ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES ... - · PDF filenos estudos na área de Geotecnia. ... 2.2.2 Critério linear de Mohr-Coulomb 7 ... 4.3.2 Efeitos de reforço em problemas de

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM DESCONTINUIDADES DE ROCHA UTILIZANDO A TÉCNICA DA

FOTOELASTICIDADE

SÉRGIO VEIGA FLEURY

Orientador: ANDRÉ PACHECO DE ASSIS, PhD

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM GEOTECNIA PUBLICAÇÃO: G.DM-083/01

Brasília / DF: Julho / 2001

ii

UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

ANÁLISE DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES EM DESCONTINUIDADES DE ROCHA UTILIZANDO A TÉCNICA DA

FOTOELASTICIDADE

SÉRGIO VEIGA FLEURY

Dissertação de Mestrado submetida ao Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da Universidade de Brasília como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre. Aprovado por: ______________________________________ André Pacheco de Assis, PhD, UnB (ORIENTADOR) ______________________________________ Ennio Marques Palmeira, PhD, UnB (EXAMINADOR INTERNO) ______________________________________ Izabel Christina A. D. Azevedo, DSc, UFV (EXAMINADOR EXTERNO) Brasília, 09 de julho de 2001.

iii

FICHA CATALOGRÁFICA

FLEURY, SÉRGIO VEIGA Análise da Distribuição de Tensões em Descontinuidades de Rocha Utilizando a Técnica da Fotoelasticidade.

xxii, 147 p., 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Geotecnia, 2001) Dissertação de Mestrado - Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1. Mecânica das Rochas 2. Fotoelasticidade 3. Ensaios de laboratório 4. Modelagem Física I. ENC/FT/UnB II. Título (série)

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA FLEURY, S.V. (2001). Análise da Distribuição de Tensões em Descontinuidades de Rocha Utilizando a Técnica da Fotoelasticidade. Dissertação de Mestrado, Publicação G.DM - 083/01, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF, 147 p. CESSÃO DE DIREITOS NOME DO AUTOR: Sérgio Veiga Fleury TÍTULO DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO: Análise da Distribuição de Tensões em Descontinuidades de Rocha Utilizando a Técnica da Fotoelasticidade. GRAU: Mestre ANO: 2001 É concedida à Universidade de Brasília a permissão para reproduzir cópias desta dissertação de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor. _____________________________ Sérgio Veiga Fleury Rua T-47, nº 355, apto. 1702 – Setor Oeste 74140-120 – Goiânia – GO – Brasil Tel. (0xx62) 253 1949

iv

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus pais pelo incentivo constante e à minha esposa que durante

esse período nunca deixou de me apoiar.

v

AGRADECIMENTOS

Aos meus pais e irmãos, pela confiança e encorajamento. A minha esposa Juliana pela

dedicação, apoio e carinho sempre presentes.

Ao Professor André pelos conhecimentos transmitidos e principalmente pelo incentivo,

paciência e amizade demonstrados durante toda a nossa convivência.

Aos professores do Programa de Pós-graduação em Geotecnia da UnB pelo

aprendizado, orientação e pela solicitude.

Ao Professor Mauricio Sales e ao engenheiro Nelson Caproni por terem me incentivado

nos estudos na área de Geotecnia.

A FURNAS Centrais Elétricas S.A., que através do Centro Tecnológico de Engenharia

Civil, localizado em Goiânia (GO), disponibilizou os equipamentos e meios para a execução

dos ensaios com utilização da técnica da fotoelasticidade.

Aos engenheiros de FURNAS S.A.; Adhemar, Cláudia, Emídio, Renato, Wanderson e

Taylor e geólogos Carlos e Magalhães pelo apoio e compreensão nos momentos em que

foram necessárias as ausências das atividades normais de trabalho. Ao Engenheiro João Luiz

Armelin pelo auxílio na definição de diretrizes para a realização dos ensaios.

Aos colegas e amigos Alcindo, Aldo, Alessandra, André, Carlos, Cíntia, Edson, Gilson,

Janaina, João Carlos, João Renato, Lílian, Marilene, Marisaides, Moacyr, Nelson,

Huberlandy, Newton, Paulo, Rideci e Ronny pela convivência e amizade que indiretamente

permitiram a realização deste trabalho.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro.

vi

RESUMO

O estudo das descontinuidades de rocha é necessário para a compreensão do

comportamento de deformação, resistência e permeabilidade dos maciços rochosos.

Freqüentemente essas estruturas geológicas governam as condições de estabilidade e

deformabilidade das estruturas de engenharia em rocha. As características da superfície das

descontinuidades afetam o seu comportamento ao cisalhamento, em particular a rugosidade.

Enquanto a avaliação da resistência ao cisalhamento de descontinuidades rochosas encontra-

se satisfatoriamente resolvida, ainda permanece um relativo grau de incerteza na estimativa da

área real de contato e o seu efeito na variação da distribuição e concentração de tensões nas

proximidades de regiões onde o cisalhamento ocorre. Esta dissertação apresenta uma revisão

bibliográfica dos principais aspectos que influenciam nas propriedades de deformabilidade e

resistência das descontinuidades e um estudo fotoelástico que procura avaliar a influência da

rugosidade. A técnica experimental da fotoelasticidade por reflexão foi utilizada para

investigar a distribuição de tensões em descontinuidades com diferentes graus de rugosidade,

reproduzidas em modelos fabricados artificialmente em resina epóxi. Essa técnica de análise

de tensões permitiu avaliar a contribuição das irregularidades na distribuição de tensões sob

carregamento uniaxial e sob cisalhamento. Também foi ensaiado um modelo obtido de um

perfil de descontinuidade real, com boa reprodução da morfologia da superfície, mostrando

ser viável o estudo de rugosidades naturais por meio de modelagem física. São apresentados

ainda os princípios da fotoelasticidade, bem como as técnicas para interpretação e

quantificação dos parâmetros fotoelásticos, os materiais mais utilizados e métodos para sua

escolha e calibração.

vii

ABSTRACT

The study of rock discontinuities is necessary for understanding the rock mass behavior

in terms of deformability, strength and permeability. Frequently, these geologic structures

govern the stability and deformability of rock engineering works. The surface characteristics

of rock discontinuities affect its shear behavior, in particular the roughness. White the

evaluation of the discontinuity shear strength is well developed; the estimative of the actual

contact area still needs better understanding and consequently its influence on the stress

distribution and concentration on local areas where the shear happens. This dissertation

presents a bibliography review on the main aspects, which influence the deformability

proprieties and strength of discontinuities. It also reviews how photoelastic technique may be

used to evaluate the roughness effects. The photoelasticity experimental technique by

reflection was used to investigate the stress distribution on discontinues with different grades

of roughness, reproduced by artificial models made of epoxy resin. Stress analyses were

performed to evaluate the roughness effects during uniaxial compression and shear tests. The

principles of photoelasticity are also presented, as well as the interpretation and quantification

of photoelastic parameters, and the adopted materials and methods for their selection and

calibration.

viii

ÍNDICE

Capítulo Página

1 INTRODUÇÃO 1

1.1 OBJETIVO 2

1.2 ESCOPO DA DISSERTAÇÃO 3

2 COMPORTAMENTO GERAL DAS DESCONTINUIDADES ROCHOSAS 4

2.1 INTRODUÇÃO 4

2.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO 4

2.2.1 Comportamento durante o cisalhamento 5

2.2.2 Critério linear de Mohr-Coulomb 7

2.2.3 Comportamento de dilatância 8

2.2.4 Modelo de Barton e Bandis para descontinuidades rochosas 10

2.2.5 Modelo de Ladanyi & Archambault 12

2.2.6 Modelo de Denby & Scoble 14

2.3 DEFORMABILIDADE DAS DESCONTINUIDADES 14

2.3.1 Conceito de rigidez normal e tangencial 15

2.3.2 Deformabilidade normal 16

2.3.2.1 Descontinuidades encaixadas 17

2.3.2.2 Descontinuidades deslocadas 22

2.3.2.3 Comparação entre rigidez de descontinuidades encaixadas e deslocadas 23

2.3.3 Deformabilidade tangencial 23

2.4 EFEITO DE ESCALA E SUA IMPLICAÇÃO NO MODELO DE BARTON E BANDIS 27

2.5 MECANISMO DE DEFORMAÇÃO E RUPTURA DAS IRREGULARIDADES 28

2.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 31

3 TEORIA DA FOTOELASTICIDADE 32

3.1 INTRODUÇÃO 32

3.2 NATUREZA DA LUZ 33

3.3 FUNDAMENTOS DA LUZ POLARIZADA 35

ix

3.4 MATERIAIS BIRREFRINGENTES E FOTOELÁSTICOS 37

3.5 POLARISCÓPIOS 42

3.5.1 Polariscópio plano 42

3.5.2 Polariscópio circular 44

3.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 46

4 TÉCNICAS E APLICAÇÕES DA FOTOELASTICIDADE 47

4.1 INTERPRETAÇÃO DO PADRÃO DE FRANJAS FOTOELÁSTICAS 47

4.1.1 Interpretação da distribuição das deformações 47

4.1.2 Comportamento característico das franjas 49

4.1.3 Relações entre ordem das franjas e as magnitudes de deformações e tensões 50

4.1.4 Determinação das direções das deformações principais 52

4.2 MEDIDAS PONTUAIS 53

4.2.1 Método de compensação por balanço nulo 54

4.2.2 Separações de deformações e/ou tensões 54

4.3 CORREÇÕES DAS MEDIDAS DA ORDEM DAS FRANJAS 57

4.3.1 Birrefringência inicial 57

4.3.2 Efeitos de reforço em problemas de tensão plana 59

4.4 MATERIAIS FOTOELÁSTICOS 59

4.4.1 Materiais utilizados 61

4.4.2 Calibração do material fotoelástico 62

4.4.3 Seleção de revestimentos fotoelásticos 62

4.4.3.1 Método de aplicação do revestimento 62

4.4.3.2 Sensibilidade 63

4.4.3.3 Efeito de reforço 64

4.4.3.4 Deformação máxima 65

4.5 MODELOS FOTOELÁSTICOS 66

4.6 REGISTRO DE APLICAÇÃOS DA FOTOELASTICIDADE EM MECÂNICA DAS ROCHAS 68

5 ENSAIOS DE CISALHAMENTO COM A TÉCNICA DA

FOTOELASTICIDADE 72

5.1 INTRODUÇÃO 72

5.2 MATERIAIS 72

5.2.1 Revestimento 72

x

5.2.2 Modelos 76

5.3 ENSAIOS 81

5.4 DESCRIÇÃO E FUNCIONAMENTO DO POLARISCÓPIO 85

5.4.1 Descrição do analisador 87

5.4.2 Acessórios 88

5.5 PROCEDIMENTOS DE OBTENÇÃO DOS PARÃMETROS FOTOELÁSTICOS 88

5.5.1 Aquisição automática de dados 89

5.5.2 Registro fotográfico e análise de campo completo 91

5.5.3 Separação de deformações 91

5.5.3.1 Configuração do instrumento e alinhamento para medições de separação de

deformações 91

5.5.3.2 Procedimento para medida das deformações 92

5.5.3.3 Redução de dados 93

5.5.3.4 Convenção de sinais para uso com medidas de incidência oblíqua e compensação

por balanço nulo 93

5.5.4 Efeito de reforço 94

5.6 ANÁLISE FOTOELÁSTICA 94

6 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO E ANÁLISE

FOTOELÁSTICA 96

6.1 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO 96

6.2 EFEITO DAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 107

6.3 DESCRIÇÃO DE UM ENSAIO COMPLETO 109

6.4 EFEITO DA RUGOSIDADE SOB COMPRESSÃO UNIAXIAL 115

6.5 EFEITO DA RUGOSIDADE DURANTE O CISALHAMENTO 121

6.6 ESTUDO DO MODELO DE DESCONTINUIDADE REAL 134

7 CONCLUSÕES 140

7.1 MODELAGEM DO COMPORTAMENTO DAS DESCONTINUIDADES 140

7.2 ANÁLISE EXPERIMENTAL POR FOTOELASTICIDADE 140

7.3 ANÁLISE FOTOELÁSTICA DOS ENSAIOS 142

7.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS 143

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 145

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura Página

Figura 2.1 – Envoltórias de resistência de pico e residual (modificado – Brady & Brown,

1985).................................................................................................................. 5

Figura 2.2 – Comportamento ao cisalhamento das descontinuidades (modificado – Goodman,

1980).................................................................................................................. 6

Figura 2.3 – Envoltória bilinear de resistência (modificado – Brady & Brown, 1985)..... 9

Figura 2.4 – Relação entre tensão normal e deslocamento total para descontinuidades

encaixadas e deslocadas, comparadas com a curva para rocha intacta

(modificado, Bandis et al., 1983).................................................................... 19

Figura 2.5 - Influência da rugosidade e alteração da descontinuidade no comportamento

de fechamento (modificado – Barton, 1986)................................................. 21

Figura 2.6 – Influência da escala na resistência ao cisalhamento de descontinuidades

(modificado – Bandis, 1990)..............................................................................28

Figura 2.7 – Mecanismo de deformação e ruptura (modificado – Xu & Freitas, 1990).... 29

Figura 3.1 – Onda de luz.....................................................................................................33

Figura 3.2 – Diferença de fase entre ondas.........................................................................34

Figura 3.3 – Polarização da luz (modificado – Measurements Group, 1981).................... 36

Figura 3.4 – Luz polarizada plana (modificado – Dyer, 1985)...........................................36

Figura 3.5 – Luz polarizada circular (modificado – Dyer, 1985).......................................37

Figura 3.6 – Placa birrefringente (modificado – Gomes, 1984)......................................... 37

Figura 3.7 – Polariscópio plano (modificado – Measurements Group, 1981)...................43

Figura 3.8 – Polariscópio circular (modificado – Measurements Group, 1981)................45

Figura 4.1 – Franjas observadas sob luz monocromática (Measurements Group, 1984).. 48

Figura 4.2 – Determinação da direção das deformações principais (modificado –

Measurements Group, 1984).......................................................................... 53

Figura 4.3 – Franjas isoclínicas em incrementos de 15º, em anel carregado

diametralmente (modificado – Measurements Group, 1981)......................... 53

Figura 4.4 – Polariscópio equipado com o compensador e equipamento para leitura

xii

e registro dos dados de deformação............................................................... 55

Figura 4.5 – Adaptador para incidência oblíqua fixado no polariscópio........................... 55

Figura 4.6 – Trajetória da luz nas medidas de incidência oblíqua (modificado –

Measurements Group, 1984).......................................................................... 56

Figura 4.7 – Distribuição das isocromáticas em um estudo da propagação de fissuras em

problemas de fraturamento hidráulico (Franklin & Dusseault, 1989) ........... 70

Figura 5.1 – Viga para calibração do revestimento fotoelástico........................................ 74

Figura 5.2 – Gráfico de ordem da franja pela leitura do micrômetro ................................ 75

Figura 5.3 – Aspecto da placa quando moldada em temperatura ambiente superior

a 25°C ............................................................................................................ 77

Figura 5.4 – Detalhe da montagem do corpo-de-prova nos ensaios de compressão

uniaxial........................................................................................................... 78

Figura 5.5 – Curvas tensão-deformação da resina epóxi utilizada na fabricação dos

modelos .......................................................................................................... 79

Figura 5.6 – Evidências da concentração de tensões devido irregularidades nas

extremidades .................................................................................................. 79

Figura 5.7 – Evidências da colagem deficiente do revestimento fotoelástico.................... 80

Figura 5.8 – Preparação dos modelos ................................................................................ 80

Figura 5.9 – Modelo obtido a partir de descontinuidade de biotita-xisto .......................... 81

Figura 5.10 – Perfis de rugosidade dos modelos................................................................ 82

Figura 5.11 – Vista geral da prensa e de um ensaio em andamento................................... 82

Figura 5.12 – Caixa de cisalhamento para ensaios fotoelásticos........................................ 83

Figura 5.13 – Vista do conjunto para ensaios de cisalhamento direto e prensa de carga

controlada ........................................................................................... ........... 84

Figura 5.14 – Detalhe da prensa de carga controlada utilizada nos ensaios de

cisalhamento direto ........................................................................................ 84

Figura 5.15 – Representação esquemática de um polariscópio de reflexão (modificado

Measurements Group, 1984) ......................................................................... 85

Figura 5.16 – Polariscópio de reflexão .............................................................................. 86

Figura 5.17 – Esquema do analisador (modificado Measurements Group, 1984) ............ 87

Figura 5.18 – Acessórios utilizados com o polariscópio.................................................... 89

xiii

Figura 6.1 – Gráficos de tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade

plana................................................................................................................ 97

Figura 6.2 – Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para

descontinuidade plana..................................................................................... 97

Figura 6.3 – Envoltória de resistência de Mohr-Coulomb para descontinuidade plana.... 98

Figura 6.4 – Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com

JRC igual a 3................................................................................................... 101


descontinuidade com JRC igual a 3................................................................ 101

Figura 6.6 – Gráficos tensão deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC

igual a 8........................................................................................................... 102


descontinuidade com JRC igual a 8................................................................ 102

Figura 6.8 – Gráficos tensão deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC

igual a 15......................................................................................................... 103


descontinuidade com JRC igual a 15.............................................................. 103

Figura 6.10 – Envoltórias de resistência para descontinuidade com JRC igual a 3........... 105

Figura 6.11 – Envoltórias de resistência para descontinuidade com JRC igual a 8........... 105

Figura 6.12 – Envoltórias de resistência para descontinuidade com JRC igual a 15......... 106

Figura 6.13 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade plana no ensaio de

cisalhamento direto......................................................................................... 108

Figura 6.14 – Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e

valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e

u = 0,0 mm...................................................................................................... 110



u = 2,5 mm...................................................................................................... 111



u = 4,0 mm...................................................................................................... 112

Figura 6.17 – Evolução da máxima tensão cisalhante máxima com o deslocamento........ 113

Figura 6.18 – Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob

compressão axial............................................................................................. 116

xiv





Figura 6.21 – Evolução da máxima tensão cisalhante máxima na compressão axial.........119


compressão axial e deslocamento horizontal de 2,5 mm................................ 120

Figura 6.23 – Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante

ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa...................... 122

















Figura 6.32 – Evolução da máxima tensão cisalhante........................................................ 134

Figura 6.33 – Gráficos tensão-deformação cisalhante para descontinuidade de

biotita-xisto..................................................................................................... 134

Figura 6.34 – Gráficos tensão-deformação cisalhante para modelo................................... 135

Figura 6.35 – Envoltórias de resistência para modelo e rocha........................................... 136

Figura 6.36 – Distribuição de isocromática no ensaio de cisalhamento com tensão normal de

0,5 MPa .......................................................................................................... 136


1,0 MPa .......................................................................................................... 137

xv


2,0 MPa .......................................................................................................... 138

Figura 6.39 – Evolução da máxima tensão cisalhante no modelo e da máxima diferença entre

deformações principais na rocha.................................................................... 139

xvi

LISTA DE TABELAS

Tabela Página

Tabela 4.1 – Condições de ensaio e sensibilidade esperada (modificada – Measurements

Group, 1984)...................................................................................................... 65

Tabela 5.1 – Propriedades físicas e óticas da placa de revestimento fotoelástico.............. 73

Tabela 5.2 – Propriedades físicas da resina utilizada na fabricação dos modelos.............. 78

Tabela 5.3 – Propriedades físicas da biotita-xisto.............................................................. 85

Tabela 6.1 – Resultados dos ensaios realizados com o martelo de Schmidt...................... 99

Tabela 6.2 – Estimativa dos valores do coeficiente de rugosidade das descontinuidades.. 100

Tabela 6.3 – Parâmetros mecânicos característicos............................................................ 104

Tabela 6.4 – Determinação das deformações e tensões principais individuais.................. 115

Tabela 6.5 - Máxima diferença entre deformações principais e tensão cisalhante

máxima........................................................................................................... 133

xvii

LISTA DE SIMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES

A constante do modelo de Denby & Scoble

a constante do modelo hiperbólico para fechamento de descontinuidades

A constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades

a razão entre a rigidez tangencial secante no escoamento e a tensão normal

A rugosidade relativa

A vetor luminoso

ABCM Associação Brasileira de Ciências Mecânicas

Abstr. Abstracts

aj abertura inicial da descontinuidade

as razão entre a área das asperezas cisalhadas e a área cisalhada total

b coeficiente de escala dos eixos x e y

B constante do modelo de Denby & Scoble

B constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades

b constante do modelo hiperbólico para fechamento de descontinuidades

B deslocamento tangencial relativo

Braz. Brazilian

c coesão aparente

C constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades

c velocidade de propagação da luz no vácuo

C constante do modelo de Goodman para fechamento de descontinuidades

C constante ótica

cm centímetro

Conf. Conference

Cong. Congress

cos co-seno

Cpr fator de correção da ordem de franja para reforço no estado de tensão plana

D constante empírica do modelo de Bandis para fechamento de descontinuidades

d diferença de fase linear entre duas ondas

desl. Deslocada

dh deslocamento tangencial

xviii

E módulo de elasticidade

E* razão entre o módulo de elasticidade do revestimento fotoelástico e o do objeto

em ensaio

eds. editors

enc. encaixada

et al. et alli (e outros)

Eurock European Rock Mechanics Symposium

f constante de franja ou sensibilidade do revestimento

f coeficiente de atrito de pico sob σn

f freqüência

fε constante de franja ou sensibilidade do revestimento em termos de deformação

fσ constante de franja ou sensibilidade do revestimento em termos de tensão

G giga (x 109)

Geomech. Geomechanics

h espessura

h* razão entre a espessura do revestimento fotoelástico e a do objeto em ensaio

Hz hertz

i ângulo de inclinação das irregularidades

i ângulo de dilatância

I intensidade da luz

IBRAM Instituto Brasileiro de Mineração

Int. International

ISRM International Society of Rock Mechanics

J. Journal

JCS resistência à compressão das paredes da descontinuidade

JRC coeficiente de rugosidade da descontinuidade

JRCm rugosidade mobilizada

JRCp rugosidade natural ou nominal da descontinuidade

K coeficiente ótico de deformação do material fotoelástico

K kilo (x 103)

K1 constante do modelo de Ladanyi & Archambault

K2 constante do modelo de Ladanyi & Archambault

Kj número de rigidez

xix

Kn e Knn rigidez normal

Kni rigidez normal inicial

Kns rigidez normal devido a deslocamentos cisalhantes

Ks e Kss rigidez cisalhante

Ksi rigidez cisalhante tangente inicial

Ksm rigidez cisalhante máxima

Ksn rigidez tangencial devido a deslocamentos normais

Kst rigidez cisalhante para um dado nível de tensão normal e cisalhante

Ksy rigidez tangencial secante no escoamento

L comprimento

LVDT linear variable displacement transducer

m parâmetro do modelo de Ladanyi & Archambault

m constante do modelo hiperbólico para deformabilidade tangencial

M mega (x 106)

m metro

Mech. Mechanics

min minuto

Min. Mining

mm milímetro

n índice de refração ou densidade ótica

N ordem da franja ou diferença de fase

n razão entre resistência à compressão uniaxial e resistência à tração da rocha

n nano (x 10-9)

N Newton (unidade de força)

n subscrito para campo

n constante do modelo hiperbólico da deformabilidade tangencial

Nθ ordem da franja sob incidência oblíqua

Nf birrefringência final

Ni birrefringência inicial

nj expoente de rigidez (inclinação da relação log-log entre a rigidez cisalhante

inicial Ksi e σn)

Nn ordem da franja sob incidência normal

o subscrito para laboratório

p subscrito para modelo ou peça em ensaio

xx

p constante da formulação semi-logarítmica para fechamento de

descontinuidades deslocadas

p. página

pa pressão atmosférica

Pa pascais

pp. entre páginas

Proc. Proceedings

PUC Pontifícia Universidade Católica

q constante da formulação semi-logarítmica para fechamento de

descontinuidades deslocadas

r número de reação de Schmidt em superfícies de descontinuidades úmidas

R número de reação de Schmidt em superfícies serradas secas

r subscrito para revestimento

Ref. Referência

Rfj razão de ruptura ou razão da tensão de ruptura pela tensão predita

s segundo

Sci. Sciences

sen seno

Symp. Symposium

t tempo

t constante do modelo de Goodman para fechamento de descontinuidades

T período da radiação

tan tangente

tult assíntota horizontal da hipérbole τ- dh.

u deslocamento cisalhante ou tangencial

UK United Kingdom

up deslocamento tangencial de pico

USA United States of America

USP Universidade de São Paulo

v velocidade de propagação da luz

v deslocamento normal

Vi fechamento irreversível

Vm fechamento máximo

Vmc fechamento máximo

xxi

vol. volume

ym amplitude do vetor luminoso

z razão entre a tensão de escoamento e tensão cisalhante de pico

∆D variação de deflexão

∆Vj variação do fechamento da descontinuidade sob uma dada tensão normal

∆Vr variação de deformação da rocha intacta.

