos em que o numero de onda e maior esta

invertido, em relacao ao integrando para o fluxo de energia total. Naquele caso, tınhamos

cascatas diretas de energia e, portanto, para este caso atual poderemos ter tanto cascatas diretas

como inversas. Caso o termo de transferencia que corresponde aos modos de numero de onda

menor seja estavel, entao teremos cascata inversa de helicidade magnetica.

9.2.4 O caso s1 , sκ = sθ

Neste caso, temos sκ = sθ = −1, e o integrando fica

IHm = −TsEm

(κ, 1, θ) (κ − 1) − TsEm

(θ, 1, κ) (θ − 1) (9.17)

Portanto, o sinal das contribuicoes para cada termo de transferencia e invertido, compa-

rando com o integrando para o fluxo de energia total nesta combinacao de helicidades, de modo

que as cascatas de helicidade magnetica e energia total terao sempre direcoes opostas. A seguir

apresentamos uma tabela que mostra as diferentes possibilidades de cascatas de energia total e

de helicidade magnetica:

.

69

Tabela 9.1: Cascatas de energia total e de helicidade magnetica.

Combinacao Condicao Cascata de Cascata dede helicidades energia total helicidade magnetica

sθ = s1 = sκ |Bsp |2 > |Usp |

2 Inversa Inversa|Usp |

2 > |Bsp |2 Nao definida Nao definida

sθ , s1 = sκ Sempre Inversa Nao definida

sθ = s1 , sκ |Usp |2 > |Bsp |

2 Direta Nao definida|Bsp |

2 > |Usp |2 Nao definida Inversa

s1 , sκ = sθ |Usp |2 > |Bsp |

2 Nao definida Nao definida|Bsp |

2 > |Usp |2 Inversa Direta

9.3 Cascatas de Helicidade Cruzada

9.3.1 Relacao entre os nucleos de energia total e de helicidade cruzada

Os nucleos de energia total sao dados pelas equacoes (8.3), (8.4) e (8.5), respectivamente:

TsHD

(k, p, q

)=

(sqq − spp

)Uspvsqvsk gkpq + c.c.

TsLF

(k, p, q

)= −

(sqq − spp

)Bspbsqvsk gkpq + c.c.

TsMAG

(k, p, q

)= skk

(Uspbsq − vsqBsp

)bsk gkpq + c.c.

E os nucleos da helicidade cruzada sao dados pelas equacoes (8.42), (8.43) e (8.44), res-

pectivamente:

TaHc

(k, p, q) = skk(Uspbsq − vsqBsp

)vsk gkpq + c.c.

TbHc

(k, p, q) =(sqq − spp

)Uspvsqbsk gkpq + c.c.

TcHc

(k, p, q) = −

(sqq − spp

)Bspbsqbsk gkpq + c.c.

lembrando que c.c. indica complexo conjugado.

Olhando para as seis expressoes acima, podemos observar que:

TaHc

(k, p, q) = TsMAG

(k, p, q

) vsk

bsk

(9.18)

TbHc

(k, p, q) = TsHD

(k, p, q

) bsk

vsk

(9.19)

TcHc

(k, p, q) = TsLF

(k, p, q

) bsk

vsk

(9.20)

E possıvel notar a simetria que ha na proporcionalidade entre os THc(k, p, q), e os outros

70

nucleos da helicidade cruzada, com os nucleos da energia total. Para continuar com a analise

qualitativa, vamos supor que vsk e bsk sao reais.

1. Se o sinal de vsk/bsk = +1, entao a transferencia de helicidade cruzada acompanha a de

energia total.

2. Se o sinal de vsk/bsk = −1, entao a transferencia de helicidade cruzada e oposta a de energia

total.

No primeiro caso, se o sinal de vsk/bsk = +1, os dois modos sao paralelos, o que quer

dizer que o sinal da helicidade cruzada sera positivo. Isso significa que as cascatas de helicidade

cruzada vao acompanhar as de energia total, ou seja, nos casos em que a energia faz uma cascata

direta, a helicidade cruzada tambem fara uma cascata direta, e nos casos em que a energia faz

uma cascata inversa, a helicidade cruzada tambem vai fazer uma cascata inversa.

No segundo caso, sendo o sinal de vsk/bsk = −1, isso significa que os dois vetores sao

antiparalelos, portanto, a helicidade cruzada e negativa. Isso indica que quando a energia faz

uma cascata direta, a helicidade cruzada faz uma cascata inversa, e quando a energia faz uma

cascata inversa, a helicidade cruzada, que agora e negativa, faz uma cascata direta.

Consideramos aqui, a existencia da helicidade cruzada como uma condicao inicial, ela

nao e criada nem destruıda pelo mecanismo da turbulencia, no regime inercial, que e aquele

no qual os efeitos dissipativos podem ser negligenciados, nao havendo possibilidade de linhas

magneticas ou linhas de campo de velocidades se reconectarem (tais reconexoes acontecem

sempre que haja resistividade ou viscosidade, que e quando nao acontece o regime inercial).

Entao, o que se observa e que, nos dois casos citados acima, a helicidade cruzada seria

transportada como um pseudoescalar passivo e nao teria qualquer papel determinante nas

transferencias de energia e, consequentemente, nao exerce qualquer papel determinante no

dınamo turbulento.

A helicidade cruzada pode acumular-se numa area ou outra do espaco de Fourier. Se

supomos que a energia faca uma cascata direta e existe um acumulo de helicidade cruzada na

regiao de numero de onda pequeno, essa helicidade cruzada sera transportada, via a cascata

direta de energia, para os numeros de onda grandes. A distribuicao espectral mudara, mas,

globalmente, ela mantera seu valor original, dentro do regime inercial. O mesmo acontece para

o caso de helicidade cruzada negativa.

Os estudos da transferencia de energia indicam que a contribuicao da helicidade cruzada

para o efeito dınamo seria mınima. Por exemplo, se pensamos no caso do dınamo de campo

medio, e se pensamos tambem no caso da geracao de campo magnetico em grandes escalas

71

(numero de onda pequeno), a cascata inversa de helicidade cruzada que corresponderia ao caso

de helicidade cruzada positiva em pequenas escalas (numero de onda grande), que acompanha

uma cascata inversa de energia, ou helicidade cruzada negativa, que acompanha uma cascata

direta de energia, com a helicidade cruzada fazendo uma cascata inversa, essas cascatas arras-

tariam o campo magnetico para as grandes escalas, ajudando marginalmente no crescimento,

ou amplificacao, do campo magnetico em grandes escalas. Tudo isso deve ser levado em conta,

mas quantitativamente, assumindo um modelo determinado para as correlacoes de velocidade

e campos que aparecem nas funcoes de transferencia (ver equacoes (8.42), (8.43) e (8.44)).

Na proxima secao, particularizaremos os resultados ate aqui obtidos para o dınamo

turbulento. Ate aqui analisamos o caso geral, mas no caso do dınamo turbulento, nao e necessario

que o campo magnetico seja muito forte para que o dınamo comece a funcionar. Entao, vamos

aplicar essas situacoes encontradas ate agora com um campo magnetico muito fraco, e ver o que

obtemos. Mas isso nao significa que uma condicao para o mecanismo do dınamo seja a de que o

campo magnetico deve ser muito pequeno, mas sim que um campo magnetico muito pequeno

ja e suficiente. Quando pensamos num dınamo, temos como pressuposto que a energia cinetica

seja maior que a energia magnetica, o que implica que o campo de velocidades sera bem mais

intenso que o campo magnetico, mesmo que este seja muito grande. Se, de fato, tivermos este

ultimo caso e nao houver mecanismo do dınamo, tal campo ira decair, pois nao sera sustentado.

Ou seja, o dınamo tambem serve para segurar o campo magnetico.

9.4 O dınamo cinematico

O dınamo turbulento abrange os efeitos tanto de criacao do campo magnetico, por parte

do escoamento turbulento hidrodinamico, como da retroacao do mesmo campo magnetico

sobre o escoamento e o alcance de um equilıbrio. Como o campo magnetico nao crescera

indefinidamente, em algum momento a aproximacao do efeito dınamo cessara. Em outras

palavras, se chega num determinado momento em que ja nao acontece a conversao de energia

cinetica em energia magnetica. Entao o campo magnetico, que tinha um crescimento exponencial,

passa a crescer muito mais lentamente ou ate mesmo a manter-se.

O que nos propomos a fazer agora e particularizar os resultados anteriores para o caso do

dınamo de campo medio, assumindo que o campo magnetico Bsp seja muito pequeno, podendo

ser desprezado. Quando temos essa situacao de campo magnetico pequeno, a forca de Lorentz e,

consequentemente, pequena em comparacao com as forcas inerciais, podendo ser desprezada na

equacao de Navier-Stokes (5.1). O que segue a partir disso e o desacoplamento entre a equacao

72

de Navier-Stokes e a equacao de inducao, o que define o problema do dınamo cinematico.

Que o campo magnetico seja muito pequeno, significa que os termos proporcionais a |Bsp | sao

desprezados quando comparados com os termos proporcionais a |Usp |. Isto e,

|Usp |

|Bsp | 1 (9.21)

Trata-se da analise de estabilidade de um escoamento hidrodinamico, sujeito a pequenas

perturbacoes do campo magnetico e do campo de velocidades, sendo a perturbacao do campo

magnetico vista como um campo semente, que posteriormente vem amplificado pela acao do

dınamo. Neste cenario, observamos que, tanto a partir da equacao (6.9) quanto na equacao

(6.11), os termos envolvendo Bsp desaparecem, resultando

∂2vsk

∂t2 = |gkpq|2(spp − sqq

) (skk − spp

)|Usp |

2vsk (9.22)

∂2bsk

∂t2 = −|gkpq|2skksqq|Usp |

2bsk (9.23)

Vemos que no caso da equacao (9.22), os termos que correspondem a forca de Lorentz e

que estavam presentes em (6.9), tambem desapareceram. A unica contribuicao para a evolucao

do campo magnetico vem a partir do campo de velocidades Usp , como vemos na equacao (9.22).

Olhando para a equacao (9.23), vemos que o sistema acima possui solucoes exponenciais que

levam ao crescimento do campo magnetico se sk , sq, independentemente da ordem dos numeros

de onda. Em outras palavras, para que seja possıvel a transferencia de energia desde o campo de

velocidades para o campo magnetico, os modos magneticos nos numeros de onda k e q devem

ser de helicidades opostas.

Uma vez que ja sabemos a condicao para que o campo magnetico cresca, vamos analisar,

com base na equacao (9.22), quando o campo de velocidades cresce ou decai. Em todos os

diferentes casos obteremos o mesmo resultado, tanto para sp = 1 quanto para sp = −1.

9.4.1 O caso k < q 0, entao vsk decai.

73

Caso sk = sp , sq

Neste caso∂2vsk

∂t2 = −|gkpq|2 (p + q

) (p − k

)|Usp |

2vsk (9.25)

e, como p − k > 0, entao vsk decai.

9.4.2 O caso k 0, entao vsk cresce.

Caso sk = sp , sq

Neste caso, teremos

∂2vsk

∂t2 = −|gkpq|2(p + q)(p − k)|Usp |

2vsk (9.27)

e, como p − k > 0, entao vsk decai.

9.5 Termos de transferencia para o dınamo turbulento

Nesta secao vamos reescrever os termos de transferencia para a energia total, helicidade

magnetica e helicidade cruzada, para o caso do dınamo turbulento.

9.5.1 Termos de transferencia para energia total

Aqui, vamos reescrever os termos de transferencia encontrados em (8.3), (8.4) e (8.5) em

termos de Ts = (κ, 1, θ) e Ts = (θ, 1, κ), que sao aqueles que aparecem nas equacoes (8.29), (8.31)

e (8.32). Para isso, levaremos em conta os limites de integracao em k′ para k < k′ < ∞, que

corresponde a integral no primeiro termo das equacoes aqui referidas, e tambem para 0 < k′ < k,

que corresponde a integral no segundo termo das mesmas equacoes. Obtemos o que segue:

74

Para a contribuicao hidrodinamica:

Para k < k′ < ∞, temos

TsHD (κ, 1, θ) = vs1vsθvsκ(sθθ − s1)g1θκ + c.c. (9.28)

Para 0 < k′ < k, temos

TsHD (θ, 1, κ) = vs1vsκvsθ(sκκ − s1)g1θκ + c.c. (9.29)

Para a contribuicao da forca de Lorentz:

Como o termo de transferencia correspondente a contribuicao da forca de Lorentz em (8.4)

e proporcional Bsp , que estamos considerando, agora, como sendo muito pequeno, seu valor sera

igual a zero:

TsLF(k, p, q) = TS

LF (κ, 1, θ) = TSLF (θ, 1, κ) = 0 (9.30)

Para a contribuicao magnetica:


TsMAG (κ, 1, θ) = sκκvs1bsθbsκg1θκ + c.c. (9.31)


TsMAG (θ, 1, κ) = sθθvs1bsκbsθg1θκ + c.c. (9.32)

Sendo que os termos que eram proporcionais a Bsp em (8.5) desapareceram.

9.5.2 Termos de transferencia para a helicidade magnetica

Os termos de transferencia que aparecem na equacao (8.39), podem ser obtidos fa-

zendo uso da equacao (8.35). Isto e, vamos utilizar o termo de transferencia correspondente

a contribuicao magnetica para a energia total. Obtemos o que segue:


TsHm

(κ, 1, θ) = vs1bsθbsκg1θκ + c.c. (9.33)

75


TsHm

(θ, 1, κ) = vs1bsκbsθg1θκ + c.c. (9.34)

9.5.3 Termos de transferencia para a helicidade cruzada

Agora, vamos reescrever os termos de transferencia encontrados em (8.42), (8.43) e (8.44)

em termos de Ts = (κ, 1, θ) e Ts = (θ, 1, κ), que sao aqueles que aparecem nas equacoes (8.58),

(8.59) e (8.60). Novamente, levaremos em conta os limites de integracao dos casos acima.

Para a contribuicao de TaHc


TaHc

(κ, 1, θ) = sκκvs1bsθvsκg1θκ + c.c. (9.35)


TaHc

(θ, 1, κ) = sθθvs1bsκvsθg1θκ + c.c. (9.36)

Para a contribuicao de TbHc


TbHc

(κ, 1, θ) = (sθθ − s1)vs1vsθbsκg1θκ + c.c. (9.37)


TbHc

(θ, 1, κ) = (sκκ − s1) vs1vsκbsθg1θκ + c.c. (9.38)

Para a contribuicao de TcHc

Podemos notar que o termo de transferencia (8.44) e proporcional a Bsp em todas as suas

contribuicoes. Portanto, como estamos analisando a situacao na qual Bsp e muito pequeno,

podendo ser desprezado, chegamos a conclusao que nao temos nenhuma contribuicao de TcHc

:

TcHc

(k, p, q) = TcHc

(κ, 1, θ) = TcHc

(θ, 1, κ) = 0 (9.39)

76

Agora, vamos escrever os termos de transferencia para a helicidade cruzada encontrados

acima em modo proporcional aqueles para a energia total, tal como foi feito na secao 9.3. Ainda

levaremos em conta, nestes casos, os mesmos limites de integracao estudados ate agora nesta

secao.

No caso do termo TaHc

, temos

Para k < k′ < ∞

TaHc

(κ, 1, θ) = TsMAG (κ, 1, θ)

vsκ

bsκ(9.40)

Para 0 < k′ < k

TaHc

(θ, 1, κ) = TsMAG (θ, 1, κ)

vsθ

bsθ(9.41)

No caso do termo TbHc

, temos

Para k < k′ < ∞

TbHc

(κ, 1, θ) = TsHD (κ, 1, θ)

bsκ

vsκ(9.42)

Para 0 < k′ < k

TbHc

(θ, 1, κ) = TsHD (θ, 1, κ)

bsθ

vsθ(9.43)

No caso do termo TcHc

, temos

Para k < k′ < ∞

TcHc

(κ, 1, θ) = TsLF (κ, 1, θ) = 0 (9.44)

Para 0 < k′ < k

TcHc

(θ, 1, κ) = TsLF (θ, 1, κ) = 0 (9.45)

Os modelos usuais do dınamo de campo medio sugerem que existe um termo vinculado

a helicidade cruzada e que esta seria a causa da geracao do campo magnetico nos casos em que

os outros dois termos estariam ausentes. Este modelo, sugerido por Yokoi [24], corresponde a

uma situacao muito especial, que estaria presente, por exemplo, em sistemas que possuem uma

vorticidade global, como discos de acrecao. A equacao seguinte ilustra um pouco a relacao entre

o dınamo e a helicidade cruzada:

E = αB − βJ + γΩ (9.46)

onde o fator γ que multiplica a vorticidade global Ω depende da helicidade cruzada [24].

