1

•Entendimento dos mecanismos de resistência e fatores influentes•Verificação da segurança estrutural•Processos de execução•Exemplos práticos de aplicação•Atualização da NBR 6118/2003

UMA FILA DE LIVROS

2

3

• Elementos do “sistema estrutural”• Materiais empregados• Ações sobre o sistema• “Caminho das cargas” e esforços

solicitantes• Processo de construção/montagem

“um artifício que consiste em introduzirnuma estrutura um estado prévio

de tensões capaz de melhorarsua resistência ou seu comportamento,

sob diversas situações de carga”Walter Pfeil

... brincando com a Mecânica das estruturas de concreto ...

4

ep

P

P

ep

Construção de uma viga pela montagem de aduelas

L1 L3L2

A B C DBalanços progressivos Balanços progressivos

Detalhe

Viaduto central de acesso (6,5 km) àPonte Vasco da Gama, Lisboa (18 km)

5

Ponte Vasco da Gama, Lisboa

Trecho de 829m, vão livre de 200m,

altura de passagem de 45m

6

7

Comprimento usual da pista entre 80 e 200 m

Grade de proteção Grade de proteção

CABECEIRA ATIVA CABECEIRA PASSIVA

pista de concretagembloco, perfis e chapas de

reação

elementos pré-fabricados

Cordoalhas ancoradas individualmente nos perfis e chapas de

reação

Limpeza dasfôrmas e/ou

da pista

Posiciona-mento dosfios e/ou

cordoalhase de iso-ladores

Pré-traçãodos fios e/oucordoalhase encunha-

mento

Colocaçãoda armadu-ra passivae espaça-

dores

Posiciona-mento dasfôrmas oudo carro

vibratório

Corte dosfios e/ou

cordoalhas/acabamentoe transporte

Alívioda

pré-tração

Retiradadas

fôrmas

Cura doconcreto(a vapor)

Lançamentoe adensa-mento doconcreto

8

Bainhas

Operação depós-traçãoCordoalhas na região

de ancoragem

Vigas celulares de pontes com protensão sem aderência

Aplicação de cordoalhasengraxadas em estruturas diversas

Lajes protendidas comcordoalhas engraxadas

Perspectiva de um sistema de cabos de protensão

9

q

g

7,00 m

0,75

AÇÕES:Peso próprio (a calcular)Carga acidental: 15 kN/mForça de protensão: - 600 kN(excentricidade e = 12,5 cm)

37,5

12,5

25,0

75,0 cm

20

Recordando a velha Resistência dos Materiais

CG N–

AN

=σ

CG

y>0

CG

Ny>0

e ≡N

M = N . e

CG

+

–––

+

+ ≡

W A. e

1 AN

W

e . N

AN

WM

AN

σ

+=+=+=

10

CG

y>0

–

+

e

N

borda superior → índice 2

borda inferior → índice 1

W

e . N

AN

2

+=2σ

W

e . N

AN

1

+=1σ

0) ( yI

1

>=1W 0) ( yI

2

<=2W

Determinação dos valores da excentricidade e para as quaisas tensões nas bordas da seção são nulas:

0 W A. e

1 AN

⇒=

+=σ

AW

- e 0 W A. e

1 =⇒=

+

K1

y>0

K2

ek1ek2

Os pontos K1 e K2 constituem osextremos do núcleo central daseção, isto é, da região na qualuma força normal aplicada produzem toda a seção tensões de mesmosinal.

Tensão nula na borda inferior:

( )

CG) do cima para ( 6h

-

bh

6bh

AW

- e2

1k1

=

=−==

Tensão nula na borda inferior:

( )

CG) do baixo para ( 6h

bh

6bh

AW

- e2

2k2

+=

=−

−==

h/3

b/3

11

Pede-se: verificar as tensões normais na viga

1. Cálculo das características geométricas e mecânicasda seção transversal

2. Cálculo de esforços solicitantes (momento fletor) e detensões normais na seção mais solicitada

3. Combinação de ações

4. Análise dos resultados

5. Reformulação do problemaRepetir toda a verificação com:→ excentricidade = 37,5 - 5 = 32,5 cm→ q = 34,6 kN/m

1. Cálculo das características geométricas emecânicas da seção transversal

I = b.h3 /12 = 7,03 . 10 m3

y1 = - y2 = 0,375 m

W1 = - W2 = I / y1 = 18,75 . 10 m3

A = b . h = 0,150 m2 = 150 . 10-3 m2

ek1 = - ek2 = h / 6 = 0,125 m (distancias das extremidades donúcleo central de seção ao centrode gravidade)

