Embed Size (px)
Citation preview
Ensaios Econômicos
EPGE
Escola
Brasileira de
Economia e
Finanças
N◦ 814 ISSN 0104-8910
Juros Simples (?) e Suas Complicações: Ju-ros Simples (?) e Suas Complicações:
Clovis de Faro
Outubro de 2019
URL: http://hdl.handle.net/10438/5
Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. Asopiniões neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista daFundação Getulio Vargas.
EPGE Escola Brasileira de Economia e Finanças
Diretor Geral: Rubens Penha CysneVice-Diretor: Aloisio AraujoCoordenador de Regulação Institucional: Luis Henrique Bertolino BraidoCoordenadores de Graduação: Luis Henrique Bertolino Braido & André Arruda VillelaCoordenadores de Pós-graduação Acadêmica: Humberto Moreira & Lucas Jóver MaestriCoordenadores do Mestrado Profissional em Economia e Finanças: Ricardo de OliveiraCavalcanti & Joísa Campanher Dutra
de Faro, ClovisJuros Simples (?) e Suas Complicações: Juros Simples
(?) e Suas Complicações: / Clovis de Faro – Rio de Janeiro :FGV,EPGE, 2019
38p. - (Ensaios Econômicos; 814)
Inclui bibliografia.
CDD-330
1
Juros Simples (?) e Suas Complicações:
CLOVIS DE FARO
(Outubro de 2019)
2
Juros Simples (?) e Suas Complicações
1 – Introdução
Como sumariado na segunda seção deste trabalho, que contempla um breve sumário de
práticas arraigadas em diversas culturas, a cobrança de juros tem, de há muito, sido sempre
presente.
Todavia, os procedimentos para a apuração dos juros, o que tem acarretado
controvérsias, nem sempre tem sido aplicados de uma maneira uniforme. Tanto podem ser
segundo o ditames do que se denomina de regime de juros simples, quando só o capital inicial
rende juros. Como segundo os preceitos do que se chama de juros compostos; quando os juros
também rende juros (o que, no jargão jurídico, é dito caracterizar anatocismo).
Ocorre que, ao contrário do que acontece no caso do regime de juros compostos, que
goza da propriedade de que se possa fracionar o prazo de aplicação, o regime de juros simples
deveria, efetivamente, ser mais apropriadamente chamado de regime de juros complicados.
Porque, devido a aplicações inadequadas, geram, muitas vezes, resultados incorretos.
Concentrando a atenção no caso em que um empréstimo deva ser resgatado mediante o
pagamento de duas ou três prestações periódicas e constantes, quando é possível explicitar
soluções analíticas ainda administráveis, o nosso propósito é o de evidenciar incongruências
advindas da adoção do regime de juros simples.
Assim, fazendo uso dos conceitos clássicos de equivalência financeira e de data de
comparação, cf. de Faro (1969), também chamada de data focal, mostra-se como o valor da
prestação constante é influenciado pela escolha desta última. Ou seja, ao contrário do que
ocorre no regime de juros compostos, onde o valor da prestação é independente da data de
comparação, a adoção do regime de juros simples acarreta ambiguidades e incongruências; as
quais ficam patentemente explicitadas quando se busca apurar o saldo devedor do
financiamento. Isto porque, também ao contrário do que ocorre no regime de juros compostos,
no qual os três procedimentos clássicos para a apuração do saldo devedor do financiamento, os
denominados métodos prospectivo, de recorrência e retrospectivo, conduzem ao mesmo
resultado, cf.de Faro (2014), tal não acontece se houver sido estipulada a adoção do regime de
juros simples.
Em particular, dado que a nossa jurisprudência (veja-se Jusbrasil – Tópicos, de 26 de
junho de 2019) tem dado quarida a demandas de que se faça uso do que tem sido,
incorretamente, chamado de “Método de Gauss”, no qual a data de comparação é tomada como
a de vencimento da última prestação (cf. Nogueira, 2013), evidencia-se que a peculiar
metodologia que se propugna para a determinação do saldo devedor, também conduz a
resultados que são flagrantemente inadequados.
3
2) – Cobrança de Juros: um Procedimento Multimilenar
A cobrança de juros em empréstimos, afigura-se como sendo uma prática que vem
ocorrendo há vários milênios. E em diferentes culturas.
Nesta seção, começando com um breve retrospecto do que é registrado como já tendo
sido praticado na antiga Suméria, cerca de 3.000 AC, e também na Babilônia e na Índia antiga,
a partir de 2.000 AC, aborda-se também o conceito de usura; com suas interpretações, tanto de
cunho religioso, como de caráter e moral.
A seguir, apresentam-se as primeiras sistematizações formais publicadas no Ocidente,
a partir do século XV de nossa era. Que incluem tabelas de juros simples e de juros compostos.
2.1) – Os Primórdios
De acordo com Hudson (2000), taxas de juros passaram a integrar sistemas gerenciais
de antigas civilizações mesopotâmicas, durante o terceiro milênio AC. Ou seja, ainda nos
tempos da Suméria e da Babilônia.
Escribas eram treinados para efetuar cálculos, com taxas anuais de juros de 20%; com
capitalização a cada cinco anos. Ou seja, já se fazia uso do regime de juros compostos. No
entanto, é mencionado que proclamações reais estipulavam que débitos fossem cancelados a
cada cinco anos. Em particular, segundo Muroi (2015), tem-se evidência da cobrança de juros
compostos, na antiga Suméria, ao redor do ano 2040 AC.
Sendo que, segundo Homer e Sylla (2005), as taxas anuais de juros, na antiga Suméria,
costumavam ser de 33,5% para empréstimos em termos de grãos de cereais, e de 20% para o
caso de empréstimos em termos de prata. Com esses mesmo autores relatando que, de acordo
com as chamadas Leis de Manu, na Índia, as taxas de juros eram de 24%, ao redor de 2400 AC.
Em especial, deve ser destacado o chamado Código de Hamurabi, promulgado por
monarca que reinou na Babilônia, de 1792 AC a 1750 AC. Segundo Nagarajan (2011), o código
foi promulgado ao redor do ano 1780 AC, com a Lei 50 especificando que empréstimos a
agricultores deviam ser restituídos com juros. Com a Lei 88 estipulando como devia ser
restituído determinado empréstimo; com as taxas de juros sendo limitadas a 20% ao ano (o
código estabelecia punição para quem cobra-se mais do que 20% ao ano).
Adicionalmente, de acordo com Visser e McIntosh (1988), que fazem referência ao
estudo de Jain (1929), os chamados textos védicos (relativos à civilização védica, que floresceu
na região do subcontinente indiano), já descreviam cobranças de juros no período 2.000 -1.400
AC.
Ou seja, a prática da cobrança de juros é, efetivamente, multimilenar. Com seu início,
provavelmente, tendo ocorrido a cinco mil anos atrás.
4
2.2) – O Conceito de Usura
A cobrança de juros em empréstimos, nem sempre foi bem aceita. Assim é que mesmo
correntemente (cf. Houaiss, 2001), o termo usura, que é definido como juro de capital, tem uma
conotação pejorativa. Pois costuma ser interpretado como uma cobrança excessiva de juros.
Sendo que, segundo Visser e McIntoch (1988), o termo usura tem sido, ao longo de sua história,
associado à pratica de cobrar juros em excesso ao principal emprestado. Com tal excesso,
modernamente, sendo interpretado como cobrança de juros acima do que é legal ou socialmente
aceitável.
Segundo aqueles dois autores, além dos já anteriormente mencionados textos védicos,
onde o correspondente ao termo usurário, que aparece como kusidin, designa aquele que efetua
empréstimos mediante a cobrança de juros, os célebres filósofos gregos, Platão e Aristóteles,
também condenavam, ao redor de 387 AC, quando Platão estabeleceu sua academia em Atenas,
a cobrança de juros (cf. Gordon, 1982).
