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Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 2012/2013
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 2 – Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
4º Teste de avaliação – versão2
Grupo I
1. Num referencial o.n. xOy, a interseção da reta r paralela a Oy e passando no ponto de
coordenadas 1,3 , com a reta s que é a bissetriz dos quadrantes pares é o ponto P de
coordenadas
(A) 1,1 (B) 1, 1 (C) 3,3 (D) 3,3
2. Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e um
sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.
As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos coordenados
ou lhes são paralelas.
O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .
A reta JE interseta o plano xOy no ponto de coordenadas
(A) 4,0,4 (B) 4,8,0 (C) 8, 4,0 (D) 4,8,0
3. Considere, num referencial o.n. xOy, as retas r definida por x 2y 6 , s definida por
y x 4 , t definida por 2x 2y 8 e z definida por y x 3 .
Quais das seguintes retas são paralelas?
(A) t e z (B) r e s (C) r e t (D) s e t
As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla.
Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.
Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão.
Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita
for ilegível.
Não apresente cálculos ou justificações.
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.
x
y
z
H
I J
L
N
Q
ME
P
G
OC
F
B A
Professora: Rosa Canelas 2 Ano Letivo 2012/2013
4. Considere a condição 2 2
x 1 y 1 2 y 0
Em qual das opções seguintes está representado, em referencial o.n. xOy, o conjunto de
pontos definidos por esta condição?
5. Na figura seguinte, está representado, num referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função f, de
domínio ]–2, 2[.
Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f?
(A)
Tem exatamente dois zeros
Não tem máximos nem mínimos
É crescente no seu domínio
(C)
É par
Tem exatamente dois zeros
O contradomínio é ] –1,1[ (B)
Tem 3 zeros
Não tem máximos nem mínimos
Não é par
(D)
Tem máximo e tem mínimo
É crescente no seu domínio
O contradomínio é ] –1,1[
Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 2012/2013
Grupo II
1. Na figura está representado, em referencial o.n.
Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num
cubo e numa pirâmide quadrangular regular.
A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o
vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence
ao eixo Oy.
Os vértices da base da pirâmide são os pontos
médios dos lados do quadrado [OPQR].
O ponto Q tem coordenadas 4,4,0 .
O volume do sólido é igual a 80.
1.1. Determine a cota do ponto E.
1.2. Determine uma equação da superfície esférica
que tem centro no ponto V e que contém o
ponto B.
1.3. O plano PRV interseta o sólido. Determine a área da secção produzida pelo plano PRV no
sólido dado.
Nota: se não resolveu 1.1. pode considerar que a cota de E é 9
2. Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função f, de domínio
5,4
2.1. Indique o contradomínio de f.
2.2. Indique o conjunto solução da condição f x 3 . Apresente a sua resposta na forma de
união de intervalos de números reais.
2.3. Determine valores exatos dos zeros de f.
Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos
os cálculos ou esquemas que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre
o valor exato.
Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 2012/2013
3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a
Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de
casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há
um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas
caminha a uma velocidade constante.
Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de
ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina
quando ela chega à escola).
Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de
ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e
termina quando ela chega a casa).
Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e
g.
Numa pequena composição, apresente, para cada uma das outras duas opções, uma razão
pela qual a rejeita.
Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 2012/2013
4. Na figura está representado um retângulo [ABCD].
Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 20 cm de comprimento por 16 cm de
largura e que será constituída por uma parte em metal (representada a cinzento) e por uma
parte em madeira (representada a branco).
A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro quadrados também iguais.
Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD]
Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0,8
4.1. Mostre que a área, em 2cm , da parte em metal da placa decorativa é dada, em função de
x, por 2A x 6x 36x 160
4.2. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calcule essa
área.
4.3. Determine o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte em
madeira.
Nota: Sempre que recorra à calculadora gráfica deve indicar todos os “passos” que efetuar, utilizando linguagem matemática, “desenhar” o(s) gráfico(s) que obteve e reproduzir a(s) tabela(s) que tenha necessidade de consultar, assinalando os valores que encontrou e que servem de resposta às perguntas colocadas.
FIM
Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 2012/2013
Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 2012/2013
Cotações
Grupo I ………………………. ( 5 x 10 pontos ) ……………………………………. ……….. 50 pontos
Grupo II …………………………………………………………………………………………. 150 pontos
1. ………………………………………………………………………………………. 50 pontos
1.1. …………………………………………………………………….. 15 pontos
1.2. …………………………………………………………………….. 15 pontos
1.3. …………………………………………………………………….. 20 pontos
2. ………………………………………………………………………………………. 40 pontos
2.1. …………………………………………………………………….. 10 pontos
2.2. …………………………………………………………………….. 15 pontos
2.3. …………………………………………………………………….. 15 pontos
3. ………………………………………………………………………………………. 20 pontos
4. ………………………………………………………………………………………. 40 pontos
4.1. …………………………………………………………………….. 10 pontos
4.2. …………………………………………………………………….. 15 pontos
4.3. …………………………………………………………………….. 15 pontos
TOTAL ……………………………………………………………………………………………….. 200 pontos
Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 2012/2013
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 2 – Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função
módulo.