Índice 1 → borda inferior

Índice 2 → borda superior

2. Cálculo de esforços solicitantes (momento fletor)e de tensões normais na seção mais solicitada

a) tensões devidas ao peso próprio

Mg1 = 3,75 . 72 / 8 = 22,97 kNmσ1g1 = Mg1 / W1 = + 1,23 MPa σ2g1 = Mg1 / W2 = - 1,23 MPa

b) tensões devidas à carga acidental

Mq = 15 . 72 / 8 = 91,88 kNmσ1q = Mq / W1 = + 4,90 MPa σ2q = Mq / W2 = - 4,90 MPa

c) tensões devidas à força de protensão

P = - 600 kN ; Mp = P . epσ1p = P / Ac + P . ep / W1 = - 8,00 MPaσ2p = P / Ac + P . ep / W2 = 0

12

3. Combinação de ações

4. Primeira análise dos resultados(discussão)

a) estado em vazio

-

-

+

-

0

-8,00

-1,23

+1,23

-1,23 MPa

-6,77 MPa

(P) v = (P+g1 )(g1)

CG + =

b) estado em serviço

-

-1,23 MPa

-6,77 MPa

v = (P+g1 )

+ =

-

+

-

-4,90

+4,90

-6,13 MPa

-1,87 MPa

(q) s = P + g1 + q

CG

5. Reformulação do problema

Repetir toda a verificação com:→ excentricidade = 37,5 - 5 = 32,5 cm→ q = 34,6 kN/m

a) tensões devidas ao peso próprio

São as mesmas já calculadas.

b) tensões devidas à carga acidental

MPa 11,30 = M = q

1q1 W

σ

MPa 11,30- = M

= q

2q2 W

σ

Mq = 34,6 . 72 / 8 = 211,93 kNm

(na borda inferior)

(na borda superior)

c) Tensões devidas à protensão

P = -600 kN

Mp = P . e

MPa 14,40- = P.e

AP = p

c 1p1 W

+σ

MPa ,40 = P.e

AP = p

c6

W2p2 ++σ

a) estado em vazio

-

-

+

-

-1,23

+1,23

(P) v = (P+g1 )(g1)

CG + =

++6,40

-14,40

+5,17 MPa

-13,17 MPa

b) estado em serviço

-

v = (P+g1 )

+ =

-

+

-

(q) s = P + g1 + q

CG

+5,17

-13,17

+-13,07

+13,07

-7,90 MPa

-0,10 MPa

6. Nova combinação de ações

7. Segunda análise dos resultados(discussão)

13

1. COMBINAÇÃO DE AÇÕES→ verificação de todas as fases da vida da peça→ situação mais desfavorável nem sempre ocorre com

todas as cargas externas atuando

2. CONTROLE DOS EFEITOS DA PROTENSÃO→ intensidade→ excentricidade

3. SOLICITAÇÕES AO LONGO DO VÃO→ verificar várias seções ou aplicar processo contínuo

4. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS E DE UTILIZAÇÃO→ tensões de tração/fissuração → deformação excessiva → solicitações normais→ solicitações tangenciais→ outras verificações

•Elemento de concreto protendido

•Armadura de protensão (armadura ativa)

•Armadura passiva

•Concreto protendido com aderência inicial(armadura de protensão pré-tracionada)

•Concreto protendido com aderência posterior(armadura de protensão pós-tracionada)

•Concreto protendido sem aderência

A protensão aplicada àsestruturas de concreto possibilita:

• Melhor controle da fissuração, podendo atéeliminá-la

• Melhor aproveitamento das características do concreto

• Uso de aços de alta resistência, sem os problemas de fissuração do concreto

• Execução de estruturas mais leves• Redistribuição de esforços nas estruturas• Montagem de elementos pré-moldados para

constituir estruturas monolíticas

14

• Utilização mais eficiente de materiais de maior resistência

• Redução da incidência de fissuras, melhor proteção da armadura

• Melhor resistência aos esforços tangenciais

• Utilização plena do concreto na seção resistente

• Redução das quantidades de concreto e aço; redução do peso próprio

• Favorecimento da aplicação de técnicas de pré-moldagem

• Realização, em certos casos, de testes de resistência dos elementos estruturais

• Realização da união de elementos para compor estruturas monolíticas

• Melhor controle de qualidade dos materiais• Cuidados especiais de proteção contra corrosão

das armaduras• Melhor controle de execução• Equipamentos especiais e mão-de-obra

especializada para execução da protensão• Projeto mais elaborado e especializado

Tecnologia mais requintada, requer:

Custo mais elevado em obras de pequeno porte ou de baixa produção

Fatores ConcretoArmado

ConcretoProtendido

RelaçãoCP/CA

Resistência doconcreto (MPa) ~20 ~40 ~2

Lim.escoamentodo aço (MPa) 250~600 ~1.500 6~2,5

Preço/m3 deconcreto ~1,3

Preço/kg deaço colocado 2~3

1

Propriedades do concreto endurecido

Propriedades do concreto fresco

•Resistência aos 28 dias e na data de protensão•Módulo de elasticidade•Tipo de cimento•Retração e fluência•Durabilidade

•Consistência/trabalhabilidade•Coesão•Tempo de pega do cimento

NOTAS:1.O concreto empregado na execução de estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na NBR 12655.2.CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.3.CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concretoprotendido.

