PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros

ELETRICIDADE E MAGNETISMO

NOTA DE AULA III

Goiânia - 2013

1

CORRENTE ELÉTRICA

Estudamos anteriormente os fenômenos que pertencem ao campo da eletrostática, ou

seja, com cargas estacionárias. Iniciaremos o estudo de fenômenos elétricos relacionados com

cargas em movimento, isto é, estamos começando o estudo das correntes e circuitos elétricos.

Até o ano de 1800, os desenvolvimentos técnicos da eletricidade consistiam meramente

em produzir cargas estáticas por fricção. Alguns experimentos nesta época usam recursos

naturais, como por exemplo, os raios, para os estudos dos fenômenos eletrostáticos. Em 1752

Franklin realizou o seu famoso experimento produzindo descarga elétrica, em uma arraia

(pipa).

A partir de 1800 ocorreu um grande desenvolvimento no conhecimento da

eletricidade. O caminho deste desenvolvimento foi aberto pela invenção das “pilhas voltaicas”

consistindo de tiras de metais diferentes tais como zinco e cobre, separadas por tiras de pano

umedecias com uma solução de sal. Antes da invenção destas baterias por Alessandro Volta,

não havia meio de se estabelecer um fluxo contínuo ou corrente de carga elétrica.

A invenção da bateria, portanto, abriu caminho para outros investigadores tais como

Oersted, Ampère, Faraday, Henry, Maxwell e Hertz, os quais descobriram e analisaram os

efeitos químicos, térmicos e magnéticos associados à corrente elétrica.

Exemplos de correntes elétricas são abundantes, indo das grandes correntes que

formam os raios até as minúsculas correntes nervosas que regulam nossa atividade muscular.

As correntes em lâmpadas e em aparelhos elétricos são familiares a todos.

Quando um campo elétrico é estabelecido em um condutor qualquer, as cargas livres

aí presentes entram em movimento sob a ação deste campo. Dizemos que este deslocamento

ordenado de cargas constitui uma corrente elétrica.

Nos metais, a corrente elétrica é constituída por elétrons livres (elétrons de condução)

em movimento. Nos líquidos, as cargas livres que se movimentam são íons positivos e íons

negativos enquanto que, nos gases, são íons positivos, íons negativos e também elétrons

livres.

Apesar de corrente elétrica ser gerada por cargas em movimento, nem sempre as

cargas em movimento constituem uma corrente elétrica. Para que haja uma corrente elétrica

através de uma superfície, tem de haver um fluxo resultante de cargas através dessa

superfície. A condição fundamental para que haja uma corrente elétrica entre dois pontos de

2

um circuito fechado é que tenhamos uma diferença de potencial elétrico (voltagem) entre

estes pontos. Esta ddp pode ser gerada por uma bateria. Como está representado na figura

abaixo

Sentido convencional da corrente elétrica

O sentido convencional da corrente elétrica é escolhido como sendo o sentido do

movimento de cargas positivas. Então, uma seta indicando o sentido convencional da corrente

elétrica é desenhada no sentido no qual se moveriam portadores de carga positiva, mesmo que

os verdadeiros portadores de carga sejam negativos e se movam no sentido contrário.

Devemos lembrar que carga negativa desloca-se espontaneamente para pontos de maior

potencial elétrico, o que justifica a necessidade de uma diferença de potencial.

Devemos observar que a corrente elétrica é uma grandeza escalar, apesar de usarmos

setas para indicar o seu sentido. Estas setas não são vetores e sua soma é escalar.

Intensidade da corrente elétrica (i)

A intensidade da corrente elétrica é a medida da quantidade de carga que passa, por

unidade de tempo, através de uma seção do condutor. Para o caso de um fluxo de corrente

constante, temos que:

Quando uma quantidade de carga Q passa através da secção de um condutor, durante

um intervalo de tempo t, a intensidade de corrente i nesta secção é dada por:

Qi

t

Quando a taxa de fluxo de carga não for constante, podemos generalizar a definição de

corrente usando-se as derivadas. A corrente instantânea i é definida como

dqi

dt

Unidade de corrente elétrica

3

A unidade de corrente no SI, Coulomb por segundo, é chamada de ampère (A), em

homenagem ao Físico Francês André Marie Ampére. Pequenas correntes são convenientes

expressas em miliampères ( 310mA A ) ou em microampères ( 610A A ).

Observação:

No gráfico da intensidade de corrente instantânea em função do

tempo, a área, num certo intervalo de tempo, é numericamente

igual à carga elétrica que atravessa a secção transversal do

condutor, nesse intervalo de tempo.

Densidade de corrente ( J ).

Outra quantidade relacionada com a corrente é a densidade de corrente, a qual

expressa a intensidade ou concentração de fluxo de carga em qualquer ponto num meio

condutor.

A densidade de corrente é uma grandeza vetorial que aponta na direção do campo

elétrico.

A intensidade da corrente elétrica pode ser calculada por meio da densidade de

corrente. Quando a corrente i é uniformemente distribuída através da secção transversal, de

área A, de um condutor uniforme, a densidade de corrente pode ser determinado pela razão

entre a corrente e a área A.

:

.

.

temos

i J dA

J cte

ii JA J

A

Velocidade de deriva (vd)

A

t1 t2

i

t

A Q

4

Os elétrons de condução num condutor de cobre têm velocidades orientadas

aleatoriamente com módulos da ordem de 10 6 m/s. O fluxo direto ou velocidade de deriva

dos elétrons de condução tem módulo muito menor. A corrente na fiação elétrica de uma casa,

por exemplo, é caracterizada por uma velocidade escalar média de deriva da ordem de 10–

4m/s.

A primeira vista pode parecer surpreendente que a luz de uma lâmpada apareça quase

instantaneamente assim que o interruptor é ligado, pois a migração dos elétrons no condutor,

em velocidade muito baixa, exigiria várias horas para que passassem da chave do interruptor

até a lâmpada. Uma analogia com a água que flui por uma mangueira será útil.

Quando se abre a torneira que alimenta uma mangueira cheia de água, o aparecimento

da água no bico da mangueira é quase instantâneo. O comportamento dos fios condutores

cheios de elétrons livres é semelhante a está mangueira. Quando se ligar o interruptor, há a

propagação de um campo elétrico pelo condutor, com velocidade quase igual à da luz, e os

elétrons livres em todo o condutor adquirem, quase instantaneamente, a respectiva velocidade

de migração. Devemos observar que esta migração dos elétrons ocorre em corrente contínuas.