Como dito anteriormente, este e um modelo muito particular de dınamo, enquanto que, nesta

dissertacao, o objetivo e realizar uma analise geral do efeito da helicidade cruzada na geracao

de campo magnetico.

O que nos propusemos a fazer neste capıtulo foi considerar um caso particular no qual a

77

intensidade do campo magnetico seja muito pequena em comparacao com a do campo de velo-

cidades, e analisar as condicoes em que um e outro campo cresca ou decaia. Alem disso, vimos

como podem ser reescritos os termos de transferencia que expressam as diferentes contribuicoes

para a energia total, helicidade magnetica e helicidade cruzada. Em seguida, pudemos notar

como estao relacionados os termos de transferencia para a energia e para a helicidade cruzada.

Isto nos possibilitou constatar, novamente, em forma qualitativa, que a helicidade cruzada e, de

fato, transportada pela energia total no caso do dınamo turbulento, e que o termo correspondente

a contribuicao da forca de Lorentz pode ser desprezado.

Apresentamos abaixo duas tabelas que mostram, de acordo com as tabelas 6.1 e 9.1, as

situacoes nas quais ocorre o mecanismo do dınamo. Lembrando que este ultimo e a conversao

de energia cinetica em energia magnetica, estarao listados os casos em que, inicialmente, temos

energia cinetica maior que energia magnetica.

Tabela 9.2: Tabela das solucoes instaveis para as diferentes combinacoes de helicidades ondeocorre o mecanismo do dınamo.

Combinacao Arranjos de Estabilidade Condicaode helicidades numero de onda

sk , sq = sp k |Bsp |

2





2


2

sk = sq = sp q |Bsp |

2

.

78

Tabela 9.3: Cascatas de energia total e de helicidade magnetica para as situacoes onde ocorre omecanismo do dınamo.

Combinacao Condicao Cascata de Cascata dede helicidades energia total helicidade magnetica

sθ = s1 = sκ |Usp |2 > |Bsp |

2 Nao definida Nao definida

sθ , s1 = sκ Sempre Inversa Nao definida

sθ = s1 , sκ |Usp |2 > |Bsp |

2 Direta Nao definida

s1 , sκ = sθ |Usp |2 > |Bsp |

2 Nao definida Nao definida

79

10 CONCLUSAO

Iniciamos este trabalho com o objetivo geral de estudar como o alinhamento entre os

campos de velocidade e magnetico, ou seja, a helicidade cruzada, afeta o funcionamento do

dınamo turbulento. Esses dınamos estao presentes nos plasmas das galaxias, no Sol e nas

estrelas; sendo os responsaveis pela geracao dos campos magneticos que podem ser observados

nesses sistemas. Ate hoje foram realizados muitos estudos acerca da influencia que pode existir

das invariantes da MHD no mecanismo do dınamo, mas sempre com destaque para a energia

total e helicidade magnetica. Neste sentido, o papel que pode ter a helicidade cruzada tem

sido pouco estudado. Nos partimos dos trabalhos ja existentes, que analisaram a importancia

da energia total e helicidade magnetica, seguimos os procedimentos ali utilizados e buscamos

implementa-los para o caso da helicidade cruzada.

Sendo assim, partimos das equacoes para a MHD, as escrevemos no espaco de Fou-

rier e em seguida em termos de ondas helicoidais. Como nosso objetivo principal e estudar

as transferencias das invariantes ideais, em especial a de helicidade cruzada, que acontecem

entre trıades de vetores de onda no espaco de Fourier, levamos em consideracao uma trıade

e escrevemos as equacoes obtidas em termos das ondas helicoidais para os diferentes modos

correspondentes a ela. Com isso, obtemos um sistema de equacoes diferenciais acopladas, para

o qual consideramos uma solucao no estado estacionario num dos modos da trıade (modo p).

Com o uso da solucao citada, e derivando as equacoes uma segunda vez com relacao ao tempo,

chegamos a duas equacoes que correspondem a um sistema de osciladores acoplados. A solucao

deste segundo sistema, a saber (6.18), e aquela que nos permite identificar quando temos insta-

bilidade no nosso sistema e, portanto, onde ocorreria o mecanismo do dınamo. Tendo analisado

caso por caso cada possıvel combinacao de autovalores, apresentadas nas equacoes (6.41 - 6.44),

vimos como em alguns casos a presenca de instabilidade depende de alguns fatores, tais como

as diferentes possibilidades de arranjos entre os numeros de onda que compoem a trıade, a

localidade e/ou nao localidade das trıades e as relacoes entre as energias cinetica e magnetica. A

analise de estabilidade que fizemos foi baseada na que fez Linkmann e outros [25], e buscamos

faze-la de modo mais detalhado, analisando de forma minuciosa cada possıvel combinacao de

helicidades, arranjos de numeros de onda e a localidade, e/ou nao localidade, das interacoes

entre os mesmos numeros de onda. Fato e que chegamos a conclusao que a helicidade cruzada

do estado estacionario nao e de grande importancia quanto a esse estado ser instavel ou estavel.

Uma vez que as situacoes nas quais ocorre instabilidade foram identificadas, nos concentramos

80

em estudar como acontece a evolucao das invariantes ideias da MHD, e assim, saber como

ocorrem as suas respectivas cascatas. Com este objetivo, escrevemos as definicoes de cada uma

das invariantes e as derivamos em relacao ao tempo. A partir das equacoes de evolucao obtidas

para cada invariante, encontramos as equacoes para o fluxo de cada uma delas atraves de um

numero de onda. Por meio dessas equacoes, analisamos, com o auxılio do estudo de estabilidade

feito no capıtulo 6, se as cascatas de cada invariante eram diretas ou inversas. Tambem nos ba-

seamos no trabalho ja citado de Linkmann para chegar as equacoes para o fluxo de energia total

e helicidade magnetica, utilizando o mesmo procecimento para encontrar o fluxo de helicidade

cruzada. Entao fizemos uma analise qualitativa, no capıtulo 9, com o intuito de analisar como

sao as cascatas de cada uma das invariantes da MHD. Tal analise ainda nao havia sido feita

para a helicidade cruzada. Por meio desta analise qualitativa, considerando agora a helicidade

cruzada e vendo como o seu espectro pode ser escrito em termos do espectro da energia total,

chegamos a conclusao que a helicidade cruzada e transportada como um escalar passivo, nao

possuindo qualquer papel determinante no dınamo turbulento. Por fim, estudamos a situacao

na qual o campo magnetico seja muito pequeno em comparacao com o campo de velocidades

e, por meio das relacoes entre os termos de transferencia das invariantes ideais, pudemos ver

qualitativamente que, de fato, a helicidade cruzada e transportada passivamente, nao tendo

qualquer efeito no funcionamento do dınamo turbulento.

Pelo fato de nossa analise do caso geral ser qualitativa, o trabalho futuro e encarar o

estudo de um caso particular de turbulencia MHD, bastante utilizado na pesquisa, que e o

de campos de velocidade e magnetico isotropicos e homogeneos, mas nao invariantes frente

a reflexoes do sistema de referencia. Esta ultima consideracao tem a ver com a existencia do

dınamo: ele so esta presente em sistemas que carecem de simetria reflexional. Para realizar

esse estudo consideraremos um modelo analıtico bem conhecido nas pesquisas teoricas de

turbulencia que e a aproximacao EDQNM, que ja tinha sido usada ha muitos anos para estudar

cascatas de helicidade magnetica e funcionamento do dınamo turbulento [29]. Nessa referencia

nao foi considerada a presenca de helicidade cruzada. Quando ela e levada em conta, como em

nosso futuro trabalho, as equacoes resultarao bem mais complexas e generalizarao as obtidas na

referencia [29].

Os avancos dos novos trabalhos estao apresentados no Epılogo a seguir.

81

11 EPILOGO: EQUACOES PARA AS INVARIANTES DA MHD EM

TURBULENCIA HOMOGENEA E ISOTROPICA

No corpo do trabalho escrevemos as equacoes de evolucao para a energia total, e as

helicidades magnetica e cruzada. Elas foram analisadas qualitativamente e a conclusao a

que chegamos foi de que a helicidade cruzada seria transportada pela energia total. Aque-

las equacoes, envolvendo campos estocasticos, nao podem ser integradas numericamente, com

o objetivo de confirmar ou descartar nossa afirmacao. Em vez disso, uma simulacao numerica

ou uma aproximacao analıtica deveria ser feita. Escolhemos a segunda opcao e, neste capıtulo,

esbocamos os passos que seguiremos futuramente para chegar a resposta buscada.

Vamos analisar a situacao usualmente considerada em estudos de turbulencia, pela sua

relativa simplicidade, isto e, uma realizacao homogenea, isotropica e sem simetria reflexional.

Implementaremos uma aproximacao bem conhecida, a Eddy-Damped Quasi Normal Markovian

(EDQNM) [27, 28], que consiste em pensar as caracterısticas nao Gaussianas da turbulencia

como um desvio do comportamento gaussiano. E bem sabido, desde o comeco dos estudos de

turbulencia, que ela e um fenomeno nao Gaussiano [28]. Portanto, um tratamento puramente

Gaussiano produziria resultados incorretos.

Neste epılogo, apresentamos uma breve descricao da aproximacao antes mencionada,

bem como as primeiras formas das equacoes com as que continuaremos trabalhando no futuro.

A deducao delas e bastante pesada e ainda nao esta completada. Os detalhes dos calculos estao

apresentados no Apendice D.

11.1 Breve descricao da aproximacao EDQNM

No cenario que estamos trabalhando, que e o de sistemas turbulentos, nao e esperado

que se observe algo que remeta a uma funcao Gaussiana. Isto e assim, visto que se tivessemos

algo mais proximo a uma funcao Gaussiana, isso nao permitiria transferencias de energia entre

numeros de onda, isto e, cascatas de energia. Aqui entra a ideia da aproximacao Quasi-Normal,

uma teoria analıtica estatıstica que pode ser aplicada nos casos de difusao de escalar passivo.

Essa teoria nao admite que tais funcoes sejam Gaussianas, mas faz a hipotese de que o sejam

aproximadamente. Assim, as funcoes de tres pontos que aparecem no lado direito das equacoes

para a energia e as helicidades (que no caso Gaussiano seriam nulas) sao escritas como propor-

cionais as funcoes de quatro pontos (ou seja, como produto de quatro das variaveis do sistema).

82

No caso Gaussiano, esta funcao de quatro pontos pode ser escrita como combinacao linear de

produtos de duas funcoes de dois pontos, como se ve no lado direito da equacao (D.9) mais

abaixo. E a partir deste fato que a aproximacao chama-se quase normal.

No entanto, a aproximacao Quasi-Normal apresentou resultados insatisfatorios, visto

que, apos sua aplicacao, foi observado, eventualmente, o aparecimento de espectro negativo de

energia cinetica. Tal ocorrencia e, evidentemente, inaceitavel, pois sabemos que o espectro de

energia cinetica e proporcional a 〈|u(k)|2〉, admitindo, portanto, somente valores positivos. Para

tentar solucionar esse problema, Orszag propos que as funcoes de quatro pontos referidas acima

fossem multiplicadas por um termo de amortecimento µkpq, que aparece no lado esquerdo de

(D.9) (dentro das chaves). Para assegurar que µkpq seja uma funcao crescente, foi feita a suposicao

mostrada em (D.11) mais abaixo. Trata-se de uma funcao que tem dimensao inversa do tempo

e e chamada de taxa de amortecimento vortical (Eddy-damping). Mesmo apos a aplicacao

deste termo de amortecimento, o que tornou o cenario mais aceitavel fisicamente, ainda nao

fica garantida a realizabilidade em todas as situacoes, isto e, continua existindo a possibilidade

de que apareca um espectro negativo de energia. Para corrigir isso, Orszag fez uma pequena

modificacao, que ficou denominada como Markovianizacao. Isso esta concretizado na equacao

(D.13) mais na frente: o termo exponencial, presente no integrando da expressao citada, varia

com um tempo caracterıstico[µkpq + ν

(k 2 + p2 + q2)]−1

, e esse tempo e bem menor que o tempo

caraterıstico de evolucao da soma de produtos de funcoes de dois pontos. A Markovianizacao

faz com que seja possıvel uma simplificacao das equacoes espectrais, e assegura que estas vao

sempre apresentar espectro positivo, garantindo a realizabilidade em todas as situacoes. O

conjunto formado pela aproximacao gaussiana (Quasi-Normal), pelo termo de amortecimento

(Eddy-Damping) e pela Markovianizacao, constitui a aproximacao EDQNM [28].

Um dos primeiros trabalhos que usaram a aproximacao EDQNM em magnetohidro-

dinamica, foi o de A. Pouquet e outros [29]. Nele, eles mostraram, pela primeira vez, a ocorrencia

de cascatas inversas de helicidade magnetica. Eles nao levaram em conta a presenca de heli-

cidade cruzada e, neste sentido, nosso futuro trabalho tambem contribuira para generalizar

aquele.

83

11.2 Desenvolvimento das Equacoes para Turbulencia Homogenea

Vamos iniciar com as equacoes MHD numa forma que permite uma melhor comparacao

com trabalhos preexistentes, como o de Pouquet, isto e[∂∂t

+ νk2

]ui(k) = −

i2

Pi jl(k)"

d3p d3q

(2π)3

[u j(p)ul(q) − b j(p)bl(q)

]δ(p + q − k) (11.1)[

∂∂t

+ ηk2

]bi(k) = ikl

"d3p d3q

(2π)3

[ui(q)bl(p) − bi(p)ul(q)

]δ(p + q − k) (11.2)

com

Pi jl(k) = klPi j + k jPil(k) (11.3)

Pi j(k) = δi j −kik j

k2 (11.4)

Por conveniencia, omitimos o argumento t nas expressoes acima. As equacoes para as diferentes

funcoes de dois pontos que necessitamos sao[∂∂t

+ ν(k2 + k′2

)]ui(k)u j(k′) = −

i2

Piml(k)"

d3q d3p

(2π)3

[um(q)ul(p) − bm(q)bl(p)

]u j(k′)δ(p + q − k)

−i2

P jml(k′)"

d3q d3p

(2π)3


]ui(k)δ(p + q − k′)

(11.5)

[∂∂t

+ η(k2 + k′2

)]bi(k)b j(k′) = ikl

"d3q d3p

(2π)3

[ui(q)bl(p) − bi(q)ul(p)

]b j(k′)δ(p + q − k)

+ ik′l

"d3q d3p

(2π)3

[u j(p)bl(q) − b j(q)ul(p)

]bi(k)δ(p + q − k′)

(11.6)

e [∂∂t

+ νk2 + ηk′2]

ui(k)b j(k′) = −i2

Piml(k)"

d3qd3p

(2π)3


]b j(k′)δ(p + q − k)

+ ik′l

"d3qd3p

(2π)3

[u j(p)bl(q) − b j(q)ul(p)

]ui(k)δ(p + q − k′) (11.7)

O traco da primeira equacao nos da a equacao para a energia cinetica, o traco da segunda e

a equacao para a energia magnetica, e o traco da ultima nos da a equacao da helicidade cruzada.

respectivamente, temos:

84

[∂∂t

+ 2νk2

]Uii(k) =

−12

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θqk(k−q)(t)Pmst(q)

[Usi(k)Utl(q − k) − Xsi(k)Xtl(q − k)

]+ Pist(−k)

[Usm(−q)Utl(q − k) − Xsm(−q)Xtl(q − k)

]+Plst(k − q)

[Usm(−q)Uti(k) − Xsm(−q)Xti(k)

]+

12

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θkq(k−q)(t)Pist(−k)

[Xsm(−q)Xtl(q − k) − Bsm(−q)Btl(q − k)

]−qs

[Umi(k)Xsl(q − k) + Xml(q − k)Usi(k) − Xmi(k)Bsl(q − k) − Bml(q − k)Xsi(k)

]−

[ksUli(k)Xsm(−q) − qsXlm(−q)Usi(k) − ksXli(k)Bsm(−q) + qsBlm(−q)Xsi(k)

]−

12

Piml(−k)∫

d3q

(2π)3/2 Θqk(k+q)(t)Pmst(q)

[Usi(−k)Utl(k + q) − Xsi(−k)Xtl(k + q)

]+ Pist(k)

[Usm(−q)Utl(k + q) − Xsm(−q)Xtl(k + q)

]+Plst(−k − q)

[Usm(−q)Uti(−k) − Xsm(−q)Xti(−k)

]+

12

Piml(−k)∫

d3q

(2π)3/2 Θkq(−k−q)(t)Pist(k)

[Xsm(−q)Xtl(k + q) − Bsm(−q)Btl(k + q)

]−qs

[Umi(−k)Xsl(k + q) + Xml(k + q)Usi(−k) − Xmi(−k)Bsl(k + q) − Bml(k + q)Xsi(−k)