4º Teste de avaliação – versão2
Grupo I
1. B) Num referencial o.n. xOy, a interseção da reta r paralela a
Oy e passando no ponto de coordenadas 1,3 , com a reta s
que é a bissetriz dos quadrantes pares é o ponto P de
coordenadas 1, 1 .
2. (C) Na figura está representado um referencial o.n. Oxyz e
um sólido constituído por 3 cubos geometricamente iguais.
As arestas dos cubos ou estão contidas nos eixos
coordenados ou lhes são paralelas.
O ponto M tem coordenadas 4,4,4 .
A reta JE interseta o plano xOy no ponto de coordenadas
8, 4,0 , é suficiente imaginar um cubo simétrico do que tem
aresta [FB] relativamente ao plano BEF.
3. (A) Consideremos, num referencial o.n. xOy, as retas r
definida por x 2y 6 , s definida por y x 4 , t definida por
2x 2y 8 e z definida por y x 3 . Para vermos quais são paralelas vamos começar por as
colocar na forma reduzida: r definida por 1
y x 32
, s definida
por y x 4 , t definida por y x 4 e z definida por y x 3 .
As retas que são paralelas são t e z
4. (D) Consideremos a condição 2 2
x 1 y 1 2 y 0
Na figura, das opções dadas está representado, em referencial
o.n. xOy, o conjunto de pontos definidos por esta condição.
Porque o círculo tem centro no ponto (1,-1) e por isso
excluímos (A) e porque tem raio 2 a circunferência
que o limita passa na origem pelo excluímos (C). E (B)
fica excluído porque não verifica y 0 .
5. (B) Na figura seguinte, está representado, num
referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função f, de
domínio ]–2, 2[.
x
y
z
H
I J
L
N
Q
ME
P
G
OC
F
B A
4
2
-2
5
x
y
P: (1, -1)
Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 2012/2013
Em qual das opções seguintes estão três afirmações verdadeiras acerca da função f?
Tem 3 zeros
Não tem máximos nem mínimos
Não é par
Grupo II
1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um
sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide
quadrangular regular.
A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P
pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy.
Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos
lados do quadrado [OPQR].
O ponto Q tem coordenadas 4,4,0 .
O volume do sólido é igual a 80.
1.1. Determinemos a cota do ponto E.
Comecemos por reconhecer que a base da pirâmide tem área igual a metade da área da
face do cubo.
Então, sabendo que o volume total é 80 calculemos a altura da pirâmide que nos dá a
cota de E:
3 8h 8h80 4 16 h 6
3 3
A cota de E é 6
1.2. Determinemos uma equação da superfície esférica que tem centro no ponto V 0,4, 4 e
que contém o ponto B 4,2,0 . Calculemos o raio:
2 2 2
r 4 0 2 4 0 4 6 .
Uma equação da superfície esférica 2 22x y 4 z 4 36
1.3. O plano PRV interseta o sólido. Determinemos a área da secção
produzida pelo plano PRV no sólido dado.
2 2 6A 4 4 2 22 2
2
2. Na figura está representado, em referencial o.n.
xOy, o gráfico de uma função f, de domínio 5,4
2.1. O contradomínio de f é [-1,4].
4
6
2 2
4 2
E
V
RP
F
Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 2012/2013
2.2. Indiquemos o conjunto solução da condição f x 3 . Apresentando a resposta na forma
de união de intervalos de números reais. f x 3 x 2,3 3,4
2.3. Determinemos os valores exatos dos zeros de f. f tem 3 zeros, dois de fácil leitura, 1 e
4 , e um terceiro que é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que podemos
considerar definida pelos pontos de coordenadas (2,-1) e (3,3). A reta terá então declive 4,
calculemos a ordenada na origem 3 4 3 b b 9 . A função seria então definida
pela condição y 4x 9 que tem como zero 9
0 4x 9 4x 9 x4
Os zeros de f são então 9
1, e 44
.
3. A Fernanda e a Gabriela são duas irmãs que frequentam a mesma escola. Certo dia, a
Fernanda está em casa e a Gabriela está na escola. Num certo instante, a Fernanda sai de
casa e vai para a escola e, no mesmo instante, a Gabriela sai da escola e vai para casa. Há
um único caminho que liga a casa e a escola. Ambas fazem o percurso a pé e cada uma delas
caminha a uma velocidade constante.