∆Vt variação da deformação total do bloco com descontinuidade sob tensão normal

φ ângulo de atrito

φm ângulo de atrito mobilizado

φR ângulo de atrito residual

φb ângulo de atrito básico

ν razão de dilatância devido o cisalhamento (igual a dy/dx)

µ coeficiente médio de atrito para superfícies de contato (igual a tanφb)

η grau de encaixe

ν coeficiente de Poisson

δ retardação relativa

β ângulo entre o eixo de polarização do analisador e a direção das tensões

principais

β ângulo de incidência da luz polarizada com o eixo rápido de um material

birrefringente

γxy deformação cisalhante máxima no plano da superfície

τmax tensão cisalhante máxima

βi parâmetro de isoclínica da tensão principal maior na birrefringência inicial

βf parâmetro de isoclínica da tensão principal maior na birrefringência final

γw peso unitário da água

γmax deformação cisalhante máxima

ε deformação

εx, εy deformações principais

σc resistência à compressão não confinada da rocha intacta

σn tensão normal

σi tensão normal inicial

σt resistência à tração

xxii

σT tensão de transição

σx, σy tensões principais

τ tensão de cisalhamento

τf resistência ao cisalhamento de pico

µ micro (x 10-6)

γ peso específico

τy tensão de escoamento

λ comprimento de onda

º graus

ºC graus Celsius

% por cento

1

1. INTRODUÇÃO

As descontinuidades rochosas são de grande interesse nos estudos de estabilidade de

estruturas em engenharia. As propriedades de deformabilidade e resistência das

descontinuidades são componentes fundamentais do comportamento de um maciço rochoso

fraturado. Em baixos níveis de tensão, como em escavações próximas a superfície ou mesmo

sob altos níveis de tensão associados com grandes estruturas, o deslizamento e fechamento

das descontinuidades constituem a principal parcela da deformação dos maciços. Já os seus

parâmetros de rigidez normal e tangencial exercem grande influência na distribuição das

tensões e deslocamentos dentro do maciço, constituindo importantes dados de entrada nas

técnicas de simulação numérica. O entendimento completo da resposta das descontinuidades

em termos de deformação em relação à variação da rugosidade, resistência das paredes e

abertura também é essencial no estudo da permeabilidade dos maciços rochosos (Bandis et al.,

1983). Devido a sua importância no comportamento dos maciços rochosos, modelos próprios

para interfaces e descontinuidades são fundamentais nas análises de estabilidade (Ichikawa et

al., 1990).

A literatura apresenta um grande número de trabalhos documentando aspectos da

resistência ao cisalhamento e do comportamento tensão-deformação das descontinuidades.

Desde Patton (1966), pesquisadores têm apresentado diferentes modelos constitutivos para

simular a resposta das descontinuidades às diversas solicitações. De acordo com Bandis

(1990) existem duas principais linhas para a descrição quantitativa das propriedades

mecânicas das descontinuidades de rocha: a aproximação teórica, a qual adota teorias

conhecidas, como plasticidade, teoria do contato etc; e a aproximação empírica, na qual uma

grande quantidade de dados é analisada para derivar correlações entre as variáveis de

influência e formular modelos de acordo com o comportamento observado. Outros trabalhos

combinam as duas aproximações ou tratam o problema analiticamente.

O comportamento ao cisalhamento das descontinuidades de rocha depende das

características da sua superfície, em particular da rugosidade que é um dos fatores de maior

influência nas suas propriedades mecânicas. Contudo, não é bem claro quais fatores da

rugosidade influem na resistência ao cisalhamento, de modo que a descrição da morfologia e

os efeitos nas propriedades mecânicas dos maciços rochosos têm sido objeto de muitos

estudos no campo da mecânica das rochas. Este problema foi objeto de diversas investigações

2

e numerosos modelos de cisalhamento foram propostos, entre eles os de Patton (1966),

Ladanyi & Archambault (1970), Barton & Choubey (1977) e Kodikara & Johnston (1994).

No estudo da influência da rugosidade no comportamento ao cisalhamento das

descontinuidades registram-se trabalhos de diversos autores que conduziram ensaios em

descontinuidades rugosas artificiais regulares e irregulares, fabricadas a partir de resina,

argamassa e outros materiais. Como exemplo cita-se os trabalhos de Patton (1966),

Chryssanthakis & Barton (1990), Handanyan et al. (1990), Xu & Freitas (1990), Ichikawa et

al. (1990), Fishman (1990), Hyett & Hudson (1990), Kimura et al. (1993), Kodikara &

Johnston (1994) e Kusumi et al. (1996).

De modo a contribuir para o entendimento da influência da rugosidade no

comportamento das descontinuidades utilizou-se neste trabalho a técnica da fotoelasticidade,

um método ótico para análise experimental de tensões. A técnica consiste em medir um estado

de tensão ou de deformação, a partir do qual outro pode ser calculado. O método permite a

visualização global do campo de tensões, visualização de pontos críticos e de gradientes de

deformação.

Este trabalho apresenta os resultados de um estudo fotoelástico para investigar a

distribuição de tensões em descontinuidades com diferentes graus de rugosidade. De acordo

com Hyett & Hudson (1990) existem evidências de que em rochas o mecanismo de

deformação pode ser determinado pelo contato de pontos distintos melhor do que pelo contato

uniforme das superfícies opostas, situação que pode ser avaliada com a utilização da

fotoelasticidade.

1.1 OBJETIVO

Esta dissertação tem como objetivo utilizar a técnica da fotoelasticidade na análise de

distribuição de tensões nas descontinuidades de rocha verificando a sua aplicabilidade. Nesta

técnica, são utilizados modelos físicos para a determinação qualitativa e quantitativa do estado

interno de tensões de um corpo sujeito a cargas aplicadas. Para tanto serão utilizados modelos

artificiais reduzidos reproduzindo diferentes graus de rugosidade de descontinuidades

(diferentes JRC – coeficiente de rugosidade da junta), e um perfil representativo de uma

descontinuidade real. O efeito das diferentes rugosidades no campo de tensão é estudado sob

carregamento de compressão uniaxial e de cisalhamento. Com a interpretação do padrão

fotoelástico desenvolvido, pretende-se avaliar qual a extensão do campo de tensões que é

perturbado pelos pontos de contato, qual a influência da morfologia da superfície e qual o

efeito para paredes desencaixadas. Como o segredo da modelagem do problema está na

3

reprodução fiel da morfologia da superfície da descontinuidade, a viabilidade da utilização de

resina epóxi na obtenção dos perfis de rugosidade e da solução fotoelástica na análise da

distribuição de tensões foram avaliadas.

Apresenta-se ainda uma revisão da técnica da fotoelasticidade com uma descrição do

método e de técnicas para a análise de tensão pela fotoelasticidade.

1.2 ESCOPO DA DISSERTAÇÃO

A dissertação está estruturada em sete capítulos, sendo o primeiro capítulo esta

introdução, onde se faz a apresentação do trabalho, de seus objetivos e escopo.

O Capítulo 2 apresenta o comportamento mecânico das descontinuidades rochosas em

termos de sua resistência ao cisalhamento e de sua deformabilidade sob solicitações de

esforços normais e cisalhantes. São apresentadas algumas formulações utilizadas na

modelagem desse comportamento.

O Capítulo 3 apresenta a teoria que permite a interpretação dos fenômenos fotoelásticos

e os principais conceitos envolvidos na análise de tensões através da fotoelasticidade.

As técnicas utilizadas para quantificação e interpretação dos fenômenos fotoelásticos

são apresentadas no Capítulo 4. Neste capítulo também são relacionados os principais

materiais utilizados em fotoelasticidade e métodos para a sua calibração, os parâmetros que

influenciam na sua seleção e os diferentes modos de aplicação. Ao final são apresentadas

algumas aplicações da técnica de análise de tensões por fotoelasticidade na mecânica das

rochas.

O Capítulo 5 relaciona os materiais utilizados na fabricação dos modelos utilizados

neste trabalho, bem como as suas propriedades e os principais equipamentos e procedimentos

utilizados nos ensaios e na análise fotoelástica.

O Capítulo 6 apresenta e discute os resultados dos ensaios de cisalhamento e da análise

fotoelástica. Mostra ainda a potencialidade da técnica e analisa a influência da rugosidade no

comportamento ao cisalhamento e de fechamento das descontinuidades.

No Capítulo 7 são apresentadas as principais conclusões deste trabalho e sugestões para

pesquisas futuras.

4

2 COMPORTAMENTO GERAL DAS DESCONTINUIDADES ROCHOSAS

2.1 INTRODUÇÃO

O comportamento mecânico dos maciços rochosos é determinado pelas propriedades e

características da rocha intacta e das descontinuidades. As descontinuidades apresentam, de

um modo geral, propriedades desfavoráveis de deformabilidade e resistência tendo grande

influência no comportamento mecânico do meio em estudo. As descontinuidades conferem

aos maciços rochosos características de anisotropia e heterogeneidade.

De acordo com a ISRM (1977) descontinuidade é o termo geral para qualquer

descontinuidade mecânica de um maciço rochoso que não possua nenhuma ou baixa

resistência à tração. É, assim, um termo coletivo para a maioria dos tipos de estruturas

geológicas tais como juntas, falhas, planos de acamamento e zonas de fraqueza.

A descrição das propriedades mecânicas das descontinuidades de rocha requer o

conhecimento de seu comportamento tensão-deformação, a definição de métodos para a

descrição quantitativa dos parâmetros que mais o influenciam e de modelos que o simulem de

modo realístico. Apesar dos inúmeros estudos desenvolvidos, a descrição do comportamento

mecânico das descontinuidades é limitada, devido a fatores como complexidade de seu

comportamento, problemas de escala (efeito de escala) e a pouca documentação de vários

aspectos das descontinuidades (Bandis, 1990).

2.2 RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO

O cisalhamento de descontinuidades de um maciço corresponde ao fenômeno de atrito

das paredes e à ruptura das irregularidades das superfícies do plano de deslizamento. O

mecanismo de cisalhamento é diferente entre descontinuidades com paredes em contato

(encaixadas) e com as paredes separadas (deslocadas), e entre descontinuidades preenchidas e

não preenchidas, resultando em uma grande diferença na resistência ao cisalhamento e nas

características de deformação. Caso a descontinuidade não esteja preenchida, a rugosidade, a

resistência à compressão e as condições das paredes são importantes. Estando preenchidas, as

propriedades físicas e mineralógicas do material de preenchimento são fundamentais. Neste

trabalho, somente o caso de descontinuidades não preenchidas será considerado.

O ensaio de cisalhamento direto é o método mais comumente utilizado para estudar o

cisalhamento de descontinuidades em rocha. O ensaio consiste em aplicar uma tensão normal

5

σn ao plano da descontinuidade, e uma tensão cisalhante, τ, necessária para produzir um

deslocamento. A tensão de cisalhamento é aumentada até que se alcance a resistência de pico,

geralmente atingida após um pequeno deslocamento. Com a continuação da aplicação da

tensão de cisalhamento e conseqüente deslocamento, a resistência ao cisalhamento diminui

até atingir a chamada resistência residual. Desta forma duas envoltórias de resistência podem

ser obtidas com os resultados dos ensaios de cisalhamento direto, a envoltória de resistência

ao cisalhamento de pico e residual, conforme apresenta a Figura 2.1.

Figura 2.1 - Envoltórias de resistência de pico e residual (modificado – Brady & Brown, 1985)

2.2.1 COMPORTAMENTO DURANTE O CISALHAMENTO

A Figura 2.2 (Goodman, 1980) apresenta o comportamento tensão-deslocamento das

descontinuidades. A Figura 2.2.a mostra as descontinuidades sob tensão normal de

compressão, σn, sem a aplicação de tensão tangencial. Desta forma a descontinuidade é

comprimida produzindo o seu fechamento (v). O comportamento do deslocamento normal

devido à tensão de compressão é altamente não linear e, para altos valores de σn, atinge um

valor constante representado pelo fechamento máximo, Vmc.

O comportamento ao cisalhamento pode ser observado nas Figuras 2.2.b e 2.2.c. Para

uma descontinuidade limpa e rugosa cisalhada sob tensão normal zero a dilatância irá ocorrer

como mostra a curva superior da Figura 2.2.b. Se a resistência ao cisalhamento é função

somente do atrito, a tensão de cisalhamento será desprezível conforme apresenta a Figura

2.2.c. Para valores sucessivamente superiores de tensão normal (σn = A, B, C e D) o

deslocamento normal inicial será a, b, c e d, conforme mostra a Figura 2.2.a e o

comportamento da dilatância pelo deslocamento tangencial e do deslocamento tangencial

6

devido à tensão tangencial, sob as respectivas tensões normais são apresentadas nas Figuras

2.2.b e 2.2.c. Com o aumento da tensão normal o fenômeno de dilatância é progressivamente

limitado porque as irregularidades começam a ser rompidas durante o cisalhamento.

Figura 2.2 - Comportamento ao cisalhamento das descontinuidades (modificado - Goodman, 1980).

Caso o ensaio seja conduzido com tensão normal inicialmente igual a zero e restrição do

deslocamento normal ao plano, ou seja, com restrição à dilatância, a curva tensão-

deslocamento tangencial apresenta o comportamento da trajetória indicada por linha tracejada

(trajetória 0-1-2 na Figura 2.2). Observa-se o aumento da tensão normal à medida que o

cisalhamento se desenvolve, que aumentará de 0 para A e depois para B. A curva 0-3-6

7

representa uma trajetória obtida de uma descontinuidade que foi comprimida inicialmente até

o ponto 3 (Figura 2.2.b) e depois cisalhada sem que se permitisse deslocamentos normais.

De acordo com Brady & Brown (1985), observam-se consideráveis aumentos de

resistência quando o cisalhamento ocorre com a dilatância impedida e nesta condição, o

comportamento tensão-deslocamento tangencial não reproduz o fenômeno de amolecimento

que se observa em ensaios com tensão normal constante.

Apresentam-se a seguir alguns critérios de resistência ao cisalhamento para

descontinuidades de rocha.

2.2.2 CRITÉRIO LINEAR DE MOHR-COULOMB

A envoltória de resistência, quando aproximadamente linear, é apresentada por uma

linha reta denominada de critério de resistência de Mohr-Coulomb. A equação que representa

o critério de Mohr-Coulomb é a seguinte:

φστ tgc n+= (2.1)

Onde:

τ = tensão de cisalhamento;

σn = tensão normal;

φ = ângulo de atrito;

c = coesão ou intercepto de coesão.

A utilização na equação de Mohr-Coulomb de um ângulo de atrito de pico, residual ou

intermediário depende do grau de deslocamento cisalhante já ocorrido na descontinuidade

(ISRM, 1977).

Conforme Cella (1993), a interpretação do mecanismo do cisalhamento de

descontinuidades, no contexto da teoria de Mohr-Coulomb, admite que o significado da

coesão aparente e do ângulo de atrito de pico corresponde indiretamente ao efeito combinado

de uma série de fatores intervenientes como: geometria das rugosidades, resistência das

paredes, inclinação do plano de ruptura das irregularidades, preenchimentos e extensão da

descontinuidade.

O critério de Mohr-Coulomb usualmente é um excelente ajuste para dados de resistência

residual, para os quais o intercepto de coesão aparente é aproximadamente zero. Entretanto, o

8

valor de c na equação de Mohr-Coulomb, quando se utilizam dados de resistência de pico,

pode ser muito maior que a real resistência ao cisalhamento na tensão normal zero, que para

descontinuidades de rocha é usualmente igual a zero. Conseqüentemente a extrapolação linear

de altas para baixas tensões normais é desaconselhável, bem como o uso do termo coesão

aparente neste caso (Franklin & Dusseault, 1989).

Por simplicidade e pela familiaridade com o critério, a envoltória linear continua a ser

usada para ajuste dos dados de resistência de pico. Isto fornece previsões aceitáveis somente

para uma limitada faixa de tensões normais, que deve ser selecionada de acordo com o

intervalo de tensões relevantes para o problema a ser analisado. O uso do critério linear pode

ser estendido pelo uso não de um, mais de uma série de segmentos de reta para os dados,

passando de um segmento para o próximo de acordo com o nível de tensão no modelo do

maciço rochoso analisado (Franklin & Dusseault, 1989). Entretanto, uma equação curvilínea é

mais simples e mais racional, se esta pode ser ajustada aos dados do problema. De acordo

com Barton & Choubey (1977) os termos da equação de Coulomb c e φ são ainda

dependentes da escala.

2.2.3 COMPORTAMENTO DE DILATÂNCIA

A dilatância corresponde ao galgamento das asperezas, com o afastamento das paredes

da descontinuidade durante o cisalhamento e é uma importante componente do

comportamento da descontinuidade. A dilatância da descontinuidade é um fenômeno

dependente da tensão, da escala e do deslocamento tangencial. Dadas estas condições, o valor

de dilatância depende da razão entre a resistência das irregularidades e a tensão normal

(Bandis, 1990).

O comportamento de superfícies rugosas foi primeiro explicado por Patton (1966) a

partir ensaios com descontinuidades com seção transversal dentada, onde se mostrou que a

inclinação da envoltória de resistência de pico em tensões normais muito baixas é linear e

dada por (φR + i), onde φR é o ângulo de atrito residual e i o ângulo de inclinação das

irregularidades (asperezas) ou ângulo de dilatância de pico.

Desta maneira para baixos valores de tensão normal, a dilatância da descontinuidade

acompanha o deslocamento tangencial da superfície, e a resistência ao cisalhamento pode ser

expressa por:

)( itg Rn += φστ (2.2)

9

Onde:

σn = tensão normal;

φR = ângulo de atrito residual;

i = ângulo de inclinação das irregularidades.

Com o valor da tensão normal acima de um valor crítico, o deslizamento na superfície

áspera fica inibido, e as irregularidades começam a ser cisalhadas, reduzindo o ângulo de

atrito ao seu valor residual. Este processo leva à definição de um critério de resistência ao

cisalhamento bilinear, que pode ser obtido pela combinação do modelo de dilatância em

termos do ângulo i para tensões normais baixas, e à equação de Mohr-Coulomb para tensões

normais altas, conforme ilustra a Figura 2.3. A inclinação final da envoltória da resistência de

pico para altas tensões normais aproxima-se de φR com i aproximadamente zero. Os mesmos

mecanismos de deslizamentos nas superfícies inclinadas sob baixas tensões normais e inibição

da dilatância com cisalhamento das asperezas sob altas tensões normais são encontrados no

comportamento das descontinuidades naturais, e se combinam em diferentes proporções

(Brady & Brown, 1985). Deste modo, superfícies de rocha reais produzem envoltórias de

resistência ao cisalhamento que são curvas, porque possuem diferentes alturas de

irregularidades e ângulos de ascensão. O valor da tensão normal suficiente para impor o

completo cisalhamento das asperezas, com i = 0, depende da rugosidade da superfície e da

resistência da rocha.

Figura 2.3 - Envoltória bilinear de resistência (modificado - Brady & Brown, 1985).

10

2.2.4 MODELO DE BARTON E BANDIS PARA DESCONTINUIDADES ROCHOSAS.

Barton em 1973, citado por Barton & Choubey (1977), apresentou uma formulação

empírica para descontinuidades rochosas baseada em três parâmetros índices: coeficiente de

rugosidade da descontinuidade (JRC), a resistência à compressão das paredes da

descontinuidade (JCS), e o ângulo de atrito residual (φR). O principal fator externo que

influencia a resistência ao cisalhamento é a magnitude da tensão efetiva normal agindo

através da descontinuidade. Esta formulação empírica é apresentada como se segue:

+

= R

nn

JCSJRCtg φσ

στ '10'

f log.. (2.3)

Onde:

τf = resistência ao cisalhamento de pico; 'nσ = tensão efetiva normal;

JRC = coeficiente de rugosidade da descontinuidade em graus;

JCS = resistência à compressão das paredes da descontinuidade;

φR = ângulo de atrito residual.

Segundo Brady & Brown (1985) a Equação 2.3 sugere que há três componentes de

resistência ao cisalhamento: um componente de atrito básico dado por φR, um componente

geométrico controlado pela rugosidade da superfície (JRC) e um componente de ruptura da

aspereza controlada pela razão )/( 'nJCS σ .

A equação pode ainda ser analisada considerando-se a rugosidade mobilizada da

descontinuidade (JRCm) para uma determinada resistência ao cisalhamento. Barton e Bakhtar

em 1983, citados por Bandis (1990), mostram que a rugosidade mobilizada na forma da razão

JRCm/JRCpico pode ser correlacionada com a razão entre os deslocamento tangencial em um

determinado instante e o deslocamento tangencial de pico u/up. Deste modo a resistência de

atrito em qualquer estágio de deslocamento pode ser dada por:

Rn

mmJCSJRC φσ

φ +

= '10log. (2.4)

11

A resistência por atrito, caracterizada pelo ângulo de atrito mobilizado (φm), depende da

tensão normal efetiva atuante na descontinuidade e varia com o deslocamento tangencial (u).