]+

[ksUli(−k)Xsm(−q) + qsXlm(−q)Usi(−k) − ksXli(−k)Bsm(−q) − qsBlm(−q)Xsi(−k)

](11.8)

85

[∂∂t

+ 2ηk2

]Bii(k) =

kl

∫d3q

(2π)3/2 Θqk(k−q)(t)Pist(q)

[Xsi(k)Xtl(q − k) − Bsi(k)Btl(q − k)

]+ks

[Xis(−q)Xtl(q − k) + Bsl(q − k)Uti(−q) −Usi(−q)Btl(q − k) − Xsl(q − k)Xit(−q)

]+

[ksXis(−q)Xti(k) − qsBsi(k)Uti(−q) − ksUsi(−q)Bti(k) + qsXsi(k)Xit(−q)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θ(k−q)kq(t)Plst(k − q)

[Xsi(k)Xti(−q) − Bsi(k)Bti(−q)

]−ks

[Xls(q − k)Xti(−q) + Bsi(−q)Utl(q − k) −Usl(q − k)Bti(−q) − Xsi(−q)Xlt(q − k)

]+qs

[Xls(q − k)Xti(k) + Bsi(k)Utl(q − k) −Usl(q − k)Bti(k) − Xsi(k)Xlt(q − k)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θqk(k+q)(t)Pist(q)

[Xsi(−k)Xtl(q + k) − Bsi(−k)Btl(q + k)

]−ks

[Xis(−q)Xtl(q + k) + Bsl(q + k)Uti(−q) −Usi(−q)Btl(q + k) − Xsl(q + k)Xit(−q)

]+

[ksXis(−q)Xti(−k) + qsBsi(−k)Uti(−q) − ksUsi(−q)Bti(−k) − qsXsi(−k)Xit(−q)

]+ kl

∫d3q

(2π)3/2 Θ(q+k)kq(t)Plst(−q − k)

[Xsi(−k)Xti(−q) − Bsi(−k)Bti(−q)

]−ks

[Xls(q + k)Xti(−q) + Bsi(−q)Utl(q + k) −Usl(q + k)Bti(−q) − Xsi(−q)Xlt(q + k)

]−qs

[Xls(q + k)Xti(−k) + Bsi(−k)Utl(q + k) −Usl(q + k)Bti(−k) − Xsi(−k)Xlt(q + k)

](11.9)

86

[∂∂t

+(ν + η

)k2

]Xii(k) =

12

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θ(q−k)qk(t)Pmst(k − q)

[Usl(−q)Xti(k) − Xsl(−q)Bti(k)

]+ Plst(q)

[Usm(q − k)Xti(k) − Xsm(q − k)Bti(k)

]+ ks

[Uim(q − k)Xsl(−q) + Uil(−q)Xsm(q − k) − Xim(q − k)Usl(−q) − Xil(−q)Usm(q − k)

]−

12

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θ(k−q)qk(t)[−qsXml(−q)Bsi(k) + ksXmi(k)Bsl(−q) + qsBml(−q)Xsi(k) − ksBmi(k)Xsl(−q)

]+qs

[Xlm(q − k)Bsi(k) + Xli(k)Bsm(q − k) − Blm(q − k)Xsi(k) − Bli(k)Xsm(q − k)

]− ks

[Xim(q − k)Bsl(−q) + Xil(−q)Bsm(q − k) − Bim(q − k)Xsl(−q) − Bil(−q)Xsm(q − k)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θkq(k+q)(t)Pist(k)

[Usi(−q)Xtl(q + k) − Xsi(−q)Btl(q + k)

]+ Pist(q)

[Usi(−k)Xtl(q + k) − Xsi(−k)Btl(q + k)

]+

[ksUli(−k)Xsi(−q) + qsUli(−q)Xsi(−k) − ksXli(−k)Usi(−q) − qsXli(−q)Usi(−k)

]+ kl

∫d3q

(2π)3/2 Θk(q+k)q(t)Pist(k)

[Xsi(q + k)Utl(−q) − Bsi(q + k)Xtl(−q)

]+ Plst(q)

[Usi(−k)Xti(q + k) − Bsi(q + k)Xti(−k)

]+

[ksUii(−k)Xsl(−q) + qsUil(−q)Xsi(−k) − ksXii(−k)Usl(−q) − qsXil(−q)Usi(−k)

](11.10)

O passo seguinte sera assumir isotropia, mas nao paridade. Isto e, vamos considerar que

os diferentes tensores que aparecem nas equacoes anteriores sao da forma

Ui j(k) =1

4π

[Pi j(k)

Ec(k)k2 + iεi jmkm

H(k)k4

](11.11)

Bi j(k) =1

4π

[Pi j(k)

Em(k)k2 + iεi jmkm

M(k)k2

](11.12)

Xi j(k) =1

4πPi j(k)

Xk2 (11.13)

87

A Apendice: Transformada de Fourier e funcao Delta de Dirac

A definicao da transformada de Fourier de uma funcao f (x) e escrita como

f (x) =1

(2π)1/2

∫ +∞

−∞

dk g(k)eikx (A.1)

Vamos nos concentrar na seguinte integral:

1(2π)1/2

∫ +∞

−∞

dk eik(x−x0) (A.2)

Podemos escrever a exponencial eik(x−x0) na forma trigonometrica da seguinte forma:

eik(x−x0) = cos [k (x − x0)] + i sin [k (x − x0)] (A.3)

Substituindo a relacao acima na integral, temos

1(2π)1/2

∫ +∞

−∞

dk eik(x−x0) =1

(2π)1/2

∫ +∞

−∞

dk cos[k(x − x0)] +i

(2π)1/2

∫ +∞

−∞

dk sin[k(x − x0)] (A.4)

A integral do seno resulta numa indeterminacao. No entanto, para fins fısicos, ela pode ser

considerada como igual a zero. No caso da integral do cosseno, se acontecer que (x − x0) = 0,

teremos que ∫ +∞

−∞

dk cos[k(x − x0)] =

∫ +∞

−∞

dk = +∞ (A.5)

enquanto para quaisquer valores tais que (x−x0) , 0, a integral do cosseno acima sera nula (pelo

mesmo motivo que a do seno). Por isso, podemos considerar que

1(2π)1/2

∫ +∞

−∞

dk eik(x−x0)≡

1(2π)1/2 (2π)δ (x − x0) (A.6)

onde δ (x − x0) e uma funcao delta de Dirac.

A.1 Calculo das equacoes da MHD no espaco de Fourier

Partimos da equacao de Navier-Stokes na forma escrita em (5.12):

∂u∂t

= −∇

[pρ

+12

u2

]+ u ×

(∇ × u

)+

14πρ

(∇ × B

)× B + ν∇2u

88

que, no espaco de Fourier, e escrita como:

1(2π)3/2

∫dp∂up

∂teip·r = −

1(2π)3/2

∫dp ipP eip·r

+i

(2π)3

∫dp

∫dq up ×

(q × uq

)ei(p+q)·r

+i

(2π)3

∫dp

∫dq

(q × bq

)× bp ei(p+q)·r −

ν

(2π)3/2

∫dp p2up eip·r

(A.7)

onde, para simplificar a notacao, escrevemos u(p, t

)≡ up, assim como para uq, bp e bq; e tambem

chamamos de P a pressao geralizada:

P =

[pρ

+12

u2

](A.8)

Fazendo o produto escalar de (A.7) com 1(2π)3/2

∫dr eik·r, obtemos

1(2π)3

∫dp

∫dr∂up

∂tei(p+k)·r = −

1(2π)3

∫dp

∫dr ipP ei(p+k)·r

+1

(2π)3/2

i(2π)3

∫dp

∫dq

∫dr up ×

(q × uq

)ei(p+q+k)·r

+1

(2π)3/2

i(2π)3

∫dp

∫dq

∫dr

(q × bq

)× bp ei(p+q+k)·r

−ν

(2π)3

∫dp

∫dr p2up ei(p+k)·r (A.9)

De acordo com (A.6), podemos escrever:

1(2π)3

∫dr ei(p+k)·r = δ

(p + k

);

1(2π)3

∫dr ei(p+q+k)·r = δ

(p + q + k

)(A.10)

sendo δ uma funcao delta de Dirac. Segue entao que

∫dp δ

(p + k

) ∂up

∂t= −

∫dp δ

(p + k

)iPp

+i

(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)up × q × uq

+i

(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) (q × bq

)× bp

− ν

∫dp δ

(p + k

)p2up (A.11)

89

∂u−k

∂t+ νk2u−k = iPk +

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [up ×

(q × uq

)+

(q × bq

)× bp

](A.12)

onde usamos, para a ultima passagem, a seguinte propriedade para a funcao delta de Dirac:∫dp u

(p, t

)δ(p + k

)= u

(−k, t

)≡ u−k (A.13)

Tomando o conjugado complexo de (A.12), e lembrando que u∗−k = uk, temos

∂uk

∂t+ νk2uk = −iPk −

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p ×

(q × u∗q

)+

(q × b∗q

)× b∗p

](A.14)

Aplicando a condicao de incompressibilidade(∇ · u = 0

), o que implica que ik · uk = 0, teremos

que

0 = k2P + ik ·−

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p ×

(q × u∗q

)+

(q × b∗q

)× b∗p

](A.15)

E temos, formalmente, que

P = −ik·k2

−

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p ×

(q × u∗q

)+

(q × b∗q

)× b∗p

](A.16)

Substituindo (A.16) em (A.14), obtemos[∂∂t

+ νk2

]uk = −ik

−i

k·k2

−

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p ×

(q × u∗q

)+

(q × b∗q

)× b∗p

]+

−

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p × (q × u∗q) +

(q × b∗q

)× b∗p

](A.17)

E assim obtemos a equacao (5.18):[∂∂t

+ νk2

]uk = −i

[I −

kk·k2

]1

(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) [u∗p ×

(q × u∗q

)+

(q × b∗q

)× b∗p

]O procedimento para a obtencao da equacao (5.19) e muito semelhante. Partimos de (5.9)

∂B∂t

=c2

4πσ∇

2B + ∇ ×(u × B

)

90

e a escrevemos no espaco de Fourier:

1(2π)3/2

∫dp∂bp

∂teip·r = −

c2

4πσ1

(2π)3/2

∫dp p2bp eip·r

+1

(2π)3

∫dp

∫dq i

(p + q

)×

(up × bq

)ei(p+q)·r (A.18)

Fazendo o produto escalar com 1(2π)3/2

∫dr eik·r, ficamos com

1(2π)3

∫dp

∫dr∂bp

∂tei(p+k)·r = −

c2

4πσ1

(2π)3

∫dp

∫dr p2bp ei(p+k)·r

+1

(2π)3/2

1(2π)3

∫dp

∫dq

∫dr i

(p + q

)×

(up × bq

)ei(p+q+k)·r

(A.19)

De acordo com (A.10), temos

∫dp δ

(p + k

) ∂bp

∂t= −

c2

4πσ

∫dp δ

(p + k

)p2bp

+1

(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)i(p + q

)×

(up × bq

)(A.20)

usando novamente a propriedade (A.13), obtemos

∂b−k

∂t= −

c2k2

4πσb−k +

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

) (p + q

)×

(up × bq

)(A.21)

Tomando o conjugado complexo da equacao acima, lembrando que p + q + k = 0, e portanto

p + q = −k, chegamos em (5.19):[∂∂t

+c2k2

4πσ

]bk =

i(2π)3/2

∫dp

∫dq δ

(p + q + k

)k ×

(u∗p × b∗q

)A.1.1 Calculo das equacoes da MHD no espaco de Fourier usando coordenadas

O procedimento aqui realizado e quase identico ao que foi feito acima. Usaremos coor-

denadas porque nos sera util quando aplicamos isotropia e homogeneidade nas equacoes.

Partimos da equacao (5.1):

∂u∂t

= −∇pρ−

(u · ∇

)u +

14πρ

(∇ × B

)× B + ν∇2u

91

que pode ser escrita como segue

∂u∂t

= −∇pρ−

(u · ∇

)u +

14πρ

[(B · ∇

)B −

12∇B2

]+ ν∇2u (A.22)

onde usamos a identidade: (∇ × B

)× B =

(B · ∇

)B −

12∇B2 (A.23)

organizando os termos, ficamos com

∂u∂t

= −∇

[pρ

+B2

4πρ

]−

(u · ∇

)u +

14πρ

(B · ∇

)B + ν∇2u (A.24)

escrevendo em coordenadas:

∂ui

∂t= −∂iP −

(u j∂ j

)ui +

14πρ

(b j∂ j

)bi + ν∇2ui (A.25)

onde fizemos P ≡[

pρ + B2

4πρ

]. Escrevendo no espaco de Fourier, obtemos:

1(2π)3/2

∫d3p

∂ui(p)∂t

eip·r = −i

(2π)3/2

∫d3p piP eip·r

−i

(2π)3

∫d3p

∫d3q u j(p)q jui(q) ei(p+q)·r

+i

(2π)3

∫d3p

∫d3q b j(p)q jbi(q) ei(p+q)·r

−ν

(2π)3/2

∫d3p p2ui(p) eip·r (A.26)

sendo que, na expressao acima, usamos (5.16) e (5.17). Fazemos agora o produto escalar com1

(2π)3/2

∫d3r e−ik·r:

1(2π)3

∫d3p

∫d3r

∂ui(p)∂t

ei(p−k)·r = −i

(2π)3

∫d3p

∫d3r piP ei(p−k)·r

−i

(2π)3(2π)3/2

∫d3p

∫d3q

∫d3r u j(p)q jui(q) ei(p+q−k)·r

+i

(2π)3(2π)3/2

∫d3p

∫d3q

∫d3r b j(p)q jbi(q) ei(p+q−k)·r

−ν

(2π)3

∫d3p

∫d3r p2ui(p) ei(p−k)·r (A.27)

92

Aplicando as propriedades (A.10), teremos

∂ui(k)∂t

= −ikiP −i

(2π)3/2

∫d3p

∫d3q u j(p)q jui(q) δ(p + q − k)

+i

(2π)3/2

∫d3p

∫d3q b j(p)q jbi(q) δ(p + q − k) − νk2ui(k) (A.28)

que resulta[∂∂t

+ νk2

]ui(k) = −ikiP +

i(2π)3/2

∫d3p

∫d3q

[b j(p)q jbi(q) − u j(p)q jui(q)

]δ(p + q − k)

(A.29)

Aplicamos a condicao de incompressibilidade (neste caso, fazendo o produto escalar com ikl),

temos:

0 = k2P −

kl

(2π)3/2

∫d3p

∫d3q

[b j(p)q jbl(q) − u j(p)q jul(q)

]δ(p + q − k)

= k2P −

kl

(2π)3/2

∫d3p

∫d3q

[b j(p)

(k j − p j

)bl

(k − p

)− u j(p)

(k j − p j

)ul

(k − p

)](A.30)

E assim, podemos escrever:

P =klk j

k2

∫d3p

(2π)3/2

[b j(p)bl(k − p) − u j(p)ul(k − p)

](A.31)

Substituindo esta expressao em (A.29), e resolvendo o delta de Dirac na mesma, teremos:[∂∂t

+ νk2

]ui(k) = −i

[δil −

kikl

k2

]k j

∫d3p

(2π)3/2

[u j(p)ul(k − p) − b j(p)bl(k − p)

](A.32)

onde δil e um delta de Kronecker. Fazemos uma simetrizacao, o que nos da[∂∂t

+ νk2

]ui(k) = −

i2

[δi j −

kik j

k2

]kl +

[δil −

kikl

k2

]k j

∫d3p

(2π)3/2

[u j(p)ul(k − p) − b j(p)bl(k − p)

](A.33)

Finalmente[∂∂t

+ νk2

]ui(k) = −

i2

Pi jl(k)∫ ∫

d3pd3q(2π)3/2

[u j(p)ul(q) − b j(p)bl(q)

]δ(p + q − k) (A.34)

93

com

Pi jl(k) = klPi j(k) + k jPil(k) (A.35)

Pi j = δi j −kik j

k2 (A.36)

O procedimento para a equacao da lei de Faraday e semelhante. Partimos da equacao

(5.9):∂B∂t

= η∇2B + ∇ ×(u × B

)onde

η =c2

4πσ(A.37)

Usaremos a seguinte identidade:

∇ ×(u × B

)=

(∇ · B

)u −

(∇ · u

)B +

(B · ∇

)u −

(u · ∇

)B (A.38)

Sabendo que ∇ · B = 0 e usando tambem a condicao de incompressibilidade (∇ · u = 0), a lei de

Faraday e escrita como:∂B∂t

= η∇2B +(B · ∇

)u −

(u · ∇

)B (A.39)

que podemos escrever da seguinte forma:

∂bi

∂t= η∇2bi + (bl∂l) ui − (ul∂l) bi (A.40)

Escrevendo no espaco de Fourier, obtemos

1(2π)3/2

∫d3p

∂bi(p)∂t

eip·r = −η

(2π)3/2

∫d3p p2bi(p)eip·r +

i(2π)3

∫d3p

∫d3q bl(p)qlui(q) ei(p+q)·r

−i

(2π)3

∫d3p

∫d3q ul(q)qlbi(p) ei(p+q)·r (A.41)

fazemos o produto escalar com 1(2π)3/2

∫d3r e−ik·r, e entao

1(2π)3

∫d3p

∫d3r

∂bi(p)∂t

ei(p−k)·r = −η

(2π)3

∫d3p

∫d3r p2bi(p)ei(p−k)·r

+i

(2π)3

∫d3p

∫d3q

∫d3r bl(p)qlui(q) ei(p+q−k)·r

−i

(2π)3

∫d3p

∫d3q

∫d3r ul(q)qlbi(p) ei(p+q−k)·r

(A.42)

94

Que, usando a definicao da funcao delta de Dirac, obtemos[∂∂t

+ ηk2

]bi(k) = i

"d3pd3q(2π)3/2

[ui(q)qlbl(p) − ul(q)qlbi(p)

]δ(p + q − k) (A.43)

= i∫

d3p(2π)3/2

[ui(k − p)

(kl − pl

)bl(p) − ul(k − p)

(kl − pl

)bi(p)

](A.44)

= ikl

∫d3p

(2π)3/2

[ui(k − p)bl(p) − ul(k − p)bi(p)

](A.45)

Na ultima passagem fizemos iplbl = 0 e iplul = 0, como consequencia de ∇ · B = 0 e ∇ · u = 0.

