1A ESTATSTICAAEstatsticaumapartedaMatemticaAplicada que fornecemtodosparaacoleta,organizao,descrio,anliseeinterpretaodedadoseparaautilizaodosmesmos na tomada de decises.Exprimindo por meio de nmeros as observaes que se fazem de elementos com, pelomenos, uma caracterstica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de umacomunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos.Acoleta,aorganizaoeadescriodosdadosestoacargodaEstatsticaDescritiva,enquantoaanliseeainterpretaodessesdadosficamacargodaEstatstica Indutiva ou Inferencial.Em geral,aspessoas, quandosereferemaotermoestatstica,ofazemnosentidodaorganizaoedescriodosdados,desconhecendoqueoaspectoessencialdaEstatstica o de proporcionar mtodos, que permitam concluses que transcendam osdadosobtidosinicialmente.Assim,aanliseeainterpretaodosdadosestatsticostornam possvel o diagnstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e aformulao de solues para tais problemas.SRIES ESTATSTICASUmdosobjetivosdaEstatsticasintetizarosvaloresqueumaoumaisvariveispodemassumir, para que tenhamos uma viso global da variao dessa varivel. E isso ela consegueinicialmente, apresentando esses valores em tabelas e grficos, que iro nos fornecer rpidase seguras informaes a respeito das variveis em estudo.TABELAS ESTATSTICASUma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:-cabealho-corpo-rodapO cabealho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questes:-o que est representado?-onde ocorreu?-quando ocorreu?O corpo da tabela representado por colunas e subcolunas dentro dos quais sero registradosos dados numricos e informaes.Orodapreservadoparaobservaespertinentestabela,bemcomoparaoregistroeidentificao da fonte dos dados.Exemplo:Internautas que fazem transaes bancrias on-line jan/2003Pases Quantidade(%)SuciaAustrliaEUAJapoBrasilEspanha51,339,612,59,636,218,6Fonte: Nielsen/Net Ratings(Revista poca)2GRFICOSArepresentaogrficadassriesestatsticas(tabelas)temporfinalidaderepresentarosresultados obtidos, permitindo chegar-se a concluses sobre a evoluo do fenmeno ou sobrecomoserelacionamosvaloresdasrie.Nohumanicamaneiraderepresentargraficamenteumasrieestatstica.Aescolhadogrficomaisapropriadoficaracritriodoanalista.Contudo,oselementossimplicidade,clarezaeveracidadedevemserconsideradosquando da elaborao de um grfico.GRFICO DE COLUNASInternautas que fazem transaes bancrias on lina Quantidade(%)0204060EUABrasilEspanhaInternautas quefazemtransaesbancrias onFonte:Nielsen/Net Ratings(Revista poca)GRFICO DE BARRAS semelhante ao grfico de colunas, porm os retngulos so dispostos horizontalmente.Internautas que fazem transaes bancrias on lina Quantidade(%)0 20 40 60SuciaEUABrasilInternautas quefazemtransaesbancrias onFonte:Nielsen/Net Ratings(Revista poca)3Obs:Adistnciaentreascolunas(oubarras),porquestesestticas,nodeversermenorque a metade nem maior que os dois teros da largura (ou da altura dos retngulos)GRFICO DE LINHA (CURVA)Ogrficodelinhaconstituiumaaplicaodoprocessoderepresentaodasfunesnumsistema de coordenadas cartesianas.Internautas que fazem transaes bancrias on lina Quantidade(%)0204060EUABrasilEspanhaInternautasque fazemtransaesbancrias onFonte:Nielsen/Net Ratings(Revista poca)GRFICO DE SETORESarepresentaogrficadeumasrieestatstica,emumcrculo,pormeiodesetores.utilizadoprincipalmentequandosepretendecompararcadavalordasriecomototal.Paraconstru-lo,divide-seocrculoemsetores,cujasreasseroproporcionaisaosvaloresdasrie. Essa diviso poder ser obtida pela soluo da regra de trs: total...........360 Parte.......... xPases Quantidade(%) Graus Graus AcumuladosSucia 51,3 110,06 110,06Austrlia 39,684,96 195,02EUA 12,526,82 221,84Japo9,620,60 242,44Brasil 36,277,66 320,10Espanha 18,639,90 360Total 167,8 3604Internautas que fazem transaes bancrias on lina Quantidade(%)SuciaAustrliaEUAJapoBrasilEspanhaFonte: Nielsen/Net Ratings (Revista poca)Exerccios:1 Represente as sries abaixo usando :-Grfico de linhas-Grfico de colunas-Grfico de setoresTabela 1:Venda mensal de produtosBanco Alfa S.A Jan/2003Produtos QuantidadeCarto de crditoSeguro de vidaSeguro de autoTtulo de capitalizaoTtulo de previdncia5741986112Fonte: Depto Comercial Banco Alfa SATabela 2: Produo Empresa Beta Ltda 1 semestre 2002Meses QuantidadeJaneiroFevereiroMaroAbrilMaioJunho374128476844Fonte: Depto Vendas Empresa Beta Ltda5DISTRIBUIO DE FREQNCIASAcadafenmenocorrespondeumnmeroderesultadospossveis.Exemplo:Paraofenmeno sexo so dois os resultados possveis: sexo masculino e sexo feminino.Varivel o conjunto de resultados possveis de um fenmeno.POPULAO E AMOSTRAPopulaoumconjuntodeindivduosouobjetosqueapresentampelomenosumacaracterstica em comum.Amostra um subconjunto finito de uma populao.Suponhamostermosfeitoumacoletadedadosrelativossidadesde30pessoas,quecompem uma amostra dos alunos de uma faculdade A:24 23 22 28 35 21 23 33 34 25 21 25 36 26 22 30 32 25 26 3334 21 31 25 26 25 35 33 31 31Aestetipodetabela,cujoselementosnoforamnumericamenteorganizadosdenominamostabela primitiva ou dados brutos.Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo:21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31 3132 33 33 33 34 34 34 35 35 36Podemosorganizarestesdadosemumatabelasimplesdenominadadedistribuiodefreqncia com varivel discreta. Os dadossero organizados com suas freqncias simples.Freqnciasimplesouabsoluta(Fi)onmerodevezesqueoelementoaparecenaamostra ou o n de elementos pertencentes a uma classe.Idades Fi21 322 223 224 125 426 328 130 131 332 133 334 335 236 1Total 30