≥ C40≥ C35≥ C30≥ C25CP≥ C40≥ C30≥ C25≥ C20CAClasse de

concreto (NBR 8953)

≤ 0,45≤ 0,50≤ 0,55≤ 0,60CP≤ 0,45≤ 0,55≤ 0,60≤ 0,65CARelação

água/cimento em massa

IVIIIIIIClasse de agressividade (Tabela 6.1 da NBR 6118)TipoConcreto

Tabela 2.1- Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

(Tabela 7.1 da NBR 6118)

2 5 13 15

t Tmax = 8 horas

Tmax= 75

T = 230

T (ºC)

tciclo = 13 horas

Horas

2 5 13 15

t Tmax = 8 horas

Tmax= 75

T = 230

T (ºC)

tciclo = 13 horas

Horas

20

3maxTmaxc

10) + (T10) + (T

. 2t + t

= MFórmula da Maturidade, para cura a vapor:M.E. Velasco, apud A.C. Vasconcelos ("Manual Prático para a Correta Utilização dos Aços no Concreto Protendido", LTC, 1980),

2

•em geral, são aços de elevada resistência, sempatamar de escoamento

Tipos e apresentação

•Fios trefilados de açocarbono, diâmetro de3 - 8 mm, fornecido emrolos ou bobinas

•Cordoalhas: fios enroladosem forma de hélice, com2, 3 ou 7 fios

•Barras de aço-ligade alta resistência,laminadas a quente,diâmetro maior que12mm, comprimentolimitado(ex. sistema Dywidag)

•Cordoalhas engraxadas:com camada de graxa e revestimento de polietilenode alta densidade extrudado

Modalidades de tratamento

•Aços aliviados ou de relaxação normal (RN)•Aços estabilizados ou de relaxação baixa (RB)

Designação dos aços de protensão

Exemplo:

concreto protendido

resistência à ruptura

tipo de relaxação

3

Propriedades mecânicas

•fptk = resistência à ruptura característica

•fpyk = resistência de escoamento característica(corresponde a deformação residual de 0,2% após descarga)

Para fios trefilados e cordoalhas,o limite de escoamentoconvencional é aproximadamenteigual à tensão correspondente àdeformação de 1%.

Ep = valor médio domódulo de elasticidade

Para fios: 210.000 MPaPara cordoalhas: 195.000 MPa

fptk

fpyk

fpel ≅ 0,7fpyk

0,2% ~1%

Características do cabo Freyssinet de 12φ12,5

4

Ancoragem do cabo Freyssinet de 12φ12,5

Equipamento de tração e operação de protensão

Sistema de monocordoalhas engraxadasCordoalhas dispostas na obra Elementos da ancoragem

Cordoalha ancoradaEquipamento de tração

5

Dimensionamento de um elementopré-fabricado de concreto protendido

Roteiro para elaboração do trabalho prático

1. Descrição do elemento estrutural1.1. Nome do elemento1.2. Função e relação com outros elementos do sistema construtivo1.3. Dados da seção transversal e seção longitudinal1.4. Ações sobre o elemento1.5. Outros dados relevantes

2. Descrição do processo de fabricação e montagem2.1. Sistema de protensão2.2. Pista de fabricação/fôrmas2.3. Posicionamento da armadura/pré-tração2.4. Lançamento e adensamento do concreto

2.5. Cura2.6. Transporte interno à fábrica2.7. Estocagem2.8. Transporte externo à fábrica2.9. Montagem e fixação dos elementos2.10. Principais equipamentos2.11. Outros dados relevantes

3. Materiais empregados3.1- Concretoa) Características gerais de qualidade do concreto: durabilidade,

resistência, deformabilidade, etc.b) Resistência característica à compressão aos 28 dias e na data de

protensãoc) Resistência característica à tração aos 28 dias e na data de

protensãod) Módulo de deformação longitudinale) Outros dados: relação água/cimento máxima, tipo de cimento, tipos

de agregados, aditivos, adições minerais, etc.f) Controle de qualidade

3.2- Aço de protensãoa) Características geraisb) Resistências características à ruptura e ao escoamentoc) Módulo de elasticidade real ou aparented) Tipo de relaxaçãoe) Forma de apresentaçãof) Cuidados no armazenamentog) Controle de qualidade

3.3- Aço comum (fios, barras e telas)a) Características geraisb) Resistência característica ao escoamentoc) Módulo de elasticidaded) Forma de apresentaçãoe) Cuidados no armazenamentof) Controle de qualidade

4. Características geométricas e mecânicas da seção transversal4.1- Características da seção bruta de concreto4.2- Características da seção homogeneizada

A ser atualizada após o cálculo da armadura

6

5. Cálculo de esforços e tensões de referência (Estádio I)Determinação de esforços e tensões para todas as ações previstas em

projeto, separadamente.