Na cultura judaica, ainda segundo Gordon (1982), a mais antiga menção a juros, data
do século 9AC, ou até antes. Sendo mencionado, no chamado Código Eloístico, que não se
devia cobrar juros dos próprios judeus. Entretanto, com a reforma deuterônica, cerca de 622
AC, enquanto cobrar juros de qualquer membro da comunidade judaica era proibido, tal
proibição não acontecia no caso de empréstimos a estrangeiros.
Também segundo Gordon (1982), a partir das prédicas de Ezekiel, em 593 AC,
apresenta-se uma distinção entre usura, que representaria um empréstimo em que se efetua um
desconto, e a cobrança de juros no final do empréstimo.
O advento do cristianismo, com a criação da Igreja Católica, também condenou a usura.
Sendo que o ápice da proibição acorreu em 1311, quando o Papa Clemente V proclamou o
banimento absoluto da usura (cf. Visser e McIntoch (1988)).
Além do já mencionado ataque ao conceito de usura feito por Aristóteles, é importante
mencionar, como apontado em Shockley (2012) , as condenações efetuadas por Tomás de
Aquino (1225-1274), que escreveu no período medieval , e as de João Calvino (1509-1564),
que teve muita influência na Reforma Protestante.
Do mesmo modo, também na cultura islâmica, a chamada xaria (shari-ah), estabelece
que, segundo Tipping (2006), a cobrança de juros, que é denominada Riba, seja proibida.
2.3) – Sistematização Iniciais
Muito embora, segundo Hawawini e Vora (1982), tabelas confidenciais de juros
compostos já fossem empregadas por grandes casas bancárias, como a de Baldi, na Florença,
Itália, desde o século XIII, a primeira publicação conhecida remonta ao século subsequente.
Assim, de acordo com Evans (1936), o guia sobre comércio internacional, escrito entre 1335 e
1343, pelo banqueiro Florentino Francesco Balducci Pegolotti, intitulado Pratica della
mercatura, apresenta as primeiras tabelas conhecidas de juros compostos.
Mais tarde, já no século XV, segundo Poitras (1996), aparece o que se apresenta como
o primeiro livro publicado no Ocidente, em 1478, em Treviso, na Itália, que versa sobre
5
aritmética comercial, intitulado Treviso Arithmetic (ou Arte dell Abbaco); incluindo problemas
envolvendo cálculo de juros (somente de juros simples).
Ainda segundo Poitras (1996), é importante destacar a obra intitulada Triparty en la
science des nombres, do matemático francês Nicholas Chuquet. Cujo manuscrito, completado
em 1484, tratou de problemas de aritmética comercial envolvendo o cálculo de juros
compostos.
Também segundo Hawawini e Vora (1982), cumpre singularizar a publicação do
General Trattato, de 1556, de autoria de Niccoló Fontana, que ficou conhecido como Tartaglia.
É mencionado que, sem o conhecimento da publicação de tabelas de juros compostos, Tartaglia
foi capaz de produzir, mediante aproximações, a solução de um problema de determinação da
taxa de juros implícita em um certo empréstimo que deveria ser pago por meio de uma anuidade
(ou seja, por meio de prestações constantes).
Mais tarde, ainda de acordo com Poitras (1996), e também no século XVI, temos o
trabalho de Jean Trenchant, de 1558-1566, intitulado L’Arithmetique, que incluía tabelas de
juros compostos. Não só para o valor futuro de um pagamento único, 1 ,T
i como também
para o valor futuro de uma anuidade, 1 1T
i i , para 4%i e 1,2,3,4,5,6 .T
Sendo que, também segundo Poitras (1996), em La Pratique d’ Arithmetique, de 1585,
Simon Stevin foi além de Jean Trenchant. Publicando tabelas não só para o valor presente de
um pagamento único, 1 ,T
i
como também para o valor presente de uma anuidade,
1 1 1T T
i i i , para 1,2,3, ,30 ,T e 1%,2%, ,16% .i
Já no século XVII, como realçado por Lewin (1970), temos o livro Arithmeticall
Questions, de Richard Witts, que foi publicado em 1613, e que Lewin acredita ser o primeiro
livro-texto sobre matemática atuarial.
Encerrando esta resumida cronologia, devem também ser destacadas as duas seguintes
obras. A primeira, de autoria de Richard Price, publicada em 1771 e intitulada Observations
on Reversionary Payments, tem uma suma importância aqui no Brasil. Pois que veio a dar
origem à denominação Tabela Price, que é característica do sistema de amortização com
prestações constantes (também conhecido como método francês).
A segunda, da lavra de David Wilkie, publicada em 1794, e intitulada Theory of
Interest: Simple And Compound, tem também particular interesse aqui entre nós. Pois que,
apresenta, na página 34, a fórmula que, com base no regime de juros simples, fundamenta o
que tem sido denominado de “Método de Gauss”; conforme seu principal proponente, Nogueira
(2013). O que iremos abordar, de uma maneira crítica, na quarta seção.
3) – Juros Simples Versus Juros Compostos
Nesta sessão, tendo presente que, ao contrário do que acontece no regime de juros
simples, quando só o capital inicialmente aplicado rende juros, e que, no regime de juros
6
compostos, juros também produzem juros, iremos comparar os dois regimes com relação a dois
aspectos.
No primeiro, que é a razão básica das complicações associadas ao regime de juros
simples, será examinada questão do fracionamento do prazo de aplicação.
No segundo, iremos abordar um equívoco que, já em 1974, estava presente no tratado
elaborado por David Wilkie. E que, ainda modernamente, cf. Veras (1991) e Haller (2013), é
motivo de interpretações equivocadas.
3.1) – A Cindibilidade do Prazo
Seja um capital inicial 0 ,C aplicado em uma dada data origem, à taxa de juros i, por n
períodos desta taxa.
Começando com o regime de juros simples, sabemos, cf. de Faro (2014, p.26), que o
montante (ou valor final) da aplicação, denotado por nC , é tal que 0 1 .nC C i n .
Suponha-se que o investidor tenha efetuado sua aplicação inicial em uma instituição
financeira, dita A , e que resolva efetuar um saque total, uma vez decorridos n períodos da
taxa i ; com .An n Na data An , disporá da quantia 0 1 .An AC C i n .
Nesta mesma data, n , reaplica o saque ,AnC em uma outra instituição financeira, também à
taxa i de juros simples, pelo restante dos An n períodos. Segue-se, na data n , passará a
dispor da quantia, denotada por 'nC , que é tal que:
2
0 0' 1 1 . . 1 .An n A AC C i n n C i n i n n n C i n .
Ou seja, por poder fracionar o prazo de aplicação, o investidor terá um ganho. Pois que
os juros auferidos nos primeiros An períodos, também renderão juros nos An n períodos
subsequentes.
Por este motivo, diz-se que, no regime de juros simples, o prazo de aplicação é não-
cindível.
Por outro lado, se a aplicação for à mesma taxa ,i porém no regime de juros compostos,
sabe-se que, cf. de Faro (2014, p.51), ao final dos n períodos, ter-se-á o total 0 1 .n
nC C i
Repetindo e mesmo procedimento que no caso do regime de juros simples, ter-se-á, no
final dos An primeiros períodos, o total 0 1 .A
A
n
nC C i Assim, efetuando-se a reaplicação,
à mesma taxa i de juros compostos, ter-se-á 0 1 1A An n n
nC i i C
. Ou seja, ao contrário
do caso do regime de juros simples, o fracionamento do prazo não altera o resultado.
7
3.1.1) – Influência (Independência) da Data Focal
Fazendo uso do estudado em de Faro (2014, p. 37-40), imagine-se o caso de um
indivíduo que, tendo que efetuar o pagamento da quantia N, que se vence no fim de 2 anos,
proponha ao credor antecipar a liquidação do débito, um ano antes.
Sendo acordada a taxa anual de juros simples igual a i, suponha-se que a data que seja
estabelecida para comparação, chamada de data focal, seja denotada por t .
