Escola Politécnica Engenharia Naval e Oceânicamonografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10024210.pdf2 De Santis, Rafael Torres Investigação e Análise da parcela de Vórtice

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Escola Politécnica

Engenharia Naval e Oceânica

Projeto de Graduação

RAFAEL TORRES DE SANTIS

INVESTIGAÇÃO E ANÁLISE DA PARCELA DE VÓRTICE DO COEFICIENTE DE

AMORTECIMENTO DE ROLL EM FPSOs

Rio de Janeiro

Março de 2018

1

RAFAEL TORRES DE SANTIS



Projeto de Graduação apresentado ao

Curso de Engenharia Naval e Oceânica, da

Escola Politécnica, Universidade Federal

do Rio de Janeiro, como parte dos

requisitos necessários à obtenção do título

de Engenheiro Naval.

Área de Concentração: Hidrodinâmica de

Sistemas Flutuantes

Orientador:

Claudio Alexis Rodríguez Castillo,

D.Sc. – COPPE/UFRJ

Rio de Janeiro

Março de 2018

2

De Santis, Rafael Torres

Investigação e Análise da parcela de Vórtice do

Coeficiente de amortecimento de Roll em FPSOs/ Rafael

Torres de Santis. – Rio de Janeiro:UFRJ/Escola

Politécnica,2018.

X,57 p.:il.; 29,7 cm

Orientador: Claudio Alexis Rodríguez Castillo

Projeto de Graduação – UFRJ/Escola

Politécnica/Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2018

Referências Bibliográficas: p.73-73

1.Amortecimento Roll 2. Hidrodinâmica 3. FPSO

I. Alexis Rodríguez Castillo, Claudio II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politénica,

Curso de Engenharia Naval. III. Título

3



Rafael Torres de Santis

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE

ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS

NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DE GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL.

Examinado por:

Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.

(Orientador)

Prof. Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc.

(Examinador)

Prof. Marcelo de Almeida Santos Neves, D.Sc.

(Examinador)

Mauro Costa de Oliveira, D.Sc.

(Examinador)

Rio de Janeiro, RJ - Brasil

Março de 2018

4

Dedico esse trabalho a Deus e a

minha família, que me guiaram e

apoiaram em todas as decisões

desde o início da minha vida. Sem

eles nada disso seria possível.

5

Agradecimentos

Agradeço à Deus em primeiro lugar por ter me iluminado e abençoado nessa jornada

durante a minha vida acadêmica.

Aos meus pais, Rita e José Fernando, agradeço pelo amor, por me proteger e dar carinho

em todos os momentos, transmitindo felicidade e os valores que levo hoje comigo. À minha

irmã, Julia Maria, pelo amor, amizade e conselhos. À toda minha família, especialmente minha

avó Angelina que me ama e representa todo amor que existe nessa família. A distância durante

esses anos foi difícil, mas o carinho e amor por vocês é o mesmo.

Agradeço à Manuela Meneghelli pela companhia, alegria, amor e carinho.

Agradeço aos meus amigos de São Carlos e aos amigos que fiz no Rio de Janeiro durante

esses anos.

Agradeço ao meu orientador, Claudio Castillo, pelo ensinamento transmitido ao longo

desses anos, que mesmo estando em Portugal não mediu esforços para me auxiliar, aconselhar

e corrigir.

Agradeço ao Diretor Executivo do LabOceano, Paulo de Tarso, que junto com o Claudio

me deu a oportunidade de usufruir da estrutura do laboratório, além de transmitir ensinamentos

ao longo das disciplinas no curso de Engenharia Naval.

Agradeço ao Mauro Costa, que transmitiu conhecimentos ao longo de nossas reuniões

do grupo de estabilidade.

Ao Professor Marcelo Neves agradeço pelos conhecimentos transmitidos ao longo do

curso e das reuniões.

Também integrantes do grupo de estabilidade, agradeço ao Bruno Kassar e Luis Coelho,

que desenvolveram os programas utilizados nesse trabalho e me auxiliaram com todas as

dúvidas em relação ao uso dos programas. À Flávia Monteiro que também faz parte desse

projeto.

Por fim agradeço à Universidade Federal do Rio de Janeiro e ao LabOceano.

6

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos

requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.

Investigação e Análise da parcela de Vórtice do Coeficiente de Amortecimento de Roll em

FPSOs

Rafael Torres de Santis

Março/2018

Orientador: Prof. Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.

Curso: Engenharia Naval e Oceânica

Embarcações do tipo FPSO – Floating Production, Storage and Offloading – são

utilizadas de maneira muito frequente no Brasil para exploração do pré-sal. O comportamento

deste tipo de embarcação no mar é muito importante para que a unidade possa operar com

segurança e conforto para seus tripulantes. Para capturar esses movimentos e otimizar projetos,

alguns coeficientes hidrodinâmicos precisam ser obtidos. Métodos de predição de

amortecimento de roll tem sido muito estudados para embarcações convencionais, porém, sua

predição é difícil de ser feita devido aos efeitos viscosos que atuam durante esse movimento.

Esse trabalho tem como objetivo verificar se os métodos de análise experimental conseguem

capturar de maneira correta os coeficientes de amortecimento. Além disso, o método proposto

por Ikeda será testado quanto a sua aplicabilidade em alguns tipos de FPSO. A partir de uma

combinação dos resultados experimentais e do método de predição, a parcela de vórtice do

amortecimento de roll será analisada separadamente.

Palavras – chave: Amortecimento de Roll, Hidrodinâmica, Efeitos Viscosos, Vórtices, FPSO.

7

Sumário

1 Introdução ........................................................................................................................... 8

1.1 Motivação .................................................................................................................... 8

1.2 Objetivo ....................................................................................................................... 9

2 Revisão Bibliográfica ....................................................................................................... 10

2.1 Equação do Movimento ............................................................................................. 10

2.1.1 Equação Movimento de Roll Desacoplada ......................................................... 12

2.1.2 Normalização e Solução da Equação de Decaimento de Roll Desacoplada ...... 13

2.2 Modelos de Amortecimento ....................................................................................... 15

2.2.1 Modelo de Amortecimento Linear ..................................................................... 16

2.2.2 Modelo de Amortecimento Não-Linear ............................................................. 16

2.3 Análise Experimental do Amortecimento de Roll ..................................................... 18

2.3.1 Decremento Logarítmico .................................................................................... 19

2.3.2 Método da Energia (Froude²) ............................................................................. 23

2.4 Predição do Amortecimento de Roll .......................................................................... 26

2.4.1 Amortecimento Friccional .................................................................................. 28

2.4.2 Amortecimento de Vórtices ................................................................................ 30

2.4.3 Amortecimento de Lift ........................................................................................ 33

2.4.4 Amortecimento de Ondas ................................................................................... 35

2.4.5 Amortecimento de Bolinas ................................................................................. 37

2.4.6 Amortecimento total ........................................................................................... 40

3 Proposta de Trabalho ........................................................................................................ 41

4 Resultados ......................................................................................................................... 41

4.1 Casco A ...................................................................................................................... 43

4.2 Casco B ...................................................................................................................... 61

5 Conclusão ......................................................................................................................... 73

6 Bibliografia ....................................................................................................................... 74

8

1 Introdução

Os modelos reduzidos são fundamentais para transmissão de informações. Para o escopo

deste trabalho estamos interessados principalmente em modelos de medição, que são usados

para obtenção de dados de projeto e/ou operação de sistemas reais, seguindo leis de semelhança

para suas propriedades e condições ambientais.

Os principais objetivos de um teste com modelos em escala reduzida são:

Obter dados relevantes de projeto para verificação do desempenho da unidade

flutuante;

Validar e calibrar métodos numéricos;

Obter melhor entendimento dos problemas físicos.

No Brasil podemos citar o Laboratório de Tecnologia Oceânica –LabOceano, que está

capacitado para prestar serviços em Hidrodinâmica Experimental e que em convênio com a

Petrobras já realizou diversos projetos para análise hidrodinâmica de FPSOs.

1.1 Motivação

Este trabalho está inserido no contexto de busca por métodos de predição do

amortecimento de roll para embarcações do tipo FPSO para que análises hidrodinâmicas

possam ser realizadas e assim o projeto deste tipo de unidade possa ser otimizado. Com um

vasto leque de ensaios realizados no LabOceano com plataformas deste tipo, será possível

verificar a aplicação de um dos métodos de predição mais tradicional.

Este trabalho é de grande importância tendo em vista a segunda geração da análise de

estabilidade em navios, proposta pela IMO, onde os coeficientes de amortecimento de roll são

utilizados.

Em fase inicial de um projeto realizar ensaios com modelos reduzidos não é ideal tendo

em vista que muitas mudanças poderão ocorrer ao longo do projeto, portanto uma maneira

adequada para computar o amortecimento de roll deve ser utilizada, recorrendo assim aos

métodos de predição.

9

1.2 Objetivo

O teste de decaimento de roll é o principal objetivo deste trabalho, pois a partir dele

podemos obter os valores do amortecimento de roll para os modelos ensaiados. O teste consiste

em aplicar um ângulo de roll na unidade flutuante e em seguida liberar a unidade para que ela

oscile livremente. A partir dos ensaios de decaimento e com um método de predição do

amortecimento de roll, vamos propor uma análise da parcela de vórtice que compõe o

amortecimento afim de validar o método de predição proposto por Ikeda [1].

A partir de agora precisamos entender a física que rege os movimentos de uma unidade

flutuante e identificar modelos matemáticos que se ajustam a essa dinâmica.

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Teste de Decaimento em Roll

Figura 1 – Série temporal decaimento de Roll com ângulo inicial de 20°.

10

2 Revisão Bibliográfica

Neste capitulo serão abordados temas como a Equação do movimento em unidades

flutuantes, Modelos de amortecimento de roll e Análise experimental em ensaios de

decaimento.

2.1 Equação do Movimento

Para definir completamente o movimento de um navio é necessário considerar-se seis

graus de liberdade, sendo três movimentos translacionais e três movimentos rotacionais, como

pode ser observado na Figura 2:

Figura 2 - Movimentos de um navio nos seis graus de liberdade.

Os movimentos podem ser divididos em dois tipos:

Não – Restaurativos: movimentos de translação nos eixos x, y e rotação em torno do

eixo z, ou seja, movimentos de Surge, Sway e Yaw respectivamente, que não produzem

nenhuma força ou momento de origem hidrostática. Para que esses movimentos sejam

restaurados é necessário que uma força ou momento externo seja aplicado, como linhas

de ancoragem, amarração ou posicionamento dinâmico.

Restaurativos: movimentos de translação em torno do eixo z e rotações em torno dos

eixos x, y, ou seja, os movimentos de Heave, Roll e Pitch respectivamente, que

produzem uma força ou momento de origem hidrostática.

11

Portanto a análise dos movimentos de um navio é semelhante a um sistema massa-mola-

amortecedor, ou seja, a embarcação oscila livremente sobre a ação das forças de inércia,

amortecimento, restauração e em alguns casos de forças externas. As forças externas podem ser

nulas, como no caso de um teste de decaimento (escopo deste trabalho) ou não-nulas, sofrendo

excitação de ondas, correntes, ventos, etc.

Abaixo temos a equação do movimento para os seis graus de liberdade em um navio:

(𝑚𝑖𝑗 + 𝐴𝑖𝑗)�̈�𝑗 + 𝐵𝑖𝑗�̇�𝑗 + 𝐶𝑖𝑗𝜂𝑗 = 𝐹𝑗(𝑡); 𝑖, 𝑗 = 1… ,6 (1)

A partir da equação acima é possível notar um conjunto de equações diferenciais

acopladas de um sistema massa mola com seis graus de liberdade e identifica-se fisicamente

cada elemento da equação.

Para os movimentos translacionais os termos �̈�𝑗 , �̇�𝑗 𝑒 𝜂𝑗 representam a aceleração linear,

velocidade linear e deslocamento linear respectivamente, já para os movimentos rotacionais os

termos são aceleração angular, velocidade angular e deslocamento angular respectivamente.

O termo 𝑚𝑖𝑗�̈�𝑗 representa a força inercial que temos a partir da primeira Lei de Newton,

onde para os movimentos translacionais temos a massa multiplicando a aceleração linear e para

os movimentos rotacionais temos a inércia de massa multiplicando a aceleração angular.

