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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
T a t i a n a B o n o m o d e S o u s a M a r i a A u x i l i a d o r a V i l e l a P a i v a
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
I n s t i t u t o F e d e r a l d e E d u c a ç ã o , C i ê n c i ae T e c n o l o g i a d o E s p í r i t o S a n t o
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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
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EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
UMA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE
PADRÕES E GENERALIZAÇÕES NAFORMAÇÃO DE PROFESSORES
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
T a t i a n a B o n o m o d e S o u s a M a r i a A u x i l i a d o r a V i l e l a P a i v a
T a t i a n a B o n o m o d e S o u s a M a r i a A u x i l i a d o r a V i l e l a P a i v a
UMA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE
PADRÕES E GENERALIZAÇÕES NAFORMAÇÃO DE PROFESSORES
UMA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE
PADRÕES E GENERALIZAÇÕES NAFORMAÇÃO DE PROFESSORES
UMA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE PADRÕES E
GENERALIZAÇÕES NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Instituto Federal do Espírito Santo
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS EMATEMÁTICA
Mestrado Profissional em Educação em Ciências eMatemática
T A T I A N A B O N O M O D E S O U S AM A R I A A U X I L I A D O R A V I L E L A P A I V A
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo2019
Grupo de Estudo e Pesquisas em Educação Matemática doEspírito Santo- GEPEM - ES
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Copyright @ 2018by Instituto Federal do Espírito SantoDepósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto nº. 1.825 de 20 de dezembro de 1907.O conteúdo dos textos é de inteira responsabilidade dos respectivos autores. Material didático público para livre reprodução.Material bibliográfico eletrônico e impresso.
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA ETECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO
VITÓRIA-ES2019
Ficha Catalográfica
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EDITORA DO IFES Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo
Pró-Reitoria de Extensão e Produção Av. Rio Branco, nº 50, Santa Lúcia Vitória – Espírito Santo - CEP 29056-255
Tel. (27) 3227-5564 E-mail: [email protected]
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICARua Barão de Mauá, 30 – Jucutuquara
Sala do Programa EducimatVitória – Espírito Santo – CEP 29040-780
COMISSÃO CIENTÍFICA Dr. Alex Jordane de Oliveira, D. Sc - Ifes
Alessandro Jaccques Ribeiro - UFABCRodolfo Chaves, D. -Ifes
COORDENAÇÃO EDITORIAL Maria Auxiliadora Vilela Paiva REVISÃO Tatiana Bonomo de SousaMaria Auxiliadora Vilela PaivaAlexandre Krüger Zocolotti CAPA E EDITORAÇÃO ELETRÔNICAComunicação Impressa EDITORAÇÃO ELETRÔNICACentro de Referência em Formação e em Educação a Distância (Cefor/Ifes) PRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO PROGRAMAPrograma de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática Centro de Referência emFormação e Educação à DistânciaInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo
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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOCentro de Referência em Formação e Educação à Distância- Cefor
JADIR JOSÉ PELAReitor ADRIANA PIONTTKOVSKY BARCELLOSPró-Reitora de Ensino ANDRÉ ROMERO DA SILVAPró-Reitor de Pesquisa e Pós-graduação RENATO TANNURE ROTTA DE ALMEIDAPró-Reitor de Extensão e Produção LEZI JOSÉ FERREIRAPró-Reitor de Administração e Orçamento LUCIANO DE OLIVEIRA TOLEDOPró-Reitora de Desenvolvimento Institucional ROSENI DA COSTA SILVA PRATTIDiretor de Administração VANESSA BATTISTIN NUNESDiretora Geral do Cefor ISAURA ALCINA MARTINS NOBRECoordenadora Geral de Ensino do Cefor MARIA ALICE VEIGADiretora de Pesquisa e Pós-graduação
INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTOCentro de Referência em Formação e Educação à Distância- Cefor
JADIR JOSÉ PELAReitor ADRIANA PIONTTKOVSKY BARCELLOSPró-Reitora de Ensino ANDRÉ ROMERO DA SILVAPró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação RENATO TANNURE ROTTA DE ALMEIDAPró-Reitor de Extensão e Produção LEZI JOSÉ FERREIRAPró-Reitor de Administração e Orçamento LUCIANO DE OLIVEIRA TOLEDOPró-Reitora de Desenvolvimento Institucional ROSENI DA COSTA SILVA PRATTIDiretor de Administração MARIELLA BERGER ANDRADEDiretora Geral do Cefor LARISSY ALVES COTONHOTOCoordenadora Geral de Ensino do Cefor MARIA ALICE VEIGADiretora de Pesquisa e Pós-Graduação
MINI CURRÍCULO DOS AUTORES
Possui Licenciatura em Matemática pela UniversidadeFederal do Espírito Santo (2004-2008). É especialista emeducação profissional técnica integrada a educação básica namodalidade de educação de jovens e adultos pelo InstitutoFederal do Espírito Santo-PROEJA (2008-2010) e emcoordenação pedagógica pela Universidade Federal doEspírito Santo (2013-2015). Atualmente é aluna do Programade Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática –Educimat do Instituto Federal do Espírito Santo – Ifes, participado Grupo de Pesquisa GEPEM-ES e é servidora efetiva daSecretaria de Educação do Estado do Espírito Santo(SEDU-2008). Tem experiência na área de EducaçãoMatemática, atuando no Ensino Fundamental II, Ensino Médioe na Educação de Jovens e Adultos (Eja). Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0319190887940607E-mail: [email protected]
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Doutora em Matemática pela PUC-RJ. Aposentada daUFES. Professora do Programa de Mestrado Profissional emEducação em Ciências e Matemá¬tica- EDUCIMAT/Cefor/Ifese coordenadora da Pós-Graduação Lato Sensu PráticasPedagógicas para Professores do Cefor/Ifes. Líder do Grupode Pesquisa GEPEM-ES. Atualmente em estágio pós-doutoralna Universidade Federal do Rio de janeiro. Editora chefe darevista Sala de Aula em Foco do Educimat/Ifes. PesquisaSaberes Docentes na Formação dos Professores e EnsinoAprendizagem da Matemática para o Ensino na EducaçãoBásica, na Licenciatura e Mestrado. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2158519313210506E-mail: [email protected]
MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA
MINI CURRÍCULO DOS AUTORES
TATIANA BONOMO DE SOUSA
É mestre em Educação em Ciências e Matemática peloInstituto Federal do Espírito Santo - IFES atuando na linha depesquisa: Formação de professores no contexto da educaçãoem Ciências e Matemática. Possui Licenciatura em Matemáticapela Universidade Federal do Espírito Santo (2004 - 2008). Éespecialista em educação profissional técnica integrada àeducação básica na modalidade de Educação de Jovens eAdultos pelo Instituto Federal do Espírito Santo - PROEJA(2008 - 2010) e em coordenação pedagógica pelaUniversidade Federal do Espírito Santo (2013 - 2015).Atualmente participa do Grupo de Pesquisa GEPEM-ES e éservidora efetiva da Secretaria de Educação do Estado doEspírito Santo (SEDU-2008). Tem experiência na área deEducação Matemática, atuando no Ensino Fundamental II,Ensino Médio e na Educação de Jovens e Adultos (EJA). Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/0319190887940607
MARIA AUXILIADORA VILELA PAIVA
Doutora em Matemática pela PUC-RJ. Aposentada daUFES. Professora do Programa de Mestrado Profissional emEducação em Ciências e Matemá¬tica- EDUCIMAT/Cefor/Ifese coordenadora da Pós-Graduação Lato Sensu PráticasPedagógicas para Professores do Cefor/Ifes. Líder do Grupode Pesquisa GEPEM-ES. Possui Pós - Doutorado naUniversidade Federal do Rio de Janeiro. Editora da RevistaSala de Aula em Foco do Educimat/Ifes. Pesquisa SaberesDocentes na Formação dos Professores e EnsinoAprendizagem da Matemática para o Ensino na EducaçãoBásica, na Licenciatura e no Mestrado. Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2158519313210506E-mail: [email protected]
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Sumário
Apresentação 8
Saberes Docentes e a Matemática para o ensino de Álgebra 10
A Pesquisa e a investigação dos saberes prévios 18
Momentos da Formação: Resolução de Problemas em grupos 26
Materiais Manipulativos, Tecnologia Digital e o Ensino da Álgebra 35 A Formação e o Ambiente Virtual 47 A Formação e as Práticas 52 Sugestões de Atividades 56 Considerações Finais 68 Referências 70
8
APRESENTAÇÃO
É perceptível a ampliação nas últimas duas décadas dos de debates sobre
formação de professores. Trata-se de um tema que passa por constantes
revisões e problematizações, especialmente por ser considerado elemento
imprescindível para a profissionalização docente e para o desenvolvimento de
uma identidade profissional, além dos impactos gerados na prática docente.
Nessa perspectiva, elaborar e desenvolver um curso de formação continuada
com e para professores de Matemática envolvendo conteúdos da Álgebra e
para o ensino tornou-se fonte de motivação, principalmente porque várias
pesquisas evidenciam a importância de trabalhar o conteúdo generalizações de
padrões nas etapas da Educação Básica.
O contexto da formação ofertada nos permitiu refletir e relatar o processo de
construção de saberes docentes, saberes esses ligados a conceitos para o
ensino da Álgebra, tendo como base as experiências e as vivências
vivenciadas pelos professores que participaram do curso proposto. Todo esse
processo de construção, desenvolvimento e escrita faz parte de uma pesquisa
de Mestrado ligada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências
e Matemática (Educimat) intitulada PADRÕES E GENERALIZAÇÕES PARA O
ENSINO DA ÁLGEBRA: AÇÕES COLABORATIVAS NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES. Cabe destacar que o objetivo da pesquisa foi analisar os
saberes docentes (re) construídos por professores do Ensino Fundamental
para o ensino de Álgebra com o estudo de padrões e generalizações.
A construção de uma Matemática direcionada para o ensino de Álgebra deve,
inicialmente, questionar quais abordagens de ensino os professores utilizam
para estimular os estudantes a se apropriarem da linguagem algébrica e serem
capazes, por exemplo, de compreender as equações matemáticas e as
transformações algébricas.
Em nossa pesquisa, após esses questionamentos, foram propostas atividades
envolvendo padrões e generalizações. Isso porque o estudo de padrões e
generalizações possibilita ao professor estabelecer relações entre a linguagem
9
aritmética e a algébrica, enfatizar o conceito de variável, bem como propor que
o estudo das equações também seja visto como uma forma de expressar
regularidades, o que pode contribuir para desenvolver o pensamento algébrico.
Outra questão considerada foi a opção por uma metodologia de formação que
permitisse aos professores, com base em suas vivências ao longo processo
formativo, (re) construírem saberes ligados ao ensino da Álgebra. Assim, a
formação proposta pautou-se em alguns princípios, destacando-se: os
professores são profissionais e, como tal, têm saberes próprios da profissão
docente (SHULMAN, 1986; MYSUKAMI, 2004; GIRALDO, ROQUE, 2014;
PAIVA, 2018); as discussões coletivas estimulam o surgimento de saberes da
prática docente e visam a construção de uma identidade docente. Para Davis e
seus colaboradores (2009, 2012, 2014), essas discussões e reflexões, que
surgem em discussões coletivas de grupos que trabalham colaborativamente,
permitem investigar a prática docente dos envolvidos.