Em correntes alternadas os elétrons livres apenas oscilam em torno de posições fixas.

A relação entre a velocidade de deriva e a densidade de corrente é dada por (ver

demonstração desta expressão no livro texto):

dJ nev

E X E R C Í C I O S

1. O gráfico da figura abaixo representa a intensidade de corrente que percorre um condutor em

função do tempo. Determine a carga elétrica que atravessa uma secção transversal do

condutor entre os instantes:

a) 0 e 2 s ;

b) 2 e 5 s .

R: a) 6C ; b) 13,5 C

i(A)

t (s)

6

3

0

2 5 9

5

i

A B

VAB

2. Uma corrente de 5,0 A percorre um resistor de 10 durante 4,0 min. Quantos (a) coulombs

de carga e (b) elétrons passam através da seção transversal do resistor nesse intervalo de

tempo? R: a)1200 C ; b) 7,5x1021 elétrons

3. A corrente num feixe de elétrons de um terminal de vídeo é de 200 μA. Quantos elétrons

golpeiam a tela a cada segundo? R: 1,25x10 15

elétrons

4. A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=2 mm é uniforme em uma seção

transversal do fio e vale j = 2.105 A/m

2. Determine a corrente que atravessa a porção externa

do fio entre as distâncias radiais R/2 e R. R: 1,9A

5. Um fusível num circuito elétrico é um fio projetado para fundir e, desse modo, abrir o

circuito, se a corrente exceder um valor predeterminado. Suponha que o material que compõe

o fusível derreta assim que a densidade de corrente atinge 440 A/cm2. Qual deve ser o

diâmetro do fio cilíndrico a ser usado para limitar a corrente a 0,50 A? R: 3,8x10-2

cm

6. Uma corrente é estabelecida num tubo de descarga a gás quando uma diferença de potencial

suficientemente alta é aplicada entre os dois eletrodos no tubo. O gás se ioniza, os elétrons se

movem em direção ao terminal positivo e os íons monovalentes positivos em direção ao

terminal negativo. Quais são o módulo e o sentido da corrente num tubo de descarga de

hidrogênio em que 3,1 x 1018

elétrons e 1,1 x 1018

prótons passam através da seção transversal

do tubo a cada segundo? R: 0,67A

RESISTÊNCIA ELÉTRICA

Se aplicarmos a mesma diferença de potencial entre as extremidades de fios de

mesmas dimensões, mas de materiais diferentes, teremos correntes diferentes passando pelos

fios. A característica do condutor a ser considerada aqui é a resistência elétrica, que

caracteriza a oposição que um condutor oferece à passagem de corrente através dele.

Quando uma voltagem VAB é aplicada nas extremidades de um condutor,

estabelecendo nele uma corrente elétrica i, a resistência deste condutor é dada pela relação:

ABVR

i .ABV R i

6

Unidade de resistência no SI:

A unidade de resistência no SI é o Volt por ampère. Esta unidade é denominada ohm

()

1V/A = 1 ohm = 1

Resistividade de um material

É comum não lidarmos com objetos particulares, mas com os materiais. Em vez da

resistência R de um objeto podemos lidar com a resistividade ρ do material (A resistência é

uma propriedade de um objeto e a resistividade é uma propriedade de um material).

Se conhecermos a resistividade de uma substância, podemos calcular a resistência

elétrica de um pedaço de fio feito dessa substância.

Considere um fio condutor de comprimento L e secção transversal de área A. Verifica-

se que, a resistência elétrica R é diretamente proporcional ao comprimento do fio condutor e

inversamente proporcional à área da sua secção transversal.

LR

A

Onde: é a resistividade do material. No SI, a unidade de resistividade é dada por: . m

7

A resistividade de um material varia com a temperatura. Para variações de

temperaturas não-excessivas nos metais, pode-se admitir como linear a variação da

resistividade, que é dada por:

o T

Onde:

= é a variação da resistividade.

o = é a resistividade a uma temperatura inicial de referência T0.

= é o coeficiente de temperatura da resistividade.

T = é a variação da temperatura.

Muitas vezes caracterizamos um fio metálico como um condutor e outras vezes como

um resistor, conforme a propriedade que se deseja realçar. O inverso da resistividade é a

condutividade , portanto temos:

1

A LEI DE OHM

Para determinados condutores, o valor de sua resistência permanece constante, não

dependendo da voltagem aplicada ao condutor. Os condutores que obedecem a esta lei são

denominados condutores ôhmicos. Para estes condutores a corrente elétrica ( i ) que os

percorrem é diretamente proporcional à voltagem ou ddp (V) aplicada. Consequentemente o

gráfico V versus i é uma linha reta, cuja inclinação é igual o valor da resistência elétrica do

condutor, como mostra o gráfico abaixo,

Dispositivos ôhmicos obedecem à lei de Ohm

Dispositivos não Ôhmicos

8

Observa-se, em uma grande família de condutores que, alterando-se a ddp (V) nas

extremidades destes dispositivos altera-se a intensidade da corrente elétrica i, mas a duas

grandezas não variam proporcionalmente, isto é, o gráfico de V versus i não é uma reta,

portanto eles não obedecem à lei de Ohm, veja um exemplo no gráfico abaixo. Estes

dispositivos são denominados não ôhmicos.

Dispositivos não ôhmicos não obedecem à lei de Ohm

Observações:

Para os condutores ôhmicos, o gráfico VAB i é uma reta passando pela origem.

Se o condutor não obedecer à lei de Ohm, o gráfico VAB i não será retilíneo,

podendo apresentar diversos aspectos, dependendo da natureza do condutor.

É comum ouvir a afirmação de que a expressão VAB = R.i é uma representação

matemática da lei de Ohm. Isso não é verdade! Essa expressão é usada para definir

o conceito de resistência e se aplica a todos os dispositivos que conduzem corrente

elétrica, mesmo que não obedeçam à lei de Ohm. Ou seja, ela é válida quer o

dispositivo obedeça ou não à lei de Ohm.

Energia e Potência em circuitos elétricos.