Podemos, entao, finalmente escrever[∂∂t

+ ηk2

]bi(k) = ikl

"d3pd3q(2π)3/2

[ui(q)bl(p) − bi(p)ul(q)

]δ(p + q − k) (A.46)

95

B Apendice: Ondas helicoidais complexas - as autofuncoes do operador

rotacional

Consideremos um campo vetorial qualquer W, como sendo uma funcao da posicao, e o

escrevemos no espaco de Fourier como segue:

W (r) =1

(2π)3/2

∫dk W

(k)

eik·r (B.1)

Calculamos o seu rotacional, e obtemos

∇ × W (r) =1

(2π)3/2

∫dk ik × W

(k)ek·r (B.2)

e notamos que a transformada de Fourier de ∇ × W (r) e:

FT[∇ × W (r)

]= ik × W

(k)

(B.3)

Vamos agora escrever W(k)

em termos de ondas helicoidais

W(k)

=∑

sk

wsk hsk

(k)

(B.4)

sendo hsk

(k)

as autofuncoes do operador rotacional, que de acordo com Waleffe [3], podem ser

escritas como

hsk

(k)

= ν × κ + iskν (B.5)

com

k = kκ; ν · κ = 0; |ν| = |κ| = 1 (B.6)

Levando a equacao (B.4) em (B.3), temos

k × W(k)

= iwsk k × hsk (B.7)

onde, para simplificar a notacao, omitimos o somatorio e a dependencia de k em hsk . Substituindo

agora (B.5) em (B.7), obtemos

k × W(k)

= iwsk k × [ν × κ + iskν] (B.8)

96

Usando a primeira relacao de (B.6), chegamos a

k × W(k)

= −iwskkκ × (κ × ν) − wskskk (κ × ν)

= −iwskk [(κ · ν) κ − (κ · κ) ν] − wskskk (κ × ν)

= iwskkν − wskskk (κ × ν) (B.9)

sendo que na passagem anterior usamos a identidade

a ×(b × c

)= (a · c) b −

(a · b

)c (B.10)

e tambem que, como podemos notar em (B.6), ν e κ sao vetores unitarios e ortogonais entre si.

Portanto, κ · ν = 0 e κ · κ = 1.

No fim das contas, o que obtemos e

k × W(k)

= skwskkhsk (B.11)

Que, de acordo com (B.7), nos fornece a relacao

ik × hsk = skkhsk (B.12)

Vemos ainda que, tomando o conjugado complexo de (B.5)

h∗sk= ν × κ − iskν (B.13)

fazendo o produto escalar com k, e usando as relacoes de (B.6), chegamos a

h∗sk· k = (ν × κ) · k − iskν · k

= (ν × κ) · (kκ) − iskν · (kκ)

= 0 (B.14)

B.1 Trabalhando com o produto(hsq × hsp

)· hsk

Este produto representa os modos de interacoes triadicas p, q e k, tais que p + q = −k.

Vamos introduzir uma base vetorial local para cada trıade particular, na forma

hsk

(k)

= ν × κ + iskν = eiskφk[λ + iskµ (κ)

](B.15)

97

sendo que as condicoes apresentadas em (B.6) continuam validas.

A baseλ; µ (κ)

e obtida atraves da rotacao da base ν × κ; ν num angulo φk em torno de

k. Este angulo e obtido fazendo

λ =k × p∣∣∣k × p

∣∣∣ =p × q∣∣∣p × q

∣∣∣ =q × k∣∣∣q × k

∣∣∣ (B.16)

Isto indica que λ e um vetor unitario perpendicular ao plano determinado pela trıade(k, p, q

)e que, consequentemente, o vetor µ (κ) = κ × λ esta no plano da trıade (ver figura B.1). Nos

definimos θ = q/∣∣∣q∣∣∣, π = p/

∣∣∣p∣∣∣ e junto com a definicao de κ escrevemos

[hsp × hsq

]· hsk = ei(spφp+sqφq+skφk)

[λ + isp

(π × λ

)]×

[λ + isq

(θ × λ

)]·[λ + isk

(κ × λ

)]= ei(spφp+sqφq+skφk)

[isqλ ×

(θ × λ

)− ispλ ×

(π × λ

)− spsq

(π × λ

)×

(θ × λ

)]·[λ + isk

(κ × λ

)](B.17)

Calculando o produto vetorial dentro das chaves e notando que

λ ×(θ × λ

)= θ

λ ×(π × λ

)= π (B.18)(

π × λ)×

(θ × λ

)= −

[(θ × π

)· λ

]λ

ficamos com

[hsp × hsq

]· hsk = ei(spφp+sqφq+skφk)

isqθ − ispπ + spsq

[(θ × π

)· λ

]λ·[λ + isk

(κ × λ

)](B.19)

Os unicos termos que sobrevivem sao (ver, novamente, a figura B.1)

spsq[(θ × π

)· λ

]+ sqskλ ·

(κ × θ

)+ spskλ · (κ × π) = spsq sinαk + sksq sinαp + spsk sinαq

= spsqsk

[sinαk

sk+

sinαp

sp+

sinαq

sq

](B.20)

O teorema do seno estabelece que

sinαp

p=

sinαq

q=

sinαk

k≡

Q2kpq

(B.21)

98

Figura B.1: Geometria da trıade [3].

onde a ultima igualdade usamos a partir de Waleffe [3]. Portanto

sinαq =Q

2kp

sinαp =Q

2kq(B.22)

sinαk =Q

2qp

Substituindo na equacao (B.20) obtemos

sinαk

sk+

sinαp

sp+

sinαq

sq=

Q2qpsk

+Q

2kqsp+

Q2kpsq

=Q

2kpqspsqsk

(qsksp + psksq + kspsq

)=

Q2kpq

(sqq + spp + skk

)(B.23)

Finalmente [hsp × hsq

]· hsk = ei(spφp+sqφq+skφk)skspsq

Q2kpq

(sqq + spp + skk

)≡ gkpq (B.24)

com skspsq = ±1. Alem disso

αk + αp + αq = π → sin (αk) = sin(αp + αq

)= sin

(αp

)cos

(αq

)+ sin

(αq

)cos

(αp

)(B.25)

e

2 sin(αp

)sin

(αq

)cos

(αq

)cos

(αp

)= sin2 (αk) − sin2

(αp

)− sin2

(αq

)+ 2 sin2

(αp

)sin2

(αq

)(B.26)

99

Usando as expressoes (B.22) e (B.26) temos

cos(αp

)cos

(αq

)2k2pq

=1

4p2q2 −1

4k2q2 −1

4k2p2 +Q2

8k4p2q2 (B.27)

Elevando esta expressao ao quadrado e usando novamente a expressao (B.22) obtemos

Q2 = 2p2q2 + 2k2q2 + 2k2p2− k4− p4− q4≥ 0 (B.28)

100

C Apendice: Escalonamentos Conformes

Neste Apendice mostramos o escalonamento dos termos de transferencia Ti e Ti a partir

do proposto que E (ak) = a−nE (k). Em todos os termos aparece o fator gkpq obtido no Apendice B,

equacao (B.24). Ele se transforma como

ga3kpq = ei(spφp+sqφq−skφk)skspsqa2Q

2a3kpqa(sqq + spp + skk

)= gkpq (C.1)

Quanto a vsi e bsi , iniciamos a partir da definicao de energia cinetica e magnetica em uma casca:

E (k) dk ∝∫|k|=k

k2dΩkdk∫

p2dΩpdp A(k)A∗(p) + c.c. (C.2)

onde A denota qualquer v ou b. Considerando que EHD (ak) = EHD (k) a−n e que

EMAG (ak) = EMAG (k) a−m (com n e m arbitrarios por enquanto) e A(ak) = A(k)a`HD escrevemos

EHD (ak) adk ∝ a3∫|k|=k

k2dΩkdk a3∫

p2dΩpdp a2`HDv(k)v∗(p) + c.c.

a1−nEHD (k) dk ∝ a6+2`HD

∫|k|=k

dk∫

dp v(k)v∗(p) + c.c. (C.3)

a partir de onde nos temos

`HD = −5 + n

2(C.4)

Procedendo de modo analogo com EMAG obtemos

`HD = −5 + m

2(C.5)

C.1 Escalonamento de T sHD

Usando o escalonamento para os campos de velocidade e magnetico que encontramos,

podemos escrever

TsHD

(ak, ap, aq

)= a−3(n+5)/2vspvsqv

∗

sk

(spap − sqaq

)gkpq = a−(13+3n)/2

TsHD

(k, p, q

)(C.6)

101

C.2 Escalonamento de TLF

TsLF

(ak, ap, aq

)= −a−2(m+5)/2−(n+5)/2bspbsqv

∗

sk

(spap − sqaq

)gkpq = a−(13+2m+n)/2

TsLF

(k, p, q

)(C.7)

C.3 Escalonamento de TMAG

TsMAG

(ak, ap, aq

)=

skak8π

a−2(m+5)/2−(n+5)/2(vspbsqb

∗

sk− vsqbspb

∗

sk

)gkpq = a−(13+2m+n)/2

TsMAG

(k, p, q

)(C.8)

C.4 Escalonamento de Ts

Substituindo os resultados das subsecoes precedentes em (8.6), obtemos para as diferentes

contribuicoes

TsHD

(ak, ap, aq

)a3dk dp dq = a9

∫|k|=k

dk∫|p|=p

dp∫|q|=q

dq a−(13+3n)/2T

sHD

(k, p, q

)Ts

HD(ak, ap, aq

)dk dp dq = a−(1+3n)/2

∫|k|=k

dk∫|p|=p

dp∫|q|=q

dq T sHD

(k, p, q

)= a−(1+3n)/2Ts

HD(k, p, q

)dk dp dq (C.9)

Procedendo de modo semelhante com os outros dois termos, obtemos

TsLF

(ak, ap, aq

)a3dk dp dq = a9

∫|k|=k

dk∫|p|=p

dp∫|q|=q

dq a−(13+2m+n)/2T

sLF

(k, p, q

)(C.10)

Tomando o complexo conjugado da equacao acima, encontramos que

TsLF

(ak, ap, aq

)dk dp dq = a−(1+2m+n)/2

∫|k|=k

dk∫|p|=p

dp∫|q|=q

dq T sLF

(k, p, q

)= a−(1+2m+n)/2Ts

LF(k, p, q

)dk dp dq (C.11)

com uma expressao analoga para TsMAG, pois T s

MAG se transforma da mesma forma que T sLF.

102

D Apendice: Implementando a aproximacao EDQNM

D.1 Equacoes para as funcoes de tres pontos

Existem varias delas:

ui(k)u j(k′)ul(k′′) (D.1)

ui(k)u j(k′)bl(k′′) (D.2)

ui(k)b j(k′)bl(k′′) (D.3)

bi(k)b j(k′)bl(k′′) (D.4)

A equacao para ui(k)u j(k′)ul(k′′) resulta

[∂∂t

+ ν(k2 + k′2 + k′′2

)]ui(k)u j(k′)ul(k′′) =

−i2

Pist(k)"

d3pd3q

(2π)3

[us(p)ut(q) − bs(p)bt(q)

]u j(k′)ul(k′′)δ(p + q − k)

−i2

P jst(k′)∫

d3pd3q

(2π)3


]ui(k)ul(k′′)δ(p + q − k′)

−i2

Plst(k′′)∫

d3pd3q

(2π)3


]ui(k)u j(k′)δ(p + q − k′′) (D.5)

A equacao para ui(k)u j(k′)bl(k′′) resulta

∂∂t

+ ν[k2 + k′2

]+ ηk′′2

ui(q)u j(k′)bl(k′′) =

−i2

Pimn(k)"

dpd3q

(2π)3

[um(p)un(q) − bm(p)bn(q)

]u j(k′)bl(k′′)δ(p + q − k)

−i2

P jmn(k′)"

dpd3q

(2π)3


]ui(k)bl(k′′)δ(p + q − k′)

+ ik′′m

"d3pd3q

(2π)3

[u j(p)um(q) − b j(p)bm(q)

]ui(k)u j(k′)δ(p + q − k′′) (D.6)

103

A equacao para ui(k)b j(k′)bl(k′′) resulta

∂∂t

+ νk2 + η[k′2 + k′′2

]ui(k)b j(k′)bl(k′′) =

−i2

Pimn(k)"

dpd3q

(2π)3


]b j(k′)bl(k′′)δ(p + q − k)

+ ik′m

"d3pd3q

(2π)3


]ui(k)bl(k′′)δ(p + q − k′)

+ ik′′m

"d3pd3q

(2π)3

[ul(p)um(q) − bl(p)bm(q)

]ui(k)b j(k′)δ(p + q − k′′) (D.7)

A equacao para bi(k)b j(k′)bl(k′′) resulta

∂∂t

+ η[k2 + k′2 + k′′2

]bi(k)b j(k′)bl(k′′) =

ikm

"dpd3q

(2π)3

[ui(p)um(q) − bi(p)bm(q)

]b j(k′)bl(k′′)δ(p + q − k)

+ ik′m

"d3pd3q

(2π)3


]ui(k)bl(k′′)δ(p + q − k′)

+ ik′′m

"d3pd3q

(2π)3

[ul(p)um(q) − bl(p)bm(q)

]ui(k)b j(k′)δ(p + q − k′′) (D.8)

D.2 Impondo a aproximacao EDQNM

De acordo com Orszag, Kraichnan e outros, equivale a escrever a equacao de evolucao

para uma funcao de tres pontos como:∂∂t

+ ν[k2 + p2 + q2

]+ µkpq

〈 fk fp fq〉 =

∑w+k+p+q=0

[〈 fp fq〉〈 fk fw〉 + · · · + 〈 fk fq〉〈 fp fw〉

](D.9)

onde pelo · · · indicamos todas as possıveis combinacoes do momento nas funcoes de dois pontos,

e onde

µkpq = µk + µp + µq (D.10)

µk ∝

[∫ k

0dp p2E(p, t)

]1/2

(D.11)

104

Deste modo, a equacao de evolucao para a funcao de dois pontos fica da forma[∂∂t

+ 2νk2

]Fi j(k) =

∫p+q=k

Θkpq

∑w+s+p+q=0

〈 fw fs〉〈 fp fq〉d3p (D.12)

Θkpq =

∫ t

0dτ exp

−

[µkpq + ν

(k2 + p2 + q2

)](t − τ)

(D.13)

Devemos nos concentrar em encontrar as expressoes para as diferentes funcoes de dois

pontos que aparecem na MHD e em suas tres invariantes, isto e, Energia Total, Helicidade

Magnetica e Helicidade Cruzada.