Inicialmente, fixando-se 0t , que é a data onde é feita a proposta, o valor de X deve
ser tal que se tenha 1 2 1N i X i . Ou seja, se i = 100% ao ano, a dívida será liquidada
pagando-se ao credor a quantia 2 /3.X N
Por outro lado, se for estabelecido que a data focal seja tomada como 1,t que é a data
de liquidação do débito, ter-se-á que seja satisfeita a igualdade /2N X . Ou seja, manipulando-
se a data de comparação, o devedor seria beneficiado; pagando bem menos do que na situação
anterior.
Ainda mais, fazendo-se a data de comparação suficientemente afastada da data de hoje,
pode-se constatar que ter-se-ia lim .t
X N
O que, obviamente, é um absurdo.
Em outras palavras, tem-se que o problema fundamental da Matemática Financeira, que
é o problema dito de equivalência financeira entre conjuntos de compromissos, é, no regime
de juros simples, dependente da data focal.
Por outro lado, no caso do regime de juros compostos, como formalmente demonstrado
em de Faro (2014, p. 60-61), a escolha da data focal é arbitrária. Ou seja, qualquer que seja a
data focal obtém-se o mesmo resultado.
Em particular, considerando a mesma situação anterior, se a taxa anual i for de juros
compostos, tem-se que a equivalência financeira entre o débito original ,N e o valor X da
proposta, qualquer que seja a data t de comparação, implica em que se tenha a igualdade
2 1
1 1 .t t
N i X i
Expressão que independe de t . Assim, para qualquer taxa de juros ,i
ter-se-á 1 .X N i
3.2) – Juros Simples ou Juros Compostos ?
Um particular método de amortização de dívidas, que, aqui entre nós (cf. de Faro e
Lachtermacher (2012)), costuma ser denominado de Método Americano, tem sido objeto de
dúvidas pelo menos desde a publicação do tratado de Wilkie (1794). Isto porque, segundo o
mesmo, como se observa na página 7, “When a sum of money is lent upon interest, and that
interest is either kept in the borrower’s hand, or is paid regularly, without becoming a part of
the principal, it is then said to bear simple interest”.
8
Ou seja, segundo as palavras de Wilkie, o Sistema Americano, que é caracterizado pelo
pagamento periódico dos juros, à taxa periódica i que tenha sido especificada, seria,
efetivamente, um empréstimo a juros simples. Interpretação esta que, ainda nos dias de hoje, é
esposada por alguns autores; como os já mencionados Veras (1991) e Haller (2013).
Sendo que, como mencionado em Sandrini (2007, p. 61), que cita Veras (1991, p. 193),
fica-se em dúvida se o Sistema Americano é uma aplicação no regime de juros simples, ou no
regime de juros compostos.
Colimando uma apresentação mais detalhada, imagine-se o caso de um empréstimo de
valor F, contratado à taxa periódica i, pelo prazo de n períodos.
Se a taxa i for de juros simples, sabe-se que, no final dos n períodos, o empréstimo deve
ser liquidado, de uma só vêz, com o pagamento de 1 . .F n i O que implica, contabilmente,
que o total de juros foi igual a . .F i n .
Por outro lado, suponha-se que, tal como no Sistema Americano, os juros periódicos,
que são iguais a . ,i F sejam pagos no fim de cada um dos n períodos. Com o principal sendo
restituído, de uma só vez, no final do prazo. Contabilmente, ter-se-á o mesmo total de juros
. . .F i n
Entretanto, ao contrário da situação precedente, onde os juros são pagos de uma só vez,
no final do prazo n, o financiador tem a possibilidade de reinvestir cada uma das n parcelas de
juros iguais a . .i F Em particular, denotando por i’a taxa periódica de juros compostos que lhe
seja disponível, segue-se que, no final do prazo de n períodos, acumulará o seguinte total:
1 2. 1 ' 1 1 1 . 1 ' 1 '
n n ni F i i i i F i i
Deste modo, dada a restituição, no final do prazo de n períodos, do principal F, o
financiador disporá da soma . 1 ' 1 '.n
F i F i i Assim, desde que se tenha a taxa de juros
'i sendo positiva, ter-se-á mais do que seria obtido caso o empréstimo fosse à taxa i de juros
simples.
Sendo que, em particular, se ' ,i i conclui-se que, no final dos n períodos, ter-se-ia
acumulado o mesmo valor 1 ,n
F i se o empréstimo fosse à taxa i de juros compostos, com
um único pagamento no final do prazo. Consequentemente, tendo presente a propriedade da
independência da escolha da data focal no regime de juros compostos, são equivalentes, à taxa
periódica i de juros compostos, as opções de empréstimo com pagamento periódico dos juros,
e a do resgate com pagamento somente ao final do prazo do empréstimo.
4) – Estudo Geral do Caso Particular de Empréstimos com Somente Duas Prestações
Periódicas
Objetivando a obtenção de soluções analíticas, iremos, inicialmente, concentrar a
atenção na análise geral do caso particular de somente duas prestações. .
9
Assim, denotando por i a taxa periódica de juros simples que tenha sido especificada,
considere-se o caso em que um empréstimo de valor F deve ser resgatado mediante o
pagamento de duas prestações, periódicas e iguais.
Denotando por t, para 0t , a data focal que seja especificada, o valor de cada uma das
duas prestações, que será uma função de t, será denotado por tP . Deste modo, o fluxo de caixa
que caracteriza a operação do empréstimo, será esquematicamente representada na Figura I
abaixo.
períodos da taxa i
Figura I
Dependendo de onde esteja localizada a data focal t, temos 3 possibilidades para o
correspondente valor de tP :
1) 0,1t
Nesta eventualidade, a equação de valor que expressa a equivalência financeira ente o
valor financiado F e o conjunto das duas prestações iguais a tP , é escrita como:
1 .1 1 1 2
t tP PF i t
i t i t
(4.1)
Cuja solução é:
2 3 2 3 2 3 31 3 2 2 3 .
2 3 2 .t
i i i i t i i t i tP F
i i t
(4.2)
Como casos polares, tem-se:
1.1) 0t
2
0
1 3 2
2 3
i iP F
i
(4.3)
tP tP
0
F
1 2
10
Assim, no caso particular onde a taxa periódica de juros simples i é fixada em 100%,
segue-se que:1
0 6 5 1,2P F F (4.4)
1.2) 1t
2
1
1
2
iP F
i
(4.5)
Sendo que, se 1i , decorre que:
1 4 3 1,3333P F F (4.6)
Ou seja, se a taxa de juros simples for de 100% por período, arbitrando-se a data focal
como a de vencimento da primeira prestação, obtém-se um acréscimo de 11,11% no valor da
prestação que seria calculada se a data de comparação fosse tomada como a de concessão do
empréstimo.
Sendo que, como esquematicamente estilizado na Figura II, que se refere ao caso onde
1i , tem-se que o valor da prestação alcança o valor máximo 1,4151tP F , para 0,63t
2) 1,2t
Nesta segunda possibilidade, a correspondente equação de equivalência financeira
implica em que se tenha:
1 . 1 11 2
tt
PF i t P i t
i t
(4.7)
Cuja solução é:
2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 . .
2 2 3 . .t
i i t i tP F
i i i t i t
(4.8)
Sendo que, no extremo superior do intervalo considerado, se verifica:
2
1 2
2
iP F
i
(4.9)
Por conseguinte, no caso particular onde 1i , segue-se que:
2P F (4.10)
1 Muito embora, nos dias de hoje (outubro de 2019), as taxas anuais de juros não costumem ser superiores a 100%, deve-se levar em conta que, pelo menos em termos nominais (aparentes), já foram muito maiores. Basta levar em conta que no ano da promulgação do Plano Real, 1994, a taxa anual de inflação, como medida pelo IGP-M, foi de 867,74%.
11
3) 2t
Finalmente, a equação de valor que expressa a equivalência financeira entre o valor F
do financiamento, e o conjunto das duas prestações iguais a tP , passa a ser tal que:
1 . 1 1 1 2t tF i t P i t P i t (4.11)
Cuja solução é:
1
. 1
2 . 2 3
i tP F
i t i
(4.12)
Sendo que, no limite, ter-se-á:
lim 2 0,5tt
P F F
(4.13)
expressão que independe da taxa de juros simples i.