Na figura abaixo temos a representação de um circuito formado por uma bateria B ligada

por fios de resistência desprezível a um componente não-especificado, o qual pode ser um

resistor, uma bateria recarregável, um motor elétrico ou outro dispositivo elétrico. A bateria

mantém uma diferença de potencial de valor absoluto V entre seus terminais e, portanto,

mantém a mesma ddp nos terminais do componente elétrico. Neste circuito a bateria B

fornece energia a um componente elétrico. Esta energia pode ser transformada em energia

química se o componente for uma bateria recarregável, em energia térmica se o componente

for um resistor ou pode ser usada para realizar trabalho no caso de um motor elétrico.

9

Energia elétrica é de suma importância para o ser o humano, pois ela pode ser facilmente

transformada em outras formas de energia. Podemos citar uma infinidade destas

transformações, como por exemplo, os motores elétricos que convertem energia elétrica em

mecânica. Outros aparelhos tais como chuveiro, aquecedores, secadores de cabelo são alguns

exemplos de conversão de energia elétrica em calor. O funcionamento das lâmpadas comuns

de bulbo é uma forma de transformar energia elétrica em luz.

De uma maneira geral, os aparelhos elétricos são dispositivos que transformam energia

elétrica em outra forma de energia. A taxa de transformação dessa energia é a potência do

aparelho.

Se um aparelho elétrico, ao ser submetido a uma diferença de potencial VAB, for

percorrido por uma corrente i, a potência desenvolvida neste aparelho será dada por (ver a

demonstração dessa expressão no livro texto):

ABP iV

Efeito joule

O efeito joule consiste na transformação de energia elétrica em energia térmica em

uma resistência percorrida por uma corrente elétrica. Essa conversão de energia ocorre por

meio de colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor, o que leva a um aumento de

temperatura do resistor. Mesmo sabendo-se que esta energia pode ser aproveitada, é comum

se referir a esta energia térmica como energia dissipada no resistor.

Sendo R o valor da resistência, VAB a voltagem nela aplicada e i a corrente que a

percorre, a potência desenvolvida, por efeito joule, nesta resistência, pode ser calculada pelas

expressões:

2

2

ou

AB

AB

P iV P Ri

VP

R

10

Devemos observar que a equação ABP iV se aplica a transferências de energia

elétrica de todos os tipos, mas, as duas equações 2.P R i e 2

ABVP

R se aplicam apenas a

transferências de energia elétrica para energia térmica em um dispositivo com resistência

elétrica.

Devido à energia térmica a temperatura do resistor aumenta, a menos que haja um fluxo

de calor para fora do mesmo. Cada resistor tem uma potência máxima, que pode ser dissipada

sem superaquecer o dispositivo. Quando esta potência é ultrapassada, a resistência pode variar

de forma imprevisível, em casos extremos, o resistor pode-se fundir.

Observação:

Devemos lembrar que a unidade de potência no SI é watt (W)

Energia elétrica consumida

Atualmente percebe-se grande preocupação em relação à economia de energia, portanto,

cresce a procura por aparelhos que consumam menos energia. A informação dos fabricantes

sobre o consumo de cada aparelho, geralmente se da por meio de sua potência, mesmo porque

a energia consumida depende do tempo de funcionamento. Para um mesmo tempo de

funcionamento, quanto maior a potência de um aparelho maior será o seu consumo de

energia.

A energia consumida por um aparelho de potência P, num intervalo de tempo t, é

dada por:

E P t

UNIDADES DE ENERGIA

No S.I a potência deve estar em watt (W), o tempo em segundo e a energia em joules

(J).

Quando a potência está em kW e o tempo em horas, a unidade de energia será kWh. A

relação entre esta unidade prática de energia e o joule é:

61 3,6 10kWh J

11

E X E R C Í C I O S

7. Uma pessoa verifica que o chuveiro elétrico de sua residência não está aquecendo

suficientemente a água. Sabendo-se que a voltagem VAB permanece constante, responda:

a) Para aumentar a potência do chuveiro, a corrente que passa através dele deve ser

aumentada ou diminuída?

b) Para que haja maior aquecimento da água, a pessoa deverá aumentar ou diminuir a

resistência do chuveiro?

c) Então, quando a chave de um chuveiro é deslocada da indicação quente para morna,

estamos aumentando ou diminuindo sua resistência? R: a) aumentada; b) diminuir; c)

aumentando

8. Um fio condutor tem um diâmetro de 1,0 mm, um comprimento de 2,0 m e uma resistência de

50 m. Qual é a resistividade do material? R: 1,96x10-8

.m

9. A área da seção transversal do trilho de aço de um bonde elétrico é de 56 cm2. Qual é o valor

da resistência de 10 km deste trilho? A resistividade do aço é 3×10 -7 Ω.m.

10. Uma pessoa pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 mA passar perto do

coração. Um eletricista trabalhando com as mãos suadas, o que reduz consideravelmente a

resistência da pele, segura dois fios desencapados, um em cada mão. Se a resistência do corpo

do eletricista é de 2000 Ω, qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de

produzir um choque mortal? R=100 V

11. Um fio de 4 m de comprimento e 6 mm de diâmetro tem uma resistência de 15 mΩ. Uma

diferença de potencia de 23 V é aplicada entre suas extremidades. (a) Qual é a corrente no

fio? (b) Qual é o módulo da densidade de corrente? (c) Calcule a resistividade do material do

fio. R : a)1533,33 A; b) 5,43x10 7 A/m

2; c) 1,06x10

– 7 Ω . m

12. Uma barra cilíndrica de cobre, de comprimento L e seção transversal de área A, é reformada

para duas vezes seu comprimento inicial sem que haja alteração no volume e na resistividade.

