Hipersuperfıcies do R4 com curvatura escalar nula invariantespor um subgrupo de isometrias

Tulio Guimaraes Jocelino Satotuliodeguima@yahoo.com.br sato@ufu.br

Faculdade de Matematica - FAMAT, UFU, Uberlandia/MG

Palavras-chave: Hipersuperfıcies Invariantes, Normal de Gauss, Curvatura Escalar, EquacoesDiferenciais.

Resumo: Este trabalho trata das hipersuperfıcies do R4 que possuem curvatura escalar S nulae que sao invariantes por um subgrupo de isometrias. Atraves de uma curva geratriz p.p.c.a.γ(u) = (x(u), z(u)), podemos reduzir as equacoes diferenciais parciais das curvaturas escalares Sdas hipersuperfıcie O(n)-invariante ou O(n)×O(n)-invariante, num sistema de coordenadas lo-cais, tornando-as equacoes diferenciais ordinarias em funcao das coordenadas da geratriz. Assimpodemos classificar as hipersuperfıcies em R4 que sao ou invariantes por O(3) ou por O(2)×O(2)com curvatura escalar nula.

1 Introducao

As superfıcies com curvatura constante constituem um tema muito pesquisado em GeometriaDiferencial. Os primeiros resultados nesta direcao devem-se a Delaunay [2]. Muitos outrosmatematicos, como Hsiang, dedicaram-se ao estudo deste tema, adaptando as tecnicas do R3

para dimensoes maiores, para hipersuperfıcies e para outros ambientes.Ao estudarem hipersuperfıcies em espacos Rn, com n > 3, os matematicos definiram as cur-

vaturas principais que caracterizam melhor as hipersuperfıcies atraves das r-esimas curvaturasmedias, dadas por:

Hr(p) =∑

16i1<i2<···<ir6n

1 nr

ki1ki2 · · · kir

sendo curvatura escalar a 2aesima curvatura media:

S = H2(p) =2

n(n− 1)(k1.k2 + · · ·+ k1.kn + k2.k3 + · · ·+ k2.kn + · · ·+ kn−1.kn).

Por meio da geometria equivariante, encontraram metodos que permitiram a construcao deexemplos de hipersuperfıcies que sao invariantes por um grupo G de isometrias com curvaturaescalar constante. A principal contribuicao para esta area foi a classificacao dos grupos de isome-trias de baixa cohomogeneidade dados por Hsiang e Lawson [3]. Usando geometria equivariantefoi possıvel construir contra-exemplos para a conjectura de Hopf [4].

Em nosso trabalho, seguimos [6] e [5] generalizando resultados da curvatura media paracurvatura escalar S de hipersuperfıcies em Rn+1 e Rn+1 × Rn+1 invariantes pelos subgruposde isometrias O(n + 1) e O(n+ 1)×O(n+ 1), respectivamente. Focamos nosso estudo nashipersuperfıcies em R4 com curvatura escalar S nula, classificando-as por meio de suas geratrizes.

2 Resultados

Para fazermos o estudo da curvatura escalar das hipersuperfıcies invariantes por O(n + 1) ouO(n+ 1)×O(n+ 1) utilizamos resultados obtidos na esfera. Parametrizamos a esfera Sn por:

Ψn(θ) = sen(θn).Ψn−1(θ1, · · · , θn−1)⊕ cos(θn)

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em que Ψ1(θ) = sen(θ1) ⊕ cos(θ1) e θ = (θ1, θ2, · · · , θn), temos como derivadas parciais

Ψnθi=

{sen(θn)Ψ

n−1θi

⊕ 0 para i 6= n

cos(θn)Ψn−1 ⊕ (−sen(θn)) para i = n

sendo ⊕ a soma direta. Assim temos:

Ψnθ1×Ψn

θ2×· · ·×Ψnθn = (−1)n

n∏i=1

seni−1(θi).Ψn 〈Ψn , Ψn

θ1×Ψnθ2×· · ·×Ψn

θn〉 = (−1)nn∏

i=1

seni−1(θi).

2.1 Curvatura escalar de Hipersuperfıcies O(n) ou O(n+1)×O(n+1)-Invariantes

As hipersuperfıcies rotacionais, invariantes por O(n), sao dadas pela uniao de orbitas Gγ(u),onde γ(u) = (x(u), z(u)), u ∈ I, e uma curva geratriz parametrizada pelo comprimento de arco(ppca), ou seja, [x′(u)]2 + [z′(u)]2 = 1, contida no espaco de orbitas Q = {(x, z) ∈ R2;x > 0}.Aqui x denota o raio da esfera e z sua altura em relacao ao hiperplano xn+1 = 0.