6. Cálculo da força de protensão e da armadura ativaa) Estimativa da força de protensãob) Cálculo da seção transversal da armadura ativac) Recálculo da força inicial Pi, da força ancorada Pa e da força

instalada no concreto P0, com a armadura efetivamente empregada.d) Cálculo das perdas progressivas e da força de protensão P

7.Verificação de tensões na seção mais solicitada(Estados Limites de Serviço)

a) Consideração de todas as fases de fabricação e da vida útil do elemento, e estabelecer as combinações possíveis de ações.

b) Verificação dos estados limites de utilização.

8. Verificação de tensões ao longo do vãoConsideração de duas combinações extremas, mais desfavoráveis de ações e verificação das tensões de referência por meio de processo gráfico.

9. Estado Limite Último - Solicitações Normaisa) Verificação da segurança.b) Disposição da armadura passiva complementar.

10. Estado Limite Último - Solicitações Tangenciaisa) Verificação da segurança.b) Disposição da armadura passiva complementar.

11. Especificações e detalhes construtivosDesenhos esquemáticos da armadura, outras especificações de produção, transporte e montagem.

7

Bloco de fundação, vigas-baldrame

Viga-calha, telha W,vigas intermediárias de pórtico

Telhas WDetalhes de montagem e forro

suspenso

1

R = 0R = 0

R ≠ 0

R ≠ 0 R ≠ 0

R ≠ 0

- sistema autoequilibrado- não há “forças de coação”

- sistema estaticamenteindeterminado

- reações de apoio são“forças de coação”

Um elemento é dito de concreto protendido quandoestá submetida a um sistema de forças especial

e permanentemente aplicadas, chamadas de forças de protensão ...

Entretanto, as forças de protensão, conquantodevam ser permanentes, elas estão sujeitas a

variações de intensidade para maiores oumenores valores.

Perda de protensão: diminuição da intensidadeda força de protensão ao longo da armadura

e ao longo do tempo.

Como a retração e a fluência do concretopodem causar perda de protensão?

•O que é a retração do concreto?

•O que é a fluência do concreto?

•Quais são os principais fatores influentesnesses fenômenos?

Perdas por retração e fluência do concreto

2

Efeito da retração e da fluência do concretoεc

tempot0 t0

εc,s+c(∞,t0)

εe (elástica imediata)

εcs (retração)

CARREGAMENTO

εccd (fluência)

εc

tempot0 t0

εc,s+c(∞,t0)

εe (elástica imediata)

εcs (retração)

CARREGAMENTO

εccd (fluência)

∆L(t,t0)

∆P(t,t0)

∆L(t,t0)

∆P(t,t0)

Resiliência daforça de protensão(“efeito de mola”)

Ap (aço de alta resistência)

As (aço de baixa resistência)

Ap (aço de alta resistência)

As (aço de baixa resistência)

As (aço de baixa resistência)

σp

εp0

arc tg Ep

σs,lim

σp,lim

εp,limεs,lim

∆Ls/L

∆Lp/L~∆εc

~∆εc

σs,∞

σp,∞

σp

εp0

arc tg Ep

σs,lim

σp,lim

εp,limεs,lim

∆Ls/L

∆Lp/L~∆εc

~∆εc

σs,∞

σp,∞

Relaxação e fluência do aço de protensão

σp

t0

σpi

σp∞

L = constante

σ = variável

RELAXAÇÃO

σp

t0

σpi

σp∞

L = constante

σ = variável

RELAXAÇÃO

εp

t0

ε p0

ε p∞

L = variável

σ = constante

FLUÊNCIA

∆L

εp

t0

ε p0

ε p∞

L = variável

σ = constante

FLUÊNCIA

∆L

3

Deformação imediata do concreto

Acomodação das ancoragens

Atrito nos cabos

Método semi-probabilístico de Estados Limites,conforme NBR-8681 e NBR-6118 (NB-1)

Estados limites últimos

Principais estados limites últimos:•Ruptura•Deformação plástica excessiva•Instabilidade elástica•Outros estados limites últimos

"Estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção".

Estados limites de uma estrutura

"Estados que, pela sua simples ocorrência determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção".

4

"Estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura".