D.2.1 Funcao de dois pontos Velocidade-Velocidade

Temos [∂∂t

+ ν(k2 + k′2

)]〈ui(k)u j(k′)〉 =

−i2

Piml(k)"

d3q d3p

(2π)3

[〈u j(k′)um(q)ul(p)〉 − 〈u j(k′)bm(q)bl(p)〉

]δ(p + q − k)

−i2

P jml(k′)"

d3q d3p

(2π)3

[〈ui(k)um(q)ul(p)〉 − 〈ui(k)bm(q)bl(p)〉

]δ(p + q − k′) (D.14)

Assim, necessitamos das equacoes para 〈u j(k′)um(q)ul(p)〉, 〈u j(k′)bm(q)bl(p)〉, 〈ui(k)um(q)ul(p)〉 e

〈ui(k)bm(q)bl(p)〉. Para a primeira funcao de tres pontos, temos[∂∂t

+ ν(q2 + k′2 + p2

)]〈um(q)u j(k′)ul(p)〉 =

−i2

Pmst(q)"

d3p′d3q′

(2π)3

[〈us(p′)ut(q′)u j(k′)ul(p)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)u j(k′)ul(p)〉

]δ(p′ + q′ − q)

−i2

P jst(k′)"

d3p′d3q′

(2π)3

[〈us(p′)ut(q′)um(q)ul(p)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)um(q)ul(p)〉

]δ(p′ + q′ − k′)

−i2

Plst(p)"

d3p′d3q′

(2π)3

[〈us(p′)ut(q′)um(q)u j(k′)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)um(q)u j(k′)〉

]δ(p′ + q′ − p)

(D.15)

105

Portanto, pela aproximacao EDQNM, podemos escrever esta funcao de tres pontos como

〈um(q)u j(k′)ul(p)〉 =

−i2

Pmst(q)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)〉〈u j(k′)ul(p)〉 + 〈us(p′)u j(k′)〉〈ut(q′)ul(p)〉 + 〈us(p′)ul(p)〉〈ut(q′)u j(k′)〉

−〈bs(p′)bt(q′)〉〈u j(k′)ul(p)〉 − 〈bs(p′)u j(k′)〉〈bt(q′)ul(p)〉 − 〈bs(p′)ul(p)〉〈bt(q′)u j(k′)〉]

−i2

P jst(k′)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[〈us(p′)ut(q′)〉〈um(q)ul(p)〉 + 〈us(p′)um(q)〉〈ut(q′)ul(p)〉 + 〈us(p′)ul(p)〉〈ut(q′)um(q)〉

−〈bs(p′)bt(q′)〉〈um(q)ul(p)〉 − 〈bs(p′)um(q)〉〈bt(q′)ul(p)〉 − 〈bs(p′)ul(p)〉〈bt(q′)um(q)〉]

−i2

Plst(p)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈us(p′)ut(q′)〉〈um(q)u j(k′)〉 + 〈us(p′)um(q)〉〈ut(q′)u j(k′)〉 + 〈us(p′)u j(k′)〉〈ut(q′)um(q)〉

−〈bs(p′)bt(q′)〉〈um(q)u j(k′)〉 − 〈bs(p′)um(q)〉〈bt(q′)u j(k′)〉 − 〈bs(p′)u j(k′)〉〈bt(q′)um(q)〉](D.16)

A partir desta expressao, podemos encontrar as formas EDQNM para a terceira funcao de tres

pontos diretamente:

〈um(q)ui(k)ul(p)〉 =

−i2

Pmst(q)Θqkp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)〉〈ui(k)ul(p)〉 + 〈us(p′)ui(k)〉〈ut(q′)ul(p)〉 + 〈us(p′)ul(p)〉〈ut(q′)ui(k)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈ui(k)ul(p)〉 − 〈bs(p′)ui(k)〉〈bt(q′)ul(p)〉 − 〈bs(p′)ul(p)〉〈bt(q′)ui(k)〉]

−i2

Pist(k)Θqkp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[〈us(p′)ut(q′)〉〈um(q)ul(p)〉 + 〈us(p′)um(q)〉〈ut(q′)ul(p)〉 + 〈us(p′)ul(p)〉〈ut(q′)um(q)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈um(q)ul(p)〉 − 〈bs(p′)um(q)〉〈bt(q′)ul(p)〉 − 〈bs(p′)ul(p)〉〈bt(q′)um(q)〉]

−i2

Plst(p)Θqkp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈us(p′)ut(q′)〉〈um(q)ui(k)〉 + 〈us(p′)um(q)〉〈ut(q′)ui(k)〉 + 〈us(p′)ui(k)〉〈ut(q′)um(q)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈um(q)ui(k)〉 − 〈bs(p′)um(q)〉〈bt(q′)ui(k)〉 − 〈bs(p′)ui(k)〉〈bt(q′)um(q)〉]

(D.17)

106

Para a segunda funcao de tres pontos 〈u j(k′)bm(q)bl(p)〉, temos

〈u j(k′)bm(q)bl(p)〉 =

−i2

P jst(k′)Θk′qp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[〈us(p′)ut(q′)〉〈bm(q)bl(p)〉 + 〈us(p′)bm(q)〉〈ut(q′)bl(p)〉 + 〈us(p′)bl(p)〉〈ut(q′)bm(q)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈bm(q)bl(p)〉 − 〈bs(p′)bm(q)〉〈bt(q′)bl(p) − 〈bs(p′)bl(p)〉〈bt(q′)bm(q)〉]

+ iqsΘk′qp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈um(p′)us(q′)〉〈u j(k′)bl(p)〉 + 〈um(p′)u j(k′)〉〈us(q′)bl(p)〉 + 〈um(p′)bl(p)〉〈us(q′)u j(k′)〉

− 〈bm(p′)bs(q′)〉〈u j(k′)bl(p)〉 − 〈bm(p′)u j(k′)〉〈bs(q′)bl(p)〉 − 〈bm(p′)bl(p)〉〈bs(q′)u j(k′)〉]

+ ipsΘk′qp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈ul(p′)us(q′)〉〈u j(k′)bm(q)〉 + 〈ul(p′)u j(k′)〉〈us(q′)bm(q)〉 + 〈ul(p′)bm(q)〉〈us(q′)u j(k′)〉

− 〈bl(p′)bs(q′)〉〈u j(k′)bm(q)〉 − 〈bl(p′)u j(k′)〉〈bs(q′)bm(q)〉 − 〈bl(p′)bm(q)〉〈bs(q′)u j(k′)〉](D.18)

E, a partir desta ultima expressao, podemos encontrar uma para a quarta funcao de tres pontos

〈ui(k)bm(q)bl(p)〉, isto e

〈ui(k)bm(q)bl(p)〉 =

−i2

Pist(k)Θkqp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[〈us(p′)ut(q′)〉〈bm(q)bl(p)〉 + 〈us(p′)bm(q)〉〈ut(q′)bl(p)〉 + 〈us(p′)bl(p)〉〈ut(q′)bm(q)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈bm(q)bl(p)〉 − 〈bs(p′)bm(q)〉〈bt(q′)bl(p) − 〈bs(p′)bl(p)〉〈bt(q′)bm(q)〉]

+ iqsΘkqp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈um(p′)us(q′)〉〈ui(k)bl(p)〉 + 〈um(p′)ui(k)〉〈us(q′)bl(p)〉 + 〈um(p′)bl(p)〉〈us(q′)ui(k)〉

− 〈bm(p′)bs(q′)〉〈ui(k)bl(p)〉 − 〈bm(p′)ui(k)〉〈bs(q′)bl(p)〉 − 〈bm(p′)bl(p)〉〈bs(q′)ui(k)〉]

+ ipsΘkqp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈ul(p′)us(q′)〉〈ui(k)bm(q)〉 + 〈ul(p′)ui(k)〉〈us(q′)bm(q)〉 + 〈ul(p′)bm(q)〉〈us(q′)ui(k)〉

− 〈bl(p′)bs(q′)〉〈ui(k)bm(q)〉 − 〈bl(p′)ui(k)〉〈bs(q′)bm(q)〉 − 〈bl(p′)bm(q)〉〈bs(q′)ui(k)〉]

(D.19)

107

Vamos agora impor homogeneidade. Isto indica que cada funcao de dois pontos devera

ser escrita como fi(k) f j(p) = Fi j(k)δ(k + p). Entao, obtemos para cada funcao de tres pontos


−i2

Pmst(q)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[Ust(p′)U jl(k′)δ(p′ + q′)δ(k′ + p) + Usj(k′)Utl(p)δ(p′ + k′)δ(p + q′)

+Usl(p′)Ut j(q′)δ(p + p′)δ(q′ + k′) − Bst(p′)U jl(k′)δ(p′ + q′)δ(k′ + p)

− Xsj(k′)Xtl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p) − Xsl(p′)Xt j(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′)]

−i2

P jst(k′)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[Ust(p′)Ulm(q)δ(p′ + q′)δ(q + p) + Usm(q)δ(p′ + q)Utl(q′)δ(q′ + p)

+Usl(p′)Utm(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + q) − Bst(p′)Uml(q)δ(p′ + q′)δ(p + q)

− Xsm(p′)Xtl(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + p) − Xsl(p′)δ(p + p′)Xtm(q′)δ(q′ + q)]

−i2

Plst(p)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[Ust(q′)Umj(q)δ(q′ + p′)δ(k′ + q) + Usm(p′)Ut j(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′)

+Usj(p′)Utm(q′)δ(q′ + q)δ(p′ + k′) − Bst(q′)δ(p′ + q′)Umj(q)δ(k′ + q)

− Xsm(p′)Xt j(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′) − Xsj(p′)δ(p′ + k′)Xtm(q′)δ(q′ + q)]

(D.20)

Resolvendo os δ’s, obtemos para a primeira funcao de tres pontos


−i2

Pmst(q)Θqk′p(t)δ(p + k′ + q)[Usj(−k′)Utl(−p) + Usl(−p)Ut j(−k′) − Xsj(−k′)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xt j(−k′)

]−

i2

P jst(k′)Θqk′p(t)δ(p + q + k′)[Usm(−q)Utl(−p) + Usl(−p)Utm(−q) − Xsm(−q)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xtm(−q)

]−

i2

Plst(p)Θqk′p(t)δ(k′ + q + p)[Usm(−q)Ut j(−k′) + Usj(−k′)Utm(−q) − Xsm(−q)Xt j(−k′) − Xsj(−k′)Xtm(−q)

](D.21)

108

Mais uma vez, podemos encontrar diretamente a terceira funcao de tres pontos a partir

desta ultima expressao, temos somente que trocar k′ ↔ k e j↔ i. Temos

〈um(q)ui(k)ul(p)〉 =

−i2

Pmst(q)Θqkp(t)δ(p + k + q)[Usi(−k)Utl(−p) + Usl(−p)Uti(−k) − Xsi(−k)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xti(−k)

]−

i2

Pist(k)Θqkp(t)δ(p + q + k)[Usm(−q)Utl(−p) + Usl(−p)Utm(−q) − Xsm(−q)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xtm(−q)

]−

i2

Plst(p)Θqkp(t)δ(k + q + p)[Usm(−q)Uti(−k) + Usi(−k)Utm(−q) − Xsm(−q)Xti(−k) − Xsj(−k)Xtm(−q)

](D.22)

Vamos agora para a segunda funcao de tres pontos, isto e, 〈u j(k′)bm(q)bl(p)〉. Impondo

homogeneidade, temos


−i2

P jst(k′)Θk′qp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[Ust(q′)Bml(q)δ(p′ + q′)δ(q + p) + Xsm(p′)Xtl(q′)δ(q + p′)δ(q′ + p)

+Xsl(p′)Xtm(q′)δ(p′ + p)δ(q + q′) − Bst(q′)Bml(q)δ(q′ + p′)δ(p + q)

− Bsm(p′)Btl(p′)δ(p′ + q)δ(p′ + p) − Bsl(p′)Btm(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + q)]

+ iqsΘk′qp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[Ums(q′)X jl(p)δ(p′ + q′)δ(k′ + p) + Umj(p′)Xsl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p)

+Xml(p′)Usj(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′) − Bms(q′)X jl(p)δ(q′ + p′)δ(k′ + p)

− Xmj(p′)Bsl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p) − Bml(p′)Xsj(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′)]

+ ipsΘk′qp

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[Uls(q′)Xjm(q)δ(q′ + p′)δ(q + k′) + Ul j(p′)Xsm(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q)

+Xlm(p′)Usj(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′) − Bls(q′)X jm(q)δ(q′ + p′)δ(q + k′)

− Xl j(p′)Bsm(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q) − Blm(p′)Xsj(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′)]

(D.23)

109

Resolvendo os δ’s, obtemos


−i2

P jst(k′)Θk′qpδ(p + q + k′)[Xsm(−q)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xtm(−q) − Bsm(−q)Btl(−p) − Bsl(−p)Btm(−q)

]+ iqsΘk′qpδ(k′ + q + p)[

Umj(−k′)Xsl(−p) + Xml(−p)Usj(−k′) − Xmj(−k′)Bsl(−p) − Bml(−p)Xsj(−k′)]

+ ipsΘk′qpδ(k′ + q + p)[Ul j(−k′)Xsm(−q) + Xlm(−q)Usj(−k′) − Xl j(−k′)Bsm(−q) − Blm(−q)Xsj(−k′)

](D.24)

A partir desta expressao, encontramos aquela para 〈ui(k)bm(q)bl(p)〉 invertendo j → i e k′ → k.

Obtemos

〈ui(k)bm(q)bl(p)〉 =

−i2

Pist(k)Θkqpδ(p + q + k)[Xsm(−q)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xtm(−q) − Bsm(−q)Btl(−p) − Bsl(−p)Btm(−q)

]+ iqsΘkqpδ(k + q + p)[

Umi(−k)Xsl(−p) + Xml(−p)Usi(−k) − Xmi(−k)Bsl(−p) − Bml(−p)Xsi(−k)]

+ ipsΘkqpδ(k + q + p)[Uli(−k)Xsm(−q) + Xlm(−q)Usi(−k) − Xli(−k)Bsm(−q) − Blm(−q)Xsi(−k)

](D.25)

110

a expressao final da equacao para a funcao de dois pontos velocidade-velocidade, e[∂∂t

+ ν(k2 + k′2

)]〈ui(k)u j(k′)〉 =

−i2

Piml(k)"

d3q d3p

(2π)3 δ(p + q − k)δ(p + k′ + q)−

i2

Pmst(q)Θqk′p(t)[Usj(−k′)Utl(−p) + Usl(−p)Ut j(−k′) − Xsj(−k′)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xt j(−k′)

]−

i2

P jst(k′)Θqk′p(t)[Usm(−q)Utl(−p) + Usl(−p)Utm(−q) − Xsm(−q)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xtm(−q)

]−

i2

Plst(p)Θqk′p(t)[Usm(−q)Ut j(−k′) + Usj(−k′)Utm(−q) − Xsm(−q)Xt j(−k′) − Xsj(−k′)Xtm(−q)

]+

i2

Piml(k)"

d3q d3p

(2π)3 δ(p + q − k)δ(p + q + k′)−

i2

P jst(k′)Θk′qp(t)[Xsm(−q)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xtm(−q) − Bsm(−q)Btl(−p) − Bsl(−p)Btm(−q)

]+iqsΘk′qp(t)

[Umj(−k′)Xsl(−p) + Xml(−p)Usj(−k′) − Xmj(−k′)Bsl(−p) − Bml(−p)Xsj(−k′)

]+ ipsΘk′qp(t)

[Ul j(−k′)Xsm(−q) + Xlm(−q)Usj(−k′) − Xl j(−k′)Bsm(−q) − Blm(−q)Xsj(−k′)

]−

i2

P jml(k′)"

d3q d3p

(2π)3 δ(p + q − k′)δ(p + k + q)−

i2

Pmst(q)Θqkp(t)[Usi(−k)Utl(−p) + Usl(−p)Uti(−k) − Xsi(−k)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xti(−k)

]−

i2

Pist(k)Θqkp(t)[Usm(−q)Utl(−p) + Usl(−p)Utm(−q) − Xsm(−q)Xtl(−p) − Xsl(−p)Xtm(−q)

]−

i2

Plst(p)Θqkp(t)[Usm(−q)Uti(−k) + Usi(−k)Utm(−q) − Xsm(−q)Xti(−k) − Xsj(−k)Xtm(−q)

]+

i2

P jml(k′)"

d3q d3p

(2π)3 δ(p + q − k′)δ(k + q + p)−

i2

Pist(k)Θkqp(t)[Xsm(−q)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xtm(−q) − Bsm(−q)Btl(−p) − Bsl(−p)Btm(−q)

]+iqsΘkqp(t)

[Umi(−k)Xsl(−p) + Xml(−p)Usi(−k) − Xmi(−k)Bsl(−p) − Bml(−p)Xsi(−k)

]+ ipsΘkqp(t)

[Uli(−k)Xsm(−q) + Xlm(−q)Usi(−k) − Xli(−k)Bsm(−q) − Blm(−q)Xsi(−k)

](D.26)

