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Transferencia de CalorEscoamento Sobre uma Placa Plana
Filipe Fernandes de [email protected]
Departamento de Engenharia de Producao e MecanicaFaculdade de Engenharia
Universidade Federal de Juiz de Fora
Engenharia Mecanica
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Introducao
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Introducao
I No escoamento externo, a camada limite cresce livremente, naosendo limitada por superfıcies adjacentes;
I Sempre apresentando uma regiao em que gradientes de velocidade etemperaturas podem ser ignorados.
I O estudo de escoamentos externos sera limitado a problemas deconveccao forcada, sem mudanca de fase e baixa velocidade;
I Como visto anteriormente, o coeficientes de conveccao podem serobtidos por equacoes da seguinte forma:
Nux = f (x∗,Rex ,Pr) (1)
Nux = f (Rex ,Pr) (2)
I O estudo de conveccao recai em obter essas funcoes.
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Introducao
I Existem duas abordagem para se oter as funcoes 1 e 2:I Metodo experimental - Envolve fazer experimentos de transferencia
de calor em condicoes controladas em laboratorios, e relacionando osdados obtidos com os parametros adimensionais;
I Metodo teorico - E baseada na resolucao das equacoes da camadalimite vistas anteriormente;
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Metodo Empırico
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Metodo EmpıricoI Para encontrar a correlacao de troca de calor por conveccao de uma
determinada geometria, pode-se realizar experimentos da seguinteforma:
I Aquecer eletricamente o objeto ate uma temperatura Ts > T∞;I Medir Ts e T∞;I Medir a potencia eletrica do aquecedor (E · I 2).
I Pode-se entao, calcular o numero de Nusselt, Reynolds e Prandtl.
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Metodo EmpıricoI Entao, varia-se as condicoes do experimento;
I Mudando a velocidade, comprimento caracterıstico e utilizandodiferentes fluidos;
I Isso resultaria em muitos valores de Nu correspondendo a intervalosde Re e Pr, que podem ser plotados.
I Os dados obtidos podem ser representados por uma expressaoalgebrica da seguinte forma:
NuL = CRemL Prn (3)
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Metodo Empırico
I Como os parametros C , m e n da equacao 3 sao independentes danatureza do fluido, pode-se plotar os resultados em termos deNuL/Pr
n, o que gera uma unica reta;I Os coeficientes C , m e n variam com a geometria da superfıcie e
natureza do escoamento.
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Metodo Empırico
I E implıcito que as propriedade do fluido sao consideradas constantesao longo do escoamento;
I No entanto, as propriedades variam com a temperatura atraves dacamada limite;
I Existem duas formas de abordar esse problema:I As propriedade do fluido sao avaliadas em uma temperatura media,
chamada de temperatura de filme (Tf );
Tf =Ts + T∞
2(4)
I As propriedade do fluido sao avaliadas na propria temperatura dofluido (T∞), e um parametro adicional e multiplicado na equacao 3.Esse parametro, constantemente, e da forma(
Pr∞Prs
)r (µ∞
µs
)r
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A Placa Plana em Escoamento Paralelo
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Introducao
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Introducao
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IntroducaoI Apesar de simples, escoamento paralelo sobre uma placa plana,
ocorre em varias aplicacoes de engenharia;I Nessa geometria, escoamento laminar comeca na ponta da placa
(x = 0), ocorrendo transicao para turbulento em um ponto xcquando Reynolds crıtico Rex ,c (5 · 105) e atingido;
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Escoamento Laminar Sobre Uma Placa Isotermica
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Escoamento Laminar Sobre Uma Placa IsotermicaI Os parametros de conveccao podem ser obtidos atraves da
resolucao das equacoes da camada limite:I Equacao da continuidade:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0 (5)
I Equacao do momento:
u∂u
∂x+ v
∂v
∂y= v
∂2v
∂y2(6)
I Equacao da energia:
u∂T
∂x+ v
∂T
∂y=∂2T
∂y2(7)
I E assumido escoamento permanente, incompressıvel, laminar,propriedades constantes, dissipacao viscosa negligenciavel edp/dx = 0;
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Solucao Hidrodinamica
I A solucao hidrodinamica e obtida atraves do metodo de Blausius;
I Definindo uma funcao ψ tal que,
u =∂ψ
∂yv = −∂ψ
∂x
I Novas variaveis dependente e independente podem ser definas como:
f (η) =ψ
u∞
√νx
u∞
η = y
√u∞νx
I Essas substuicoes simplificam a equacao diferencial parcial 6transformando-a em uma equacao diferencial ordinaria.
