Eletromagnetismo e osciladores harmônicos

𝛻2𝐄 𝐫, 𝑡 = 𝜇0𝜖0

𝜕2𝐄(𝐫, 𝑡)

𝜕𝑡2

𝛻 × 𝐄 𝐫, 𝑡 = −𝜕𝐁 𝐫, 𝑡

𝜕𝑡

𝛻 ∙ 𝐁 𝐫, 𝑡 = 0

𝛻 ∙ 𝐄 𝐫, 𝑡 = 0

𝛻 × 𝐁 𝐫, 𝑡 = 𝜇0𝜖0

𝜕𝐄 𝐫, 𝑡

𝜕𝑡

Eqs. de Maxwell no vácuo 𝜌 = 𝐉 = 0 e a Eq. de onda

(igual para 𝐁 𝐫, 𝑡 )

𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦

2 + 𝜕𝑧2

𝑐−2

𝑦 𝑥, 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝒜𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑𝑘) sin 𝑘𝑛𝑥

O truque da solução geral (no caso da corda com extremos fixos)

𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

1

𝑣2

𝜕2𝑦

𝜕𝑡2

𝑦 𝑥, 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝒜𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑𝑛) sin 𝑘𝑛𝑥

𝜔𝑛 = 𝑣𝑘𝑛

𝑘𝑛 = 𝑛𝜋

𝐿

Onda Harm. 𝐄𝐬𝐭𝐚𝐜.

A energia da corda

𝐸 =

0

𝐿1

2(𝜇𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2

+1

2(𝜏𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

𝐸 =

𝑛=1

∞𝜇𝐿

4𝜔𝑛

2𝒜𝑛2

+

𝑦 𝑥, 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝒜𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑𝑛) sin 𝑘𝑛𝑥sol. geral:

𝐄 𝐫, 𝑡 =

𝐤

𝑠=1,2

𝐞𝐤𝑠 𝒜𝐤𝑠 sin 𝐤 ∙ 𝐫 − 𝜔𝐤𝑡 + 𝜑𝐤𝑠

𝜔𝐤 = 𝑐|𝐤|

𝐁 𝐫, 𝑡 =1

𝑐

𝐤

𝑠=1,2

( 𝐤 × 𝐞𝐤𝑠) 𝒜𝐤𝑠 sin 𝐤 ∙ 𝐫 − 𝜔𝐤𝑡 + 𝜑𝐤𝑠

Problema da lista

Os campos 𝐄 e 𝐁 mais gerais possíveis no vácuo (há

outros modos de escrever...)

𝐤 = (𝑛𝑥, 𝑛𝑦 , 𝑛𝑧)2𝜋

𝐿

(𝑛𝑖 = 0, ±1, ±2, … )

Condição de contorno periódica 𝐤 𝛜𝐤1

𝛜𝐤2

Onda Harm. 𝐏𝐫𝐨𝐩𝐚𝐠.

htt

ps:

//w

ww

.yo

utu

be.

com

/wat

ch?v

=1SQ

V9

kBN

_b4

Onda eletromagnética propagante: harmônica, plana e linearmente polarizada

A energia eletromagnética (no volume 𝑉)

𝐸𝑒.𝑚. =

𝐤

𝑠=1,2

𝜖0𝑉

2𝒜𝐤𝑠

2

𝐸 = 𝜖0

2𝐄2(𝐫, 𝑡) +

1

2𝜇0𝐁2(𝐫, 𝑡)

𝑉

Se quiser, pode redefinir as amplitudes: 𝒜𝐤𝑠 → 𝜔𝐤𝒞𝐤𝑠 …

+

𝐄 𝐫, 𝑡 =

𝐤,𝑠

… 𝐁 𝐫, 𝑡 =

𝐤,𝑠

…sol. geral:

𝐸𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎 =

𝑛=1

∞𝜇𝐿

4𝜔𝑛

2𝒜𝑛2

Campo Eletromagnético em equilíbrio térmico e a

Catástrofe do Ultra-Violeta

𝐫 ∙ 𝐤

𝐫 ∙ 𝐤

𝐸 =

𝐤

𝑠=1,2

𝜖0𝑉

2𝒜𝐤𝑠

2

𝐸𝐤𝑠

2𝜋/|𝐤|

𝒜𝐤𝑠

𝒜𝐤𝑠

0 ≤ 𝒜𝐤𝑠 < ∞

𝐸𝐤𝑠 =𝜖0𝑉

2𝒜𝐤𝑠

2

0 ≤ 𝒜𝐤𝑠 < ∞

𝐸𝐤𝑠 = 𝑘𝐵𝑇

𝐸 =

𝐤,𝑠

𝑘𝐵𝑇 = ∞

A energia média de todos os modos é igual...