Para uma dada tensão normal e um deslocamento tangencial, o atrito mobilizado dependerá

das contribuições relativas da dilatância, da resistência dessas irregularidades, do atrito básico

e das condições da rocha matriz adjacente à descontinuidade (Bandis, 1990). O valor de

rugosidade mobilizada (JRCm) é calculado a partir da expressão:

JRCm = A . JRCp (2.5)

O coeficiente JRCp representa a rugosidade natural ou nominal da descontinuidade e é

obtida em ensaios de cisalhamento direto, através dos valores da tensão máxima de

cisalhamento, detectada no ensaio e da tensão normal empregada no mesmo. Conhecendo-se

o valor da resistência das paredes e do ângulo de atrito residual da descontinuidade, tem-se:

−

=

'

'

logn

Rn

f

p JCS

arctgJRC

σ

φστ

(2.6)

O valor do fator A (JRCm/JRCp) depende do deslocamento tangencial relativo B = u/up

(onde up é o deslocamento tangencial de pico). Bandis (1990) apresenta relações lineares de

diferentes valores de B para o cálculo de A.

O ângulo de atrito residual é obtido de ensaios de cisalhamento direto em superfícies de

rocha planas e não intemperizadas e pode ser ainda estimado por tabelas que concentram

dados da literatura como a apresentada por Barton & Choubey (1977). O ângulo de atrito

residual também pode ser estimado por meio de resultados obtidos pelo martelo de Schmidt e

de valores de φb obtidos em ensaios de inclinação residual:

φR = (φb-20º) +20(r/R) (2.7)

Onde:

φb = ângulo de atrito básico estimado em ensaios de inclinação residual em superfícies

12

serradas secas e não intemperizadas;

R = número de reação de Schmidt em superfícies serradas secas e não intemperizadas;

r = número de reação de Schmidt em superfícies de descontinuidades úmidas.

Se as descontinuidades não se encontram intemperizadas o parâmetro JCS poderá ser

considerado igual a resistência à compressão não confinada da rocha intacta (σc). A

resistência à compressão pode ser estimada por ensaios de carga puntiforme. Contudo, em

geral as paredes das descontinuidades são intemperizadas em alguma extensão e JCS será

menor que σc. O valor pode então ser determinado usando-se o martelo de Schmidt aplicado

diretamente nas paredes expostas da descontinuidade. O valor da reação é convertido então

em uma estimativa da resistência à compressão. Ressalta-se, entretanto, que os resultados

obtidos com o martelo de Schmidt podem apresentar grandes dispersões quando a rocha é

policristalina com grãos de grandes dimensões.

A última variável é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade JRC. Este é

estimado por retro-análise de ensaios de cisalhamento que tenham sido executados, por meio

da Equação 2.6. Caso não se possua resultados de ensaios, o valor de JRC pode ser estimado

por comparação visual da rugosidade com os perfis apresentados por Barton & Choubey

(1977). Pode ainda ser obtido pela retro-análise, por meio da Equação 2.6, de ensaios onde

blocos de rocha, interceptados pela descontinuidade e removidos da face de escavação da

rocha, são cuidadosamente inclinados até que o bloco superior deslize. O valor do arctg(τ/σn),

igual ao do mergulho da descontinuidade quando ocorre o deslizamento, juntamente com o

valor da tensão normal agindo quando do deslizamento e as estimativas de JCS e φR podem

então ser substituídos na Equação 2.6. Esse ensaio de inclinação é basicamente o ensaio de

cisalhamento sob tensões normais muito baixas.

2.2.5 MODELO DE LADANYI & ARCHAMBAULT

Ladanyi & Archambault (1970) derivaram um critério de resistência ao cisalhamento

curvilíneo e semi-empírico. Por este critério, a resistência ao cisalhamento de uma

descontinuidade é função da resistência da rocha intacta, do grau de encaixe das paredes da

descontinuidade, da dilatância e do ângulo de atrito residual. Eles usaram princípios da

termodinâmica e assumiram que resistência ao cisalhamento é derivada de três origens:

resistência para deslizamento ao longo da superfície de contato das irregularidades, resistência

ao cisalhamento das irregularidades, e trabalho realizado pela carga normal durante a

13

contração e dilatância do sistema (Franklin & Dusseault, 1989):

µ

ησσησµστ .

2/1.

f

)1(1

)/1](/)1[())(1(

va

nnmava

s

cncssn

−−

+−++−= (2.8)

Onde:

τf = resistência ao cisalhamento de pico;

σn = tensão normal; .v = razão de dilatância devido o cisalhamento = dy/dx;

µ = coeficiente médio de atrito para superfícies de contato = tgφb;

σc = resistência uniaxial à compressão dos blocos de rocha;

η = grau de encaixe;

n = razão entre resistência à compressão uniaxial e resistência à tração da rocha = σc / σt;

m = (n+1)1/2;

as = razão entre a área das asperezas cisalhadas e a área cisalhada total.

Destes parâmetros, a tensão normal e o grau de encaixe representam os dados básicos

do problema. Qualquer perfil de rugosidade pode ser assumido desde que o grau de encaixe

possa ser estimado. Os valores de σc e n são obtidos em ensaios de laboratório e o ângulo de

atrito básico em ensaios de cisalhamento de amostras cujo acabamento foi obtido por corte de

serra diamantada.

A razão de dilatância .v e a razão de área cisalhada as são empiricamente determinadas.

Esses parâmetros dependem da geometria das irregularidades e da razão entre a tensão normal

aplicada e a tensão de transição, esta última definida como a tensão na qual o comportamento

das rochas muda de frágil para dúctil. As tensões normais para a maioria das aplicações de

engenharia são de modo geral menores que as requeridas para ductibilidade, deste modo a

razão de dilatância e a razão de área cisalhada podem ser estimadas usando as seguintes

equações:

1

11K

T

nsa

−−≅ησσ

(2.9)

14

ivK

T

n tan12

.

−≅ησσ (2.10)

Onde:

i = ângulo de dilatância médio;

σT = tensão de transição, que na ausência de dados, pode ser considerada aproximadamente

igual à resistência uniaxial da rocha;

K1 e K2 são aproximadamente iguais a 1,5 e 4,0 respectivamente.

2.2.6 MODELO DE DENBY & SCOBLE

Denby e Scoble em 1984, citados por Franklin & Dusseault (1989), propuseram que a

natureza curvilínea das envoltórias de resistência ao cisalhamento das descontinuidades de

rocha pode ser bem representada por uma curva de potência, e que a curvatura é geralmente

mais pronunciada na faixa de baixa tensão normal de 0 a 1 MPa. O critério de resistência tem

a forma:

BnAστ = (2.11)

Onde A e B são constantes para um dado material.

As constantes A e B são relacionadas empiricamente com o ângulo de atrito residual e

com o ângulo de dilatância de pico. A constante A varia usualmente entre 0 e 10 e B na faixa

de 0,65 a 1. Altos valores de B e baixos valores de A correspondem a envoltórias de

resistência do tipo linear e são típicas de ângulos de dilatância pequenos e altos níveis de

tensões normal.

2.3 DEFORMABILIDADE DAS DESCONTINUIDADES

A deformabilidade das descontinuidades é um componente fundamental do

comportamento de um maciço fraturado sob mudanças nas condições de tensão (Bandis et al.

1983). Quando a resposta do maciço de rocha fraturada é estudada utilizando métodos

numéricos, as rigidezes normal e tangencial das descontinuidades constituem importantes

parâmetros de entrada. Com o desenvolvimento dos procedimentos computacionais para

15

modelagem de maciços fraturados, pesquisas têm sido direcionadas para a determinação das

deformações das descontinuidades e para predição da relação entre as componentes de tensão

normal e cisalhante e as correspondentes mudanças na abertura da descontinuidade e

deformações cisalhantes (Franklin & Dusseault, 1989).

2.3.1 CONCEITO DE RIGIDEZ NORMAL E TANGENCIAL

Os parâmetros de rigidez normal e tangencial são importantes dados de entrada para

modelos físicos explícitos e técnicas numéricas. A rigidez normal da descontinuidade tem

fundamental importância nos problemas de injeção de fluidos.

A deformabilidade da descontinuidade pode ser descrita pelas curvas de deslocamento

pela tensão. Bandis et al. (1983) citam que Goodman et al., em 1968, introduziram os termos

de rigidez normal (Kn) e rigidez tangencial (Ks) para descrever a razão de mudança da tensão

normal com relação ao deslocamento normal e da tensão tangencial com relação ao

deslocamento tangencial, respectivamente. A aplicação de uma tensão normal ao plano da

descontinuidade reduz a sua abertura e a razão entre a tensão normal aplicada e o fechamento

é denominada de rigidez normal da descontinuidade, e o seu inverso é chamado de

flexibilidade normal da descontinuidade. Do mesmo modo, os deslocamentos tangenciais

experimentados na aplicação de tensões cisalhantes também podem ser expressos em termos

de rigidez ou flexibilidade tangencial. Assim, o comportamento mecânico de

descontinuidades submetidas a um estado de tensões de compressão pode ser descrito, em

termos de deformação plana, através da relação seguinte:

=

dudv

KK

dd

sn

nnn K K

ss

ns

τσ

(2.12)

Onde:

σn e τ = tensões normal e cisalhante ou tangencial em relação ao plano da descontinuidade;

v e u = deslocamentos normal e cisalhante ou tangencial.

Os coeficientes de rigidez devem ser entendidos como os esforços correspondentes a

deslocamentos unitários nas direções v e u. Pode-se definir:

Knn e Kss – esforços normal e tangencial;

Kns – esforço normal para deslocamentos cisalhantes;

16

Ksn – esforço tangencial para deslocamentos normais.

Assim: Knn = (dσn/dv)u, Kss = (dτ/du)v, Kns = (dσ/du)τ e Ksn = (dτ/dv)σ.

A matriz de rigidez nesta forma completa, é em geral, assimétrica, com termos não-

diagonais diferentes de zero. O coeficiente Ksn, relacionado com a dilatância da

descontinuidade, é comandado pelas condições de contorno, ou seja, pelo estado de

confinamento da região da descontinuidade em consideração. A restrição à dilatância da

descontinuidade, durante o cisalhamento, tem influência marcante no aumento da resistência

da mesma. O fator fundamental corresponde à rigidez do maciço vizinho da descontinuidade,

na direção normal ao seu plano (Cella, 1993). O outro termo não-diagonal (Kns) corresponde

ao deslocamento tangencial da descontinuidade provocado pela tensão normal e é,

usualmente, irrelevante para as descontinuidades com superfícies opostas encaixadas. Para

descontinuidades com superfícies desencaixadas, entretanto, corresponde a valores

significativos.

A matriz de rigidez pode ser obtida pela inversão da matriz de flexibilidade,

determinada pelos procedimentos usuais de ensaio (Sun e colaboradores, em 1985, citados por

Bandis, 1990). Contudo, Heuze & Barbour (1982) afirmam que a Equação 2.12 ignora a

rigidez na direção transversal à direção do cisalhamento e que certamente essa rigidez

influencia o processo de cisalhamento das descontinuidades.

A flexibilidade normal é determinada em ensaios de compressão com a carga

perpendicular ao plano da descontinuidade. A rigidez cisalhante, Kss, é calculada como a

inclinação da curva tensão cisalhante versus deslocamento tangencial, mas é altamente

variável e de difícil determinação. De acordo com Brady & Brown (1985) a rigidez tangencial

varia com a perturbação da descontinuidade, técnica de ensaio, tamanho da amostra e tensão

normal. A maioria dos modelos numéricos assume uma parcela discreta linear da curva tensão

cisalhante versus deslocamento tangencial, com Kss constante na faixa pré-pico.

Os parâmetros acima, juntamente com os valores de pico e residual de deslocamento

tangencial e com o máximo fechamento da descontinuidade, permitem determinar a

contribuição das descontinuidades na deformação do maciço de rocha.

2.3.2 DEFORMABILIDADE NORMAL

Goodman em 1974, citado por Bandis et al. (1983), mostra por meio de experimentos

que o fechamento da descontinuidade sob aumento da tensão normal, para uma ampla faixa de

17

descontinuidades naturais não confinadas, varia de maneira não linear, se aproximando de

uma hipérbole. Entretanto, Bandis et al. (1983) citam que Hungr e Coates em 1978

encontraram uma relação linear de tensão normal e fechamento de descontinuidades para

baixos níveis de tensão normal. Em muitos modelos numéricos esta resposta é assumida como

sendo linear, sendo a rigidez normal Kn assumida constante (Brady & Brown, 1985).

De acordo com Bandis (1990), o nível de tensão inicial e a abertura inicial entre as

paredes da descontinuidade são fatores básicos que determinam o comportamento da rigidez

normal em um carregamento. A rugosidade das paredes da descontinuidade e o tipo de rocha

apresentam uma influência secundária. De acordo com Bandis et al. (1983) também a

resistência e a deformabilidade das irregularidades são fatores importantes. Se algum material

de preenchimento encontra-se presente, então a sua espessura, tipo e propriedades físicas são

relevantes.

2.3.2.1 DESCONTINUIDADES ENCAIXADAS

Bandis et al. (1983) ensaiou descontinuidades com superfícies opostas encaixadas

(descontinuidades naturais não preenchidas) sujeitas a uma seqüência de ciclos de

carregamento e descarregamento. As curvas de tensão normal (σn) versus deslocamento total

(∆Vt) mostraram um comportamento não linear, como mostra a Figura 2.4. Nos estágios

iniciais de carregamento o deslocamento é dominado pelo fechamento ocorrido através da

interface da descontinuidade. Com o aumento da tensão normal a curva torna-se mais íngreme

e tende a desenvolver-se em linha reta, paralela, ou aproximadamente paralela, à curva de

compressão elástica da rocha intacta. Pode-se considerar que neste estágio as

descontinuidades atingiram o estado de fechamento completo e qualquer aumento adicional

de carga normal é absorvido pela rocha intacta acima e abaixo da descontinuidade. Na

descompressão, todas as descontinuidades mostraram um comportamento de histerese. As

curvas de tensão normal pelo deslocamento líquido ou fechamento (∆Vj) são derivadas de:

rtj VVV ∆−∆=∆ (2.13)

Onde:

∆Vt = deslocamento total do bloco com descontinuidade sob tensão normal durante o

carregamento ou descarregamento;

∆Vr = deslocamento da rocha intacta.

18

As curvas σn versus ∆Vj se assemelham a uma hipérbole. Sob altas tensões, a trajetória

torna-se assíntota a uma linha vertical, que representa o limite de fechamento da

descontinuidade. Shehata em 1971, citado por Bandis et al. (1983), descreveu que a relação

do fechamento da descontinuidade sob aumento da tensão normal é inicialmente semi-

logarítmica. Dados de ∆Vj versus σn plotados em escala logarítmica mostram um ajuste linear

nas regiões de baixa e alta tensão, mas não na faixa média de tensão. Já Goodman em 1974,

citado por Bandis et al. (1983), propôs uma função empírica hiperbólica:

iijm

jn VV

Vσσσ +

∆−

∆= . (2.14)

Esta equação pode ser apresentada na seguinte forma linear:

nimmj VVVσ

σ 1).(−=∆ (2.15)

Onde:

∆Vj = fechamento da descontinuidade sob uma dada tensão normal σn;

Vm = fechamento máximo;

σi = nível de tensão inicial.

Plotando-se ∆Vj contra 1/σn mostrou-se um marcante comportamento não linear exceto

em regiões de baixa tensão. Uma versão alternativa da função é apresentada por Goodman em

1976 (Bandis et al., 1983) na seguinte forma adimensional:

t

jm

j

i

in

VVV

C

∆−

∆=

−σσσ (2.16)

Onde C e t são constantes empíricas.

19

Figura 2.4 - Relação entre tensão normal e deslocamento total para descontinuidades encaixadas e deslocadas, comparadas com a curva para rocha intacta (modificado - Bandis et

al. 1983).

A Equação 2.16 converte a relação altamente não linear de ∆Vj vs. 1/σn para próximo de

curvas perfeitamente bilineares. De acordo com Bandis et al. (1983) a seguinte relação

hiperbólica pode ser adaptada para a relação em estudo:

j

jn Vba

V∆−

∆=

.σ (2.17)

Onde a e b são constantes.

A rigidez normal inicial (Kni) equivale a 1/a e o fechamento máximo (Vm) a assíntota da

hipérbole dada por a/b. Relações empíricas definem a magnitude de Kni e Vm para cada ciclo

de carregamento. Assim, a rigidez normal (Kn) de uma descontinuidade não pode ser definida

por um simples valor. Para cada incremento de σn o correspondente valor de Kn pode ser

obtido da Equação 2.17:

2

1−

+

−=nnim

nnin KV

KKσ

σ (2.18)

Tanto Kni como Vm de uma descontinuidade em particular são dependentes do nível

20

inicial de tensões. Em uma determinação experimental destes parâmetros, a descontinuidade

pode ser pré-comprimida até uma tensão estimada a partir da tensão in-situ, antes de iniciar as

leituras do fechamento. Alternativamente, quando o valor experimental de σi é zero, a curva

de compressão pode ser obtida pela translação dos eixos para a posição (σi, ∆Vj) na qual o σi

corresponde à condição in-situ.

Ainda de acordo com Bandis et al. (1983), o comportamento não linear da

descontinuidade resulta do aumento da área de contato e número de contatos quando a

descontinuidade é comprimida, e provavelmente também de alguma ruptura local dependendo

da resistência da rocha e do nível de tensão.

Bandis et al. (1983) deduziram uma relação empírica entre o fechamento máximo (Vm)

e os índices de abertura inicial das paredes (aj), resistência (JCS) e rugosidade (JRC), sendo

representada por:

D

jm a

JCSCJRCBAV

++= )( (2.19)

Onde A, B, C e D são constantes determinadas por regressão do conjunto de dados obtidos

experimentalmente e dependentes do ciclo de carga.

A Equação 2.19 foi obtida dos estudos dos dados de Vm em conjunto com a resistência e

as propriedades das descontinuidades que mostraram que:

• O fechamento máximo (Vm) de descontinuidades com similar espessura de abertura

média (aj) depende primeiramente da resistência das paredes da descontinuidade (JCS). O

aumento no fechamento das descontinuidades intemperizadas foi resultado do efeito

combinado da ampla aj e de baixos valores de JCS.

• Dados de Vm contra o coeficiente de rugosidade da descontinuidade (JRC) para

descontinuidades com espessura de abertura similar, exibiram uma tendência bem

definida de decréscimo do fechamento máximo com o aumento de JRC, independente da

resistência das paredes da descontinuidade (JCS).

A Figura 2.5 mostra a influência dos parâmetros JRC e JCS na modelagem do

comportamento de fechamento das descontinuidades proposta por Bandis et al. (1983).

21

Figura 2.5 – Influência da rugosidade e alteração da descontinuidade no comportamento de fechamento (modificado – Barton et al., 1985)

A rigidez normal inicial (Kni) pode ser obtida pela seguinte relação empírica (Barton et

al. 1985):

++−=

jni a

JCSJRCK 02,0.210 (2.20)

Uma aproximação para a abertura inicial (aj) da descontinuidade pode ser obtida da

seguinte relação empírica:

−= 1,02,0

5 JCSJRCa c

jσ (2.21)

Onde:

aj = abertura inicial da descontinuidade em mm sob tensão de peso próprio;

22

σc = resistência à compressão uniaxial.

A trajetória de descarregamento também pode ser adequadamente descrita por uma

função hiperbólica (Equação 2.17). As constantes a e b requeridas para definir a hipérbole de

descarregamento para um dado ciclo de carga podem ser estimadas de:

a/b ≅Vm-ΣVi (2.22)

a=1/Kni (2.23)

Onde Vi é o fechamento irreversível e Kni é estimada da Equação 2.20 sendo aj substituído por

(aj - ΣVi).

2.3.2.2 DESCONTINUIDADES DESLOCADAS

As curvas de tensão normal pelo fechamento de descontinuidades deslocadas

(superfícies opostas da descontinuidade não encaixadas) revelam um comportamento similar

como quando carregadas em posição totalmente encaixadas, seguindo uma trajetória de

carregamento não linear, e com histerese. As descontinuidades desencaixadas apresentam

uma rigidez muito baixa, resultado da concentração de tensão sobre uma pequena área de

contato e a falta de confinamento das irregularidades.

Verificou-se que o ajuste semi-logarítmico é uma boa aproximação para as curvas de

compressão de descontinuidades deslocadas. Uma relação logσn e ∆Vj implica que a

descontinuidade nunca atingirá o estado de fechamento máximo, o que é o caso de

descontinuidades deslocadas (Bandis et al., 1983). A relação pode ser expressa por:

jn Vqp ∆+= .logσ (2.24)

A Equação 2.24 implica que para ∆Vj=0 (referência inicial para determinações do

fechamento), logσn é igual a p. Consequentemente o intercepto p representa a tensão normal

inicial. O aumento da rigidez normal (Kn) para descontinuidades deslocadas pode ser

calculado pela derivação da Equação 2.24:

23

4343,0.log10

nn

j

nn

qe

qV

K σσσ==

∆∂∂

= (2.25)

2.3.2.3 COMPARAÇÃO ENTRE RIGIDEZ NORMAL DE DESCONTINUIDADES

ENCAIXADAS E DESLOCADAS

Observando-se o comportamento tensão versus fechamento de descontinuidades

encaixadas e deslocadas de uma mesma amostra, verifica-se que a rigidez de descontinuidades

encaixadas é várias vezes maior. Assumindo um decréscimo linear de (Kn)desl/(Kn)enc com

deslocamento tangencial de zero até u(pico) costuma ser suficiente para os propósitos de

simulação numérica (Bandis et al., 1983). A seguinte relação empírica pode ser usada para

modificar o valor de Kn (encaixada) obtido da Equação 2.18, permitindo determinar as

mudanças induzidas pelo cisalhamento:

2500..2

)(

)( n

desln

encn JCSJRCKK σ

+≅ (2.26)

Observa-se assim que a rigidez normal de descontinuidades diminui significativamente

durante o processo de cisalhamento. A maior parte da redução em Kn ocorre durante os

estágios inicias do deslocamento. O termo Kn(desl) considera, por superposição, a influência

dos termos Kns e Knn, já que Kn(enc) é função de Knn, pois neste caso Kns é praticamente nulo.