Consequentemente, como representado na Figura II, que se refere ao caso onde 1i ,
tem-se o seguinte comportamento estilizado para o valor da prestação tP
Figura II
4.1) – A Questão da Determinação do Saldo Devedor
Uma importante questão referente ao caso de um financiamento (empréstimo) que deva
ser resgatado mediante o pagamento de n prestações, sejam elas iguais ou não, é o
acompanhamento da evolução do saldo devedor (estado da dívida).
A questão não só se afigura como extremamente relevante na eventualidade de resgate
antecipado de prestações, mas também, nas eventualidades em que o tomador do financiamento
seja uma pessoa jurídica. Isto porquê, em tais situações, há que se levar em conta que as
parcelas de juros que são embutidas nas prestações, são dedutíveis para fins de tributação.
tP
0 t
F
1
12
Fundamentalmente, existem três distintos procedimentos para a apuração do saldo
devedor. Respectivamente chamados de método prospectivo, de recorrência e retrospectivo;
que são definidos como se segue:
a) método prospectivo
Representado por kS , para 0,k n , o saldo devedor na época k, seu valor é igual
à soma dos valores atuais, à taxa de juros contratual i, das prestações vincendas. Ou
seja, olha-se para o futuro.
b) método de recorrência2
Segundo este método, o saldo devedor é igual ao valor financiado, acrescido de
juros até a época k, subtraído do valor acumulado, também com juros, das
prestações que já foram pagas. Ou seja, em contraposição ao método prospectivo,
olha-se para o passado.
c) método retrospectivo
De acordo com este último método, também olha-se para o passado. Porém, agora,
leva-se em conta, em cada prestação já paga, o que corresponde à respectiva parcela
de juros e a correspondente parcela de amortização do débito.
No caso do regime de juros compostos, incluindo-se a eventualidade onde a taxa de
juros varia com o tempo, tem-se que, como discutido em de Faro (2014), os três distintos
procedimentos são equivalentes. Ou seja, produzem o mesmo resultado.
Por outro lado, evidenciando uma vez mais o quanto é complicada sua aplicação, a
adoção do regime de juros simples implica, de uma maneira geral, em distintos resultados.
No que segue, fazendo uso do apresentado na seção precedente, iremos cotejar as
respectivas evoluções do saldo devedor, tanto quando se toma a data focal como a de concessão
do empréstimo, como quando se fixa como datas focais as respectivamente associadas às de
pagamento de cada uma das duas prestações.
2 Na língua inglesa, cf. Hummell e Seebeck (1965), Butcher e Nesbitt (1971) e Kellison (1991), é o que se toma como sendo o método retrospectivo. Em de Faro (1969 e em 2014), seguindo de Finetti (1969), adotamos as nomenclaturas aqui apresentadas.
13
4.1.1) – Data focal como a de concessão do financiamento (t = 0)
Considerando, sucessivamente, as datas de pagamento de cada uma das duas prestações,
tem-se:
a) 1k
De acordo com o método prospectivo, o saldo devedor logo após o pagamento da
primeira prestação, que será denotado por 1
1S , é:
1
1 0 1S P i
ou
1 2 2
1 1 3 2 2 5 3S F i i i i (4.14)
Portanto, no caso particular onde a taxa de juros simples for de 100% por período, tem-
se:
1
1 6 /10 0,6S F F (4.15)
Sendo que, se for feito uso do método de recorrência, o saldo devedor, agora denotado
por 2
1S , será igual a:
2
1 01S F i P
ou
2 2
1 1 2 2 3S F i i i (4.16)
Por conseguinte, se tivermos 1i , ter-se-á:
2
1 8 /10 0,8S F F (4.17)
Por fim, levando em conta que, devido a juros, a dívida teria um acréscimo igual a .i F
, segue-se que a parcela de amortização embutida na primeira prestação será dada pela
diferença 0 .P i F .
Deste modo, segundo o método retrospectivo, o saldo devedor passaria a ser igual a:
14
3 2
1 1 3 2 2 3 .S F F i i i i F
Ou seja,
3 2
1 1 2 2 3S F i i i (4.18)
O que significa dizer que, para 1k , os métodos de recorrência e retrospectivo
conduziriam ao mesmo resultado.
b) 2k
Obviamente, imediatamente após o segundo da segunda, e última prestação, a dívida
terá sido liquidada. Ou seja, segundo o método prospectivo, deve-se ter 1
2 0S .
Por outro lado, de acordo com o método de recorrência, o saldo devedor deve ser
calculado como:
2
2 0 01 2 1S F i P i P
ou
2 2 3
2 2 2 3S i i F i (4.19)
Assim, no caso particular onde 1i , ter-se-á:
2
2 3 / 5 0,6S F F (4.20)
Ou seja, concluir-se-ia que houve pagamento em excesso (sessenta por cento do valor
F do financiamento).
Quanto ao saldo devedor segundo o método retrospectivo, levando-se em conta a
repartição das parcelas de juros e de amortização, componentes da prestação 0P que é paga na
época 2k , tem-se que:
3 3 3
2 1 0 1.S S P i S
ou
3 2 3
2 2 3S i i F i (4.21)
15
Portanto, se 1i , tem-se:
3
2 2 5 0,4S F F (4.22)
O que significa que, segundo o método retrospectivo, restariam ainda, a pagar, 40% do
valor financiado.
Conclui-se, assim, que os 3 procedimentos conduziriam a 3 distintos resultados.
4.1.2) – Data focal como a do pagamento da primeira prestação (t = 1)
Considerando, sucessivamente, as datas de pagamento de cada uma das duas prestações,
segue-se que:
a) 1k
Segundo o método prospectivo, o saldo devedor 1
1 ,S logo após o pagamento da primeira
prestação, será:
1
1 1 1S P i
ou seja
1
1 1 2S F i i (4.23)
Portanto, se 1,i ter-se-á:
1
1 2 /3 0,6667S F F (4.24)
Quanto ao saldo devedor pelo método de recorrência, teremos:
2
1 11S F i P
ou seja
2
1 1 2S F i i
O que significa dizer que o saldo devedor apurado pelo método de recorrência
coincidirá com o determinado segundo o método prospectivo.
16
Quanto o saldo devedor segundo o método retrospectivo, levando em conta a repartição
da prestação 1P nas suas componentes de amortização e de juros, tem-se:
3
1 1 .S F P i F
ou
3
1 1 2S F i i
Consequentemente, concluir-se-ia que, ao menos na data de pagamento da primeira
prestação, os três procedimentos para apuração do estado da dívida produziriam o mesmo
resultado.
b) 2k
Já tendo sido efetuado o pagamento de cada uma das duas prestações, o método
prospectivo indicaria que 1
2 0S
No entanto, segundo o método de recorrência, ter-se-ia
2
2 1 11 2 1S F i P i P
ou seja
2 2
2S i F (4.25)
Por conseguinte, no caso particular onde a taxa de juros simples fosse de 100% por
período, ter-se-ia
2
2S F (4.26)
Ou seja, concluir-se-ia que o débito seria igual a 100% do valor do financiamento.
