ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I - Inicial — … Haffner/aula21.pdf1 ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I Aulas 21 – Circuitos de 1 ª ordem: an álise no dom ínio do tempo Circuitos

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ENG04030ENG04030ANANÁÁLISE DE CIRCUITOS ILISE DE CIRCUITOS I

Aulas 21 Aulas 21 –– Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem: anordem: anáálise lise no domno domíínio do temponio do tempo

Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem (RL e RC), resposta natural ordem (RL e RC), resposta natural (comportamento livre) de circuitos RL e RC(comportamento livre) de circuitos RL e RC

SSéérgio Haffnerrgio Haffner

ENG04030 ENG04030 -- ANANÁÁLISE DE CIRCUITOS ILISE DE CIRCUITOS I

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Comportamento de capacitores e Comportamento de capacitores e

indutoresindutoresC e L têm capacidade de armazenar energiaC e L têm capacidade de armazenar energia�� C C –– armazena energia no campo elarmazena energia no campo eléétrico (carga)trico (carga)

�� L L –– armazena energia no campo magnarmazena energia no campo magnéético (fluxo)tico (fluxo)

C e L reagem C e L reagem ààs varias variaçções em seu estado de ões em seu estado de operaoperaççãoão

vv((tt)) = = vvnn((tt)) + + vvff((tt) ) ee ii((tt)) = i= inn((tt)) + + iiff((tt))

�� duas componentesduas componentesresposta natural: resposta natural: iinn((tt)) e e vvnn((tt))

�� independente da fonteindependente da fonte

resposta forresposta forççada: ada: iiff((tt)) e e vvff((tt))

�� dependente da fontedependente da fonte

�� nos circuitos estnos circuitos estááveis, segue o padrão da fonteveis, segue o padrão da fonte

serseráá estudada a resposta ao degrauestudada a resposta ao degrau

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Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem elementaresordem elementares

Com apenas 1 capacitor ou 1 indutor, resistores e fontes CC, temCom apenas 1 capacitor ou 1 indutor, resistores e fontes CC, tem--se 4 se 4

configuraconfiguraçções possões possííveis (obtidas a partir dos circuitos equivalentes de veis (obtidas a partir dos circuitos equivalentes de

ThThéévenin e Norton)venin e Norton)

�� pode haver mais de um indutor ou mais de um capacitor desde que pode haver mais de um indutor ou mais de um capacitor desde que

estejam conectados de tal forma que possam ser substituestejam conectados de tal forma que possam ser substituíídos por um dos por um

úúnico elemento equivalentenico elemento equivalente

Para circuitos sem fontes, existem 2 configuraPara circuitos sem fontes, existem 2 configuraçções possões possííveisveis


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Circuito RC Circuito RC –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial

Circuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé

EquaEquaçção do não do nóó superior (corrente saindo positiva)superior (corrente saindo positiva)

( )( )

( )( )

1 10 0

dv t dv tC v t v t

dt R dt RC+ = ⇒ + =

( )0 0v t V=

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1 1ln

1 1ln ln ln

t t t t

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v tt t t t

V RC RC

dv tdt

v t RC

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v x RC RC

v tv t v t t t t t

RC V RC

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− −= ⇒ =

− −− = − ⇒ = −

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Circuito RC Circuito RC –– resposta naturalresposta natural

CaracterCaracteríística da tensãostica da tensão

�� Forma de onda não depende da condiForma de onda não depende da condiçção inicialão inicial

�� DuraDuraçção depende da constante de tempo (ão depende da constante de tempo (ττ, dada em segundos, dada em segundos))

( )0 0v t V=

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1

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t tRCv t V e

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Circuito RC Circuito RC –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção a partir da expressão da respostaão a partir da expressão da respostaCircuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé

EquaEquaçção do não do nóó superior (corrente saindo positiva)superior (corrente saindo positiva)

A soluA soluçção desta equaão desta equaççãoão

diferencial tem a seguinte formadiferencial tem a seguinte forma

Substituindo a soluSubstituindo a soluçção na equaão na equaçção homogênea, temão homogênea, tem--sese

equaequaçção diferencial linear homogênea (todos os termos têm ão diferencial linear homogênea (todos os termos têm

relarelaçção de 1ão de 1ºº grau com a varigrau com a variáável dependente ou sua derivada)vel dependente ou sua derivada)