2.3.3 DEFORMABILIDADE TANGENCIAL

A curva típica de tensão cisalhante pelo deslocamento (u) apresenta um comportamento

não linear. Os deslocamentos tangenciais de pico (up) de descontinuidades intemperizadas são

consideravelmente maiores que as de descontinuidades não intemperizadas, devido à

geometria relativamente planar e um pobre intertravamento. Dependendo da tensão normal, a

rigidez tangencial de pico de descontinuidades intemperizadas é de 2 a 4 vezes menor que Ks

de descontinuidades não intemperizadas com similar JRC. Significativos efeitos de escala têm

sido encontrados tanto na resistência (τf) como no deslocamento de pico (up). Outro fator que

afeta a rigidez tangencial de pico de descontinuidades é a história passada de carregamentos

(Bandis et al. 1983). A rigidez tangencial geralmente aumenta com o aumento de σn e também

é dependente da técnica experimental e do tamanho da amostra ensaiada.

24

Funções hiperbólicas são freqüentemente usadas para expressar analiticamente o

comportamento não linear de descontinuidades cisalhadas na faixa de pré-pico. Kulhaway

(1975) apresenta a seguinte formulação:

unmu

.+=τ (2.27)

Onde:

u = deslocamento tangencial no nível de tensão tangencial τ,

m e n = constantes da hipérbole, sendo que a constante m representa o inverso da rigidez

tangencial inicial (Ksi) e a constante n é o inverso da assíntota horizontal (tult) da hipérbole τ-

u.

Clough e Duncan em 1969, citados por Kulhawy (1975), em estudos do comportamento

de interface entre solo e concreto, desenvolveram uma aproximação para considerar as

variações da rigidez pelo desenvolvimento de uma relação não linear e que avalia a rigidez

cisalhante tangente para qualquer nível de tensão cisalhante até a ruptura e para qualquer nível

de tensão normal. A rigidez normal foi assumida variando linearmente. Eles apresentam a

seguinte equação:

2

tan.1

+−=

jnj

fjsist c

RKK

φστ

(2.28)

Onde:

Kst = rigidez cisalhante tangente da descontinuidade para um dado nível de tensão normal e

cisalhante;

Ksi = rigidez cisalhante tangente inicial;

τ = tensão cisalhante mobilizada;

Rfj = razão de ruptura ou razão da tensão de ruptura pela tensão predita;

σn = tensão normal na descontinuidade;

cj = coesão da descontinuidade;

φj = ângulo de atrito da descontinuidade.

25

O valor de Ksi foi considerado variando linearmente com σn na base log-log e a seguinte

formulação foi apresentada (modelo hiperbólico):

jn

a

nwjsi p

KK

=

σγ.. (2.29)

Onde:

Kj = número de rigidez;

nj = expoente de rigidez (inclinação da relação log-log entre a rigidez cisalhante inicial Ksi e

σn);

pa = pressão atmosférica,

γw = peso unitário da água.

Os termos γw e pa são introduzidos para tornar Kj adimensional. Se a curva tensão pela

deformação é linear Rfj é zero, e se a rigidez não é dependente da tensão, nj pode ser feito

igual a zero.

Duncan e Goodman em 1968, citados por Kulhawy (1975), apresentaram que se os

valores de rigidez da descontinuidade estão diretamente relacionadas por parâmetros elásticos,

então pode-se mostrar que eles estão relacionadas como se segue:

)1.(2 ν+

= ns

KK (2.30)

Entretanto, dados de literatura mostram que as descontinuidades não apresentam

comportamento elástico (Kulhawy, 1975). Hungr e Coates em 1978, citados por Bandis et al.

(1983), derivaram uma relação definida unicamente pelo ponto de escoamento da curva τ

versus dh. A forma básica da função é:

hd tpara , <−−

= udt

ut

h

τ (2.31)

Onde:

26

)a(azfb te

. n

2

bbazafu

n

n

−=

−−=

σσσ (2.32)

Onde:

dh = deslocamento cisalhante;

z = razão entre a tensão de escoamento (τy) e a tensão de pico (τf);

a = razão entre a rigidez tangencial secante no escoamento (Ksy) e a tensão normal (σn);

f = coeficiente de atrito de pico sob σn;

b = coeficiente de escala dos eixos x e y.

Bandis et al. (1983) verificaram as Equações 2.27 e 2.31 com um grande número de

dados de ensaios de cisalhamento, mostrando que as formulações são uma boa aproximação

do comportamento da tensão de pré-pico independente do tipo de descontinuidade e do nível

de tensão normal.

Ainda de acordo com Bandis et al. (1983), a variação não linear de Ks com σn reflete a

variação não linear de τpico com σn e o pequeno aumento em (u)pico com o aumento de σn.

Observa-se também a dependência da rigidez tangencial de pico com a resistência das paredes

da descontinuidade (JCS) e rugosidade (JRC). Baseado em observações similares Barton &

Choubey (1977) sugeriram a seguinte relação empírica:

[ ]Rnn JCSJRCtgL

Ks φσσ += )/(log...10010 (2.33)

Onde:

Ks = rigidez ao cisalhamento de pico (MN/m2/m);

L = comprimento da descontinuidade (m).

Outra relação empírica foi apresentada por Jing em 1990, citado por Jing et al. (1993):

>=

≤≤

−=

)( 0

)0( .2

cns

cnms

c

n

c

ns

K

KK

σσ

σσσσ

σσ

(2.34)

Onde msK é a rigidez cisalhante máxima e é obtida quando a tensão normal atinge a

27

magnitude de σc.

2.4 EFEITOS DE ESCALA E SUA IMPLICAÇÃO NO MODELO DE BARTON E

BANDIS

De acordo com Bandis (1990), o comportamento da descontinuidade no cisalhamento

sob uma tensão normal constante pode variar de um comportamento frágil para um

comportamento plástico dependendo do tamanho da descontinuidade, como ilustra a Figura

2.6. A resistência ao cisalhamento de pico, o deslocamento tangencial de pico e a rigidez

tangencial são todos parâmetros dependentes da escala.

Barton & Choubey (1977) mostraram que JRC diminui com o aumento do comprimento

da descontinuidade e sugeriram que JCS também fosse dependente da escala. O efeito da

escala nestes valores foi mais tarde confirmado por Bandis em 1980, citado por Bandis

(1990).

O efeito de escala na resistência ao cisalhamento é provavelmente causado pela

influência da escala intermediária de rugosidade, não usualmente amostrada em ensaios de

laboratório, mas menores que as grandes ondulações. A pequena escala de rugosidade age

somente como uma interferência sobre o cisalhamento, e é provavelmente cisalhada em níveis

de tensões normais moderados. Por outro lado, as rugosidades em escala intermediária

representam a dilatância da descontinuidade, e o cisalhamento só pode ocorrer em grandes

níveis de tensão.

A dependência da escala dos valores de JCS e JRC resulta em efeitos de escala nos

ângulos de dilatância de pico e inicial, na rigidez ao cisalhamento Ks e no ângulo de atrito

total (pico). Todos estes parâmetros são ainda afetados pelo nível de tensão normal efetiva. O

efeito de escala na rugosidade requer a correção dos valores de JRC obtidos de amostras de

pequenas dimensões. Bandis e colaboradores em 1981, citados por Bandis (1990), sugerem:

002,0

00 )/( JRCnn LLJRCJRC −= (2.35)

Onde os subscritos 0 e n referem-se as escalas de laboratório e campo, respectivamente.

Barton e Bandis em 1982, citados por Barton et al. (1985), apresentam ainda as seguintes

correções:

28

003,000 )/( JRC

nn LLJCSJCS −= (2.36)

( ) 33,0)/(500/ nnnhpico LJRCLd = (2.37)

Figura 2.6 – Influência da escala na resistência ao cisalhamento de descontinuidades (modificado – Bandis, 1990).

2.5 MECANISMO DE DEFORMAÇÃO E RUPTURA DAS IRREGULARIDADES

De acordo com Xu & Freitas (1990) é possível identificar vários estágios na ruptura por

cisalhamento de superfícies de rocha irregulares e limpas, conforme mostra a Figura 2.7.

Inicialmente a carga normal causa o fechamento da descontinuidade resultando em um

aplanamento (achatamento) elástico e simétrico dos perfis de aspereza e uma redução do

ângulo original da aspereza de (i0) para (ia). Assim, as asperezas travadas terão a sua

inclinação (i) reduzida, isto é, a superfície começa simetricamente a achatar sob o

carregamento normal e a rugosidade da superfície diminui. Quando o cisalhamento ocorre, o

achatamento torna-se assimétrico e esta combinação de deslocamento cisalhante e

achatamento continua até que a ruptura das asperezas ocorra.

Ao longo deste processo a razão de dilatação varia de forma constante considerando-se

que o critério de ruptura bi-linear de Patton esteja correto. Obviamente, dilatação é um

mecanismo válido sob níveis de tensões normais de baixas a médias, mas isso não é suficiente

29

para explicar o comportamento da superfície e o achatamento ajuda a resolver esta

insuficiência (Xu & Freitas,1990).

Figura 2.7 - Mecanismo de deformação e ruptura (modificado - Xu & Freitas, 1990).

Na Figura 2.7 na fase de (a) para (b), o atrito estático na superfície das asperezas é

mobilizado com um adicional achatamento dos ângulos de contato de (ia) para (ib-c) de modo

que as cristas das asperezas encontram-se excentricamente posicionadas sobre suas bases.

Em (b) a resistência mobilizada pelo atrito estático é aumentada pela componente de

resistência ao cisalhamento da aspereza e as asperezas continuam a aplainar. Estes efeitos

combinados produzem uma relação não linear entre a tensão cisalhante e o deslocamento

cisalhante com a tensão cisalhante atingindo seu pico em (c). A dilatação também inicia, mas

a uma razão que excede a razão de aplainamento da aspereza.

O atrito ao deslizamento domina de (c), com a parte superior da superfície deslizando

sobre as asperezas, até (d) onde ocorre a ruptura do material que forma as asperezas. Um

contínuo aumento da curva de dilatação é registrado até (d) onde o valor máximo é atingido e

isto explica porque o deslocamento cisalhante para a dilatação máxima é sempre maior que

para a tensão de cisalhamento de pico.

A ruptura do material das paredes da descontinuidade (d) é usualmente sob tração

produzindo uma crista subseqüente. Esta superfície recentemente criada tem uma inclinação

30

negativa em relação à direção do cisalhamento que é então utilizada para deslocamento

continuo de (d) para (e) e associado com um declive no movimento vertical.

Em (e) a extremidade principal (condutora) da aspereza rompida colide com a

extremidade do dente à frente, reduzindo assim a razão de decaimento da tensão de

cisalhamento e de (e) para (f) as asperezas experimentam mais uma vez compressão na

direção do cisalhamento e esmagamento nos pontos de contato.

Ensaios de campo e laboratório conduzidos por Fishman em 1979 e 1987, citados por

Fishman (1990), demonstraram que as asperezas de rocha quando carregadas com uma força

cisalhante rompem, mas não na forma de deslizamento e sim com uma rotação com abertura

de fissura do lado da carga e esmagamento da rocha no lado contrário. Nestes casos a abertura

de fissuras e as zonas de esmagamento da rocha se desenvolvem ao longo da trajetória de

tensões principais. Ensaios em superfícies com dentes com indicação de 45º mostraram que a

tensão de tração, com seu máximo na metade superior da extremidade do dente se desenvolve

ao longo da face ascendente por meio do abaulamento do dente. Uma tensão de compressão

desenvolve-se do outro lado da extremidade ascendente e concentra-se na base e pico do

dente.

Estudos análogos conduzidos com descontinuidades com ângulos de ascensão de 30º e

60º mostram um padrão similar de ruptura distinguindo-se pelo fato das fendas de tração

poderem ser originadas tanto próximo ao pico com na base do dente.

Em descontinuidades naturais de um maciço rochoso com rugosidades desuniformes

vários tipos de ruptura ocorrem simultaneamente. Um modo combinado de ruptura é possível

quando é iniciado com o deslizamento sobre as asperezas e terminado com a quebra e

esmagamento do topo da aspereza. Isto é causado pelo aumento da concentração de tensões

normais e tangenciais no topo da aspereza durante o seu galgamento. Neste modo combinado

de ruptura a dilatação no início é linear (quando deslizando sobre a aspereza) e então é não

linear com aumento atenuado (durante a ruptura das asperezas).

Durante o cisalhamento de descontinuidades reais somente uma parte das asperezas nas

quais tensões consideráveis estão concentradas são colocadas em ação. Deste modo, o tipo de

ruptura que prevalece será a rotação e esmagamento das asperezas.

Ichikawa et al. (1990) realizaram ensaios com diferentes materiais e configurações de

rugosidade, verificando que a resistência de adesão nas interfaces é de pequena magnitude e

que a interface começa a se separar com um pequeno deslocamento relativo. Um exame das

interfaces cisalhadas mostrou que existem três tipos de fissuração:

31

• Fissuração de tração com ângulo elevado que se inicia na ponta da aspereza e é inclinada

de um ângulo elevado em relação à direção do cisalhamento.

• Combinação de cisalhamento-tração com fissuração de baixo ângulo. Esta fissuração

também se inicia na ponta da aspereza e é inclinada de um pequeno ângulo em relação à

direção do cisalhamento. A fissuração é iniciada com tensões de tração e propaga para

cima até o ponto médio entre as duas pontas da aspereza. Então a orientação da fissura

começa a mudar e é direcionada para a ponta oposta. Um exame dessa segunda parte da

fissura indica um intenso estado de cisalhamento. Este tipo de fissuração é o principal tipo

que governa a ruptura das descontinuidades e foi a mais comumente observada nos

ensaios por eles conduzidos.

• Ruptura por cisalhamento que ocorre somente na frente da aspereza e é causada por

tensões de cisalhamento. Esta fissura é inclinada em ângulos entre 10º e 35º para as

superfícies das asperezas em contato.

As formas acima de fissuração ocorrem em várias combinações dependendo da tensão

normal aplicada e condições de confinamento.

2.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

As formulações e modelos apresentados descrevem, de um modo geral, o

comportamento mecânico das descontinuidades rochosas. Foi dado enfoque na abordagem

empírica, na qual os resultados de ensaios são utilizados para obtenção de correlações entre as

variáveis de influência e na formulação de modelos de acordo com o comportamento

observado. Apresentou-se ainda as propriedades mecânicas e os aspectos relevantes na

resistência ao cisalhamento e na deformabilidade das descontinuidades.

Os conceitos apresentados serão utilizados na interpretação dos ensaios de cisalhamento

direto realizados em modelos de descontinuidades artificiais com diferentes graus de

rugosidade, tendo a técnica da fotoelasticidade como principal ferramenta de análise da

distribuição de tensões.

32

3 TEORIA DA FOTOELASTICIDADE

3.1 INTRODUÇÃO

A fotoelasticidade é um método ótico de análise experimental de tensões, útil para

estudo de estruturas de geometrias difíceis ou sujeitas a solicitações complexas. O método da

fotoelasticidade baseia-se em uma propriedade de certos materiais transparentes, cujo

comportamento ótico se altera em função do estado de tensões ou deformações a que estão

sujeitos. A estrutura em estudo pode ser representada por modelos bidimensionais ou

tridimensionais transparentes, ou ainda ser revestida com uma película de material

fotoelástico.

A visualização da distribuição das tensões permite a análise do dimensionamento de

estruturas, sendo possível verificar zonas de tensões elevadas, indicar áreas que permitem a

redução de material por estarem sob baixas tensões ou ainda direcionar correções para a

otimização do projeto. Assim o método da fotoelasticidade tem sido utilizado com o objetivo

de auxiliar na verificação de critérios de projeto, melhorar a confiabilidade de produtos e

reduzir custos.

De acordo com Franklin & Dusseault (1989), a fotoelasticidade é uma técnica que

auxilia na observação da distribuição de tensões, sendo usada para resolução de alguns

problemas práticos de elasticidade. Como exemplo citam Hoek (1967), que considera o

modelo fotoelástico um tipo de analogia que permite a determinação da distribuição das

tensões em um maciço rochoso que se comporta elasticamente.

O método de análise de tensões pela fotoelasticidade baseia-se na descoberta de David

Brewster em 1816, de que quando um pedaço de vidro é submetido a tensões e visualizado

por meio de luz polarizada transmitida através dele, observa-se um padrão colorido brilhante

devido à tensão (Timoshenko & Goodier, 1970). Ele sugeriu que estes padrões coloridos

serviriam para determinação de tensões em estruturas como, por exemplo, pontes de

alvenaria, representadas por modelos em vidro examinados em luz polarizada e submetidos a

diferentes condições de carregamento. A sugestão de David Brewster foi adaptada mais tarde

por C.Wilson em 1891 em estudos de tensão em vigas com carga concentrada e por A.

Mesnager em 1901 em investigações de pontes em arco. O método foi desenvolvido e

extensivamente aplicado por E. G. Coken em 1925, que introduziu a celulóide como material

para modelos fotoelásticos (Timoshenko & Goodier, 1970). Pesquisadores posteriores como

33

Roberts et al. (1962), Gomide (1975), Peng (1976), Gomide & Smith (1984) e Oliveira &

Gomide (1989), têm usado novos materiais como resinas epoxy e poliester, bakelite entre

outros.

A técnica da fotoelasticidade por reflexão foi sugerida por Mesnager em 1930, mas

devido à falta de materiais satisfatórios o método passou a ser empregado somente a partir das

aplicações de Zandaman em 1953 (Roberts et al., 1962).

3.2 NATUREZA DA LUZ

Os fenômenos observáveis em fotoelasticidade podem ser interpretados com base na

teoria eletromagnética de Maxwell, também chamada de teoria ondulatória da luz. De acordo

com esta teoria, a luz ou raios luminosos são vibrações eletromagnéticas que se propagam em

todas as direções a partir da fonte luminosa. Uma fonte incandescente emite energia radiante

que se propaga em todas as direções e contém um espectro de vibrações de diferentes

freqüências ou comprimentos de onda. A vibração associada com a luz é perpendicular à

direção da propagação e pode ser expressa sob a forma de um vetor normal à direção de

propagação.

Figura 3.1 - Onda de luz.

Para a interpretação dos fenômenos fotoelásticos pode-se considerar apenas as

componentes senoidais, sendo a propagação do vetor descrita pela onda harmônica simples

como mostrado pela Figura 3.1. A equação da onda será:

−= )..(2sen.),( tvxytxy m λπ (3.1)

Onde:

ym = amplitude do vetor luminoso;

34

λ = comprimento de onda;

v = velocidade de propagação da luz;

x = coordenada ao longo da direção de propagação;

t = tempo.

O tempo gasto pela luz ao percorrer a distância de um comprimento de onda é, por

definição, o período da radiação, representado pela letra T e dado pela expressão:

vT λ= (3.2)

A freqüência da luz, representada pela letra f, é o inverso do período, dada pela

expressão:

λv

Tf ==

1 (3.3)

Considerando duas ondas, a diferença entre coordenadas x1 e x2 em cada instante é, por

definição, a diferença de fase linear entre as duas ondas, isto é d = x1 - x2, conforme Figura

3.2.

Figura 3.2 - Diferença de fase entre ondas

35

De acordo com a teoria ondulatória da luz, a sensação da visão ocorre somente quando

as vibrações eletromagnéticas atingem o nervo da visão num plano perpendicular à direção do

raio luminoso. Quanto à cor da luz, essa é determinada pela freqüência das componentes do

vetor luminoso. O comprimento da onda e a velocidade de propagação da luz dependem das

características óticas do meio através do qual ela se propaga. Já a freqüência da vibração é

uma característica que permanece constante, independentemente do meio através do qual a luz

se propaga. A cor é apenas função da freqüência da luz e, portanto independente do meio de

propagação. As cores do espectro visível da luz variam desde o vermelho escuro,

correspondente a uma freqüência de 390 x 1012 Hz, ao violeta, correspondente a uma

freqüência de 770 x 1012 Hz.

Quando o vetor luminoso possui componentes de mesma freqüência, a luz se diz

monocromática, de cor característica dessa freqüência. Quando o vetor luminoso inclui

componentes de freqüência diferentes, as cores correspondentes aparecem misturadas, e os

nossos olhos vêm essa combinação como luz branca.

3.3 FUNDAMENTOS DA LUZ POLARIZADA

A luz emitida por uma fonte comum de luz consiste em muitas ondas independentes

cujos planos de vibração se acham orientados aleatoriamente em torno da direção de

propagação. Com a introdução de um filtro polarizador, somente a componente destas

vibrações que é paralela ao eixo principal do filtro será transmitida. Esse processo de

ordenamento é chamado de polarização, e um feixe de luz organizado é chamado de luz

polarizada ou plano polarizado, porque a vibração é contida em um plano. A Figura 3.3

apresenta um esboço do fenômeno de polarização da luz. Em fotoelasticidade utilizam-se três

tipos de luz polarizada: luz polarizada plana, circular e elíptica. Esta última engloba a

polarização plana e a polarização circular como casos particulares.

A luz polarizada plana é obtida restringindo o vetor luminoso a vibrar em um plano bem

definido, chamado plano de polarização, conforme a Figura 3.4. A luz polarizada plana pode

ser obtida por intermédio de um elemento ótico único, designado por polarizador plano ou

linear, que é capaz de absorver as componentes do vetor luminoso que vibram em planos que

não sejam paralelos à direção do eixo do polarizador. Ao atravessar um polarizador plano

somente a componente paralela ao eixo de polarização do vetor luminoso é transmitida.

36

Figura 3.3 - Polarização da luz (modificado – Measurements Group, 1981).

A luz polarizada circular é obtida quando a extremidade do vetor luminoso descreve

uma hélice circular à medida que a luz se propaga, como mostra a Figura 3.5. A conversão de

uma luz polarizada plana em luz polarizada circular é realizada pelo polariscópio circular.

Para o completo entendimento do funcionamento do polariscópio plano e do polariscópio

circular é necessário a definição do que são materiais birrefringentes e materiais fotoelásticos.

Figura 3.4 - Luz polarizada plana (modificado – Dyer, 1985)

37

3.4 MATERIAIS BIRREFRINGENTES E FOTOELÁSTICOS

Certos materiais transparentes possuem a propriedade de dividir o vetor luminoso em

duas componentes ortogonais, transmitindo-as a velocidades diferentes. Tais materiais são

designados birrefringentes. Uma placa birrefringente, como apresentado na Figura 3.6, possui

dois eixos óticos principais. Um dos eixos é denominado eixo rápido e a transmissão da luz

segundo este eixo se dá com velocidade maior que a transmissão pelo outro eixo, que se

denomina eixo lento.

Figura 3.6 - Placa birrefringente (modificado – Gomes, 1984)

A luz polarizada plana ao incidir sobre uma placa birrefringente, cujo vetor luminoso

faz um ângulo β com o eixo rápido, se divide em duas componentes segundo os eixos da

placa. Essas componentes propagam-se através da espessura, h, da placa, com diferentes

velocidades e conseqüentemente as duas componentes vão emergir do outro lado da placa em

instantes diferentes. Se as intensidades de deformação nas direções X e Y são εx e εy e as

Figura 3.5 - Luz polarizada circular (modificado – Dyer, 1985)

38

velocidades da vibração da luz nestas direções são vx e vy respectivamente, o tempo

necessário para transpor a placa para cada componente será h/v, e a retardação relativa entre

os dois eixos será:

).(. yxyx

nnhvh

vhc −=

−=δ (3.4)

Onde:

h = espessura da placa;

n = índice de refração ou densidade ótica do material, igual a razão c/v;

c = velocidade de propagação da luz no vácuo, igual a 3,0 x 108 m/s.