6Podemosaindaagruparosvaloresdavarivelemintervalos,sendoque,chamamosessesintervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuio de freqncia comintervalos de classe.Idades de 30 alunos da Faculdade AClasses Idade Freqncia12345621 I---- 2424 I---- 2727 I---- 3030 I---- 3333 I---- 3636 I---- 39781581 30Obs: Quando os dados esto organizados em uma distribuio de freqncia, so comumentedenominados dados agrupados.ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQUNCIAA construo de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou varivel contnua requer oconhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguidaeusaremosa tabelaanteriorpara exemplificar cada item.Classes de freqncia so os intervalos de variao da varivel.As classes so representadas simbolicamente por i,sendo i = 1, 2, 3, ... K (onde k o n totalde classes da distribuio).Nonossoexemplo:ointervalo30I----33defineaquartaclasse(i=4).Comoadistribuioformada de seis classes, temos K = 6.Limites de classes so os extremos de cada classe (li I---- Li)li limite inferior da classe (onde comea o intervalo)Li limite superior da classe (onde termina o intervalo)Ex: intervalo 30 I---- 33li 30 Li 33Intervalodeclasseouamplitudedointervalo(h)amedidadointervaloquedefineaclasse.-h = Li li Ex: intervalo 30 I---- 33, logo h = 33 30 = 3Nmero de classes(k) No h uma frmula exata para o clculo do n de classes. As maisusadas so:1)K = 5 para n 25ou K npara n > 252)Frmula de Sturges K 1 + 3,22 . log nRange, amplitude total ou amplitude amostral a diferena entre o maior e o menor valorda amostra. No exemplo dado: R = 36 21 = 15Paramontaratabeladedistribuiodefreqnciacomintervalosdevemosseguirositens abaixo:1) Calcular o range (como na definio anterior: 36 21 = 15)2) Saber quantas classes ou quantos intervalos ter a tabela. No exemplo acima, temosn=30,7portanto n>25. Logo o clculo ser K= 30 5,48, ou seja K = 63) Calcular qual sera amplitude do intervalo ou qual a diferena entre o li e o Li.Logo h R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3Obs: Quando os resultados acima no so exatos, devemos arredond-los para o maior.Outros elementos de uma distribuio de freqncia:Pontosmdiosdasclasses(Xi)amdiaaritmticaentreolimitesuperioreolimiteinferior da classe. Ex: 33 36 Xi =+236 3334,5Freqnciarelativa(Fri)dadaporFri=Fi/n,ousejaaporcentagemdaquelevalordaamostra.Freqncia acumulada (Fac) a soma das freqncias dos valores inferiores ou iguais aovalor dado.Histogramaarepresentaogrficadeumadistribuiodefreqnciapormeioderetngulos justapostos.Polgonodefreqnciaumgrficoemlinha,sendoasfreqnciasmarcadassobreperpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos mdios dos intervalos de classe.Polgonodefreqnciaacumuladatraadomarcando-seasfreqnciasacumuladassobreperpendicularesaoeixohorizontal,levantadasnospontoscorrespondentesaoslimitessuperiores dos intervalos de classe.Exerccios:1 Considere os salrios quinzenais de 100 funcionrios da Empresa Yasmim Ltda (em US$):151152154155158159159160161161161162163163163164165165165166166166166167167167167167168168168168168168168168168168169169169169169169169170170170170170170170171171171171172172172173173173174174174175175175175176176176176177177177177178178178179179180180180180181181181182182182183184185186187188190 190Pede-se determinar:a)A amplitude amostralb)O nmero de classesc)A amplitude das classesd)Construiratabeladedistribuiodefreqnciacomasclasses,frequnciasabsolutas, freqncias relativas, pontos mdios e freqncia acumulada.e)Qualaporcentagemdefuncionriosqueganhamsalrioscomvalorigualousuperior a US$179.f)Qual a porcentagem de funcionrios que ganham salrios com valores inferioresa US$163.g)O histogramah)O polgono de freqnciai)Qual o ponto mdio da 3 classej)Qual o fri da 2 classe.82-Ocontroledequalidadedeumaindstriaselecionou48caixasnalinhadeproduoeanotou em cada caixa o nmero de peas defeituosas, obtendo os seguintes dados:2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 00 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0Determinar:a)o rolb)a tabela de distribuio de freqncia sem intervalosc)qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peas defeituosas?3Umaempresaautomobilsticaselecionouaoacaso,umaamostrade40revendedoresautorizados em todo o Brasil e anotou em determinado ms o nmero de unidades adquiridaspor estes revendedores. Obteve os seguintes dados:6 7 9 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 2020 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39a)Monte a tabela de distribuio de freqncia com intervalos .Exerccios Extras:1-Conhecidas as notas de 55 alunos:33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 5759 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 7778 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98Obtenhaatabeladedistribuiodefreqnciacomintervalos,afreqnciaabsoluta,afreqncia relativa, o ponto mdio e a freqncia acumulada.2 Os resultados do lanamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 35 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 Forme uma distribuio de freqncia sem intervalos e complete com as colunas do fri e fac.3 Considerando as notas de um teste de inteligncia aplicado a 55 alunos:64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 7879 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 8787 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103Forme uma tabela de distribuio de freqncia com intervalos e complete com as colunas doXi, Fri e Fac.a)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79?b)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94?4Aamostraabaixoapresentaasvendasdiriasdeumdeterminadoaparelhoeltrico,durante um ms, por uma firma comercial:14 12 11 13 14 13 12 14 13 1411 12 12 14 10 13 15 11 15 1316 17 14 14Forme uma distribuio de freqncia sem intervalos com as colunas do fri e fac.9Respostas:1 -classes notas fi xi fri fac1 33 I---- 42 7 37,5 12,73 