Emerson Marcos Furtado - GOPEM · Mestre em Métodos Numéricos pela Univer-sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado ... Uma urna composta por 5 bolas, sendo 2 azuis e 3 brancas

Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-

sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.

Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

189

Probabilidades

Introdução A próxima tabela apresenta informações relativas a determinado país.

Probabilidade de... Negros ou pardos Brancos

ser pobre 48% 22%

ser desempregado 7% 6%

não ter carteira assinada 17% 12%

ser empregador 3% 7%

As informações indicam, por exemplo, que de cada 100 negros ou pardos, 48 deles são pobres. Isso significa que, escolhendo ao acaso um negro ou pardo no país, a probabilidade de ele ser pobre é de 0,48 ou 48%. Essa pro-babilidade foi obtida dividindo-se, no país, o número de negros ou pardos que são pobres pelo número total de negros ou pardos. As probabilidades são designadas por eventos. Na tabela, alguns eventos seriam “uma pessoa branca não ter carteira assinada” ou “uma pessoa negra ou parda ser empre-gadora”. Cada evento tem uma probabilidade de ocorrência que pode ser ex-pressa por um número de 0 a 1, ou de forma equivalente, em porcentagem, por um número de 0 a 100%.

A probabilidade de que você venha a morrer algum dia é 1 ou 100%, pois a morte, algum dia, é certa. Em contraste, a probabilidade de um evento im-possível é 0. Por exemplo, a probabilidade de o falecido cantor Renato Russo reaparecer e cantar a música “Pais e Filhos” é 0 ou 0%.

Na realização de um experimento aleatório, ou seja, imprevisível, dois con-juntos descrevem a situação relacionada com as probabilidades: o Espaço Amostral e o Evento Aleatório.

Suponha, por exemplo, que um dado comum composto por seis faces distintas seja lançado.


190

Probabilidades

O conjunto formado por todos os resultados possíveis é denominado Espaço Amostral.

Representando o Espaço Amostral por S, temos:

S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Entre os resultados pertencentes ao Espaço Amostral, poderíamos, por exemplo, desejar um número ímpar. Representando esse subconjunto do Espaço Amostral por A, temos:

A = {1; 3; 5}

Esse conjunto A é definido como Evento Aleatório ou, simplesmente, Evento.

De uma forma geral, Evento é qualquer subconjunto do Espaço Amostral.

Com base nesses conjuntos, como poderíamos calcular a probabilida-de de ocorrer um número ímpar em um único lançamento de um dado comum?

Como um dado comum possui números ímpares em 3 das 6 faces existen-tes, a probabilidade de ocorrer um número ímpar no lançamento do dado é dada por:

p A( )= = = =36

12

0 50 50, %

A probabilidade de um Evento A de um Espaço Amostral S é dada por:

p An An S

( )=( )( )

em que n(A) é o número de elementos do Evento A e n(S) é o número de elementos do Espaço Amostral S.

Observe que a probabilidade é obtida por um quociente. O numerador é formado pela quantidade de resultados favoráveis ao evento que se deseja.


Probabilidades

191

Já o denominador é formado pela quantidade de resultados possíveis do experimento, determinada no Espaço Amostral S.

( ) favoráveis de Ap A

possíveis de S=

A probabilidade de qualquer evento A é representada por um número decimal que varia de 0 a 1, ou, em porcentagem, de 0% a 100%:

0 ≤ p(A) ≤ 1

ou

0% ≤ p(A) ≤ 100%

Um evento é denominado “Certo” quando a correspondente probabili-dade é igual a 1 e “Impossível” quando a probabilidade é igual a 0. Se a pro-babilidade de um evento qualquer é maior do que 50%, mas menor do que 100%, dizemos que o evento é “Provável”, e quando é menor do que 50%, porém maior que 0%, dizemos que é “Improvável”. Caso a probabilidade de ocorrer seja igual a 50%, dizemos que as “Chances são iguais”, ou seja, a pro-babilidade de ocorrer é igual à probabilidade de não ocorrer.

Probabilidade da união de eventos Suponha, por exemplo, que uma urna seja formada por 20 bolinhas, cada

uma contendo um número distinto de 1 a 20. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de se obter um número múltiplo de 2 ou múlti-plo de 5?

