EJERCICIOS TEMA 7

realidadlaenciadisplanoelenciadisescala

tantan

= metrociadisplanociadis

tantan

300001

=

mcmxx

600600001

2·300002300001

===→=

Ladistanciaalmetroesde600m.

guarderíaciadisplanociadis

tantan

300001

= mxx 530000150000

150000300001

==→=

Lacasaestaráa5cmdelaguarderíaenelcallejero.

realidadlaenalturaplanoelenréplicaescala = mx

x46

15,11·45,11

41

==→=

LaestatuadelalibertaddeNuevaYorkmide46m

realidadlaenalturaplanoelenréplicaescala = 8,38

2,146·1

462,11

==→= xx

Laescalaesde1:39

realesensionesfiguralaenensionesescala

dimdim

=

Largo: mcmxx

7,4470175,11·4075,11

401

===→=

Ancho: mcmyy

220015·405

401

===→=

Alto: mcmzz

2,112013·403

401

===→=

Lasdimensionesdelcocheson:4,7mdelargo,2mdeanchoy1,2mdealto.

Tenemos que medir en el dibujo las líneas (una de ellas) que representan las bandas, las líneas de fondo, las líneas horizontales de portería, las líneas verticales de portería y el diámetro del círculo central.

realidadlaenciadisplanoelenciadisescala

tantan

= fútbolcampociadis

planoadistan

tan14001

=

Lateral: 11400

=8x→ x = 1400 · 8

1= 11200 cm = 112 m

Fondo: 11400

=5x→ x = 1400 · 5

1= 7000 cm = 70 m

Frontal área: 11400

=2,9x→ x = 1400 · 2, 9

1= 40600 cm = 40,6 m

Lateral área: 11400

=1,2x→ x = 1400 ·1, 2

1= 1680 cm = 16,8 m

Diámetro círculo central:1

1400=1, 4x→ x = 1400 ·1, 4

1= 1960 cm = 19,6 m

Radio: 9,8 m

Superficie área de penalti: A = b · h = 40,6 ·16,8 = 682,08 m2 = 6,82 dam2 = 6,82 a

Superficie círculo central: A = πr2 = 3,14 · 9,82 = 3,14 · 96, 04 = 301,57 m2 = 3 dam2 = 3 a

B = 180º − 51º + 33º( ) = 180º − 84º = 96º B' = B = 96º C ' = C = 51º

a 'a=b 'b=c 'c

a 'a=b 'b→2040

=b '73

→ b ' = 20 · 7340

= 36,5 m b’ = 36,5 m

a 'a=c 'c→2040

=c '51

→ c ' = 20 · 5140

= 25,5 m c’ = 25,5 m

Ladoa: maa 97,162881441441212 222 ==+=→+=

Ladob: mbb 74,5332562891617 222 ==−=→−=

Ladoc: mbc 5,1524078410242832 222 ==−=→−=

Recuerda que si: h2 = C2 + c2 => triángulo rectángulo

h2 > C2 + c2 => triángulo obtusángulo

h2 < C2 + c2 => triángulo acutángulo

a) a2 = (15cm)2 = 225 cm2

b2 = (10cm)2 = 100 cm2

c2 = (11cm)2 = 121 cm2

⎫

⎬⎪

⎭⎪→225 ≠ 100 + 121225 > 100 + 121

⎫⎬⎭→ triángulo obtusángulo

b) a2 = (35cm)2 = 1225 cm2

b2 = (12cm)2 = 144 cm2

c2 = (37cm)2 = 1369 cm2

⎫

⎬⎪

⎭⎪→1369 = 1225 + 1441369 = 1369

⎫⎬⎭→ triángulo rectángulo

c) a2 = (23cm)2 = 529 dm2

b2 = (30cm)2 = 900 dm2

c2 = (21cm)2 = 441 cm2

⎫

⎬⎪

⎭⎪→900 ≠ 529 + 441900 < 529 + 441

⎫⎬⎭→ triángulo acutángulo

82252891517 22

222

=−=−=

+=

x

cCh

y=12–8–1=3Laestrellaestáaunaalturade3m.delsuelo.

Conocemos el radio del círculo luego podemos calcular su área y la longitud (perímetro) de la circunferencia:

cmrLcmrA4,315·14,3·25··22

5,7825·14,35· 222

====

====

ππ

ππ

Para conocer el área y el perímetro del cuadrado necesitamos conocer la longitud de su lado. Podemos hacerlo de dos formas distintas.