72 42 I---- 51 6 46,5 10,91 133 51 I---- 60 8 55,5 14,55 214 60 I---- 69 10 64,5 18,18 315 69 I---- 789 73,5 16,36 406 78 I---- 87 6 82,5 10,91 467 87 I---- 96 5 91,5 9,09 518 96 I---- 105 4 100,5 7,27 552 -faces do dado fi fri fac1 6 12 62 8 16 143 9 18 234 7 14 305 10 20 406 10 20 503 classe amostra fi xi fri fac1 64 I---- 69 5 66,5 9,09 52 69 I---- 74 6 71,5 10,91 113 74 I---- 79 9 76,5 16,36 204 79 I---- 84 7 81,5 12,73 275 84 I---- 89 14 86,5 25,45 416 89 I---- 94 6 91,50 10,91 477 94 I---- 99 2 96,50 3,64 498 99 I---- 104 6 101,5 10,91 55a)36,36% b)14,55%4 amostra fi fri fac10 1 4,17 111 3 12,50 412 4 16,67 813 5 20,83 1314 7 29,17 2015 2 8,33 2216 1 4,17 2317 1 4,17 2410MEDIDAS DE POSIOFoivistonoitemanteriorasintetizaodosdadossobaformadetabelas,grficosedistribuiesdefreqncias.Dessaformapodemoslocalizaramaioconcentraodevaloresde uma dada distribuio.Agora,vamosressaltarastendnciascaractersticasdecadadistribuio.Inicialmenteestudaremosasmedidasdeposioquesoestatsticasquerepresentamumasriededados orientando-nos quanto posio da distribuio no eixo X (eixo dos n reais).-Medidas de tendncia central representam os fenmenos pelos seus valores mdios,em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (mdia, moda e mediana)Mdia1 CASO: Dados no agrupadosx= nx(onde n o n de elementos do conjunto)Ex1: Determinar a mdia aritmtica simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11X = nx =8 , 7511 10 8 7 3+ + + +X2 CASO: Dados agrupados sem intervalosDada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8Xi Fi XiFi2 1 25 4 206 3 188 2 16Total 10 56Ento a mdia ser :6 , 51056 nXiFiX3 CAS0: Dados agrupados com intervalosClasse Amostra Fi Xi XiFi1 2 I---- 5 1 3,5 3,52 5 I---- 8 10 6,5 653 8 I---- 11 8 9,5 764 11 I---- 14 1 12,5 12,5Total 20 15711Portanto85 , 720157 nXiFiX

Interpretao:Ovalormdiodestasrie7,85,isto,7,85ovaloremtornodoqualoselementos desta srie se concentram.Exerccios:1 PARTE MDIA1-Calcule a mdia aritmtica das sries abaixo:a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 202 Calcule a mdia para as tabelas abaixo:xi fi2 13 44 35 2Totalxi fi17 318 1819 1720 821 4Total3-Osalriode39funcionriosdeumescritrioestdistribudosegundooquadroabaixo.Calcule o salrio mdio destes funcionrios.classe salrios(R$) n func.1 400 I---- 500 122 500 I---- 600 153 600 I---- 700 84 700 I---- 800 35 800 I---- 900 14-Umaimobiliriagerenciaoaluguelderesidnciasparticulares,segundooquadroabaixo.Calcule a mdia:classe aluguel(R$) n casa1 0 I---- 200 302 200 I---- 400 523 400 I---- 600 284 600 I---- 800 75 800 I---- 1000 3Total5-Em uma empresa temos 4 operrios com salrio de R$850,00, 2 supervisores com salrio deR$1.200,00, 1 gerente com salrio de R$2.000,00 e 6 vendedores com salrio de R$1.100,00.Qual a mdia salarial dessa empresa?12Respostas:1)a)12,5b)9,862)a)3,6 b)18,843)562,824)3355)R$1.107,6913Mediana ( X~)1 Caso: Dados no agrupadosOs valores tm que ser colocados em ordem crescente. A mediana o n que se encontra nocentro de uma srie de nmeros, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais.Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18Se n=9 logo ++21021 921 n5 elemento, logoX~= 102 exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( j est em ordem)Se n=8 logo5 , 421 821++ n elemento (est entre o 4 e o 5 elemento)Logo11222212 10 ~ + X2 Caso: Dados agrupados sem intervalosDada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20Xi Fi Fac12 1 114 2 315 1 416 2 617 1 720 2 9Total 9Construindoacolunadafrequnciaacumuladapodemoslocalizarcomfacilidadeovalormediano. ++21021 921~nx 5 elemento, portanto a mediana ser o 16.3 Caso: Dados agrupados com intervalosDada a tabela:Classe Amostra fi Fac1 3 I---- 6 2 22 6 I---- 9 5 73 9 I---- 12 8 154 12 I---- 15 3 185 15 I---- 18 1 19Total 19141 Passo: Calcula-se a ordem 2n.2 Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contm a mediana (classe da Md).3 Passo: Utiliza-se a frmula:classeantfih facnli x ,_

+ 2~Onde: il = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra facanterior= freqncia acumulada anterior classe da mediana( ou soma dos valores de fianteriores classe da mediana)h = amplitude da classe da mediana ficlasse = freqncia da classe da medianaNo exemplo da tabela anterior:1 Passo: Calcula-se 2n. Com n=19, temos 19/2=9,5 elemento2 Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana a 3.3 Passo: Aplica-se a frmula: x~classeantfih facnli

,_

+293 , 9 387 5 , 99~ + xInterpretao:50%dosvaloresdasriesovaloresmenoresouiguaisa9,93e50%dosvalores da srie so valores maiores ou iguais a 9,93.Exerccios: MEDIANA1-Calcule a mediana das seqncias abaixo:a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 152 Calcule a mediana das distribuies abaixo:xi fi2 54 205 106 108 2Total 15xi fi17 318 1819 420 321 1Total3-Determineovalormedianodadistribuioaseguirquerepresentaossalriosde23funcionrios selecionados em uma empresa:classe salrios (R$) n funcionrios1 200 I---- 400 22 400 I---- 600 63 600 I---- 800 104 800 I---- 1000 54-Umalojadedepartamentosselecionouumgrupode53notasfiscais,duranteumdiaeobteve o quadro abaixo. Pede-se que determine o valor que representa a mediana.classe consumo n notas1 0 I---- 50 102 50 I---- 100 283 100 I---- 150 124 150 I---- 200 25 200 I---- 250 1totalRespostas:1)a)11 b)72)a)4 b)183)6704)79,46Moda1 Caso: Dados no agrupados: o valor de maior frequncia em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes.Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15.O elemento de maior frequncia o 10, portanto Mo=10 (unimodal)Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13Todos os elementos da srie apresentam a mesma frequncia, logo a srie amodal.Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal)162 Caso: Dados agrupados sem intervaloBasta identificar o elemento de maior freqncia.Xi Fi0 22 43 54 36 1Portanto Mo=33 Caso: Dados agrupados com intervalosDada a tabela:classe amostra fi1 0 I----- 10 12 10 I----- 20 33 20 I----- 30 64 30 I----- 40 21 Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqncia)2 Passo: Aplica-se a frmula:Mo =h li + +2 11Ondeil = limite inferior da classe modal1 = diferena entre a freqncia (fi) da classe modal e a imediatamente anterior2 = diferena entre a freqncia (fi) da classe modal e a imediatamente posterior.h = amplitude da classeNo exemplo da tabela anterior:1 Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3 classe (maior fi=6)2 Passo: Aplica-se a frmula em queMo =29 , 24 104 3320 ++ xExerccios: MODA1 Calcule a moda para as sries abaixo:a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 1217 2-Calcule a moda das distribuies abaixo:xi fi2 13 74 25 2xi fi17 318 1819 1720 821 4Total3-A distribuio abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em oferta em umsupermercado. Calcule a moda:classe consumo n de clientes1 0 I---- 1 122 1 I---- 2 153 2 I---- 3 214 3 I---- 4 325 4 I---- 5 204-A distribuio abaixo representa o nmero de acidentes de trabalho por dia em uma indstriaPetroqumica, verificados durante um ms. Calcule a moda:classe n de acidentes n de dias1 0 I----2 202 2 I---- 4 63 4 I---- 6 34 6 I---- 8 1Respostas:1)a)5b)4 e 122)a)3 b)183)3,484)1,18Exerccios Extras1-Calcule a mdia aritmtica das distribuiesabaixo:Notas fi salrios(R$) fi Vendas(R$) fi2 5 520 18 145 103 8 780 31 158 95 14 940 15 163 88 10 1.240 3 175 410 7 1.590 1 187 2Total Total Totala) b) c)2 Calcule a moda para as tabelas acima.183 Calcule a mediana para as tabelas acima.4 Calcule a mdia aritmtica para as tabelas abaixo:tabela atabela bSalrios(R$) n funcionrios Estaturas(cm) fi200 I---- 400 15 150 I---- 158 5400 I---- 600 12 158 I---- 166 12600 I--- 800 8 166 I---- 174 18800 I---- 1.000 2 174 I---- 182 271.000 I---- 1.200 1 182 I---- 1908total totalNotas n alunos pesos (Kg) Fi0 I---- 2 5 145 I---- 151 102 I---- 4 8 151 I---- 157 94 I---- 6 14 157 I---- 163 86 I---- 8 10 163 I---- 169 58 I---- 107 169 I---- 175 3total Totaltabela ctabela d5 Calcule a mediana para as tabelas acima.6 Calcule a moda para as tabelas acima.Respostas:1- a) 5,77b) 778,68c) 159,092 a) 5 b) 780c) 1453 a) 5b) 780 c) 1584 a) 500 b) 172,40c) 5,27d)156,915 a) 466,67b) 174c) 5,29d)1566- a) 366,67b) 176,57 c) 5,20 d)150,4519MEDIDAS SEPARATRIZESDado o problema:Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuio de funcionrios do setor de vendas comrelao ao salrio semestral (baseado em comisses sobre vendas):salrio semestral(R$) nde funcionrios1000 I----- 3000 53000 I----- 5000 155000 I----- 7000 87000 I----- 9000 2Se a empresa divide os funcionrios em quatro categorias, com relao ao salrio temos:-0s 25 % menos produtivos = categoria C;-Os 25% seguintes = categoria B;-Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A-Os 25% restantes = categoria especial.Quais so os salrios limites das categorias acima?QUARTISDivide a amostra em quatro partes iguais.Q1 Q2Q3 I---------------I--------------I---------------I---------------I 0%25%50% 75% 100%Para determinar Q1:1Passo: Calcula-se 4n 2Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac3Passo: Aplica-se a frmula:classeantfih facnli Qi

,_

+ 4Para determinar Q2:1 Passo: Calcular42n2 Passo: Identifica-se a classe Q2 pela coluna do Fac.3 Passo: Aplica-se a mesma frmula anterior, substituindo 424npornPara determinar Q3:1Passo: Calcula-se 43n2Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac3Passo: Aplica-se a mesma frmula anterior, apenas substituindo 434nporn .20DECISA amostra dividida em 10 partes iguais. I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%80%90% 100% D1D2 D3D4 D5 D6D7D8 D91Passo: Calcula-se 10inonde i representa o decil que se quer calcular.(Ex. D4 ento 4n)2Passo: Identifica-se a classe Di pela coluna do FAC3Passo: Aplica-se a frmula:+ li Diclasseantfih facn i

,_

10.PERCENTISDivide a amostra em 100 partes iguais: I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I0% 1%2%3%4% 98% 99% 100% P1P2 P3 P4P98 P99!Passo: Calcula-se 100in onde i representa o percentil que se quer calcular (Ex:P58 ento 58n)2Passo: Aplica-se a frmula:classeantfih facn ili Pi ,_

+ 100.21Exerccios:1 A tabela abaixo refere-se s notas de 500 alunos do colgio x:Notas Fi0 I----- 2 502 I----- 4 1704 I----- 6 1306 I----- 8 1108 I----- 10 40Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites de cadagrupo?2-A distribuio abaixo representa o nmero de acidentes de trabalho por dia em uma indstria:n de acidentes n de dias0 I---- 2 202 I---- 4 154 I---- 6 126 I---- 8 108 I---- 10 8Calcule:a)Q1b)Q3c)P92d)P48e)D3f)D73-a tabela abaixo representa o n de faltas anuais dos funcionrios de uma empresa:n faltas n empregados0 I---- 2 202 I---- 4 1254 I--- 6 536 I--- 8 408 I--- 10 14Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta bsica para 15% dos funcionrios quemenos faltas tiveram, qual a quantidade mxima de faltas para no perder a cesta bsica?4-A tabela abaixo representa a venda de livros didticos em uma editora:Preo(R$) n livros comercializados 0 I---- 10 400010 I---- 20 1350020 I--- 30 2560030 I--- 40 4324040 I--- 50 2680050 I--- 60 1750a)Se a editora fizer uma promoo com 25% dos livros de menor preo, qual o preo mximodo livro que entrar na promoo?22b)No ms seguinte a editora fez uma promoo com 45% dos livros de preo mais baixo. Qual o preo mximo do livro para entrar na promoo?c)Para fechar o ms, na ltima semana, a gerncia da editora fez uma promoo com 