Na retirada de uma bola, existem 20 bolas possíveis, ou seja, o Espaço Amostral é dado por:

S = {1; 2; 3; 4; ...; 20}

n(S) = 20

Vamos considerar o Evento A formado pelos números do Espaço Amos-tral que são múltiplos de 2:

A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}

n(A) = 10


192

Probabilidades

O Evento B será formado pelos números do Espaço Amostral que são múltiplos de 5:

B = {5; 10; 15; 20}

n(A) = 4

Se adicionarmos a quantidade de números múltiplos de 2 à de números múltiplos de 5, estaremos considerando duas vezes os múltiplos comuns, ou seja, os múltiplos de 10. Assim, devem também ser considerados os múlti-plos de 10 para que não ocorra uma contagem repetida.

A ∩ B = {10; 20}

n(A ∩ B) = 2

Portanto, a probabilidade de ocorrer um número múltiplo de 2 ou de 5, representada por p(A ∪ B), é igual à quantidade de números múltiplos de 2, adicionada à quantidade de múltiplos de 5, subtraída da quantidade de múltiplos de 10 e, ainda, tal resultado deve ser dividido pela quantidade de elementos do Espaço Amostral:

p A B

p A B

È( )=+ -

È( )= = = =

10 4 220

1220

35

0 60 60, %

Observe, inclusive, que o cálculo da probabilidade da união de A com B faz uso de três probabilidades:

p A B

p A B

p A B p A p B p A B

È( )=+ -

È( )= + -

È( )= ( )+ ( )- Ç( )

10 4 220

1020

420

220


Probabilidades

193

Dessa forma, podemos dizer que a probabilidade da união de eventos A e B é igual à probabilidade de A, adicionada à probabilidade de B e subtraída da probabilidade da intersecção dos Eventos A e B.

Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então A ∩ B = ∅.

Nesse caso, a relação da probabilidade da união pode ser escrita da se-guinte forma:

p A B p A p BÈ( )= ( )+ ( )

Eventos complementares

Dois eventos de um mesmo Espaço Amostral, A e B, são denominados “eventos complementares” quando satisfazem as seguintes condições:

A � ∩ B = ∅

A � ∪ B = S

Por exemplo, no lançamento de um dado comum, os eventos A – número menor que 3 na face superior, e B – número maior que 2 na face superior, são complementares:

A = {1; 2}

B = {3; 4; 5; 6}

S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Quando dois eventos A e B são complementares, a soma das probabilida-des é igual a 1, observe:

p A B p A p B p A B

p S p A p B p

p A p B

È( )= ( )+ ( )- Ç( )

( )= ( )+ ( )- Æ( )

= ( )+ ( )1


194

Probabilidades

Probabilidade da intersecção de eventos Para compreendermos melhor esse tópico de probabilidades, considere

a seguinte situação:

Uma urna composta por 5 bolas, sendo 2 azuis e 3 brancas. Retirando-se ao acaso duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de que a primeira bola seja azul e a segunda seja branca?

Vamos definir alguns eventos:

evento � A: a primeira bola retirada é azul;

evento � B: a segunda bola retirada é branca;

evento � A ∩ B: a primeira bola é azul e a segunda é branca.

A probabilidade do evento A ∩ B é representado por p(A ∩ B) e definido por:

p(A ∩ B) = p(A) . p(B/A)

em que p(B/A) é igual à probabilidade do evento B dado o evento A.

Assim, a probabilidade do evento A ∩ B é igual à probabilidade do evento A multiplicada pela probabilidade do evento B dado A.

Se a urna possui 5 bolas, sendo 2 azuis e 3 vermelhas, a probabilidade de a primeira ser azul é igual a:

p A( )=25

Uma vez retirada uma bola azul, restam na urna 4 bolas, sendo 1 azul e 3 brancas.

Dado que a primeira é azul, a probabilidade de a segunda ser branca é dada por:

p B A/( )=34


Probabilidades

195

Assim, a probabilidade de a primeira ser azul e a segunda ser branca é dada por:

p A B p A p B A

p A B

p A B

Ç( )= ( ) ( )

Ç( )=

Ç( )= = = =

. /

.

, %

25

34

620

310

0 30 30

A probabilidade da interseção pode também ser utilizada em situações em que são avaliados mais de dois eventos.