De maneira análoga, o termo 𝐴𝑖𝑗�̈�𝑗 representa também uma força inercial (inércia do

fluído), no entanto essa força tem origem hidrodinâmica. Esse termo tem origem quando um

navio se movimenta aceleradamente na água, ao contrário disso, essa força é nula. Sendo assim

o termo 𝐴𝑖𝑗 é conhecido como massa adicional e depende da frequência de oscilação do corpo.

Para o termo 𝐵𝑖𝑗�̇�𝑗 nota-se que semelhante ao sistema massa-mola-amortecedor, o termo

𝐵𝑖𝑗 multiplica uma velocidade, representando assim uma força de amortecimento. Em um navio

esse termo de amortecimento pode ter origem a partir da dissipação de energia pelas ondas

geradas pelo seu movimento oscilatório e também por uma parcela de origem viscosa, que

influencia principalmente no movimento de roll.

Os termos 𝐶𝑖𝑗𝜂𝑗 representam a restauração dos movimentos e estão diretamente

associados aos deslocamentos aplicados. Temos que relembrar que alguns dos termos de

restauração são nulos para os casos de Surge, Sway e Yaw como discutidos anteriormente.

Os termos 𝐹𝑗(𝑡) representam as forças de excitação externas que são aplicadas em cada

grau de liberdade.

12

2.1.1 Equação Movimento de Roll Desacoplada

Como observado no capítulo anterior os movimentos de um navio podem ser muito

complexos quando trabalhados nos seis graus de liberdade, portanto neste trabalho utilizaremos

a equação desacoplada do movimento de roll, ou seja, estamos assumindo que os outros graus

de liberdade não estão influenciando de maneira significativa o movimento de roll.

Como o movimento de roll é um movimento angular, será feito o somatório dos

momentos que atuam no flutuante quando aplicado um ângulo θ:

∑𝑀𝑥 = 𝐼𝑥�̈� (2)

Relembrando o que foi apresentado, temos um momento de origem hidrodinâmica

proporcional a aceleração angular (𝐴44 ∗ �̈�), um momento de amortecimento proporcional a

velocidade angular (𝐵44 ∗ �̇�), um momento de restauração hidrostática proporcional ao

deslocamento angular (𝐶44 ∗ 𝜃) e ainda um momento de excitação (M44).

O momento de restauração hidrostática é obtido quando a unidade flutuante é inclinada,

deslocando o centro de carena (ponto geométrico onde o empuxo é aplicado) e com isso temos

um binário de forças com um braço de endireitamento que irá gerar um momento para que a

embarcação retorne a sua posição original.

Figura 3 - Momento de restauração.

13

Na Figura 3 é possível observar o momento de restauração gerado pela inclinação, que

será dado pela multiplicação do deslocamento (Δ) e do braço de endireitamento (GZ):

𝑀𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜 = Δ ∗ 𝐺𝑍̅̅ ̅̅ (3)

O braço de endireitamento GZ pode ser obtido através da identidade trigonométrica

observada na Figura 3 e para o caso de pequenos ângulos de inclinação o valor de sen (θ) pode

ser aproximado por θ:

𝑀𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑢𝑟𝑎çã𝑜 = Δ ∗ 𝐺𝑀̅̅̅̅̅ ∗ 𝑠𝑒𝑛(θ) = Δ ∗ 𝐺𝑀̅̅ ̅̅̅ ∗ 𝜃 = 𝐶44 ∗ 𝜃 (4)

Portanto o coeficiente de restauração hidrostática é dado por 𝐶44 = Δ ∗ 𝐺𝑀. O

coeficiente de amortecimento de roll (B44) será abordado mais à frente, e o coeficiente de massa

adicional será obtido através do software WAMIT (Teoria dos Painéis).

Sendo assim, de forma genérica, o somatório dos momentos que atuam durante uma

oscilação em torno do eixo x, será dado por:

𝑀44 − 𝐴44�̈� − 𝐵44�̇� − 𝐶44𝜃 = 𝐼44�̈� (5)

Agora com equação do movimento de roll desacoplada, é possível adaptá-la ao ensaio

de decaimento de roll, onde temos um momento de excitação nulo e o valor do coeficiente de

restauração hidrostática é conhecido:

(𝐼44 + 𝐴44)�̈� + 𝐵44�̇� + Δ𝐺𝑀̅̅̅̅̅𝜃 = 0 (6)

2.1.2 Normalização e Solução da Equação de Decaimento de Roll Desacoplada

Costumeiramente quando o amortecimento em embarcações é analisado, utiliza-se a

forma normalizada da equação do movimento, e para isso é necessário dividir a Equação (6)

pelo termo (𝐼44 + 𝐴44):

�̈� +

𝐵44(𝐼44 + 𝐴44)

�̇� +Δ𝐺𝑀̅̅̅̅̅

(𝐼44 + 𝐴44)𝜃 = 0

(7)

14

Da analogia com o sistema massa-mola-amortecedor, podemos obter a frequência

natural do sistema (ωn) e o amortecimento critico (Bc) e assim simplificar ainda mais a Equação

(7):

𝜔𝑛 = √Δ𝐺𝑀̅̅̅̅̅

(𝐼44 + 𝐴44)

(8)

𝐵𝑐 = 2(𝐼44 + 𝐴44)𝜔𝑛 (9)

𝜁 =

𝐵

𝐵𝑐

(10)

Com isso, a equação do movimento de roll de forma normalizada é dada por:

�̈� + 2𝜁𝜔𝑛�̇� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (11)

Ou ainda:

�̈� + 𝑝�̇� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (12)

Onde ‘p’ representa o amortecimento de forma normalizada: 𝑝 = 2𝜁𝜔𝑛 =𝐵44

(𝐼44+𝐴44)

Para a solução da equação de roll será utilizada a seguinte resposta:

𝜃(𝑡) = 𝐶𝑒𝜆𝑡 (13)

Derivando a resposta acima:

�̇�(𝑡) = 𝐶𝜆𝑒𝜆𝑡 (14)

�̈�(𝑡) = 𝐶𝜆2𝑒𝜆𝑡 (15)

Substituindo (13),(14) e (15) na Equação (12), temos a seguinte equação característica:

𝜆2 + 𝑝𝜆 + 𝜔𝑛2 = 0 (16)

15

Resolvendo a Equação (16), e assumindo que estamos no regime subcrítico (0< ζ <1),

as duas soluções possíveis são:

𝜆1 = −𝑝

2+ 𝑖√𝜔𝑛2 − (

𝑝

2)2

(17)

𝜆2 = −𝑝

2− 𝑖√𝜔𝑛

2 − (𝑝

2)2

(18)

A solução final será dada pela soma das duas soluções possíveis:

𝜃(𝑡) = 𝐶1𝑒𝜆1𝑡 + 𝐶2𝑒

𝜆2𝑡 = 𝐶1𝑒(−𝑝2+𝑖√𝜔𝑛

2−(𝑝2)2)𝑡+ 𝐶2𝑒

(−𝑝2−𝑖√𝜔𝑛

2−(𝑝2)2)𝑡

(19)

𝜃(𝑡) = 𝐶𝑒−𝑝2𝑡 [𝑐𝑜𝑠 (√𝜔𝑛2 − (

𝑝

2)2

𝑡 + 𝛽)]

(20)

Agora com a solução para a Equação de decaimento de roll, é necessário obter o valor

da constate C e do ângulo de fase β, que serão determinados a partir das condições iniciais do

teste de decaimento, que são dadas pelo ângulo de roll inicial [𝜃(0) = 𝜃0] e velocidade angular

inicial [�̇�(0) = 0].

Portanto a solução final para a Equação do movimento de roll em um teste de

decaimento é dada por:

𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑒−𝑝2𝑡 [𝑐𝑜𝑠 (√𝜔𝑛2 − (

𝑝

2)2

𝑡)]

(21)

2.2 Modelos de Amortecimento

Até o momento foi desenvolvida uma análise matemática para a equação do movimento

de roll sem uma abordagem das características do amortecimento, ou seja, do termo B44 ou ‘p’

na sua forma normalizada.

Portanto neste capítulo será feito um detalhamento do termo de amortecimento da

equação do movimento de roll, que de maneira geral poderá ser escrita como:

16

�̈� + 𝑝(𝜃)̇ + 𝜔𝑛2𝜃 = 𝑀(𝑡) (22)

É possível notar que o termo normalizado do amortecimento (p) não foi escrito como na

Equação (12). Agora o amortecimento é tratado como um termo dependente da velocidade

angular do movimento de roll. Em termos gerais o amortecimento pode ser escrito como:

𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝑝3�̇�3 (23)

2.2.1 Modelo de Amortecimento Linear

É o caso abordado desde o início deste trabalho e que foi utilizado para desenvolver as

soluções para o decaimento de roll, onde o amortecimento depende apenas da velocidade

angular do movimento, ou seja, o termo p1 é não nulo e os termos p2 e p3 são nulos, com isso a

Equação (23) se reduz a:

𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� = 𝑝�̇� (24)

O modelo linear de amortecimento não será utilizado neste trabalho, mas a sua

contribuição é muito importante para o entendimento da solução da equação do decaimento e

posteriormente será utilizada de maneira análoga para a solução do modelo não-linear.

2.2.2 Modelo de Amortecimento Não-Linear

O caso não-linear de amortecimento é utilizado para o amortecimento de roll

principalmente para capturar os efeitos viscosos que governam o movimento. A diferença de

pressão que ocorre no casco devido a forma da embarcação (desprendimento de vórtices) ou a

presença de bolinas são alguns dos exemplos que contribuem para um amortecimento não-

linear, sendo assim, se faz necessário um modelo de amortecimento adequado. Nos capítulos

posteriores uma análise mais detalhada da contribuição de cada parcela do amortecimento será

demonstrada.

Portanto, o modelo de amortecimento não-linear pode ser utilizado de forma completa,

com os termos p1, p2 e p3 não nulos, ou apenas com uma combinação dos termos. Para este

trabalho será utilizada uma formulação de amortecimento com os termos linear (p1) e quadrático

(p2), ou seja, apenas o termo cúbico (p3) será considerado nulo. Spouge [6] comprovou através

de experimentos que nos casos em que foram utilizados apenas p1 e p2, a reprodução do

decaimento ficou melhor do que em casos onde o termo cúbico foi utilizado. Com isso o

amortecimento será descrito da seguinte maneira:

17

𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| (25)

Substituindo a formulação do amortecimento não-linear (25), na Equação (22):

�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝜔𝑛2𝜃 = 𝑀(𝑡) (26)

Amortecimento Equivalente

Devido as dificuldades de análise da equação do movimento com o amortecimento não-

linear, é necessário linearizar o amortecimento, e para isso utilizamos um amortecimento linear

equivalente:

𝑝(𝜃)̇ = 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| = 𝑝𝑒�̇� (27)

Portanto a maneira mais utilizada é assumir que a energia dissipada pelo amortecimento

em um meio ciclo do movimento de roll é semelhante quando se utiliza o amortecimento linear

e não-linear, como pode ser observado em (27). Assumindo ainda que a excitação e o

movimento de resposta da embarcação são funções harmônicas com frequência angular ω, a

solução será:

𝜃(𝑡) = 𝜃0cos (𝜔𝑡) (28)

Com isso:

�̇�(𝑡)|�̇�(𝑡)| = −𝜃0𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|−𝜃0𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)| = −𝜃02𝜔2𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)| (29)

É possível ainda escrever a função 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|, como uma série de Fourier:

𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)|𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)| =

8

3𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + ∑

8

𝜋(𝑛 + 2)𝑛(𝑛 − 2)

∞

3,5,…

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡)

(30)

A expressão acima pode ser aproximada utilizando apenas o primeiro termo da série de

Fourier, e substituindo-o na Equação (29):

18

�̇�(𝑡)|�̇�(𝑡)| ≈ −𝜃0

2𝜔28

3𝜋𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) =

8

3𝜋𝜃0𝜔�̇�(𝑡)

(31)

Substituindo (31) na Equação (26), a equação do movimento de roll pode ser

aproximada por:

�̈� + [𝑝1 + 𝑝2

8𝜃0𝜔

3𝜋]�̇� + 𝜔𝑛

2𝜃 = 𝑀(𝑡) (32)

Sendo assim, o termo normalizado do amortecimento equivalente é dado por:

𝑝𝑒 = 𝑝1 + 𝑝2

8𝜃0𝜔

3𝜋= 𝑝1 + 𝑝2

16

3𝑇𝜃0

(33)

Essa linearização do amortecimento de roll será muito importante para as análises

experimentais deste trabalho e que serão descritas no próximo tópico.