(a) Determine a nova área de seção transversal da barra. (b) Se a resistência entre suas

12

extremidades era R antes da alteração, qual é o seu valor depois da alteração? R: a) A’ = A/2;

b) R’ = 4R

13. Um fio com uma resistência de 6 Ω é esticado de tal forma que seu comprimento se torne três

vezes maior que o original. Determine o valor da resistência do fio esticado, supondo que a

densidade e a resistividade do material permaneçam as mesmas. R: 54 Ω

14. Um determinado fio tem uma resistência R. Qual é a resistência de um segundo fio, feito do

mesmo material, mas que tenha metade do comprimento e metade do diâmetro? R: R’ = 2R

15. Dois condutores são feitos de um mesmo material e têm o mesmo comprimento. O condutor

A é um fio maciço de 1 mm de diâmetro. O condutor B é um tubo oco com um diâmetro

externo de 2 mm e um diâmetro interno de 1 mm. Qual é a razão entre as resistências dos dois

fios, RA / RB, medida entre suas extremidades? R: 3

16. Um fio de Nicromo (uma liga de níquel, cromo e ferro comumente usada em elementos de

aquecimento) tem um comprimento de 1,0 m e área da seção transversal de 1,0 mm2. Ele

transporta uma corrente de 4,0 A quando uma diferença de potencial de 2,0 V é aplicada entre

os seus extremos. Calcular a condutividade do Nicromo. R: 2x106 (.m)

-1

17. Um estudante manteve um rádio de 9 V e 7 W ligado no volume máximo das 9 horas às 14

horas. Qual foi a quantidade de carga que passou através dele? R: 1,4x10 4 C

18. Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando percorrido por uma corrente elétrica de 3

A. Qual é o valor da resistência do resistor? R: 11,11 Ω

19. A expressão P = i2 R parece sugerir que a potência térmica num resistor é reduzida quando a

resistência é reduzida. Mas a equação P = V2 / R parece sugerir exatamente o contrário. Como

resolver este aparente paradoxo?

20. Qual dos dois filamentos tem uma resistência maior? O de uma lâmpada de 500 W ou o de

outra de 100 W? Ambas foram projetadas para operar sob 120 V. R: o de 100W

13

21. Cinco fios de mesmo comprimento e mesmo diâmetro são ligados um de cada vez, entre dois

pontos mantidos a uma diferença de potencial constante. A taxa de produção de energia

térmica (potência) será maior no fio feito com material de maior ou menor resistividade? R:

menor

22. De que modo podemos aplicar a relação V = R i a resistores que não obedecem à lei de Ohm?

23. Um estudante fez a seguinte anotação em seu caderno: “A relação R = V / i nos diz que a

resistência de um condutor é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada a

ele”. Esta proposição está correta? Justifique sua resposta.

24. Um determinado resistor é ligado entre os terminais de uma bateria de 3,00 V. A potência

dissipada no resistor é 0,540 W. O mesmo resistor é, então, ligado entre os terminais de uma

bateria de 1,50 V. Que potência é dissipada neste caso? R: 0,135 W

25. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente de 500 W. (a)

Qual é o valor da resistência do elemento de aquecimento? (b) Qual é a corrente no elemento

de aquecimento? R: a) 28,8 Ω; b) 4,2 A

26. Um aquecedor de 500 W foi projetado para funcionar com uma diferença de potencial de 115

V. Qual é a queda percentual da potência dissipada se a diferença de potencial aplicada

diminui para 110 V? R : 8,6%

27. Um aquecedor de ambiente de 1250 W foi projetado para funcionar com 115 V. (a) Qual é o

valor da corrente elétrica no aquecedor? (b) Qual é a resistência do elemento de aquecimento?

(c) Qual é a energia térmica, em kWh, gerada pelo aparelho em 1 hora? R : a) 10,87 A; b) 10,

58 Ω; c) 1,25 kWh

28. Uma diferença de potencial V está aplicada a um fio de seção transversal A, comprimento L e

resistividade . Deseja-se mudar a diferença de potencial aplicada e alongar o fio de modo a

aumentar a potência dissipada por um fator exatamente igual a 30 e a corrente por um fator

exatamente igual a 4. Quais devem ser os novos valores de L e de A? R: L’ = 1,37L e A

’ =

0,73A

29. Um elemento calefator é feito mantendo-se um fio de Nicromo, com seção transversal de

2,60 x 10-6

m2 e resistividade de 5,00 x 10

-7.m, sob uma diferença de potencial de 75,0 V.

14

(a) Sabendo-se que o elemento dissipa 5.000 W, qual é o seu comprimento? (b) Para

obtermos a mesma potência usando uma diferença de potencial de 100 V, qual deveria ser o

comprimento do fio? R: a) 5,85 m ; b) 10,4 m

30. Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma tomada padrão de 120 V. (a) Quanto custa para

deixar a lâmpada acesa durante um mês (30 dias)? Suponha que a energia elétrica custe R$

0,48 o kW.h. (b) qual é a resistência da lâmpada? (c) Qual é a corrente na lâmpada? R: R$

34,56; b) 144 ; c) 0.83 A

31. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência

é de 14 quando quente. (a) Qual a taxa (potência) com que a energia elétrica é transformada

em calor? (b) A R$ 0,50 o kWh, quando custa operar este dispositivo por 5 horas? R: 1028,57

W; b) R$ 2,58

32. Em uma residência 8 lâmpadas de 100W ficam ligadas durante 9 horas por dia , e um

chuveiro de 3000 W fica ligado durante 45 minutos por dia . Sabendo-se que 1 kWh custa R$

0 , 48 , determine o gasto mensal ( 30 dias ) com as lâmpadas e o chuveiro . Considere que as

lâmpadas e o chuveiro sejam ligados corretamente. R: R$ 136,08

33. Determine o custo mensal ( 30 dias ) de um banho diário de 15 minutos em um chuveiro de

resistência R = 11 , ligado em uma voltagem de 220 V . Considere que um kWh custa R$

0,48. R: R$ 15,84

CIRCUITOS ELÉTRICOS

Circuitos elétricos, nos dias de hoje, são elementos básicos de qualquer aparelho elétrico e

eletrônico, como rádios, TV, computadores, automóveis, aparelhos científicos, etc. Quando

desenhamos um diagrama para um circuito, representamos as baterias, capacitores e resistores

por símbolos, como mostra a tabela. Fios cuja resistência é desprezível comparado com as

outras resistências do circuito são desenhados como linhas retas.

15

A B

RS i

A R2 R3 B C D i i R1

VAC VCD VDB

Associação de resistores

Em determinados circuitos podemos ter associações de alguns componentes. Vamos

estudar neste momento a associação de resistores.

Associação de resistores em série

Muitas vezes, nos circuitos elétricos, aparecem resistores ligados em série (um em

seguida ao outro), como está representado no segmento de circuito da figura abaixo.

Considere que exista uma diferença de potencial entre A e B.

