Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474

AULA XAULA X

Potência em BipolosPotência em Bipolos

P(t) = v(t)i(t) =P(t) = v(t)i(t) = Fluxo de EnergiaFluxo de Energia

A potência é (geralmente) uma função do tempoA potência é (geralmente) uma função do tempo O fluxo de energia pode ser positivoO fluxo de energia pode ser positivo (bipolo recebe energia) (bipolo recebe energia) ou negativoou negativo

(bipolo fornece energia), dependendo do momento (bipolo fornece energia), dependendo do momento tt em que se observa. em que se observa.

P(t)P(t) é denominada POTÊNCIA INSTANTÂNEA é denominada POTÊNCIA INSTANTÂNEA

0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

Potência InstantâneaPotência Instantânea

Exemplo:Exemplo:

ii((tt)=cos(5t)+2e)=cos(5t)+2e-2t-2t

vv(t)=-sen(5t)-0,8e(t)=-sen(5t)-0,8e-2t-2t

i(t)v(t)

p(t)

Bipolo recebe energia

Bipolo fornece energia

Potência MédiaPotência Média

A Potência Média é definida como:A Potência Média é definida como:

Tt

t

dttpT

P0

0

)(1

Onde T é o período de tempo em que se calcula o valor médio

2 4 5 6

6

-5

-2

T=4

p(t) WP 6562456245

41

Fluxo médio de Energia entre 2s e 6s

foi de -6J/s

Potência Instantânea em Bipolos Potência Instantânea em Bipolos sob Excitação Senoidal em RPsob Excitação Senoidal em RP

vv(t)=(t)=VVMMcos(cos(t+t+vv))

ii((tt)=)=IIMMcos(cos(t+t+ii))

pp((tt) =) = VVMMcos(cos(t+t+vv)) IIMMcos(cos(t+t+ii))

tIVt

IVIVtp iv

MMiv

MMiv

MM 2sensen2

2coscos2

cos2

P P Q

p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)

Potência Instantânea em Bipolos sob Potência Instantânea em Bipolos sob Excitação Senoidal em RPExcitação Senoidal em RP

ExemploExemplo

0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)

PP

Potência Média em Bipolos com Potência Média em Bipolos com Excitação Senoidal em RPExcitação Senoidal em RP

dttQtPPdttpT

PTt

t

2

0

0

0

2sen2cos2

)(1

PP

0 1 2 3 4 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Potência em R, L e C sob Excitação Potência em R, L e C sob Excitação SenoidalSenoidal

Resistores ( Resistores ( vv - - ii =0) =0)

pp((tt) ) = = P P + + PPcos(2cos(2t)t) ; ; Q=0Q=0

Indutores ( Indutores ( vv - - ii = 90º) = 90º)

pp((tt) ) = = -Q-Qsen(2sen(2t)t) ; ; P=0P=0

Capacitores ( Capacitores ( vv - - ii = -90º) = -90º)

pp((tt) ) = = QQsen(2sen(2t)t) ; ; P=0P=0

p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)

PP = Potência Média ou Real

(Watts) (W)

QQ = Potência Reativa (Volt-Ampere Reativo)

(VAr)

Fator de PotênciaFator de Potência

O ângulo O ângulo = = v v - - ii é denominado ângulo do fator de potência é denominado ângulo do fator de potência

cos(cos() ) é denominadoé denominado de fator de potência (fp) de fator de potência (fp) do bipolodo bipolo

Como cos(v - i )= cos(i - v ) costuma-se associar ao fp os termos “fator de potência atrasado (>0 - característica indutiva) ” ou “fator de potência adiantado (<0 - característica capacitiva) ”

p(t) =P+Pcos(2t)-Qsen(2t)

ivMM IV cos

2P iv

MM IVQ sen

2

Potência ComplexaPotência Complexa Representação Fasorial da PotênciaRepresentação Fasorial da Potência em Circuitos RLC em Circuitos RLC

com excitação Senoidal em RPcom excitação Senoidal em RP

tQtPPtp 2sen2cos)(

ivPQ

QPtPtp 1-22 tg e onde 2cos)( SS

tjjjtj eePePtp 22 ReRe)( SS

SSS jQPePtp tj onde Re)( 2

0 onde ReRe)( 20 jPeetp tjtj PSP

tjtj eetp 20Re)( SP

Não gira Gira (freq. 2)

2

PS*

p(t)

imag.

real

Obs: S*=P-jQ

Potência ComplexaPotência Complexa

Obtendo oObtendo o Fasor Fasor SS a partir dos a partir dos fasores fasores VV e e II::

jQP S

ivivMM j

IV sencos2

S

ivjMM eIV

2S

iMvMivMM IVIV 21

21

S

*

21

VIS

vMV V

iMI I

Valor Médio Quadrático Valor Médio Quadrático (RMS) ou Valor Eficaz(RMS) ou Valor Eficaz

O valor médio quadrático de um sinal x(t) é definido como:O valor médio quadrático de um sinal x(t) é definido como:

O valor eficaz (RMS) de uma senóide é:O valor eficaz (RMS) de uma senóide é:

Tt

t

eficaz dttxT

X0

0

2)(1

Tt

t

Meficaz dttXT

X0

0

2cos1

2M

eficaz

XX

Potência ComplexaPotência Complexa

Se expressarmos as amplitudes das tensões e correntes de um circuito por seus valores eficazes todos os módulos dos fasores correspondentes ficarão divididos por raiz de dois.

Pelo princípio da linearidade, se dividirmos as amplitudes de todas as fontes independentes do circuito por raiz de dois, então todas as tensões e correntes do circuito passarão a ser divididas por raiz de dois.

Usando fasores de módulo Eficaz:

i

Mv

MjMM IVe

IViv

222S

*efefIVS

Formas Alternativas para a Formas Alternativas para a Potência ComplexaPotência Complexa

Partindo-se de Partindo-se de S =S = VVefef.I.Iefef** pode-se escrever pode-se escrever SS como: como:

*efefefef IIZSIZV

2

efIZS Note que o ângulo de S é igual ao ângulo z de Z

z 2

efIZS

*

*efef

*

efef

efef Z

VVZV

VSZV

I

*

2

ef

Z

VS

ouou