2.3 Análise Experimental do Amortecimento de Roll

A análise experimental do amortecimento de roll tem se tornado uma importante

ferramenta para equipes de projeto, tentando otimizar formas, reduzir custos de construção e

operação, reduzir movimentos indesejáveis dentro de um flutuante, etc. Mesmo com o avanço

nos estudos sobre este tema, os ensaios experimentais ainda são utilizados com muita

frequência, apesar dos altos custos.

Assim sendo, para capturar os coeficientes de amortecimento de uma embarcação, é

preciso criar um modelo, ter sistemas de medição de posicionamento, um tanque adequado para

realização dos testes e além disso é necessário saber lidar com os dados fornecidos pelos

sistemas de medição.

Esse tópico tem como objetivo apresentar a maneira como os dados fornecidos pelos

sistemas de medição serão utilizados. Nesse trabalho dois métodos serão utilizados para a

captura dos coeficientes de amortecimento de roll, que são: Método do Decremento

Logarítmico e Método da Energia.

É importante deixar claro que dentro de cada método existem diferentes algoritmos (meio

ciclo, ciclo inteiro, ângulo inicial, ângulo médio, etc.), ou seja, a física utilizada para um método

é a mesma sempre, mas o algoritmo utilizado pode ser diferente. Isso ficará mais claro ao longo

do desenvolvimento de cada método, onde serão abordados os diferentes algoritmos que podem

ser utilizados e qual se adapta melhor aos ensaios deste trabalho.

19

2.3.1 Decremento Logarítmico

O método do decremento logarítmico será um dos métodos utilizados para a obtenção

dos coeficientes de amortecimento não-linear p1 e p2. Para isso será analisada a parte

exponencial da solução do caso linear obtida em (21). Definindo θk como o ângulo de roll no

instante tk e θk+2 como o ângulo de roll no instante tk +Tk, onde Tk é o período de roll amortecido,

então:

𝜃𝑘 = 𝜃(𝑡𝑘) = 𝜃0𝑒−𝑝2𝑡𝑘

(34)

𝜃𝑘+2 = 𝜃(𝑡𝑘+2) = 𝜃0𝑒−𝑝2(𝑡𝑘+𝑇𝑘)

(35)

Dividindo θk por θk+2:

𝜃𝑘𝜃𝑘+2

=𝜃0𝑒

−𝑝2𝑡𝑘

𝜃0𝑒−𝑝2(𝑡𝑘+𝑇𝑘)

= 𝑒𝑝2𝑇𝑘

(36)

Assim é possível definir o decremento logarítmico em cada ciclo como:

𝛿𝑘 = ln (

𝜃𝑘𝜃𝑘+2

) = 𝑙𝑛 (𝑒𝑝2𝑇𝑘) =

𝑝

2𝑇𝑘

(37)

-15

-7,5

0

7,5

15

0 100 200 300 400

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll𝜃0

𝜃2𝜃4 𝜃6 𝜃8

𝜃1𝜃3

𝜃5𝜃7

Tk

𝑇𝑘2

Gráfico 1 - Exemplo decaimento de roll, capturando os valores de θ para o método do decremento logarítmico.

20

Com isso, a partir de um ciclo de uma série experimental, podemos definir o

amortecimento da oscilação a partir do decremento logarítmico. Vale ressaltar que a solução

encontrada para se obter o amortecimento em cada ciclo (37) foi feita através de uma análise

de um amortecimento linear, ou seja, como para este trabalho o amortecimento é considerado

não-linear, o termo ‘p’ deve ser substituído pelo amortecimento equivalente ‘pe’:

𝑝𝑒 =

2𝛿𝑘𝑇𝑘 =

2

Tkln (

𝜃𝑘𝜃𝑘+2

) (38)

E assim o valor de p1 e p2 pode ser obtido utilizando-se as Equações (33) e (38):

𝑝𝑒 =

2𝛿𝑘𝑇𝑘 =

2

Tkln (

𝜃𝑘𝜃𝑘+2

) = 𝑝1 + 𝑝216

3𝑇𝑘𝜃𝑘

(39)

Na Equação (39) é possível notar que o termo θ0 (oriundo da Equação (33)) foi

substituído pelo termo θk, isso ocorre pois agora em cada ciclo do ensaio é como se houvesse

novas condições de contorno, ou seja, a cada novo ciclo o termo do decremento logarítmico e

o ângulo inicial são recalculados. Com isso é possível reescrever a equação do movimento de

roll para o teste de decaimento:

�̈� + [𝑝𝑒(𝜃𝑘)]�̇� + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (40)

Ou ainda:

�̈� + [𝑝1 + 𝑝2

16

3𝑇𝜃𝑘]�̇� + 𝜔𝑛

2𝜃 = 0 (41)

Desse modo, para encontrar os coeficientes p1 e p2 por este método, basta plotar um

gráfico 𝑝𝑒 =2𝛿𝑘

𝑇𝑘 𝑥

16

3𝑇𝜃𝑘 , e ajustar um polinômio de grau 1 (uma reta). O coeficiente angular

da reta ajustada (inclinação) fornecerá o valor do amortecimento quadrático p2 e o coeficiente

linear da reta ajustada (ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas) fornecerá o valor do

amortecimento linear p1.

No Gráfico 1 é possível notar uma série de decaimento de roll teórica que foi gerada a

partir de valores de p1 e p2 conhecidos, sendo eles 0.001 e 0.005 respectivamente.

Já no Gráfico 2 o método do decremento logarítmico foi aplicado, plotando os pontos

(2𝛿𝑘

𝑇𝑘 ,16

3𝑇𝜃𝑘) oriundos da série de decaimento teórico do Gráfico 1.

21

É possível notar que os valores obtidos, pelo método do decremento logarítmico, para

os coeficientes de amortecimento p1 e p2 foram 0.001 e 0.005 respectivamente.

Este exemplo mostra que o método do decremento logarítmico é capaz de recuperar os

valores dos coeficientes de amortecimento quando uma série de roll teórica é gerada, no entanto

este método tem um problema intrínseco. Quando o ensaio parte de ângulos pequenos ou chega

no final das oscilações, quantidades pequenas são divididas 𝜃𝑘

𝜃𝑘+2 , estas divisões de pequenos

valores associadas a erros de medição geram dispersão dos pontos do Gráfico 2, e isso acarreta

em dificuldade para se obter de maneira adequada os valores dos coeficientes de

amortecimento.

Agora serão apresentados diferentes algoritmos para o método do decremento

logarítmico. Lembrando que o método é o mesmo, e tem o mesmo objetivo de se obter os

valores de p1 e p2, a diferença ocorre em como os dados são utilizados dentro do método.

Para este método uma diferença importante está relacionada a utilização de um ciclo

inteiro (Tk) para fazer a análise, ou apenas meio ciclo (Tk/2). A utilização de métodos de meio

ciclo é adequada para casos com um grande amortecimento (geralmente cascos com bolina)

e/ou ensaios com pequena aquisição de dados. Para o caso com amortecimentos pequenos

(cascos sem bolinas) as diferenças entre os ângulos extremos (crista e vale) são pequenas e isso

gera incertezas na medição do amortecimento equivalente, sendo assim, para os casos com

amortecimentos pequenos é mais adequado que se utilize um algoritmo de ciclo inteiro para

que a diferença entre os extremos (duas cristas) possa ser capturada e o amortecimento

equivalente seja obtido de maneira mais precisa.

y = 0,0050x + 0,0010R² = 1,0000

0,000

0,004

0,008

0,012

0,016

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

Método do Decremento Logarítimico

𝟏𝟔

𝟑𝑻𝜽𝒌 [grau/s]

Gráfico 2 - Exemplo para obtenção dos valores de p1 e p2 a partir do decremento logarítmico.

22

Para o caso de ciclo inteiro é possível ainda utilizar somente cristas (θ0, θ2, θ4, θ6...),

somente vales (θ1, θ3, θ5, θ7...) ou ainda uma combinação de cristas e vales (θ0, θ2, θ1, θ3, θ4,

θ6...).

É importante deixar claro que a mudança de algoritmo pode acarretar em diferentes

valores de p1 e p2. Apesar do método ser o mesmo, os diferentes algoritmos utilizam pontos

experimentais diferentes e assim o ajuste pode ser diferente.

Para casos teóricos como o exemplo apresentado no Gráfico 2, as diferenças entre os

algoritmos são insignificantes. No entanto, para casos experimentais reais, como pode ser

observado no Gráfico 3 e Gráfico 4, essas diferenças podem ser grandes e isso pode ocorrer

devido as incertezas na medição. Nota-se que no exemplo anterior existe uma grande dispersão

dos pontos quando estamos trabalhando com meio ciclo com ajuste R² muito menor.

Sendo assim, é essencial que o algoritmo seja escolhido a partir do tipo de ensaio e dos

dados obtidos pelo sistema de aquisição, verificando qual deles se adapta melhor aos dados.

-5

-2,5

0

2,5

5

0 100 200 300 400 500

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll - Experimento real

Gráfico 3 - Série de decaimento de roll em experimentos reais.

23

2.3.2 Método da Energia (Froude²)

Uma segunda abordagem para determinar os coeficientes de amortecimento é feita a

partir do balanço energético. Existem diversas propostas baseadas no balanço de energia, mas

nesse trabalho será utilizado o método desenvolvido por Froude em 1872, que diz que a energia

dissipada pelo termo do amortecimento em um ciclo é igual a diferença de energia potencial

nos extremos de um ciclo, uma vez que nestas posições a energia cinética é nula.

Utilizando então o método de Froude, e considerando que o amortecimento é composto

por um termo linear e um termo quadrático, então a equação do movimento para um teste de

decaimento de roll pode ser escrita por:

�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝜔𝑛2𝜃 = 0 (42)

Realizando o balanço energético, considerando os extremos em um ciclo completo:

∫ [�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�| + 𝜔𝑛

2𝜃]𝑑𝜃𝑇

0

= 0 (43)

y = 0,0058x + 0,0005R² = 0,8011

y = 0,0050x + 0,0009R² = 0,2375

0,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

Método do Decremento Logarítimico

Ciclo inteiro (+)

Meio Ciclo

𝟏𝟔

𝟑𝑻𝜽𝒌 [grau/s]

Gráfico 4 – Exemplo método decremento logarítmico para diferentes algoritmos.

24

Como 𝑑𝜃 = �̇�𝑑𝑡:

∫ [�̈� + 𝑝1�̇� + 𝑝2�̇�|�̇�|]𝑇

0

�̇�𝑑𝑡 + ∫ 𝜔𝑛2𝜃𝑑𝜃

𝜃𝑘+2

𝜃𝑘

= 0 (44)

Integrando a Equação (44):

∫ �̈��̇�𝑑𝑡𝑇

0

= 0 (45)

∫ 𝑝1�̇��̇�𝑑𝑡𝑇

0

=2𝑝1𝜋

2

𝑇𝜃02

(46)

∫ 𝑝2�̇�|�̇�|�̇�𝑑𝑡𝑇

0

=𝑝232𝜋

2

3𝑇2𝜃03

(47)

∫ 𝜔𝑛

2𝜃𝑑𝜃𝜃𝑘+2

𝜃𝑘

= 𝜔𝑛2 [𝜃𝑘+22

2−𝜃𝑘2

2 ] = 𝜔𝑛

2(𝜃𝑘+2 − 𝜃𝑘)(𝜃𝑘+2 + 𝜃𝑘)

2

(48)

Substituindo as integrais na Equação (44) e rearranjando tem-se:

𝑝12𝜋2

𝑇𝜃02 +

𝑝232𝜋2

3𝑇2𝜃03 = 𝜔𝑛

2(𝜃𝑘+2 − 𝜃𝑘)(𝜃𝑘+2 + 𝜃𝑘)

2

(49)

Assumindo que 𝜔𝑛 =2𝜋

𝑇 , onde T é o período natural, e que a diferença entre duas cristas

é dada por 𝛿𝜃𝑘, então:

𝑝1𝑇

2𝜃02 +

𝑝28

3𝜃03 = 𝛿𝜃𝑘

(𝜃𝑘+2 + 𝜃𝑘)

2

(50)

25

Como observado anteriormente, o valor das condições inicias vão se atualizando a cada

ciclo, sendo assim é possível generalizar a Equação (50) fazendo 𝜃0 =(𝜃𝑘+2+𝜃𝑘)

2= 𝜃𝑚 :

𝛿𝜃𝑘 =

𝑝1𝑇

2𝜃𝑚 +

𝑝28

3𝜃𝑚2

(51)

Com isso uma maneira para se obter os valores de p1 e p2 é plotando um gráfico com os

pontos (𝜃𝑚 , 𝛿𝜃𝑘), onde θm é dado pela média de dois extremos consecutivos em um ciclo e δθk

é dado pela diferença de dois extremos consecutivos em um ciclo. Feito isso, um polinômio de

segundo grau, do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, deve ser ajustado e os valores dos coeficientes de

amortecimento podem ser obtidos da seguinte maneira:

𝑝1 =

2𝑎

𝑇 ; 𝑝2 =

3𝑏

8

(52)

Retornando para o Gráfico 1, e utilizando o método da energia, vamos tentar recuperar

os valores teóricos de p1 e p2 que foram utilizados para se obter a série de roll. No Gráfico 5 um

polinômio de segundo grau foi ajustado a partir dos extremos da série de decaimento de roll

teórica, obtendo o valor de a = 0.0132 e b = 0.0153. Substituindo os valores de ‘a’ e ‘b’ em (52)

encontra-se o valor de p1 = 0.001 e p2 = 0.005.