111

Resolvendo os δ’s, temos[∂∂t

+ 2νk2

]Ui j(k) =

−i2

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θq(−k)(k−q)(t)−

i2

Pmst(q)[Usj(k)Utl(q − k) + Usl(q − k)Ut j(k) − Xsj(k)Xtl(q − k) − Xsl(q − k)Xt j(k)

]−

i2

P jst(−k)[Usm(−q)Utl(q − k) + Usl(q − k)Utm(−q) − Xsm(−q)Xtl(q − k) − Xsl(q − k)Xtm(−q)

]−

i2

Plst(k − q)[Usm(−q)Ut j(k) + Usj(k)Utm(−q) − Xsm(−q)Xt j(k) − Xsj(k)Xtm(−q)

]+

i2

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θ(−k)q(k−q)(t)−

i2

P jst(−k)[Xsm(−q)Xtl(q − k) + Xsl(q − k)Xtm(−q) − Bsm(−q)Btl(q − k) − Bsl(q − k)Btm(−q)

]+iqs

[Umj(k)Xsl(q − k) + Xml(q − k)Usj(k) − Xmj(k)Bsl(q − k) − Bml(q − k)Xsj(k)

]+ i(ks − qs)

[Ul j(k)Xsm(−q) + Xlm(−q)Usj(k) − Xl j(k)Bsm(−q) − Blm(−q)Xsj(k)

]−

i2

P jml(−k)∫

d3q

(2π)3/2 Θqk(−k−q)(t)−

i2

Pmst(q)[Usi(−k)Utl(k + q) + Usl(k + q)Uti(−k) − Xsi(−k)Xtl(k + q) − Xsl(k + q)Xti(−k)

]−

i2

Pist(k)[Usm(−q)Utl(k + q) + Usl(k + q)Utm(−q) − Xsm(−q)Xtl(k + q) − Xsl(k + q)Xtm(−q)

]−

i2

Plst(−k − q)[Usm(−q)Uti(−k) + Usi(−k)Utm(−q) − Xsm(−q)Xti(−k) − Xsj(−k)Xtm(−q)

]+

i2

P jml(k′)∫

d3q

(2π)3/2 Θkq(−k−q)(t)−

i2

Pist(k)[Xsm(−q)Xtl(k + q) + Xsl(k + q)Xtm(−q) − Bsm(−q)Btl(k + q) − Bsl(k + q)Btm(−q)

]+iqs


]− i(ks + ps)

[Uli(−k)Xsm(−q) + Xlm(−q)Usi(−k) − Xli(−k)Bsm(−q) − Blm(−q)Xsi(−k)

](D.27)

112

A equacao para a energia e obtida tomando o traco da equacao precedente, resultando[∂∂t

+ 2νk2

]Uii(k) =

−12

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θqk(k−q)(t)Pmst(q)

[Usi(k)Utl(q − k) − Xsi(k)Xtl(q − k)

]+ Pist(−k)

[Usm(−q)Utl(q − k) − Xsm(−q)Xtl(q − k)

]+Plst(k − q)

[Usm(−q)Uti(k) − Xsm(−q)Xti(k)

]+

12

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θkq(k−q)(t)Pist(−k)

[Xsm(−q)Xtl(q − k) − Bsm(−q)Btl(q − k)

]−qs

[Umi(k)Xsl(q − k) + Xml(q − k)Usi(k) − Xmi(k)Bsl(q − k) − Bml(q − k)Xsi(k)

]−

[ksUli(k)Xsm(−q) − qsXlm(−q)Usi(k) − ksXli(k)Bsm(−q) + qsBlm(−q)Xsi(k)

]−

12

Piml(−k)∫

d3q

(2π)3/2 Θqk(k+q)(t)Pmst(q)

[Usi(−k)Utl(k + q) − Xsi(−k)Xtl(k + q)

]+ Pist(k)

[Usm(−q)Utl(k + q) − Xsm(−q)Xtl(k + q)

]+Plst(−k − q)

[Usm(−q)Uti(−k) − Xsm(−q)Xti(−k)

]+

12

Piml(−k)∫

d3q

(2π)3/2 Θkq(−k−q)(t)Pist(k)

[Xsm(−q)Xtl(k + q) − Bsm(−q)Btl(k + q)

]−qs


]+

[ksUli(−k)Xsm(−q) + qsXlm(−q)Usi(−k) − ksXli(−k)Bsm(−q) − qsBlm(−q)Xsi(−k)

](D.28)

Vemos que para a funcao de dois pontos Velocidade-Campo Magnetico, nao temos uma

quantidade associada que nao seja invariante sob reflexao. No caso incompressıvel, a velocidade

pode tambem ser escrita como o rotacional de um vetor potencial, e consequentemente, sob

inversao de sinal tanto de b quanto de v, e assim, X e uma funcao par de coordenadas.

D.2.2 Funcao de dois pontos Campo Magnetico-Campo Magnetico

Partimos da equacao (11.6)

[∂∂t

+ η(k2 + k′2

)]bi(k)b j(k′) = ikl

"d3qd3p(2π)3

[ui(q)bl(p) − bi(q)ul(p)

]b j(k′) δ(p + q − k)

+ ik′l

"d3qd3p(2π)3

[u j(q)bl(p) − b j(q)ul(p)

]bi(k) δ(p + q − k′)

(D.29)

113

temos [∂∂t

+ η(k2 + k′2

)] ⟨bi(k)b j(k′)

⟩=

ikl

"d3qd3p(2π)3

[⟨ui(q)b j(k′)bl(p)

⟩−

⟨b j(k′)bi(q)ul(p)

⟩]δ(p + q − k)

+ ik′l

"d3qd3p(2π)3

[⟨bi(k)u j(q)bl(p)

⟩−

⟨bi(k)b j(q)ul(p)

⟩]δ(p + q − k′)

(D.30)

Precisamos de equacoes para⟨b j(k′)ui(q)bl(p)

⟩,⟨b j(k′)bi(q)ul(p)

⟩,⟨bi(k)u j(q)bl(p)

⟩e⟨bi(k)b j(q)ul(p)

⟩.

Para a primeira destas funcoes de tres pontos, temos:[∂∂t

+ νq2 + η(p2 + k′2

)] ⟨ui(q)b j(k′)bl(p)

⟩=

−i2

Pist(q)"

d3p′d3q′

(2π)3

[⟨us(p′)ut(q′)b j(k′)bl(p)

⟩−

⟨bs(p′)bt(q′)b j(k′)bl(p)

⟩]δ(p′ + q′ − q)

+ ik′s

"d3p′d3q′

(2π)3

[⟨ut(q′)bs(p′)ui(q)bl(p)

⟩−

⟨bt(q′)us(p′)ui(q)bl(p)

⟩]δ(p′ + q′ − k′)

+ ips

"d3p′d3q′

(2π)3

[⟨ut(q′)bs(p′)ui(q)b j(k′)

⟩−

⟨bt(q′)us(p′)ui(q)b j(k′)

⟩]δ(p′ + q′ − p)

(D.31)

Pela aproximacao EDQNM podemos escrever esta funcao de tres pontos como

⟨ui(q)b j(k′)bl(p)

⟩=

−i2

Pist(q)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[⟨us(p′)ut(q′)

⟩ ⟨b j(k′)bl(p)

⟩+

⟨us(p′)b j(k′)

⟩ ⟨ut(q′)bl(p)

⟩+

⟨us(p′)bl(p)

⟩ ⟨ut(q′)b j(k′)

⟩−

⟨bs(p′)bt(q′)

⟩ ⟨b j(k′)bl(p)

⟩−

⟨bs(p′)b j(k′)

⟩ ⟨bt(q′)bl(p)

⟩−

⟨bs(p′)bl(p)

⟩ ⟨bt(q′)b j(k′)

⟩]+ ik′sΘqk′p(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨ui(q)bl(p)

⟩+

⟨bs(p′)ui(q)


⟩+

⟨bs(p′)bl(p)

⟩ ⟨ut(q′)ui(q)

⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨ui(q)bl(p)

⟩−

⟨us(p′)ui(q)


⟩−

⟨us(p′)bl(p)

⟩ ⟨bt(q′)ui(q)

⟩]+ ipsΘqk′p(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨ui(q)b j(k′)

⟩+

⟨bs(p′)ui(q)

⟩ ⟨ut(q′)b j(k′)

⟩+


⟩ ⟨ut(q′)ui(q)

⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨ui(q)b j(k′)

⟩−

⟨us(p′)ui(q)

⟩ ⟨bt(q′)b j(k′)

⟩−


⟩ ⟨bt(q′)ui(q)

⟩](D.32)

114

A partir desta expressao, podemos encontrar as outras tres funcoes de tres pontos. Para

a segunda delas, temos:

⟨ul(p)b j(k′)bi(q)

⟩=

−i2

Plst(p)Θpk′q(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[⟨us(p′)ut(q′)

⟩ ⟨b j(k′)bi(q)

⟩+


⟩ ⟨ut(q′)bi(q)

⟩+

⟨us(p′)bi(q)

⟩ ⟨ut(q′)b j(k′)

⟩−

⟨bs(p′)bt(q′)

⟩ ⟨b j(k′)bi(q)

⟩−


⟩ ⟨bt(q′)bi(q)

⟩−

⟨bs(p′)bi(q)

⟩ ⟨bt(q′)b j(k′)

⟩]+ ik′sΘpk′q(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨ul(p)bi(q)

⟩+

⟨bs(p′)ul(p)

⟩ ⟨ut(q′)bi(q)

⟩+

⟨bs(p′)bi(q)

⟩ ⟨ut(q′)ul(p)

⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨ul(p)bi(q)

⟩−

⟨us(p′)ul(p)

⟩ ⟨bt(q′)bi(q)

⟩−

⟨us(p′)bi(q)

⟩ ⟨bt(q′)ul(p)

⟩]+ iqsΘpk′q(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨ul(p)b j(k′)

⟩+

⟨bs(p′)ul(p)

⟩ ⟨ut(q′)b j(k′)

⟩+



⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨ul(p)b j(k′)

⟩−

⟨us(p′)ul(p)

⟩ ⟨bt(q′)b j(k′)

⟩−



⟩](D.33)

Para a terceira funcao de tres pontos, temos:

⟨u j(q)bi(k)bl(p)

⟩=

−i2

P jst(q)Θqkp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[⟨us(p′)ut(q′)

⟩ ⟨bi(k)bl(p)

⟩+

⟨us(p′)bi(k)


⟩+

⟨us(p′)bl(p)

⟩ ⟨ut(q′)bi(k)

⟩−

⟨bs(p′)bt(q′)

⟩ ⟨bi(k)bl(p)

⟩−

⟨bs(p′)bi(k)


⟩−

⟨bs(p′)bl(p)

⟩ ⟨bt(q′)bi(k)

⟩]+ iksΘqkp(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨u j(q)bl(p)

⟩+

⟨bs(p′)u j(q)


⟩+

⟨bs(p′)bl(p)

⟩ ⟨ut(q′)u j(q)

⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨u j(q)bl(p)

⟩−

⟨us(p′)u j(q)


⟩−

⟨us(p′)bl(p)

⟩ ⟨bt(q′)u j(q)

⟩]+ ipsΘqkp(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨u j(q)bi(k)

⟩+

⟨bs(p′)u j(q)


⟩+

⟨bs(p′)bi(k)

⟩ ⟨ut(q′)u j(q)

⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨u j(q)bi(k)

⟩−

⟨us(p′)u j(q)


⟩−

⟨us(p′)bi(k)

⟩ ⟨bt(q′)u j(q)

⟩](D.34)

115

Para a quarta funcao de tres pontos:

⟨ul(p)bi(k)b j(q)

⟩=

−i2

Plst(p)Θpkq(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[⟨us(p′)ut(q′)

⟩ ⟨bi(k)b j(q)

⟩+

⟨us(p′)bi(k)

⟩ ⟨ut(q′)b j(q)

⟩+

⟨us(p′)b j(q)


⟩−

⟨bs(p′)bt(q′)

⟩ ⟨bi(k)b j(q)

⟩−

⟨bs(p′)bi(k)

⟩ ⟨bt(q′)b j(q)

⟩−

⟨bs(p′)b j(q)


⟩]+ iksΘpkq(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨ul(p)b j(q)

⟩+

⟨bs(p′)ul(p)

⟩ ⟨ut(q′)b j(q)

⟩+

⟨bs(p′)b j(q)


⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨ul(p)b j(q)

⟩−

⟨us(p′)ul(p)

⟩ ⟨bt(q′)b j(q)

⟩−

⟨us(p′)b j(q)


⟩]+ iqsΘpkq(t)

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[⟨bs(p′)ut(q′)

⟩ ⟨ul(p)bi(k)

⟩+

⟨bs(p′)ul(p)


⟩+

⟨bs(p′)bi(k)


⟩−

⟨us(p′)bt(q′)

⟩ ⟨ul(p)bi(k)

⟩−

⟨us(p′)ul(p)


⟩−

⟨us(p′)bi(k)


⟩](D.35)

Vamos agora impor homogeneidade. Vamos considerar o que segue:

⟨ui(k)u j(p)

⟩= Ui j(k)δ(k + p) (D.36)⟨

bi(k)b j(p)⟩

= Bi j(k)δ(k + p) (D.37)⟨ui(k)b j(p)

⟩= Xi j(k)δ(k + p) (D.38)

116

Usaremos estas relacoes para cada funcao de dois pontos. Para a primeira delas, as

substituindo em (D.32):


⟩=

−i2

Pist(q)Θqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[Ust(p′)B jl(k′)δ(p′ + q′)δ(k′ + p) + Xsj(p′)Xtl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p) + Xsl(p′)Xt j(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′)

−Bst(p′)B jl(k′)δ(p′ + q′)δ(k′ + p) − Bsj(p′)Btl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p) − Bsl(p′)Bt j(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′)]

+ ik′sΘqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[Xts(q′)Xil(q)δ(p′ + q′)δ(q + p) + Xis(p′)Xtl(q′)δ(q + p′)δ(q′ + p) + Bsl(p′)Uti(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + q)

−Xst(p′)Xil(q)δ(p′ + q′)δ(q + p) −Usi(p′)Btl(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + p) − Xsl(p′)Xit(q′)δ(p′ + p)δ(q + q′)]

+ ipsΘqk′p(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[Xts(q′)Xi j(q)δ(p′ + q′)δ(q + k′) + Xis(p′)Xt j(q′)δ(q + p′)δ(q′ + k′) + Bsj(p′)Uti(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q)

−Xst(p′)Xi j(q)δ(p′ + q′)δ(q + k′) −Usi(p′)Bt j(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′) − Xsj(p′)Xit(q′)δ(p′ + k′)δ(q + q′)]

(D.39)

Resolvendo os deltas de Dirac, obtemos para a primeira funcao de tres pontos:


⟩=

−i2

Pist(q)Θqk′p(t)δ(p + k′ + q)[Xsj(−k′)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xt j(−k′) − Bsj(−k′)Btl(−p) − Bsl(−p)Bt j(−k′)

]+ ik′sΘqk′p(t)δ(p + q + k′)[

Xis(−q)Xtl(−p) + Bsl(−p)Uti(−q) −Usi(−q)Btl(−p) − Xsl(−p)Xit(−q)]

+ ipsΘqk′p(t)δ(k′ + q + p)[Xis(−q)Xt j(−k′) + Bsj(−k′)Uti(−q) −Usi(−q)Bt j(−k′) − Xsj(−k′)Xit(−q)

](D.40)

117

A partir da expressao acima, podemos encontrar as expressoes para as outras tres funcoes

de tres pontos. Para a segunda delas, fazemos as seguintes trocas: i↔ l e q↔ p.

⟨ul(p)b j(k′)bi(q)

⟩=

−i2

Plst(p)Θpk′q(t)δ(q + k′ + p)[Xsj(−k′)Xti(−q) + Xsi(−q)Xt j(−k′) − Bsj(−k′)Bti(−q) − Bsi(−q)Bt j(−k′)

]+ ik′sΘpk′q(t)δ(q + p + k′)[

Xls(−p)Xti(−q) + Bsi(−q)Utl(−p) −Usl(−p)Bti(−q) − Xsi(−q)Xlt(−p)]

+ iqsΘpk′q(t)δ(k′ + p + q)[Xls(−p)Xt j(−k′) + Bsj(−k′)Utl(−p) −Usl(−p)Bt j(−k′) − Xsj(−k′)Xlt(−p)

](D.41)

Para a terceira funcao de tres pontos, trocamos: i↔ j e k′ ↔ k, em relacao a primeira funcao de

tres pontos.