Seja f a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Fernanda, t minutos depois de
ter saído de casa (a contagem do tempo tem início quando a Fernanda sai de casa e termina
quando ela chega à escola).
Seja g a função que dá, em metros, a distância percorrida pela Gabriela, t minutos depois de
ter saído da escola (a contagem do tempo tem início quando a Gabriela sai da escola e
termina quando ela chega a casa).
Indique em qual das opções seguintes podem estar representadas graficamente as funções f e
g.
O gráfico correto é o (A) pois elas iniciam ambas a viagem com uma distância zero, razão que
nos leva a rejeitar o gráfico (C). Além disso percorrem ambas a mesma distância o que nos
leva a rejeitar o gráfico (B).
4. Na figura está representado um retângulo [ABCD].
Professora: Rosa Canelas 11 Ano Letivo 2012/2013
Este retângulo é o esboço de uma placa decorativa de 20 cm de
comprimento por 16 cm de largura e que será constituída por uma
parte em metal (representada a cinzento) e por uma
parte em madeira (representada a branco).
A parte em metal é formada por dois triângulos iguais e por quatro
quadrados também iguais.
Cada triângulo tem um vértice no centro do retângulo [ABCD]
Seja x o lado de cada quadrado, medido em cm x 0,8
4.1. Mostremos que a área, em 2cm , da parte em metal da placa decorativa é dada, em
função de x, por 2A x 6x 36x 160
A parte em metal constituída por 4 quadrados com lado x e dois triângulos iguais com base
20 - 2x e altura igual a 8 – x ou seja metade de 16 – 2x.
Então a área pedida é:
2 2 2 220 2x 8 x
A x 4x 2 4x 160 20x 16x 2x 6x 36x 1602
4.2. Determinemos o valor de x para o qual a área da parte em metal é mínima e calculemos
essa área.
A área da parte em metal é mínima quando x é 3 e essa área é 106 cm2.
4.3. Determinemos o valor de x para o qual a área da parte em metal é igual à área da parte
em madeira.
A área em madeira será dada por 2 2B x 20 16 6x 36x 160 160 6x 36x
As áreas são iguais quando as curvas se intersetarem ou seja quando x = 6 cm.
Professora: Rosa Canelas 12 Ano Letivo 2012/2013
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
10º Ano de Matemática – A
TEMA 2 – Funções e Gráficos – Generalidades. Funções polinomiais. Função módulo.
4º Teste de avaliação – versão2 - Critérios de classificação
Grupo I (50 pontos)
Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0
(zero) pontos.
1 2 3 4 5
B C A D B
Grupo II (150 pontos)
1. ……………………………………………………………………………………………… 50 pontos
1.1. ……………………………………………………………………………….. 15 pontos
Reconhecer que área base da pirâmide é metade
da área da face do cubo………………………………… 5
Calcular a cota de E ……………………………………. 10
1.2. ……………………………………………………………………………….. 15 pontos
Identificar as coordenadas de V e de B …………….. 4
Calcular o raio …………………………………………… 5
Equação da superfície esférica ………………………. 6
1.3. ……………………………………………………………………………….. 20 pontos
Identificar a secção ……………………………………. 5
Identificar as medidas do retângulo………………….. 5
Identificar as medidas do triângulo …………………... 5
Calcular a área ………………………………………….. 5
2. ……………………………………………………………………………………………… 40 pontos
2.1. ………………………………………………………………………… 10 pontos
2.2. ………………………………………………………………………… 15 pontos
2.3. ………………………………………………………………………… 15 pontos
Identificar os zeros inteiros…………………………. 5
Escrever a equação da reta ………………………. 6
Calcular o zero ……………………………………… 4
3. ………………………………………………………………………………………. 20 pontos
Identificar o gráfico correto ………………………. 5
Apresentar uma razão para rejeitar (B) …………. 5
Apresentar uma razão para rejeitar (C) …………. 5
Professora: Rosa Canelas 13 Ano Letivo 2012/2013
Composição organizada e sem erros …………… 5
4. ………………………………………………………………………………………. 40 pontos
4.1. ………………………………………………………………………….. 10 pontos
Identificar as medidas ………………………………. 5
Fazer os cálculos ………………………………….... 5
4.2. …………………………………………………………………………. 15 pontos
Apresentar o gráfico com tudo…………………….. 10
Dar a resposta………………………………………. 5
4.3. …………………………………………………………………………. 15 pontos
Encontrar a função que dá a área em madeira … 5
Encontrar a interseção das duas curvas ………… 5
Apresentar o gráfico………………………………… 5
TOTAL …………………………………………………………………………………… 200 pontos
