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Trabalhos X EGEM X Encontro Gaúcho de Educação MatemáticaComunicação Científica 02 a 05 de junho de 2009, Ijuí/RS

DIFICULDADES NO CÁLCULO DE DIVISÃO NA 5ª SÉRIE DO

ENSINO FUNDAMENTAL

GT 01 – Educação Matemática nos Anos Iniciais e Ensino Fundamental

AGRANIONIH, N. T. ([email protected])

ENRICONE, J. R. B ([email protected])

ZATTI, F. ([email protected])

RESUMO: O trabalho apresenta um relato parcial das dificuldades observadas em 34 alunos da 5ª série doensino fundamental de 17 escolas públicas da cidade de Erechim/RS na resolução de cálculos envolvendo oalgoritmo tradicional da divisão, em uma pesquisa realizada a partir da aplicação do subteste de aritmética doTDE (Teste de Desempenho Escolar) de Lílian Milnitsky Stein e da observação dos padrões de erros cometidospelos alunos. A pesquisa de análise qualitativa baseia-se na metodologia de análise de conteúdo proposta porBardin (1979) e de análise de erros conforme Cury (2007), com utilização de estatística descritiva. Emergiram,da análise dos erros no algoritmo tradicional da divisão, nove categorias de análise: ausência de respostas,reprodução errada da proposta, não domínio do algoritmo, erros de tabuada, erros estranhos, desistência, cálculomental, reprodução errada da resposta e erro de subtração durante o cálculo. As mais significativas no contextoda pesquisa foram, nesta ordem: ausência de respostas, reprodução errada da proposta e não domínio doalgoritmo.Palavras- chave: Divisão. Análise de erros. Dificuldades de cálculo. TDE.

Introdução

O presente trabalho relata e analisa parcialmente os dados obtidos em uma

pesquisa qualitativa mais ampla, em andamento: “Aprendizagem matemática: desvendando

dificuldades de cálculo dos alunos”, realizada com 34 alunos de 5ª série do Ensino

Fundamental da rede estadual de ensino do município de Erechim-RS, que visa investigar as

dificuldades apresentadas nos cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão através

do algoritmo tradicional. Especificamente, apresenta as dificuldades identificadas nodesenvolvimento do algoritmo da divisão.

Os dados publicados pela Secretaria Estadual de Educação sobre o SAERS

(Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Rio Grande do Sul) demonstram que em

2007, 40,7% dos alunos de 5ª série apresentaram desempenho abaixo da média estadual,

sendo que 63,5% destes alunos ficaram abaixo da média desejável em matemática (Zero Hora,

25 de abril de 2008). Muito contribui para estes índices as dificuldades de cálculo. O cálculo

da divisão tem sido considerado pelos professores como um dos mais difíceis de ser

assimilado pelos alunos, fato que gera preocupações e buscas por estratégias de ensino mais

eficazes para a aprendizagem. Com este trabalho buscamos contribuir com este processo.




Partimos da perspectiva de Cury (2004, 2007) de que, a partir da identificação e análise de

erros no desenvolvimento do algoritmo tradicional da divisão, pode-se investigar a fundo a

natureza dos erros, fazer hipóteses sobre possíveis causas, buscar estratégias para remediá-los

e também utilizá-los em sala de aula, para que os alunos possam construir novos saberes a

partir da análise dos resultados errados.

O erro não é necessariamente um indício de fracasso, observa Carvalho (1997) e o

seu aparecimento não obrigatoriamente indica que não ocorreu a aprendizagem, ou que houve

fracasso do ensino. O erro pode ser compreendido como parte do processo de aprendizagem,

como afirmam vários autores. Numa abordagem psicogenética o erro é entendido como

constitutivo do mecanismo funcional do processo de construção do conhecimento

(MACEDO, 1990,1994; LA TAILLE, 1997). Muitas vezes são as únicas janelas pelas quaispodemos ver a mente dos alunos, enfatiza Rivière (1995). Geralmente não são ilógicos, diz o

autor, mas estão relacionados ao uso de algumas regras que embora não sejam corretas,

indicam a apropriação de certa competência lógico-matemática (RIVIÈRE, 1995). Neste

sentido, Teixeira (2006) assinala que a análise de erros como método de investigação tem

colaborado significativamente na compreensão da natureza dos erros referentes ao processo

de ensino e aprendizagem da matemática.