Por outro lado, de acordo com o método retrospectivo, a repartição de 1P em suas
componentes de amortização e de juros, implicaria que:
3 3 3
2 1 1 1.S S P i S
Ou seja, tal como no caso do método prospectivo, ter-se-ia
17
3
2 0S
4.1.3) – Data focal como a do pagamento da segunda prestação (t = 2)
Uma vêz mais, considerando, sucessivamente, as datas do pagamento de cada uma das
duas prestações, tem-se que:
a) 1k
De acordo com o método prospectivo, o saldo devedor 1
1S seria igual a:
1
1 2 1S P i
do que decorre que:
1 2
1 1 2 2 3S F i i i (4.27)
Assim, se 1,i ter-se-ia
1
1 0,5S F (4.28)
Quanto ao método de recorrência, o saldo devedor 2
1S seria igual a:
2
1 21S F i P
ou seja
2 2
1 1 2S F i i i (4.29)
Por conseguinte, se a taxa de juros simples for de 100% por período, decorre que:
2
1S F (4.30)
Ao passo que, tendo em vista a repartição da prestação 2P em suas componentes de
amortização e de juros, tem-se que o saldo devedor pelo método retrospectivo, 3
1 ,S seria igual
a:
3
1 2 .S F P i F
18
ou
3 2
1 1 2S F i i i (4.31)
Ou seja, a apuração do estado da dívida logo após o pagamento da primeira prestação,
2P , segundo os métodos de recorrência e retrospectivo , conduziriam ao mesmo resultado.
b) 2k
Trivialmente, já tendo sido efetuado os pagamentos das duas prestações 2P , segue-se
que o saldo devedor pelo método prospectivo estará zerado. Ou seja, 1
2 0S
Por outro lado, de acordo com o método de recorrência, o saldo devedor 2
2 ,S seria dado
por:
2
2 2 21 2 1S F i P i P
Ora, a expressão acima corresponde à equação de equivalência financeira que definiu a
prestação de valor 2P . Logo, trivialmente, 2
2 0S
Por fim, quanto à apuração do estado da dívida pelo método retrospectivo, levando em
conta a repartição da prestação 2P em suas componentes de amortização e de juros, ter-se-ia:
3 3 3
2 1 2 1.S S P i S
ou
3 2 3
2 2 2S F i i i (4.32)
Assim, no caso particular onde 1i , ter-se-ia
3
2S F (4.33)
4.2) – Sumário no caso de duas prestações
Como vimos na seção que estudou o caso geral de 2 prestações, o valor da prestação
periódica tP é extremamente dependente da data focal t.
19
Consequentemente, poder-se-ia esperar que também o comportamento da evolução do
saldo devedor fosse, igualmente, influenciado pela escolha da data focal.
Nos Quadros I, II e III a seguir, apresentam-se sumários das apurações do saldo
devedor, segundo cada um dos 3 procedimentos clássicos, para as épocas 0,1k e 2, quando
se considera um financiamento de 1.000 unidades de capital e se fixa em 100% por período a
taxa de juros simples, em função da data focal 0,1t e 2.
Quadro I
Evolução do Saldo Devedor Segundo o Método Prospectivo
k t = 0 t = 1 t = 2
0 1.000 1.000 1.000
1 600 666,67 500
2 0 0 0
Quadro II
Evolução do Saldo Devedor Segundo o Método de Recorrência
k t = 0 t = 1 t = 2
0 1.000 1.000 1.000
1 800 666,67 1.000
2 - 600 - 1.000 0
Quadro III
Evolução do Saldo Devedor Segundo o Método Retrospectivo
k t = 0 t = 1 t = 2
0 1.000 1.000 1.000
1 800 667,67 1.000
2 400 0 1.000
20
4.3) – Sobre o pseudo “Método de Gauss” no caso de 2 prestações
Indisputavelmente, o mais popular sistema de amortização de dívidas, mormente para
financiamentos habitacionais, é a chamada Tabela Price; que se caracteriza por prestações
constantes. Sistema este que se vincula ao nome de Richard Price (1723-1791); muito em
função suas contribuições sobre demografia e cálculos atuariais, em obra publicada em 1771.
Entretanto, sendo fundamentada no regime de juros compostos, tem sido objeto de
frequentes questionamentos (como se verifica em “Substituição da Tabela Price pelo Método
de Gauss – Jurisprudência”, em Jusbrasil – Tópicos; consultado em junho de 2019). Pois que,
equivocadamente, a meu ver,3 acredita-se que a ela esteja associada a ocorrência de anatocismo
(cobrança de juros sobre juros)
Com fulcro em tal equivocada interpretação, disseminou-se, aqui entre nós, o que veio
a ser conhecido como “Método de Gauss” (cf. Antonick e Assunção (2006) e Nogueira (2013)).
Muito embora o grande matemático Carl Friedrick Gauss (1777-1855) tenha seu nome
incorretamente associado a este procedimento.
4.3.1) – Uma curiosidade
De acordo com os autores acima citados, o chamado “Método de Gauss” é assim
conhecido porque, reza a lenda (conforme se vê em Wikipédia – em 22/7/2019), o eminente
matemático alemão Carl Friedrich Gauss (30/7/1777 – 23/2/1855), foi capaz de, com cerca de
7 anos, apresentar a soma dos 100 primeiros números naturais. Soma esta que, no caso geral
dos n primeiros números naturais, é igual a 1 2.n n
Ora, como tal soma aparece, como descrito em Antonick e Assunção (2006, p. 131), na
dedução da fórmula de cálculo da prestação constante de um financiamento, contratado
segundo o regime de juros simples, quando se considera como data focal a de vencimento do
último pagamento, passou-se a denominar o procedimento como “Método de Gauss”.
Todavia, a rigor, como explicitamente apontado por Nogueira (2013, p.p. 127-142),
aquela expressão já era apresentada na obra do reverendo David Wilkie. Publicada em 1794,
3 Cf. de Faro (2014) e, com visão oposta, veja-se De-Losso, Giovannetti e Rangel (2013).
21
mas certamente escrita bem antes. Portanto, quase que certamente anteriormente ao feito do
jovem aluno do primário Carl Friedrich Gauss.
4.3.2) – Evolução do saldo devedor
Tendo presente que o pseudo “Método de Gauss” é caracterizado pelo fato de que se
estabeleça como data focal a de pagamento da última prestação, no caso 2t , vejamos como
evoluiria o estado da dívida se o mesmo houvesse sido adotado.
De uma maneira geral, tomando proveito do anteriormente apresentado em de Faro
(2016), considerando-se o caso de n prestações, tem-se que o saldo devedor logo após o
pagamento da k-ésima prestação, que será denotado por 4
,kS é dado pela relação.
4
1 2 1 2 1kS F k i k n i n , para 1,2 ,k n (4.34)
Assim, levando-se em conta que estamos focando a atenção no caso de 2 prestações
2 ,n segue-se que:
a) 1k
4
1 1 2S F i i (4.35)
Por conseguinte, se 1,i tem-se:
4
1 2 3 0,6667S F F (4.36)
b) 2k
Trivialmente, posto que por construção, tem-se o valor correto 4
2 0S
Por outro lado, constratando com o apresentado nos Quadros I, II e III, que se refere ao
caso de um financiamento de 1.000 unidades de capital, com a taxa periódica de juros simples
22
sendo fixada em 100%, constata-se que 4
1 666,67S difere do que teria sido apurado por
qualquer dos 3 clássicos métodos de apuração do saldo devedor.
De qualquer modo, o que se quer aqui evidenciar é a não adequação do regime de juros
simples para o caso de financiamentos com mais de uma prestação.
5) – O Caso de Três Prestações Periódicas
Com o intuito de ainda mais evidenciar as incongruências advindas da adoção de regime
de juros simples, ao mesmo tempo que se apresentem soluções analíticas que permaneçam
administráveis, iremos estender a análise ao caso de empréstimos que devam ser pagos por
meio de três prestações periódicas e iguais.
Com vistas à questão da evolução do saldo devedor, será considerado não somente o
caso da data focal como a de concessão do financiamento F, mas também as associadas a cada
uma das três prestações.
