Equipe Técnica de Matemática Área de Matemática ... · Escreva uma expressão com letras que represente corretamente cada um dos enunciados: a) João tem o triplo da idade de

Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno, você estudará de maneira mais aprofundada as equações de 1o grau. Assim, terá a oportunidade de ampliar o repertório de transposição entre linguagens, da língua escrita para a álgebra e vice-versa, e de definir estratégias de resolução para equações mais complexas.

O Caderno também apresenta o plano cartesiano. Ele serve como recurso para organizar e representar informações. Você sabe localizar o endereço de uma pessoa em um guia de ruas? Você notará que o guia funciona como um sistema de coordenadas de linhas e colunas. Além disso, você poderá representar figuras geométricas a partir das coordenadas de seus vértices e jogar o “Batalha Naval – Matemática”, cujo tabuleiro é um plano cartesiano xy.

Este material ainda aborda alguns problemas que envolvem duas equações e duas incógnitas. São os chamados sistemas de equações lineares, pois elas po-dem ser representadas no plano cartesiano por uma reta. Você compreenderá que em algumas situações práticas, usamos os sistemas de equações lineares, conforme os exemplos que você poderá ler na Situação de Aprendizagem 4.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu professor e, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Técnica de MatemáticaÁrea de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENPSecretaria da Educação do Estado de São Paulo

Matemática - 7a série/8o ano - Volume 3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 EXPANDINDO A LINGUAGEM DAS EQUAÇÕES

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Escreva uma sentença matemática que represente a seguinte frase:

“X reais a menos que Y reais é igual a 40 reais.”

2. Se X operários constroem um muro em Y horas, quantas horas serão necessárias para que o triplo do número de operários construa o mesmo muro? (Admita operários com mesmo rendimento.)

3. Escreva uma expressão, com as letras indicadas na figura, para a área do retângulo.

a

b c

4. Escreva por extenso uma sentença que forneça a mesma informação que a expressão X = 5Y fornece.

3


5. Ao repartir uma conta de R$ 78,00 no restaurante AL GEBRÁ, três amigos estabeleceram que:

Rui pagaria • 3 __ 4 do que Gustavo pagou;

Cláudia pagaria R$ 10,00 a menos que a terça parte do que Gustavo pagou.•

Que valor da conta coube a cada um dos três amigos?

6. Se de 220 subtrairmos a idade de uma pessoa, obtemos uma aproximação da frequência car-díaca máxima por minuto que ela tolera em atividade física intensa. Sabe-se que a frequência

cardíaca máxima de Renê é 24 ___ 23 da de Bernardo. Se a frequência cardíaca máxima de Renê

4


é igual a 16 ___ 3 da idade de Bernardo, determine a idade e a frequência cardíaca máxima dos

dois amigos.

LIÇÃO DE CASA

7. Escreva uma expressão com letras que represente corretamente cada um dos enunciados:

a) João tem o triplo da idade de Maria, que, por sua vez, tem a metade da idade de Ana.

5


b) O galinheiro de Cláudio tem 20 galinhas a mais do que o de Paula.

c) X laranjas, em quantidade menor que uma dúzia, são Y laranjas.

8. Escreva uma situação real que poderia ser descrita pelas expressões:

a) Y = X + 2

b) 2 . X + 3 . Y = 50

c) X = 2 .Y ____ 3 + 4

9. Léo, Mário e Norberto vão repartir 60 figurinhas. Eles decidiram que Léo receberá 5 figuri-

nhas a mais do que Norberto e que Mário receberá 3 __ 4 do total de figurinhas que Norberto

vai receber. Calcule quantas figurinhas cada um dos três amigos deve receber.

6


VOCÊ APRENDEU?

10. As técnicas estudadas na 6a série para resolver equações são importantes porque organizam alguns procedimentos algébricos, mas nunca devemos perder de vista a heurística1. Na atividade que você fará a seguir, todas as equações podem ser resolvidas sem o uso das técnicas algébricas. Descubra a solução de cada uma usando o método heurístico e registre com palavras o seu raciocínio. Lembre-se de que uma equação pode não ter solução, pode ter apenas uma solução, pode ter mais de uma solução ou até mesmo infinitas soluções.

a) 3x + 1 = 82

b) 1 _____ x + 1 = – 1 __ 5

c) x2 = 25

d) x2 + 2 = 51

e) (x + 1)2 = 9

1 Segundo o Dicionário Houaiss, heurística: arte de inventar, de fazer descobertas; ciência que tem por objetivo a descoberta de fatos. Dicionário Houaiss da língua portuguesa. Edição eletrônica. Rio de Janeiro: Objetiva, 2007.

