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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Rogeria Teixeira Urzêdo Queiroz
EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL
EM LIVROS DIDÁTICOS NO BRASIL (1930-1980)
Belo Horizonte
2018
Rogeria Teixeira Urzêdo Queiroz
EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL EM LIVROS DIDÁTICOS NO
BRASIL (1930-1980)
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Pontifícia Universidade Católica de
Minas Gerais, como requisito parcial para a
obetenção de Grau de Mestre em Ensino de Ciências
e Matemática.
Orientadora: Professora Doutora Elenice de Souza
Lodron Zuin
Área de Concentração: Ensino de Matemática
Belo Horizonte
2018
Dedico este trabalho a meu esposo Rhelman e aos meus
filhos Richter e Davi, pelo apoio e incentivo. Sem eles, eu
não teria realizado essa conquista.
AGRADECIMENTOS
Durante a realização deste trabalho, muitas foram as contribuições e incentivos recebidos.
Gostaria de agradecer de modo especial:
A Deus, presente em todos os momentos.
A profa Dr
a Elenice de Souza Lodron Zuin, pela orientação, pela confiança e por todas as
contribuições feitas durante a realização deste trabalho.
Ao meu esposo, Rhelman, sempre companheiro. Pelo apoio, incentivo, paciência, carinho e
disponibilidade no desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus filhos, Richter e Davi, pelo incentivo constante e por sempre acreditarem em meu
trabalho.
Ao Prof. Cristiano Casimiro, pela disponibilidade na diagramação do produto.
Aos professores do Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, pelos
momentos de reflexão, convivência e colaboração para o meu crescimento como educadora.
Aos professores, Dr. Wagner Rodrigues Valente e Dr. Antonio Vicente Marafioti Garnica,
pela colaboração ao enviar-me alguns livros que foram importantes para o desenvolvimento
desse trabalho.
Aos professores Marcos Dias da Rocha e Neuber Silva Ferreira, do Instituto Federal de Minas
Gerais – Campus Ouro Preto, e aos alunos do Curso de Especialização em Educação
Matemática, pela contribuição na realização desse trabalho, possibilitando a aplicação do
produto.
Aos colegas da Turma 11: Aloísio, Allan,Augusto,Fernanda, Flávio, James,Nádia, Paulinho e
Sabrina, pela convivência, pela troca de experiência e pela amizade.
Aos funcionários da Secretaria: Karla, Pablo e Walace.
A todos que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste trabalho.
“Ninguém pode ir para a batalha a menos que esteja
plenamente convencido da vitória em antemão. Se
começarmos sem confiança, já perdemos metade da
batalha e enterramos os nossos talentos. Enquanto
dolorosamente conscientes das nossas próprias fraquezas,
temos que marchar sem ceder.”
Papa Francisco
RESUMO
Nessa pesquisa, analisamos o conteúdo equação/função exponencial em quinze livros
didáticos, editados no período de 1930 a 1980. Esse estudo tem como foco principal a
verificação da abordagem do referido conteúdos nas obras analisadas. No período
considerado, o ensino brasileiro passou pelas reformas Francisco Campos, Gustavo
Capanema, Simões Filho, a LDB 4024/1961 e a LDB 5692/1971, além do surgimento do
Movimento da Matemática Moderna, que trouxe mudanças significativas para a Matemática
escolar. Verificamos que, nas obras da década de 1930, as equações exponenciais eram
praticamente ausentes e a função exponencial abordada de forma suscinta. Nos livros
analisados da década de 1940, a função exponencial apresenta-se de forma mais completa que
na década anterior e as equações exponenciais já comparecem com exercícios resolvidos e
propostos. Nas obras analisadas da década de 1950, com o Programa Mínimo, a equação
exponencial está presente, incluindo definição, classificação, exercícios resolvidos e
propostos. Inferimos que, nesta década, a equação exponencial foi destaque nos livros
didáticos. A partir do Movimento da Matemática Moderna, as obras analisadas da década de
1960, trazem a teoria dos conjuntos anexada à uma simbologia que é levada ao capítulo da
função exponencial, mantendo a estrutura metodológica da década anterior para as equações
exponenciais. Nas obras da década de 1970, não encontramos mudanças significativas. Como
produto educacional, foi elaborado um material para a formação inicial e continuada dos
professores de Matemática e áreas afins, destacando as reformas de ensino ocorridas no Brasil
e as tendências pedagógicas no período proposto, incluindo obras pertencentes a cada uma das
décadas destacadas para a realização desta pesquisa.
Palavras-chave: Equação/função exponencial; História da Educação Matemática; Livros
didáticos; Educação Matemática; Brasil.
ABSTRACT
In this research we analyze the subject exponential equation/function in fifteen didactic books
edited in period of 1930 until 1980. This project presented as the main objective verifying the
manner which some authors chose to show this content in their work. During the years fo-
cused, Brazilian education underwent the reforms Francisco Campos, Gustavo Capanema,
Simões Filho and the documents LDB 4024/1961 and LDB 5692/1971, as well as the begin-
ning of the Modern Mathematics Movement (Movimento da Matemática Moderna), which
brought important changes for students and teachers. What is possible to be observed in the
analyzed books of 1930’s the exponential equations were mainly absent from the books and
that exponential function was approached in a succinct way. In the analyzed books of 1940’s
the exponential function was put in a more complete manner, compared to the previous years,
and the exponential equations appear with the support of solved exercises. In the analyzed
books of 1950’s the Minimum Program (Programa Mínimo) made the exponential equation
be shown very completely in terms of definition, classification, solved and proposed exercis-
es. It can be said that during this decay the exponential equation was a highlight in the di-
dactic books. With the arrival of Modern Mathematics Movement (Movimento da Matemática
Moderna), some books from the 1960’s were edited and brought the set theory, attached to a
simbolism taken to the chapter about exponential function and keeping the methodological
structure from the previous years to the exponential equation. In the analyzed books of
1970’s, no meaningful change was noticed. This research has formulated a material for the
initial and continuing education for Mathematics and related areas, highlighting the reforms
experienced in Brazil, as well as the pedagogical trends in the proposed period, presenting a
sum of five books, each one representing a decay studied in this project.
Key words: Exponential equation/function; History of Mathematics Education; Didact
Books; Mathematics Education; Brazil.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Livros didáticos de Aritmética, Álgebra e Geometria da década de 1920 .............. 26
Figura 2 - Imagem de Euclides Roxo ....................................................................................... 27
Figura 3 - Contracapa dos livros Como se aprende Mathematica e Curso de Mathematica
Elementar ................................................................................................................................. 29
Figura 4- Capa do Manual Primeiras Lições de Coisas............................................................ 33
Figura 5- Publicações da Biblioteca da Educação .................................................................... 38
Figura 6- Programas de Matemática do primeiro ano clássico e científico.............................. 53
Figura 7- Conteúdos de Matemática a serem tratados no Programa de Admissão .................. 59
Figura 8- Simbologia utilizada na teoria dos conjuntos e na lógica ......................................... 60
Figura 9– Capa do livro Roxo, Thiré & Mello e Souza ........................................................... 71
Figura 10- Folha de rosto do livro Roxo, Thiré e Mello e Souza ............................................. 72
Figura 11- Índice geral do livro Roxo, Thiré e Mello e Souza ................................................. 73
Figura 12- Noções preliminares ............................................................................................... 74
Figura 13- Apresentação da base negativa ............................................................................... 75
Figura 14- Exemplo IV ............................................................................................................. 76
Figura 15- Esboço dos gráficos de duas funções exponenciais de bases 2 e 1/2 ..................... 76
Figura 16- Feixe de curvas ....................................................................................................... 77
Figura 17- Exercícios propostos ............................................................................................... 78
Figura 18- Equação exponencial .............................................................................................. 79
Figura 19- exercícios propostos sobre equações exponenciais ................................................ 79
Figura 20- Folha de rosto do livro de Roxo et al ..................................................................... 84
Figura 21- Partes do livro com os respectivos autores ............................................................. 85
Figura 22- Programa da segunda série ..................................................................................... 86
Figura 23- Demonstração da propriedade V............................................................................. 88
Figura 24- Representação gráfica da função exponencial ........................................................ 89
Figura 25- Apresentação da função logarítmica ....................................................................... 90
Figura 26- Resolução da equação exponencial por meio das frações contínuas ...................... 91
Figura 27- Resolução de equações em que a e b são potências de um mesmo número ........... 92
Figura 28- Capa do livro Curso de Matemática ....................................................................... 94
Figura 29- Programa do Ciclo Colegial para o Curso Científico ............................................. 95
Figura 30- Programa do Ciclo Colegial para o Curso Clássico ................................................ 96
Figura 31- Parte do índice da obra de Maeder.......................................................................... 97
Figura 32- Definição de função exponencial apresentada ........................................................ 98
Figura 33- Propriedades da função exponencial ...................................................................... 99
Figura 34- Variação da função exponencial para base maior que 1 ......................................... 99
Figura 35- Variação da função exponencial para base entre 0 e 1 ........................................... 99
Figura 36- - Gráficos da função exponencial: à esquerda, base maior que 1 e à direita, menor
que 1 ....................................................................................................................................... 100
Figura 37- A definição de função logarítmica ........................................................................ 101
Figura 38- Capa do livro do autor Manoel Jairo Bezerra (1955) ........................................... 104
Figura 39- Folha de rosto do livro do autor Manoel Jairo Bezerra (1955) ............................. 105
Figura 40- Classificação das equações exponenciais ............................................................. 106
Figura 41- Segundo tipo e exemplos e a substituição de variável ......................................... 106
Figura 42- Capa do livro de autoria de Thales Mello de Carvalho (1955) ............................. 109
Figura 43- Folha de rosto do livro de autoria de Thales Mello de Carvalho (1955) .............. 109
Figura 44- Nota de rodapé, mostrando duas determinações:a negativa e a positiva .............. 111
Figura 45- - Representação gráfica da função exponencial para os dois casos de valores da
base ......................................................................................................................................... 111
Figura 46- - Feixe de curvas exponenciais para bases maiores e menores que 1 ................... 112
Figura 47- Construção do gráfico da função logarítmica ....................................................... 112
Figura 48- Exercícios para resolver de 1 a 9 .......................................................................... 113
Figura 49- Exercícios para resolver de 10 a 15. ..................................................................... 114
Figura 50 - Capa do livro do Roxo et al. (1956) .................................................................... 115
Figura 51- Folha de rosto do livro do Roxo et al. (1956) ....................................................... 116
Figura 52- Capa do livro de Quintella (1959) ........................................................................ 118
Figura 53- Folha de rosto do livro de Quintella (1959) .......................................................... 119
Figura 54- Resolução de uma equação exponencial como exemplo ...................................... 120
Figura 55- Exercícios de 1 a 27 de Quintella (1959) .............................................................. 121
Figura 56- Exercícios de 28 a 35 de Quintella (1959) ............................................................ 121
Figura 57- Capa do livro dos Irmãos Maristas ....................................................................... 125
Figura 58- Folha de rosto do livro dos Irmãos Maristas ........................................................ 126
Figura 59- Exemplo de resolução de equação com o uso de logaritmos ................................ 127
Figura 60- Exemplo de resolução de equação sem o uso de logaritmos ................................ 128
Figura 61- Capa do livro do Serrão (1966) ............................................................................ 129
Figura 62- Folha de rosto da obra do Serrão (1966)............................................................... 130
Figura 63- Comportamento da função exponencial para base maior que 1 ........................... 131
Figura 64- Representação gráfica da função exponencial para base maior que 1 .................. 132
Figura 65- Comportamento da função exponencial para base menor que 1 .......................... 132
Figura 66- Representação gráfica da função exponencial para base menor que 1 ................. 132
Figura 67- Parte dos exercícios propostos .............................................................................. 133
Figura 68- Resultados resumidos do exercício 159 ................................................................ 134
Figura 69- Capa do livro Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967) ....................................... 136
Figura 70- Folha de rosto do livro Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967) ......................... 137
Figura 71- Definição de potenciação e definição de potenciação de base real a e expoente
inteiro positivo n. .................................................................................................................... 138
Figura 72- Propriedades das potências ................................................................................... 139
Figura 73- Extensão da definição de φ ................................................................................... 139
Figura 74- Valores de y para base igual a 2 ........................................................................... 139
Figura 75- Representação gráfica da função injetora com domínio Z ................................... 140
Figura 76- Representações gráficas para base entre 0 e 1 e para base negativa ..................... 140
Figura 77- Propriedades das potências para quaisquer expoentes racionais .......................... 141
Figura 78- Representação gráfica dos pontos (x, ax) para valores de x iguais a 0, 1/2 e 1 ..... 141
Figura 79- Propriedades das potências de expoente real ........................................................ 142
Figura 80- Representação simbólica da função logaritmica ................................................... 143
Figura 81- Capa do livro Brunelli (1972) ............................................................................... 146
Figura 82- Folha de rosto do livro Brunelli (1972) ................................................................ 146
Figura 83- Índice do livro Brunelli (1972) ............................................................................. 147
Figura 84- Definição de função exponencial .......................................................................... 148
Figura 85- Conjunto de valores para base 2 ........................................................................... 148
Figura 86- Gráfico da função exponencial de base 2 ............................................................. 148
Figura 87- Gráficos da função exponencial ............................................................................ 149
Figura 88- Definição da função logaritmica ........................................................................... 150
Figura 89- Processo prático para o traçado do gráfico da função logarítmica ....................... 150
Figura 90- Capa do livro Matemática na Escola Renovada ................................................... 152
Figura 91- Definição de função exponencial .......................................................................... 152
Figura 92- Função exponencial oscilante de base -2 .............................................................. 153
Figura 93- Função exponencial oscilante de base -1/2 ........................................................... 154
Figura 94- Definição de função logaritmica ........................................................................... 155
Figura 95- Capa do livro em análise ....................................................................................... 157
Figura 96- Folha de rosto da obra ........................................................................................... 158
Figura 97- Nomenclatura para a função exponencial ............................................................. 159
Figura 98- Representação gráfica da função de base maior que 1 ......................................... 159
Figura 99- Quadro comparativo entre as funções exponencial e logaritmica ........................ 160
Figura 100- Exercício 35 ........................................................................................................ 160
Figura 101- Capa do livro Iezzi et al. (1978) ......................................................................... 162
Figura 102- Folha de rosto Iezzi et al. (1978) ........................................................................ 163
Figura 103- Definição de potência de expoente inteiro .......................................................... 164
Figura 104- Propriedades das potências com expoente inteiro .............................................. 164
Figura 105- Comparação de potências ................................................................................... 165
Figura 106- Exemplo de gráfico da função exponencial ........................................................ 166
Figura 107- Uma das aplicações da Matemática .................................................................... 167
LISTA DE QUADROS
Quadro 1- Obras selecionadas para análise .............................................................................. 67
Quadro 2- Comparativo da estrutura externa/interna das duas obras (década de 30) .............. 69
Quadro 3- Quadro comparativo das obras analisadas na década de 40 .................................... 82
Quadro 4-- Quadro comparativo das obras na década de 50 .................................................. 103
Quadro 5- Quadro comparativo das obras na década de 60 ................................................... 123
Quadro 6- Quadro comparativo das obras na década de 60 ................................................... 124
Quadro 7- Quadro comparativo das obras da década de 70 ................................................... 144
Quadro 8- Quadro comparativo das obras da década de 70 ................................................... 145
Quadro 9- Estrutura do material (produto) ............................................................................. 170
Quadro 10- Quadro comparativo das cinco obras .................................................................. 171
Quadro 11- Formação dos participantes ................................................................................. 173
Quadro 12- Tempo de atuação como docente com o respectivo nível de ensino ................... 173
Quadro 13- Tipo de Escola de cada participante .................................................................... 174
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...................................................................................................................... 18
Justificativa ............................................................................................................................. 22
1. SUPORTE TEÓRICO ....................................................................................................... 24
1.1 Disciplinas escolares ..................................................................................................... 24
1.1.1 A criação da disciplina Matemática ....................................................................... 25
1.2 Reformas de ensino de 1930 a 1980 ............................................................................. 31
1.2.1 Método Intuitivo ..................................................................................................... 31
1.2.2 Movimento escolanovista ....................................................................................... 34
1.2.3 A Reforma Francisco Campos ............................................................................... 38
1.2.4 A Reforma Capanema ............................................................................................ 44
1.2.4.1 Programas de Matemática para os Cursos Clássicos ............................................ 46
1.2.4.2 Programas de Matemática para os Cursos Científicos ......................................... 47
1.2.5 Programa Mínimo .................................................................................................. 50
1.2.6. Programas de Matemática adotados no Colegial (Programa Mínimo) .............. 51
1.2.7 Lei n. 4024 e Lei n. 5692 ........................................................................................ 53
1.3 O Movimento da Matemática Moderna ..................................................................... 54
1.4 O livro didático: fonte de pesquisa .............................................................................. 61
2. REFERENCIAIS TEÓRICO-METODOLÓGICOS ...................................................... 65
3.1 Década de 1930 ............................................................................................................. 68
3.1.1 Livro 1 - Curso de Mathemática, 4.o Anno, 4.a Edição, 1938. Autores: Euclides
Roxo, Cecil Thiré, Mello e Souza. ................................................................................... 69
3.1.2 Livro 2 - Curso de Mathemática, 4.o Anno, 3.
a Edição, 1936. Autores: Euclides
Roxo, Cecil Thiré. Mello e Souza .................................................................................... 81
3.2 Década de 1940 ............................................................................................................. 81
3.2.1 Livro 3 – Matemática 2.o Ciclo, 2
a Série, 2.
a Edição, 1944. Autores: Euclides
Roxo, Haroldo Lisboa da Cunha, Roberto Peixoto, Cesar Dacorso Netto. .................. 83
3.2.2 Livro 4 – Curso de Matemática, 2.o Livro Colegial, 3.
a Edição, 1949. Autor:
Algacyr Munhoz Maeder. ................................................................................................ 93
3.3 Década de 1950 ........................................................................................................... 102
3.3.1 Livro 5- Curso de Matemática, Primeiro Ano Colegial (Clássico e Científico), 3.a
Edição, 1955. Autor: Manoel Jairo Bezerra. ............................................................... 103
3.3.2 Livro 6 – Matemática para os cursos Clássico e Científico, 1o Ano, 9.
a Edição,
1955. Autor: Thales Mello Carvalho. ........................................................................... 108
3.3.3 Livro 7 – Matemática 2o Ciclo, 1
a Série, 8.
a Edição, 1956. Autores: Euclides
Roxo, Roberto Peixoto, Haroldo Cunha, Dacorso Netto. ............................................ 115
3.3.4 Livro 8 - Matemática Primeiro Ano Colegial, 6.a Edição, 1959. Autor: Ary
Quintella. ........................................................................................................................ 117
3.4 Década de 1960 ........................................................................................................... 123
3.4.1 Livro 9- Irmãos Maristas. Matemática Primeira Série Colegial. 1960. (Coleção
Didática FTD). ............................................................................................................... 124
3.4.2 - Livro 10- Exercícios e Problemas de Álgebra, Vol .I – Parte A, Para o Ciclo
Colegial e Exames Vestibulares às Escolas Superiores. Alberto Nunes Serrão, 4.a
Edição, 1966. .................................................................................................................. 129
3.4.3 Livro 11- Matemática Curso Colegial Moderno, 1.a Série Colegial. Scipione Di
Pierro Netto, Luiz Mauro Rocha, Ruy Madsen Barbosa, vol. 1, 1967. ....................... 135
3.5 Década de 1970 ........................................................................................................... 144
3.5.1 Livro 12- Matemática, 2.o Grau e vestibular. Remo L. Brunelli, 1972. .............. 145
3.5.2 Livro 13- Matemática na Escola Renovada, 1.a Série do 2.
o Grau (antigo
colegial). Scipione Di Pierro Netto, Célia Contin Góes, 1972 ..................................... 151
3.5.3 Livro 14- Matemática Segundo Grau. Damian Schor, José Guilherme Tizziotti.
Vol. 1, 1975. ................................................................................................................... 157
3.5.4 Livro 15- Tópicos de Matemática. Gelson Iezzi, Nilson J. Machado, Luiz Roberto
S. Castro, Márcio C. Goulart, Antônio S. Machado. Vol. 1, 1978. .............................. 161
4. O PRODUTO E SUA APLICAÇÃO .............................................................................. 169
4.1 Aplicação do produto ................................................................................................. 172
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 178
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 183
APÊNDICE A ....................................................................................................................... 190
APÊNDICE B ........................................................................................................................ 193
18
INTRODUÇÃO
Inicialmente, tomo a liberdade de escrever, não na forma impessoal dos verbos, como
é recomendado pelas normas de redação de trabalhos de pesquisa, mas, sim, na primeira
pessoa do singular, pois farei, neste primeiro momento, uma breve revisão da minha trajetória,
não apenas relembrando o meu caminho como estudante, mas também o meu percurso
profissional até os dias de hoje.
Minha infância foi vivida em uma pequena cidade do interior de Minas – Pirapetinga –
Minas Gerais – onde tudo era bastante restrito, inclusive as oportunidades na área
educacional. Cresci entre livros, cadernos, quadro, giz e um desejo enorme de ser professora.
A minha vida escolar começou muito cedo. Aos seis anos, eu já era aluna da primeira série.
Não fiquei no terceiro período, pois, quando entrei para a escola, já sabia ler, escrever e
dominava a tabuada e as operações básicas. Tudo isso me foi ensinado pelos meus pais.
Meu pai estudou e se formou em Contabilidade depois de casado e pai de dois filhos e,
minha mãe, costureira, cursou somente até a quarta série primária. A preocupação de ambos
era que eu chegasse à escola já sabendo muitas coisas que iriam ser ensinadas para que não
encontrasse dificuldade. O método usado pelos dois, para essa iniciação escolar, foi o método
da “decoreba” para a tabuada (vejo-me sempre entre as folhas da tabuada, andando pela casa
“cantando” alto os fatos para poder decorar), da prova dos nove para a verificação das
operações e da cartilha para a alfabetização. Lembro-me, até hoje: “O sapato é do vovô”.
“Vivi viu a uva”. Nas quatro primeiras séries do Ensino Fundamental, tive duas professoras:
D. Aparecida e D. Ivete. Foram exemplos de educadoras e me marcaram por toda minha vida.
Com seu carinho e dedicação, elas me incentivaram a ir atrás de um sonho: o de ser
professora.
Iniciei a quinta série na minha cidade. Logo depois, meus pais foram para Volta
Redonda, onde cursei sexta série. Nos dois últimos anos do Ensino Fundamental, já havíamos
mudado para a cidade de Mariana, na qual vivo atualmente e lá terminei os Ensinos
Fundamental e Médio.
Em 1978, aos 14 anos, iniciei o curso de Magistério, no Colégio Providência, onde
hoje atuo como professora do Ensino Médio. Aos 16 anos, terminei o Magistério; queria
lecionar. Não consegui, na época, devido à minha idade. Quando terminei o curso desejei
fazer vestibular na Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP. Eu me dediquei a aulas
particulares, fazendo umas substituições, aqui e ali, até completar 18 anos. Nos anos
19
seguintes, trabalhei com crianças na Educação Infantil e nos primeiros anos do Ensino
Fundamental, neste nível, trabalhei durante treze anos com crianças entre 9 e 10 anos,
lecionando Matemática e Ciências. A minha paixão pela Matemática já vinha desde muito
cedo e aumentou ainda mais nesse período.
Há muito desejava fazer um curso superior que atendesse às minhas expectativas. Na
região, nenhum curso me interessava até que surgiu, em Ouro Preto, o curso de Licenciatura
em Matemática. Já, aluna do curso de graduação em Matemática da UFOP, convivi com
professores que realmente se preocupavam com o ensino-aprendizagem da Matemática e
tinham um novo olhar sobre a educação. Fiquei muito entusiasmada. Durante os quatro anos
do curso, tive a oportunidade de conhecer novas propostas de ensino como as que o Projeto
Matemática na Escola vinha realizando com professores da cidade de Ouro Preto e Mariana.
Participei de vários congressos, encontros e Semanas da Licenciatura em Matemática. Foi
nessa época que me foi apresentado o termo Educação Matemática.
Em 2004, fui convidada pela Diretora do Colégio onde trabalhava para assumir quatro
turmas da 1a série do Ensino Médio. Foi um desafio! No princípio, enfrentei algumas
dificuldades que são comuns quando se inicia um novo trabalho. Diante de tudo isso e da
constante busca de melhorar minha formação, ingressei no curso de especialização em
Educação Matemática. Nesse curso... novas indagações foram surgindo.
Depois de terminada a especialização, muitas portas se abriram. Em fevereiro de 2005,
comecei a lecionar na Universidade Presidente Antônio Carlos – UNIPAC – Unidade Mariana
– lecionando para o curso de Normal Superior e Pedagogia. Muito do que estudei na
graduação e na Especialização me auxiliaram nesse novo desafio.
Lecionar para as turmas de Normal Superior e Pedagogia me levou a estudar mais e
procurar conhecer melhor como se dava o processo de ensino-aprendizagem de Matemática e
como possibilitar um maior o desenvolvimento do processo de formação de professores e
pedagogos que fossem capazes de atuar melhor nessa área.
Em agosto de 2005, fui convidada pela Faculdade de Administração de Mariana –
FAMA – para lecionar para o segundo período de Administração. A turma era formada por
alunos que tinham terminado o Ensino Médio há mais tempo. Foi uma experiência nova;
muito estudo e dedicação. Atualmente, leciono para os cursos de Engenharia Ambiental,
Produção e Civil, com as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I e II.
Em 2000, o professor Antônio Carlos Brollezzi, no curso de Licenciatura em
Matemática, dizia, em suas aulas, que o futuro seria daqueles educadores que soubessem usar
sua criatividade. Agora, como fazer surgir essa imaginação criadora em nós, educadores, e em
20
nossos alunos? Qual será a nossa prática de ensino, de agora em diante, com uma visão para o
que vier mais a frente?
Durante meu curso de Especialização, realizei um trabalho com professores de
Matemática e vi que muitos ainda não conheciam e, se conheciam, não utilizavam as novas
propostas para o ensino-aprendizagem de Matemática. A participação em eventos de caráter
científico, particularmente congressos e seminários sobre Educação Matemática, me
possibilitaram acompanhar as discussões atuais e pesquisas nessa área, verificando que há
muitas questões para serem estudadas.
É a busca constante por novas práticas pedagógicas, uma formação continuada e os
processos de ensino-aprendizagem em Matemática que me levaram, em 2015, a iniciar meus
estudos em um mestrado. O objetivo de fazer a inscrição no Programa de Pós-graduação em
Ensino de Ciências e Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais –
PUC-MINAS – foi aliar a minha prática profissional aos novos conhecimentos acadêmicos,
através de pesquisas e estudos acerca do ensino da Matemática. Afinal, reafirmando as
palavras de Paulo Freire (1998, p.40): “Sou professor a favor da boniteza de minha própria
prática, boniteza que dela some se não cuido do saber que devo ensinar”.
A escolha do tema
Atualmente, resido em Mariana, primeira cidade e capital de Minas Gerais, fundada
em 16 de julho de 1696 como arraial de Nossa Senhora do Carmo e elevada à cidade em
1745. Mariana abriga importantes riquezas do tempo do Brasil Colônia, ligadas à
religiosidade, à produção do ouro e do minério de ferro. Foi a primeira cidade planejada do
estado de Minas Gerais e isso é notado pelas suas ruas retas e praças retangulares. Nesta
cidade, está localizado o Seminário de Mariana, fundado em 20 de dezembro de 1750 onde se
encontra uma das bibliotecas de Filosofia e Teologia mais importantes do Brasil, não somente
pela diversidade de títulos, mas também pela grande quantidade de obras raras, ligadas a essas
duas áreas do conhecimento.
Dentro deste contexto, procuro explicitar uma das razões que me levaram a pesquisar
um tema relacionado com a história da Educação Matemática. É certo que o ambiente em que
moro e todo o contato direto com parte da história de Minas e do Brasil exerceram influência
na minha escolha. Outro ponto motivador para a realização dessa pesquisa foi uma conversa
que tive, durante as aulas do mestrado, com a minha orientadora, Elenice Zuin, após lhe
mostrar um livro, editado em 1971, dos autores Nicolau D`Ambrósio e Ubiratan D´Ambrósio,
pai e filho, tendo como título “Matemática Comercial e Financeira”. Nessa conversa, a
21
professora Elenice perguntou-me: “Já que você tem interesse por livros antigos de
Matemática, por que você não realiza uma investigação na qual algumas dessas obras sejam
suas fontes primárias?” Imediatamente, interessei-me pela proposta de trabalho, pois possuía,
em casa, obras de autores renomados tais como Ary Quintella, Manoel Jairo Bezerra e Thales
Mello de Carvalho. Verifiquei, em uma pesquisa na WEB, que outros livros poderiam ser
adquiridos com relativa facilidade. Adicionalmente, em Ouro Preto, há a Biblioteca de Obras
Raras na Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto. Dessa forma, as fontes já
estavam definidas e restava a escolha do tema central. Essa escolha também não foi difícil.
Como professora de Matemática em todas as séries do Ensino Médio, sempre percebi a
dificuldade de vários alunos com o conteúdo função exponencial e, dada a importância que
essa função apresenta hoje como ferramenta em vários ramos do conhecimento, senti-me
curiosa em estudar esse tema e perceber de que forma os livros didáticos o apresentavam.
Essa foi a minha motivação inicial e já com a certeza de que outras surgiriam, pois tenho um
interesse pessoal pela temática e a certeza de que é um conteúdo importante, aliado ao fato de
tratar-se de uma pesquisa que ofereceria uma farta documentação.
Na literatura, encontramos pesquisadores que estudaram sobre o conteúdo funções. Na
linha de pesquisa da História da Educação Matemática, podemos citar o trabalho “O processo
inicial de disciplinarização de função na Matemática do Ensino Secundário Brasileiro”, de
Ciro Braga, que estudou a inclusão de função nos programas oficiais de Matemática do ensino
secundário. Em outra linha de pesquisa, Sílvio Tadeu Teles da Silva estudou “O ensino das
funções exponencial e logaritmica por atividades” e conclui que é importante que o aluno
tenha conhecimento da definição da função exponencial e logaritmica. Raquel Taís Breunig e
Renan Gabbi utilizaram o jogo de xadrez para o ensino de função exponencial. Trata-se de um
relato de experiência, explorando uma representação teatral com a proposta de um problema
que é solucionado através de uma série de questionamentos, além de contar com um tabulerio
de xadrez e grãos de trigo. Os autores procuraram mostrar a importância de se realizar
atividades diferenciadas para estimular os alunos. O uso da modelagem no ensino de função
exponencial é título do trabalho de pesquisa de Cristina Maria Brucki, chegando à conclusão
que a modelagem possibilita uma aprendizagem reflexiva, uma vez que essa metodologia
facilita a participação do aluno e ativa o seu interesse.
É nossa expectativa estar colaborando com o presente trabalho no intuito de poder
oferecer um outro olhar para o entendimento e conhecimento da equação/função exponencial
como conteúdo escolar ao longo de cinco décadas.
22
Objetivo geral
O objetivo geral dessa pesquisa é verificar quais foram as alterações e/ou
continuidades no tópico equação/função exponencial nos livros analisados no período
delimitado entre 1930 e 1980.
Objetivos Específicos
Como objetivos específicos, destacamos:
Verificar quais foram as influências das reformas de ensino nos livros
didáticos;
Descrever como a equação/função exponencial era apresentada
conceitualmente entre os anos de 1930 e 1980;
Analisar os exercícios e problemas resolvidos e propostos;
Comparar as obras dos autores de livros didáticos de Matemática selecionados,
analisando o conteúdo equação/função exponencial.
Temos como hipótese que ao longo de cinco décadas houve modificações na forma de
exposição da equação/função exponencial, principalmente com o Movimento da Matemática
Moderna.
Justificativa
As pesquisas históricas referentes aos livros didáticos tiveram um grande impulso nos
últimos anos e o número de trabalhos de pesquisa nessa área tem demonstrado e reforçado a
importância dos mesmos como fontes para inúmeras respostas a questões do cotidiano
escolar. Uma dessas questões é procurar estabelecer uma conexão entre um conteúdo
específico de Matemática e a forma de abordagem nos livros durante a vigência de reformas
de ensino que ocorreram no Brasil. Essa conexão pode também ser estendida a outros
conteúdos e, deste modo, o presente trabalho poderá servir como mais uma referência para o
estudo e reflexão da metodologia utilizada pelos autores de obras de Matemática, com o
passar do tempo, acrescentando pontos para o desvelar da história dessa disciplina escolar, a
partir da discussão de conteúdos específicos, como função e equação exponenciais.
Do ponto de vista acadêmico, a presente pesquisa se estabelece como mais uma fonte
sobre a História da Educação Matemática e poderá agregar conhecimentos à questão já que a
história dos conteúdos é importante e desejável para a formação dos professores de
Matemática e áreas afins.
23
Esse trabalho apresenta o texto estruturado da seguinte maneira: logo após a
introdução, segue o primeiro capítulo que foi denominado “Suporte teórico”, subdividido em
quatro partes.
A primeira parte, denominada “Disciplinas escolares”, tem como objetivo mostrar a
relação teórico-metodológica entre a disciplina escolar e a cultura escolar. Também,
discutimos sobre a criação da disciplina Matemática.
Na segunda, denominada “reformas de ensino de 1930 a 1980”, apresentamos, de
forma introdutória o método intuitivo e o movimento escolanovista. Em seguida, mostramos
as reformas de ensino de 30 a 80, apresentando os pressupostos teórico-metodológicos das
reformas desse período. A terceira parte foi destinada ao importante Movimento da
Matemática Moderna, onde procuramos mostrar como esse movimento ocorreu no Brasil e as
consequências advindas no ensino da Matemática no Brasil.
A quarta parte destinou-se ao livro didático como fonte de pesquisa, ressaltando a
importância que o mesmo representa para pesquisadores como fonte de pesquisa.
No segundo capítulo, mostramos a metodologia utilizada para a análise das obras e no
terceiro capítulo faz-se análise do conteúdo equação/função exponencial, sendo esse capítulo
dividido em cinco partes, sendo cada uma delas destinada a uma década: década de 1930,
década de 1940, década de 1950, década de 1960 e década de 1970.
O programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas,
curso de Mestrado, exige a elaboração de um produto. Trata-se de um importante ponto do
curso, pois fornece ao mestrando uma possibilidade de oferecer ao mundo acadêmico e
profissional dos docentes mais elementos sobre o ponto de vista do ensino e aprendizagem da
Matemática. Em nosso caso, o produto foi intitulado como “Equação/função exponencial em
livros didáticos no Brasil (1930-1980)”, no qual abordamos as várias metodologias adotadas
por diferentes autores para apresentar o conteúdo em suas obras, além de suscitar uma
reflexão sobre a própria história dos conteúdos escolares, no período fixado. Nesse material,
trataremos de alguns aspectos históricos das funções de um modo geral, das reformas
ocorridas no Brasil no período de 1930 a 1980 e, de acordo com as tendências pedagógicas
nesse período, mostrar como alguns autores apresentaram aos alunos e leitores de modo geral
esse tema. No quarto capítulo, descrevemos esse produto e nesse mesmo capítulo falamos
sobre o minicurso apresentado a alunos do Curso de Especialização em Educação Matemática
do Instituto Federal de Minas Gerais.
Nas considerações finais, apresentamos nossas análises sobre os métodos utilizados
pelos diversos autores para apresentar o conteúdo que é tema desse trabalho.
24
1. SUPORTE TEÓRICO
1.1 Disciplinas escolares
Nos dicionários da Língua Portuguesa, encontra-se comumente o significado de
disciplina como sendo obediência aos preceitos, às regras; respeito a um regulamento;
submissão ou respeito às regras, às normas, àqueles que são seus superiores e, finalmente, diz
respeito à matéria ensinada na escola, ou seja, disciplina escolar. Esses são alguns conceitos
de disciplina que são utilizados no dia a dia das pessoas.
Lourenço Filho (2013), ao dissertar sobre as disciplinas escolares, inicia o seu texto
com três questões importantes e que norteiam toda a discussão sobre as Instituições Escolares:
“O que é, como e onde surge uma disciplina escolar?”. Essas questões, aparentemente
simples, trazem uma riqueza enorme de temas de pesquisa sobre vários pontos da Educação e
um deles é a história das disciplinas escolares que encontra suporte em várias pesquisas
desenvolvidas, envolvendo de modo particular a história da Matemática escolar.
O francês André Chervel1 em seu artigo “História das disciplinas escolares: reflexões
sobre um campo de pesquisa” relata que:
... demasiado vagas ou demasiado restritas, as definições que dela
[disciplina] são dadas de fato não estão de acordo a não ser sobre a
necessidade de encobrir o uso banal do termo, o qual não é distinguido de
seus “sinônimos”, como “matérias” ou “conteúdos” de ensino. A disciplina é
aquilo que se ensina e ponto final. (CHERVEL, 1990, p.177).
Revelando, deste modo, outros aspectos da disciplina escolar, o autor acrescenta que:
A disciplina escolar é então constituída por uma combinação, em proporções
variáveis, conforme o caso, de vários constituintes: um ensino de exposição,
os exercícios, as práticas de incitação e de motivação e um aparelho
docimológico, os quais, em cada estado da disciplina, funcionam,
evidentemente, em estreita colaboração, do mesmo modo que cada um deles
está, à sua maneira, em ligação direta com as finalidades (CHERVEL, 1990,
p. 207).
Pode-se perceber, assim, que a disciplina escolar é, verdadeiramente, a célula
fundamental do ensino, uma vez que engloba, conforme bem pontuado pelo autor, a
1 André Chervel é pesquisador do Service d’histoire de l’éducation - Institut National de Recherche
Pédagogoque, Paris, França.
25
existência de quatro pilares que sustentam todo o processo dinâmico do ensino, quais sejam:
exposição de conteúdos, os exercícios, a motivação que deve ser dada ao aluno, evitando um
ensino árido, que não fornece a percepção da importância do conhecimento e, por fim, as
avaliações (CHERVEL, 1990).
Chervel (1990) acredita que o acompanhamento da forma, ao longo dos anos, pela
qual uma disciplina escolar foi ministrada fornece parâmetros e dados importantes:
Desde que se compreenda em toda a sua amplitude a noção de disciplina,
desde que se reconheça que uma disciplina escolar comporta não somente as
práticas docentes da aula, mas também as grandes finalidades que presidiram
sua constituição e o fenômeno de aculturação em massa que ela determina,
então a história das disciplinas escolares pode desempenhar um papel
importante não somente na história da educação mas na história cultural
(CHERVEL, 1990, p. 184).
A pesquisa em História da Educação e na História da Educação Matemática pode
muito bem se alicerçar no estudo das apresentações dos vários conteúdos que foram
desenvolvidos nos livros didáticos ao longo dos anos.2
Para Chervel (1990, p. 188), os conteúdos sofrem transformações e a função das
disciplinas escolares “consiste em cada caso em colocar um conteúdo de instrução a serviço
de uma finalidade educativa.” Na concepção desse autor, existem duas finalidades: as
finalidades de objetivo e as finalidades reais. As primeiras são estabelecidas pela legislação,
enquanto, as últimas, são as escolares, aquelas pelas quais a escola ensina. Dentro deste
contexto, Chervel assevera:
A distinção entre finalidades reais e finalidades de objetivo é uma
necessidade imperiosa para o historiador das disciplinas. Ele deve aprender
distingui-las, mesmo que os textos oficiais tenham tendência a misturar umas
e outras. Deve sobretudo tomar consciência de que uma estipulação oficial,
num decreto ou numa circular, visa mais frequentemente, mesmo se ela é
expressada em termos positivos, corrigir um estado de coisas, modificar ou
suprimir certas práticas, do que sancionar oficialmente uma realidade
(CHERVEL, 1990, p. 190).
1.1.1 A criação da disciplina Matemática
O que se observou no Brasil até as três primeiras décadas dos 1900, segundo
pesquisadores como Valente (2003, 2004, 2007), Miorim (1995), Dassie (2008), o ensino de
2 Valente (2007, p. 29) advoga “a pesquisa em história da Educação Matemática está inscrita no campo da
história. Mais especificamente, ela reporta-se à História da Educação”.
26
Matemática era realizado de forma compartimentada e, aos alunos, eram apresentadas, ao
longo dos anos, no ensino secundário: Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria.3
Dessa forma, os livros didáticos eram específicos para cada um desses ramos, ou seja, não
havia um texto de Matemática único, abordando essas áreas (figura 1).
Há também a afirmação de que os conteúdos apresentados eram desligados do
cotidiano dos alunos, ou seja, não havia uma ligação entre o assunto apresentado e a vivência
prática do dia a dia ou alguma aplicação em outros ramos do conhecimento (DASSIE, 2008).
Figura 1 - Livros didáticos de Aritmética, Álgebra e Geometria da década de 1920
Fonte: Marin (1923); Coleção FTD (1925); Pereira (1927).
Concomitantemente, nos períodos que antecederam o ano de 1929, ocorreu um
movimento internacional que objetivou discutir o ensino de Matemática.
A primeira manifestação desse movimento ocorreu em Roma, em 1908, em um evento
internacional de Matemática. Nesse congresso, “pela primeira vez, matemáticos dão
importância a questões ligadas ao ensino” (VALENTE, 2005, p. 89). Foi criada, nesse
congresso, uma Comissão Internacional de Ensino da Matemática, IMUK4 que contava com
um comitê central dirigente ao qual pertenciam os matemáticos Félix Klein, Henri Fehr e
George Greenhill (VALENTE, 2005, p. 89).
No ano de 1912, foi realizado, em Cambridge, o V Congresso Internacional de
Matemática e, nesse evento, deliberou-se que o comitê constituído no congresso anterior
3 Também no ensino primário, as matérias eram separadas, não havia a “disciplina” Matemática.
4 Denominada em alemão por IMUK (Internationale Mathematische Unterrichtskommission) e, em francês, por
CIEM (Comission Internationale l’Enseignement Mathématique).
27
deveria elaborar relatórios “a respeito do estado da instrução matemática nos diversos países”
(VALENTE, 2005, p. 89). A partir desse mesmo evento, nasceu uma proposta de reforma do
ensino de Matemática.
No Brasil, essas questões ligadas à renovação do ensino de Matemática começaram a
ser discutidas apenas no final dos anos 1920. Essa estrutura de ensino da Matemática foi
questionada pelo professor Euclides Roxo5, importante educador brasileiro que, na época, era
Diretor do Colégio Pedro II e gerenciou toda a proposta de mudança, dirigida à Congregação
desse colégio e apresentou mudanças radicais no ensino da Matemática nessa escola. Essas
alterações tinham o objetivo de refletir na disposição dos conteúdos, na metodologia aplicada
e nas finalidades do ensino.
Figura 2 - Imagem de Euclides Roxo6
Fonte: Valente (2003).
Em 1929, é publicado no Diário Oficial da União o Decreto 18.564, de 15 de janeiro,
que dá o aceite à proposta modernizadora do Prof. Euclides Roxo:
Art. 1º Fica approvada a alteração da seriação do curso secundário, proposta
pela Congregação do Collegio Pedro II e homologada pelo Conselho
Nacional do Ensino, em sessão de 26 de julho de 1928, substituindo-se a
discriminação constante do art. 47 do citado regulamento pela seguinte:
5 Euclides de Medeiros Guimarães Roxo foi engenheiro civil, professor catedrático e diretor do Colégio Pedro II
além de Diretor do Ensino Secundário do Ministério da Educação e da Saúde. Nasceu em 1890 e faleceu em
1950 (DASSIE, 2008, p. 24). 6 Essa foto de Euclides Roxo foi digitalizada da capa do livro “Euclides Roxo e a modernização do ensino da
Matemática no Brasil”.
28
1º anno: 1) Portuguez, 2) Francez, 3) Mathematica, 4) Geographia Geral, 5)
Desenho;
2º anno: 1) Portuguez, 2) Latim, 3) Francez, 4) Inglez ou Allemão, 5)
Mathematica, 6) Chorographia do Brasil, 7) Desenho;
3º anno: 1) Portuguez, 2) Latim, 3) Francez, 4) Inglez ou Allemão, 5)
Historia Universal, 6) Mathematica, 7) Desenho;
4º anno: 1) Portuguez, 2) Latim, 3) Inglez ou Allemão, 4) Historia Universal,
5) Mathematica, 6) Phiysica, 7) Historia Natural, 8) Desenho, 9) Chimica;
5º anno: 1) Latim, 2) Phiysica 3) Chimica, 4) Historia Natural, 5)
Philosophia, 6) Cosmographia, 7) Instrucção Moral e Civica, 8) Historia do
Brasil;
6º anno: 1) Sociologia, 2) Historia da Philosophia, 3) Litteratura
(especialmente a brasileira e as das linguas latinas), 4) Italiano (facultativo),
5) Curso complementar de mathematica (para os alumnos que se destinem ás
escolas militares e Polytechnica), 6) Curso complementar de Sciencias
Physicas e Naturaes (para os alumnos que se destinem ás escolas de
Medicina), 7) Curso complementar de Geographia (Social e Economia).
(BRASIL, 1929).
As modificações trazidas pelo decreto 18.564 foram seguidas apenas pelo Colégio
Pedro II, uma vez que não existia uma legislação em nível nacional no campo da educação.
Para atender à legislação referente ao Colégio Pedro II, que preconizava a fusão dos
ramos Aritmética, Álgebra e Geometria, foram elaboradas três coleções: Como se aprende
Mathematica, em dois volumes, de Saverio Cristofaro, publicada a partir de julho de 1929; o
Curso de Mathematica Elementar, em três volumes, de Euclides Roxo (figura 3) a partir de
setembro de 1929; e, Mathematica, em três volumes, de Cecil Thiré e Mello e Souza, em
1930.
29
Figura 3 - Contracapa dos livros Como se aprende Mathematica e Curso de Mathematica Elementar
Fonte: Cristofaro (1925) e Roxo (1930).
É importante salientar, e pode-se comprovar no prefácio da obra de Saverio Cristofaro,
a preocupação em se adotar o programa oficial:
Temos o prazer de apresentar ao professorado dos cursos secundários o
presente trabalho. É o desenvolvimento do programma official de
Mathematica, para o primeiro anno gymnasila, approvado pela congregação
do Collegio D. Pedro II, e publicado a 24 de Março deste anno. Lembramos
a data, para mostrar que em tão curto espaço de tempo não nos teria sido
possível improvisar compendio desta natureza, se não tivessemos, quasi
prompta, toda a materia que o compõe. Prova isto virmos, de ha muito,
seguindo a orientação ora recomendada (CRISTOFARO, 1925, p.5).
No prefácio de sua obra, Euclides Roxo expressa, de forma clara, as novas diretrizes
para o ensino de Matemática. Enfatizando a importância do momento vivido no final dos anos
20 e dos novos rumos dirigentes, transcrevemos, da obra de Roxo (1930), algumas
considerações:
1- TORNAR ESSENCIALMENTE PREDOMINANTE O PONTO DE
VISTA PSICOLÓGICO. - Significa isso que o ensino não deve depender
unicamente da matéria ensinada, mas deve atender antes de tudo ao
indivíduo a quem se tem de ensinar. Um mesmo assunto deve ser exposto a
uma criança de seis anos de modo diferente porque o é a uma de dez e a esta
ainda de maneira diversa que a um homem maduro. Aplicado
particularmente ao ensino da matemática, esse princípio geral nos conduz a
30
começar sempre pela intuição viva e concreta e só pouco a pouco trazer ao
primeiro plano os elementos lógicos e adotar, de preferência, o método
genético, que permite uma penetração lenta das noções.
2- NA ESCOLHA DA MATÉRIA A ENSINAR TER EM VISTA AS
APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA AO CONJUNTO DE OUTRAS
DISCIPLINAS, - procurando aliviar o estudante de uma grande sobrecarga
de estudo cujo interesse é puramente formalístico e tornar o ensino mais
vivo e mais produtivo.
3- SUBORDINAR O ENSINO DA MATEMÁTICA À FINALIDADE DA
ESCOLA MODERNA: - “tornar os indivíduos moral e intelectualmente
aptos a cooperarem na obra da civilização hodierna, essencialmente
orientada para o sucesso prático”. Daí decorre a necessidade de se terem em
vista, no ensino da matemática, as suas aplicações às ciências físicas e
naturais e à técnica (ROXO, 1929, p. 7-8).
Nos próprios dizeres de Euclides Roxo, “essas três tendências apresentadas se
harmonizam e se fortalecem mutuamente” (ROXO, 1930).
Quanto às características citadas na obra e que são consequências dessas tendências,
Roxo (1930) ainda destaca no prefácio:
a) A fusão da aritmética, álgebra e geometria (incluída a trigonometria). A
esse respeito diz Klein: “Não quero dizer que essas partes devam ser
completamente fundidas, mas não devem ser tão separadas como sucede
hoje freqüentemente nas escolas, contra o que é natural: um exemplo
instrutivo é o estudo das proporções que primeiro se explicam
aritmeticamente e depois - muitas vezes sem nenhuma relação com o estudo
anterior - ensina-se novamente sob forma geométrica”. (...)
b) Introdução precoce da noção de função, que, para Klein, é o âmago do
moderno movimento de reforma apresentada - o que se não
didática de Euclides (“die starre euklidische Manier”) com deve perder de
vista – sob forma geométrica e expressa, eficazmente, pelas representações
gráficas, das quais diz Klein: “Penetram não somente através a grande
literatura moderna das ciências exatas, mas, pode-se dizer, surgem em todas
as cogitações da vida atual”. (...)
c) Abandono, em parte, da rígida a introdução da idéia da mobilidade de
cada figura, por meio da qual em cada caso particular, se torna
compreensível o caráter geral da geometria.
d) Introdução, desde cedo, de noções de coordenadas e de geometria
analítica, a qual “é acessível à compreensão dos meninos desde as primeiras
séries e, por isso, deveria penetrar em todo o ensino da Matemática”, ao
invés de, como se faz atualmente, ‘sobrepor-se como uma nova construção à
parte, ao estudo já concluído da geometria elementar’.
e) Introdução de noções de cálculo diferencial e integral, apoiadas de modo
preponderante em métodos geométricos, e, portanto, intuitivos.
f) Maior desenvolvimento do ensino do desenho projetivo e da perspectiva,
ainda em conexão com o estudo da geometria elementar.
g) A introdução de recursos de laboratório (constituindo o que os americanos
chamam “laboratory method”) como sejam regras graduadas, compassos,
instrumentos de medir ângulos (prancheta, trânsito, etc.), papel milimetrado,
esferas negras, balanças, termômetros, alavancas, planímetros, polias,
aparelhos de demonstração, figuras e sólidos de vidro, de fios de seda, etc.).
31
Esses recursos, aliados ao método heurístico, permitem a experimentação e
auxiliam a self-discovery, além de concorrerem para dar vivacidade e
interesse ao ensino e um certo apoio concreto e, talvez, um tanto divertido,
ao raciocínio do adolescente, ajudando-o a galgar, o mais suavemente
possível, a íngreme rampa da abstração matemática.
h) Finalmente, um princípio que preside a todos os que precedem, o método
histórico no desenvolvimento da Matemática, princípio pedagógico de
ordem geral, por todos francamente reconhecido mas raramente respeitado
(ROXO, 1930).
Essas inovações, experimentadas pelo ensino da Matemática, serão o alicerce para a
Reforma Francisco Campos, no primeiro período da Era Vargas, uma vez que o próprio
Euclides Roxo é convidado pelo Ministro da Educação e Saúde Pública para fazer parte de
uma comissão para a elaboração de um projeto de reforma do ensino secundário brasileiro.
O método heurístico se relaciona com a “arte” de inventar, de encontrar soluções para
os problemas. Deste modo, o método heurístico proposto, vinha com o objetivo de romper
com o ensino tradicional que se pautava em memorização. O aluno participante do processo
de ensino/aprendizagem como um agente ativo.
A seguir, faz-se uma descrição das principais reformas no ensino brasileiro a partir de
1930, finalizando em 1980.
1.2 Reformas de ensino de 1930 a 1980
Antes de dissertarmos sobre as principais reformas de ensino que ocorreram entre as
décadas de 30 e 80 dos Novecentos, daremos ênfase ao método de ensino-aprendizagem
denominado Método Intuitivo e sua relação com o movimento escolanovista, uma vez que foi
a partir da segunda década do século XX que o movimento da Escola Nova passou a ser
difundido no Brasil (ZUIN, 2016). Para Resende e Souza (2005), esse período representou
uma época importante para a educação, pois era entendida como uma via importante de
divulgação das ideias e propostas republicanas.
1.2.1 Método Intuitivo
Até o fim do século XIX, a escola ou pedagogia tradicional se fez presente de “modo
hegemônico”, segundo Silva (2012, p. 2). Nessa escola, a exposição de conteúdos era feita de
forma verbal pelo professor, sendo ele a autoridade máxima e a memorização era feita pela
repetição sem relação com o cotidiano. Silva destaca ainda como importantes características
dessa escola:
32
O aluno deve se empenhar para atingir êxito pelo próprio esforço. A
educação é entendida como processo externo. Neste contexto, prevalece a
transmissão de conhecimento, sendo a escola centrada numa formação moral
e intelectual. Dessa forma, é hierarquizada com normas rígidas de disciplina.
Em suma, se caracteriza pelo conteudismo, exercícios de fixação e
memorização (SILVA, 2012, p. 2).
A escola tradicional passa a ser questionada e, nas últimas décadas do século XIX,
muitos debates sobre o ensino apareceram (ZUIN, 2016). Nesse sentido, foram destaques as
discussões pedagógicas voltadas para um ensino diferente do que era praticado na escola
tradicional.
Já havia surgido, na Alemanha, no final do século XVIII, o denominado método
intuitivo que se baseava nas ideias do suíço Pestalozzi7, tendo também sua origem histórica
associada ao empirismo clássico de Bacon (SILVA, 2012). No Brasil, os princípios do
Método Intuitivo foram propagados, principalmente, através do manual Primeiras Lições de
Coisas8, cujo autor era Norman Allison Calkins. A obra foi traduzida para o português por
Rui Barbosa. As Primeiras Lições de Coisas constituiu-se em um texto que colaborou para a
difusão do método intuitivo no Brasil, assumindo importante função de orientação dos
professores (REMER; STENTZLER, 2009, p. 6338). A figura 4 ilustra a capa da obra citada9.
7 Johann Heinrich Pestalozzi (1746 –1827) era natural da Suiça e pensou o método de ensino intuitivo, contando
com os seus discípulos no trabalho de divulgação, tendo ganhado adeptos na Europa e Estados Unidos ao longo
do século XIX (ZUIN, 2016, p. 2). 8 Título original do livro: “Primary Object Lessons: training the senses and developing the faculties of children;
a manual of elementary instruction for parents and teachers”. 9 Exemplar referente à 40ª edição americana (1884), disponível na biblioteca da Fundação Casa de Rui Barbosa,
no endereço eletrônico < http://www2.senado.leg.br/bdsf/item/id/227357> Acessado em 30 de agosto de 2017.
33
Figura 4- Capa do Manual Primeiras Lições de Coisas
Fonte: http://www2.senado.leg.br/bdsf/item/id/227357.