Mètodo1

Dibujamos un triángulo rectángulo formado por dos radios(son los catetos) y el lado opuesto al ángulo recto (hipotenusa).Por el teorema de Pitágoras: l2 = 52 + 52

cml

l

07,750

25252

==

+=

El lado del cuadrado mide 7,07 cm

Mètodo2

Dibujamos un triángulo rectángulo formado por el radio del cuadrado, la mitad de un lado y la apotema; estos últimos miden lo mismo y les llamaremos x. Por el teorema de Pitágoras: 52 = x2 + x2

5! = 2𝑥!; 𝑥! = 252 = 12,5 → 𝑥 = 12,5 = 3,54 𝑐𝑚

Si l/2 = 3,54 cm => l = 2 · 3,54 = 7,08 Área del cuadrado: 7,072 = 50 m2 Perímetro del cuadrado: 4 · 7,07 = 28,28 cm Área zona sombreada = 78,5 m2 - 50 m2 = 28,5 m2 Perímetro zona sombreada = 31,4 + 28,28 = 59,68 cm

Podemos descomponer el conjunto en las siguientes figuras:

Área del cuadrado = l2 = 52 = 25 m2 Perímetro exterior del cuadrado = 3 · 5 = 15 m

Para conocer el área del triángulo necesitamos conocer la base. Aplicando el teorema de Pitágoras: h2 = C2 + c2; C2 = h2 – c2 x2 = 52 − 32 = 26 − 9→ x = 16 = 4 . La base mide 4 m

Área del triángulo: b · h2

=4 · 32

=122= 6 m2

Perímetro exterior del triángulo: 5 + 4 = 9 m

Ya hemos calculado el valor de la base x = 4 m

Área del triángulo: b · h2

=4 · 32

=122= 6 m2

Perímetro exterior del triángulo: 3 m

La base del rectángulo x es igual que la base del triángulo = 4 m Área del rectángulo = b · h = 4 · 3= 12 m2 Perímetro exterior del rectángulo: 4 + 3 = 7 m

Área total: 25 + 6 + 6 + 12 = 49 m2 Perímetro exterior = 15 + 9 + 7 + 3 = 34 m

Medimoslaalturadelapuertaeneldibujo=3cm;ycalculamoslaescaladeldibujo.

1x=1 cm300 cm

→ x = 300 ·11

= 300

La escala es de 1 : 300

Medimos la altura de la casa en el plano: y = 2,6 cm

1300

=medida en el planomedida en la realidad

1300

=2,6 cmy cm

→ y = 300 · 2, 61

= 780 cm = 7,8 m

La casa tiene una altura de 7,8 m

Medimos la altura de la palmera más alta en el dibujo: z = 2,5 cm

1300

=medida en el planomedida en la realidad

1300

=2,5 cmz cm

→ z = 300 · 2, 51

= 750 cm = 7,5 m

La palmera más alta mide 7,5 m

Si aplicamos la semejanza de figuras se tiene que cumplir que: a 'a=b 'b= razón semejanza

a 'a= razón semejanza = 12

10= 1,2

Lado mayor del segundo: a 'a=b 'b→1210

=b '15

→ b ' = 12 ·1510

=18010

= 18 cm

El lado del rectángulo grande mide 18 cm

Área del primer rectángulo = b · h = 15 · 10 = 150 cm2

Área del segundo rectángulo = b’ · h’ = 18 · 12 = 216 cm2

realidadlaenciadisplanoelenciadisescala

tantan

=

Aplicando la semejanza de triángulos rectángulos: aa '=bb '

→161, 76

=x3,3

→ x = 16 · 3,31, 76

=52,81, 76

= 30

La distancia de la torre a su reflejo es de 30 m La distancia entre el chico y la base de la torre es de 30 + 3 = 33 m

cc

bb

aa '''

==

65,16,944,1·11

6,944,1

11==→= aa

Carlos mide 1,65 m

Aplicando la semejanza de triángulos rectángulos:

aa '=bb '

→244=y3→ y = 24 · 3

4=724= 18

Hemos calculado la distancia hasta la línea de puntos. El faro está a 18 + 1 = 19 m El faro está a 19 m sobre el nivel del mar.