⟨ui(q)bi(k)bl(p)

⟩=

−i2

P jst(q)Θqkp(t)δ(p + k + q)[Xsi(−k)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xti(−k) − Bsi(−k)Btl(−p) − Bsl(−p)Bti(−k)

]+ iksΘqkp(t)δ(p + q + k)[

X js(−q)Xtl(−p) + Bsl(−p)Ut j(−q) −Usj(−q)Btl(−p) − Xsl(−p)X jt(−q)]

+ ipsΘqkp(t)δ(k + q + p)[X js(−q)Xti(−k) + Bsi(−k)Ut j(−q) −Usj(−q)Bti(−k) − Xsi(−k)X jt(−q)

](D.42)

Para a quarta funcao de tres pontos, trocamos: j ↔ l e q ↔ p, em relacao a terceira funcao de

tres pontos.

⟨ui(q)bi(k)bl(p)

⟩=

−i2

Plst(p)Θpkq(t)δ(q + k + p)[Xsi(−k)Xt j(−q) + Xsj(−q)Xti(−k) − Bsi(−k)Bt j(−q) − Bsj(−q)Bti(−k)

]+ iksΘpkq(t)δ(q + p + k)[

Xls(−p)Xt j(−q) + Bsj(−q)Utl(−p) −Usl(−p)Bt j(−q) − Xsj(−q)Xlt(−p)]

+ iqsΘpkq(t)δ(k + p + q)[Xls(−p)Xti(−k) + Bsi(−k)Utl(−p) −Usl(−p)Bti(−k) − Xsi(−k)Xlt(−p)

](D.43)

118

Substituindo em (D.29) as quatro funcoes de tres pontos encontradas, a expressao para a energia

magnetica fica: [∂∂t

+ η(k2 + k′2

)]Bi j(k)δ (k + k′) = ikl

"d3qd3p(2π)3

−i2

Pist(q)Θqk′p(t)δ(p + k′ + q)δ(p + q − k)[Xsj(−k′)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xt j(−k′) − Bsj(−k′)Btl(−p) − Bsl(−p)Bt j(−k′)

]+ ik′sΘqk′p(t)δ(p + q + k′)δ(p + q − k)[

Xis(−q)Xtl(−p) + Bsl(−p)Uti(−q) −Usi(−q)Btl(−p) − Xsl(−p)Xit(−q)]

+ ipsΘqk′p(t)δ(k′ + q + p)δ(p + q − k)[Xis(−q)Xt j(−k′) + Bsj(−k′)Uti(−q) −Usi(−q)Bt j(−k′) − Xsj(−k′)Xit(−q)

]+

i2

Plst(p)Θpk′q(t)δ(q + k′ + p)δ(p + q − k)[Xsj(−k′)Xti(−q) + Xsi(−q)Xt j(−k′) − Bsj(−k′)Bti(−q) − Bsi(−q)Bt j(−k′)

]− ik′sΘpk′q(t)δ(q + p + k′)δ(p + q − k)[

Xls(−p)Xti(−q) + Bsi(−q)Utl(−p) −Usl(−p)Bti(−q) − Xsi(−q)Xlt(−p)]

− iqsΘpk′q(t)δ(k′ + p + q)δ(p + q − k)[Xls(−p)Xt j(−k′) + Bsj(−k′)Utl(−p) −Usl(−p)Bt j(−k′) − Xsj(−k′)Xlt(−p)

]+ ik′l

"d3qd3p(2π)3

−i2

P jst(q)Θqkp(t)δ(p + k + q)δ(p + q − k′)[Xsi(−k)Xtl(−p) + Xsl(−p)Xti(−k) − Bsi(−k)Btl(−p) − Bsl(−p)Bti(−k)

]+ iksΘqkp(t)δ(p + q + k)δ(p + q − k′)[

X js(−q)Xtl(−p) + Bsl(−p)Ut j(−q) −Usj(−q)Btl(−p) − Xsl(−p)X jt(−q)]

+ ipsΘqkp(t)δ(k + q + p)δ(p + q − k′)[X js(−q)Xti(−k) + Bsi(−k)Ut j(−q) −Usj(−q)Bti(−k) − Xsi(−k)X jt(−q)

]+

i2

Plst(p)Θpkq(t)δ(q + k + p)δ(p + q − k′)[Xsi(−k)Xt j(−q) + Xsj(−q)Xti(−k) − Bsi(−k)Bt j(−q) − Bsj(−q)Bti(−k)

]− iksΘpkq(t)δ(q + p + k)δ(p + q − k′)[

Xls(−p)Xt j(−q) + Bsj(−q)Utl(−p) −Usl(−p)Bt j(−q) − Xsj(−q)Xlt(−p)]

− iqsΘpkq(t)δ(k + p + q)δ(p + q − k′)[Xls(−p)Xti(−k) + Bsi(−k)Utl(−p) −Usl(−p)Bti(−k) − Xsi(−k)Xlt(−p)

](D.44)

119

Agora, resolvemos os deltas de Dirac.[∂∂t

+ 2ηk2

]Bi j(k) =∫

d3q(2π)3/2 Θq(−k)(k−q)(t)1

2Pist(q)

[Xsj(k)Xtl(q − k) + Xsl(q − k)Xt j(k) − Bsj(k)Btl(q − k) − Bsl(q − k)Bt j(k)

]+ks


]+(ks − qs)

[Xis(−q)Xt j(k) + Bsj(k)Uti(−q) −Usi(−q)Bt j(k) − Xsj(k)Xit(−q)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θ(k−q)(−k)q(t)12

Plst(k − q)[Xsj(k)Xti(−q) + Xsi(−q)Xt j(k) − Bsj(k)Bti(−q) − Bsi(−q)Bt j(k)

]−ks


]+qs

[Xls(q − k)Xt j(k) + Bsj(k)Utl(q − k) −Usl(q − k)Bt j(k) − Xsj(k)Xlt(q − k)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θqk(−k−q)(t)12

P jst(q)[Xsi(−k)Xtl(q + k) + Xsl(q + k)Xti(−k) − Bsi(−k)Btl(q + k) − Bsl(q + k)Bti(−k)

]−ks

[X js(−q)Xtl(q + k) + Bsl(q + k)Ut j(−q) −Usj(−q)Btl(q + k) − Xsl(q + k)X jt(−q)

]+(qs + ks)

[X js(−q)Xti(−k) + Bsi(−k)Ut j(−q) −Usj(−q)Bti(−k) − Xsi(−k)X jt(−q)

]+ kl

∫d3q

(2π)3/2 Θ(−q−k)kq(t)12

Plst(−q − k)[Xsi(−k)Xt j(−q) + Xsj(−q)Xti(−k) − Bsi(−k)Bt j(−q) − Bsj(−q)Bti(−k)

]−ks

[Xls(q + k)Xt j(−q) + Bsj(−q)Utl(q + k) −Usl(q + k)Bt j(−q) − Xsj(−q)Xlt(q + k)

]−qs


](D.45)

120

Tomando o traco da equacao acima, obtemos a equacao para a energia magnetica.[∂∂t

+ 2ηk2

]Bii(k) =

kl

∫d3q

(2π)3/2 Θqk(k−q)(t)Pist(q)

[Xsi(k)Xtl(q − k) − Bsi(k)Btl(q − k)

]+ks


]+

[ksXis(−q)Xti(k) − qsBsi(k)Uti(−q) − ksUsi(−q)Bti(k) + qsXsi(k)Xit(−q)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θ(k−q)kq(t)Plst(k − q)

[Xsi(k)Xti(−q) − Bsi(k)Bti(−q)

]−ks


]+qs

[Xls(q − k)Xti(k) + Bsi(k)Utl(q − k) −Usl(q − k)Bti(k) − Xsi(k)Xlt(q − k)

]− kl

∫d3q

(2π)3/2 Θqk(k+q)(t)Pist(q)

[Xsi(−k)Xtl(q + k) − Bsi(−k)Btl(q + k)

]−ks

[Xis(−q)Xtl(q + k) + Bsl(q + k)Uti(−q) −Usi(−q)Btl(q + k) − Xsl(q + k)Xit(−q)

]+

[ksXis(−q)Xti(−k) + qsBsi(−k)Uti(−q) − ksUsi(−q)Bti(−k) − qsXsi(−k)Xit(−q)

]+ kl

∫d3q

(2π)3/2 Θ(q+k)kq(t)Plst(−q − k)

[Xsi(−k)Xti(−q) − Bsi(−k)Bti(−q)

]−ks

[Xls(q + k)Xti(−q) + Bsi(−q)Utl(q + k) −Usl(q + k)Bti(−q) − Xsi(−q)Xlt(q + k)

]−qs


](D.46)

D.2.3 Funcao de dois pontos Velocidade-Campo Magnetico

Devemos encontrar a equacao de evolucao para ui(k)b j(k′) e, a partir dela, a equacao para

a funcao de dois pontos. Usando as equacoes para cada campo, temos[∂∂t

+ νk2 + ηk′2]〈ui(k)b j(k′)〉 =

−i2

Piml(k)"

d3p d3q

(2π)3

[〈um(p)ul(q)b j(k′)〉 − 〈bm(p)bl(q)b j(k′)〉

]δ(p + q − k)

+ ik′l

"d3p d3q

(2π)3

[〈ui(k)u j(q)bl(p)〉 − 〈ui(k)b j(p)ul(q)〉

]δ(p + q − k′) (D.47)

121

Assim, necessitamos das equacoes para as seguintes funcoes de tres pontos: 〈um(p)ul(q)b j(k′)〉,

〈bm(p)bl(q)b j(k′)〉, 〈ui(k)u j(q)bl(p)〉 e 〈ui(k)b j(p)ul(q)〉. Para a primeira delas, temos

[∂∂t

+ ν(p2 + q2

)+ ηk′2

]〈um(p)ul(q)b j(k′)〉 =

−i2

Pmst(p)"

d3p′d3q′

(2π)3

[us(p′)ut(q′)ul(q)b j(k′) − bs(p′)bt(q′)ul(q)b j(k′)

]δ(p′ + q′ − p)

−i2

Plst(q)"

d3p′d3q′

(2π)3

[us(p′)ut(q′)um(p)b j(k′) − bs(p′)bt(q′)um(p)b j(k′)

]δ(p′ + q′ − q)

+ik′s

"d3p′ d3q′

(2π)3

[u j(q′)bs(p′)um(p)ul(q) − b j(p′)us(q′)um(p)ul(q)

]δ(p′ + q′ − k′) (D.48)

Pela aproximacao EDQNM, podemos escrever

〈um(p)ul(q)b j(k′)〉 =

−i2

Pmst(p)"

d3p′d3q′

(2π)3 Θpp′q′(t)δ(p′ + q′ − p)[〈us(p′)ut(q′)〉〈ul(q)b j(k′)〉 + 〈us(p′)ul(q)〉〈ut(q′)b j(k′)〉 + 〈us(p′)b j(k′)〉〈ut(q′)ul(q)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈ul(q)b j(k′)〉 − 〈bs(p′)ul(q)〉〈bt(q′)b j(k′)〉 − 〈bs(p′)b j(k′)〉〈bt(q′)ul(q)〉]

−i2

Plst(q)"

d3p′d3q′

(2π)3 Θqp′q′(t)δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)〉〈um(p)b j(k′)〉 + 〈us(p′)um(p)〉〈ut(q′)b j(k′)〉 + 〈us(p′)b j(k′)〉〈ut(q′)um(p)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈um(p)b j(k′)〉 − 〈bs(p′)um(p)〉〈bt(q′)b j(k′)〉 − 〈bs(p′)b j(k′)〉〈bt(q′)um(p)〉]

+ ik′s

"d3p′ d3q′

(2π)3 Θk′p′q′(t)δ(p′ + q′ − k′)[〈u j(q′)bs(p′)〉〈um(p)ul(q)〉 + 〈u j(q′)um(p)〉〈bs(p′)ul(q)〉 + 〈u j(q′)ul(q)〉〈bs(p′)um(p)〉

− 〈b j(p′)us(q′)〉〈um(p)ul(q)〉 − 〈b j(p′)um(p)〉〈us(q′)ul(q)〉 − 〈b j(p′)ul(q)〉〈us(q′)um(p)〉]

(D.49)

122

Impondo homogeneidade, obtemos

〈um(p)ul(q)b j(k′)〉 =

−i2

Pmst(p)"

d3p′d3q′

(2π)3 Θpp′q′(t)δ(p′ + q′ − p)[Ust(p′)Xl j(q)δ(p′ + q′)δ(q + k′) + Usl(p′)Xt j(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′)

+ Xsj(p′)Utl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q) − Bst(p′)Xl j(q)δ(p′ + q′)δ(q + k′)

−Xsl(p′)Bt j(q′)δ(q + p′)δ(q′ + k′) − Bsj(p′)Xtl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q)]

−i2

Plst(q)"

d3p′d3q′

(2π)3 Θqp′q′(t)δ(p′ + q′ − q)[Ust(p′)Xmj(p)δ(p′ + q′)δ(p + k′) + Usm(p′)Xt j(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′)

+ Xsj(p′)Utm(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p) − Bst(p′)Xmj(p)δ(p′ + q′)δ(p + k′)

− Xsm(p′)Bt j(q′)δ(p′ + p)δ(q′ + k′) − Bsj(p′)Xtm(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p)]

+ ik′s

"d3p′ d3q′

(2π)3 Θk′p′q′(t)δ(p′ + q′ − k′)[X js(p′)Uml(p)δ(p′ + q′)δ(p + q) + U jm(q′)Xsl(p′)δ(q′ + p)δ(p′ + q)

+ U jl(q′)Xsm(p′)δ(q′ + q)δ(p′ + p) − X js(p′)δ(p′ + q′)Uml(p)δ(p + q)

− X jm(p′)δ(p′ + p)Usl(q′)δ(q′ + q) − X jl(p′)δ(p′ + q)Usm(q′)δ(q′ + p)]

(D.50)


〈um(p)ul(q)b j(k′)〉 = −i2

Pmst(p)Θp(−q)(−k′)(t)δ(k′ + q + p)[Usl(−q)Xt j(−k′) + Xsj(−k′)Utl(−q) − Xsl(−q)Bt j(−k′) − Bsj(−k′)Xtl(−q)

]−

i2

Plst(q)Θq(−p)(−k′)(t)δ(p + k′ + q)[Usm(−p)Xt j(−k′) + Xsj(−k′)Utm(−p) − Xsm(−p)Bt j(−k′) − Bsj(−k′)Xtm(−p)

]+ ik′sΘ(−q)k′(−p)(t)δ(q + p + k′)[

U jm(−p)Xsl(−q) + U jl(−q)Xsm(−p) − X jm(−p)Usl(−q) − X jl(−q)Usm(−p)]

(D.51)

123

Para a segunda funcao de tres pontos, temos[∂∂t

+ η(p2 + q2 + k′2

)]〈bm(p)bl(q)b j(k′)〉 =

ips

"d3p′d3q′

(2π)3

[um(p′)bs(q′)bl(q)b j(k′) − bm(p′)us(q′)bl(q)b j(k′)

]δ(p′ + q′ − p)

+iqs

"d3p′d3q′

(2π)3

[ul(p′)bs(q′)bm(p)b j(k′) − bl(p′)us(q′)bm(p)b j(k′)

]δ(p′ + q′ − q)

+ik′s

"d3p′d3q′

(2π)3

[u j(p′)bs(q′)bm(p)bl(q) − b j(p′)us(q′)bm(p)bl(q)

]δ(p′ + q′ − k′) (D.52)

Pela aproximacao EDQNM, temos

〈bm(p)bl(q)b j(k′)〉 =

ipsΘpqk′(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈um(p′)bs(q′)〉〈bl(q)b j(k′)〉 + 〈um(p′)bl(q)〉〈bs(q′)b j(k′)〉 + 〈um(p′)b j(k′)〉〈bs(q′)bl(q)〉

− 〈bm(p′)us(q′)〉〈bl(q)b j(k′)〉 − 〈bm(p′)bl(q)〉〈us(q′)b j(k′)〉 − 〈bm(p′)b j(k′)〉〈us(q′)bl(q)〉]

+ iqsΘpqk′(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈ul(p′)bs(q′)〉〈bm(p)b j(k′)〉 + 〈ul(p′)bm(p)〉〈bs(q′)b j(k′)〉 + 〈ul(p′)b j(k′)〉〈bs(q′)bm(p)〉

− 〈bl(p′)us(q′)〉〈bm(p)b j(k′)〉 − 〈bl(p′)bm(p)〉〈us(q′)b j(k′)〉 − 〈bl(p′)b j(k′)〉〈us(q′)bm(p)〉]

+ ik′sΘpqk′(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[〈u j(p′)bs(q′)〉〈bm(p)bl(q)〉 + 〈u j(p′)bm(p)〉〈bs(q′)bl(q)〉 + 〈u j(p′)bl(q)〉〈bs(q′)bm(p)〉