Calkins afirma, logo no início da obra, que há uma sequência a ser seguida para a
formação das ideias que resumimos no texto a seguir:
1. É pelos sentidos que nos advém o conhecimento do mundo material. Os
primeiros objetos onde se exercem as nossas faculdades são as coisas e os
fenômenos do mundo exterior. 2. A percepção é a primeira fase da
Inteligência [...]. 3. A existência de uma noção no espírito nasce da
percepção das semelhanças e diferenças entre os objetos. [...]. 4. Todas as
faculdades medram, e robustecem a poder de exercício adequado: correndo o
risco de se debilitarem, se as sobrecarregamos, ou se as aplicamos a matérias
que não estejam ao seu alcance. 5. Algumas das energias mentais são tão
ativas e quase tão vigorosas no menino, quanto no homem: tais a sensação, a
percepção, a observação, a comparação, a simples retentiva e a imaginação.
Outras não chegam ao seu desenvolvimento cabal, antes que a criança toque
o período da madureza. Entre estas estão a razão, a memória filosófica e a
generalização. 6. O mais natural e saudável incentivo para obter, entre as
crianças a atenção e a aquisição de conhecimento, é associar a recreação ao
ensino. [...]. 7. É do bom ensino o inspirar contentamento à infância [...]. 8.
Os hábitos de atenção firme são permanentes mananciais de educação
intelectual [...]. Mas o grande segrêdo, para fixar a atenção das crianças, esta
em aguçarlhes a curiosidade, e satisfazer-lhes o amor de atividade [...]. 9. O
processo natural de ensinar parte do simples para o complexo; do que se
sabe, para o que se ignora; dos fatos, para as causas; das coisas, para os
nomes; das idéias, para as palavras; dos princípios para as regras
(CALKINS, 1886/1950, p. 2-3).
34
De acordo com Rocha & Santos (2016, p. 6), podemos verificar que “os Princípios,
mesmo servindo de base para a educação das crianças, devem seguir etapas significativas para
que o conhecimento do mundo material seja adquirido a partir dos sentidos.”
Para Zuin (2016), a implementação do método intuitivo exigiu novos materiais
escolares e, sendo o Brasil um país de dimensões continentais, muitas escolas não seguiram os
princípios do método. No entanto, “a grande exaltação das lições de coisas, o livro de Calkins,
as Conferências pedagógicas de Professores na Corte, atingiram positivamente os docentes,
trazendo para a instrução infantil, mudanças significativas e, em muitos locais, o ensino
assentado nos princípios jesuíticos passaria a ser coisa do passado” (ZUIN, 2016, p.2).
Essa metodologia, alicerçada na educação dos sentidos, na intuição e na observação
das coisas, passando, assim, a ser adotada por vários professores, despertou a reflexão sobre o
ensino, ativando a busca por mudanças focadas em outras propostas de ensino/aprendizagem.
Esse despertar por melhorias nos métodos de ensino, trouxe à tona, a partir do final do século
XIX, “a busca pela superação da concepção tradicional” (SILVA, 2012, p. 3).
1.2.2 Movimento escolanovista
A Escola Nova, na percepção de Zuin (2016), ganhou força a partir da segunda década
do século XX quando, então, vários estados brasileiros incluem na legislação, reformas para a
instrução. Esse modelo de Escola surge como proposta inovadora, contrária à Escola
Tradicional, onde o professor é o mediador da aprendizagem, proporcionando ao aluno a
oportunidade para a realização do seu desenvolvimento psicológico e de sua auto-realização,
pois o que anteriormente realizava o simples papel de ouvinte passivo, sem expressão, sem
luz (na própria etimologia da palavra aluno), agora seria um “agente ativo, criativo e
participativo no ensino aprendizagem” (SILVA, 2012, p.3).
Dessa forma, essa “nova” escola, nos dizeres de Zuin (2016), também denominada
Escola Ativa ou Escola Progressiva, trazia novos princípios que são descritos por Peres
(2002, p. 11-12):
na autonomia dos educandos, na atividade espontânea, no auto-governo, na
experiência pessoal da criança, na liberdade, na criatividade, na
individualidade e nos métodos ativos. A escola Ativa seria, então, a escola
da espontaneidade, da expressão criadora, da liberdade. (...) Todo o
formalismo da escola e todas as práticas que estivessem à margem da vida
deveriam ser banidas definitivamente dos meios educacionais (PERES,
2002, apud ZUIN 2016, p.3).
35
Figueira (2010, p. 17) afirma que esse movimento, além de ser contrário ao
reducionismo intelectual por meio da memorização, criticava o Método Intuitivo por basear
suas atividades em práticas sensoriais rotineiras. Assim, “propunha uma escola mais livre e
formativa, centrada no desenvolvimento da experiência do aluno” (FIGUEIRA, 2010, p. 17).
Um dos principais representantes da Escola Nova foi John Dewey10
. Dewey
influenciou educadores de todo o mundo, incluindo brasileiros, com o método de ensino,
denominado por ele mesmo de experiência reflexiva, princípio unificador que auxiliaria os
educadores no ensino (FIGUEIRA, 2010). As duas principais obras de Dewey foram
publicadas no Brasil em 1930, com o título Como pensamos e, em 1936, Democracia e
Educação (FIGUEIRA, 2010, p. 17). Nessas publicações, o autor mostra que o pensamento
reflexivo se desenvolve através da curiosidade, isto é, através da possibilidade de estabelecer
novos contatos, buscando novos objetos. Instalam-se as situações-problemas que são as
apresentações de dificuldades que serão o incentivo para a busca de possíveis soluções a
serem experimentadas. Figueira (2010, p.18) notifica, ainda, que:
Nessas situações, a criança passa, por meio da observação direta dos sentidos
(percepção) ou de lembranças passadas de observações previamente feitas
por ela mesma ou por outra pessoa em outro momento (memória), a colher
fatos, isto é, dados (material a ser interpretado, considerado e explicado). A
posse destes dados lhe permite averiguar as condições nas quais se encontra
para, posteriormente, levantar sugestões sobre os cursos possíveis de ações
em busca de soluções. Para tanto, com os dados em mãos, passa, diante da
diversidade e da possível contradição que poderá existir entre os fatos e sua
relação com as sugestões, quando considerada a solução buscada, a escolher,
eliminar, ou conservar aqueles que sejam importantes como prova daquilo
que deseja alcançar, discernindo uns dos outros e atribuindo a eles valores e
juízos (FIGUEIRA, 2010, p. 17).
Percebemos, a partir daí, que o professor passa a exercer o papel de guia para o
aprendizado, oferecendo atividades que despertem o interesse do educando e, mais que isso, o
educando deve retirar algum significado para sua vida.
No Brasil, educadores da Escola Nova, dentre eles Anísio Teixeira, Fernando de
Azevedo e Lourenço Filho publicaram, em 1932, o Manifesto dos Pioneiros da Educação
Nova, motivados pela “esperança de democratizar e transformar a sociedade por meio da
escola pública, laica e pautada em um novo modelo pedagógico” (FIGUEIRA, 2010, p. 19).
Podemos extrair, logo das primeiras linhas desse manifesto, a preocupação dos educadores
10
John Dewey (1859-1952) foi filósofo e pedagogo norte americano.
36
que o idealizaram com a devida valorização a ser dada à Educação pelos que governavam a
nação:
Na hierarquia dos problemas nacionais, nenhum sobreleva em importância e
gravidade ao da educação. Nem mesmo os de caráter econômico lhe podem
disputar a primazia nos planos de reconstrução nacional. Pois, se a evolução
orgânica do sistema cultural de um país depende de suas condições
econômicas, é impossível desenvolver as forças econômicas ou de produção,
sem o preparo intensivo das forças culturais e o desenvolvimento das
aptidões à invenção e à iniciativa que são os fatores fundamentais do
acréscimo de riqueza de uma sociedade. (AZEVEDO et al.., 1984, p. 407).
O manifesto demonstra, de forma veemente, a função e obrigação do Estado em
oferecer uma Escola Pública de qualidade a todo cidadão quando relata:
Assentado o princípio do direito biológico de cada indivíduo à sua educação
integral, cabe evidentemente ao Estado a organização dos meios de o tornar
efetivo, por um plano geral de educação, de estrutura orgânica, que torne a
escola acessível, em todos os seus graus, aos cidadãos a quem a estrutura
social do país mantém em condições de inferioridade econômica para obter o
máximo de desenvolvimento de acordo com as suas aptidões vitais.
(AZEVEDO et al.., 1984, p. 413).
Chega-se, dessa forma, ao princípio da escola para todos, única, independente da
condição social do cidadão.
O manifesto conclama também a favor de uma escola laica, gratuita e obrigatória:
A laicidade, gratuidade, obrigatoriedade e coeducação são outros tantos
princípios em que assenta a escola unificada e que decorrem tanto da
subordinação à finalidade biológica da educação de todos os fins particulares
e parciais (de classes, grupos ou crenças), como do reconhecimento do
direito biológico que cada ser humano tem à educação. A laicidade, que
coloca o ambiente escolar acima de crenças e disputas religiosas, alheio a
todo o dogmatismo sectário, subtrai o educando, respeitando-lhe a
integridade da personalidade em formação, à pressão perturbadora da escola
quando utilizada como instrumento de propaganda de seitas e doutrinas. A
gratuidade extensiva a todas as instituições oficiais de educação é um
princípio igualitário que torna a educação, em qualquer de seus graus,
acessível não a uma minoria, por um privilégio econômico, mas a todos os
cidadãos que tenham vontade e estejam em condições de recebê-la. Aliás o
Estado não pode tornar o ensino obrigatório, sem torná-lo gratuito. A
obrigatoriedade que, por falta de escolas, ainda não passou do papel, nem em
relação ao ensino primário, e se deve estender progressivamente até uma
idade conciliável com o trabalho produtor, isto é, até aos 18 anos, é mais
necessária ainda "na sociedade moderna em que o industrialismo e o desejo
de exploração humana sacrificam e violentam a criança e o jovem", cuja
37
educação é freqüentemente impedida ou mutilada pela ignorância dos pais
ou responsáveis e pelas contingências econômicas. (AZEVEDO et al.., 1984,
p. 413-414).
Realmente, na Escola Nova, o aluno passa a ser o centro de convergência das atenções
dos gestores governamentais e dos professores. Consequentemente, os manuais de ensino
baseados no Método Intuitivo são criticados como instrumentos de apoio, pois se pensava não
ser aconselhável ter uma prática pedagógica padrão, frente às necessidades diferenciadas de
aluno por aluno (FIGUEIRA, 2010).
Segundo Figueira (2010), a divulgação do movimento da Escola Nova e suas
características se deu através do aparecimento de literatura especializada, de autores
brasileiros e estrangeiros após a publicação das reformas educacionais.
Valdemarin (2008, p. 20) aponta que os princípios escolanovistas divulgados
priorizaram “o estabelecimento das novas bases teóricas, descrevendo as iniciativas
metodológicas delas decorrentes, não descrevendo modelos de como ensinar, mas
asseverando a diversidade de possibilidades já implementadas”. O cuidado com a leitura dos
professores foi, dessa forma, o modo escolhido pelos escolanovistas para a divulgação dos
novos princípios. Citamos, aqui, o grande educador brasileiro Lourenço Filho11
, que também
organizou a Biblioteca da Educação12
que foi fonte de publicação de:
Eminentes catedráticos ligados aos problemas básicos da educação e do
ensino estão presentes nesta Série que se destina, não só a professores e
estudantes, mas também a quantos se interessam pelos problemas
fundamentais da Educação (LOURENÇO FILHO, 1978, contracapa).
11
Manoel Bergström Lourenço Filho nasceu em 1897 e faleceu em 1970. Normalista pelas escolas normais de
Pirassununga e da Praça da República, formou-se também em Direito. Foi Diretor da Escola de Professores do
Distrito Federal e Diretor do INEP que, então, era denominado Instituto Nacional de Pedagogia. Publicou o livro
Introdução ao Estudo da Escola Nova que está entre as edições e tiragens de livros mais difundidos entre 1928 e
1979 (MONARCHA, 2010). 12
A Biblioteca da Educação foi uma coleção organizada por Lourenço Filho no período compreendido entre
1927 e 1940. No acervo existente no Centro de Referência para Pesquisa Histórica em Educação (Faculdade de
Ciências e Letras de Araraquara – UNESP) e também no acervo presente na Escola Estadual Dr. Álvaro Guião
(São Carlos – S.P.), podem ser encontradas vinte e nove obras publicadas por esta coleção. Foi um dispositivo
estratégico para a formação de professores nas décadas compreendidas entre 1927 e 1940 (OLIVEIRA, 2015, p.
18-19).
38
Figura 5- Publicações da Biblioteca da Educação
Fonte: LOURENÇO FILHO (1978, contracapa).
Este mesmo educador escreveu a obra Introdução ao estudo da Escola Nova,
considerada uma das principais obras responsáveis pela divulgação de todas as correntes
renovadoras da educação. Este livro contou com várias edições, pois foi muito difundido no
período entre 1927 e 1979 e passou a ser uma referência acadêmica obrigatória, sobretudo nos
cursos de formação do Magistério e nas Faculdades de Filosofia, Ciências e Letras.
(FIGUEIRA, 2010). Assim está escrito no Prólogo da Editora:
Este livro do Prof. Lourenço Filho foi pela primeira vez publicado no ano de
1929, pela Seção Editora da Companhia Melhoramentos de São Paulo, cuja
produção passou mais tarde a ser identificada com a rubrica “Edições
Melhoramento”. Embora constituísse volume de pequenas dimensões, estava
destinado a ter repercussão singular. De fato, em nosso país foi a primeira
obra pedagógica a despertar a atenção do grande público, como também a
primeira no gênero, de autor nacional, a circular em mais de uma versão no
estrangeiro (LOURENÇO FILHO, 1978, p. 9).
1.2.3 A Reforma Francisco Campos
Na década de 1920, o Brasil vivia uma crise generalizada, fruto de uma recessão
econômica que se desencadeou pelas baixas no preço do café, principalmente. Os
investimentos estrangeiros no país, após a Primeira Guerra Mundial, foram reduzidos.
39
Simultaneamente, havia uma grave crise mundial. Dessa forma, até mesmo as elites da época
foram atingidas, vendo suas rendas reduzidas. Com essa insatisfação, instalou-se, em pouco
tempo, um risco à ordem vigente, pois havia a possibilidade de uma ruptura política que se
instaurou no momento em que o país se preparava para escolher o presidente no período de
1930 a 1934. Como candidatos, o paulista Júlio Prestes e o gaúcho Getúlio Vargas, pela
Aliança Liberal, apoiada pelo movimento tenentista13
. Com a vitória de Júlio Prestes, houve
denúncias de fraudes, desencadeando um processo revolucionário com o assassinato do vice
de Vargas, João Dantas. Dessa forma, o então presidente, Washington Luis, foi deposto e
assumiu, no dia 3 de fevereiro de 1930, Getúlio Vargas como chefe do Governo Provisório
(BRAICK, MOTA, 2007).
O então Governo Provisório instituiu o Ministério da Educação e da Saúde Pública
que já existira no início da República, porém, com curta duração. Na época, o primeiro
Ministro da Educação e Saúde Pública, Francisco Campos, instituiu seis decretos, efetivando
a chamada reforma que ficou conhecida como Reforma Francisco Campos:
Decreto n.o 19.850, de 11 de abril de 1931, que instituía o Conselho Nacional de
Educação.
Decreto n.o 19.851, de 11 de abril de 1931, que dispunha sobre a organização do
ensino superior no Brasil e abarca o regime universitário.
Decreto n.o 19.852, de 11 de abril de 1931, que dispõe sobre a organização da
Universidade do Rio de Janeiro.
Decreto n.o 19.890, de 18 de abril de 1931, que regulamentava a organização do
ensino secundário.
Decreto n.o 20.158, de 30 de junho de 1931, que organizava o ensino comercial,
fornece regulamentação à profissão de contador e fornece outras providências.
Decreto n.o 21.241, de 4 de abril de 1932, que consolidava as disposições sobre a
organização do Ensino Secundário.
Na exposição de motivos que acompanhou o último decreto, Francisco Campos
ressaltou o caráter inovador da proposta elaborada, deixando claro, no decreto número 21241,
os objetivos que realmente deveriam nortear os rumos da educação no Brasil:
13 Rebeliões de cunho político-militar realizadas por jovens oficiais do Exército Brasileiro. A série de rebeliões militares
deu-se no início da década de 20, quando jovens militares de baixa e média patente começaram a incitar reformas políticas
no Brasil (http://www.historiabrasileira.com/brasil-republica/tenentismo/).
40
A finalidade exclusiva do ensino secundário não há de ser a matrícula nos
cursos superiores; o seu fim, pelo contrário, deve ser a formação do homem
para todos os grandes setores da atividade nacional, constituindo no seu
espírito todo um sistema de hábitos, atitudes e comportamento que o
habilitem a viver por si e tomar, em qualquer situação, as decisões mais
convenientes e mais seguras (BRASIL apud ROMANELLI, 1980, p. 135).
Romanelli (1980) afirma que:
[...] a Reforma Francisco Campos teve o mérito de dar organicidade ao
ensino secundário, estabelecendo definitivamente o currículo seriado, a
frequência obrigatória, dois ciclos, um fundamental e outro complementar, e
a exigência de habilitação neles para o ingresso no ensino superior. Além
disso, equiparou todos os colégios secundários oficiais ao Colégio Pedro II,
mediante a inspeção federal e deu a mesma oportunidade às escolas
particulares que se organizassem, segundo o decreto, e se submetessem à
mesma inspeção (ROMANELLI, 1980, p. 135).
Através da Reforma Francisco Campos, pelo seu artigo 1º, o ensino secundário
oficialmente reconhecido, seria ministrado no Colégio Pedro II e em estabelecimentos sob
regime de inspeção oficial. O ensino secundário ficou dividido em dois ciclos, sendo um
fundamental, de 5 anos, e o outro, complementar, de 2 anos. Pelo artigo 18º, era necessário o
exame de admissão para o candidato ingressar no secundário e, pelo artigo 19º, a idade mínica
era de 11 anos e, no caso do internato não poderia exceder a idade de 13 anos.
O ciclo fundamental ficou obrigatório para o ingresso em qualquer escola superior e, o
segundo ciclo, obrigatório em algumas escolas. Dessa forma, para esse ciclo complementar,
foi efetuada uma subdivisão que compreendia “um certo grau de especialização, conforme se
tratasse de curso preparatório para ingresso nas Faculdades de Direito, Ciências Médicas e
Engenharia”. (ROMANELLI, 1980, p. 135).
O artigo terceiro do Decreto 21.241 distribui as disciplinas do Curso Fundamental em
cinco anos de acordo com a seguinte seriação:
1ª série: Português - Francês - História da Civilização - Geografia -
Matemática - Ciências físicas e naturais - Desenho - Música (canto
orfeônico).
2ª série: Português - Francês - Inglês - Hitória da Civilização - Geografia -
Matemática - Ciências físicas e naturais - Desenho - Música (canto
orfeônico).
3ª série: Português - Francês - Inglês - História da Civilização - Geografia -
Matemática - Física - Química - História Natural - Desenho - Música (canto
orfeônico).
41
4ª série: Português - Francês - Inglês - Latim - Alemão (facultativo) -
História da Civilização - Geografia - Matemática - Física - Química -
Historia Natural - Desenho.
5ª série: Português - Latim - Alemão (facultativo) - História da Civilização -
Geografia - Matemática - Física - Química - Historia Natural - Desenho.
(BRASIL, 1932).
Para o Curso Complementar, objetiva-se a preparação para as Faculdades de Direito,
Faculdades de Medicina, Odontologia e Farmácia e Faculdades de Engenharia e Arquitetura.
O artigo quarto, do referido decreto, estabelece:
O curso complementar obrigatório para os candidatos à matrícula em
determinados institutos de ensino superior, será feito em dois anos de estudo
intensivo, com exercícios e trabalhos práticos individuais, e compreenderá as
seguintes disciplinas: Alemão ou Inglês, Latim, Literatura, Geografia,
Geofísica e Cosmografia, História da Civilização, Matemática, Física,
Química, História Natural, Biologia Geral, Higiene, Psicologia e Lógica,
Sociologia, Noções de Economia e Estatística, História da Filosofia e
Desenho. (BRASIL, 1932).
Pode-se observar que o ciclo fundamental procurou fornecer uma formação básica
geral, enquanto, o complementar, buscou estruturar-se como um curso propedêutico
(ROMANELLI, 1980).
Quanto aos programas de Matemática e suas instruções pedagógicas, a Reforma
Campos, através de Euclides Roxo, implementa as inovações que vinham sendo realizadas de
forma paulatina no Colégio Pedro II, a partir de 1929, por iniciativa do próprio Roxo. As
instruções pedagógicas apresentavam como pontos-chave a aplicação do método heurístico, as
junções entre os pontos de vista aritmético, algébrico e geométrico, a inter-relação da
Matemática com outras disciplinas, tendo a noção de função como ideia central do ensino
(ALVAREZ, 2004, p. 30).
As orientações metodológicas da Reforma Francisco Campos para a disciplina
Matemática, segundo Alvarez (2004, p. 120):
frisavam o uso da intuição, principalmente nas séries iniciais, primeira e
segunda. A exposição formal seria introduzida gradativamente. A princípio,
os conhecimentos deveriam ser adquiridos pela experimentação e percepção
sensorial. O estudo da geometria deveria ser precedido por um curso
propedêutico de caráter intuitivo e experimental...
O método heurístico, também orientado pela reforma, destacava que o próprio aluno
fosse capaz de enunciar as regras e propriedades dos conceitos em estudo e isso seria possível
42
a partir da resolução de problemas pelo aluno. Esse método foi caracterizado na reforma da
seguinte maneira:
O ensino se fará, assim, pela solicitação constante da atividade do aluno
(método heurístico), de quem se procurará fazer um descobridor e não um
receptor passivo de conhecimentos. Daí a necessidade de se renunciar
completamente à prática de memorização sem raciocínio, ao enunciado
abusivo de definições e regras e ao estudo sistemático das demonstrações já
feitas. Ao invés disso, deve a matéria ser levada ao conhecimento do aluno
por meio da resolução de problemas e de questionários intimamente
coordenados. Assim os problemas não se devem limitar a exercícios dos
assuntos ensinados, mas cumpre sejam propostos como processo de orientar
a pesquisa de teoremas e de desenvolver a presteza na conclusão lógica.
(BICUDO, 1942, p. 157 apud ALVAREZ, 2004, p. 17).
A reforma propõe, então, que o conteúdo deve ser ensinado de forma que o ponto de
partida seja a intuição e o professor deveria conduzir as atividades de modo que o aluno
conseguisse, se possível, descobrir, por si só, as verdades matemáticas, deixando de ser um
mero receptor passivo de conhecimentos.
Os programas de Matemática, para o curso fundamental, implantados pela Reforma
Francisco Campos foram assim estabelecidos14
:
Primeira Série
Iniciação geométrica
Principais noções sobre formas geométricas; Área do quadrado, retângulo, paralelogramo,
triângulo e trapézio; circunferência e área do circulo; Volumes do paralelepípedo retângulo, do
cubo, do prisma triangular, do cilindro e do cone circular (retos). Fórmulas;
Aritmética
Prática das operações fundamentais. Cálculo abreviado. Exercício de cálculo mental; Noção
de múltiplo e de divisor. Caracteres de divisibilidade; Decomposição em fatores primos;
aplicação ao m. d. c. e ao m. m. c.; Frações ordinárias e decimais. Operações com as frações.
Explicação objetiva pelo fracionamento de objetos ou de grandezas geométricas; Sistema
métrico decimal. Prática das medidas de comprimento, superfície, volume e peso; Sistema
inglês de pesos e medidas; Quadrado e raiz quadrada de números inteiros e decimais;
aproximação no cálculo da raiz; Traçado de gráficos.
Álgebra
Símbolos algébricos; fórmulas; noção de expoente; Números relativos ou qualificados.
Operações. Explicação objetiva das regras dos sinais; Cálculo do valor numérico de monômios
e polinômios. Redução de termos semelhantes; adição e subtração; Multiplicação de
monômios e polinômios, em casos simples. Explicação objetiva pela consideração de áreas;
Potências de monômios. Quadrado de um binômio; Primeira noção de equação com uma
incógnita; resolução de problemas numéricos simples.
Segunda Série
Iniciação geométrica
14
Dassie (2008)
43
Noção de ângulo e de rotação; ângulos adjacentes, complementares, suplementares, opostos
pelo vértice; Medida dos ângulos. Uso do transferidor; Paralelas e perpendiculares; problemas
gráficos sobre seu traçado; Triângulos: alturas, medianas, e bissetrizes; soma dos ângulos
internos e externos; Estudo sucinto dos quadriláteros; Noções sobre figuras semelhantes;
escala; Medida indireta das distâncias; Razões entre lados de um triângulo retângulo. Seno,
coseno e tangente de ângulo agudo. Uso de tabelas de senos, co-senos e tangentes
naturais.
Aritmética e Álgebra
Noção de função de uma variável independente. Representação gráfica; Estudo das funções
𝑦 = 𝑎𝑥 e 𝑦 = 𝑎/𝑥; exemplos; Proporções e suas principais propriedades; Resolução de
problemas sobre grandezas proporcionais. Porcentagens, juros, desconto (comercial), divisão
proporcional, câmbio; Equações do 1º grau com uma incógnita. Problemas. Interpretação das
soluções negativas; Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas. Problemas;
Representação gráfica da função linear de uma variável. Resolução gráfica de um sistema de
duas equações com duas incógnitas; Divisão algébrica. Expoente zero. Expoente negativo;
Decomposição em fatores; Frações algébricas. Simplificações.
Terceira Série
Aritmética e Álgebra
Equações e problemas de 1º grau com uma ou mais incógnitas.; Desigualdade do 1º grau;
Potências e raízes; Estudo das funções 𝑦 = 𝑥𝑚, 𝑦 = 1/𝑥𝑚 e 𝑦 = √𝑥; representação gráfica;
Cálculo dos radicais. Expoentes fracionários; Trinômio do 2º grau; Equação do 2º grau.
Resolução gráfica; resolução analítica. Discussão: propriedades das raízes; Desigualdades do
2º grau.
Geometria
Conjunto de proposições fundamentais que servem de base à Geometria dedutiva. Noções
sobre deslocamentos elementares no plano; translação e rotação de figuras. Simetria; Estudo
de triângulos; Estudo dos polígonos; soma dos ângulos internos e externos; Noção e
exemplares de lugar geométrico; Círculo; propriedades dos arcos e cordas. Tangente e normal;
Medidas dos ângulos; Linhas proporcionais; linhas proporcionais no triângulo; Semelhança;
homotetia; Relações métricas no triangulo; Relações métricas no círculo. Média proporcional.
Quarta Série
Aritmética e Álgebra
Equações biquadradas e equações irracionais; Problemas do 2º grau; discussão; Progressão
aritmética. Propriedades. Interpolação; Progressão geométrica. Propriedades. Interpolação;
Estudo da função exponencial; Logaritmos; propriedades. Uso das tábuas; Régua
logarítmica; Juros compostos; unidades.
Geometria; Polígonos regulares; relação métrica nos polígonos regulares; Medida da
circunferência; cálculo de pi (método dos perímetros); Áreas equivalentes; relação entre áreas
de figuras semelhantes; Retas e planos no espaço; Ângulos poliedros. Triedros suplementares;
Prisma e pirâmides; Cilindro e cone; Esfera. Seções planas. Pólos; plano tangente; cone e
cilindro circunscritos; Noção sobre geração e classificação das superfícies; superfícies
regradas, de revolução, desenvolvíveis. As funções circulares; relações entre essas funções.
Gráficos; Expressões da tangente, cotangente, secante e co-secante em função do seno e co-
seno e tangente da soma de dois ângulos, do dobro de um ângulo, da metade de um ângulo.
Quinta Série
Aritmética, Álgebra e Geometria
Resolução de triângulos retângulos, prática das tábuas de logaritmos; Casos simples de
resolução de triângulos obliquângulos; Noções de análise combinatória; Binômio de Newton
(caso de expoente inteiro e positivo); Derivada de um polinômio inteiro em x; Noção de
limite. Derivada de √𝑥 . Derivada de seno de x, co-seno de x, tangente de x e cotangente de x;
44
Interpretação geométrica da noção de derivada. Aplicação da noção de derivada ao estudo da
variação de algumas funções simples; Processos elementares de desenvolvimento em série;
convergência de uma série; Desenvolvimento em série do seno, co-seno e tangente; Problema
inverso da derivação. Primitivas imediatas. Aplicação ao cálculo de certas áreas; Volumes do
prisma e do cilindro; da pirâmide, do cone e dos respectivos troncos. Volume da esfera e suas
partes; Estudo sucinto das seções cônicas. (BRASIL apud DASSIE, 2008, p. 248).
Verifica-se que, o estudo da função exponencial ficou localizado no programa da
quarta série.
1.2.4 A Reforma Capanema
A 9 de abril de 1942, por iniciativa do então ministro de Getúlio Vargas, Gustavo
Capanema, era promulgada a denominada Lei Orgânica do Ensino Secundário, mediante o
Decreto-lei n. 4244 . Na exposição de motivos, Gustavo Capanema assim se pronunciou:
É que o ensino secundário se destina à preparação das individualidades
condutoras, isto é, dos homens que deverão assumir as responsabilidades
maiores dentro da sociedade e da nação, dos homens portadores das
concepções e atitudes espirituais que é preciso infundir nas massas, que é
preciso tornar habituais entre o povo. Ele deve ser, por isto, um ensino
patriótico por excelência, e patriótico no sentido mais alto da palavra, isto é,
um ensino capaz de dar aos adolescentes a compreensão da continuidade
histórica da pátria, a compreensão dos problemas e das necessidades, da
missão e dos ideais da nação, e bem assim dos perigos que a acompanhem,
cerquem ou ameacem, um ensino capaz, além disto, de criar, no espírito das
gerações novas, a consciência da responsabilidade diante dos valores
maiores da pátria, a sua independência, a sua ordem, o seu destino.
(BRASIL, 1942).
Pelo artigo 5º do decreto-lei, determinava-se dois tipos de estabelecimentos de ensino
secundário, o ginásio e o colégio e, pelo parágrafo 2º, o ensino secundário passaria a ser
ministrado em dois ciclos – o primeiro compreenderia um só curso: o curso ginasial,
enquanto, o segundo, dois cursos paralelos: clássico e científico. Para Romanelli (1980), estes
dois últimos cursos não apresentavam, pelo currículo, nenhum caráter de especialização. Na
exposição de motivos do referido decreto, destacamos os seguintes dizeres:
Quanto aos dois cursos do segundo ciclo, o clássico e o científico, é de notar
que não constituem dois rumos diferentes da vida escolar, não são cursos
especializados, cada qual com uma finalidade adequada a determinado setor
dos estudos superiores. A diferença que há entre eles é que, no primeiro, a
formação intelectual dos alunos é marcada por um acentuado estudo das
letras antigas, ao passo que, no segundo, a maior acentuação cultural é
proveniente do estudo das ciências. Entretanto a conclusão tanto de um
quanto de outro dará direito ao ingresso em qualquer modalidade de curso do
ensino superior (Exposição de Motivos) (BRASIL, 1942, p. 3).
45
Para o ginásio, as disciplinas ficaram assim distribuídas (Art. 22):
Primeira série: 1) Português. 2) Latim. 3) Francês. 4) Matemática. 5)
História geral. 6) Geografia geral. 7) Trabalhos manuais. 8) Desenho. 9)
Canto orfeônico.
Segunda série: 1) Português. 2) Latim. 3) Francês. 4) Inglês. 5) Matemática.
6) História geral. 7) Geografia geral. 8) Trabalhos manuais. 9) Desenho. 10)
Canto orfeônico.
Terceira série: 1) Português. 2) Latim. 3) Francês. 4) Inglês. 5) Matemática.
6) Ciências naturais. 7) História do Brasil. 8) Geografia do Brasil. 9)
Desenho. 10) Canto orfeônico.
Quarta série: 1) Português. 2) Latim. 3) Francês. 4) Inglês. 5) Matemática. 6)
Ciências naturais. 7) História do Brasil. 8) Geografia do Brasil 9) Desenho.
10) Canto orfeônico. (BRASIL, 1942).
Para o curso clássico:
Primeira série : 1) Português. 2) Latim. 3) Grego. 4) Francês ou inglês 5)
Espanhol. 6) Matemática. 7) História geral. 8) Geografia geral.
Segunda série: 1) Português. 2) Latim. 3) Grego. 4) Francês ou inglês 5)
Espanhol. 6) Matemática. 7) Física. 8) Química. 9) História geral. 10)
Geografia geral.
Terceira série: 1) Português. 2) Latim. 3) Grego. 4) Matemática. 5) Física. 6)
Química. 7) Biologia. 8) História do Brasil. 9) Geografia do Brasil. 10)
Filosofia (BRASIL, 1942).
Para o curso científico:
Primeira série: 1) Português. 2) Francês. 3) Inglês. 4) Espanhol. 5)
Matemática. 6) Física. 7) Química. 8) História geral. 9) Geografia geral
Segunda série: 1) Português. 2) Francês. 3) Inglês. 4) Matemática. 5) Física.
6) Química. 7) Biologia. 8) História geral. 9) Geografia geral 10) Desenho.
Terceira série: 1) Português. 2) Matemática. 3) Física. 4) Química. 5)
Biologia. 6) História do Brasil. 7) Geografia do Brasil. 8) Filosofia. 9)
Desenho (BRASIL, 1942).
Com relação à Reforma Capanema, era evidente o caráter de cultura geral e
humanística dos currículos, mesmo no curso científico. Nos dizeres de Romanelli (1980, p.
158) “sobressaíam, nos dois níveis, uma preocupação excessivamente ideológica e ausência
de distinção substancial entre os dois cursos: o clássico e o científico”. Esta autora continua
comentando que “esse ensino não diversificado só tinha, na verdade, um objetivo: preparar
para o ingresso no ensino superior. Em função disso só podia existir como educação de
classe.” (ROMANELLI, 1980, p. 158).
46
Em abril de 1942, foi instituída uma comissão para a elaboração dos programas de
Matemática do curso ginasial. Essa mesma comissão organizou também os programas de
Matemática para os cursos clássico e científico (DASSIE, 2008).
1.2.4.1 Programas de Matemática para os Cursos Clássicos
De acordo com a Portaria Ministerial n. 177, de 16 de março de 1943.
Primeira série
Aritmética Teórica
Unidade I: A divisibilidade numérica: 1- Teoremas gerais sobre divisibilidade. 2- Caracteres
de divisibilidade. 3- Teorias do m.m.c. e do m.d.c. 4- Teoria dos números primos; aplicações.
Álgebra
Unidade II. Os polinômios: 1- Operações algébricas sobre polinômios. 2 - Teoria da divisão de
polinômios. 3 - Divisão de um polinômio inteiro em x por x a regra e dispositivo prático de
Briot-Ruffini.
Unidade III. O trinômio do 2º grau: 1 - Decomposição em fatores do 1º grau; sinais do
trinômio; desigualdades do 2º grau. 2 - Noção de variável e de função; variação do trinômio do
2º grau; representação gráfica.
Geometria
Unidade IV. O plano e a reta no espaço: 1 - Determinação de um plano. 2 - Intersecção de
planos e retas. 3 - Paralelismo de retas e planos. 4 - Reta e plano perpendiculares. 5 -
Perpendiculares e oblíquas de um ponto a um plano. 6 - Diedros; planos perpendiculares entre
si. 7 - Noções sobre ângulos poliédricos.
Unidade V. Os poliedros: 1 - Noções gerais. 2 - Estudo dos prismas e pirâmides e respectivos
troncos; área desses sólidos.
Unidade VI. Os corpos redondos: 1 - Noções sobre geração e classificação das superfícies. 2 -
Estudo do cilindro e do cone; áreas desses sólidos. 3 - Estudo da esfera; área da esfera, da zona
e do fuso esféricos.
Segunda série
Álgebra
Unidade I. Progressões e logaritmos: 1 - Estudo das progressões aritméticas e geométricas. 2 -
Teoria dos logaritmos; uso das táboas; aplicações. 3 - Resolução de algumas equações
exponenciais simples.
Trigonometria
Unidade II. Vetor: 1 - Grandezas escalares e vetoriais. 2 – Noção de vetor; equipolência. 3 -
Resultante ou soma geométrica de vetores. 4 - Vetores deslizantes sobre um eixo; medida
algébrica; teorema de Chasles.
Unidade III. Projeções: 1 - Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo. 2 - Teorema de
Carnot. 3 - Valor da projeção de um vetor.
Unidade IV. Funções circulares: 1 - Generalização das noções de arco e de ângulo; arcos
côngruos; arcos de mesma origem e extremidades associadas. 2 - Funções circulares ou
trigonométricas: definições, variação, redução ao primeiro quadrante. 3 - Relações entre as
funções circulares de um mesmo arco. 4 - Cálculo das funções circulares dos arcos de 30º, 45º
e 60º.
47
Unidade V. Resolução de triângulos: 1 - Relações entre os elementos de um triângulo. 2 - Uso
das táboas trigonométricas. 3 - Resolução de triângulos retângulos.
Terceira Série
Álgebra
Unidade I. Funções: 1 - Noção de função de variável real. 2 - Representação cartesiana. 3 -
Noção de limite e de continuidade.
Unidade II. Derivadas: 1 – Definição; interpretação geométrica e cinemática. 2 - Cálculo das
derivadas. 3 - Derivação das funções elementares. 4 - Aplicação à determinação dos máximos
e mínimos e ao estudo da variação de algumas funções simples.
Unidade III – Primitivas: 1 - Definição; interpretação geométrica. 2 - Primitivação e
integração imediata; noção de integral definida. 3 - Aplicação ao cálculo de certas áreas e dos
volumes da pirâmide, do cone e da esfera. 4 - Problemas sobre o cálculo dos volumes.
Geometria
Unidade IV. Curvas usuais: 1 - Definição e propriedades fundamentais da elipse, da hipérbole
e da parábola. 2 - As secções cônicas. 3 - Definição e propriedades fundamentais da hélice
cilíndrica.
Geometria Analítica
Unidade V. Noções fundamentais: 1 - Concepção de Descartes. 2 - Coordenadas; abcissa
sobre a reta; coordenadas retilíneas no plano. 3 - Distância de dois pontos; ponto que divide
um segmento numa razão dada. 4 - Determinação de uma direção; ângulo de duas direções.
Unidade VI - Lugares geométricos: 1 - Equação natural de um lugar geométrico; sua
interpretação. 2 - Passagem da equação natural para a equação retilínea retangular. 3 -
Equação da reta. 4 - Equação do círculo. 5 - Equações reduzidas da elipse, da hipérbole e da
parábola. (BRASIL, 1943).
Neste programa, como pode ser constatado, comparece apenas, para o ensino de
Álgebra na segunda série, a resolução de algumas equações exponenciais simples.
1.2.4.2 Programas de Matemática para os Cursos Científicos
Também de acordo com a Portaria Ministerial n. 177, de 16 de março de 1943, os
programas para os cursos científicos deveriam seguir:
Primeira Série
Aritmética Teórica
Unidade I - As operações aritméticas fundamentais: 1 - Teoria da adição, da subtração, da
multiplicação e da divisão, da potenciação e da radiciação de inteiros. 2 - Sistemas de
numeração.
Unidade II - A divisibilidade numérica: 1 - Teoremas gerais sobre divisibilidade. 2 -
Caracteres de divisibilidade. 3 - Teorias do m.d.c. e do m.m.c. 4 - Teoria dos números primos;
aplicações.
Unidade III - Os números fracionários: 1 - Teoria das operações aritméticas sobre números
fracionários. 2 - Noções sobre cálculo numérico aproximado. Erros. Operações abreviadas.
Álgebra
Unidade IV - Os polinômios: 1 - Operações algébricas sobre polinômios. 2 - Teoria da divisão
de polinômios. 3 - Identidade de polinômios; método dos coeficientes a determinar;
48
identidades clássicas. 4 - Divisão de um polinômio inteiro em x por x ± a; regra e dispositivo
de Briot-Ruffini.
Unidade V - O trinômio do 2º grau: 1 - Decomposição em fatores do 1º grau; sinais do
trinômio; inequações do 2º grau. 2 - Noção de variável e de função; variação do trinômio do 2º
grau; representação gráfica. 3 - Noções elementares sobre continuidade e sobre máximos e
mínimos.
Geometria
Unidade VI - O plano e a reta no espaço: 1 - Determinação de um plano. 2 - Intersecção de
planos e retas. 3 - Paralelismo de retas e planos. 4 - Reta e plano perpendiculares. 5 -
Perpendiculares e oblíquas de um ponto a um plano. 6 - Diedros; planos perpendiculares entre
si. 7 - Ângulos poliédricos; estudo especial dos triedros.
Unidade VII - Os poliedros: 1 - Noções gerais. 2 - Estudo dos prismas e pirâmides e
respectivos troncos; áreas desses sólidos; Teorema de Euler; noções sobre os poliedros
regulares.
Unidade VIII - Os corpos redondos: 1. Noções sobre geração e classificação das superfícies. 2.
Estudo do cilindro e do cone; áreas desses sólidos. 3. Estudo da esfera; área da esfera, da zona
e do fuso esféricos.
Segunda Série
Álgebra
Unidade I - A função exponencial: 1 - Estudo das progressões aritméticas e geométricas. 2 -
Noção de função exponencial e de sua função inversa. 3 - Teoria dos logaritmos;
aplicações. 4 - Resolução de algumas equações exponenciais.
Unidade II - O binômio de Newton: 1 - Noções sobre análise combinatória. 2 - Binômio de
Newton.
Unidade III - Determinantes: 1 - Teoria dos determinantes. 2 - Aplicação aos sistemas de
equações lineares; regras de Crammer; teorema de Rouché.
Unidade IV - Frações contínuas: 1. Noções sobre frações contínuas. 2. Aplicação à análise
indeterminada do 1º grau.
Trigonometria
Unidade V - Funções circulares: 1 - Generalização das noções de arco e de ângulo; arcos
côngruos; arcos de mesma origem e extremidades associadas. 2 - Funções circulares ou
trigonométricas: definições, variação, redução ao primeiro quadrante. 3 - Relações entre as
funções circulares de um mesmo arco. 4 - Cálculo das funções circulares dos arcos / n.
Unidade VI - Transformações trigonométricas: 1 - Fórmulas de adição, subtração,
multiplicação e divisão de arcos: aplicações. 2 - Transformação de somas em produtos;
aplicação ao cálculo numérico. 3 - Uso de tábuas trigonométricas.
Unidade VII - Equações trigonométricas: Resolução e discussão de algumas equações
trigonométricas simples.
Unidade VIII - Resolução de triângulos: 1 - Relações entre os elementos de um triângulo. 2 –
Resolução de triângulos retângulos. 3 - Resolução de triângulos obliquângulos. 4 - Aplicações
imediatas à Topografia.
Álgebra vetorial
Unidade IX - Vetor: 1 - Grandezas escalares e vetoriais. 2 – Noção de vetor; equipolência. 3 –
Resultante ou soma geométrica de vetores livres. 4 – Decomposição de um Vetor segundo
dois ou três eixos. 5. Vetores deslizantes sobre um eixo; medida algébrica; teorema de chasles.
Unidade X - Projeções: 1 - Projeção ortogonal de um vetor sobre um eixo paralelamente a um
plano; projeção de vetores livres. 2 - Teorema de Carnot. 3 – Projeção de vetores deslizantes
4 – Orientação do plano; orientação de dois eixos; valor da projeção de um vetor deslizante.
Unidade XI - Multiplicação de vetores: 1. Produto escalar; definição; propriedades. 2– Produto
vetorial; definição; propriedades. 3 – Produto mixto; definição; propriedades.
Terceira Série
Geometria
49
Unidade I - Relações métricas: 1 - Teorema de Stewart e suas aplicações ao cálculo das linhas
notáveis no triângulo. 2 - Relações métricas nos quadriláteros; teorema de Ptolomeu ou
Hiparco. 3 - Potência de um ponto; eixos radicais; planos radicais.
Unidade II - Transformação de figuras: 1 - Deslocamentos, translação, rotação, simetria. 2 -
Homotetia e semelhança nos espaços de duas e de três dimensões. 3 - Inversão pelos raios
vetores recíprocos.
Unidade III - Curvas usuais: 1 - Definição e propriedades fundamentais da elipse, da hipérbole
e da parábola. 2 - As secções cônicas. 3 – Definição e propriedades fundamentais da hélice
cilíndrica.
Álgebra
Unidade IV - Séries: 1 – Sucessões. 2 - Cálculo aritmético dos limites. 3 - Séries numéricas. 4
- Principais caracteres de convergência.
Unidade V - Funções: 1 - Função de uma variável real. 2 - Representação cartesiana. 3 -
Continuidade; pontos de descontinuidade; descontinuidade de uma função racional.
Unidade VI - Derivadas: 1 - Definição; interpretação geométrica e cinemática. 2 - Cálculo das
derivadas. 3 – Aplicação às funções elementares. 4 - Aplicação à determinação dos máximos e
mínimos e ao estudo da variação de algumas funções simples.
Unidade VII – Primitivas: 1. Definição; interpretação geométrica. 2. Primitivação e integração
imediata; noção de integral definida. 3. Aplicação ao cálculo de certas áreas e dos volumes da
pirâmide, do cone e da esfera. 4. Problemas sobre o cálculo dos volumes.
Unidade VIII - Números complexos: 1 - Definição; operações fundamentais. 2 -Representação
trigonométrica e exponencial.3 - Aplicação às operações vetoriais no plano e à representação
geométrica das potências racionais da unidade. 4. Aplicação à resolução das equações
trinômicas.
Unidade IX - Equações algébricas: 1 - Propriedades gerais dos polinômios. 2 - Relações entre
os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica; aplicação à composição das equações. 3 -
Noções sobre transformações das equações; equações recíprocas.
Geometria Analítica
Unidade X - Noções fundamentais: 1 - Concepção de Descartes. 2 - Coordenadas; abscissa
sobre a reta; coordenadas retilíneas no plano. 3 - Distância entre dois pontos; ponto que divide
um segmento numa razão dada. 4 - Determinação de uma direção; ângulo de duas direções.
Unidade XI - Lugares geométricos: 1 - Equação natural de um lugar geométrico; sua
interpretação. 2 - Passagem da equação natural para a equação retilínea retangular. 3 -
Equações reduzidas da elipse, da hipérbole e da parábola.
Unidade XII - A reta: 1. Teoria da reta no plano (eixos retangulares). 2. Problemas sobre a
reta.
Unidade XIII - O círculo: 1. Teoria do círculo no plano (eixos retangulares). 2. Problemas
sobre o círculo.
Unidade XIV - Espaço de três dimensões: 1. Coordenadas retilíneas retangulares no espaço de
três dimensões. 2. Determinação de uma direção. 3. Distância entre dois pontos. 4. Equações
do plano (coordenadas retangulares). 5. Equações da reta (coordenadas retangulares).
(BRASIL, 1943).
Já, para o científico, para a segunda série, o ensino de Álgebra contemplava o
conteúdo função exponencial, incluindo também a noção de função exponencial e de sua
função inversa e a resolução de algumas equações exponenciais.
50
1.2.5 Programa Mínimo
O denominado Programa Mínimo foi instituído através de duas portarias no ano de
1951. A primeira delas foi a Portaria n.o 966 de 2 de outubro de 1951 e a segunda, Portaria n.
o
1.054 de 14 de dezembro de 1951. Essas portarias foram o resultado de uma revisão dos
programas do Ensino Secundário feita por uma comissão, criada no início de 1951, mais
precisamente em 27 de fevereiro, data esta da Portaria n.o 456 que forneceu legalidade a essa
comissão, constituída por quatro membros: um professor da Faculdade Nacional de Filosofia,
um professor do Colégio Pedro II, um professor do Instituto de Educação de Distrito Federal e
um professor do Sindicato dos professores das escolas particulares (OLIVEIRA FILHO,
2013, p. 83). Foram publicados os Programas Mínimos de todas as disciplinas e as respectivas
instruções metodológicas.
Nessa época, era Ministro da Saúde e Educação Simões Filho que na Portaria 966 faz
referência à Portaria n.o 614, de 10 de maio de 1951, que dá a incumbência à Congregação do
Colégio Pedro II de elaborar os programas das diversas disciplinas do curso secundário.
Transcrevem-se aqui os parágrafos 1.o e 2.
o da Portaria n.
o 966:
Art. 1.
o Ficam aprovados os programas que a esta acompanham, para o
ensino de Português, Francês, Inglês, Latim, Grego, Espanhol, Geografia
Geral e do Brasil, Matemática, Ciências Físicas e Naturais, Desenho, Física,
Química, História Natural, Filosofia, História Geral e do Brasil, Economia
Doméstica e Trabalhos Manuais no ensino secundário.
Art. 2.o Os programas aprovados pela presente portaria serão adotados por
todos os estabelecimentos de ensino secundário do país e entrarão em vigor
progressivamente, a começar do ano vindouro, pela primeira série ginasial e
colegial (BRASIL, 1951).
O Ministro da Educação e Saúde, Simões Filho, assim se pronunciou em uma
entrevista coletiva à imprensa:
A necessidade, por um lado, de aliviar os deveres escolares que
congestionam os atuais programas do Ensino Secundário, e, de outro,
atribuir maior elasticidade e rendimento à sua execução, tantas vezes
reclamada, quer pelos educadores, quer por alunos e seus pais, levou o
Ministério da Educação a estudar a conveniência de proceder a uma revisão
da matéria neles contida, de modo a possibilitar o desenvolvimento racional
de suas finalidades educativas (Ensino Secundário no Brasil. INEP, 1952, p.
515 apud MARQUES, 2005, p. 52).
Marques (2005), em seu trabalho, afirma que os anos 1950 foram marcados por um
aumento do número de estudantes no ensino secundário. Os conteúdos das disciplinas eram
demasiados, trazendo dificuldades no seu cumprimento. A simplificação dos programas seria
51
uma tentativa de minimizar esse problema. Essa alternativa adotada foi justificada pelo
próprio Ministro Simões Filho ao dizer:
O objetivo fundamental deste trabalho consistiu, pois, em eliminar dos
programas atualmente em vigor, os excessos aludidos, reduzindo a
prolixidade dos conhecimentos alinhados na estruturação de diversas
disciplinas, que tornava penosa a tarefa didática. Ao mesmo tempo,
verificava-se o flagrante desajustamento desses programas com o nível de
assimilação da população escolar, cujas faculdades intelectuais, ainda mal
desabrochadas, não a habilitavam a abranger a enorme soma de deveres e
atividades de aprendizagem oferecidas ao seu conhecimento (Ensino
Secundário no Brasil. INEP, 1952, p.515, apud MARQUES, 2005, p.52).
Pode-se dizer, após leitura da justificativa colocada, que houve uma preocupação em
se reduzir os conteúdos até então ministrados. Dessa forma, o termo Programa Mínimo
refere-se àquele que seria trabalhado por todas as instituições escolares e teriam, assim,
condições de executá-lo. Por outro lado, o artigo 4º da Portaria 966 revela outro objetivo do
programa mínimo:
Os programas das diversas disciplinas do curso secundário serão cumpridos
no Colégio Pedro II e nos demais estabelecimentos de ensino secundário do
país com desenvolvimento adequado às diversas regiões, tendo-se sempre
em vista as conveniências didáticas.
A interpretação que pode ser dada a esse artigo é que houve a possibilidade de serem
elaborados planos de desenvolvimento desse programa mínimo de acordo com as
especificidades de cada região.
Durante a vigência do programa mínimo, o 2º ciclo do ensino secundário continuou a
ser chamado de Clássico e Científico, tendo perdurado no sistema educacional brasileiro até
1961, ano da LDB 4.024/61.
1.2.6. Programas de Matemática adotados no Colegial (Programa Mínimo)15
Para a primeira e a segunda séries do Colegial, eram especificados determinados
conteúdos para o ensino da Matemática.
Primeira Série
Noções sobre o cálculo aritmético aproximado; erros.
Progressões
Logaritmos.
15
Disponível em: http://www.jusbrasil.com.br/diarios/2825451/pg-19-secao-1-diario-oficial-dauniao-
dou-de-26-11-1951/pdfView. Acesso em 10/04/2017.
52
Retas e planos; superfícies e poliedros em geral; corpos redondos usuais; definições e
propriedades; áreas e volumes.
Seções cônicas; definições e propriedades fundamentais.
Segunda Série
Análise combinatória simples.
Binômio de Newton.
Determinantes; sistemas lineares.
Noções sobre vetores; projeções; arcos e ângulos; linhas e relações trigonométricas.
Transformações trigonométricas em geral; equações trigonométricas simples.
Resolução trigonométrica de triângulos.
Terceira Série
Conceito de função; representação cartesiana; reta e círculo; noção intuitiva de limite
e continuidade.
Noções sobre derivadas e primitivas; interpretações; aplicações.
Introdução à teoria das equações; polinômios, propriedades, divisibilidade por x ± a;
problemas de composição, transformação e pesquisa de raízes; equações de tipos
especiais.
O conteúdo função exponencial não consta no programa mínimo. As equações
exponenciais são tratadas na unidade referente a logaritmos (figura 6).
53
Figura 6- Programas de Matemática do primeiro ano clássico e científico
Fonte: Bezerra (1955).
1.2.7 Lei n. 4024 e Lei n. 5692
A primeira lei de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira surgiu em 1961e recebeu o
número 4024. As principais mudanças decorrentes dessa lei foram a possibilidade de acesso
ao nível superior para alunos egressos do ensino técnico e a criação do Conselho Federal de
Educação e dos Conselhos Estaduais. Porém, a estrutura tradicional do ensino foi mantida e o
sistema continuou a ser organizado segundo a legislação anterior e ficou da seguinte forma:
1. Ensino pré-primário, composto de escolas maternais e jardins de infância;
2. Ensino primário de 4 anos, com chance de ser acrescido de 2 anos mais, com
programa de artes aplicadas;
3. Ensino médio, subdividido em dois ciclos: o ginasial de 4 anos e o colegial de 3 anos,
ambos por sua vez compreendendo o ensino secundário e o ensino técnico;
4. Ensino superior.
54
A Lei 4024 apresentou como vantagem a não prescrição de um currículo fixo e rígido
para todo o território nacional, em cada ramo e nível. Para a quebra de rigidez e a
descentralização foi um progresso, pois houve a “possibilidade de os Estados e os
estabelecimentos anexarem disciplinas optativas ao currículo mínimo estabelecido pelo
Conselho Federal de Educação foi, sem dúvida, um progresso em matéria de legislação”
(ROMANELLI, 1980, p. 181).
A lei 5692 é de 11 de agosto de 1971 e fixou o objetivo geral da educação no nível
básico. Dentre as mudanças introduzidas pela lei, salienta-se a obrigatoriedade escolar para
oito anos, isto é, faixa etária que vai dos 7 aos 14 anos. Fez-se a junção do curso primário e do
curso ginasial em um só curso fundamental de oito anos. Houve a mudança da nomenclatura e
da periodização dos graus de ensino, de 1ª a 8ª séries, primeiro grau e o ensino médio passou
a se denominar 2º grau, cursado em três anos. Houve a eliminação do dualismo existente entre
escola secundária e escola técnica, pela criação de uma escola única de 1o e 2
o graus. Dessa
forma, a estrutura passou a ser a seguinte:
Ensino de 1o grau: com 8 anos de duração e uma carga horária de 720 horas
anuais. Passa a proporcionar a sondagem vocacional e a iniciação para o trabalho.
