Enrique Rocha - Raciocinio Logico Para Concursos - 3a Ed. 2010

Enrique Rocha

Raciocnio Lgico para ConcursosVoc consegue aprender

3a edio

Niteri2010

1

2010, Editora Impetus Ltda.

E d ito ra Im petu s L tda.Rua Alexandre Moura, 51 - Gragoat - Niteri - CEP: 24210-200 - Teldx: (21) 2621-7007

P ro jeto e E ditorao E lete n ica : E ditora Impetus L tda.

C apa: Wilson C otium

R eviso d e P ortugus: B ecker programao e T exto s L tda.

Im presso e encadernao: S ermocraf Artes G rficas L tda.

R572r -Rocha, Enrique.

Raciocnio lgico para concursos : voc consegue aprender: teoria e questes / Enrique Rocha. - 3. ed. rev. - Niteri, R J: Impetus, 2010,

384 p .; 17 x 24 cm.

ISBN 978-85-7626-420-0

f.f.

1. Servio pblico - Brasil - Concursos. 2. Lgica simblica e matemtica - Problemas, questes, exerccios. I. Ttulo.

CDD-351.81076

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS - proibida a reproduo, salvo pequenos trechos, menrionando-s a fonje. A violao do direitos autorais {Lei ns 9.610/98) crime {art. I &4 do Cdigo Penai), Depiito lega! na Biblioteca Nacional, conforme Decreto n* L825, de 20/12/1907. |jjj^'

O autor seu professor; respeite-o: no faa cpia ilegal.A Editora Impetus in fo rm a que se responsabiliza pelos defeitos grficos da obra. Quaisquer vidos do produto concernentes aos conceitos doutrinrios, s concepes ideolgicas, s referncias, originalidade e atualizao da obra sSo de total responsabilidade do autor/aiualizador.

www.editoraimpetus.com.br

Agradecimentos_________________________________ B

A DEUS, em primeiro lugar, por tudo em minha vida.A minha me, Maria Luiza (in memoriam), que me amou em

toda a sua vida.A minha esposa, Karina, por ser minha melhor amiga, minha

companheira, e me apoiar incondicionalmente nessa jornada.Ao meu pai, Almachio, por me ter ajudado em toda a

minha vida e especialmente neste trabalho, melhorando e fazendo importantes observaes.

s minhas filhas, Mariana e Milena, pela sua importncia e pelo significado na minha vida.

Aos meus meninos, Guilherme e Victor, por colaborarem grandemente com as minhas alegrias dirias.

Ao meu irmo, Almachio, que, por meio de sua empresa, KAIZEN-CTD, tem me dado a oportunidade de aperfeioar as aulas e a metodologia de ensino do raciocnio lgico.

Aos meus sogros, Zenor e Nininha, que tm acompanhado nossas lutas e delas participado ativamente.

Ao Lus Fernando Pimentel, em Braslia, por me ter dado a oportunidade de iniciar minhas experincias como professor de cursos preparatrios para concursos.

A todos aqueles que, por terem assistido s minhas aulas, me ajudaram a encontrar um caminho claro para o estudo do Raciocnio Lgico.

Aos amigos que acreditaram nesse trabalho, adquiriram o livro e colaboraram com observaes de extrema importncia para que o material pudesse ser aperfeioado.

O Autor&

E nrique R ocha, brasiense, dedicou-se desde a juventude ao estudo de Matemtica, Fsica e informtica. Formou-se em Matemtica em Braslia pelo UNICEUB e cursou Ps-Graduao em Engenharia de Sistemas.

Atuou por 17 anos como analista de sistemas, gerenciando equipes de desenvolvimento de software em diversas empresas. Ensinou Matemtica, Informtica e Raciocnio Lgico em diversos cursos preparatrios para concursos pblicos, no Brasil.

Atualmente trabalha no Ministrio da Sade, em Braslia, atuando no Escritrio de Gesto e Projetos e Processos da Coordenao Geral de Inovao Gerencial.

Apresentao da Srie

A preparao para concursos pblicos composta por diversas etapas, dentre as quais se destaca a escolha e seleo dos materiais adequados ao estudo de cada disciplina. Ao longo dos anos, o mercado de apoio ao concurso vem se expandindo medida que aumenta a procura de cidados pela boa remunerao e estabilidade asseguradas pelo cargo pblico. Observando este cenrio e acompanhando as demandas e preferncias dos concurseiros, a Editora Impetus oferece a Srie Impetus Concursos, apresentando aos leitores os contedos mais completos e atualizados para sua preparao.

Reforando o carter completo das obras, a Srie prima pela adequao constante aos contedos abordados em concursos por meio do desenvolvimento de uma estrutura diferenciada, pensada especificamente para cada disciplina, atendendo, assim, s suas peculiaridades. Seu objetivo alcanar a compreenso plena do contedo apresentado, pelo destaque das caractersticas essenciais e respeito lgica interna da matria. Para isso, disponibiliza o mximo de contedo da maneira mais eficiente, sem desperdiar tempo de estudo ao abordar assuntos que no so cobrados pelas bancas.

Editora Impetus

Palavras do Coordenador _________________________

Em seu volume Raciocnio Lgico - Voc Consegue Aprenderapresenta de forma didtica e descomplicada a sntese da teoria que rege este, que um dos mais temidos tpicos, e cada vez mais cobrado pelas mais respeitadas e exigentes bancas do pas. Sobressaem nessa edio as tcnicas de resoluo dos exerccios e esquemas que encorajam o leitor a ultrapassar suas dificuldades com a matria e desvend-la. Apresenta, ainda, uma coletnea de questes para que o concurseiro possa treinar seus conhecimentos e cujos gabaritos so veiculados ao final da obra oferecendo, ainda, questes comentadas e resolvidas passo a passo com enfoque nos itens nos quais pairam as maiores dvidas dos estudantes.

Enrique Rocha, referncia no estudo de raciocnio lgico para concursos, apresenta um manual de raciocnio lgico, fruto de seu estudo, pesquisa e experincia como professor, para todos aqueles que precisam desenvolver seus conhecimentos e garantir sua colocao.

W i l l i a m D o u g l a s

Professor, Escritor e Juiz Federal

Apresentao

com muito prazer que ofereo a voc este livro sobre Raciocnio Lgico. Ele fruto de estudos, pesquisas e experincias que tive no decorrer de minha vida. As pesquisas incluem provas de concursos anteriores, apostilas e livros escritos por outros professores e pginas na internet.

Talvez voc seja um dos que j trazem consigo uma imagem predefmida a respeito das matrias de que gosta e por isso consegue aprender e daquelas com as quais definitivamente no se d bem.

Se Raciocnio Lgico estiver, para voc, neste ltimo grupo, quero encoraj-lo a esquecer-se um pouco disso e dar uma mergulhada inicial, dando-me a chance de mostrar-lhe as coisas de uma forma talvez um pouco diferente do que j conhece.

Este livro mostrar a voc que Raciocnio Lgico no somente para gnios ou para as pessoas que amam a Matemtica. ^ o contrrio, um estudo interessante, sem mistrios, agradvel e qu despertar em voc a curiosidade e a vontade de saber um pouco mais.

A partir da compreenso inicial, e em se tratando de um ramo das Cincias Exatas, imprescindvel que voc tente resolver muitos exerccios, dentro da maior variedade possvel.

Um outro aspecto que deve chamar sua ateno o mtodo que estarei apresentando para a resoluo de cada um dos tipos de problemas.

Tome muito cuidado ao adotar uma forma de resoluo para um determinado tipo de problema, porque, mesmo que esteja chegando s solues, voc pode estar indo por um caminho muito mais longo ou, ainda, usando algumas meias-verdades como se fossem totalmente verdadeiras.

Nesses casos, comum vermos pessoas que acertaram os problemas, mas, quando vamos validar o caminho adotado por elas, demonstramos que se a pergunta tivesse sido um pouco diferente, elas teriam errado a resposta. Ou, no mnimo, teriam ido por um caminho muito mais longo e gasto desnecessariamente um tempo que sabemos ser precioso em uma prova.

Como voc no quer depender do destino para passar em seu concurso, preste ateno aos mtodos apresentados nesse livro, porque eles certamente tratam as questes da forma mais simples, configurando-se como importantes ferramentas a serem por voc utilizadas.

Bom estudo, e... sucesso!

Prof. Enrique Rocha

Sumrio____________________________ m

Captulo 1 - Conhecendo os Vrios Tipos de Problema........ ................................ .......1

Captulo 2 - Problemas sobre Correlacionamento........................................................... 72.1. Problemas Envolvendo Correlao entre Elementos....... ........................................72.2. Consideraes Finais sobre a Tcnica.....................................................................242.3. Exerccios Resolvidos de Correlacionamento.........................................................25

Exerccios Complementares de Tabelas..................................................................61Gabarito de Exerccios de Correlacionamento........................................................62

Captulo 3 - lgebra das Proposies............................................................................633.1. Proposio............................................................................................................ 63

3.1.1. Proposies Abertas e Proposies Fechadas............................................ 643.1.2. Proposies Simples e Proposies Compostas.........................................643.1.3. Representao Literal das Proposies......................... ............................ 64

3.2. Tabela-verdade................ ...................................................................................... 643.3. Proposies Equivalentes (Smbolo o ) .................................................................653.4. Tautologias, Contradies e Contingncias................................................. ....... 653.5. Operaes com Proposies........... ....................................................................... 65

3.5.1. Propriedades de uma operao.................................................................. 663.6. Negao: No p (representao: -p )......................................................................66

3.6.1. Modos de Negao de uma Proposio.....................................................673.7. Disjuno (inclusiva): p ou q (Representao: p v q ) ...........................................67

3.7.1. Negao da Disjuno: No P e No Q .....................................................683.7.2. Propriedades........................................,................. ........................... ..... 69

3.8. Disjuno Exclusiva: Ou p ou q (Representao: p v q)........................................693.8.1. Negao de ou p OU q (A ser Estudada Posteriormente)......................... 703.8.2. Propriedades............................................................................................. 70

3.9. Conjuno: p e q (Representao: p A q ).............................................. ................703.9.1. Negao da conjuno: No p ou No q ................................................... 713.9.2. Propriedades.............................................................................................71

3.10. Implicao: Se p ento q (Representao: p -> q)................................................. 723.10.1. Negao da Implicao: p e no q ............................................................. 743.10.2. Equivalncia da Implicao: No q -> no p ..... ......................... ............. 74

3.11. Condio Suficiente. Condio Necessria........................................................... 753.12. Dupla Implicao: Se p ento q e se q ento p (Representao: p q)................ 76