A amplitude e a orientação do vetor luminoso podem ser controladas através da placa

birrefringente. Os fatores de controle são a retardação relativa e a orientação dos eixos óticos

da placa birrefringente relativamente ao eixo de polarização da luz incidente, definido pelo

ângulo β.

Os materiais fotoelásticos são aqueles que apresentam a propriedade de que quando

atravessados por um feixe de luz polarizada produzem certos efeitos que são relacionados

com o estado de tensão a que estão sujeitos. Esses materiais são isotrópicos quando não se

encontram sob tensão, mas tornam-se opticamente anisotrópicos quando submetidos a alguma

tensão. A mudança do índice de refração é função da tensão aplicada, similar à resistividade e

à mudança de resistência no "strain gage".

Quando sob ação de um campo biaxial de tensões, as características óticas do material

alteram-se, tornando-o birrefringente. Os eixos principais de tensão em qualquer ponto da

placa correspondem aos eixos principais, lento e rápido da placa birrefringente. Quando o

feixe polarizado se propaga através do material de espessura h, onde x e y são as direções

principais no ponto em consideração, o vetor de luz se divide e dois feixes polarizados são

propagados nos planos x e y. O polariscópio é o instrumento ótico que permite medir essas

alterações no índice de refração do material. Os polariscópios podem ser de transmissão ou de

reflexão. Os polariscópios de transmissão destinam-se ao estudo de modelos transparentes de

material fotoelástico, através dos quais a luz se propaga para observação, do lado oposto, pelo

analisador. Na utilização dos polariscópios de reflexão, o modelo fotoelástico é substituído

39

pelo objeto real ou protótipo, sendo a sua superfície revestida com uma película de material

fotoelástico, colada com material refletor adequado.

De acordo com Gomes (1984), as variações do índice de refração são diretamente

proporcionais às tensões principais induzidas em cada ponto, isto é:

).()( yxyx Cnn σσ −=− (3.5)

Onde C é uma constante ótica do material.

Combinando as Equações 3.4 e 3.5 tem-se, para análise por transmissão:

δ= h.C.(σx - σy) (3.6)

No caso da fotoelasticidade de reflexão, onde a luz atravessa o revestimento fotoelástico

duas vezes, tem-se:

δ= 2.h.C.(σx - σy) (3.7)

Conseqüentemente, a relação básica para medidas de tensões usando a técnica de

fotoelasticidade por reflexão é:

Chyx ..2)( δσσ =− (3.8)

Quando o material fotoelástico apresenta um comportamento elástico, tem-se pela Lei

de Hooke:

)(1 2 yxxE νεεν

σ +−

= (3.9)

)(1 2 xyyE νεεν

σ +−

= (3.10)

40

)(1 yxyxE εεν

σσ −+

=− (3.11)

Onde:

E = módulo de elasticidade;

ν = coeficiente de Poisson.

Combinando-se as Equações 3.8 e 3.11, a diferença entre as deformações principais

pode ser obtida por:

Khyx ..2)( δεε =− (3.12)

Onde:

)1(.

ν+=

ECK (3.13)

A constante K é chamada de coeficiente ótico de deformação, caracteriza uma

propriedade física do material e é fornecida pelo fabricante. É adimensional e estabelecido por

calibração e pode ser considerada similar ao fator "gage" de resistência de um "strain gage".

Reescrevendo a Equação 3.11, acrescentando-se os subscritos r, referente ao

revestimento fotoelástico e p para a peça em ensaio tem-se:

pyxp

ppyx

E)(

1)( εε

νσσ −

+=− (3.14)

ryxr

rryx

E )(1

)( εεν

σσ −+

=− (3.15)

Da Equação 3.8 tem-se:

ryxr

rECh

)(1..2

εεν

δ−

+= (3.16)

41

Com o revestimento solidarizado à superfície da peça em ensaio, as deformações no

revestimento serão as mesmas da superfície da peça, de modo que pyx )( εε − = ryx )( εε − , e

desenvolvendo-se a partir das Equações 3.13, 3.14 e 3.16:

p

ppyx

EKh ν

δσσ+

=−1

...2

)( (3.17)

A retardação relativa pode ser expressa por δ = Nλ, onde N é chamado de posição ou

ordem da franja e representa a diferença de fase entre as duas componentes do vetor

luminoso. A retardação ou sinal fotoelástico pode então ser descrita por N. Da Equação 3.12

tem-se:

ελεε fNKh

Nyx .

..2)( ==− (3.18)

A constante de franja do revestimento fotoelástico, fε, é obtida por calibração e equivale

à:

hKf

2λ

ε = (3.19)

Onde:

h = espessura do revestimento;

K = coeficiente ótico de deformação;

λ = comprimento de onda da luz.

A diferença de fase N em cada ponto do modelo fotoelástico é medida pelo

polariscópio. A diferença entre tensões principais será fornecida por:

p

p

p

ppyxpyx v

EfN

vE

+=

+−=−

1..

1.)()( εεεσσ (3.20)

42

Em aplicações práticas (fronteiras, carregamentos uniaxiais, cantos e membros longos),

uma das tensões principais é zero, ou próximo a zero. Nestes casos:

p

p

vE

fN+

=1

. εσ (3.21)

3.5 POLARISCÓPIOS

Os polariscópios são sistemas óticos utilizados para observação de mudanças das

propriedades óticas do material quando sob tensão. Existem dois tipos de polariscópios: plano

e circular. Os nomes são derivados dos tipos de luz polarizadas que são utilizadas na operação

dos mesmos. Os polariscópios podem ser ainda divididos em polariscópios de transmissão e

de reflexão. Os esquemas apresentados pelas Figuras 3.7 e 3.8 são relativos a polariscópios de

transmissão que se destinam ao estudo de modelos transparentes de material fotoelástico.

Os polariscópios de reflexão são equivalentes a polariscópios de transmissão, entretanto

naquele tipo o modelo fotoelástico é substituído pelo objeto real ou pelo protótipo e a

superfície é revestida com uma película de material fotoelástico. Quando a estrutura é

solicitada e se deforma, o revestimento fotoelástico acompanha essa deformação, dando

origem a um conjunto de franjas isocromáticas observáveis através do polariscópio e dando

indicação sobre a distribuição das deformações na superfície da peça ou estrutura. Se a

espessura do revestimento fotoelástico é suficientemente reduzida, poder-se-á admitir que as

deformações na superfície da peça ou estrutura são transmitidas ao revestimento praticamente

sem distorção.

3.5.1 POLARISCÓPIO PLANO

Os polariscópios planos são constituídos por dois polarizadores planos e por uma fonte

de luz, dispostos em linha como apresentado pela Figura 3.7. A placa polarizadora situada

próxima à fonte de luz é designada por polarizador, enquanto a outra placa situada do lado do

observador é designada por analisador. Os eixos do polarizador e analisador orientam-se

perpendicularmente entre si, obtendo-se assim a completa extinção do feixe de luz, sendo nula

a intensidade da luz. O modelo fotoelástico é introduzido entre as duas placas e é observado

pelo analisador.

43

Pode-se demonstrar matematicamente (Gomes, 1984) que sendo a intensidade da luz

proporcional ao quadrado da amplitude do vetor luminoso, no caso de um polariscópio plano

a intensidade da luz emergente será:

=λδπβ .sen.2sen. 222

myI (3.22)

Onde:

δ = retardação relativa;

β = ângulo entre o eixo de polarização do polarizador e a direção das tensões principais;

ym = amplitude do vetor luminoso.

Existem duas condições para a extinção da luz polarizada que passa através da amostra

de material fotoelástico e do analisador. A primeira condição é encontrada em todo ponto no

modelo fotoelástico onde as direções das tensões principais estão alinhadas com o eixo do

polarizador, ou seja, 2β = nπ, em que n é inteiro, tornando, pela Equação 3.22, I = 0. Uma

série de franjas (linhas) escuras irá aparecer no modelo fotoelástico onde ocorre a condição de

extinção da luz. Estas linhas são denominadas franjas isoclínicas e definem as direções

Figura 3.7 - Polariscópio plano (modificado – Measurements Group, 1981).

44

principais de tensão em cada ponto no modelo. As direções das tensões principais em

qualquer ponto no modelo podem ser encontradas girando-se o polarizador e o analisador

perpendiculares entre si, até que uma franja isoclínica cruze o ponto.

A segunda condição de extinção ocorre quando a diferença de fase entre os dois

componentes de vibração que emergem do modelo fotoelástico é um número inteiro de

comprimento de onda, isto é, δ = Nλ = 0, 1λ, 2λ, 3λ,... Isto produz uma franja denominada de

isocromática que aparece nos pontos do modelo fotoelástico onde a mesma diferença de fase

ocorre, isto é, a mesma diferença de tensões principais. Se luz branca é usada no polariscópio,

franjas isocromáticas serão na forma de faixas coloridas, onde a diferença de fase produz a

extinção de um comprimento de onda da luz particular. Por exemplo, quando a diferença de

fase extingue o comprimento de onda verde, a cor vermelha aparece como a franja

isocromática. Na luz monocromática a franja é escura. Franjas isocromáticas são ordenadas de

acordo com o número inteiro de comprimento de onda da diferença de fase, isto é, 1ª ordem,

2ª ordem para δ = 1λ, 2λ, respectivamente. As isocromáticas são utilizadas para determinar a

diferença entre as tensões principais. No polariscópio plano as franjas isocromáticas aparecem

sobrepostas às franjas isoclínicas, sendo necessário recorrer a técnicas especiais para a sua

diferenciação.

3.5.2 POLARISCÓPIO CIRCULAR

O esquema de um polariscópio circular é apresentado na Figura 3.8. O modelo

fotoelástico é observado num campo de luz polarizada circular. Em um polariscópio circular a

luz polarizada plana é convertida em luz polarizada circular usando uma placa quarto de onda

(λ/4).

O primeiro elemento é o polarizador, de eixo P, que transforma a luz ordinária em luz

polarizada plana. O segundo elemento é uma placa quarto de onda. A placa quarto de onda é

birrefringente, possuindo então dois eixos de polarização. Esta placa é instalada de modo que

o eixo rápido esteja inclinado de 45º em relação ao eixo do polarizador, e transforma a luz

polarizada plana em luz polarizada circular. O terceiro elemento é outra placa quarto de onda,

orientada de modo que o eixo rápido fique paralelo ao eixo lento da primeira placa, assim a

segunda placa quarto de onda anula o efeito da primeira, reconstituindo a luz polarizada

plana. O último elemento é o analisador, que pode estar orientado de modo que o eixo de

polarização seja perpendicular ao eixo do polarizador, ou de modo que o seu eixo esteja

orientado paralelamente à direção do eixo do polarizador. O primeiro arranjo corresponde ao

45

polariscópio circular de campo escuro e o segundo ao polariscópio de eixos paralelos ou de

campo iluminado.

A utilização do polariscópio circular de campo escuro permite eliminar as franjas

isoclínicas, mostrando apenas as franjas isocromáticas. A intensidade da luz no polariscópio

circular é dada por (Gomes, 1984):

=λπδ .sen. 22

myI (3.23)

A equação mostra que a extinção da luz ocorrerá quando δ = 0, δ = 1λ, δ = 2λ, δ = Nλ,

para valores inteiros de N, correspondendo às franjas isocromáticas de ordem N.

Um polariscópio circular de campo escuro pode transformar-se em polariscópio circular

de campo iluminado pela rotação do respectivo analisador de um ângulo de 90º, em torno do

eixo do polariscópio. Ao sair do analisador a intensidade luminosa é dada pela expressão:

=λδπ .cos. 22

myI (3.24)

Figura 3.8 - Polariscópio Circular (modificado – Measurements Group, 1981).

46

Esta equação mostra que a extinção da luz ocorrerá quando δ = ½ λ, δ = 1½ λ, δ = 2 ½

λ, δ = Nλ, obtendo-se as franjas isocromáticas de meia ordem, isto é ½, 1 ½ , 2 ½ ,...

3.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os princípios discutidos representam o embasamento teórico da fotoelasticidade e

estabelecem as equações fundamentais que relacionam o estado de tensão e deformação com

o efeito de anisotropia ótica que produzem em um material fotoelástico. Esses conceitos são

importantes para a descrição das técnicas de quantificação e interpretação dos fenômenos

fotoelásticos utilizados na análise e discussão dos ensaios de cisalhamento direto das

descontinuidades realizados neste trabalho.

47

4 TÉCNICAS E APLICAÇÕES DA FOTOELASTICIDADE

4.1 INTERPRETAÇÃO DO PADRÃO DE FRANJAS FOTOELÁSTICAS

Uma das grandes vantagens da análise de tensões por fotoelasticidade é a facilidade de

visualizar imediatamente as magnitudes das deformações (e tensões), os gradientes de

deformação e a sua distribuição global, incluindo áreas sob grande ou pequena tensão e ainda

verificar a importância relativa dos vários modos de aplicação de cargas. Essa capacidade é

chamada de análise de campo completo e é única da fotoelasticidade entre os métodos de

análise de tensões.

4.1.1 INTERPRETAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS DEFORMAÇÕES

Quando um objeto revestido por um material fotoelástico é submetido a um

carregamento, as tensões resultantes causam deformações que são transmitidas ao

revestimento que se encontra intimamente e uniformemente colado em sua superfície. As

deformações no revestimento produzem efeitos óticos que aparecem como franjas

isocromáticas quando visualizados pelo polariscópio. Este é o princípio da fotoelasticidade de

reflexão e é necessário um polariscópio de reflexão para a análise do problema.

Tendo-se uma peça não carregada, e aplicando um carregamento em incrementos, as

franjas irão aparecer primeiro nos pontos com maior nível de tensão. Aumentado a carga,

novas franjas aparecem e as anteriores são redistribuídas para áreas de menor tensão.

Continuando a aplicação da carga, franjas adicionais são geradas nas regiões de maior tensão

e redistribuídas em direção às regiões de menor tensão até que se atinja a carga máxima.

As franjas podem ser designadas por números ordinais (primeira, segunda, terceira etc.)

de acordo com o seu surgimento, e elas possuirão uma identidade individual (ordem) durante

a seqüência de carregamento. As franjas são contínuas, não se interceptam em nenhum ponto

e seguem sempre uma seqüência.

Quando observadas com o polariscópio de reflexão, as franjas aparecem como uma

série de faixas sucessivas e contínuas de diferentes cores (isocromáticas) sendo que cada faixa

representa um diferente grau de birrefringência e, portanto, de sua ordem (e nível de

deformação).

O efeito fotoelástico é causado pela construção e destruição alternadas da interferência

entre os raios de luz que possuem um retardo relativo, ou defasamento, no revestimento

48

fotoelástico sob tensão. Quando sob luz monocromática, a magnitude da retardação relativa

ao longo de qualquer franja é um múltiplo inteiro do comprimento de onda (λ, 2λ, 3λ etc.), os

raios são defasados de 180°, e há cancelamento mútuo causando extinção da luz e produzindo

uma faixa negra. Por outro lado, quando a retardação relativa é um múltiplo de λ/2 (λ/2, 3λ/2,

5λ/2 etc.), os raios estão perfeitamente em fase e se combinam causando máxima claridade.

Magnitudes intermediárias de retardação relativa produzem intensidades de luz

intermediárias. O resultado do padrão fotoelástico aparece então com alternância de franjas

claras e negras (Figura 4.1).

Figura 4.1 – Franjas observadas sob luz monocromática (Measurements Group, 1984).

A luz branca, geralmente utilizada para interpretação de campo completo, é composta

por todos os comprimentos de onda do espectro visível. Deste modo, a retardação relativa que

causa a extinção de um comprimento de onda (cor) geralmente não gera a extinção de outros.

Quando, com o aumento de birrefringência, cada cor no espectro é extinta de acordo com o

comprimento de onda, o observador visualiza uma cor complementar.

Quando se determina a magnitude da diferença de deformações, o observador dispensa

as isoclínicas. Isto é obtido pela transformação do polariscópio em um polariscópio circular,

introduzindo uma placa quarto de onda com o eixo principal em um ângulo de 45° em relação

aos eixos do analisador e polarizador. O campo fotoelástico aparece como um mapa colorido

de linhas de várias cores denominadas de franjas isocromáticas. Linhas de cores iguais

representam um valor de constante N (ou δ = N x λ, para luz branca δ = N x 575 x 10-6 mm).

O primeiro passo para a análise da distribuição é atribuir para as linhas coloridas a sua ordem

numérica. Quando observado pelo polariscópio (operação de luz circular), a retardação

aumenta proporcionalmente com a tensão (δ = λ, 2λ, 3λ,...), assim uma onda particular ou

uma cor desaparece e visualiza-se uma cor complementar. Quando se observa uma peça não

49

carregada através do polariscópio, o revestimento aparece uniformemente negro. Com a

aplicação do carregamento as regiões de maior diferença de tensões começam a apresentar

cores, primeiro cinza, depois branco, violeta, amarelo, numa seqüência de cores. Como

exemplo, quando δ = 635 x 10-6 mm, o vermelho desaparece e o verde é observado. A franja

púrpura é facilmente distinguida, aparecendo entre o vermelho e o azul e é muito sensível a

pequenas mudanças no nível de tensão, sendo denominada de matiz de passagem, marcando a

retardação relativa igual à franja de ordem um (N=1 ou λ = 575 x 10-6 mm). Subseqüente

recorrência da cor de passagem com maior retardação relativa significa a presença de franjas

inteiras maiores. Deste modo a seleção do λ = 575 x 10-6 mm como um comprimento de onda

padrão para observação, resulta que as franjas de ordem inteira (N = 1, 2, 3, ...) aparecem

entre o vermelho do espectro anterior, e o azul ou verde do espectro seguinte.

Franjas de ordem superiores a 4 ou 5 não são distinguidas pela cor na luz branca.

Devido à extinção múltipla de cores a franja de segunda ordem é mais pálida do que a de

primeira ordem. As franjas de ordem 3 e 4 não são visíveis como uma banda púrpura, mas são

bem definidas pela transição entre o verde e o vermelho. Franjas de ordem superiores devem

ser detectadas pela utilização de luz monocromática.

O equipamento utilizado neste trabalho possui como acessório uma lente

monocromática. Em cada ponto do padrão fotoelástico onde a matiz de passagem ou franjas

de ordem inteira ocorrem na luz branca o filtro produz uma densa franja negra.

4.1.2 COMPORTAMENTO CARACTERÍSTICO DAS FRANJAS

As franjas fotoelásticas possuem características que podem ser úteis na interpretação do

padrão fotoelástico. Por exemplo, as franjas são faixas contínuas, formando tanto "loops"

fechados como linhas curvas. As franjas negras de ordem zero são usualmente manchas

isoladas, linhas, ou áreas circundadas por franjas de ordem superior. As franjas nunca se

interceptam e a ordem da franja e o nível de deformação são uniformes em todos os pontos na

franja. Adicionalmente, as franjas existem em uma seqüência contínua tanto no número como

na cor. Em outras palavras, se as franjas de primeira e terceira ordem são identificadas, a

franja de segunda ordem deverá encontrar-se entre elas. A seqüência de cores em qualquer

direção estabelece se a ordem da franja e o nível de deformação aumentam ou diminuem

naquela direção.

Se existe uma franja de ordem zero no campo de visão, ela será geralmente óbvia

devido à cor negra. Assumindo que a peça revestida possui um canto quadrado livre ou um

50

ponto de projeção, a tensão será sempre igual a zero e uma franja de ordem zero (mancha) irá

existir no canto, independente da magnitude da carga, mas encolhendo com o incremento da

carga. Quando não existe franja de ordem zero evidente, a franja de primeira ordem pode

sempre ser reconhecida devido ao brilho das cores adjacentes à matiz púrpura de passagem.

Como alternativa, quando o objeto de ensaio pode ser carregado em incrementos a partir do

estado de tensão livre, a franja de ordem zero inicial que cobre todo o revestimento pode

geralmente ser acompanhada durante o processo de carregamento, enquanto retrocede em

direção a pontos não tensionados e a regiões onde a diferença das tensões principais é zero.

Reconhecendo-se uma franja, a ordem de outras franjas pode ser identificada, sabendo-

se que a direção de aumento da ordem das franjas corresponde à seqüência correta de cores,

isto é, amarelo, vermelho, verde etc. Por este processo o observador pode rapidamente

localizar as franjas de maior ordem e, geralmente, as regiões mais deformadas. Áreas de

franjas finas com pequenos espaçamentos significam regiões de gradientes de deformação

excessivos e de altas deformações. Grandes áreas onde o padrão é quase uniformemente negro

ou cinza, geralmente indicam uma região não tensionada.

4.1.3 RELAÇÕES ENTRE ORDEM DAS FRANJAS E AS MAGNITUDES DE

DEFORMAÇÕES E TENSÕES

A ordem das franjas é proporcional à diferença de deformações principais (εx - εy) no

revestimento (e na superfície da peça em ensaio). A relação linear é expressa pela Equação

3.18, a qual pode ser reescrita em termos de deformação cisalhante:

Nfxy =γ (4.1)

Onde:

γxy = deformação cisalhante máxima (no plano da superfície) em qualquer ponto;

N = ordem da franja;

f = constante de franja do revestimento sendo igual a Kh..2

λ ;

λ = comprimento de onda (na luz branca, 575 nm);


K = coeficiente ótico de deformação do revestimento.

51

O significado das Equações 3.18 e 4.1 é que a diferença de deformações principais, ou a

máxima deformação cisalhante na superfície de ensaio pode ser obtida simplesmente obtendo

a ordem da franja e multiplicando este pela constante de franja. As Equações 3.18 e 4.1

podem ser transformadas, de acordo com a Lei de Hooke, para a determinação da diferença

entre as tensões principais, conforme definido na Equação 3.20. Ressalta-se que a Lei de

Hooke biaxial é aplicável somente a materiais homogêneos, isotrópicos e com comportamento

elástico.

Observando-se que a tensão cisalhante máxima, τmáx, no plano da superfície em

qualquer ponto é (σx - σy) / 2, tem-se:

NfE

+

=ν

τ12

1max (4.2)

Onde:

σx, σy = tensões principais na superfície da peça em ensaio;

E = módulo de elasticidade da peça em ensaio;

v = coeficiente de Poisson da peça em ensaio.