Em termos de resistência, esta associação pode ser substituída por um único resistor

equivalente Rs

As características dessa associação são:

a). A intensidade da corrente i é a mesma em todos os resistores, pois estão ligados um

após o outro no mesmo fio. 1 2 3i i i i

16

A B

R1

R2

R3

i1

i2

i3

i i

A B

RP i i

b). A voltagem na associação é igual à soma das voltagens em cada resistor. Esta

propriedade é consequência da conservação da energia.

AB AC CD DBV V V V

c). A resistência equivalente da associação é igual à soma das resistências dos resistores

da associação. RS = R1 + R2 + R3

Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

. , . , . , .

. . . .

AB s AC CD DB

s

S

V R i V R i V R i V R i

R i R i R i R i

R R R R

d). Na resistência de maior valor, será observada a maior ddp.

e). Para o caso de N resistores associados em série, a resistência equivalente é igual à

soma direta das N resistência em separado, isto é;

1

N

j

j

R R

Note que quando mais resistência é introduzida no circuito em série, menor será a

corrente no circuito, supondo que a ddp (VAB) aplicada, se mantenha constante.

Associação de resistores em paralelo

Os resistores podem estar associados em paralelo (um dos terminais de todos os resistores

é ligado a um ponto, o outro terminal de todos os resistores é ligado a um segundo ponto),

como está representado no segmento de circuito da figura abaixo. Considere que exista uma

diferença de potencial entre os pontos A e B.

Resistor equivalente

As características dessa associação são:

17

a). A d.d.p. total aplicada à associação é igual à d.d.p. aplicada em cada resistor.

1 2 3 ABV V V V

b). A intensidade de corrente elétrica total é igual à soma das intensidades de

corrente elétrica nos resistores associados. Esta propriedade é consequência da

conservação das cargas.

1 2 3i i i i

c). O inverso da resistência equivalente é igual à soma dos inversos das

resistências dos resistores associados. 1 2 3

1 1 1 1

PR R R R

Demonstração da expressão usada no cálculo da resistência equivalente:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, , ,

1 1 1 1

AB AB AB AB

p

AB AB AB AB

P

P

V V V Vi i i i

R R R R

V V V V

R R R R

R R R R

d). A resistência equivalente é menor do que a menor das resistências da

associação.

e). A resistência de menor valor será percorrida pela corrente de maior

intensidade.

f). Podemos generalizar para o caso de N resistores, a expressão usada no cálculo

da resistência equivalente de 3 resistores em paralelo.

1 2 3

1 1 1 1

R R R R ou

1

1 1N

j jR R

Curto - circuito

Nós dizemos que o trecho entre dois pontos de um circuito está em curto - circuito,

quando estes pontos estão ligados por um fio ideal (condutor de resistência desprezível).

OBSERVAÇÃO:

Sempre que dois pontos estiverem em curto - circuito, terão o mesmo potencial

elétrico e poderão ser considerados como pontos coincidentes em um novo esquema

do mesmo circuito.

18

A

C

D

E

F

B

301812 10

20

Exemplo:

Na associação da figura abaixo, vamos calcular a resistência equivalente entre os

terminais A e B.

O trecho ACE está em curto circuito, portanto, os pontos A, C e E podem ser considerados

coincidentes. De maneira equivalente, os pontos D, F e B podem ser coincidentes. Com estas

considerações um novo esquema do circuito, mais simples que o anterior, pode ser

encontrado.

E X E R C Í C I O S

34. No circuito da figura abaixo determine a resistência equivalente entre os pontos (a) A e B, (b)

A e C e (c) B e C.

R: a) 6,67 ; b) 6,67 ; c) zero

35. Na figura abaixo, determine a resistência equivalente entre os pontos D e E. R: 4,5

A B

10

12

30

20

18

10A B

19

36. Uma linha de força de 120 V é protegida por um fusível de 15A. Qual o número máximo de

lâmpadas de 500 W que podem operar, simultaneamente, em paralelo, nessa linha sem

"queimar" o fusível? R: 3 lâmpadas

37. Deseja-se produzir uma resistência total de 3 Ω ligando-se uma resistência desconhecida a

uma resistência de 12 Ω. Qual deve ser o valor da resistência desconhecida e como ela deve

ser ligada? R: 4 Ω, em paralelo.

38. Duas lâmpadas, uma de resistência R1 e outra de resistência R2, R1 > R2, estão ligadas a uma

bateria (a) em paralelo e (b) em série. Que lâmpada brilha mais (dissipa mais energia) em

cada caso? R: a) a lâmpada de resistência R2; b) a lâmpada de resistência R1

39. Os condutores A e B, tendo comprimentos iguais de 40,0 m e diâmetros iguais de 2,60 mm,

estão ligados em série. Uma diferença de potencial de 60,0 V é aplicada entre as

extremidades do fio composto. As resistências dos fios valem 0,127 , 0,729 ,

respectivamente. Determine (a) a densidade de corrente em cada fio e (b) a diferença de

potencial através de cada fio. R: a) 1,32x107

A/m2 em cada um ; b) VA = 8,9 V e VB = 51,09

V

Gerador de Força Eletromotriz (fem)

Para manter uma corrente elétrica num condutor devemos ter uma fonte de energia

elétrica. Um dispositivo que fornece esta energia elétrica é um gerador de fem, estes

dispositivos realizam trabalho sobre portadores de cargas e assim mantêm uma diferença de

potencial entre os seus terminais. As baterias usadas em carros, relógios e outras máquinas

são exemplos de geradores de fem, no entanto, o dispositivo de fem que tem maior influência

em nosso cotidiano é o gerador elétrico, que, por meio de fios que vêm de uma usina

geradora, mantém uma diferença de potencial em nossas residências.

Um gerador de fem transfere energia às cargas que passam através dele, transformando

um tipo qualquer de energia em energia elétrica. Observe na figura abaixo o símbolo e o

sentido da corrente elétrica no gerador.

i

r A B

20

A força eletromotriz é característica do próprio gerador e r é a resistência interna do

gerador. Para um gerador em perfeita condição de uso, a ddp medida em seus terminais,

quando ele não é percorrido por corrente elétrica, tem o mesmo valor de sua força

eletromotriz.