Método

A pesquisa envolveu 34 alunos de 5ª série do Ensino Fundamental de 17 escolas

da rede pública estadual de Erechim (RS). Foram selecionados dois alunos de cada escola

com dificuldades de aprendizagem na matemática, mas sem diagnóstico de déficit cognitivo,

por indicação do professor de matemática.

A coleta de dados foi realizada através da aplicação do subteste de aritmética doTDE (Teste de Desempenho Escolar), de Lílian Milnitsky Stein. Trata-se de um instrumento

psicométrico que busca avaliar capacidades fundamentais para o desempenho escolar na

escrita, aritmética e leitura. A aplicação foi feita pelas pesquisadoras, individualmente com

cada aluno participante, com duração aproximada de 30 minutos. Foram considerados na

análise dos erros de divisão os cinco cálculos de divisão propostos no subteste. Durante a

aplicação do mesmo os alunos foram orientados a realizar os cálculos que sabiam fazer e

deixar os que não haviam aprendido ou não sabiam fazer.

A análise dos dados baseou-se na metodologia de análise de conteúdo proposta

por Bardin (1979) e da análise de erros, conforme Cury (2007). Os dados foram analisados a




partir de um enfoque qualitativo com utilização de estatística descritiva. Na identificação e

análise dos erros nos cálculos de divisão emergiram os padrões de erros, considerados, no

trabalho, como categorias de análise. Buscou-se aproximações com categorias já descritas por

Batista (1995), em trabalho semelhantes sobre padrões de erros de cálculos e por Miranda,

Fortes e Gil (2000).

Apresentação dos dados obtidos

Os cálculos de divisão propostos no TDE aplicado aos 34 alunos foram: 6÷3=

(Cálculo 11 do TDE), 72÷7= (Cálculo 18 do TDE), 968÷6= (Cálculo 19 do TDE), 6630÷65=

(Cálculo 22 do TDE) e 4÷5= (Cálculo 30 do TDE). A Tabela 1 mostra o número de erros eacertos nestas questões.

Tabela 1 – Número de erros e acertos nos cálculosde divisão

O maior número de erros foi observado nos cálculos 30 (88,2%) e 22 (85,3%),

sendo estes, portanto, os que ofereceram maior dificuldade aos alunos.

Os cálculos relativos às questões 11 e 18 produziram maior número de acertos,

podendo ser considerados mais fáceis para os alunos pesquisados. Já os demais cálculosproduziram maior número de erros do que de acertos. É possível observar também que do

total de cálculos de divisão realizados pelos alunos pesquisados houve maior número de erros

(61,2%) do que de acertos (38,8%).

Os erros identificados no algoritmo da divisão foram agrupados em nove

categorias de análise: erros de tabuada, reprodução errada da proposta, reprodução errada da

resposta, não domínio do algoritmo, erros de subtração durante o cálculo, erros estranhos,

ausência de respostas, desistência e cálculo mental, conforme pode ser observado no Quadro1, que também indica a quantidade de erros cometidos em cada uma delas.

CálculosTDE

Cálculo Erros Acertos

11 6÷3= 09 (26,5%) 25 (73,5%)

18 72÷7= 17 (50%) 17 (50%)

19 968÷6= 19 (55,9%) 15 (44,1%)22 6630÷65= 29 (85,3%) 05 (14,7%)30 4÷5= 30 (88,2%) 04 (11,8%)

Total 104 (61,2%) 66 (38,8%)




Os maiores percentuais de erros correspondem às categorias: ausência de respostas

(29,8%), reprodução errada da proposta (26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As

demais representaram um índice menor em relação à quantidade de erros: erros de tabuada

(7,4%), erros estranhos (7,4%), cálculo mental (2,1%), desistência (1,1%), reprodução errada

da resposta (1,1%) e erro de subtração durante o cálculo (1,1%).