20% doslivros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoo?3-Atabelaabaixorepresentaossalriosdosvendedoresdeumaempresabaseadoemcomisses:salrios(R$) n funcionrios200 I---- 400 6400 I---- 600 10600 I--- 800 24800 I--- 1000 361000 I--- 1200 121200 I---- 1400 4a)A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram.At que valor de vendas o funcionrio receber a meta de vendas?b)Parapremiarosmelhoresvendedores,aempresaresolveuconcederumaabonopara3%dosfuncionriosquetiverammelhordesempenho.Apartirdequesalrioofuncionrioreceber o abono?Respostas:1)Q1=2,88 Q2=4,46 Q3=6,452)a)1,63 b)6,35c)8,7 d)3,49 e)1,95 f)5,753)os funcionrios que tiveram at 2,28 faltas (aproximadamente 3) recebero a cesta bsica.4)a)Os livros que custam at R$24,38 entraro na promoo.b)Os livros que custam at R$31,99 entraro na promooc)Os livros que custam a partir de R$42,08 entraro na promoo.5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas at R$353,33 recebero a meta extra.b)Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 recebero o abono.23MEDIDAS DE DISPERSOSomedidasestatsticasutilizadasparaavaliarograudevariabilidadededispersodosvalores em torno da mdia. Servem para medir a representatividade da mdia.--------------------------I----------------------------- xEx: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13concluiremos que todas possuem a mesma mdia 13.Noentanto,soseqnciascompletamentedistintasdopontodevistadavariabilidadededados.DESVIO MDIO a anlise dos desvios em torno da mdia.Calculamos inicialmente a mdia da amostra. Em seguida identificamos a distncia de cadaelemento da amostra para sua mdia. Finalmente, calculamos o desvio mdio,di = Ixi -x I, logo o desvio mdio ser nFi x XiounFi di Exemplo: Dada a amostra:Xi(amostra) Fi XiFi IdiI=Ixi-xI diFi5 4 20 0,83 3,327 3 21 2,83 8,492 5 10 2,17 10,853 4 12 1,17 4,686 2 12 1,83 3,6618 75 31 nXiFix 17 , 41875Dm =ndiFi72 , 1183124DESVIO PADROXi Fi XiFi IdiI=Ixi-xI di2di2.fi5 4 20 0,83 0,69 2,767 3 21 2,83 8,01 24,032 5 10 2,17 4,71 23,553 4 12 1,17 1,37 5,486 2 12 1,83 3,35 6,7018 75 62,52Desvio padro amostral S = 12nfi di92 , 1 68 , 31752 , 621 1852 , 62 2exemplo:classes Fi Xi XiFi di difi2di fi di22 I--- 4 24 I--- 6 46 I--- 8 58 I--- 10 410 I---12 3COEFICIENTE DE VARIAOTrata-sedeumamedidarelativadedispersotilparaacomparaoemtermosrelativos do grau de concentrao em torno da mdia (expresso em porcentagens)CV = XSX 100Temos:Baixa disperso: CV < 10%Mdia disperso: 10% < CV < 20%Alta disperso: CV > 20%25Exerccios:1-Calcule o desvio mdio das sries abaixo:a)xi Fi2 34 85 106 68 210 1b)salrios n de vendedores70 I---- 120 8120 I---- 170 28170 I---- 220 54220 I---- 270 32270 I---- 320 12320 I---- 370 6total2 Calculeo desvio padro para as tabelas abaixo:a)Idade n de alunos17 318 1819 1720 821 4Totalb)Xi Fi0 301 52 33 14 1Total3-Calcule o desvio padro para a distribuio de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesmadata, selecionadas em uma loja de departamentos.Vl. notas n de notas0 I---- 50 1050 I---- 100 28100 I---- 150 12150 I---- 200 226200 I---- 250 1250 I---- 300 1total4-Calculeo desvio padro para a tabela abaixo:Alturas (cm) n de alunos150 I---- 160 2160 I---- 170 15170 I---- 180 18180 I---- 190 18190 I---- 200 16200 I---- 210 1Total5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior disperso?a)Matemtica: mdia 8,5 e desvio padro 2 Estatstica: mdia 9 e desvio padro 5b)Clculo: mdia 5 e desvio padro 2lgebra: mdia 8 e desvio padro 3Respostas:1)a)1,13 b)45,202)a)1,04 b)0,933)49,464)11,895)a)Estatstica b)ClculoExerccios extras:1 Determine a mdia, moda e mediana nos casos abaixo:a)amostra Fi7 I---- 10 610 I---- 13 1013 I---- 16 1516 I---- 19 1019 I---- 22 5Total27b)amostra Fi1 I---- 3 33 I---- 5 55 I--- 7 87 I---- 9 69 I---- 11 411 I---- 13 3Totalc)Idade n pessoas10 I---- 14 1514 I---- 18 2818 I---- 22 4022 I---- 26 3026 I---- 30 20Totald)amostra fi30 I---- 40 1040 I---- 50 2050 I---- 60 3560 I---- 70 2570 I---- 80 10Totale)amostra fi45 I---- 55 1555 I---- 65 3065 I---- 75 3575 I---- 85 1585 I---- 95 5Total2 Calcule o desvio mdio ,o desvio padro e o coeficiente de variao para as tabelas acima.28Respostas:Exerccio 1:a)mdia: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40b)mdia:6,83moda:6,20 mediana:6,63c)mdia:20,36moda:20,18mediana:20,35d)mdia:55,5 moda:56mediana:55,71e)mdia:66,5 moda:67 mediana:66,43Exerccio 2:a)desvio mdio:2,78 desvio padro: 3,58 CV:24,91b)desvio mdio:2,43 desvio padro: 2,95 CV:43,19c)desvio mdio:3,94 desvio padro:4,89 CV:24,02d)desvio mdio:8,65 desvio padro:11,23CV:20,23e)desvio mdio:8,85desvio padro:10,67CV:16,0529CALCULO DAS PROBABILIDADESAs decises nos negcios so freqentemente baseadas na anlise de incertezas tais como asseguintes:a)Quais so as chances das vendas decrescerem se aumentarmos os preos?b)Qual a chance de um novo mtodo de montagem aumentar a produtividade?c)Qual a probabilidade do projeto terminar no prazo?A probabilidade uma medida numrica da possibilidade de que um evento ocorra. Assim, asprobabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza.EXPERIMENTO ALEATRIOEm uma afirmao do tipo: provvel que meu time ganhe a partida de hoje pode resultar:a)que o time perca;b)que o time ganhe;c)que ele empate.Comovimos,oresultadoimprevisveledependedoacaso.Fenmenoscomoessesochamados fenmenos aleatrios ou experimentos aleatrios.Experimentosaleatriossoaquelesque,mesmorepetidosvriasvezessobcondiessemelhantes, apresentam resultados imprevisveis.ESPAO AMOSTRALAcadaexperimentoaleatrio (E) correspondemem geralavrios resultadospossveisaquechamamos de Espao Amostral (S).Ex: E = jogar um dado e observar o n da face de cimaS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}E = Jogar uma moeda e observar o resultadoS = {cara, coroa}EVENTO qualquer subconjunto do espao amostral S de um experimento aleatrio.Exemplo:No lanamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento obter um n par na facesuperior temos: B = {2, 4, 6}PROBABILIDADEDado umexperimentoaleatrio,sendoSoseuespaoamostral,vamosadmitir que todososelementos de Stenhamamesmachancedeacontecer,chamamosdeprobabilidadedeumevento A o n real P(A) tal que P(A) = n(A)/n(S)onde: n(A) = n de elementos de A ou n de vezes que o avento A pode ocorrern(S) = n de elementos de S ou n de vezes em que o Espao Amostral ocorre.Exemplos:Considerando o lanamento de um dado:-qual a probabilidade do evento A obter um nmero par na face superior.30Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6 A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3Ento: P(A) = 2163-qual a probabilidade do evento B obter um n menor ou igual a 6 na face superiorTemos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6Ento : P(B) = 166-qual a probabilidade do evento C obter um nmero 4 na face superiorTemos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 C = {4}, n( C ) = 1Ento : P ( C) = 61-qual a probabilidade do evento D obter um nmero maior que 6 na face superiorTemos:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6D = vazio, n(D) = 0Ento: P(D) =060Pelos exemplos acima temos:a)A probabilidade do evento certo igual a 1: P(S) = 1 ou 100%b)A probabilidade do evento impossvel 0c)A probabilidade de um evento E qualquer um n real P(E) tal que: 1 ) ( 0 E PEVENTOS COMPLEMENTARESSabemosqueumeventopodeocorrerouno.Sendopaprobabilidadedequeeleocorra(sucesso) e q a probabilidade de que ele no ocorra (insucesso). Ento: p + q = 1 ou q = 1 pEx: lanamento de um dado: P(4) = 1/6Logo a probabilidade de no tirar 4 no lanamento 1 1/6 = 5/6(q)EVENTOS INDEPENDENTESDizemos que dois eventos so independentes quando a realizao (no realizao) de um doseventos no afeta a probabilidade da realizao do outro e vice-versa.Ex: lanamento de dois dados.-Probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado = 1/6-Probabilidade de obtermos 5 no segundo dado = 1/631Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado p = 1/6 x 1/6 = 1/36EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOSDizemosquedoisoumaiseventossomutuamenteexclusivosquandoarealizaodeumexclui a realizao do outro.Ex: lanamento de um dado; a probabilidade de se tirar 3 ou 5em uma jogada :p(3) = 1/6p(5) = 1/6 logop(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3EXERCCIOS:1-Umaurnacontm15bolasnumeradasde1a15.Umabolaextradaaoacasodaurna.Qualaprobabilidadedesersorteadaumabolacomnmeromaiorouiguala11?(Resp:33,33%)2-Um dado lanado e observa-se o nmero da face voltada para cima. Qual a probabilidadedesse nmero ser:a)menor que 3?(33,33%) b)maior ou igual a 3?(66,67%)3-Umamoedalanadatrsvezessucessivamente.Qualaprobabilidadedeobservarmos:a)exatamente uma cara?(37,5%)b)no mximo duas caras?(87,5%)4-Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada(1 a 20):Determine a probabilidade dos eventos abaixo:a)Ser sorteado um nmero par.(50%)b)No ser sorteado mltiplo de 5.(80%)c)Ser sorteado um nmero maior de 12.(40%)d)Ser sorteado um mltiplo do 8.(10%)e)Ser sorteado um nmero maior que 12 e mltiplo de 3.(10%)f)Ser sorteado um nmero par ou nmero maior que 15.(60%)5-Em um lote de 12 peas, 4 so defeituosas. Sendo retirada uma pea do lote, calcule:a)A probabilidade de essa pea ser defeituosa (33,33%)b)A probabilidade dessa pea no ser defeituosa.(66,67%)6-Sero sorteados dois alunos de uma classe pela lista de chamada.(n 1 ao n 25)Determine a probabilidade de:a)Serem sorteados dois nmeros pares.(22%)b)Serem sorteados dois mltiplos do 7.(1%)327-Emumlotede12peas,4sodefeituosas,sendoretiradas2peasdolote,calcule:a)probabilidade de ambas serem defeituosas.(9,09%)b)probabilidade de ambas no serem defeituosas.(R:42,42%)8-Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comisso de cinco alunospararepresentantesdeclasse.Qualaprobabilidadedessacomissoviraserformadaexclusivamente por meninos?(1,26%)9-Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hbitos alimentares dessacomunidade revelou que:25 pessoas consomem carnes e verduras;83 pessoas consomem verduras;39 pessoas consomem carnes.Uma pessoa da comunidade escolhida ao acaso. Qual a probabilidade da pessoa:a)consumir exclusivamente carnes?(14%)b)ter o hbito de no consumir nem carne nem verdura?(3%)10-Umaurnacontm25bolasnumeradasde1a25.Umabolaextradaaoacasodessaurna.a)Qual a probabilidade do nmero sorteado ser mltiplo do 2 ou do 3?(64%)b)Qual a probabilidade do nmero da bola sorteada ser mltiplo do 5 ou do 7?(32%)Exerccios:1-Umdadohonestolanadoeobserva-seonmerodafacevoltadaparacima.Qualaprobabilidade desse nmero ser maior que 4?(33,33%)2-Uma urna contm 10 bolas identificadas pelas letras A, B, ...,J. Uma bola extrada ao acasoda urna e sua letra observada. Qual a probabilidade da bola sorteada ser:a)A?(10%) b)F?(10%)c)vogal? (30%)d)consoante?(70%)3-Paulo quer telefonar para convidar uma colega para sair. Ele sabe que o telefone dela 852-473__,masnoconsegueselembrardoltimoalgarismo.SePaulospossuiumafichatelefnica e decide chutar o ltimo algarismo, qual a probabilidade dele acertar o telefone dacolega?(10%)4-Numaquermesse,humabarracaondefuncionaojogodocoelho.Ocoelhosoltonocentrodeumcrculo,ondesedistribuem12casinhas,numeradasde1a12.Qualaprobabilidade do coelho escolher uma casinha com um nmero mltiplo de 3?(33,33%)5-Umamoedalanadatrsvezessucessivamente.Qualaprobabilidadedeobservarmospelo menos duas caras?(50%)6-Uma loja dispe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.33a)Seumfregusvaicomprarumageladeira,qualaprobabilidadedelevarumadefeituosa?