Sendo assim, o método da energia também se mostra muito eficaz quando utilizado para

se obter o valor dos coeficientes de amortecimento de uma série de roll. Ao contrário do método

y = 0,0132x2 + 0,0153xR² = 1,0000

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0,00 4,00 8,00 12,00 16,00

Método a Energia (Froude²)

𝜽𝒎 [grau]

Gráfico 5 - Exemplo para obtenção dos valores de p1 e p2 a partir do Método da Energia (Froude²).

26

do decremento logarítmico, o método da energia é capaz de capturar o valor dos coeficientes

de amortecimento quando o ensaio parte de um ângulo pequeno de roll ou chega nas suas

oscilações finais com ângulos pequenos.

De maneira semelhante ao método do decremento, é possível trabalhar com o método

da energia utilizando um algoritmo de meio ciclo. No entanto os mesmos cuidados devem ser

tomados para não gerar muita dispersão ao analisar um decaimento real.

A análise a partir dos diferentes algoritmos é semelhante ao caso do decremento

logaritmo. Para casos reais e com pequenos amortecimentos (cascos sem bolina), como o

exemplo apresentado no Gráfico 6, o método de ciclo inteiro se torna mais adequado. As

pequenas diferenças que ocorrem entre meio ciclo podem gerar 𝛿𝜃𝑘muito pequenos, fazendo

com que o ajuste fique ruim devido as dispersões que podem ocorrer. Nota-se no ajuste de meio

ciclo do Gráfico 6 que existem pontos muito próximos de zero, indicando que a diferença entre

os ângulos de uma crista e um vale são muito pequenas.

Para casos reais onde o amortecimento é mais acentuado (cascos com bolinas) ou em

ensaios de pequena aquisição de dados, o algoritmo de meio ciclo pode ser utilizado.

2.4 Predição do Amortecimento de Roll

A teoria da predição dos movimentos de uma embarcação é um dos avanços nas pesquisas

relacionadas a hidrodinâmica. Movimentos de heave e pitch podem ser previstos com uma

acurácia razoável sem a necessidade de se realizar testes em modelos.

No entanto, a predição dos movimentos de roll não são tão simples como nos casos

anteriores. Os movimentos de roll são extremamente sensíveis aos efeitos viscosos, que

y = 0,0173x2 + 0,0135xR² = 0,9684

y = 0,0075x2 + 0,0101xR² = 0,7000

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00

Método da Energia (Froude²)

Ciclo Inteiro (+)

Meio Ciclo

𝜽𝒎 [grau]

Gráfico 6 - Exemplo método energia (Froude²) para diferentes algoritmos.

27

induzem separação do escoamento, e além disso é um movimento muito afetado pela presença

de bolinas.

No início dos estudos do movimento de roll sabia-se apenas que o amortecimento de roll

era causado pelos fenômenos do escoamento do fluido, que eram descritos como amortecimento

friccional no casco, desprendimento de vórtices, formação de ondas na superfície, etc. E como

mencionado anteriormente o amortecimento era muito influenciado pela presença de bolinas,

leme e apêndices no casco.

Neste capitulo será apresentado um método de predição do amortecimento de roll que foi

desenvolvido por Ikeda [1]. Para esse método de predição, foi utilizado uma grande variedade

de cascos de embarcações para que a predição pudesse ser comparada e validada.

Inicialmente assumiu-se que o coeficiente de amortecimento de roll para cascos comuns

pode ser dividido em sete componentes, que são elas: Friccional, Vórtices, Lift, Ondas, Força

normal na bolina, Pressão no casco devido a bolina e Ondas devido a bolina. Em termos do

coeficiente equivalente pode ser escrito como:

𝐵𝑒 = 𝐵𝐹 + 𝐵𝐸 + 𝐵𝐿 + 𝐵𝑊 + 𝐵𝐵𝐾𝑁 + 𝐵𝐵𝐾𝐻 + 𝐵𝐵𝐾𝑊 (53)

Os termos devido a bolina podem ser agrupados e a Equação (53) pode ser reescrita como:

𝐵𝑒 = 𝐵𝐹 + 𝐵𝐸 + 𝐵𝐿 + 𝐵𝑊 + 𝐵𝐵𝐾 (54)

Embora os coeficientes sejam aparentemente lineares, os valores podem variar com a

amplitude do movimento de roll (θ) e a frequência (ω). Para esse estudo, os efeitos dos

apêndices não serão considerados, exceto para o caso do leme e das bolinas. Para o caso do

leme, a sua contribuição está incluída na parcela de amortecimento do casco.

No método proposto por Ikeda [1], as interações que ocorrem entre as componentes foram

desprezadas em alguns casos e em outros mensuradas e incluídas dentro de uma das

componentes. Por exemplo:

O amortecimento friccional BF é causado pela interação do casco com o fluido durante o

movimento de roll, e pode ser influenciado pela presença de ondas ou das bolinas.

O amortecimento de vórtices BE é basicamente não-linear, causado pela variação de

pressão no casco nu, excluindo os efeitos das ondas e das bolinas.

Para o amortecimento de ondas BW, que é causado pela formação de ondas na superfície

livre, existe interação com vórtices e com a arrasto, no entanto essas interações são muito

pequenas, permitindo que o amortecimento de ondas seja considerado linear.

Como foi observado anteriormente a parcela de bolinas BBK tem interação com a parcela

de ondas e com o casco que são representadas por BBKW e BBKH respectivamente.

28

Cada uma das componentes tem sua parcela de contribuição no amortecimento de roll,

sendo quase todas da mesma ordem de grandeza (exceto para BF e BBKW), dificultando assim a

predição. Como será detalhado adiante, os termos BL, BW e BBKW são tratados como

amortecimento não viscoso, enquanto que os outros termos têm contribuição viscosa no

amortecimento.

Para a análise das componentes individualmente, o subscrito 0 será utilizado para casos

com velocidade de avanço nula. O sobrescrito ‘ será utilizado para indicar valores no plano

transversal. Além disso, o eixo de rotação (eixo de roll) passa pelo centro de gravidade. A seguir

será feita uma breve descrição das componentes do amortecimento, baseado no método Ikeda

[1].

2.4.1 Amortecimento Friccional (BF)

Para a predição do amortecimento friccional, o efeito das ondas é ignorado e

consideramos o navio com é considerado uma forma equivalente a um corpo simétrico. Em

seguida as leis de escoamento permanente em uma placa foram aplicadas para o movimento de

roll do corpo.

Para a velocidade de avanço nula, foi utilizada a formulação de Blasius para um

escoamento laminar e a formulação de Hughes para escoamento turbulento em um cilindro

circular. Com isso o amortecimento equivalente ficou dado por:

𝐵𝐹0 = 0.787𝜌𝑆𝑟𝑠2√𝜔𝜈⏟

1

{1 + 0.00814 (𝑟𝑠2𝜃2𝜔

𝜈)

0.386

⏟ 2

}

(55)

Onde ρ e ω representam a massa especifica e viscosidade cinemática do fluido. O

primeiro termo da Equação (55) fornece o resultado para o caso de escoamento laminar, que

deve ser usado para o casco nu (sem bolinas) e números de Reynolds correspondentes ao regime

laminar (casco na escala do modelo, por exemplo). A segunda parcela da Equação (55) fornece

a modificação para o caso de escoamento turbulento, e pode ser aplicada para cascos na escala

real, ou bolinas (também na escala real).

29

Os valores de S e rs são adaptados para cascos de navio do tipo convencional e

representam a área molhada e raio de roll respectivamente, e foram definidos como:

𝑆 = 𝐿(1.7𝑑 + 𝐶𝐵𝐵) (56)

𝑟𝑠 =

1

𝜋{(0.887 + 0.145𝐶𝐵)

𝑆

𝐿− 2𝑂𝐺 }

(57)

Os símbolos L, d, B e CB representam o comprimento, calado, boca e coeficiente de bloco

respectivamente. A distância vertical da origem até o centro de gravidade, OG, é medida

considerando o valor positivo para baixo.

Os resultados obtidos pela Equação (55) foram comparados com os resultados obtidos

através da solução da Equação de Stokes para o caso laminar e os resultados ficaram muito

parecidos. Em seguida, Ikeda confirmou a aplicação prática da formulação, fazendo testes em

cilindros bidimensionais com seções semelhantes à de navios.

Na presença de velocidade de avanço, a mesma análise foi utilizada, mas dessa vez com

uma análise mais rigorosa sobre os efeitos tridimensionais no cilindro.

Figura 4 - Componente Friccional do amortecimento de roll. (Fonte: Adaptado de [1])

30

𝐵𝐹 = 𝐵𝐹0 (1 + 4.1

𝑈

𝜔𝐿)

(58)

Onde U representa a velocidade de avanço da embarcação e a constante 4.1 foi obtida

experimentalmente em testes de oscilação de roll com esferoides alongados. O coeficiente BF0

representa o amortecimento friccional com velocidade de avanço nula, que foi obtido

anteriormente. Vale ressaltar que para o caso com velocidade de avanço quando a frequência

tende a zero, a formulação tende a valores infinitos de BF, gerando uma inconsistência nesse

ponto de análise.

Contudo, esse método de previsão do amortecimento friccional pode ser aplicado de

maneira segura a navios reais pois a proporção entre o amortecimento friccional e o

amortecimento total, geralmente é muito pequena. Devido aos efeitos de escala, os valores

observados são inversamente proporcionais a λ0.75, onde λ representa o fator de escala. Com

isso, os valores do amortecimento friccional em um casco real são aproximadamente 20~30

vezes menor que no modelo.

2.4.2 Amortecimento de Vórtices (BE)

O amortecimento por vórtices é escopo principal desse trabalho, tendo em vista que todo

trabalho será desenvolvido para obter resultados desta parcela para navios do tipo FPSO

(Floating Production, Storage and Offloading).

Na ausência de velocidade de avanço, essa componente existe devido a separação do

escoamento no fundo da embarcação, principalmente na região de popa, proa e no raio de bojo

próximo a seção de meia nau. A queda de pressão na região de separação do escoamento dá

origem a esse amortecimento.

Como inicialmente esta parcela de amortecimento era tratada de maneira similar ao

coeficiente de arrasto, e este varia com a amplitude de oscilação, Ikeda investigou se o

coeficiente de amortecimento por vórtices também variava com a amplitude de oscilação. Para

isso, experimentos com cilindros bidimensionais e com seções semelhantes a de navios foram

realizados. Nos testes, o amortecimento por vórtices era medido subtraindo o amortecimento

de ondas e o amortecimento friccional do amortecimento total. Esta mesma abordagem será

usada para tentar caracterizar o amortecimento de vórtices a partir de resultados experimentais

com cascos de FPSOs (velocidade de avanço nula) para condições sem bolina.

Com isso ficou comprovado que o amortecimento por vórtices tem coeficiente constante

no caso de oscilações de roll, conforme observado na Figura 5.