7


f ) x2 = –16

g) 2x2 = 9 __ 8

h) 2x + 1 = 16

i) 52 – x = 25

j) (x + 5).(x – 3) = 0

k) x(x + 1).(x + 2).(x + 3) = 0

l) x + 1 = x + 2

8


m) 5 _____ x + 1 = 0

n) x + 2 _____ 3x = 1

o) 2x – 1 ______ x + 4

= 1

p) (2x)3 = 64

q) (2x + 1).(3x + 3) = 0

r) ® _____

x + 3 = 25

9


s) 81 ___ 3x = 1

t) 1 = 29 _____ 2x – 3

u) 3x2 + 5x6 = –15

v) 2x – 1 _____ 41

= – 13 ___ 41

w) x3 = – 8

x) 1 __ 5x = 0

10


y) 0 . x = 0

11. A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma peça (as medidas estão em metros).

2x +

4x + 10

2x + 4x

xx

x

a) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que o perímetro da folha seja maior ou igual a 64 m.

b) Determine todos os valores possíveis de x (em metros) para que a soma dos comprimentos representados em vermelho seja menor que a soma dos demais comprimentos que comple-tam o perímetro da folha.

11


12. Para produzir x litros de uma substância, o custo por litro depende da quantidade produzida, ou seja, depende do valor de x. Em dada situação, o custo por litro é expresso pela relação C = 1 000 – 1,5x. A empresa que fabrica essa substância desenvolveu um novo processo de pro-dução que pode ser feito ao custo (por litro) dado pela fórmula C = 940 – 1,4x. Pergunta-se:

a) Deseja-se produzir 450 litros da substância. Em qual dos dois processos o custo por litro será menor? E se a quantidade a ser produzida for 620 litros?

b) Determine todos os valores de x para os quais o custo por litro no novo processo de produ-ção é menor do que o custo por litro no processo antigo.

13. Para enviar uma mensagem do Brasil para os Estados Unidos via fax, uma empresa cobra R$ 3,40 pela primeira página e R$ 2,60 por cada página adicional, completa ou não. Cal-cule o maior número de páginas possível de uma dessas mensagens para que seu preço não ultrapasse o valor de R$ 136,00.

LIÇÃO DE CASA

14. Em um concurso com 20 questões, para cada questão respondida corretamente o candidato ganha 3 pontos e para cada uma respondida de forma incorreta (ou não respondida) perde 1 ponto. Sabendo que para ser aprovado o candidato deve totalizar na prova um mínimo

12


de 28 pontos, calcule o menor número de questões respondidas corretamente para que o can-didato seja aprovado no concurso.

15. Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela a seguir:

Plano Custo fixo mensal Custo adicional por minutoA R$ 35,00 R$ 0,50B R$ 20,00 R$ 0,80C R$ 0,00 R$ 1,20

a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por mês?

b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A se torna mais vantajoso do que os outros dois?

13


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2COORDENADAS CARTESIANAS E TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Se quisermos localizar o endereço de uma pessoa, podemos recorrer a um guia de ruas. O guia fun-ciona com um sistema de coordenadas de linhas e colunas. Para localizar uma rua, basta conhecer suas coordenadas, isto é, a linha e a coluna em que ela se encontra. No caso do guia de ruas, esse cruzamento de informações determina uma região (quadrado) na qual a rua (ou parte dela) está localizada. Além disso, é preciso saber o número da página em que ela se encontra. O mapa a seguir foi extraído da página 42 de um guia de ruas da cidade de São Paulo. Faça o que se pede:

R. Vadico

R. Mendes Caldeira

R. Rodrigues dos Santos

R. Monsenhor A

ndrade

R. Elisa Whitaker

R. João Teodoro

R. São Caetano

R. São Caetano

R. Mauá

R. Miguel Carlos

R. d

a Ca

ntar

eira

R. P

línio

Ram

os

R. A

ntôn

io P

ais

Av. Mercúrio

Av. d

o Es

tado

Av. d

o Es

tado

R. Benjamim de Oliveira

R. B

arão

de

Dup

rat

R. d

a Ca

ntar

eira

R. Gen. C

arneiro

R. Fernandes Silva

R. Sampaio Moreira

R. da Alfândega

R. Santa Rosa

R. do Lucas

R. do Gasômetro

R. do Gasômetro

R. Polignano A. Maré

PraçaSão Vito

R. Monsenhor A

ndrade

B R Á S

B O M R E T I R OR

1

A

B

C

D

2 3 4

© C

onex

ão E

dito

rial

a) As coordenadas da Rua Miguel Carlos são B1. Localize-a no mapa.

b) A Rua Vadico está indicada no mapa. Dê a sua localização em termos de coordenadas.