Cabe salientar que este livro se direciona a professores dos anos finais do
Ensino Fundamental que queiram aprofundar seus conhecimentos sobre o
Ensino e Aprendizagem da Álgebra, a professores formadores atuantes nas
licenciaturas de Matemática, bem como a quem pretende elaborar ou organizar
cursos de formação continuada. Para isso, apresentamos sugestões de
atividades que podem ser utilizadas em formações de professores e também
adaptadas à sala de aula, considerando-se a realidade da turma à qual se
destina. Convém salientar que em alguns momentos foram apresentadas
algumas discussões e reflexões, que surgiram durante a realização das
atividades, por considerá-las importantes ao processo de formação.
Nessa perspectiva, esperamos que a proposta de formação apresentada e os
relatos e reflexões possam subsidiar futuros projetos que trabalham conceitos
matemáticos direcionados ao ensino apresentam uma Matemática
problematizada, a qual considera o contexto e a cultura na ação cotidiana de
sala de aula.
10
1- Saberes Docentes e Matemática para o ensino de Álgebra
Em sua base de conhecimento para o ensino1, Shulman (1986) propõe, entre
as categorias apresentadas, a noção de saber2 pedagógico do conteúdo, isto é,
um saber próprio do professor constituído pelo amálgama entre o conteúdo e a
pedagogia.
A mobilização desse conhecimento possibilita diferenciar um professor de um
especialista em uma determinada área. O professor utiliza analogias,
representações e outros recursos, com o objetivo de permitir aos estudantes a
compreensão de um conteúdo.
Entretanto, para desenvolver esse saber é fundamental que o professor esteja
envolvido em ações, como a análise das produções dos estudantes. A
finalidade é verificar como eles comunicam suas realizações ou identificar as
dificuldades encontradas ao trabalhar tópicos da Matemática que buscam
articular o saber científico e o escolar.
Somado a isso, para discutir o saber matemático para o ensino, embasamo-
nos também nos trabalhos de Ball e seus colaboradores (2008) e de Davis
(2006, 2009, 2012).
1.1 Conhecimento Matemático para o Ensino
Fundamentados nas ideias de Shulman (1986/1987), Ball, Thames e Phelps
(2008) desenvolveram em seus estudos uma teoria sobre o conhecimento
matemático para o ensino (Mathematical Knowledge for Teaching – MKT)
alicerçado na prática dos professores. Esses autores observaram as ações dos
professores participantes do projeto e identificaram a presença de aspectos
que vão além do saber pedagógico do conteúdo, os quais podem ser
organizados, mapeados e incluídos em cursos de Matemática para
professores.
Um dos objetivos centrais do trabalho de Ball, Thames e Phelps (2008) foi
formular uma teoria baseada na prática, relacionada a conhecimentos
1 O trabalho de Bonomo (2019) apresenta uma discussão mais detalhada sobre o tema. 2 A tradução da expressão “knowledge” da língua inglesa para a portuguesa admite tanto o termo “saber” como o termo “conhecimento” (Dicionário Michaelis Online). Os termos “saber” e “conhecimento” serão usados sem a atribuição de qualquer juízo de valor, respeitando o entendimento de que são sinônimos, portanto, não faremos distinção entre eles.
11
matemáticos para o ensino. Sugeriram, assim, uma divisão do conhecimento
matemático em dois subdomínios: conhecimento pedagógico do conteúdo e
conhecimento puramente matemático. Essa proposta encontra-se no quadro
a seguir.
Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino
Fonte: Ball; Thames; Phelps (2008), tradução nossa.
O “conhecimento especializado do conteúdo” é o conhecimento do
conteúdo específico para o ensino. Esse conhecimento está pautado na ideia
de que, para ensinar, o professor deve possuir um conhecimento que vai além
do que efetivamente será ensinado. Esse conhecimento requer, por exemplo,
ter clareza dos conceitos, dos objetivos, e de possíveis articulações que
possam ser feitas para alcançar esse objetivo.
“O conhecimento do conteúdo e do ensino” combina o conhecimento sobre
o ensinar e o conhecimento sobre a Matemática, surge no momento em que
são avaliadas as vantagens e as desvantagens ao utilizar determinadas
representações ou quando são analisadas as contribuições dadas por um
determinado método ou procedimento utilizado no processo de ensino e de
aprendizagem de um conteúdo.
12
Segundo Ball, Thames e Phelps (2008), reconhecer uma resposta errada é um
conhecimento comum do conteúdo, por outro lado, dimensionar a natureza de
um erro é um conhecimento especializado do conteúdo.
As categorias propostas por Ball, Thames e Phelps (2008) não são conjuntos
disjuntos, pois uma mesma situação pode ser analisada sob diferentes
perspectivas. Para esses autores, os professores devem conhecer o conteúdo
que vão ensinar, porém apenas o conhecimento do conteúdo pode não ser
suficiente para ensinar. Portanto, a ideia proposta originalmente por Shulman
(1986) e ampliada por Ball, Thames e Phelps (2008) de que existe uma forma
de conhecimento matemático específico para o ensino impacta diretamente na
discussão acerca da formação de professores de Matemática.
1.2 Matemática para o ensino e formação docente por meio
de ações colaborativas
A Matemática para o ensino, segundo Davis e Simmt (2006), é uma
perspectiva teórica cujo objetivo é analisar como os professores (re) constroem
ou mobilizam seus saberes, considerando os aspectos individuais e os
coletivos, bem como os meios de compartilhar esses saberes. De acordo com Davis e Renert (2014),
Para Davis e Simmt (2006), o princípio organizador da Matemática para o
ensino é a articulação entre categorias consideradas mais estáveis (currículo,
conceitos matemáticos) e outras mais dinâmicas (entendimento subjetivo,
coletividade da sala de aula) do conhecimento matemático considerado
fundamental para o ensino da disciplina.
Para os autores, os quatro aspectos das categorias, ou seja, o currículo, os
conceitos matemáticos, o entendimento subjetivo e a coletividade da sala de
aula, não devem ser interpretados de forma isolada, eles estão alinhados,
Matemática para o ensino compreende uma complexa rede de entendimentos, disposições e competências que não são facilmente nomeados nem medidos. A complexidade imbricada na matemática para o ensino deve ser experimentada – vista, ouvida e sentida. (DAVIS; RENERT, 2014, p.3, tradução nossa)
13
integrados e têm uma estreita ligação com a prática docente. A figura a seguir
exemplifica as categorias da Matemática para o ensino.
Fonte: Davis e Simmt (2006), tradução nossa.
Davis e Simmt (2006) conjecturam que esses quatro aspectos são importantes
para ensinar Matemática e podem fundamentar cursos de Matemática
oferecidos a professores.
A figura destaca categorias que devem ser observadas em formações de
professores e, além disso, apresenta a articulação que determina a
conceituação de Matemática para o ensino. Os aspectos relacionados aos
objetos matemáticos referem-se às concepções pessoais dos professores
sobre o conteúdo, às interpretações matemáticas compartilhadas no ambiente
escolar, o que configura uma cultura própria e a estrutura curricular que
envolve a Matemática. Desse modo, a construção dos saberes da Matemática
para o ensino está ligada e entrelaçada à prática docente. Além disso, esses
saberes são mobilizados e construídos juntamente com a prática profissional.
Na perspectiva da Matemática para o Ensino, Davis (2010) propõe o Estudo do
Conceito (tradução de Concept Study), metodologia a ser utilizada em
processos de formação continuada de professores. Estruturado como um
estudo coletivo no qual professores compartilham experiências que emergem
de sua prática de sala de aula, os participantes são estimulados a questionar e
a (re) construir seus saberes de Matemática para o ensino.
14
Segundo Davis (2012), a expressão Estudo do Conceito combina elementos de
duas noções proeminentes da pesquisa em Educação Matemática
Contemporânea: estudo de lições e análise de conceitos.
Imerso em uma estrutura colaborativa de estudo da aula, o estudo de lições
envolve os professores em um processo de exame e de elaboração de
entendimentos matemáticos. Esses engajamentos possibilitam a eles
aperfeiçoar a qualidade do ensino e, consequentemente, enriquecer as
experiências de aprendizado de seus alunos.
Já a análise de conceitos consiste em investigar as estruturas lógicas e as
associações inerentes aos conceitos matemáticos, como traçar origens e
aplicações, ao refletir acerca das maneiras diferentes deles aparecerem na
Matemática e nos contextos sociais.
O Estudo do Conceito pode ser utilizado como uma metodologia para formação
continuada, bem como ser um instrumento de produção de dados a respeito
dos saberes dos professores de Matemática fundamentados na concepção da
Matemática para o ensino.
Com relação aos pressupostos que orientam o Estudo do Conceito3, estes
envolvem:
o
De acordo com Davis (2012), na estrutura de estudo coletivo, o foco não deve
ser direcionado apenas para o desenvolvimento pessoal, mas também para as
relações entre o individual e o coletivo, em uma perspectiva cultural. A
formação de professores deve, assim, pautar-se na construção de saberes
3 Os princípios básicos dessa teoria nortearam o conjunto de ações que integraram o processo de formação continuada conduzido na pesquisa.
No aspecto individual, compreensão de que conceitos matemáticos e concepções de Matemática são emergentes. No aspecto cultural, os professores são os participantes vitais na produção da Matemática, principalmente, por meio da seleção e da ênfase preferencial dada a interpretações particulares. No aspecto coletivo social, os saberes de Matemática dos professores são amplamente tácitos, mas elementos cruciais desses saberes podem ser questionados em grupo. Saber individual e saber coletivo não podem ser dicotomizados. (DAVIS, 2012, p. 6, tradução nossa)
15
compartilhados e na autopercepção de cada participante como membro de uma
comunidade que compartilha culturas.
Nessa mesma perspectiva de processos coletivos, Lopes et al. (2016) discutem
acerca do fenômeno da formação docente por meio de estudos que podem ser
considerados indicadores teóricos e metodológicos para o processo de
aprendizagem docente, focado no modo de produção coletiva.
Convém ressaltar que o interesse por esses autores é porque eles ressaltaram
a relação existente entre a organização do ensino e o trabalho coletivo. Sobre
isso, afirmam que:
Assim, consideram um modelo de formação baseado na ideia de que a
aprendizagem é um processo social, sendo que a interação entre os sujeitos
envolvidos exerce um papel imprescindível para o desenvolvimento de todos.
Entendem que é “Por meio do outro que o sujeito pode desenvolver-se, que as
funções ainda não dominadas poderão ser internalizadas; e que formas
coletivas precedem as individuais e constituem sua função de origem” (LOPES
et al. 2016, p. 7). Essas ideias têm implicações tanto para o processo de ensino
e aprendizagem voltado ao aluno como para o processo de formação do
professor.
Assim, corroboramos com esse modelo de formação no que se refere à
colaboração e às ações coletivas, por entender que é no coletivo que se
constroem os saberes necessários à docência. Além disso, as ações de uma
formação estão ligadas ao desenvolvimento de conceitos matemáticos, tendo a
prática como lugar de produção de conhecimento. Produz-se, assim, teoria por
meio da prática e vice-versa e, desse modo, articula-se o saber científico e o
escolar.
Nessa perspectiva, a seguir será apresentada uma discussão sobre o ensino e
a aprendizagem da Álgebra com o estudo de padrões e generalizações.
Os processos formativos devem não somente possibilitar o reconhecimento e a compreensão das realidades laborais, históricas, culturais e sociais inerentes à prática do professor, mas possibilitar ao indivíduo transformá-las e exercer a condição de sujeito do seu conhecimento, na perspectiva do conhecimento para si e para os outros. (LOPES et al. 2016, p. 6)
16
2. Ensino e aprendizagem da Álgebra: Padrões e Generalizações
Ao discutir as mudanças ocorridas na Educação Algébrica no Brasil, Miguel,
Fiorentini e Miorim (1993) apontam que as concepções da Álgebra, construídas
ao longo da história, tinham como característica principal reduzir o pensamento
algébrico à linguagem algébrica, ou seja, o pensamento algébrico se constitui
em um tipo de pensamento que pode ser expressado por uma linguagem,
como a aritmética, a geométrica ou a algébrica.