Observe:

p(A ∩ B ∩ C) = p(A) . p(B/A) . p(C/A ∩ B)

Probabilidade condicional Considere a seguinte situação:

Uma pesquisa foi realizada sobre a preferência entre a música nacional e a estrangeira entre as pessoas provenientes da capital e do interior de um estado.

Os resultados foram organizados na tabela:

Música Nacional Estrangeira Total

Capital 20 40 60

Interior 25 15 40

Total 45 55 100

Em relação aos dados da pesquisa, vamos analisar algumas questões.

Se uma pessoa que participou da pesquisa é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ser do interior?

Observe que a tabela indica que 100 pessoas participaram da pesquisa e, dessas 100 pessoas, exatamente 40 delas são do interior.


196

Probabilidades

Assim, sendo p(I) a probabilidade de a pessoa ser do interior, temos:

p I()=40

100

O resultado destaca a probabilidade de um evento simples.

Se uma pessoa é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ser do inte-rior e preferir música nacional?

Os dados indicam que existem 25 pessoa do interior cuja preferência é a música nacional. Logo, se p(N ∩ I) a probabilidade de a pessoa preferir música nacional e ser do interior, então:

p N IÇ( )=25

100

A probabilidade encontrada refere-se à probabilidade de intersecção de dois eventos.

Mais uma questão a ser analisada:

Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de preferir música nacional dado que é do interior?

Observe que ao se considerar que a pessoa escolhida é do interior, o Espaço Amostral se restringe apenas às pessoas provenientes do interior, ou seja, 40 pessoas. Dessas 40 pessoas que vêm do interior, exatamente 25 delas preferem música nacional.

Dessa forma, se p(N/I) representa a probabilidade de a pessoa escolhida preferir música nacional, dado que é do interior, então:

p N I/( )=2540

Essa probabilidade é condicional, ou seja, é a probabilidade de um evento dada a ocorrência de outro. Em p(N/I) o evento I é certo, enquanto o evento N é incerto.

Para relacionarmos os três resultados obtidos nessas questões, vamos, sem alterar o quociente, dividir numerador e denominador do último resul-tado por 100, que é a quantidade de pessoas que participaram da pesquisa:


Probabilidades

197

p N I/( )=

æèç

öø÷

æèç

öø÷

2510040

100

Observe agora que:

p N IÇ( )=25

100 e p I()=

40100

Logo, substituindo na expressão anterior, temos:

p N Ip N I

p I/( )=

Ç( )()

De uma forma, se A e B são dois eventos possíveis de um mesmo Espaço Amostral S, então a probabilidade de A dado B é igual a:

p A Bp A B

p B/( )=

Ç( )( )

Observe nesta última relação que se multiplicamos ambos os membros por p(B), obtemos a fórmula da probabilidade de intersecção de dois even-tos A e B:

p A Bp A B

p B

p B p A B p Bp A B

p B

/

. / .

( )=Ç( )

( )

( ) ( )= ( )Ç( )

( )

Simplificando, temos:

p B p A B p A B( ) ( )= Ç( ). /

Assim, não estamos necessariamente apresentando uma nova fórmula, mas sim, uma maneira diferente de expressar a mesma relação, destacando o cálculo da probabilidade condicional.


198

Probabilidades

É importante destacar que, salvo casos particulares, p(A / B) ≠ p(B / A), pois:

p A Bp A B

p B

p B Ap A B

p A

/

/

( )=Ç( )

( )

( )=Ç( )

( )

Resolução de questões 1. (Esaf ) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda nor-

mal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem “coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas essas in-formações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a:

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d) 2/3.

e) 3/4.

2. (Esaf ) Todos os alunos de uma escola estão matriculados no curso de Ma-temática e no curso de História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias dificuldades em Matemática e 4% têm sérias dificuldades em His-tória. Ainda com referência ao total dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um dos alunos dessa escola, que lhe diz estar tendo sérias dificuldades em História. Então, a probabilidade de que este aluno esteja tendo sérias difi-culdades também em Matemática é, em termos percentuais, igual a


Probabilidades

199

a) 50%.

b) 25%.

c) 1%.

d) 33%.

e) 20%.

3. (Esaf ) Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se, ao aca-so, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também o acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é:

a) 1/3.

b) 2/9.

c) 1/9.

d) 2/10.

e) 3/10.