14


PESQUISA INDIVIDUAL

2. Consulte um guia de ruas e localize a rua onde você mora e a rua de sua escola. Pro-cure os seus nomes no índice alfabético e anote suas coordenadas (página, linha e coluna).

Casa:

Escola:

VOCÊ APRENDEU?

3. Um empreiteiro deve construir um ralo em uma cozinha seguindo as instruções fornecidas pelo arquiteto na planta abaixo, construída em escala. As dimensões dos ladrilhos quadriculados são de 10 cm por 10 cm.

ralo

© C

onex

ão E

dito

rial

15


a) Como você faria para informar a localização precisa do ralo nessa planta?

b) Tendo como ponto de referência o canto superior esquerdo da planta, quais são as coordena-das horizontais e verticais do ralo?

c) Escolha outro ponto de referência na planta e escreva as coordenadas do ralo.

4. Observe as figuras geométricas representadas no plano a seguir. Podemos localizá-las por meio de coordenadas horizontais e verticais. Por exemplo, os vértices do quadrado ABCD têm as coordenadas: A (6; 5), B (4; 7), C (2; 5) e D (4; 3).

F

G E–5 10–10 5

5

–5

10

J

HI

B

A

D

C

M

K

N

L

–10

0

y

x

16


a) Escreva as coordenadas dos vértices do triângulo EFG, do retângulo HIJK e do triângulo LMN.

b) Quais vértices possuem a mesma coordenada x (abscissa)?

c) Quais vértices possuem coordenada y (ordenada) igual a zero?

d) Qual vértice encontra-se mais próximo da origem?

e) E o mais afastado?

f ) Quais vértices possuem todas as coordenadas negativas?

g) Quais vértices possuem abscissas negativas e ordenadas positivas?

h) Calcule a área de cada uma das figuras.

17


LIÇÃO DE CASA

5. Agora é sua vez. Desenhe os seguintes polígonos no plano cartesiano a partir das coordenadas de seus vértices:

Triângulo ABC, sendo A (5; 2), B (7; 7) e C (1; 5).•

Quadrado DEFG, sendo D (–3; 2), E (–3; 7), F (–8; 7) e G (–8; 2).•

Hexágono HIJKLM, sendo H (–7; 0), I (–10; 0), J (–12; –3), K (–10; –6), L (–7; –6) e •M (–5; –3).

Quadrilátero NOPQ, sendo N (7; 0), O (0; –3), P (7; –6) e Q (5; –3).•

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

100

18


6. Com base nas figuras obtidas na atividade anterior, responda:

a) Quais vértices estão situados no eixo das abscissas?

b) O que eles têm em comum?

c) Quais vértices possuem ordenadas negativas e abscissas positivas?

d) Qual vértice encontra-se mais próximo da origem?

e) E o mais afastado?

f ) Qual é a distância entre os vértices M e Q?

VOCÊ APRENDEU?

7. Determine o quadrante a que pertencem os seguintes pontos:

A (2; –3), B (7; 1), C (–1; – 4), D (1,3; –0,5), E (– 5 __ 4 ; 2), F (–1; – 1 __ 2 ), G (2,5; 0,25).

1o quadrante: 2o quadrante:

3o quadrante: 4o quadrante:

8. O jogo da batalha naval matemática.

Este jogo é uma espécie de “batalha naval” cujo tabuleiro é um plano coordenado xy. As regras são si-milares às do jogo tradicional. A diferença é que, em vez de navios e submarinos, os objetos a serem atingi-dos são objetos matemáticos. Cada jogador terá uma frota composta por oito deles, como mostra a figura.

ponto

adição

triângulomenor

subtração

quadrado

multiplicação

triângulo maior

divisão

19


Regras do jogo:

I. Seu professor vai propor que você forme uma dupla com um colega. Um de vocês será o jogador Norte e o outro, o Sul.

II. Usando o tabuleiro fornecido na próxima página, posicione os oito símbolos da seguin-te forma:

Jogador Norte: 1o e 2o quadrantes Jogador Sul: 3o e 4o quadrantes

III. As extremidades de cada objeto devem situar-se no cruzamento de uma linha horizontal e vertical. As coordenadas devem ser números inteiros.

IV. Não ultrapasse os limites do tabuleiro. Não posicione seus objetos sobre os eixos coorde-nados. Limites: Norte (abscissas entre –10 e 10, ordenadas entre 1 e 10); Sul (abscissas entre –10 e 10, ordenadas entre –10 e –1). Os símbolos não podem se interceptar.

