Estado de Tensões e Círculo de Mohr

8/18/2019 Estado de Tensões e Círculo de Mohr

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Universidade Federal de Pernambuco - UFPE

Departamento de Engenharia Mecânica - DEMEC

Centro de Tecnologia e Geociências - CTG

Estudo Dirigido 2Estado de Tensão e o Círculo de Mohr

PROFESSOR: Carlson Verçosa

!"#O: ndr$ !ui% &o'es Mo%

(ril)2*+,

Universidade Federal de Pernambuco - UFPE

Departamento de Engenharia Mecânica - DEMEC

Centro de Tecnologia e Geociências - CTG


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Estudo Dirigido 2

Estado de Tensão e o Círculo de Mohr

(ril)2*+,

Tra(alho da disci-lina de Mec.nica dos

S/lidos 20 'inistrada -elo -ro1essor Carlson

Verçosa0 re1erente ao segundo Estudo

Dirigido e solicitado no dia ++)*)2*+,0

reali%ado -elo aluno ndr$ !ui% &o'es Mo%

da Tur'a MM


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UM!"#$

• 3#TROD"45O

• P!#O DE TR6!7O

• EST"DO D3R3&3DO

+8 CRCTER3945O E DEF3#345O

28 E"C3O#ME#TO DS TE#S;ES

8 TE#S;ES M#3MS

8+ TE#S;ES PR3#C3P3S

82 TE#S;ES MRC"!O DE MO7R

A8+ E"45O DO C>RC"!OA82 3#TERPRET45O &R


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Este tra(alho te' -or o(etio o a-ro1unda'ento acerca do estudo so(re osEstado de Tenses e o Círculo de Mohr0 (e' co'o suas a-licaçes0 de1iniçese características8 Para u' (o' di'ensiona'ento de ualuer -ro(le'a0 1a%Gsede eHtre'a rele.ncia o estudo aui detalhado0 -artindo de u'a anIlise 'aisgeral e introdut/ria at$ u'a isão esue'Itica do estado de tensão e sua

a-lica(ilidade no Círculo de Mohr8


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P()%$ DE T")*)(+$

+8 !er o 'aterial: JIntrodução ao Estado Triplo de Tensões” ?Estado -lano de

tenses: o -ro(le'a de utoalor e utoetor@8

28 De1inir o Estado Du-lo de Tensão0 caracteri%ar o ue se conhece ?o ue $

dado@ e o ue se uer ? σ x' , τ x' y ' @8 3lustrar co' 1iguras0 tantas uantas 1ore'

necessIrias88 -resentar as euaçes:

i8

σ x−¿ σ y2

+τ xy sin 2θ

σ x+¿ σ y

2 +¿

σ x' =¿

ii8 τ x' y ' =−σ x σ y

2sin2θ+τ xy cos2θ

iii8 σ y' =¿

σ x−¿ σ y2

cos2θ−τ xysin 2θ

σ x+¿σ y

2 −¿

¿

3n1or'ara o ue cada u'a delas re-resenta e usti1icar -orue se

tra(alha a-enas co' σ x' e τ x' y ' 0 deiHando σ y' a -arte8

O6S: Considere: K [ σ x τ xyτ xy σ y ] e P K [ cosθ sinθ−sinθ cosθ] 0 o(tenha B= PA P

t

8 O ue di%er do ele'ento de 6L

A8 Deriar as euaçes i e ii e' relação a θ 0 1or'ulando o -ro(le'a de

'IHi'o e 'íni'o -ara encontrar:

i8

σ x−¿ σ y2

¿2+¿ τ xy

2

¿

σ x +¿σ y2

+√ ¿

σ máx=¿


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8

σ x−¿σ y2

¿2+¿ τ xy

2

¿

σ x +¿σ y2 −√ ¿

σ mín=¿

i8

σ x−¿σ y2

¿2+¿ τ xy

2

¿

τ máx=∓√ ¿

8 EH-licar ?descreer@ a 'ani-ulação das euaçes i e ii -ara se o(ter a euação

σ x+¿ σ y2

σ x' −¿2

¿

N

σ x−¿ σ y2

¿

¿

τ x' y ' 2=¿

8 Fa%er a inter-retação grI1ica desta euação0 ue $ o

Círculo de Mohr ?1a%er desenho ilustratio@0 caracteri%ando seus ele'entos

?centro0 raio0 -ontos -rinci-ais ?tenses 'IHi'as0 'íni'as e cisalha'ento

'IHi'o e 'íni'o@@8 EH-licar0 co'o se tra(alha co' o Círculo de Mohr8,8 neHar o JPro(le'a Co'-leto8

ETUD$ D#"#G#D$

, De.ini/0o Geral

#a 'ec.nica de 'eios contínuos0 di%Gse ue u' 'aterial estI so( o Estado

Plano de Tensão uando o ector de tensão nor'al a u'a su-er1ície ? σ z ¿

-articular $ %ero8 uando esta situação ocorre so(re u' ele'ento de estruturainteiro0 co'o $ o caso de -lacas 1inas0 a anIlise de tenses si'-li1icaGseconsiderael'ente0 I ue o estado de tensão -ode ser re-resentado -or u'tensor de di'ensão 2 ?a-resentIel atra$s de u'a 'atri% de 2 2 e' e% deu'a 'atri% @8 s tenses (iaHiais a-arece' e' anIlise de igas0 eiHos0cha-as etc8 O estado -lano de tensão ocorre ti-ica'ente e' -lacas 1inas ue

são sueitas a-enas a 1orças de carga -aralelas a elas8 "'a noçãorelacionada0 estado -lano de de1or'ação0 $ ta'($' a-licIel e' 'e'(ros

https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_de_meios_cont%C3%ADnuoshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_(mec%C3%A2nica)https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_tens%C3%B5es_e_deforma%C3%A7%C3%B5eshttps://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Estado_Plano_de_Deforma%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1https://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_de_meios_cont%C3%ADnuoshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Tens%C3%A3o_(mec%C3%A2nica)https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_tens%C3%B5es_e_deforma%C3%A7%C3%B5eshttps://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Estado_Plano_de_Deforma%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1


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'uito es-essos8 Sea0 então0 u'a cha-a retangular co' es-essura unitIriaco' tenses nor'ais e tangenciais atuando so( esta cha-a co' u'aconenção de sinais de1inida co'o a 1igura a(aiHo:

De1inido o estado -lano de tenses0 te'os e' 'ãos u' conunto de tenses0atuando e' deter'inado -onto0 ue nos são 1ornecidas ?conhece'os de

algu' eito@ tais co'o σ x ?tensão nor'al@ e τ xy ?tensão tangencial@8 Por

outro lado0 uere'os encontrar o alor dessas tenses uando a-licadas e'u' -lano gen$rico ue corte a cha-a nu'a direção ualuer0 sendo estas

designadas -or σ x' e τ x' y ' .

Tensão #or'al:

Q * T")&'$

Q * C$MP"E'$

Tensão Tangencial:

EscolheGse u'a 1ace0 se Q 1or de tração e concordar co' o eiHo H ou U -ara ser -ositio8 Caso Q sea de co'-ressão e concordar co' o eiHo H ou U0 -ara ser -ositio0 terI de discordar do sentido -ositio de H ou de U8

De u' 'odo geral0 o o(etio do estudo $ o(ter as tenses nor'ais e)outangenciais e' u' -lano gen$rico ue corta a cha-a nu'a direção ualuer8&ra1ica'ente te'os:


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1 E2uacionamento das Tens3es

De u' 'odo geral0 o o(etio do estudo $ o(ter as tenses nor'ais e)ou

tangenciais e' u' -lano gen$rico ue corta a cha-a nu'a direção ualuer8Para isso0 1are'os u'a anIlise de euilí(rio de 1orças co'o a seguir:


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3'-ondo o euilí(rio de 1orças na direção HW 0 te'os:

Si'-li1icando a euação aci'a:

Sa(endoGse ue:

tra$s de arti1ícios trigono'$tricos0 chega'os X:

Reagru-ando:

3'-ondo agora o euilí(rio de 1orças na direção UW0 chega'os de 1or'aanIloga a:


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Estas euaçes são as eH-resses gerais -ara tensão nor'al e tangencial0

res-ectia'ente0 e' ualuer -lano de1inido -elo .ngulo θ e -roocadas

-or u' elenco de tenses conhecidas8 Sintetica'ente0 conheceGse σ x 0 τ xy

0 σ y e se uer σ x' 0 τ x' y ' 0 σ y' 8 &eral'ente0 tra(alhaGse a-enas co'

as duas -ri'eiras tenses0 -ois o cIlculo de σ y' se dI direta'ente a -artir

de σ x' 0 (asta0 su(stituir'os θ -or θ+90o

na euação de σ x' e

chega'os a:

σ y' =¿

σ x−¿ σ y2

cos2θ−τ xysin 2θ

σ x+¿σ y

2 −¿

¿

PodeGse colocar as eH-resses de trans1or'ação de coordenadas na 1or'a

'atricial0 escreendo B= PA Pt

0 onde K [ σ x τ xyτ xy σ y ] e P K

[ cosθ sinθ−sinθ cosθ] 0 sendo P a 'atri% de trans1or'ação e Pt a sua trans-osta8

Sendo assi'0 te'os ue 6 serI dada -or: 6 K [ σ x' τ x' y ' τ x ' y ' σ y ' ] 8 ssi'0 osele'entos da 'atri% 6 são as tenses ue uere'os calcular0 as tenses e'u' -lano gen$rico no estado de tenses8

4 Tens3es M56imas e M7nimas

Freuente'ente0 no estudo das tenses0 o interesse estI oltado -ara a

deter'inação da 'aior e da 'enor tensão0 dadas -elas eH-resses de σ x' 0

τ x' y ' e σ y' ?caso -lano@ e0 ta'($'0 e' ue -lanos ocorre' tais tenses8

Para isto0 deria'os as euaçes das duas -ri'eiras tenses citadas aci'a

e' relação a

θ

8


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4, Tens3es Principais

Para o cIlculo das tenses -rinci-ais0 -rocede'os da seguinte 'aneira:

τ x ' y ' K *

−σ x σ y

2sin 2θ+τ xy cos2θ=0

2θ1=

2 τ xy

σ x−¿ σ y

¿ tan¿

Ou ainda:

d σ x '

dθ K *

σ x−¿ σ y2

cos2θ+2 τ xysin2θ=0

−2¿

Y2θ

1=

2 τ xy

σ x−¿ σ y

tan ¿

Dessa 1or'a0 concluí'os ue:

, θ1 K $ o .ngulo ue deter'ina ual o -lano onde atua' as tenses

'IHi'as8

1 2θ1 K -ode ser dois alores e estes se de1asa' de +Z* [8 #u' certo alor

de θ ' 1 atua a 'IHi'a tensão nor'al e noutro alor θ ' ' 1 de1asado de \* [

atua a 'íni'a tensão nor'al8 Para sa(er ual o -lano e' ue atua u'a

deter'inada tensão0 -or eHe'-lo σ 1 0 (asta su(stituir na 1/r'ula de σ x' 0 o

alor de θ -or θ1 e deter'inar o alor da tensão8 Co' isso0 co'-ara'os

o alor encontrado co' os de σ 1 e σ 2 0 se0 -or eHe'-lo0 σ x' =¿ σ 1 0

então θ1 indica o -lano de σ 1 8

Os -lanos e' ue atua' as 'IHi'as tenses são cha'ados de -lanos-rinci-ais de tensão e as tenses 'IHi'as são cha'adas tenses -rinci-ais8


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Fa%endo u'a anIlise grI1ica da tan 2θ1 ?Círculo de Mohr ue serI isto co'

'ais detalhes nas -r/Hi'as sesses@0 te'os:

Fa%endo u'a anIlise da 1igura aci'a0 -ode'os chegar a:

Y

σ x−¿ σ y2

¿2+¿ τ xy

2

¿

σ x +¿σ y2

+√ ¿

σ máx=¿

Y

σ x−¿σ y2

¿2+¿ τ xy

2

¿

σ x +¿σ y2

−√ ¿

σ mín=¿

ue são as tenses -rinci-ais0 onde

σ x−¿σ y2

¿2+¿τ xy

2

¿

r=√ ¿

8 Veri1icaGse0 ainda0 ue

σ m á x=σ 1 e σ m ín=σ 2


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41 Tens3es M56imas Cisalhantes 8tangenciais9

gora0 uere'os encontrar as tenses 'IHi'as cisalhantesτ

x ' y ' .

Para isso0

-rocede'os si'ilar'ente ao desenoli'ento anterior0 desta e% -or$'0deriando a euação de

τ x ' y ' e' relação a θ e chega'os a:

Y2θ

2=−

σ x−¿σ y2 τ xy

tan ¿

ssi' θ2 indica ual -lano a tensão tangencial $ 'IHi'a ou 'íni'a8

Concluí'os desse 'odo ue:2θ

2

te' dois alores e cha'ando deθ '

2

eθ ' '

2 0 estes alores estão de1asados de \* [8 ssi' os -lanos de 'IHi'a

tensão tangencial estão a A [ dos -lanos -rinci-ais de tensão8 Su(stituindoGse

2θ2=−

σ x−¿σ y2 τ xy

tan¿

na euação deτ

x ' y ' 0 desco(ri'os ue:

Y

σ x−¿σ y

2

¿2+¿ τ xy

2

¿

τ máx=∓√ ¿

Dessa 1or'a a 'IHi'a tensão tangencial di1ere da 'íni'a a-enas -elo sinal8Do -onto de ista 1ísico esses sinais não te' signi1icado e -or esta ra%ão a'aior tensão tangencial serI cha'ada de tensão 'IHi'a tangencial ou decisalha'ento8 o contrIrio das tenses -rinci-ais0 -ara as uais não eHiste'tenses de cisalha'ento ?tangenciais@0 as 'IHi'as tenses de cisalha'ento

atua' e' -lanos não lires de tenses nor'ais8

: $ C7rculo de Mohr

-/s reali%ar u'a anIlise de tenses e' u' cor-o 'aterial assu'ido co'ou' 'eio contínuo0 as co'-onentes do tensor tensão e' u' deter'inado-onto do cor-o são conhecidas e' relação a u' siste'a de coordenadas8

O círculo de Mohr $ então usado -ara deter'inar gra1ica'ente asco'-onentes de tensão e' relação a u' siste'a rotacionado0 isto $0 agindo

https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_tens%C3%B5es_e_deforma%C3%A7%C3%B5eshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_de_meios_cont%C3%ADnuoshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttps://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_tens%C3%B5es_e_deforma%C3%A7%C3%B5eshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A2nica_de_meios_cont%C3%ADnuoshttps://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas


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so(re u' -lano de orientação di1erente -assando so(re o -onto8 a(scissa ea ordenada de cada -onto do círculo são as 'agnitudes da tensão nor'al eda tensão cisalhante atuando so(re u' siste'a de coordenadas rotacionado8E' outras -alaras0 o círculo $ o Jlugar dos -ontos ue re-resenta' o estadode tensão so(re -lanos indiiduais e' todas as suas orientaçes0 onde os

eiHos re-resenta' os eiHos -rinci-ais dos ele'entos de tensão8

:, ) e2ua/0o do C7rculo de Mohr

Para o(ter'os a euação ue re-resenta o Círculo de Mohr0 -rocedere'os daseguinte 'aneira:

Sea' as euaçes de trans1or'ação de tensão de σ x' e deτ

x ' y ' onde

a euação deσ

x' $ colocada da seguinte 1or'a:

Eleando ao uadrado a e8 aci'a e a e8 deτ

x ' y ' e so'andoGas0 te'Gse:

e8 aci'a -ode ser colocada de 'aneira 'ais co'-acta:

Esta ]lti'a euação -or sua e% $ a euação de u' círculo de raio:

e centro0

O círculo construído desta 'aneira $ cha'ado círculo de tenses de Mohr0

onde a ordenada de u' -onto so(re o círculo $ a tensão de cisalha'ento τ

e a a(cissa $ a tensão nor'al σ 8

https://pt.wikipedia.org/wiki/Abscissahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Ordenadahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Abscissahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Ordenada


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:1 #nterpreta/0o gr5.ica

"'a inter-retação grI1ica acerca do Círculo de Mohr $ de eHtre'a rele.ncia-ara o entendi'ento -or co'-leto do assunto0 -or isso destacaGse aui u'ailustração do círculo0 (e' co'o de seus ele'entos ?raio0 centro e -ontos-rinci-ais@8

r

lgu'as o(seraçes ale' ser ressaltadas aui:

, 'aior tensão nor'al -ossíel $ Q+ e a 'enor $ Q28 #estes -lanos nãoeHiste' tenses de cisalha'ento8

1 'aior tensão de cisalha'ento τ máx $ igual ao raio do círculo e u'a

tensão nor'al de

σ x +¿σ y2

¿

atua e' cada u' dos -lanos de 'IHi'a e 'íni'a

tensão de cisalha'ento8

4 Se Q+ K Q20 o círculo de Mohr se degenera e' u' -onto0 e não sedesenole' tenses de cisalha'ento no -lano HU8

: Se QH N QU K *0 o centro do círculo de Mohr coincide co' a orige' dascoordenadas Q G 0 e eHiste o estado de cisalha'ento -uro8

; Se so'a das tenses nor'ais e' uaisuer dos -lanos 'utua'ente-er-endiculares $ constante: QH N QU K Q+ N Q2 K QH^ N QU^ K constante8


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:4 Procedimento de trabalho anIlise do Círculo de Mohr -arece0 -or e%0 u' -ouco co'-licada8 Para isso0desenolere'os a seguir u' -rocedi'ento (Isico de tra(alho a1i' de 1acilitar o estudo dos -ro(le'as de estado de tensão:

,= Deter'inar σ x > σ y e τ xy ?geral'ente são dados no -ro(le'a@

1= Deter'inar o centro ? σ m 0 τ m @ do círculo de tenses de Mohr:

4= Deter'inar o raio R do círculo de tenses de Mohr:

:=

!ocali%ar o -onto ? σ x

0 τ xy

@ no círculo de tenses de Mohr:

;= Calcular as tenses -rinci-ais σ 1 e σ 2 ?'aior e 'enor tenses

nor'ais@:


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C$%C(U'$

o t$r'ino do -resente estudo0 chegaGse a conclusão da eHtre'a i'-ort.nciaue se 1a% u' entendi'ento 'ais a'-lo e a-ro1undado acerca do Estado deTenses e sua a-lica(ilidade co' o Círculo de Mohr8 Estes nos -er'ite'desenoler os cIlculos das tenses co' 'uita 1acilidade0 nos -er'itindo u'aanIlise 'ais co'-leta e -recisa acerca dos es1orços -resentes nos 'ateriaisde estudo8 s 'IHi'as tenses -rinci-ais e cisalhantes e suas 1unçes noCírculo de Mohr nos auda' a analisar os crit$rios de 1alha e ru-tura de certos'ateriais8 Por isso0 o estudo aui relatado0 se 1arI releante se'-re ue 1or necessIria u'a anIlise acerca das tenses -resentes e' deter'inado

'aterial de estudo8


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"EFE"A%C#) *#*(#$G"!F#C)

, 6EER0 F8P8 e `O7#STO#0 `R80 E8R8 Resistncia dos Materiais0 8[ Ed80Mabron 6oobs0 +\\

1 7366E!ER0 R8C8 Resistncia dos Materiais0 8[ Ed80 Editora !iros T$cnicose Cientí1icos0 2***

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Estado de Tensões e Círculo de Mohr