4. (Esaf ) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana infor-mando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo tele-fonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a

a) 1/7.

b) 1/3.

c) 2/3.

d) 5/7.

e) 4/7.


200

Probabilidades

5. (Esaf ) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamen-te para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a:

a) 1/3.

b) 1/5.

c) 9/20.

d) 4/5.

e) 3/5.

6. (Esaf ) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca Luís à fren-te de três portas e lhe diz: “Atrás de uma dessas portas encontra-se uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das portas não escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora, nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é igual a:

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 2/3.

d) 2/5.

e) 1.


Probabilidades

201

7. (Esaf ) Uma urna possui 5 bolas azuis, 4 vermelhas, 4 amarelas e 2 verdes. Tirando-se simultaneamente 3 bolas, qual o valor mais próximo da proba-bilidade de que as 3 bolas sejam da mesma cor?

a) 11,53%.

b) 4,24%.

c) 4,50%.

d) 5,15%.

e) 3,96%.

8. (FCC) Em uma caixa há 8 processos a serem arquivados, em cada um dos quais foi colocada uma etiqueta marcada com um único dos números de 1 a 8. Se no interior da caixa os processos não estão ordenados e, para dar início à execução de tal tarefa, um funcionário do Tribunal de Con-tas pegar aleatoriamente dois desses processos, a probabilidade de que nessa retirada os números marcados em suas respectivas etiquetas sejam consecutivos é de

a) 25%.

b) 20%.

c) 12,5%.

d) 10%.

e) 7,5%.

9. (Esaf ) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a pro-babilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a:

a) 0,624.

b) 0,064.

c) 0,216.

d) 0,568.

e) 0,784.


202

Probabilidades

10. (Cesgranrio) Para responder à próxima questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as frequências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

Idades (anos) Frequência acumulada

14 2

15 4

16 9

17 12

18 15

19 18

20 20

Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais?

a) 8/14.

b) 8/16.

c) 8/20.

d) 3/14.

e) 3/16.

11. (Esaf ) Ana é enfermeira de um grande hospital e aguarda com ansiedade o nascimento de três bebês. Ela sabe que a probabilidade de nascer um menino é igual à probabilidade de nascer uma menina. Além disso, Ana sabe que os eventos “nascimento de menino” e “nascimento de menina” são eventos independentes. Desse modo, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é igual a

a) 2/3.

b) 1/8.

c) 1/2.

d) 1/4.

e) 3/4.


Probabilidades

203

Dica de estudo Probabilidades constituem-se em um dos tópicos mais importantes do

Raciocínio Matemático. Dominá-lo exige perseverança e considerável práti-ca de exercícios. Você começa a compreender melhor esse assunto quando domina as regras de adição e multiplicação de probabilidades. Comece pra-ticando com os exercícios mais simples e aumente progressivamente o seu potencial.

Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

Gabarito 1. Vamos resolver esta questão de duas maneiras distintas.

A primeira dessas maneiras será utilizando o conceito de probabilidade condicional.

Sejam os seguintes eventos:

A: a moeda escolhida possui duas caras;

B: a moeda escolhida possui uma cara e uma coroa;

C: a moeda escolhida possui duas coroas.


204

Probabilidades

A pergunta do problema refere-se à probabilidade de se ter escolhido a moeda normal, considerando-se que a face cara está visível. Essa pro-babilidade será representada por P(B/Ca). Logo, utilizando o conceito de probabilidade condicional, temos:

p B Cap B e Ca

p Ca

p B Cap B e Ca

p A e Ca p B e Ca p C e Ca

/

/

( )=( )

( )

( )=( )

( )+ ( )+ ( )

pp B Cap B p Ca B

p A p Ca A p B p Ca B p C p Ca C/

. /. / . / . /

( )=( ) ( )

( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ))

( )=+ +

( )= = =

p B Ca

p B Ca

/.

. . .

/ .

13

12

13

22

13

12

13

02

1636

16

63

13

Logo, se a moeda possui uma face cara visível, a probabilidade de a outra face ser coroa é igual a 1/3.