V. Cada jogador, na sua vez de jogar, terá direito a 3 “tiros”, anunciando as coordenadas (x; y) de localização. O adversário deverá dizer se os tiros acertaram algum alvo, indicando qual dos tiros e que objeto foi atingido. Se não houve nenhum acerto, bastará dizer que foi “água”. Exemplo: Norte atira no Sul: (–2; –3), (4; –2), (1; –7) / Sul responde: (–2; –3) e (4; –2) deram “água”; (1; –7) acertou o vértice de um triângulo menor.

VI. Para afundar um alvo é preciso acertar as coordenadas de todos os seus pontos que este-jam no cruzamento de uma linha e uma coluna. Por exemplo: o objeto + (adição) possui 5 pontos (as 4 extremidades e o ponto central); o triângulo maior possui 6 pontos (3 vértices e 3 pontos situados no meio de cada lado).

VII. O jogador atacado deverá informar se o objeto for “afundado”.

VIII. Os jogadores devem marcar (com um x) os tiros dados em seus respectivos tabuleiros para saber quais tiros foram dados e recebidos.

IX. Ganha o jogo quem conseguir acertar a esquadra completa do outro jogador.

Veja o exemplo de um tabuleiro usado pelo jogador Norte e seus tiros dados (em azul) e recebidos (em vermelho).

y

x–5 10–10 50

10

–5

5

–1020


É importante que cada jogador dê os tiros com as coordenadas correspondentes ao quadrante do adversário, caso contrário, poderá acertar a própria esquadra.

Observação!

Tabuleiro

–2– 4– 6– 8 10–10 2 4 6 8

8

6

4

2

–2

– 4

– 8

– 6

10

–10

Leitura e Análise de Texto

Chamamos translação o movimento de uma figura no plano em que todos os seus pontos são igualmente deslocados em uma determinada direção. A translação está asso-ciada a uma figura matemática denominada vetor, que indica a direção e a magnitude de um movimento.

Nessa atividade, vamos distinguir três tipos de translação. A translação horizontal, tanto no sentido da esquerda para a direita (x + a), quanto no sentido da direita para a esquerda (x – a). A translação vertical, de cima para baixo (y – a) ou de baixo para cima (y + a). E, finalmente, a translação combinada, que mescla movimentos na horizontal ou na vertical (x ± a; y ± b).

y

0

x

21


VOCÊ APRENDEU?

9. Relacione as fi guras com as seguintes translações.

Translação horizontal: x • + 7 / Translação horizontal: x – 7 / Translação horizontal: x – 10.

Translação vertical: y • + 5 / Translação vertical: y – 5 / Translação vertical: x + 5.

Translação combinada: (x • + 4; y – 3) / Translação combinada: (x – 4; y + 3).

I. II.

III. IV.

A A’

B B’

y

x

v

A

v

A’ B’

B

y

x

A B

A

v

A’

B’ B

y

x

A’

B’

A

© C

onex

ão E

dito

rial

A

A’

B’

B

y

x

B’B’

v

22


10. Desenhe, no plano cartesiano, um triângulo ABC cujos vértices têm coordenadas A (3; 2), B (7; 3) e C (4; 5).

a) A partir do triângulo ABC, aplique, sucessivamente, as seguintes translações:

I. Translação horizontal (x – 6), obtendo o triângulo A’B’C’.

II. Translação vertical (y – 10), obtendo o triângulo A’’B’’C’’.

III. Translação combinada (x + 8; y + 2), obtendo o triângulo A’’’B’’’C’’’.

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

b) Registre na tabela a seguir as novas coordenadas obtidas após cada translação.

∆ ABC(x; y)

∆ A’B’C’(x - 6; y)

∆ A’’B’’C’’(x; y – 10)

∆ A”’B’”C’”(x + 8; y + 2)

A (3; 2) A’ A’’ A’’’B (7; 3) B’ B’’ B’’’C (4; 5) C’ C’’ C’’’

0

23


c) O que acontece com as coordenadas dos vértices na translação horizontal?

d) E na translação vertical?

LIÇÃO DE CASA

11. Agora é sua vez. Invente um polígono qualquer e desenhe-o no plano cartesiano. Indique os vértices por letras e anote suas coordenadas. Em seguida, aplique duas translações diferentes no polígono original. Preste atenção nas coordenadas e nas translações escolhidas. O polígono não pode sair do espaço definido pelo plano cartesiano da atividade.

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

100

24



Refl exão é o movimento que transforma um objeto na sua imagem espelhada em relação a um determinado eixo de simetria. O ponto refl etido mantém a mesma distância em relação ao eixo de simetria que o ponto original.