Estas categorias são caracterizadas e exemplificadas a seguir:

a) Ausência de respostas

Esta categoria corresponde às questões deixadas “em branco” pelos alunos. É

relevante, no contexto da pesquisa, o fato de que a ausência de respostas envolve todos os

cálculos de divisão propostos, mas, de forma mais significativa o Cálculo 19 (968÷6=),seguido dos cálculos 18 (72÷7=), 30 (4÷5=) e 22 (6630÷65= ), conforme o Quadro 1.

b) Reprodução errada da proposta

O aluno realiza outros procedimentos de cálculo ao invés da divisão, ou utiliza

incorretamente os dados fornecidos no cálculo. Foram identificadas algumas subcategorias:

- inversão do dividendo e do divisor: ao armar o cálculo o aluno considera que

não é possível realizar a divisão de um número menor por um número maior. Por esta razãoinverte os valores do dividendo e do divisor buscando aproximar a situação de uma outra que

lhe é mais familiar, realizando o cálculo com facilidade. Foi a saída encontrada por 11 dos 34

alunos participantes da pesquisa para a realização do cálculo 30 (4÷5=);

CATEGORIA SUBCATEGORIA CÁLCULO (ALUNO) ERROSNº%

Erros detabuada

18 (P16, P34, P 4, P21, P31)19 (P34, P24)

077,4%

a) Inversão dodividendo e dodivisor

30 (P22, P09, P11, P01, P25,P31,P14, P15, P24, P03, P24) 11

11,7%b) atribuição dezero ao resultado

30 (P05, P19, P26) 033,2%

-multiplicaao invésde dividir

11 (P30, P06)18 (P30, P11)30 (P23, P16, P28, P27)

088,5%

ReproduçãoErrada daproposta

c) multiplicação,soma ou divisãoao invés desubtração.

-soma ousubtrai aoinvés dedividir

30 (P06)11 (P18, P29)

033,2%




Quadro 1 – Categorias de análise de erros da pesquisa

- atribuição de zero como resultado: embora avalie corretamente que não é possívelformar grupos de cinco unidades com quatro unidades, indicando esta impossibilidade com

zero no quociente, o aluno não avança no sentido de considerar a possibilidade de trabalhar

com casas decimais, obtendo um resultado menor que um inteiro. O zero, neste caso, também

pode ser um indicativo de uma suposta impossibilidade de realizar o cálculo, utilizado pelo

aluno. Esta também foi uma saída encontrada para a resolução do cálculo 30 (4÷5=) por três

alunos.

- ao invés de dividir o aluno multiplica, subtrai ou soma: estes erros podem ser devidos

ao fato de aluno ignorar ou desconhecer o sinal de divisão o que provoca a opção pela

realização de outro cálculo: multiplicação, subtração ou soma. A opção de multiplicar foi feita

por dois alunos diante do cálculo 11 (6÷3= ), dois alunos diante da cálculo 18 (72÷7= ) e por

quatro alunos diante do cálculo 30 (4÷5=). Já a opção por somar ou subtrair foi feita por um

aluno para o cálculo 30 e por dois alunos para o cálculo 11.

c) Não domínio do algoritmo

Reproduçãoerrada daresposta

18 (P27)01

1,1%

Não domínio doalgoritmo

18 (P07)19 (P14, P30, P07, P05, P26, P29)

22 (P26, P04, P18, P29, P01,P17, P19, P33, P14, P07,P10,P34, P25, P22, P05)

2223,4%

Erro desubtraçãodurante ocálculo

18 (P15)01

1,1%

Erros estranhos11 (P07, P08)18 (P14, P20)19 (P10, P12)30 ( P08)

077,4%

Ausência derespostas

11 (P28, P03)18 (P08, P23, P28, P06, P09, P21)19 (P21, P03, P06, P23, P08, P28,P02, P09)30 (P21, P20, P17, P33, P18, P02)22 (P06, P28, P12, P03, P23, P24)

2829,8%

Desistência 30 (P12) 011,1%

Cálculo Mental 19 (P17, P25) 022,1%




Erros no procedimento de cálculo devido a não compreensão do algoritmo ou a não

automatização do processo, foram considerados nesta categoria. Foi significativo o fato de

que quinze alunos cometeram erros por não dominarem o algoritmo do cálculo 22

(6630÷65=). Possivelmente por se tratar de um cálculo de divisão com dois algarismos no

divisor, envolvendo assim um grau maior de dificuldade. Seis alunos demonstraram não

dominar o algoritmo da divisão no cálculo 19. No exemplo abaixo o aluno ignora o resto

obtido 36 e considera apenas o 6 para prosseguir o cálculo.

Cálculo 19 / P05

No cálculo 6630: 65, o aluno ignora o divisor 65 e realiza a divisão como se estivesse

dividindo apenas por 6. Não subtrai o valor obtido, indicando resto zero. Abaixa o 3.Multiplica 1 x 65 obtém 6. Subtrai 6 de 3 e obtém 0. Demonstra não dominar vários passos do

algoritmo.