Energia média de cada modo, 𝐸𝐤𝑠 , (Boltzmann+Maxwell)

Maxwell:

𝑝(𝒜𝐤𝑠, 𝜑𝐤𝑠) =exp(−𝜖0𝑉𝒜𝐤𝑠

2 /2𝑘𝐵𝑇)

𝑍,Boltzmann:

𝐸𝐤𝑠 = {0, ℎ𝑓𝐤𝑠, 2ℎ𝑓𝐤𝑠, … }

Que constante ℎ = (#) J. s é essa?

𝐸𝐤𝑠 =𝜖0𝑉

2𝒜𝐤𝑠

2

0 ≤ 𝒜𝐤𝑠 < ∞

𝐸𝐤𝑠 = 𝑛𝐤𝑠 ℎ𝑓𝐤𝑠

𝑛𝐤𝑠 ∈ {0, 1, 2, … }

𝜔𝐤𝑠

2𝜋=

𝑐|𝐤|

2𝜋

De onde saiu isso?

𝑍 =

𝑛𝐤𝑠=0

∞

exp(−𝑛𝐤𝑠ℎ𝑓𝐤𝑠/𝑘𝐵𝑇)

𝐸𝐤𝑠 =

𝑛𝐤𝑠=0

∞exp(−𝑛𝐤𝑠ℎ𝑓𝐤𝑠/𝑘𝐵𝑇)

𝑍(𝑛𝐤𝑠ℎ𝑓𝐤𝑠) =

ℎ𝑓𝐤𝑠

exp ℎ𝑓𝐤𝑠𝑘𝐵𝑇

− 1

lista

Energia média de cada modo, 𝐸𝐤𝑠 , (Boltzmann+Planck)

=1

1 − exp(−ℎ𝑓𝐤𝑠/𝑘𝐵𝑇)

𝐸𝐤𝑠 = 𝑛𝐤𝑠 ℎ𝑓𝐤𝑠

𝑛𝐤𝑠 ∈ {0, 1, 2, … }

Planck:

𝑝(𝑛𝐤𝑠) =exp(−𝑛𝐤𝑠ℎ𝑓𝐤𝑠/𝑘𝐵𝑇)

𝑍,Boltzmann:

𝐸𝐤

𝑠[𝑘

𝐵𝑇

]

𝑓𝐤𝑠 [𝑘𝐵𝑇/ℎ]

𝐸𝐤𝑠 =ℎ𝑓𝐤𝑠

exp ℎ𝑓𝐤𝑠𝑘𝐵𝑇

− 1𝐸𝐤𝑠 = 𝑘𝐵𝑇versus

listaconcordam apenas aqui...

𝐸𝐤𝑠

A energia média total agora é finita?

𝐸 =

𝐤

𝑠=1,2

ℎ𝑓𝐤𝑠

exp ℎ𝑓𝐤𝑠𝑘𝐵𝑇

− 1

Para calcular isso, precisamos antes aprender uma mudança de variável muito usada na Física Estatística

Antes, 𝐸 = 𝐤,𝑠 𝑘𝐵𝑇 = ∞

SIM

Densidade de Modos Normais do Campo Eletromagnético

𝐿

𝐿𝐿

𝜋/𝐿

𝑘0

Quantos modos normais da corda há entre 𝜔 e 𝜔 + 𝑑𝜔?

𝜔 𝜔 + 𝑑𝜔

?

𝜔 = 𝑣𝑘 → 𝑑𝜔 = 𝑣 𝑑𝑘

𝑑𝜔/𝑣

𝑅𝑒𝑠𝑝:(𝑑𝜔/𝑣)

(𝜋/𝐿)

𝑘𝑛 = 𝑛𝜋

𝐿

(𝑛 = 1,2, … )

𝜌 𝜔 =𝐿

𝜋𝑣

Densidade de modos normais da corda

𝑦 𝑥, 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝒜𝑛 cos(𝜔𝑛𝑡 + 𝜑𝑛) sin 𝑘𝑛𝑥

𝑅𝑒𝑠𝑝:2[2𝜋 𝜔/𝑐 𝑑𝜔/𝑐 ]

(2𝜋/𝐿)2

𝜔 = 𝑐𝑘

𝑑𝜔 = 𝑐 𝑑𝑘

𝜌 𝜔 =𝐿2𝜔

𝜋𝑐2

Densidade de modos normais (2D)

𝐤 = 𝑛𝑥, 𝑛𝑦

2𝜋

𝐿, (𝑛𝑖 ∈ ℤ)