Veja o exemplo a seguir:

A

B’

A’

B

A imagem acima foi refl etida em relação à reta m. Portanto, a distância do ponto A até m é a mesma do ponto A’ até m. O mesmo acontece em relação aos pontos B e B’ e a todos os pontos da cabeça do cavalo e sua imagem. Nas próximas atividades, distinguiremos dois tipos de refl exão. A reflexão horizontal, quando a imagem do objeto é refl etida tendo y como eixo de simetria, e a refl exão vertical, quando o eixo de simetria é x.

m

© C

onex

ão E

dito

rial

VOCÊ APRENDEU?

12. Desenhe, no plano cartesiano, um quadrilátero ABCD cujos vértices têm coordenadas A (2; 2), B (6; 3), C (2; 4) e D (4; 3).

a) A partir da fi gura obtida, realize as seguintes transformações:

I. Refl exão horizontal do quadrilátero ABCD, obtendo o quadrilátero A’B’C’D’.

II. Refl exão vertical do quadrilátero A’B’C’D’, obtendo o quadrilátero A’’B’’C’’D’’.

III. Refl exão horizontal do quadrilátero A’’B’’C’’D’’, obtendo o quadrilátero A’’’B’’’C’’’D’’’.

25


y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

b) Registre na tabela a seguir as novas coordenadas obtidas após cada reflexão.

ABCD(x; y)

A’B’C’D’( ; )

A’’B’’C’’D’’( ; )

A”’B”’C’”D’’’( ; )

A (2; 2) A’ A’’ A’’’

B (6; 3) B’ B’’ B’’’

C (2; 4) C’ C’’ C’’’

D (4; 3) D’ D’’ D’’’

0

26


c) O que acontece com as coordenadas dos vértices na reflexão horizontal?

d) E na vertical?

e) Com base nessas conclusões, e observando a tabela de coordenadas, qual será a posição do quadrilátero A’’’B’’’C’’’D’’’ depois de uma reflexão vertical?

LIÇÃO DE CASA

13. Nesta atividade, você vai proceder de maneira diferente das anteriores. Considere o triângulo MNO de coordenadas M (– 4; 5), N (2; 1) e O (–2; 7).

a) Antes de representá-lo no plano, e tendo como base os resultados obtidos nas atividades 10 e 12 da seção Você aprendeu?, preencha a tabela com as coordenadas dos triângulos obtidos depois das seguintes transformações:

I. Reflexão horizontal do triângulo MNO, obtendo o triângulo M’N’O’.

II. Reflexão vertical do triângulo M’N’O’, obtendo o triângulo M’’N’’O’’.

III. Translação (x – 6; y + 4) do triângulo M’’N’’O’’, obtendo o triângulo M’’’N’’’O’’’.

∆ MNO(x; y)

∆ M’N’O’( ; )

∆ M’’N’’O’’( ; )

∆ M”’N”’O’”( ; )

M M’ M’’ M’’’

N N’ N’’ N’’’

O O’ O’’ O”’

27


b) Agora, desenhe o triângulo MNO no plano e aplique as transformações I, II e III. Em seguida, verifique se as coordenadas das figuras obtidas são as mesmas da tabela que você preencheu. Se forem, você já é capaz de fazer translações e reflexões sem o auxílio de um gráfico.

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

14. Você já aprendeu que quando somamos ou subtraímos um mesmo número das coordenadas x

e/ou y dos pontos de uma figura, o movimento decorrente é uma .

Quando trocamos o sinal da coordenada x de determinado ponto, o movimento é chamado

de . E, quando trocamos o sinal da coordenada y, o

movimento decorrente é uma .

0

28


29


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Considere o seguinte problema:

A soma das idades de João e Maria é 28 anos. Qual é a idade de cada um deles?

a) Esse problema tem mais de uma solução? Explique.

b) Chamando a idade de João de x e a de Maria de y, escreva uma equação para esse problema.

c) Considerando apenas as idades completas de João e Maria, quais são as soluções possíveis para o problema? Construa uma tabela contendo todas as soluções possíveis.

30


d) Considere agora a seguinte informação: João é 4 anos mais velho que Maria. Como ficaria a solução do problema?

e) Escreva a nova informação na forma de uma equação.

f ) Substitua os valores de x e y encontrados nas duas equações do problema. O que acontece?

2. Ainda com base no problema inicial apresentado na Atividade 1, responda:

a) Se o problema nos informasse que a idade de João é o triplo da idade de Maria, qual seria a solução?

b) E se a idade de Maria fosse o dobro da idade de João, qual seria a solução do problema?