• Ensino de 2 o grau: com 3 ou 4 anos de duração e carga horária de 2200 horas, para os
cursos de 3 anos e 2900 horas para os cursos de 4 anos. Passa a constituir-se de um
nível de ensino cujo objetivo primordial é a habilitação profissional.
1.3 O Movimento da Matemática Moderna
Em 1934, surgiu na França um grupo de matemáticos com o pseudônimo de Nicolas
Bourbaki16
. Entre os membros originais, figuravam André Weil, Henri Cartan, Claude
Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné17
(BOMBAL, 2011). Esse grupo lançou os
Éléments de Bourbaki cujo primeiro volume foi editado em 1939 e o trigésimo primeiro, em
1965. O conjunto da obra institulou-se Les structures fundamentales de l’analyse que engloba
Teoria dos Conjuntos, Álgebra, Topologia geral, funções de variável real, espaços vetoriais
topológicos e integração (BOYER, 2008, p. 438). Para Boyer (2008, p. 438), a “apresentação
16
Há algumas versões que ajudam a entender a origem do nome Bourbaki e uma dessas versões atribui o nome
em homenagem ao general Charles Denis Sauter Bourbaki que ganhou fama na Guerra Franco-Prussiana. Em
1862, rejeitou o trono da Grécia e, depois de uma campanha desastrosa, em 1871, foi obrigado a recuar até a
Suiça onde se exilou. Consta que há uma estátua em homenagem ao general em Nancy, França, onde se situa a
Universidade de Nancy, com a qual vários membros do grupo tiveram vínculos. Porém, essa versão deixa em
aberto a origem do nome “Nicolas” (EVES, 2007, p. 692). 17
De acordo Bombal (2011), no início do Grupo Bourbaki, se encontravam outros integrantes, como Szolem
Mandelbrojt, René de Possel y Charles Ereshmann, que vieram a abandonar o grupo posteriormente.
55
do assunto por Bourbaki é caracterizada por uma adesão sem concessões ao tratamento
axiomático e a uma forma secamente abstrata e geral que retrata claramente a estrutura
lógica”.
De acordo com Burigo (1988, p. 90), o grupo foi “responsável pela reconstrução do
edifício matemático que substituíra a divisão tradicional do conhecimento matemático em
ramos por categorias mais gerais”. Na construção do grupo, há três tipos de “estruturas-mãe”:
algébricas, de ordem e topológicas. A autora ainda afirma que:
Nas propostas para o secundário, a influência do trabalho de Bourbaki fazia-
se sentir na ênfase na unidade entre os ramos da matemática, no uso dos
conceitos unificadores, tais como os de conjunto e função e na introdução do
estudo das estruturas algébricas como grupos e anéis e dos espaços vetoriais
(BURIGO, 1988, p.90).
Eves (2007) salienta que:
Duas das características principais da matemática do século XX, a ênfase na
abstração e a preocupação crescente com a análise das estruturas e modelos
subjacentes chamaram a atenção, em meados do século, dos interessados em
ensino da matemática. Vários destes entenderam que seria oportuno adaptar
tais características ao ensino e, não demorou, formaram-se grupos
competentes e entusiastas empenhados em reformular e “modernizar” a
matemática escolar. Nascia a matemática moderna. (EVES, 2007, p. 690).
É necessário acrescentar que na “origem, a expressão ‘matemática moderna’ ou
‘matemáticas modernas’ referia-se à evolução interna da própria disciplina, nos últimos 100
anos e em especial a partir do trabalho do grupo Bourbaki”. (BURIGO, 1988, p. 82). Este
grupo exerce influência significativa no MMM internacionalmente e, em particular, no Brasil
(VALENTE et al, 2007, p.2).
Na década de 40, matemáticos pertencentes à liderança do grupo Bourbaki chegam ao
Brasil e são contratados pela Universidade de São Paulo. Aqui, influenciam e orientam os
responsáveis pelas cátedras, como também alguns jovens assistentes Dentre eles, destacam-se
Osvaldo Sangiorgi, Jacy Monteiro, Omar Catunda, Benedito Castrucci, que na década de 60
iniciam e divulgam o MMM no Brasil (VALENTE et al, 2007, p. 2).
Dentre os matemáticos que aqui estiveram, podemos citar Jean Dieudonné, líder do
grupo. Beatriz D’Ambrósio (2017, p. 84), assim relata:
Jean Dieudonné. Matemático europeu, líder do grupo Bourbaki, também
exerceu muita influência sobre a educação matemática do Brasil. Na década
56
de 1940, Dieudonné lecionou na Universidade de São Paulo. Mais tarde, na
década de 50, apresentou uma série de palestras no Brasil, relacionadas com
o trabalho do grupo Bourbaki. Uma vez que muitos matemáticos brasileiros
haviam estudado com Dieudonné em suas visitas anteriores, suas opiniões
eram muito respeitadas e seu interesse em educação matemática gerou
interesse similar entre os seus ex-alunos. Isso sinalizou para os matemáticos
da academia que era “respeitável” envolver-se com educação matemática.
No Brasil, na década de 50 do século XX, justamente na época em que o Ministério da
Educação fazia valer o Programa Mínimo, havia, na comunidade acadêmica, uma grande
insatisfação com o ensino de Matemática (SOARES, 2001). Dessa forma, houve a
necessidade de realização de encontros entre professores para que fosse possível a discussão
de temas relacionados ao ensino. No Brasil, foram realizados cinco congressos nacionais de
Ensino de Matemática, sendo o primeiro realizado em 1955 e, o último, em 1966.
O primeiro desses congressos ocorreu na cidade de Salvador e foram discutidos, de
forma exclusiva, assuntos relacionados ao Ensino de Matemática, abordando temas tais como
programas, livros didáticos e formação de professores (LAVORENTE, 2008).
Nesse congresso, foi aprovado o aumento da carga horária semanal de matemática no
curso secundário, para quatro horas, no curso ginasial e, para cinco horas, no colegial
(SOARES, 2001). Ainda, baseado em reformas anteriores, foi aprovado o seguinte programa
de ensino para o Curso Colegial (cinco horas semanais para o científico):
Primeira Série
Progressões
Números irracionais
Potências com expoentes fracionários
Logaritmos (como operação)
Equações exponenciais
Trigonometria
Segunda Série
Análise Combinatória
Binômio de Newton
Determinantes
Sistemas lineares
Geometria no espaço
Terceira Série
Análise Matemática: (início)
Conceitos elementares de variável e de função. Limite: primeiras noções sobre derivadas e
aplicações ao estudo da variação de uma função. Estudo do trinômio do 2.o grau.
Noções sobre números complexos
Polinômios e equações algébricas em geral (pequena introdução)
Geometria Analítica: (início)
Estudo no plano até cônicas. (SOARES, 2001).
57
Em 1957, na cidade de Porto Alegre, foi realizado o segundo Congresso que
apresentou também palestras referentes ao ensino primário e à formação de professores, ou
seja, se propôs a discutir a aprendizagem de Matemática nos diferentes níveis de ensino
(LAVORENTE, 2008). O tema “Matemática Moderna” foi citado, segundo Soares (2001), de
forma discreta por Ubiratan D`Ambrósio e por Osvaldo Sangiorgi. D’Ambrosio desenvolveu
a temática Considerações sobre o ensino atual de Matemática e Osvaldo Sangiorgi, levou
uma discussão sobre Matemática clássica ou Matemática moderna, na elaboração dos
programas do ensino secundário?
O terceiro Congresso ocorreu na cidade do Rio de Janeiro, em 1959, e objetivou
estudar os problemas relativos aos ensinos secundário e primário, comercial, industrial e
normal e problemas gerais relativos ao ensino de Matemática (SOARES, 2001). Como
decisões importantes desse congresso, podem-se citar:
Proposta ao Ministério da Educação de não conceder o registro de professor de
Matemática aos licenciados em outros cursos tais como pedagogia, Ciências
Sociais, História Natural e Química.
Criação de uma Revista de Matemática para o Ensino Médio.
Solicitar aos Departamentos de Matemática das Faculdades de Filosofia de todo o
país a criação de cursos de preparação à Matemática Moderna, tais como Teoria
dos Números, Lógica Matemática, Teoria dos Conjuntos e Álgebra Moderna, para
professores do Ensino Médio (SOARES, 2001, p. 85).
O quarto congresso foi realizado em 1962, em Belém do Pará, e tratou de forma mais
objetiva a introdução da Matemática Moderna no ensino secundário. Nesse congresso, houve
a participação de congressistas ligados ao GEEM - Grupo de Estudos do Ensino da
Matemática18
. Nesse evento, os membros do GEEM realizaram sete aulas-demonstração,
discorrendo sobre o tratamento moderno de certos tópicos de Matemática na escola
secundária, duas apresentações do desenvolvimento moderno de assuntos de Matemática e
três palestras que focaram a introdução da Matemática Moderna na escola secundária
(SOARES, 2001).
O Congresso de 1966 foi realizado na cidade de São José dos Campos, em São Paulo,
e contou com grande participação do GEEM, pois o grupo se encarregou de sua organização.
18
O GEEM foi fundado em 1961, na Universidade Mackenzie, sob a presidência do Professor Osvaldo
Sangiorgi. A constituição e atuação deste grupo foram importantes para a implantação e divulgação do
Movimento da Matemática Moderna no Brasil. O grupo tinha como objetivos escrever livros textos, realizar
congressos, encontros, simpósios e cursos voltados à Matemática Moderna para professores (LIMA, 2006, p.
43).
58
O tema desse quinto congresso foi Matemática Moderna na Escola Secundária, articulações
com o ensino primário e com o ensino universitário. Segundo Soares (2001), houve sessões de
estudo que foram distribuídas em três momentos:
Primeiro: problemas da Teoria dos Conjuntos e de Lógica Matemática aplicada ao
ensino.
Segundo: tópicos de Álgebra Moderna e Espaços Vetoriais.
Terceiro: problemas de tratamento moderno de Geometria e Lógica Matemática.
Segundo Pinto (2008), houve a apresentação de trabalhos no V Congresso que
mostraram que o Movimento da Matemática Moderna já estava difundido em escolas de
diferentes estados brasileiros, pois, graças ao GEEM, acelerou-se a difusão do movimento. A
convite do coordenador do grupo, Osvaldo Sangiorgi, foram a São Paulo, proferir palestras,
ilustres representantes estrangeiros e essas palestras atraiam professores de Matemática de
outras regiões do Brasil (PINTO, 2008). Em 1964, o GEEM expandiu sua ação para além do
estado de São Paulo, ministrando cursos de Matemática Moderna e, em 1970, era líder do
MMM no Brasil (SOARES, 2001).
Evidencia-se a presença da Matemática Moderna nas provas de Exame de Admissão19
de 1964, aplicada em São Paulo, especificamente no Colégio Santa Cruz. Nesse exame, o
termo “prova” é substituído por “teste” e nesse teste há espaços para a resolução das questões
e espaços para as respostas (PINTO, 2005). Pode-se constatar o uso do termo “sentença”, das
opções F (falso) e V (verdadeiro) e alterações na forma de propor as questões com aspectos de
uma nova linguagem matemática. Em 1965-66, nas Escolas Primárias de São Paulo, houve
outro modelo de prova de Matemática Moderna com uma extensa questão sobre conjuntos o
que, para a autora, “evidencia o início, naquele momento, da adoção da Matemática Moderna
na escola primária paulista” (PINTO, 2005, p. 8). Em 1968, nos livros que preparavam os
alunos para os exames de admissão, o item 1, figura 7, é dedicado exclusivamente à noções
sobre conjuntos.
19
Os Exames de Admissão foram iniciados através do Decreto no 4.468, de 1
o de fevereiro de 1870, para os
ingressantes no Colégio Pedro II e regulamentados pelo Decreto no 981 de 8 de novembro de 1890.
Posteriormente, como parte da Reforma Francisco Campos, tornaram-se obrigatórios nas escolas públicas de
todo o país pelo Decreto n.o 19.890 de 18 de abril de 1931 (AKSENEN e MIGUEL, 2013, p.231).
59
Figura 7- Conteúdos de Matemática a serem tratados no Programa de Admissão
Fonte: Azevedo et al. (1968).
Para Soares (2001),
No Brasil as propostas da Matemática Moderna encaixavam-se
perfeitamente na política de modernização econômica do governo da década
de 60. Vigorava no país a corrente pedagógica tecnicista que se consolidou
sustentada pela ideologia desenvolvimentista que defendia a industrialização
do país e privilegiava a formação técnica. Por conta desse interesse, o
governo abriu as portas para os técnicos americanos nos conhecidos acordos
MEC-USAID20
(SOARES, 2001, p.137).
Para Beatriz D’Ambrósio (2017), a Matemática Moderna foi um projeto idealizado em
países desenvolvidos e, posteriormente, aplicado em países do Terceiro Mundo. Soares (2001,
p.137) ainda afirma que “os acordos assinados pelo Brasil (MEC – USAID) facilitaram a
entrada das ideias da Matemática Moderna que eram veiculadas nos Estados Unidos”.
As mudanças propostas Movimento da Matemática Moderna também apresentavam
como meta fazer com que o ensino da Matemática se tornasse mais “atraente” para o aluno,
ou seja, mais prazeroso. Soares (2001, p. 148) afirma que “o Movimento defendia a inclusão
de tópicos de Matemática estudados na Universidade no currículo do ensino secundário tais
como: álgebra moderna, topologia, transformações lineares, etc”.
Pierro Neto et al (1967) assim escreveram:
20
O Acordo MEC-USAID foi assim denominado pela série de convênios assinados, a partir de 1964, entre o
MEC (Ministério da Educação) e a agência USAID (United States Agency for International Development). O
Acordo objetivou uma reforma em todos os níveis de ensino brasileiros, adotando-se para tanto, o modelo norte
americano, especialmente no ensino superior. Pelo papel estratégico deste nível, a reforma visava uma formação
técnica mais ajustada ao plano desenvolvimentista e econômico brasileiro, em consonância com a política norte-
americana para o país (FRANZON, 2015, p.40621).
60
Quando usamos a expressão “Moderna” para a Matemática atualmente
ensinada, muitos são levados a pensar que se trata da substituição, pura e
simples, dos assuntos tradicionais da aritmética, álgebra e geometria, por
uma matemática completamente diferente. Pelo contrário, o que se pretende
estudar é a mesma coisa, e alguns novos tópicos de maior importância para
as ciências modernas, através de uma linguagem mais fácil e precisa, capaz
de penetrar todos os ramos da matemática (PIERRO NETO et al.., 1967,
p.11).
Outra característica importante da Matemática Moderna foi a introdução dos
fundamentos de conjuntos, relações e suas propriedades. A linguagem dos conjuntos foi muito
enfatizada, valorizando muito a utilização de símbolos. A figura 8 mostra a simbologia,
utilizada no capítulo inicial, destinado à Teoria dos Conjuntos e Lógica Matemática.
Figura 8- Simbologia utilizada na teoria dos conjuntos e na lógica
Fonte: Pierro Neto et al.. (1967, p. 12).
Para Soares (2001), não houve tempo para que os professores se preparassem para o
novo modelo de ensino da Matemática. No entanto, ocorreram vários cursos e programas de
televisão enfocando a Matemática Moderna.
61
Para Soares (2001, p. 149), “a Geometria foi abandonada, e os cálculos numéricos
foram substituídos por formalismos excessivos desvinculados da realidade”. Porém, Zuin
(2001) aponta que as construções geométricas e, consequentemente, o ensino de geometria,
continuou em algumas escolas nas aulas de Desenho Geométrico e mesmo, em determinadas
situações, através da disciplina Educação Artística, implantada com a LDB 5692/71.
Evidentemente, as críticas à “moderna matemática” foram muitas, não só no Brasil,
mas também nos Estados Unidos com a publicação da obra “O fracasso da Matemática
Moderna” do matemático Morris Kline que não aprovava a grande quantidade de simbolismos
e à excessiva valorização da Teoria dos Conjuntos. Soares (2001, p.149) ainda afirma que no
Brasil “os exageros cometidos em nome da Matemática Moderna são devidos principalmente
aos livros didáticos, publicados livremente e sem nenhuma fiscalização ou critério e também à
falta de formação adequada dos professores secundários.”
Não se pode negar, no entanto, que o Movimento da Matemática Moderna alterou a
estrutura do ensino da Matemática e, se não houve êxitos na sua implantação, é porque uma
renovação na maneira de ensinar demanda tempo e não é fácil de ser realizada. Chervel (1990,
p. 197) alerta que, de fato, “a instauração das disciplinas ou das reformas disciplinares é uma
operação de longa duração. O sucesso ou o fracasso de um procedimento didático não se
manifesta a não ser ao término da escolaridade do aluno”.
1.4 O livro didático: fonte de pesquisa
Um bom questionamento a se fazer: o que é e o que representa um livro didático?
Munakata (2016) aponta que vários pesquisadores adotam o conceito de que o livro didático é
qualquer livro impresso em papel, mídia eletrônica, etc. e que foi produzido unicamente para
ser utilizado na escola, com fins didáticos. Esse conceito preliminar faz, então, a conexão
entre a escola e o livro didático, ou seja, esse último é uma peculiaridade da primeira.
Conceituar o livro didático, associando-o à escola parece simples em um primeiro
momento. Entretanto, adotando uma visão além dos limites escolares, a pergunta “o que é o
livro didático?” torna-se complexa e apresenta um leque de discussões importantes. Levando-
se em consideração a relação livro didático/setor econômico. Choppin (2004, p. 551) sublinha
a “onipresença – real e bastante desejável – de livros didáticos pelo mundo e, portanto, o peso
considerável que o setor escolar assume na economia editorial nesses dois últimos séculos”.
No Brasil, segundo o mesmo autor, no início do século XX, dois em cada três livros
publicados eram didáticos e, mesmo em 1996, representavam 61% da produção nacional. Em
62
outro foco, podemos relacionar livro didático/história da educação. Essa relação é assegurada
pelo interesse atual dos historiadores por essa área que foi, para Choppin (2004),
negligenciada por muitos anos. Todavia, a partir de 1960 e, sobretudo, nos últimas décadas,
houve um crescimento importante do interesse pela pesquisa em história da educação, tendo
como fonte os livros didáticos (CHOPPIN, 2004).
Alguns aspectos que justificam esse dinamismo na pesquisa são enumerados por
Choppin (2004, p.551) e, particularmente, pode-se citar “o crescente interesse manifestado
pelos que se interessam pela história ou por historiadores profissionais em relação às questões
da educação, área cuja demanda social se torna cada vez maior”; além disso,
[...] essa atividade científica tão abundante deve-se também a causas
estruturais: a complexidade do objeto ‘livro didático’, a multiplicidade de
suas funções, a coexistência de outros suportes educativos e a diversidade de
agentes que ele envolve. (CHOPPIN, 2004, p. 552).
Pode-se perceber que o livro didático não representa apenas uma ferramenta que o
professor tem como suporte para suas aulas e o aluno utiliza durante a sua vida escolar – é
muito mais que isso, além do fato de ser simplesmente um vetor de informações voltadas para
o conhecimento específico de uma área. Um conceito que norteia caminhos metodológicos de
análise para o uso do livro didático como uma fonte de pesquisa histórica é ele ser:
[...] um produto cultural. Como tal, é preciso compreendê-lo em seu
processo de produção física, material; em seu contexto de elaboração
intelectual; nas múltiplas faces que por vezes se entrecruzam na autoria dos
textos; nas formas de circulação que os livros ganham; no uso deles em
diferentes épocas; nas suas diferentes edições e em tantos outros aspectos
necessários ao entendimento de um bem cultural (VALENTE e OLIVEIRA
FILHO, 2011, DVD – GHEMAT apud OLIVEIRA FILHO, 2013).
De fato, além do conteúdo inserido em uma obra, é importante compreender a forma
materializada concebida ao livro didático: a rigidez da sua capa, figuras (coloridas ou não),
letras utilizadas. Para Oliveira Filho (2013, p.57), o livro didático é “um objeto cultural que
exige ser interrogado pelo historiador de uma maneira múltipla, variada, completa,
fornecendo também informações que podem ajudar o conhecimento do cotidiano escolar
[...].”
A importância do livro didático é destacada por Choppin como fonte de pesquisa ao
relatar que:
63
Os manuais representam para os historiadores uma fonte privilegiada, seja
qual for o interesse por questões relativas à educação, à cultura ou às
mentalidades, à linguagem às ciências... ou ainda à economia do livro, às
técnicas de impressão ou à semiologia da imagem. O manual é, realmente,
um objeto complexo dotado de múltiplas funções, a maioria, aliás,
totalmente desapercebidas aos olhos dos contemporâneos (CHOPPIN, 2002,
p.15).
Em outro trabalho, Choppin (2004) destaca duas grandes categorias de pesquisa:
[...] aquelas que concebendo o livro didático apenas como documento
histórico igual a qualquer outro, analisam os conteúdos em busca de
informações estranhas a ele mesmo (a representação de Frederico II da
Prússia21
, ou a representação da ideologia colonial22
, por exemplo), ou as que
só se interessam pelo conteúdo ensinado por meio do livro didático.
[...] aquelas que, negligenciando os conteúdos dos quais o livro didático é
portador, o consideram como um objeto físico, ou seja, como um produto
fabricado, comercializado, distribuído ou, ainda, como um utensílio
concebido em função de certos usos, consumido – e avaliado – em um
determinado contexto (CHOPPIN, 2004, p. 554).
Conforme se pode perceber, para Choppin, a história que o pesquisador concebe, na
primeira categoria, não é a do livro didático em si, mas sim de um tema, de um conteúdo ou
de uma disciplina. No caso da nossa pesquisa, em particular, temos foco no conteúdo
equação/função exponencial.
Na segunda categoria, a atenção é voltada diretamente para o livro didático no que
concerne à sua fabricação, comercialização e distribuição. Evidentemente, em uma pesquisa,
considerada na sua totalidade, devem ser tomadas as duas categorias.
A análise de conteúdos é marcada por duas grandes tendências citadas por Choppin
(2004): a primeira refere-se à crítica ideológica e cultural dos livros didáticos, enquanto, a
segunda, analisa o conteúdo dos livros didáticos, segundo uma perspectiva epistemológica ou
propriamente didática.
É importante sublinhar que os livros didáticos constituem muito mais do que um
manual adotado por um professor, servindo de guia para as suas aulas, quando fará a
apresentação dos conteúdos e também é muito mais do que um objeto a ser manuseado pelo
aluno durante um ano letivo, complementando as abordagens do professor e trazendo as
21
Michael Marker, “Die Darstellung Friedrich des Groen in deutschen Lesebüchen für den Geschichtsun-
terricht an Gymnasien selt der Weimaren Republic” (MÜNSTER,1998, apud CHOPPIN, 2004, p.554). 22
Manuela Semidei, “De l’Empire à la décolonisation à travers les manuels scolaires français”, Revue
Française de Sciences Politiques (CHOPPIN, 2004, p. 554).
64
tarefas impressas a serem realizadas, para facilitar a compreensão dos vários conteúdos. Pelo
que foi exposto nos parágrafos anteriores, o livro didático traz até nós outras informações de
relevância que merecem a atenção dos historiadores e que o fazem primordial para pesquisas
na área da Educação e da própria História da Educação e da Educação Matemática.
Valente (2004) chama a atenção para o esforço a ser efetuado no sentido de buscar
marcas do cotidiano escolar em épocas passadas. Ressalta que:
Ao lado de toda normatização oficial que regula o funcionamento das
escolas, como leis, decretos, portarias, etc. há toda uma série de produções
de cultura escolar: livros didáticos, cadernos de alunos, de professores,
diários de classe, provas, etc. São essas as fontes de pesquisa que devem ser
encontradas, organizadas e inventariadas a fim de estudarmos a trajetória
histórica da matemática escolar (VALENTE, 2004a, p. 11).
Para o mesmo autor, o empecilho em encontrar essas fontes de pesquisa se deve ao
fato de que, quase sempre, os cadernos de alunos, as provas, os materiais pedagógicos de
professores não estão disponíveis, pois, na maioria das vezes, são descartáveis após o uso e
sublinha que “os documentos dos arquivos das escolas, além de não estarem organizados,
acabam excluídos a cada cinco anos em virtude da legislação” (VALENTE, 2004a, p. 11).
Destacamos aqui, mais uma vez, as considerações de Valente (2004a):
Nossos próprios materiais escolares tendem a ser descartados em razão, por
exemplo, de espaços cada vez menores nas moradias. Enfim, a obtenção dos
testemunhos dos cotidianos escolares passados torna-se muito difícil. Assim,
quando se tem a oportunidade, por razões as mais diversas, de encontrarmos
esses traços da cultura escolar, ganhamos a possibilidade de escrever sobre o
trajeto histórico que seguiu um saber nas escolas; aqui, no caso, a
matemática escolar (VALENTE, 2004a, p. 11).
Outra observação importante, que Valente traz para a nossa reflexão, é que os livros
didáticos antigos se constituem em uma condição importante, porém não é condição suficiente
para a escrita da história das práticas pedagógicas do passado. Há uma “filosofia implícita”,
que nos leva ao estudo desses livros, ou seja, “a análise dos livros didáticos, tratados como
fonte para a história da matemática escolar, em muito difere de considerá-lo como fonte a
partir da própria Matemática” (VALENTE, 2004a, p.12).
65
2. REFERENCIAIS TEÓRICO-METODOLÓGICOS
Para a análise do conteúdo equação/função exponencial, tomamos como base
metodológica o trabalho desenvolvido por Picado y Rico (2011). Estes autores definiram
cinco fases para a pesquisa que foram consideradas neste trabalho:
Definição do problema, o campo e tipo de pesquisa e a definição de objetivos.
Nesta fase, incluem-se a seleção do tema, sua delimitação e o estabelecimento de um
marco teórico que o fundamente. Na seleção do tema devem ser considerados aspectos como
relevância, viabilidade, originalidade e interesse pessoal.
Busca, localização e seleção de livros didáticos.
É nesta fase que se levam em conta a busca, localização e seleção das fontes
documentais que possam proporcionar informações a respeito do tema da pesquisa.
Localizadas as fontes, é necessário classificá-las e selecioná-las com o objetivo de se evitar
repetição de informações. Nesta etapa, deve-se realizar a verificação da autenticidade das
fontes.
Análise dos livros didáticos.
Na fase de análise, consideramos três pontos importantes que são o autor, a estrutura
do texto e o conteúdo. Quanto ao autor, foram destacadas as informações pessoais e
profissionais, informando o nome, a profissão, o lugar de formação, vínculos com
matemáticos e obras publicadas. Com relação à estrutura do texto, relacionamos o ano, a
edição, a editora, finalidade e objetivos, organização do conteúdo, estilo de apresentação das
informações e as referências no texto.
Na análise do conteúdo, procuramos verificar de que forma o autor inicia o capítulo,
ou seja, se há ou não referências a conceitos fundamentais para o entendimento do que se
propõe e também quais são as estratégias propostas pelo autor para o ensino e aprendizagem,
identificando os sistemas de representação que, de modo geral, são em número de cinco:
textual, numérica, simbólica, tabular e gráfica. Também foi importante verificar se houve
referências históricas relativas ao conteúdo e se o autor aborda aplicações a outras áreas do
conhecimento.
Com relação à fenomenologia, procuraremos identificar os fenômenos naturais (se no
texto são apresentadas situações de natureza física, química, biológica ou de outras áreas, nas
quais a função exponencial pode ser aplicada) e fenômenos matemáticos (se o conteúdo
analisado se apresenta em um contexto de aplicação de uma ou várias operações aritméticas).
66
No caso da nossa pesquisa, faremos aqui, nesta fase, a análise do conteúdo que é tema
deste trabalho, analisando as formas utilizadas pelos autores selecionados para apresentá-lo.
Exposição dos resultados.
Nesta fase, serão mostrados todos os livros analisados, destacando as suas estruturas
externa e interna e destacando o conteúdo que é tema dessa pesquisa.
Interpretação dos dados.
Aqui nessa fase, procuraremos discutir, à luz da legislação vigente à época da
publicação, a metodologia utilizada pelo autor.
Nosso trabalho corresponde a uma investigação qualitativa-descritiva cujo objetivo
geral foi verificar, através de livros didáticos, as formas utilizadas por diversos autores para
apresentar um conteúdo específico de Matemática entre os anos de 1930 e 1980.
Os marcos temporais, inicial e final, foram delimitados tendo em vista a Reforma
Francisco Campos, que trouxe modificações para o ensino com demarcação da união da
Álgebra, Geometria e Aritmética em uma só disciplina, denominada Matemática, e o período
no qual os autores se voltaram para as prescrições do MMM.
Para a seleção das fontes, adotamos o procedimento de escolha de, pelo menos, dois
livros didáticos em cada década, excetuando-se a década de 1930, marco do início da análise,
na qual foi feita a escolha de apenas uma obra, porém, referenciando duas edições e
finalizando na década de 1980. A partir desse procedimento, foi possível a análise do
conteúdo equação/função exponencial durante as reformas de ensino no período de 1930 a
1980, além de verificar a influência do MMM.
Para a busca dessas fontes, foram realizadas visitas em bibliotecas de escolas mais
antigas e que ainda estão em plena atividade em Minas Gerais: Colégio Providência, primeira
Escola Feminina de Minas Gerais, localizado em Mariana, fundado em 1850; Seminário de
Mariana, fundado em 1750 e que abrigou, durante décadas, as atuais modalidades de Ensino
Fundamental e Médio; Colégio Arquidiocesano, Ouro Preto, fundada em 1927; Instituto
Federal de Minas Gerais, Campus Ouro Preto, cuja criação efetiva deu-se em maio de 194423
,
e a Biblioteca de Obras Raras da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto.
Houve maior dificuldade em encontrar livros didáticos, editados na década de 1930, e,
evidentemente, os publicados na década de 1970 o número de obras encontradas foi bem
maior. Alguns livros foram comprados em livrarias que trabalham com livros usados e foi-nos
23
No ano de 1942, foi sancionado o Decreto 4.127, que criava o curso técnico de Mineração e Metalurgia de
Ouro Preto, vinculado ao então Ministério da Educação e Saúde, mas as atividades letivas se iniciaram em 1944
(SILVA, MACHADO, BARBOSA, 2015).
67
gentilmente enviada a cópia de uma das obras analisadas pelo professor Dr. Antônio Vicente
Marafioti Garnica.
O processo de seleção resultou em um conjunto de quinze obras, organizadas de
acordo com a década de sua publicação (quadro 1):
Quadro 1- Obras selecionadas para análise
1930 – 1940
Roxo, Euclides; Thire, Cecil; Mello e Souza. Curso de Mathematica, 4.o Anno. Livraria Francisco Alves, 4.
a
Edição, 1938.
Roxo, Euclides; Thire, Cecil; Mello e Souza. Curso de Mathematica, 4.o Anno. Livraria Francisco Alves, 3.
a
Edição, 1936.
1940 – 1949
Roxo, Euclides; Cunha, Haroldo Lisboa da; Peixoto, Roberto; Netto, Cesar Dacorso. Matemática, 2.o Ciclo.
Livraria Francisco Alves, 2.a Edição, 1944.
Maeder, Algacyr. Munhoz; Curso de Matemática, 2.o Livro Colegial, 3.
a Edição; Edições Melhoramentos;
1949.
1950 – 1960
Bezerra, Manoel Jairo. Curso de Matemática primeiro Ano Colegial (Clássico e Científico), Companhia
Editora Nacional, 3.a Edição; São Paulo, 1955.
Carvalho, Thales Mello. Matemática para os Cursos Clássico e Científico, 1.o ano; Companhia Editora
Nacional, 9.a Edição; São Paulo, 1955.
Roxo, Euclides; Peixoto, Roberto; Cunha, Haroldo Lisboa; Netto, César Dacorso. Matemática 2.o Ciclo, 1.
a
Série; Livraria Francisco Alves, 8.a Edição; Rio de Janeiro, 1956.
Quintella, Ary. Matemática Primeiro Ano Colegial; Companhia Editora Nacional, 6.a Edição; São Paulo,
1959.
1960 – 1970
Irmãos Maristas. Matemática Primeira Série Colegial. Rio de Janeiro: Editora do Brasil, 1960. (Coleção
Didática FTD).
Serrão, Alberto Nunes. Exercícios e Problemas de Álgebra, Vol. I – Parte A, Para o Ciclo Colegial e
Exames Vestibulares às Escolas Superiores; Ao Livro Técnico S/A – Indústria e Comércio, 4.a Edição; Rio de
Janeiro, 1966.
Di Pierro Netto, Scipione; Rocha, Luiz Mauro; Barbosa, Ruy Madsen. Matemática Curso Colegial Moderno,
1.a Série Colegial, Instituto Brasileiro de Edições Pedagógicas, Vol. 1; 1967, São Paulo.
1970 – 1980
Brunelli, Remo Loschi. Matemática, 2.o grau e vestibular. Edições Loyola, São Paulo, 1972
Di Pierro Netto, S.; GÓES, Célia Contim;. Matemática na Escola Renovada, 1a Série do 2
o Grau (antigo
colegial); Editora Saraiva, São Paulo, 1972.
Schor, Damian; Tizziotti, José Guilherme. Matemática, 2.o grau, volume 1. São Paulo, Editora Ática, 1975.
Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Teixeira, José Carlos; Machado, Nilson José; Goulart, Márcio Cintra; Castro,
Luiz Roberto da Silveira; Machado, Antônio dos Santos. Matemática, 1a Série, 2
o Grau; 6.
a Edição Revisada;
Atual Editora Ltda, São Paulo, Brasil, 1978.
Fonte: Elaborado pela autora.
68
3. EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL NOS LIVROS
DIDÁTICOS
Neste capítulo, trazemos a análise da equação/função exponencial considerando
quinze livros analisados, publicados entre 1930 e 1980, tal como foi mencionado no capítulo
anterior.
Zuin e Queiroz (2016) afirmam que a equação exponencial já estava presente nos
livros didáticos de Álgebra, publicados no século XIX e, ainda, salientam que:
A equação exponencial já estava presente em livros didáticos de Álgebra
publicados no século XIX. No entanto, a função exponencial passa a
constar dos programas para o ensino da Matemática no nível secundário,
em âmbito nacional, a partir da Portaria Ministerial n. 70, de 30 de junho
de 1931 – que estabeleceu os programas e as instruções metodológicas
para as disciplinas do curso fundamental do ensino secundário. Para a
quarta série, ficava prescrita a introdução da função exponencial. Foi a
primeira vez que este conteúdo apareceu indicado na legislação (ZUIN e
QUEIROZ, 2016, p. 4).
Poderemos observar, então, já na década de 30 dos mil e novecentos, a presença da
função exponencial. Neste capítulo, apresentamos a análise do conteúdo equação/função
exponencial em cada um dos quinze livros que foram selecionados e apresentados no capítulo
anterior.
3.1 Década de 1930
Livro 1 - Curso de Mathemática, 4.o Anno, 4.
a Edição, 1938. Autores: Euclides Roxo,
Cecil Thiré. Mello e Souza
Livro 2 - Curso de Mathemática, 4.o Anno, 4.
a Edição, 1936. Autores: Euclides Roxo,
Cecil Thiré. Mello e Souza
Apresentamos uma comparação entre as duas obras no tocante à sua estrutura externa
e também interna (quadro 2). Os livros analisados não se distinguem pelo padrão de cada um
deles. Justificamos, novamente, a presença de duas obras dos mesmos autores e reforçamos,
afirmando que há diferenças perceptíveis entre as duas edições.
69
Quadro 2- Comparativo da estrutura externa/interna das duas obras (década de 30)
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
ROXO, THIRÉ, MELLO e
SOUZA, 1936
ROXO, THIRÉ,
MELLO e SOUZA, 1938
Tipo de capa Dura Dura
Índice
Sim, na última página do
livro e em ordem alfabética.
Sim, na última página e sem
estar em ordem alfabética.
Prefácio X X
Bibliografia - -
Tamanho (cm) 16 x 23 16 x 23
Número de páginas 410 409
Apresentação de formulários X X
Referências históricas - -
Exercícios de exemplo X X
Exercícios propostos com resposta Sim e após o enunciado Sim e após o enunciado
Notas de rodapé X X
Terminologia adotada Linguagem simples e direta. Linguagem simples e direta.
Capítulo destinado à potenciação - -
Número de páginas destinadas
a função exponencial
16 9
Número de páginas destinadas
a equação exponencial
1/2 1/2
Aplicação da função
exponencial a outras áreas
X -
Aplicação da equação exponencial à
outras áreas
- -
Fonte: Dados da pesquisa.
3.1.1 Livro 1 - Curso de Mathemática, 4.o Anno, 4.a Edição, 1938. Autores: Euclides Roxo,
Cecil Thiré, Mello e Souza.
Os autores
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo
Euclides Roxo nasceu em Aracaju, Sergipe, em 10 de dezembro de 1890 e faleceu no
Rio de Janeiro no dia 21 de dezembro de 1950. Em 1909, bacharelou-se no Colégio Pedro II,
tendo sido aprovado em 1915 em concurso para professor substituto de Matemática. Formou-
se em Engenharia pela Escola Politécnica do Rio De Janeiro em 1916. Em 1919 foi nomeado
catedrático do Colégio Pedro II e aí foi também examinador de Francês, Latim e Matemática.
Posteriormente, foi aprovado em concurso para catedrático do Instituto de Educação. No
Colégio Dom Pedro II foi diretor de 1925 a 1935, sendo diretor no externato de 1925 a 1930
e, no internato, de 1930 a 1935. No Ministério da Educação e Saúde, exerceu o cargo de
Diretor do Ensino Secundário no ano de 1937. Foi, também, membro do Conselho Diretor da
Associação Brasileira de Educação (ABE) de 1929 a 1931 e fez parte da comissão do ensino
secundário da mesma associação, fundada na 2.a Conferência da ABE, além de ter sido
presidente da Comissão Nacional do Livro Didático (VALENTE, 2003, p. 86-87).
70
Entre suas obras podemos citar:
Lições de Aritmética (1925).
Curso de Mathemática Elementar, 2 volumes (1.o volume: 1929; 2.
o volume:1930).
Curso de Mathemática, com Cecil Thiré e J. C. De Mello e Souza (5 volumes).
Matemática Ginasial – (4 volumes), publicado a partir de 1942, com outros autores
(Cecil Thiré e Mello e Souza).
Matemática Segundo Ciclo, com Roberto Peixoto, Haroldo Lisboa da Cunha e César
Dacorso Neto (3 volumes).
Matemática na Educação Secundária (1937).
Unidades e Medidas (1941) (VALENTE, 2003, p. 87-88).
Júlio César de Mello e Souza
Mello e Souza, também conhecido pelo pseudônimo de Malba Tahan, nasceu em 06
de maio de 1895 na cidade do Rio de Janeiro e faleceu em Recife em 1974. Cursou o ensino
fundamental no Colégio Militar do Rio de Janeiro e o ensino médio no Colégio Pedro II,
sendo ambas essas instituições reconhecidas pela excelência de ensino. Em seguida, se
formou como professor na Escola Normal e como engenheiro na Escola Nacional de
Engenharia. Como professor, lecionou em várias escolas, inclusive no Colégio Pedro II e na
Escola Normal. Foi ainda catedrático na Escola Nacional de Belas Artes, na Faculdade
Nacional de Arquitetura e no Instituto de Educação do Rio de Janeiro. Publicou, em 1938, a
famosa obra O homem que calculava (FARIA, 2004).
Outros títulos de sua autoria:
Mathematica 1.o e 2.
o anno, em coautoria com Cecil Thiré (1931)
Curso de Mathemática, em coautoria com Cecil Thiré e Euclides Roxo (5 volumes).
Mathemática Ginasial – (4 volumes), publicado a partir de 1942, com outros autores
(Cecil Thiré e Euclides Roxo).
Geometria Analítica, 1.a e 2.
a partes
Tudo é fácil
Matemática fácil e atraente (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1938).
71
Cecil Thiré
Cecil Thiré nasceu em Nova Lima, em maio de 1892 e faleceu no Rio de Janeiro em
novembro de 1963. Formou-se em Engenharia pela Universidade Mackenzie. Foi catedrático
em Matemática no Colégio Pedro II.
Destacamos algumas obras publicadas por este autor:
Mathematica 1.o e 2.
o anno, em coautoria com Mello e Souza (1931).
Curso de Mathemática, em coautoria com Mello e Souza e Euclides Roxo (5
volumes).
Mathemática Ginasial – (4 volumes), publicado a partir de 1942, em coautoria com
outros autores (Mello e Souza e Euclides Roxo).
Exercícios de Álgebra
Exercícios de Arithmética
Exercícios de Mathematica – 1.o e 2.
o annos (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA,
1938).
A figura 9 ilustra a capa da presente obra.
Figura 9– Capa do livro Roxo, Thiré & Mello e Souza
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938).
72
Estrutura editorial
É possível observar no livro em pauta que a capa e a folha de rosto são locais
exclusivos para a localização de elementos paratextuais (GENETTE, 2009). Na capa,
encontramos o título da obra Curso de Mathemática e o subtítulo 4o anno e além desses,
destacam-se os nomes dos autores e a livraria que o editou.
Na primeira folha interna, visualizamos os nomes dos autores e, no verso, o destaque
de algumas obras dos mesmos. Na contracapa (figura 10), encontram-se dados bibliográficos,
bem resumidos, dos autores, o número da edição (4a Edição, 1938) e os endereços da livraria
responsável pela edição (Livraria Francisco Alves).
Figura 10- Folha de rosto do livro Roxo, Thiré e Mello e Souza
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938).
No prefácio, os autores revelam que a obra segue o programa oficial vigente e que se
preocuparam em ressaltar as aplicações práticas de Matemática:
Destinando-se este livro especialmente aos estudantes da 4.a serie do curso
secundario, tivemos ao elaborá-lo, a preoccupação de seguir pari passu o
programa official, distribuindo pelos diferentes capítulos toda a matéria
exigida.
Procurámos, sempre que foi possível, acompanhar os pontos estudados de
questões simples e problemas numericos que fizessem resaltar as multiplas
aplicações praticas da Mathematica (ROXO, THIRÉ & MELLO E SOUZA,
1938).
73
O prefácio da 4a edição, de 1938, é o mesmo da 3
a edição, de 1936, ou seja, em ambas
as edições o autor chama a atenção do leitor para a importante questão relativa às aplicações
práticas de Matemática.
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em capítulos e cada capítulo é
apresentado em tópicos enumerados e essa indexação é interrompida entre os capítulos. Há
tópicos que trazem exercícios resolvidos e denominados de exemplo. Há poucos casos onde os
exercícios estão intercalados com o texto em um capítulo.
Outro elemento textual que se destaca é o denominado formulário que está localizado
no final do livro, anterior ao índice geral (figura 11), apresentado na última página. Os
conteúdos abordados seguem o programa oficial de acordo com a Reforma Francisco
Campos.
Figura 11- Índice geral do livro Roxo, Thiré e Mello e Souza
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938).
74
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O conteúdo função exponencial se encontra no capítulo VI com o título Funcção
exponencial logo após o capítulo correspondente às progressões geométricas que exige como
pré-requisito o conhecimento das propriedades das potências. O capítulo se inicia na página
70 e finaliza na página 78. Os autores apresentam no tópico 1 as Noções preliminares (figura
12) no qual apresentam a igualdade
𝑝 = 𝑎𝑚
como se o aluno desconhecesse a operação de potenciação, uma vez que coloca no parágrafo
seguinte as denominações de p (potência), a (base) e m (expoente). A partir daí, supõe que a
base a é constante e que a potência e o expoente são variáveis. Com uma mudança de
nomenclatura, denominam o expoente por x e a potência por y e apresentam a igualdade
𝑦 = 𝑎𝑥, conceituando a função exponencial. São apresentadas nesse tópico duas notas de
rodapé, alertando para o caso do expoente permanecer constante e lembra que foi um assunto
estudado no 3o anno no livro Algebra.
Figura 12- Noções preliminares
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 70).
75
No tópico 2, se apresenta o Exemplo I, trabalhando com a função 𝑦 = 5𝑥, atribuindo
valores a x e calculando y.
No tópico 3 tem-se o caso de expoente commensuravel e afirma, pelo exemplo I, que o
expoente x pode receber um valor real qualquer nulo ou positivo. No exemplo II, é
apresentado o caso de um expoente positivo e diferente de 1, enquanto que, no exemplo III, o
caso do expoente positivo e menor que 1.A partir desses dois exemplos, os autores
apresentam o tópico 6 A funcção ax quando a é negativo. Neste ponto, os autores, evitando
demonstração longa, mostram de forma objetiva o número imaginário (figura 13).
Figura 13- Apresentação da base negativa
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 73).
Na página 74, os autores apresentam a seguinte conclusão: “Quando a base a é
negativa a funcção y = ax não é definida para qualquer valor real de x” (ROXO; THIRÉ;
MELLO e SOUZA, 1938, p.74).
O Exemplo IV, figura 14, mostra esse caso com os possíveis valores de y, quais sejam,
negativo, positivo ou imaginário.
76
Figura 14- Exemplo IV
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 74).
A definição de função exponencial é apresentada no tópico 9 e, nesse momento, os
autores consideram a base como sendo um número positivo e diferente de 1 uma vez que já
demonstraram que, no caso da base negativa, a função não é definida para todo valor real de
x. No tópico 10, são apresentados dois gráficos da função exponencial, considerando base
maior que 1 e menor que 1.
A seguir, os autores ilustram as curvas obtidas no tópico 10 em uma figura (figura 15)
e enunciam as propriedades da curva exponencial:
Figura 15- Esboço dos gráficos de duas funções exponenciais de bases 2 e 1/2
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 76).
As propriedades da curva exponencial são assim enunciadas:
77
1o) A curva, em qualquer dos casos, fica situada toda acima do eixo dos x,
pois a funcção ax é positiva para qualquer valor de x
2o) A curva exponencial passa sempre pelo ponto B de coordenadas 0 e 1.
3o) A partir do ponto B, no 1
o caso (a > 1), a curva sobe rapidamente acima
do semi-eixo positivo dos x e desce lentamente sobre o semi-eixo negativo
do qual se approxima indefinidamente, mas sem nunca attingil-o. O semi-
eixo negativo dos x é uma asymptota da curva y = ax (a > 1). No 2
o caso (a <
1), dá-se o inverso: a curva, a partir do ponto B, afasta-se cada vez mais do
semi-eixo negativo dos x e tem por asymptota o semi-eixo positivo das
abscissas (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1938, p.76).
O tópico 13 mostra um feixe de curvas exponenciais, mas não fazem referência a
alterações do aspecto da curva quando se varia a base. A figura 16 mostra essas curvas.
Figura 16- Feixe de curvas
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 77).
Citam seis propriedades da função exponencial que enumeramos:
I) Para qualquer valor de x a funcção ax é positiva.
II) Quando o valor de x se approxima de zero ax se aproxima de 1.
III) A funcção ax é continua para qualquer valor de x, isto é, attribuindo-se a
x um valor qualquer real e finito, ax terá um valor real, finito e bem
determinado.
IV) Ha um valor real de x e um só para o qual a funcção ax toma um valor
particular b positivo.
78
V) Si x crescer indefinidamente a funcção ax crescerá indefinidamente
quando a for maior que 1, e tenderá para zero quando a for menor que 1.
(...).
VI) Si x for negativo e crescer indefinidamente em valor absoluto, a funcção
ax tendera para zero quando a for maior que 1, e crescerá indefinidamente
quando a for menor que 1. (...). (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1938,
p.77-78).
Ao final do capítulo, são dispostos oito exercícios (figura 17).
Figura 17- Exercícios propostos
Fonte: Roxo; Thiré; Mello e Souza (1938, p. 78).
Os exercícios propostos ao aluno, apresentado pelos autores, mostram que houve uma
tendência de explorar os conceitos apresentados no texto, antes da definição de função
exponencial. São exercícios que se assemelham aos exemplos I, II e III. Não há nos
Exercícios caso em que a base é negativa. Relativamente à função exponencial propriamente
dita, há apenas o exercício 7 que explora a parte gráfica, sem exigir conhecimentos das
propriedades da função em questão. O exercício 8, apesar de referir-se a uma função, que por
definição difere da exponencial, tem objetivo semelhante ao 7 que é o traçado de gráfico.
79
Os autores não fazem nenhuma referência histórica e, também, não observamos
aplicações práticas do conteúdo, conforme anunciado no prefácio.
As equações exponenciais não são apresentadas dentro deste capítulo. Há, no capítulo
IX, Taboas de Logarithmos, no tópico 17, a demonstração apenas da resolução da equação
exponencial da forma 𝑎𝑥 = 𝑏 (figura 18). Não há a apresentação de nenhuma outra forma de
equação exponencial.
Figura 18- Equação exponencial
Fonte: Roxo; Thiré; Mello e Souza (1938, p. 129).
Os exercícios são apresentados em número de 3, no final do capítulo e todos envolvem
a utilização de logaritmos (figura 19).
Figura 19- exercícios propostos sobre equações exponenciais
Fonte: Roxo;Thiré ;Mello e Souza (1938, p. 132).
80
Sistemas de representação
No texto descrito, os autores lançam mão de formas de representação que poderemos
dizer serem de forma textual, simbólica, tabular, por meio de quadros, e gráfica.
Há uma predominância da representação verbal que é reforçada pela pequena
quantidade de exemplos, que são exercícios resolvidos, como complemento da teoria
apresentada. Identificamos quatro exemplos.
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma simbólica
de se apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
Na representação tabular, verificam-se os quadros, os quais são explorados para
mostrar os resultados de exemplos (figura 14).
Os gráficos (figuras 15 e 16) complementam a visualização da variação da função
exponencial, considerando base maior e menor que 1.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: A resolução de uma equação exponencial ou a determinação da
variável y para possíveis valores de x sempre exige a aplicação de operações aritméticas, tais
como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
Análise da obra sob o ponto de vista da Reforma Francisco Campos
O livro em questão pode ser traduzido como um exemplo bem fiel das propostas
inovadoras estabelecidas pela reforma. O que se percebe, é que, ao se iniciar o estudo das
funções exponenciais através das noções preliminares e, logo em seguida, propondo um
exemplo, adotando valores positivo, nulo e negativo para o expoente, inferimos que os autores
pretendem provocar a reflexão para conduzir à percepção de que, ao se reduzir o valor do
expoente, para a base positiva, colocada no exemplo, o valor da variável y decresce. Assim, os
autores vão conduzindo a apresentação do texto até culminar com a definição de função
exponencial. Nesse momento, de forma heurística, o aluno deverá ter concluído que a base
deverá ser positiva e diferente de 1. Então, é visível o emprego do método heurístico, uma vez
que o aluno é solicitado a participar, constantemente, do estudo proposto que, no nosso caso,
é equação/função exponencial.
81
3.1.2 Livro 2 - Curso de Mathemática, 4.o Anno, 3.
a Edição, 1936. Autores: Euclides Roxo,
Cecil Thiré. Mello e Souza
Julgamos ser importante a comparação da 4.a
edição, já apresentada, com a 3.a
edição
de 1936. Na edição de 1936, os autores haviam incluído o tópico caso de expoente
incommensuravel (tópico 9, p. 78), além de apresentar, nos tópicos 12 e 13, duas propriedades
da curva exponencial que não foram mais apresentadas na edição de 1938:
Primeira propriedade da curva exponencial: Dados tres pontos A, C, B, se a
abscissa de C for a média arithmetica das abscissas de a e B, a ordenada de C
será a média geométrica dos pontos A e B .
Segunda propriedade da curva exponencial: Si vários pontos se succedem
sobre a curva exponencial de modo que a differença entre as abscissas de
dois pontos consecutivos seja sempre a mesma, esses pontos têm as
ordenadas numa razão constante (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1936,
p.81).
O Factor de crescimento é apresentado no tópico 14, seguido de um exemplo de
aplicação prática, relacionado ao crescimento populacional: “A população de uma cidade
cresce por anno à razão de 20 por mil. Qual é o factor de crescimento annual?” (ROXO;
THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1936, p.84).
Outro tópico que não estará presente na edição de 1938 é o Graphico da funcção
𝑦 = 𝑏𝑎𝑥, na qual a e b são constantes. Os autores mostram que as ordenadas, correspondentes
aos mesmos valores de x na função 𝑦 = 𝑎𝑥, ficam multiplicadas pelo valor constante b.
A catenaria é apresentada como aplicação prática no tópico 22 onde se faz uma
referência histórica a Galileu ao relatar que: “Galileu foi o primeiro que observou a catenária
atribuindo erradamente a essa curva a forma parabólica”. (ROXO; THIRÉ; MELLO e
SOUZA, 1936, p.88).
Compreendemos que os autores dispensaram uma atenção especial à função
exponencial em detrimento às equações exponenciais. Podemos dizer que, seguiram a
proposição de conteúdos estabelecidos pela reforma Francisco Campos.
3.2 Década de 1940
Livro 3 – Matemática 2.o Ciclo, 2
a Série, 2.
a Edição, 1944. Autores: Euclides Roxo, Haroldo
Lisboa da Cunha, Roberto Peixoto, Cesar Dacorso Netto.
82
Livro 4 – Curso de Matemática, 2.o Livro Colegial, 3.
a Edição, 1949. Autor: Algacyr Munhoz
Maeder.
O quadro comparativo é mostrado a seguir:
Quadro 3- Quadro comparativo das obras analisadas na década de 40
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
ROXO, THIRÉ,
MELLO e SOUZA, 1944
MAEDER,
1949
Tipo de capa Dura Dura
Índice
Sim, nas últimas páginas do livro e
sem estar em ordem alfabética.
Sim, nas primeiras páginas do
livro e sem estar em ordem
alfabética.
Prefácio X -
Bibliografia - -
Tamanho (cm) 14x20 14x21
Número de páginas 455 415
Apresentação de formulários - -
Referências históricas X -
Exercícios de exemplo X X
Exercícios propostos com
resposta
Sim e ao final do livro Sim e após o enunciado
Notas de rodapé X -
Terminologia adotada
Os autores utilizam muito rigor
matemático nas demonstrações. A
explicação do professor deve ser
bem valorizada para o completo
entendimento do conteúdo.
Linguagem simples e direta.
Capítulo destinado
a potenciação
Sim com 11 páginas -
Número de páginas destinadas a
função exponencial
4 10
Número de páginas destinadas a
equação exponencial
8 6
Aplicação da função
exponencial a outras áreas do
conhecimento
- -
Aplicação da equação
exponencial a outras áreas do
conhecimento
- -
Fonte: Dados da pesquisa.
Na década de 40, temos como referência a Reforma Gustavo Capanema que manteve a
separação dos ensinos: o curso anteriormente chamado de Curso Fundamental passou a se
chamar Ginasial e o Curso Complementar, Colegial, com duas opções: Clássico ou Científico.
