Página 1 de 4

ESCOLA SECUNDÁRIA DE SÃO LOURENÇO

Ficha de Trabalho 10º Ano Matemática A 1 - [ é um losango: ]ABCD

a) Indique quantos segmentos orientados podemos

definir: • com os lados do losango; • com os vértices do losango.

b) Indique quantos vectores distintos podemos definir: • com os lados do losango; • com os vértices.

2 – Indique as componentes e as coordenadas de cada um dos vectores representados na figura. 3 – Considere os pontos : A(3;2) ; B(3;3) ; C(5;3) ; D(4;4) ; E(5;5) ; F(5;6) ; G(4;7) ; H(2;6) ; I(3;5) e J(1;6).

a) Justifique que FEBA = . b) Escreva as coordenadas de : HFGDACBDJH e ; ; ; .

4 – No referencial o . n. represente o vector: ),,( jiO

rr

a) ; jirr

53 +− b) de coordenadas )1;0( − ; c) de coordenadas ; )2;3( − d) de coordenadas . )0;2(

Página 2 de 4

5 – Sendo )0;1( e 31 , −=== D);(vCDv rr , determine as coordenadas de C. 6 – Dados ,determine as coordenadas de M , sabendo que )3;6( e )5;1( =−= BA ABOM = . 7 – O paralelogramo [ está dividido em seis paralelogramos geometricamente

iguais. ]

iferentes; tores simétricos;

te de modo a

b.1

ADLI

a) Com os elementos da figura, indique:: • dois segmentos orientados equipolentes; • dois vectores com a mesma direcção, o mesmo sentido e comprimentos d • dois vec

b) Observe a figura e compleobter proposições verdadeiras:

) ......=+ HDF b.2) E b.3) J=+ ....... ......=+ KCIJ b.4) AJBJ =+....... b.5) BCBC =+ ........ b.6) 0..... =+AL b.7) ......=+ ACAB b.8) .....=+ LIAC b.9) .....2 =AB b.10) ....=−CBFG

– Considere os pontos 8 ( ) ( ) ( ) ( )1;3 e 1;3 , 2;5 , 1;2 −−−−− SRQP .

s de: Determine as coordenadaQRQ + b) RS+ c) a) PQ QSR 3+ d) PSPP −

9 – Considere os pontos ( )3;2 e 0;21 ,

31;2 ,

21;3 −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− DCBA . Determine as

coordenadas do ponto P sabendo que : BDACPBBCABAPCDOPABOPa b) ) −== 2 d) c) −=+=

0 – Sendo 1 cba rrr e , três vectores quaisquer do plano, simplifique:

)( ( ) ( ) ( ) 35

323-- aab rr24 c) 81-2 b) 2 ) ccacbabaa rrrrrrrrr

+

1 – Considere os vectores

−−++

1 jdicjibjia

rrrrrrrrrr 5 e 2 , 2 , 35 =−=−=−= num referencial o .n. ( )jiO ,, . Determine : as coordenadas de cada um dos vectores

rr++a) da

rr+ b) dcba

rrrr−+− c) cba rrr

−+2 cbd) cba rrr

−+221

e) ( )cba rrr++ f) ( ) cba rrr

++

g) ( )cba rrr+−

i)

h) dbarrr

−−

dcbrrr

52

21

++− j) ba crrr 32 ++−

Página 3 de 4

] 12 - [ é um diâmetro de uma circunferência de centro C. AB Sabendo que ( ) ( 0;2 e 3;1 CA )− , determine as coordenadas de B. 13 – Indique se são verdadeiras ou falsas as proposições:

a) A soma de dois vectores é um vector; b) A soma de um ponto com um vector é um vector; c) O produto de um número real, não nulo, por um vector, é um vector com a

mesma direcção; d) O produto de um número real, não nulo, por um vector, é um vector com o

mesmo sentido. 14 – Determine a norma dos vectores:

a) ( 0;3−u )r b) ( )5;0vr c) ( )2;1−wr d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

21;

23ar

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22;

23b

r f) AB em que ( ) ( )0;3 e 3;0 BA

15 – Verifique se são colineares os seguintes pares de vectores:

a) ( ) 2;8( e 1;4 −−vu rr ) b) )1;4( e 1;32 vu rr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

c) iviurrrr

53 e 2 −== d) jivjiu

rrrrrr 33 e −−=+=

16 – Para cada um dos seguintes pares de vectores, determine x de modo que sejam colineares: a) ( ) ( 30;20 e ;2 == bxa )

rr c) ( ) ( )0;0 e ;5 == b xarr

b) d) ( ) ( 16;0 e 2; =−= bxarr ) ( ) ( )3;2 e 51;13 −=−+= bxxa

rr 17 – Num referencial o .n. ( )jiO

rr,, é dado o vector jia

rrr 53 += . Determine pelas suas coordenadas o vector:

a) colinear com e com o triplo do seu comprimento; ar

b) colinear com , com o sentido oposto ao de aar r e o dobro do seu comprimento; c) que tem a mesma direcção de ar e a terça parte do seu comprimento.

18 – Determine, num referencial o .n. ( )jiO

rr,, , as coordenadas dos vectores:

a) u colinear com o vector rjivrrr 43 −= e de norma 4;

b) xr colinear com o vector ( )3,1ur e de norma 10; c) colinear com o vector vr ( )3,4−ur , de norma 12 e com sentido oposto a ur .

Página 4 de 4

19 a) Verifique se o hexágono [ ] da ABDFGI figura é regular;

b) Averigúe se os vectores AF e BD têm a mesma direcção; c) Determine os números reais k e s de

modo que: GFkHE = BGsFD =

d) Determine a área do hexágono. 20 – Considere num referencial o .n. ( )gfeO rrr ;;; os pontos )3;0;2( , )5;2;1( −− NM e o vector gfeu rrrr 43 ++= . Calcule:

a) As coordenadas do vector MN ;

b) As componentes do vector MNu212 +

r ;

c) As coordenadas do ponto A onde está aplicado o representante do vector ur que termina em M;

d) As coordenadas do vector xr colinear com ur e de norma 52 ; e) As coordenadas do ponto médio de [ ]MN .

21 – Averigúe se são colineares os vectores ( ) ( )6;6.3;12.0 e 5;3;1.0 −− . 22 – Calcule a ordenada de um vector ( )6;;2 ya −

r sabendo que a sua norma é 7. 23 – A figura representa 2 paralelepípedos iguais com a face [ ]MNPQ comum.

D N

B M A

H P

E Q F

C

1. Calcule: a) PGEA + b) DHAB + c) NCHPQ 2−+

2. Sendo H a origem do referencial os eixos coordenados,

DHPHEH•••

;;

HPHDHPHE ×=== 2 e 1 .

G

Indique as coordenadas de : M , B , C, HB , PC HBGCPCHBGC 32 , , −+ .