Quando o gerador é percorrido por corrente elétrica, consome uma potência total não-

elétrica (Pt = i ), dissipa internamente, por efeito joule, uma parte (Pd = i2 r) e o restante é

lançado ao circuito externo (Pl =i VAB).

Assim temos que: 2. . .t d l AB ABP P P i iV i r V r i

Esta equação fornece a voltagem nos terminais de um gerador. Alguns autores a

chama de equação do gerador. Observe que para i = 0 ou r = 0 (gerador ideal) temos VAB =

.

Receptor (também chamado de gerador de fcem.)

Um motor elétrico, ao contrário de um gerador de fem, retira energia das cargas

elétricas e, por este motivo é chamado de receptor ou gerador de força contra-eletromotriz.

Outro exemplo de receptor é uma bateria sendo “carregada”. Neste caso, a energia elétrica das

cargas que passam através da bateria é transformada em energia química, que fica armazenada

na própria bateria.

Os receptores recebem energia das cargas que passam através dele, transformando

energia elétrica em outras formas de energia, que não sejam exclusivamente térmicas (o

dispositivo que transforma energia elétrica somente em térmica é chamado de resistor).

Observe na figura abaixo, o símbolo e o sentido da corrente elétrica no receptor. Na

representação de um gerador ou de um receptor usa-se o mesmo símbolo, a diferença está no

sentido da corrente, portanto, é importante distinguir este sentido.

A força contra-eletromotriz é característica do próprio receptor e r é a resistência

interna do receptor. Quando um receptor é percorrido por corrente elétrica, recebe uma

potência elétrica (P = i VAB), de onde parte é utilizada ( . )uP i para realizar trabalho e o

restante é dissipada internamente (Pd = i2 r) por efeito joule.

i

A B r

21

Assim, temos que: P = Pu + Pd

2

AB

AB

iV i i r

V ri

Esta equação fornece a voltagem nos terminais de um receptor. Alguns autores a

chama de equação do receptor.

Devemos observar que as expressões força eletromotriz e força contra-eletromotriz

podem não ser bem adequadas, pois, estas grandezas não representam forças e sim o trabalho

por unidade de carga (voltagem).

Cálculo da corrente em circuitos de uma única malha - circuito série

Quando percorremos uma malha de um circuito o potencial elétrico pode sofrer

aumento ou queda ao longo do percurso. Inicialmente vamos estudar apenas os casos de

aumento ou queda de potencial devido à passagem por geradores, receptores e resistores.

Nestes casos podemos usar duas regras, a da fem ou fcem e a resistência.

Regra da fem ou fcem: Ao passarmos por um gerador (fem) ou receptor (fcem), de

seu polo negativo para o polo positivo, o potencial aumentará de um valor . Se a passagem

ocorrer em sentido contrário, o potencial diminuirá da mesma quantidade .

Regra da resistência: Ao passarmos por uma resistência R (inclusive pela resistência

interna de um gerador ou de um receptor), no mesmo sentido da corrente i, o potencial

diminuirá de um valor Ri. Se a passagem ocorrer em sentido contrário, o potencial aumentará

da mesma quantidade Ri.

As duas regras citadas acima podem ser resumidas graficamente como:

Para calcularmos a corrente em um circuito de uma única malha, podemos aplicar a

regra das malhas de Kirchhoff (também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff em

homenagem a Gustav Robert Kirchhoff – Físico Alemão).

R i

- Ri + Ri

Regra da Resistência

- +

Regra da fem

ou fcem

22

Lei das Malhas

Percorrendo-se uma malha fechada num certo sentido, a soma algébrica das ddps é

nula.

Quando nos deslocamos sobre uma malha fechada do circuito, o potencial pode

aumentar ou diminuir ao passarmos por um resistor, gerador ou outros componentes da

malha, mas ao completarmos a malha e chegar ao ponto de partida, a variação líquida do

potencial tem que ser nula. Esta regra é o resultado direto da conservação da energia.

Considere o circuito abaixo, composto por um gerador de fem 1 e resistência interna

r1, um receptor de fcem 2 e resistência interna r2 e dois resistores R1 e R2.

Aplicando a lei das malhas, no sentido anti-horário, temos que:

1 2 2 2 1 1

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

0

( )

( )

R i r i R i ri

i R R r r

iR R r r

Observando que o numerador desta expressão representa a soma algébrica das fem e

fcem que aparecem no circuito (considerando negativa a fcem ) e, o denominador, a soma de

todas as resistências (internas e externas) deste circuito, podemos generalizar esta expressão.

Equação do circuito série

Para calcular a corrente elétrica de um circuito composto por geradores, receptores e

resistores, estando todos os componentes ligados em série, temos a seguinte equação:

'

iR

r2

r1

R2

ε1

ε2

i

i

R1

A

B

23

Onde:

= é a soma das forças eletromotrizes

= é a soma das forças contra-eletromotrizes

R = é a soma das resistências (internas e externas)

Observação:

Devemos observar que na expressão acima deve ser maior que , pois, um sinal negativo

para a corrente elétrica indica que o seu sentido não está correto.

Cálculo da diferença de potencial entre dois pontos de um circuito

O valor da diferença de potencial entre dois pontos quaisquer A e B de um circuito,

será obtido somando-se algebricamente ao potencial de A (VA) as variações de potencial que

ocorrem no percurso de A para B, tomando-se os aumentos com sinal positivo e as

diminuições com sinal negativo e igualando-se esta soma ao potencial de B (VB). Para

determinar o aumento ou queda de potencial ao longo do circuito vamos usar as regras da fem

ou fcem e a da resistência, estudadas anteriormente.