Uma parametrizacao desta hipersuperfıcie gerada por γ(u) = (x(u), z(u)) pode ser dada por

X(u, θ1, . . . , θn) = x(u).Ψn + z(u)en+2 = xΨn ⊕ z

tendo como derivadas parciais Xu = x′Ψn ⊕ z′ e Xθi = xΨnθi⊕ 0 i = 1, · · · , n. Sabendo que

Xu×Xθ1 × · · · ×Xθn = xnn∏

i=1

seni−1(θi)(z′Ψn ⊕−x′

)e pela curvatura escalar ser definida como

a soma das multiplicacoes das curvaturas principais duas a duas, nos permitindo cancelar asmudancas de sinal da Aplicacao Normal de Gauss em funcao do espaco, a definimos por

N =(−z′Ψn ⊕ x′

)sendo as curvaturas principais

k0 =〈dN(Xu), Xu〉

〈Xu, Xu〉= (−z′′x′ + x′′z′) ki =

〈dN(Xθi), Xθi〉〈Xθi , Xθi〉

=−z′

x∀i = 1, · · · , n.

Assim a curvatura escalar S dessas rotacionais geradas por γ(u) = (x(u), z(u)) e:

S(u) =−2x′′x+ (n− 1)(1− (x′)2)

(n+ 1)(x)2.

Ja as hipersuperfıcies M2n+1 ⊂ R2n+2 invariantes por O(n + 1) × O(n + 1) sao dadas pelauniao de orbitas Gγ(u), onde γ(u) = (x(u), z(u)) e uma curva geratriz ppca contida no espaco

de orbitas Q = {(x, z);x > 0, z > 0}. Aqui x e z denotam os raios das esferas.Uma parametrizacao explıcita para a hipersuperfıcie M e dada por

X(u, θ, θ) = x(u)Ψn(θ)⊕ z(u)Φn(θ),

em que Ψn(θ) e Φn(θ) sao parametrizacoes em coordenadas esfericas da esfera Sn ⊆ Rn+1,com θ = (θ1, . . . , θn) e θ =

(θ1, . . . , θn

), tendo como derivadas parciais Xu = x′Ψn ⊕ z′Φn,

Xθi = xΨnθi⊕ 0 e Xθj

= 0⊕ zΦnθj

para todo i, j = 1, 2, · · · , n.Da mesma forma que na secao anterior, calculamos a aplicacao normal nestas hipersuperfıcies

atraves do resultado

Xu×Xθ1×· · ·×Xθn×Xθ1×· · ·×Xθn = (−1)n+1xnzn

n∏i=1

seni−1(θi)n∏

j=1

senj−1(θj)[−z′Ψn ⊕ x′Φn

]e a normal destas hipersuperfıcies fica definida por N = [−z′Ψn ⊕ x′Φn] com curvaturas princi-

pais k0 = −z′′x′ + x′′z′, ki =−z′

xe kj =

x′

ze curvatura escalar

S(u) =1

2n+ 1

[(−z′′x′ + x′′z′)

−z′z + x′x

xz+

n− 1

2

([−z′z]2 + [x′x]2

x2z2

)+ n

−z′x′

xz

].

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2.2 Estudo das Hipersuperfıcies em R4 com Curvatura Escalar Nula

2.2.1 Rotacionais O(3) em R4 com Curvatura Escalar Nula

A geratriz das hipersuperfıcies rotacionais O(3) sao solucoes da E.D.O. de segunda ordem

2x′′x− (1− (x′)2) = 0,

que estudamos atraves da existencia de uma integral primeira V (x) = x(1− (x′)2

), com

V : R2 → R. Assim, alem das geratrizes serem curvas em Q = {(x, z);x > 0}, sao definidaspelas curvas de nıvel V1(x) = c.

Teorema 1 - Dada a E.D.O. x.(z′)2 = c que define as geratrizes ppca de hipersuperfıciesrotacionais M3 ⊂ R4 com curvatura escalar nula, se c = 0 entao a hipersuperfıcie e um hiper-plano, mas se c > 0 entao a geratriz da hipersuperfıcie e uma parabola de equacao z2 = 4cx+4c2.

Dem. Como x > 0 e por γ ser ppca logo (z′)2 = 1− (x′)2 > 0, entao x (z′)2 > 0. Assim parax (z′)2 = 0, teremos z′ = 0, isto e, z e constante. Daı esta curva geratriz gera um hiperplanocontido em R3 ⊕ R a uma altura z.

Para x.z′2 = c > 0 temos x′2 = 1 − z′2 = x−cx . Tomando a derivada de z em funcao de x,

temos(∂z∂x(x)

)2= c

x−c . Logo as geratrizes ppca sao parabolas de equacao z2 = 4cx+ 4c2.

2.2.2 Hipersuperfıcies O(2)×O(2)-Invariantes em R4 com Curvatura Escalar Nula

Para este caso temos as coordenadas da geratriz γ (u) = (x (u) , z (u)) como solucoes da E.D.O.de segunda ordem 0 = (−z′′x′ + x′′z′)(−z′z + x′x)− z′x′.

Estudamos essa equacao pelo metodo usado por BOMBIERI, de GIORGI e GIUSTI [1] intro-

duzindo a mudanca de coordenadas (x, z) 7−→ (w, v) em que w = arctan( zx

)e v = arctan

(z′

x′

),

reduzindo ao estudo das orbitas de um campo vetorial X(w, v) =(X1(w, v), X2(w, v)

)equiva-

lente a E.D.O. acima, onde X1(w, v) =12(sen 2w− sen 2v) e X2(w, v) =

12sen 2v estao definidos

num aberto de R2.