No entanto, mais recentemente, autores como Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005) apresentaram outra visão acerca do que seria o pensamento
algébrico. Para eles, as investigações matemáticas podem ser realizadas por
meio de atividades exploratórias investigativas, de maneira que os estudantes
possam mobilizar e desenvolver aspectos do pensamento algébrico, como:
De acordo com eles, entre outros aspectos, as atividades envolvendo
generalizações de padrões matemáticos devem ser utilizadas como ferramenta
para auxiliar os professores nos processos de identificação, de
desenvolvimento e de caracterização desse pensamento em seus alunos.
Ainda nesse sentido, os estudos de Mason (1996) apresentam a generalização
de padrões numéricos e geométricos como uma abordagem eficiente para
introduzir a Álgebra. Para ele, a generalização é o batimento cardíaco da
Matemática (MASON, 1996, p. 65, tradução nossa). Em consonância com o
autor, considera-se que o estudo de padrões e generalizações possibilita, além
da construção do pensamento algébrico, o desenvolvimento de vários
conceitos matemáticos.
Estabelecer relações/comparações entre expressões numéricas ou padrões geométricos; Perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação-problema; Produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente, produzir vários significados para uma mesma expressão numérica; Interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; Transformar uma expressão aritmética em outra mais simples; Desenvolver algum tipo de processo de generalização; Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; Desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente. (FIORENTINI; FERNANDES; CRISTÓVÃO, 2005, p. 5)
17
Além dos padrões numéricos e geométricos, as equações também ocupam um
papel importante dentro do ensino da Álgebra. Com relação a isso, Ribeiro e
Cury (2015, p.45) desenvolveram um estudo sobre equações ao observar o
tratamento dado a ela em diferentes épocas. Isso possibilitou descobrir outros
significados para o conceito de equação, o que os autores denominaram de
multisignificados de equação.
Para esclarecer, a seguir serão apresentadas algumas dessas diferentes
formas de conceber a equação:
Quadro 1: Multissignificados de equação Significado Características
Intuitivo-Pragmático Equação concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à resolução de problemas de ordem prática, originários de situações do dia a dia.
Dedutivo-Geométrico Equação concebida como noção ligada a figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada a situações envolvendo cálculo e operações com segmentos, com medidas de lados de figuras geométricas e intersecção de curvas.
Estrutural-Generalista Equação concebida como noção estrutural definida e com características próprias, considerada por si própria e operando sobre ela. Utilização relacionada visando soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza.
Estrutural-Conjuntista Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvem relações entre conjuntos.
Processual-Tecnicista Equação concebida em sua própria resolução, os métodos e as técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente do significado estruturalista, a equação é vista como um ente matemático.
Axiomático-Postulacional
Equação concebida como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma ideia por meio da qual as outras ideias, matemáticas e não matemáticas, são construídas. Utilizada no sentido de noção primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.
Fonte: (RIBEIRO, 2012, p. 540)
Cada significado do conceito de equação apresentado por Ribeiro e Cury
(2015) e categorizado com nome composto mostra diferentes perspectivas
para reconhecer e abordar uma equação. Para os autores, as atividades
matemáticas que exploram padrões, sejam numéricos ou geométricos, além de
permitir o estabelecimento de conexões entre a Álgebra e a Geometria,
também estimulam um diálogo entre os múltiplos significados das equações.
Convém ressaltar que essas teorias subsidiaram a pesquisa desenvolvida por
Sousa (2019) no mestrado profissional do Programa Educimat do Cefor/Ifes.
18
3. A Pesquisa e a investigação dos saberes prévios
3.1 A pesquisa
As atividades apresentadas e analisadas neste livro foram desenvolvidas com
professores de Matemática e pedagogos que participaram do Curso de
Extensão “Saberes Docentes de Álgebra”, ofertado pelo Centro de Formação e
Educação a Distância (Cefor/Ifes), em parceria com a Secretaria Municipal de
Cariacica/ES.
O curso de formação continuada foi desenvolvido em seis encontros
presenciais de cinco horas cada e por meio de discussões no ambiente virtual
de aprendizagem, o Moodle. Durante o curso foram concretizadas as fases da
pesquisa desenvolvida por Sousa (2019), cujo objetivo foi analisar os saberes
docentes (re) construídos por professores do Ensino Fundamental para o
ensino de Álgebra por meio do estudo de padrões e generalizações. Os temas
de cada encontro encontram-se descritos a seguir.
Durante a formação continuada foram propostas atividades colaborativas, de
modo que o compartilhamento de ideias, por meio de discussões, reflexões e
avaliações, pudesse contribuir para a (re) construção dos saberes docentes
para o ensino.
Nesse sentido buscou-se valorizar o diálogo entre os pares ao proporcionar-
lhes oportunidades para refletir sobre suas práticas, as práticas de seus
Encontro Temas por encontro
1º Conhecendo a proposta, o funcionamento do curso e seus participantes. (Dinâmica Quiz)
2º Estudos e documentos curriculares da Álgebra nas séries finais do Ensino Fundamental
3º Conceitos Gerais da Álgebra e situações-problema que envolvem padrões e generalizações
4º Equações, Padrões e Generalizações com tecnologias educacionais
5º Planejamento da Prática Pedagógica
6º Encontro Final de Avaliação do Curso: Roda de Conversa e Relatos de experiência
19
colegas e os conceitos que emergiram durante o trabalho com o conteúdo
padrões matemáticos e generalizações realizado com alunos dos anos finais
do Ensino Fundamental.
A metodologia empregada está de acordo com os princípios que consideram a
profissão de professor e também estimulam ensinar e desenvolver uma
Matemática para o ensino. Tais princípios encontram-se nos estudos de Paiva
(2018) e de Cade (2018):
Assim, ao optarmos por uma metodologia colaborativa, os
professores/cursistas e pesquisadores puderam expor suas experiências e
seus saberes individuais, bem como a (re) construir e elaborar no coletivo os
saberes de Matemática direcionadas ao ensino.
3.2 Saberes prévios com o Quiz
A pesquisa começou com a aplicação de uma dinâmica de perguntas e
respostas conhecida como Quiz, cujo objetivo foi refletir sobre as crenças e as
concepções sobre Álgebra que foram construídas nas experiências e nas
vivências durante o processo de formação docente de cada professor/cursista.
Cada participante recebeu um objeto com cartões colados contendo opções de
respostas A, B, C ou D, e deveria selecionar, entre as opções, aquela que
considerava mais relevante em sua concepção naquele momento.
i) Ser professor exige saberes próprios;
ii) A sala de aula como espaço de produção de conhecimento;
iii) Valorização da construção de saberes para o
ensino por meio da prática profissional docente;
iv) Contextos colaborativos e discussões coletivas de conceitos como processo de formação.
v) Valorização do professor como protagonista na
construção de práticas matemáticas.
20
Quiz
A primeira pergunta do Quiz foi elaborada com o intuito de identificar a
expectativa inicial dos participantes em relação ao curso de formação
continuada “Saberes Docentes de Álgebra”.
1 - Minha expectativa inicial em relação ao curso é: A- Adquirir novos conhecimentos sobre Álgebra. B- Refletir sobre o processo de ensino e aprendizagem da Álgebra e conhecer novas metodologias de ensino. C- Melhorar meu currículo. D- Refletir sobre minha prática, discutir e aprender de forma coletiva sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra.
As perguntas e respostas foram elaboradas pela pesquisadora. Convém
ressaltar que não há resposta certa ou errada para as perguntas do Quiz, pois
a dinâmica pretende mostrar as diferentes concepções e crenças relacionadas
ao ensino de Álgebra. O objetivo da atividade foi estimular uma discussão
coletiva entre os professores por meio de relatos individuais/coletivos ao
justificar a opção de resposta.
Em seguida, o objetivo da segunda pergunta do Quiz foi exteriorizar reflexões
acerca da experiência de cada um referente ao ensino de Álgebra no Ensino
Fundamental.
21
2 - No Ensino Fundamental, o ensino da Álgebra foi: A- Agradável, o professor passava problemas de fácil resolução e, em outras aulas, problemas mais exigentes. B- Mecânico e rigoroso, com uma série de exercícios em que, muitas vezes, não se compreendia o sentido, mas de tanto fazer, acabava aprendendo. C- Desafiante, o professor passava problemas que estimulavam a intuição e o raciocínio. D- Indiferente, acho que o ensino da Álgebra teve mais evidência no ensino superior.
A terceira pergunta buscou mostrar, além das experiências dos professores no
ensino superior, reflexões sobre a articulação da Álgebra do ensino superior
com a Álgebra escolar.
3 - Em relação à Álgebra em seu ensino superior, você classifica como: A- Exigente, focalizado no conhecimento avançado e suas aplicações. B- Desarticulado, a Álgebra ensinada no curso superior não teve conexão com a Álgebra escolar. C- Estruturado, conseguiu articular, na maioria das vezes, o conhecimento científico e o escolar. D- Indiferente, considero que não contribuiu muito para a prática em sala de aula.
Para finalizar, a quarta e última pergunta do Quiz refere-se relacionada à
concepção mais evidente do professor em relação à Álgebra.
4 - Compreendo a Álgebra escolar como: A- Parte da Matemática relacionada à compreensão do significado das “letras” e “símbolos”, estudo das equações, expressões e transformações algébricas. B- Constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização. É um o ramo da Matemática que generaliza a aritmética e estuda as estruturas aritméticas. C- Poderosa ferramenta para resolver problemas. D- O estudo das relações entre as grandezas e das relações entre as quantidades.
22
Diante do exposto, concordamos com Ponte (1992), para o qual “As nossas
concepções sobre a Matemática são influenciadas pelas experiências que nos
habituamos a reconhecer como tal e também pelas representações sociais
dominantes” (PONTE, 1992, p.185).
Além disso, os dados contribuíram para o processo de investigação da
pesquisa ao mostrar indícios dos saberes prévios dos professores cursistas
referentes às concepções, às crenças e aos saberes relacionados à Álgebra. A
dinâmica do Quiz, além de promover a interação entre os docentes, subsidiou o
planejamento dos encontros presenciais do curso e a organização da sala no
ambiente virtual de aprendizagem.
Comentário
Nessa atividade, é importante que o professor formador
incentive a socialização dos motivos que levaram os
professores e/ou alunos a selecionar cada opção de
resposta. No curso “Saberes Docentes de Álgebra”, o grupo
de professores pôde se manifestar, ou seja, quem quisesse,
podia dizer a opção de resposta e justificá-la. Aos poucos,
todos se envolveram na discussão coletiva, propiciando um
diálogo bastante produtivo entre os participantes.
Sugestão A dinâmica do Quiz pode ser utilizada em sala de aula
para identificar os conhecimentos prévios dos alunos e
para motivá-los a discutir e refletir, de forma coletiva,
conceitos da Matemática.
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3.3 Saberes Prévios em Situações-Problema da Prática
Na situação-problema apresentada anteriormente buscou-se identificar os
saberes docentes para o ensino de Álgebra por meio de generalizações de
padrões matemáticos.
Na atividade há uma situação-problema envolvendo a prática em sala de aula,
com resoluções apresentadas por quatro supostos alunos, que foi elaborada e
organizada pela equipe do curso, bem como discutida e validada no Grupo de
Pesquisa de Educação Matemática do Espírito Santo - GEPEM/ES.