3. Escreva as equações do problema apresentado na Atividade 1 a partir da informação obtida no item b da Atividade 2.

A soma das idades de João e Maria é 28: •

A idade de Maria é o dobro da de João: •

a) Escreva apenas uma equação, com uma incógnita, que contenha as duas informações do problema.

31


b) Resolva a equação resultante e encontre os valores de x e y.

c) Os valores encontrados atendem às condições iniciais do problema?

d) Se o problema aceitar como resposta idades não inteiras, qual será a solução?

Resposta:

32


LIÇÃO DE CASA

4. Dois amigos foram a uma lanchonete e gastaram R$ 18,00. Eles comeram 2 sanduíches e to-maram 3 sucos. Sabendo que o preço do sanduíche era o triplo do preço do suco, descubra qual era o preço de cada um.

Resposta:

5. A diferença entre dois números é 42. Sabendo que o maior vale o dobro do menor, acrescido de 5, descubra quais números são esses.

Resposta:

33


6. Quando você tinha a metade da minha idade, nossas idades juntas somavam 72 anos. Quais eram as nossas idades?

Resposta:

VOCÊ APRENDEU?

7. Precisamos descobrir o peso de dois objetos denominados x e y. Para isso, foram realizadas as seguintes medidas em uma balança de pratos.

a) Escreva as equações que correspondem às medidas ilustradas nas figuras.

x y2 000 g

500 g

x y 500 g

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

34


b) O objeto x foi trocado pelo seu equivalente y mais 500 gramas. Em seguida, tiramos 500 gramas de cada lado mantendo o equilíbrio da balança. Escreva as equações que repre-sentam as alterações feitas.

x y

y

2 000 g

500 g

500 g

y y

2 000 g

500 g500 g

c) Escreva a equação resultante e encontre os valores de x e y procurados.

y y

2 000 g

8. Escreva um enunciado para o problema resolvido na atividade anterior.

9. O método para resolver o sistema de equações descrito na Atividade 7 é chamado substituição. Explique, com suas palavras, por que ele recebe esse nome.

© C

onex

ão E

dito

rial

© C

onex

ão E

dito

rial

35


LIÇÃO DE CASA

10. Resolva os sistemas a seguir usando o método da substituição.

a) { x + 2y = 5 x – y = –1 b) { 3x – 2y = 8 5x + y = 9

VOCÊ APRENDEU?


André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos, tomou um refrige-rante e gastou R$ 6,60. Júlia comeu um misto e também tomou um refrigerante, gastando R$ 4,10. Qual é o preço do misto e do refrigerante nessa lanchonete?

a) Escreva a equação que representa o consumo e o gasto de André.

b) Escreva a equação que representa o consumo e o gasto de Júlia.

36


c) Calcule a diferença de gasto e de consumo entre André e Júlia. O que se obteve com essa operação?

Resposta:

d) Qual foi o preço pago pelo refrigerante?

e) Resolva o problema algebricamente, subtraindo, membro a membro, as equações do problema.

{ 2x + y = 6,60 x + y = 4,10

__ + __ = ____

–

12. Resolva os sistemas a seguir pelo método da adição.

a) { 2x + y = 5 x – y = 4

b) { x – 3y = – 4 2x + 3y = 13

37


c) { 3x + 5y = – 6 x – 2y = – 2 d) { 3x + 2y = – 4 4x – 3y = 23

LIÇÃO DE CASA

13. A soma de dois números é 78 e a diferença entre eles é 16. Quais são esses números?

Resposta:

14. Em uma prova com 50 questões, para cada resposta correta o aluno ganha 4 pontos, e para cada incorreta, ele perde 1 ponto.

a) Se um aluno acertar 40 questões, qual será a sua pontuação?

Resposta:

38


b) Escreva uma equação que relaciona o número de acertos (x) e o número de erros (y) com o total de questões.

c) Escreva uma equação que relaciona o número de acertos (x) e o número de erros (y) com o total de pontos obtidos (p).

d) Um aluno fez 110 pontos. Descubra quantas questões ele acertou e quantas ele errou.

Resposta:

VOCÊ APRENDEU?

15. Resolva os sistemas usando o método que julgar mais apropriado.

a) { 2x – y = 7 x + 3y = –7 b) { x + 5y = 1 3x – y = –13

39


c) { 2x + 3y = 0 6x – 4y = 13

d) { x = 3y – 1 2x + y = 12

Equações, tabelas e gráficos


A soma de dois números inteiros e positivos é 12 e a diferença entre eles é 4.

a) Escreva as informações do problema na forma de um sistema de equações.

b) Preencha as tabelas com as possíveis soluções para cada uma das equações:

Tabela I: soluções para a primeira equação.

x

y

x + y

40


Tabela II: soluções para a segunda equação.

x

y

x – y

c) Há algum par de valores para x e para y que satisfaz as duas equações?

d) Localize no gráfico os pares ordenados (x; y) que correspondem aos valores encontrados nas tabelas I e II.

y

1

0 1 3 5 8 102 4 76 9 11 12 13 14 15

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

e) Localize no gráfico o ponto comum às duas tabelas. Os valores de x e y correspondem à solução do problema?