SendoX π-periodico em cada coordenada e alem dissoX(w+

π

2, v+

π

2

)= −X(w, v), (w, v) ∈(

0, π2)×(0, π2

)e X

(w +

π

2, v − π

2

)= −X(w, v), (w, v) ∈

(0, π2

)×(π2 , π

), podemos estudar o

campo vetorial somente no retangulo R = [0, π2 ]× [−π2 ,

π2 ], para obter a resolucao em todo o R2.

A classificacao dos pontos singulares em R sao em (0, 0) repulsor, em(π2 ,±

π2

)atratores e

em(0,±π

2

),(π2 , 0)pontos de sela.

Atraves destas informacoes acima e fazendo algumas analises do campo por meio da teoriasobre equacoes diferenciais temos uma descricao do retrato de fase do campo X:

Proposicao 2 - As trajetorias do campo X em R sao de uma das seguintes categorias:1) Existe apenas tres trajetorias horizontais com α-limite (0, v) e ω-limite (π2 , v), onde v ∈{−π

2 , 0,π2

}.

2) Trajetorias com α-limite (0, 0) que entram no interior de R+ e a deixam em pontos da forma(0, v), onde 0 < v < π

2 .3) Uma unica trajetoria com α-limite (0, 0) e ω-limite (0, π2 ).4) Trajetorias com α-limite (0, 0) e ω-limite (π2 ,

π2 ) possuindo uma tangente vertical nos pontos

(w, v) satisfazendo w = v ou v = π2 − w.

5) Uma unica trajetoria com α-limite (π2 , 0) e ω-limite (π2 ,π2 ).

6) Trajetorias que entram no interior de R+ por pontos da forma (π2 , v), 0 < v < π2 possuindo

ω-limite (π2 ,π2 ).

7) Todas as trajetorias intersectando R−, entram nessa regiao por pontos da forma (0, v1) e adeixa por pontos da forma (π2 , v2), onde v1, v2 ∈ (−π

2 , 0).

O lema abaixo nos da uma boa nocao de como serao as geratrizes γ(u) = (x(u), z(u)) destashipersuperfıcies:

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1

1

1

23 4 5

6

7

w

v

Figura 1: Trajetorias do campo vetorial

Lema 3 - Seja M uma hipersuperfıcie invariante por O(2) × O(2) em R4, com curvaturaescalar nula, gerada pela curva ppca γ(u) = (x(u), z(u)) com z = z(x), entao

d2z

dx2=

(1 +

(dz

dx

)2)

dz

dx

[−x+ z

dz

dx

]−1

.

Teorema 4 - As hipersuperfıcies invariantes pela acao do grupo O(2) × O(2) em R4 comcurvatura escalar nula, pertence a uma das seguintes classes (Figura 1):1) Cilindros, ou seja, hipersuperfıcies da forma R2 × S1.2) Hipersuperfıcies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaco de orbita Q no eixo x, formando

um angulo v com o eixo x, onde 0 < v <π

2. Neste caso temos x 6= 0.

3) Hipersuperfıcies cuja curva geratriz intersecta a fronteira do espaco de orbita Q no eixo x,formando um angulo π

2 com ele.4) Hipersuperfıcies cuja curva geratriz tem uma singularidade em Q.5) Hipersuperfıcies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaco de orbita Q no eixo z, formando

um anguloπ

2com ele.

6) Hipersuperfıcies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaco de orbita Q no eixo z, formando

um angulo v com o eixo z, onde 0 < v <π

2. Neste caso temos z 6= 0.

7) Hipersuperfıcies cuja geratriz intersecta a fronteira do espaco de orbita Q em pontos da forma(x, 0), x 6= 0 e (0, z), z 6= 0, em ambos os casos formando um angulo diferente π

2 com o eixo deintersecao.

Referencias

[1] BOMBIERI, E.; DE DIORGI, E.; GIUSTI, E. Minimal cones and the Bernstein problem.Invent. Math. 7, p. 243-269, 1969.

[2] DELAUNAY, C. Sur la surface de revolution don’t la courbure moyenne est constante. J.Math. pure et appl. Serie 16, 1841.

[3] HSIANG, W. Y.; LAWSON, H. B. Minimal submanifolds of low cohomogeneity, Journal ofDifferential Geometry. vol. 5, p.1-38, 1971.

[4] HSIANG, W. Y.; TENG, Z. H.; Yu, W. C. New examples of constant mean curvature im-mersions of (2k − 1)-spheres into Euclidian 2k-space. Annals of Math. no 117 p.609-625,1983.

[5] LEITE, M. L. Rotational hypersurfaces of space forms with constant scalar curvature.Manuscripta Mathematica. v.67 no 1 p.285-304. :Ed. Springer-Verlag, 1990.

[6] PALMAS, O. O(2)×O(2)-invariant hypersurfaces with zero scalar curvature. Archives derMathematiques no 74 p.226-233. Basel: Ed. Birkhauser Verlag, 2000.

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