Nessa atividade, os participantes deveriam analisar a seguinte situação-
problema:
Situação-Problema envolvendo a prática em sala de aula
A análise dessa situação-problema ocorreu em três momentos durante o curso:
1° momento/ individual: Cada professor/cursista analisou de forma individual
a situação-problema anteriormente descrita com as resoluções apresentadas
por quatro supostos alunos, buscando destacar saberes da prática de ensino. A
equipe de formação recolheu, fotografou todas as análises, e selecionou três
respostas dos professores/cursistas, nas quais foram verificadas diferentes
percepções e saberes docentes, em diversas perspectivas.
24
2° momento/coletivo: A situação-problema foi resolvida pelos
professores/cursistas e discutida de forma coletiva.
3° momento/individual/coletivo: Foram apresentadas as análises de três
professores/cursistas selecionados, sem identificá-los. O intuito foi promover
discussões coletivas direcionadas a uma Matemática para o ensino de padrões
e generalizações.
Para exemplificar, a seguir serão apresentadas as análises da situação-
problema feita pelos três professores selecionados na pesquisa de Sousa
(2019). Os professores deveriam verificar as diferentes percepções acerca da
mesma situação-problema da prática de sala de aula e gerar discussões
coletivas, de forma a estimular o surgimento de saberes docentes.
A análise dos professores sobre as soluções apresentadas pelos “alunos
fictícios” da situação-problema proposta e a discussão no coletivo de suas
percepções fez com que esses professores refletissem acerca das
possibilidades de tornar o conteúdo mais compreensível ao aluno.
Os conceitos matemáticos abordaram o significado das variáveis na expressão
algébrica que representa a generalização do padrão. Nessa atividade, os
professores não ficaram limitados apenas em classificar as respostas dos
alunos fictícios como certas ou erradas, mas sentiram necessidade de
questionar o desenvolvimento das soluções apresentadas, visando identificar
P8 - Alunos 2 e 4 estão corretos. O Aluno 2 observou que em cada figura o número de pontos é o dobro da figura posicionada mais 1. No Aluno 4, percebe-se que é um raciocínio equivalente à forma apresentada pelo aluno 2. Os alunos 1 e 3 estão errados.
P2 - Os alunos 2 e 4 desenvolveram o mesmo raciocínio na composição da expressão algébrica. Os alunos 1 e 3, por sua vez, aproximam-se em raciocínio, porém apresentam estruturas diferentes, ...não concluem corretamente a quantidade de pontos da figura, tiveram dificuldade na linguagem algébrica.
P5 - De acordo com as respostas apresentadas, os alunos 1 e 3, 2 e 4 deram as mesmas respostas utilizando linguagens diferentes e, dependendo dos valores atribuídos a “n”, as expressões são válidas e verdadeiras.
25
as formas de raciocínio utilizadas na padronização dos procedimentos, bem
como o processo de generalização.
Os momentos de discussão e reflexão dessa situação-problema adquiriram
características de uma estrutura de estudo individual e coletivo, em que os
professores compartilharam experiências emergentes da própria prática
docente, visando questionar e (re) construir os próprios saberes da Matemática
para o ensino.
Em suma, trabalhar com as análises dos próprios professores possibilitou
mostrar as diferentes perspectivas assumidas quando eles analisaram a
mesma situação-problema. O propósito de gerar discussões e reflexões de
uma Matemática para o ensino de Álgebra foi alcançado.
Comentário
Nesse tipo de atividade, os professores/cursistas devem fazer
suas análises de forma individual, e o professor formador deve
selecionar algumas dessas análises para apresentá-las ao
grupo, sem identificar os autores. A finalidade é estimular o
surgimento de saberes emergentes e socializá-los.
26
4. Momentos da Formação: Resolução de Problemas em grupos
As atividades de resolução de situações-problema a seguir foram realizadas
em grupos de três professores e, posteriormente, apresentadas e discutidas
pelos grupos coletivamente. Nessas atividades, o principal objetivo foi gerar
discussões e reflexões, de maneira que eles explicitassem os saberes para o
ensino de padrões e generalizações ao resolverem a situação proposta e ao
relacioná-la com suas práticas de sala de aula.
1º Momento: Resolução de problema em grupo
Problema da dívida
Hoje é terça-feira. Devo pagar uma dívida exatamente daqui a 15 dias. Em que dia da semana cairá o 15º dia? E se a dívida for paga daqui a 90 dias, em que dia da semana cairá?
Na resolução desse grupo, a resposta da primeira pergunta foi o padrão 7 dias,
então, 15 dias é igual a 7+7+1, quarta-feira. Para a segunda pergunta
utilizaram o padrão de 15 dias, sendo em que cada período de 15 dias sobrará
um dia, logo, 90 dias terá seis períodos de 15 dias, sobrando 6 dias da
semana, ou seja, segunda-feira. Nessa atividade, os grupos apresentaram
diferentes formas de observar o padrão matemático, de desenvolver os
cálculos e generalizar.
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Os professores apontaram que, na resolução dessa situação-problema, o aluno
precisa observar a regularidade dos dias da semana, definir o padrão,
generalizar e identificar em qual dia da semana cairá após os 90 dias.
Ao observar a evolução das perguntas da atividade proposta, verificou-se que a
primeira pergunta tem uma quantidade menor de dias, sendo possível resolvê-
la por contagem, já formulação da segunda pergunta tem uma data bem mais
distante, sendo necessário buscar estratégias mais elaboradas de resolução.
Segundo os professores, os casos particulares, como solicitado na primeira
pergunta, são importantes para que os estudantes desenvolvam o processo de
abstração e generalização, mas nem sempre é possível confiar nos casos
particulares.
Essa discussão coletiva foi ao encontro dos estudos de Vale e Pimentel (2005),
segundo eles, é possível utilizar diferentes tipos de estratégias para resolver
atividades envolvendo padrões matemáticos, porém é importante atentar-se
para alguns perigos, entre eles, buscar a generalidade com base em um
padrão de pequenos casos. Para as autoras, os casos particulares são para
ver por meio e não para servir como verdade geral. Ao focar em casos
particulares, distancia-se de apreciar as formas mais gerais.
O professor, assim, deve estar consciente de que é possível ver a generalidade
em casos particulares, mas isso não quer dizer que os alunos terão a mesma
consciência. Desse modo, os alunos vão progredir nas atividades à medida que
assumirem a responsabilidade de reconhecer, expressar e verificar a
linguagem algébrica associada ao padrão.
Por fim, são fundamentais os estudos de Ball, Thames e Phelps (2008), pois
destacam que é imprescindível o professor saber bem o que ensina e ter uma
visão ampla do conteúdo a trabalhar para, assim, construir seu conhecimento
especializado do conteúdo, tão necessário ao processo de ensino e
aprendizagem.
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2º Momento: Resolução de problema em grupo
A atividade abaixo foi proposta com o objetivo de estimular, coletivamente,
reflexões sobre as diferentes formas de representar a generalização por meio
de uma expressão algébrica.
Problema da Moldura de Azulejos
A empresa Molduras & Arte faz molduras para espelhos quadrados formadas por azulejos com o mesmo formato, como mostra a figura a seguir.
a) Quantos azulejos são necessários para construir uma moldura com 59 azulejos de lado?
b) A empresa Molduras & Arte quer encontrar uma fórmula que permita saber o número de azulejos necessários à construção de qualquer espelho; como pode ser essa fórmula?
Fonte – Adaptações Vale e Pimentel (2011, p.88)
Com as respostas compartilhadas pelos grupos com três professores, um
grupo observou que nessa situação-problema é possível desenvolver a
generalização por meio de diferentes expressões algébricas.
O quadro a seguir destaca as diferentes possibilidades de resolução
apresentadas e compartilhadas pelos professores.
Quadro - Soluções Apresentadas para a Atividade Moldura de Azulejos
Fonte – Elaborada e organizada pelas pesquisadoras, 2019.
Letra a) Letra b)
4x59-4 4L-4
59²-57² x² - (x-2)²
2x59+2x57 2n+2(n-2)
4x57+4 4(n-2)+4
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As discussões coletivas dos professores foram direcionadas para o
desenvolvimento da generalização algébrica. Por meio de uma expressão
aritmética feita no item “a”, obteve-se a expressão geral solicitada no item “b”.
Eles relataram que a forma de abordar a situação-problema faz com que o
papel da variável tenha mais sentido e significado para o aluno.
O grupo de professores também observou que esse tipo de atividade mobiliza
diversos aspectos do pensamento algébrico apontados por Fiorentini,
Fernandes e Cristovão (2005), tais como: estabelecer relações/comparações
entre expressões numéricas, perceber as regularidades e desenvolver o
processo de generalização. Nas discussões coletivas, os professores
destacaram que a socialização das formas de concretizar o pensamento
algébrico por meio de diferentes expressões algébricas, além de ampliar a
visão do aluno, aborda conceitos importantes para o processo de ensino e
aprendizagem da Álgebra escolar.
3º Momento: Resolução de problema em grupo
Problema da sequência de figuras
Fonte: Adaptado de Souza e Patrão (2008, p. 27)
O propósito dessa situação-problema foi possibilitar aos professores
aprofundar saberes para o ensino de generalizações de padrões geométricos,
numéricos e sequências, bem como observar os aspectos do pensamento
algébrico que surgiram nas discussões coletivas.
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Como já tinha sido realizada uma atividade semelhante no encontro anterior,
buscou-se avançar nas discussões, de modo que os participantes
explicitassem os saberes de cunho teórico e prático.
Quadro - Soluções do Padrão da Sequência de Figuras
Solução 1-Professor P3 Solução 2-Professora P9
a) 24 bolinhas, parte do entendimento de que a primeira figura se comporta na base 2 como ( b2 -1), a próxima figura terá base 3, segue o padrão conforme a base.
a) 42+4+4=24 bolinhas
b) sendo “n” o valor posicional da figura em uma sequência ordenada, cujos números são naturais e diferentes de zero, define-se b a base da figura por n+1. Para determinar a quantidade de pontos da figura, fazemos b2-1. Logo, (n+1)2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.
b) foi observada a regularidade nas figuras, um quadrado no meio mais uma linha horizontal e vertical de mesmo número do lado do quadrado; 12+1+1=3 generalizando x2+x+x 22+2+2=8 x2+2x 32+3+3=15
Fonte – Organizado pelas pesquisadoras, 2019.
Na solução 1, o professor P3 explicou que o valor atribuído à variável “n”
estava relacionado ao valor da posição da sequência de figuras apresentada
na tarefa. Então, para encontrar a quantidade de bolinhas, o professor disse
que bastava efetuar b2-1, sendo b=n+1.
Na solução 2, a professora P9 observou o padrão geométrico, um quadrado no
meio e uma linha horizontal e uma vertical com o mesmo número ao lado do
quadrado. Do padrão geométrico, a professora transformou em linguagem
numérica seguindo a sequência de figuras para, posteriormente, generalizar
para a linguagem algébrica.
Cabe destacar as percepções diferenciadas dos dois docentes ao
apresentarem os conceitos relacionados à resolução do problema sobre
generalização do padrão geométrico. Conforme Davis (2012), as percepções
são caracterizadas por um conjunto de elementos conceituais e experienciais
adquiridos ao longo da trajetória profissional.
De acordo com as discussões coletivas dos professores, a solução 2,
apresentada pela professora P9, é mais compreensível para os alunos, pois
31
decorre da observação do padrão geométrico, uma vez que há uma
transformação para a linguagem aritmética antes da linguagem algébrica. Além
disso, os professores consideraram a solução 2 mais adequada para introduzir
a Álgebra nos anos finais do Ensino Fundamental.