3.12.1. Negao da Dupla Implicao: Ou p ou q (Exclusivo).............................763.13. Condio Necessria e Suficiente..........................................................................773.14. Tautologia e Contradio..................................................................................... 77

Exerccios Resolvidos de lgebra das Proposies...............................................103Gabarito de Exerccios sobre lgebra Linear...................................................... 107

Captulo 4 - Silogismos: Todo, Algum, Nenhum..................... .................................. 1094.1. Conceitos Iniciais........................................................................................... ....109

4.1.1. Tipos de raciocnio: analogia, induo e deduo............... .................. 1094.1.2. Definio (Informal)..............................................................................1104.1.3. Estrutura de um silogismo................. ............ ........... ...... ................... 1104.1.4. Falcia.... ...............................................................................................1114.1.5. Paradoxo................................................................................................1124.1.6. Problemas de silogismos........................................................................ 112

4.2. Anlise das Proposies Categricas..................................................... ........... 1124.3. Negaes: Um Outro Ponto Importante.............................................................. 114

4.3.1. Negao de todo................................................................................. 1154.3.2. Negao de nenhum............................................ ..................... .........1154.3.3. Negao de algum ................................... ...........................................116

4.4. Exerccios Resolvidos Envolvendo Silogismos............................... .................... 116Exerccios Envolvendo Silogismos......................................................................134Gabarito de Exerccios de silogismos.............. .................................................. 136

Captulo 5 - Encontrando o Culpado ................................................................ . 1375.1. Exerccios Resolvidos sobre Encontrando o Culpado ..................................... 139

Exerccios sobre Encontrando o Culpado"....................................................... 178Gabarito das Questes de Encontrando o Culpado......................................... 179

Captulo 6 - Anlise Combinatria............................................................................. 1816.1. Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinaes........ .....................................1816.2. Princpio Fundamental da Contagem: O Grande Segredo.................................. 1826.3. Arranjos........................................ .................................................................... 183

6.3.1. Frmulas para arranjos.......................................................................... 1876.4. Combinaes...................................................................................................... 1886.5. Convenes e Observaes.................................................................................189

6.6. Alguns Tipos Comuns de Problemas............................... ...................... ........... 1896.6.1. Agrupamentos com Elementos Sempre Juntos e em Determinada

Ordem..... ........................... ........ ........... ............ .................................1916.6.2. Agrupamentos com Elementos Juntos, em Qualquer Ordem..................192

6.7. Exerccios Resolvidos de Anlise Combinatria.............. ....................................193Exerccios de Anlise Combinatria..... ......... ............. ...................................... 218Gabarito de Exerccios de Anlise Combinatria................. ............................... 220

CArtruio 7 - lgebra linear........................................................................................ 2217.1. O Que uma Matriz?...........................................................................................2217.2. Notaes.............................................................. ............................................... 22273. Classificao das Matrizes................................................................................... 222

7.3.1. Matriz-Linha........................................ ....................... ............................2227.3.2. Matriz-Coluna........................................................ ............................... 2237.3.3. Matriz Quadrada.............. ......................................................................2237.3.4. Matriz Triangular....................................................................................2247.3.5. Matriz Diagonal......................................................................................2247.3.6. Matriz Escalar......................................................................................... 2257.3.7. Matriz Nula.............................................................................................2257.3.8. Matriz-Identidade................................................................................... 2257.3.9. Igualdade de Matrizes...................................................................... ..... 2257.3.10. Transposio de Matrizes........................................................................2267.3.11. Matriz Oposta..........................................................................................2267.3.12. Matriz Simtrica................................................................ ............ ...... 22773.13. Matriz Antissimtrica................................................................. ............227

7.4. Adio ou Subtrao de Matrizes................................................................... . 2277.4.1. Propriedades........... ...... .........................................................................227

7.5. Produto de Escalar por Matriz.............................................................................2287.6. Equaes Matriciais............................................................................................. 228

7.6.1. Propriedades do Produto de Escalar por Matriz......................................2297.7. Produto de Matriz por Matriz.......................... ........ .............. ........................... 229

7.7.1. Calculando o Produto de Matriz por Matriz...................... .................... 2307.7.2. Propriedades da Multiplicao de Matriz por Matriz..............................2337.7.3. Forma Prtica para Produto de Matriz por Matriz.................................. 234

7.8. Complemento Algbrico ou Cofator e Matriz dos Cofatores.... .......................... 2417.9. Matriz Adjunta.................................................................... ............................... 245

7.10. Matriz Inversa..................................................................................................... 2457.11. Determinantes..................................................................................................... 247

7.11.1. Notao Matemtica............................................................................... 247

7.11.2. Determinante de Matriz de Primeira Ordem............. ................... ........ 2487.11.3. Determinante de Matriz de Segunda Ordem......................................... 2487.11.4. Regra de Sarrus.........................................................................................249

7.12. Teorema de Laplace...............................................................................................2517.13. Propriedades dos Determinantes........................ ...................................................252

7.13.1. Exerccio Resolvido............................................................................... 2577.14. Sistemas Lineares............................ ............. ................... ...................................257

7.14.1. Resoluo de Sistemas pelo Mtodo da Substituio........... .................. 2587.14.2. Representao Matricial dos Sistemas lineares............ .......... .................2587.14.3. Sistema Normal...................................................................................... .2597.14.4. Regra de Cramer.................................................................................. ....259

7.15. Submatrizes de uma Matriz.....,.......... ................................................................ 2597.16. Menores de uma Matriz................................................. ......................... ............2607.17. Caracterstica de uma Matriz............................................................. .................261

7.17.1. Teorema de Kronecker............................................................................. 2617.18. Anlise de um Sistema de Equaes Lineares....... .............................................. 262

7.18.1. Teorema de Rouch-Capelli.............. ...... ..... ................... ..... ................ 2627.18.2. Regra de Cramer............................................. ................. ...................... 2637.18.3. Sistemas Equivalentes............................................................................2637.18.4. Propriedades.............................................................................. ............2637.18.5. Sistema Homogneo................................................................................264

7.19. Transformaes Elementares de Sistemas Lineares..... ........ ................................2657.19.1. Mtodo de Gauss ou Mtodo do Escalonamento................ ................... .266

7.20. Exerccios Resolvidos sobre lgebra Linear............................................... ........268Exerccios sobre lgebra Linear.......... .............................................................. 280Gabarito de Exerccios sobre lgebra Linear.................................. .....................281

Captulo 8 - Probabilidades...................................................................................... ...2838.1. Experimentos Aleatrios........................................................... ..........................2838.2. Espao Amostrai.................................................... ........ ................... ........ .......2838.3. Evento. Evento Certo. Evento Impossvel............................................................2848.4. Frmula Geral do Clculo da Probabilidade.............. ............. ....... ....... ...........286

8.4.1. Concluses dos exemplos acima............................ ................................ 2888.4.2. Probabilidade de ocorrer A" e :P(A e B)..........................................2888.4.3. Probabilidade de ocorrer A ou UBM:P(A ou B)........ .............................289

8.5. Exerccios Resolvidos sobre Probabilidades..... ...................................................289Exerccios de Probabilidades...............................................................................313Gabarito de Exerccios sobre Probabilidades...................................................... 314

C aptulo 9 - lgebra...................................................................................................3159.1. Exerccios Resolvidos......................................................................................... 315

Exerccios sobre lgebra.......... ....................... ................... ............................... 345Gabarito de Exerccios de lgebra...................................................................... 348

Captulo 10 - Seqncias e Psicotcnicos............. .................................................... 34910.1. Seqncias........................................................................................................... 349

Questes sobre Seqncias e Psicotcnicos........................................................352Gabarito das Questes sobre Seqncias e Psicotcnicos................................... 358

C aptulo1

_________ ____R

Conhecendo os Vrios Tipos de Problema

* _____________________ _________________B

A forma pela qual voc olha para um problema determina se voc o encara ou corre dele. Tente olh-lo sempre de igualpara igual, sem menosprezar, sem temer.

Comece a pensar que seu objetivo olhar para a prova de concurso - qualquer que seja ela e se sentir capaz de resolv-la. Para tanto, vamos dar a primeira sugesto.

Em vez de avaliar a quantidade de teoria a ser estudada, vamos manter o foco sobre os tipos de problema com que estaremos nos defrontando.

Existem vrios tipos de problema de lgica, mas eles podem ser agrupados, de forma mais geral, da seguinte maneira:

1} Problemas sobre inter-relacionamento dos dados informados: so problemas em que aparecem alguns elementos que se relacionam entre si e perguntam qual est relacionado com qual.Exemplo:(ESAF/AFTN/96) Os carros de Artur, Bernardo e Csar so, no necessariamente nesta ordem, uma Braslia, uma Parati e um Santana. Um dos carros cinza, um outro verde, e o outro azul. O carro de Artur cinza; o carro de Csar o Santana; o carro de Bernardo no verde e no a Braslia. As cores da Braslia, da Parati e do Santana so, respectivamente (...)

2) Problemas sobre lgebra das Proposies, chamada lgebra de Boole. lgebra das Proposies , falando de modo geral, uma parte do raciocnio lgico- matemtico que utiliza operaes lgicas como:se...ento, se e somente se, e, ou etc., para que se possa chegar s concluses relacionadas ao enunciado.Exemplo:(ESAF/AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Jlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, h um leo feroz nesta sala. Ora, no h um leo feroz nesta sala. Logo:

s Raciocnio Lgico Enrique Rocha

a) Nestor e Jlia disseram a verdade;b) Nestor e Lauro mentiram;c) Raul e Lauro mentiram;d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade;e) Raul e jlia mentiram.

3) Silogismos so raciocnios lgicos em que se procura deduzir uma concluso baseada em declaraes preliminares chamadas premissas. Este tipo de problema geralmente apresenta os termos todo, algum, nenhum e pelo menos um como parte do enunciado e tambm das alternativas.Exemplo:Alguns escritores so poetas. Nenhum msico poeta. Ento, podemos concluir com segurana que:a) nenhum msico escritor;b) algum escritor msico;c) algum msico escritor;d) algum escritor no msico;e) nenhum escritor msico.