5.1) – Data focal como a de concessão do financiamento (t = 0)
Nesta eventualidade, denotando por 0P a prestação constante, tem-se que a equação do
valor que exprime a equivalência financeira entre F e as três prestações periódicas, implica em
que se tenha:
0 01
1 1 2 1 3
P PPF
i i i
(5.1)
Cuja solução analítica, tal como já anteriormente apresentado em de Faro (2013), é:
2 3 2
0 1 6 11 6 3 12 11P F i i i i i (5.2)
Portanto, no caso particular onde 1i , tem-se que:
0 24 /26 0,9231P F F (5.3)
5.1.1) – Evolução do saldo devedor
Considerando, sucessivamente, cada um dos três distintos métodos clássicos de
apuração do saldo devedor, tem-se que:
a) segundo o método prospectivo
a.1) 1k
23
1
1 0 01 1 2S P i P i
ou seja
2 3 4
1
1 2 3 4
2 15 40 45 18
3 21 53 57 22
i i i iS F
i i i i
(5.4)
Assim, se 1,i tem-se:
1
1 120 156 0,7692S F F (5.5)
a.2) 2k
1
2 0 1S P i
ou seja
2 3
1
2 2 3
1 6 11 6
3 15 23 11
i i iS F
i i i
(5.6)
Assim, se 1,i tem-se:
1
2 24 52 0,4615S F F (5.7)
a.3) 3k
Obviamente, já tendo sido efetuado o pagamento de cada uma das três prestações, tem-
se que 1
3 0S
b) segundo o método de recorrência
b.1) 1k
2
1 01S F i P
ou seja
2 3
2
1 2
2 9 12 5
3 12 11
i i iS F
i i
(5.8)
Portanto, se 1,i segue-se que:
2
1 28 26 1,0769S F F (5.9)
Por conseguinte, teríamos uma situação em que a dívida teria crescido. Isto porque a
prestação 0P sequer seria suficiente para cobrir a parcela de juros do primeiro período. Que,
no caso particular considerado, teria sido exatamente igual ao valor F do financiamento.
b.2) 2k
24
Teríamos
2
2 0 01 2 1S F i P i P
assim
2 3 4
2
2 2
1 5 7 6
3 12 11
i i i iS F
i i
(5.10)
Portanto, no caso particularmente onde a taxa periódica de juros simples é 100%, ter-
se-ia:
2
2 6 26 0,2308S F F (5.11)
b.3) 3k
2
3 0 0 01 3 1 2 1S F i P i P i P
ou seja
2 3 4
2
3 2
4 18 18
3 12 11
i i iS F
i i
(5.12)
Consequentemente, se tivéssemos 1,i ter-se-ia:
2
3 40 26 1,5385S F F (5.13)
Ou seja, concluir-se-ia que, mesmo após o pagamento das três prestações iguais a 0 ,P
haveria ainda um débito superior a mais de 50% do valor originalmente financiado.
c) de acordo com o método retrospectivo
Levando em conta que o método retrospectivo considera a repartição de cada prestação
em suas componentes de amortização e de juros, tem-se:
c.1) 1k
3
1 0 .S F P i F
donde
2 3
3
1 2
2 9 12 5
3 12 11
i i iS F
i i
(5.14)
Ou seja, analogamente ao caso de duas prestações teríamos 3 2
1 1S S .
c.2) 2k
3 3 3
2 1 0 1.S S P i S
donde
25
2 3 4
3
2 2
1 5 10 11 5
3 12 11
i i i iS F
i i
(5.15)
Deste modo, no caso particular onde 1,i ter-se-ia
3
2 32 26 1,2308S F F (5.16)
c.3) 3k
3 3 3
3 2 0 2.S S P i S
donde
2 3 4 5
3
3 2
4 15 16 5
3 12 11
i i i iS F
i i
(5.17)
Por conseguinte, no caso onde a taxa periódica de juros simples seja de 100%, ter-se-
ia:
3
3 40 / 26 1,5385S F F (5.18)
5.2) – Data focal como a do vencimento da primeira prestação (t = 1)
Agora, denotando por 1P o valor da prestação constante, segue-se que a equação de
equivalência financeira em questão, acarreta que se tenha:
1 111
1 1 2
P PF i P
i i
(5.19)
Com a seguinte solução analítica:
2 3 2
1 1 4 5 2 3 6 2P F i i i i i (5.20)
Por conseguinte, no caso onde a taxa de juros simples é 100% por período, tem-se:
1 12 /11 1,0909P F F (5.21)
5.2.1) – Evolução do saldo devedor
Considerando, sucessivamente, cada um dos três procedimentos clássicos para a
determinação da evolução do saldo devedor do financiamento, tem-se que:
a) de acordo com o método prospectivo
a.1) 1k
1
1 1 11 1 2S P i P i
26
ou seja
2 3 4
1
1 2 3 4
2 11 22 19 6
3 15 26 6 16
i i i iS F
i i i i
(5.22)
Assim, no caso particular onde 1,i tem-se:
1
1 60 / 66 0,9090S F F (5.23)
a.2) 2k
1
2 1 1S P i
portanto
1 2 3 2 3
2 1 4 5 2 3 9 8 2S F i i i i i i (5.24)
Por conseguinte, no caso particular onde 1i , tem-se:
1
2 12 / 22 0,5455S F F (5.25)
a.3) 3k
Trivialmente, após ter havido os pagamentos de cada uma das três prestações
periódicas, tem-se que o débito deve estar extinto. Ou seja, 1
3 0S .
b) segundo o método de recorrência
b.1) 1k
2
1 11S F i P
ou
2 2 2
1 2 5 3 3 6 2S F i i i i (5.26)
Assim, no caso particular onde 1,i segue-se que
2
1 10 /11 0,9091S F F (5.27)
b.2) 2k
2
2 1 11 2 1S F i P i P
logo
2 3 4 2
2 1 3 5 2 3 6 2S F i i i i i (5.28)
Deste modo, no caso particular onde 1i , ter-se-ia o seguinte esdrúxulo resultado:
2
2 3 /11 0,2727S F F (5.29)
27
O que poderia dar margem ao tomador de financiamento, a pleitear, imediatamente após
efetuar o pagamento da segunda prestação do valor 1P , que não só seu débito já estivesse
efetivamente liquidado, mas que seria credor de 27,27% do valor financiado.
b.3) 3k
2
3 1 1 11 3 1 2 1S F i P i P i P
logo
2 2 3 4 2
3 7 15 6 3 6 2S F i i i i i (5.30)
Assim, para qualquer taxa positiva de juros simples, conclur-se-ia que o tomador do
financiamento teria, efetivamente, se tornado credor.
Em particular, se a taxa periódica de juros simples tiver sido fixada em 100%, ter-se-ia:
2
3 28 /11 2,5455S F F (5.31)
O que significa dizer que, nesse caso particular onde 1i , o tomador do financiamento
teria tornado-se credor de 254,55% do valor F originalmente financiado.
c) de acordo com o método retrospectivo
Lembrando que o método prospectivo estabelece que cada prestação seja decomposta
em suas parcelas de amortizações e de juros, tem-se:
c.1) 1k
3
1 1 .S F P i F
ou
3 2 2
1 2 5 3 3 6 2S F i i i i (5.32)
Ou seja, o estado da dívida, logo após o pagamento da primeira prestação, seria o
mesmo tanto considerando-se sua apuração segundo o método retrospectivo, como de acordo
com o método de recorrência.
c.2) 2k
3 3 3
2 1 1 1.S S P i S
ou
3 2 3 2
2 1 3 3 3 6 2S F i i i i i (5.33)
Assim, no caso particular onde 1i , tem-se:
3
2 8 /11 0,7273S F F (5.34)
c.3) 3k
28
3 3 3
3 2 1 2.S S P i S
ou
3 2 3 4 2
3 7 15 6 3 6 2S F i i i i i (5.35)
Ou seja, teremos 3 2
3 3S S
5.3) – Data focal como a de vencimento da segunda prestação (t = 2)
Denotando por 2P o valor da prestação periódica constante, a equação de equivalência
financeira em questão passa a ser escrita como:
2 2 21 2 1 1F i P i P P i
cuja solução é
2 2
2 2 3 3 3P F i i i i (5.36)
Portanto, no caso particular onde 1,i tem-se:
2 6 / 7 0,8571P F F (5.37)
5.3.1) – Evolução do saldo devedor
Considerando-se, sucessivamente, cada um dos três distintos métodos clássicos para a
evolução do estado da dívida, tem-se que:
a) de acordo com o método prospectivo
a.1) 1k
1
1 2 21 1 2S P i P i
logo
1 2 3 2 3 4
1 4 12 11 3 3 12 16 9 2S F i i i i i i i (5.38)
Consequentemente, no caso particular onde 1,i segue-se que:
1
1 30 / 42 0,7143S F F
a.2) 2k
1
2 2 1S P i
29
ou seja
1 2 2 3
2 2 3 3 6 4S F i i i i i (5.39)
Sendo que, se 1,i segue-se que:
1
2 6 /14 0,4286S F F (5.40)
a.3) 3k
Trivialmente, já tendo sido efetuado o pagamento de cada uma das três prestações, o
método prospectivo implica em que se tenha 1
3 0S .