O grupo de professores argumentou que, no caso dos estudantes do 6° e 7°
ano do Ensino Fundamental, em fase de apropriação da linguagem algébrica, a
solução 2, da professora P9, é a mais viável a princípio. Contudo, à medida
que os estudantes demonstrarem compreender melhor os conceitos algébricos,
o professor deve construir, diversificar e explorar novas formas de
representações. Assim, para eles, é importante articular soluções aritméticas,
de forma a promover uma generalização que possibilite aos estudantes
desenvolverem processos de abstração da Álgebra conforme a solução 1,
apresentada pelo professor P3.
Dessa discussão coletiva pode-se dizer que as interpretações dos professores
foram mais amplas devido às opções dadas pelos professores P9 e P3. Assim
sendo, é possível inferir que, ao refletir e relatar acerca das implicações e
relevâncias elencadas em cada uma das opções no desenvolvimento do
estudo de padrões e generalizações, o professor adquire uma visão dos
processos de desenvolvimento do pensamento algébrico.
Para exemplificar, tem-se o relato da professora P5,
Essa fala da professora ressalta o que dizem Ball et al. (2008), isto é, que o
conhecimento especializado do conteúdo requer que o professor seja capaz de
identificar padrões e explicar os “porquês” de uma ou outra situação. O
professor que não for capaz de perceber as ideias implícitas em cada situação,
não conseguirá verificar como o aluno pensa.
P5: Considero importante deixar o aluno expressar a regularidade por meio de uma linguagem mais natural, incentivar a desenvolver os casos particulares na representação numérica para que, aos poucos, consiga desenvolver a equação que representa o caso geral. (Professora P5, 2° Encontro Presencial, em 4/07/2017)
32
Segundo Davis (2009), uma das formas de permitir a construção de novos
saberes é por meio das experiências ao compartilhar saberes emergentes em
discussões coletivas. Na resolução dos problemas descritos anteriormente, os
professores perceberam que há diferentes formas de identificar o padrão e
generalizar. Nesse sentido, para os docentes, há um saber do conteúdo para o
ensino de Álgebra na escola básica.
Algumas questões podem ser feitas nesse sentido:
4º Momento: Construção de problema em grupo
Comentário
Nas resoluções das situações-problema, os professores
foram divididos em grupos menores. O formador deve
incentivar a participação deles, a socialização das estratégias
e a discussão com o grupo das questões relacionadas ao
ensino do conceito. Desse modo, a interação no coletivo
estimulará discussões no sentido de evidenciar os saberes
da experiência e construir saberes de cunho teórico e prático.
Sugestão
1) Quais tipos de conceitos matemáticos podem ser
mobilizados pelos estudantes ao resolver essas situações-
problema?
2) É possível ressaltar aspectos do pensamento algébrico,
como: analisar e estabelecer relações, expressar ou explicar
a estrutura de um problema, generalizar relações, operar com
variáveis ao resolver situações-problema?
3) Quais estratégias de ensino o professor pode utilizar para
que o aluno consiga superar as principais dificuldades
apontadas pelo grupo de professores/cursistas?
33
Existe a convicção, baseadas em nossas experiências e nas teorias que
fundamentaram a pesquisa de Sousa (2019), de que a formulação de
problemas pelos professores é uma atividade importante para que seus
saberes e sua criatividade aflorem, o que propiciará espaços ricos de
discussão e socialização de ideias.
Nessa perspectiva, a atividade a seguir consistiu em formular um problema
envolvendo generalização de um padrão matemático. Assim, para que várias
ideias diferentes pudessem surgir, foram disponibilizados no espaço do curso
alguns materiais: palitos de fósforo, papel colorido, massa de modelar, blocos
lógicos e outros materiais. A finalidade foi estimular os professores-alunos a
formular um problema que remetesse a uma sequência de padrões
matemáticos.
A seguir será apresentado um dos problemas formulado por um grupo de
professores:
Padrão Geométrico de Palitos de Fósforo
Fonte – Organizado pelas pesquisadoras, 2019.
Inicialmente, os professores se sentiram desafiados ao perceberem que não
iriam somente resolver e discutir uma situação-problema, mas deveriam criar
uma situação-problema que explorasse a observação de um padrão
matemático.
Aos poucos, contudo, os grupos desenvolveram os padrões matemáticos,
observaram as regularidades das sequências, compartilharam com os
34
colegas/cursistas o processo de generalização e refizeram as questões
elaboradas de forma coletiva após as discussões e as sugestões dos colegas.
É importante propiciar momentos para os professores socializarem suas
construções, dificuldades, conceitos matemáticos envolvidos e fazer reflexões
acerca da própria prática.
Comentário
No desenvolvimento dessa atividade os professores
perceberam que nem todo padrão matemático permite
desenvolver uma generalização por meio da linguagem
algébrica que a representa.
Sugestão
Caro professor, essa atividade prática pode ser utilizada
também em sua sala de aula, de maneira que os estudantes
construam o próprio padrão matemático, formulem um
problema, peçam aos colegas para observar a regularidade,
bem como desenvolvam algum tipo de generalização.
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5. Materiais Manipulativos, Tecnologia Digital e o Ensino da Álgebra
No planejamento da formação continuada, baseado nas expectativas dos
participantes, o objetivo foi aplicar atividades diferenciadas por meio da
utilização de jogos, materiais manipulativos e novas tecnologias digitais para
ensinar Álgebra. Assim, este capítulo destina-se às ações com jogos e com o
software GeoGebra.
5.1 O estudo da Álgebra por meio do Tangram4
Esta seção retrata o encontro no qual as atividades foram desenvolvidas para
atender ao pedido de uma professora participante, que desejava aprender a
utilizar o Tangram em sala de aula. Coube, assim, à equipe do curso planejar
atividades com o Tangram que contemplassem conteúdos de Álgebra. Essas
atividades com o Tangram encontram-se transcritas a seguir.
Álgebra com o Tangram
Atividade 1: Expresse a medida de cada peça do Tangram em função das medidas do triângulo pequeno.
Atividade 2: Forme com as peças do Tangram as figuras A B e C desenhadas abaixo.
Agora, expresse as medidas dos perímetros em função dos lados do triângulo pequeno, registrando-as na tabela 2.
Fonte – Adaptações Tinoco de A., 2015.
4 Trata-se de um jogo manipulativo chinês formado por sete peças: dois triângulos grandes, dois pequenos, um médio, um quadrado e um paralelogramo. O jogo Tangram pode contribuir para o estudo da Geometria, da Álgebra e de outras áreas de conhecimento. Além desenvolver a criatividade e o raciocínio lógico, fundamentais para o estudo da Matemática e de Ciências.
36
O trabalho com o Tangram veio ao encontro do objetivo da pesquisa, ou seja,
mostrar uma proposta de atividades diferenciadas para ensinar Álgebra por
meio de material manipulativo. Para isso, inicialmente, foi preciso descobrir
entre se algum participante já havia trabalhado com o “Tangram” em sala de
aula. Constatou-se, então, que alguns professores nunca tinham trabalhado
com esse material, e outros relataram que o utilizaram com o propósito de
trabalhar conceitos de Geometria e raciocínio lógico.
Assim, ao realizar a ação, sem utilizar a régua, os participantes deveriam
expressar o perímetro do triângulo pequeno e o das outras peças, bem como
determinar o perímetro das outras peças com base nas medidas do triângulo
pequeno. Ao resolver a situação-problema, os professores concluíram que o
“padrão” de medida foi a medida dos lados do menor triângulo.
Após manusear o Tangram e fazer comparações encaixando os lados do
triângulo pequeno nas outras peças, os professores sentiram necessidade de
atribuir símbolos, nomes ou letras para representar os valores desconhecidos.
Então, utilizaram para simbolizar os valores desconhecidos as letras mais
usuais. O “x” e o “y”. Logo, o perímetro do triângulo menor ficou 2x+y.
Encontraram, desse modo, as expressões algébricas que representam o
perímetro das peças do Tangram em relação às medidas do triângulo pequeno.
Além de trabalhar o conceito de perímetro, no campo das Grandezas e
Medidas, essa atividade possibilitou a apropriação da linguagem algébrica, a
percepção de regularidade, fazer comparações e cálculo algébrico. As
soluções encontradas pelos professores nas atividades estão na figura a
seguir.
Soluções dos Professores
Fonte – Adaptações de Tinoco de A., 2015.
37
As fotos a seguir ilustram esses momentos de reflexão e interação.
Comentário
Para desenvolver a atividade com o Tangram, o grupo de
professores foi dividido em grupos menores, sendo
disponibilizado dois jogos de sete peças por grupo. As
repostas foram socializadas e registradas pelos grupos. Nas
discussões coletivas, é imprescindível que os professores
discutam as dificuldades encontradas e a possibilidade de
ampliar as situações-problema com novas formas de explorar
a Álgebra com o Tangram.
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5.2 O estudo da Álgebra com o GeoGebra
Em outro momento do curso, a proposta foi utilizar o software Geogebra para
trabalhar Álgebra. Segundo Geraldo e Roque (2014), a literatura de pesquisa
em Educação Matemática aponta as potencialidades das tecnologias digitais
para criar novas formas de aprender. Os autores esclarecem que essas novas
formas de aprender referem-se a estabelecer objetivos instrucionais que antes
não eram cogitados nas pesquisas.
Nessa perspectiva, a atividade desenvolvida com o GeoGebra objetivou
estimular discussões acerca dos saberes mobilizados pelos
professores/cursistas ao buscar generalizar o padrão matemático, bem como
analisar a utilização das novas tecnologias no ensino de Álgebra.
Cabe destacar que, antes de utilizar as tecnologias digitais, houve um
momento para uma breve contextualização histórica da Álgebra. Foram
estudados os multissignificados da equação segundo Ribeiro e Cury (2015),
alguns documentos legais, os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,
1998), a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2005), que abordam a
temática Álgebra nas séries finais do Ensino Fundamental e os principais
aspectos do pensamento algébrico apresentados por Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005). Essa etapa foi rica em discussões e reflexões coletivas com
os professores participantes relacionadas aos saberes da Álgebra e da
tecnologia, que foram compartilhados por eles.
39
GENERALIZAÇÃO DAS COORDENADAS DOS CENTROS DOS QUADRADOS Observe a figura, sendo que o 1°quadrado intercepta os eixos nos pontos (1,0) e (0,3),
e responda:
a) Quais as coordenadas do centro do 3°, 4° e 5° quadrado?
b) Qual a coordenada do centro do décimo quadrado?
c) É possível descrever um padrão com o número
do quadrado e as coordenadas do centro?
Como é possível descrever esse padrão?
b) Quais são as coordenadas do centro do trigésimo quinto quadrado?
Fonte: Adaptações de Vale e Pimentel, 2011.
Solução das coordenadas dos centros
Fonte – Organizado pela pesquisadora, 2019.
Nessa atividade foram utilizadas diferentes ferramentas do Geogebra para
determinar as coordenadas dos centros dos quadrados, tais como:
circunferência, polígonos regulares, perpendiculares, diagonais, mediatriz e
outras ferramentas básicas.
Essa atividade apresenta a generalização de um padrão geométrico das
coordenadas do centro dos quadrados Xn=3n-1 e Yn=n+1. Para alcançar essa
generalização, os professores deveriam construir vários quadrados, produzir
mais de um modelo aritmético para estabelecer comparações, perceber a
40
regularidade e desenvolver a linguagem algébrica que expressasse o padrão e
testá-lo.
No final, os professores/cursistas deveriam responder qual foi o caminho
utilizado para identificar as coordenadas dos centros dos quadrados e quais
tópicos matemáticos foram abordados para resolvê-las. Surgiram várias
respostas diferentes, o que favoreceu a interação coletiva entre os
participantes ao discutirem as trajetórias de resolução, até alcançar a
generalização do par ordenado.