Estados limites de serviço

Principais estados limites de serviço:

“Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção.”

•Descompressão

+

-

Mext

ep

P

+

0+

-=

-

(P) (Mext)

•Abertura das fissuras

•Formação de fissuras

“Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,f.”

•fct,f = 1,2 fctk para elementos estruturais de seção T ou duplo T;

•fct,f = 1,5 fctk para elementos estruturais de seção retangular.

“Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados na seção 13 (ver 13.4.2 e 17.3.2).”

•Deformação excessiva

•Compressão excessiva

“Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal dados na seção 13 (ver 13.4.2 e 17.3.2).”

“Estado em que as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido

na ocasião da aplicação da protensão.” (o limite de compressão excessiva é estabelecido para evitar

microfissuração por compressão)

5

Combinação quase-permanente de utilização

Combinação freqüente de utilização

Combinação rara de utilização

F F Fn

1jkQj,j2,

m

1ikGi,uti,d ∑ψ∑ +=

==

F F F Fn

2jkQj,j2,kQ1,1

m

1ikGi,uti,d ∑ ψ+ψ∑ +=

==

F F F Fn

2jkQj,j,1kQ1,

m

1ikGi,uti,d ∑ ψ+∑ +=

==

Protensão completa•Comb. freqüente: E.L. Descompressão•Comb. rara: E.L. Formação de Fissuras

Protensão limitada•Comb. quase-permanente: E.L. Descompressão•Comb. freqüente : E.L. Formação de Fissuras

Protensão parcial•Comb. freqüente : E.L. de Abertura de Fissuras

De modo geral:

NOTAS:1. As definições de ELS-W, ELS-F e ELS-D encontram-se no item 3.2 (da NBR 6118).2. Para as classes de agressividade ambiental CAA-III e IV exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham proteção especial na região de suas

ancoragens.

1) A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap = 25 mm (figura 3.1 da NBR 6118).

Combinação freqüenteELS-D1)

Combinação raraELS-F

Verificar as duas condições abaixoPré tração com CAA III e IVConcreto protendido nível 3 (protensão completa)

Combinação quase permanente

ELS-D1)

Combinação freqüenteELS-F

Verificar as duas condições abaixoPré tração com CAA IIou

Pós tração com CAA III e IV

Concreto protendido nível 2 (protensão limitada)

Combinação freqüenteELS-W wk ≤ 0,2 mmPré tração com CAA Iou

Pós tração com CAA I e II

Concreto protendido nível 1 (protensão parcial)

ELS-W wk ≤ 0,2 mmCAA IV

ELS-W wk ≤ 0,3 mmCAA II a CAA III

Combinação freqüenteELS-W wk ≤ 0,4 mmCAA IConcreto armado

--Não háCAA I a CAA IVConcreto simples

Combinação de ações em serviço a utilizar

Exigências relativas àfissuração

Classe de agressividade ambiental (CAA) e tipo de

proteção

Tipo de concreto estrutural

Tabela 4.4– Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental (Tabela 13.3 da NBR 6118)

Escolha do nível de protensão pelo critério da durabilidade

6

Classes de agressividade ambiental

Estimativa da força de protensão P∞

EXEMPLO DE PROTENSÃO LIMITADA

0 p1q122g11g1 =σ+σψ+σ+σ ∞

- - - q122g11g1p1 σψσσ=σ⇒ ∞

W

e . P

A

P

1

pest,

c

est,p1

∞∞∞ +=σ⇒ P∞,est (valor A)

y1

y2

ep

-

+ + +

+- -

-

-

σ1g1 σ1g2 σ1q σ1p∞,est

σ2p∞,est

σ1s

σ2s0,7 fck

0

σ2qσ2g2σ2g1

Ψ2+ + + =

a) Combinação quase-permanente

Na borda inferior:

7

) f1,2 (ou f1,5 tktkp1q112g11g1 =σ+σψ+σ+σ ∞ - - - f1,5 q112g11g1tkp1 σψσσ=σ⇒ ∞

W

e . P

A

P

1

pest,

c

est,p1

∞∞∞ +=σ⇒

P∞,est (valor B)

b) Combinação freqüente

Na borda inferior:

y1

y2

ep

-

+ + +

+- -

-

-

σ1g1 σ1g2 σ1q σ1p∞,est

σ2p∞,est

σ1s

σ2s0,7 fckσ2qσ2g2σ2g1

Ψ1+ + + =

+

1,5 ftk (seção retangular) ou 1,2 ftk (seção T ou similar)

(ou 1,2 ftk)

Estimativa da força de pré-tração Pi

a) dos valores A e B de P∞,est , escolhe-se o demaior valor absoluto;

b) arbitra-se um valor de perda de protensão total∆Parb entre 20% e 30%;

c) calcula-se Pi,est em função de P∞,est .