b) segundo o método de recorrência
b.1) 1k
2
1 21S F i P
portanto
2 2 3 2
1 1 3 3 3 3S F i i i i i (5.41)
Assim, no caso particular onde a taxa periódica de juros simples seja de 100%, segue-
se que:
2
1 8 / 7 1,1429S F F (5.42)
Ou seja, concluir-se-ia que a dívida teria aumentado; ao invés de diminuir.
b.2) 2k
2
2 2 21 2 1S F i P i P
portanto
2 2 3 2
2 1 2 3 3S F i i i i i (5.43)
Por conseguinte, no caso particular onde 1,i ter-se-ia:
2
2 3 / 7 0,4286S F F (5.44)
b.3) 3k
2
2 2 2 21 3 1 2 1S F i P i P i P
assim
2 2 2
3 3 3 2 3 3S F i i i i (5.45)
30
Por conseguinte, qualquer que fosse a taxa periódica de juros simples, concluir-se-ia
que o tomador do financiamento de valor F teria tornado-se credor.
Em particular, se a taxa periódica de juros simples tivesse sido estabelecida em 100%,
ter-se-ia:
2
3 8 / 7 1,4286S F F (5.46)
Ou seja, o tomador do financiamento seria credor de 142,86% do valor emprestado.
c) de acordo com o método retrospectivo
c.1) 1k
3
1 2 .S F P i F
ou
3 2 3 2
1 1 3 3 3 3S F i i i i i (5.47)
Ou seja, teríamos 3 2
1 1S S
c.2) 2k
3 3 3
2 1 2 1.S S P i S
ou seja
3 2 3 4 2
2 1 5 4 3 3S F i i i i i i (5.48)
Portanto, no caso particular onde 1,i ter-se-ia:
3
2 10 / 3 1,4286S F F (5.49)
Ou seja, concluir-se-ia que o débito teria crescido.
c.3) 3k
3 3 3
3 2 2 2.S S P i S
portanto
3 2 3 4 5 2
2 3 3 5 9 5 3 3S F i i i i i i i (5.50)
Por conseguinte, no caso particular onde a taxa periódica de juros simples fosse fixada
em 100%, ter-se-ia:
3
3 14 / 7 2S F F (5.51)
Ou seja, mesmo após ter pago as três prestações regulamentares, concluir-se-ia que o
tomador do financiamento estaria devendo, ainda, o dobro do valor do financiamento.
31
5.4) – Data focal como a de vencimento da terceira prestação (t = 3)
Finalmente, considerando como data focal a de vencimento da terceira prestação, tal
como proposto pelo denominado (equivocadamente) “Método de Gauss”, tem-se que a equação
de valor que determina a prestação periódica, que será denotada por 3 ,P será dada pela seguinte
expressão:
3 3 31 3 1 2 1F i P i P i P
cuja solução analítica é:
3 1 3 3 3P F i i (5.52)
Assim, no caso particular onde a taxa periódica de juros simples é fixada em 100%,
segue-se que:
3 4 / 6 0,6667P F F (5.53)
5.4.1) – Evolução do saldo devedor
Uma vêz mais, considerando o comportamento do estado da dívida segundo cada um
dos três distintos procedimentos clássicos para a evolução do saldo devedor do financiamento,
tem-se:
a) segundo o método prospectivo
a.1) 1k
1
1 3 31 1 2S P i P i
logo
1 2 2 3
1 2 9 9 3 12 15 6S F i i i i i (5.54)
Consequentemente, no caso particular onde 1,i segue-se que:
1
1 20 / 36 0,5556S F F (5.55)
a.2) 2k
1
2 3 1S P i
ou seja
1 2
2 1 3 3 6 3S F i i i (5.56)
Assim, se 1,i tem-se:
32
1
2 4 /12 0,3333S F F (5.57)
a.3) 3k
Obviamente, segundo o método prospectivo, já tendo sido efetuado o pagamento
regulamentar de cada uma das três prestações estipuladas, tem-se que 1
3 0S .
b) segundo o método de recorrência
b.1) 1k
2
1 31S F i P
ou seja
2 2
1 2 3 3 3 3S F i i i (5.58)
Portanto, se 1,i segue-se que:
2
1 8 / 6 1,3333S F F (5.59)
O que significa dizer que, embora já tendo sido efetuado o pagamento da primeira
prestação, o devedor tem seu débito aumentado em 33,33%. Isto porque o valor da prestação
3P sequer cobre o acréscimo do débito devido aos juros do primeiro período.
b.2) 2k
2
2 3 31 2 1S F i P i P
ou seja
2 2
2 1 2 3 3 3S F i i i (5.60)
Assim, no caso particular onde 1,i segue-se que:
2
2S F (5.61)
b.3) 3k
2
3 3 3 31 3 1 2 1S F i P i P i P
Ou seja, trivialmente, posto que 3P foi determinado considerando-se a data focal 3,t
tem-se que 2
3 0.S
c) de acordo com o método retrospectivo
c.1) 1k
3
1 3 .S F P i F `
33
ou
3 2
1 2 3 3 3 3S F i i i (5.62)
Ou seja, tem-se 3 2
1 1 .S S
c.2) 2k
3 3 3
2 1 3 1.S S P i S
ou seja
3 2 3
2 1 2 6 3 3 3S F i i i i (5.63)
Portanto, em particular, se 1,i segue-se que:
3
2 12 / 6 2S F F (5.64)
c.3) 3k
3 3 3
3 2 3 2.S S P i S
logo
3 2 3 4
3 8 9 3 3 3S F i i i i (5.65)
Por conseguinte, no caso particular onde 1,i ter-se-ia:
3
3 20 / 6 3,3333S F F (5.66)
5.5) – Se fosse adotado o “Método de Gauss”
Caso, inclusive judicialmente, fosse estipulada a adoção do chamado “Método de
Gauss”, que, lembremos, também considera como a data focal a época 3,t teríamos a
prestação de valor 3 ,P tal como na relação (3.52).
Sendo que, como expresso pela relação (34), teríamos agora a seguinte evolução para o
saldo devedor:
a) 1k
4
1 4 6 6 6S F i i (5.67)
Assim, no caso particular onde 1i , ter-se-ia:
4
1 10 /12 0,8333S F F (5.68)
b) 2k
34
4
2 2 4 6 6S F i i (5.69)
Consequentemente, no caso particular onde a taxa periódica de juros simples fosse
fixada em 100%, ter-se-ia:
4
2 0,5S F (5.70)
c) 3k
Agora, por construção, ter-se-á o que seria o valor correto 4
3 0.S
5.6) – Sumário no caso de três prestações
Para efeito de comparação numérica, os Quadros IV, V e VI, a seguir, que se referem à
uma situação hipotética onde o valor F do financiamento é fixado em 1.000 unidades de capital,
e a taxa periódica de juros simples é tomada como 100%, sumariam a evolução do saldo
devedor do financiamento, em função das quatro datas focais consideradas, para cada um dos
três procedimentos clássicos.
Sendo que, adicionalmente, para melhor evidenciar as discrepâncias que seriam
advindas no caso em que fosse estipulada a adoção do “Método de Gauss”, a última coluna de
cada quadro também apresenta a correspondente evolução do estado da dívida.
