Entropia e Complexidade Aula 1. Qual a engrenagem fundamental do universo?

Entropia e Complexidade

Aula 1

• Qual a engrenagem fundamental do universo?

Entropia

• O que é entropia?

Entropia

• Probabilidade

• Postulado fundamental da Mecânica estatística.

S = Kbln()

• Relação entre probabilidade e Entropia

Entropia

• Segunda lei da termodinâmica

– "Não ocorrem processos nos quais a entropia do sistema ISOLADO decresça: em qualquer processo que tenha lugar em um sistema isolado, a entropia do sistema AUMENTA ou permanece CONSTANTE".

– Em outras palavras, um sistema isolado, sem nenhuma ajuda exterior, é incapaz de se auto-estruturar.

Entropia e Equilíbrio• Equilíbrio mecânico, químico, hidrostático, térmico e

termodinâmico.

• Um estado de equilíbrio será aquele, em que, pelo menos, localmente a entropia seja máxima.

• Um sistema que esteja em estado de equilíbrio está em um estado estável. Contudo existem os estados meta-estáveis

Meta-estabilidade

• Exemplo da cerveja no congelador

• Meta-estabilidade e a vida

• Entropia e vida

Meta-balanceamento

• Comportamentos muito organizados surgem em sistemas de extrema complexidade. Ex.: organismos vivos

• Bilhões de células interagem apresentando um comportamento notavelmente organizado.

• São sistemas meta-balanceados

Meta-balanceamento

• O sistema está desbalanceado localmente e estável e ordenado em uma perpectiva global.

• Sistema balanceado=sem gasto de energia

• Sistema desbalanceado = gasto de energia e termaliza

• Sistema meta-balanceado necessita continuamente de energia

Complexidade e Sistemas Complexos

Temas

• O que é complexidade?• Discutir a complexidade como um paradigma

epistemológico.• Delimitar complexidade e sistemas complexos.• Listar características de um sistema complexo.

Algumas visões sobre a complexidade

• MAÍRA BAUMGARTEN (sociologia)

“...que estaria a mudar não só a nossa imagem mecanicista da natureza mas, inclusive, a nossa relação com ela e o modo de fazer ciência, numa aproximação mais qualitativa, menos agressiva e mais humana.”

complexidade

• Complexidade e subjetividade• González Rey (Psicólogo)• “Hemos utilizado el concepto de subjetividad social

precisamente para dar cuenta de la complejidad constituida en cada uno de los sentidos subjetivos de la vida social, aspecto que con frecuencia se subordina a aspectos económicos, políticos o de otra naturaleza, sin comprender que aquellos actuan sobre la población en dependencia de su sentido subjetivo, no como "cosa en sí". La multiplicidad de niveles y de escenarios de la vida social determina el desarrollo de múltiples elementos de sentido que actuan simultáneamente en la acción social del sujeto, quien constituye el escenario de su propio desarrollo subjetivo.”

Complexidade

• Rita M.C. de Almeida (Física)

• “Na realidade, a Ciência da Complexidade não é uma nova Ciência, mas sim novos resultados para a mesma Ciência Natural.”

Complexidade X Sistemas complexos.

• Complexidade: Paradigma epistemológico

• Sistemas Complexos: Objeto de estudo da complexidade. Uma disciplina científica (Puramente interdisciplinar).

Complexidade na Física.

• Normalmente utilizado como um atributo• Quanto maior a quantidade de informação

necessária para descrevê-lo mais complexo será o sistema.

)ln(C

A complexidade pode ser definida como o um conjunto de propriedades que emergem de um sistema com muitos constituintes.

Sistemas Complexos

• Basicamente todos as definições na literatura escapam de uma definição formal, indo na direção de uma listagem de características, não fugiremos à regra:

• Contém muitos constituintes interagindo não-linearmente

• Seus constituintes são independentes• Possui uma estrutura que se repete em diversas escalas• Exibe comportamento emergente• Envolve um limiar entre caos e não-caos.• Envolve um limiar entre cooperação e competição• Uma outra forma de definir o conceito pode ser em

relação à quantidade de informação necessária para se modelar um dado sistema.

Complexo x Simples

• A diferença entre complexo e simples não é complicada.

ENTROPIA

• O que é isso mesmo?

Postulado fundamental da M.E. e Conceitos de Macro e

Microestados• Com o advento da teoria quântica nos primeiros anos do século

passado pessoas como Bose, Einstein, Fermi e Dirac introduziram certas modificações nas idéias originais de Boltzmann e conseguiram, com isso, esclarecer alguns aspectos insatisfatórios da teoria de Boltzmann.