arb

est,est,i P -1

P P

∆= ∞

Por ocasião da aplicação da força de pré-tração Pi :

σpi ≤

σpi ≤

0,77 fptk

0,90 fpyk

0,77 fptk

0,85 fpyk

(para aços da classe RN)

(para aços da classe RB)

8

Cálculo da armadura ativa necessária

Considerando o valor limite da tensão na armadurade protensão σpi,lim :

limpi,

est,iest,p

P Aσ

=

Consultando-se as tabelas disponíveis de aço paraprotensão, escolhe-se o número de fios oucordoalhas:

Ap = n (fios ou cordoalhas)/aço CP-XXX/RN ou RB

Pi ≅ Ap . σpi,lim .0,97 (folga de ~3% na tensão limite)

Valor a ser adotado para os cálculos subseqüentes

Valores representativos da força de protensão (caso de pré-tração)

∆Ppr2 = por relax. posterior/armadura∆Pcs2 = por retração posterior/concreto∆Pcc = por fluência do concreto

estiramentoda armadura

início da retraçãodo concreto

aplicação da protensão ao concretot0t-1t-2 Tempo t

P (força na armadura)Pi

Pa

P0

P∞

∆Panc = por acomodação da ancoragem

∆Ppr1 = por relaxação inicial da armadura∆Pcs1 = por retração inicial do concreto

∆Pe = por deformação imediata do concreto

∆Ppr1 + ∆Pcs1

∆Ppr2 + ∆Pcs2 + ∆Pcc

Pt

Perdas de protensão

a) perda por acomodação das ancoragens•escorregamento dos fios ou cordoalhas:caso de cunhas de aço: ~6 mm;

•acomodação da estrutura das cabeceiras:depende de cada instalação;

•perda relativa: depende do alongamento daarmadura de protensão/comprimento da pista

b) perda por retração inicial do concreto

•depende das propriedades do concreto e dascondições de cura: em geral pode ser desprezadanos casos usuais de produção em pistas.

9

c) perda por relaxação inicial e posterior daarmadura de protensão

pi

0pr0

)t,t( )t(t,

σ

σ∆=ψ

15,00

10000 1000 t- t

)t(t,

ψ=ψ

d) perda por deformação imediata do concreto(caso de armadura concentrada em uma fibra)

y1

y2

ep

+

-

σcpPi

W

e . P

AP

h1

2pi

h

icp +=σ

. A. cppppa0p σα+σ=σ

P0 = Ap . σp0

e) perdas progressivas (relaxação posterior do aço,retração posterior e fluência do concreto)

Cálculo simplificado (NBR 6118)/ver restrições

•para aços RN:

•para aços RB:

) - 3 ()t,( 47

18,1 100 . p0gc,1,57

0p

0p

rsc,p σ∞φα

+=σ

σ∆ ++

) - 3 ()t,( 18,7

7,4 100 . p0gc,1,07

0p

0p

rsc,p σ∞φα

+=σ

σ∆ ++

(para cálculo mais preciso, é preciso aplicaro método geral conforme a NBR 6118)

10

Revisão do método de cálculo da protensão

Cálculo das tensões normaiscausadas pelas ações externas

Estimativa da força de protensão

P∞,est

Cálculo da força de pré-tração

Pi,est

Cálculo da armadura ativa

Ap

Cálculo de Pi

Cálculo de Pa

Cálculo de P0

Cálculo de P∞

escolha do tipo de protensão

perda total de protensão arbitrada

tensões limites na armadura

∆Panc + ∆Ppr1 + ∆Pcs1

∆Pe

∆Ppr2 + ∆Pcs2 + ∆Pcc

(considerar todas as combinações possíveis de ações)

Exemplos:•g1 + P0 : transferência da força de protensão

•g1 + 0,8 P0 : transporte/redução do efeito do p.p.

•g1 + 1,3 P0 : transporte/aumento do efeito do p.p.

•g1 + g2 + P0 : montagem/utilização cedo

•g1 + g2 + P∞ : montagem/utilização tarde

•g + ψ2q + P∞ : combinação quase-permanente

•g + ψ1q + P∞ : combinação freqüente

•g + q + P∞ : combinação rara

•outras combinações, caso a caso.

Processo das curvas limites

Exemplo básico: viga simplesmente apoiada

a) estado em vazio: g 1 + P0

Atuam peso próprio e protensão antes das perdas progressivas("pouca" carga e "muita" protensão).

b) estado em serviço: g + q + P∞

Atuam todas as cargas permanentes variáveis ("muita" carga e"pouca" protensão).