Como exemplo, podemos determinar a ddp VAB no circuito anterior. Percorrendo-se o

circuito de A até B, no sentido horário (se o percurso for no sentido anti-horário, o resultado

final será o mesmo) temos:

1 1 2

1 1 2

A B

AB A B

V ri R i V

V V V ri R i

E X E R C Í C I O S

40. No circuito da figura abaixo, 1 = 12 V e 2 =8 V. (a) Qual é o sentido da corrente no resistor

R? (b) Que bateria está realizando trabalho positivo? (c) Que ponto A ou B, está no potencial

mais alto? R: a) anti-horário ; b) bateria 1 ; c) B

24

41. Suponha que as baterias na figura abaixo tenham resistências internas desprezíveis.

Determine (a) a corrente no circuito, (b) a potência dissipada em cada resistor e (c) a potência

de cada bateria e se, a energia e a absorvida ou fornecida por ela? R: a) 0,5 A ; b) Pd1 = 1W ,

Pd2 = 2W ; c) P1 = 3W absorvida P2 = 6 W fornecida

42. Na figura, quando o potencial no ponto P é de 100 V, qual é o potencial no ponto Q? R: -10V

43. Uma bateria de automóvel com um fem de 12V e uma resistência interna de 0,040 está

sendo carregada com uma corrente de 50 A. (a) Qual é a diferença de potencial entre seus

terminais? (b) A que taxa energia está sendo dissipada como calor na bateria? (c) Quais são as

respostas dos itens (a) e (b) quando a bateria é usada para suprir 50 A para o motor de

arranque? R: a) 14 V; (b) 100 W; (c) 10V e 100W

44. No circuito da figura abaixo calcule a diferença de potencial através de R2, supondo = 12 V,

R1 = 3,0 , R2 = 4,0 , R3 = 5,0 . R: 4V

45. O indicador de gasolina de um automóvel é mostrado esquematicamente na figura abaixo. O

indicador do painel tem uma resistência de 10 . O medidor é simplesmente um flutuador

ligado a um resistor variável que tem uma resistência de 140 quando o tanque está vazio,

20 quando ele está cheio e varia linearmente com o volume de gasolina. Determine a

R1

R3

R2

25

corrente no circuito quando o tanque está (a) vazio; (b) metade cheio; (c) cheio. R: a) 0,08A ;

b) 0,13A ; c)0,4A

46. No circuito da figura abaixo, que valor deve ter R para que a corrente no circuito seja de 1,0

mA? Considere 1 = 2,0 V, 2 = 3,0 V e r1 = r2 = 3,0 . R: 994

47. Quatro resistores de 18,0 estão ligados em paralelo através de uma bateria ideal cuja fem é de

25,0 V. Qual a corrente que percorre a bateria? R: 5,55 A

48. A corrente num circuito de malha única com uma resistência total R é de 5 A. Quando uma nova

resistência de 2 Ω é introduzida em série no circuito. A corrente cai para 4 A. Qual é o valor de R?

R: 8 Ω

Circuito com várias malhas

Para resolver problemas envolvendo circuitos com mais de uma malha, podemos aplicar a

regra das malhas (já estudada anteriormente) e a regra dos nós de Kirchhoff (também

chamada de lei dos nós).

Lei dos Nós

Em um nó, a soma das intensidades de corrente que chegam é igual à soma das

intensidades de corrente que saem. Esta regra é consequência da conservação das cargas.

Estas duas regras são suficientes para a solução de uma grande variedade de problemas.

Normalmente, nesses problemas, algumas das fem, correntes e resistências são conhecidas e

outras são desconhecidas. O número de equações obtidas pelas regras de Kirchhoff sempre

tem que ser igual ao número de incógnitas, para permitir a solução simultânea das equações.

26

Na aplicação dessas regras, deve-se ter muita atenção para não se enganar nos sinais

algébricos.

Na figura abaixo está representado um circuito com três malhas (ABEFA, BCDEB e

ABCDEFA). Neste circuito temos dois nós (junções onde três ou mais fios condutores são

ligados), B e E, e três ramos conectando estes nós. Os ramos são: o ramo esquerdo (BAFE), o

ramo direito (BCDE) e o ramo central (BE).

Supondo que todos os valores de fem e resistências deste circuito são conhecidos. A nossa

tarefa é descobrir a corrente elétrica em cada um dos ramos. Devemos atribuir arbitrariamente

os sentidos das correntes. A corrente i1 possui o mesmo valor em todos os pontos do ramo

BAFE, i2 possui o mesmo valor em qualquer ponto do ramo BE e i3 é a corrente através do

ramo BCDE. Caso o sentido suposto para algumas das correntes não seja o correto, o valor

encontrado para esta corrente será negativo indicando que o seu sentido é oposto ao suposto

anteriormente.

Aplicando a regra dos nós em B, temos que:

1 2 3i i i

Podemos verificar facilmente que aplicando esta mesma regra em E leva exatamente a

mesma equação.

Para encontramos as outras duas equações envolvendo essas três incógnitas (i1, i2, i3)

devemos aplicar duas vezes a regra das malhas. No circuito temos três malhas onde podemos

escolher: a malha da esquerda (ABEFA), a malha da direita (BCDEB) e a malha grande

(ABCDEFA). Não faz diferença quais são as duas malhas escolhidas.

Vamos aplicar a regra das malhas na malha da esquerda e na malha da direita.

Percorrendo-se a malha (ABEFA) no sentido horário partindo do ponto A, temos que:

1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 0ri r i R i R i

Percorrendo-se a malha (BCDEB) no sentido anti-horário partindo do ponto B, temos

que:

2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 0r i R i r i R i

Temos agora três equações envolvendo as três correntes desconhecidas, e elas podem

ser resolvidas por várias técnicas.

27

E X E R C Í C I O S

49. Na figura abaixo determine a corrente em cada resistor e a diferença de potencial entre a e b.

Considere 1 = 6,0 V, 2 = 5,0 V, 3 = 4,0 V,. R1 = 100 e R2 = 50 . R: i1 = 0,05 A ; i2 =

0,06 A ; Vab = 9V

50. Um circuito contém cinco resistores ligados a uma bateria cuja fem é de 12 V, conforme é

mostrado na figura abaixo. Qual é a diferença de potencial através do resistor de 5,0 ? R:

7,5 V

51. Calcule a corrente que atravessa cada uma das baterias ideais do circuito da figura abaixo.

Suponha que R1 = 1,0 , R2 = 2,0 , 1 = 2,0 V, 2 = 3 = 4,0 V. b) Calcule Va - Vb. R: i1 =

0,67A , i2 = 0,33A , i3 = 0,33A , Vab = 3,33V

i1

1r

2r

1

3

1R

3r

2R

3R

2

i2 i3

A B C

D E F

28

52. Na figura abaixo, qual é a resistência equivalente do circuito elétrico mostrado? (b) Qual é a

corrente em cada resistor? R1 = 100 , R2 = R3 = 50 , R4 = 75 e = 6,0 V; suponha a

bateria ideal.

