Processamento Digital de Sinais – Aula 18– Professor Marcio Eisencraft – abril 2012

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Aula 18 Propriedades da Transformada Z

Transformada Z inversa Bibliografia

� OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044.

Páginas 451-462.

� HAYKIN, S. S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 456-460.

6.3. Propriedades da Transformada Z

� As propriedades da Transformada Z são generalizações das propriedades das

transformadas de Fourier de tempo discreto estudadas em capítulo anterior.

� Vamos apenas citar as seguintes importantes propriedades sem demonstração.

Linearidade

[ ] [ ][ ] ( ) ( )zXazXanxanxa 22112211 +=+Z ; 21

: xx RDCRDCRDC ∩

Deslocamento no tempo

[ ][ ] ( )zXznnx n00

−=−Z ; xRDCRDC :

Mudança de escala na frequência

[ ][ ]

=a

zXnxan

Z ; xRDCRDC : multiplicado por a

Espelhamento

[ ][ ]

=−z

Xnx1

Z ; xRDCRDC : invertido

Conjugação complexa

[ ][ ] ( )∗∗∗ = zXnxZ ; xRDCRDC :

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Diferenciação no domínio z

[ ][ ] ( )dz

zdXznnx −=Z ; xRDCRDC :

Esta propriedade também é chamada de propriedade de “multiplicação por uma

rampa”.

Multiplicação

[ ] [ ][ ] ( )∫−

=C

dz

XXj

nxnx ννννπ

12121 2

1Z ;

21: xx RDCRDCRDC ∩ invertido

em que C é um contorno fechado que engloba a origem e está contido no RDC

comum.

Convolução

[ ] [ ][ ] ( ) ( )zXzXnxnx 2121 =∗Z ; 21

: xx RDCRDCRDC ∩

� Esta última propriedade transforma operação de convolução no domínio do

tempo numa multiplicação entre duas funções. Esta propriedade é bastante

significativa em muitos sentidos.

� Primeiramente, utilizando esta propriedade podemos fazer a convolução de

dois sinais finitos de maneira mais simples, como mostra os exercícios a se-

guir.

Exercícios

1. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 85) Sendo [ ] { }4,3,21 =nx para 20 ≤≤ n e

[ ] { }6,5,4,32 =nx para 30 ≤≤ n , utilize as propriedades da Transformada Z

para determinar [ ] [ ]nxnx 21 ∗ .

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2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 85) Sendo ( ) 11 32 −++= zzzX e

( ) 122 5342 −+++= zzzzX , determine [ ]nx1 , [ ]nx2 e [ ] [ ] [ ]nxnxnx 213 ∗= .

� Um segundo uso importante da propriedade da convolução é nos cálculos da

resposta de sistemas como veremos numa próxima aula.

� Esta interpretação é particularmente útil ao se verificar a expressão da trans-

formada Z no Matlab. Note que como o Matlab é um processador numérico

(ao menos que o toolbox Symbolic seja usado) não se pode obter diretamente

a transformada Z.

� Uma solução para este problema seria a seguinte: seja [ ]nx uma sequência

com transformada racional

( ) ( )( )zA

zBzX =

em que ( )zB e ( )zA são polinômios em 1−z . Se usarmos os coeficientes de ( )zB e

( )zA como os vetores b e a da função filter e excitarmos este filtro com

uma sequência impulso [ ]nδ então usando a propriedade da convolução e tam-

bém que [ ][ ] 1=nδZ , a saída do filtro será [ ]nx .

� Esta é uma abordagem numérica para se calcular a antitransformada Z; na

próxima aula discutiremos a abordagem analítica.

6.3.1. Alguns pares comuns de Transformadas Z

� Usando a definição e as propriedades da Transformada Z, pode-se determinar

a transformada das sequências mais comuns. A seguir é dada uma lista de al-

gumas destas sequências.

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Figura 1 – Tabela de transformadas Z (LATHI, 2007).

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� As principais propriedades das Transformadas Z estão listadas na tabela a

seguir.

Figura 2 – Propriedades das Transformadas Z (OPPENHEIM; WILKY; NA-

WAB, 1999).

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Exercícios

3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 87) Usando as propriedades e a tabela acima,

calcule a transformada Z de:

(a) ( )( ) ( )2

2 0,5 cos 2 23

n

x n n n u n

π− = − − −

(b)

(c)

(d) [ ] ( ) [ ]nunnxn

−= 415,14

cos265,20π

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6.4. Inversão da Transformada Z

� Como no caso das Transformadas de Laplace, devemos evitar a integração no

plano complexo necessária para obter a transformada Z inversa.

[ ] ( )[ ] ( )∫−− ==

C

n dzzzXj

zXnx 11

21π

Z.

� Uma abordagem mais prática é o uso da tabela de transformadas vista na se-

ção anterior.

� A maior parte das transformadas ( )zX de interesse prático são funções racio-

nais (razão de polinômios em z ). Tais funções podem ser expressas como

uma soma de funções mais simples usando a expansão em frações parciais.

� Este método funciona porque para cada [ ]nx definido para todo 0≥n , existe

uma correspondente ( )zX definida para 0rz > (em que 0r é uma constante) e

vice-versa.

Exercícios

4. (LATHI, 1998, p.677) Encontre a transformada z inversa de ( )( )32

98

−−−zz

z .

5. (NISE, 2002, p. 567) Determine a função no domínio do tempo amostrado tal

que a transformada seja:

( ) ( )( )7,05,0

5,0

−−=

zz

zzF .

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6.4.1. Transformada Inversa pela expansão de ( )zF em séries de potências

� Por definição

( ) [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] …

⋯

++++=

++++=

=

−−−

∞

=

−∑

3210

32

0

3210

3210

zfzfzfzf

z

f

z

f

z

ff

znfzFn

n

� Assim, temos uma série em 1−z . Assim, se pudermos expandir ( )zF numa

série de potências em 1−z , os coeficientes desta série de potência podem ser

identificados como [ ]0f , [ ]1f , [ ]2f , [ ]3f ,... e assim por diante.

� Uma ( )zF racional pode ser expandida numa série de potências de 1−z pela

divisão de seu numerador pelo seu denominador. Considere por exemplo,

[ ] ( )( )( )( ) …++++=

−−−−= −−− 321

2

87,1123,119,9715,02,0

27zzz

zzz

zzzF

Assim, [ ] 70 =f , [ ] 9,91 =f , [ ] 23,112 =f , [ ] 87,113 =f ,... e assim por diante.

Exercícios

6. (NISE, 2002, p. 567) Determine a função no domínio do tempo amostrado tal

que a transformada seja:

( ) ( )( )7,05,0

5,0

−−=

zz

zzF

utilizando séries de potências.

7. (NISE, 2002, p. 568) Determine [ ]nf se ( ) ( )( )( )( )( )9,07,05,0

21

−−−++=

zzz

zzzzF .

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8. (NISE, 2002, p. 598) Para cada ( )zF , obtenha [ ]nf usando expansão em fra-

ções parciais:

(a) ( ) ( )( )( )( )( )8,06,05,0

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−−−++=

zzz

zzzzF

(b) ( ) ( )( )( )( )( )8,05,01,0

4,02,0

−−−++=

zzz

zzzF

(c) ( ) ( )( )( )( )6,05,0

2,01

−−++=zzz

zzzF

9. (NISE, 2002. p. 598) Para cada ( )zF no Exercício 8, faça o seguinte:

(a) Obtenha [ ]nf utilizando expansão em séries de potência.

(b) Verifique os resultados contra as respostas do Exercício 8.