O Curso Científico apresentava programas de Matemática, Física e Química bem mais
completos e explica a presença da função exponencial no programa da 2.a série da disciplina
de Matemática e, para Marques (2005), era dirigido aos alunos interessados aos cursos de
83
Engenharia, Medicina e correlatos. A Reforma Capanema não expediu instruções
metodológicas (MARQUES, 2005, p.48).
3.2.1 Livro 3 – Matemática 2.o Ciclo, 2
a Série, 2.
a Edição, 1944. Autores: Euclides Roxo,
Haroldo Lisboa da Cunha, Roberto Peixoto, Cesar Dacorso Netto.
Os autores
Haroldo Lisboa da Cunha
Engenheiro civil e eletricista, professor catedrático de Matemática do Colégio Pedro II
e Docente-livre de Cálculo Infinitesimal e de Complementos de Geometria Analítica e
Noções de Nomografia da Escola nacional de Engenharia da Universidade do Brasil. Foi
também professor do Instituto de Educação (OLIVEIRA FILHO, 2013, p. 96).
Outras obras publicadas por este autor:
Sobre as equações algébricas e sua solução por meio de radicais, Rio, 1933 (Tese)
Pontos de Álgebra Complementar (Teoria das equações), Rio, 1939.
Matemática, 2.o Ciclo com Euclides Roxo, Roberto Peixoto e Cesar Dacorso Netto
(ROXO et al., 1944, contra capa).
Roberto Peixoto
Roberto José Fontes Peixoto graduou-se em Engenharia Civil pela Escola Politécnica
do Rio de Janeiro. Foi professor do Instituto de Educação, professor de Matemática das
Escolas Técnicas Secundárias da Prefeitura do Distrito Federal, do Colégio Paula Freitas, do
Ginásio Vera Cruz e do Instituto Superior de Preparatórios (OLIVEIRA FILHO, 2013, p. 95).
Outros títulos de sua autoria:
Geometria Analítica a duas dimensões
Geometria Analítica a três dimensões
Exercícios de Geometria Analítica a duas dimensões
Exercícios de Geometria Analítica a três dimensões
Matemática, 2.o Ciclo com Euclides Roxo, Haroldo Lisboa da Cunha e Cesar Dacorso
Netto (ROXO et al.., 1944, contra capa).
84
César Dacorso Netto
Há poucos registros na literatura sobre esse autor. Porém, segundo Dassie (2008, p.
220), ele graduou-se na Escola Politécnica da Universidade do Distrito Federal24
e ex–
professor do Colégio São Bento do Rio de Janeiro.
Destacamos algumas obras publicadas por este autor:
Elementos de Aritmética, Livraria do globo, Porto Alegre, 1938.
Esboço sobre a transformação em matemática elementar, Rio, 1933 (Tese) (ROXO et
al.., 1944, contra capa).
Figura 20- Folha de rosto do livro de Roxo et al
Fonte: Roxo et al., (1944).
Estrutura editorial
A obra (figura 20) corresponde à 2.a edição, para a 2.
a série, datada de 1944 e editada
pela Livraria Francisco Alves. Foi escrito por quatro professores, sendo dois deles do Colégio
24
A Universidade do Distrito Federal foi criada em 1935, incorporando o Instituto de Educação que era a antiga
Escola Normal do Distrito Federal e essa transformação se deu em 1932, gerenciada por Anísio Teixeira, então
Diretor da Instrução Pública (DASSIE, 2008, p. 191).
85
Pedro II e os outros do Instituto de Educação. Na folha de rosto, há o título da obra, o nome
dos autores, a instituição onde trabalham e o nome da livraria com endereços.
O volume que dispomos para análise não possui a capa original e, dessa forma, não foi
possível apresentá-la.
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em três partes: Álgebra,
Geometria e Trigonometria, divididas em unidades: Álgebra com quatro unidades, Geometria
com uma unidade e Trigonometria com seis unidades. Cada unidade é apresentada em tópicos
enumerados em sequência até a última unidade de Trigonometria. Essa forma de organização,
segundo Dassie (2011, p. 181) “auxilia a localização de algum conteúdo já apresentado
quando novos conceitos estão sendo abordados e, também, caracterizam o desejo de uma
organização sistematizada”.
Há exemplos resolvidos durante o desenvolvimento do conteúdo e outros denominados
exercícios, alocados no final do texto explicativo. As respostas e as soluções de alguns
exercícios estão no final do livro. Esta obra foi destinada aos alunos dos Cursos Científico e
Clássico (ROXO et al., 1944, advertência).
A parte I, Álgebra, foi escrita por César Dacorso Netto; A parte II, por Euclides Roxo
e a parte III por Roberto Peixoto. Embora, no livro, conste o nome do professor Haroldo
Lisbôa da Cunha, não há referências dos tópicos que ele pudesse ter contribuído. Deste modo,
como Dacorso Netto foi o autor da parte que contém equação e função exponenciais, apenas o
nome desse autor será referenciado quando tratarmos desses conteúdos.
Figura 21- Partes do livro com os respectivos autores
Fonte: Roxo et al (1944).
86
Na Advertência, os autores alertam que:
A matéria não ficou adstrita, entretanto, aos títulos e sub-títulos dos atuais
programas. Procuraram os autores sugerir alguns complementos e
aplicações, sem se afastar, entretanto, dos assuntos dos programas e sem
quebrar a harmonia do conjunto. (...) Finalmente, será frizado que os atuais
programas do 2º Ciclo são compostos de partes nitidamente distintas que
compreendem: Aritmética teórica, Álgebra elementar, Trigonometria.
Álgebra vetorial e geometria analítica. Com isso, com o fim de manter, na
exposição de cada um dêsses ramos, a indispensável unidade didática,
julgaram os autores, do melhor alvitre, dividir a tarefa tal como é indicado
em cada uma das partes (ROXO et al.,1944, advertência).
No programa (figura 22) colocado para a 2.a série, os autores denominam a unidade I
de A função exponencial e, nessa unidade, está incluído o estudo dos logaritmos e o uso das
tábuas, incluindo as aplicações com a resolução de algumas equações exponenciais.
Figura 22- Programa da segunda série
Fonte: Roxo et al. (1944).
87
Análise do conteúdo equação/função exponencial
A unidade I (A função exponencial) inicia-se com Potências de Expoente Real e na
advertência, tópico 1, os autores justificam que:
Após o desenvolvimento das progressões aritméticas e geométricas, que
apresentaremos apenas para atender a disposições do atual programa,
trataremos da função exponencial, que nos conduzirá ao estudo e à prática
dos logaritmos. A completa execução desse objetivo exige, porém, que
retomemos o conceito de potência para estendê-lo ao caso em que o
expoente não é inteiro nem positivo, mas sim um número qualquer
(DACORSO NETTO, 1944, p. 9).
Nesse retorno ao conceito de potência, há uma completa abordagem ao assunto,
iniciando-se com potência de expoente racional, passando para propriedades das potências
de expoente racional que são apresentadas em número de sete:
I) Designando-se por a um número aritmético e por r um número racional,
tem-se:
𝑎𝑟 > 1 𝑠𝑒 é 𝑎 > 1
𝑎𝑟 < 1 𝑠𝑒 é 𝑎 < 1 II) Potências de mesmo expoente variam no mesmo sentido em que as bases,
isto é, elevando-se os membros de uma desigualdade à mesma potência,
obtém-se outra desigualdade de mesmo sentido.
III) Potências de mesma base variam no mesmo sentido em que os expoentes
quando a base é maior que 1, e em sentido contrário quando a base é menor
que 1.
IV) Dado 𝑎 > 1, pode sempre obter-se um número racional, r, de modo que
𝑎𝑟 seja superior a qualquer número pre-fixado.
V) Dado 𝑎 > 1, pode sempre obter-se um número racional, r, de modo que
𝑎𝑟 seja maior do que 1 e a diferença 𝑎𝑟 − 1 seja inferior a qualquer número
pre-fixado.
VI) Dado 𝑎 < 1, pode sempre obter-se um número racional, r, de modo que
𝑎𝑟 seja inferior a qualquer número pré-fixado.
VII) Dado 𝑎 < 1, pode sempre obter-se um número racional, r, de modo que
𝑎𝑟 seja menor do que 1 e a diferença 𝑎𝑟 − 1 seja inferior a qualquer número
pre-fixado (DACORSO NETTO, 1944, p. 11-15)
Nas propriedades IV, V, VI e VII, já percebemos a utilização do conceito de limites e
há um rigor matemático nas demonstrações dessas propriedades, conforme podemos perceber,
por exemplo, na propriedade V (figura 23). Há sempre a utilização de notas de rodapé e
algumas com informações de conteúdo histórico como é o caso em que introduzem o símbolo
de infinito (∞) e revelam na nota número 10 informações detalhadas sobre esse símbolo:
88
O símbolo ∞, empregado pelos Romanos para representar o número 1000,
foi usado pela primeira vez, com a atual significação, por J. Wallis e, masi
tarde, por J. Bernoulli (“Ars Conjectandi”, 1713). Não traduz êste símbolo
um número, propriamente, mas apenas exprime um infinito potencial,
distinto do infinito realizado da concepção dos números transfinitos, de G.
Cantor (1874) (DACORSO NETTO,1944, nota de rodapé, p. 13).
Figura 23- Demonstração da propriedade V
Fonte: Dacorso Netto (1944, p. 14).
A seguir, tratam das potências com expoente irracional e com expoente real. Não há
nenhum exemplo de exercícios, mas sim a exposição teórica e bem fundamentada das
potências. Para a compreensão das propriedades colocadas e de suas demonstrações, o aluno
deve ter contado com uma aula bem preparada pelo professor, devido, como já dissemos do
rigor matemático utilizado.
Na parte de função exponencial, o tópico 25 traz a definição já com a restrição para a
base que deve ser positiva e diferente de 1. É importante destacar a utilização do termo campo
de existência e, na nota de rodapé, já se utiliza o termo conjunto quando observa que é “o
conjunto dos valores que podemos atribuir à variável independente” (DACORSO NETTO,
89
1944, nota de rodapé p. 47). Asseguram que a função exponencial é contínua em todo o seu
campo de existência e seguem para a representação gráfica e, para tal, explora as propriedades
das potências, colocadas anteriormente. Em linguagem bem simbólica, apresentam:
𝑎 > 1 {𝑎−∞ = 0𝑎0 = 1
𝑎+∞ = ∞ 0 < 𝑎 < 1 {
𝑎−∞ = ∞𝑎0 = 1
𝑎+∞ = 0
(DACORSO NETTO, 1944, p. 48).
Há apenas um gráfico representativo com alguns esclarecimentos relativo ao
comportamento da curva (figura 24).
Figura 24- Representação gráfica da função exponencial
Fonte: Dacorso Netto (1944, P. 48).
No tópico seguinte, o autor já parte para o conceito de função inversa. Trata da
correspondência biunívoca entre x e y e, ao tomar x como função de y, apresenta a função
inversa da função exponencial à qual denomina de função logarítmica (figura 25).
90
Figura 25- Apresentação da função logarítmica
Fonte: Dacorso Netto (1944, p. 50).
A partir daí, desenvolvem-se vários tópicos sobre os logaritmos e a utilização das
tábuas de logaritmos. Não há a proposição de nenhum exercício relativo à função
exponencial.
As equações exponenciais, colocadas ao final do estudo dos logaritmos, recebem o
título, na unidade, de Resolução de algumas equações exponenciais. O autor mostra o tipo
mais comum de equação que é o da forma 𝑎𝑥 = 𝑏 com a e b positivos e 𝑎 ≠ 1 . Esclarece que
a equação apresentará sempre uma solução, ao lembrar do estudo da função exponencial,
“pois que a todo valor positivo de y corresponde um valor real de x” (DACORSO NETTO,
1944, p. 73). O autor propõe, como método de resolução, o emprego de logaritmos, caso a e b
não sejam potências de mesma base. Como nota de rodapé, indica que a equação 𝑎𝑥 = 𝑏
também pode ser resolvida por meio das frações contínuas, que estão presentes na UNIDADE
IV, página 185. Um exemplo de resolução por esse método se encontra na figura 26. As
frações contínuas ainda serão abordadas na obra de Maeder (1949, p.143), que dedica um
capítulo ao tema.
91
Figura 26- Resolução da equação exponencial por meio das frações contínuas
Fonte: Dacorso Netto (1944, p. 200).
Os exemplos de equações exponenciais colocados foram:
I) 𝑎𝑥 = 𝑏, sendo a e b positivos. Na resolução, apresenta-se as propriedades dos logaritmos,
fornecendo um exemplo de solução (0,3)𝑥 = 7.
II) 𝑎𝛼𝑥= 𝑏, sendo a e b positivos. Apresenta-se uma forma mais geral que é 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏
também com solução por meio das propriedades dos logaritmos. Há dois exemplos e figura o
caso em que a e b são potências inteiras de um mesmo número (figura 27).
92
Figura 27- Resolução de equações em que a e b são potências de um mesmo número
Fonte: Dacorso Netto (1944, p. 76).
III) Equações que se reduzem à forma: 𝑎𝑚2𝑥 + 𝑏𝑚𝑥 + 𝑐 = 0 que se reduzem a uma equação
do 2.o grau e recaem na forma 𝑎𝑥 = 𝑏. São dados dois exemplos desse tipo de equação. Os
exercícios propostos têm o enunciado Resolver as equações, em um total de 23. Os demais
exercícios propostos, 7 restantes, envolvem um sistema de equações com uma exponencial e a
outra, logarítmica, 4 envolvendo progressão geométrica e retorna nos exercícios 29 e 30 com
o enunciado Resolver a equação.
Como vimos, pela Portaria Ministerial n.o 77, expedida em 16 de março de 1943, para
a 2ª série a unidade I era prescrito:
A função exponencial: 1 - Estudo das progressões aritméticas e
geométricas. 2 - Noção de função exponencial e de sua função inversa. 3 -
Teoria dos logaritmos; aplicações. 4 - Resolução de algumas equações
exponenciais. (BRASIL, 1943).
93
Percebemos que o estudo das equações exponenciais, nesta obra, foi mais detalhado
quando comparamos com a obra da década de 1930, uma vez que a resolução de equações
exponenciais agora é parte do programa oficial.
Sistemas de representação
Há uma predominância da representação verbal. Os autores utilizam muito texto.
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma simbólica
de se apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
A representação tabular não foi utilizada, mas a gráfica sim, considerando as bases
maiores que 1 e entre 0 e 1 com o objetivo de mostrar ao aluno o comportamento da função.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: Com a aplicação de operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a resolução de equações exponenciais.
3.2.2 Livro 4 – Curso de Matemática, 2.o Livro Colegial, 3.
a Edição, 1949. Autor: Algacyr
Munhoz Maeder.
O autor
Algacyr Munhoz Maeder nasceu no dia 22 de abril de 1903, em Curitiba, Paraná, onde
fez seus primeiros estudos escolares, seguindo, posteriormente, para São Paulo, capital,
quando passou a estudar no Colégio São Bento. Retornando a Curitiba, graduou-se em
Engenharia Civil pela Faculdade de Engenharia da Universidade Federal do Paraná. Maeder
foi autor de livros didáticos de Matemática editados por duas editoras: Typographia João
Haupt e Cia. e Edições Melhoramentos (LONGEN, 2007). Publicou dezenove livros entre
1928 e 1962. Durante a sua vida, exerceu diversas funções, entre as quais, diretor do
Gymnasio Paranaense (atual Colégio Estadual do Paraná), de 1928 a 1930; prefeito de
Curitiba, em 1946; reitor da Universidade Federal do Paraná de 1971 a 1972; presidente da
Associação de Professores da Universidade Federal do Paraná e membro do Conselho Federal
de Educação, da Sociedade Paranaense de Matemática e da Sociedade Brasileira de Física.
Faleceu no dia 29 de dezembro de 1975 (LONGEN, 2007).
Entre outras obras publicadas por esse autor, podemos citar:
94
O conceito de número (These, 1927) – Concurso para Lente cathedrático de
Arithmetica e Algebra do Externato do Gymnasio Paranaense.
Resolução e Discussão das Equações do Primeiro e Segundo Gráos a uma Incognita
(These, 1927) - Concurso para Lente cathedrático de Arithmetica e Algebra do
Externato do Gymnasio Paranaense.
Algebra Elementar, 1.a parte e 2.
a parte.
Lições de Matemática, do 1.o ao 5.
o ano.
Curso de Matemática, Curso Ginasial, da 1.a a 4.
a série
Curso de Matemática, Ciclo Colegial, 1.o, 2.
o e 3.
o livros
Matemática, Curso Comercial Básico, da 1.a a 4.
a série (LONGEN, 2007).
Figura 28- Capa do livro Curso de Matemática
Fonte: Maeder (1949).
Estrutura editorial
A obra a ser analisada, denominada “Curso de Matemática”, destinou-se ao ciclo
colegial e foi denominado de 2.o Livro. Trata-se da 3.
a edição, publicada em 1949, pela
Edições Melhoramentos, tendo como público-alvo estudantes do curso secundário do segundo
95
ciclo, conforme a Reforma Capanema. As características da obra, no que concerne a capa e
folha de rosto são semelhantes ao livro de Roxo et al. (1945).
A obra é apresentada em 25 capítulos, numerados em algarismos romanos. Não há
nenhuma referência histórica na obra. Os conteúdos são apresentados em tópicos com
numeração de 1 a 435, o que não traduz em uma característica desse autor, pois Roxo et al.
(1945) também assim o fizeram. Nas primeiras páginas, anteriores ao índice, o autor apresenta
os programas do ciclo colegial para os cursos científico e clássico, referentes à 2.a série
(figura 29).
Figura 29- Programa do Ciclo Colegial para o Curso Científico
Fonte: Maeder (1949, p. 7).
O programa oficial coloca, de forma bem definida, as partes de Matemática: Álgebra
com quatro unidades; Geometria com uma unidade e Trigonometria com seis unidades. A
unidade I é destinada à função exponencial e podemos observar a colocação da função inversa
da exponencial, tratando-se da função logarítmica (figura 30).
96
Figura 30- Programa do Ciclo Colegial para o Curso Clássico
Fonte: Maeder (1949, p. 8).
Quando fazemos a comparação entre esses dois programas, observamos algumas
diferenças e também semelhanças. De modo geral, o programa destinado ao ensino clássico
está presente naquele que corresponde ao ensino científico, porém, neste último, as
abordagens são mais completas. Em relação à Álgebra, as diferenças são constatadas no
aumento de conteúdos para o curso científico, com o acréscimo de duas unidades:
Determinantes e fracções contínuas. A função exponencial aparece no Curso Científico. A
Geometria é contemplada com o mesmo programa e, a Trigonometria, ganha no Curso
Científico as unidades de Transformações trigonométricas e Equações trigonométricas.
Observando o índice da obra (figura 31), conclui-se que esta é destinada ao curso
científico, apesar de o autor não ter especificado esse detalhe na capa ou folha de rosto.
97
Figura 31- Parte do índice da obra de Maeder
Fonte: Maeder (1949, p. 8).
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O autor apresenta a noção de função exponencial e de sua inversa no terceiro capítulo,
iniciando na página 36 e, finalizando na página 45. Nesse mesmo capítulo, o autor apresenta a
função logarítmica, considerando o conceito de função inversa. Quanto às equações
exponenciais, o capítulo V as descreve, das páginas 69 a 74.
Não há, de forma inicial, nenhuma revisão ou referências a assuntos previamente
estudados e que servirão de suporte para o bom entendimento do capítulo.
A função exponencial é apresentada a partir do tópico 37, com uma definição, sem
referências a conceitos de domínio e imagem, relatando, apenas, que o “campo de existência”
98
é o conjunto dos números reais (figura 32). Faz-se referência à base simplesmente como um
número positivo qualquer, não excetuando a base igual a 1.
Figura 32- Definição de função exponencial apresentada
Fonte: Maeder (1949, p. 36).
O conteúdo é exposto, explorando os princípios e propriedades, sendo que, o tópico
38, apresenta o Princípio I: “As potências de expoente inteiro e positivo de um número maior
que 1 são maiores que 1 e crescem no mesmo sentido que o expoente, podendo tornar-se
menores que qualquer número prefixado”. (MAEDER, 1949, p. 36).
O autor faz uma demonstração detalhada desse princípio que envolve conceitos de
teoria dos números e desigualdades. Da mesma forma, no tópico 40, é apresentado o
Princípio II: “As potências de expoente inteiro e positivo de um número menor que 1 são
menores que 1 e variam em sentido contrário do expoente, podendo tornar-se menores que
qualquer número prefixado.” (MAEDER, 1949, p. 38). Novamente, o autor apresenta a
demonstração desse princípio com o mesmo rigor dado ao primeiro.
No tópico 42, são apresentadas quatro propriedades das funções exponenciais (figura
33). Na primeira, há a afirmação de que a função exponencial é sempre positiva, pois a base é
sempre também o é. Novamente, não excetua a base igual a 1. Na segunda, o autor escreve
que “para cada valor de x corresponde um valor determinado de y”, não fazendo referência ao
conceito de função bijetora. Na terceira propriedade, estabelece a condição para que a função
seja crescente ou decrescente. Na quarta propriedade, estabelece que “a função exponencial é
contínua para qualquer valor de x”.
99
Figura 33- Propriedades da função exponencial
Fonte: Maeder (1949, p. 39).
As variações da função exponencial são apresentadas no tópico 43, considerando os
casos em que a base é maior que 1 e compreendida entre 0 e 1. Neste tópico, há, pela primeira
vez, a observação de que 0 < 𝑎 < 1, sendo 𝑎, a base, ou seja, 𝑎 deve ser diferente de 1. Essas
variações são apresentadas em dois quadros. O primeiro (figura 34) é para base maior que 1:
Figura 34- Variação da função exponencial para base maior que 1
Fonte: Maeder (1949, p. 42).
O segundo (figura 35) apresenta a variação para a base entre 0 e 1:
Figura 35- Variação da função exponencial para base entre 0 e 1
Fonte: Maeder (1949, p. 43).
100
Na representação gráfica, há o exame de dois casos, considerando base maior que 1 e
base menor que 1 e o autor escreve: “Servindo-nos do sistema ortogonal de eixos
coordenados, vejamos o aspecto que adquire o gráfico no primeiro caso.” (MAEDER, 1949,
p. 42).
Para o primeiro caso, é representada a função 𝑦 = 2𝑥 e, no segundo, 𝑦 = (1/2)𝑥. São
dados apenas esses dois exemplos (figura 36). Não há exercícios de fixação. Não há
referências a nenhuma aplicação em outros ramos do conhecimento.
Figura 36- - Gráficos da função exponencial: à esquerda, base maior que 1 e à direita, menor que 1
Fonte: Maeder (1949, p. 43-44).
Não há, no desenvolvimento do tema, exemplos de exercícios resolvidos e nem
exercícios propostos sobre a função exponencial.
O conceito de função inversa comparece no tópico 45, como ponto de partida para a
apresentação da função logarítmica (figura 37). O autor segue a mesma sequência apresentada
por Roxo, Peixoto, Cunha e Netto (1945).
As equações exponenciais são abordadas no capítulo V, logo após todo o estudo de
logaritmos, intitulado Resolução de Algumas Equações Exponenciais. No tópico 72, é
apresentada a definição de equação exponencial que é seguida de um exemplo literal no
tópico 73. É apresentado um exercício resolvido, utilizando-se as propriedades dos
logaritmos. Há mais dois exemplos literais nos tópicos 74 e 76. As equações do tipo
𝑎𝑏𝑐.....𝑥
= 𝑚
101
são apresentadas como observação no tópico 75, sinalizando que são equações que poderão,
em alguns casos, serem resolvidas sem auxílio dos logaritmos. É dado o exemplo 32𝑥= 6561
que é resolvido.
Figura 37- A definição de função logarítmica
Fonte: Maeder (1949, p. 45).
No tópico 76, o autor mostra outro tipo de equação exponencial da forma:
𝑎2𝑥 + 𝑏𝑎𝑥 + 𝑐 = 0
sugerindo a substituição de variáveis, considerando 𝑎𝑥 = 𝑦
No tópico 77, há mais três exercícios resolvidos, seguidos dos propostos no tópico 78.
Esses últimos são em número de vinte e com enunciado “resolver as equações seguintes”. No
tópico 77, há mais três exercícios resolvidos, seguidos dos propostos no tópico 78. Esses
últimos são em número de vinte e com enunciado “resolver as equações seguintes”. Os
exercícios de 1 a 7 são repetitivos, isto é, o autor muda apenas a base e o resultado da
potenciação e pede o expoente. De 8 a 13, há soma, no expoente e no primeiro membro da
equação, e são bem semelhantes. Os demais envolvem aplicações de logaritmos. Com os
exemplos resolvidos, o aluno consegue resolver esses exercícios propostos.
No capítulo reservado às frações reduzidas, capítulo X, página 143, nos exercícios, o
autor propõe ao leitor a resolução de duas equações 2𝑥 = 5 e 10𝑥 = 3 (MAEDER, 1949, p.
168).
102
Sistemas de representação
No texto descrito para a função exponencial, há uma predominância da representação
verbal, não havendo nenhum exemplo de exercício resolvido na parte teórica das funções
exponenciais.
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma de se
apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
Na representação tabular, verificam-se os quadros que evidenciam a variação da
função (figuras 34 e 35).
Os gráficos são apresentados e complementam a visualização da variação da função
exponencial, considerando base maior e menor que 1.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a resolução de equações exponenciais.
3.3 Década de 1950
Livro 5 - Curso de Matemática, Primeiro Ano Colegial (Clássico e Científico), 3.a
Edição, 1955. Autor: Manoel Jairo Bezerra.
Livro 6 - Matemática para os cursos Clássico e Científico, 1o Ano, 9.
a Edição, 1955.
Autor: Thales Mello Carvalho.
Livro 7 - Matemática 2o Ciclo, 1
a Série, 8.
a Edição, 1956. Autores: Euclides Roxo,
Roberto Peixoto, Haroldo Cunha, Dacorso Netto.
Livro 8 - Matemática Primeiro Ano Colegial, 6.a Edição, 1959. Autor: Ary Quintella.
O quadro comparativo das quatro obras (quadro 4) é mostrado a seguir.
103
Quadro 4-- Quadro comparativo das obras na década de 50
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
BEZERRA
1955
CARVALHO
1955
ROXO et al.
1956
QUINTELLA
1959
Tipo de capa Dura Dura Dura Dura
Índice Início da obra Final da obra Final da obra Final da obra
Prefácio - - - -
Bibliografia - - - -
Tamanho (cm) 13x19 13x19 14x20 13x19
Número de páginas 300 316 378 285
Apresentação de formulários - - - -
Referências históricas - X X -
Exercícios de exemplo X X X X
Exercícios propostos com
resposta
Sim e com
respostas no
final do
capítulo
Sim e com
respostas no final
da proposição
dos exercícios
Sim e com respostas
no final da unidade
Sim e com
respostas no final
de cada enunciado
Notas de rodapé - X - -
Terminologia adotada
Linguagem
simples e
clara com
assuntos
colocados em
ordem
crescente de
dificuldade
Linguagem
simples e clara
com assuntos
colocados em
ordem crescente
de dificuldade
Utilização de
demonstrações que
requerem abstração
por parte dos alunos.
A contribuição do
professor é
importante
Linguagem simples
e clara com
assuntos colocados
em ordem
crescente de
dificuldade
Capítulo destinado
a potenciação
- X X -
Número de páginas
destinadas à função
exponencial
0 5 0 0
Número de páginas
destinadas à equação
exponencial
7 4 7 6
Aplicação da função
exponencial a outras áreas
do conhecimento
- - - -
Aplicação da equação
exponencial a outras áreas
do conhecimento
- - - -
Fonte: Dados da pesquisa.
3.3.1 Livro 5- Curso de Matemática, Primeiro Ano Colegial (Clássico e Científico), 3.a
Edição, 1955. Autor: Manoel Jairo Bezerra.
O autor
Manoel Jairo Bezerra nasceu em fevereiro de 1920, em Macau, Rio Grande do Norte e
faleceu em março de 2010, no Rio de Janeiro. Bacharel em Matemática pela Faculdade
Nacional de Filosofia, em 1943; criador do curso preparatório Pré – Normal Jairo Bezerra.
Foi professor no Colégio Pedro II, no Instituto de Educação do Estado da Guanabara, na
Escola de Comando e Estado-Maior da Aeronáutica, no Curso de Técnica de Ensino do
104
Exército, Colégio Naval, Colégio Andrews, no Curso Universidade de Cultura Popular, na
Rádio MEC e na Fundação Centro Brasileiro de Televisão Educativa. Em 1967, Jairo Bezerra,
ao lado dos educadores Gilson Amado e Alfredina de Paiva e Souza, criou a Fundação
Centro Brasileiro de Televisão Educativa – um centro produtor de programas didáticos que
viria, posteriormente, conseguir a outorga da TVE Brasil (MACIEL, 2011, p. 2-3).
Algumas obras publicadas por este autor:
Didática Especial de Matemática (1958). Premiado com uma viagem à França pela
CADES (Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário). Manoel
Jairo Bezerra se orgulhava dessa obra.
Cadernos MEC Geometria (1966 e 1977).
Aritmética (1965, 1982).
Álgebra 1 (1977).
Vamos Gostar da Matemática (1985).
Problemas e Exercícios de Matemática (1964).
Iniciando a Matemática Moderna, volumes 1 e 2 (1968? E 1969).
Curso de Matemática, 1.o, 2.
o e 3.
o colegial (1955, 1953, 1954 respectivamente).
Curso de Matemática para os primeiro, segundo e terceiro anos dos cursos Clássico e
Científico (1960) (MACIEL, 2012, p. 7-8).
Estrutura editorial
A obra corresponde à 3.a edição, para o 1.
o ano colegial, de 1955 e editada pela
Companhia Editora Nacional (figura 38).
Figura 38- Capa do livro do autor Manoel Jairo Bezerra (1955)
Fonte: Manoel Jairo Bezerra (1955).
105
Na folha de rosto (figura 39), há o título da obra, o nome do autor e a informação de
que é destinado ao Curso Clássico ou Científico, também a informação de que está de acordo
com os novos programas, conforme portarias n.o 966, de 2 de outubro de 1951 e 1045 de 14
de dezembro de 1951.
Figura 39- Folha de rosto do livro do autor Manoel Jairo Bezerra (1955)
Fonte: Manoel Jairo Bezerra (1955).
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em cinco unidades que
abrangem Erros, Progressões, Logaritmos, Geometria Espacial e Secções Cônicas. Cada
unidade é apresentada em tópicos numerados em sequência.
Há exercícios resolvidos como exemplos e outros denominados Exercícios para
resolver, cujas respostas são encontradas ao final de todos eles com o título Respostas.
As equações exponenciais são encontradas na unidade de Logaritmos e o autor não
incluiu nenhum tópico de função exponencial.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O estudo das equações exponenciais começa na página112 e finaliza na página 118.
Não há nenhuma referência prévia, nesse volume, sobre Potências e o autor já inicia com a
Definição que é bem simples: “Chama-se equação exponencial a toda equação que possua
uma ou mais incógnitas em expoente.” (BEZERRA, 1955, p.112).
106
As equações são apresentadas em quatro tipos. O primeiro, é classificado como o mais
simples, citando a resolução por logaritmos e com o auxílio dos logaritmos (figura 40).
Figura 40- Classificação das equações exponenciais
Fonte: Manoel Jairo Bezerra (1955, p. 112).
Ao final do tópico, há dois exercícios que estão resolvidos (figura 41). As
propriedades operatórias dos logaritmos são bastante exploradas. O segundo tipo é
apresentado como sendo da forma:
𝑎𝑏𝑐....𝑥
= 𝑛
Na solução, há a proposta de substituição de variável:
Figura 41- Segundo tipo e exemplos e a substituição de variável
Fonte: Manoel Jairo Bezerra (1955, p. 112).
107
O terceiro tipo são equações que se reduzem a uma equação do segundo grau e da
forma:
𝑎𝑥2𝑛 + 𝑏𝑥𝑛 + 𝑐 = 0
que também se resolvem por meio de substituição de variável.
O quarto tipo são equações cujo primeiro membro é uma soma de exponenciais de
mesma base:
𝑎𝑥 + 𝑎𝑥−1 + 𝑎𝑥−2 + ⋯ + 𝑎𝑥−𝑛 = 𝑏
A solução proposta é colocar em evidência, no primeiro membro, a potência de menor
expoente. Posteriormente, mais dois exercícios resolvidos.
O tópico a seguir mostra oito exemplos de equações que são solucionadas sem o
emprego de logaritmos.
Os exercícios para resolver são em número de vinte e cinco e são questões diretas que
pedem para “resolver as seguintes equações”.
Inferimos que Bezerra (1955), ao utilizar uma linguagem clara e simples, permitiria
que o aluno pudesse, por ele mesmo, entender os tipos de equações exponenciais.
Sistemas de representação
No texto, não há uma predominância da representação verbal, pois o autor descreve a
teoria, fazendo uso de exemplos literais e numéricos que são os exercícios resolvidos.
A representação simbólica se faz presente para a representação geral dos tipos de
equação exponencial.
Não há representação tabular e nem representação gráfica.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a resolução de equações exponenciais.
108
3.3.2 Livro 6 – Matemática para os cursos Clássico e Científico, 1o Ano, 9.
a Edição, 1955.
Autor: Thales Mello Carvalho.
O autor
Thales Mello de Carvalho nasceu em 1913 e faleceu em 1961 (GAERTNER;
BARALDI, 2014, p.34). Engenheiro Civil e Geógrafo pela Escola Politécnica da
Universidade Técnica Federal (atual Escola Politécnica da UFRJ). Foi professor de
Matemática do Ensino Secundário do Distrito Federal; catedrático de Metodologia do Cálculo
do Instituto de Educação do antigo Distrito Federal; Catedrático de Matemática Financeira da
Faculdade Nacional de Ciências Econômicas, professor de Matemática Geral e Financeira do
Curso de Aperfeiçoamento da Caixa Econômica do Rio de Janeiro e do Curso de Extensão do
Instituto de Resseguros do Brasil (CARVALHO, 1969, contra capa).
Outras obras publicadas por este autor:
Curiosidades Matemáticas;
Lições de Trigonometria Retilínea;
Lições de Matemática;
O número de ouro;
Sobre Alguns Ábacos de Alinhamento e sua Aplicação ao Cálculo da Taxa de
Anuidades (Tese);
Elementos de Matemática Comercial e Financeira;
Matemática para os Cursos Clássico e Científico (CARVALH0, 1969, contra capa).
Estrutura editorial
A obra corresponde à 9.a edição, para o 1.
o ano colegial, de 1955 e editada pela
Companhia Editora Nacional (figura 42).
109
Figura 42- Capa do livro de autoria de Thales Mello de Carvalho (1955)
Fonte: Carvalho (1955).
Na folha de rosto (figura 43), há o título da obra, o nome do autor, a informação de
que está de acordo com os novos programas, conforme portarias n.o 966, de 2 de outubro de
1951 e 1045 de 14 de dezembro de 1951.
Figura 43- Folha de rosto do livro de autoria de Thales Mello de Carvalho (1955)
Fonte: Carvalho (1955).
110
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em sete capítulos: Cálculo
Numérico Aproximado, Progressões, Logaritmos, Geometria Espacial e Secções Cônicas.
Cada unidade é apresentada em tópicos enumerados cuja numeração é reiniciada nos tópicos
seguintes.
Há exercícios com resolução e outros que são denominados Exercícios para resolver,
cujas respostas são encontradas ao final de cada enunciado.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O livro em questão trata da função exponencial, dentro do capítulo de logaritmos
(capítulo III) que é iniciado com uma abordagem sobre potências, evidenciando nos dois
primeiros tópicos, as potências de expoente inteiro e de expoente racional com oito
propriedades, demonstradas ao final do enunciado de cada uma. A exemplo de Dacorso Netto
(1944), já introduz o termo limite com o seu símbolo. Citamos essas propriedades:
I. Sendo a um número real absoluto e m um número natural, tem-se 𝑎𝑚 ><
1
ou 𝑎−𝑚 <>
1 conforme 𝑎 ><
1.
II. Sendo a e b números reais absolutos tais que 𝑎 > 𝑏, e r um número
racional positivo, tem-se 𝑎𝑟 > 𝑏𝑟 e 𝑎−𝑟 < 𝑏−𝑟.
III. Sendo a um número real absoluto e r um número real positivo, tem-se
𝑎𝑟 ><
1 ou 𝑎−𝑟 <>
1, conforme 𝑎 ><
1.
IV. Sendo a um número real absoluto e r e r’ números racionais tais que
𝑟 > 𝑟′, tem-se 𝑎𝑟 ><
𝑎𝑟′ conforme seja 𝑎 ><
1.
V. Sejam a um número real absoluto e r um número racional. Se 𝑟 > 1, tem-
se 𝑎𝑟 ><
𝑎, conforme seja 𝑎 ><
1; se 𝑟 < 1, tem-se 𝑎𝑟 <>
𝑎, conforme seja 𝑎 ><
1.
VI. Sendo 𝑎 > 1 e s um número absoluto arbitrário, é possível escolher um
número racional absoluto r, tal que 𝑎𝑟 > 𝑠.
VII. Sendo 𝑎 < 1 e s um número absoluto arbitrário, é possível escolher um
número racional absoluto r, tal que 𝑎𝑟 < 𝑠.
VIII. Sendo 𝑎 > 1 é possível escolher um número racional absoluto r tal que
a diferença 𝑎𝑟 − 1 seja inferior a um número racional positivo ∝,
arbitrariamente escolhido (CARVALHO, 1955, p. 73-75).
São também apresentadas as potências de expoente real. A partir daí, é iniciada a
explanação sobre a função exponencial, que é apresentada de uma maneira simples através da
equação 𝑦 = 𝑎𝑥, na qual considera a um número real positivo, diferente de 1. O autor chama
a atenção do leitor, afirmando que o “símbolo 𝑎𝑥 representa uma determinação positiva de
𝑎𝑥” (CARVALHO, 1955, p. 76). A nota de rodapé esclarece o caso (figura 44).
111
Figura 44- Nota de rodapé, mostrando duas determinações:a negativa e a positiva
Fonte: Carvalho (1955, p. 76).
O autor aponta essa determinação positiva como sendo uma restrição, o que coloca a
curva representativa da função no semiplano situado acima do eixo dos x.
As funções são colocadas no texto, utilizando-se a terminologia Primeiro caso para o
caso da base maior que 1, expondo o gráfico e o Segundo caso, considerando a base menor
que 1 (figura 45). Na definição o autor já se referiu à base como sendo um número real
absoluto e diferente de 1.
Figura 45- - Representação gráfica da função exponencial para os dois casos de valores da base
Fonte: Carvalho (1955, p. 77-78).
Na observação do tópico 8, o autor leva até o leitor, um feixe de curvas exponenciais:
considerou duas base a e b, sendo 𝑎 > 𝑏 > 1 e que, portanto,
0 <1
𝑎<
1
𝑏< 1. Assim, apresenta o gráfico e sugere que a utilização do feixe de curvas para
um melhor entendimento das propriedades das potências que foram citadas (figura 46).
112
Figura 46- - Feixe de curvas exponenciais para bases maiores e menores que 1
Fonte: Carvalho (1955, p. 79).
A função logarítmica é discutida pelo autor de uma forma clara quando mostra a
função logarítmica pela equação 𝑦 = log𝑎 𝑥, sendo a um número real absoluto, diferente de 0
e de 1 e deduz a igualdade 𝑥 = 𝑎𝑦 que define x como função exponencial de y. Observamos
que o autor não utiliza o termo direto função inversa, mas constrói a curva da função
logarítmica de uma forma distinta dos outros autores analisados (figura 47).
Figura 47- Construção do gráfico da função logarítmica
Fonte: Carvalho (1955, p. 80).
113
As equações exponenciais são descritas no mesmo capítulo III (logaritmos) e no tópico
40, Preliminares, o autor expõe que “Equação exponencial é aquela que contém incógnita em
expoente” (CARVALHO, 1955, p. 101). Confirma que a mais simples é a da forma 𝑎𝑥 = 𝑏 e
propõe uma solução, utilizando, como recurso, os logaritmos. Nos tópicos de 31 a 45,
emprega, como recurso pedagógico, exercícios com resolução, levando ao conhecimento do
leitor não só a resolução, mas os tipos de equações exponenciais, normalmente apresentados
por outros autores: equação na qual os membros não são potências de mesma base, solução
por logaritmos; membros que são potências de mesma base e equações cujo primeiro membro
é uma soma de exponenciais de mesma base. As atividades são colocadas como exercícios
para resolver, no tópico 46, em um total de 15, e os demais com a proposição de Resolver a
equação. As respostas são colocadas ao final de cada enunciado (figuras 48 e 49).
Figura 48- Exercícios para resolver de 1 a 9
Fonte: Carvalho (1955, p. 103).
114
Figura 49- Exercícios para resolver de 10 a 15.
Fonte: Carvalho (1955, p. 103).
Todos os exercícios propostos são semelhantes aos exemplos resolvidos no texto,
sendo que os de números 4 e 5 envolvem aplicação de logaritmos. Todos os demais, como
sublinhado pelo autor “requer um pequeno artifício” (CARVALHO, 1955, p. 102). São
resoluções diretas e de caráter repetitivo.
Sistemas de representação
O autor faz uso de parágrafos explicativos sobre propriedades de potências e
demonstrações sem utilizar exemplos de exercícios resolvidos, ou seja, explorou bastante a
representação textual.
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma de se
apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
Não houve representação por meio de quadros ou tabelas. A representação gráfica é
usada para as funções e, ao que parece, com o objetivo de fazer o aluno compreender
intuitivamente as propriedades das potências que foram citadas: “Para uma compreensão mais
intuitiva das propriedades do n.o 3
25, sugerimos ao leitor interpretá-las à luz do gráfico da fig.
3” (CARVALHO, 1955, p. 78). A figura indicada pelo autor corresponde à figura 46 deste
trabalho.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
25
As propriedades do n.o 3 estão descritas na página 109.
115
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a determinação de potências e para a resolução
de equações exponenciais.
3.3.3 Livro 7 – Matemática 2o Ciclo, 1
a Série, 8.
a Edição, 1956. Autores: Euclides Roxo,
Roberto Peixoto, Haroldo Cunha, Dacorso Netto.
Os autores
Um breve resumo biográfico desses autores já foi realizado na análise dos livros da
década de 1940.
Figura 50 - Capa do livro do Roxo et al. (1956)
Fonte: Roxo et al. (1956).
Estrutura editorial
A obra corresponde à 8.a edição, para a 1.
a série, datada de 1956 e editada pela
Livraria Francisco Alves. Foi escrita por quatro professores, sendo dois deles do Colégio
Pedro II e dois do Instituto de Educação.
Na folha de rosto (figura 51), há o título da obra, o nome dos autores, a instituição
onde trabalham e o nome da livraria com endereços e a informação de que a obra está de
acordo com a Portaria Ministerial n.o 1045, de 14 de dezembro de 1951.
116
Figura 51- Folha de rosto do livro do Roxo et al. (1956)
Fonte: do livro do Roxo et al. (1956).
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em duas partes: Aritmética e
Álgebra, parte I, Geometria, parte II. A parte I é dividida em três unidades, sendo Logaritmos
a unidade III. A parte II é dividida em cinco unidades. As unidades são divididas em itens. Os
tópicos estão numerados em ordem crescente até o final de cada parte e é reiniciada na parte
seguinte.
Há exercícios resolvidos durante o desenvolvimento do conteúdo e outros
denominados exercícios, alocados no final do texto explicativo. As respostas foram colocadas
no final de cada parte e foram denominadas de soluções dos exercícios propostos. Alguns
exercícios, de maior complexidade, foram realmente solucionados.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
Não há na obra nenhuma referência à função exponencial. As equações exponenciais
comparecem na parte I (Aritmética e Álgebra), na unidade de logaritmos, no item 3 nos
tópicos de 50 e 51.
O assunto Potências consta como primeiro ponto da unidade III (logaritmos) e os
autores repetem a mesma disposição de informações que foram realizadas no livro de 1944,
2.a edição. Inferimos que, para a adequação à portaria ministerial vigente, os autores retiraram
117
a parte de função exponencial e mantiveram todo o texto relativo a equações exponenciais da
edição de 1944.
Sistemas de representação
No texto para equações exponenciais, não há uma predominância da representação
verbal, pois o autor descreve a teoria, fazendo uso de exemplos literais e numéricos que são os
exercícios resolvidos.
A representação simbólica se faz presente para a representação geral dos tipos de
equação exponencial
Não há representação tabular e nem representação gráfica.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a resolução de equações exponenciais.
3.3.4 Livro 8 - Matemática Primeiro Ano Colegial, 6.a Edição, 1959. Autor: Ary Quintella.
O autor
Ary Norton de Murat Quintella nasceu em 1906, em São Paulo e faleceu em 1968. A
partir do ensino secundário teve sua vida de estudante e profissional no Rio de Janeiro.
Estudou no Colégio Pedro II, formou-se na Escola Militar e foi professor desde 1937 do
Colégio Militar do Rio de Janeiro. Foi professor do Instituto de Educação de 1950 a 1960.
Participou da organização dos programas de Matemática para os cursos comercial básico e
técnico, a convite do Ministro da Educação (VALENTE, 2008, p.15).
Algumas obras publicadas por este autor:
Matemática, primeira, segunda, terceira e quarta Série Ginasial.
Matemática, primeiro, segundo e terceiro ano Colegial.
Aritmética Prática para o primeiro ano do Curso Comercial Básico.
Matemática para o segundo ano do Curso Comercial Básico.
Álgebra Elementar para o terceiro ano do Curso Comercial Básico.
Guia de Matemática, Coleção Madureza.
118
Exercícios de Aritmética, Admissão e Quinta Série Primária.
Questões de concurso nas Escolas Superiores.
Exercícios de Matemática para o Curso Normal (QUINTELLA, 1959).
Figura 52- Capa do livro de Quintella (1959)
Fonte: Quintella (1959).
Estrutura editorial
A obra (figura 52) corresponde à 6.a edição, para o primeiro ano colegial, datada de
1959 e editada pela Companhia Editora Nacional. Foi escrito por Ary Quintella que, à época,
era Professor Catedrático do Colégio Militar.
Na folha de rosto (figura 53), há o título da obra, o nome do autor, a instituição onde
trabalha, a edição e o nome da livraria, trazendo a informação de que a obra atende a Portaria
Ministerial n.o 1045, de 14 de dezembro de 1951.
119
Figura 53- Folha de rosto do livro de Quintella (1959)
Fonte: Quintella (1959).
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em unidades, sendo três
unidades para Aritmética e Álgebra, 1 unidade para Geometria Espacial e 1 unidade para
Secções Cônicas. Somente a parte de Geometria que foi dividida em capítulos. As demais
foram divididas em itens. Por exemplo, a Unidade III trata de Logaritmos e equações
exponenciais, sendo que o item I é Conceito. Propriedades gerais, o item II é Logaritmos
decimais e o item III, Equações exponenciais. Após o índice geral, o autor apresenta o índice
dos exercícios. Durante o desenvolvimento teórico, são colocados exemplos que são
exercícios resolvidos. Os exercícios, para o aluno resolver, são colocados ao final da unidade
e, as respostas, no final de cada enunciado.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
Não há referência à função exponencial nessa obra.
Quintella (1959) traz a definição de equação exponencial pela característica da
incógnita figurar em expoente e a classifica em primeira e segunda ordens. Para a primeira
ordem, que é da forma 𝑎𝑥 = 𝑏, traz dois casos: a e b são potências de mesma base e a e b
120
quaisquer. O segundo caso resolve por logaritmos. São dados quatro exemplos em que as
equações são solucionadas de uma forma bem didática.
A equação de segunda ordem é da forma 𝑎2𝑥= 𝑏 que se reduz a uma de primeira
ordem ao se fazer 2𝑥 = 𝑦.
A equação exponencial do tipo 𝑎 ∝2𝑥+ 𝑏 ∝𝑥+ 𝑐 = 0 é também considerada e por
substituição de variável se reduz a uma equação do 2.o grau. É dado um exemplo.
No tópico seguinte, têm-se as equações onde, nos exponente incógnitos, figuram
adição e subtração com um exemplo e finaliza com equações onde figuram índices incógnitos
com mais um exemplo.
Verifica-se uma disposição do conteúdo de forma cadenciada e bem descrita. Parece
que o autor tinha a intenção de que o leitor, por si só, compreender o conteúdo (figura 54).
Figura 54- Resolução de uma equação exponencial como exemplo
Fonte: Quintella (1959, p. 97).
Os exercícios, em número de 98, são colocados ao final de toda a parte descritiva e, as
respostas, após o enunciado (figuras 55 e 56).
121
Figura 55- Exercícios de 1 a 27 de Quintella (1959)
Fonte: Quintella (1959, p. 98).
Figura 56- Exercícios de 28 a 35 de Quintella (1959)
Fonte: Quintella (1959, p. 99).
122
Sistemas de representação
No texto para equações exponenciais, não há uma predominância da representação
verbal, pois o autor fornece, como texto, a definição de equação exponencial e mostra, a partir
daí, exemplos resolvidos.
A representação simbólica se faz pouco presente e é usada para a representação geral
dos tipos de equação exponencial.
Não há representação tabular e nem representação gráfica.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Nenhuma situação física da natureza, como aplicação da equação
exponencial, é citada durante o texto.
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a resolução de equações exponenciais.
Como consideração final nessa década, podemos dizer que as formas de apresentação
do conteúdo equação exponencial, objeto de pesquisa deste trabalho, em muito são
semelhantes nos quatro livros verificados. Os autores, de uma maneira ou outra, definem,
classificam, fornecem exemplos resolvidos e propõem exercícios quase que semelhantes
quanto ao grau de dificuldade.
A função exponencial não foi mais integrante dos textos, excetuando-se em Carvalho
(1955). Dessa forma:
[...] ficou caracterizado, nos Cursos Clássico e Científico dos anos 50, um
padrão estandardizado para a Matemática escolar. É possível dizer, então,
que a matemática dos Cursos Clássico e Científico dos anos 50 se constituiu
numa disciplina escolar sob a ótica de André Chervel, pois a partir da
portaria 51 que traz mudanças à reforma Capanema, se constitui na prática
uma única matemática do Colégio (OTONE, 2011, p.248).
Quanto ao conteúdo geral das obras, as Portarias 966 e 1054 promoveram a
estabilidade dos conteúdos.
123
3.4 Década de 1960
Livro 9 - Irmãos Maristas. Matemática Primeira Série Colegial. 1960. (Coleção
Didática FTD).
Livro 10- Exercícios e Problemas de Álgebra, Vol. I – Parte A, Para o Ciclo Colegial
e Exames Vestibulares às Escolas Superiores. Alberto Nunes Serrão, 4.a Edição, 1966.
Livro 11- Matemática Curso Colegial Moderno, 1.a Série Colegial. Scipione Di Pierro
Neto, Luiz Mauro Rocha, Ruy Madsen Barbosa, vol. 1, 1967.
Nessa década, não apenas os programas de Matemática, mas também as formas de
apresentação dos conteúdos sofreram influência do Movimento da Matemática Moderna, uma
vez que, conforme já anunciamos anteriormente (subtítulo 2.3) houve a introdução de
elementos unificadores quais sejam a Teoria dos Conjuntos, Estruturas Algébricas, Relações e
Funções. Analisaremos o conteúdo função/equação exponencial em três obras, sendo a
primeira editada no início da década, cuja influência do Movimento da Matemática Moderna
não foi perceptível, apesar de o I Congresso de Ensino de Matemática ter sido realizado em
1955 e a terceira, em 1967, logo após o V Congresso de Ensino de Matemática, realizado em
São José dos Campos em 1966.
O quadros comparativos das quatro obras (quadros 5 e 6) são mostrados a seguir.
Quadro 5- Quadro comparativo das obras na década de 60
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
IRMÃOS
MARISTAS
1960
SERRÃO
1966
DI PIERRO NETTO,
ROCHA e BARBOSA
1967
Tipo de capa Dura com desenhos
geométricos
Flexível de cor
vermelha com
detalhe em branco
Flexível de cor vermelha com
o título Matemática de cor
branca e detalhes circulares
brancos
Índice Início da obra:
índice geral e índice
analítico
Início da obra Final da obra
Prefácio - X X
Bibliografia - - -
Tamanho (cm) 13,5x21 14x21 14,5x21
Número de páginas 298 218 267
Apresentação de formulários X - -
Referências históricas - - -
Exercícios de exemplo X X X
Exercícios propostos com
resposta
Sim e com
respostas no final
do enunciado
Sim e com
respostas no final
da proposição dos
exercícios
Sim e com respostas no final
do enunciado
Notas de rodapé - - -
Fonte: Dados da pesquisa.
124
Quadro 6- Quadro comparativo das obras na década de 60
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
IRMÃOS
MARISTAS
1960
SERRÃO
1966
DI PIERRO NETTO,
ROCHA e BARBOSA
1967
Terminologia adotada Linguagem simples
e clara com
assuntos colocados
em ordem crescente
de dificuldade
Exposição teórica
bem resumida que
necessitam de
complementação
Linguagem clara, o autor
utiliza textos bem explicativos
e ainda utiliza o Vocabulário,
que é o resumo do capítulo
como lembrete
Capítulo destinado a
potenciação
- - X
Número de páginas
destinadas a função
exponencial
0 2 4
Número de páginas
destinadas a equação
exponencial
5 13 5
Aplicação da função
exponencial a outras áreas
do conhecimento
- - -
Aplicação da equação
exponencial a outras áreas
do conhecimento
- - -
Fonte: Dados da pesquisa.
3.4.1 Livro 9- Irmãos Maristas. Matemática Primeira Série Colegial. 1960. (Coleção
Didática FTD).
O autor
A sigla FTD foi uma homenagem ao Frei Théophane Durand, que assumiu a direção
geral da Congregação Marista em 1833. No Rio de Janeiro, a FTD foi inaugurada, em 1902,
para atender a demanda “de livros europeus pelos novos colégios católicos criados no Brasil”.
A editora investe na edição de um grande número de livros didáticos de “todas as disciplinas
escolares” (VALENTE, 2002, p. 190 apud QUEIROZ; ZUIN, 2016, p. 7), obtendo êxito.
Frei Théophane Durand foi um grande incentivador dos irmãos dessa congregação
para escreverem obras didáticas, apesar de que, nessa época, já havia 50 títulos publicados
(BARONI, 2008 apud QUEIROZ; ZUIN, 2016, p. 7). Dessa forma, as edições mais antigas e
as novas publicações compuseram o que os Irmãos Maristas denominaram “Coleção Didática
FTD” – a primeira frase impressa como título na capa do livro ora citado. Outra
particularidade dessa obra é que não há a apresentação do nome do autor. Essa é outra
característica dos livros didáticos de Matemática da editora FTD. Com essa ação, segundo
Baroni (2009), os Maristas deixavam suas obras como obra da Congregação e não como obra
específica de um único Irmão. Por essa razão, em algumas obras, poderemos também
125
encontrar os impressos “Por FTD” ou “Por uma reunião de professores” (QUEIROZ; ZUIN,
2016, p. 7).