4) Problemas que envolvem encontre o culpado, ou encontre quem mentiu, ou coisas deste tipo. Este grupo trata da identificao de um ou mais elementos que fizeram ou falaram alguma coisa. Encontre o culpado uma tcnica que mantm o foco sobre a exceo (se tivermos um culpado e quatro inocentes, o culpado ser a exceo a ser procurada durante a resoluo).Exemplo:(ESAF/AFTN/96) Trs amigas, Tnia, Janete e Anglica, esto sentadas lado a lado em um teatro. Tnia sempre fala a verdade; Janete s vezes fala a verdade; Anglica nunca faia a verdade.A que est sentada esquerda diz: Tnia quem est sentada no meio. A que est sentada no meio diz: Eu sou Janete. Finalmente, a que est sentada direita diz: Anglica quem est sentada no meio. A que est sentada esquerda, a que est sentada no meio e a que est sentada direita so, respectivamente:a) Janete, Tnia e Anglica;b) Janete, Anglica e Tinia;c) Anglica, Janete e Tnia;d) Anglica, Tnia e Janete;e) Tnia, Anglica e Janete.

5) Problemas matemticos sobre anlise combinatria. A anlise combinatria estuda o clculo da quantidade de grupos distintos que podem ser formados a partir de um grupo maior.

Captulo 1 Conhecendo os Vrios Tipos de Problema m 3

Exemplo:Numa assembleia de doze cientistas, trs so fsicos. Quantas comisses de cinco membros podem ser formadas, incluindo, no mnimo, um fsico?a) 378; d) 792;b) 72; e) 54.c) 36;

6) Problemas matemticos sobre a Teoria das Probabilidades. Teoria das Probabilidades a parte da Matemtica que calcula a chance de acontecer um evento especfico com base no universo de possibilidades existentes e na quantidade de ocorrncias deste evento especfico neste universo.Exemplo:Um juiz de futebol possui trs cartes no bolso. Um todo amarelo, outro todo vermelho e o terceiro vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um carto do bolso e mostra, tambm ao acaso, uma face do carto a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz v ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela igual a:a) 1/6;b) 1/3;c) 2/3;d) 4/5;e) 5/6*

7) Problemas de lgebra Linear (matrizes e sistemas lineares).Apesar de matrizes, determinantes e sistemas lineares serem assuntos mais relacionados Matemtica pura do que ao Raciocnio Lgico em si, comum encontrarmos problemas deste tipo em provas dessa disciplina.Exemplo:Sejam as matrizes

A

e sejax.. o elemento genrico de uma matriz X tal que X=(AJB)C, isto , a matriz X a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razo entre

e xi2 igual a:a) 2; d) 1/3;b) 1/2; e) 1.c) 3;

'1 4"e B = 1 3 4 5~2 6

1 2 3 43 3

Raciocnio Lgico Enrique Rocha

8) Problemas gerais de Matemtica.Inseridos em muitas provas de Raciocnio Lgico esto alguns problemas gerais de Matemtica e estes podem envolver qualquer uma das diferentes reas, como funes, propores, lgebra elementar, geometria plana e outras.Exemplo:(ESAF/AFTN/96) Em determinado pas, existem dois tipos de poos de petrleo, Pa e Pb. Sabe-se que oito poos Pa mais seis poos Pb produzem em dez dias tantos barris quanto seis poos Pa mais dez poos Pb produzem em oito dias.A produo do poo Pa, portanto, :a) 60,0% da produo do poo Pb;b) 60,0% maior do que a produo do poo Pb;c) 62,5% da produo do poo Pb;d) 62,5% maior do que a produo do poo Pb;e) 75,0% da produo do poo Pb.

9) Problemas psicotcnicos.So problemas que envolvem seqncias numricas ou grficas, apresentando trs ou quatro elementos e pedindo que voc identifique o prximo elemento da lista.Exemplos:1. Sejam os nmeros 1, 2,4, 7, x. O valor de x :

a) 9;b) 10;c) 11;d) 12;e) 14.

2. (BACEN/94)

Captulo 1 Conhecendo os Vrios Tipos de Problema b 5

a) 19T;b) 20U;c) 2IV;d) 22X;e) 23Z.

Bem, agora que voc j tem uma viso geral do que estar estudando, espero que esteja confortavelmente preparado para esta jornada.

G aptulo

Problemas Sobre Correlacionamento

Se caiu, levante e ande como se nunca tivesse cado, considerando que, a cada vez que voc se esfora e se levanta de uma queda., suas pernas se fortalecem.

2.1. Problemas Envolvendo Correlao entre Elementos

Problemas em que so prestadas informaes de diferentes tipos, como por exemplo: nomes, carros, cores, qualidades, profisses, atitudes, atividades etc. O objetivo descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informaes.

Dito de outra forma, quando o exerccio lhe pedir que identifique quem usou o qu, quando, com quem, aonde, de que cor etc.

Explicaremos abaixo um mtodo que facilitar muito a resoluo de problemas desse tipo. Para essa explicao, usaremos como exemplo um problema de nvel fcil.

Exemplo 1 (revista Problemas de Lgica, n2 23, da Edouro):X) Trs homens, Lus, Carlos e Paulo, so casados com Lcia, Patrcia e Maria,

mas no sabemos quem casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas tambm no sabemos quem faz o qu. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profisso de cada um e o nome de suas esposas.

a) O mdico casado com Maria.b) Paulo advogado.c) Patrcia no casada com Paulo.d) Carlos no mdico.

8 a Raciocnio Lgico Enrique Rocha

.Ajresoluo, abix deve ser vista passo a "passo, a ser acompanhada era um, tpapel j^rte por Voc/' \ C r - ^ %r \V " ~ ^ " - ~

Primeiro passo: preparao da tabela principal.Ser construda, como meio de facilitao visual para a resoluo desse tipo de

problema, a seguinte tabela, dita principal.So trs grupos de informaes: homens, esposas e profisses.Escolha um deles e coloque cada um de seus elementos em uma linha. Neste

exemplo, escolhemos os homens (Carlos, Lus e Paulo) como grupo de referncia inicial:

Carlos

Lus

Paulo

O prximo passo criar uma coluna para cada elemento dos outros grupos:

'5 L

cia

Patr

cia

Mar

ia

Carlos

Lus

Paulo

Por fim, toma-se o ltimo grupo das colunas (neste caso, o das esposas) e cria-se uma linha para cada um dos seus elementos, colocando-os abaixo^ da ltima linha.

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento b 9

2

U)CLU>< L

cia

Patr

cia

Mar

ia

Carlos

Lus

Pauio

Lcia

Patrcia

Maria

Observao: essa regra vale para qualquer nmero de grupos do problema. Ou seja, se forem, por exemplo, cinco grupos, um deles ser a referncia para as linhas iniciais e os outros quatro sero distribudos nas colunas. Depois disso, da direita para a esquerda, os grupos sero levados para baixo na forma de linhas, exceto o primeiro.

Veja um exemplo com quatro grupos: imagine que tenha sido afirmado que cada um dos homens tem uma cor de cabelo, a saber: loiro, ruivo ou castanho.

Neste caso, teramos um quarto grupo e a tabela resultante seria:

Md

. CftcUJ Adv

.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Loir

o

Rui

vo

Cast

anho

Carios

Lus

Paulo

Loiro

Ruivo

Castanho

Lcia

Patrcia

Maria

A ordem em que voc copia as colunas para as linhas importante para criar esses degraus na tabela, ou seja, primeiro os elementos do grupo mais direita passam para as linhas, depois o segundo mais direita e assim por diante, at que fique apenas o primeiro grupo (mais esquerda) sem ter sido copiado como linha.

10 0 Raciocnio Lgico Enrique Rocha

Esses buracos na tabela representam regies onde as informaes seriam cruzadas com elas mesmas, o que desnecessrio.

Segundo passo: construo da rabela-gabaritoEssa tabela no servir apenas como gabarito, mas em alguns casos ela fundamental

para que voc enxergue informaes que ficam melo escondidas na tabela principal.Haver tambm ocasies em que ela lhe permitir concluses sobre um determinado

elemento. o caso, por exemplo, de serem quatro possibilidades e voc notar que trs j esto preenchidas na tabela-gabarito. Nesse caso, voc perceber que s resta uma alternativa para a clula no preenchida.

Um outro ponto que deve ser ressaltado que as duas tabelas se complementam para visualizao das informaes. Por isso, a tabela-gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal, e no depois.

A primeira linha de cabealho ser preenchida com os nomes dos grupos. Nas outras linhas, sero colocados os elementos do grupo de referncia inicial na tabela principal (no nosso exemplo, o grupo dos homens).

Homens Profisses Esposas

Carlos

Luis

Paulo

Terceiro passo: incio do preenchimento das tabelas (principal e gabarito) com as informaes mais bvias do problema, aquelas que no deixam margem a nenhuma dvida.

Em nosso exemplo:1. O mdico casado com Maria marque um S na tabela principal na

clula comum a mdico e maria, e um n" nas demais clulas referentesr*>a esse c> .


A tabela principal ficar assim:

ris

aCf>CUi Adv.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos

Lus

Paulo

Lcia

Patrcia

Maria

Observe que:se o mdico casado com Maria, ele no pode ser casado nem com a Lcia, nem com a Patrcia (por isso os cruzamentos de mdico com cada uma dessas linhas foram marcados com n);se a Maria casada com o mdico, ela no pode ser casada nem com o engenheiro, nem com o advogado (por isso os cruzamentos de Maria com cada uma dessas colunas foram marcados com n).Note que no foi possvel fazer qualquer atualizao na tabela-gabarito, j que no houve nenhuma concluso sobre Carlos, Lus ou Paulo.

Imediatamente aps ter marcado um S, preencha a tabela-gabarito com a informao, quando possvel.

2. Paulo advogado registre imediatamente esse informao na tabela-gabarito:


Carlos

Lus

Pauio

Marque um S* na tabela principal, na clula comum a Paulo e advogado, e n as demais clulas correspondentes a esse S\


--V2

OIU iCLU A

dv.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos I SLus

Paulo &3 l: Lcia n

Patrcia n

Maria S n n

3. Patrcia no casada com Paulopreenchemos com um n na tabela principal a clula comum a Patrcia e Paulo.

*d'Vs

OIUicUi Adv.

Lci

a

Patr

cia R

Wfl2

Carlos n

Lus n

Paulo n n S

Lcia n

Patrcia n

Maria S n n

4. Carlos no mdico - preenchemos com um V na tabela principal a clula comum a Carlos e mdico.

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento a 13

Md

.

O)cJ

>'T3< L

cia

Patr

cia

JS

6. Por ambas as tabelas acima, percebemos que Carlos tem que ser engenheiro, pois foi a nica alternativa que ficou de profisso para ele.


132

001 cLU>XI< L

cia

Patr

cia

Mar

ia

Carlos n n

Lus S n n

Pauto n n S n

Lcia n

Patrcia n

Maria S n n

Por fim, vamos transcrever as concluses tiradas sobre as profisses para a tabela- gabarito:


Carlos U MLus Mdico

Paulo Advogado

Quarto passo:Feitas as anotaes bvias das informaes do problema, analise a tabela principal

e a tabela-gabarito, procurando informaes que levem a novas concluses, que sero marcadas nessas tabelas.