• Os princípios da mecânica quântica conduzem ao resultado de que a energia de uma partícula sob um campo conservativo, como o gravitacional, magnético ou elétrico, não podem assumir qualquer valor continuamente, se diz que a energia é quantizada, ou seja, a partícula só pode existir em alguns dos ESTADOS que têm uma energia bem específica.

• Podemos utilizar como ilustração do conceito quântico o exemplo clássico da onda estacionária em uma corda:

Postulado fundamental da M.E. e Conceitos de Macro e

Microestados• Nesse sistema os comprimentos de onda

possíveis são dados por:

• Onde ni é um número inteiro que representa o número de antinodos da vibração da corda.

• E o comprimento de onda da onda estacionária está relacionado com o momento da partícula por:

• O que nos leva a:

L

Lni

i 21

h

p

L

hn

hp i

ii 2

Postulado fundamental da M.E. e Conceitos de Macro e Microestados

• Relembrando do conceito clássico introduzido por Boltzmann, não existia restrições para a energia do sistema, ele poderia se encontrar em qualquer valor, assim as média deveriam ser efetuadas sobre todo o universo de parâmetros possíveis. No caso quântico não poderemos fazer o mesmo, a contabilização dos estados acessíveis é imprescindível para a operacionalização da estatística (valores médios, desvios, etc.). Por exemplo, a menor energia possível assumida pelo sistema, a que denominaremos E1, será dada para os valores nx=ny=nz = 1, assim

2

2

1 8

3

mL

hE


• Na determinação do segundo estado a coisa fica um pouco mais complicada

• Ou seja as três configurações terão o mesmo estado energético. A isso chamamos de estado degenerado, ou seja, o estado referente a energia é DEGENERADO e com DEGENERESCÊNCIA 3 (g2=3), pois existem três configurações possíveis que levam a este mesmo valor.

Estado nx ny nz Energia

1 2 1 1 2

2

4

3

mL

h

2 1 2 1 2

2

4

3

mL

h

3 1 1 2 2

2

4

3

mL

h


• Obviamente, não poderemos fazer estatística com apenas uma partícula, assim que consideremos um sistema com N partículas onde em cada estado de energia j teremos uma população de Nj partículas, a energia total deste sistema será dada por:

• De forma que, se conhecemos como estão distribuídas as partículas sobre seus estados energéticos teremos toda a informação do sistema. ESTE É O PROBLEMA CENTRAL DA MECÂNICA ESTATÍSTICA.

j

jj NEU

Macro e Microestados

• Redefinindo o conceito de estado• No esquema abaixo ilustramos o exemplo dado anteriormente em

um sistema com 11 partículas idênticas.

• onde cada caixinha representa um estado energético. Estando as caixas a mesma altura significa que têm a mesma energia.

• A energia deste sistema COM ESTA CONFIGURAÇÃO será dada por:

(1,1,1)

(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)

(2,2,1) (1,2,2) (2,1,2)

E1

E2

E3

g1=1, N1=3

g2=3, N2=5

g3=3, N2=3

2

2

2

2

2

2

8

93

4

35

8

33

mL

h

mL

h

mL

hE


• Contudo vale ressaltar que ao trocar de caixa uma partícula, no mesmo nível de energia, a configuração será diferente, contudo a energia será a mesma! Desta forma, vem-se a necessidade de subdividirmos o conceito de estado.

(1,1,1)

(2,1,1) (1,2,1) (1,1,2)

(2,2,1) (1,2,2) (2,1,2)

E1

E2

E3

g1=1, N1=3

g2=3, N2=5

g3=3, N2=3

2

2

2

2

2

2

8

93

4

35

8

33

mL

h

mL

h

mL

hE


• Macroestado• É caracterizado pelo número de partículas para cada nível. No exemplo

anterior temos: N1=3, N2=5 e N3=3.

• Microestado: • Definido por cada nível e cada degenerescência. No exemplo anterior

temos.

• Note que para uma mesma energia teremos diversos macroestados e para cada macroestado pode conter uma infinidade de microestados!!!