31

Após a realização dos testes experimentais, Ikeda propôs uma formulação para fazer a

predição da parcela de vórtice, essa formulação é escrita em termos de um coeficiente

bidimensional de uma seção do navio, dada por:

𝐵′𝐸0 =

4

3𝜋𝜌𝑑4𝜔𝜃 (

𝑟𝑚𝑎𝑥𝑑)2

. 𝐹 (𝑅

𝑑, 𝐻0, 𝜎,

𝑂𝐺

𝑑) . 𝐶𝑝

(59)

Onde d, rmax, R, H0, σ e OG são respectivamente: calado, máxima distância do ponto G

até a superfície do casco, raio de bojo, metade da razão entre a boca e o calado, coeficiente de

área da seção e distância do ponto O até o ponto G. A função F pode ser determinada pelas

características do casco e o coeficiente Cp pode ser obtido pela máxima taxa relativa de

velocidade no casco. A função F e o coeficiente Cp são obtidos da seguinte maneira:

𝐶𝑝 = 0.5[0.87𝑒−𝛾 − 4𝑒−0.187𝛾 + 3] (60)

𝑓1 = 0.5[1 + 𝑡𝑎𝑛ℎ{20(𝜎 − 0.7)}] (61)

𝑓1 = 0.5[1 − 𝑐𝑜𝑠𝜋𝜎] + 1.5[1 − 𝑒{−5(1−𝜎)}]𝑠𝑒𝑛2𝜋𝜎 (62)

Figura 5 - Parcela de Vórtice do amortecimento de roll para a seção de meia nau CM=0,997. (Fonte: Adaptado de [1])

32

A razão de incremento de velocidade γ pode ser escrita como:

𝛾 =

√𝜋𝑓3

2𝑑 (1 −𝑂𝐺𝑑)√𝐻0

′𝜎′(𝑟𝑚𝑎𝑥 +

2𝑀

𝐻√𝐴2 + 𝐵2)

(63)

Os valores de M, H, H0’, σ’ A, B e rmax são obtidos por:

𝑀 =𝐵

2(1 + 𝑎1 + 𝑎3, 𝐻0

′ =𝐻0

1 −𝑂𝐺𝑑

, 𝜎′ =𝜎 −

𝑂𝐺𝑑

1 −𝑂𝐺𝑑

(64)

𝐻 = 1 + 𝑎12 + 9𝑎3

2 + 2𝑎1(1 − 3𝑎3)cos2ψ − 6a3𝑐𝑜𝑠4𝜓 (65)

𝐴 = −2𝑎3𝑐𝑜𝑠5𝜓 + 𝑎1(1 − 𝑎3)𝑐𝑜𝑠3𝜓 + {(6 − 3𝑎1)𝑎32 + (3𝑎1 + 𝑎1

2)𝑎2 + 𝑎12}𝑐𝑜𝑠𝜓 (66)

𝐵 = −2𝑎3𝑠𝑒𝑛5𝜓 + 𝑎1(1 − 𝑎3)𝑠𝑒𝑛3𝜓 + {(6 − 3𝑎1)𝑎32 + (3𝑎1 + 𝑎1

2)𝑎2 + 𝑎12}𝑠𝑒𝑛𝜓 (67)

𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝑀[{(1 + 𝑎1)𝑠𝑒𝑛𝜓 − 𝑎3𝑠𝑒𝑛3𝜓}

2 + {(1 − 𝑎1)𝑐𝑜𝑠𝜓 + 𝑎3𝑐𝑜𝑠3𝜓}2]12

(68)

𝜓 = {

0 = 𝜓1, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓1) ≥ 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓2)

1

2cos−1

𝑎1(1 + 𝑎3)

4𝑎3= 𝜓2, 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓1) < 𝑟𝑚𝑎𝑥(𝜓2)

(69)

𝑓3 = 1 + 4𝑒{−1.65𝑥105(1−𝜎)2} (70)

Após obter o coeficiente de amortecimento de vórtice bidimensional é necessário integrar

esse coeficiente ao longo do comprimento do navio e assim obter o valor total do coeficiente

de amortecimento de vórtice.

Na presença de velocidade de avanço, os vórtices se afastam do navio ao longo do

escoamento e isso resulta em diminuição do amortecimento não linear. Ikeda realizou testes

para verificar o comportamento desta parcela quando o navio tem velocidade de avanço não

nula e notou que existe uma dependência com a forma do casco, mais precisamente com a razão

de aspecto do casco.

Nos experimentos realizados foi possível observar que o valor de BE tende a um valor

constante para o caso da placa plana, mas que isso depende da razão de aspecto, como

mencionado anteriormente. Para corpos com razão de aspecto semelhantes a de um navio, o

valor de BE tende a zero. O comportamento desta parcela na presença de velocidade de avanço,

para uma placa plana e para um navio, pode ser observado na Figura 6.

33

A partir disso Ikeda propôs a seguinte formulação para a parcela de vórtice na presença

de velocidade de avanço:

𝐵𝐸 = 𝐵𝐸0

0.04𝜔2𝐿2

𝑈2 + 0.04𝜔2𝐿2

(71)

Logo, a parcela de vórtice para um casco sem bolina só prevalece quando a velocidade

de avanço é nula. Na presença de velocidade de avanço essa parcela de amortecimento decresce

rapidamente, podendo até ser desconsiderada para velocidades de avanço elevadas.

2.4.3 Amortecimento de Lift (BL)

Esta parcela do amortecimento só aparece quando o navio tem velocidade de avanço e

com isso uma força lateral age no casco gerando um amortecimento de roll. Para formular o

amortecimento por lift foi utilizado uma abordagem semelhante a utilizada para

Figura 6 - Efeito da velocidade na parcela de vórtice. (Fonte: Adaptado de [1])

34

manobrabilidade de navios, onde o momento de amortecimento causado pelo efeito de lift pode

ser expresso da seguinte maneira:

𝑀𝐿 =

1

2𝜌𝐿𝑑𝑈𝑘𝑁𝑙0𝑙𝑅�̇�

(72)

Onde kN, l0 e lR representam respectivamente, a derivada do coeficiente de lift quando o

casco é rebocado obliquamente, ângulo de incidência no casco e distância do ponto O até o

centro de aplicação da força de lift. O valor de kN pode ser obtido da seguinte maneira:

𝑘𝑁 =

2𝜋𝑑

𝐿+ 𝑘(

4.1𝐵

𝐿− 0.045)

(73)

𝑘 = {0, 𝐶𝑀 ≤ 0.920.1, 0.92 ≤ 𝐶𝑀 ≤ 0.97 0.1, 0.97 ≤ 𝐶𝑀 ≤ 0.99

(74)

Ikeda modificou os valores originais, propondo uma formulação que pudesse se adequar

a casos onde o centro de roll não passe pelo ponto O:

𝐵𝐿 =

1

2𝜌𝐿𝑑𝑈𝑘𝑁𝑙0𝑙𝑅 [1 − 1.4

𝑂𝐺

𝑙𝑅+ 0.7

𝑂𝐺

𝑙0𝑙𝑅]

(75)

Figura 7 - Soma do amortecimento de Vórtice e amortecimento de Lift. (Fonte: Adaptado de [1])

35

Para se obter os valores do amortecimento de lift experimentalmente, modelos foram

rebocados com uma baixa frequência, desprezando assim o amortecimento de ondas como pode

ser observado na Figura 7. Com o amortecimento total em baixas frequências, a parcela

friccional foi subtraída do valor total, restando apenas o amortecimento de lift e de vórtices.

Como observado anteriormente para altas velocidades o valor do amortecimento de vórtices se

torna nulo.

Ikeda concluiu que a componente de lift é linear, independente da frequência e

proporcional a velocidade de avanço, sendo a principal parcela quando em velocidades altas.

Essa proposta não é adequada para casos onde a razão entre o calado e a boca é muito pequena

e condições de lastro.

2.4.4 Amortecimento de Ondas (BW)

Para o caso com velocidade de avanço nula, essa componente pode ser obtida

facilmente, utilizando a teoria das faixas ou resolvendo numericamente o problema de onda

para um casco tridimensional. Pela teoria das faixas, o amortecimento de onda para uma seção

do navio pode ser calculado pela solução do problema de onda bidimensional:

𝐵𝑊0′ = 𝜌𝑁𝑆(𝑙𝑊 − 𝑂𝐺)

2 (77)

𝑙0 = 0.3𝑑 , 𝑙𝑅 = 0.5𝑑 (76)

Figura 8 – Parcela do amortecimento de ondas medida pelo problema da radiação de ondas. (Fonte: Adaptado de [1])

36

Onde NS e lW representam o coeficiente de amortecimento de sway e o braço de alavanca

medido do ponto O até o ponto de aplicação da força de amortecimento de sway

respectivamente.

Embora seja impossível medir o amortecimento de ondas experimentalmente, é possível

relacionar o amortecimento em ondas com a razão onda-amplitude oriundos da radiação. Como

observado na Figura 8, o resultado da formulação proposta se ajusta muito bem ao experimento

realizado. Portanto em casos de velocidade de avanço nula a predição do amortecimento em

ondas pode ser calculada com boa acurácia.

Ao contrário do caso anterior, em presença de velocidade de avanço, grandes

dificuldades são encontradas para tratar do amortecimento de ondas. Ikeda calculou a energia

perdida devido a um dipolo horizontal e comparou com resultados experimentais para placas

planas. A partir dessas análises uma formulação empírica foi feita para se obter o

amortecimento de ondas com velocidade de avanço:

𝐵𝑊𝐵𝑊0

= 0.5[{(𝐴2 + 1) + (𝐴2 − 1) tanh(20𝜏 − 𝑏)} + (2𝐴1 − 𝐴2 − 1)𝑒{−150(𝜏−0.25)^2}] (78)

Onde

𝐴1 = 1 + 𝜉𝑑−1.2𝑒−2𝜉𝑑

𝐴2 = 0.5 + 𝜉𝑑−1𝑒−2𝜉𝑑

𝜉𝑑 =𝜔2𝑑

𝑔 , 𝜏 =

𝑈𝜔

𝑔 }

(79)

Figura 9 - Efeito da velocidade de avanço na componente de ondas. (Fonte: Adaptado de [1])

37

Apesar da boa aderência da predição ao experimento apresentado na Figura 9, essa

proposta tem uma limitação na sua aplicação, não sendo adequada para casos com pequena

razão entre o calado e a boca da embarcação.

2.4.5 Amortecimento de Bolinas (BBK)

Esta parcela do amortecimento aparece apenas em navios que possuem bolinas

instaladas em seu casco e geralmente é a parcela dominante do amortecimento total. Não está

relacionada apenas ao amortecimento que as bolinas geram, mas também com os efeitos da

interação entre bolinas, casco e ondas. Além disso é dependente da amplitude e frequência do

movimento.

Como observado anteriormente o amortecimento de bolinas pode ser divido em três

diferentes partes:

2.4.5.1 Amortecimento Normal na Bolina (BBKN)

Para o cálculo desta parcela de amortecimento, novamente foi utilizada uma analogia

com o coeficiente de arrasto. Dessa maneira, Ikeda incialmente utilizou placas planas para

realizar os experimentos e em seguida ampliou esta análise para cilindros com seção transversal

semelhante à de navios e com a presença de bolinas.

A formulação proposta por Ikeda é dada por:

𝐵𝐵𝐾𝑁0′ =

8

3𝜋𝜌𝑟2𝑏𝐵𝐾

2 𝜔𝑓²{22.5

𝜋𝑓⏟1

+ 2.4𝑟𝜃

𝑏𝐵𝐾⏟ 2

}

(80)

𝑓 = 1 + 0.3𝑒{−160(1−𝜎)} (81)

Onde bBK, r, σ, representam respectivamente a área da bolina, a distância média do ponto

G (centro de gravidade) até a bolina e o coeficiente de área da seção do navio. O termo ‘f’

representa um coeficiente de incremento de velocidade que foi obtido empiricamente.

É possível notar que o primeiro termo da Equação (80) é independente da amplitude do

movimento, apresentando aparentemente um termo linear. De maneira simplificada, uma

parcela do termo não linear é transferida para o termo linear.

Para o caso com velocidade de avanço Yuasa realizou experimentos e propôs a seguinte

formulação:

𝐵𝐵𝐾𝑁 = 𝐵𝐵𝐾𝑁0 +𝜋

2𝜌𝑏𝐵𝐾

2 𝑟²𝑈 (82)

38

Para o caso com velocidade de avanço, nota-se um leve aumento desta parcela em casos

com altas velocidades e uma pequena diminuição quando em velocidades baixas. Com isso,

devido às dificuldades para mensurar a real influência da velocidade nesta parcela, os efeitos

com velocidade de avanço são desprezados.