Resposta: B

Outra forma de se resolver esta questão seria raciocinar que, sendo visí-vel uma face cara, certamente a moeda que possui duas faces coroa não poderia ter sido escolhida, de modo que ou a moeda escolhida foi a que possui duas caras, ou a moeda escolhida é a moeda normal, com uma cara e outra coroa. Ainda, se essas duas moedas são as únicas possíveis de serem escolhidas, então existem 4 faces possíveis sendo duas para cada moeda (cara e cara de uma moeda e cara e coroa de outra). Entretanto, uma das faces está visível e é cara. Se esta face cara já está determinada,


Probabilidades

205

então restam 3 faces possíveis, sendo uma coroa e duas caras. Assim, se das 3 faces possíveis, exatamente uma delas é coroa, a probabilidade é igual a 1/3.

2. Sejam as seguintes probabilidades:

p(M) = 6%: probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em Mate-mática;

p(H) = 4%: probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em História;

p(M e H) = 1%: probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em Ma-temática e História.

Utilizando o conceito de probabilidade condicional, a probabilidade de um aluno ter sérias dificuldades em Matemática dado que tem sérias difi-culdades em História é dada por:

p M Hp M e H

p H

p M H

p M H

/

/ .

/ ,

( )=( )

( )

( )= = =

( )= =

1100

4100

1100

1004

14

0 25 255%

Resposta: B

3. Não há diferença entre informar que a primeira bola é azul e verificar a probabilidade de a segunda ser azul ou de informar que a segunda bola é azul e verificar a probabilidade de a primeira ser azul. Assim, se a segunda bola retirada é azul, na caixa restarão 9 bolas sendo que apenas uma delas é azul. Logo, a probabilidade de a primeira ser azul, dado que a segunda é azul é igual a 1/9.

Resposta: C


206

Probabilidades


p(A) = 3/7: probabilidade de Ana estar em Paris;

p(B) = 2/7: probabilidade de Beatriz estar em Paris;

p(A e B) = 1/7: probabilidade de Ana estar em Paris e Beatriz estar em Paris;

P(B/A): probabilidade de Beatriz estar em Paris, dado que Ana está em Paris.

Utilizando o conceito de probabilidade condicional, temos:

p B Ap B e A

p A

p B Ap A e B

p A

p B A

/

/

/ .

( )=( )

( )

( )=( )

( )

( )= = =

1737

17

73

13

Resposta: B

5. Maria ganhou, ao todo, 20 pulseiras, sendo 12 de prata e 8 de ouro. Das 12 pulseiras de prata, 4 foram presentes de João e 8 foram presentes de Pedro. Se Maria retirou da caixa de joias uma pulseira de prata, então ape-nas 12 pulseiras de prata poderiam ter sido retiradas, já que se sabe que a pulseira retirada não é de ouro, ficam descartadas as 8 pulseiras de ouro. Assim, as 12 pulseiras de prata constituem o espaço amostral do experi-mento que consiste em retirar uma pulseira de prata. Se dessas 12 pulsei-ras de prata possíveis, exatamente 4 delas foram presentes de João, então a probabilidade é igual a 4/12 = 1/3.

Resposta: A


Probabilidades

207

6. A probabilidade de Luís escolher a porta que conduz à barra de ouro na primeira tentativa é igual a 1/3, pois existem 3 portas e apenas uma delas conduz à barra de ouro. Logo, a probabilidade de Luís escolher a porta que conduz a um tigre feroz é igual a 2/3. Se Luís não mudar a porta esco-lhida inicialmente permanecerá com 1/3 de probabilidade de escolher a porta que conduz à barra de ouro.

Por outro lado, se Luís mudar a escolha da porta terá 1 – 1/3 = 2/3 de pro-babilidade de ter escolhido a porta que conduz à barra de ouro. Logo, a probabilidade é igual a 2/3.

Resposta: C

7. É possível tirar três bolas da mesma cor em três situações: tirar três bo-las azuis, tirar três bolas vermelhas ou tirar três bolas amarelas. Como as retiradas são simultâneas, não é possível tirar três bolas verdes, já que existem apenas duas bolas verdes. Logo, a probabilidade de as três bolas serem da mesma cor, representada por p(MC), é dada por:

p(MC) = p(Az e Az e Az) + p(Ver e Ver e Ver) + p(Am e Am e Am)

p MC

p MC

( )= + +

( )= +

515

414

313

415

314

213

415

314

213

602 730

242 7

. . . . . .