(33,33%)b)Se comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?(9,09%)7-Dois dados so lanados simultaneamente. Qual a probabilidade de:a)a soma ser menor que 4;(8,33%)b)a soma ser nove;(11,11%)c)o primeiro resultado ser maior que o segundo.(41,67%)8Um lote formado por 10 peas boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma pea escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:a)ela no tenha defeitos graves;(87,5%)b)elaseja boa ou tenha defeitos graves.(75%)9 Considere o mesmo lote do problema anterior.Retiram-se 2 peas ao acaso. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?(37,5%)10Umaurnacontm5bolasbrancase6pretas.Trsbolassoretiradas,semreposio.Calcular a probabilidade de:a)Todas as bolas retiradas sejam pretas.(12,12%)b)Todas as bolas retiradas sejam brancas(6,06%)c)As duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira preta.(12,12%)d)Duas pretas e uma branca.(45,45%)11-Numaclassede55alunos,21praticamvleiebasquete,39praticamvleie33praticambasquete. Um aluno da classe escolhido ao acaso.a)Qual a probabilidade do aluno escolhido praticar somente um desses esportes?(54,54%)b)Qual a probabilidade do aluno sorteado no praticar nenhum esporte?(7,27%)12-Umdadolanadoeobserva-seonmerodafacevoltadaparacima.Determineaprobabilidade de observarmos um nmero par ou mltiplo de 3.(66,67%)13-Doisdadossolanadossimultaneamente.Qualaprobabilidadedeseobtersomadospontos igual a 8 ou dois nmeros iguais?(27,78%)Exerccios extras:1-Umnescolhidoaoacasoentreos20inteiros,de1a20.Qualaprobabilidadedonescolhido ser:a)par?(50%)b)mpar?(50%)2-Uma urna contm 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Umabolaescolhidaaoacaso.Qual a probabilidade da bola escolhida ser:a)branca?(30%)b)vermelha?(20%)c)azul?(50%)d)vermelha ou azul?(70%)e)no ser azul?(50%)3-Umaurnacontm6bolaspretas,2bolasbrancase10bolasamarelas.Retiram-seduasbolas da urna, com reposio. Qual a probabilidade das bolas retiradas serem:a)pretas(11,11%)b)amarelas(30,86%)34c)uma branca e uma amarela.(12,34%)4-Uma moeda lanada trs vezes. Ache a probabilidade de se obterem:a)trs caras;(12,5%)b)nenhuma cara.(12,5%)c)duas coroas.(37,5%)5-So lanados dois dados. Qual a probabilidade de:a)obter-se um par de pontos iguais.(16,67%)b)a soma dos pontos ser par.(50%)c)a soma dos pontos ser igual a 6.(13,89%)6-Deumlotede14peas,das quais5sodefeituosas,escolhemos2peasaleatoriamente.Determine:a)a probabilidade de que ambas sejam defeituosas.(10,99%)b)a probabilidade de que ambas no sejam defeituosas.(39,56%)c)a probabilidade de que uma seja defeituosa.(49,44%)7-Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?(6,25%)8-Numa caixa esto 8 peas com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas.a)Uma pea retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta pea seja perfeita ou tenhapequenos defeitos.(65,71%)b)Quatro peas so retiradas ao acaso, sem reposio. Qual a probabilidade de que as quatrotenham grandes defeitos.(0,95%)c)Cincopeassoretiradasaoacaso,comreposio.Qualaprobabilidadedequeascincosejam perfeitas.(1,45%)9-Emumgrupode500estudantes,80estudamEngenharia,150Matemticae10estudamEngenharia e Matemtica. Se um aluno escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:a)ele estude Engenharia e Matemtica.(2%)b)ele estude somente Engenharia(14%)c)ele estude somente Matemtica(28%)d)ele no estude Engenharia nem Matemtica(56%)e)ele estude Engenharia ou Matemtica(44%)10-De um grupo de 200 pessoas, 160 tm fator RH positivo, 100 tm sangue tipo O e 80 tmfatorRHpositivoesanguetipoSeumadessaspessoasforselecionadaaoacaso,qualaprobabilidade de:a)seu sangue ter fator RH positivo?(80%)b)seu sangue no ser do tipo O?(50%)c)seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O?(90%)11-Dispe-se de duas urnas, sendo que na 1 temos 5 bolas azuis, 3 pretas e 4 brancas. Na 2urna temos 6 azuis, 4 pretas e 10 brancas.a)Se uma bola retirada de cada urna, qual a probabilidade de termos a 1 bola preta ea2bola azul.b)Formar um par de bolas azuis.c)Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor?d)Formar um par de bolas brancas.12-Um nmero inteiro escolhido ao acaso entre os nmeros de 1 a 30.Qualaprobabilidadede que:35a)O nmero seja divisvel por 3.(33,33%)b)O nmero seja divisvel por 5 ou por 3.(46,67%)c)O nmero seja divisvel por 5 e por 3.(6,67%)13-Umaurnacontm5bolasverdes,8azuis,4pretase2brancas.Calcularaprobabilidadede:a)Sair 3 bolas verdes.(1,03%)b)Sair 4 bolas azuis(1,81%)c)Sair 2 bolas pretas.(3,51%)1Distribuio BinomialVamosimaginarfenmenoscujosresultadosspodemserdedoistipos,umdosquaisconsiderado como sucesso e o outro insucesso. Este fenmeno pode ser repetido tantas vezesquantosequeira(nvezes),nasmesmascondies.Asprovasrepetidasdevemserindependentes,isto,oresultadodeumanodeveafetarosresultadosdassucessivas.Nodecorrerdoexperimento,aprobabilidadepdosucessoeaprobabilidadedeq(q=1-p)doinsucesso,manter-se-oconstantes.Resolveremosproblemasdotipo:determinaraprobabilidadedeseobterxsucessosemntentativas.NessascondiesXumavarivelaleatria discreta que segue uma distribuio binomial.Frmula: P(x) = x nq .xp .xn

, ,, ,_ __ _

P(x) = a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.n = n de vezes que o experimento aleatrio repetidox = n de sucessos em n tentativasp = a probabilidade de que o evento se realize em uma s prova = sucesso.q = a probabilidade de que o evento no se realize no decurso dessa prova = insucesso. n x o coeficiente binomial de n sobre x, igual a)! ( !!x n xnOBS: O nome binomial devido frmula, pois representa o termo geral do desenvolvimentodo binmio de Newton.Exemplo:1- Uma moeda lanada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de seremobtidas 3 caras nessas 5 provas.