( ) ( )0s t tv t Ke

−=

( ){ } ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

0 0 0 0

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0 0

1

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1 10

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s t t

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Circuito RC Circuito RC –– resposta naturalresposta natural

No circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fecNo circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fechada, hada,

determinar o valor da tensão determinar o valor da tensão vv em em tt=200=200µµss

�� Determinar circuito antes (condiDeterminar circuito antes (condiççãoão

inicial) e depois (situainicial) e depois (situaçção final)ão final)

da abertura da chaveda abertura da chave


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ExercExercííciocio

Sabendo que a chave permaneceu muito tempo Sabendo que a chave permaneceu muito tempo

conectando o capacitor ao circuito da direita, antes de ser conectando o capacitor ao circuito da direita, antes de ser

deslocada para esquerda em deslocada para esquerda em tt=0=0, determinar:, determinar:

�� a expressão da tensão sobre o capacitor para a expressão da tensão sobre o capacitor para tt≥≥00

�� o valor da tensão em o valor da tensão em tt=2 =2 msms

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Circuito RL Circuito RL –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial

Circuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé

EquaEquaçção da malha (sentido horão da malha (sentido horáário)rio)

( )( ) ( )

( )0 0di t di t R

Ri t L i tdt dt L

+ = ⇒ + =

( )0 0i t I=

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Circuito RL Circuito RL –– resposta naturalresposta naturalsolusoluçção a partir da expressão da respostaão a partir da expressão da respostaCircuito sem fontes no qual a condiCircuito sem fontes no qual a condiçção inicial ão inicial éé

EquaEquaçção de malha (sentido horão de malha (sentido horáário)rio)

A soluA soluçção desta equaão desta equaççãoão

diferencial tem a seguinte formadiferencial tem a seguinte forma

Substituindo a soluSubstituindo a soluçção na equaão na equaçção homogênea, temão homogênea, tem--sese

( )0 0i t I=

( ) ( )0s t ti t Ke

−=

equaequaçção diferencial linear homogênea (todos os termos têm ão diferencial linear homogênea (todos os termos têm

relarelaçção de 1ão de 1ºº grau com a varigrau com a variáável dependente ou sua derivada)vel dependente ou sua derivada)

( )( ) ( )

( )0 0di t di t R

Ri t L i tdt dt L

+ = ⇒ + =

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0 0 0 0

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s t t

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+ = ⇒ + =

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Circuito RL Circuito RL –– resposta naturalresposta natural

CaracterCaracteríística da correntestica da corrente

�� Forma de onda não depende da condiForma de onda não depende da condiçção inicialão inicial

�� DuraDuraçção depende da constante de tempo (ão depende da constante de tempo (ττ, dada em segundo, dada em segundo))

( )0 0i t I=

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Circuito RL Circuito RL –– resposta naturalresposta natural

No circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fecNo circuito da figura, sabendo que a chave ficou muito tempo fechada, hada,

determinar o valor da tensão determinar o valor da tensão vv em em tt=200ms=200ms

�� Determinar circuito antes (condiDeterminar circuito antes (condiççãoão

inicial) e depois (situainicial) e depois (situaçção final)ão final)

da abertura da chaveda abertura da chave

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Sabendo que a chave permaneceu muito tempo Sabendo que a chave permaneceu muito tempo

conectando a fonte ao circuito, antes de ser desconectada conectando a fonte ao circuito, antes de ser desconectada

em em tt=0=0, determinar:, determinar:

�� a expressão da corrente no indutor de 1 mHa expressão da corrente no indutor de 1 mH

�� o valor desta corrente para o valor desta corrente para tt=2 =2 µµss


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Sabendo que a chave fecha em Sabendo que a chave fecha em tt=0=0, determinar:, determinar:

�� a expressão da corrente no indutor e na chavea expressão da corrente no indutor e na chave

�� o valor destas corrente em o valor destas corrente em tt=0,15 s=0,15 s

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ExercExercíício cio –– resultadoresultadoSabendo que a chave fecha em Sabendo que a chave fecha em tt=0=0, determinar:, determinar:

�� a expressão da corrente no indutor e na chavea expressão da corrente no indutor e na chave

�� o valor destas corrente em o valor destas corrente em tt=0,15 s=0,15 s

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ExercExercíício cio –– resultadoresultado

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ExercExercíício cio –– resultado 1/2resultado 1/2

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ExercExercíício cio –– resultado 2/2resultado 2/2

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