EN2610-Aula18

Processamento Digital de Sinais Aula 18 Professor Marcio Eisencraft abril 2012

1

Aula 18 Propriedades da Transformada Z Transformada Z inversa

Bibliografia OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edio, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044.

Pginas 451-462. HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Pginas 456-460.

6.3. Propriedades da Transformada Z

As propriedades da Transformada Z so generalizaes das propriedades das transformadas de Fourier de tempo discreto estudadas em captulo anterior.

Vamos apenas citar as seguintes importantes propriedades sem demonstrao.

Linearidade

[ ] [ ][ ] ( ) ( )zXazXanxanxa 22112211 +=+Z ; 21: xx RDCRDCRDC Deslocamento no tempo

[ ][ ] ( )zXznnx n00 =Z ; xRDCRDC : Mudana de escala na frequncia

[ ][ ]

=

a

zXnxanZ ; xRDCRDC : multiplicado por a

Espelhamento

[ ][ ]

=

zXnx 1Z ; xRDCRDC : invertido

Conjugao complexa

[ ][ ] ( ) = zXnxZ ; xRDCRDC :


2

Diferenciao no domnio z

[ ][ ] ( )dz

zdXznnx =Z ; xRDCRDC :

Esta propriedade tambm chamada de propriedade de multiplicao por uma rampa.

Multiplicao

[ ] [ ][ ] ( )

=

Cd

zXXjnxnx

pi1

2121 21

Z ; 21

: xx RDCRDCRDC invertido

em que C um contorno fechado que engloba a origem e est contido no RDC comum.

Convoluo

[ ] [ ][ ] ( ) ( )zXzXnxnx 2121 =Z ; 21: xx RDCRDCRDC Esta ltima propriedade transforma operao de convoluo no domnio do

tempo numa multiplicao entre duas funes. Esta propriedade bastante significativa em muitos sentidos.

Primeiramente, utilizando esta propriedade podemos fazer a convoluo de dois sinais finitos de maneira mais simples, como mostra os exerccios a se-guir.

Exerccios

1. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 85) Sendo [ ] { }4,3,21 =nx para 20 n e [ ] { }6,5,4,32 =nx para 30 n , utilize as propriedades da Transformada Z

para determinar [ ] [ ]nxnx 21 .


3

2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 85) Sendo ( ) 11 32 ++= zzzX e ( ) 122 5342 +++= zzzzX , determine [ ]nx1 , [ ]nx2 e [ ] [ ] [ ]nxnxnx 213 = .

Um segundo uso importante da propriedade da convoluo nos clculos da resposta de sistemas como veremos numa prxima aula.

Esta interpretao particularmente til ao se verificar a expresso da trans-formada Z no Matlab. Note que como o Matlab um processador numrico (ao menos que o toolbox Symbolic seja usado) no se pode obter diretamente a transformada Z.

Uma soluo para este problema seria a seguinte: seja [ ]nx uma sequncia com transformada racional

( ) ( )( )zAzB

zX =

em que ( )zB e ( )zA so polinmios em 1z . Se usarmos os coeficientes de ( )zB e ( )zA como os vetores b e a da funo filter e excitarmos este filtro com

uma sequncia impulso [ ]n ento usando a propriedade da convoluo e tam-bm que [ ][ ] 1=nZ , a sada do filtro ser [ ]nx . Esta uma abordagem numrica para se calcular a antitransformada Z; na

prxima aula discutiremos a abordagem analtica.

6.3.1. Alguns pares comuns de Transformadas Z

Usando a definio e as propriedades da Transformada Z, pode-se determinar a transformada das sequncias mais comuns. A seguir dada uma lista de al-gumas destas sequncias.


4

Figura 1 Tabela de transformadas Z (LATHI, 2007).


5

As principais propriedades das Transformadas Z esto listadas na tabela a seguir.

Figura 2 Propriedades das Transformadas Z (OPPENHEIM; WILKY; NA-WAB, 1999).


6

Exerccios

3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 87) Usando as propriedades e a tabela acima, calcule a transformada Z de:

(a) ( )( ) ( )22 0,5 cos 2 23

n

x n n n u n

=

(b)

(c)

(d) [ ] ( ) [ ]nunnx n

= 415,1

4cos265,20 pi


7

6.4. Inverso da Transformada Z

Como no caso das Transformadas de Laplace, devemos evitar a integrao no plano complexo necessria para obter a transformada Z inversa.

[ ] ( )[ ] ( ) == C n dzzzXjzXnx11

21pi

Z.

Uma abordagem mais prtica o uso da tabela de transformadas vista na se-o anterior.

A maior parte das transformadas ( )zX de interesse prtico so funes racio-nais (razo de polinmios em z ). Tais funes podem ser expressas como uma soma de funes mais simples usando a expanso em fraes parciais.

Este mtodo funciona porque para cada [ ]nx definido para todo 0n , existe uma correspondente ( )zX definida para 0rz > (em que 0r uma constante) e vice-versa.

Exerccios

4. (LATHI, 1998, p.677) Encontre a transformada z inversa de ( )( )3298

zz

z.

5. (NISE, 2002, p. 567) Determine a funo no domnio do tempo amostrado tal que a transformada seja:

( ) ( )( )7,05,05,0

=

zz

zzF

.


8

6.4.1. Transformada Inversa pela expanso de ( )zF em sries de potncias

Por definio

( ) [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

++++=

++++=

=

=

3210

32

0

3210

3210

zfzfzfzfz

fz

fz

ff

znfzFn

n

Assim, temos uma srie em 1z . Assim, se pudermos expandir ( )zF numa srie de potncias em 1z , os coeficientes desta srie de potncia podem ser

identificados como [ ]0f , [ ]1f , [ ]2f , [ ]3f ,... e assim por diante.

Uma ( )zF racional pode ser expandida numa srie de potncias de 1z pela diviso de seu numerador pelo seu denominador. Considere por exemplo,

[ ] ( )( )( )( ) ++++=

= 321

2

87,1123,119,9715,02,0

27zzz

zzz

zzzF

Assim, [ ] 70 =f , [ ] 9,91 =f , [ ] 23,112 =f , [ ] 87,113 =f ,... e assim por diante.

Exerccios

6. (NISE, 2002, p. 567) Determine a funo no domnio do tempo amostrado tal que a transformada seja:

( ) ( )( )7,05,05,0

=

zz

zzF

utilizando sries de potncias.

7. (NISE, 2002, p. 568) Determine [ ]nf se ( ) ( )( )( )( )( )9,07,05,021

++=

zzz

zzzzF .


9

8. (NISE, 2002, p. 598) Para cada ( )zF , obtenha [ ]nf usando expanso em fra-es parciais:

(a) ( ) ( )( )( )( )( )8,06,05,053

++=

zzz

zzzzF

(b) ( ) ( )( )( )( )( )8,05,01,04,02,0

++=

zzz

zzzF

(c) ( ) ( )( )( )( )6,05,02,01

++=

zzz

zzzF

9. (NISE, 2002. p. 598) Para cada ( )zF no Exerccio 8, faa o seguinte: (a) Obtenha [ ]nf utilizando expanso em sries de potncia. (b) Verifique os resultados contra as respostas do Exerccio 8.

Documents

EN2610-Aula18