Na Figura 10 é possível notar que a formulação proposta por Ikeda se ajustou muito bem

aos ensaios realizados em diferentes amplitudes de movimento, comprovando a dependência

desta parcela com a amplitude do movimento, como mencionado anteriormente.

2.4.5.2 Amortecimento de Pressão no Casco devido a Bolina (BBKH)

Essa é uma parcela que corresponde a uma parte do amortecimento de vórtices, devido

a interação entre o casco e a bolina, no entanto Ikeda propôs calcular esses efeitos

separadamente. Essa parcela tem grande importância pois ela altera a distribuição de pressão

no casco na região próximo a bolina.

Ikeda inicialmente realizou experimentos na ausência de velocidade de avanço para

verificar a distribuição de pressão no casco devido a presença da bolina, e assim propôs a

seguinte formulação:

Figura 10 - Componente de amortecimento devido a força normal na bolina. (Fonte: Adaptado de [1])

39

𝐵𝐵𝐾𝐻0 =

4

3𝜋𝜌𝑟²𝑑²𝜔𝜃𝑓²𝐼

(83)

𝐼 =

1

𝑑²∫𝐶𝑝𝑙0𝑑𝑆

(84)

Onde Cp representa o coeficiente de pressão, l0 o braço de alavanca em relação ao centro

de rotação. O valor da integral na Equação (84) é determinada em função do formato do casco

e do parâmetro de período de movimento. Essa integral pode incluir não somente os termos não

lineares de segunda ordem, mas também termos de ordens maiores, que podem contribuir, mas

de maneira muito pequena.

Devido as dificuldades de medir a influência desta parcela separadamente, esse

amortecimento foi obtido retirando-se a parcela de ondas, e assim o resultado obtido é composto

pela parcela BBKH e BBKN juntas e que foram comparadas com os resultados experimentais como

pode ser observado na Figura 11.

Estudos com velocidade de avanço para essa parcela não foram realizados, mas por

analogia ao caso da força normal, assume-se que o amortecimento irá reduzir um pouco.

Figura 11 - Efeito da bolina no amortecimento de roll. (Fonte: Adaptado de [1])

40

2.4.5.3 Amortecimento de Ondas devido a Bolina (BBKW)

Essa parcela do amortecimento é causada pela geração de ondas devido a presença da

bolina. Takaki realizou experimentos em busca de resultados para essa componente, e

encontrou que os valores para a teoria linear se adequam aos experimentos em casos de

pequenas oscilações. Para experimentos realizados com grandes amplitudes de movimento os

resultados experimentais não são bem representados, e isso ocorre devido aos efeitos não

lineares.

Portanto para casos com bolina 60 a 80 vezes menor que a boca da embarcação, o efeito

de ondas devido a presença de bolina pode ser desprezado, pois as contribuições são muito

inferiores aos efeitos de amortecimento viscoso gerado pela bolina.

Logo, concluímos que a parcela de amortecimento correspondente a bolina é composta

apenas pelas duas parcelas mencionadas anteriormente.

2.4.6 Amortecimento total

Com isso para se obter o amortecimento total basta somar todas as parcelas de

amortecimento explicitadas anteriormente como na Equação (54).

41

3 Proposta de Trabalho

Como este trabalho tem o objetivo principal de verificar a parcela de vórtices do

amortecimento de roll em um FPSO, o mesmo processo adotado por Ikeda [1] será utilizado.

A partir dos ensaios realizados no Laboratório de Tecnologia Oceânica – LabOceano, com

modelos sem velocidade de avanço e sem bolinas, os coeficientes de amortecimento total serão

obtidos a partir do método da energia e do método do decremento logarítmico, como

apresentado em 2.3.

Após isso, a parcelas friccional será calculada como apresentado no capítulo 2.4.1. Já a

parcela de ondas será calculada pela teoria potencial, usando o método dos painéis (WAMIT),

a partir dos modelos computacionais dos respectivos cascos.

Com o amortecimento total estimado a partir dos experimentos (testes de decaimento), as

parcelas friccional e de ondas serão descontadas, restando apenas a parcela de vórtices. Com a

parcela de vórtices ‘empírica’ iremos comparar com a parcela de vórtice calculada de acordo

com a metodologia descrita na seção 2.4.2, verificando assim se existe uma boa predição do

método Ikeda para um casco do tipo FPSO. Ou seja:

𝐵𝑉ó𝑟𝑡 𝐸𝑚𝑝í𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐵𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙⏟ 𝑂𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒

−𝐵𝐹𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙⏞ 𝑃𝑟𝑒𝑑𝑖çã𝑜 𝐼𝑘𝑒𝑑𝑎

−𝐵𝑂𝑛𝑑𝑎𝑠⏞ 𝑊𝐴𝑀𝐼𝑇

(85)

O amortecimento total experimental é obtido através da linearização dos coeficientes p1

e p2 obtidos através dos métodos experimentais. A linearização é feita a partir da Equação (33),

que foi obtida para o amortecimento.

42

4 Resultados

Neste capitulo as características e resultados dos modelos serão explicitadas. Os modelos

utilizados foram devidamente calibrados no LabOceano e testes de decaimento foram

realizados para que os movimentos angulares de roll pudessem ser capturados e analisados.

Dois cascos distintos de FPSO serão analisados nesse trabalho. O casco A representa os

novos modelos de FPSO, que são projetados para a exploração de petróleo no mar. O casco B

representa os modelos antigos de FPSO, que foram convertidos a partir de navios tanques e,

portanto, tem forma completamente diferente dos cascos ‘nova construção’.

Neste ponto é importante ressaltar as ferramentas utilizadas para este trabalho. Alguns

códigos foram desenvolvidos em parceria entre LabOceano (COPPE-UFRJ), CENPES e

TecGraf para:

Análise dos experimentos de decaimento (DampFit);

Análise da predição Ikeda (WMG – Ikeda).

Além disso, programas já consolidados para geração de malha (MG) e cálculo de

estabilidade (SSTAB) foram utilizados neste trabalho.

43

4.1 Casco A

Representa os novos modelos de FPSO’s, que são projetados, por exemplo, para operar

no pré-sal.

As dimensões principais são dadas por:

Casco A

Loa [m] 322.0

Lpp [m] 320.0

B [m] 54.3

T [m] 21.6

Deslocamento [ton] 327936.0

GM [m] 2.8

KG [m] 20.3

KM [m] 23.1

Cb 0.85

Cm 0.99

Área molhada 28051.8

A44 [ton.m²] 33906048.1

Ixx [ton.m²] 157584129.2

Período Natural [s] 29.1

Figura 12 - Modelo FPSO nova construção. (Fonte: LabOceano-Cenpes)

Tabela 1 - Dados Casco A. (Fonte: LabOceano –Cenpes)

44

Este modelo foi preparado no LabOceano e ensaios de decaimento para três diferentes

ângulos iniciais foram realizados:

Ângulo Inicial 5°:

A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 13, o Método do Decremento

Logarítmico e Método da Energia foram utilizados para calcular o valor de p1 e p2:

-5,00

-2,50

0,00

2,50

5,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Figura 13 - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 5°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).

y = 0,3283x + 0,0005R² = 0,7491

0,0000

0,0030

0,0060

0,0000 0,0075 0,0150

Decremento Logarítimico

𝟏𝟔

𝟑𝑻𝜽𝒌 [°/s]

Figura 14 - Método decremento logarítmico ensaio 5°.

45


-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

y = 0,9731x2 + 0,0017xR² = 0,9572

0,0000

0,0030

0,0060

0,0000 0,0400 0,0800

Método Energia (Froude²)

𝜽𝒎 [°]

Figura 15 - Método energia (Froude²) ensaio 5°.


46


Logarítmico e Método da Energia foram utilizados para calcular o valor de p1 e p2:


y = 0,3368x + 0,0004R² = 0,7764

0,0000

0,0040

0,0080

0,0000 0,0100 0,0200

Decremento Logarítmico

𝟏𝟔



y = 0,9707x2 + 0,0017xR² = 0,9699

0,0000

0,0050

0,0100

0,0000 0,0600 0,1200


𝜽𝒎 [°]

47



Logarítmico e Método da Energia Foram utilizados para calcular o valor de p1 e p2:

-15,00

-7,50

0,00

7,50

15,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


y = 0,3338x + 0,0004R² = 0,7702

0,0000

0,0045

0,0090

0,0000 0,0125 0,0250


𝟏𝟔



48

Com os ajustes realizados pelos algoritmos experimentais citados acima, os coeficientes

de amortecimento total para o ensaio são:

Tabela 2 - Resumo Coeficientes de Amortecimento e Ajuste R².

5° 10° 15°


Energia (Froude²)


Energia (Froude²)


Energia (Froude²)

p1 [1/s] 0.0005 0.00051 0.0004 0.0001 0.0004 0.0001

p2 [1/rad] 0.3283 0.3649 0.3368 0.3640 0.3338 0.3518

B1 [ton.m²/s 22907.2 88468.5 81191.8 22485.8 71617.3 25999.6

B2 [ton.m²/rad²] 62872161.4 69874358.8 64489870.4 69707475.1 63913868.0 67360547.5

R² 0.7491 0.9572 0.7764 0.9699 0.7702 0.9781

Como pode ser observado na Tabela 2, os valores obtidos pelo método do decremento

logarítmico não possuem um bom ajuste aos pontos experimentais (R² inferior a 0.8). Isso

ocorre devido a dispersão dos pontos experimentais que principalmente no final das oscilações

e pode ser observado na Figura 14, Figura 17 e Figura 20.

Para os valores obtidos pelo método da energia, é possível notar um bom ajuste aos

pontos experimentais, com valores R² bem próximos a 1. Mais à frente vamos verificar os

valores do amortecimento em relação a serie temporal.

y = 0,9381x2 + 0,0019xR² = 0,9781

0,0000

0,0080

0,0160

0,0000 0,0700 0,1400


𝜽𝒎 [°]


49

Com o amortecimento total capturado experimentalmente, o próximo passo é realizar a

predição a partir do método apresentado na seção 2.4. Para o cálculo das parcelas do método de

predição, o programa desenvolvido pela TecGraf foi utilizado.

Como o método de predição não depende do ângulo inicial, o mesmo resultado foi

obtido para os três ângulos iniciais utilizados no Casco A.

No Gráfico 7 é possível notar que as componentes friccional e de ondas obtidas são

praticamente invariáveis com a amplitude de movimento e que seus valores são muito inferiores

a parcela de vórtice.

A partir da predição das componentes do amortecimento de roll é possível obter o valor

do amortecimento total e em seguida ajustar uma reta para se obter o valor do coeficiente de

amortecimento linear (B1) e do coeficiente de amortecimento não linear (B2). O valor total do

amortecimento pode ser observado no Gráfico 7.

Predição Amortecimento

p1 [1/s] 0.00004

p2 [1/rad] 0.14492

B1 [ton.m²/s 7951.4

B2 [ton.m²/rad²] 27749932.2

0,0

1,0

2,0

0 5 10 15 20 25

B [

ton

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Predição Amortecimento de Roll

B Friccional

B Ondas

B Vórtices

B Total

Gráfico 7 - Componentes obtidas através da predição do amortecimento de roll.

Tabela 3 - Coeficientes de Amortecimento Predição Ikeda.

50

Com o valor dos coeficientes de amortecimento para o método do decremento, da

energia e pela predição, vamos agora substituir os valores obtidos na Equação do Movimento e

verificar se a série temporal gerada por esses coeficientes estão compatíveis com o valor obtido

no ensaio para cada ângulo inicial.


-5,00

-2,50

0,00

2,50

5,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Experimento Decremento Logarítmico

-5,00

-2,50

0,00

2,50

5,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Experimento Método Energia (Froude²)

Figura 22 - Experimento vs. Decremento Logaritimico.

Figura 23 - Experimento vs. Método da Energia (Froude²).

51


-5,00

-2,50

0,00

2,50

5,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Experimento Predição Ikeda

Figura 24 - Experimento vs. Predição Ikeda.

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


Figura 25 - Experimento vs. Decremento Logarítmico.

52

Figura 26 - Experimento vs. Método Energia (Froude²).