Observe, na tabela principal, que Maria esposa do mdico, que se descobriu ser Lus, lato que poderia ser registrado na tabela-gabarito. Mas no o faa agora, pois essa concluso s foi facilmente encontrada porque o problema que est sendo analisado muito simples. melhor que voc continue o raciocnio e faa as marcaes mais tarde.

Alm disso, sabemos que Patrcia no casada com Paulo. Como Paulo o advogado, podemos concluir que Patrcia no casada com o advogado.

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento n 15

T3a>S

c*cncUi Adv

.

i ...

......

...L

cia

I ...

.....

1 Pat

rcia to

(S

Carlos n s n

Lus...

S n n

Paulo n n S n

Lca...

n :

Patrcia n n

Maria S n ri

Verificamos, na tabela acima, que Patrcia tem de ser casada com o engenheiro, e Lcia tem de ser casada com o advogado.

d*a< L

cia

Patr

cia

Mar

ia

Carlos n s n

Lus S n n

Paulo n n S n

Lcia ni l p n&m

Patrcia ni i

n

Maria S n n

Vemos, ento, que Lucia casada com o advogado (que Paulo), Patrcia rasarfo com o engenheiro (que e Carlos) e Maria casada com o mdico (que Lus).

Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema est resolvido:


Carlos Engenheiro Patrcia;:';:..--

Lus Mdico

Pauio Advogado

16 b Raciocnio Lgico Enrique Rocha

No precisaramos completar a tabela principal, mas, s para treinamento, o faremos:

VS

01Cf>cLU A

dv.

Lci

a

Patr

cia

Mar

ia

Carlos n S n wi H

Lus S n n j l j j

Paulo n n SM

n t f

Lcia n

Patrcia n t t f n

Maria S n n

Exemplo 2: (todos os exemplos foram retirados de revistas Coquetel Lgica, da Ediouro.)

2) O Professor Jeremias Dainasceno d aulas de Filosofia para uma turma bastante desinteressada. Quatro alunos da turma sentam invariavelmente na ltima fileira da sala, sempre ocupados com alguma coisa fora da aula. Na semana passada o Professor Jeremias resolveu pegar cada um enquanto estivesse distrado com outra coisa e chamar-lhe a ateno. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada aluno, a atividade com que estava envolvido na hora da aula, a ordem em que foi pego e qual havia sido a nota dele na prova. a) Lenildo foi pego fazendo palavras cruzadas.b) Breno tirou a nota mais baixa, mas no foi o primeiro a ser pego.c) Nilo foi o ltimo a ser pego pelo professor.d) O segundo a ser pego pelo professor (que no foi Lenildo) tinh trado 60

na prova.e) O terceiro a ser pego estava escrevendo um relatrio de outra matria na

hora da aula.f) O que foi pego dormindo em sala tinha tirado 50.g) Um deles se chamava Marcelo.h) As notas foram 48,50, 55 e 60.i) Um deles estava iendo revista.


Primeiro passo: preparamos a tabela principal e a tabeia-gabarito, conforme ensinado no exemplo 1, acima.Segundo passo: preenchimento bsico da tabela principal e da tabeia-gabarito, com as informaes mais bvias, que no deixam margem a nenhuma dvida.

As tabelas ficaro assim:

P.Cruz. Dorm. Relat. Rev. 48 50 55 60 I a 2 3 4a

Unitdo UM r -Breno Sjl .0 J gNilo M s&M 1H -s"

Marcelo mm m jfitI a P&M 0V-2C M* f 3* wmSPf g g f g W4S

48 s s t50 W0 IfSlt i i l i l p55 mm60

Nome Atividade Ordem NOU

Lenldo Breno

Nilo liif i lllMarcelo

Terceiro passo: feitas as anotaes bvias das informaes do problema, analise a tabela principal, procurando informaes que levem a novas concluses.

Faa uma anlise de cada linha que contenha um S, buscando informaes que o levem a novas concluses.

Linha do Lenildo, que fez palavras cruzadas:Lenildo (P. Cruzadas) no 48, no 2a, no 42. Passe essas informaes para a

coluna Palavras Cruzadas, que atividade de Lenildo:


P. Cruz. Dorm. Relat. Rev. 48 50 55 60 1* 22 32 4S

Lenildo S n n n n n n

Breno n S n n n n n

Nilo n n n n n S

Marcelo n n rs

1 n n2* - fi * ' n n n n S

39 n n S n n49 n n

48 n

50 n s n n

55 n

60 n

Perceba que s sobrou Ia para P. Cruzadas. Aproveite a informao e a ocasio e marque "S nessa clula, e Kn nas demais tambm correspondentes ao S marcado

Como P. Cruzadas foi a atividade de Lenildo, marque S na mesma informao (Ia) na linha do Lenildo, e n nas demais correspondentes.

Registre na tabela-gabarito.

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento

P.Cruz. Dorrrt. Relat. Rev. 48 50 55 60 1s 2S 39 4fi

lenido S rs R n n S n n n

Breno n S n n n n n

Nilo n n n n n S

Marcelo n n n n

n n n n

2a n n n n n S

3S n n S n n

4B n n n

48 n n

50 n S n n

55 n

60 n

Nome Atividade Ordem Nota

Lenitdo P. Cruzadas I*

Breno 48

Nilo 49

Marcelo


Linha do Breno, que tirou 48:Breno (48) -> no ls, no 4. Passe essas informaes para a coluna 48, que foi a

nota do Breno (48 no Ia e 48 no 4a).

P.Cruz. Dorm. Relat, Rev. 48 50 55 60 1* 2* 3a 4

Lenildo s n n n n S n n nBreno n S n n n n n

Nilo n n n n n S

Marcelo n n n n

1* S n n n n2B n n n n n S

3B n n S n n4 n n M n48 n n

50 n 5 n n

55 n

60 n

Perceba que s sobrou 3a para a nota 48. Aproveite a informao e a ocasio e marque S nessa clula, e n nas demais tambm correspondentes ao S marcado.

Como nota 48 foi a nota de Breno, marque tambm "S na mesma informao (32) na linha do Breno, e Mn nas demais correspondentes.



Lenildo, P. Cruzadas I a"........... . \Breno "" 48

Nilo 4*

Marcelo

Observe, pelas duas tabelas, que s sobrou a ordem 2fl para Marcelo.Faa as marcaes na tabela principal e tabela-gabarito. Ficaro conforme abaixo:

P. Cruz. Dorm. Relat. Rev. 48 50 55 60 2S 3a 4*

Lenitdo S n n n n s n n n

Breno n S n n n n n S n

Nilo n n n n n S

Marceio n n n fg g n n

Ia S n n n n n

2a n n n n n S

3a n n S n S n n n

4e n n n n

48 n n

50 n S n n

55 n

60 n


Lenildo ? . Cruzadas 1a

Breno 3a 48 *

Nilo 4a

Marcelo


Voc pode aproveitar e continuar o seu raciocnio, agora examinando a 2* ordem.

Linha da 2* ordem2a ordem (nota 60) > no P. Cruz., no Reiat.Podemos concluir que 60 no P. Cruz. e 60 no Relatrio.Passe essas informaes para a linha 60.Mas quem tirou 60 foi o Marcelo. Ento, Marcelo no fez P. Cruz., nem fez

Relatrio. Passe essas informaes para a linha do Marcelo.P.Cruz. Dorm, Reiat. Rev. 4B 50 55 60 l 8 2B 3* ~4B

Lenildo S n n n n n S n n n

Breno n S n n n n S n

Nilo n n n n n n sMarcelo n v ;;';/. n n n S R S n n

1* s n n n n n2 n n n n n S3S n n S n S n n n

4* n n n n

48 n n

50 n S n n

55 n

60 ' l l i l f n w m m

Veja que s sobrou Revista para a nota 60. Marque isso na tabela principal e na tabela-gabarito:

P.Cruz. Dorm, Reiat. Rev. 48 50 ss 60 1s 2 3* 4Leniido S n n n n n 5 n n nBreno n S n n n n n S nNilo n n n n n n S

Marcelo n n n n n S n S n r\1 S n n n n n2 n n n n n S3* n n S n 5 n n n4* n n n n48 n n s fc i50 n S n n55 n m 60 n n n f f

Capitulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento a 23


Lenildo P. Cruzadas I a

Breno 32 48

Nilo 4a

Marcelo Revista 2a

-o.'--

Como conseqncia, sobrou apenas Relatrio para a Unha 48. Marque isso. na tabela principal e na tabela-gabarito (lembre-se de marcar Revista" para o Marcelo).

Note ainda que, quando voc marcar Relatrio para a linha 48 e eliminar "Relatrio da linha 55, sobra apenas P. Cruzadas para 55.

Preencha tambm essas informaes nas duas tabelas.

P.Cruz. Dorm. Refat. Rev. 48 50 55 60 l2 29 39 4

Lenltdo S n n n n n S rt n n

Breno n n n S n n n n n S n

Nilo n n n n n n n n S

Mareei o n n n n n S n S n n

I a S n n n n n

2* n n n n n S3* n n S n S n n rt

4a n n n n

48 n n n

50 n S n n

55 S n n

60 n n n S


Lenildo P. Cruzadas ie

Breno iEReJatorfoV-; 3 48

Nilo 4-

Marcelo |Sevsta/~ 2- 60


Perceba, na tabela-gabarito, que sobrou apenas Dormindo para o N0o (que tambm o 42). Perceba, tambm, que sobrou 50 para o Nilo.

Marque essas informaes na tabela principal e na tabela-gabarito.

P. Cruz. Dorm* Reiat. Rev. 48 50 55 60 1E 2a 3 4

Lenildo 5 n n n n n S n n n

Breno n n S n S n n n n n S n

Nilo n n n n n n n n S

Marcelo n n n S n n n S n S n n

1 S n n n n n

2 n n n n S3 n n S n S n n n

4a fe- n n n n

48 n n S n

50 n S n n

55 n n n

60 n n n S

O problema est resolvido, e no h necessidade de voc completar a tabela principal. Pode faz-lo para treinamento, se o desejar.

2.2. Consideraes Finais Sobre a Tcnica

Nunca se esquea de que essa tcnica composta por duas tabelas que devem ser utilizadas em paralelo, ou seja, quando uma concluso for tirada pelo uso de alguma delas, as outras devem ser atualizadas.