Nas discussões, para os professores foi importante mobilizar diversos
conceitos da Álgebra e da Geometria. Observaram a potencialidade de abordar
alguns tópicos, entre eles: leitura, interpretação; coordenadas dos pontos;
números inteiros; relações numéricas; termos de uma sequência; termo geral;
expressões numéricas; variável; expressões algébricas e função.
A segunda atividade a seguir, bem semelhante, foi apresentada aos
professores como outra possibilidade de continuar a primeira abordagem.
GENERALIZAÇÃO DOS CENTROS DOS QUADRADOS NO REFERENCIAL
NEGATIVO Observe a figura:
a) Agora, construa os quadrados do lado esquerdo em que as coordenadas continuem
para a esquerda ...-3,-2,-1,0, conforme o lado esquerdo de uma reta numérica. Quais
as coordenadas do centro do quadrado da posição 0, -1 e -2 ?
b) Quais as coordenadas do centro do quadrado na posição -15?
c) É possível descrever um padrão com o número do quadrado e as coordenadas do
centro? Como se pode descrever esse padrão?
b) Quais as coordenadas do centro do quadrado da posição -100?
Fonte: Adaptações de Vale e Pimentel, 2011.
41
Solução das coordenadas dos centros referencial negativos
Fonte – Organizado pela pesquisadora, 2019.
Essa situação-problema envolveu a generalização das coordenadas do centro
dos quadrados com referencial negativo, que é também igual a Xn=3n-1 e
Yn=n+1. A diferença é que essa situação-problema explora a generalização
utilizando coordenadas com números inteiros negativos.
Com o software Geogebra foram discutidas algumas possibilidades, entre elas,
a calculadora gráfica no ensino da Álgebra, bem como foram realizadas
atividades sobre equações. A atividade, a seguir, consistiu no estudo gráfico de
uma equação do 1° grau com duas variáveis, também representado na figura a
seguir.
42
Ana e Bia são irmãs e juntas têm 42 reais. Sabendo que ambas possuem valores inteiros em reais, qual valor tem cada uma das irmãs? Apresente uma estratégia de resolução para a situação proposta.
Soluções inteiras da equação polinomial do 1°grau com duas variáveis
Fonte: Dante, L. R. 2012
Para os professores, essa situação-problema estimula o aluno a compreender
diferentes tipos de registros algébricos, como o figural, o numérico e o
geométrico, de forma que ele possa interpretar os problemas e atribuir
significados. Com o auxílio do Geogebra foi possível encontrar soluções
inteiras da equação com duas variáveis.
O grupo observou que essa atividade tem uma equação com duas variáveis e
apresenta soluções mais gerais. Assim, é possível inferir, por meio das
discussões coletivas, que predomina o significado dedutivo-geométrico de
equação do 1°grau, segundo Ribeiro e Cury (2015, p.45). Nesse caso, o
conceito de equação está ligado às soluções inteiras representadas na reta.
Posteriormente, foi disponibilizada outra atividade sobre o estudo de sistema
de equações do primeiro grau. A situação-problema proposta aos professores
foi a seguinte:
Em um estacionamento, há 10 veículos, entre motos e carros. Se o total de rodas é 32, quantos carros e quantas motos há nesse estacionamento?
43
Solução do Sistema de Equações Lineares
Fonte: Organizado e elaborado pelas pesquisadoras, 2019.
Nessa atividade, a solução do problema estava no par ordenado de soluções
inteiras encontradas por meio da interpretação geométrica da interseção de
duas retas. Inicialmente, os professores consideraram que, nesse problema, o
significado atribuído às equações estava ligado a uma única solução,
predominantemente aritmética. Após algumas discussões, concluíram que
predominam dois significados de equação: o “intuitivo-pragmático e o dedutivo-
geométrico” (RIBEIRO e CURY, 2005, p.45).
No final dessa situação-problema, foi discutida outra questão, dessa vez
envolvendo a solução de uma equação de 2° grau no GeoGebra. Nas
discussões coletivas foi relevante a opinião da professora P2 referente ao uso
das novas tecnologias.
P2: O GeoGebra é fundamental para ensinar da Álgebra, não só com os alunos, mas para tarefas pessoais como professora, seja no planejamento das aulas, na elaboração de atividades, em avaliações e com a calculadora gráfica.
P3: Todos nós, professores, podemos utilizar as tecnologias educacionais e compartilhar práticas pedagógicas que deram certo em relatos de experiência.
44
Uma questão importante a ser discutida em relação às duas tarefas propostas
anteriormente é que ambas têm soluções discretas, visto que as possíveis
respostas são números inteiros. Alertamos que as atividades no GeoGebra são
contínuas: retas, o que pode gerar tensões. Cabe ao professor formador
incentivar debates e esclarecimentos sobre essa questão para evitar erros
conceituais ao utilizar a representação computacional.
Comentário
O ideal é que as atividades com as tecnologias educacionais
sejam realizadas em um laboratório de informática de uma
escola, mesmo somente com professores. Dessa maneira é
possível trabalhar dentro da realidade escolar, considerando
a escola como lugar de produção de conhecimento.
Neste trabalho, em especial, três professores utilizaram um
computador. Em relação ao GeoGebra, alguns professores já
conheciam o programa, o que contribuiu para desenvolver as
ações propostas. No entanto, mesmo assim apresentamos as
ferramentas básicas do software antes de iniciar as
atividades anteriormente descritas visando estimular um
desempenho mais produtivo ao utilizá-lo. Posteriormente, os
professores foram motivados a falar sobre os conceitos
matemáticos envolvidos e as possíveis contribuições ao
realizar esse trabalho futuramente em sua prática docente. É
importante o formador estimular um momento de discussão
coletiva.
45
O JOGO “ÁLGEBRA DOS VITRÔS”
Fonte – Rede Interativa Virtual de Educação, 2017. Disponível em: Fonte:http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/principal/fundamental/raquel_leonogildo_gustavo_tania/projeto2MX.html
O jogo “Álgebra dos Vitrôs” aborda conceitos de forma significativa para o
estudante ao estabelecer uma articulação entre conceitos e questões reais,
possibilitando a aquisição de um conhecimento conceitual por meio da
resolução de problemas reais. Nesse jogo, em uma situação em uma
vidraçaria, os estudantes devem calcular as medidas das áreas dos vidros
conforme uma medida X solicitada pelos clientes. Para resolvê-la utilizamos o
potencial das tecnologias como ferramenta de apoio na construção de
conceitos matemáticos, induzindo os professores à reflexão e à análise do jogo
e também às possibilidades de desenvolvê-lo em sala de aula. Primeiramente,
os professores acessaram o site em que o objeto de aprendizagem está
disponível, realizaram algumas atividades e, posteriormente, houve um
momento para fazer considerações acerca do jogo. Alguns professores falaram
sobre o jogo e como utilizá-lo em suas aulas, conforme descrito a seguir.
P9: Além de trabalhar de forma lúdica, o jogo amplia a visão da Álgebra, pois o aluno terá que relacionar a linguagem algébrica com a representação geométrica ao calcular a área das figuras. P2: Como na minha escola temos dificuldade de acessar o jogo, posso adaptar esse jogo e utilizar a cartolina, desenhar as figuras e pedir para os alunos responderem as questões.
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Utilizar o jogo contribuiu para realizar as tarefas propostas no curso sobre a
Matemática para o ensino de Álgebra e as relações existentes entre Álgebra e
Geometria. Além disso, as interações nos grupos e as discussões coletivas
favoreceram a ampliação dos saberes da docência e estimularam reflexões
acerca do ensino da Álgebra ao utilizar tecnologias educacionais nas práticas
de sala de aula.
Pelos relatos desses professores de Matemática, os momentos de discussões
após o desenvolvimento de cada atividade resultaram em reflexões
significativas para a construção dos saberes da docência, como destaca os
estudos de Lopes et al. (2016), isto é, a qualidade da formação do professor
está relacionada à forma de organizá-la, bem como às oportunidades de
compartilhar suas ações.
Desse modo, as atividades realizadas no curso com base nesses princípios
apontam possibilidades de ampliar os saberes dos participantes, saberes de
cunho teórico, prático e metodológico.
Comentário
O jogo Álgebra dos Vitrôs é um objeto de aprendizagem
gratuito disponível no site anteriormente citado e pode ser
utilizado on-line ou baixado.
É importante o formador estimular um momento de discussão
coletiva e perguntar aos professores/cursistas sobre os
conceitos e os conteúdos matemáticos envolvidos, bem como
quais poderiam ser as contribuições para a prática docente
ao realizar a atividade proposta.
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6. Formação e o Ambiente Virtual
Este tópico aborda as atividades desenvolvidas no ambiente virtual de
aprendizagem Moodle 3.1 durante a formação continuada e também as
interações e as opiniões dos professores/cursistas durante o curso “Saberes
Docentes de Álgebra”.
1ª Etapa
Uma das atividades no ambiente virtual de aprendizagem (AVA) foi assistir a
um vídeo sobre a temática do curso no link:
https://www.youtube.com/watch?v=SjSHVDfXHQ4
Nesse vídeo, o matemático Arthur Benjamin apresenta padrões matemáticos,
explora as propriedades dos números e a sequência de Fibonacci, além de
destacar que a Matemática é lógica, funcional e inspiradora, o que gerou
reflexões e questionamentos.
Após assistir ao vídeo, os professores foram orientados a acessar o fórum de
discussão e postar suas opiniões, com base nas seguintes perguntas:
O que mais chamou sua atenção no vídeo? Quais as abordagens e as
contribuições do vídeo? Discuta a frase dita pelo matemático Arthur
Benjamin no final do vídeo: Matemática não é só descobrir o valor de x?
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Esse fórum foi o que mais estimulou a interação entre os professores/cursistas.
Em uma das postagens, um participante se expressou conforme transcrito a
seguir:
Ao postar opiniões sobre o vídeo no fórum, os professores refletiram sobre a
própria prática docente de uma Matemática para o ensino na escola básica,
bem como interagiram a respeito das postagens dos colegas no fórum.
Outra atividade não presencial disponibilizada no ambiente virtual de
aprendizagem foi o compartilhamento da solução da seguinte situação-
problema.
Imagine a seguinte situação: Você irá assumir uma turma de 7º ano do Ensino Fundamental II. De acordo com planejamento que lhe foi entregue, você trabalhará o ensino de Álgebra durante as aulas da próxima semana. Sabendo que esse será o primeiro contato da turma com o conteúdo, como você abordaria o assunto?
Uma das soluções postadas no fórum encontra-se transcrita a seguir;
P1: Muitas vezes nos pegamos abordando a Álgebra de forma gelada, utilizando o comodismo das fórmulas e as formas engessadas de resoluções, repetindo o que, talvez, foi passado um dia para a gente. Também notei, assim como supracitado pela P5, o entusiasmo do apresentador em suas explicações e abordagens, e como isso também pode fazer diferença. Precisamos buscar cada vez mais mudanças de foco e modo no ensino da Álgebra/Matemática. (1° fórum, junho, 2017)
P9: Eu introduziria trabalhando com sequências simples, usando apenas números. Passaria algumas e pediria para os alunos descobrirem o que muda. Depois, pediria a eles que criassem uma sequência e trocassem com um colega para que um descobrisse a sequência do outro e só, então, concluiria inserindo o termo algébrico para substituir a variável.
Comentário Muitos professores das séries finais do Ensino Fundamental têm
dificuldade para socializar a prática docente. Desse modo, ao
inseri-los em uma situação problematizada fictícia, é possível
investigar saberes da docência e estimular reflexão sobre a prática
realizada em sala de aula.