As Equações 3.18 e 3.20 são conhecidas como as relações primárias usadas na análise

de tensões por fotoelasticidade, fornecendo somente a diferença entre as deformações e

tensões principais e não os seus valores individuais. Para determinar a magnitude individual e

os sinais, tanto das deformações como das tensões principais, geralmente é necessário, para o

estado biaxial de tensões, uma segunda medida que forneça a soma das deformações

principais. Há muitos casos, entretanto, que estas equações fornecem todas as informações

necessárias à análise de tensões. Por exemplo, quando a razão entre as tensões principais pode

ser inferida de outras considerações, como por exemplo, um cabo uniforme sob torsão

(σx/σy=-1), um recipiente de paredes finas sob pressão (σx/σy=2) etc., esta relação pode ser

combinada com a Equação 3.20 para obter as tensões principais individuais. Também, sempre

que o estado de tensões é conhecido como uniaxial, com σx ou σy igual a zero, há somente

uma tensão principal no plano da superfície do protótipo, e esta pode ser obtida diretamente

da Equação 3.20. Estes casos, nos quais uma das tensões principais é zero incluem todos os

membros retos e com seção transversal uniforme em tensão ou compressão axial, fora dos

pontos de aplicação das cargas. Outros casos importantes do ponto de vista da análise de

52

tensões são todos os pontos nas fronteiras e extremidades livres do protótipo. Como nas

extremidades livres, os eixos principais são normal e tangencial à extremidade, e a tensão

principal normal na extremidade é necessariamente igual a zero, o estado de tensão é uniaxial.

4.1.4 DETERMINAÇÃO DAS DIREÇÕES DAS DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS

Quando o feixe de luz polarizada atinge um revestimento fotoelástico em um ponto

sujeito à tensão, ele é dividido em duas ondas que se propagam em diferentes velocidades ao

longo das direções das deformações principais. Após emergir do revestimento, estas duas

ondas sairão defasadas entre si. Contudo, nos pontos onde as direções das tensões principais

são paralelas aos eixos do filtro do polarizador, o feixe de luz não será afetado e a vibração

emergente será paralela à vibração de entrada.

Observando o ponto sob tensão pelo polariscópio, linhas (ou áreas) escuras,

denominadas isoclínicas, aparecerão. Em todos os pontos das isoclínicas as direções das

deformações principais são paralelas à direção de polarização do analisador e do polarizador.

A direção da deformação principal é sempre determinada tendo como referência uma linha

estabelecida, eixo ou plano. Em relação à referência selecionada as direções no ponto são

acompanhadas pela rotação conjunta do analisador e polarizador até que a isoclínica atravesse

o ponto onde as direções estão sendo medidas, conforme mostra a Figura 4.2. Quando as

direções das deformações são requeridas em uma grande área, as isoclínicas podem ser

registradas por fotografia ou traçadas diretamente no revestimento.

Girando o polarizador e o analisador juntos, em incrementos angulares pequenos na

faixa de 0 a 90 graus, será gerada a família completa de isoclínicas. Um exemplo deste

procedimento é mostrado na Figura 4.3 para um anel sujeito à compressão diametral. As

isoclínicas podem ainda ser combinadas em um único desenho, e as linhas isostáticas podem

ser traçadas, revelando as direções das deformações principais em qualquer ponto e ilustrando

o fluxo de tensão na peça sob ensaio.

As isoclínicas finas e estreitas correspondem a direções de deformações principais que

variam rapidamente de um local ao outro. Sendo as isoclínicas bandas negras ou áreas, as

direções das deformações principais variam lentamente e o contorno das isoclínicas pode ser

traçado. No caso de uma amostra de seção transversal constante sob tensão, uma isoclínica

poderá ser vista sobre toda a área quando os eixos de polarização coincidem com o eixo da

amostra e desde que a direção da deformação principal seja a mesma em todos os pontos.

53

Figura 4.2 - Determinação da direção das deformações principais (modificado – Measurements Group, 1984).

0º 15º 30º

45º 60º 75º

Figura 4.3 - Franjas isoclínicas, em incrementos de 15°, em anel carregado diametralmente (modificado – Measurements Group, 1981).

4.2 MEDIDAS PONTUAIS

Em geral um ponto de interesse na estrutura encontra-se entre franjas de ordem inteira e,

portanto, é necessário determinar a fração de franja correspondente no ponto em análise. A

técnica utilizada para realizar medidas pontuais é chamada de compensação. Dois métodos

são utilizados:

• Compensação Tardy, usando a rotação do analisador do polariscópio de reflexão;

• Compensação por balanço nulo, utilizando o compensador que é um acessório que

acompanha o polariscópio.

54

4.2.1 MÉTODO DE COMPENSAÇÃO POR BALANÇO NULO

Durante a realização deste trabalho foi utilizada a técnica da compensação por balanço

nulo. Este tipo de compensação opera com o princípio de introdução, no caminho da luz do

polariscópio, de uma birrefringência calibrada e variável de sinal oposto àquela induzida no

revestimento fotoelástico pelo campo de deformação. Quando a birrefringência de sinal

oposto é ajustada com a mesma magnitude da birrefringência induzida pela deformação, irá

ocorrer o seu cancelamento e a birrefringência líquida na trajetória da luz será zero. Essa

condição é observada pela produção de uma franja negra no padrão de isocromáticas, onde

antes da introdução da birrefringência compensatória existia uma franja colorida. O

dispositivo utilizado para introduzir a birrefringência calibrada é o compensador de balanço

nulo.

Durante este trabalho foi utilizado um compensador eletricamente acoplado com um

indicador de deformação, permitindo a leitura digital da magnitude da diferença de

deformações no ponto considerado após a compensação, conforme ilustra a Figura 4.4. O

sistema também faz o registro da direção da deformação principal. Este é acompanhado por

um transdutor instalado no compensador, o qual registra a orientação angular da isoclínica. O

sistema possui ainda uma impressora interna que pode ser acionada do compensador.

Para que ocorra o total cancelamento da birrefringência o compensador deverá estar

alinhado com a direção da deformação principal máxima (algebricamente). O compensador é

inicialmente alinhado com uma das direções das deformações principais. Se o balanço nulo

não é possível, significa que o compensador está alinhado com a direção da deformação

principal mínima. Girando o compensador de 90°, este estará então alinhado com a direção da

deformação principal maior e a compensação por balanço nulo será possível.

4.2.2 SEPARAÇÃO DE DEFORMAÇÕES E/OU TENSÕES

Para a obtenção de valores individuais das tensões principais em pontos localizados fora

das extremidades livres, é necessária a realização de medidas adicionais. Existem duas

técnicas: o método de incidência oblíqua e o método do "strain gage" separador. O método da

incidência oblíqua apresenta alguma dificuldade de uso e é restrito a medições em locais que

permitam o acesso do adaptador de incidência oblíqua. O método que utiliza o "strain gage"

separador necessita que uma determinação anterior dos pontos de maior interesse para análise

seja realizada e que se determine as direções das tensões principais nesses pontos antes da

colagem dos "strain gage".

55

Figura 4.4 - Polariscópio equipado com o compensador e equipamento para leitura e registro dos dados de deformação.

O termo incidência oblíqua significa que a luz do polarizador atravessa o revestimento

fotoelástico em um determinado ângulo, e a birrefringência medida depende da deformação

principal secundária no plano perpendicular ao caminho da luz. Assim, uma leitura de

incidência oblíqua (Nθ), combinada com a leitura de incidência normal (Nn), fornece a

informação necessária para a determinação dos valores individuais de σx e σy. O adaptador

para incidência oblíqua possui um espelho fixo que simplifica a redução dos dados. O

adaptador é mostrado na Figura 4.5.

Figura 4.5 - Adaptador para incidência oblíqua fixado no polariscópio.

56

A Figura 4.6 mostra um esboço da realização de medidas com incidência oblíqua. A

trajetória da luz emerge do polarizador, reflete no espelho de incidência oblíqua, atravessa o

revestimento fotoelástico refletindo novamente no espelho e finalmente retorna pelo

analisador.

Na incidência normal Nn, as medidas são:

)(..2 yxnormaln KhN εεδλ −== (4.3)

Figura 4.6 - Trajetória da luz nas medidas de incidência oblíqua (modificado – Measurements Group, 1984).

Na incidência oblíqua:

)(..2 yxobliqua BAKhN εεδλθ −== (4.4)

Os coeficientes A e B são dependentes do coeficiente de Poisson do revestimento, e o

ângulo θ é aquele empregado pelo adaptador de incidência oblíqua. Resolvendo as equações

em termos de εx e εy:

)5,1( nx NNf −= θε (4.5)

)25,1( ny NNf −= θε (4.6)

Os valores de 1, 1,5 e 2 são coeficientes derivados do desenvolvimento de equações

para medidas de incidência oblíqua, e correspondem a revestimentos de alto módulo de

elasticidade (Measurements Group, 1984).

Desde que as deformações principais podem ser determinadas, as tensões podem ser

calculadas:

57

)(1 2 yxx

E νεεν

σ +−

= (4.7)

)(1 2 xyy

E νεεν

σ +−

= (4.8)

Onde E e ν são os módulos de elasticidade e coeficiente de Poisson, respectivamente, da peça

em ensaio.

4.3 CORREÇÕES DAS MEDIDAS DA ORDEM DAS FRANJAS

As principais fontes de erros no método fotoelasticidade com a utilização de

revestimento fotoelástico são:

• Birrefringência inicial;

• Efeitos de reforço em sistemas de tensão plana;

• Efeitos de reforço e extrapolação de deformação para placas sob flexão;

• Efeitos de temperatura.

A seguir apresentam-se as correções necessárias para os casos de birrefringência inicial e

de reforço em situações de tensão plana, que foram utilizadas neste trabalho.

4.3.1 BIRREFRINGÊNCIA INICIAL

Qualquer padrão colorido inicial no revestimento (anterior à aplicação de cargas) causa

um erro nas medidas de ordem de franja que deve ser corrigido. Sob circunstâncias normais,

isso acontece somente por uso inadequado do revestimento durante ou após aplicação no

objeto a ser ensaiado. Outras causas são:

• Birrefringência residual causada pela diferença entre a temperatura na qual o revestimento

foi colado e a temperatura durante o ensaio. Esta birrefringência parasitária é produzida

pela expansão térmica diferencial entre o revestimento e o objeto de ensaio. A

birrefringência é concentrada primeiramente nas extremidades, e caminha em direção ao

interior, para desaparecer a uma distância da extremidade de até quatro vezes a espessura

do revestimento. Nos pontos distantes das extremidades, o estado de tensão no plano do

58

revestimento devido à expansão térmica diferencial é isotrópico, e não produz

birrefringência.

• Birrefringência devido à retração da cola, sendo que após o período de um mês ou mais, a

cola usada para colar o revestimento pode continuar a polarização e então retrair. O efeito

é similar ao item acima e se concentra nas extremidades.

• Extremidades não protegidas da umidade, que ocorre se as extremidades do revestimento

não estão protegidas da umidade por uma camada de cola e alguma umidade é absorvida

através das extremidades da resina. O resultado poderá ser o inchaço da resina ao longo

das extremidades produzindo birrefringência parasitária nestas áreas.

Em todos os pontos dos contornos livres (não carregados) os eixos principais são

tangentes e perpendiculares à extremidade. Isto é igualmente verdadeiro para as tensões nas

extremidades do revestimento, seja causado pelas cargas, seja pelos efeitos descritos acima.

Devido ao fato de que a carga induzida e a birrefringência são congruentes, a superposição

direta pode ser realizada, e a correção pode ser feita em todos os pontos das superfícies livres

pela simples subtração da medida da ordem da franja sem o carregamento da medida feita

com o carregamento.

Quando a birrefringência residual existe no revestimento devido ao uso inadequado da

resina, ou por plastificação da parte sob ensaio depois de revestido, as direções das tensões

principais causando a birrefringência inicial não serão coincidentes com os eixos principais

produzidos pela carga de ensaio. Nestes casos a correção não pode ser realizada pela simples

subtração. Um dos métodos é a subtração vetorial descrita a seguir (Measurements Group,

1984). A ordem da franja pode ser obtida por:

)(2cos.222ififif NNNNN ββ −−+= (4.9)

O ângulo entre o eixo de referencia horizontal e a tensão principal maior é dado por:

−

−= −

iiff

iiff

NNNN

ββββ

β2cos2cos2sen2sen

tan.5,0 1 (4.10)

Onde:

Ni= birrefringência parasitária inicial;

59

βi = parâmetro de isoclínica da tensão principal maior para birrefringência inicial;

Nf = birrefringência final;

βf = parâmetro de isoclínica da tensão principal maior para birrefringência final.

O procedimento para a correção da birrefringência é: com nenhuma carga sobre o

objeto, mede-se a ordem de franja, Ni, da birrefringência inicial no ponto de ensaio, e o

parâmetro de isoclínica βi, da tensão principal maior.

Após a aplicação da carga, mede-se a ordem da franja (Nf) e o ângulo da isoclínica (βf)

para o eixo da tensão principal maior. Note que estas medidas são resultado da combinação da

birrefringência inicial e da induzida pela carga. Calcula-se então a ordem correta da franja, N,

devido somente ao carregamento pela Equação 4.9 e o ângulo da isoclínica, β, entre a direção

de referência e o eixo da tensão principal maior induzida pela carga pela Equação 4.10.

4.3.2 EFEITOS DE REFORÇO EM PROBLEMAS DE TENSÃO PLANA

Quando uma peça em tensão plana revestida com revestimento fotoelástico é submetida

a cargas, o revestimento reforça a peça. Como resultado, as deformações na peça em ensaio

são inferiores do que sem a presença do revestimento. O erro devido ao reforço é muito

pequeno em peças de metal e pode ser ignorado. Contudo, quando os objetos em ensaio são

plásticos ou outros não metais, o erro é geralmente significativo e a correção é necessária. A

correção devida ao reforço em situações de tensão plana pode ser expressa como:

Cpr = 1+E*.h* (4.11)

Onde:

Cpr= fator pelo qual a ordem de franja observada no estado de tensão plana deve ser

multiplicada para obter a ordem de franja corrigida;

E* = Er/Ep = razão entre o módulo de elasticidade do revestimento fotoelástico e o do objeto

em ensaio;

h* = hr/hp = razão entre a espessura do revestimento fotoelástico e a do objeto em ensaio.

4.4 MATERIAIS FOTOELÁSTICOS

A escolha do material adequado para o revestimento ou para o modelo é um aspecto

fundamental da análise de tensões com a utilização da fotoelasticidade. O primeiro material

60

utilizado para esta finalidade foi o vidro. Entretanto, pela sua baixa sensibilidade e

maleabilidade foi sendo substituído por outros materiais. As propriedades fundamentais que

um material fotoelástico deve possuir são:

• Transparência - na seleção de materiais para aplicações fotoelásticas em polariscópio de

transmissão, a transparência permite uma rápida classificação do material pela simples

observação;

• Maquinabilidade - facilidade de ser trabalhado por máquinas e ferramentas para que se

possa dar ao modelo a forma desejada;

• Sensibilidade ótica - o material deve possuir sensibilidade à deformação, traduzida por

um baixo valor do coeficiente de franja (f). Uma boa sensibilidade traduz-se por um

elevado número de franjas isocromáticas, mesmo para intensidades moderadas das forças

aplicadas;

• Fluência - é necessário que o material seja pouco susceptível a fluência;

• Isotropia e Homogeneidade - o material utilizado deve ser homogêneo e isotrópico. Os

materiais cuja obtenção envolve operações de laminagem e estiramento devem ser

evitados para uso em fotoelasticidade devido as propriedades de anisotropia introduzida

pelo processo;

• Comportamento linear - o material do modelo deve apresentar uma relação de linearidade

entre os estados de tensão e de deformação, bem como uma relação de linearidade entre o

estado de tensão e as respectivas propriedades óticas. Os materiais fotoelásticos

satisfazem em sua maioria essas condições, exceto para grandes níveis de tensão onde um

certo comportamento não linear pode ser observado;

• Rigidez - os materiais devem possuir um módulo de elasticidade suficientemente elevado

de tal modo que a distorção do modelo seja mínima, mantendo a sua forma sensivelmente

constante;

• Sensibilidade às variações de temperatura - as propriedades do material devem manter as

suas propriedades constantes em variações de temperatura;

• Ausência de tensões residuais;

• Compatibilidade de deformações - é importante que a ordem de grandeza das

deformações no modelo plástico e no protótipo sejam relativamente a mesma.

61

4.4.1 MATERIAIS UTILIZADOS

Apesar de quase todos os materiais transparentes exibirem birrefringência, a maioria

não apresenta sensibilidade suficiente para a sua aplicação em fotoelasticidade. Os materiais

utilizados para fins de fotoelasticidade são (Gomes, 1984):

• Bakelite BT-61-893 - resina gliptálica que se obtém através da reação da glicerina com

anidrido ftálico. É fácil de maquinar e possui excelentes propriedades óticas e mecânicas.

A sua desvantagem está no fato de ser difícil a sua moldagem sem o surgimento de

tensões residuais.

• Castolite - resina de poliéster que se obtém por moldagem entre duas lâminas de vidro.

Material transparente e sensibilidade média.

• Resina Columbiana (CR-39) - é um carbonato digligo-allylico que pode ser moldado sob

forma de placas, com transparência perfeita e ótimo acabamento superficial. Material

frágil e de difícil trabalhabilidade.

• Resina Epóxi (Araldites) - possui elevada sensibilidade ao efeito fotoelástico, excelentes

propriedades mecânicas e são fáceis de trabalhar.

• Borracha de poli-uretano - possui excepcional sensibilidade ótica (cerca de cinqüenta

vezes mais sensível que as resinas epóxi) e reduzido módulo de elasticidade. É utilizado

para fabricação de modelos demonstrativos e em modelos onde as tensões são provocadas

por forças de volume, como em determinados problemas de mecânica dos solos.

Destes materiais os que mais se aproximam de um material fotoelástico perfeito são as

resinas epóxi. Gomide & Smith (1984), citando Leven em 1961, conclui que a resina epóxi é

um excelente material fotoelástico para análise tridimensional, em virtude de apresentar alta

sensibilidade ótica com a deformação, de poder ser fundido facilmente em grandes espessuras

e pelo fato de complicados modelos poderem ser fabricados através de usinagem.

Nacionalmente, materiais para aplicação em fotoelasticidade têm sido preparados com matéria

prima nacional. Resinas epóxi e resinas de poliéster são utilizadas para a confecção de

modelos bi e tridimensionais (Gomide, 1975 e Siqueira & Gomide, 1994). Oliveira & Gomide

(1989) apresentam o desenvolvimento de materiais usando matéria-prima nacional para

aplicação na fotoelasticidade de reflexão. Os componentes usados são a resina epóxi

(Araldite) e endurecedores a base de aminas, produzidos no Brasil.

62

4.4.2 CALIBRAÇÃO DO MATERIAL FOTOELÁSTICO

Para determinar o estado de tensões a partir do polariscópio é necessário conhecer o

valor da constante de franja f do material fotoelástico utilizado. Essa constante pode se alterar

com a idade do material e com a temperatura ambiente, e por essa razão é conveniente que se

faça a calibração do material quando da realização do ensaio.

Existem vários métodos de calibração para determinar a constante do material,

destacando-se três métodos utilizados para modelos bidimensionais: corpos-de-prova de

tração, flexão e circular. Com as condições de carregamento e da distribuição de tensões

conhecidas, determina-se a ordem da franja (N) para cada nível do carregamento permitindo-

se determinar o coeficiente ótico de deformação.

A calibração de revestimentos para fotoelasticidade de reflexão é realizada por meio de

uma viga de calibração, que se encontra engastada em uma de suas extremidades e onde

posteriormente se aplica uma força na extremidade livre da viga. Esta força é aplicada por

meio de um micrômetro e medidas da ordem da franja (N) e de leituras no micrômetro são

feitas permitindo que se determine por meio de um gráfico de calibração o valor de franja f

e/ou o coeficiente de ótico de deformação K.

A calibração de modelos tridimensionais deve ser realizada na temperatura de

congelamento das tensões para a determinação do coeficiente ótico de deformação. A

calibração deve ser realizada no mesmo material que for utilizado na usinagem do modelo e

exposto ao mesmo ciclo térmico de congelamento de tensões a que for submetido o modelo.

4.4.3 SELEÇÃO DE REVESTIMENTOS FOTOELÁSTICOS

O objetivo da seleção do revestimento fotoelástico é a escolha de um material que

forneça máxima confiabilidade e precisão sob dadas condições de ensaio, com menores custos

e esforços. As principais considerações na seleção de um revestimento fotoelástico são:

• Método de aplicação do revestimento na superfície de ensaio;

• Sensibilidade;

• Efeito de reforço;

• Deformação máxima.

4.4.3.1 MÉTODO DE APLICAÇÃO DO REVESTIMENTO

Revestimentos fotoelásticos estão disponíveis em três formas: placas planas sólidas,

líquidos para fundição e líquidos para aplicação em "spray". Existem vários tipos diferentes

63

de revestimento disponíveis em cada uma das formas acima citadas e podem ser classificadas

de forma geral em categorias de acordo com o seu módulo de elasticidade: materiais com

baixo, médio e alto módulo de elasticidade.

Quando a superfície da peça de ensaio é plana, é preferível o uso de placas planas, com

as seguintes vantagens: espessura uniforme, propriedades físicas e fotoelásticas uniformes e

fácil manipulação. Para estruturas de formas irregulares que não podem ser revestidas por

placas planas, pode-se utilizar resina líquida. A resina plástica pode ser empregada com o

método de conformação ou aplicada por spray. No método da conformação a resina líquida é

preparada até a polarização parcial, quando apresenta-se sólida e maleável. Neste estágio o

objeto em estudo é revestido e a polimerização final ocorre na forma desejada. Esse método é

preferível à aplicação por spray porque se pode obter uma espessura uniforme do

revestimento mais facilmente. Devido à dificuldade de obter revestimentos de espessura

uniforme ou uma espessura maior que 0,13 mm sem perda de transparência, a técnica de spray

não é satisfatória para análises quantitativas. Os revestimentos pulverizados são limitados em

usos de estudos quantitativos onde as magnitudes das deformações estão bem além do limite

de deformação elástica para materiais estruturais comuns.

4.4.3.2 SENSIBILIDADE

O fator mais importante a ser considerado na seleção do revestimento fotoelástico é a

sensibilidade birrefringente do material, já que esta propriedade envolve a equação básica

usada na análise do revestimento fotoelástico:

fNKh

Nyx ...2

.max ===−λγεε (4.12)

Onde:

εx, εy = deformações principais;

γmax = deformação cisalhante máxima;

N = ordem de franja, adimensional;

λ = comprimento de onda da luz usada no polariscópio, igual a 577 x 10-9m para luz branca;


K = coeficiente ótico de deformação do material do revestimento, adimensional;

64

f = constante de franja, ou sensibilidade do revestimento considerado para a espessura do

revestimento (m/m por franja).