-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Experimento Método da Energia (Froude²)

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


53


-15,00

-7,50

0,00

7,50

15,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


Figura 28 - Experimento vs. Método Decremento Logarítmico.

-15,00

-7,50

0,00

7,50

15,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


Figura 29 - Experimento vs. Método da Energia (Froude²).

54

-15,00

-7,50

0,00

7,50

15,00

0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 800,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll



55

Tabela 4 - Resumo dos erros nas séries temporais de decaimento de roll.

5° 10° 15°


Energia (Froude²)

Predição Ikeda


Energia (Froude²)

Predição Ikeda


Energia (Froude²)

Predição Ikeda

Erro 0.1274 0.1268 0.6215 0.1525 0.1344 1.3182 0.3401 0.3176 1.8501

Erro % 3% 3% 12% 2% 1% 13% 2% 2% 12%

Como é possível observar na Tabela 4 os coeficientes capturados pelos métodos

experimentais estão reproduzindo adequadamente os decaimentos, com erros inferiores a 3%.

Ao contrário dos métodos experimentais, os coeficientes obtidos pela predição não estão

reproduzindo os ensaios de decaimento adequadamente, gerando erros de até 13%.

Analisando o amortecimento total em função da amplitude do movimento, é possível

notar que a predição realizada está subestimando os valores do amortecimento, principalmente

para amplitudes de movimento maiores. Esse comportamento independe do ângulo inicial do

decaimento e pode ser observado na Figura 31, Figura 32 e Figura 33.

0,0

0,6

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7

B T

ota

l [t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Amortecimento Total - Ângulo Inicial 5°

Predição Ikeda Método Decremento - Experimental Método Energia - Experimental

Figura 31 - Amortecimento total em função da amplitude de movimento.

56

Como observado nos gráficos e tabelas apresentados anteriormente, apesar dos valores

de B1 e B2 capturados pelos métodos do decremento e da energia terem valores absolutos

diferentes, ambos reproduzem o amortecimento total de maneira similar. O método da energia

se mostrou um pouco mais eficiente em relação ao método do decremento logarítmico, para os

experimentos desse casco, com diferenças em torno de 0,2% entre os métodos experimentais.

Tendo a certeza de que os valores do amortecimento obtidos através dos experimentos

estão corretos, vamos agora investigar a parcela de vórtice. Esta parcela será calculada

0,0

1,3

2,5

0 2 4 6 8 10 12

B T

ota

l [t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]


Predição Ikeda Método Decremento - Experimental Método da Energia - Experimental

Figura 32 – Amortecimento total em função da amplitude de movimento.

0,0

2,5

5,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

B T

ota

l [t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]


Predição Ikeda Método Decremento - Experimental Método Energia - Experimental


57

subtraindo as parcelas friccional e de ondas para cada ângulo de roll, como apresentado na

Equação (85).

A seguir o procedimento para se obter a parcela de vórtice empiricamente será

demonstrado através da Tabela 5 para o caso com amplitude inicial igual a 5° e extrapolando

os resultados até uma amplitude de 20° e utilizando o amortecimento total obtido através do

método do decremento logarítmico.

Para os casos com amplitude inicial de 10° e 15° o mesmo procedimento foi adotado,

portanto apenas os gráficos serão apresentados.

58

Angle [°] B Total B waves (Predição) B Fric (Predição) B eddy (Empirico)

2 490584.1 356.6 7594.7 482632.7

2.5 591113.0 356.6 7594.7 583161.6

3 691641.9 356.6 7594.7 683690.5

3.5 792170.8 356.6 7594.7 784219.4

4 892699.7 356.6 7594.7 884748.3

4.5 993228.6 356.6 7594.7 985277.2

5 1093757.5 356.6 7594.7 1085806.1

5.5 1194286.4 356.6 7594.7 1186335.0

6 1294815.3 356.6 7594.7 1286863.9

6.5 1395344.2 356.6 7594.7 1387392.8

7 1495873.1 356.6 7594.7 1487921.8

7.5 1596402.0 356.6 7594.7 1588450.7

8 1696930.9 356.6 7594.7 1688979.6

8.5 1797459.9 356.6 7594.7 1789508.5

9 1897988.8 356.6 7594.7 1890037.4

9.5 1998517.7 356.6 7594.7 1990566.3

10 2099046.6 356.6 7594.7 2091095.2

10.5 2199575.5 356.6 7594.7 2191624.1

11 2300104.4 356.6 7594.7 2292153.0

11.5 2400633.3 356.6 7594.7 2392681.9

12 2501162.2 356.6 7594.7 2493210.8

12.5 2601691.1 356.6 7594.7 2593739.7

13 2702220.0 356.6 7594.7 2694268.6

13.5 2802748.9 356.6 7594.7 2794797.5

14 2903277.8 356.6 7594.7 2895326.4

14.5 3003806.7 356.6 7594.7 2995855.3

15 3104335.6 356.6 7594.7 3096384.2

15.5 3204864.5 356.6 7594.7 3196913.1

16 3305393.4 356.6 7594.7 3297442.1

16.5 3405922.3 356.6 7594.7 3397971.0

17 3506451.2 356.6 7594.7 3498499.9

17.5 3606980.2 356.6 7594.7 3599028.8

18 3707509.1 356.6 7594.7 3699557.7

18.5 3808038.0 356.6 7594.7 3800086.6

19 3908566.9 356.6 7594.7 3900615.5

19.5 4009095.8 356.6 7594.7 4001144.4

20 4109624.7 356.6 7594.7 4101673.3

B Total obtido pelo Decremento Logarítmico [ton.m²/s]

Tabela 5 - Cálculo da Parcela de Vórtice Empírica.

59

Comparando os valores obtidos, temos:

Figura 35 - Parcela de Vórtice - Empírico vs. Predição Ikeda - Amplitude Inicial 10°.

0,0

2,5

5,0

0 5 10 15 20

B V

órt

ice

s[t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Parcela de Vórtice Empírico - MétodoDecremento (FaixaExperimental)

Empírico - MétodoDecremento (FaixaExtrapolada)

Empírico - MétodoEnergia (FaixaExperimental)

Empírico - MétodoEnergia (FaixaExtrapolada)

Predição Ikeda


0,0

2,5

5,0

0 5 10 15 20

B V

órt

ice

s[t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Parcela de Vórtice Empírico - MétodoDecremento (FaixaExperimental)




Predição Ikeda

60

Como é possível observar na Tabela 5, as parcelas friccional e de ondas tem uma

contribuição muito pequena em relação ao amortecimento total, fazendo com que o

amortecimento total seja composto quase que inteiramente pelo amortecimento de vórtices.

Com o aumento da amplitude de movimento a parcela de vórtice tende a aumentar ainda mais,

prejudicando a predição pelos métodos citados no capítulo 2.4.

Com os resultados obtidos e analisando a série temporal de roll é possível observar que

os coeficientes obtidos pela predição não estavam sendo capazes de amortecer o decaimento

comparando com a série de decaimento experimental. Isso ocorreu pois a parcela de vórtices

está com sua predição comprometida através do método Ikeda, como é possível observar nas

figuras Figura 34, Figura 35 e Figura 36. Esses resultados estão de acordo com os resultados

obtidos por Chakrabarti [2], onde foi comprovado que barcaças que possuem entradas na popa

e na proa e com grande coeficiente de seção de meia nau, não se adequam ao método de predição

proposto originalmente por Ikeda. Isso ocorre, pois, esse tipo de casco tem uma liberação de

vórtices muito acentuada nas regiões de popa e proa, o que não foi previsto no método Ikeda

pois cascos do tipo barcaça não foram utilizados na formulação original do método.

Recentemente em 2002, Ikeda [8] propôs também uma alteração na predição da parcela

de vórtices para barcaças, tendo em vista que a interação entre a parcela de vórtices e a

superfície livre estava sendo negligenciada e com isso o método estava subestimando os valores

da parcela de vórtices.

0,0

2,5

5,0

0 5 10 15 20

B V

órt

ice

s[t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Parcela de VórticeEmpírico - MétodoDecremento (FaixaExperimental)




Predição Ikeda


61

4.2 Casco B

Representa os modelos convencionais de FPSO’s, que foram convertidos a partir de

navios tanques.

As dimensões principais são:

Tabela 6 - Dados Casco B. (Fonte: LabOceano –Cenpes)

Casco B

Loa [m] 337.1

Lpp [m] 320.0

B [m] 54.5

T [m] 18.4

Deslocamento [ton] 266501.2

GM [m] 8.7

KG [m] 13.8

KM [m] 22.5

Cb 0.79

Cm 0.99

Área molhada 26037.9

A44 [ton.m²] 25570181.3

Ixx [ton.m²] 97319904.0

Período Natural [s] 14.6

Figura 37 - Modelo FPSO convencional. (Fonte: LabOceano-Cenpes)

62

Este modelo foi preparado no LabOceano e ensaios de decaimento para três diferentes

ângulos iniciais foram realizados:


A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 38, iremos aplicar o Método da

Energia para calcularmos o valor de p1 e p2. Como os métodos recuperam de maneira adequada

os valores dos coeficientes de amortecimento no exemplo apresentado no capítulo anterior, para

o caso do casco B iremos utilizar apenas o Método da Energia, que apresentou resultados

levemente melhores:

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Figura 38 - - Decaimento de Roll com ângulo inicial de 10°. (Fonte:LabOceano – Cenpes).

y = 0,7080x2 + 0,0437xR² = 0,9726

0,0000

0,0125

0,0250

0,0000 0,0800 0,1600


𝜽𝒎 [°]


63

Ângulo inicial 20°:

A partir do ensaio de decaimento apresentado na Figura 40, iremos aplicar o Método da

Energia para calcularmos o valor de p1 e p2:

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


y = 0,8871x2 + 0,0246xR² = 0,9835

0,0000

0,0225

0,0450

0,0000 0,1250 0,2500


𝜽𝒎 [°]


64

Com o ajuste realizado pelo método da energia, os coeficientes de amortecimento total

para o ensaio são:

Tabela 7 - Resumo Coeficientes de Amortecimento e Ajuste R².

10° 20°

Energia (Froude²)

p1 [1/s] 0.0060 0.0034

p2 [1/rad] 0.2655 0.3326

B1 [ton.m²/s 733815.5 417274.0

B2 [ton.m²/rad²] 32625243.9 40878711.0

R² 0.9726 0.9835

Como é possível observar na Tabela 7, novamente o método da energia se adaptou muito

bem aos valores experimentais, com ajuste R² próximo a 1. Seguindo a mesma tendência do

Casco A, constata-se que o valor do ajuste R² melhora com o aumento da amplitude inicial de

movimento.

Com o amortecimento total capturado experimentalmente, o próximo passo é realizar a

predição a partir do método apresentado na seção 2.4.

65

Para o cálculo das parcelas do método de predição, o programa desenvolvido pela

TecGraf foi utilizado novamente. Como o método de predição não depende do ângulo inicial,

o mesmo resultado foi obtido para os dois ângulos iniciais utilizados no Casco B.

No Gráfico 8 é possível notar que as componentes friccional e de ondas obtidas são

invariáveis com a amplitude de movimento e que ao contrário do casco anterior, a parcela de

ondas é muito grande, sendo neste caso a maior contribuição para o amortecimento total. Tal

diferença pode ser explicada pelos diferentes períodos naturais de oscilação e forma do casco.

A partir da predição das componentes do amortecimento de roll é possível obter o valor

do amortecimento total e em seguida ajustar uma reta para se obter o valor do coeficiente de

amortecimento linear (B1) e do coeficiente de amortecimento não linear (B2). O valor total do

amortecimento pode ser observado no Gráfico 8.

Tabela 8 - Coeficientes de Amortecimento Predição Ikeda.

Predição Amortecimento

p1 [1/s] 0.01559

p2 [1/rad] 0.08491

B1 [ton.m²/s 1916345.1

B2 [ton.m²/rad²] 10435154.9

Com o valor dos coeficientes de amortecimento para o Método da energia e pela

predição, vamos agora substituir os valores obtidos na Equação do Movimento e verificar se a

série temporal gerada por esses coeficientes estão compatíveis com o valor obtido no ensaio

para cada ângulo inicial.

0,0

2,0

4,0

0 5 10 15 20 25

B [

ton

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Predição Amortecimento de Roll

B Friccional

B Ondas

B Vórtices

B Total

Gráfico 8 - Componentes obtidas através da predição do amortecimento de roll.