Cálculo 22/P10

Alguns destes erros envolvem o zero no quociente, como no exemplo abaixo, em

que se verifica um erro bastante comum na divisão: após “baixar” um número, diante do fato




de o valor a ser dividido ser menor que o divisor, o aluno “baixa” outro número sem colocar o

zero no quociente.

Cálculo 22/ P01

d) Erros de tabuada

Os alunos dominam o algoritmo da divisão e erram na tabuada. No exemplo

abaixo o aluno equivocou-se em considerar 6 x 5 = 35 ao invés de 30 e também ao

desconsiderar que 6 x 6 = 36, o que provocou o erro.

Cálculo 19/ P24

No exemplo abaixo o erro foi devido ao fato de aluno pensar que 8 x 7 = 72 ao invés

de 56 e também ao desconhecimento do fato 9 x 8 = 72.

Cálcul o18 / P24




Em ambos os exemplos os erros foram conseqüência da não memorização da

tabuada.

e) Reprodução errada da resposta

O aluno acerta o cálculo e indica o resultado incorretamente por desatenção ou não

interpretação do significado da operação.

Cálculo 18/P27)

f) Erros estranhos

Erros que não foram categorizados, uma vez que não foi possível identificar o

procedimento realizado pelo aluno ao desenvolver o cálculo, nem a origem do erro.

g) Erro de subtração durante o cálculo

O aluno domina o procedimento da divisão, mas erra na subtração.

h) Desistência

O aluno considera que não é possível resolver o cálculo e escreve como resposta a

expressão “não dá”

i) Cálculo mental

O aluno fez o cálculo mentalmente e reproduziu o resultado obtido, nem sempre

obtendo sucesso.

Discussão dos resultados

Os cálculos de divisão propostos no TDE e analisados na pesquisa fazem parte dos

conteúdos trabalhados nas séries iniciais do Ensino Fundamental, o que permite considerar

que já haviam sido trabalhados nas turmas em que a pesquisa foi realizada, desde as séries




anteriores. Porém, este fato não pode ser considerado uma razão determinante da

aprendizagem dos mesmos pelos alunos.

O cálculo 30 (4:5=) e o cálculo 22 (6630:65=) apresentaram um maior percentual

de erros (88,2% e 85,3% respectivamente). Estes cálculos são trabalhados na 4ª série, mas são

mais enfatizados na 5ª série.

O cálculo 30 envolve divisão de números decimais onde o dividendo é menor que

o divisor, o que torna o quociente menor do que 1,ou seja, 0,8. A maior parte dos erros neste

cálculo enquadra-se nas categorias “reprodução errada da proposta” e “ausência de respostas”.

O fato de o dividendo ser menor que o divisor pode ter sido um fator de estranheza aos

alunos, ainda não muito familiarizados com operações com números decimais, o que levou à

grande parte dos mesmos a considerar o cálculo impossível ou a invertê-los, tornando ocálculo mais familiar: 5: 4 = Outros consideraram um possível erro na proposta, resolvendo o

problema através da soma, subtração ou multiplicação do dividendo e do divisor. Alguns

atribuíram zero como resposta, o que pode ser considerado um sinal de impossibilidade ou

uma aproximação com o conceito de número decimal.

A maior parte dos erros de reprodução errada da proposta foi no cálculo 30. É

possível dizer que, diante da suposta impossibilidade de dividir um número menor pelo maior,

os alunos buscaram estratégias de resolução para o problema: inverter dividendo e divisor,atribuir zero como resultado, multiplicar ou somar, ou seja, constrói um procedimento

alternativo de resolução, mesmo que não corresponda ao solicitado.

O cálculo 22, cujo quociente é 102, consiste em um dos “casos” da divisão em que

o resto da divisão juntamente com o valor “baixado” produz um valor a ser dividido menor

que o divisor, o que produz a necessidade de colocar zero no quociente. Muitos alunos

“esquecem” deste zero e “baixam” o próximo número, prosseguindo o processo. A

dificuldade pode estar na dificuldade de perceber a necessidade e o sentido deste zero noquociente do cálculo e também na dificuldade de memorizar o algoritmo da divisão. É

significativo o fato de a maior parte dos erros neste cálculo enquadrarem-se nas categorias

“não domínio do algoritmo” e “ausência de respostas”.