49
2ª Etapa No ambiente virtual de aprendizagem, como atividade não presencial, foi
solicitada a leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), da
Base Nacional Comum Curricular (BRASIL, 2015) e das diretrizes do município
de Cariacica/ES, apenas dos recortes dos documentos que abordam a
temática Álgebra nas séries finais do Ensino Fundamental.
Uma videoaula sobre a temática do curso ficou disponível no AVA para os
professores assistirem e postarem sua opinião no fórum sobre as concepções
da Álgebra abordadas. O link para o vídeo é o seguinte:
https://www.youtube.com/watch?v=AYEwEqxcZr4. É um videoaula de introdução à
Álgebra na educação básica.
Nas discussões no fórum a respeito da temática do vídeo, para os professores,
as concepções da Álgebra abordadas nos documentos legais do Ensino
Fundamental foram contempladas na videoaula com exemplos práticos do dia
a dia.
Foi também disponibilizada uma sequência de dez atividades referente à
temática Álgebra, que foram encontradas em livros didáticos de Matemática
das séries finais do Ensino Fundamental, para os professores analisarem as
concepções de Álgebra mais evidentes em cada atividade. Desse modo, no
encontro presencial, foi possível verificar de forma coletiva quais características
do pensamento algébrico, dos conceitos abordados e das concepções da
Álgebra foram mais relevantes para os professores em cada uma das
atividades de uma lista com dez atividades disponibilizadas na plataforma
Moodle, que abordam conhecimentos da Álgebra escolar. Essas atividades
serão apresentadas em uma seção no final deste livro, nas sugestões de
atividades.
3ª Etapa A formação continuada propiciou e estimulou discussões e reflexões acerca do
ensino da Álgebra com base em documentos legais. Para registrar isso, no
encontro presencial os professores/cursistas listaram os principais conceitos
abordados nesses documentos a respeito do ensino de Álgebra.
50
Posteriormente, já com os conceitos listados, criaram conectivos e ligaram os
conceitos por meio de um esquema estruturado, mostrando as principais ideias
abordadas. Posteriormente, elaboraram/construíram um esquema com
características próximas de um mapa conceitual. O objetivo dessa
representação foi obter uma visão geral da Álgebra escolar, após todos
apresentarem os próprios conceitos esquematizados, e estimular uma
discussão. Em seguida, após as discussões e reflexões, foi apresentado o
modelo do mapa conceitual de Paiva (2016) sobre Álgebra escolar.
Mapa Conceitual da Disciplina Debates Conceituais da Álgebra
Fonte: PAIVA, M. A. V. Educimat- Cefor/Ifes, 2016, notas de aula.
Embora tenha sido uma atividade presencial, essa atividade foi disponibilizada
no ambiente virtual, pois os professores não tinham lido os textos propostos
anteriormente no Moodle. Além disso, outros fatores também dificultaram o
trabalho em grupo no encontro presencial, como o número reduzido de
participantes.
51
Assim, é preciso ficar atentos ao contexto e aos contratempos que surgem na
formação, de forma a re-planejar as ações para não perder nem dispersar as
discussões.
4ª Etapa
Como atividade não presencial, foram disponibilizados alguns relatos de
experiências para leitura nos links a seguir:
JUNIOR, A. P. Cálculo algébrico: um relato de uma atividade. In: Educação Matemática na Contemporaneidade: desafios e possibilidades, 2016. http://www.sbem.com.br/enem2016/anais/pdf/6010_3032_ID.pdf PAULA, H. J; BONI, K. T.; PIRES, M. N. M. O pensamento algébrico e a tarefa de padrões: relato de uma experiência nos anos iniciais do ensino fundamental. In: Encontro Paranaense de Educação Matemática, 2014. http://sbemparana.com.br/arquivos/anais/epremxii/ARQUIVOS/RELATOS/titulos/RELA36.PDF O objetivo dos relatos de experiência disponibilizados no ambiente virtual de
aprendizagem foi orientar os professores/cursistas na elaboração do
planejamento da prática pedagógica coletiva e na construção do próprio relato.
5ª Etapa:
Essa atividade consistiu na apresentação pelos professores, por meio de uma
postagem no AVA, do planejamento da atividade prática coletiva, de fotos da
aplicação e de relatos nesse ambiente, de forma a compartilhar com os outros
professores/cursistas do curso. Essas atividades foram elaboradas no encontro
presencial, discutidas, revistas e, posteriormente, aplicadas em suas salas de
aula, contando com a observação e a participação de um ou dois colegas de
curso. Os professores foram liberados do planejamento das aulas em sua
escola para assistir à aula do outro colega/cursista, selecionado com base no
planejamento da aula prática que realizaram de forma coletiva.
52
7. A Formação e as Práticas
Uma das atividades do curso de formação continuada Saberes Docentes de
Álgebra foi o planejamento e a aplicação de uma prática pedagógica de forma
coletiva, posteriormente postada no Moodle, a qual será relatada neste tópico.
Os professores foram divididos em três grupos, com três participantes, e um
grupo, com quatro participantes. A divisão dos grupos foi realizada por eles,
conforme seus interesses e os anos de escolaridade em que trabalhavam.
Alguns se dividiram por atuar em sala de aula no mesmo ano, e outros por
interesse e afinidade em relação ao tipo de abordagem que seria desenvolvida
para ensinar Álgebra. Os planejamentos das práticas pedagógicas poderiam
ser organizados por tema, ano, conteúdo, pré-requisitos, metodologia,
avaliação e referências. Os planejamentos foram realizados em grupos,
deveriam ser postados na plataforma Moodle (como já descrito) e
apresentados no próximo encontro presencial agendado.
Planejamento da prática pedagógica
Fonte: Organizado pelas pesquisadoras, 2019.
Tem-se a seguir um exemplo de um planejamento postado na plataforma
Moodle:
53
Primeira Apresentação: Grupo α
Tema: A balança no estudo das equações
Ano: 7º
Conteúdo: Equação
Pré-requisitos: Números e operações.
Objetivos de aprendizagem:
- Entender o conceito de equação do 1° grau.
- Compreender e manipular expressões algébricas.
- Generalizar situações-problema.
- Estruturar equações com base em uma situação-problema;
Metodologia: Utilizar uma balança e trabalhar na prática com a ideia de
equilíbrio, de conceito de igualdade e equivalência, e o conceito de equação de
1°grau.
ATIVIDADE COM BALANÇA MANIPULÁVEL
Jogo de trilha algébrica e atividades com padrões matemáticos
54
Cada grupo apresentou como foram desenvolvidas as atividades práticas
realizadas em sala de aula, mostrando também o relato da experiência.
Após as apresentações, montamos uma roda de conversa para falar sobre a
formação continuada, bem como dar orientações para acessar o ambiente
virtual de aprendizagem e, assim, responder, individualmente, o questionário
final de avaliação do curso, de maneira a expor suas críticas e dar sugestões.
No que se refere à experiência no curso, o quadro a seguir, com relatos de
alguns professores, permite inferir que ocorreram algumas mudanças em suas
concepções acerca do ensino de Álgebra, dos saberes sobre padrões e
generalizações, e do ensino de Álgebra de maneira em geral. Inclusive, em
alguns casos, até mesmo mudança na prática educativa. Encontra-se
disponível também a opinião do próprio professor ao avaliar sua aprendizagem
no final do curso.
APRENDIZAGENS INDIVIDUAIS DOS PROFESSORES EM RELAÇÃO AO CONTEÚDO DE
PADRÕES E GENERALIZAÇÕES Professor Depoimento
Professora P2 Na verdade, já estão ocorrendo mudanças em minha atuação como professora. Venho refletindo bastante sobre a transição do pensamento aritmético para o algébrico e a dificuldade de abstrair que muitos alunos enfrentam. Assim, tenho estimulado a execução de exercícios em grupos que priorizam padrões e generalizações.
Professora P5 Acho que não explorei em minhas aulas suficientemente o trabalho com padrões e generalizações. Ficava limitada aos exercícios propostos nos livros didáticos, sem intervenções importantes de minha parte que pudessem levá-los a uma concretização do pensamento algébrico.
Professora P9 Agora percebo que as atividades com padrões e generalizações acabam conduzindo os alunos a darem mais sentido à utilização dos símbolos e desenvolverem o pensamento algébrico, sendo este capaz de se manifestar em diversas áreas de conhecimento.
Professora P1 Certamente, minhas aprendizagens estarão presentes no meu dia a dia em sala de aula. Trabalharei com uma mente mais aberta para o ensino da Álgebra, dando ênfase aos padrões em todas as séries. Foi possível perceber a importância de se trabalhar de forma lúdica ou que saia da rotina, e esta também é uma prática que buscarei aplicar sempre que possível e em todos os conteúdos.
Professora P8 O conteúdo de padrões matemáticos e suas generalizações tem suma importância no ensino da Álgebra. Percebi que ele tem o poder de transportar o aluno do concreto para o abstrato de forma sútil e eficiente. Na maioria das vezes, o aluno encontra dificuldades em escrever algebricamente o padrão que ele enxergou. Apenas com prática é que esse obstáculo vai sendo vencido.
Fonte: Acervo da pesquisadora, 2019.
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O quadro a seguir contém indícios de aprendizagens dos professores por meio das
interações e discussões coletivas.
APRENDIZAGENS POR MEIO DA INTERAÇÃO NO GRUPO Professor Depoimento
Professora P2 As reflexões e discussões coletivas da sala de aula me possibilitou ter uma visão mais ampla da Álgebra. A aplicação da aula em conjunto nos mostra como devemos rever nossas práticas pedagógicas, buscar inovar e sair um pouco da zona de conforto para termos melhores resultados.
Professora P5 Pude trocar experiências com outros professores e avaliar minha prática em sala de aula.
Professora P9 A constante interação entre os colegas promovia o aprendizado mútuo. Aspectos importantes da Álgebra eram trazidos para discussão e análise, cada encontro do curso sempre com muito planejamento, que gerava discussões e novas aprendizagens.
Professora P1 O planejamento e a prática junto com os colegas foram muito importantes porque trocamos experiências e um ajudou o outro.
Professora P8 Os relatos dos professores de práticas realizadas em sala de aula possibilitou enxergar novos caminhos no ensino da Álgebra.
Fonte: Acervo da pesquisadora, 2019.
Pelas respostas dadas pelos professores pode-se afirmar que ocorreram
aprendizagens importantes em relação ao conteúdo de padrões e
generalizações, bem como mudanças de postura em sala de aula. As trocas de
experiência mobilizaram saberes que permitiram que uns colaborassem para a
aprendizagem do outro.
No final do curso, os professores se mostraram mais preparados para ensinar
Álgebra na educação básica. Segundo eles, antes, isso era feito de forma
reduzida. Também ressaltaram a importância de trabalhar o conteúdo de
padrões e generalizações no estudo das equações e na formação do
pensamento algébrico.
56
8. SUGESTÕES DE SITUAÇÕES-PROBLEMA
Nas discussões coletivas, os professores falam de suas práticas de sala de
aula, e necessidades emergem das reflexões e das discussões de suas
vivências e práticas pedagógicas. Isso direciona outras ações a serem
tomadas. Nesse sentido, serão propostasalgumas situações-problema que
podem ser trabalhadas durante o curso, de acordo com a necessidade do
grupo.
A seguinte orientação pode ser dada para a seguinte atividade:
Professor, nas situações-problema a seguir, identifique o papel das variáveis,
os aspectos da Álgebra mais evidentes em cada uma delas, e apresente suas
percepções e considerações nas discussões coletivas, de modo a abranger a
prática de sala de aula.