Nível Nj gj

1 3 (1,1,1)2 2 (2,1,1)

1 (1,2,1)2 (1,1,2)

3 2 (2,2,1)1 (2,1,2)

Postulado fundamental da M.E.:

• “Todo microestado possível de um sistema isolado em equilíbrio é igualmente provável”

• O que significa que se fazemos N réplicas de um conjunto de sistemas (ensamble), e contamos a freqüência com que cada microestado ocorre, obteremos que todo o microestado terá a mesma freqüência!


• O número de microestados igualmente prováveis, que corresponde a um macroestado k é chamado de PROBABILIDADE TERMODINÂMICA (Wk). Ou seja, quanto mais microestados tenha um macroestado maior será sua probabilidade termodinâmica. Funciona, exatamente como o exemplo do dado comentado anteriormente, quanto mais possibilidades existam de que um evento ocorra maior será a sua probabilidade.

• A Probabilidade termodinâmica de todo o ensamble será a soma de todas as probabilidades termodinâmicas de cada macroestado.

k

KWNVE ),,(


• Assim que para uma mesma energia teremos diversos macroestados e respectivamente diversos microestados. O valor de energia mais provável será aquele que MAXIMIZE a quantidade de configurações possíveis, ou seja, que maximize a probabilidade termodinâmica.

• De fato a probabilidade termodinâmica do ensamble dependerá das propriedades do sistema e dos vínculos internos que o configuram (E,V,N,{Xi}).

• Logo, podemos concluir que a probabilidade de encontrarmos um sistema no estado definido por (E,V,N,{Xi}) será:

}){,,,(}){,,,( ii XNVEXNVEP

Interpretação estatística da entropiaA partir da lei de conservação da energia sabemos que:

NVPUS . ( 1)

Ou seja, S=f(U,V,N). Contudo sabemos a partir da teoria desenvolvida no item anterior sobre a probabilidade termodinâmica que =f(U,V,N). De forma que podemos escrever uma função J que estabeleça a ligação entre S e .

)(JS . ( 2)

Sabemos que S é aditiva e é probabilística, logo:

21

21

SSS

. ( 3)

Desta forma a função J será dada por:

)()()( 2121 JJJ . ( 4)

Interpretação estatística da entropia

Derivando a relação anterior em relação a 1 temos:

1

21

21

21

1

21

1

1 )(

)(

)()()(

d

d

d

dJ

d

dJ

d

dJ

.

( 1)

O que nos leva a:

)()(

2121

1

Jd

dJ.

( 2)

Fazendo o mesmo para 2 obtemos:

)()(

2112

2

Jd

dJ.

( 3)


Comparando as equações anteriores temos

11

12

2

2

21

1

12

2

)()(

1)(1)(

d

dJ

d

dJ

d

dJ

d

dJ

.

( 1)

Sendo 1 e 2 independentes esta equação só poderá ser satisfeita para

BKd

dJ

)(

. ( 2)


O que nos leva finalmente a expressão para a função J.

)ln( BKS

Que é a conhecida definição da entropia de Boltzmann.

Agora eu pergunto:

O que é a entropia?

Entropia e informação (Shanonn)

• Claude E. Shannon (1916-2001), "o pai da teoria da informação".

• Estabeleceu um modo de determinar a capacidade de um canal de comunicação em termos de ocorrência de bits.

• Medida capaz de determinar a quantidade de informação não previsível em uma mensagem.

• H(p1, p2 ,..., pn ), a entropia de Shannon aplicada para n elementos que compõem uma mensagem.

• Pi = probabilidade de ocorrência do elemento i da mensagem.

Entropia e informação (Shanonn)

• Principais Postulados de Shannon – 1- A função H deve ser contínua em pi.– 2- Caso os elementos da mensagem sejam

igualmente prováveis, pi=1/n, então H deve ser monotonicamente crescente em relação a n, pois quanto mais elementos tenha a mensagem maior será a capacidade de transmissão de informação da mensagem.

– 3- Deve ser probabilisticamente somada H(p1)+H(p2)=H(p1. p2)

n

ii

bi ppKH

1

log

• Propriedades da função H:• Para um sistema simples com

dois bits.

• 1) H=0 se e somente se, todas as probabilidades forem nulas com exceção de uma.

• 2) Para um dado n, H será máximo quando todas as pi forrem iguais, ou seja, pi=1/n.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1p

H(p

)

)1(log)1(log 1

211

21 ppppH

• Exercício:

• Calcule a entropia de Shannon para as seguintes conjuntos de caracteres.

• 11111111

• 00001111

• 01111111

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Entropia e Complexidade Aula 1. Qual a engrenagem fundamental do universo?