O número de franjas observado e medido depende das condições de ensaio e do tipo de

instrumentação utilizada. A Tabela 4.1 apresenta, para uma variedade de condições, a

instrumentação necessária, o número de franjas observadas e a sensibilidade esperada.

Assumindo, com o auxilio da Tabela 4.1, o número de franjas a serem observadas, e

estimando o nível de deformação esperado, a sensibilidade do revestimento, ou constante de

franja é calculada por:

desejável franjas de númeroesperado deformação de nívelmax ==

−=

NNf yx γεε

(4.13)

O nível de deformação esperado irá corresponder à plastificação incipiente do material

sob as tensões analisadas. Na prática, um nível de deformação inferior é sempre imposto pelas

condições de ensaio. Desde que o valor de franja possa ser estabelecido a partir do nível de

deformação e do número de franjas esperadas, o tipo e a espessura da resina que irá satisfazer

a sensibilidade requerida podem ser determinados com a seguinte relação:

Khf

..2λ

= (4.14)

4.4.3.3 EFEITO DE REFORÇO

Em certos casos a espessura do revestimento pode produzir um efeito de reforço

significativo que deve ser considerado nos resultados obtidos e na escolha do revestimento.

No caso de materiais com baixo módulo de elasticidade, o efeito de reforço para tensões

planas não pode ser ignorado, e deve ser corrigido. O fator de correção Cpr representa a razão

da deformação real pela deformação medida na superfície da peça de ensaio. Para a obtenção

da deformação real, a deformação medida deve ser multiplicada pelo fator de correção. A

discussão para determinação do fator de correção encontra-se no Item 4.3.2.

65

Tabela 4.1 - Condições de ensaio e sensibilidade esperada (modificada - Measurements Group, 1984).

Aplicação típica Fonte

de luz

Método de

medida

Sensibilidade

do instrumento

ou método

Sensibilidade

média das

medidas

Número de

franjas a ser

observado (N)

Ensaios estáticos em laboratório

em ambiente com sombra ou sem

luz

Branca

Compensação

por balanço

nulo

1/50 franja 1% 1 a 4

Ensaios estáticos em campo ou

sob condições insatisfatórias em

laboratório

Branca

Compensação

por balanço

nulo

1/25 franja 2% 1 a 4

Vibração ou partes em rotação

Stra

bosc

ópic

a

Compensação

por balanço

nulo

1/25 franja 2% 1 a 4

Alta ordem de franja esperada,

medições na faixa plástica de

deformação.

Branca

Fotografias

em preto e

branco

1/2 franja 4% 5 a 20

Medições dinâmicas ou estáticas

usando fotografias coloridas para

registro, interpretação visual do

padrão fotoelástico.

Branca Estimativa

por cor 1/5 franja 5% 1 a 4

4.4.3.4 DEFORMAÇÃO MÁXIMA

A máxima deformação mensurável para um revestimento fotoelástico particular

depende da curva tensão-deformação e da linearidade do comportamento fotoelástico. A

performance requerida para um revestimento para medições de deformações completamente

plásticas em metais é diferente para faixas elásticas ou elastoplásticas. Com deformações

plásticas, a sensibilidade do revestimento é menos significativa porque um alto nível de

deformações estará presente. A consideração mais crítica é a habilidade do revestimento e do

adesivo de acompanhar o material dentro da região plástica. Existem duas maneiras de

resolver o problema: um revestimento fino de uma resina de alto módulo de elasticidade ou

um revestimento grosso de resina de baixo módulo de elasticidade. A escolha entre essas

alternativas depende da informação desejada. Por exemplo:

66

• Deformação plástica localizada - selecionar um revestimento de pequena espessura e de

alto módulo de elasticidade para minimizar o efeito de reforço;

• Distribuição de tensões na faixa plástica - revestimento de pequena espessura e com

alta capacidade de deformação.

• Propagação de fraturas - para esta aplicação a propagação da fissura no revestimento

deverá ser mais lenta que no material, e uma seleção apropriada é um revestimento

grosso de baixo módulo de elasticidade.

4.5 MODELOS FOTOELÁSTICOS

De acordo com Andrade-Gripp (1985) um modelo é uma representação do objeto de

interesse numa forma outra que a entidade em si. Num sentido amplo, o modelo é a reunião de

uma determinada quantidade de informações e atributos sobre aquilo que é representado,

conforme os objetivos e necessidades da análise. O método de análise de tensões por

fotoelasticidade é um tipo de ensaio em modelos. Os modelos fotoelásticos são modelos

físicos que permitem que se realize a determinação experimental do estado de tensões de um

corpo sujeito a um determinado carregamento. Primeiramente, as técnicas experimentais de

fotoelasticidade foram e são utilizadas para determinar as tensões em problemas de tensões

planas (problemas em duas dimensões). Problemas desta natureza são analisados em modelos

fabricados por meio de placas planas de materiais elásticos transparentes, denominados

materiais fotoelásticos. Com a ajuda de certas técnicas analíticas e experimentais as tensões

em pontos no interior também podem ser analisadas. Posteriormente, técnicas foram

desenvolvidas para possibilitar a aplicação direta da fotoelasticidade em modelos

tridimensionais.

Em problemas de tensões planas, os modelos fotoelásticos são fabricados com materiais

transparentes e com os contornos geometricamente semelhantes aos do protótipo no qual a

distribuição de tensões é desejada. O modelo é então examinado no campo de luz polarizada

com o carregamento aplicado de maneira similar ao existente no protótipo. Sob estas

condições uma série de franjas ou bandas brilhantes de diferentes cores é observada sob luz

branca, ou como bandas escuras e claras sob luz monocromática. Estes efeitos óticos podem

ser interpretados para fornecer uma representação gráfica da distribuição de tensões tanto

qualitativa como quantitativa.

O conceito de modelos bidimensionais pode ser estendido a algumas estruturas

compostas por placas, colunas e lajes. Modelos complexos dessa natureza podem ser

67

construídos de material fotoelástico e visualizados através de transmissão ou mais

convenientemente por reflexão.

Quando as tensões importantes para um determinado problema ocorrem na superfície

livre de uma estrutura, utiliza-se o método da fotoelasticidade de reflexão. Este método

determina a distribuição de tensões superficiais por meio da aplicação de revestimentos de

material fotoelástico em um modelo com superfície polida ou em uma porção da própria

estrutura. A deformação no revestimento e na superfície do modelo ou estrutura é a mesma,

portanto o resultado da birrefringência no revestimento determina as diferenças de tensões

superficiais. Enquanto análises de modelos bi e tridimensionais são utilizadas essencialmente

para resolver problemas gerais de tensão, revestimentos fotoelásticos são usados para medir

diretamente as deformações em membros ou partes da estrutura. A mais significativa

vantagem da fotoelasticidade de reflexão é a habilidade de medir tensões diretamente sobre o

objeto em estudo, fornecendo informações reais, eliminando dificuldades de modelagem

(Redner, 1979). Outra habilidade está em revelar o campo de deformação heterogêneo devido

à diferença de rigidez nos materiais compostos, e na capacidade de detectar e revelar fissuras,

micro fissuras e o seu desenvolvimento. O fissuramento na peça não causa a ruptura do

revestimento, mas produz uma alta deformação ao longo da linha da fissuração, gerando um

padrão típico no revestimento.

Quando o estado de tensões é tridimensional, os procedimentos utilizados em problemas

bidimensionais não são suficientes. A análise de tensões pela observação das isoclínicas e

isocromáticas quando a luz polarizada atravessa o modelo não é possível, pois o efeito ótico é

geralmente muito complexo, tornando a relação com o estado de tensões quase impossível

(Kuske & Robertson, 1974). A melhor maneira de analisar problemas tridimensionais é o

método de congelamento de tensões. Este método é restrito a casos de carregamento estático

ou forças de massa, como a força gravitacional ou centrífuga. De acordo com Kuske &

Robertson (1974), no método de congelamento a anisotropia ótica pode ser fixada no material

por meio de um tratamento térmico especial, que não é trocada mesmo se a carga for

removida. Desta forma, as tensões podem ser congeladas no modelo, que poderá ser

posteriormente cortado em fatias, para que as mesmas sejam analisadas. Assim, o modelo é

carregado e aquecido acima de sua temperatura crítica, que é definida como sendo a

temperatura mínima em que o modelo deve encontrar-se para que ocorra a fixação das

deformações após ser resfriado. Os modelos fotoelásticos para este tipo de análise devem ser

usinados para simular as condições geométricas do protótipo. Após a remoção das cargas

68

fatias de vários planos de interesse podem ser obtidas e o polariscópio de transmissão revelará

a distribuição completa das tensões no plano da fatia.

Vários projetos mecânicos ou estruturais podem ser modelados em resinas fotoelásticas

(ou, em um material opaco, com subseqüente revestimento com uma película plástica). A

fotoelasticidade passou a ser utilizada em conjunto com a análise por métodos numéricos

(elementos finitos, elementos de contorno ou diferenças finitas). Todos os métodos

fotoelásticos, revestimentos, modelos bidimensionais e tridimensionais, podem ser utilizados

para aferir e melhorar a precisão dos métodos computacionais de análises de tensões

(Measurements Group, 1993). A combinação de método de elementos finitos e

fotoelasticidade de reflexão (foto-tensão) é apropriada para muitos casos de análise de

tensões. Algumas limitações dos métodos computacionais podem ser auxiliadas pela análise

experimental pela fotoelasticidade: indefinição das condições de carregamento, suposições

pouco precisas dos contornos, tensões internas ou residuais, propriedades dos materiais e

comportamento inelástico e anisotrópico. Os seguintes procedimentos podem ser aplicados na

análise:

• Realização do ensaio utilizando a técnica da foto-tensão, na estrutura ou em um modelo

feito de material de baixo módulo. O material do modelo e o tamanho são selecionados

para permitir o desenvolvimento das franjas convenientemente a pequenas cargas.

• Condução da análise por elementos finitos para determinação da diferença de

deformações principais nos pontos nodais.

• Comparação dos padrões coloridos da foto-tensão e dos cálculos numéricos. De acordo

com o ajuste ou não dos padrões, modifica-se o modelo no método dos elementos finitos

para obter a correta distribuição de tensões de acordo com o padrão apresentado pela

fototensão. Após o ajuste, as deformações principais individuais podem ser obtidas pelo

método dos elementos finitos, sem a necessidade da separação das deformações principais

pela fotoelasticidade.

4.6 REGISTRO DE APLICAÇÕES DA FOTOELASTICIDADE EM MECÂNICA

DAS ROCHAS

Roberts et al. (1962) relata a utilização de modelos fotoelásticos no estudo da

distribuição de tensões em aberturas de minas pela primeira vez por Phillips na Inglaterra em

1930, e posteriormente por Duvall nos Estados Unidos em 1948, seguido por Potts novamente

na Inglaterra em 1950 e por Hoek na África do Sul em 1960. Trabalhos pioneiros na aplicação

69

da técnica da fotoelasticidade por reflexão no estudo do comportamento tensão-deformação

de rochas foram conduzidos por Emery no Canadá e na Inglaterra em 1960 (Roberts et al.,

1962).

Roberts et al. (1962) aplicaram a técnica da fotoelasticidade em ensaios de laboratório

no estudo do comportamento tensão-deformação de rochas sob carregamentos diversos,

incluindo observações de deformações intragranulares, reação elástica das rochas, fenômeno

de deformação por relaxação e de fluência. Descreve ainda a aplicação de transdutores

fotoelásticos como parte da instrumentação em minas, utilizada para determinação das

características tensão-deformação das rochas de interesse na obtenção de dados para

solucionar problemas em projetos de minas. Utilizou ainda materiais fotoelásticos para a

fabricação de transdutores óticos na forma de placas fotoelásticas, medidores de deformação

biaxial, dinamômetros e extensômetros óticos.

A técnica da fotoelasticidade também foi utilizada para que a distribuição de tensões ao

redor de escavações pudesse ser observada. Como exemplo Franklin & Dusseault (1989)

citam a utilização de placas de material fotoelástico nas quais furos procuram simular a

abertura de túneis. O padrão de tensões que aparece sob estas condições é relacionado com a

diferença de tensões principais no plano do modelo e pode ser utilizado para calcular as

tensões ao redor de um abertura ou aberturas de mesma forma em uma rocha rígida.

De acordo com Hoek em 1967, citado por Franklin & Dusseault (1989), um modelo

fotoelástico pode ser utilizado para fazer uma analogia com um maciço rochoso de

comportamento elástico, permitindo que se determine a distribuição de tensões. A técnica da

fotoelasticidade foi ainda empregada para resolução de problemas práticos tridimensionais de

elasticidade, sendo utilizada nestes casos a técnica de congelamento de tensões. Como

exemplo Franklin & Dusseault (1989) cita que Camponuovo et al. em 1980 empregaram

modelos fotoelásticos tridimensionais junto com análise por elementos finitos para estudar a

propagação de fissuras em problemas de fraturamento hidráulico. Para a análise fotoelástica a

técnica de congelamento de tensões foi utilizada. As fissuras foram propagadas pela aplicação

de ar comprimido através de furos em um bloco de resina epóxi (Figura 4.7). Nos casos de

escavações subterrâneas complexas a técnica de congelamento de tensões também foi

empregada já que a distribuição de tensões no maciço de rocha não pode ser analisada com

adequado grau de precisão pelos meios de análise bidimensional de tensões.

Hoek & Brown (1980) descrevem um modelo onde a própria rocha foi recoberta com

uma camada de revestimento fotoelástico e empregou-se a técnica da fotoelasticidade de

reflexão para análise. Peng (1976) empregou a técnica da fotoelasticidade de reflexão na

70

análise da distribuição de deformações em rochas não homogêneas, observando a influência

da textura dos minerais nas deformações e no modo de ruptura. Também observou que a

técnica é uma boa ferramenta para monitorar a distribuição das deformações com o aumento

do carregamento até a completa ruptura, podendo-se ainda traçar a seqüência do fraturamento.

Figura 4.7 - Distribuição das isocromáticas em um estudo da propagação de fissuras em problemas de fraturamento hidráulico (Franklin & Dusseault, 1989).

Modelos podem ainda ser construídos de um material altamente deformável como a

gelatina para desenvolver padrões fotoelásticos sob o peso próprio. Modelos fotoelásticos

também podem ser construídos a partir de blocos ou grãos de material fotoelástico para

simular uma rocha fraturada ou solo.

Dyer (1985) trabalhou com um modelo fabricado com vidro triturado procurando

simular uma areia angular ou pedregulho. Os poros entre os cacos de vidro foram preenchidos

por um líquido de mesmo índice de refração. Utilizou-se a técnica da fotoelasticidade em

condições de deformação plana, utilizando reforço de forma plana, para analisar a distribuição

de tensões devido à inclusão de reforço na massa de solo. Três tipos de reforço foram

utilizados: lâmina de latão perfurado, grelha de aço galvanizado e placa de aço. Foram

conduzidos ensaios de cisalhamento direto e de arrancamento. Dyer (1985) também cita

Drescher e de Josselin de Jong, que em 1972 realizaram ensaios em um modelo fabricado a

partir de um conjunto de discos de material fotoelástico constituindo uma analogia

bidimensional para material granular. Abel et al. (1973) utilizou modelos fotoelásticos para

analisar a distribuição de tensões ao redor de tubulações de forma elípticas flexíveis.

Ensaios de compressão uniaxial e cisalhamento de juntas rugosas artificiais foram

conduzidos por Wei-hong et al. (1997) usando o método de fotoelasticidade. Foi projetado um

equipamento de carregamento para os experimentos fotoelásticos. As franjas isocromáticas

71

foram observadas e fotografadas para diferentes níveis de carregamento. Através do padrão

visível da distribuição das franjas fotoelásticas, observou-se que nos pontos de contato das

juntas sob compressão normal ou compressão e cisalhamento a distribuição de tensões sofre

mudanças significativas.

72

5 ENSAIOS DE CISALHAMENTO COM A TÉCNICA DA FOTOELASTICIDADE

5.1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho foram realizados ensaios de cisalhamento utilizando-se na análise dos

resultados a técnica da fotoelasticidade de reflexão. Os ensaios e a análise foram realizados no

Centro Tecnológico de Engenharia Civil de FURNAS S.A. em Goiânia, como parte do

convênio de cooperação técnica existente entre esta instituição e a Universidade de Brasília.

Os perfis de descontinuidade foram simulados por meio de modelos fabricados a partir de

placas de resina epóxi revestidas com material fotoelástico reflexivo. Foi desenvolvida uma

caixa de cisalhamento para o carregamento dos experimentos, permitindo a aplicação de

forças normais e tangenciais com visualização total do modelo e sem distorções. Inicialmente,

ensaiou-se uma descontinuidade plana seguida por três perfis com diferentes graus de

rugosidade e de um perfil moldado a partir de uma descontinuidade real.

5.2 MATERIAIS

Para a fabricação dos modelos fotoelásticos foi utilizada resina epóxi revestida por uma

placa fotoelástica fornecida pelo fabricante pronta para utilização. Na colagem foi utilizada

resina epóxi tipo araldite. A seguir são apresentadas as propriedades desses materiais.

5.2.1 REVESTIMENTO FOTOELÁSTICO

Na preparação dos modelos para a realização dos ensaios que empregaram a técnica da

fotoelasticidade, foi utilizada como revestimento fotoelástico uma placa fornecida pela

Photolastic Division do Measurements Group Inc., modelo PS-1 (Measurements Group,

1983). Esse modelo de placa é indicado para utilização junto a materiais de alto módulo de

deformabilidade e possui uma excelente sensibilidade permitindo análises nas faixas de

deformações elásticas e elasto-plásticas. A placa é fornecida com um dos seus lados com

material reflexivo, dispensando a preparação da superfície para que satisfaça as condições de

reflexão. É de fácil trabalhabilidade e não apresenta alteração das propriedades óticas e nem

absorção de umidade nas extremidades com o tempo. A Tabela 5.1 apresenta as propriedades

físicas e óticas da placa, de acordo com informações do fabricante (Measurements Group,

1983).

73

Tabela 5.1 – Propriedades físicas e óticas da placa de revestimento fotoelástico.

PROPRIEDADE VALORES Módulo de elasticidade E (GPa) 2,5 Deformação máxima (%) 10,0 Coeficiente de Poisson ν 0,38 Coeficiente ótico de deformação K 0,150 Constante de franja f (µε/franja) 1890 Espessura h (mm) 1,00 ± 0,06 Temperatura máxima de utilização (ºC) 150

O coeficiente K define uma propriedade fundamental do material fotoelástico e é

independente da espessura ou do comprimento de onda da luz. Já a constante de franja, f,

especifica a sensibilidade ótica à deformação de um revestimento particular, isto é, a diferença

entre deformações principais que irão produzir uma franja no revestimento. Para resinas

fotoelásticas típicas usadas em análises de tensões de materiais estruturais, K varia de 0,08 até

0,15, com os coeficientes maiores correspondendo aos materiais oticamente mais sensíveis. A

constante de franja, f, na maioria dos casos práticos, estará na faixa de 500 a 3000 µm/m por

franja, com os menores valores representando os revestimentos mais sensitivos.

A constante de franja, f, para qualquer revestimento específico pode ser calculada, desde

que o valor de K seja fornecido pelo fabricante. No caso de placas planas de resina a

correspondente constante de franja é calculada utilizando a Equação 3.19:

mm

mm

Khf µλ 1917

.10.0,1.15,0.210.575

..2 3

9

=== −

−

Onde:

λ = comprimento da onda igual a 575 nm para a luz branca;

h = espessura do revestimento igual a 1,0 x 10-3 m;

K = coeficiente ótico de deformação igual a 0,15.

Para maior precisão, um corpo-de-prova da resina fotoelástica pode ser utilizado para

calibrar a sensibilidade ótica à deformação, nas condições ambiente em que serão realizadas

as medidas de fotoelasticidade.

74

A calibração de revestimentos para fotoelasticidade de reflexão é realizada por meio de

uma viga de calibração. O calibrador consiste basicamente em uma estrutura rígida para

montagem e flexão de uma viga em balanço (Figura 5.1). A viga é carregada em uma das

extremidades por um micrômetro de precisão, permitindo medidas precisas de deflexão.

Quando a viga com a amostra de revestimento fotoelástico é montada no calibrador e fletida,

um estado conhecido de deformação é imposto ao revestimento. Medidas da birrefringência

(N) resultante no revestimento fornecem as informações necessárias para relacionar a ordem

da franja com a diferença entre as deformações principais. Para a obtenção da constante da

franja pode ser utilizada a carta de calibração apresentada pelo Measurements Group (1977),

que é baseada na viga e no corpo-de-prova nas dimensões apresentadas e incluem todas as

correções para as condições de momento na deflexão. Os valores de entrada são a espessura

do revestimento e a relação do número de franjas pela deflexão da viga de calibração

(∆N/∆D). A Figura 5.2 apresenta a relação ∆N/∆D para o revestimento utilizado, obtido a

partir da calibração.

Figura 5.1 - Viga para calibração do revestimento fotoelástico.

A calibração realizada com o revestimento utilizado nos modelos confirmou o valor de

franja apresentado pelo fabricante, ou seja, 1890 µε/franja. A diferença dos valores obtidos

pela Equação 3.19 e pela calibração se deve a condição de temperatura em que foi realizada a

calibração e a variação possível na espessura do revestimento (± 0,06mm).

As tensões cisalhantes no revestimento fotoelástico associadas com cada franja podem

ser calculadas por meio da Equação 4.2. Pode-se expressar a constante de franja em termos de

tensão reescrevendo a Equação 4.2 da seguinte forma:

75

2. στ fN

máx = (5.1)

Sendo:

franjaMPaEffr

r /42,338,1

2500.10.18901

. 6 ==

+

= −

νσ

Onde:

τmáx = tensão cisalhante máxima no plano da superfície da peça;

N= ordem da franja;

f = constante de franja igual a 1890 µε/franja;

Er e νr = modulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do revestimento fotoelástico, iguais

a 2500 MPa e 0,38, respectivamente.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

0 5 10 15

Deflexão (m m )

N (o

rdem

da

fran

ja)

∆ N/∆ D = 0,08R² = 0,9944

Figura 5.2 - Gráfico de ordem da franja pela leitura do micrômetro, utilizado na calibração do revestimento fotoelástico.

Isso significa que a primeira franja de ordem inteira visualizada no revestimento

fotoelástico corresponderá a uma tensão cisalhante de 1,71 MPa, e as franjas subseqüentes a

múltiplos deste valor.

76

5.2.2 MODELOS

Os perfis de descontinuidade foram simulados por meio de modelos fotoelásticos

fabricados a partir de placas planas de resina epóxi. A escolha do material para os modelos

teve por objetivo a obtenção de um produto homogêneo, isotrópico, de fácil trabalhabilidade,

com boa resistência mecânica e um módulo de elasticidade que permitisse a observação dos

parâmetros fotoelásticos, sem limitações devido aos níveis de carregamento possíveis. Para a

fabricação dos modelos foi utilizada uma resina epoxílica de alta fluidez, tipo JLA 0198,

fornecida pela Seikan Ancor-Jet Industrial e Comercial Ltda, com 17% em peso de

catalisador.