Este nvel de problema no deve estar presente em provas de concurso, dado o tempo necessrio para condu-Io. No entanto, importante que voc esteja seguro


neste patamar de complexidade, o que vai fazer com que voc possa at dar umas risadas quando encontrar problemas mais simples, no grau de dificuldade que temos encontrado nos exames.

O ltimo estgio da tabela-gabarito a resposta ao problema (o que nos leva imediata compreenso do porqu desse nome, no mesmo???).

Tente outros exerccios... Familiarize-se e internalize a tcnica. Ela ser til inclusive em outros tipos de problema nos quais seja necessrio fazer o cruzamento de informaes).

2.3. Exerccios Resolvidos de Correlacionamento

1. Clia e outros trs parceiros fazem parte de um quarteto musical. Cada componente do grupo tem uma funo diferente. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada componente do quarteto, sua idade e funo e o item que estava usando na ltima apresentao.

1) Dcio usou culos escuros na apresentao.2) Clia a vocalista.3) O que usou gravata tem 25 anos.4) O guitarrista que no Bencio, tem 26 anos.5) O tecladista usou gola de pele.6) Roberto tem 28 anos e no toca bateria.7) Bencio e mais velho que Clia.8) Um deles tem 23 anos.9) Um deles usou botas altas.

Resoluo:A resoluo abaixo deve ser vista passo a passo, a ser acompanhada por voc em um

papel parte.

Primeiro passo: identificar as variveis em questo:Home: Bencio, Clia, Dcio, Roberto;Funo: baterista, guitarrista, vocalista e tecladista;Idade: 23,25,26 e 28;Item: culos, botas, golas e gravata.

Segundo passot preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito:


Funo Idade Item usado

BAT GUIT v o c TEC 23 25 26 28 OCUL BOT GOL GRAV

Bencio

e>F Ciiao2 Dcio

Roberto

OCULD(001 BOTE GOL

GRAV.

23

0o 25ffl*0 2628

Nome Funo tdade Item usado

Bencio

Clia

Dcio

Roberto


Terceiro passo: preenchimento bsico da tabela principal e da tabela-gabarito, com as informaes mais bvias, que no deixam margem a nenhuma dvida.

Funo idade Item usado

BAT g u t v o c TEC 23 25 26 28 OCUL BOT GOL GRAV

Bencio n n n n n

Quarto passo: feitas as anotaes bvias das informaes do problema, analise a tabela principal, procurando informaes que levem a novas concluses.

28 q Raciocnio Lgico Enrique Rocha

Faa uma anlise de cada linha (ou coluna) que contenha um S, buscando informaes que o levem a novas concluses.

Linha da Clia

Clia (vocalista) -> no 28; no culos.Isso nos leva a concluir que, se Clia a vocalista e no tem 28 anos, a vocalista no

tem 28 anos. 4 yGraficamente:

Clia - Vocalista - N 28 - N culos A

Da mesma forma, se Clia a vocalista e no usou culos, a vocalista no usou culos.

Graficamente: *

Cli1^ Vocalista - N 28 - N culosA


Vamos marcar isso na tabela principal (duas novas marcaes, de acordo com as concluses acima):


BAT GU1T VOC TEC 23 25 26 28 OCUL BOT GOL GRAV

Bencio n n n n noF Clia n n S n n noZ Ddo n n S n n n

Roberto n n n n n S n

o OCUL n n n nT3COw BOT n n

E


Note-se que as duas conduses j eram conhecidas (isso pode acontecer, nesses casos, passe para a leitura de outra, linha ou coluna).

Linha do Roberto (agora que voc j se familiarizou com a tcnica, vamos fzer todas as setinhas de uma vez):

Roberto (28 anos) - no baterista; no vocalista; no culos.Graficamente:

Roberto (28) no baterista; no vocalista; no culos.

Conduses: quem tem 28 anos no baterista, no usou oculos.J ~r ^ _ ..

Vamos marcar isso na tabela principal (duas novas marcaes, de acordo com as concluses acima):


Benclo

Clia

Dcio

Roberto

OCUL

BOT

GOL

GRAV

23____

2 5___26

BAT GUIT VOC TEC 23 25 26 28 OCUL BOT GOL GRAV

Capitulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento s 31

Como Roberto tem 28 anos e quem tem 28 anos o tecladista (acabamos de concluir isso), conclumos que Roberto o Tecladista. Vamos marcar isso na tabela-gabarito e na tabela principal:

Nome Funo Idade item usado

Bencio

Clia Vocalista

Dcio culos

Roberto Tecladista 28

Funao Idade Item usado

BAT g u s t v o c TEC 23 25 26 28 OCUL BOT GOL GRAV

Bencio n n n n n nQF Clia

n n S n n no3 Dcio n n n S n n n

Roberto n n n S n n n S n

o OCUL n n n n not BOT n n

GOL n n n S n

GRAV n n S n n

23 n n>T) 25 n n2 26 n S n n

28 n n n S

- :Nv;ic n c &s.^aidvias,'-?;Lrnl, . r- 'Y-'- C 3 ' - ' ' JJ SO so prou;s DdlCriSu^'P^^OU^C|i3.2^ ;.ClUCiO \+ .p3.LCr|SCc

Vamos marcar isso na tabea-gabarito e na tabela principal:

32 n Radocfnio Lgico Enrique Rocha

Nome Funo Idade Item usado

Bencio Baterista

Clia Vocalista

Dcio culos

Roberto Tecladsta 28

Veja que, ao definir Bencio como baterista, s sobrou Guitarrista para Dcio e isso j pode ser levado para as duas tabelas:


Bencio Baterista

Clia Vocalista

Dcio Guitarrista culos


Nome Funo idade Item usado

Bencio Baterista

Clia Vocalista

Dcio Guitarrista 26 culos


Com base na marcao acima e na dica 7 (Bencio mais velho que Clia), como s sobraram as idades 23 e 25, Bencio tem que ter 25 e Clia tem que ter 23.

Vamos marcar isso na tabela-gabarito:

Nome Funo idade item usado

Bencio Baterista 25

Clia Vocalista 23




Pela dica 3 (o que usou gravata tem 25 anos) e olhando na tabeia-gabarito acima, podemos concluir que Bencio usou gravata.

Pela dica 5 (o tecladista usou gola de pele), descobrimos que Roberto usou gola de pele.

Como j sabemos tambm que Dcio usou culos, podemos concluir que s ficou Botas para Clia.

Vamos marcar isso na tabeia-gabarito:


Bencio Baterista 25 Gravata

Ciia Vocaista 23 Botas


Roberto Tecladista 28 Gola de Pele

Problema resolvido!

2. (ESAF-AFC-2002) Um agente de viagens atende trs amigas. Uma delas loura, outra morena e a outra ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas far uma viagem a um pas diferente da Europa: uma delas ir Alemanha, outra ir Frana e a outra ir Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informaes:

a loura: No vou Frana nem Espanha; a morena: Meu nome no Eza nem Sara; a ruiva: Nem eu nem Elza vamos Frana1.

O agente de viagens concluiu, ento, acertadamente, que:a) a loura Sara e vai Espanha;b) a ruiva Sara e vai Frana;c) a ruiva Bete e vai Espanha;d) a morena Bete e vai Espanha;e) a loura Elza e vai Alemanha.


Resoluo:A resoluo abaixo deve ser vista passo a passo, a ser acompanhada em um papel

parte por voc.

Primeiro passo: identificar as variveis em questo:Nome: Bete, Elza e Sara,Cor de cabelo: Loira, Morena e Ruiva.Destino: Alemanha, Espanha e Frana.

Segundo passo: preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito:

Destino Cor de Cabelo

ALE ESP FRA LOI MOR RUi

Betssz

Elza

Sara

S LOIi. XI O cs O O

MOR

RUI

Nome Desino Cabelo

Bete

Elza

Sara

Terceiro passo: preenchimento bsico da tabela principal e da tabela-gabarito, com as informaes mais bvias, que no deixam margem a nenhuma dvida.

Observe que, quando juiva diz nem,eu nem Elza^vmos Frana, ela est afirmando o seguinte: > j ^1. a r u f v a n J r a n ; t V * v s j jz l - 2."Elznovai Franaj e . ^3. a ELzano a Ruiv Gll) -' ^ ^



ALE ESP FRA LOt MOR RUi

Bete

Elza n n n

Sara n

Cor

de

Cabe

lo LOl n n

MOR -

RUi n

Nome Destino Cabelo

Bete

Elza

Sara

Com base nas marcaes acima, podemos concluir (veja as clulas que sobraram e esto hachuradas):

1. Elza a Loira.2. A Loira vai para a Alemanha.3. A morena vai para a Frana.4. Bete morena.

Vamos marcar isso nas duas tabelas:


ALE ESP FRA LOI MOR RUi


Observando a tabeia-gabarito, podemos fazer uma nova marcao na tabela principal: Elza vai para a Alemanha.

Alm disso, para a coluna da Espanha, s sobrou Ruiva:


ALE ESP FRA LOI MOR RUI

Bete n n S nE2 Elza

S n n S n nSara n n n S


3. (ESAF-MPU-2004) Cinco irmos exercem, cada um, uma profisso diferente. Lus paulista, como o agrnomo, e mais moo do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrnomo, o economista e Mrio residem no mesmo bairro. O economista, o matemtico e Lus so, todos, torcedores do Flamengo. O matemtico costuma ir ao cinema com Mrio e Ndio. O economista mais velho do que Ndio e mais moo do que Pedro; este, por sua vez, mais moo do que o arquiteto. Logo:

a) Mrio engenheiro, e o matemtico mais velho do que o agrnomo, e o economista mais novo do que Lus;

b) Oscar engenheiro, e o matemtico mais velho do que o agrnomo, e Lus mais velho do que o matemtico;

c) Pedro matemtico, e o arquiteto mais velho do que o engenheiro, e Oscar mais velho do que o agrnomo;

d) Lus arquiteto, e o engenheiro mais velho do que o agrnomo, e Pedro mais velho do que o matemtico;

e) Ndio engenheiro, e o arquiteto mais velho do que o matemtico, e Mrio mais velho do que o economista.

Resoluo:

Primeiro passo: interpretar as sentenas apresentadas no enunciado:Este problema apresenta alguns macetes que precisam ser percebidos antes que

voc comece a resolv-lo efetivamente:

1. Como ele fala de mais moo e mais velho, mas no cita as idades, uma boa dica voc trabalhar com nmeros escolhidos aleatoriamente. Eu sugiro: 25, 30,35,40 e 45. Isso mais simples do que usar II, 12, e assim por diante.