Limitações àstensões provocadas

pela protensão

11

1. Limitações de tensões para o estado em vazioNuma seção qualquer ao longo da peça:

Na borda inferior: Na borda superior:

(I) - = +

1g1lim1v,

lim1v,1v1g1

σσ≥σ⇒

σ≥σσσ

0p1

0p1

(II) - = +

2g1lim2v,

lim2v,2v2g1

σσ≤σ⇒

σ≤σσσ

0p2

0p2

2. Limitações de tensões para o estado em serviçoTambém numa seção qualquer ao longo da peça:

Na borda inferior: Na borda superior:

(III) - - = + +

1q1glim1s,

lim1s,1s1q1g

σσσ≤σ⇒

σ≤σσσσ

∞

∞

p1

p1

(IV) - - = + +

2q2glim2s,

lim2s,2s2q2g

σσσ≥σ⇒

σ≥σσσσ

∞

∞

p2

p2

3. Curvas limites para as tensões devidas à protensão

(Ia)

(IIa)

(IIIa)

(IVa)

Curva limite para a bordainferior, em vazio)

Curva limite para a bordasuperior, em vazio)

Curva limite para a bordainferior, em serviço)

Curva limite para a bordasuperior, em serviço)

Dividindo ambos os membros das equações I, II, III e IV pela respectiva tensão devida à protensão no meio do vão (σ1p0,m ou σ 2p0,m, para a borda inferior ou superior em vazio, e σ1p∞,m ou σ2p∞,m, para a borda inferior ou superior em serviço) :

1vm1p0,

1g1lim1v,

m,po1

0p1 C -

⇐σ

σσ≤

σ

σ

2vm2p0,

2g1lim2v,

m,po2

0p2 C -

⇐σ

σσ≤

σ

σ

1sm,1p

1q1glim1s,

m,p1

p1 C - -

⇐σ

σσσ≥

σ

σ

∞∞

∞

2sm,2p

2q2glim2s,

m,p2

p2 C - -

⇐σ

σσσ≥

σ

σ

∞∞

∞

12

0 1 2 3 4 5

6 cordoalhas

C2s

C1s

C2v

C1v

1/6

1

σpσp,m

0 1 2 3 4 5

6 cordoalhas

C2s

C1s

C2v

C1v

1/6

1

σpσp,m

4. Exemplo de aplicação do processo das curvas limites

A verificação doEstado Limite de Serviço...

...não dispensaa verificação do

Estado Limite Último.

1. Estado Convencional de Neutralização (NBR 6118)

Força de neutralização Pn = P + ∆P (na armadura ativa)

Deformação na armadura ativa sujeita a Pn→ εpn = pré-alongamento

Pré-alongamento é a deformação da armadura ativa quandoo concreto está sem tensões, ou seja, neutralizado(conceito a ser ainda melhor explicitado)pp

npn E A

P = ε

P+∆PP+∆P

PP σcp

σc = 0

13

daí:

Como se trata de verificação do Estado Limite Último, devemos trabalhar comos valores de cálculo, e portanto, introduzir os coeficientes de segurança:

Para anular as tensões no concreto, é preciso impor à armadura ativa uma deformação adicional igual à deformação do concreto correspondente a σcp, na altura do CG desta mesma armadura ativa:

cppp

cpppc

cpp

E1 - = ||

E1 =

E||

= σασασ

ε∆

cpppcpppn A - P = || A + P = P σασα

pp

npn E A

P = ε

Portanto, com γp = 0,9:

Pd = 0,9 P∞ e I

e

A1 P 0,9

c

2p

ccpd

+=σ ∞

cpdppdnd A - P = P σα

Interpretação do física do pré-alongamento

Portanto, o pré-alongamento corresponde à deformação da armadura ativa quando o concreto, na altura do CG da armadura ativa, está com tensão nula.

Casos de deformação

Hipóteses de cálculo

14

Casos de protensão com aderência e sem aderência

Comportamento geral de uma viga protendida

1.Calcula-se o valor do pré-alongamento εpnd;

2.Arbitra-se um valor de tensão na armadura (σpd,arb), em geral entre fpyd e fptd na primeira tentativa;

3. Determina-se a posição da linha neutra, com a condição de equilíbrio de forças (Rcc = Rpt);

4. Determina-se a deformação adicional (σp1d) na armadura, correspondente às deformações posteriores ao estado de neutralização, de acordo com o diagrama de deformações;

5. Determina-se a deformação total de cálculo, somando-se a calculada no item anterior com o pré-alongamento (εpd = εp1d + εpnd); em seguida, determina-se, de acordo com o diagrama tensão-deformação do aço empregado, a tensão na armadura σpd,cal.