Quadro IV
Evolução do Saldo Devedor Segundo o Método Prospectivo
k t = 0
0 923,08P
t = 1
1 1.090,91P
t = 2
2 857,14P
3t
3 666,67P
“Método de Gauss”
666,67P
0 0 0 0 0 0
1 769,23 909,09 714,29 555,56 833,33
2 461,54 545,45 428,57 333,33 500
3 0 0 0 0 0
Quadro V
35
Evolução do Saldo Devedor Segundo o Método de Recorrência
k t = 0
0 923,08P
t = 1
1 1.090,91P
t = 2
2 857,14P
3t
3 666,67P
“Método de Gauss”
666,67P
0 0 0 0 0 0
1 1.076,92 909,09 1.142,86 1.333,33 833,33
2 230,77 -272,73 428,57 1.000 500
3 -1.538,46 -2.545,45 -1.142,86 0 0
Quadro VI
Evolução do Saldo Devedor Segundo o Método Retrospectivo
k t = 0
0 923,08P
t = 1
1 1.090,91P
t = 2
2 857,14P
3t
3 666,67P
“Método de Gauss”
666,67P
0 0 0 0 0 0
1 1.076,92 1.076,92 1.076,92 1.333,33 833,33
2 1.230,77 727,27 3.333,33 2.000 500
3 1.538,46 1.538,46 2.000 3.333,33 0
Os resultados apresentados evidenciam que, analogamente ao caso de duas prestações,
a adoção do regime de juros simples também produz resultados inaceitáveis. Isso qualquer que
seja a data focal considerada. E, portanto, implicando a total inadequabilidade do denominado
“Método de Gauss”.
6) – Conclusão
Como sumariado na segunda seção, a cobrança de juros em empréstimos é uma prática
com, pelo menos, 5.000 anos de existência.
Sendo que a cobrança de juros devidos a juros, ou seja a instituição do chamado regime
de juros compostos, também tem seus primórdios registrados por volta daquela mesma época.
36
Porém, provavelmente, tendo sido empregado somente em operações de empréstimos de curto
prazo.
Embora aparentemente bem mais complicado que o chamado regime de juros simples,
onde só o capital inicial rende juros, o regime de juros compostos, por fazer uso de operações
de exponenciação, deve ser, efetivamente, considerado menos complicado do que o regime de
juros simples. Pois que, por gozar da propriedade de cindibilidade do prazo de aplicação, tem-
se presente a independência da chamada data focal.
Por outro lado, no regime de juros simples, por não estar presente a possibilidade de
fracionar-se o prazo de aplicação, verifica-se a fundamental influência que advém da particular
data focal que seja estabelecida. O que, como vimos, acarreta inconsistências e dubiedades.
Especializando a análise para o caso de empréstimo com pagamento de até 3 prestações
periódicas, quando as correspondentes expressões analíticas para o valor da prestação são ainda
administráveis, ficaram aqui explicitadas as incongruências e dubiedades que ocorrem quando
se busca apurar a evolução dos saldos devedores.
Incongruências e dubiedades essas que, particularmente nos casos em que, inclusive
judicialmente, seja estipulada a adoção do, equivocadamente, chamado de “Método de Gauss”,
resultam em flagrantes distorções. O que, certamente, deverá dar margem a questionamentos
na esfera judicial.
Por isso mesmo, o regime de juros simples deveria, mais apropriadamente, ser
denominado de regime de juros complicados.
Referências
- Antonick, L.R. e Assunção, M.S., “Tabela Price e Anatocismo”, Revista de
Administração da Unimep, v. 4, n.1 (jan/abr, 2006), p.120-136.
- Butcher, M.V e Nesbitt, C.J., Mathematics of Compound Interest, Ulrich, Ann Arbor,
1971.
- de Faro, C., Matemática Financeira, Apec, Rio de Janeiro, 1969.
- de Faro, C., Matemática Financeira: uma Introdução à Análise de Risco, Saraiva, São
Paulo, 2014.
- de Faro, C., “Sistemas de Amortização: o Conceito de Consistência Financeira e suas
Implicações”, Revista de Economia e Administração, v. 13, n.3 (jul/set, 2014), p. 376-391.
- de Faro, C., “Financial Implications of the Gauss Method”, Revista de Gestão,
Finanças e Contabilidade, v.6, n.2 (mai/ago, 2016).
- de Faro, C. e Lachtermacher, G., Introdução à Matemática Financeira, FGV e
Saraiva, Rio de Janeiro e São Paulo, 2012.
- de Finetti, B., Leçons de Mathematiques Financieres, Dunod, Paris, 1969.
37
- De-Losso, R., Giovannetti, B.C e Rangel, A.S., “Sistema de Amortização por
Múltiplos Contratos: a Falácia do Sistema Francês”, Economic Analysis of Law Review, v.4,
n.1 (ago, 2013), p. 160-180.
- Evans, A., Editor: Francesco Balducci Pegolotti, La Pratica della Mercatura,
Medieval Academy, n.34, 1936.
- Gordon, B., “Lending at Interest: some Jewish, Greek, and Christian Approaches, 800
BC-AD 100”, History of Political Economy, v.14, n.3, 1982, p. 406-426.
- Halter, B., O Uso do Sistema Americano para Operações de Empréstimos e
Financiamentos, Uni. Est. de Santa Catarina, Dissertação de Mestrado, Joinville, 2013.
- Hawawini, G.A. e Vora, A, “Yield Approximations: a Historical Perspective”, The
Journal of Finance, v.37, n.1 (mar. 1982), p. 145-156.
- Homer, S. e Sylla, R., A History of Interest Rates, 4ª Ed., Wiley, New York, 2005.
- Houaiss, A., Dicionário da Língua Portuguesa, Rio de Janeiro, Objetiva, 2001.
- Hudson, M., “The Mathematical Economics of Compound Interest”, Journal of
Economic Studies, v.27, i. 4/5, (2000), p. 344-363.
- Hummel, P. M. e Seebeck Jr., C.L., Mathematics of Finance, 2ª Ed., McGraw-Hill,
New York, 1956.
- Jain, L.C., Indigenous Banking in India, Mc Millan, London, 1929.
- Jusbrasil, Tópicos, conforme consulta na Internet em 26/6/2019.
- Kellison, S. G., The Theory of Interest, 2ª Ed., Irwin, Illinois, 1991.
- Lewin, C.G., “Compound Interest in the Seventeenth Century”, Journal of The
Institute of Actuaries, v.18, i. 3 (Dec. 1981), p. 423-442.
- Muroi, K., “The oldest example of compound interest in Summer: Seventh power of
four-thirds”, submetido a Mathematics: History and Overview, em 15/09/2015.
- Nagarajan, K. V., “The Code of Hammurabi: An Economics Interpretation”,
International Journal of Business and Social Science, v. 2, n. 8 (maio de 2011), p. 108-117.
- Nogueira, J. M., Tabela Price: Mitos e Paradigmas, Millenium, Campinas, 2013.
- Poitras, G., From Commercial Arithmetic to Life Annuities: the Early History of
Financial Economics, 1478-1776. Manuscrito que, em 20/08/2019, aparecia na Internet.
- Price, R., Observations on Reversionary Payments, London, 1771.
- Sandrini, J. C., Sistemas de Amortização de Empréstimos e a Capitalização de Juros,
Uni. Fed. do Paraná, Dissertação de Mestrado, Curitiba, 2007.
- Shockley, M., “Some History of Economic Thought on Usury”, Lucerna, v. 7, n.1
(2012), p. 31-38.
- Tipping, M., “The Impact of the Time Value of Money in Valuation Practice”, em
XXIII FIG Congress, Munich, outubro 8-13, 2006.
38
- Veras, L.L., Mathemática Financeira, 2ª Ed., Atlas, São Paulo, 1991.
- Visser, W.A.M. e McIntosh, A., “History of Usury Prohibition: A Short Review of
the Historical Critique of Usury”, Accounting, Business & Financial History (julho de 1988),
p. 175-189.
- Wilkie, D., Theory of Interest: Simple and Compound, Edinbury, 1794.