2. Muitas informaes so inseridas no enunciado para confundir voc. Por exemplo:a) "Lus paulista";b) "o economista, o matemtico e Lus so, todos, torcedores do Flamengo";c) "o agrnomo, o economista e o mdico residem no mesmo bairro";d) "o matemtico costuma ir ao cinema com Mrio e Ndio".

Elas fazem voc pensar que tem que descobrir a UF, o time, o bairro e o passatempo de cada um, no ? No entanto, note que no existem outros


bairros, outros times, nem outros passatempos. Logo, voc no pode considerar essas informaes como variveis a serem identificadas.

3. Toda vez que eie fala algo do ripo Lus paulista como o agrnomo, ele est afirmando que Lus no o agrnomo.

4. Quando ele feia o agrnomo, o economista e Mrio residem no mesmo bairro, ele est afirmando que Mrio no agrnomo, nem economista.

5. Ao falar "o economista mais velho do que Ndio ele est afirmando duas coisas: primeiro, que o economista no pode ser o caula (porque seno no seria mais velho que ningum); e segundo, que Ndio no pode ter a maior idade (porque seno ningum seria mais velho do que ele).

As observaes acima so suficientes para podermos analisar cada uma das frases do enunciado:

1. Lus paulista, como o agrnomo, e mais moo do que o engenheiro e mais velho do que Oscar.Lus no agrnomo (porque ele paulista como o agrnomo);Lus no o mais velho de todos (porque ele mais moo do que o engenheiro); Lus no o engenheiro (porque ele no poderia ser mais moo do que ele

mesmo);o engenheiro no o mais moo de todos (porque Lus mais moo do que ele); Lus no o mais moo de todos (porque ele e mais velho do que Oscar);Oscar no o mais velho de todos (porque Lus mais velho do que ele);Oscar no o engenheiro (porque Lus mais moo do que o engenheiro e mais

velho do que Oscar).2. O agrnomo, o economista e Mrio residem no mesmo bairro*

Mrio no agrnomo;Mrio no economista.

3. O economista, o matemtico e Lus so, todos, torcedores do Flamengo.Lus no economista;Lus no matemtico.

4. O matemtco costuma ir ao cinema com Mrio e Ndio.Mrio no matemtico;Ndio no matemtico.

5- O economista mais velho do que Ndio e mais moo do que Pedro; este, por sua vez, mais moo do que o arquiteto.Ndio no economista (porque o economista mais velho do que Ndio);o economista no o mais moo de todos (porque ele mais velho do que

Ndio);

Capitulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento a 39

Ndio no o mais velho de todos (porque o economista mais velho do que ele); Pedro no economista (porque o economista mais moo do que Pedro); o economista no o mais velho (porque ele mais moo do que Pedro);Pedro no o mais moo (porque o economista mais moo do que ele);Pedro no arquiteto (porque ele mais moo do que o arquiteto);Pedro no o mais velho de todos (porque ele mais moo do que o arquiteto); o arquiteto no o mais moo de todos (porque Pedro mais moo do que ele).

Segundo passo: identificar as variveis em questo:Nome: Lus, Mrio, Ndio, Oscar e Pedro (observe que voc poderia usar L, M, N,

O e P, para. simplificar);Profisso: Agrnomo, Arquiteto, Economista, Engenheiro e Matemtico;Idade: 25,30,35,40 c 45.Vamos, ento, repetir todas as concluses a que chegamos, ordenando-as (para

simplificar a marcao):

Sobre as profisses

X) Lus no agrnomo (porque ele paulista como o agrnomo);2) Lus no matemtico;3) Lus no economista;4) Lus no o engenheiro (porque ele no poderia ser mais moo do que ele

mesmo);5) Mrio no agrnomo;6) Mrio no economista;7) Mrio no matemtico;8) Ndio no matemtico;9) Ndio no economista (porque o economista mais velho do que Ndio);

10) Pedro no economista (porque o economista mais moo do que Pedro);11) Pedro no arquiteto (porque ele mais moo do que o arquiteto);12) Oscar no o engenheiro (porque Lus mais moo do que o engenheiro e mais

velho do que Oscar).

Sobre as idades

13) Lus no o mais velho de todos (porque ele mais moo do que o engenheiro);14) Lus no o mais moo de todos (porque ele e mais velho do que Oscar);15) Ndio no o mais velho de todos (porque o economista mais velho do que ele);


16) Pedro no o mais moo (porque o economista mais moo do que ele);17) Pedro no o mais velho de todos (porque ele mais moo do que o arquiteto);18) Oscar no o mais velho de todos (porque Lus mais velho do que ele);19) o engenheiro no o mais moo de todos (porque Lus mais moo do que ele);20) o economista no o mais moo de todos (porque ele mais velho do que

Ndio);21) o economista no o mais veiho (porque ele mais moo do que Pedro);22) o arquiteto no o mais moo de todos (porque Pedro mais moo do que ele).

Terceiro passo: preparamos a tabela principal e a tabeia-gabarito:

Profisso idade

AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 30 35 40 45Lus n n n n n n

o Mrio n n nE Ndio n n n

Oscar n n

Pedro n n n n

25 n n n

30oaXJ 35

40

45 n

Observe que para a coluna ECO s sobrou Oscar; e para a coluna 45 s sobrou Mrio. Alm disso, para Lus s sobrou ARQ. Vamos marcar isso na tabela principal:

Profisso idade

AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 30 ; 35 40 45

Nom

e

Lus n S n n n n n

Mtio n n n n n n f! rt 8

Ndio R n n n

Oscar n n S n n

Pedro n n n n

tdad

e

25 n n n

30

35

40

45 n

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento m 41

Nome Profisso IdadeLus ARQUITETO

Mrio 45

Ndio

Oscar ECONOMISTAPedro

Vamos usar a tcnica das setmhas para chegar a novas concluses:

Linha do Lus

Lus (ARQ) *- no 25; no 45Isso nos leva a concluir que, se Lus arquiteto e no tem 25 nem 45 anos, o arquiteto no tem 25 nem 45 anos.

Graficamente:

Linha do Mrio

Mrio (45) no, AGRO; no ECOIsso nos leva a concluir que, se Mrio tem 45 anos e no agrnomo, nem economista, quem tem 45 anos no agrnomo, nem economista.

Graficamente:

Mrio (45) - no AGRO; no ECO * A


Concluses: quem tem 45 anos no agrnomo c no "economista.

Vamos registrar essas informaes na tabela principal:

Profisso Idade

AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 30 35 40 45

Lus n S n n n n n

Mrio n n n n n n n n SEo Ndio n n n n

Oscar n n S n n n

Pedro n n n n

25 n n n

30oo 35

40

45 n n

Note que s sobrou ENG para Mrio. Vamos marcar isso na tabela principal:

Profisso idade


Lus n S n n n n n

Mrio n n n S n n n n n S

Ndio n n rt n n

Oscar n n S n n

Pedro n n n n

25 n n n30

oRST3 3540

45 n n

Cora essa ltima marcao, s sobrou Pedro para MAT. Vamos marcar isso na tabela principal:


Profisso fdade

AGRO ARQ eco ENG MAT 25 30 35 40 45

LuS n S n n n n n

Mrio n rs n S n n n n n SEo Ndio S n n n n n

Oscar n n S n n n

Pedro R n n n S n n

25 n n n

30T>


Coluna do ECONOMISTA

ECO (Oscar) no 25 no 45

Graficamente:

ECO (Oscar) no 25, no 45 A A

Vamos registrar essas informaes na tabela principal:

Profisso Idade


Lus n S n n n n n


1 Ndio S n n n n n

Oscar n n S n n n n

Pedro n n n n S n n

25 S n n n n

Idad

e 30 n /

35 n /

40 n /

45 n n n S n


Perceba que s sobrou o Ndio para a coluna do 25. Vamos registrar isso:

Profisso Idade


Lus n S n n n n n

Mrio n n n S n n n n n SEo Ndio S n n n n S n n n n

Oscar n n S n n n n

Pedro n n n n S n n

25 S n n n n

30 n /OS 35 n /

40 n /

45 n n n s n

Vamos completar a tabela-gabarito:

Nome Profisso Idade

Lus a r q u i t e t o

Mrio ENGENHEIRO 45

Ndio AGRNOMO 25

Oscar e c o n o m is t a

Pedro MATEMTICO

Veja a sentena o economista mais velho do que Ndio e mais moo do que Pedro. Pela tabela, podemos ver que:

as idades possveis para Pedro so 30,35, ou 40;as idades possveis para o economista (que Oscar) tambm so 30,35, ou 40.

Como o economista (Oscar) mais moo do que Pedro, o economista no pode ter 30 (porque essa a menor idade que Pedro poderia ter e no seria possvel atender condio).

Alm disso, Pedro no pode ter 40, porque assim no seria possvel que o economista (Oscar) fosse mais velho do que ele (Pedro).

Vamos marcar isso na tabela principal:


Profisso Idade

AGRO ARQ ECO ENG MAT 25 i 30 35 40 45N

ome

Lus n S n n n n n


Ndio S n n n n S n n n n

Oscar n n S R n n n n

Pedro n n n n S n n n

Idad

e

25 S n n n , n

30 n /

35 n /

40 n /

45 n n n S n

Vamos, mais uma vez, usar as setinhas na linha do Oscar e ver se chegamos a novas concluses:

Linha do Oscar

Oscar (ECO) > no 25; no 30; no 45

Graficamente:

(Oscar) ECO -> no 25, no 30; no 45



Profisso Idade


Lus n S n n n n n

Mrio n n n S n n n n n sEo Ndio S n n n n S n n n n

Oscar n n S n n n n n


25 S n n n n

30 n n /T


As idades possveis para Lus so: 30, 35 ou 40.As idades possveis para Oscar so: 35 ou 40.Como Lus mais velho do que Oscar (veja a primeira das sentenas acima), Lus

no pode ter 30, nem 35 anos (porque ele no poderia, desta forma, ser mais velho que Oscar). Logo, Lus tem 40 anos.

Vamos marcar isso nas duas tabelas:

Profisso idade


Lus n S n n n n n n S n

m Mrio n n n S n n n n n SEo7 Ndio S n n n n S n n n n

Oscar n n S n n n n n n


25 S n n n n

30 n n /X3aV 35 n /

40 n /

45 n n n S n

Note que s sobrou 35 para o Oscar. Vamos marcar isso na tabeia-gabarito:

Nome Profisso tdade

Lus ARQUITETO 40

Mrio ENGENHEIRO 45

Ndio AGRNOMO 25

Oscar ECONOMISTA 35

Pedro MATEMTICO

Consequentemente, s sobrou 30 para Pedro. Problema resolvido!!! Marque a tabeia-gabarito e voc tem a resposta:

Nome Profisso tdade

Lus ARQUITETO 40

Mrio ENGENHEIRO 45

Ndio AGRNOMO 25

Oscar ECONOMISTA 35

Pedro MATEMTICO 30

Resp.: A


4. (ESAF-MPU-2004) Caio, Dcio, der, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, ento, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma nica filha, e todas tm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da prpria filha e que a cada nome das filhas corresponderia um e apenas um barco. Ddo e der desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Las, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Las ficou para o barco de Dcio e der deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pr o nome de Paula em seu barco (isto 4 ao barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair coube o nome de Olga.