41


f ) Você deve ter notado que cada equação gerou um conjunto alinhado de pontos no gráfico. Considerando as condições iniciais do problema, poderíamos ligar esses pontos por meio de uma reta? Justifique sua resposta.

17. Considere, agora, o seguinte problema:

A soma de dois números é 6 e a diferença entre eles é 1.

a) Preencha a tabela de cada equação para os valores indicados de x.

x + y = 6 x – y = 1

x y x y

1 2

2 3

3 4

b) Represente no gráfico os pares ordenados (x; y) que correspondem aos valores encontrados nas tabelas.

y

1

0 1 3 5 8 102 4 76 9 11 12 13 14 15

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

x

42


c) As condições do problema permitem que tracemos uma reta interligando os pontos de cada equação? Justifique sua resposta.

d) Ligue os pontos correspondentes a cada uma das equações. Localize o ponto de interseção entre as duas retas e escreva suas coordenadas. Elas correspondem à solução do problema?

e) Escreva o sistema de equações que corresponde aos dados do problema e resolva-o pelo mé-todo que preferir. Verifique se a solução encontrada corresponde às coordenadas do ponto de interseção.

LIÇÃO DE CASA

18. Construa os gráficos e as tabelas que representam os sistemas de equações a seguir. Dê as coordenadas do ponto de interseção entre as retas que representam cada equação. Em seguida, resolva o sistema pelo método que preferir.

(Observação: são necessários apenas dois pontos para se representar uma reta no plano.)

43


a) { 2x + y = 6 x – y = –3

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

2x + y = 6 x – y = –3

x y x y

0

44


b) { x – 2y = – 2 x + y = – 5

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

x – 2y = –2 x + y = –5

x y x y

0

45


VOCÊ APRENDEU?

19. Nos gráficos a seguir, as retas representam as equações de um sistema linear. Classifique os sis-temas de acordo com o tipo de solução resultante:

DeterminadaPossível

Solução de um sistema linear

Indeterminada

Impossível

a) Sistema b) Sistema

y

xr

s

r e s são concorrentes

y

x

s

r

r e s são paralelas

c) Sistema d) Sistema

y

x

r

s

r e s são coincidentes

y

x

s

r

r e s são concorrentes

46


20. Resolva os sistemas pelo método da adição. Em seguida, construa a tabela e o gráfico das equa-ções de cada sistema e classifique o sistema de acordo com o tipo de solução resultante:

a) { 2x + y = 3 x – y = 6

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

2x + y = 3 x – y = 6

x y x y

0

47


b) { 2x + y = 3 4x + 2y = 6

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

2x + y = 3 4x + 2y = 6

x y x y

0

48


c) { 2x + y = 3 4x + 2y = 10

y

x–10 –5

–5

–10

5

5

10

10

2x + y = 3 4x + 2y = 10

x y x y

0

49


SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4 EQUAÇÕES COM SOLUÇÕES INTEIRAS E SUAS APLICAÇÕES

!?


Em algumas situações práticas temos que resolver sistemas com mais incógnitas do que equações e, ainda, para complicar (ou facilitar), alguns desses sistemas requerem apenas soluções inteiras positivas. Vejamos alguns exemplos de problemas adaptados de artigos da Revista do Professor de Matemática 2 que, se equacionados, resultam em situações assim.

Exemplo 1 – Para agrupar 13 ônibus em filas de 3 ou 5 em uma garagem, quantas filas de cada tipo serão formadas?

Exemplo 2 – Quantas quadras de vôlei e quantas quadras de basquete são necessárias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (Dado: um time de basquete é formado por 5 jogadores; um de vôlei, por 6.)

Exemplo 3 – Um laboratório dispõe de duas máquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto a outra examina 25. Quan-tas vezes essas máquinas devem ser acionadas para examinar 2 000 amostras?

Exemplo 4 – Um caixa eletrônico disponibiliza para saque apenas notas de R$ 20,00, R$ 50,00 e R$ 100,00. Se um cliente deseja sacar R$ 250,00, de quantas ma-neiras diferentes ele poderá receber suas notas?

