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EA611 – Circuitos II – FEEC – UNICAMP – Aula 19
1
Esta aula:
Componentes Simétricas - Aplicação
Desequilíbrio em sistemas trifásicos podem ser
causados por:
Geradores não equilibrados,
Cargas não equilibradas,
Linhas de transmissão não equilibradas.
Qualquer que seja ao motivo do desequilíbrio
de um sistema, a análise por meio de
componentes simétricas requer que
representemos todos os elementos do circuito
por meio de seus equivalentes em componentes
simétricas.
A transformação empregando componentes
simétricas levará a um circuito onde as
sequências são desacopladas (como em um
circuito equilibrado, onde as fases são
desacopladas), permitindo a análise isolada de
cada sequência.
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Vamos estudar aqui como representar uma
carga equilibrada por meio de componentes
simétricas.
Antes, vamos estabelecer uma notação que
facilitará a manipulação das variáveis.
Na definição dos conceitos básicos de
componentes simétricas, escrevemos:
)2(
)1(
)0(
A
A
A
C
B
A
V
V
V
T
V
V
V
,
em que AV , BV e CV são os fasores no sistema
original, enquanto que )0(AV , )1(
AV e )2(AV são os
fasores de referência de cada sequência (0, 1 e
2, respectivamente).
Chamaremos:
C
B
A
ABC
V
V
V
V e
)2(
)1(
)0(
012
A
A
A
V
V
V
V .
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Para uma carga qualquer, podemos escrever
ABCABCABC
IZV ,
em que ABCZ é a matriz de impedância
(mostraremos mais adiante como determinar
uma matriz ABCZ ).
Sabemos que
012
VTV ABC e 012ITI ABC
Portanto
012012
ITZVTABC
Pré-multiplicando ambos os lados por 1T ,
temos
0121012
012
ITZTV
Z
ABC .
Ou seja:
TZTZABC1012
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Carga estrela equilibrada
Consideremos a carga equilibrada em estrela,
com uma impedância entre o neutro da carga e
o terra (g). Ia
ZYVan
n
g
nI
ngVZYZY
a
b
c
g
Vag
Zn
A tensão entre o ponto a e o terra, denotada por
agV , vale
nnYaag ZIZIV
Sabendo que cban IIII , então
ncnbnYaag ZIZIZZIV
Usando o mesmo procedimento para as tensões
bgV e cgV , podemos escrever:
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c
b
a
nYnn
nnYn
nnnY
cg
bg
ag
I
I
I
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
V
V
V
Portanto, uma carga equilibrada em estrela, com
o neutro conectado ao terra, tem matriz de
impedância dada por
nYnn
nnYn
nnnY
ABC
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
Z
Calculando 012Z , usando TZTZ
ABC1012 ,
chegamos a
Y
Y
nY
Z
Z
ZZ
Z
00
00
003012
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Portanto
)2(
)1(
)0(
)2(
)1(
)0(
00
00
003
A
A
A
Y
Y
nY
A
A
A
I
I
I
Z
Z
ZZ
V
V
V
Ou
)0()0( 3 AnYA IZZV )1()1(
AYA IZV )2()2(
AYA IZV
Vemos, então, que as três componentes são
desacopladas.
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Representado por meio de circuitos, temos:
ZYIA(0)
3ZnVA(0)
Z0 = ZY +3Zn
VA(1)
ZYIA(1)
Z1 = ZY
ZYIA(2)
VA(2)
Z2 = ZY
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A partir deste caso geral, podemos derivar casos
particulares:
Carga equilibrada em estrela, com
aterramento:
Z0 =ZY +3Zn
Z1 =ZY
Z2 =ZY
Carga equilibrada em estrela, solidamente
aterrada Zn = 0( ):
Z0 =Z1 =Z2 =ZY
Carga equilibrada em estrela, com centro
isolado
Neste caso, temos Zn = ¥. Para determinarmos
os valores das impedâncias Z0, Z1
e Z2 de cada
sequência, vamos buscar relações na forma
Z0 =VA
(0)
IA(0)
, Z1 =VA
(1)
IA(1)
e Z2 =VA
(2)
IA(2)
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Consideremos novamente o circuito anterior,
agora usando Zn = ¥.