1 Profa.Roseli Nunes36n=5x=3 p=50%(0,5)q=50%(0,5)% 25 , 31 25 , 0 125 , 0 10 5 , 0 5 , 0)! 3 5 ( ! 3! 5) 3 (3 5 3 x x x x x PEXERCCIOS1- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time Aganhar 4 jogos.(8,23%)2-Umexamedotipotesteconstitudode10questesdotipocertoeerrado.Seumestudanterespondeasquestesaoacaso,qualaprobabilidadedequeeleacerte5questes?(24,61%)3- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A:a- ganhar dois ou trs jogos;(54,87%)b- ganhar pelo menos um jogo;(91,22%)4-Aprobabilidadedeumatiradoracertaroalvo2/3.Seeleatirar5vezes,qualaprobabilidade de acertar exatamente 2 tiros?(16,46%)5- Seis parafusos so escolhidos ao acaso da produo de certa mquina, que apresenta 10%de peas defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?(9,84%)6-Numhospital5(cinco)pacientesdevemsubmeter-seaumtipodeoperao,daqual80%sobrevivem. Qual a probabilidade de que todos os pacientes sobrevivam?(32,77%)7-Se30%dascanetasdecertamarcasodefeituosas,acharaprobabilidadedequenumaamostra de 10 canetas, escolhidas ao acaso, desta mesma marca tenhamos nenhuma canetadefeituosa.(2,82%)8- Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade de se formar 0,3.Determineaprobabilidadedequeentre6estudantesescolhidosaleatoriamente,1(um)seforme.(30,25%)9 Uma moeda jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades:a)de ocorrer 6 caras.(20,51%)b)de dar pelo menos 2 caras(98,92%)c)de no dar nenhuma coroa.(0,098%)10Se3%dascalculadorasdecertamarcasodefeituosas,acharaprobabilidadedequenuma amostra de 10 calculadoras escolhidas ao acaso seja encontrada:a)Nenhuma defeituosa.(73,74%)b)5 canetas defeituosas.(0,0005%)c)Pelo menos 2 defeituosas.(3,45%)d)No mximo 3 defeituosas.(99,95%)11 Uma moeda no viciada lanada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:a)dar 5 caras;(21,88%)b)pelo menos 1 cara;(99,6%)c)no mximo 2 caras.(14,46%)37Exerccios extras:1-Umestudante temprobabilidadep=0,8deacertarcadaproblemaquetenhaqueresolver.Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6.(R:29,36%)2-Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira, Supondo que asvezesqueeleatira,soensaiosindependentes,qualaprobabilidadedeleacertarnoalvoexatamente 4 vezes, se ele d 8 tiros? (R:4,6%)3-A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos 0,6. De um grupode 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?(R:25,9%)4-Umexameconstade20questestipocertoouerrado.Seoalunochutartodasasrespostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 10 questes?(R:17,6%)5-Namanufaturadecertoartigo,sabidoqueumentredezdosartigosdefeituoso.Qualaprobabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha:a)nenhum defeituoso? (65,61%) c)no mximo um defeituoso?(94,77%)b)exatamente um defeituoso?(29,16%)6-Umauniversidadedescobriuque20%deseusestudantesretiram-sesemcompletaroprimeiro ano. Considere que 20 estudantes tenham se matriculado este semestre.a)Qual a probabilidade de que pelo menos 2 se retirem?(93,08%)b)Qual a probabilidade de que no mximo 5 se retirem?(80,42%)7-Osregistrosdeumaempresaindicamque30%dasfaturasexpedidassopagasapsovencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de:a)exatamente 3 serem pagas com atraso?(R:26,68%)b)no mximo 2 serem pagas com atraso?(38,28%)c)pelo menos 3 serem pagas com atraso?(61,72%)8-Umapequenalojaaceitachequesparapagamentodecomprasesabeque12%doschequesapresentamalgumtipodeproblema(faltadefundos,roubado,etc).Senumadeterminadasemanaela recebeu15cheques, qualaprobabilidadede que todososchequessejam bons?(14,70%)9-Umexamedotipotesteconstitudode20questes,cadaumadelascom5respostasalternativas,dasquaisapenasumacorreta.Seumestudanterespondeasquestesaoacaso, qual a probabilidade de que:a)Acerte pelo menos 1 questo.(98,84%)b)Erre pelo menos 19 questes.(6,92%)DISTRIBUIO NORMALEntreasdistribuiestericasdevarivelaleatriacontnua,umadasmaisempregadasadistribuio Normal.Muitasdasvariveisanalisadasnapesquisascio-econmicacorrespondemdistribuionormal ou dela se aproximam.Frmula:Z = SX X Propriedades da distribuio normal:381 - A varivel aleatria X pode assumir todo e qualquer valor real.2 - A representao grfica da distribuio normal uma curva em forma de sino, simtrica emtorno da mdia, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.3-Areatotallimitadapelacurvaepeloeixodasabscissasiguala1,jqueessareacorresponde probabilidade de a varivel aleatria X assumir qualquer valor real.4-Acurvanormalassintticaemrelaoaoeixodasabscissas,isto,aproxima-seindefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcan-lo.5 - Como a curva simtrica em torno da mdia, a probabilidade de ocorrer valor maior que amdiaigualprobabilidadedeocorrervalormenordoqueamdia,isto,ambasasprobabilidadessoiguaisa0,5ou50%.Cadametadedacurvarepresenta50%deprobabilidade. Quandotemosemmosumavarivelaleatriacomdistribuionormal,nossoprincipalinteresseobteraprobabilidadedeessavarivelaleatriaassumirumvaloremumdeterminado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.Exemplo:SejaXavarivelaleatriaquerepresentaosdimetrosdosparafusosproduzidospor certa mquina. Vamos supor que essa varivel tenha distribuio normal com mdia = 2 cme desvio padro = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o dimetro com valor entre2 e 2,05 cm ?P ( 2 < X < 2,05) = ?Com o auxlio de uma distribuio normal reduzida, isto , uma distribuio normal de mdia =0 e desvio padro = 1. Resolveremos o problema atravs da varivelz , onde z = (X - ) / Utilizaremostambmumatabelanormalreduzida,quenosdaprobabilidadedeztomarqualquer valor entre a mdia 0 e um dado valor z, isto : P ( 0 < Z < z)NonossoproblemaqueremoscalcularP(2