Outras obras publicadas:
Exercícios de Cálculo sobre as Quatro Operações (1902).
Novas Taboas de Logarithmos.
Elementos de Aritmética, curso elementar.
Elementos de Aritmética, curso secundário.
Curso de Álgebra Elementar, ensino primário e secundário.
Complementos de Álgebra.
Trigonometria elementar.
Geometria elementar (VALENTE, 2002, p. 190-191).
Estrutura Editorial
A obra corresponde ao sexto volume da coleção Didática FTD, dirigida à primeira
série do Curso Colegial, datada de 1960 e editada pela editora do Brasil (figura 57).
Figura 57- Capa do livro dos Irmãos Maristas
Fonte: Irmãos Maristas (1960).
Na folha de rosto (figura 58), há o título do livro, o nome Irmãos Maristas, o volume
6, e a editora. Em destaque, a informação de que a obra atende a Portaria Ministerial n.o 1045,
de 14 de dezembro de 1951.
126
Figura 58- Folha de rosto do livro dos Irmãos Maristas
Fonte: Irmãos Maristas (1960).
Em relação aos elementos textuais, a obra apresenta dois índices: o índice geral e o
índice analítico. Os conteúdos são apresentados em capítulos com numeração em algarismos
romanos de I a XVII. Durante o desenvolvimento teórico, são colocados exercícios com
solução. Os exercícios propostos são dispostos no final do capítulo e as respostas estão no
final de cada enunciado.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O conteúdo equações exponenciais encontra-se no capítulo VI, após o capítulo de
logaritmos e os autores não abordam as funções exponenciais.
O capítulo VI consta de apenas quatro páginas. Todas as definições, conceitos e
exemplos, ao longo de toda a obra, são numerados em ordem crescente e, assim procedendo, a
apresentação das equações exponenciais inicia-se no tópico 74, onde é dada uma definição
simples de equação exponencial. No parágrafo seguinte do mesmo tópico, define-se
exponencial, citando três exemplos. A seguir, classificam-se as exponenciais em: primeira
ordem, quando o expoente é uma incógnita; de segunda ordem, quando tem por expoente uma
exponencial de primeira ordem; de terceira ordem, quando tem por expoente uma exponencial
de segunda ordem e, assim, sucessivamente.
127
Para a resolução das equações exponenciais (tópico 75), os autores informam que as
mesmas poderão ser resolvidas por logaritmos ou, em certos casos, por artifícios.
No tópico 76, são apresentados exercícios resolvidos e, em todos os exemplos, houve
o emprego de propriedades dos logaritmos. O 2.o exemplo, disposto na página 92, no qual há
a apresentação de uma mudança de variável do tipo 𝑏𝑥 = 𝑦 que se repete nos exemplos 3 e 4
(figura 59).
Figura 59- Exemplo de resolução de equação com o uso de logaritmos
Fonte: Irmãos Maristas (1960, p. 92).
No tópico 77, os autores apresentam exemplos de resolução sem o emprego de
logaritmos (figura 60). Neste caso, o método de resolução sugere o emprego do artifício,
citado no tópico 75, que é a decomposição em fatores primos. São apresentados cinco
exemplos.
128
Figura 60- Exemplo de resolução de equação sem o uso de logaritmos
Fonte: Irmãos Maristas (1960, p.93).
No tópico 78, é apresentado um único exemplo de equação exponencial, na qual há
uma soma de exponenciais no primeiro membro da equação.
Os autores, durante o desenvolvimento do capítulo, não incluem referências históricas
e não apresentam nenhuma situação de aplicação em outras áreas. Os exercícios propostos ao
final do capítulo, num total de 25, se concentram em: “Resolver as equações seguintes sem os
logaritmos” e “Resolver as equações seguintes pelos logaritmos”. Não há, evidentemente,
nenhuma representação gráfica, uma vez que, como citado anteriormente, não existe nenhuma
indicação de qualquer conceito ou noção de função exponencial.
Sistemas de representação
No tópico 74, que trata da definição de equação exponencial, os autores utilizam a
representação textual para apresentar as ordens das equações. A partir desse tópico, com
pouco texto, os autores resolvem exemplos de equações, tanto literais quanto numéricas,
fazendo-se presente a representação simbólica.
Não há a apresentação de quadros e nem de gráficos.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: A resolução de uma equação exponencial ou a determinação da
variável y para possíveis valores de x sempre exige a aplicação de operações aritméticas, tais
como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
129
3.4.2 - Livro 10- Exercícios e Problemas de Álgebra, Vol .I – Parte A, Para o Ciclo Colegial
e Exames Vestibulares às Escolas Superiores. Alberto Nunes Serrão, 4.a Edição, 1966.
O autor
Foi professor catedrático de Matemática do Colégio Pedro II. Professor-chefe da
Seção de Matemática do Colégio Universitário da Universidade do Brasil. Engenheiro civil e
geógrafo pela Escola Nacional de Engenharia. Docente-livre da Cadeira de Cálculo
Infinitesimal, Geometria Analítica e Noções de Nomografia da Escola Nacional de
Engenharia. Livre docente da cadeira de Matemática Superior da Escola Nacional de
Engenharia. Ex-professor de Matemática do Curso Complementar do Colégio Pedro II, do
Instituto de Educação do Estado do Rio de Janeiro (OLIVEIRA FILHO, 2013, p. 95).
Outras obras publicadas por este autor:
Lições de matemática para médicos e químicos
Lições de trigonometria retilínea e de cálculo vectorial
Exercícios e problemas de Álgebra (SERRÃO, 1966).
Figura 61- Capa do livro do Serrão (1966)
Fonte: Serrão (1966).
130
Estrutura Editorial
A obra corresponde ao volume 1, da 4.a edição, de 1966 e com reimpressões nos anos
de 1968, 1969, 1970, 1971, 1972, 1974 e 1975. Editada por Ao Livro Técnico S/A – Indústria
e Comércio (figura 61).
O papel da capa já difere das obras analisadas anteriormente, sendo flexível,
semelhante à cartolina, brilhante, de cor vermelha, mostrando em detalhe a representação
gráfica de uma função exponencial de base maior que 1. Esse é um detalhe significativo, pois
ressalta a função exponencial em aspectos específicos do seu domínio e sua forma gráfica em
primeiro plano. Talvez, o fato de Serrão ser professor de Cálculo Diferencial e Integral tenha
influenciado na figura da capa.
No folha de rosto (figura 62), há uma pequena biografia do autor, na parte superior e
centrada, o título da obra, o nível escolar de aplicação da obra e o nome da editora.
Figura 62- Folha de rosto da obra do Serrão (1966)
Fonte: Serrão (1966).
Quanto aos elementos textuais, os conteúdos são organizados em capítulos de 1 a 6,
sendo, o capítulo 5, função exponencial e, o 6, o das equações exponenciais.
No prefácio, o autor descreve:
131
Cada capítulo contém, inicialmente, um resumo teórico onde estão grupadas
as fórmulas e enunciados das proposições referentes às diversas unidades
didáticas e que serão utilizadas na solução das questões. Em seguida, há uma
coleção de “EXERCÍCIOS E PROBLEMAS A” resolvidos, em ordem de
dificuldade crescente, versando sobre matéria do científico. Depois, aparece,
uma série de exercícios A, propostos, com as respectivas respostas ou breves
sugestões referentes às soluções. Em terceiro lugar vem um conjunto de
“EXERCÍCIOS E PROBLEMAS B”. Dêstes, muitos se encontram
inteiramente resolvidos e são completados por outros de igual dificuldade, na
grande maioria das vezes, também com respostas (SERRÃO, 1966,
prefácio).
Verificamos, pela citação, que o autor demonstra grande preocupação com os
exercícios e problemas, chamando a atenção para o fato de que estes estão em ordem
crescente de dificuldade.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O capítulo 5 é destinado à função exponencial e logaritmos. É apresentado um resumo
teórico que se inicia com a definição de função exponencial pela relação 𝑦 = 𝑎𝑥,
denominando a de base, número real positivo qualquer, desde que a seja diferente de 0 e 1. O
autor impõe, na definição, a condição para a base sem se referir a campo de existência ou
domínio. Continua, anotando que x varia no campo real, isto é, desde −∞ a +∞.
Há a distinção de dois casos para a função exponencial, conforme a base seja maior
que 1 ou menor que 1. O comportamento da função para este caso é mostrado na figura 63.
Figura 63- Comportamento da função exponencial para base maior que 1
Fonte: Serrão (1966).
Existe uma representação gráfica correspondente (figura 64), na qual o leitor é levado
ao conceito de assíntota ao eixo x, utilizando como recurso didático a distância +𝜖 de um
ponto da curva ao eixo x e afirma que essa distância tende a zero “à medida que o ponto se
afasta indefinidamente sobre a curva” (SERRÃO, 1966, p. 135). O autor evita, então, a
utilização do termo x tende a −∞, embora o conceito de limite esteja presente.
132
Figura 64- Representação gráfica da função exponencial para base maior que 1
Fonte: Serrão (1966).
O comportamento da função para o caso da base menor que 1é mostrado na figura 65.
Figura 65- Comportamento da função exponencial para base menor que 1
Fonte: Serrão (1966).
A representação gráfica é a apresentada na figura 66.
Figura 66- Representação gráfica da função exponencial para base menor que 1
Fonte: Serrão (1966).
A função logarítmica é apresentada como a inversa da função exponencial,
considerando a função 𝑥 = 𝑎𝑦 e explicitando y aparece a função logarítmica 𝑦 = log𝑎 𝑥.
O capítulo 6 traz as equações exponenciais e no item 6.1 o conceito de que a
característica da equação exponencial é possuir uma ou mais incógnitas em expoente. Assim,
133
a forma mais simples é 𝑎𝑥 = 𝑏, a e b estão subordinadas a certas restrições, mas não as
apresenta. A equação exponencial de segunda ordem seria 𝑎𝑏𝑥= 𝑐.
É interessante o que o autor escreve no item 6.3, método geral: “não há processos
gerais para a solução de equações exponenciais ou logarítmicas, quaisquer” (SERRÃO, 1966,
p. 170).
São apresentados 25 exercícios resolvidos e, seguidamente, os propostos em número
de 141 e todos com o enunciado resolver as equações (figura 67).
Figura 67- Parte dos exercícios propostos
Fonte: Serrão (1966, p. 179).
Os exercícios e problemas B apresentam maior nível de dificuldade. Como exemplo,
transcrevemos o exercício a seguir:
159. Discutir a equação 32𝑥 − (𝑚 + 2). 3𝑥 + (2𝑚 + 1) = 0,
quando o parâmetro m varia de −∞ a +∞. (SERRÃO, 1966, p. 185).
134
Para a resolução da equação anterior, quando se faz a substituição:
32x
= y2 e 3
x = y, obtendo-se y
2 – (m + 2)y + (2m +1) = 0,
o autor dispõe um quadro, no qual apresenta os possíveis resultados de forma resumida,
acrescentando as conclusões a partir de casos específicos considerando-se o sinal das raízes.
Figura 68- Resultados resumidos do exercício 159
Legenda: discriminante de uma equação do 2º grau,
P = produto das raízes, S = soma das raízes
Fonte: Serrão (1966).
O autor preocupa-se em dar detalhes de uma possível resolução. Este tipo de
procedimento não foi encontrado em outros livros analisados.
Sistemas de representação
A obra apresenta como característica principal a apresentação inicial de um resumo
teórico com a apresentação de fórmulas e enunciados das proposições referentes às diversas
unidades didáticas e que são utilizadas na solução dos exercícios. Dessa forma, a
representação textual é pouco explorada. A representação simbólica foi usada na
representação da função, da distância até o eixo x (ɛ), do infinito e símbolos de crescente e
135
decrescente. A representação tabular também foi utilizada para visualizar a variação da
função, bem como a representação gráfica com o mesmo objetivo.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: Estão presentes na determinação da variável y para possíveis
valores de x que exige a aplicação de operações aritméticas, tais como potenciação, radiciação
e as operações fundamentais.
3.4.3 Livro 11- Matemática Curso Colegial Moderno, 1.a Série Colegial. Scipione Di Pierro
Netto, Luiz Mauro Rocha, Ruy Madsen Barbosa, vol. 1, 1967.
Os autores
Scipione Di Pierro Netto
Scipione Di Pierro Netto (1926-2005) era doutor em Educação pela Universidade de
São Paulo – USP. No início de sua carreira, foi professor de Matemática na rede pública do
Estado de São Paulo, ingressando posteriormente, por concurso público, no Colégio de
Aplicação da USP. Lecionou em diversas instituições de Ensino Superior, entre elas a USP e
a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Teve participação no G.E.E.M. – Grupo de
Estudos do Ensino da Matemática, presidido por Osvaldo Sangiorgi. Scipione foi autor de
inúmeros livros didáticos de Matemática e começou a ter destaque nesse ofício no final da
década de 1960 (QUEIROZ e ZUIN, 2016, p. 8).
Algumas obras publicadas por este autor:
Matemática Para a Escola Moderna 4 volumes: 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do Curso Ginasial.
Matemática na Escola Renovada –1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do Curso Ginasial.
Matemática Passo a Passo – 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do 1º grau.
Matemática na Escola Renovada –1º, 2º e 3º anos do Curso Colegial (co-autora: Célia
Contin Goes).
Matemática – 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do 1º grau (co-autores: Magda Teresinha Angelo,
Edson do Carmo e Lilia Maria Faccio) (BROLEZZI; PINHEIRO, 2008, p. 3).
136
Luiz Mauro Rocha
Foi professor de Cálculo Infinitesimal da FEI – Faculdade de Engenharia Industrial26
e
da FFCL – Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Fundação Santo André. Foi Instrutor
de Cálculo Infinitesimal da Escola Politécnica da USP e Ex-professor do Colégio Estadual de
São Paulo (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967).
Ruy Madsen Barbosa
Doutor em Matemática pela Universidade Católica de Campinas. Livre docente de
Matemática da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da Fundação de Araraquara. Foi
professor do ensino secundário oficial do estado de São Paulo (DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1967).
Estrutura Editorial
A obra corresponde ao volume 1, da 1.a edição, de 1967, editada pelo Instituto
Brasileiro de Edições Pedagógicas.
A capa é papel flexível, semelhante à cartolina com layout moderno. Na parte superior
da folha de rosto, dispõem-se os nomes dos autores e o título é centralizado. Na parte inferior,
o nome da editora, com endereço, telefones e caixa postal (figuras 69 e 70).
Figura 69- Capa do livro Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967)
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967).
26
Criada pelo decreto n. 20.942 de 9/4/1946. No mesmo ano, em 22 de agosto, a FEI e outras faculdades
constituiram a PUC de São Paulo. A partir do final de 1971, desligou-se da PUC, voltando à condição de
instituição isolada de ensino superior (http://portal.fei.edu.br/pt-BR/fei/historia/Paginas/historia.aspx).
137
Quanto aos elementos textuais, os conteúdos estão dispostos em quatro partes, sendo
a primeira denominada FUNDAMENTOS, com dois capítulos. A segunda parte compreende
FUNÇÕES ELEMENTARES com três capítulos. A quarta parte, TRIGONOMETRIA com dois
capítulos e a quarta e última parte, GEOMETRIA com um capítulo. São, portanto, oito
capítulos, enumerados em algarismo romano.
Figura 70- Folha de rosto do livro Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967)
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967).
Na apresentação, os autores justificam a publicação, afirmando:
A idéia da publicação de uma série colegial de “Matemática Moderna”, em
prosseguimento à Matemática para a Escola Moderna”, do prof. Scipione Di
Pierro Neto, tomou forma e se concretizou durante o transcurso do V
Congresso de Ensino da Matemática, realizado em S. José dos Campos, no
Centro Técnico de Aeronáutica, em 1966. Naqueles dias, em contato com
professores de quase todos os Estados, sentimos bem de perto a angústia
com que os nossos colegas se referiam à dificuldade que encontravam para a
atualização do ensino da matemática no colégio, dada a inexistência, ao seu
alcance, de obras nacionais e estrangeiras (DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1967, apresentação).
Os autores também justificam a presença da primeira parte, adotando normas para a
redação dos três volumes:
1. Apresentar, no início do primeiro volume, um capítulo de
FUNDAMENTOS, destinado aos professôres ainda não iniciados na
138
“Matemática Moderna”, redigido em linguagem fácil e nível elementar – de
modo a que possa ser aprendido e ao mesmo tempo ensinado, no todo ou em
parte, aos alunos (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967,
apresentação).
Os textos são desenvolvidos em tópicos enumerados em ordem crescente de 1 a 198.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
A função exponencial inicia-se no capítulo V, tópico 68 com o título Potências com
expoente real.
A linguagem é objetiva e os autores escrevem como se estivessem conversando com o
leitor, como, por exemplo, ao anunciar que “Nos capítulos anteriores, temo-nos referido
constantemente aos números reais, embora sem termos desenvolvido uma Teoria dos
Números Reais.” (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p. 123). No parágrafo
segundo, escrevem “Aceitamos que o leitor é possuidor de uma idéia intuitiva da natureza
desses números e que sabe utilizar as propriedades essenciais da adição multiplicação e
operações inversas: subtração e divisão.” (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967,
p. 123).
Antes, então, do estudo da função exponencial, são feitos alguns comentários sobre a
operação de potenciação e a definição de potenciação de base real a e expoente inteiro
positivo n é feita, utilizando-se uma representação simbólica bem detalhada (figura 71).
Figura 71- Definição de potenciação e definição de potenciação de base real a e expoente inteiro positivo n.
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 123).
O autor define a aplicação φ como uma operação denominada potenciação. Esta é uma
forma não encontrada em outros autores.
As propriedades das potências são colocadas em destaque dentro de um quadro (figura
72).
139
Figura 72- Propriedades das potências
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 124).
A extensão da definição da operação φ para expoentes zero e negativos é feita com a
utilização do símbolo para todo (∀) (figura 73).
Figura 73- Extensão da definição de φ
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 124).
A função injetora de domínio Z é obtida, fixando a base a, no caso 𝑎 = 2 e
variando o expoente x no conjunto Z. Os autores utilizam o quadro de valores para
𝑎 = 2. A função é apresentada com a simbologia 𝜑 ∶ 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 ∈ 𝑍 (figura 74).
Figura 74- Valores de y para base igual a 2
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 125).
A representação gráfica dessa função é feita com uma linha contínua com a
observação de que não faz parte do gráfico (figura 75).
140
Figura 75- Representação gráfica da função injetora com domínio Z
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 125).
As representações gráficas para a base compreendida entre 0 e 1 e para a base menor
que 0 são também realizadas (figura 76).
Figura 76- Representações gráficas para base entre 0 e 1 e para base negativa
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 126).
Para a potência com expoente real, os autores apresentam a propriedade “Tôda
equação da forma 𝑥𝑛 = 𝑎 com a real não negativo e n natural, tem solução real” (DI PIERRO
NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p. 126). As definições de potências com expoentes reais
são feitas para bases não negativas. São apresentadas novamente cinco propriedades para
quaisquer números reais a, b não negativos e quaisquer expoentes racionais (figura 77).
141
Figura 77- Propriedades das potências para quaisquer expoentes racionais
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 127).
A representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥, para x racional é apresentada, considerando
valores de x iguais a 0, 1/2 e 1 (figura 78).
Figura 78- Representação gráfica dos pontos (x, ax) para valores de x iguais a 0, 1/2 e 1
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 129).
As propriedades das potências com expoente real, em número de cinco, são destacadas
em um quadro (figura 79).
142
Figura 79- Propriedades das potências de expoente real
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 129).
Por último, no tópico 68, temos a definição de função exponencial:
Admitimos então que tôda função 𝑦 = 𝑎𝑥 com a real positivo e x real
qualquer, considerando para cada x o valor positivo da potência 𝑎𝑥, é
injetora e tem por gráfico uma curva contínua, do tipo indicado nos gráficos
anteriores, denominada curva exponencial (DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1967, p.130).
Com relação às propriedades da função exponencial, são apresentadas dez
propriedades que tratam, respectivamente, da intersecção com o eixo y, do ponto de abscissa
1, do sinal de 𝑓(𝑥), das abscissas positivas e negativas para base maior que 1, das abscissas
positivas e negativas para base entre 0 e 1, da monotonicidade para base maior que 1, da
monotonicidade para base entre 0 e 1, da aproximação do eixo horizontal para base maior que
1, da aproximação do eixo horizontal para base entre 0 e 1 e da exponencial 𝑦 = 1𝑥.
É importante ressaltar as duas propriedades também apresentadas como características
da função exponencial:
𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1). 𝑓(𝑥2) ou 𝑎𝑥1+𝑥2 = 𝑎𝑥1 . 𝑎𝑥2
[𝑓(𝑥1)]𝑥2 = 𝑓(𝑥1. 𝑥2) ou (𝑎𝑥1)𝑥2 = 𝑎𝑥1.𝑥2
A definição de equação exponencial é formalizada seguindo uma maneira que difere
dos autores já mencionados, pois usam o termo sentença numérica aberta. Assim, a definem:
“Equação exponencial é uma sentença numérica aberta, na variável real x, onde x figura em
expoentes” (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p.133). Os autores afirmam que
a equação exponencial mais simples é a da forma 𝑎𝑥 = 𝑏, onde a e b são constantes positivas.
143
Existem dois exemplos de resolução. Outros tipos de equação que se reduzem a essa forma
são apresentadas em mais três exemplos.
A função logarítmica comparece no tópico 81 e, dessa forma, não foram apresentados
os casos de equações com resolução por meio das propriedades operatórias dos logaritmos. Os
exercícios para o aluno são encontrados no tópico 79 com a construção de gráficos, aplicação
das propriedades das potências e equações exponenciais para resolver (36 equações) em
ordem crescente de complexidade, sendo a primeira a equação 3𝑥 = 1/81 e, a última,
𝑥𝑥 − 𝑥−𝑥 = 3(1 + 𝑥−𝑥), seguidas pelas respostas.
A função logaritmica é apresentada como inversa da função exponencial geral
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 no caso em que a base a é positiva e diferente de 1, utilizando a representação
simbólica:
Figura 80- Representação simbólica da função logaritmica
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 138).
Sistemas de representação
Os autores utilizam bastante à representação textual com conceitos, definições e
demonstrações de propriedades das potências.
A representação simbólica é bastante explorada por já se tratar de uma obra que coloca
para o leitor a linguagem da Matemática Moderna. Na representação tabular, verificam-se
quadros que ressaltam as propriedades das potências e tabelas são também utilizados pelos
autores e a apresentação de gráficos é feita com a utilização de linhas de grade o que já denota
um diferencial de apresentação dessa obra.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: A resolução de uma equação exponencial ou a determinação da
variável y para possíveis valores de x sempre exige a aplicação de operações aritméticas, tais
como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
144
3.5 Década de 1970
Livro 12- Matemática, 2.o Grau e vestibular. Remo L. Brunelli, 1972.
Livro 13- Matemática na Escola Renovada, 1.a Série do 2.
o Grau (antigo colegial).
Scipione Di Pierro Netto, Célia Contin Góes, 1972
Livro 14- Matemática Segundo Grau. Damian Schor, José Guilherme Tizziotti. Vol. 1,
1975.
Livro 15- Tópicos de Matemática. Gelson Iezzi, Nilson J. Machado, Luiz Roberto S.
Castro, Márcio C. Goulart, Antônio S. Machado. Vol. 1, 1978.
Nesta fase, já está em vigor a lei 5692 de 11 de agosto de 1971 e, assim, o antigo
colegial passa a se denominar 2.o grau.
Os quadros comparativos das obras (quadros 7 e 8) são apresentado a seguir.
Quadro 7- Quadro comparativo das obras da década de 70
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
BRUNELLI
1972
DI PIERRO
NETTO,
ROCHA & C. C.
GÓIS
1972
SCHOR & J. G.
TIZIOTTI
1975
IEZZI et al.
1978
Tipo de capa Flexível,
colorida, com
desenhos de
gráficos e com
simbologias.
Flexível, bem
colorida
Flexível,
explorando pouco
as cores
Flexível,
colorida
Índice Final da obra Início da obra Início da obra Início da obra
Prefácio X – X X
Bibliografia – – X X
Tamanho (cm) 16x22 15,5x22,5 15x22 15x20,5
Número de páginas 209 244 269 325
Apresentação de formulários – – – –
Referências históricas – – X –
Exercícios de exemplo X X X X
Exercícios propostos com
resposta
Sim e com
respostas no
final do livro
Sim e com
respostas no final
da proposição dos
exercícios
Sim e com
respostas no final
do enunciado
Sim e com
respostas no
final do livro
Notas de rodapé – – – –
Terminologia adotada Linguagem
simples e com
exposição bem
resumida da
teoria
Exposição teórica
com muita
utilização de
simbologia
Linguagem clara, o
autor utiliza textos
bem explicativos e
ainda utiliza o
Vocabulário, que é
o resumo do
capítulo como
lembrete
Exposição
teórica com
utilização de
simbologia
Capítulo destinado a
potenciação
– – – X
Fonte: Dados da pesquisa.
145
Quadro 8- Quadro comparativo das obras da década de 70
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
BRUNELLI
1972
DI PIERRO
NETTO,
ROCHA & C. C.
GÓIS
1972
SCHOR & J. G.
TIZIOTTI
1975
IEZZI et al.
1978
Número de páginas
destinadas a função
exponencial
4 16 2 15
Número de páginas
destinadas a equação
exponencial
5 3 4 3
Aplicação da função
exponencial a outras áreas
do conhecimento
– – – X
Aplicação da equação
exponencial a outras áreas
do conhecimento
– – – –
Fonte: Dados da pesquisa.
3.5.1 Livro 12- Matemática, 2.o Grau e vestibular. Remo L. Brunelli, 1972.
O autor
Remo Loschi Brunelli foi professor de Matemática nos Colégios Loyola e Municipal
de Belo Horizonte e professor da Universidade Federal de Minas Gerais (BRUNELLI, 1972,
verso da capa).
Estrutura Editorial
A obra corresponde ao volume 1, da primeira edição, publicada pela Edições Loyola
no ano de 1972 (figura 81).
146
Figura 81- Capa do livro Brunelli (1972)
Fonte: Brunelli (1972).
A capa é papel flexível, semelhante a cartolina com cores azul, vermelha e amarela,
mostrando gráficos de funções, dentre elas, a exponencial.
Na folha de rosto (figura 82), encontramos o título da obra, o público alvo (alunos do
2.o grau e vestibular), a editora (Edições Loyola) e o ano de edição (1972).
Figura 82- Folha de rosto do livro Brunelli (1972)
Fonte: Brunelli (1972).
147
Quanto aos elementos textuais, os conteúdos estão dispostos em seis capítulos,
divididos em tópicos, colocados em ordem crescente de numeração, dentro do capítulo, como
por exemplo, 1.1, 1.2, etc. As cores dos títulos dos tópicos alternam entre o vermelho e o azul.
As funções exponencial e logarítmica estão no capítulo 5. O índice é bem resumido e
colocado no final do livro (figura 83).
Figura 83- Índice do livro Brunelli (1972)
Fonte: Brunelli (1972).
O autor inicia a obra com o capítulo de Funções e na apresentação o autor faz a
seguinte sugestão: “Aos colegas que nos honrarem com a indicação dêste curso sugerimos, se
necessário, preceder o primeiro capítulo com o de “Elementos da Teoria dos Conjuntos”
(BRUNELLI, 1972, p. 5). A Teoria dos Conjuntos seria, portanto, pré-requisito para uma boa
compreensão dos conteúdos apresentados na obra, já que a linguagem dos conjuntos era
fundamental no contexto da obra.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
A função exponencial é definida no tópico 5.1, utilizando a simbologia de conjuntos e
funções (figura 84). O autor utiliza pouco texto explicativo e a definição pode parecer
complexa para o aluno. A seguir, é dado um exemplo de uma função exponencial de base 3
148
Figura 84- Definição de função exponencial
Fonte: Brunelli (1972, p. 143).
No mesmo exemplo, há o cálculo das imagens para valores de x iguais a -2, 0, 1, 1/2,
etc (figura 85).
Figura 85- Conjunto de valores para base 2
Fonte: Brunelli (1972, p. 144).
O gráfico da função exponencial é apresentado (figura 86), considerando no exemplo
1 uma função exponencial de base 2 que é precedido de uma tabela de valores (𝑥, 𝑎𝑥).
Diferentemente de outros autores, o gráfico é apresentado em um fundo vermelho, o que
chama a atenção do leitor.
Figura 86- Gráfico da função exponencial de base 2
Fonte: Brunelli (1972, p. 144).
149
No exemplo 2, o autor mostra a função exponencial de base 1/2, seguindo a mesma
metodologia, utilizando uma tabela de valores e o correspondente gráfico.
A partir dos dois gráficos, o autor estabelece algumas conclusões que dizem respeito
ao comportamento da função exponencial, considerando base maior que 1 e base
compreendida entre 0 e 1, ressaltando que independente da base ser maior que 1 ou estar entre
0 e 1, o ponto (0,1) pertence ao gráfico (figura 87). Novamente, é utilizado um fundo
colorido, desta vez azul, para ressaltar as informações contidas na figura. Finalmente, há a
referência para o caso em que a base é igual a 1, mas nesse caso o gráfico “é uma reta paralela
ao eixo dos x” (BRUNELLI, 1972, p. 145).
Figura 87- Gráficos da função exponencial
Fonte: Brunelli (1972, p. 146).
Conforme explica o autor, não foram colocados nas tabelas valores irracionais para x e
cita como exemplo 𝑥 = √2 que fornece 𝑦 = 2√2. O texto é finalizado com a seguinte
afirmação: “Para você ter uma idéia de que interpretar 2√2 não é muito simples, basta saber
que sòmente em 1927 foi mostrado que 2√2 não é um número racional” (BRUNELLI, 1972,
p. 146).
A equação exponencial é definida como “toda equação em que pelo menos um
expoente é função da incógnita” (BRUNELLI, 1972, p. 146). Após a definição, são dados 8
exemplos de equações que se reduzem à forma 𝑎𝑥 = 𝑏 com a e b positivos. O capítulo é
finalizado com os exercícios propostos do tipo Resolver as equações em número de 30. A
função logarítmica é definida como inversa da função exponencial, utilizando também muita
simbologia (figura 88).
150
Figura 88- Definição da função logaritmica
Fonte: Brunelli (1972, p. 150).
Consideramos objetivo o processo prático mostrado pelo autor para o traçado do
gráfico da função logarítmica (figura 89).
Figura 89- Processo prático para o traçado do gráfico da função logarítmica
Fonte: Brunelli (1972, p. 153).
Sistemas de representação
O livro apresenta pouco texto e muitos exercícios gradativamente apresentados. O
autor não utiliza quadros e sim tabelas para mostrar valores (𝑥, 𝑎𝑥) e a representação gráfica é
pouco explorada, inclusive nos exercícios propostos, onde há apenas questões ligadas a
resoluções de equações.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
151
Fenômenos matemáticos: A resolução de uma equação exponencial ou a determinação da
variável y para possíveis valores de x sempre exige a aplicação de operações aritméticas, tais
como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
3.5.2 Livro 13- Matemática na Escola Renovada, 1.a Série do 2.
o Grau (antigo colegial).
Scipione Di Pierro Netto, Célia Contin Góes, 1972
Os autores
Scipione Di Pierro Netto
Já referenciado no ítem 4.4.3.
Célia Contim Góes
A coautora, Célia Contin Góes, também foi professora do Colégio de Aplicação da
USP, tendo publicado com Di Pierro Netto os três volumes da Coleção Matemática na Escola
Renovada (QUEIROZ; ZUIN, 2016, p. 8).
Estrutura Editorial
A obra é destinada à primeira série do 2.o
grau, correspondente ao antigo colegial. O
ano de publicação é o de 1972 e foi editado pela Editora Saraiva.
A capa, em papel flexível, exibe quadros, semelhantes a molduras contendo a
representação de duas funções trigonométricas (funções cosseno e secante) (figura 90).
A folha de rosto traz o título da obra com o nome dos autores na parte superior, sendo
o primeiro nome em negrito. Na parte central, o título da obra, a série de destino e o nome da
editora com o ano de publicação.
No prefácio, Aos Senhores professores, há uma lista dos conteúdos abordados e a
observação de que:
Não fizemos qualquer separação entre Lógica e Conjuntos; a
interdependência dos assuntos justifica a forma de apresentar. O estudo das
Relações e Funções foi realizado com os pormenores exigidos pelos cursos
atuais, onde inserimos algumas noções – já bem substanciais – de Geometria
Analítica. (DI PIERRO NETTO; GÓES, 1972).
152
Figura 90- Capa do livro Matemática na Escola Renovada
Fonte: Di Pierro Netto e Góes (1972).
A obra é composta por treze capítulos, subdivididos em tópicos, dispostos em ordem
crescente de numeração. A função exponencial se concentra no sexto capítulo, enquanto os
logaritmos e equações, incluindo as exponenciais, estão no sétimo capítulo. A função exponencial
está disposta em quatro tópicos (57 a 60) e, as equações exponenciais, no tópico 140.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O capítulo VI, A Função Exponencial, traz como subtítulo Construção da função
exponencial e a definição da função exponencial é feita em R (conjunto dos reais), utilizando
a simbologia característica da teoria dos conjuntos.
Figura 91- Definição de função exponencial
Di Pierro Netto e Góes (1972, p. 98).
153
Após a definição, os autores propõem algumas questões “provocativas”, indagando,
por exemplo, por que não se pode ter a < 0? Parece, então, que os autores tentam estabelecer
um diálogo com os leitores, anunciando, no tópico seguinte, que “Tais perguntas estarão
respondidas quando tivermos construído a função f a partir de sucessivas ampliações dos
campos numéricos a partir de N.” (DI PIERRO NETTO; GÓES, 1972, p. 98).
Os autores, então, iniciam o estudo da função exponencial em N, enunciando uma
definição com a base a, assumindo a condição 𝑎 ∈ 𝑅∗. Também são mostradas as cinco
propriedades das potências, sendo as duas primeiras de multiplicação e divisão de potências
de mesma base; a terceira, de uma potência elevada a um expoente e, as duas últimas,
referindo-se a potência de um produto e de uma divisão.
O comportamento da função, quanto ao crescimento, é feito, considerando quatro
casos a saber: base maior que 1, base compreendida entre 0 e 1, base menor que 0 e base igual
a 1. No caso da base menor que 0, denomina a função como oscilante e, para a base igual a 1,
como constante.
No caso da função oscilante, há exemplos com uma base igual a -2 e a outra igual a
-1/2 (figuras 92 e 93)
Figura 92- Função exponencial oscilante de base -2
Fonte: Di Pierro Netto e Góes (1972, p. 101).
154
Figura 93- Função exponencial oscilante de base -1/2
Fonte: Di Pierro Netto e Góes (1972, p. 101).
De forma similar, para a função exponencial, no conjunto dos inteiros, apresentam-se
os gráficos para cada caso da base.
Para a função exponencial em Q, os autores mostram as primeiras definições. A
potência com expoente racional para 𝑚, 𝑛 ∈ Z e 𝑛 ≠ 0.
𝑎𝑚𝑛 = 𝑦 ↔ 𝑎𝑚 = 𝑦𝑛
Ou seja,
𝑎𝑚𝑛 = 𝑦 ↔ 𝑦 = √𝑎𝑚𝑛
A partir dessa consequência, observam que pode ocorrer que y não seja um número
real, pois se a for negativo, m ímpar e n par, y não pertencerá a R. Assim sendo, em Q, a base
deverá ser positiva para garantir a existência da imagem em R.
A justificativa de não se representar o gráfico da função exponencial em Q é dada
pelos autores:
[...] se quisermos representar a função exponencial em Q, devemos, por um
lado, desenhar uma linha contínua, porque entre dois pontos quaisquer
sempre existe um outro que pertence à função; por outro lado, sabemos que
155
se assim o fizermos estaremos incluindo, no gráfico, pontos que não
pertencem à função, isto é, aquêles de expoente irracional. (DI PIERRO
NETTO e GÓES, 1972, p. 108).
A função exponencial em R é definida com a positivo e diferente de 1, juntamente
com as cinco propriedades das potências. Os gráficos são linhas contínuas.
No tópico 62, os autores apresentam a denominada “Aplicações”, colocando dois
exemplos para a verificação de que as potências dadas pertencem ou não ao conjunto dos
números reais. Não há proposição de aplicações da exponencial em outras áreas do
conhecimento e, tão pouco, incluem qualquer abordagem histórica. Para Zuin e Queiroz
(2016, p. 13), a utilização, quase que “exagerada” de simbolismos, denotou à obra um grau de
dificuldade muito grande para o entendimento do conteúdo.
O capítulo destinado às funções é finalizado, no tópico 63, com a proposição de
exercícios, em três sequências. Na primeira, há exercícios sobre as propriedades das
potências; na segunda, representação gráfica de funções, questões onde os questionamentos
teóricos deverão ser respondidos com justificativas e determinação do domínio de algumas
funções; na terceira, são colocados exercícios de resolução de inequações.
A função logarítmica é colocada como inversa da função exponencial (figura 94).
Figura 94- Definição de função logaritmica
Fonte: Di Pierro Netto e Góes (1972, p. 114).
As equações exponenciais são incluídas no tópico 79. A definição esclarece que a
incógnita comparece como expoente de uma ou mais potências dessa equação. A forma mais
156
simples é 𝑎𝑥 = 𝑏, com a e b positivos e a diferente de 1. São dados dois exemplos, sendo o
primeiro com aplicação da propriedade operatória dos logaritmos, para potências e, o
segundo, quando a e b são potências de mesma base. As respostas são expressas utilizando o
conjunto verdade. Os autores ressaltam que “Não existe um processo determinado para se
resolver uma equação exponencial. Todavia, examinaremos alguns tipos mais comuns” (DI
PIERRO NETTO; GÓES, 1972, p.141). Feita essa observação, apresentam três tipos de
equação: o primeiro são aquelas cujos membros são redutíveis a potências de uma mesma
base, enquanto. no segundo tipo, os membros são potências de base distintas. O terceiro tipo
são equações redutíveis a 𝑎𝑚𝑥 + 𝑏 = 0 ou então 𝑎𝑚2𝑥 + 𝑏𝑚𝑥 + 𝑐 = 0. Após cada tipo
citado, há um exemplo resolvido. Os exercícios para o aluno são colocados no tópico 81 em
duas sequências. Na primeira, os exercícios são propostos de forma a aplicar, ou não, as
propriedades dos logaritmos. Na sequência 2, as equações propostas exigem um manuseio
algébrico maior. Há 39 exercícios e, em todos, o enunciado exige a determinação do conjunto
verdade.
Sistemas de representação
A representação verbal é pouco explorada, havendo predominância da simbólica
(simbologia da teoria dos conjuntos, relações e funções) que se faz presente nas definições e
exemplos. Existe a representação gráfica. Não há representação tabular, mas sim de tabelas de
valores (𝑥, 𝑦) para o traçado de gráficos que complementam a visualização da variação da
função exponencial.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: Presentes na aplicação de operações aritméticas, tais como
potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
157
3.5.3 Livro 14- Matemática Segundo Grau. Damian Schor, José Guilherme Tizziotti. Vol. 1,
1975.
Os autores
Damian Schor
Nasceu na Romênia em 1943, vindo para o Brasil ainda criança. Estudou Engenharia
Elétrica na Politécnica da USP. Foi professor do Anglo de São Paulo, Sorocaba e São Roque e
dirigiu o Colégio Bialik, fundado por imigrantes judeus. Escreveu os livros Matemática,
Segundo Grau, Volumes 1,2 e 3. Faleceu em São Paulo em 2012 (Folha de São Paulo, São
Paulo, 30 nov. 2012. Cotidiano)27
.
José Guilherme Tizziotti
Não encontramos referências para a escrita de dados biográficos desse autor. Ele
escreveu os livros Matemática, segundo grau, três volumes, em coautoria com Damian Schor.
Estrutura Editorial
A obra é destinada à primeira série do 2.o
grau e foi publicada em 1975 pela editora
Ática (figura 95).
A capa é feita de papel flexível, de cor branca, exibindo uma figura que se assemelha a
uma senóide.
Figura 95- Capa do livro em análise
Fonte: Schor e Tizziotti (1975).
27
Disponível em < http://www1.folha.uol.com.br/cotidiano/1193555-damian-schor-1943-2012---um-professor-
nascido-na-guerra.shtml >.
158
A folha de rosto segue o mesmo padrão dos livros já analisados, com título centrado
no meio da página, os nomes dos autores na parte superior e o nome da editora na parte
inferior (figura 96).
Figura 96- Folha de rosto da obra
Fonte: Schor e Tizziotti (1975).
Os conteúdos são divididos em duas partes, enumeradas em algarismos romanos. A
parte I é destinada a Álgebra e, a parte II, à Trigonometria. A Álgebra foi dividida em 4
capítulos e, a Trigonometria, em 6 capítulos, numerados de 1 a 11, sendo que o capítulo 4 foi
destinado ao estudo dos logaritmos e equações exponenciais, incluindo aí as funções
exponencial e logarítmica.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
No início da parte I, Álgebra, há uma referência histórica ao mostrar os capítulos e as
abordagens de cada um deles. Assim escrevem:
Diofanto, matemático grego do século III d. C., parece ter sido o primeiro a
tentar uma notação algébrica. Assimilando a cultura grega, os árabes muito
contribuíram para o desenvolvimento da Álgebra, conseguindo chegar à
solução de equações de 2.o e 3.
o graus. Durante séculos, os autores usaram
notações próprias, as quais tenderam a uma padronização a partir de René
Descartes (1596-1650). (SCHOR e TIZZIOTTI, 1975, p. 9).
159
Já no início do capítulo 4, os autores informam que as funções exponencial e
logarítmica são funções inversas entre si. A seguir, definem a função exponencial como sendo
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 com a positivo e diferente de 1. Como complemento, há um quadro denominado
nomenclatura (figura 97).
Figura 97- Nomenclatura para a função exponencial
Fonte: Schor e Tizziotti (1975, p. 127).
O domínio e a imagem da função são estabelecidos pela simbologia de conjuntos e
dados por: 𝐷 = 𝑅 e 𝐼𝑚 = 𝑅+∗ .
Na representação gráfica da função exponencial existem dois exemplos, considerando
no primeiro exemplo, a base 2 e, no segundo, a base 1/2. Os gráficos são acompanhados de
tabelas de valores de x e y. Na figura 98, mostramos apenas o primeiro exemplo.
Figura 98- Representação gráfica da função de base maior que 1
Fonte: Schor e Tizziotti (1975, p. 127).
Na definição, a parte verbal é sucinta existindo apenas os dois exemplos de gráficos.
160
A função logarítmica é definida como a inversa da exponencial e aponta o caminho da
determinação da função injetora 𝑦 = 𝑎𝑥. Na página 131, há um quadro comparativo entre as
duas funções (figura 99).
Figura 99- Quadro comparativo entre as funções exponencial e logaritmica
Fonte: Schor e Tizziotti (1975, p. 131).
Não foram propostos exercícios sobre a função exponencial.
As equações exponenciais iniciam-se na página 159 com a definição de que são
equações em que a incógnita figura em expoente e complementam informando que algumas
delas são resolvidas com a aplicação de logaritmos, enquanto que em outras basta aplicar
propriedades de potências. São dados 5 exemplos, sendo os dois primeiros com a aplicação de
logaritmos e os demais coma aplicação de propriedades das potências.
Nos exercícios propostos, de 35 a 42, o enunciado é complete. Mostramos essa
característica na figura 100, referente ao exercício 35.
Figura 100- Exercício 35
Fonte: Schor e Tizziotti (1975, p. 161).
161
Sistemas de representação
A representação verbal é pouco explorada. Foi evitada a exposição de textos longos. A
representação simbólica é utilizada em substituição a frases explicativas. O quadro de
comparação (figura 99) ilustra a representação tabular. Há apenas dois gráficos da função
exponencial, os autores utilizaram pouco a representação gráfica.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: Na representação gráfica da função, exigiu-se o cálculo da variável
y que exige a aplicação da operação de potenciação. As equações exponenciais se apresentam
em um contexto de aplicação de uma ou mais operações aritméticas.
3.5.4 Livro 15- Tópicos de Matemática. Gelson Iezzi, Nilson J. Machado, Luiz Roberto S.
Castro, Márcio C. Goulart, Antônio S. Machado. Vol. 1, 1978.
Os autores
Não foram encontrados na bibliografia dados biográficos de alguns dos autores. Por
essa razão, citamos apenas Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Nilson José Machado.
Gelson Iezzi
Gelson Iezzi é formado em Engenharia Metalurgia pela Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo e Licenciatura em Matemática pelo. Instituto de Matemática e
Estatística da USP (IEZZI et al., 2006).
Outros títulos de sua autoria:
Matemática Ciência e Aplicações, volumes 1, 2 e 3 em coautoria com Osvaldo Dolce,
David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida.
Matemática conecte, volume único.
Matemática e realidade para o ensino fundamental em coautoria com Osvaldo Dolce e
Antônio Machado28
.
28
Disponível em < https://www.livrariacultura.com.br/e/gelson-iezzi.
162
Osvaldo Dolce
Engenheiro Civil pela Escola Politécnica da USP e licenciado em Matemática pelo
Instituto de Matemática e Estatística da USP (IEZZI et al., 2006).
Outros títulos de sua autoria:
Matemática Ciência e Aplicações, volumes 1, 2 e 3 em co-autoria com Gelson Iezzi,
David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida.
Matemática e realidade para o ensino fundamental em co-autoria com Gelson Iezzi e
Antônio Machado. (IEZZI et al., 2006).
Nilson José Machado
Nasceu em Olinda, Pernambuco, em 1947. É licenciado em Matemática e doutor em
Filosofia da Educação pela Universidade de São Paulo, onde é professor desde 1972,
inicialmente no Instituto de Matemática e Estatística. Leciona na Faculdade de Educação
desde 1984, sendo atualmente professor titular. Publicou diversos livros didáticos e
paradidáticos para os três níveis de ensino (MACHADO, 2004, p.155).
Outros títulos de sua autoria:
Matemática e Realidade, 1987.
Matemática e Língua Materna, 1999.
Matemática e Educação, 2000.
Epistemologia e didática, 2000.
Educação: Projetos e Valores, 2004. (MACHADO, 2004, p.155
Figura 101- Capa do livro Iezzi et al. (1978)
Fonte: Iezzi et al. (1978).
163
Estrutura Editorial
A obra é destinada à primeira série do segundo grau e foi editado pela Atual Editora,
em 1978, sendo esta a sexta edição revisada (figura 101). A primeira edição foi de 1973.
A capa é de papel flexível com a palavra Matemática escrita em vermelho e a imagem
especular no semiplano direito e também no inferior. Os nomes dos autores foram dispostos
de forma a produzir uma visualização piramidal.
A folha de rosto tem como diferencial a informação do número de exemplos, de
exercícios resolvidos e exercícios propostos ao todo na obra, além dos nomes dos autores, o
público alvo que são alunos da 1.a série do 2.
o grau (figura 102).
Figura 102- Folha de rosto Iezzi et al. (1978)
Fonte: Iezzi et al. (1978).
Os conteúdos abordados estão dispostos em nove capítulos, que são subdivididos em
tópicos. A função exponencial se encontra no capítulo 7, sendo o primeiro capítulo destinado
aos conjuntos. No prefácio, os autores relatam sobre a metodologia utilizada na elaboração do
livro:
[...] procuramos chegar aos conceitos fundamentais através de exemplos,
muitas vezes não matemáticos, tentando tornar as definições as mais naturais
possíveis. Tivemos também a preocupação de apresentar sempre que
possível, os vínculos da Matemática com outras ciências, notadamente a
Física. A teoria apresenta-se em doses nunca muito grandes, seguidas de
exercícios que devem ser considerados parte integrante do texto. Procuramos
164
apresentar exercícios resolvidos e propostos compatíveis com a teoria dada e
o objetivo visado (IEZZI et al., 1978, prefácio).
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O capítulo 7 traz, como ponto de partida, a operação de potenciação, apresentando, em
primeiro lugar, a potência com expoente inteiro. É apresentado um quadro de definição e
denominando 𝑎𝑛 de potência de base a e expoente inteiro n (figura 103).
Figura 103- Definição de potência de expoente inteiro
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.133).
Os exercícios para a aplicação da definição são propostos em seguida e em número de
sete com subitens, totalizando 47 potências a serem calculadas.
Outro quadro mostra as propriedades das potências com expoente inteiro (figura 104).
Figura 104- Propriedades das potências com expoente inteiro
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.134).
Os exercícios propostos se apresentam como: Classificar em V (verdadeiro) ou F
(falso) e Simplificar as expressões.
165
No tópico seguinte, são apresentados os radicais com suas propriedades em outro
quadro. Para o aluno, os exercícios são da forma: calcular, simplificar, Classificar em V
(verdadeiro) ou F (falso), resolver as equações em R.
Na sequência, mostram as potências com expoentes racional, irracional e real para,
assim, na página 139, mostrar as equações exponenciais.
Para as equações exponenciais, não há definição e tão pouco a classificação das
equações. São resolvidos alguns exemplos que foram denominados de R.114 (por se tratar do
centésimo décimo quarto exercício resolvido), R.115 (dois exemplos) e R.116 (dois
exemplos). Os exercícios propostos são similares aos resolvidos e os enunciados são da forma
resolver as equações exponenciais.
A comparação de potências, no tópico 7, é resumida em um quadro (figura 105).
Figura 105- Comparação de potências
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.142).
No tópico 8, tem-se a definição de função exponencial como sendo a função, definida
para todo x real, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 cujo domínio é R e conjunto imagem, 𝑅+∗ .
Os gráficos da função exponencial são ilustrados através de dois exemplos,
utilizando a base 2 e a base 1/2, acompanhados das tabelas de valores (𝑥, 𝑦) (figura 106). O
plano cartesiano apresenta linhas de grade a exemplo do que foi utilizado por Di Pierro Netto
et al. (1967).
166
Figura 106- Exemplo de gráfico da função exponencial
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.143).
A partir dos exemplos, concluem que a curva está acima do eixo dos x. A curva corta o
eixo dos y no ponto de ordenada +1 e tem dois aspectos, conforma a base seja maior que 1 ou
ser um número compreendido entre 0 e 1.
Os exercícios resolvidos têm como enunciado classificar as funções em crescentes ou
decrescentes. Trata-se do exercício R.117 com subitens de a a e.
O último tópico refere-se a inequações exponenciais e fornece mais dois exercícios
resolvidos.
Nos exercícios propostos, o aluno deverá esboçar gráficos de algumas funções
exponenciais, classificar as funções em crescente ou decrescente, resolver inequações
exponenciais e determinar o domínio de funções. Finaliza o capítulo com uma figura onde
ressalta que a Matemática é aplicada na Eletrônica com a inscrição “As máquinas de calcular
constituem uma das maravilhosas conquistas deste século e a realização dos sonhos dos
cientistas do passado.” (figura 107).
167
Figura 107- Uma das aplicações da Matemática
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.148).
Sistemas de representação
A representação textual é notada pelos textos elaborados, principalmente na parte
teórica para a descrição das potências. No que tange à função exponencial propriamente dita,
não se observa textos longos.
A representação simbólica foi destacada na utilização dos símbolos de menor que (< )
e maior que ( > ). Há pouco uso da simbologia própria para conjuntos.
Na representação tabular, verificam-se os quadros, os quais são explorados para
mostrar propriedades e comparações entre potências.
Os gráficos mostrados tiveram como finalidade a representação da variação das
funções exponenciais e não foram muitos, apenas quatro.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Apesar de Gelson Iezzi colocar em seu prefácio que iria fazer “os
vínculos da Matemática com outras ciências”, algo que seria muito pertinente para as
equações exponenciais, não são encontradas situações físicas ou químicas relacionadas ao
168
tema, apesar da citação da aplicação da Matemática na Eletrônica através de uma figura
(figura 107).
Fenômenos matemáticos: Verificado fenômenos matemáticos na aplicação de operações
aritméticas, tais como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
169
4. O PRODUTO E SUA APLICAÇÃO
Nesse capítulo, apresentaremos os pontos principais do produto desenvolvido e os
dados e resultados da aplicação do mesmo para um grupo de alunos do Curso de
Especialização em Educação Matemática do Instituto Federal de Minas Gerais.
O produto educacional teve como objetivo ser utilizado por profissionais da educação
(professores, pesquisadores e pessoas de alguma forma ligados à educação) de modo a terem
acesso a mais uma fonte de informações sobre a história de um conteúdo, cuja leitura poderá
levar a pontos importantes da História da Educação no Brasil.
Percebemos, pela nossa experiência em sala de aula, que é fundamental o
conhecimento da História, não apenas de uma disciplina, no caso da Matemática, mas também
do percurso experimentado pelo conteúdo em pauta que, nos dias atuais, tomou uma
importância muito grande, graças às várias aplicações que encontra em diversos ramos do
conhecimento.
Entendemos ser uma forma de promover a formação de professores e colaborar para
promover uma melhoria no ensino-aprendizagem de Matemática. Pelas suas características
bem peculiares, a profissão de ensinar requer essa busca constante de aprendizado e, mais que
isso, fornece momentos de reflexão sobre a prática dentro da sala de aula. Podem ser
momentos de busca de alternativas pedagógicas que tornem prazerosas as aulas, despertando
no aluno o interesse pelo saber. Como consequência, as aulas poderão ser momentos de um
ensino e de uma aprendizagem mais efetivos.
Concordamos com Garcia et al (2011) ao defenderem que:
Questionar, investigar e refletir são princípios básicos para propostas de
formação que visem obter mudanças na ação docente e na escola. Um
caminho para desencadear essas mudanças é a criação de oportunidades e
espaços, para o aluno/professor estabelecer relações entre atividades que lhe
são propostas, no contexto em que atua como aluno, e o seu próprio trabalho
docente, na escola em que atua como professor. (GARCIA et al 2011, p.7).
A estrutura do produto consta de cinco unidades, citamos os conteúdos de cada uma
delas com os objetivos (quadro 9).
170
Quadro 9- Estrutura do material (produto)
Equação/função exponencial em livros didáticos no Brasil (1930-1980)
Unidade Conteúdo Objetivos
Apresentação Finalidade do material Apresentar a proposta
do material
Aspectos históricos das funções Abordagem histórica
das funções
Abordar a história das funções
Reformas de ensino que
ocorreram no período
de 1930 a 1980
As reformas ocorridas
no período
de 1930 a 1980
Informar as tendências e
reformas existentes no período
e as consequências
advindas das reformas
Apresentação do conteúdo
equação/função exponencial
nos livros didáticos
selecionados
Apresentação de
cinco livros didáticos
Apresentar
os elementos analisados
Características principais da
metodologia apresentada pelos
autores selecionados
Análise de como os autores
introduzem o conteúdo,
os exercícios/problemas
Apresentar os livros analisados,
identificando as características
encontradas na apresentação
do conteúdo Fonte: Elaborado pela autora.