33024

2 730

1082 730

18455

0 0396 3 96

+

( )= = @ =p MC , , %

Resposta: E

8. Se existem 8 processos a quantidade de maneiras possíveis de se escolher 2 quaisquer processos é dada por:

C82 8 7

2 128= =

..


208

Probabilidades

Dessas 28 escolhas possíveis, exatamente 7 delas são de dois processos consecutivos. Senão, vejamos: se os processos fossem numerados de 1 a 8, as escolhas de dois processos consecutivos seriam 1 e 2, 2 e 3, 3 e 4, 4 e 5, 5 e 6, 6 e 7, 7 e 8, totalizando 7 escolhas de dois processos cujas etique-tas contenham números consecutivos. Logo, a probabilidade solicitada é dada por:

p = = = =7

2814

0 25 25, %

Resposta: A

9. Se a probabilidade de ocorrer uma venda em uma visita qualquer a um cliente potencial é igual a 0,4, então a probabilidade de não ocorrer a venda é igual a 1 – 0,4 = 0,6.

As vendas constituem eventos independentes, ou seja, o fato de uma venda ser realizada, não altera a probabilidade de outra venda ser rea-lizada. Da mesma forma, se uma venda não é realizada, isto não afeta a probabilidade de outra venda ser ou não realizada.

A probabilidade de, em três visitas, nenhuma venda ocorrer, é dada por:

p = 0,6 . 0,6 . 0,6

p = 0,216

Os eventos “nenhuma venda em três visitas” e “no mínimo uma venda em três visitas” são complementares. Assim, se a probabilidade de ne-nhuma venda ocorrer em três visitas é igual a 0,216, então a probabili-dade de no mínimo uma venda ocorrer em três visitas é dada por:

p = 1 – 0,216

p = 0,784

Resposta: E


Probabilidades

209

10. Inicialmente, observe que as frequências da tabela são acumuladas. Então, para facilitar, vamos calcular as frequências absolutas simples:

Idades (anos) Frequência acumulada Frequência simples

14 2 2

15 4 4 – 2 = 2

16 9 9 – 4 = 5

17 12 12 – 9 = 3

18 15 15 – 12 = 3

19 18 18 – 15 = 3

20 20 20 – 18 = 2

Se já se sabe que o jovem tem 16 anos ou mais, então o espaço amostral se restringe a apenas 16 jovens, ou seja, são excluídos os jovens com 14 ou 15 anos. Entre os que têm pelo menos 16 anos, exatamente 8 deles possuem menos que 18 anos, ou seja, possuem 16 ou 17 anos. Assim, sendo X a idade do jovem escolhido, a probabilidade é igual a 8/16.

Apenas para esclarecer melhor, o seguinte procedimento de cálculo po-deria também ser realizado:

p X Xp X X

p X

p X Xp X

< ³( )=<( )Ç ³( )éë ùû

³( )

< ³( )=£ <

18 1618 16

16

18 1616 1

/

/88

16

18 16

8201620

820

2016

816

( )³( )

< ³( )= = =

p X

p X X/ .

Resposta: B


210

Probabilidades


p(M ∩ M ∩ M) – probabilidade de os três bebês serem do sexo masculino;

p(F ∩ F ∩ F) – probabilidade de os três bebês serem do sexo feminino;

p(MS) – probabilidade de os três bebês serem do mesmo sexo.

Então, a probabilidade de os três bebês serem do mesmo sexo é igual à probabilidade de os três bebês serem do sexo masculino adicionada à probabilidade de os três bebês serem do sexo feminino:

p(MS) = p(M ∩ M ∩ M) + p(F ∩ F ∩ F)

Como os eventos são independentes, o fato de se saber o sexo de um dos bebês não altera as probabilidades de outro bebê, temos:

p(MS) = p(M) . p(M) . p(M) + p(F) . p(F) . p(F)

p MS

p MS

( )= +

( )= + = =

12

12

12

12

12

12

18

18

28

14

. . . .

Resposta: D




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Emerson Marcos Furtado - GOPEM · Mestre em Métodos Numéricos pela Univer-sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado ... Uma urna composta por 5 bolas, sendo 2 azuis e 3 brancas