66


-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


Figura 42 – Experimento vs. Método da Energia (Froude²).

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


Figura 43 – Experimento vs. Predição Ikeda.

67


-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll

Experimento Método Energia (Froude²)

Figura 44 – Experimento vs. Método da Energia.

-20,00

-10,00

0,00

10,00

20,00

0,00 100,00 200,00 300,00

Ân

gulo

de

RO

LL [

°]

Tempo [s]

Decaimento de Roll


Figura 45 – Experimento vs. Predição Ikeda.

68

Tabela 9 - Resumo dos erros nas séries temporais de decaimento de roll.

10° 20°

Energia (Froude²)

Predição Ikeda

Energia (Froude²)

Predição Ikeda

Erro 0.1976 0.4757 0.3118 0.7010 Erro

% 2.0% 4.8% 1.6% 3.5%

Como observado na Tabela 9, novamente o algoritmo de análise experimental consegue

capturar os coeficientes de amortecimento de maneira eficiente para os dois valores de ângulo

inicial.

Ao contrário do casco anterior, esse casco tem uma predição do amortecimento total

mais compatível com o ensaio, gerando menores erros. No entanto, para o experimento

realizado com ângulo inicial de 10° a predição tem uma boa aderência ao ensaio para os ângulos

iniciais, mas ao longo do decaimento a predição começa a amortecer mais do que o ensaio. Para

o experimento realizado com ângulo inicial de 20° o comportamento é contrário, com uma

aderência não muito boa no início do decaimento, mas ao longo do ensaio a série temporal se

ajusta melhor a amplitude de movimento.

Na Figura 46 o comportamento do amortecimento total em função da amplitude de

movimento é apresentado, e nota-se que para pequenas amplitudes o amortecimento total obtido

pela predição está superestimado e quando se aproxima do ângulo inicial de 10° os valores do

amortecimento se igualam, tal fato pode ser observado também na série temporal da Figura 43.

0,0

1,5

3,0

0 2 4 6 8 10 12

BTo

tal [

ton

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]


Predição Ikeda Método Energia - Experimental


69

Para o experimento com ângulo inicial de 20° é possível observar a mesma tendência

para os ângulos menores (amortecimento superestimado), mas o contrário é observado para

ângulos maiores. Nesse caso o valor do amortecimento é subestimado para ângulos maiores,

como pode ser observado na Figura 47 e na série temporal da Figura 45.

Vamos agora analisar a parcela de vórtice deste caso, aplicando assim a mesma

metodologia utilizada anteriormente. A partir do amortecimento total experimental (obtido pelo

método da energia), vamos subtrair a parcela friccional e a parcela de ondas, que foram

calculadas pela predição do método Ikeda.

Como o comportamento para os ângulos iniciais de 10° e 20° são semelhantes, apenas

o cálculo para o ângulo de 20° será apresentado na Tabela 10.

0,0

3,0

6,0

0 5 10 15 20 25

B T

ota

l[t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]


Predição Ikeda Método Energia - Experimental


70

Ângulo [°] B Total (Empírico) B Ondas (Predição) B Fric (Predição) B eddy (Empirico)

2 1079922.5 1909872.7 6472.4 -836422.6

2.5 1215061.9 1909872.7 6472.4 -701283.2

3 1350201.4 1909872.7 6472.4 -566143.7

3.5 1485340.9 1909872.7 6472.4 -431004.2

4 1620480.4 1909872.7 6472.4 -295864.7

4.5 1755619.8 1909872.7 6472.4 -160725.3

5 1890759.3 1909872.7 6472.4 -25585.8

5.5 2025898.8 1909872.7 6472.4 109553.7

6 2161038.2 1909872.7 6472.4 244693.1

6.5 2296177.7 1909872.7 6472.4 379832.6

7 2431317.2 1909872.7 6472.4 514972.1

7.5 2566456.7 1909872.7 6472.4 650111.6

8 2701596.1 1909872.7 6472.4 785251.0

8.5 2836735.6 1909872.7 6472.4 920390.5

9 2971875.1 1909872.7 6472.4 1055530.0

9.5 3107014.5 1909872.7 6472.4 1190669.4

10 3242154.0 1909872.7 6472.4 1325808.9

10.5 3377293.5 1909872.7 6472.4 1460948.4

11 3512432.9 1909872.7 6472.4 1596087.9

11.5 3647572.4 1909872.7 6472.4 1731227.3

12 3782711.9 1909872.7 6472.4 1866366.8

12.5 3917851.4 1909872.7 6472.4 2001506.3

13 4052990.8 1909872.7 6472.4 2136645.7

13.5 4188130.3 1909872.7 6472.4 2271785.2

14 4323269.8 1909872.7 6472.4 2406924.7

14.5 4458409.2 1909872.7 6472.4 2542064.2

15 4593548.7 1909872.7 6472.4 2677203.6

15.5 4728688.2 1909872.7 6472.4 2812343.1

16 4863827.7 1909872.7 6472.4 2947482.6

16.5 4998967.1 1909872.7 6472.4 3082622.0

17 5134106.6 1909872.7 6472.4 3217761.5

17.5 5269246.1 1909872.7 6472.4 3352901.0

18 5404385.5 1909872.7 6472.4 3488040.5

18.5 5539525.0 1909872.7 6472.4 3623179.9

19 5674664.5 1909872.7 6472.4 3758319.4

19.5 5809804.0 1909872.7 6472.4 3893458.9

20 5944943.4 1909872.7 6472.4 4028598.3

RESULTADOS ENSAIO

Tabela 10 - Cálculo da parcela de vórtices empírica.

71

Na Tabela 10 e Figura 48 observa-se que a parcela de vórtice empírico tem valores

negativos para amplitudes de até 5°. Este não é um fato físico, pois uma parcela de

amortecimento não pode ser negativa. Tal fato ocorre, pois, a parcela de ondas estimada

numericamente tem valores muito elevados, sendo maior que o amortecimento total obtido

experimentalmente. A partir de 5° o amortecimento total passa a ter valores superiores ao valor

da parcela de ondas e assim o valor da parcela de vórtice empírica passa a apresentar valores

positivos.

O que pode ocorrer neste tipo de caso é que no método de predição proposto por Ikeda

a expressão para a componente de amortecimento de ondas foi desenvolvida tendo como base

os cálculos feitos com a teoria das faixas (calculando coeficientes de amortecimento

bidimensionais e posteriormente, integrando-os ao longo do comprimento do navio), como

apresentado na Equação (77). Neste trabalho a parcela de ondas foi obtida usando o método dos

painéis (tridimensional), que em teoria fornece valores mais aprimorados do que a teoria das

faixas. Portanto, o método bidimensional pode ter subestimado o cálculo da parcela de ondas,

‘transferindo’ esse erro para a parcela de vórtices. Como a parcela de ondas para esse casco

analisado tem grande influência no amortecimento, a análise da parcela de vórtice ficou

comprometida.

Por fim, apesar da verificação da parcela de vórtices estar comprometida para este caso,

é possível que uma compensação nos coeficientes esteja ocorrendo ao longo da predição e com

isso verificamos resultados razoavelmente bons para esse tipo de casco. Os erros a partir da

predição foram inferiores a 5% quando comparados com a série temporal.

-2,5

0,0

2,5

5,0

0 5 10 15 20B V

órt

ice

s[t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Parcela de Vórtice


Predição Ikeda


72

Por fim uma análise entre a razão do parcela de vórtice e o amortecimento total foi

realizada afim de analisar se a proporção entres essas parcela é igual na predição e no

experimento.

Na Figura 50 e Figura 51 é possivel observar que a razão entre a parcela de vórtice e o

amortecimento total ficam próximas para oscilações de roll maiores, tanto para a predição como

para o experimento.

Como a parcela de ondas do casco B é muito alta, temos uma menor proporção para este

caso, com máxima de 44% para o experimental e 41% para a predição. Já para o casco A que

possui um parcela de ondas baixa, a contribuição de vórtices é muito maior, tendo portanto uma

proporção de até 99.8 % para o caso experimental e 99.6% para a predição.

-2,5

0,0

2,5

5,0

0 5 10 15 20B V

órt

ice

s[t

on

.m²/

s]

10⁶

Angulo [°]

Parcela de Vórtice



Predição Ikeda


94%

96%

98%

100%

0 10 20 30ângulo de roll [°]

Razão B VÓRTICES / B TOTAL

Predição Ikeda Experimental

-40%

-20%

0%

20%

40%

60%

0 10 20 30

Ângulo de roll [°]

Razão B VÓRTICES / B TOTAL

Predição Ikeda Experimental

Figura 50 - Casco A. (FPSO nova construção) Figura 51 - Casco B. (FPSO convencional)

73

5 Conclusão

Conclui-se que o objetivo de analisar a parcela de vórtice para um casco de um FPSO

foi alcançado. Os métodos de análise das medições experimentais utilizados comprovaram

a eficiência em recuperar os valores do amortecimento de roll a partir de um experimento

realizado em modelos de escala reduzida. Foi possível concluir que o ângulo inicial de roll

não interfere na busca pelos coeficientes de amortecimento, podendo recuperar de maneira

correta para qualquer ângulo inicial.

A partir dos bons resultados dos métodos de análise das séries temporais de decaimento,

foi possível estabelecer uma metodologia para recuperar a parcela de vórtice do

amortecimento de roll para os cascos analisados neste trabalho e assim verificar a qualidade

da predição do método de Ikeda para esta parcela.

O método de predição proposto por Ikeda não se mostrou adequado para o casco A.

Ficou comprovado que este tipo de casco tem um amortecimento puramente não linear,

sendo a parcela de vórtice muito mais relevante que as parcelas friccional e de ondas.

Para o casco B foi possível encontrar uma melhora nos resultados na predição da série

temporal do decaimento, no entanto a análise individual da parcela de vórtice ficou

comprometida, tendo em vista que a parcela de ondas obtida via método dos painéis

(WAMIT) ficou muito elevada. Como Ikeda propôs um cálculo bidimensional do

amortecimento de ondas, efeitos tridimensionais não foram computados, subestimando

este cálculo. Como a parcela de vórtices é obtida (tanto na expressão do Ikeda como na

proposta do presente trabalho) fazendo a diferença do amortecimento total das parcelas

friccionais e de onda, a predição do amortecimento de vórtices pode ter sido comprometida

para cascos com essa característica. Nesse sentido recomenda-se como trabalho futuro,

verificar e comparar as predições do amortecimento potencial pelo método das faixas e o

3D (WAMIT). Assim, poderíamos confirmar a hipótese levantada aqui.

Para cascos com bolinas é necessário verificar se o método de predição proposto é

adequado. Como nesses casos o amortecimento gerado pela bolina é responsável pela

maior parcela do amortecimento, essa diferença encontrada para a parcela de vórtice pode

ser irrelevante e não afetar na predição.

74

6 Bibliografia

[1] Himeno, H (1981) – Prediction of Roll Damping – State of the Art, Report Dept. of Naval

Architecture and Marine Engineering, Sept., University of Michigan.

[2] Chakrabarti, S (2001) – Empirical Calculation of Roll Damping for Ships and Barges –

Ocan Engineering, Vol 28, pp.915-932.

[3] Neves, M A S (2004) – Análise de Testes de Decaimento de Movimentos – Relatório

Técnico, Junho, LabOceano.

[4] Sphaier, S H (2007) – Análise de Testes de Decaimento, Relatório – Dep. de Eng. Naval e

Oceânica, Set, Universidade Federal do Rio de Janeiro.

[5] Faltinsen, O M (1990) – Sea Loads on Ships and Offshore Structures, Cambridge University

Press.

[6] Spouge, J R (1988) – Non-Linear Analysis of Large-Amplitude Rolling Experiments – Int.

Shipbuild. Progr, 35, no 403, pp. 271-320.

[7] MIT (2016) – Wamit User Manual v. 7.2 – Cambridge:Massachusetts Institute of

Technology.

[8] Ikeda, Y (2002) – Prediction Methods of Roll Damping of Ships and Their Appplication to

Determine Optimum Stabilization Devices – Dep. Of Marine Engineering, Osaka Prefecture

University

Documents

Escola Politécnica Engenharia Naval e Oceânicamonografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10024210.pdf2 De Santis, Rafael Torres Investigação e Análise da parcela de Vórtice