R: a) 118,75 ; b) i1 = 0,05A , i2 = 0,019A , i3 = 0,019A, i4 = 0,013A

Instrumentos elétricos de medidas

Os dispositivos que medem a corrente, a diferença de potencial e a resistência são,

respectivamente, os amperímetros, os voltímetros e os ohmímetros.

Muitas vezes, todos estes instrumentos de medida estão incluídos num único aparelho,

num multímetro, que pode ser usado de uma forma ou de outra pela ação de uma simples

chave.

Medida da corrente elétrica

O instrumento usado para medir corrente é chamado de amperímetro.

Para medir a corrente em um fio, normalmente é necessário abrir o circuito ou cortar o

fio e inserir o amperímetro de modo que a corrente a ser medida atravesse o medidor.

É essencial que a resistência do amperímetro seja muito pequena quando comparada

com as outras resistências no circuito. Caso contrário, a própria presença do medidor

modificaria significativamente a corrente a ser medida. A resistência de um amperímetro ideal

é considerada nula, portanto ele não altera os valores a serem medidos.

Medida de voltagem

A medida da diferença de potencial entre dois pontos é feita por aparelhos

denominados voltímetros.

Para se determinar a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer no

circuito, os terminais do voltímetro são conectados em paralelo entre esses dois pontos, sem

abrir o circuito nem cortar o fio.

É essencial que a resistência de um voltímetro seja muito grande quando

comparada com a resistência de qualquer elemento do circuito entre os dois pontos que o

voltímetro esteja ligado. Caso contrário, o próprio medidor altera significativamente a

29

diferença de potencial que deve ser medida. A resistência de um voltímetro ideal é

considerada infinitamente grande, portanto ele não altera os valores a serem medidos.

Medida de resistência

A medida direta do valor de uma resistência elétrica pode ser feita por meio de

aparelhos denominados ohmímetros. Os terminais do ohmímetro devem ser ligados

diretamente nas extremidades do resistor.

Circuito R.C em Série

Resistores e capacitores são frequentemente encontrados juntos em circuitos elétricos.

Um exemplo muito simples desta combinação é mostrado no circuito RC abaixo. Nos

circuitos considerados até agora, supôs-se que as correntes eram constantes. Na figura abaixo

está representando um circuito RC no qual a corrente não é constante quando o capacitor está

carregando ou descarregando.

Quando a chave S é fechada sobre a, o capacitor é carregado através do resistor.

Quando a chave é depois fechada sobre b, o capacitor descarrega através do resistor.

Carregando um capacitor

Quando ligamos a chave s em a, se o capacitor estiver inicialmente descarregado, a diferença

de potencial inicial no capacitor é zero e a voltagem da bateria aparecerá toda sobre o resistor,

gerando uma corrente inicial i0 = ε/R. À medida que o capacitor se carrega, a sua voltagem

aumenta e a diferença de potencial sobre o resistor diminui, correspondendo a uma

diminuição na corrente. Após um longo tempo, o capacitor torna-se totalmente carregado e a

voltagem da bateria aparece toda no capacitor, então, não há diferença de potencial no resistor

e a corrente torna-se nula, ou seja, este processo ocorrerá até que diferença de potencial entre

as placas do capacitor fique igual a da bateria. Isto significa que a corrente elétrica deve

30

diminuir com o tempo. Na figura abaixo temos a representação do circuito (a) e o gráfico da

variação da corrente elétrica (b) durante o processo de carregar o capacitor.

(a) Circuito RC (b) Evolução temporal da corrente no circuito RC.

A carga q e a corrente i são funções exponenciais do tempo, dadas por (ver discussão

mais aprofundada destas expressões no livro texto):

/ /

/ /

0

(1 ) (1 )

( )

t Rc t RC

F

t RC t RC

q C e q e

i e i eR

O produto RC possuí dimensão de tempo e é chamado de constante de tempo

capacitiva .

Devemos observar que:

0

/ 0

/ 0 0

finalp t q C q e i

p t q e i iR

A equação mostra que a carga no capacitor, inicialmente, cresce rapidamente com o tempo,

mas tem um valor limite que é igual a Qmax= Cε. Na figura abaixo temos a representação

gráfica da variação da carga do capacitor no processo de carregamento.

Evolução temporal da carga no capacitor no processo de carregamento

31

Nos gráficos da corrente e da carga em função do tempo podemos perceber que no

instante t = RC a corrente decresce de um fator igual a 1/e = 0,37 com relação ao seu valor

inicial io e a carga cresce de um fator 0,63 do seu valor final.

Descarregando um Capacitor

Suponha agora que o capacitor do circuito esteja totalmente carregado a um potencial V0

= ε. Em um novo instante t = 0, a chave s é virada de a para b de modo que o capacitor possa

descarregar através da resistência R. A carga q e a corrente i, no capacitor, diminuem

exponencialmente com o tempo da seguinte forma (ver discussão mais aprofunda destas

expressões no livro texto):

/

0

/

0

t RC

t RC

q q e

i i e

Devemos observar que:

0 0

/ 0 0

/ 0

p t q e i

p t q q e i i

No gráfico abaixo temos a representação da variação da diferença de potencial nos terminais

de um capacitor no processo de carregar e descarregar o capacitor.

32

Voltímetro Amperímetro

E X E R C Í C I O S

53. Na figura abaixo, suponha que = 3,0V, r = 100, R1 = 250 e R2 = 300. Sabendo-se que

a resistência do voltímetro é RV = 5,0K, determine o erro percentual cometido na leitura da

diferença de potencial através de R1? Ignore a presença do amperímetro. R: 2,6%

54. Na figura do exercício anterior (53), suponha que = 5,0V, r = 2,0 , R1 = 5,0 e R2 = 4,0

. Sabendo-se que a resistência do amperímetro é RA = 0,10, determine o erro percentual

cometido na leitura da corrente? Suponha que o voltímetro não esteja presente. R: 0,9%

55. Quantas constantes de tempo devem se passar para que um capacitor inicialmente

descarregado em um circuito em série RC seja carregado até 99% da sua carga de equilíbrio?

R: 4,6

56. Um capacitor de capacitância C está descarregando através de um resistor de resistência R.

Em termos da constante de tempo , quando a carga no capacitor será a metade do seu valor

inicial? R: 0,69