Os livros selecionados para o material foram:
Curso de Mathematica 4.o Anno, de Euclides Roxo, Cecil Thiré e Mello e Souza
(1938);
Curso de Matemática 2.o Livro Colegial, de Algacyr Munhoz Maeder (1949);
Curso de Matemática 1.o ano para os Cursos Clássico e Científico, de Thales Mello
Carvalho (1955);
Matemática Curso Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro Netto, Luiz Mauro Rocha
e Ruy Madsen Barbosa (1967);
Matemática 2o Grau 1
a Série, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, José Carlos Teixeira,
Nilson José Machado, Márcio Cintra Goulart, Luiz Roberto da Silveira Castro e
Antônio dos Santos Machado (1978).
O quadro 10 apresenta as características das obras analisadas no que se refere às
estruturas externa e interna.
171
Quadro 10- Quadro comparativo das cinco obras
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
ROXO et al
(1938)
MAEDER,
(1949)
CARVALHO
(1955(
DI
PIERRO
NETTO et
al (1967)
IEZZI et
al.
(1978)
Tipo de capa Dura Dura Dura Flexível de
cor vermelha
com o título
Matemática
em branco
Flexível,
colorida
Índice
Sim, na última
página e sem estar
em ordem
alfabética.
Sim, nas
primeiras
páginas do
livro e sem
estar em
ordem
alfabética.
Final da obra Final da
obra
Início da
obra
Prefácio X – – X X
Bibliografia – – – – X
Tamanho (cm) 16 x 23 14x21 13x19 14,5x21 15x20,5
Número de páginas 409 415 316 267 325
Apresentação de formulários X – – – –
Referências históricas – – X X –
Exercícios de exemplo X X X – X
Exercícios propostos com
resposta
Sim e após o
enunciado
Sim e após
o enunciado
Sim e com
respostas no
final da
proposição
dos exercícios
Sim e com
respostas no
final do
enunciado
Sim e com
respostas
no final do
livro
Notas de rodapé X – X – –
Terminologia adotada Linguagem
simples e direta.
Linguagem
simples e
direta.
Linguagem
simples e
clara com
assuntos
colocados em
ordem
crescente de
dificuldade
Linguagem
clara, o autor
utiliza textos
bem
explicativos
e ainda
utiliza o
Vocabulário
Exposição
teórica
com
utilização
de
simbologia
Capítulo destinado
à potenciação
– – X X X
Número de páginas
destinadas à função
exponencial
9 10 5 4 15
Número de páginas
destinadas à equação
exponencial
1/2 6 4 5 3
Aplicação da função
exponencial a outras áreas – - – – X
Aplicação da equação
exponencial à outras áreas
– – – – –
Fonte: Dados da pesquisa.
172
4.1 Aplicação do produto
Para a aplicação do produto, entramos em contato com o professor Marcos Dias da
Rocha, coordenador do Curso de Pós Graduação Latu Sensu em Educação Matemática, do
Instituto Federal de Minas Gerais/Campus Ouro Preto, localizado no município de Ouro
Preto, Minas Gerais. Foram cedidas as aulas de Projeto de Pesquisa, que acontecem às
quintas feiras de 19:00 h às 22:50 h, e realizamos um minicurso no dia 9 de novembro de
2017. Houve a presença de dez alunos e do professor Neuber Silva Ferreira, titular da
disciplina de Projetos de Pesquisa, totalizando onze participantes.
Em um primeiro momento, foi feita a exposição dos tópicos contidos no material,
como está exposto no quadro 9 (p. 169).
Foram levados cinco livros, dos quinze analisados na dissertação, os quais foram
integrados no produto. Os participantes tiveram acesso às obras e, de forma especial, no
capítulo destinado à equação/função exponencial. Para tal, os alunos se dispuseram em
círculo, tendo acesso aos livros para a verificação da metodologia adotada pelos autores das
obras. Nesse momento, abrimos espaço para que cada aluno fizesse algum comentário sobre o
assunto e muitos observaram que os livros não traziam “ligações” com as outras áreas,
diferentemente de alguns autores atuais que trazem aplicações desse conteúdo. Outros
comentaram que isso é “muito lógico” dado momento em que foram editados com “outras
tecnologias, outros alunos, outros professores, outras escolas, etc”. Apesar de terem sido
apresentadas e discutidas as reformas de 1931 e 1942, no minicurso, ainda assim, os
participantes não conseguiram perceber que os autores analisados poderiam não estar
cumprindo o prescrito nas reformas e instruções metodológicas e, no caso da Reforma
Francisco Campos, essas instruções frisavam o uso da intuição, principalmente nas séries
iniciais, enquanto que a exposição formal deveria ser introduzida aos poucos. O método
heurístico também foi orientado pela mesma reforma onde o próprio aluno enunciaria as
regras e propriedades dos conceitos em estudo a partir da resolução de problemas.
Os alunos observaram que o material de impressão “eram até melhores que os de hoje,
com capas duras”, com “jeito de livro mesmo”, conforme relatou um participante.
Em outro momento, foi aplicado um questionário (apêndice A), cujo objetivo foi
verificar se o material trouxe novas informações aos participantes e se foi positivo, ou não, o
minicurso, sobretudo no que concerne aos conteúdos. Acrescenta-se também que esse feed
back poderia trazer mudanças no material ou mesmo adaptações para promover a sua
melhoria.
173
Ressaltamos que não havia necessidade de se colocar o nome na folha de respostas
para resguardar a identidade dos participantes. O quadro 11 mostra o perfil dos participantes.
Quadro 11- Formação dos participantes
Número de
participantes
Licenciados
em
Matemática
Licenciados
em outras
áreas
Mestres
Especialistas
Atuantes em
ensino de
Matemática
11 10 1
(Economia)
1 1 11
Fonte: Dados da pesquisa.
Observamos que apenas um participante não tem formação em Matemática e todos os
demais apresentam licenciatura. Com relação à atuação como professores, o quadro 12 mostra
o resultado extraído do questionário.
Quadro 12- Tempo de atuação como docente com o respectivo nível de ensino
Participante Atuação no
Ensino
Fundamental
Atuação
no Ensino
Médio
Tempo
de
serviço
até 5
anos
Tempo
de
serviço
entre 5 e
10 anos
Tempo de
serviço mais
de 10 anos
P 1 _ X X _ _
P 2 _ X _ _ X
P 3 X _ X _ _
P 4 X X X _ _
P 5 X _ _ _ X
P 6 X _ X _ _
P 7 X _ X _ _
P 8 _ X _ X _
P 9 _ X X _ _
P 10 _ X _ _ X
P 11 _ X _ X _
Fonte: Dados da pesquisa.
Pelo quadro, podemos verificar que sete participantes atuam no Ensino Médio, cinco
deles no Ensino Fundamental e apenas um trabalha nos dois níveis de ensino. Com relação ao
tempo de serviço, seis tem até cinco anos de docência, dois entre cinco e dez anos e três deles
com mais de 10 anos de trabalho.
Com relação ao tipo de escola em que cada participante trabalha atualmente, foi
possível elaborar o quadro 13.
174
Quadro 13- Tipo de Escola de cada participante
Participante Escola Pública
Estadual
Escola Pública
Municipal
Escola Pública
Federal
Escola Privada
P 1 – – – X
P 2 – – X _
P 3 – – – X
P 4 X – – –
P 5 – X – –
P 6 X – – –
P 7 – X – –
P 8 – – – X
P 9 – – – X
P 10 X – – –
P 11 – – – X Fonte: Dados da pesquisa.
Pelo quadro 13, constatamos que cinco professores atuam na Rede Privada de ensino e
os seis restantes na Escola Pública, sendo três na Estadual, dois na Municipal e um na Rede
Federal de ensino.
Os aspectos apresentados nos quadros 11, 12 e 13 correspondem à primeira parte do
questionário, no qual se investiga a formação, o tempo de atuação como docente de
Matemática, o segmento de ensino em que atua e o tipo de escola em que trabalha.
A segunda parte do questionário trouxe alguns questionamentos e, o primeiro deles,
diz respeito à informações trazidas pelo minicurso e que eram desconhecidas pelos
participantes. Todos foram unânimes em responder que o minicurso acrescentou informações.
Abaixo, transcrevemos algumas respostas:
“Eu nunca tive acesso a livros de outras décadas e como a forma de montar os conteúdos
foram mudando com o passar dos anos.” (P1)
“Reformas de ensino, os principais autores de livros didáticos das décadas de 30 a 70. Como
eram abordados a equação/função exponencial neste período.” (P2)
“Acrescentou muito em relação às reformas na legislação educacional, não conhecia
basicamente nada.”(P3)
“Conhecimentos sobre a história da Matemática, autores importantes. Literaturas indicadas
para leitura.”(P4)
“Sobre a Matemática Moderna eu já tinha um pouco de conhecimento e foi interessante saber
sobre as épocas anteriores.”(P8)
“O processo histórico da construção do livro didático em busca de dar uma resposta a
comunidade acadêmica.”(P10)
“A mudança do número de anos do Ensino Médio e também a mudança do nome do Ensino
Médio.”(P11)
175
Sobre a questão o minicurso mudou sua visão sobre algum aspecto relativo, todos
foram unânimes em responder que sim. Destacamos os aspectos relativos colocados no
questionário:
Mudou a visão em relação às correntes pedagógicas abordadas.
Mudou a visão em relação à legislação educacional.
Mudou a visão em relação à importância da história da Educação Matemática na formação
docente.
Mudou a visão em relação à importância da análise dos livros didáticos.
Não houve sugestões de mudança para a condução do material desenvolvido.
Em outra questão, perguntamos se seria importante que esse material fosse utilizado
nos cursos de formação inicial e continuada de professores de Matemática e áreas afins e
algumas respostas estão trasncritas a seguir:
“Acho importante sim, mas o enfoque deveria ser em mais disciplinas [conteúdos] que não só
exponencial para maior aproveitamento dos professores.” (P1)
“Sim, pois é preciso conhecer a história do ensino de Matemática no Brasil, bem como os
currículos e livros que eram utilizados e como estes evoluiram até os dias atuais.” (P2)
“Sim, muito importante. Principalmente para entender que a educação é o que é hoje, devido a
fatos acontecidos antes.” (P4)
“Muito importante. Foi um material muito bem apresentado e que apresentou uma pesquisa
muito bem feita.”(P6)
“Sim, acho que é importante saber pra fazer uma reflexão sobre o ensino. Isso pode ser
acrescentado.”(P8)
“Sim, pois irá agregar valor e senso histórico aos professores.” (P9)
“Sim, pois é importante um conhecimento mais aprofundado sobre a maneira da abordagem
do ensino de função exponencial em livros didáticos.” (P10)
Essas respostas indicam que o material pode contribuir muito para a formação de
professores e demais profissionais da área de educação, uma vez que valorizaram o
conhecimento histórico de um conteúdo e a relevância que se deve atribuir ao livro didático
em aspectos mais específicos do conteúdo.
Outra questão faz referência a algum ponto não contemplado que o participante
gostaria que fosse abordado. Apenas dois fizeram sugestões e, os demais, responderam que
não houve nenhum outro ponto que consideraram ser necessário além dos contemplados. As
sugestões dos que responderam sim foram:
“Como gosto muito de Geometria, gostaria de ver a evolução do ensino dela, mas entendo que
você teve que focar em um assunto e pesquisá-lo.”(P1)
176
“Como os livros investigados não abordavam a aplicação do conteúdo no dia a dia
(quotidiano) e para a continuação dos estudos.”(P2)
Com relação aos aspectos do minicurso que foram considerados mais relevantes e o
por quê, ressaltamos:
“Gostei da análise de conteúdos que faziam parte de uma edição e em outra não, pois acho
isso importante de ser estudado, pois representa a importância desse ‘renovar e resgatar’ o que
foi deixado de lado.”(P1)
“O aspecto histórico, pois nos permite entender como foram as políticas públicas para a
educação no Brasil. O aspecto profissional em relação à formação do professor, pois traz um
entendimento das estratégias pedagógicas utilizadas no ensino de função exponencial.”(P2)
“Achei muito importante mostrar a diferença em cada uma das reformas, pois podemos
perceber as influências nos dias de hoje.”(P3)
“A pesquisa sobre a função exponencial e equação exponencial me chamou atenção sobre
épocas que foram abordadas as mesmas em livros didáticos. Essa visão da apresentação me
fez ter um olhar diferente e envolve a vontade de pesquisar para ter mais conhecimentos.”(P4)
“As observações onde um conteúdo era ensinado e depois substituído [no caso da função
exponencial]. O tipo de metodologia adotada em cada época.”(P5)
“A evolução do sistema educacional e a abordagem dada à Matemática [para funções e
equações exponenciais]. Esses aspectos foram importantes, pois deram-me um
posicionamento histórico.”(P6)
“Achei interessante ter mostrado como foi a mudança na forma de cobrança de exercícios
sobre o ensino de função/equação exponencial.”(P7)
Percebemos, nessas respostas, novamente, a valorização dos participantes do minicurso ao
conhecimento histórico não apenas ligado ao conteúdo, mas também às reformas de ensino
que ocorreram. Portanto, esse resgate do conhecimento traz contribuições importantes para a
formação docente.
Nas considerações finais, alguns participantes assinalaram que:
“Muito bom o estudo, gostaria de ter sido em um tempo maior para conhecermos mais do que
foi pesquisado.”(P1)
“A pesquisa é muito relevante, traz contribuições significativas para a formação de professores
e para a história do ensino de função exponencial.”(P2)
“Quero agradecer pela apresentação e pelo conhecimento que nos foi compartilhado e desejar
sucesso no seu produto educacional.”(P6)
“Acho que para melhorar o presente e o futuro é importante recorrer ao passado, buscando
uma reflexão sobre o que deu certo ou não. Assim, não se parte do zero e sim de uma base
mais sólida.”(P7)
“Gostei muito do minicurso, pois aprendi sobre a história do ensino de função exponencial,
pois não havia lido nada sobre esse assunto antes.”(P10)
Ao propor ao Professor Marcos Rocha, coordenador do Curso de Especialização, esse
minicurso, dissemos a ele que a nossa expectativa era mostrar aos alunos informações
importantes sobre o período de 1930-1980 na Educação Matemática no Brasil, tais como o
177
método intuitivo e o movimento da Escola Nova, que foram tendências pedagógicas vividas, e
as reformas de ensino Francisco Campos, Gustavo Capanema, as leis 4.024/1961 e
5.692/1971 e o Movimento da Matemática Moderna. Notamos que a maioria dos participantes
não conheciam diversos aspectos abordados e pode ser um indício de que os Cursos de
Licenciatura em Matemática não tratam de temas relacionados à História da Educação
Matemática. Saímos felizes do minicurso por ter alcançado o objetivo proposto que foi a
divulgação da nossa pesquisa e um primeiro diagnóstico positivo da relevância do material
elaborado por nós e que poderá trazer acréscimos à formação docente.
178
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Essa pesquisa, conforme podemos constatar ao longo de toda a leitura dos capítulos
que a compõem, não tratou da história dos livros didáticos de Matemática no período 1930-
1980 e muito menos da história do ensino de Matemática no mesmo período. Foi realizada
uma análise, por meio de obras didáticas, das formas de abordagem de conteúdos específicos,
integrantes, até os dias de hoje, dos programas de ensino de Matemática escolar.
Alcançamos os nossos objetivos que foram verificar as influências das reformas de
ensino nos livros didáticos, descrevemos como a equação/função exponencial era apresentada
conceitualmente entre os anos de 1930 e 1980 nos livros selecionados, analisamos os
exercícios e problemas resolvidos e propostos e comparamos as obras dos autores de livros
didáticos de Matemática, avaliando o conteúdo equação/função exponencial.
Constatamos que houve modificações na forma de exposição da equação/função
exponencial, principalmente com o Movimento da Matemática Moderna (MMM).
A Educação Matemática brasileira, dentro do marco temporal estabelecido, passou por
importantes reformas educacionais e momentos, a exemplo do Movimento da Matemática
Moderna, que marcaram de forma contundente o ensino de Matemática. Foi assim que a
década de 1930 viveu a Reforma Francisco Campos. A Reforma Capanema, que foi
implantada em 1942, trouxe os Cursos Clássico e Científico. Na década de 50, surgiram as
portarias do Programa Mínimo. Em 1971, houve a promulgação da LDB n.o 5.692. Já o
Movimento da Matemática Moderna teve como um dos objetivos uma maior proximidade da
“Matemática do colégio” da “Matemática do ensino superior”.
Voltando agora o nosso olhar para o conteúdo equação/função exponencial, podemos
evidenciar que, apesar da presença do mesmo em obras anteriores à Reforma Francisco
Campos29
(1931), a sua obrigatoriedade nos programas ocorre a partir da publicação da
referida reforma. A apresentação da função exponencial se dá de uma forma elementar, pouco
detalhada, assim como a equação exponencial.
Os livros analisados da década de 1930 abordavam a função exponencial, trazendo
conceitos e definições sem demonstrações matemáticas e com poucos exemplos e exercícios
29
Podemos citar aqui a obra Álgebra Elementar, da Coleção FTD, editada em 1925. A função exponencial
aparece na página 289, no capítulo XXIII (Propriedade dos Logarithmos), juntamente com equação exponencial,
na página 292.
179
resolvidos. Para as equações exponenciais, a abordagem teórica foi mais simples,
referenciando apenas a equação 𝑎𝑥 = 𝑏 com poucos exercícios propostos.
A Reforma Capanema (1942) propôs mudanças, criando os Colégios. Os programas
sofreram modificações e o conteúdo função exponencial deveria ser abordado no segundo
série do colegial no Curso Científico, juntamente com as equações exponenciais. A partir
desta reforma, o conteúdo deveria ser apresentado de uma forma mais completa e complexa
com ênfase em propriedades e demonstrações bem elaboradas.
Atendendo a forma mais elaborada, constatamos que nos livros da década de 1940, as
demonstrações de propriedades da função exponencial estiveram presentes.
O Programa Mínimo (1951) veio para simplificar o currículo do ensino secundário.
Em relação à Matemática, dos Cursos Clássico e Científico, os programas deveriam ser
trabalhados pelos professores, a partir de uma limitação do conteúdo, “abrindo mão” de
demonstrações que alguns consideravam como excessivas. A função exponencial não figurou
neste programa.
Nos livros analisados da década de 1950, verificamos que prevaleceu apenas a
equação exponencial com pouco suporte teórico. Eram dadas a definição e a classificação das
equações exponenciais com vários exercícios sempre do tipo resolver as equações.
Na década de 1960, o ensino presenciou a agitação trazida pelo Movimento da
Matemática Moderna, surgindo obras que exploravam as cores nas capas e nas figuras dos
textos. Nessa época, a Teoria dos Conjuntos tomou lugar em muitos livros, chamando de
volta a função exponencial, que passou a ser discutida de forma abstrata pelo uso da
simbologia que fazia parte do cotidiano dos adeptos do MMM. Além dos autores favoráveis
ao movimento, outros reeditaram suas obras, a exemplo de Ary Quintella, trazendo como
consequência duas formas distintas de apresentar o tema função/equação exponencial.
Para além de 1970, até 1980, a função/equação exponencial se fez presente nos livros,
mantendo o mesmo modo de apresentação, explorando as definições, o campo de validade da
função, os exercícios resolvidos.
Apesar de essa pesquisa não tratar da análise do livro didático como um todo e sim da
forma de abordagem de um conteúdo específico, através do índice dos livros analisados, foi
possível perceber que, no período de 1943 a 1951, houve uma estabilidade no rol de
conteúdos. Na fase de 1952 a 1961, com o estabelecimento do Programa Mínimo,
percebemos que, os livros analisados apresentam um padrão no que se refere à metodologia
de exposição dos conteúdos: comparece uma linguagem simples e direta, com a inserção de
exercícios resolvidos e propostos. Dentre os livros analisados a partir de 1950, o conteúdo
180
equação exponencial é muito semelhante – e talvez, pudéssemos arriscar, para este tópico
específico, o aspecto de vulgata (CHERVEL, 1990).
Pode-se dizer que o Movimento da Matemática Moderna – MMM – deu uma
reviravolta na forma de apresentação dos temas e, de certa forma, trouxe mudanças
significativas para o ensino de Matemática. Essa constatação confirma a nossa hipótese
Feitas essas considerações, farei uso, mais uma vez, da primeira pessoa do singular
para destacar o meu sentimento como pesquisadora, após trilhar, por dois anos, sobre o tema
investigado e também evidenciar as possíveis mudanças que a realização dessa pesquisa já
trazem em meu desempenho profissional, dentro da sala de aula.
Desde o primeiro momento, havia a certeza de pesquisar um tópico da Matemática
escolar do ensino secundário ao longo de algumas décadas. A princípio, o conteúdo escolhido
para a pesquisa foi logaritmos. Eu e minha orientadora, Elenice Zuin, escrevemos um artigo
intitulado “A Concepção Aritmética do Logaritmo no livro dos Irmãos Reis, publicado no
final do Oitocentos”, que foi publicado na Revista de Matemática, Ensino e Cultura em 2015.
Assim, como acontece em vários trabalhos de pesquisa, mudamos a temática e, juntamente
com a minha orientadora, escolhemos a equação/função exponencial, porém mantendo o foco
na pesquisa sob o viés das disciplinas escolares.
O início do trabalho se deu através da realização de um estudo exploratório sobre a
história desses conteúdos escolares, caracterizando-o em livros didáticos publicados no
período proposto. O trabalho de Andre Chervel “História das disciplinas escolares: reflexões
sobre um campo de pesquisa”, o método de análise didática adotado por Miguel Picado
Alfaro em sua tese de doutorado e o artigo Análisis de Contenido en Textos Históricos de
Matemáticas de Miguel Picado e Luis Rico foram fundamentais para o trabalho.
O contato com livros antigos de Matemática trouxe uma experiência inédita. Apesar
de ter alguns deles em minha residência, mesmo antes do início do curso de mestrado e, por
algumas vezes, tê-los aberto e visto algumas páginas, foram momentos inovadores para mim,
pois passei a ver neles não apenas a exposição de conteúdos, mas também uma fonte histórica,
que nos faz viajar no tempo e, de certa forma, tentar perceber os momentos pelos quais passou
a escola no Brasil.
A realização do minicurso no Instituto Federal foi realmente gratificante, na medida
em que foi possível perceber que os participantes não detinham conhecimentos sobre a
História da Educação Matemática e muitas informações que repassei possibilitaram várias
discussões entre eles e, para alguns, ficou a pergunta “Será que o ensino de Matemática
melhorou ou piorou?”. Alguns foram adeptos ao sim e outros ao não, mas, o que sobressaiu
181
foi a possibilidade de oferecer um tema que gerou, dentre estas, outras reflexões. Com
certeza, a História da Educação é uma fonte de temas ricos para discussão e reflexão sobre o
ensino-aprendizagem e, ao deixar o Campus do Instituto Federal, senti que estava realizada
com o meu trabalho por promover a divulgação de informações que faltam aos nossos
professores e que podem enriquecer o trabalho de muitos deles. Através do minicurso, pude
verificar que o produto educacional desenvolvido atendeu aos objetivos na medida em que os
participantes destacaram a importância do material elaborado.
Agora, na fase final deste trabalho, percebo a importância de se conhecer a forma pela
qual um conteúdo foi sendo trabalhado com o tempo e, como relatou um participante do
minicurso, o que temos hoje é o resultado de várias experiências vividas no passado, boas e
ruins, transformadoras ou não. Como professora de Matemática, estou convicta de que as
minhas aulas para o Ensino Médio já passam por um novo incremento, que é o de procurar
fazer com que meus alunos aprendam essa disciplina e passem a valorizar o conteúdo
histórico, seja de um conteúdo em particular ou da própria disciplina. Os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática trazem os seguintes dizeres que reforçam a nossa
concepção.
Em muitas situações, o recurso à História da Matemática pode esclarecer
idéias matemáticas que estão sendo construídas pelo aluno, especialmente
para dar respostas a alguns “porquês” e, desse modo, contribuir para a
constituição de um olhar mais crítico sobre os objetos de conhecimento
(BRASIL, 1997, p.34).
Ubiratan D’Ambrósio, com vasta experiência no ensino, revela que todo professor de
Matemática pode, sim, gerar interesse nas aulas e recomenda aos docentes em serviço
procurar a formação na área de História da Matemática, defendendo que:
[..] não é necessário que o professor seja um especialista para introduzir
história da matemática em seus cursos. Se em algum tema tem uma
informação ou curiosidade histórica, compartilhe com os alunos. Se sobre
outro tema ele sabe nada e não tem o que falar, não importa. Não é
necessário desenvolver um currículo, linear e organizado, de história da
matemática. Basta colocar aqui e ali algumas reflexões. Isto pode gerar
muito interesse nas aulas de matemática. Claro, o bom seria que o professor
tivesse uma noção da história da matemática e pudesse fazer um estudo mais
sistemático e por isso recomenda-se aos professores em serviço que
procurem essa formação. (D’AMBROSIO, 1996, p.13).
182
Durante o meu curso de Licenciatura em Matemática, cursei disciplinas de História da
Educação, mas não havia tempo hábil para muitas discussões e estudos mais aprofundados.
No entanto, o desenvolvimento da pesquisa proporcionou-me preencher algumas lacunas e a
oportunidade de, daqui para frente, poder compartilhar com meus alunos e colegas
professores o que vivenciei e aprendi ao desenvolver essa pesquisa.
Como sugestão, para futuros trabalhos, deixo uma indagação que poderá ser objeto de
outras pesquisas:
Os livros didáticos atuais ainda conservam a mesma estrutura textual que aqueles do
período do Movimento da Matemática Moderna para os tópicos equação e função
exponencial?
Encerro essas considerações finais e espero que esse trabalho possa realmente
colaborar para a difusão, no meio acadêmico e profissional, do conhecimento da história de
um conteúdo escolar e trazer reflexões sobre os livros didáticos.
.
183
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190
APÊNDICE A
PONTÍFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
MESTRADO EM ENSINO DE MATEMÁTICA
Questionário
Minicurso
EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL EM LIVROS DIDÁTICOS NO BRASIL
(1930-1980)
PARTE I
I- Formação
( ) Licenciatura em Matemática em andamento. Iniciado em _____
( ) Licenciatura em Matemática. Ano de conclusão _____
( ) Outros cursos de graduação . Especificar: _______________________
( ) Especialização. Especificar: _________________________________
( ) Mestrado. Especificar: ______________________________________
( ) Doutorado. Especificar: _____________________________________
II- Tempo em que atua ou atuou como professor de Matemática: _____ anos
III- Segmento de ensino em que atua como docente:
( ) Anos iniciais do Ensino Fundamental : ( )1o ( ) 2
o ( )3
o ( ) 4
o ( ) 5
o
( ) Anos finais do Ensino Fundamental: ( )6o ( ) 7
o ( )8
o ( ) 9
o
( ) Ensino Médio: ( ) 1a ( ) 2
a ( ) 3
a
Prezado (a) Participante,
Este questionário é um dos instrumentos de coleta de dados da minha pesquisa de
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática pela PUC Minas, que tem como
objetivo obter informações para um estudo sobre a História da Educação Matemática.
As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada.
Desde já agradeço a sua colaboração.
Rogeria Teixeira Urzêdo Queiroz
191
( ) Curso Superior- Especificar curso(s) e disciplina(a)
IV - Tipo de escola que trabalha atualmente:
( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Pública Federal
( ) Privada ( ) Outra. Qual? __________________________
PARTE II
1. O minicurso acrescentou informações que você desconhecia? ( ) Sim ( ) Não
Em caso afirmativo, descrevê-las.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. O minicurso mudou sua visão sobre algum aspecto relativo:
- às correntes pedagógicas abordadas. ( ) Sim ( ) Não
- à legislação educacional. ( ) Sim ( ) Não
- à importância da história da Educação Matemática na formação docente. ( ) Sim ( ) Não
- a importância da análise dos livros didáticos. ( ) Sim ( ) Não
3. Você sugere alguma mudança para a condução do material desenvolvido? ( ) Sim ( )
Não
Em caso afirmativo, descrevê-las.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
4. Você considera importante que esse material seja utilizado nos cursos de formação inicial e
continuada de professores de Matemática e áreas afins?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
5. Há algum aspecto não contemplado que você gostaria que fosse abordado? ( ) Sim ( )
Não
Em caso afirmativo, descrevê-los.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
192
6. Qual (is) aspecto(s) do minicurso que você considerou mais relevante? Por quê?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
7. Deixe aqui as suas considerações
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
193
APÊNDICE B
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL
EM LIVROS DIDÁTICOS DE
1930 A 1980:
apontamentos para formação inicial
e continuada de professores
de Matemática e áreas afins
ROGERIA TEIXEIRA URZÊDO QUEIROZ
ELENICE DE SOUZA LODRON ZUIN
APRESENTAÇÃO
O material que ora apresentamos é parte integrante da pesquisa de dissertação de
Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais e denomina-se “Equação/função exponencial em livros didáticos no
Brasil (1930-1980)”.
É nosso desejo que esses apontamentos possam contribuir para a formação inicial e
continuada dos professores de Matemática e áreas afins, de forma especial, na área de História
da Educação Matemática. A nossa atenção foi direcionada ao conteúdo equação/função
exponencial e o nosso intuito foi verificar a forma pela qual esse tópico foi abordado por
alguns autores de livros didáticos, dentro de um período predeterminado que abarcou a
reforma Francisco Campos, em 1931, até a lei 5692 de 1971, integrando o período a partir da
década de 1960, quando o ensino brasileiro vivenciou o denominado Movimento da
Matemática Moderna.
Como ponto de partida, faremos uma abordagem histórica das funções. Em seguida, as
reformas educacionais que ocorreram entre 1930 e 1980. Em relação aos textos didáticos
selecionados, analisamos o conteúdo proposto, da década de 1930 até a de 1970.
Foi realizado um recorte da análise dos livros didáticos, tomando cinco das quinze
obras selecionadas – apresentadas na dissertação – as quais julgamos representativas, para dar
um panorama dos conteúdos escolares equação e função exponencial a partir de um viés
histórico.
É nossa expectativa que esses apontamentos possam trazer informações
complementares, tanto para aqueles que estão em formação, a exemplo dos graduandos em
cursos de licenciatura, como para educadores que já fazem do seu dia a dia o prazer de levar o
conhecimento aos seus alunos.
As autoras
SUMÁRIO
1. ASPECTOS HISTÓRICOS DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS ..................................... 197
2. REFORMAS DE ENSINO E PROPOSTAS EDUCACIONAIS ENTRE OS ANOS DE
1930 E 1980 ............................................................................................................................ 201
2.1 Método Intuitivo ........................................................................................................... 201
2.2 Movimento Escolanovista ............................................................................................ 203
2.3 A Reforma Francisco Campos ...................................................................................... 207
2.4 A Reforma Capanema .................................................................................................. 209
2.5 Programa Mínimo ......................................................................................................... 210
2.6 Lei n. 4024 e Lei n. 5692 .............................................................................................. 212
2.7 O Movimento da Matemática Moderna........................................................................ 213
3. EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL: LIVROS ANALISADOS ............................... 219
3.1. O Conteúdo Equação/Função Exponencial nos Livros Selecionados ......................... 222
3.1.1 Curso de Mathematica 4.o Anno, de Euclides Roxo, Cecil Thiré e Mello e Souza
(1938) ............................................................................................................................. 222
3.1.2 Curso de Matemática 2.o Livro Colegial, de Algacyr Munhoz Maeder (1949) .... 232
3.1.3 Curso de Matemática 1.o ano para os Cursos Clássico e Científico, de Thales
Mello Carvalho (1955) ................................................................................................... 238
3.1.4 Matemática Curso Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro Netto, Luiz Mauro
Rocha e Ruy Madsen Barbosa (1967) ............................................................................ 244
3.1.5 Matemática 2o Grau 1
a Série, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, José Carlos
Teixeira, Nilson José Machado, Márcio Cintra Goulart, Luiz Roberto da Silveira Castro
e Antônio dos Santos Machado (1978). .......................................................................... 251
4. ÚLTIMAS PALAVRAS .................................................................................................... 259
5. REFERÊNCIAS ................................................................................................................. 261
197
1. ASPECTOS HISTÓRICOS DAS FUNÇÕES
EXPONENCIAIS
Como ponto de partida, realizamos um breve levantamento histórico sobre as funções
e de forma especial sobre as funções exponenciais. Chervel (1990) considera importante a
história de um conteúdo escolar quando se percebe a evolução do mesmo, as modificações
que ocorreram em um determinado período e o estabelecimento de um elo entre o seu ensino
e suas finalidades.
A descrição de uma disciplina não deveria então se limitar à apresentação
dos conteúdos de ensino, os quais são apenas meios utilizados para alcançar
um fim. Permanece o fato de que o estudo dos ensinos efetivamente
dispensados é a tarefa essencial do historiador das disciplinas. Cabe-lhe dar
uma descrição detalhada do ensino em cada uma de suas etapas, descrever a
evolução da didática, pesquisar as razões da mudança, revelar a coerência
interna dos diferentes procedimentos aos quais se apela, e estabelecer a
ligação entre o ensino dispensado e as finalidades que presidem a seu
exercício (CHERVEL, 1990, p.192).
Podemos dizer que a ideia de associar funções a algumas atividades do dia a dia não é
recente. É bem provável que, antes mesmo da existência dos números, o homem tenha
relacionado uma pedra para cada animal do seu rebanho e, assim, realizado uma
correspondência que hoje denominamos de biunívoca entre pedra e animal.
Na Babilônia, foram encontrados mais de meio milhão de tábuas ou tabletes de argila,
sendo 400 delas com conteúdos matemáticos, várias com problemas sobre relações entre
variáveis ou sobre relações entre números As tábuas, contendo problemas tratavam, por um
lado, de situações do cotidiano, envolvendo também conhecimentos em geometria
(ALVARENGA et al, 2014, p. 163). Eves (2007, p.61), afirma que a marca principal da
geometria babilônica é seu caráter algébrico e, perto do ano de 2000 a.C., a aritmética
babilônica já havia evoluído para uma álgebra mais desenvolvida. Esse mesmo autor ainda
conclui que os babilônios eram calculistas extremamente hábeis e eram “infatigáveis
construtores de tábuas” (EVES, 2007, p. 63), sendo a Plimpton 32230
(figura 1) a mais notável
delas, descoberta no sul do Iraque no início do século XX, pelo arqueólogo Edgar J. Banks,
com dimensões de 12.7 cm x 8.8 cm (MANSFIELD, 2017).
Existe grande significado e importância histórica do tablete Plimpton 322, escrita em
cuneiforme, no período Babilônico Antigo, entre 1900 e 1600 a. C., por termos a evidência
que, muito antes dos pitagóricos, sabia-se que, em um triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Os registros eram realizados na base 60
utilizados pelos babilônios.
30
O nome indica que se trata da tábua da coleção G. A. Plimpton, da Universidade de Colúmbia, catalogada sob
o número 322. (EVES, 2007, p.63).
198
Figura 1- Plimpton 322 (Universidade de Colúmbia)
Fonte: https://terraeantiqvae.com/profiles/blogs/los-babilonios-se-adelantaron-en-mas-de-mil-anos-a-los-griegos-
en.
A figura 2 representa três colunas de caracteres, sendo as duas primeiras, da esquerda
para a direita, em notação sexagesimal.
Figura 2- Três colunas da Plimpton 322 reproduzida em notação sexagesimal e decimal, na terceira
coluna da direita
Fonte: https://terraeantiqvae.com/profiles/blogs/los-babilonios-se-adelantaron-en-mas-de-mil-anos-a-los-griegos-
en.
A coluna da extrema direita serve para numerar as linhas e os números das colunas
seguintes correspondem à hipotenusa e a um dos catetos de triângulos retângulos de lados
inteiros. Esse tablete é, então, um exemplo de relação entre números.
199
Dos 400 tabletes de cunho matemático encontrados, cerca de metade envolvia tábuas
de multiplicação, tábuas de quadrados e cubos e mesmo tábuas de exponenciais, sendo essas
últimas provavelmente usadas, juntamente com a interpolação, com problemas de juros
compostos (EVES, 2007, p. 60).
Boyer (1996, p. 20) afirma também que os babilônios construíram tabelas de argila nas
quais constavam potências sucessivas de um dado número, aproximando-se muito das atuais
tabelas logarítmicas. Tabelas exponenciais ou logarítmicas, em que são dadas as dez primeiras
potências para diferentes bases 9, 16, 1, 40 e 3,45, foram encontradas.
Os egípcios construíram tabelas que, segundo Boyer, “apresentavam resultados de
investigação empírica, ou na melhor das hipóteses, generalizações que eram resultado da
indução incompleta de casos mais simples para casos mais complicados” (1996, p.7). Para
Silva (2014, p.25), a ideia entre dependência de variáveis, ainda que de forma empírica,
estava relacionada às necessidades diárias de cada povo. Sá et al. (2013, p.124) cita também o
povo árabe em seu método de formação de intervalos musicais, que era baseado na relação
algébrica do comprimento da corda no som fundamental.
Os antigos “matemáticos”, ainda que desenvolvessem temas relacionados à funções,
não utilizavam essa nomenclatura, até porque o termo só começou a ser utilizado no século
XVII.
Ao que tudo indica, a representação gráfica das funções surgiu em meados de 1360,
com Nicole Oresme (1323-1382), Bispo de Lisieux, que fez a seguinte indagação: “por que
não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas?” (BOYER, 2008, p.
180). Oresme escreveu que tudo que é mensurável é imaginável na forma de quantidade
contínua e, assim, traçou um gráfico velocidade – tempo para um corpo que se move com
aceleração constante, marcando ao longo de uma reta horizontal pontos que representavam
instantes de tempo (ou longitudes) e para cada um desses instantes ele traçou,
perpendicularmente à reta de longitudes, um segmento de reta (latitude) cujo comprimento
representava a velocidade (BOYER, 2008).
A representação algébrica das funções foi desenvolvida a partir de Fermat e Descartes
e com o desenvolvimento da Álgebra, René Descartes apresentou um conceito de função.
François Viète (1540-1603) introduziu a primeira notação algébrica, iniciando um processo de
evolução da matemática através dos estudos embasados em parâmetros e variáveis (BRAGA,
2006, p. 18).
O termo “função” foi escrito em 1694 pelo filósofo alemão Gottfried Wilhelm
Leibnitz (1646-1716) e chamou função aos segmentos de retas obtidas por construção de
retas, correspondendo a um ponto fixo e a pontos de uma curva dada (OLIVEIRA, 1997, p.
19). A partir daí o conceito foi sendo desenvolvido por diversos outros matemáticos. A
expressão 𝑦 = 𝑓(𝑥) foi implantada por Leonhard Euler (1707-1783) no século XVII (EVES,
2007, p. 472). Euler foi um escritor magistral e, entre suas obras figuram com destaque:
“Introductio in Analysin Infinitorum”, “Instituitiones Calculi Differentiales” e “Instituitiones
Calculi Integralis” (EVES, 2007, p. 474). Boyer (2008, p. 305) esclarece ainda que:
Euler usava a letra e mais de uma dúzia de vezes para representar a base do
sistema de logaritmos naturais. O conceito por trás desse número era bem
conhecido desde a invenção dos logaritmos, mais de um século antes; no
200
entanto nenhuma notação padronizada para ele se tornara comum. Numa
carta a Goldbach em 1731, Euler novamente usou a letra e para “aquele
número cujo logaritmo hiperbólico = 1”; apareceu impresso pela primeira
vez na Mechanica de Euler de 1736, livro em que a dinâmica de Newton é
apresentada pela primeira vez em forma analítica. Essa notação, sugerida
talvez pela primeira letra da palavra “exponencial” logo tornou-se padrão.
Há uma origem fictícia da função exponencial que é relatada da seguinte forma:
Um rei solicitou aos seus súditos que lhe inventassem um novo passatempo,
um jogo, que pudesse entreter. O melhor passatempo teria direito a realizar
qualquer desejo. Assim, um dos súditos forneceu-lhe o jogo de xadrez. O rei
ficou maravilhado, portanto cumpriu sua promessa. O súdito, autor do jogo,
fez seu pedido: “cada uma das 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez
devem ser preenchidas com moedas de ouro, seguindo as seguintes
condições: na primeira casa será colocada uma moeda e nas casas seguintes
o dobro da casa anterior.”. O total em ouro seria entregue a ele. E assim se
fez. Porém, para surpresa do rei, quando o tesoureiro do reino lhe apresentou
a conta final, pois apenas na última casa o total de moedas era 263
,
correspondente a aproximadamente 9.223.372.000.000.000.000. O valor
entregue ao inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as
casas. Esse conto retrata a função exponencial y = 2x. (SILVA, 2014, p.28).
Há poucos registros sobre a origem da função exponencial, diferentemente da função
logarítmica. No entanto, procuramos relatar os tópicos que resgatam alguns pontos
importantes do seu surgimento.
201
2. REFORMAS DE ENSINO E PROPOSTAS
EDUCACIONAIS ENTRE OS ANOS DE 1930 E 1980
Antes de dissertarmos sobre as principais reformas de ensino que ocorreram entre as
décadas de 1930 e 1980 dos Novecentos, daremos ênfase ao método de ensino-aprendizagem
denominado Método Intuitivo e sua relação com o movimento escolanovista, uma vez que foi
a partir da segunda década do século XX que o movimento da Escola Nova passou a ser
difundido no Brasil (ZUIN, 2016). Para Resende e Souza (2005), esse período representou
uma época importante para a educação, pois era entendida como uma via importante de
divulgação das ideias e propostas republicanas.
2.1 Método Intuitivo
Até o fim do século XIX, a escola ou pedagogia tradicional se fez presente de “modo
hegemônico”, segundo Silva (2012, p. 2). Nessa escola, a exposição de conteúdos era feita de
forma verbal pelo professor, sendo ele a autoridade máxima e a memorização era feita pela
repetição sem relação com o cotidiano. Silva destaca ainda como importantes características
dessa escola:
O aluno deve se empenhar para atingir êxito pelo próprio esforço. A
educação é entendida como processo externo. Neste contexto, prevalece a
transmissão de conhecimento, sendo a escola centrada numa formação moral
e intelectual. Dessa forma, é hierarquizada com normas rígidas de disciplina.
Em suma, se caracteriza pelo conteudismo, exercícios de fixação e
memorização (SILVA, 2012, p. 2).
A escola tradicional passa a ser questionada e, nas últimas décadas do século XIX,
muitos debates sobre o ensino apareceram (ZUIN, 2016). Nesse sentido, foram destaques as
discussões pedagógicas voltadas para um ensino diferente do que era praticado na escola
tradicional.
Já havia surgido, na Alemanha, no final do século XVIII, o denominado método
intuitivo que se baseava nas ideias do suíço Pestalozzi31
, tendo também sua origem histórica
associada ao empirismo clássico de Bacon (SILVA, 2012). No Brasil, os princípios do
Método Intuitivo foram propagados, principalmente, através do manual Primeiras Lições de
Coisas32
, figura 3, cujo autor era Norman Allison Calkins. A obra foi traduzida para o
português por Rui Barbosa. As Primeiras Lições de Coisas constituiu-se em um texto que
31
Johann Heinrich Pestalozzi (1746 –1827) era natural da Suiça e pensou o método de ensino intuitivo, contando
com os seus discípulos no trabalho de divulgação, tendo ganhado adeptos na Europa e Estados Unidos ao longo
do século XIX (ZUIN, 2016, p. 2). 32
Título original do livro: “Primary Object Lessons: training the senses and developing the faculties of chil-
dren; a manual of elementary instruction for parents and teachers”.
202
colaborou para a difusão do método intuitivo no Brasil, assumindo importante função de
orientação dos professores (REMER; STENTZLER, 2009, p. 6338).
Figura 3- Capa do Manual Primeiras Lições de Coisas33
Fonte: http://www2.senado.leg.br/bdsf/item/id/227357.
Calkins afirma, logo no início da obra, que há uma sequência a ser seguida para a
formação das ideias que resumimos no texto a seguir:
1. É pelos sentidos que nos advém o conhecimento do mundo material. Os
primeiros objetos onde se exercem as nossas faculdades são as coisas e os
fenômenos do mundo exterior. 2. A percepção é a primeira fase da
Inteligência [...]. 3. A existência de uma noção no espírito nasce da
percepção das semelhanças e diferenças entre os objetos. [...]. 4. Todas as
faculdades medram, e robustecem a poder de exercício adequado: correndo o
risco de se debilitarem, se as sobrecarregamos, ou se as aplicamos a matérias
que não estejam ao seu alcance. 5. Algumas das energias mentais são tão
ativas e quase tão vigorosas no menino, quanto no homem: tais a sensação, a
percepção, a observação, a comparação, a simples retentiva e a imaginação.
Outras não chegam ao seu desenvolvimento cabal, antes que a criança toque
o período da madureza. Entre estas estão a razão, a memória filosófica e a
generalização. 6. O mais natural e saudável incentivo para obter, entre as
33
Exemplar referente à 40ª edição americana (1884), disponível na biblioteca da Fundação Casa de Rui
Barbosa, no endereço eletrônico < http://www2.senado.leg.br/bdsf/item/id/227357> Acessado em 30 de agosto
de 2017.
203
crianças a atenção e a aquisição de conhecimento, é associar a recreação ao
ensino. [...]. 7. É do bom ensino o inspirar contentamento à infância [...]. 8.
Os hábitos de atenção firme são permanentes mananciais de educação
intelectual [...]. Mas o grande segrêdo, para fixar a atenção das crianças, esta
em aguçarlhes a curiosidade, e satisfazer-lhes o amor de atividade [...]. 9. O
processo natural de ensinar parte do simples para o complexo; do que se
sabe, para o que se ignora; dos fatos, para as causas; das coisas, para os
nomes; das idéias, para as palavras; dos princípios para as regras
(CALKINS, 1886/1950, p. 2-3).
De acordo com Rocha & Santos (2016, p. 6), podemos verificar que “os Princípios,
mesmo servindo de base para a educação das crianças, devem seguir etapas significativas para
que o conhecimento do mundo material seja adquirido a partir dos sentidos.”
Para Zuin (2016), a implementação do método intuitivo exigiu novos materiais
escolares e, sendo o Brasil um país de dimensões continentais, muitas escolas não seguiram os
princípios do método. No entanto, “a grande exaltação das lições de coisas, o livro de Calkins,
as Conferências pedagógicas de Professores na Corte, atingiram positivamente os docentes,
trazendo para a instrução infantil, mudanças significativas e, em muitos locais, o ensino
assentado nos princípios jesuíticos passaria a ser coisa do passado” (ZUIN, 2016, p.2).
Essa metodologia, alicerçada na educação dos sentidos, na intuição e na observação
das coisas, passando, assim, a ser adotada por vários professores, despertou a reflexão sobre o
ensino, ativando a busca por mudanças focadas em outras propostas de ensino/aprendizagem.
Esse despertar por melhorias nos métodos de ensino, trouxe à tona, a partir do final do século
XIX, “a busca pela superação da concepção tradicional” (SILVA, 2012, p. 3).
2.2 Movimento Escolanovista
A Escola Nova, na percepção de Zuin (2016), ganhou força a partir da segunda década
do século XX quando, então, vários estados brasileiros incluem na legislação, reformas para a
instrução. Esse modelo de Escola surge como proposta inovadora, contrária à Escola
Tradicional, onde o professor é o mediador da aprendizagem, proporcionando ao aluno a
oportunidade para a realização do seu desenvolvimento psicológico e de sua autorrealização,
pois o que anteriormente realizava o simples papel de ouvinte passivo, sem expressão, sem
luz (na própria etimologia da palavra aluno), agora seria um “agente ativo, criativo e
participativo no ensino aprendizagem” (SILVA, 2012, p.3).
Dessa forma, essa “nova” escola, nos dizeres de Zuin (2016), também denominada
Escola Ativa ou Escola Progressiva, trazia novos princípios que são descritos por Peres
(2002, p. 11-12):
Na autonomia dos educandos, na atividade espontânea, no auto-governo, na
experiência pessoal da criança, na liberdade, na criatividade, na
individualidade e nos métodos ativos. A escola Ativa seria, então, a escola
da espontaneidade, da expressão criadora, da liberdade. (...) Todo o
formalismo da escola e todas as práticas que estivessem à margem da vida
204
deveriam ser banidas definitivamente dos meios educacionais (PERES,
2002, apud ZUIN 2016, p.3).
Figueira (2010, p.17) afirma que esse movimento, além de ser contrário ao
reducionismo intelectual por meio da memorização, criticava o Método Intuitivo por basear
suas atividades em práticas sensoriais rotineiras. Assim, “propunha uma escola mais livre e
formativa, centrada no desenvolvimento da experiência do aluno” (FIGUEIRA, 2010, p. 17).
Um dos principais representantes da Escola Nova foi John Dewey34
. Dewey
influenciou educadores de todo o mundo, incluindo brasileiros, com o método de ensino,
denominado por ele mesmo de experiência reflexiva, princípio unificador que auxiliaria os
educadores no ensino (FIGUEIRA, 2010). As duas principais obras de Dewey foram
publicadas no Brasil em 1930, com o título Como pensamos e, em 1936, Democracia e
Educação (FIGUEIRA, 2010, p. 17). Nessas publicações, o autor mostra que o pensamento
reflexivo se desenvolve através da curiosidade, isto é, através da possibilidade de estabelecer
novos contatos, buscando novos objetos. Instalam-se as situações-problemas que são a
apresentação de dificuldades que serão o incentivo para a busca de possíveis soluções a serem
experimentadas. Figueira (2010, p.18) notifica, ainda, que:
Nessas situações, a criança passa, por meio da observação direta dos sentidos
(percepção) ou de lembranças passadas de observações previamente feitas
por ela mesma ou por outra pessoa em outro momento (memória), a colher
fatos, isto é, dados (material a ser interpretado, considerado e explicado). A
posse destes dados lhe permite averiguar as condições nas quais se encontra
para, posteriormente, levantar sugestões sobre os cursos possíveis de ações
em busca de soluções. Para tanto, com os dados em mãos, passa, diante da
diversidade e da possível contradição que poderá existir entre os fatos e sua
relação com as sugestões, quando considerada a solução buscada, a escolher,
eliminar, ou conservar aqueles que sejam importantes como prova daquilo
que deseja alcançar, discernindo uns dos outros e atribuindo a eles valores e
juízos (FIGUEIRA, 2010, p. 17).
Percebemos, a partir daí, que o professor passa a exercer o papel de guia para o
aprendizado, oferecendo atividades que despertem o interesse do educando e, mais que isso, o
educando deve retirar algum significado para sua vida.
No Brasil, educadores da Escola Nova, dentre eles Anísio Teixeira, Fernando de
Azevedo e Lourenço Filho publicaram, em 1932, o Manifesto dos Pioneiros da Educação
Nova, motivados pela “esperança de democratizar e transformar a sociedade por meio da
escola pública, laica e pautada em um novo modelo pedagógico” (FIGUEIRA, 2010, p. 19).
Podemos extrair, logo das primeiras linhas desse manifesto, a preocupação dos educadores
que o idealizaram com a devida valorização a ser dada à Educação pelos que governavam a
nação:
Na hierarquia dos problemas nacionais, nenhum sobreleva em importância e
gravidade ao da educação. Nem mesmo os de caráter econômico lhe podem
34
John Dewey (1859-1952) foi filósofo e pedagogo norte americano.
205
disputar a primazia nos planos de reconstrução nacional. Pois, se a evolução
orgânica do sistema cultural de um país depende de suas condições
econômicas, é impossível desenvolver as forças econômicas ou de produção,
sem o preparo intensivo das forças culturais e o desenvolvimento das
aptidões à invenção e à iniciativa que são os fatores fundamentais do
acréscimo de riqueza de uma sociedade. (AZEVEDO et al.., 1984, p. 407).
O manifesto demonstra, de forma veemente, a função e obrigação do Estado em
oferecer uma Escola Pública de qualidade a todo cidadão quando relata:
Assentado o princípio do direito biológico de cada indivíduo à sua educação
integral, cabe evidentemente ao Estado a organização dos meios de o tornar
efetivo, por um plano geral de educação, de estrutura orgânica, que torne a
escola acessível, em todos os seus graus, aos cidadãos a quem a estrutura
social do país mantém em condições de inferioridade econômica para obter o
máximo de desenvolvimento de acordo com as suas aptidões vitais.
(AZEVEDO et al., 1984, p. 413).
Chega-se, dessa forma, ao princípio da escola para todos, única, independente da
condição social do cidadão.
O manifesto conclama também a favor de uma escola laica, gratuita e obrigatória:
A laicidade, gratuidade, obrigatoriedade e coeducação são outros tantos
princípios em que assenta a escola unificada e que decorrem tanto da
subordinação à finalidade biológica da educação de todos os fins particulares
e parciais (de classes, grupos ou crenças), como do reconhecimento do
direito biológico que cada ser humano tem à educação. A laicidade,
que coloca o ambiente escolar acima de crenças e disputas religiosas, alheio
a todo o dogmatismo sectário, subtrai o educando, respeitando-lhe a
integridade da personalidade em formação, à pressão perturbadora da escola
quando utilizada como instrumento de propaganda de seitas e doutrinas. A
gratuidade extensiva a todas as instituições oficiais de educação é um
princípio igualitário que torna a educação, em qualquer de seus graus,
acessível não a uma minoria, por um privilégio econômico, mas a todos os
cidadãos que tenham vontade e estejam em condições de recebê-la. Aliás o
Estado não pode tornar o ensino obrigatório, sem torná-lo gratuito. A
obrigatoriedade que, por falta de escolas, ainda não passou do papel, nem em
relação ao ensino primário, e se deve estender progressivamente até uma
idade conciliável com o trabalho produtor, isto é, até aos 18 anos, é mais
necessária ainda "na sociedade moderna em que o industrialismo e o desejo
de exploração humana sacrificam e violentam a criança e o jovem", cuja
educação é freqüentemente impedida ou mutilada pela ignorância dos pais
ou responsáveis e pelas contingências econômicas. (AZEVEDO et al.., 1984,
p. 413-414).
206
Realmente, na Escola Nova, o aluno passa a ser o centro de convergência das atenções
dos gestores governamentais e dos professores. Consequentemente, os manuais de ensino
baseados no Método Intuitivo são criticados como instrumentos de apoio, pois se pensava não
ser aconselhável ter uma prática pedagógica padrão, frente às necessidades diferenciadas de
aluno por aluno (FIGUEIRA, 2010).
Segundo Figueira (2010), a divulgação do movimento da Escola Nova e suas
características se deu através do aparecimento de literatura especializada, de autores
brasileiros e estrangeiros após a publicação das reformas educacionais.
Valdemarin (2008, p. 20) aponta que os princípios escolanovistas divulgados
priorizaram “o estabelecimento das novas bases teóricas, descrevendo as iniciativas
metodológicas delas decorrentes, não descrevendo modelos de como ensinar, mas
asseverando a diversidade de possibilidades já implementadas”. O cuidado com a leitura dos
professores foi, dessa forma, o modo escolhido pelos escolanovistas para a divulgação dos
novos princípios. Citamos, aqui, o grande educador brasileiro Lourenço Filho35
, que também
organizou a Biblioteca da Educação36
que foi fonte de publicação de:
Eminentes catedráticos ligados aos problemas básicos da educação e do
ensino estão presentes nesta Série que se destina, não só a professores e
estudantes, mas também a quantos se interessam pelos problemas
fundamentais da Educação (LOURENÇO FILHO, 1978, contracapa).