As filhas de Caio, Dcio, der, Felipe e Gil so, respectivamente:

a) Mara, Nair, Paula, Olga, Las.;b) Las, Mara, Oga, Nair, Paula;c) Nair, Las, Mara, Paula, Olga;d) Paula, Olga, Las, Nair, Mara;e) Las, Mara, Paula, Olga, Nair.

Resoluo:A resoluo abaixo deve ser vista passo a passo, a ser acompanhada era um papel

parte por voc.

Primeiro passo: entender as regras do enunciado:Cada uma das filhas tem um nome diferente dos demais.Um pai no pode dar ao seu barco o nome de sua filha.Cada barco tem um nome diferente dos demais.

Segundo passo: identificar as variveis em questo:Nome: Caio, Dcio, der, Felipe e Gil (observe que voc poderia usar C, D, E, F e G, para simplificar).Filhas: Las, Mara, Nair, Olga e Paula (observe; L, M, N, O e P). Barcos; Barco Las, Barco Mara, Barco Nair, Barco Olga e Barco Paula (observe: L, M, N, O e P).

Terceiro passo: interpretar as sentenas do enunciado:Dcio e der desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Las.

Concluses:Las no filha de Ddo;Las no filha de Eder.

50 e Raciocnio Lgico Enrique Rocha

O nome de Las ficou para o barco de Dcio e der deu a seu barco o nome de Mara.

Concluses:Mara no filha de der; o barco de Dcio recebeu o nome de Las; o barco de der recebeu o nome de Mara.

Gil convenceu o pai de Olga a pr o nome de Paula em seu barco (isto , no barco dele, pai de Olga).

Concluses:Olga no filha de Gil;o barco do pai de Olga recebeu o nome de Paula,

Ao barco de Caio, coube o nome de Nair.

Concluses:Nair no filha de Caio; o barco de Caio o Barco Nair.

Ao barco do pai de Nair coube o nome de Olga.

Concluso:o barco do pai de Nair o Barco Olga.

Vamos, ento, repetir todas as concluses a que chegamos, ordenando-as (para. simplificar a marcao):

Las no filha de Dcio;Las no filha de der;Mara no filha de der;Olga no filha de Gil;o barco do pai de Olga recebeu o nome de Paula;Nair no filha de Caio; o barco de Dcio recebeu o nome de Las; o barco de der recebeu o nome de Mara.


Quarto jpasso: preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: importante que voc perceba que pela regra do enunciado deve-se marcar n

(eliminar a casa) para todo cruzamento entre o nome de uma filha e o barco com o mesmo nome. Isso porque o Pai de Las (por exemplo), no pode ter um barco Las. Para simplificar a visualizao, essas marcaes n vo estar em negrito.

Filha Barco

Late Mara Nair Olga Paula BarcoLas

BarcoMara

BarcoNair

BarcoOlga

BarcoPaula

Cato n n rt

m Dcio n S n n n no der n n n S n R n

Fepe n nGil n n n nBarco Las n n n

o Barco Mara n n noCOm Barco Nair n nBarco Olga n n S n nBarco Pauta n n n S n

Nome Filha Barco

Caio

Dcio Barco Las

der Barco MaraFelipe

Gil

Quinto passo: usamos a tcnica das setinhas para chegar a novas concluses:

Linha do der

der (Barco Mara) no Las; no Mara

Graficamente:

der (Barco Mara) no Las; no Mara ..c...................... A A

| Concluses: Barco Mara'no d Pa| de Las" e no do pai de Mara. ' -.


Coluna da Nair

Nair (Barco Olga) no CaloIsso nos leva a concluir que: se Nair filha do dono do Barco Olga e no filha de Caio, Caio no dono do Barco Olga.

Graficamente:

Coluna da Olga

Olga (Barco Paula) > no GilIsso nos leva a concluir que, se Olga filha do dono do Barco Paula e no filha de Gil, Gil no dono do Barco Paula.

Graficamente:

Vamos marcar todas essas concluses na tabela principal: Concluso: o Barco Mara no do Pai de Las. Concluso: o Barco Mara no do Pai de Mara. Concluso: o Barco Olga no de Caio.Concluso: o Barco Paula no de Gil (j marcado).

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento d 53

Observe que para Las s sobrou Barco Nair. Vamos marcar isso na tabela principal:

Filha Barco

Las Mara Nair Oiga Paula BarcoLate

BarcoMara

BarcoNair

BarcoOlga

BarcoPaula

Caio n n n rt

o Dcio n S n n n nEo der n n n S n n n

Felipe n n

Gil n rt n rt

Barco Las n n n

Barco Mara n n n n

0]

54 n Raciocnio Lgico Enrique Rocha

Finalmente, para Paula s sobrou o Barco Mara. Vamos marcar isso na tabelaprincipal*.

Filha Barco

Las Mara Nair Olga Paula BarcoLas

BarcoMara

BarcoNair

BarcoOlga

BarcoPaula

Calo n n n n

i Dcio n S n rt n nO dsr n n n S n n n

Felipe n n

Gil n n n n

Barco Lais n S n n n

Barco Mara n n n n S

(00Barco Nair S n n n El

Barco Olga n n S n rs

Barco Paula n n n S n

Vamos, mais uma vez, usar as setnhas em busca de novas concluses;

Coluna da Olga (se voc tentar as colunas Las ou Mara, ver que as conduses j esto marcadas!!!).

Olga (Barco Paula) - no Caio; no GilIsso nos leva a conduir que: se Olga filha do dono do Barco Paula e no filha de Caio, nem de Gil, Caio no dono do Barco Paula e Gil no dono do Barco Paula.

Graficamente:

Olga (Barco Paula) - * no Caio; no Gil

Captulo 2 Problemas Sobre Correlacionamento m 55


Filha Barco

Las Mara Nair Oiga Pauta BarcoLas

BarcoMara

BarcoNair

BarcoOlga

BarcoPaula

Caio n rt n n n

OEo

Dcio n S n n n n

der n n n S n n n

Felipe n n

Gii n n n n n

Barco Las n S n n n

Barco Mara n n n n S

Barc

q) Dupla implicao: p Se e Somente Se q (p

3.5.1. Propriedades de uma operao

Representemos duas operaes pelos smbolos oe, trs operandos por aebec :> Comutatividade:

a * b = b a (quaisquer que sejam a, b)Exemplos aritmticos com nmeros naturais:

1) a adio e a multiplicao so comutativas: a + b - b + a (para quaisquer a, b)a. b = b. a (para quaisquer a, b)

2) a subtrao e a diviso no so comutativas:a - b& b a (essa igualdade s verdadeira quando a b)

Exemplo da no comutatividade: 5 2 & 2 5(essa igualdade s verdadeira quando a = b ou a -b)

5 5Exemplo da no comutadvidade: 2 ^ 2

Associatividade: a ( b * c ) ( a * b ) * c s = a * b c (para quaisquer a, b, c)Exemplos aritmticos com nmeros naturais.A adio e a multiplicao so associativas: a + (b + c) * (a + b) + c a + b + c (para-quaisquer a, b, c) a. (b. c) - (a. b). c = a. b. c (para quaisquer a, b, c) *

> Distributividade de em relao a O:a 8 (boc) = (ab)o(a 'c ) (para quaisquer a, b, c)Exemplos aritmticos com nmeros naturais.A multiplicao distributiva.em relao adio: a. (b + c) = a. b + a. c (para quaisquer a, b, c)A multiplicao distributiva em relao subtrao:a. (b - c) = a. b - a. c (para quaisquer a, b, c)

[p (rejpreseBrsogDefimoi uma proposio a negao de outra quando: se uma for verdadeira, ento

a outra obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, ento a outra obrigatoriamente verdadeira.

Observao? s vezes, uma proposio contradiz outra, sem ser sua negao. Exemplo 1;Este lpis branco contradiz, mas no negao de Este lpis azul, porque

a negao desta ('Este lpis no azul) no obriga a que a cor do lpis seja branca. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas.

Captulo 3 lgebra das Proposies a 67

Exemplo 2:x igual a 7 contradiz, mas no negao de x igual a 3, porque a negao

desta (x no igual a 3, ou x diferente de 3) no obriga a que x seja igual a 7. Poderia ser qualquer outro nmero diferente dos citados.

3.6.1. Modos de Negao de uma Proposio

1. Antepondo-se a expresso no ao seu verbo.Ex.: Jorge gosta de mamo

Jorge no gosta de mamo*2. Retirando-se a negao antes do verbo.

Ex,: Paulo no primo de JooPaulo primo de Joo

3. Substituindo-se um termo da proposio por um de seus antnimos.Ex.: n um nmero par

n um nmero mpar.Ex.: Maria feia

Maria bonita.Tabela-Verdade

F V

Exemplo:Se "Jorge gosta de mamo verdadeiro, ento Jorge no gosta de mamo

obrigatoriamente falso. Se Jorge gosta de mamo falso, ento Jorge no gosta de mamo obrigatoriamente verdade.

Conclumos que Jorge no gosta de mamo negao de Jorge gosta de mamo.

3.7. Disjuno (inclusiva) p ou q (Representao; p v q )

A proposio composta resultante da operao da disjuno de duas ou mais proposies s ser falsa se todas as proposies envolvidas na operao forem falsas. Basta uma ser verdadeira, para que a proposio resultante seja falsa.

Tabela-Verdadep v q

68 a Raciocnio Lgco Enrique Rocha

Exemplo 1:Tomando por base as proposies:

p: 5 um nmero par q: Braslia a capital do Brasil r: x divisvel por 7"

Voc conclui que:

p q r p v q p v r q v r p v q v r

F v / ; ... V > V V

No conseguimos definir o valor de pvr porque desconhecemos o valor lgico de r e por isso, como p F, se r for V\ pvr ser V. Por outro lado, se r for P tambm, teremos pvr assumindo valor F.

Exemplo 2:

Vemos, acima, que as proposies pvq e qvp so equivalentes, pois tm a mesma tabela-verdade, ou seja, pvq qvp

3.7.1. Negao da Disjuno: No P e No Q

"(p v q) o "p a ^q (uma das leis conhecidas como Leis de Morgan,a outra como veremos, : ~(p A q ) 0 " p v ~q).