Roteiro de cálculo pelo processo das tentativas

15

6. Se o valor σpd,cal for suficientemente próximo ao valor adotado σpd,arb, então calcula-se o valor do momento resistente; caso contrário, arbitra-se um novo valor e repete-se o processo até se chegar a uma aproximação satisfatória;

7. Uma vez determinada a tensão na armadura, calcula-se o valor do momento resistente:

Mud = Rcc . z = Rpt . z

onde z é o braço de alavanca (distância entre o centro de pressão na zona comprimida e o centro de gravidade da armadura de tração).

8. A condição de segurança estará satisfeita se:

Mud ≥ Md

Processo de tentativas com arbitragem da posição da linha neutraAo invés de se arbitrar a tensão na armadura, pode-se arbitrar valores da posição da linha neutra, e calcular as resultantes de compressão no concreto e de tração na armadura, até que se atinja uma situação em que os valores obtidos sejam suficientemente próximos.

Arbitrar um valorde tensão na armadura

Equação de equi-líbrio: determinar

a posição dalinha neutra

Equação de compati-bilidade: determinar

a deformação daarmadura ativa

Determinar atensão na armaduraativa: diagrama real

ou simplificado

Tensãocalculada é próxima

da tensãoarbitrada?

Calcular momentofletor resistente e

comparar mo-mento de cálculo

Segurançaé satisfatória?

InícioDados: esforços,

geometria,armadura

NÃO

NÃO

SIM

SIM

Deformação totaLda armadura ativa:

somar pré-alongamento

FIM

Calcular arma-dura passivaou modificar

a seção

Calcular o

pré-alongamento

A protensão melhora também a resistência às solicitações

tangenciais,em particulara resistência

à forçacortante.

16

Influência da fissuraçãodo banzo tracionado

Inclinação do caboresultante junto aosapoios de uma viga

Efeito de cabos inclinados

Bainhas na almaQuando houver bainhas com diâmetro maior que bw/8:

bw,ef = bw - Σφ0/2

onde φ0 = diâmetro das bainhas alinhadas na alma

Devem ser verificadas simultaneamente as seguintes condições:

VSd < VRd2

VSd < VRd3 = Vc + Vsw

onde:

VSd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção;

VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, conforme 17.4.2.2 ou 17.4.2.3;

VRd3 = Vc + Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína portração diagonal;

Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça;

Vsw a parcela absorvida pela armadura transversal, conforme 17.4.2.2 ou 17.4.2.3.

(conforme 17.4.2.1/NBR 6118)

17

17.4.2.2 Modelo de cálculo I

Diagonais de compressão inclinadas de θ=45° e Vc constante, independente de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto

VRd2 = 0,27 av2 fcd bw d

sendo: av2 = (1 - fck/250)

b) cálculo da armadura transversal

Vsw = (Asw/s) 0,9 d fywd (sen α + cos α)

sendo:

Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção;

Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

Vc = Vc0 (1+ Mo/MSd,máx ) ≤ 2Vc0 na flexo-compressão

Vc0 = 0,6 fctd bw dfctd = fctk,inf/γc

onde:

bw = menor largura da seção, ao longo da altura útil d; no caso de elementosestruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com diâmetro Φ > bw/8, a largura resistente a considerar deve ser (bw - 1/2ΣΦ);

d = altura útil da seção; no caso de elementos estruturais protendidos com cabos distribuídos ao longo da altura, d não precisa ser tomado com valor menor que 0,8h;

s = espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw,;

fywd = tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;

α = ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixolongitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45° ≤ α ≤ 90°;

M0 = momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda daseção (tracionada por Md,max), provocada pelas forças normais de diversasorigens concomitantes com VSd, sendo essa tensão calculada com valores de γ f e γ p iguais a 0,9;

MSd,max = momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que podeser tomado como o de maior valor no semitramo considerado.

17.4.2.3 Modelo de cálculo II

Diagonais de compressão inclinadas de θ, com θ variável livremente entre 30° e 45°. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumentode VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto

VRd2 = 0,54 av fcd bw d sen2 θ (cotg α + cotg θ)

com: αv = (1- fck/250) e fck em megapascal.

b) cálculo da armadura transversal

Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α

sendo:

Vc= 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora daseção;

Vc= Vc1 , na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

Vc= Vc1 (1+ M0 / MSd,máx) < 2Vc1 na flexo-compressão , com:

Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0

Vc1 = 0, quando VSd=VRd2, interpolando-se linearmente para valores intermediários.

18

Armadura mínima

17.4.1.1.1 Todos os elementos lineares submetidos a força cortante, àexceção dos casos indicados em 17.4.1.1.2, devem conter armaduratransversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica:

onde:

Asw é a área da seção transversal dos estribos;

s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural;

α é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elementoestrutural;

bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, respeitada a restrição indicada em (17.4.1.1.2).

ywk

ctm

w

swsw f

f2,0

sen.s.bA

≥α

=ρ