Ia
ZYVan
n
g
0=nI
gnVZYZY
a
b
c
g
Vag
As tensões de fase podem ser escritas como:
gn
gn
gn
cg
bg
ag
cn
bn
an
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Mas, sabemos que
c
b
a
Y
Y
Y
cn
bn
an
I
I
I
Z
Z
Z
V
V
V
00
00
00
.
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Portanto
1
1
1
00
00
00
gn
cg
bg
ag
c
b
a
Y
Y
Y
V
V
V
V
I
I
I
Z
Z
Z
Aplicando a transformação para componentes
simétricas, temos
1
1
1
00
00
00
)2(
)1(
)0(
)2(
)1(
)0(
gn
A
A
A
A
A
A
Y
Y
Y
V
V
V
V
T
I
I
I
T
Z
Z
Z
Pré-multiplicando ambos os lados por 1T ,
temos
0
0
1
00
00
00
)2(
)1(
)0(
)2(
)1(
)0(
gn
A
A
A
A
A
A
Y
Y
Y
V
V
V
V
I
I
I
Z
Z
Z
ou, ainda
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0
0
1
)2(
)1(
)0(
)2(
)1(
)0(
gn
A
A
A
A
A
A
Y V
V
V
V
I
I
I
Z
Note, no entanto, que
)2(
)1(
)0(
2
2
1
1
111
A
A
A
c
b
a
I
I
I
I
I
I
T
ou
c
b
a
A
A
A
I
I
I
I
I
I
T
1
2
2
)2(
)1(
)0(
1
1
111
3
1
Note ainda que, como não há conexão entre o
neutro da carga e o terra (veja o circuito),
temos:
0 cba III .
Assim, da expressão matricial acima, temos
03
1)0( cbaA IIII .
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Portanto
0
0
10
)2(
)1(
)0(
)2(
)1(gn
A
A
A
A
AY V
V
V
V
I
IZ
ou
0
0
0
)2(
)1(
)2(
)1(
)0(gn
A
AY
A
A
A V
I
IZ
V
V
V
e finalmente
YZZZ 21
Por fim, para determinarmos o valor de 0Z ,
vamos relembrar que
0
)0()0(
Z
VI A
A .
e, para que 0)0( AI , devemos ter
0Z
Note que a tensão do neutro (ou seja, a tensão
entre o neutro da carga e o terra) é a tensão da
sequência zero.
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Exercício:
Considere o circuito abaixo, com carga
equilibrada, e gerador desequilibrado. Ia
ZYVan
ZYZY
a
bc
nVbnVcn Ib
Ic
A impedância da carga é 68 jYZ . O
gerador trifásico tem conexão estrela, com o
neutro conectado ao terra. As tensões de fase do
gerador são
V 210agV , V 210jbg V e V 210jcg V
Determine as correntes de linha.
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Solução:
Linhas gerais da solução: Vamos determinar as
componentes simétricas das tensões do gerador
e as impedâncias das sequências. Aplicando a
lei de Ohm, determinamos as componentes
simétricas das correntes. Por fim, convertemos
de volta para as grandezas originais.
Note que a carga tem a forma estrela
equilibrada, com centro isolado.
Portanto, sabemos que as impedâncias das
sequências zero, positiva e negativa são:
0Z
e 6821 jYZZZ
As componentes simétricas das tensões são:
cg
bg
ag
A
A
A
V
V
V
V
V
V
T
1
2
2
)2(
)1(
)0(
1
1
111
3
1
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Ou
24,51
24,191
70
210
210
210
1
1
111
3
1
1
2
2
j
j
T
Portanto
V
A
A
A
24,51
24,191
70
)2(
)1(
)0(
V
V
V
As correntes valem, então:
070
0
)0()0(
ZA
A
VI
AjZ
oAA 9,3612,19
68
24,191
1
)1()1(
VI
AjZ
oAA 13,14312,5
68
24,51
1
)2()2(
VI
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Agora, usando
)2(
)1(
)0(
2
2
1
1
111
A
A
A
c
b
a
I
I
I
I
I
I
T
chegamos a
Aoa 9,3614 I
Aob 3,14513,22 I
Aoc 6,7113,22 I
Note que, como esperado,
0 cba III ,
e
0 anbnba VVZIZI .