O cálculo 19 (986:6= 164) apresentou um percentual de erros (55,9%) próximo ao

de acertos (44,1%). Os erros observados neste cálculo enquadram-se em várias categorias:

ausência de respostas, não domínio do algoritmo, erros de tabuada, erros estranhos e cálculo

mental. Dentre elas as mais significativas: ausência de respostas e não domínio do algoritmo.

Trata-se de um cálculo mais familiar para alunos de 5ª série, pois normalmente é trabalhado a

partir da 3ª série do Ensino Fundamental e não envolve particularidades ou dificuldades




específicas no algoritmo, como zeros no quociente, por exemplo.Porém, os resultados

permitem considerar que trata-se, também, de um cálculo que oferece dificuldades aos alunos.

Como referimos, tanto os cálculos 30 e 22, quanto o cálculo 19, fazem parte dos

conteúdos trabalhados na 4ª e na 5ª séries do Ensino Fundamental, o que permite considerar

que já tenham sido trabalhados nas turmas em que a pesquisa foi realizada, desde a série

anterior. Se considerarmos as categorias em que se enquadram os erros nestes cálculos

podemos pensar que o tempo de interação dos alunos com esses conhecimentos ainda não

tenha sido suficiente para as aprendizagens. O que a pesquisa torna evidente é que oferecem

um alto grau de dificuldade aos alunos com dificuldades de aprendizagem na matemática,

entrevistados.

Foi significativa a ausência de respostas, para todos os cálculos, com exceção docálculo 11 (6:3=), fato que leva a considerar que muitos alunos não se consideram preparados

para a realização destes cálculos, ou que, de certa forma, não se desafiam no sentido de

realizá-los. Quando a operação é muito difícil, ou a possibilidade de fracasso é muito grande,

ocorre a desistência, dado que é comumente observado nas escolas, reforçando a idéia de

incapacidade para a matemática.

Outro aspecto a ser considerado, diz respeito ao fato de que os alunos indicados a

participar deste estudo não tinham déficit cognitivo, e, portanto, supõe-se que teriamcondições para aprender. Nos resultados gerais da pesquisa e da aplicação do TDE, 41% dos

alunos participantes obtiveram desempenho inferior, 38% desempenho médio, e 21%

desempenho superior. Verifica-se, portanto, que a maioria dos participantes (59%), obtiveram

desempenho médio e superior no teste. Esta classificação indica que estes alunos apresentam

desempenho esperado para a série no TDE, denotando que possivelmente têm as capacidades

fundamentais para a aritmética da 5ª série.

O fato de os alunos não apresentarem déficits, leva a pensar que são alunos quepoderiam ter o domínio das operações analisadas, mas que mesmo assim apresentam

dificuldades esperadas para alunos de séries iniciais, no âmbito da divisão. Leva a pensar,

também, na amplitude e complexidade dos fatores envolvidos nas dificuldades de

aprendizagem, que não dizem respeito somente a fatores intrínsecos ao aluno. Como diz

Teixeira (2006), ao analisar as possíveis causas dos erros e dificuldades dos alunos na

aprendizagem da matemática, há um conjunto de variáveis em jogo, que se referem à própria

natureza dos conceitos matemáticos, à forma de ensiná-los ou às condições do aluno para

aprender.




Considerações finais

De modo geral, como referimos anteriormente, a maior parte dos erros de divisão

inseriram-se nas categorias: ausência de respostas (29,8%), reprodução errada da proposta

(26,6%) e não domínio do algoritmo (23,4%). As demais categorias foram erros de tabuada,

reprodução errada da resposta, não domínio do algoritmo, erro de subtração durante o cálculo,

erros estranhos, desistência, e cálculo mental.

As avaliações tradicionalmente realizadas na escola que valorizam mais o número

de acertos e erros não consideram os procedimentos realizados pelos alunos, que certamente

evidenciariam o desenvolvimento do seu raciocínio, o que possibilitaria uma avaliação mais

consistente assim como subsídios para trabalhar com as dificuldades encontradas.Os erros e dificuldades que se evidenciaram na pesquisa levam a pensar na

importância de criar estratégias que favoreçam a superação destas dificuldades, uma vez que

o domínio e aplicação de alguns conceitos são fundamentais para que o aluno possa

prosseguir na construção dos conhecimentos matemáticos sem comprometimentos. Espera-se

que as informações obtidas através desta pesquisa possam gerar reflexões acerca das

dificuldades encontradas no ensino e na aprendizagem da matemática, assim como meios que

possam levar à sua superação, e principalmente a alternativas pedagógicas preventivas.

Referências

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