Situação-problema 1: Observe a situação apresentada nas balanças a seguir,
que estão em equilíbrio entre si:
a) No quadro anterior, há dois tipos de representações de uma mesma
situação. Represente essa mesma situação de outra forma, com o
auxílio da linguagem escrita, utilizando variáveis.
b) Se retirarmos as duas caixas, o que acontecerá na segunda balança?
c) Se colocarmos uma garrafa +1kg no lugar de cada caixa da segunda
balança, o que acontecerá?
d) Resolva a situação expressa no quadro, determine qual a massa de
cada caixa de suco e de cada garrafa.
(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula).
57
Situação-Problema 2: A obesidade vem se tornando cada vez mais comum
entre os jovens. Sendo assim, é importante estar atento a hábitos mais
saudáveis de vida, ressaltando uma alimentação mais equilibrada e a prática
de esportes. E, para controlar o peso, existe o IMC, índice de massa corpórea,
um cálculo simples feito por meio de uma fórmula que divide a massa pelo
quadrado da altura, apresentada a seguir.
Após fazer o cálculo e encontrar o IMC, há uma tabela utilizada pela OMS
(Organização Mundial de Saúde) que estabelece critérios para indicar a
situação da pessoa em relação ao resultado encontrado:
Assim sendo,
a) Calcule seu índice de massa corporal.
b) Como está sua condição?
c) Em sua opinião, somente o cálculo do IMC é suficiente para indicar se
uma pessoa é obesa ou não? Justifique.
d) Que tal discutirmos os “padrões de beleza”?
(Adaptado do material do Proeja/Ifes 2010)
Situação-Problema 3: Paula resolve exercícios de Matemática fazendo
passagens mentalmente. Dessa vez ela escreveu três linhas. Seus cálculos
estão corretos?
58
(Adaptado do material do Proeja/Ifes, 2010)
Situação-Problema 4: Observe a sequência de pilhas de cubo:
a) Quantos cubos menores têm em cada construção?
b) Fazendo a próxima (4ª) construção de cubos menores, quantos deles
serão necessários?
c) É possível alcançar um padrão nessa construção. Que padrão é esse?
d) Quantos cubos menores precisaríamos para fazer a enésima (que está
na posição n) construção?
(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula).
59
Situação-Problema 5: Observe a sequência de figuras a seguir:
a) Construa as duas próximas figuras da sequência.
b) A figura 17 terá quantos quadrados no total?
c) Se uma das figuras tem 169 quadrados no total, quantos serão
coloridos? Por quê?
d) Monte uma tabela que traduza a construção da sequência expressa.
e) É possível estabelecer um padrão para construir a sequência acima?
Escreva esse padrão, explicando o porquê dele.
f) O que você entende por padrão?
(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula).
Situação-Problema 6: Observe a tirinha.
a) Explique como foi possível o garoto obter a resposta correta, mesmo não
sabendo o número pensado por seu colega.
b) Escreva uma expressão geral para o problema apresentado na tirinha.
c) Se você pensar em um número diferente de seu colega, as respostas
encontradas por vocês serão diferentes? (Adaptado do material do Proeja/Ifes, 2010)
60
Situação-Problema 7: Qual é a diferença entre o perímetro das figuras
abaixo? E qual a área da figura 2?
(Adaptado Ribeiro e Cury, 2015)
Situação-Problema 8: Observe a sequência de figuras a seguir. Um operário
foi contratado para construir uma calçada em volta de dois lados de um terreno
retangular, como mostra a figura a seguir. O terreno mede 20m por 30m, e a
calçada deve ter sempre a mesma largura. Sabendo que o operário dispõe de
72m2 de lajotas para fazer a obra, qual deve ser a largura da calçada?
(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula).
Situação-Problema 9: Observe as figuras da sucessão seguinte:
61
a) Desenhe a 4ª figura.
b) Decida quantos quadradinhos brancos têm a décima figura, sem construí-la.
c) E na e-nésima?
(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula).
Situação-Problema 10: As figuras abaixo são formadas por quadrados:
Complete a tabela com o número necessário de quadrados para formar as
construções, sabendo que o padrão de crescimento é mantido.
a) Quantos quadrados são necessários para formar a construção da posição n?
b) Quantos quadrados são necessários para formar a 100ª construção?
c) Qual posição da figura pode ser feita com 590 quadrados?
(PAIVA, M. A. V. Cefor/Ifes, 2016, notas de sala de aula)
62
Situação-Problema 11: Observe a sequência:
a) Qual o grupo de repetição?
b) Qual a figura geométrica da 38° posição da sequência?
c) Se em uma sequência tiver 15 quadrados, quantas figuras haverá ao todo?
d) Que posição ocupa o 21° quadrado da sequência?
(Adaptado Vale et al., 2011)
Situação-Problema 12: Considere a sequência:
a) Quantos círculos terá a 6ª Figura?
b) E a centésima figura?
c) Determine o número de círculos para uma figura qualquer.
d) Possui apenas essa expressão algébrica?
(Adaptado de Vale et al., 2011)
Situação-Problema 13: Encontre a expressão algébrica que determina o
número de quadradinhos brancos da e-nésima figura.
(Adaptado do PCN, BRASIL, 1998)
63
Situação-Problema 14: Em um trem, a locomotiva possui 4 rodas de cada
lado e cada vagão possui 6 rodas de cada lado.
a). Quantas rodas tem ao todo um trem de 8 vagões?
b). Escreva uma fórmula que determine o número total de rodas R do trem,
quando houver V vagões.
c). Determine o número de vagões quando o trem tiver um total de 128 rodas.
(TINOCO, 2015)
Situação-Problema 15: A professora Joana está construindo um jogo com
cubos e adesivos. Ela une os cubos por uma das faces e forma filas de cubos.
Em seguida, cola um dos adesivos em cada uma das faces. A figura a seguir
mostra a construção que ela fez com 2 cubos, na qual ela usou 10 adesivos.
a) Descubra quantos adesivos a Joana utiliza em uma construção com:
3 cubos? 4 cubos? 10 cubos? 50 cubos?
b) Descubra, também, qual regra permite saber quantos adesivos a Joana
utiliza na construção desse tipo com um número qualquer de cubos?
c) Se Joana tem 198 adesivos, qual o número maior de cubos que ela pode
colocar na construção?
(TINOCO, 2015)
Situação-Problema 16: Nesta atividade, muito simples, espera-se que os
alunos sejam capazes de expressar a lei geral, pelos menos em palavras.
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D. Lourdes lavou as camisas do time de futebol de seu neto Cacá e vai colocá-
las para secar no dia seguinte da seguinte maneira:
- Cada camisa está presa por dois pregadores
- Cada camisa está ligada à seguinte por um pregador.
a) Quantos pregadores D. Lourdes irá usar para pendurar 8 camisas? E 10
camisas? E 11 camisas?
b) D. Lourdes comprou duas cartelas de 12 pregadores cada. Esse número de
pregadores é suficiente para prender as camisas de 22 jogadores?
c) Escreva a expressão que represente o número de pregadores necessários
para pendurar um número qualquer de camisas?
(TINOCO, 2015)
Situação-Problema 17: Sabendo que o número necessário de quadrados é
dado em função da posição da construção que se quer formar, responda:
a) Seguindo esse mesmo padrão de sequência, e utilizando 100 palitos (no
total), calcule o número de quadrados completos com palitos que a sequência
conterá.
b) É possível estabelecer um padrão para tal sequência? Em caso afirmativo,
que padrão é esse?
(Adaptado Fundação Carlos Chagas, 2015)
65
Situação-Problema 18: Considere que uma mesa quadrada acomoda apenas
4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se apenas 6
pessoas; juntando três dessas mesas, acomodam-se apenas 8 pessoas e,
assim, sucessivamente.
a) Se juntarmos 16 dessas mesas, qual o número de pessoas que poderão ser
acomodadas?
b) Que expressão algébrica representa o número de cadeiras de acordo com a
quantidade de mesas?
(Fundação Carlos Chagas, 2015)
Situação-Problema 19: Para a sequência de polígonos observe a quantidade
de diagonais a seguir:
- Qual expressão algébrica define o número de lados e a quantidade de
diagonais de um polígono qualquer?
(Adaptado Vale et al., 2011)
Situação-Problema 20: Desenhe um triângulo equilátero com, por exemplo, 27
cm de comprimento de lado. Marque os pontos médios de cada um dos lados
do triângulo. Faça a união desses três pontos. Surge outro triângulo equilátero.
Pinte o triângulo do meio. Em seguida, repita, para cada um dos triângulos
vermelhos, o processo anterior e assim sucessivamente, até obter a sequência
de figuras idênticas apresentada a seguir. Ao utilizar esse processo tantas
66
vezes quantas desejar, obtém-se o chamado triângulo de Sierpinski, um dos
exemplos mais conhecidos de fractal.
a). Como é que as áreas de cada um dos triângulos vermelhos se relacionam
com a área do triângulo inicial?
b). Será que alguma área vermelha permanece se continuar o triângulo de
Sierpinski e se continuar o processo com triângulos cada vez menores?
Explique.
c). Complete a tabela abaixo e faça a generalização para a enésima fase.
d). Quais tópicos matemáticos estão envolvidos no desenvolvimento dessa
questão?
(Adaptado Vale et al., 2011)
Fases da Construção Número de Triângulos
Vermelhos
Área de cada um dos
triângulos vermelhos
Área total dos
triângulos vermelhos
Fase 1
1 1 1
Fase 2
3 1/4 3/4
Fase 3
Fase 4
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9. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A formação continuada relatada neste livro teve como pressupostos que a
formação é uma ação social, a docência requer saberes próprios, a prática do
professor tem um papel fundamental na construção de seus saberes e a ênfase
nas ações coletivas contribui para a socialização e a internalização de
entendimentos e experiências. Nessa perspectiva, dentro dos princípios
citados, pode-se afirmar que ocorreu a ampliação dos saberes dos
participantes, saberes de cunho teórico, prático e metodológico.
A experiência de trabalhar de forma coletiva e interativa os conceitos de
generalizações de padrões matemáticos para o ensino da Álgebra foi
imprescindível na construção de saberes da docência. As reflexões das
experiências vivenciadas com os professores em seu contexto de ensino de
Álgebra e as discussões a respeito das práticas diferenciadas de sala de aula
proporcionaram momentos importantes de interação e de trocas. Além disso,
favoreceram e estimularam o surgimento desses saberes, conferindo-lhes uma
valorização sociocultural de quem produz Matemática ao ensinar.
Fase 5
Fase 6
.... ... ...
Fase n
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O trabalho reflexivo e as ações colaborativas desenvolvidas durante as
atividades propostas resultaram em um repensar da prática pedagógica de
forma individual e coletiva. Privilegiaram também a construção de um
entendimento do pensamento algébrico pelos docentes e a (re) construção de
conceitos da Álgebra visando romper com a prática tradicional de ensino.
Essa experiência de formação foi muito significativa para os formadores porque
possibilitou o surgimento de um novo olhar para a formação, isto é, como um
lugar/espaço para discutir conceitos e práticas, que segue uma lógica de uma
cultura profissional, e estimula mudanças significativas no cotidiano docente.
Nessa perspectiva, a prática é lugar de construção de saberes, e a formação
deve e precisa considerar os aspectos socioculturais inerentes à profissão
professor.
Assim, desejamos que as reflexões desse livro possam contribuir
significativamente com os colegas formadores de professores em sua tarefa de
formar professores e ajudá-los a desenvolver uma identidade profissional, bem
com os professores da Educação Básica em suas reflexões sobre o ensino de
Álgebra.
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10. REFERÊNCIAS
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