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Solucao Hidrodinamica
I Utilizando as substituicoes de variaveis feitas, a EDP 6transforma-se em:
2∂3f
η3+ f
∂2f
η2= 0
I Condicoes de contorno:
u(x , 0) = v(x , 0) = 0 u(x ,∞) = u∞
I Condicoes de contorno para as variaveis de similaridade:
∂f
η
∣∣∣∣η=0
= f (0) = 0∂f
η
∣∣∣∣η=∞
= 1
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Solucao Hidrodinamica
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Solucao Hidrodinamica
I Assumindo que a espessura da camada limite hidrodinamica δ e talque u/u∞ = 0, 99, a solucao hidrodinamica fornece:
δ =5x√Rex
(8)
Cf ,x =0, 664√Rex
(9)
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Solucao Termica
I Conhecendo as condicoes da camada limite de velocidade, aequacao da energia 7 pode ser resolvida;
I Introduzindo a temperatura adimensional,
T ∗ =(T − Ts)
(T∞ − Ts)
I E assumindo T ∗ = T ∗(η), a equacao da energia torna-se:
∂2T ∗
∂η2+
Pr
2f∂T ∗
∂η= 0 (10)
I Pode-se notar a dependencia das condicoes hidrodinamicas com oaparecimento da variavel f .
I Com as seguintes condicoes de contorno:
T ∗(0) = 0 T ∗(∞) = 1
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Solucao Termica
I Sabendo que,
Nux =∂T ∗
∂y∗
∣∣∣∣y∗=0
(11)
I Com a solucao da equacao 10 em conjunto com a equacao 11, epossıvel encontrar a seguinte relacao:
Nux =hxL
kf= 0, 332Re
1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (12)
I Tambem segue da solucao de 10 que,
δ
δt= Pr1/3 (13)
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Parametros Medios
I O coeficientes de friccao pode ser calculado pelas como se segue:
C f ,x =τ s,xρu2∞/2
(14)
τ s,x =1
L
∫ x
0τs,xdx (15)
I Para obter o coeficiente de friccao, utiliza-se:
C f ,x =1, 328√Rex
(16)
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Parametros Medios
I O numero de Nusselt medio pode ser obtidos pelas seguintesrelacoes:
Nux =hxL
kf(17)
hx =1
L
∫ x
0hxdx (18)
I Para obter o numero de Nusselt medio utiliza-se a seguinte relacao:
Nux = 0, 664Re1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (19)
I Para escoamento laminar em toda placa, o termo x pode sersubstituido por L e as equacoes 16 e 19 podem ser utilizadas paracalcular condicoes medias em toda placa.
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Metais Lıquidos
I Sao fluidos com baixo numero de Prandtl;
I Para esses fluidos, a equacao 12 nao e valida;
I Pode-se utilizar a seguinte formulacao:
Nux = 0, 564Pe1/2x Pr . 0, 05, Pex & 100 (20)
I Onde Pex e o numero de Peclet e e dado por
Pex = RexPr (21)
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Relacao Abrangente
I Para qualquer numero de Prandtl, pode-se utilizar a seguinteformulacao:
Nux =0, 3387Re
1/2x Pr1/3
[1 + (0, 0468)2/3]1/4Pex & 100 (22)
I E aplicavel para qualquer numero de Prandtl;
I O numero de Nusselt medio pode ser calculado por:
Nux = 2Nux (23)
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Observacao
I Todas as propriedades do fluido utilizadas nas equacoes acima,devem ser avaliadas na temperatura de filme.