Exemplo 5 – Deseja-se adquirir um total de 100 peças dos tipos A, B e C, sendo que os preços unitários das peças são R$ 1,00, R$ 10,00 e R$ 20,00, respectivamente. Se dispo mos de R$ 200,00 para a compra, quantas e quais são as possibilidades de compras que po demos fazer?

Escrevendo cada um desses problemas em linguagem algébrica, encontraremos equações do tipo ax + by = c ou ax + by + cz = d, em que nos interessam apenas as soluções inteiras e positivas do tipo (x, y) ou (x, y, z).

Veja como você poderia transcrever cada um desses problemas para a linguagem algébrica:

Exemplo 1: t: número de filas com 3 ônibus c: número de filas com 5 ônibus 3t + 5c = 13

Exemplo 2: v: número de pares de times de vôlei b: número de pares de times de basquete 12v + 10b = 80 ou 12v + 10b = 77

2 A Revista do Professor de Matemática é editada pela Sociedade Brasileira de Matemática. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cms>. Acesso em: 6 abr. 2010.

50


(Lembrete: usamos 12v, e não 6v, pois, para haver uma partida de vôlei, precisamos de dois times completos de 6 jogadores; o mesmo raciocínio se aplica a 10b no lugar de 5b).

Exemplo 3:

x: número de amostras examinadas pela máquina X

y: número de amostras examinadas pela máquina Y

15x + 25y = 2 000

Exemplo 4:

x: total de notas de R$ 20,00

y: total de notas de R$ 50,00

z: total de notas de R$ 100,00

20x + 50y + 100z = 250

Exemplo 5:

a: número de peças adquiridas do tipo A

b: número de peças adquiridas do tipo B

c: número de peças adquiridas do tipo C

a + 10b + 20c = 200

Problemas em que apenas nos interessam as soluções inteiras positivas de uma equação com mais de uma incógnita, normalmente, recebem o nome de equações diofantinas, em homenagem ao matemático Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do ano 250 d.C. e se interessou por problemas dessa natureza.

Quanto ao número de soluções, uma equação diofantina, como acabamos de descre-ver, pode apresentar uma, mais de uma ou nenhuma solução. O estudo aprofundado das equações diofantinas permite-nos encaminhar a discussão para:

1. estabelecer um critério para a existência de soluções que envolva diretamente a no-ção de máximo divisor comum;

2. estabelecer um algoritmo para encontrar as soluções, quando elas existirem.

Em classe, seu professor vai orientá-lo a resolver algumas equações diofantinas com o auxílio de tabelas. Depois dessa orientação, você estará apto a resolver as atividades a seguir.

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VOCÊ APRENDEU?

1. Complete a tabela a seguir tendo em vista a interpretação do Exemplo 1 apresentado na seção Leitura e Análise de Texto.

Linha Número de filas com 3 ônibus (t)

Número de filas com 5 ônibus (c)

Total de ônibus (3t + 5c)

1 0 0 0

2 0 1 5

3

4

5 1 0 3

6

7

8

9

10

2. Analise os valores tabelados na atividade anterior e responda qual é a única linha da tabela que apresenta números compatíveis com o problema. Justifique sua resposta.

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3. Complete a tabela a seguir tendo em vista a interpretação do Exemplo 2 apresentado na seção Leitura e Análise de Texto.

Linha Número de pares de times de vôlei (v)

Número de pares de times de basquete (b)

Total de alunos(12v + 10b)

1 0 0 0

2 0 1 10

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

4. Analise os valores tabelados na atividade anterior e responda qual é a única linha da tabela que apresenta números compatíveis com o problema. Justifique sua resposta.

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LIÇÃO DE CASA

5. Determine as soluções do Exemplo 3 apresentado na seção Leitura e Análise de Texto.

6. Determine as soluções do Exemplo 4 apresentado na seção Leitura e Análise de Texto.

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Desafio!

7. Determine algumas das soluções do Exemplo 5 apresentado na seção Leitura e Análise de Texto.

PESQUISA INDIVIDUAL

8. Alguns historiadores consideram Diofanto de Alexandria como um dos precursores da Álgebra. Faça uma pesquisa em livros e/ou na internet sobre Diofanto. Alguns aspectos importantes que devem constar da sua pesquisa são:

Localização de onde viveu Diofanto e em que época.•

As razões pelas quais alguns historiadores consideram Diofanto como “pai da Álgebra”.•

Qual é a diferença entre as equações diofantinas que nós estudamos e aquelas que •foram estudadas por Diofanto?

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Documents

Equipe Técnica de Matemática Área de Matemática ... · Escreva uma expressão com letras que represente corretamente cada um dos enunciados: a) João tem o triplo da idade de