2𝜋/𝐿2𝜋/𝐿

𝑘𝑥

𝑘𝑦

𝑑𝜔/𝑐

Versão 2D do nosso problema 𝐄 𝐫, 𝑡 =

𝐤

𝑠=1,2

𝐞𝐤𝑠 𝒜𝐤𝑠 sin 𝐤 ∙ 𝐫 − 𝜔𝐤𝑡 + 𝜑𝐤𝑠

𝑠 = {1,2}

Densidade de modos eletromagnéticos no volume 𝑉 lista

𝜌 𝜔 =1

𝜔

𝜌 𝜔 =𝑉𝜔2

𝜋2𝑐3

𝐸 =

𝐤

𝑠=1,2

ℎ𝑓𝐤𝑠

exp ℎ𝑓𝐤𝑠𝑘𝐵𝑇

− 1

=

0

∞

[𝜌(𝜔)𝑑𝜔 ]ℏ𝜔

exp ℏ𝜔𝑘𝐵𝑇

− 1

ℏ ≡ℎ

2𝜋

ℎ𝑓𝐤𝑠 ≡ ℏ𝜔𝐤𝑠

𝐸 = 𝑉𝜋2

15

(𝑘𝐵𝑇)4

(ℏ𝑐)3

De volta ao que queríamos calcular...

lista

Radiação dentro de uma cavidade (1 m3) à temperatura 𝑇 (radiação de corpo negro)

𝐸𝑔 =8𝜋5(𝑘𝑇)4

15(ℎ𝑐)3𝑉

𝑘 = 1,38 × 10−23 J/K

ℎ = 6,62 × 10−34 J s

6,1 × 10−2 J (3000 K)

6,1 × 10−6 J (300 K)

6,1 × 10−14 J 3 K

𝑀𝑔 ~ 10−18 kg

𝑀𝑔 ~ 10−24 kg

𝑀𝑔 ~ 10−30 kg (𝑚𝑒 ~ 10−30 kg)

|𝐏𝑔| = 0

𝐸𝑔 = (𝑚𝐻2𝑂 ~ 10−26 kg)

Há como medir 𝐸 e checar

𝐸 = 𝑉𝜋2

15

(𝑘𝐵𝑇)4

(ℏ𝑐)3?

Não, mas há como medir a distribuição espectralde energia (i.e., o integrando em 𝐸 ; por unidade de volume do corpo)

𝑢 𝜔 𝑑𝜔 =1

𝑉

ℏ𝜔𝜌 𝜔 𝑑𝜔

exp ℏ𝜔𝑘𝐵𝑇

− 1

ℎ

𝜌 𝜔 =𝑉𝜔2

𝜋2𝑐3

=ℏ

𝜋2𝑐3

𝜔3 𝑑𝜔

exp ℏ𝜔𝑘𝐵𝑇

− 1

𝜔

𝑢𝜔

[4𝑘

𝐵𝑇

3/ℎ

2𝑐

3]

[𝑘𝐵𝑇/ℏ]

2,8

21

A distribuição espectral de energia (em 𝜔)

𝜔𝑚𝑎𝑥 = 2,821𝑘𝐵𝑇

ℏ

𝑢𝑚𝑎𝑥 ~ 𝑇3

𝑢 𝜔 =ℏ

𝜋2𝑐3

𝜔3

exp ℏ𝜔𝑘𝐵𝑇

− 1

A distribuição espectral de energia (em 𝜆)

𝜔 =2𝜋𝑐

𝜆

𝑑𝜔 = −2𝜋𝑐

𝜆2𝑑𝜆

𝑢 𝜔 𝑑𝜔 =ℏ

𝜋2𝑐3

𝜔3 𝑑𝜔

exp ℏ𝜔𝑘𝐵𝑇

− 1

𝑢 𝜆 𝑑𝜆 = 8𝜋ℎ𝑐𝜆−5 𝑑𝜆

exp ℎ𝑐𝜆𝑘𝐵𝑇

− 1

[𝑢 𝜔 ] =𝐸

𝐿3𝑇−1[ 𝑢 𝜆 ] =

𝐸

𝐿4

𝜆 [ℎ𝑐/𝑘𝐵𝑇]

𝑢(𝜆

)[8

π𝑘

𝐵𝑇

5/

ℎ𝑐

4]

0,2

01

𝑢 𝜆 = 8𝜋ℎ𝑐𝜆−5

exp ℎ𝑐𝜆𝑘𝐵𝑇

− 1

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 0,201ℎ𝑐

𝑘𝐵𝑇

𝑢𝑚𝑎𝑥 ~ 𝑇5

(?) próxima aula

matemática: Há algo estranho aqui?

𝜔𝑚𝑎𝑥 = 2,821𝑘𝐵𝑇

ℏ

𝜆𝑚𝑎𝑥 = 0,201ℎ𝑐

𝑘𝐵𝑇

𝜆𝑚𝑎𝑥

𝜔𝑚𝑎𝑥

2𝜋≠ 𝑐

Me explique isso na próxima aula.