Essa equivalncia foi extrada da tabela abaixo, a qual voc dever construir passo a passo, como exerccio. !

P q pvq ~p -q -pv-qV V V hSS F F FV F V SIII8I8 F V VF V V ii V F VF F F V V V tS illfl

Observe que "(p v q) -p v -q (segunda Lei de Morgan)

Exemplo 1:A negao da proposio x mpar OU y divisvel por 7 :x no mpar E y no divisvel por 7

Poderia sen *x par E y no divisvel por 7

Exemplo 2;A negao da proposio Maria feia OU Jos rico :Maria no feia E Jos no rico.Poderia sen Maria bonita E Jos pobre.

3.7.2. Propriedades

Comutativa: p v q q v pAssociativa: p v ( q v r ) < s > ( p v q ) v r - p v q v rExerccioi como exerccio mostre as propriedades acima, usando tabelas-verdade.

3.8. Disjuno Exclusiva: Ou p ou q (Representao: pvq)A proposio composta resultante da operao da disjuno exclusiva de duas ou

mais proposies s ser verdadeira se as proposies envolvidas na operao tiverem valores lgicos contrrios, isto , se uma for verdadeira e a outra, falsa. Se tiverem o mesmo valor lgico (ambas verdadeiras ou ambas lsas), a proposio resultante da disjuno exclusiva ser falsa.

Isso significa que uma disjuno exclusiva no admite que os dois valores envolvidos sejam iguais, ou seja, quando isso acontecer a proposio (p v q) assumir valor lgico "F".

Captulo 3 lgebra das Proposies a 69

Tab ela-Verdadep q p^qV V FV F VF V VF F F

Exemplo:Tomando por base as proposies:

p: 5 um nmero par q: Braslia a capital do Brasil n x divisvel por 7

70 e Raciocnio Lgico Enrique Rocha

Voc conclui que:

p q r p y q p v r q v r p v q y r

F V ? V > ?

*As representam a impossibilidade de definirmos os valores lgicos, j que eles dependem do valor desconhecido na proposio r.**0 ou...ou pode ser melhor entendido da seguinte forma:imagine que duas pessoas estabeleam a seguinte regra: ou eu vou, ou voc vai. O que podemos inferir disso? Que um dos dois tem que ir; e que s um dos dois pode ir. Por isso, quando p for V, e q tambm V, teramos que os dois vo e a regra teria sido Furada. Da mesma forma, se P Ficar, a regra tambm teria sido Furada, j que v dos dois teria que ter ido.

3.8.1. Negao de ou d OU o (a ser Estudada Posteriormente)

3.8.2. Propriedades

Comutatva:pyqoqvpAssociativa: p v ( q v r ) o ( p v q ) v r

Exerccio; mostre as propriedades acima, usando tabelas-verdade.

3.9. Conjuno: p e q (Representao: p a q)

A proposio composta resultante da operao de conjuno de duas ou mais proposies s ser verdadeira se todas as proposies envolvidas na operao forem verdadeiras. Basta uma ser falsa, para que a proposio resultante da conjuno seja falsa.

Tabela-Verdade

P

Captulo 3 lgebra das Proposies m 71

Voc conclui que:

p q r P Aq p Ar q a r p A q a rF V > F F > F

*A s representam a impossibilidade de definirmos os valores lgicos j que eles dependem do valor desconhecido na proposio r.No conseguimos definir o valor de q a r porque desconhecemos o valor lgico de r e, por isso, como q e V", se r for V, q a t tambm ser "V". Por outro lado, se r for F, teremos q a r tambm F.

3.9.1. Negao da conjuno: No p ou No q

"(p a q) O "p v -q (segunda Lei de Morgan)

Essa equivalncia foi extrada da tabela abaixo, a qual voc dever construir passo a passo, como exerccio.

P q PAq !H 8iSI -q -p A~q iilSSV V V EISS33I F F p jSftftKV F wmmmm V FF V F v F F \ |gF F F V V V

Exemplo 1:A negao da proposio x mpar E j divisvel por 7 :

x no mpar OU y no divisvel por 7.Poderia ser: x par OU y no drasrvel por 7

Exemplo 2A negao da proposio Maria feia E Jos rico :

Maria no feia OU Jos no rico Poderia sen Maria bonita OU Jos pobre

3.9.2. Propriedades

-> Comutativa: p A q O q Ap


- Associativa:p a (q a p) O (p A q) a p

Distributiva em relao disjuno: p a (q v r) (p a q) v (p a q)

Exercido: mostre as propriedades acima, usando tabelas-verdade.

3.10. Implicao: Se p ento q (Representao: p -* q)

Alguns autores usam o termo condicional.A primeira proposio (p) chamada de antecedente ou hiptese; a segunda (q),

de conseqente.Essa operao uma das mais importantes e deve ser analisada cuidadosamente.

Sua perfeita compreenso leva segurana na resoluo de inmeros exerccios e ela tambm fundamental para que se consiga entender a operao dupla-implicao (ou bicondidonal) p Se e Somente Se q (p -O- q), apresentada mais adiante.

Um exemplo desse tipo de proposio :SE o carro for barato, ENTO Jos o comprar ou, em outras palavras:Jos comprar o carro, SE o cajp> for barato.

A mesma proposio pode apresentar formas de dizer diferentes:O carro ser barato condio SUFICIENTE para Jos compr-loJos comprar o carro condio NECESSRIA para o carro ser barato.O carro ser barato SOMENTE SE Jos o comprar

Essas trs ltimas formas de apresentao sero explicadas detalhadamente no tpico Condio suficiente. Condio necessria, mais abaixo. Por enquanto, vamos nos restringir forma do ttulo do item (Se p Ento q).

A proposio composta resultante da operao de implicao de uma proposio em outra s ser falsa, se a antecedente (hiptese) for verdadeira e a conseqente for falsa. Em todos os outros casos, a proposio resultante da implicao ser verdadeira.

Tabela-Verdadep 9 p q

V V VV F F

Caro Leitor, voc se surpreendeu com a afirmao acima e com as duas ltimas linhas? Pareceu-lhe, primeira vista, uma distrao do autor ou uma falha na impresso? Mas no foi nem uma coisa nem outra. Veja a seguir.

Captulo 3 lgebra das Proposies & 73

Exemplo explicativo informal:Voc prometeu a seu filho Jnior:SE voc lavar o carro, ENTO eu o empresto a voc,Toda proposio condicional deve ser analisada como um todo. Neste exemplo, a

proposio sua promessa e, como tal, dever ser analisada.Aqui temos:

p: voc lavar o carro q: eu o empresto a voc

E a construo seria:voc lavar o carro eu o empresto a vocAnalisemos as quatro possibilidades:

Jnior lavou o carro (V) e voc emprestou o carro (V).Promessa cumprida (V)

Jnior lavou o carro (V) e voc no emprestou o carro (F).Promessa no cumprida (F)

Jnior no lavou o carro (F) e voc emprestou o carro (V).Jnior no lavou o carro (F) e voc no emprestou o carro (F).

No houve promessa para o caso de Jnior no lavar o carro; portanto, no se pode falar em promessa descumprida (F). Nesse caso, s poderemos avaliar se a promessa foi ou no foi cumprida quando Jnior lavar o carro. Ento, nossa regra continua Vlida.

Observe-se que uma proposio condicional pode, s vezes, parecer descabida, sem sentido prtico, por poder no haver a menor coerncia entre a condio apresentada e a conseqncia.

Isso no deve influenciar quando formos determinar-lhe o valor lgico. Para isso, analisamos o valor das proposies componentes e daremos valor F somente no caso de a hiptese ser V e a conseqncia ser F. Em todos os demais casos, como j vimos, o valor lgico da proposio resultante ser V.

Podemos ver isso nos exemplos abaixo, em que todas as proposies resultantes so verdadeiras, j que, em nenhuma delas, a condio verdadeira e a concluso falsa.

Se 4 um nmero par, Ento Braslia a capital do Brasil.Se Recife no a capital do Brasil, Ento Braslia a capitai do Brasil.Se 4 menor que 2, Ento 4 maior que 7.Se o Brasil no um pas, Ento 5 menor que 7.

Exerccio: D o valor lgico a cada uma das proposies resultantes abaixo.a) Se (2 maior que 5 E Joo casado) Ento Maria tem 17 anos.

Resp.s V

74 s Raciocnio Lgico Enrique Rocha

b) Se 2 menor que 5 E (2 par Ento 4 menor que 2)Resp.: Fc) Se (7 maior que 5 OU Joo casado) Ento 5 par.Resp.: F

3.10.1. Negao da implicao: p e no q

Essa equivalncia foi extrada da tabela abaixo, a qual voc dever construir passo a passo, como exerccio.

p q p - qV V V FV F F V

F V V F

F F V V

Das colunas hachuradas, podemos concluir que"(p -> q) O --p A -q, ou seja; "negar p -> q a mesma coisa (tem a mesma tabela-verdade) quer dizer pA -q)

Vemos que uma proposio condicional negada quando acontece a condio (V), E a conseqncia no acontece (F).

Exemplo:A negao de SE x um nmero par ENTO y um nmero par :x um nmero par E y um nmero mpar.

3.10.2. Equivalncia da Implicao: No q - no p

P q'n,. ~(p -> q) 'P -q ^/-q

V V J t M F F F V

V F V F V V

F V 4 v - y ; F V F FF F =v ;# t . F V V V

Cuidado especial requerido agora: pela tabela-verdade acima, vemos que a expresso p -> q no equivalente a -p - -q, ou seja:

Se p Ento q no eqivale a Se no p Ento no q Entretanto, pela mesma tabela-verdade, vemos que:p - qM equivalente a -q ^pSe p Ento p eqivale a Se no q Ento no p

Captulo 3 lgebra das Proposies ss 75

Exemplo explicativo informal:Se Carlos passou de ano, Ento Carlos passou em Matemtica no significa o

mesmo que:"Se Carlos no passou de ano, Ento Carlos no passou em Matemtica, pois

Carlos pode ter sido aprovado em Matemtica e reprovado em Portugus, por exemplo.Entretanto:Se Carlos passou de ano, Ento Carlos passou em Matemtica" significa o mesmo que:Se Carlos no passou em Matemtica, Ento Carlos no passou de ano (porque

p > q -q > -p).Exemplo:A proposio "Se o nmero x par Ento o nmero y mpar eqivale a dizer

q

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Enrique Rocha - Raciocinio Logico Para Concursos - 3a Ed. 2010