.
Este mesmo educador escreveu a obra Introdução ao estudo da Escola Nova,
considerada uma das principais obras responsáveis pela divulgação de todas as correntes
renovadoras da educação. Este livro contou com várias edições, pois foi muito difundido no
período entre 1927 e 1979 e passou a ser uma referência acadêmica obrigatória, sobretudo nos
cursos de formação do Magistério e nas Faculdades de Filosofia, Ciências e Letras.
(FIGUEIRA, 2010). Assim está escrito no Prólogo da Editora:
Este livro do Prof. Lourenço Filho foi pela primeira vez publicado no ano de
1929, pela Seção Editora da Companhia Melhoramentos de São Paulo, cuja
produção passou mais tarde a ser identificada com a rubrica “Edições
Melhoramento”. Embora constituísse volume de pequenas dimensões, estava
destinado a ter repercussão singular. De fato, em nosso país foi a primeira
obra pedagógica a despertar a atenção do grande público, como também a
primeira no gênero, de autor nacional, a circular em mais de uma versão no
estrangeiro (LOURENÇO FILHO, 1978, p. 9).
35
Manoel Bergström Lourenço Filho nasceu em 1897 e faleceu em 1970. Normalista pelas escolas normais de
Pirassununga e da Praça da República, formou-se também em Direito. Foi Diretor da Escola de Professores do
Distrito Federal e Diretor do INEP que, então, era denominado Instituto Nacional de Pedagogia. Publicou o livro
Introdução ao Estudo da Escola Nova que está entre as edições e tiragens de livros mais difundidos entre 1928 e
1979 (MONARCHA, 2010). 36
A Biblioteca da Educação foi uma coleção organizada por Lourenço Filho no período compreendido entre
1927 e 1940. No acervo existente no Centro de Referência para Pesquisa Histórica em Educação (Faculdade de
Ciências e Letras de Araraquara – UNESP) e também no acervo presente na Escola Estadual Dr. Álvaro Guião
(São Carlos – S.P.), podem ser encontradas vinte e nove obras publicadas por esta coleção. Foi um dispositivo
estratégico para a formação de professores nas décadas compreendidas entre 1927 e 1940 (OLIVEIRA, 2015, p.
18-19).
207
2.3 A Reforma Francisco Campos
Na década de 1920, o Brasil vivia uma crise generalizada, fruto de uma recessão
econômica que se desencadeou pelas baixas no preço do café, principalmente. Os
investimentos estrangeiros no país, após a Primeira Guerra Mundial, foram reduzidos.
Simultaneamente, havia uma grave crise mundial. Dessa forma, até mesmo as elites da época
foram atingidas, vendo suas rendas reduzidas. Com essa insatisfação, instalou-se, em pouco
tempo, um risco à ordem vigente, pois havia a possibilidade de uma ruptura política que se
instaurou no momento em que o país se preparava para escolher o presidente no período de
1930 a 1934. Como candidatos, o paulista Júlio Prestes e o gaúcho Getúlio Vargas, pela
Aliança Liberal, apoiada pelo movimento tenentista. Com a vitória de Júlio Prestes, houve
denúncias de fraudes, desencadeando um processo revolucionário com o assassinato do vice
de Vargas, João Dantas. Dessa forma, o então presidente, Washington Luis, foi deposto e
assumiu, no dia 3 de fevereiro de 1930, Getúlio Vargas como chefe do Governo Provisório
(BRAICK, MOTA, 2007).
O então Governo Provisório instituiu o Ministério da Educação e da Saúde Pública
que já existira no início da República, porém, com curta duração. Na época, o primeiro
Ministro da Educação e Saúde Pública, Francisco Campos, instituiu seis decretos, efetivando
a chamada reforma que ficou conhecida como Reforma Francisco Campos:
Decreto n.o 19.850, de 11 de abril de 1931, que instituía o Conselho Nacional de
Educação.
Decreto n.o 19.851, de 11 de abril de 1931, que dispunha sobre a organização do
ensino superior no Brasil e abarca o regime universitário.
Decreto n.o 19.852, de 11 de abril de 1931, que dispõe sobre a organização da
Universidade do Rio de Janeiro.
Decreto n.o 19.890, de 18 de abril de 1931, que regulamentava a organização do
ensino secundário.
Decreto n.o 20.158, de 30 de junho de 1931, que organizava o ensino comercial,
fornece regulamentação à profissão de contador e fornece outras providências.
Decreto n.o 21.241, de 14 de abril de 1932, que consolidava as disposições sobre a
organização do Ensino secundário.
Na exposição de motivos que acompanhou o último decreto, Francisco Campos
ressaltou o caráter inovador da proposta elaborada, deixando claro, no decreto número 21241,
os objetivos que realmente deveriam nortear os rumos da educação no Brasil:
A finalidade exclusiva do ensino secundário não há de ser a matrícula nos
cursos superiores; o seu fim, pelo contrário, deve ser a formação do homem
para todos os grandes setores da atividade nacional, constituindo no seu
espírito todo um sistema de hábitos, atitudes e comportamento que o
habilitem a viver por si e tomar, em qualquer situação, as decisões mais
convenientes e mais seguras (BRASIL, 1932).
Romanelli (1980) afirma que:
208
a Reforma Francisco Campos teve o mérito de dar organicidade ao ensino
secundário, estabelecendo definitivamente o currículo seriado, a frequência
obrigatória, dois ciclos, um fundamental e outro complementar, e a exigência
de habilitação neles para o ingresso no ensino superior. Além disso,
equiparou todos os colégios secundários oficiais ao Colégio Pedro II,
mediante a inspeção federal e deu a mesma oportunidade às escolas
particulares que se organizassem, segundo o decreto, e se submetessem à
mesma inspeção (ROMANELLI, 1980, p. 135).
Através da Reforma Francisco Campos, o ensino secundário ficou dividido em dois
ciclos, sendo um fundamental, de 5 anos, e o outro, complementar, de 2 anos. O ensino
fundamental ficou obrigatório para o ingresso em qualquer escola superior e, o segundo,
obrigatório em algumas escolas. Dessa forma, para esse ciclo complementar, foi efetuada uma
subdivisão que compreendia “um certo grau de especialização, conforme se tratasse de curso
preparatório para ingresso nas Faculdades de Direito, Ciências Médicas e Engenharia”.
(ROMANELLI, 1980, p. 135).
Para o Curso Complementar, objetiva-se a preparação para as Faculdades de Direito,
Faculdades de Medicina, Odontologia e Farmácia e Faculdades de Engenharia e Arquitetura.
O artigo quarto estabelece:
O curso complementar obrigatório para os candidatos à matrícula em
determinados institutos de ensino superior, será feito em dois anos de estudo
intensivo, com exercícios e trabalhos práticos individuais, e compreenderá as
seguintes disciplinas: Alemão ou Inglês, Latim, Literatura, Geografia,
Geofísica e Cosmografia, História da Civilização, Matemática, Física,
Química, História Natural, Biologia Geral, Higiene, Psicologia e Lógica,
Sociologia, Noções de Economia e Estatística, História da Filosofia e
Desenho (BRASIL, 1932).
Pode-se observar que o ciclo fundamental procurou fornecer uma formação básica
geral, enquanto, o complementar, buscou estruturar-se como um curso propedêutico
(ROMANELLI, 1980).
Quanto aos programas de Matemática e suas instruções pedagógicas, a Reforma
Campos, através de Euclides Roxo, implementa as inovações que vinham sendo realizadas de
forma paulatina no Colégio Pedro II, a partir de 1929, por iniciativa do próprio Roxo. As
instruções pedagógicas apresentavam como pontos-chave a aplicação do método heurístico, as
junções entre os pontos de vista aritmético, algébrico e geométrico, a inter-relação da
Matemática com outras disciplinas, tendo a noção de função como ideia central do ensino
(ALVAREZ, 2004, p. 30).
As orientações metodológicas da Reforma Francisco Campos para a disciplina
Matemática, segundo Alvarez (2004, p. 120):
[..] frisavam o uso da intuição, principalmente nas séries iniciais, primeira e
segunda. A exposição formal seria introduzida gradativamente. A princípio,
os conhecimentos deveriam ser adquiridos pela experimentação e percepção
209
sensorial. O estudo da geometria deveria ser precedido por um curso
propedêutico de caráter intuitivo e experimental [...].
O método heurístico, também orientado pela reforma, destacava que o próprio aluno
fosse capaz de enunciar as regras e propriedades dos conceitos em estudo e isso seria possível
a partir da resolução de problemas pelo aluno. Esse método foi caracterizado na reforma da
seguinte maneira:
O ensino se fará, assim, pela solicitação constante da atividade do aluno
(método heurístico), de quem se procurará fazer um descobridor e não um
receptor passivo de conhecimentos. Daí a necessidade de se renunciar
completamente à prática de memorização sem raciocínio, ao enunciado
abusivo de definições e regras e ao estudo sistemático das demonstrações já
feitas. Ao invés disso, deve a matéria ser levada ao conhecimento do aluno
por meio da resolução de problemas e de questionários intimamente
coordenados. Assim os problemas não se devem limitar a exercícios dos
assuntos ensinados, mas cumpre sejam propostos como processo de orientar
a pesquisa de teoremas e de desenvolver a presteza na conclusão lógica.
(BICUDO, 1942, p. 157 apud ALVAREZ, 2004, p. 17).
A reforma propõe, então, que o conteúdo deve ser ensinado de forma que o ponto de
partida seja a intuição e o professor deveria conduzir as atividades de modo que o aluno
conseguisse, se possível, descobrir, por si só, as verdades matemáticas, deixando de ser um
mero receptor passivo de conhecimentos.
2.4 A Reforma Capanema
A 9 de abril de 1942, por iniciativa do então ministro de Getúlio Vargas, Gustavo
Capanema, era promulgada a denominada Lei Orgânica do Ensino Secundário, mediante o
Decreto-lei n. 4244. Na exposição de motivos, Gustavo Capanema assim se pronunciou:
É que o ensino secundário se destina à preparação das individualidades
condutoras, isto é, dos homens que deverão assumir as responsabilidades
maiores dentro da sociedade e da nação, dos homens portadores das
concepções e atitudes espirituais que é preciso infundir nas massas, que é
preciso tornar habituais entre o povo. Ele deve ser, por isto, um ensino
patriótico por excelência, e patriótico no sentido mais alto da palavra, isto é,
um ensino capaz de dar aos adolescentes a compreensão da continuidade
histórica da pátria, a compreensão dos problemas e das necessidades, da
missão e dos ideais da nação, e bem assim dos perigos que a acompanhem,
cerquem ou ameacem, um ensino capaz, além disto, de criar, no espírito das
gerações novas, a consciência da responsabilidade diante dos valores
maiores da pátria, a sua independência, a sua ordem, o seu destino.
(BRASIL, 1942).
O artigo 2o do capítulo terceiro do decreto-lei afirmava que o ensino secundário
passaria a ser ministrado em dois ciclos. O primeiro compreenderia um só curso: o curso
ginasial, enquanto, o segundo, dois cursos paralelos: clássico e científico. Para Romanelli
210
(1980), estes dois últimos cursos não apresentavam, pelo currículo, nenhum caráter de
especialização. Na exposição de motivos do referido decreto, destacamos os seguintes dizeres:
Quanto aos dois cursos do segundo ciclo, o clássico e o científico, é de notar
que não constituem dois rumos diferentes da vida escolar, não são cursos
especializados, cada qual com uma finalidade adequada a determinado setor
dos estudos superiores. A diferença que há entre eles é que, no primeiro, a
formação intelectual dos alunos é marcada por um acentuado estudo das
letras antigas, ao passo que, no segundo, a maior acentuação cultural é
proveniente do estudo das ciências. Entretanto a conclusão tanto de um
quanto de outro dará direito ao ingresso em qualquer modalidade de curso do
ensino superior (Exposição de Motivos). (BRASIL, 1942, p. 3).
Com relação à Reforma Capanema, era evidente o caráter de cultura geral e
humanística dos currículos, mesmo no curso científico. Nos dizeres de Romanelli (1980, p.
158) “sobressaíam, nos dois níveis, uma preocupação excessivamente ideológica e ausência
de distinção substancial entre os dois cursos: o clássico e o científico”. Esta autora continua
comentando que “esse ensino não diversificado só tinha, na verdade, um objetivo: preparar
para o ingresso no ensino superior. Em função disso só podia existir como educação de
classe.” (ROMANELLI, 1980, p. 158).
Em abril de 1942, foi instituída uma comissão para a elaboração dos programas de
Matemática do curso ginasial. Essa mesma comissão organizou também os programas de
Matemática para os cursos clássico e científico (DASSIE, 2008).
2.5 Programa Mínimo
O denominado Programa Mínimo foi instituído através de duas portarias no ano de
1951. A primeira delas foi a Portaria n.o 966 de 2 de outubro de 1951 e a segunda, Portaria n.
o
1.054 de 14 de dezembro de 1951. Essas portarias foram o resultado de uma revisão dos
programas do Ensino Secundário feita por uma comissão, criada no início de 1951, mais
precisamente em 27 de fevereiro, data esta da Portaria n.o 456 que forneceu legalidade a essa
comissão, constituída por quatro membros: um professor da Faculdade Nacional de Filosofia,
um professor do Colégio Pedro II, um professor do Instituto de Educação de Distrito Federal e
um professor do Sindicato dos professores das escolas particulares (OLIVEIRA FILHO,
2013, p. 83). Foram publicados os Programas Mínimos de todas as disciplinas e as respectivas
instruções metodológicas.
Nessa época, era Ministro da Saúde e Educação Simões Filho que na Portaria 966 faz
referência à Portaria n.o 614, de 10 de maio de 1951, que dá a incumbência à Congregação do
Colégio Pedro II de elaborar os programas das diversas disciplinas do curso secundário.
Transcreve-se aqui os parágrafos 1.o e 2.
o da Portaria n.
o 966:
Art. 1.o Ficam aprovados os programas que a esta acompanham, para o
ensino de Português, Francês, Inglês, Latim, Grego, Espanhol, Geografia
Geral e do Brasil, Matemática, Ciências Físicas e Naturais, Desenho, Física,
Química, História Natural, Filosofia, História Geral e do Brasil, Economia
Doméstica e Trabalhos Manuais no ensino secundário.
211
Art. 2.o Os programas aprovados pela presente portaria serão adotados por
todos os estabelecimentos de ensino secundário do país e entrarão em vigor
progressivamente, a começar do ano vindouro, pela primeira série ginasial e
colegial (BRASIL, 1951).
O Ministro da Educação e Saúde, Simões Filho, assim se pronunciou em uma
entrevista coletiva à imprensa:
A necessidade, por um lado, de aliviar os deveres escolares que
congestionam os atuais programas do Ensino Secundário, e, de outro,
atribuir maior elasticidade e rendimento à sua execução, tantas vezes
reclamada, quer pelos educadores, quer por alunos e seus pais, levou o
Ministério da Educação a estudar a conveniência de proceder a uma revisão
da matéria neles contida, de modo a possibilitar o desenvolvimento racional
de suas finalidades educativas (Ensino Secundário no Brasil. INEP, 1952, p.
515 apud MARQUES, 2005, p. 52).
Marques (2005), em seu trabalho, afirma que os anos 1950 foram marcados por um
aumento do número de estudantes no ensino secundário. Os conteúdos das disciplinas eram
demasiados, trazendo dificuldades no seu cumprimento. A simplificação dos programas seria
uma tentativa de minimizar esse problema. Essa alternativa adotada foi justificada pelo
próprio Ministro Simões Filho ao dizer:
O objetivo fundamental deste trabalho consistiu, pois, em eliminar dos
programas atualmente em vigor, os excessos aludidos, reduzindo a
prolixidade dos conhecimentos alinhados na estruturação de diversas
disciplinas, que tornava penosa a tarefa didática. Ao mesmo tempo,
verificava-se o flagrante desajustamento desses programas com o nível de
assimilação da população escolar, cujas faculdades intelectuais, ainda mal
desabrochadas, não a habilitavam a abranger a enorme soma de deveres e
atividades de aprendizagem oferecidas ao seu conhecimento (Ensino
Secundário no Brasil. INEP, 1952, p.515, apud MARQUES, 2005, p.52).
Pode-se dizer, após leitura da justificativa colocada, que houve uma preocupação em
se reduzir os conteúdos até então ministrados. Dessa forma, o termo Programa Mínimo
refere-se àquele que seria trabalhado por todas as instituições escolares e teriam, assim,
condições de executá-lo. Por outro lado, o artigo 4º da Portaria 966 revela outro objetivo do
programa mínimo:
Os programas das diversas disciplinas do curso secundário serão cumpridos
no Colégio Pedro II e nos demais estabelecimentos de ensino secundário do
país com desenvolvimento adequado às diversas regiões, tendo-se sempre
em vista as conveniências didáticas.
A interpretação que pode ser dada a esse artigo é que houve a possibilidade de serem
elaborados planos de desenvolvimento desse programa mínimo de acordo com as
especificidades de cada região.
212
Durante a vigência do programa mínimo, o 2º ciclo do ensino secundário continuou a
ser chamado de Clássico e Científico, tendo perdurado no sistema educacional brasileiro até
1961, ano da LDB 4.024/61.
2.6 Lei n. 4024 e Lei n. 5692
A primeira lei de Diretrizes e Bases da Educação Brasileira surgiu em 1961 e recebeu
o número 4024. As principais mudanças decorrentes dessa lei foram a possibilidade de acesso
ao nível superior para alunos egressos do ensino técnico e a criação do Conselho Federal de
Educação e dos Conselhos Estaduais. Porém, a estrutura tradicional do ensino foi mantida e o
sistema continuou a ser organizado segundo a legislação anterior e ficou da seguinte forma:
5. Ensino pré-primário, composto de escolas maternais e jardins de infância;
6. Ensino primário de 4 anos, com chance de ser acrescido de 2 anos mais, com
programa de artes aplicadas;
7. Ensino médio, subdividido em dois ciclos: o ginasial de 4 anos e o colegial de 3 anos,
ambos por sua vez compreendendo o ensino secundário e o ensino técnico;
8. Ensino superior.
A Lei 4024 apresentou como vantagem a não prescrição de um currículo fixo e rígido
para todo o território nacional, em cada ramo e nível. Para a quebra de rigidez e a
descentralização foi um progresso, pois houve a “possibilidade de os Estados e os
estabelecimentos anexarem disciplinas optativas ao currículo mínimo estabelecido pelo
Conselho Federal de Educação foi, sem dúvida, um progresso em matéria de legislação”
(ROMANELLI, 1980, p. 181).
A lei 5692 é de 11 de agosto de 1971 e fixou o objetivo geral da educação no nível
básico. Dentre as mudanças introduzidas pela lei, salienta-se a obrigatoriedade escolar para
oito anos, isto é, faixa etária que vai dos 7 aos 14 anos. Fez-se a junção do curso primário e do
curso ginasial em um só curso fundamental de oito anos. Houve a mudança da nomenclatura e
da periodização dos graus de ensino, de 1ª a 8ª séries, primeiro grau e o ensino médio passou
a se denominar 2º grau, cursado em três anos. Houve a eliminação do dualismo existente entre
escola secundária e escola técnica, pela criação de uma escola única de 1o e 2
o graus. Dessa
forma, a estrutura passou a ser a seguinte:
Ensino de 1o grau: com 8 anos de duração e uma carga horária de 720 horas
anuais.
Ensino de 2 o grau: com 3 ou 4 anos de duração e carga horária de 2200 horas,
para os cursos de 3 anos e 2900 horas para os cursos de 4 anos.
213
2.7 O Movimento da Matemática Moderna
Em 1934, surgiu na França um grupo de matemáticos com o pseudônimo Nicolas
Bourbaki37
e acredita-se que, entre os membros originais, figuravam André Weil, Claude
Chevalley, Jean Dieudonné e Jean Delsart (EVES, 2007, p. 690). Esse grupo lançou os
Éléments de Bourbaki cujo primeiro volume foi editado em 1939 e o trigésimo primeiro, em
1965. O conjunto da obra institulou-se Les structures fundamentales de l’analyse que engloba
Teoria dos Conjuntos, Álgebra, Topologia geral, funções de variável real, espaços vetoriais
topológicos e integração (BOYER, 2008, p. 438). Para Boyer (2008, p. 438), a “apresentação
do assunto por Bourbaki é caracterizada por uma adesão sem concessões ao tratamento
axiomático e a uma forma secamente abstrata e geral que retrata claramente a estrutura
lógica”.
De acordo com Burigo (1988, p. 90), o grupo foi “responsável pela reconstrução do
edifício matemático que substituíra a divisão tradicional do conhecimento matemático em
ramos por categorias mais gerais”. Na construção do grupo, há três tipos de “estruturas-mãe”:
algébricas, de ordem e topológicas. A autora ainda afirma que:
Nas propostas para o secundário, a influência do trabalho de Bourbaki fazia-
se sentir na ênfase na unidade entre os ramos da matemática, no uso dos
conceitos unificadores, tais como os de conjunto e função e na introdução do
estudo das estruturas algébricas como grupos e anéis e dos espaços vetoriais
(BURIGO, 1988, p.90).
Eves (2007) salienta que:
Duas das características principais da matemática do século XX, a ênfase na
abstração e a preocupação crescente com a análise das estruturas e modelos
subjacentes chamaram a atenção, em meados do século, dos interessados em
ensino da matemática. Vários destes entenderam que seria oportuno adaptar
tais características ao ensino e, não demorou, formaram-se grupos
competentes e entusiastas empenhados em reformular e “modernizar” a
matemática escolar. Nascia a matemática moderna. (EVES, 2007, p. 690).
É necessário acrescentar que “Na origem, a expressão ‘matemática moderna’ ou
‘matemáticas modernas’ referia-se à evolução interna da própria disciplina, nos últimos 100
anos e em especial a partir do trabalho do grupo Bourbaki”. (BURIGO, 1988, p. 82). Este
grupo exerce influência significativa no MMM internacionalmente e, em particular, no Brasil
VALENTE et al, 2007, p.2).
Na década de 40, matemáticos pertencentes à liderança do grupo Bourbaki chegam ao
Brasil e são contratados pela Universidade de São Paulo. Aqui, influenciam e orientam os
responsáveis pelas cátedras, como também alguns jovens assistentes Dentre eles, destacam-se
37
Há algumas versões que ajudam a entender a origem do nome Bourbaki e uma dessas versões atribui o nome
em homenagem ao general Charles Denis Sauter Bourbaki que ganhou fama na Guerra Franco-Prussiana. Em
1862, rejeitou o trono da Grécia e, depois de uma campanha desastrosa, em 1871, foi obrigado a recuar até a
Suiça onde se exilou. Consta que há uma estátua em homenagem ao general em Nancy, França, onde se situa a
Universidade de Nancy, com a qual vários membros do grupo tiveram vínculos. Porém, essa versão deixa em
aberto a origem do nome “Nicolas” (EVES, 2007, p. 692).
214
Osvaldo Sangiorgi, Jacy Monteiro, Omar Catunda, Benedito Castrucci, que na década de 60
iniciam e divulgam o MMM no Brasil (VALENTE et al, 2007, p. 2).
Dentre os matemáticos que aqui estiveram, podemos citar Jean Dieudonné38
, líder do
grupo.
No Brasil, na década de 50 do século XX, justamente na época em que o Ministério da
Educação fazia valer o Programa Mínimo, havia, na comunidade acadêmica, uma grande
insatisfação com o ensino de Matemática (SOARES, 2001). Dessa forma, houve a
necessidade de realização de encontros entre professores para que fosse possível a discussão
de temas relacionados ao ensino. No Brasil, foram realizados cinco congressos nacionais de
Ensino de Matemática, sendo o primeiro realizado em 1955 e, o último, em 1966.
O primeiro desses Congressos ocorreu na cidade de Salvador e foram discutidos, de
forma exclusiva, assuntos relacionados ao Ensino de Matemática, abordando temas tais como
programas, livros didáticos e formação de professores (LAVORENTE, 2008).
Nesse Congresso, foi aprovado o aumento da carga horária semanal de matemática no
curso secundário, para quatro horas, no curso ginasial e, para cinco horas, no colegial
(SOARES, 2001). Ainda, baseado em reformas anteriores, foi aprovado o seguinte programa
de ensino para o Curso Colegial (cinco horas semanais para o científico):
Quadro 1- Programa de ensino para o Curso Colegial
Primeira Série Segunda Série Terceira Série
Progressões
Números irracionais
Potências com expoentes
fracionários
Logaritmos (como operação)
Equações exponenciais
Trigonometria
Análise Combinatória
Binômio de Newton
Determinantes
Sistemas lineares
Geometria no espaço
Análise Matemática: (início)
Conceitos elementares de variável e de
função. Limite: primeiras noções sobre
derivadas e aplicações ao estudo da variação
de uma função. Estudo do trinômio do 2.o
grau.
Noções sobre números complexos
Polinômios e equações algébricas em geral
(pequena introdução)
Geometria Analítica: (início)
Estudo no plano até cônicas
Fonte Soares (2001).
Em 1957, na cidade de Porto Alegre, foi realizado o segundo Congresso que
apresentou também palestras referentes ao ensino primário e à formação de professores, ou
seja, se propôs a discutir a aprendizagem de Matemática nos diferentes níveis de ensino
(LAVORENTE, 2008). O tema “Matemática Moderna” foi citado, segundo Soares (2001), de
forma discreta por Ubiratan D`Ambrósio e por Osvaldo Sangiorgi. D’Ambrosio desenvolveu
a temática Considerações sobre o ensino atual de Matemática e Osvaldo Sangiorgi, levou
38
Jean Dieudonné. Matemático europeu, líder do grupo Bourbaki, também exerceu muita influência sobre a
educação matemática do Brasil. Na década de 1940, Dieudonné lecionou na Universidade de São Paulo. Mais
tarde, na década de 50, apresentou uma série de palestras no Brasil, relacionadas com o trabalho do grupo
Bourbaki. Uma vez que muitos matemáticos brasileiros haviam estudado com Dieudonné em suas visitas
anteriores, suas opiniões eram muito respeitadas e seu interesse em educação matemática gerou interesse similar
entre os seus ex-alunos. Isso sinalizou para os matemáticos da academia que era “respeitável” envolver-se com
educação matemática (BEATRIZ D’AMBRÓSIO, 1987, p. 84).
215
uma discussão sobre Matemática clássica ou Matemática moderna, na elaboração dos
programas do ensino secundário?
O terceiro Congresso ocorreu na cidade do Rio de Janeiro, em 1959, e objetivou
estudar os problemas relativos aos ensinos secundário e primário, comercial, industrial e
normal e problemas gerais relativos ao ensino de Matemática (SOARES, 2001). Como
decisões importantes desse congresso, podem-se citar:
Proposta ao Ministério da Educação de não conceder o registro de professor de
Matemática aos licenciados em outros cursos tais como pedagogia, Ciências
Sociais, História Natural e Química.
Criação de uma Revista de Matemática para o Ensino Médio.
Solicitar aos Departamentos de Matemática das Faculdades de Filosofia de todo o
país a criação de cursos de preparação à Matemática Moderna, tais como Teoria
dos Números, Lógica Matemática, Teoria dos Conjuntos e Álgebra Moderna, para
professores do Ensino Médio (SOARES, 2001, p. 85).
O quarto congresso foi realizado em 1962, em Belém do Pará, e tratou de forma mais
objetiva a introdução da Matemática Moderna no ensino secundário. Nesse congresso, houve
a participação de congressistas ligados ao GEEM - Grupo de Estudos do Ensino da
Matemática39
. Nesse evento, os membros do GEEM realizaram sete aulas-demonstração,
discorrendo sobre o tratamento moderno de certos tópicos de Matemática na escola
secundária, duas apresentações do desenvolvimento moderno de assuntos de Matemática e
três palestras que focaram a introdução da Matemática Moderna na escola secundária
(SOARES, 2001).
O Congresso de 1966 foi realizado na cidade de São José dos Campos, em São Paulo,
e contou com grande participação do GEEM, pois o grupo se encarregou de sua organização.
O tema desse quinto congresso foi Matemática Moderna na Escola Secundária, articulações
com o ensino primário e com o ensino universitário. Segundo Soares (2001), houve sessões de
estudo que foram distribuídas em três momentos:
Primeiro: problemas da Teoria dos Conjuntos e de Lógica Matemática aplicada ao
ensino.
Segundo: tópicos de Álgebra Moderna e Espaços Vetoriais.
Terceiro: problemas de tratamento moderno de Geometria e Lógica Matemática.
Segundo Pinto (2008), houve a apresentação de trabalhos no V Congresso que
mostraram que o Movimento da Matemática Moderna já estava difundido em escolas de
diferentes estados brasileiros, pois, graças ao GEEM, acelerou-se a difusão do movimento. A
convite do coordenador do grupo, Osvaldo Sangiorgi, foram a São Paulo, proferir palestras,
ilustres representantes estrangeiros e essas palestras atraíam professores de Matemática de
outras regiões do Brasil (PINTO, 2008). Em 1964, o GEEM expandiu sua ação para além do
estado de São Paulo, ministrando cursos de Matemática Moderna e, em 1970, era líder do
MMM no Brasil (SOARES, 2001).
39
O GEEM foi fundado em 1961, na Universidade Mackenzie, sob a presidência do Professor Osvaldo
Sangiorgi. A constituição e atuação deste grupo foram importantes para a implantação e divulgação do
Movimento da Matemática Moderna no Brasil. O grupo tinha como objetivos escrever livros textos, realizar
congressos, encontros, simpósios e cursos voltados à Matemática Moderna para professores (LIMA, 2006, p.
43).
216
Evidencia-se a presença da Matemática Moderna nas provas de Exame de Admissão40
de 1964, aplicada em São Paulo, especificamente no Colégio Santa Cruz. Nesse exame, o
termo “prova” é substituído por “teste” e nesse teste há espaços para a resolução das questões
e espaços para as respostas (PINTO, 2005). Pode-se constatar o uso do termo “sentença”, das
opções F (falso) e V (verdadeiro) e alterações na forma de propor as questões com aspectos de
uma nova linguagem matemática. Em 1965-66, nas Escolas Primárias de São Paulo, houve
outro modelo de prova de Matemática Moderna com uma extensa questão sobre conjuntos o
que, para a autora, “evidencia o início, naquele momento, da adoção da Matemática Moderna
na escola primária paulista” (PINTO, 2005, p. 8). Em 1968, nos livros que preparavam os
alunos para os exames de admissão, o item 1, figura 4, é dedicado exclusivamente à noções
sobre conjuntos.
Figura 4- Conteúdos de Matemática a serem tratados no Programa de Admissão
Fonte: Azevedo et al. (1968).
Para Soares (2001),
No Brasil as propostas da Matemática Moderna encaixavam-se
perfeitamente na política de modernização econômica do governo da década
de 60. Vigorava no país a corrente pedagógica tecnicista que se consolidou
sustentada pela ideologia desenvolvimentista que defendia a industrialização
do país e privilegiava a formação técnica. Por conta desse interesse, o
governo abriu as portas para os técnicos americanos nos conhecidos acordos
MEC-USAID41
(SOARES, 2001, p.137).
Para Beatriz D’Ambrósio (1987), a Matemática Moderna foi um projeto idealizado em
países desenvolvidos e, posteriormente, aplicado em países do Terceiro Mundo. Soares (2001,
40
Os Exames de Admissão foram iniciados através do Decreto no 4.468, de 1
o de fevereiro de 1870, para os
ingressantes no Colégio Pedro II e regulamentados pelo Decreto no 981 de 8 de novembro de 1890.
Posteriormente, como parte da Reforma Francisco Campos, tornaram-se obrigatórios nas escolas públicas de
todo o país pelo Decreto n.o 19.890 de 18 de abril de 1931 (AKSENEN e MIGUEL, 2013, p.2).
41 O Acordo MEC-USAID foi assim denominado pela série de convênios assinados, a partir de 1964, entre o
MEC (Ministério da Educação) e a agência USAID (United States Agency for International Development). O
Acordo objetivou uma reforma em todos os níveis de ensino brasileiros, adotando-se para tanto, o modelo norte
americano, especialmente no ensino superior. Pelo papel estratégico deste nível, a reforma visava uma formação
técnica mais ajustada ao plano desenvolvimentista e econômico brasileiro, em consonância com a política norte-
americana para o país (FRANZON, 2015, p.3).
217
p.137) ainda afirma que “os acordos assinados pelo Brasil (MEC – USAID) facilitaram a
entrada das ideias da Matemática Moderna que eram veiculadas nos Estados Unidos”.
As mudanças propostas Movimento da Matemática Moderna também apresentavam
como meta fazer com que o ensino da Matemática se tornasse mais “atraente” para o aluno,
ou seja, mais prazeroso. Soares (2001, p. 148) afirma que “o Movimento defendia a inclusão
de tópicos de Matemática estudados na Universidade no currículo do ensino secundário tais
como: álgebra moderna, topologia, transformações lineares, etc”.
Pierro Neto et al. (1967) assim escreveram:
Quando usamos a expressão “Moderna” para a Matemática atualmente
ensinada, muitos são levados a pensar que se trata da substituição, pura e
simples, dos assuntos tradicionais da aritmética, álgebra e geometria, por
uma matemática completamente diferente. Pelo contrário, o que se pretende
estudar é a mesma coisa, e alguns novos tópicos de maior importância para
as ciências modernas, através de uma linguagem mais fácil e precisa, capaz
de penetrar todos os ramos da matemática (PIERRO NETO et al.., 1967,
p.11).
Outra característica importante da Matemática Moderna foi a introdução dos
fundamentos de conjuntos, relações e suas propriedades. A linguagem dos conjuntos foi muito
enfatizada, valorizando muito a utilização de símbolos. A figura 5 mostra a simbologia,
utilizada no capítulo inicial, destinado à Teoria dos Conjuntos e Lógica Matemática.
Figura 5- Simbologia utilizada na teoria dos conjuntos e na lógica
Fonte: Pierro Neto et al.. (1967, p. 12).
218
Para vários pesquisadores, a exemplo de Soares (2001), não houve tempo para que os
professores se preparassem para o novo modelo de ensino da Matemática. Para Soares (2001,
p. 149), “a Geometria foi abandonada, e os cálculos numéricos foram substituídos por
formalismos excessivos desvinculados da realidade”. Porém, Zuin (2001) aponta que as
construções geométricas e, consequentemente, o ensino de geometria, continuou em algumas
escolas nas aulas de Desenho Geométrico e mesmo, em determinadas situações, através da
disciplina Educação Artística, implantada com a LDB 5692/71.
Evidentemente, as críticas à “moderna matemática” foram muitas, não só no Brasil,
mas também nos Estados Unidos com a publicação da obra “O fracasso da Matemática
Moderna” do matemático Morris Kline que não aprovava a grande quantidade de simbolismos
e à excessiva valorização da Teoria dos Conjuntos. Soares (2001, p.149) ainda afirma que no
Brasil “os exageros cometidos em nome da Matemática Moderna são devidos principalmente
aos livros didáticos, publicados livremente e sem nenhuma fiscalização ou critério e também à
falta de formação adequada dos professores secundários.”
Não se pode negar, no entanto, que o Movimento da Matemática Moderna alterou a
estrutura do ensino da Matemática e, se não houve êxitos na sua implantação, é porque uma
renovação na maneira de ensinar demanda tempo e não é fácil de ser realizada. Chervel (1990,
p. 197) alerta que, de fato, “a instauração das disciplinas ou das reformas disciplinares é uma
operação de longa duração. O sucesso ou o fracasso de um procedimento didático não se
manifesta a não ser ao término da escolaridade do aluno”.
Para finalizar este capítulo, apresentamos a seguir uma linha do tempo (figura 6) na
qual citamos as reformas e os acontecimentos que tiveram impacto na educação brasileira
dentro no intervalo compreendido entre 1930 e 1980.
Figura 6- Esquema demonstrativo das datas das reformas de ensino e dos acontecimentos importantes no
período estudado
Fonte: Elaborado pelas autoras.
O apêndice A mostra um quadro resumo As Reformas de Ensino e as propostas
educacionais da década de 1930 a 1980
219
3. EQUAÇÃO/FUNÇÃO EXPONENCIAL: LIVROS
ANALISADOS
Neste capítulo, trazemos cinco livros didáticos utilizados, com uma breve biografia
dos autores. Apresentamos alguns elementos da análise das obras, referente ao conteúdo
equação/função exponencial, destacando as abordagens realizadas ao descrever o conteúdo
citado, transpondo imagens das próprias obras.
Os livros selecionados para a análise foram os seguintes:
Curso de Mathematica 4.o Anno, de Euclides Roxo, Cecil Thiré e Mello e Souza
(1938);
Curso de Matemática 2.o Livro Colegial, de Algacyr Munhoz Maeder (1949);
Curso de Matemática 1.o ano para os Cursos Clássico e Científico, de Thales Mello
Carvalho (1955);
Matemática Curso Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro Netto, Luiz Mauro Rocha
e Ruy Madsen Barbosa (1967);
Matemática 2o Grau 1
a Série, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, José Carlos Teixeira,
Nilson José Machado, Márcio Cintra Goulart, Luiz Roberto da Silveira Castro e
Antônio dos Santos Machado (1978).
A figura 7 mostra de forma esquemática as datas das publicações com as respectivas
capas destas obras.
Figura 7- Obras analisadas e as datas das publicações
Fonte: Elaborado pelas autoras.
O quadro 2, a seguir, mostra as características das obras analisadas.
220
Quadro 2- Estrutura interna e externa das obras
ESTRUTURA
EXTERNA/INTERNA
ROXO et al
(1938)
MAEDER
(1949)
CARVALHO
(1955)
DI
PIERRO
NETTO et
al (1967)
IEZZI et
al.
(1978)
Tipo de capa Dura Dura Dura Flexível de
cor
vermelha
Flexível,
colorida
Índice
Sim, na última
página e sem
estar em ordem
alfabética.
Sim, nas
primeiras
páginas do
livro e sem
estar em
ordem
alfabética.
Final da obra Final da
obra
Início da
obra
Prefácio X - - X X
Bibliografia - - - - X
Dimensões (cm) 16 x 23 14 x 21 13 x 19 14,5 x 21 15 x 20,5
Número de páginas 409 415 316 267 325
Apresentação de
formulários
X - - - -
Referências históricas - - X X -
Exercícios de exemplo X X X - X
Exercícios propostos com
resposta
Sim e após o
enunciado
Sim e após
o
enunciado
Sim e com
respostas no
final da
proposição
dos
exercícios
Sim e com
respostas
no final do
enunciado
Sim e com
respostas
no final do
livro
Notas de rodapé X - X - -
Terminologia adotada
Linguagem
simples e direta.
Linguagem
simples e
direta.
Linguagem
simples e
clara com
assuntos
colocados em
ordem
crescente de
dificuldade
Linguagem
clara, o
autor utiliza
textos bem
explicativos
e ainda
utiliza o
Vocabulário
Exposição
teórica
com
utilização
de
simbologia
Capítulo destinado à
potenciação
- - X X X
Número de páginas
destinadas a função
exponencial
9 10 5 4 15
Número de páginas
destinadas a equação
exponencial
1/2 6 4 5 3
Porcentagem destinada à
função exponencial
2,2% 2,4% 1,5% 1,4% 4,6%
Porcentagem destinada à
equação exponencial
0,12%
1,4 %
1,2% 1,8% 0,9%
Aplicação da função
exponencial a outras áreas
_ _ _ _ X
Aplicação da equação
exponencial à outras áreas
_ _ _ _ _
Fonte: Dados da pesquisa
221
Para a análise do conteúdo equação/função exponencial, tomamos como base
metodológica o trabalho desenvolvido por Picado y Rico (2011). Estes autores definiram
cinco fases para a pesquisa que foram consideradas neste trabalho:
Definição do problema, o campo e tipo de pesquisa e a definição de objetivos.
Nesta fase, incluem-se a seleção do tema, sua delimitação e o estabelecimento de um
marco teórico que o fundamente. Na seleção do tema devem ser considerados aspectos como
relevância, viabilidade, originalidade e interesse pessoal.
Busca, localização e seleção de livros didáticos.
É nesta fase que se levam em conta a busca, localização e seleção das fontes
documentais que possam proporcionar informações a respeito do tema da pesquisa.
Localizadas as fontes, é necessário classificá-las e selecioná-las com o objetivo de se evitar
repetição de informações. Nesta etapa, deve-se realizar a verificação da autenticidade das
fontes.
Análise dos livros didáticos.
Na fase de análise, consideramos três pontos importantes que são o autor, a estrutura
do texto e o conteúdo. Quanto ao autor, foram destacadas as informações pessoais e
profissionais, informando o nome, a profissão, o lugar de formação, vínculos com
matemáticos e obras publicadas. Com relação à estrutura do texto, relacionamos o ano, a
edição, a editora, finalidade e objetivos, organização do conteúdo, estilo de apresentação das
informações e as referências no texto.
Na análise do conteúdo, procuramos verificar de que forma o autor inicia o capítulo,
ou seja, se há ou não referências a conceitos fundamentais para o entendimento do que se
propõe e também quais são as estratégias propostas pelo autor para o ensino e aprendizagem,
identificando os sistemas de representação que, de modo geral, são em número de cinco:
textual, numérica, simbólica, tabular e gráfica. Também foi importante verificar se houve
referências históricas relativas ao conteúdo e se o autor aborda aplicações a outras áreas do
conhecimento.
Com relação à fenomenologia, procuraremos identificar os fenômenos naturais (se no
texto são apresentadas situações de natureza física, química, biológica ou de outras áreas, nas
quais a função exponencial pode ser aplicada) e fenômenos matemáticos (se o conteúdo
analisado se apresenta em um contexto de aplicação de uma ou várias operações aritméticas).
No caso da nossa pesquisa, faremos aqui, nesta fase, a análise do conteúdo que é tema
deste trabalho, analisando as formas utilizadas pelos autores selecionados para apresentá-lo.
Exposição dos resultados.
Nesta fase, serão mostrados todos os livros analisados, destacando as suas estruturas
externa e interna e destacando o conteúdo que é tema dessa pesquisa.
Interpretação dos dados.
Aqui nessa fase, procuraremos discutir, à luz da legislação vigente à época da
publicação, a metodologia utilizada pelo autor.
Nosso trabalho corresponde a uma investigação qualitativa-descritiva cujo objetivo
geral foi verificar, através de livros didáticos, as formas utilizadas por diversos autores para
apresentar um conteúdo específico de Matemática entre os anos de 1930 e 1980.
222
Os marcos temporais, inicial e final, foram delimitados tendo em vista a Reforma
Francisco Campos, que trouxe modificações para o ensino com demarcação da união da
Álgebra, Geometria e Aritmética em uma só disciplina, denominada Matemática, e o período
no qual os autores se voltaram para as prescrições do MMM.
A primeira obra, de Roxo et al (1938), foi publicada na vigência da reforma
Francisco Campos. A segunda, de autoria de Algacyr Munhoz Maeder, editado em 1949, foi
lançada durante a reforma Gustavo Capanema. Na vigência do Programa Mínimo, analisamos
a obra de Thales Mello de Carvalho, de 1955. No período do Movimento da Matemática
Moderna, a obra de Scipione et al (1967) foi objeto da nossa análise e o livro Matemática de
Iezzi et al (1979). São 41 anos decorridos entre a primeira e a última obra analisada.
3.1. O Conteúdo Equação/Função Exponencial nos Livros Selecionados
3.1.1 Curso de Mathematica 4.o Anno, de Euclides Roxo, Cecil Thiré e
Mello e Souza (1938)
Os autores
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo
Euclides Roxo nasceu em Aracaju, Sergipe, em 10 de dezembro de 1890 e faleceu no
Rio de Janeiro no dia 21 de dezembro de 1950. Em 1909, bacharelou-se no Colégio Pedro II,
tendo sido aprovado em 1915 em concurso para professor substituto de Matemática. Formou-
se em Engenharia pela Escola Politécnica do Rio De Janeiro em 1916. Em 1919 foi nomeado
catedrático do Colégio Pedro II e aí foi também examinador de Francês, Latim e Matemática.
Posteriormente, foi aprovado em concurso para catedrático do Instituto de Educação. No
Colégio Dom Pedro II foi diretor de 1925 a 1935, sendo diretor no externato de 1925 a 1930
e, no internato, de 1930 a 1935. No Ministério da Educação e Saúde, exerceu o cargo de
Diretor do Ensino Secundário no ano de 1937. Foi, também, membro do Conselho Diretor da
Associação Brasileira de Educação (ABE) de 1929 a 1931 e fez parte da comissão do ensino
secundário da mesma associação, fundada na 2.a Conferência da ABE, além de ter sido
presidente da Comissão Nacional do Livro Didático (VALENTE, 2003, p. 86-87).
Entre suas obras podemos citar:
Lições de Aritmética (1925).
Curso de Mathemática Elementar, 2 volumes (1.o volume: 1929; 2.
o volume:1930).
Curso de Mathemática, com Cecil Thiré e J. C. De Mello e Souza (5 volumes).
Matemática Ginasial – (4 volumes), publicado a partir de 1942, com outros autores
(Cecil Thiré e Mello e Souza).
Matemática Segundo Ciclo, com Roberto Peixoto, Haroldo Lisboa da Cunha e César
Dacorso Neto (3 volumes).
Matemática na Educação Secundária (1937).
223
Unidades e Medidas (1941) (VALENTE, 2003, p. 87-88).
Júlio César de Mello e Souza
Mello e Souza, também conhecido pelo pseudônimo de Malba Tahan, nasceu em 06
de maio de 1895 na cidade do Rio de Janeiro e faleceu em Recife em 1974. Cursou o ensino
fundamental no Colégio Militar do Rio de Janeiro e o ensino médio no Colégio Pedro II,
sendo ambas essas instituições reconhecidas pela excelência de ensino. Em seguida, se
formou como professor na Escola Normal e como engenheiro na Escola Nacional de
Engenharia. Como professor, lecionou em várias escolas, inclusive no Colégio Pedro II e na
Escola Normal. Foi ainda catedrático na Escola Nacional de Belas Artes, na Faculdade
Nacional de Arquitetura e no Instituto de Educação do Rio de Janeiro. Publicou, em 1938, a
famosa obra O homem que calculava (FARIA, 2004).
Outros títulos de sua autoria:
Mathematica 1.o e 2.
o anno, em coautoria com Cecil Thiré (1931)
Curso de Mathemática, em coautoria com Cecil Thiré e Euclides Roxo (5 volumes).
Mathemática Ginasial – (4 volumes), publicado a partir de 1942, com outros autores
(Cecil Thiré e Euclides Roxo).
Geometria Analítica, 1.a e 2.
a partes
Tudo é fácil
Matemática fácil e atraente (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1938).
Cecil Thiré
Cecil Thiré nasceu em Nova Lima, em maio de 1892 e faleceu no Rio de Janeiro em
novembro de 1963. Formou-se em Engenharia pela Universidade Mackenzie. Foi catedrático
em Matemática no Colégio Pedro II.
Destacamos algumas obras publicadas por este autor:
Mathematica 1.o e 2.
o anno, em coautoria com Mello e Souza (1931).
Curso de Mathemática, em coautoria com Mello e Souza e Euclides Roxo (5
volumes).
Mathemática Ginasial – (4 volumes), publicado a partir de 1942, em coautoria com
outros autores (Mello e Souza e Euclides Roxo).
Exercícios de Álgebra
Exercícios de Arithmética
Exercícios de Mathematica – 1.o e 2.
o annos (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA,
1938).
Estrutura editorial
É possível observar no livro em pauta que a capa e a folha de rosto são locais
exclusivos para a localização de elementos paratextuais (GENETTE, 2009). Na capa (figura
224
8), encontramos o título da obra Curso de Mathemática e o subtítulo 4o anno e além desses,
destacam-se os nomes dos autores e a livraria que o editou.
Figura 8– Capa do livro Roxo, Thiré & Mello e Souza
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938).
Na primeira folha interna, visualizamos os nomes dos autores e, no verso, o destaque
de algumas obras dos mesmos. Na contracapa, encontram-se dados bibliográficos, bem
resumidos, dos autores, o número da edição (4a Edição, 1938) e os endereços da livraria
responsável pela edição (Livraria Francisco Alves).
No prefácio, os autores revelam que a obra segue o programa oficial vigente e que se
preocuparam em ressaltar as aplicações práticas de Matemática:
Destinando-se este livro especialmente aos estudantes da 4.a serie do curso
secundario, tivemos ao elaborá-lo, a preoccupação de seguir pari passu o
programa official, distribuindo pelos diferentes capítulos toda a matéria
exigida.
Procurámos, sempre que foi possível, acompanhar os pontos estudados de
questões simples e problemas numericos que fizessem resaltar as multiplas
aplicações praticas da Mathematica (ROXO, THIRÉ & MELLO E SOUZA,
1938).
O prefácio da 4a edição, de 1938, é o mesmo da 3
a edição, de 1936, ou seja, em ambas
as edições o autor chama a atenção do leitor para a importante questão relativa às aplicações
práticas de Matemática.
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em capítulos e cada capítulo é
apresentado em tópicos enumerados e essa indexação é interrompida entre os capítulos. Há
tópicos que trazem exercícios resolvidos e denominados de exemplo. Há poucos casos onde os
exercícios estão intercalados com o texto em um capítulo.
225
Outro elemento textual que se destaca é o denominado formulário que está localizado
no final do livro, anterior ao índice geral, apresentado na última página. Os conteúdos
abordados seguem o programa oficial de acordo com a Reforma Francisco Campos.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O conteúdo função exponencial se encontra no capítulo VI com o título Funcção
exponencial logo após o capítulo correspondente às progressões geométricas que exige como
pré-requisito o conhecimento das propriedades das potências. O capítulo se inicia na página
70 e finaliza na página 78. Os autores apresentam no tópico 1 as Noções preliminares (figura
9), onde apresentam a igualdade
𝑝 = 𝑎𝑚
como se o aluno desconhecesse a operação de potenciação, uma vez que coloca no parágrafo
seguinte as denominações de p (potência), a (base) e m (expoente). A partir daí, supõe que a
base a é constante e que a potência e o expoente são variáveis. Com uma mudança de
nomenclatura, denominam o expoente por x e a potência por y e apresentam a igualdade
𝑦 = 𝑎𝑥, conceituando a função exponencial. São apresentadas nesse tópico duas notas de
rodapé, alertando para o caso do expoente permanecer constante e lembra que foi um assunto
estudado no 3o anno no livro Algebra.
226
Figura 9- Noções preliminares
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 70)
No tópico 2, se apresenta o Exemplo I, trabalhando com a função 𝑦 = 5𝑥, atribuindo
valores a x e calculando y.
No tópico 3 tem-se o caso de expoente commensuravel e afirma, pelo exemplo I, que o
expoente x pode receber um valor real qualquer nulo ou positivo. No exemplo II, é
apresentado o caso de um expoente positivo e diferente de 1, enquanto que, no exemplo III, o
caso do expoente positivo e menor que 1.A partir desses dois exemplos, os autores
apresentam o tópico 6 A funcção ax quando a é negativo. Neste ponto, os autores, evitando
demonstração longa, mostram de forma objetiva o número imaginário (figura 10):
227
Figura 10- Apresentação da base negativa
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 73).
Na página 74, os autores apresentam a seguinte conclusão: “Quando a base a é
negativa a funcção y = ax não é definida para qualquer valor real de x” (ROXO; THIRÉ;
MELLO e SOUZA, 1938, p.74).
O Exemplo IV ( figura 11), mostra esse caso com os possíveis valores de y, quais
sejam negativo, positivo ou imaginário.
Figura 11- Exemplo IV
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 74).
A definição de função exponencial é apresentada no tópico 9 e, nesse momento, os
autores consideram a base como sendo um número positivo e diferente de 1 uma vez que já
228
demonstraram que, no caso da base negativa, a função não é definida para todo valor real de
x. No tópico 10, são apresentados dois gráficos da função exponencial, considerando base
maior que 1 e menor que 1.
A seguir, os autores ilustram as curvas obtidas no tópico 10 em uma única figura
(figura 12) e enunciam as propriedades da curva exponencial:
Figura 12- Esboço dos gráficos de duas funções exponenciais de bases 2 e 1/2
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 76).
1o) A curva, em qualquer dos casos, fica situada toda acima do eixo dos x,
pois a funcção ax é positiva para qualquer valor de x
2o) A curva exponencial passa sempre pelo ponto B de coordenadas 0 e 1.
3o) A partir do ponto B, no 1
o caso (a > 1), a curva sobe rapidamente acima
do semi-eixo positivo dos x e desce lentamente sobre o semi-eixo negativo
do qual se approxima indefinidamente, mas sem nunca attingil-o. O semi-
eixo negativo dos x é uma asymptota da curva y = ax (a > 1). No 2
o caso (a <
1), dá-se o inverso: a curva, a partir do ponto B, afasta-se cada vez mais do
semi-eixo negativo dos x e tem por asymptota o semi-eixo positivo das
abscissas (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA, 1938, p.76).
O tópico 13 (figura 13) mostra um feixe de curvas exponenciais, mas não fazem
referência a alterações do aspecto da curva quando se varia a base.
229
Figura 13- Feixe de curvas
Fonte: Roxo, Thiré e Mello e Souza (1938, p. 77).
Citam seis propriedades da função exponencial que enumeramos:
I) Para qualquer valor de x a funcção ax é positiva.
II) Quando o valor de x se approxima de zero ax se aproxima de 1.
III) A funcção ax é continua para qualquer valor de x, isto é, attribuindo-se a
x um valor qualquer real e finito, ax terá um valor real, finito e bem
determinado.
IV) Ha um valor real de x e um só para o qual a funcção ax toma um valor
particular b positivo.
V) Si x crescer indefinidamente a funcção ax crescerá indefinidamente
quando a for maior que 1, e tenderá para zero quando a for menor que 1.
(...).
VI) Si x for negativo e crescer indefinidamente em valor absoluto, a funcção
ax tendera para zero quando a for maior que 1, e crescerá indefinidamente
quando a for menor que 1. (...). (ROXO; THIRÉ; MELLO e SOUZA,
1938, p.77-78).
Ao final do capítulo, são dispostos oito exercícios (figura 14).
230
Figura 14- Exercícios propostos
Fonte: Roxo; Thiré; Mello e Souza (1938, p. 78).
Os exercícios propostos ao aluno, apresentado pelos autores, mostram que houve uma
tendência de explorar os conceitos apresentados no texto, antes da definição de função
exponencial. São exercícios que se assemelham aos exemplos I, II e III. Não há nos
Exercícios, caso em que a base é negativa. Relativamente à função exponencial propriamente
dita, há apenas o exercício 7 que explora a parte gráfica, sem exigir conhecimentos das
propriedades da função em questão. O exercício 8, apesar de referir-se a uma função que, por
definição difere da exponencial, tem objetivo semelhante ao 7 que é o traçado de gráfico.
Os autores não fazem nenhuma referência histórica e, também, não observamos
aplicações práticas do conteúdo, conforme anunciado no prefácio.
As equações exponenciais não são apresentadas dentro deste capítulo. Há, no capítulo
IX, Taboas de Logarithmos, no tópico 17 (figura 15) a demonstração apenas da resolução da
equação exponencial da forma 𝑎𝑥 = 𝑏. Não há a apresentação de nenhuma outra forma de
equação exponencial.