− 〈b j(p′)us(q′)〉〈bm(p)bl(q)〉 − 〈b j(p′)bm(p)〉〈us(q′)bl(q)〉 − 〈b j(p′)bl(q)〉〈us(q′)bm(p)〉]

(D.53)

124

Impondo homogeneidade, temos


ipsΘpqk′(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[Xms(p′)Bl j(q)δ(p′ + q′)δ(q + k′) + Xml(p′)Bsj(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′) + Xmj(p′)Bsl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q)

−Xms(q′)Bl j(q)δ(p′ + q′)δ(q + k′) − Bml(p′)Xsj(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + k′) − Bmj(p′)Xsl(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + q)]

+ iqsΘpqk′(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[Xls(p′)Bmj(p)δ(p′ + q′)δ(p + k′) + Xlm(p′)δ(p′ + p)Bsj(q′)δ(q′ + k′) + Xl j(p′)Bsm(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p)

−Xls(p′)Bmj(p)δ(p′ + q′)δ(p + k′) − Blm(p′)Xsj(q′)δ(p + p′)δ(q′ + k′) − Bl j(p′)Xsm(q′)δ(p′ + k′)δ(q′ + p)]

+ ik′sΘpqk′(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k′)[X js(p′)δ(p′ + q′)Bml(p)δ(p + q) + X jm(p′)Bsl(q′)δ(p + p′)δ(q′ + q) + X jl(p′)Bsm(q′)δ(p′ + q)δ(q′ + p)

−X js(q′)(p′ + q′)Blm(p)δ(p + q) − B jm(p′)δ(p′ + p)Xsl(q′)δ(q′ + q) − B jl(p′)δ(p′ + q)Xsm(q′)δ(q′ + p)]

(D.54)



ipsΘpqk′(t)δ(k′ + q + p)[Xml(−q)Bsj(−k′) + Xmj(−k′)Bsl(−q) − Bml(−q)Xsj(−k′) − Bmj(−k′)Xsl(−q)

]+iqsΘpqk′(t)δ(p + q + k′)

[Xlm(−p)Bsj(−k′) + Xl j(−k′)Bsm(−p) − Blm(−p)Xsj(−k′) − Bl j(−k′)Xsm(−p)

]+ik′sΘpqk′(t)δ(p + q + k′)

[X jm(−p)Bsl(−q) + X jl(−q)Bsm(−p) − B jm(−p)Xsl(−q) − B jl(−q)Xsm(−p)

](D.55)

Para a terceira funcao de tres pontos, temos[∂∂t

+ ν(k2 + q2

)ηp2

]〈ui(k)u j(q)bl(p)〉 =

−i2

Pist(k)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[〈us(p′)ut(q′)u j(q)bl(p)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)u j(q)bl(p)〉

]−

i2

P jst(q)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)ui(k)bl(p)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)ui(k)bl(p)〉

]+ips

"d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈ul(q′)bs(p′)ui(k)u j(q)〉 − 〈bl(p′)us(q′)ui(k)u j(q)〉

](D.56)

125

Pela aproximacao EDQNM, podemos escrever

〈ui(k)u j(q)bl(p)〉 =

−i2

Pist(k)Θkqp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[〈us(p′)ut(q′)〉〈u j(q)bl(p)〉 + 〈us(p′)u j(q)〉〈ut(q′)bl(p)〉 + 〈us(p′)bl(p)〉〈ut(q′)u j(q)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈u j(q)bl(p)〉 − 〈bs(p′)u j(q)〉〈bt(q′)bl(p)〉 − 〈bs(p′)bl(p)〉〈bt(q′)u j(q)〉]

−i2

P jst(q)Θkqp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)〉〈ui(k)bl(p)〉 + 〈us(p′)ui(k)〉〈ut(q′)bl(p)〉 + 〈us(p′)bl(p)〉〈ut(q′)ui(k)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈ui(k)bl(p)〉 − 〈bs(p′)ui(k)〉〈bt(q′)bl(p)〉 − 〈bs(p′)bl(p)〉〈bt(q′)ui(k)〉]

+ ipsΘkqp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈ul(q′)bs(p′)〉〈ui(k)u j(q)〉 + 〈ul(q′)ui(k)〉〈bs(p′)u j(q)〉 + 〈ul(q′)u j(q)〉〈bs(p′)ui(k)〉

− 〈bl(p′)us(q′)〉〈ui(k)u j(q)〉 − 〈bl(p′)ui(k)〉〈us(q′)u j(q)〉 − 〈bl(p′)u j(q)〉〈us(q′)ui(k)〉]

(D.57)



−i2

Pist(k)Θkqp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[Usj(p′)δ(p′ + q)Xtl(q′)δ(q′ + p) + Xsl(p′)δ(p′ + p)Ut j(q′)δ(q′ + q)

− Xsj(p′)δ(p′ + q)Btl(q′)δ(q′ + p) − Bsl(p′)δ(p′ + p)Xt j(q′)δ(q′ + q)]

−i2

P jst(q)Θkqp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[Usi(p′)δ(p′ + k)Xtl(q′)δ(q′ + p) + Xsl(p′)δ(p′ + p)Uti(q′)δ(q′ + k)

− Xsi(p′)δ(p′ + k)Btl(q′)δ(q′ + p) − Bsl(p′)δ(p′ + p)Xti(q′)δ(q′ + k)]

+ ipsΘkqp(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[Uli(q′)δ(q′ + k)Xsj(p′)δ(p′ + q) + Ul j(q′)δ(q′ + q)Xsi(p′)δ(p′ + k)

− Xli(p′)δ(p′ + k)Usj(q′)δ(q′ + q) − Xl j(p′)δ(p′ + q)Usi(q′)δ(q′ + k)]

(D.58)

126



−i2

Pist(k)Θkqp(t)δ(p + q + k)[Usj(−q)Xtl(−p)δ(q′ + p) + Xsl(−p)Ut j(−q) − Xsj(−q)Btl(−p) − Bsl(−p)Xt j(−q)

]−

i2

P jst(q)Θkqp(t)δ(p + q + k)[Usi(−k)Xtl(−p) + Xsl(−p)Uti(−k) − Xsi(−k)Btl(−p) − Bsl(−p)Xti(−k)

]+ ipsΘkqp(t)δ(p + q + k)[

Uli(−k)Xsj(−q) + Ul j(−q)Xsi(−k) − Xli(−k)Usj(−q) − Xl j(−q)Usi(−k)]

(D.59)

O ultimo termo e 〈ui(k)b j(p)ul(q)〉, e satisfaz a equacao

[∂∂t

+ ν(k2 + q2

)+ ηp2

]〈ui(k)b j(p)ul(q)〉 =

−i2

Pist(k)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[〈us(p′)ut(q′)b j(p)ul(q)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)b j(p)ul(q)〉

]−

i2

Plst(q)"

d3p′ d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)ui(k)b j(p)〉 − 〈bs(p′)bt(q′)ui(k)b j(p)〉

]+ips

"d3p′ d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈u j(q′)bs(p′)ui(k)ul(q)〉 − 〈b j(p′)us(q′)ui(k)ul(q)〉

](D.60)

127

Pela aproximacao EDQNM, temos

〈ui(k)b j(p)ul(q)〉 =

−i2

Pist(k)Θkpq(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[〈us(p′)ut(q′)〉〈b j(p)ul(q)〉 + 〈us(p′)b j(p)〉〈ut(q′)ul(q)〉 + 〈us(p′)ul(q)〉〈ut(q′)b j(p)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈b j(p)ul(q)〉 − 〈bs(p′)b j(p)〉〈bt(q′)ul(q)〉 − 〈bs(p′)ul(q)〉〈bt(q′)b j(p)〉]

−i2

Plst(q)Θkpq(t)"

d3p′ d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[〈us(p′)ut(q′)〉〈ui(k)b j(p)〉 + 〈us(p′)ui(k)〉〈ut(q′)b j(p)〉 + 〈us(p′)b j(p)〉〈ut(q′)ui(k)〉

− 〈bs(p′)bt(q′)〉〈ui(k)b j(p)〉 − 〈bs(p′)b j(p)〉〈bt(q′)ui(k)〉 − 〈bs(p′)ui(k)〉〈bt(q′)b j(p)〉]

+ ipsΘkpq(t)"

d3p′ d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[〈u j(q′)bs(p′)〉〈ui(k)ul(q)〉 + 〈u j(q′)ui(k)〉〈bs(p′)ul(q)〉 + 〈u j(q′)ul(q)〉〈bs(p′)ui(k)〉

− 〈b j(p′)us(q′)〉〈ui(k)ul(q)〉 − 〈b j(p′)ui(k)〉〈us(q′)ul(q)〉 − 〈b j(p′)ul(q)〉〈us(q′)ui(k)〉]

(D.61)



−i2

Pist(k)Θkpq(t)"

d3p′d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − k)[Xsj(p′)δ(p′ + p)Utl(q′)δ(q′ + q) + U(p′)δ(p′ + q)X(q′)δ(q′ + p)

− Bsj(p′)δ(p′ + p)Xtl(q′)δ(q′ + q) − Xsl(p′)δ(p′ + q)Bt j(q′)δ(q′ + p)]

−i2

Plst(q)Θkpq(t)"

d3p′ d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − q)[Usi(p′)δ(p′ + k)Xt j(q′)δ(q′ + p) + Xsj(p′)δ(p′ + p)Uti(q′)δ(q′ + k)

− Bsj(p′)δ(p′ + p)Xti(q′)δ(q′ + k) − Xsi(p′)δ(p′ + k)Bt j(q′)δ(q′ + p)]

+ ipsΘkpq(t)"

d3p′ d3q′

(2π)3 δ(p′ + q′ − p)[U ji(q′)δ(q′ + k)Xsl(p′)δ(p′ + q) + U jl(q′)δ(q′ + q)Xsi(p′)δ(p′ + k)

− X ji(p′)δ(p′ + k)Usl(q′)δ(q′ + q) − X jl(p′)δ(p′ + q)Usi(q′)δ(q′ + k)]

(D.62)

128

e resolvendo os δ’s, ficamos com


−i2

Pist(k)Θkpq(t)δ(p + q + k)[Xsj(−p)Utl(−q) + U(−q)X(−p) − Bsj(−p)Xtl(−q) − Xsl(−q)Bt j(−p)

]−

i2

Plst(q)Θkpq(t)δ(p + q + k)[Usi(−k)Xt j(−p) + Xsj(−p)Uti(−k) − Bsj(−p)Xti(−k) − Xsi(−k)Bt j(−p)

]+ipsΘkpq(t)δ(p + q + k)

[U ji(−k)Xsl(−q) + U jl(−q)Xsi(−k) − X ji(−k)Usl(−q) − X jl(−q)Usi(−k)

](D.63)

129

A equacao de evolucao para 〈ui(k)b j(k′)〉 e entao

[∂∂t

+ νk2 + ηk′2]〈ui(k)b j(k′)〉 =

−i2

Piml(k)"

d3p d3q

(2π)3 〈um(p)ul(q)b j(k′)〉δ(p + q − k)−

i2

Pmst(p)Θp(−q)(−k′)(t)δ(k′ + q + p)[Usl(−q)Xt j(−k′) + Xsj(−k′)Utl(−q) − Xsl(−q)Bt j(−k′) − Bsj(−k′)Xtl(−q)

]−

i2

Plst(q)Θq(−p)(−k′)(t)δ(p + k′ + q)[Usm(−p)Xt j(−k′) + Xsj(−k′)Utm(−p) − Xsm(−p)Bt j(−k′) − Bsj(−k′)Xtm(−p)

]+ ik′sΘ(−q)k′(−p)(t)δ(q + p + k′)[U jm(−p)Xsl(−q) + U jl(−q)Xsm(−p) − X jm(−p)Usl(−q)δ(q′ + q) − X jl(−q)Usm(−p)

]+

i2

Piml(k)"

d3p d3q

(2π)3 δ(p + q − k)ipsΘpqk′(t)δ(k′ + q + p)

[Xml(−q)Bsj(−k′) + Xmj(−k′)Bsl(−q) − Bml(−q)Xsj(−k′) − Bmj(−k′)Xsl(−q)

]+iqsΘpqk′(t)δ(p + q + k′)

[Xlm(−p)Bsj(−k′) + Xl j(−k′)Bsm(−p) − Blm(−p)Xsj(−k′) − Bl j(−k′)Xsm(−p)

]+ ik′sΘpqk′(t)δ(p + q + k′)

[X jm(−p)Bsl(−q) + X jl(−q)Bsm(−p) − B jm(−p)Xsl(−q) − B jl(−q)Xsm(−p)

]+ ik′l

"d3p d3q

(2π)3 δ(p + q − k′)−

i2

Pist(k)Θkqp(t)δ(p + q + k)[Usj(−q)Xtl(−p) + Xsl(−p)Ut j(−q) − Xsj(−q)Btl(−p) − Bsl(−p)Xt j(−q)

]−

i2

P jst(q)Θkqp(t)δ(p + q + k)[Usi(−k)Xtl(−p) + Xsl(−p)Uti(−k) − Xsi(−k)Btl(−p) − Bsl(−p)Xti(−k)

]+ ipsΘkqp(t)δ(p + q + k)

[Uli(−k)Xsj(−q) + Ul j(−q)Xsi(−k) − Xli(−k)Usj(−q) − Xl j(−q)Usi(−k)

]− ik′l

"d3p d3q

(2π)3 δ(p + q − k′)−

i2

Pist(k)Θkpq(t)δ(p + q + k)[Xsj(−p)Utl(−q) + U(−q)X(−p) − Bsj(−p)Xtl(−q) − Xsl(−q)Bt j(−p)

]−

i2

Plst(q)Θkpq(t)δ(p + q + k)[Usi(−k)Xt j(−p) + Xsj(−p)Uti(−k) − Bsj(−p)Xti(−k) − Xsi(−k)Bt j(−p)

]+ ipsΘkpq(t)δ(p + q + k)

[U ji(−k)Xsl(−q) + U jl(−q)Xsi(−k) − X ji(−k)Usl(−q) − X jl(−q)Usi(−k)

](D.64)

130

Tomando o traco, obtemos a equacao de evolucao para o espectro de helicidade cruzada:[∂∂t

+(ν + η

)k2

]Xii(k) = −

i2

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θ(q−k)(−q)k(t)−

i2

Pmst(k − q)[Usl(−q)Xti(k) + Xsi(k)Utl(−q) − Xsl(−q)Bti(k) − Bsi(k)Xtl(−q)

]−

i2

Plst(q)[Usm(q − k)Xti(k) + Xsi(k)Utm(q − k) − Xsm(q − k)Bti(k) − Bsi(k)Xtm(q − k)

]− iks

[Uim(q − k)Xsl(−q) + Uil(−q)Xsm(q − k) − Xim(q − k)Usl(−q) − Xil(−q)Usm(q − k)

]+

i2

Piml(k)∫

d3q

(2π)3/2 Θ(k−q)q(−k)(t)i(ks − qs)

[Xml(−q)Bsi(k) + Xmi(k)Bsl(−q) − Bml(−q)Xsi(k) − Bmi(k)Xsl(−q)

]+iqs

[Xlm(q − k)Bsi(k) + Xli(k)Bsm(q − k) − Blm(q − k)Xsi(k) − Bli(k)Xsm(q − k)

]− iks

[Xim(q − k)Bsl(−q) + Xil(−q)Bsm(q − k) − Bim(q − k)Xsl(−q) − Bil(−q)Xsm(q − k)

]−ikl

∫d3q

(2π)3/2 Θkq(−k−q)(t)−

i2

Pist(k)[Usi(−q)Xtl(q + k) + Xsl(q + k)Uti(−q) − Xsi(−q)Btl(q + k) − Bsl(q + k)Xti(−q)

]−

i2

Pist(q)[Usi(−k)Xtl(q + k) + Xsl(q + k)Uti(−k) − Xsi(−k)Btl(q + k) − Bsl(q + k)Xti(−k)

]− i(qs + ks)

[Uli(−k)Xsi(−q) + Uli(−q)Xsi(−k) − Xli(−k)Usi(−q) − Xli(−q)Usi(−k)

]+ikl

∫d3q

(2π)3/2 Θk(−q−k)q(t)−

i2

Pist(k)[Xsi(q + k)Utl(−q) + U(−q)X(q + k) − Bsi(q + k)Xtl(−q) − Xsl(−q)Bti(q + k)

]−

i2

Plst(q)[Usi(−k)Xti(q + k) + Xsi(q + k)Uti(−k) − Bsi(q + k)Xti(−k) − Xsi(−k)Bti(q + k)

]− i(qs + ks)

[Uii(−k)Xsl(−q) + Uil(−q)Xsi(−k) − Xii(−k)Usl(−q) − Xil(−q)Usi(−k)

](D.65)

131

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