Tf =Ts − T∞
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Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotermica
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Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotermica
I Nao e possıvel obter solucoes analıticas para as equacoes da camadalimite turbulenta;
I Utilizando o metodo experimental, a seguinte correlacao foi obtidapara escoamento turbulento,
Nux = 0, 0296Re4/5x Pr1/3 (25){
0, 6 . Pr . 60
Rex ,c . ReL . 107
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Escoamento Turbulento Sobre Uma Placa Isotermica
I O numero de Nusselt medio pode ser determinado por:
NuL = 0, 037Re4/5L Pr1/3 (26){
0, 6 . Pr . 60
Rex ,c . ReL . 107
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Condicoes de Camada Limite Mista
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Condicoes de Camada Limite Mista
I Quando a transicao de laminar para turbulendo ocorre em umaposicao xc da placa, o coeficiente convectivo e influenciado pelasduas parcelas;
I Nessa situacao pode-se calcular o coeficiente medio de conveccaotoda placa:
hL =1
L
(∫ xc
0hlamdx +
∫ L
xc
hturbdx
)(27)
I Obtendo-se,
NuL = (0, 037Re4/5L − 0, 037Re
4/5x ,c + 0, 664Re
1/2x ,c )Pr1/3 (28){
0, 6 . Pr . 60
Rex ,c . ReL . 108
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Condicoes de Camada Limite Mista
I Para um Reynolds crıtico Rex ,c = 5 · 105 ⇒ A = 871,
NuL = (0, 037Re4/5L − 871)Pr1/3 (29){
0, 6 . Pr . 60
Rex ,c . ReL . 108
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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante
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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante
I Uma superfıcie pode ser submetida a um fluxo constante de calorconstante;
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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante
I Para um escoamento laminar tem-se:
Nux = 0, 453Re1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (30)
I Enquanto para um escoamento turbulento tem-se:
Nux = 0, 0308Re4/5x Pr1/3 Pr & 0, 6 (31)
I A distribuicao de temperatura na placa e dada por:
Ts(x) = T∞ +q′′s
hx(32)
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Placa Plana Com Fluxo de Calor Constante
I Como a taxa de transeferencia de calor total e facilmentedeterminado por q = q
′′s As , nao ha necessidade de calcular hx ;
I No entnato, pode-se determinar a temperatura media da superfıcieTs ,
(Ts − T∞) =q′′s L
kNuL(33)
I NuL pode ser obtido atraves da equacao 30:
NuL = 0, 680Re1/2x Pr1/3 Pr & 0, 6 (34)
I Pode-se usar qualquer equacao para NuL com boa aproximacao paraencontrar (Ts − T∞).
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Exemplos
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Metodologia Para Resolucao de Problemas
1. Identifique a geometria do problema;
2. Especifique a temperatura de referencia e avalie as propriedades dofluido nessa temperatura;
3. Calcule o numero de Reynolds e numero de Prandtl;
4. Selecione a equacao correta.
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Exemplo
I Exemplo 1 - Ar, a uma pressao de 6kN/m2 e a uma temperatura de300°C , escoa com uma velocidade de 10 m/s sobre uma placa planacom 0,5 m de comprimento. Determine a taxa de resfriamento, porunidade de largura da placa, necessaria para mante-la com umatemperatura superficial de 27°C .
I As propriedades k, Pr , cp e µ podem ser assumidas como constanteem relacao a pressao;
I Mas, a viscosidade cinematica ν = µ/ρ varia com a pressao devido asua dependencia da densidade.
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Exemplo
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Exemplo (7.25, 7.22)I Exemplo 2 - Considere condicoes climaticas nas quais os ventos
dominantes sopram ao longo de um predio elevado. O comprimentodo predio na direcao do vento e de 10 m e existem 10 janelas nestalateral.(a) Calcule o coeficiente convectivo medio para a primeira, a terceira e a
decima janelas quando a velocidade do vento e de 5m/s. Use umatemperatura do filme de 300K para avaliar as propriedadestermofısicas necessarias na correlacao.
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Exemplo (7.8)I Exemplo 3 - Uma placa plana, com largura de 1m, e mantida a uma
temperatura superficial uniforme de Ts = 150°C pelo uso demodulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10mme comprimento b = 50mm, que sao controlados independentemente.Cada modulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como emsua superfıcie inferior. Ar atmosferico a 25°C escoa sobre asuperfıcie da placa a uma velocidade de 30m/s. As propriedadestermofısicas dos modulos sao k = 5, 2W /(m · K ),cp = 320J/(kg · K ) e ρ = 2300kg/m3.(a) Determine a geracao de energia necessaria (q), em um modulo
posicionado a uma distancia de 700 mm da aresta frontal;(b) Determine a temperatura maxima Tmax neste modulo de geracao.
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