Figura 15- Equação exponencial
Fonte: Roxo; Thiré; Mello e Souza (1938, p. 129).
231
Os exercícios são apresentados em número de 3, no final do capítulo e todos envolvem
a utilização de logaritmos (figura 16).
Figura 16- exercícios propostos sobre equações exponenciais
Fonte: Roxo, Thiré , Mello e Souza (1938, p. 132).
Sistemas de representação
No texto descrito, os autores lançam mão de formas de representação que poderemos
dizer serem de forma textual, simbólica, tabular, por meio de quadros, e gráfica.
Há uma predominância da representação verbal que é reforçada pela pequena
quantidade de exemplos, que são exercícios resolvidos, como complemento da teoria
apresentada. Identificamos quatro exemplos.
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma simbólica
de se apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
Na representação tabular, verificam-se os quadros, os quais são explorados para
mostrar os resultados de exemplos (figura 11).
Os gráficos (figuras 12 e 13) complementam a visualização da variação da função
exponencial, considerando base maior e menor que 1.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: A resolução de uma equação exponencial ou a determinação da
variável y para possíveis valores de x sempre exige a aplicação de operações aritméticas, tais
como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
Análise da obra sob o ponto de vista da Reforma Francisco Campos
O livro em questão pode ser traduzido como um exemplo bem fiel das propostas
inovadoras estabelecidas pela reforma. O que se percebe, é que, ao se iniciar o estudo das
232
funções exponenciais através das noções preliminares e, logo em seguida, propondo um
exemplo, adotando valores positivo, nulo e negativo para o expoente, inferimos que os autores
pretendem provocar a reflexão para conduzir à percepção de que, ao se reduzir o valor do
expoente, para a base positiva, colocada no exemplo, o valor da variável y decresce. Assim, os
autores vão conduzindo a apresentação do texto até culminar com a definição de função
exponencial. Nesse momento, de forma heurística, o aluno deverá ter concluído que a base
deverá ser positiva e diferente de 1. Então, é visível o emprego do método heurístico, uma vez
que o aluno é solicitado a participar, constantemente, do estudo proposto que, no nosso caso,
é equação/função exponencial.
3.1.2 Curso de Matemática 2.o Livro Colegial, de Algacyr Munhoz
Maeder (1949)
O autor
Algacyr Munhoz Maeder nasceu no dia 22 de abril de 1903, em Curitiba, Paraná, onde
fez seus primeiros estudos escolares, seguindo, posteriormente, para São Paulo, capital,
quando passou a estudar no Colégio São Bento. Retornando a Curitiba, graduou-se em
Engenharia Civil pela Faculdade de Engenharia da Universidade Federal do Paraná. Maeder
foi autor de livros didáticos de Matemática editados por duas editoras: Typographia João
Haupt e Cia. e Edições Melhoramentos (LONGEN, 2007). Publicou dezenove livros entre
1928 e 1962. Durante a sua vida, exerceu diversas funções, entre as quais, diretor do
Gymnasio Paranaense (atual Colégio Estadual do Paraná), de 1928 a 1930; prefeito de
Curitiba, em 1946; reitor da Universidade Federal do Paraná de 1971 a 1972; presidente da
Associação de Professores da Universidade Federal do Paraná e membro do Conselho Federal
de Educação, da Sociedade Paranaense de Matemática e da Sociedade Brasileira de Física.
Faleceu no dia 29 de dezembro de 1975 (LONGEN, 2007).
Entre outras obras publicadas por esse autor, podemos citar:
O conceito de número (These, 1927) – Concurso para Lente cathedrático de
Arithmetica e Algebra do Externato do Gymnasio Paranaense.
Resolução e Discussão das Equações do Primeiro e Segundo Gráos a uma Incognita
(These, 1927) - Concurso para Lente cathedrático de Arithmetica e Algebra do
Externato do Gymnasio Paranaense.
Algebra Elementar, 1.a parte e 2.
a parte.
Lições de Matemática, do 1.o ao 5.
o ano.
Curso de Matemática, Curso Ginasial, da 1.a a 4.
a série
Curso de Matemática, Ciclo Colegial, 1.o, 2.
o e 3.
o livros
Matemática, Curso Comercial Básico, da 1.a a 4.
a série (LONGEN, 2007).
Estrutura editorial
A obra a ser analisada, denominada “Curso de Matemática”, destinou-se ao ciclo
colegial e foi denominado de 2.o Livro. Trata-se da 3.
a edição, publicada em 1949, pela
Edições Melhoramentos, tendo como público-alvo estudantes do curso secundário do segundo
233
ciclo, conforme a Reforma Capanema. As características da obra, no que concerne a capa
(figura 17) e folha de rosto são semelhantes ao livro de Roxo et al. (1945).
Figura 17- Capa do livro Curso de Matemática
Fonte: Maeder (1949).
A obra é apresentada em 25 capítulos, numerados em algarismos romanos. Não há
nenhuma referência histórica na obra. Os conteúdos são apresentados em tópicos com
numeração de 1 a 435, o que não traduz em uma característica desse autor, pois Roxo et al.
(1945) também assim o fizeram. Nas primeiras páginas, anteriores ao índice, o autor apresenta
os programas do ciclo colegial para os cursos científico e clássico, referentes à 2.a série.
O programa oficial coloca, de forma bem definida, as partes de Matemática: Álgebra
com quatro unidades; Geometria com uma unidade e Trigonometria com seis unidades. A
unidade I é destinada à função exponencial e podemos observar a colocação da função inversa
da exponencial, tratando-se da função logarítmica.
Quando fazemos a comparação entre esses dois programas, observamos algumas
diferenças e também semelhanças. De modo geral, o programa destinado ao ensino clássico
está presente naquele que corresponde ao ensino científico, porém, neste último, as
abordagens são mais completas. Em relação à Álgebra, as diferenças são constatadas no
aumento de conteúdos para o curso científico, com o acréscimo de duas unidades:
Determinantes e fracções contínuas. A função exponencial aparece no Curso Científico. A
Geometria é contemplada com o mesmo programa e, a Trigonometria, ganha no Curso
Científico as unidades de Transformações trigonométricas e Equações trigonométricas.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O autor apresenta a noção de função exponencial e de sua inversa no terceiro capítulo,
iniciando na página 36 e, finalizando na página 45. Nesse mesmo capítulo, o autor apresenta a
234
função logarítmica, considerando o conceito de função inversa. Quanto às equações
exponenciais, o capítulo V as descreve, das páginas 69 a 74.
Não há, de forma inicial, nenhuma revisão ou referências a assuntos previamente
estudados e que servirão de suporte para o bom entendimento do capítulo.
A função exponencial é apresentada a partir do tópico 37, com uma definição, sem
referências a conceitos de domínio e imagem, relatando, apenas, que o “campo de existência”
é o conjunto dos números reais (figura 18). Faz-se referência à base simplesmente como um
número positivo qualquer, não excetuando a base igual a 1.
Figura 18- Definição de função exponencial apresentada
Fonte: Maeder (1949, p. 36).
O conteúdo é exposto, explorando os princípios e propriedades, sendo que, o tópico
38, apresenta o Princípio I: “As potências de expoente inteiro e positivo de um número maior
que 1 são maiores que 1 e crescem no mesmo sentido que o expoente, podendo tornar-se
menores que qualquer número prefixado”. (MAEDER, 1949, p. 36).
O autor faz uma demonstração detalhada desse princípio que envolve conceitos de
teoria dos números e desigualdades. Da mesma forma, no tópico 40, é apresentado o
Princípio II: “As potências de expoente inteiro e positivo de um número menor que 1 são
menores que 1 e variam em sentido contrário do expoente, podendo tornar-se menores que
qualquer número prefixado.” (MAEDER, 1949, p. 38). Novamente, o autor apresenta a
demonstração desse princípio com o mesmo rigor dado ao primeiro.
No tópico 42, são apresentadas quatro propriedades das funções exponenciais (figura
19). Na primeira, há a afirmação de que a função exponencial é sempre positiva, pois a base é
sempre também o é. Novamente, não excetua a base igual a 1. Na segunda, o autor escreve
que “para cada valor de x corresponde um valor determinado de y”, não fazendo referência ao
conceito de função bijetora. Na terceira propriedade, estabelece a condição para que a função
235
seja crescente ou decrescente. Na quarta propriedade, estabelece que “a função exponencial é
contínua para qualquer valor de x”.
Figura 19- Propriedades da função exponencial
Fonte: Maeder (1949, p. 39).
As variações da função exponencial são apresentadas no tópico 43, considerando os
casos em que a base é maior que 1 e compreendida entre 0 e 1. Neste tópico, há, pela primeira
vez, a observação de que 0 < 𝑎 < 1, sendo 𝑎, a base, ou seja, 𝑎 deve ser diferente de 1. Essas
variações são apresentadas em dois quadros. O primeiro (figura 20) é para base maior que 1:
Figura 20- Variação da função exponencial para base maior que 1
Fonte: Maeder (1949, p. 42).
O segundo (figura 21) apresenta a variação para a base entre 0 e 1:
236
Figura 21- Variação da função exponencial para base entre 0 e 1
Fonte: Maeder (1949, p. 43).
Na representação gráfica, há o exame de dois casos, considerando base maior que 1 e
base menor que 1 e o autor escreve: “Servindo-nos do sistema ortogonal de eixos
coordenados, vejamos o aspecto que adquire o gráfico no primeiro caso.” (MAEDER, 1949,
p. 42).
Para o primeiro caso, é representada a função 𝑦 = 2𝑥 e, no segundo, 𝑦 = (1/2)𝑥. São
dados apenas esses dois exemplos (figura 22). Não há exercícios de fixação. Não há
referências a nenhuma aplicação em outros ramos do conhecimento.
Figura 22- Gráficos da função exponencial: à esquerda, base maior que 1 e à direita, menor que 1
Fonte: Maeder (1949, p. 43-44).
237
Não há, no desenvolvimento do tema, exemplos de exercícios resolvidos e nem
exercícios propostos sobre a função exponencial.
O conceito de função inversa comparece no tópico 46, como ponto de partida para a
apresentação da função logarítmica (figura 23). O autor segue a mesma sequência apresentada
por Roxo, Peixoto, Cunha e Netto (1945).
Figura 23- A definição de função logarítmica
Fonte: Maeder (1949, p. 45).
.
As equações exponenciais são abordadas no capítulo V, logo após todo o estudo de
logaritmos, intitulado Resolução de Algumas Equações Exponenciais. No tópico 72, é
apresentada a definição de equação exponencial que é seguida de um exemplo literal no
tópico 73. É apresentado um exercício resolvido, utilizando-se as propriedades dos
logaritmos. Há mais dois exemplos literais nos tópicos 74 e 76. As equações do tipo
𝑎𝑏𝑐.....𝑥
= 𝑚
são apresentadas como observação no tópico 75, sinalizando que são equações que poderão,
em alguns casos, serem resolvidas sem auxílio dos logaritmos. É dado o exemplo 32𝑥= 6561
que é resolvido.
No tópico 76, o autor mostra outro tipo de equação exponencial da forma:
𝑎2𝑥 + 𝑏𝑎𝑥 + 𝑐 = 0
sugerindo a substituição de variáveis, considerando 𝑎𝑥 = 𝑦
No tópico 77, há mais três exercícios resolvidos, seguidos dos propostos no tópico 78.
Esses últimos são em número de vinte e com enunciado “resolver as equações seguintes”. Os
exercícios de 1 a 7 são repetitivos, isto é, o autor muda apenas a base e o resultado da
potenciação e pede o expoente. De 8 a 13, há soma no expoente e no primeiro membro da
equação e são bem semelhantes. Os demais envolvem aplicações de logaritmos. Com os
exemplos resolvidos, o aluno consegue resolver esses exercícios propostos.
Sistemas de representação
No texto descrito, há uma predominância da representação verbal, não havendo
nenhum exemplo de exercício resolvido.
238
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma de se
apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
Na representação tabular, verificam-se os quadros que evidenciam a variação da
função (figuras 20 e 21).
Os gráficos são apresentados e complementam a visualização da variação da função
exponencial, considerando base maior e menor que 1.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a resolução de equações exponenciais.
3.1.3 Curso de Matemática 1.o ano para os Cursos Clássico e Científico,
de Thales Mello Carvalho (1955)
O autor
Thales Mello de Carvalho nasceu em 1913 e faleceu em 1961 (GAERTNER;
BARALDI, 2014, p.34). Engenheiro Civil e Geógrafo pela Escola Politécnica da
Universidade Técnica Federal (atual Escola Politécnica da UFRJ). Foi professor de
Matemática do Ensino Secundário do Distrito Federal; catedrático de Metodologia do Cálculo
do Instituto de Educação do antigo Distrito Federal; Catedrático de Matemática Financeira da
Faculdade Nacional de Ciências Econômicas, professor de Matemática Geral e Financeira do
Curso de Aperfeiçoamento da Caixa Econômica do Rio de Janeiro e do Curso de Extensão do
Instituto de Resseguros do Brasil (CARVALHO, 1969, contra capa).
Outras obras publicadas por este autor:
Curiosidades Matemáticas;
Lições de Trigonometria Retilínea;
Lições de Matemática;
O número de ouro;
Sobre Alguns Ábacos de Alinhamento e sua Aplicação ao Cálculo da Taxa de
Anuidades (Tese);
Elementos de Matemática Comercial e Financeira;
Matemática para os Cursos Clássico e Científico (CARVALH0, 1969, contra capa).
Estrutura editorial
A obra corresponde à 9.a edição, para o 1.
o ano colegial, de 1955 e editada pela
Companhia Editora Nacional (figura 24).
239
Figura 24- Capa do livro de autoria de Thales Mello de Carvalho (1955)
Fonte: Carvalho (1955).
Na folha de rosto, há o título da obra, o nome do autor, a informação de que está de
acordo com os novos programas, conforme portarias n.o 966, de 2 de outubro de 1951 e 1045
de 14 de dezembro de 1951.
Em relação aos elementos textuais, a obra é organizada em sete capítulos: Cálculo
Numérico Aproximado, Progressões, Logaritmos, Geometria Espacial e Secções Cônicas.
Cada unidade é apresentada em tópicos enumerados cuja numeração é reiniciada nos tópicos
seguintes.
Há exercícios com resolução e outros que são denominados Exercícios para resolver,
cujas respostas são encontradas ao final de cada enunciado.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O livro em questão trata da função exponencial, dentro do capítulo de logaritmos
(capítulo III) que é iniciado com uma abordagem sobre potências, evidenciando nos dois
primeiros tópicos, as potências de expoente inteiro e de expoente racional com oito
propriedades, demonstradas ao final do enunciado de cada uma. A exemplo de Dacorso Netto
(1944), já introduz o termo limite com o seu símbolo. Citamos essas propriedades:
I. Sendo a um número real absoluto e m um número natural, tem-se 𝑎𝑚 ><
1
ou 𝑎−𝑚 <>
1 conforme 𝑎 ><
1.
II. Sendo a e b números reais absolutos tais que 𝑎 > 𝑏, e r um número
racional positivo, tem-se 𝑎𝑟 > 𝑏𝑟 e 𝑎−𝑟 < 𝑏−𝑟.
III. Sendo a um número real absoluto e r um número real positivo, tem-se
𝑎𝑟 ><
1 ou 𝑎−𝑟 <>
1, conforme 𝑎 ><
1.
240
IV. Sendo a um número real absoluto e r e r’ números racionais tais que
𝑟 > 𝑟′, tem-se 𝑎𝑟 ><
𝑎𝑟′ conforme seja 𝑎 ><
1.
V. Sejam a um número real absoluto e r um número racional. Se 𝑟 > 1, tem-
se 𝑎𝑟 ><
𝑎, conforme seja 𝑎 ><
1; se 𝑟 < 1, tem-se 𝑎𝑟 <>
𝑎, conforme seja 𝑎 ><
1.
VI. Sendo 𝑎 > 1 e s um número absoluto arbitrário, é possível escolher um
número racional absoluto r, tal que 𝑎𝑟 > 𝑠.
VII. Sendo 𝑎 < 1 e s um número absoluto arbitrário, é possível escolher um
número racional absoluto r, tal que 𝑎𝑟 < 𝑠.
VIII. Sendo 𝑎 > 1 é possível escolher um número racional absoluto r tal que
a diferença 𝑎𝑟 − 1 seja inferior a um número racional positivo ∝,
arbitrariamente escolhido (CARVALHO, 1955, p. 73-75).
São também apresentadas as potências de expoente real. A partir daí, é iniciada a
explanação sobre a função exponencial, que é apresentada de uma maneira simples através da
equação 𝑦 = 𝑎𝑥, na qual considera a um número real positivo, diferente de 1. O autor chama
a atenção do leitor, afirmando que o “símbolo 𝑎𝑥 representa uma determinação positiva de
𝑎𝑥” (CARVALHO, 1955, p. 76). A nota de rodapé esclarece o caso (figura 25).
Figura 25- Nota de rodapé, mostrando duas determinações: a negativa e a positiva
Fonte: Carvalho (1955, p. 76).
O autor aponta essa determinação positiva como sendo uma restrição, o que coloca a
curva representativa da função no semiplano situado acima do eixo dos x.
As funções são colocadas no texto, utilizando-se a terminologia Primeiro caso para o
caso da base maior que 1, expondo o gráfico e o Segundo caso, considerando a base menor
que 1 (figura 26). Na definição o autor já se referiu à base como sendo um número real
absoluto e diferente de 1.
Figura 26- Representação gráfica da função exponencial para os dois casos de valores da base
Fonte: Carvalho (1955, p. 77-78).
241
Na observação do tópico 8, o autor leva até o leitor, um feixe de curvas exponenciais:
considerou duas base a e b, sendo 𝑎 > 𝑏 > 1 e que, portanto,
0 <1
𝑎<
1
𝑏< 1. Assim, apresenta o gráfico e sugere que a utilização do feixe de curvas para
um melhor entendimento das propriedades das potências que foram citadas (figura 27).
Figura 27- Feixe de curvas exponenciais para bases maiores e menores que 1
Fonte: Carvalho (1955, p. 79).
A função logarítmica é discutida pelo autor de uma forma clara quando mostra a
função logarítmica pela equação 𝑦 = log𝑎 𝑥, sendo a um número real absoluto, diferente de 0
e de 1 e deduz a igualdade 𝑥 = 𝑎𝑦 que define x como função exponencial de y. Observamos
que o autor não utiliza o termo direto função inversa, mas constrói a curva da função
logarítmica de uma forma distinta dos outros autores analisados (figura 28).
242
Figura 28- Construção do gráfico da função logarítmica
Fonte: Carvalho (1955, p. 80).
As equações exponenciais são descritas no mesmo capítulo III (logaritmos) e no tópico
40, Preliminares, o autor expõe que “Equação exponencial é aquela que contém incógnita em
expoente” (CARVALHO, 1955, p. 101). Confirma que a mais simples é a da forma 𝑎𝑥 = 𝑏 e
propõe uma solução, utilizando, como recurso, os logaritmos. Nos tópicos de 31 a 45,
emprega, como recurso pedagógico, exercícios com resolução, levando ao conhecimento do
leitor não só a resolução, mas os tipos de equações exponenciais, normalmente apresentados
por outros autores: equação na qual os membros não são potências de mesma base, solução
por logaritmos; membros que são potências de mesma base e equações cujo primeiro membro
é uma soma de exponenciais de mesma base. As atividades são colocadas como exercícios
para resolver, no tópico 46, em um total de 15, e os demais com a proposição de Resolver a
equação. As respostas são colocadas ao final de cada enunciado (figuras 29 e 30).
243
Figura 29- Exercícios para resolver de 1 a 9
Fonte: Carvalho (1955, p. 103).
Figura 30- Exercícios para resolver de 10 a 15
Fonte: Carvalho (1955, p. 103).
Todos os exercícios propostos são semelhantes aos exemplos resolvidos no texto,
sendo que os de números 4 e 5 envolvem aplicação de logaritmos. Todos os demais, como
sublinhado pelo autor “requer um pequeno artifício” (CARVALHO, 1955, p. 102). São
resoluções diretas e de caráter repetitivo.
Sistemas de representação
O autor faz uso de parágrafos explicativos sobre propriedades de potências e
demonstrações sem utilizar exemplos de exercícios resolvidos, ou seja, explorou bastante a
representação textual.
A representação simbólica se faz presente em todo o capítulo, seja na forma de se
apresentar a função exponencial, bem como na forma de discorrer sobre expoentes com
valores fracionários ou não.
Não houve representação por meio de quadros ou tabelas. A representação gráfica é
usada para as funções e, ao que parece, com o objetivo de fazer o aluno compreender
244
intuitivamente as propriedades das potências que foram citadas: “Para uma compreensão mais
intuitiva das propriedades do n.o 3
42, sugerimos ao leitor interpretá-las à luz do gráfico da fig.
3” (CARVALHO, 1955, p. 78). A figura indicada pelo autor corresponde à figura 27 desse
trabalho.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: O autor utiliza operações aritméticas, tais como potenciação,
radiciação e as operações fundamentais para a determinação de potências e para a resolução
de equações exponenciais.
3.1.4 Matemática Curso Colegial Moderno, de Scipione Di Pierro Netto,
Luiz Mauro Rocha e Ruy Madsen Barbosa (1967)
Os autores
Scipione Di Pierro Netto
Scipione Di Pierro Netto (1926-2005) era doutor em Educação pela Universidade de
São Paulo – USP. No início de sua carreira, foi professor de Matemática na rede pública do
Estado de São Paulo, ingressando posteriormente, por concurso público, no Colégio de
Aplicação da USP. Lecionou em diversas instituições de Ensino Superior, entre elas a USP e
a Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Teve participação no G.E.E.M. – Grupo de
Estudos do Ensino da Matemática, presidido por Osvaldo Sangiorgi. Scipione foi autor de
inúmeros livros didáticos de Matemática e começou a ter destaque nesse ofício no final da
década de 1960 (QUEIROZ; ZUIN, 2016, p. 8).
Algumas obras publicadas por este autor:
Matemática Para a Escola Moderna 4 volumes: 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do Curso Ginasial.
Matemática na Escola Renovada –1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do Curso Ginasial.
Matemática Passo a Passo – 1ª, 2ª, 3ª e 4ª séries do 1º grau.
Matemática na Escola Renovada –1º, 2º e 3º anos do Curso Colegial (coautora: Célia
Contin Goes).
Matemática – 5ª, 6ª, 7ª e 8ª séries do 1º grau (coautores: Magda Teresinha Angelo,
Edson do Carmo e Lilia Maria Faccio) (BROLEZZI; PINHEIRO, 2008, p. 3).
42
As propriedades do n.o 3 estão descritas nas página 46.
245
Luiz Mauro Rocha
Foi professor de Cálculo Infinitesimal da FEI – Faculdade de Engenharia Industrial43
e
da FFCL da Fundação Santo André. Foi Instrutor de Cálculo Infinitesimal da Escola
Politécnica da USP e Ex-professor do Colégio Estadual de São Paulo (DI PIERRO NETO;
ROCHA; BARBOSA, 1967).
Ruy Madsen Barbosa
Doutor em Matemática pela Universidade Católica de Campinas. Livre docente de
Matemática da FFCL de Araraquara. Foi professor do ensino secundário oficial do estado de
São Paulo (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967).
Estrutura Editorial
A obra corresponde ao volume 1, da 1.a edição, de 1967. Editada pelo Instituto
Brasileiro de Edições Pedagógicas.
O papel da capa (figura 31) é de papel flexível, semelhante a cartolina com layout
moderno.
Na parte superior da folha de rosto, dispõem-se os nomes dos autores e o título é
centralizado. Na parte inferior, o nome da editora, com endereço, telefones e caixa postal.
Quanto aos elementos textuais, os conteúdos estão dispostos em quatro partes, sendo
a primeira denominada FUNDAMENTOS, com dois capítulos. A segunda parte compreende
FUNÇÕES ELEMENTARES com três capítulos. A quarta parte, TRIGONOMETRIA com dois
capítulos e a quarta e última parte, GEOMETRIA com um capítulo. São, portanto, oito
capítulos, enumerados em algarismo romano.
Figura 31- Capa do livro Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967)
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967).
Na apresentação, os autores justificam a publicação, afirmando:
43
Criada pelo decreto n. 20.942 de 9/4/1946. No mesmo ano, em 22 de agosto, a FEI e outras faculdades
constituiram a PUC de São Paulo. A partir do final de 1971, desligou-se da PUC, voltando à condição de
instituição isolada de ensino superior (http://portal.fei.edu.br/pt-BR/fei/historia/Paginas/historia.aspx).
246
A idéia da publicação de uma série colegial de “Matemática Moderna”, em
prosseguimento à “Matemática para a Escola Moderna”, do prof. Scipione
Di Pierro Neto, tomou forma e se concretizou durante o transcurso do V
Congresso de Ensino da Matemática, realizado em S. José dos Campos, no
Centro Técnico de Aeronáutica, em 1966. Naqueles dias, em contato com
professores de quase todos os Estados, sentimos bem de perto a angústia
com que os nossos colegas se referiam à dificuldade que encontravam para a
atualização do ensino da matemática no colégio, dada a inexistência, ao seu
alcance, de obras nacionais e estrangeiras (DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1967, apresentação).
Os autores também justificam a presença da primeira parte, adotando normas para a
redação dos três volumes:
1. Apresentar, no início do primeiro volume, um capítulo de
FUNDAMENTOS, destinado aos professôres ainda não iniciados na
“Matemática Moderna”, redigido em linguagem fácil e nível elementar – de
modo a que possa ser aprendido e ao mesmo tempo ensinado, no todo ou em
parte, aos alunos (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967,
apresentação).
Os textos são desenvolvidos em tópicos enumerados em ordem crescente de 1 a 198.
Análise do conteúdo equação/função exponencial
A função exponencial inicia-se no capítulo V, tópico 68 com o título Potências com
expoente real.
Os autores fazem uso de textos bem explicativos e o fazem como se estivessem
conversando com o leitor, ao anunciar que “Nos capítulos anteriores, temo-nos referido
constantemente aos números reais, embora sem termos desenvolvido uma Teoria dos
Números Reais” (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p. 123). No parágrafo
segundo, escrevem “Aceitamos que o leitor é possuidor de uma idéia intuitiva da natureza
desses números e que sabe utilizar as propriedades essenciais da adição multiplicação e
operações inversas: subtração e divisão” (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p.
123).
Antes, então, do estudo da função exponencial, são feitos alguns comentários sobre a
operação de potenciação e a definição de potenciação de base real a e expoente inteiro
positivo n é feita, utilizando-se uma representação simbólica bem detalhada (figura 32).
247
Figura 32- Definição de potenciação e a definição de potenciação de base real a e expoente inteiro positivo
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 123).
O autor define a aplicação φ como uma operação denominada potenciação. Esta é uma
forma não encontrada em outros autores.
As propriedades das potências são colocadas em destaque por meio de uma
representação por quadro (figura 33).
Figura 33- Propriedades das potências
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 124).
A extensão da definição da operação φ para expoentes zero e negativos é feita com a
utilização do símbolo para todo (∀) (figura 34).
Figura 34- Extensão da definição de φ
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 124).
A função injetora de domínio Z é obtida, fixando a base a, no caso 𝑎 = 2 e variando o
expoente x no conjunto Z. Os autores utilizam o quadro de valores para 𝑎 = 2. A função é
apresentada com a simbologia 𝜑 ∶ 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥 , 𝑥 ∈ 𝑍 (figura 35).
248
Figura 35- Valores de y para base igual a 2
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 125).
A representação gráfica dessa função é feita com uma linha contínua com a
observação de que não faz parte do gráfico (figura 36).
Figura 36- Representação gráfica da função injetora com domínio Z
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 125).
As representações gráficas para a base compreendida entre 0 e 1 e para a base menor
que 0 são também realizadas (figura 37).
Figura 37- Representações gráficas para base entre 0 e 1 e para base negativa
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 126).
Para a potência com expoente real, os autores apresentam a propriedade “Tôda
equação da forma 𝑥𝑛 = 𝑎 com a real não negativo e n natural, tem solução real” (DI PIERRO
NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p. 126). As definições de potências com expoentes reais
são feitas para bases não negativas. São apresentadas novamente cinco propriedades para
quaisquer números reais a, b não negativos e quaisquer expoentes racionais (figura 38).
249
Figura 38- Propriedades das potências para quaisquer expoentes racionais
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 127).
A representação gráfica da função 𝑦 = 2𝑥, para x racional é apresentada, considerando
valores de x iguais a 0, 1/2 e 1 (figura 39).
Figura 39- Representação gráfica dos pontos (x, ax) para valores de x iguais a 0, 1/2 e 1
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 129).
As propriedades das potências com expoente real, em número de cinco, são
apresentadas em um quadro (figura 40).
Figura 40- Propriedades das potências de expoente real
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 129).
Por último, no tópico 68, é apresentada a definição de função exponencial:
250
Admitimos então que tôda função 𝑦 = 𝑎𝑥 com a real positivo e x real
qualquer, considerando para cada x o valor positivo da potência 𝑎𝑥, é
injetora e tem por gráfico uma curva contínua, do tipo indicado nos gráficos
anteriores, denominada curva exponencial (DI PIERRO NETO; ROCHA;
BARBOSA, 1967, p.130).
Com relação às propriedades da função exponencial, são apresentadas dez
propriedades, enumeradas em algarismos romanos, que tratam respectivamente, da
intersecção com o eixo y, do ponto de abscissa 1, do sinal de 𝑓(𝑥), das abscissas positivas e
negativas para base maior que 1, das abscissas positivas e negativas para base entre 0 e 1, da
monotonicidade para base maior que 1, da monotonicidade para base entre 0 e 1, da
aproximação do eixo horizontal para base maior que 1, da aproximação do eixo horizontal
para base entre 0 e 1 e da exponencial 𝑦 = 1𝑥.
É importante ressaltar aqui as duas propriedades também apresentadas como
características da função exponencial:
𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1). 𝑓(𝑥2) ou 𝑎𝑥1+𝑥2 = 𝑎𝑥1 . 𝑎𝑥2
[𝑓(𝑥1)]𝑥2 = 𝑓(𝑥1. 𝑥2) ou (𝑎𝑥1)𝑥2 = 𝑎𝑥1.𝑥2
A definição de equação exponencial é formalizada de uma forma que difere dos
autores já mencionados aqui, pois usam o termo sentença numérica aberta. Assim a definem:
“Equação exponencial é uma sentença numérica aberta, na variável real x, onde x figura em
expoentes” (DI PIERRO NETO; ROCHA; BARBOSA, 1967, p.133). Afirma que a equação
exponencial mais simples é a da forma ax = b, onde a e b são constantes positivas. São
apresentados dois exemplos de resolução. Outros tipos de equação que se reduzem a essa
forma são apresentadas em mais três exemplos.
A função logarítmica será apresentada no tópico 81 e, dessa forma, não foram
apresentados os casos de equações com resolução por meio das propriedades operatórias dos
logaritmos. Os exercícios para o aluno são encontrados no tópico 79 com a construção de
gráficos, aplicação das propriedades das potências e equações exponenciais para resolver (36
equações) em ordem crescente de complexidade, sendo a número 1 a equação 3𝑥 = 1/81 e a
de número 36, xx − x−x = 3(1 + x−x). As respostas estão no tópico 80.
A função logarítmica é apresentada como inversa da função exponencial geral
y = f(x) = ax no caso em que a base a é positiva e diferente de 1, utilizando a representação
simbólica (figura 41).
251
Figura 41- Representação simbólica da função logarítmica
Fonte: Di Pierro Neto, Rocha e Barbosa (1967, p. 138).
Sistemas de representação
Os autores utilizam bastante à representação textual com conceitos, definições e
demonstrações de propriedades das potências.
A representação simbólica é bastante explorada por já se tratar de uma obra que coloca
para o leitor a linguagem da Matemática Moderna. Na representação tabular, verificam-se
quadros que ressaltam as propriedades das potências e tabelas são também utilizados pelos
autores e a apresentação de gráficos é feita com a utilização de linhas de grade o que já denota
um diferencial de apresentação dessa obra.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Não são apresentadas situações físicas da natureza nas quais a
equação/função exponencial poderia ser verificada.
Fenômenos matemáticos: A resolução de uma equação exponencial ou a determinação da
variável y para possíveis valores de x sempre exige a aplicação de operações aritméticas, tais
como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
3.1.5 Matemática 2o Grau 1
a Série, de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, José
Carlos Teixeira, Nilson José Machado, Márcio Cintra Goulart, Luiz
Roberto da Silveira Castro e Antônio dos Santos Machado (1978)
Os autores
Não foram encontrados na bibliografia dados biográficos de alguns dos autores. Por
essa razão, citamos apenas Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce e Nilson José Machado.
Gelson Iezzi
É formado em Engenharia Metalúrgica pela Escola Politécnica da Universidade de
São Paulo e Licenciatura em Matemática pelo Instituto de Matemática e Estatística da USP
(IEZZI et al., 2006).
Outros títulos de sua autoria:
Matemática Ciência e Aplicações, volumes 1, 2 e 3 em coautoria com Osvaldo Dolce,
David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida.
Matemática conecte, volume único.
252
Matemática e realidade para o ensino fundamental em coautoria com Osvaldo Dolce e
Antônio Machado44
.
(disponível em < https://www.livrariacultura.com.br/e/gelson-iezzi).
Osvaldo Dolce
Engenheiro Civil pela Escola Politécnica da USP e licenciado em Matemática pelo
Instituto de Matemática e Estatística da USP (IEZZI et al., 2006).
Outros títulos de sua autoria:
Matemática Ciência e Aplicações, volumes 1, 2 e 3 em co-autoria com Gelson Iezzi,
David Degenszajn, Roberto Périgo e Nilze de Almeida.
Matemática e realidade para o ensino fundamental em co-autoria com Gelson Iezzi e
Antônio Machado (IEZZI et al., 2006).
Nilson José Machado
Nasceu em Olinda, Pernambuco, em 1947. É licenciado em Matemática e doutor em
Filosofia da Educação pela Universidade de São Paulo, onde é professor desde 1972,
inicialmente no Instituto de Matemática e Estatística. Leciona na Faculdade de Educação
desde 1984, sendo atualmente professor titular. Publicou diversos livros didáticos e
paradidáticos para os três níveis de ensino (MACHADO, 2004, p.155).
Outros títulos de sua autoria:
Matemática e Realidade, 1987.
Matemática e Língua Materna, 1999.
Matemática e Educação, 2000.
Epistemologia e didática, 2000.
Educação: Projetos e Valores, 2004 (MACHADO, 2004, p.155).
Estrutura Editorial
A obra é destinada à primeira série do segundo grau e foi editado pela Atual Editora,
em 1978, sendo esta a sexta edição revisada (figura 42). A primeira edição foi de 1973. A
capa é de papel flexível com a palavra matemática escrita em vermelho e a imagem especular
no semiplano direito e também no inferior. Os nomes dos autores foram dispostos de forma a
produzir uma visualização piramidal.
44
Disponível em < https://www.livrariacultura.com.br/e/gelson-iezzi.
253
Figura 42- Capa do livro
Fonte: Iezzi et al. (1978).
A folha de rosto tem como diferencial a informação do número de exemplos, de
exercícios resolvidos e exercícios propostos ao todo na obra, além dos nomes dos autores, o
público alvo que são alunos da 1.a série do 2.
o grau.
Os conteúdos abordados estão dispostos em 9 capítulos que são subdivididos em
tópicos. A função exponencial se encontra no capítulo 7, sendo o capítulo 1 destinado aos
conjuntos. No prefácio, os autores relatam sobre a metodologia utilizada na elaboração do
livro:
[...] procuramos chegar aos conceitos fundamentais através de exemplos,
muitas vezes não matemáticos, tentando tornar as definições as mais naturais
possíveis. Tivemos também a preocupação de apresentar sempre que
possível, os vínculos da Matemática com outras ciências, notadamente a
Física. A teoria apresenta-se em doses nunca muito grandes, seguidas de
exercícios que devem ser considerados parte integrante do texto. Procuramos
apresentar exercícios resolvidos e propostos compatíveis com a teoria dada e
o objetivo visado (IEZZI et al., 1978, prefácio).
254
Análise do conteúdo equação/função exponencial
O capítulo 7 traz como ponto de partida a operação de potenciação, apresentando em
primeiro lugar a potência com expoente inteiro. É apresentado um quadro de definição e
denominando 𝑎𝑛 de potência de base a e expoente inteiro n (figura 43).
Figura 43- Definição de potência de expoente inteiro
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.133).
Os exercícios para a aplicação da definição são propostos em seguida e em número de
7 com subitens, totalizando 47 potências a serem calculadas.
Outro quadro mostra as propriedades das potências com expoente inteiro (figura 44).
Figura 44- Propriedades das potências com expoente inteiro
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.134).
Os exercícios propostos se apresentam como: Classificar em V (verdadeiro) ou F
(falso) e Simplificar as expressões.
No tópico seguinte são apresentados os radicais com suas propriedades em outro
quadro. Para o aluno, os exercícios são da forma: calcular, simplificar, Classificar em V
(verdadeiro) ou F (falso), resolver as equações em R.
Continuando com o texto, mostram as potências com expoente racional, com expoente
irracional e com expoente real para, assim, na página 139, mostrar as equações exponenciais.
Para as equações exponenciais, não há definição e tampouco a classificação das
equações. São resolvidos alguns exemplos que foram denominados de R.114 (por se tratar do
centésimo décimo quarto exercício resolvido), R.115 (dois exemplos) e R.116 (dois
exemplos). Os exercícios propostos são similares aos resolvidos e os enunciados são do tipo
resolver as equações exponenciais.
A comparação de potências, no tópico 7, é resumida em um quadro (figura 45).
255
Figura 45- Comparação de potências
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.142).
No tópico 8, tem-se a definição de função exponencial como sendo a função, definida
para todo x real, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 cujo domínio é R e conjunto imagem, 𝑅+∗ .
Os gráficos da função exponencial são ilustrados através de dois exemplos, utilizando
a base 2 e a base 1/2, acompanhados das tabelas de valores (𝑥, 𝑦) (figura 46). O plano
cartesiano apresenta linhas de grade a exemplo do que foi utilizado por Di Pierro Netto et al.
(1967).
Figura 46- Exemplo de gráfico da função exponencial
Fonte: Iezzi et al. (1978, p.143).
A partir dos exemplos, concluem que a curva está acima do eixo dos x. A curva corta o
eixo dos y no ponto de ordenada +1 e tem dois aspectos, conforma a base seja maior que 1 ou
ser um número compreendido entre 0 e 1.
Os exercícios resolvidos têm como enunciado, classificar as funções em crescentes ou
decrescentes. Trata-se do exercício R.117 com subitens de a a e.
O último tópico refere-se a inequações exponenciais e fornece mais dois exercícios
resolvidos.
Nos exercícios propostos, o aluno deverá esboçar gráficos de algumas funções
exponenciais, classificar as funções em crescente ou decrescente, resolver inequações
exponenciais e determinar o domínio de funções.
256
Sistemas de representação
A representação textual é notada pelos textos elaborados, principalmente na parte
teórica para a descrição das potências. No que tange à função exponencial propriamente dita,
não se observa textos longos.
A representação simbólica foi destacada na utilização dos símbolos de menor que (< )
e maior que ( > ). Há pouco uso da simbologia própria para conjuntos.
Na representação tabular, verificam-se os quadros, os quais são explorados para
mostrar propriedades e comparações entre potências.
Os gráficos mostrados tiveram como finalidade a representação da variação das
funções exponenciais e não foram muitos, apenas quatro.
Fenomenologia
Fenômenos naturais: Apesar de Gelson Iezzi colocar em seu prefácio que iria fazer “os
vínculos da Matemática com outras ciências”, algo que seria muito pertinente para as
equações exponenciais, não são encontradas situações físicas ou químicas relacionadas ao
tema.
Fenômenos matemáticos: Verificado fenômenos matemáticos na aplicação de operações
aritméticas, tais como potenciação, radiciação e as operações fundamentais.
Complementando as análises dos livros citados, montamos alguns quadros que
permitem uma melhor visualização das abordagens feitas pelos autores analisados. O quadro 3
faz referência à função exponencial, mostrando a existência ou não de demonstrações de
princípios ou propriedades, de exercícios resolvidos e de exercícios propostos para o aluno,
enquanto o quadro 4 refere-se às equações exponenciais.
Quadro 3- Quadro para a função exponencial
Autores Demonstrações de
teoremas ou
princípios/propriedades
Exercícios resolvidos
ou exemplos/número
Exercícios
propostos/número
Roxo et al (1938) - 4 exemplos 8
Maeder (1949) X - -
Carvalho (1955) - - -
Di Pierro Netto et
al (1967)
- 8 exemplos 16
Iezzi et al (1978) - 10 exercícios
resolvidos
51
Fonte: Dados da pesquisa.
257
Quadro 4- Quadro para equações exponenciais
Autores Demonstrações de
teoremas ou
princípios/propriedades
Exercícios resolvidos
ou exemplos/número
Exercícios
propostos/número
Roxo et al (1938) - - 3
Maeder (1949) - 8 exemplos 20
Carvalho (1955) - 5 exercícios resolvidos 15
Di Pierro Netto et
al (1967)
- 6 exemplos 36
Iezzi et al (1978) - 8 exercícios resolvidos 19 Fonte: Dados da pesquisa.
Outro ponto importante que deve ser evidenciado diz respeito à função logarítmica.
Alguns autores a apresentam juntamente com a função exponencial e apresentam um capítulo
separado, denominado de Logaritmos, apresentando as propriedades operatórias. O quadro 5
mostra essa disposição nas cinco obras analisadas.
Quadro 5- Quadro demonstrativo da apresentação da função logarítmica
Autores Função logarítmica Teoria dos
logaritmos
Equações
exponenciais
Aplicação
Roxo et al
(1938)
_ Capítulo VII No mesmo
capítulo
Juros
compostos
Maeder
(1949)
Mesmo capítulo da
função exponencial
Capítulo IV Capítulo V _
Carvalho
(1955)
Funções exponencial
e logarítmica
apresentadas no
mesmo capítulo.
Capítulo III, contendo
funções exponencial e
logarítmica.
Mesmo capítulo
(III)
_
Di Pierro
Netto et al
(1967)
Apresentada após a
função exponencial e
em partes separadas
do mesmo capítulo
_
Antes da função
logarítmica e
após a função
exponencial
_
Iezzi et al
(1978)
Capítulo separado
(Capítulo 8)
_
No mesmo
capítulo da
função
exponencial
Citação de
aplicações na
eletrônica
Fonte: Dados da pesquisa.
As duas últimas obras apresentam as equações exponenciais antes da função
logarítmica. Com relação ao modo de apresentação da função logarítmica, elaboramos o
quadro 6 que mostra a forma de abordagem do tema em cada uma das obras.
258
Quadro 6- Apresentação da definição de função logarítmica
Autores
Definição da função
logarítmica a partir do
conceito de função inversa
Definição da função
logarítmica a partir do
conceito de logaritmos
Roxo et al (1938) X -
Maeder (1949) X -
Carvalho (1955) - X
Di Pierro Netto et al (1967) X -
Iezzi et al (1978) X - Fonte: Dados da pesquisa.
259
4. ÚLTIMAS PALAVRAS
Esse trabalho destaca um tópico curricular da Matemática, por cinco décadas, a partir
do viés da História das Disciplinas Escolares, dentro da perspectiva de André Chervel (1990).
Procuramos dar enfoque nas transformações experimentadas pelo ensino de Matemática,
durante o período analisado relativamente às equações e funções exponenciais.
Os livros didáticos possibilitaram uma avaliação de como os referidos conteúdos
foram apresentados e oferecidos aos professores e alunos, ainda que não fossem tomados no
seu todo ou em parte nas salas de aula.
A Educação Matemática brasileira, dentro do marco temporal estabelecido, passou por
importantes reformas educacionais e momentos, a exemplo do Movimento da Matemática
Moderna, que marcaram de forma contundente o ensino de Matemática. Foi assim que a
década de 1930 viveu a Reforma Francisco Campos e a década de 1940, a Reforma
Capanema. Em 1951 foram implantadas as portarias do Programa Mínimo (966 e 1.054). A
Reforma Capanema trouxe os Cursos Clássico e Científico, que se estenderam por três
décadas, chegando até 1971, ano da promulgação da LDB n.o 5.692. Já o Movimento da
Matemática Moderna teve como um dos objetivos uma maior proximidade da “Matemática do
colégio” da “Matemática do ensino superior”. A escolha de cinco livros foi realizada de forma
que cada um deles pertencesse a uma das décadas e a uma das reformas, selecionando autores
que foram importantes na época.
Voltando agora o nosso olhar para o conteúdo equação/função exponencial, podemos
evidenciar que, apesar da presença do mesmo em obras anteriores à reforma Francisco
Campos, a sua obrigatoriedade nos programas se deu a partir da publicação dessa reforma.
Avaliamos que, naquele momento, a apresentação da função exponencial se dava de uma
forma elementar, pouco detalhada, assim como a equação exponencial.
A Reforma Capanema veio a seguir, propôs mudanças, criando os Colégios. Os
programas sofreram modificações e o conteúdo função exponencial passaria a ser abordado
no segundo ano colegial no Curso Científico, juntamente com as equações exponenciais. A
partir desta reforma, esses tópicos deveriam ser apresentados de uma forma mais aprofundada
com ênfase em propriedades e demonstrações.
O Programa Mínimo reduziu o currículo de Matemática dos Cursos Clássico e
Científico, fazendo com que os programas fossem trabalhados pelos professores, a partir de
uma limitação das informações, abrindo mão de demonstrações, que alguns consideravam
como excessivas. A função exponencial não figurou mais nos programas oficiais,
prevalecendo apenas a equação exponencial, com pouco suporte teórico e muitos exercícios,
com o enunciado tendo apenas o termo “resolva”.
Na década de 1960, o ensino presenciou a agitação trazida pelo Movimento da
Matemática Moderna – MMM, surgindo obras que exploravam as cores nas capas e nas
figuras dos textos. Nessa década, a Teoria dos Conjuntos tomou lugar de destaque em muitos
livros, chamando de volta a função exponencial, passando a ser discutida de forma abstrata
pelo uso da simbologia que fazia parte do cotidiano dos adeptos do MMM. Para além de 1970
até 1980, a função/equação exponencial se fazem presentes nos livros, mantendo o mesmo
260
modo de apresentação, explorando as definições, o campo de validade da função, os
exercícios resolvidos.
Apesar de não ter sido realizada uma análise dos livros didáticos na íntegra e, sim, da
forma de abordagem de tópicos específicos, através do índice dos mesmos, foi possível
perceber que, no período de 1943 a 1951, houve uma estabilidade no rol de conteúdos. Na
fase de 1952 a 1961, com o estabelecimento do Programa Mínimo, verificamos que os livros
analisados apresentavam um padrão no que se refere à metodologia de exposição dos
conteúdos: uma linguagem simples e direta, com a inserção de exercícios resolvidos e
propostos.
Pode-se dizer que o MMM deu uma reviravolta na forma de apresentação dos temas e,
de certa forma, trouxe mudanças significativas para o ensino de Matemática, principalmente
na ênfase dada à teoria dos conjuntos.
Finalmente, julgamos importante ressaltar que a equação/função exponencial esteve
presente em todos os livros analisados nesse presente trabalho, mesmo considerando todas as
reformas de ensino ocorridas, citando as de Francisco Campos e Gustavo Capanema, todas as
leis, decretos ou portarias, incluindo também o período em que o ensino vivenciou o
Movimento da Matemática Moderna. Evidentemente, houve alterações na forma de
apresentação, como já relatamos, sobretudo com a utilização de simbologismo no período do
MMM e também na disposição dos exercícios propostos e naqueles denominados de
exemplos ou exercícios resolvidos.
Foi possível perceber que as equações/funções exponenciais são abordadas nas obras
sem relatar a sua história e, sendo o livro didático o objeto de trabalho dos professores,
podemos inferir que, em muitos casos, o profissional do ensino também não julga ser
importante referenciar esses dados de origem do assunto.
O educador e matemático brasileiro Ubiratan D’Ambrósio, em seu artigo História da
Matemática e Educação, chama a atenção de todos os professores da disciplina ao sublinhar a
importância de se levar aos alunos alguma informação ou curiosidade histórica, pois isso
aguça o gosto e o interesse pelas aulas (D’AMBRÓSIO, 1996, p.13). É com essa visão que
reforçamos que os professores e também alunos dos cursos de Licenciatura procurem essa
formação, conhecendo as reformas de ensino ocorridas no Brasil, ampliando sua visão ao se
depararem com propostas de outros autores em outras décadas e, a partir daí, compreenderem
o ensino de Matemática que temos hoje. Dessa forma, os docentes em exercício poderão
constatar as diferentes abordagens do conteúdo equação/função exponencial, utilizadas por
autores que publicaram seus trabalhos em diferentes décadas.
261
5. REFERÊNCIAS
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São Mateus. Anais... São Mateus: UFES, 2016.
266
APÊNDICE A
QUADRO RESUMO
Alguns aspectos das Reformas de Ensino
e das propostas educacionais da década de 1930 a 1980
Método Intuitivo
- Metodologia, alicerçada na educação dos sentidos, na intuição e na observação das
coisas.
- Despertou a reflexão sobre o ensino, ativando a busca por mudanças focadas em
outras propostas de ensino/aprendizagem.
- A criança é observadora.
- Trouxe à tona, a partir do final do século XIX, “a busca pela superação da concepção
tradicional”.
Movimento Escolanovista
- Esse modelo de Escola surge como proposta inovadora, contrária à Escola
Tradicional.
- O professor como mediador da aprendizagem.
- O aluno , como um “agente ativo, criativo e participativo no processo de ensino-
aprendizagem
- O ensino centrado nos fatos e na experiência.
Reforma Francisco Campos (1931)
- Organizou o ensino secundário em dois ciclos: um fundamental de
5 anos e outro complementar, de 2 anos.
- Decretou frequência obrigatória.
- Estabeleceu o currículo seriado.
- Instruções Pedagógicas
• Método Heurístico - O aluno é descobridor e não um receptor.
• Renúncia à prática de memorização sem raciocínio
- Criação da disciplina Matemática
- Junção do ponto de vista aritmético, algébrico e geométrico.
-Inter-relação da Matemática com outras disciplinas, tendo a noção de função como
ideia central do ensino.
267
A Reforma Capanema(1942)
- O Ensino Secundário se destina à preparação das individualidades condutoras, isto é,
dos homens que deverão assumir as responsabilidades maiores dentro da sociedade e
da nação.
- Ensino Secundário passaria a ser ministrado em dois ciclos:
O primeiro compreenderia um só curso: o curso ginasial - A formação
intelectual dos alunos.
O segundo, dois cursos paralelos: clássico e científico. A maior acentuação
cultural é proveniente do estudo das ciências.
Programa Mínimo (1951)
- Objetivo: Eliminar dos programas atualmente em vigor, os excessos aludidos,
reduzindo a prolixidade dos conhecimentos alinhados na estruturação de diversas
disciplinas, que tornava penosa a tarefa didática.
- O termo Programa Mínimo refere-se àquele que seria trabalhado por todas as
instituições escolares e teriam, assim, condições de executá-lo.
- Houve a possibilidade de serem elaborados planos de desenvolvimento desse
programa mínimo de acordo com as especificidades de cada região.
- Durante a vigência do programa mínimo, o 2º ciclo do ensino secundário continuou a
ser chamado de Clássico e Científico, tendo perdurado no sistema educacional
brasileiro até 1961, ano da LDB 4.024/61.
Lei n. 4024 (1961)
Deu possibilidade de acesso ao nível superior para alunos egressos do ensino técnico e
a criação do Conselho Federal de Educação e dos Conselhos Estaduais.
A estrutura tradicional do ensino foi mantida e o sistema continuou a ser organizado
segundo a legislação anterior
Deu a possibilidade de os Estados e os estabelecimentos anexarem disciplinas optativas
ao currículo mínimo estabelecido pelo Conselho Federal de Educação foi, sem
dúvida, um progresso em matéria de legislação
Estrutura do ensino
• Ensino pré-primário, composto de escolas maternais e jardins de infância.
• Ensino primário de 4 anos, com possibilidade de serem acrescidos mais 2 anos,
com programa de artes aplicadas.
• Ensino médio, subdividido em dois ciclos: o ginasial, de 4 anos, e, o colegial,
de 3 anos, ambos por sua vez compreendendo o ensino secundário e o ensino
técnico.
• Ensino superior
268
Lei 5692 (1971)
- Fixou o objetivo geral da educação no nível básico.
- Obrigatoriedade escolar para oito anos (faixa etária que vai dos 7 aos 14 anos).
- Junção do curso primário e do curso ginasial em um só curso fundamental de oito
anos.
- Mudança da nomenclatura e da periodização dos graus de ensino, de 1ª a 8ª séries -
primeiro grau - e o ensino médio passou a se denominar 2º grau, ofertado em três anos.
- Obrigatoriedade da Educação Artística.
- O Desenho Geométrico se torna disciplina optativa da parte diversificada, no segundo
grau
Estrutura do ensino
Ensino de 1o grau: com 8 anos de duração. Passa a proporcionar a sondagem
vocacional e a iniciação para o trabalho.
• Ensino de 2 o grau: com 3 ou 4 anos de duração. Passa a constituir-se de um
nível de ensino cujo objetivo primordial é a habilitação profissional.
Movimento da Matemática Moderna
-Em meados do século XX, mais precisamente desde 1934, surgiu na França um grupo
de matemáticos conhecido como Nicolas Bourbaki, responsável pela reconstrução do
edifício matemático que substituíra a divisão tradicional do conhecimento matemático
em ramos por categorias mais gerais. Deram ênfase ao uso de conceitos unificadores
tais como o de conjunto e função.
- Aguns matemáticos pertencentes a esse grupo chegam ao Brasil na década de 40 e são
contratados pela USP e influenciam e orientam alguns matemáticos tais como Osvaldo
Sangiorgi e Benedito Castrucci que na década de 60 iniciam e divulgam o MMM no
Brasil.
- O GEEM foi fundado em 1961, na Universidade Mackenzie, sob a presidência do
Professor Osvaldo Sangiorgi. A constituição e atuação deste grupo foram importantes
para a implantação e divulgação do Movimento da Matemática Moderna no Brasil. O
grupo tinha como objetivos escrever livros textos, realizar congressos, encontros,
simpósios e cursos voltados à Matemática Moderna para professores
- Os professores e alunos, por meio dos livros didáticos, se viram com conteúdos com
muitos simbolismos e a presença da teoria dos conjuntos, noções de grupo e de
estruturas.
- A Geometria foi abandonada, e os cálculos numéricos foram substituídos por
formalismos excessivos desvinculados da realidade. Zuin (2001) aponta que as
construções geométricas e, consequentemente, o ensino de geometria, continuou em
algumas escolas nas aulas Desenho Geométrico e mesmo, em determinadas situações,
através da disciplina Educação Artística, implantada com a LDB 5692/71.
- O Movimento da Matemática Moderna alterou a estrutura do ensino da Matemática.
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