A porcentagem de catalisador define o módulo de deformabilidade do produto final.

Quanto maior a porcentagem de catalisador maior o módulo de deformabilidade da placa

produzida. Entretanto, a maior quantidade de catalisador produz uma reação exotérmica mais

intensa durante a cura da resina, o que causa efeitos de retração nos bordos das placas e

tensões internas indesejáveis. Em testes de moldagem com diferentes porcentagens de

catalisador (15, 17 e 20%) foi verificado que a porcentagem de 17% de catalisador em peso

resulta em placas com boas condições de rigidez e nas quais a reação exotérmica não é

prejudicial à fabricação da placa. Cada modelo apresenta dimensões de 13,0 x 9,0 x 1,3 cm.

As placas foram fabricadas em um molde metálico de 19,0 x 14,0 x 1,45 cm, permitindo

a moldagem de até dois modelos por vez. Inicialmente, obteve-se os perfis de rugosidade por

meio do corte de uma placa de resina com o uso de serra, utilizando-os como negativos para a

obtenção dos modelos. Os modelos foram obtidos por meio da cura da resina diretamente em

contato com os negativos moldados anteriormente, garantindo-se dessa forma modelos com

perfis similares. Para a fabricação do modelo da descontinuidade real foi feito um negativo

com gesso de cura rápida, que era então cortado na espessura do modelo final para a aplicação

da resina.

A resina e o catalisador eram misturados por não menos que cinco minutos. Para que a

resina não fixasse no molde metálico dava-se um banho de parafina no molde, formando uma

fina camada em sua superfície. Já na superfície dos negativos era aplicada uma fina camada

de solda plástica, permitindo que o modelo do perfil de rugosidade fosse o mais fiel possível.

A aplicação de graxa, óleo ou vaselina líquida como material de desmoldagem, não foi

satisfatória. Para que a placa não apresentasse grande elevação de temperatura durante a cura,

prejudicando o acabamento do modelo, a moldagem foi realizada em ambiente de laboratório

(22°C ± 2°C), com um tempo médio de cura de 24 horas, após o qual o modelo era

77

desmoldado e recortado com serra nas dimensões finais. A Figura 5.3 mostra o aspecto de

uma placa cuja cura foi realizada em ambiente com temperatura superior a 25ºC. Pode-se

observar a retração nos bordos e bolhas provocadas pelo derretimento da parafina do molde

em sua face inferior.

Para a determinação do módulo de elasticidade, do coeficiente de Poisson e da

resistência à compressão da resina utilizada nos modelos, foram realizados ensaios de

compressão uniaxial em corpos-de-prova de 5,0 cm de diâmetro e 10,0 cm de altura. Estes

ensaios foram realizados utilizando uma prensa rígida servo-controlada, com capacidade de

aplicação de 5,0 MN de carga axial e rigidez de 5,02 MN/mm. O carregamento foi controlado

através de uma razão de deformação circunferencial máxima permitida dos corpos-de-prova

por unidade de tempo, permitindo a definição contínua do diagrama tensão x deformação,

inclusive na região pós-ruptura.

Figura 5.3 - Aspecto da placa quando moldada em temperatura ambiente superior a 25ºC.

As deformações foram medidas através de um conjunto de três transdutores de

deslocamento do tipo LVDT (“Linear Variable Displacement Transducer”, termo inglês para

Transdutor de Deslocamento de Variação Linear), dois deles dispostos em geratrizes

diametralmente opostas dos corpos de prova e destinados à obtenção da deformação axial do

mesmo. O terceiro transdutor foi fixado à meia altura do corpo de prova através de um

sistema de corrente de forma a obter a deformação circunferencial do espécime. O detalhe da

montagem do corpo de prova pode ser visualizado na Figura 5.4.

A Tabela 5.2 apresenta as propriedades físicas da resina utilizada na fabricação dos

modelos, obtidas da média dos resultados de três ensaios e a Figura 5.5 apresenta as suas

curvas tensão-deformação.

78

Para que não ocorresse concentração de tensões durante a aplicação das cargas devido

às irregularidades na superfície das extremidades superior e inferior dos modelos, após o corte

da peça, suas extremidades eram regularizadas utilizando resina epóxi tipo araldite,

pressionando as suas faces sobre uma placa de vidro revestido com uma fina camada de solda

plástica. A Figura 5.6 mostra um modelo com junta plana na qual a regularização não foi

realizada, podendo-se notar os pontos de concentração de tensões devido às irregularidades

nas faces superior e inferior.

Tabela 5.2 – Propriedades físicas da resina utilizada na fabricação dos modelos.

PROPRIEDADE VALORES Resistência à compressão σc (MPa) 65,0

Módulo de elasticidade E (GPa) 2,6 Coeficiente de Poisson ν 0,34 Peso específico γ (kN/m3) 11,32

Figura 5.4 - Detalhe da montagem do corpo-de-prova nos ensaios de compressão uniaxial.

Após o procedimento de regularização realizava-se a colagem da resina fotoelástica,

cortada com dimensões inferiores às do modelo (7,0 x 11,5 cm) e com o mesmo perfil de

rugosidade. Para a colagem foi utilizada resina epóxi tipo araldite, tomando-se o cuidado para

que na região do perfil da descontinuidade as extremidades do revestimento não se

encostassem diretamente, mantendo-se uma distância de aproximadamente 1,0 mm dos

79

extremos, de modo a impedir a aplicação concentrada de cargas. A colagem do revestimento

deve ser bastante cuidadosa de modo que não ocorram regiões com colagem deficiente e nem

pontos com excessos. A Figura 5.7 apresenta o aspecto de um modelo com regiões com

colagem deficiente. Nesses pontos não se observam os parâmetros fotoelásticos durante a

aplicação de carga, já que o revestimento não acompanha de maneira uniforme a deformação

do modelo. A Figura 5.8 apresenta a seqüência simplificada da fabricação dos modelos e a

Figura 5.9 ilustra a obtenção do modelo da descontinuidade real de biotita-xisto.

-20000 -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000Deformação Específica

0

20

40

60

80

Ten

são

(MPa

)

(µε)

Corpos-de-prova de resina epoxílica

transversal

σ εx axial

σ ε volum.x

Porcentagem de catalisador: 17%

E = 2,6 GPa = 0,34 c=65 MPa νσ

Figura 5.5 - Curvas tensão-deformação da resina epóxi utilizada para fabricação dos modelos.

Figura 5.6 - Evidências da concentração de tensões devido irregularidades nas extremidades.

Os procedimentos de moldagem e cura dos modelos, colagem do revestimento

fotoelástico e os ensaios, foram realizados sob as mesmas condições de temperatura em

laboratório (22°C ± 2°C). Para moldagem, regularização e colagem utilizou-se materiais a

base de resina epóxi, de modo a não existir diferenças entre os coeficientes de expansibilidade

80

térmica. No caso de moldagem de modelos onde o material do negativo possui um coeficiente

de expansibilidade térmica diferente do material utilizado na fabricação, como entre a resina

epóxi e rochas, poderá ocorrer a indução de tensões residuais durante o processo de cura.

Nestes casos é necessário submeter o modelo a um tratamento térmico de modo a garantir

uma peça homogênea e livre de tensões.

Figura 5.7 - Evidências da colagem deficiente do revestimento fotoelástico.

Negativo e modelo após moldagem e corte

Modelo e revestimento fotoelástico

Modelo e revestimento fotoelástico após colagem

Modelos prontos para ensaio

Figura 5.8 - Preparação dos modelos.

81

Para as medidas pontuais foram desenhados diretamente sobre o revestimento

fotoelástico os pontos nos quais foram realizadas as leituras dos parâmetros fotoelásticos. A

tensão cisalhante no modelo associada com cada franja também pode ser calculada por meio

da Equação 4.2 e expressando a constante de franja em termos de tensões na forma da

Equação 5.1, tem-se:

franjaMPaE

ffp

p /67,334,1

2600.10.18901

. 6 ==

+= −

νσ

Onde:

Ep e νp = modulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do modelo, iguais a 2600 MPa

e 0,34, respectivamente.

Figura 5.9 - Modelo obtido a partir de descontinuidade de biotita-xisto.

Deste modo a primeira franja de ordem inteira visualizada no revestimento fotoelástico

corresponderá a uma tensão cisalhante máxima de 1,71 MPa no revestimento e a uma tensão

de 1,83 MPa no modelo.

5.3 ENSAIOS

Foram realizados ensaios de cisalhamento direto em modelos com uma descontinuidade

plana, três perfis com diferentes graus de rugosidade (baseados nos perfis apresentados por

Barton & Choubey em 1977) e um perfil de rugosidade obtido de uma descontinuidade real.

Em cada tipo de perfil de rugosidade foram utilizados carregamentos normais de 0,5, 1,0 e 2,0

MPa. Foram realizados ainda ensaios de cisalhamento direto em uma descontinuidade real e

82

ensaios fotoelásticos de compressão nas tensões de 0,25 e 3,0 MPa. A Figura 5.10 apresenta

os perfis de rugosidade ensaiados.

Figura 5.10 - Perfis de rugosidade dos modelos.

Os ensaios de cisalhamento direto foram realizados em uma prensa automática de

deslocamento controlado. Os dados de deslocamento foram obtidos por dois transdutores de

deslocamento, um vertical e outro horizontal, e a força cisalhante por célula de carga. Os

dados eram registrados em um arquivo tipo texto posteriormente exportado para uma planilha

Excel. A Figura 5.11 apresenta uma vista geral da prensa de ensaio.

Figura 5.11 – Vista geral da prensa e de um ensaio em andamento.

83

A caixa de cisalhamento foi desenvolvida de modo a permitir a visualização lateral de

todo o modelo, a iluminação do revestimento e a leitura com o polariscópio dos parâmetros

fotoelásticos (Figura 5.12). A caixa bipartida possui ainda guias laterais para a fixação do

modelo e dois ressaltos que funcionam como guia durante o cisalhamento para a garantia da

estabilidade.

Figura 5.12 - Caixa de cisalhamento para ensaios fotoelásticos.

Durante a realização dos ensaios de cisalhamento foram registradas, por meio de

fotografias, as condições das isocromáticas e as isoclínicas de 0, 15, 30, 45, 60 e 75°. Esse

registro era realizado no momento da aplicação da carga normal e nos deslocamentos

horizontais aproximados de 1,0; 2,0; 3,0 e 4,0 mm, ou nos deslocamentos em que ocorriam

variações significativas no padrão das isocromáticas.

Após o registro fotográfico, procedia-se às leituras dos parâmetros fotoelásticos em cada

um dos pontos predefinidos (55 pontos) e em pontos de interesse onde se verificasse

concentração de tensões e, posteriormente, realizava-se as medidas de incidência oblíqua. As

leituras de incidência oblíqua, necessárias para a separação das deformações principais, foram

realizadas em pontos de concentração de tensões e em pontos nos quais as condições de

ensaio, prensa e braço de aplicação da carga normal, permitiam o manejo do acessório

necessário às leituras. Deste modo não foi possível a realização de medidas de incidência

oblíqua em todos os pontos nos quais foram realizadas leituras de incidência normal. Essas

medidas foram realizadas em aproximadamente dez pontos. O procedimento completo para a

determinação dos parâmetros fotoelásticos, em cada condição de carga e/ou deslocamento,

levava aproximadamente 60 min.

Os ensaios de cisalhamento direto em descontinuidades reais foram executados em uma

prensa de carga controlada, com capacidade de aplicação de 100kN de cargas normal e

cisalhante. O carregamento normal foi aplicado através de peso-morto e o cisalhante através

84

de um conjunto macaco-manômetro, registrado através de célula de carga. Os deslocamentos

verticais e horizontais foram medidos através de 06 LVDTs (quatro verticais e dois

horizontais). As Figura 5.13 e 5.14 mostram uma vista geral do conjunto utilizado nos ensaios

e um detalhe da prensa.

Figura 5.13 - Vista do conjunto para ensaios de cisalhamento direto e prensa de carga controlada.

Figura 5.14 - Detalhe da prensa de carga controlada utilizada nos ensaios de cisalhamento direto.

Os corpos-de-prova foram preparados de forma que a região da descontinuidade

mantivesse-se na horizontal, paralela ao plano de cisalhamento, e posicionada nas caixas do

equipamento buscando a menor resistência ao cisalhamento.

As propriedades físicas da biotita-xisto encontram-se na Tabela 5.3. A resistência à

compressão, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson foram obtidos a partir de

85

ensaios de compressão uniaxial conduzidos nas mesmas condições dos ensaios realizados nos

corpos-de-prova de resina. O valor do ângulo de atrito básico foi obtido em ensaios de

cisalhamento direto realizados em junta plana obtida por corte em serra diamantada.

Tabela 5.3 – Propriedades físicas da biotita-xisto.

PROPRIEDADE VALORES Resistência à compressão σc (MPa) 113,0

Módulo de elasticidade E (GPa) 55,0 Coeficiente de Poisson ν 0,19 Peso específico γ (kN/m3) 28,16

Ângulo de atrito básico φb (º) 21

5.4 DESCRIÇÃO E FUNCIONAMENTO DO POLARISCÓPIO

Para a realização deste trabalho foi utilizado o polariscópio Série – 030 da "Photolastic

Division of Measurements Group Inc.". Esse equipamento é um instrumento ótico para

realizar medições quantitativas de deformações utilizando a fotoelasticidade de reflexão.

Oticamente corresponde a um polariscópio convencional para a transmissão de luz. O

componente fundamental do polariscópio consiste de dois conjuntos de um polarizador e uma

placa quarto de onda montados em uma mesma armação e conectados mecanicamente,

permitindo a sua rotação conjunta (Figura 5.15 e 5.16).

Figura 5.15 - Representação esquemática de um polariscópio de reflexão (modificado – Measurements Group, 1984)

Um dos conjuntos (nº 1 na Figura 5.16) é equipado para receber uma fonte de luz e

inclui um polarizador linear e uma placa de retardação quarto de onda e serve como fonte de

luz polarizada para iluminar o revestimento fotoelástico. A segunda parte (nº 2 na Figura

86

5.16) também contém um polarizador linear e uma placa de retardação quarto de onda,

funcionando como um analisador através do qual o revestimento é observado para realização

de medidas das deformações. Todos os controles e escalas de medição encontram-se

incorporados no analisador.

Figura 5.16 - Polariscópio de reflexão

O polariscópio básico, sem acessórios, é capaz de realizar quatro tipos de análise e

medidas:

• Visualização completa do padrão das franjas, permitindo a avaliação da magnitude das

deformações nominais e gradientes;

• Determinação das direções das tensões e deformações principais;

• A magnitude e sinal da tensão tangencial (somente tensão principal diferente de zero) ao

longo das fronteiras livres (não carregadas) e em regiões onde o estado de tensão é

uniaxial;

• A magnitude da diferença das tensões e deformações principais no estado biaxial de

tensões.

Na técnica da fotoelasticidade de reflexão, medidas de deformação são feitas pela

reflexão da luz polarizada na superfície da peça sob tensão que se encontra com o

revestimento fotoelástico. O padrão fotoelástico visível com o polariscópio revela a condição

87

das tensões, permitindo uma avaliação inicial da área carregada bem como a identificação das

áreas onde análises detalhadas devem ser realizadas.

5.4.1 DESCRIÇÃO DO ANALISADOR

Como mostra a Figura 5.17, o analisador possui três anéis concêntricos: um anel

estacionário, um anel intermediário gravado com escalas e um anel interno gravado com a

palavra compensador. Adicionalmente possui três parafusos B, H e C. A posição do parafuso

B determina se o polariscópio está em condições de medir as direções dos eixos principais ou

realizar medidas da magnitude das deformações. Colocando o parafuso B na posição D

(direção) alinha-se o eixo ótico da placa quarto de onda com o do polarizador e analisador.

Isto tem o efeito de eliminar a placa quarto de onda do sistema, convertendo a unidade em um

polariscópio plano para medições das direções. Quando o parafuso B está na posição M

(magnitude), a placa quarto de onda está orientada em um ângulo de 45° em relação aos eixos

do polarizador e analisador, e a unidade retorna a condição de um polariscópio circular para

medidas de magnitude das deformações.

Figura 5.17 - Esquema do analisador (modificado - Measurements Group, 1984)

O parafuso H encontra-se no anel intermediário e é usado para alinhar os eixos do

polarizador e analisador com os eixos das tensões principais na superfície revestida para

leitura. Quando o parafuso H é movido para girar o anel intermediário, a orientação do anel e

assim a dos eixos do polarizador/analisador, pode ser lida na escala graduada.

88

O parafuso C é usado para girar o anel interno em relação ao anel intermediário. O

analisador é preso no anel interno e a rotação do anel é usada para medições de posições

fracionárias da franja pelo método Tardy de compensação. Quando o anel interno é girado em

relação ao anel intermediário, a orientação do analisador é indicada pela posição do índice G

na escala superior. Para as outras operações o anel interno deve sempre apresentar o índice G

alinhado com o 0 e 100 no anel intermediário.

5.4.2 ACESSÓRIOS

O polariscópio série 030 possui alguns acessórios que estendem a capacidade do

equipamento básico e o adapta a aplicações especiais (Figura 5.18). Os principais acessórios

para o polariscópio são:

• Telemicroscópio - propicia um aumento do padrão fotoelástico para análises detalhadas

em regiões de alto gradiente de deformação (concentração de tensões) e para medidas a

maiores distâncias;

• Câmara fotográfica - para o registro dos padrões fotoelásticos das franjas;

• Lente monocromática - torna a luz branca em monocromática, para uso em fotografias

preto e branco e para a preservação do contraste das franjas de alta ordem. A lente

permite a identificação da ordem das franjas superiores a cinco.

• Compensador por balanço nulo - para realização de medições da ordem das franjas de

maneira precisa sem a necessidade da identificação por cores;

• Acessório para incidência oblíqua - propicia uma segunda medida de birrefringência para

uso em conjunto com a medida de incidência normal, permitindo a determinação de

deformações e tensões principais individuais em um ponto.

Durante a realização dos ensaios fez-se uso de todos os acessórios acima indicados.

Com exceção do compensador e do acessório para incidência oblíqua que terão os seus

procedimentos de utilização descritos posteriormente, não se apresentará a descrição

pormenorizada dos demais acessórios por serem de simples manuseio e terem sido utilizados

em momentos específicos.

5.5 PROCEDIMENTOS DE OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS FOTOELÁSTICOS

Para a determinação dos parâmetros fotoelásticos adotou-se os procedimentos descritos

pelo manual do polariscópio: Instruções de Operação e Manual Técnico – Medidas de

Deformação com o Polariscópio de Reflexão Série 030 (Measurements Group, 1984).

89

5.5.1 AQUISIÇÃO AUTOMÁTICA DE DADOS

O procedimento adotado para a montagem e preparação do polariscópio para a leitura

dos parâmetros fotoelásticos é o que se segue:

i. Monta-se o polariscópio em frente à superfície revestida, locando o instrumento de

modo que a área de interesse esteja bem iluminada pela fonte de luz e facilmente

observada através do analisador (Figura 5.11).

ii. Seleciona-se um eixo de referência. Orienta-se o polariscópio de modo que um dos eixos

de simetria seja paralelo ao eixo de referência selecionado. Quando isto for feito e o

índice DIREÇÃO indicar 0°, o eixo de polarização do instrumento estará paralelo ou

perpendicular à direção de referência.

iii. Com o parafuso B na posição M (magnitude), observa-se o objeto revestido na condição

sem o carregamento. O revestimento deverá estar uniformemente preto. Se alguma

birrefringência inicial for detectada nas regiões onde as medidas serão realizadas, faz-se

necessárias correções, conforme descrito no Item 4.3.1.

iv. Aplica-se o carregamento, observando-se o desenvolvimento do padrão de isocromáticas

com o carregamento. É importante a determinação e o registro da localização de

qualquer franja isocromática de ordem zero.

Figura 5.18 - Acessórios utilizados com o polariscópio.

Durante este trabalho foi utilizado um compensador eletricamente acoplado com um

indicador de deformação, fornecendo leitura digital da magnitude da diferença de

deformações no ponto considerado após a compensação por balanço nulo. O sistema também

faz o registro das direções das deformações principais e possui uma impressora interna para o

registro dos valores quantitativos obtidos que pode ser acionado diretamente do compensador.

90

O indicador fornece medidas fáceis e rápidas de deformação e apresenta diretamente os

resultados no painel digital. A unidade gera dois elementos básicos de informação sobre o

estado de tensão em cada ponto do objeto em estudo:

• A orientação angular dos eixos principais em relação ao eixo de referência;

• A magnitude da diferença entre as deformações principais.

Na instalação do compensador deve-se cuidar para que o mostrador do ângulo dos eixos

principais e o indicador de magnitude de deformações (diferença de deformações principais)

registrem zero. Deve-se ainda entrar com a constante de franja, f (em µε por franja) do

revestimento fotoelástico utilizado no ensaio.

Dois requisitos devem ser satisfeitos para obter a magnitude da diferença entre

deformações principais em qualquer ponto: os eixos do polarizador e analisador devem estar

alinhados com os eixos das deformações principais no ponto e o eixo longo do compensador

deve estar alinhado com a direção da deformação principal maior (algebricamente). Esses

requisitos são alcançados com o seguinte procedimento:

i. Move-se o parafuso B do polariscópio para a posição D (direção).

ii. Visualizando o ponto de ensaio através do analisador solta-se o parafuso H e gira-se o

conjunto polarizador/analisador até que uma isoclínica cruze o ponto. Quando a

isoclínica estiver centrada, aperta-se o parafuso H. O eixo ótico do

polarizador/analisador estará alinhado com os eixos das deformações principais no

revestimento. A franja isoclínica pode ser distinguida do padrão de isocromáticas

(incluindo a franja de ordem zero, se presente) pela seguinte técnica: solta-se o parafuso

H e gira-se o polarizador e o analisador juntos. As franjas isoclínicas movem com a

rotação, mas as isocromáticas permanecem fixas. Faz-se então o ajuste até que a porção

mais escura da isoclínica envolva o ponto. Os eixos do polarizador/analisador agora

coincidem com a direção das deformações principais, εx e εy, no ponto de ensaio, e

também em qualquer outro ponto ao longo da isoclínica. Por definição, a radial do

analisador que passa através do parafuso H representa a direção εx, e εy é perpendicular a

esta direção. Registra-se a orientação angular do eixo principal.

iii. Retorna-se o parafuso B para a posição M (magnitude). As isoclínicas são eliminadas e

somente as franjas isocromáticas coloridas são vistas. Observa-se o ponto de teste

através da janela do compensador, gira-se o parafuso de controle no sentido anti-horário,

introduzindo birrefringência no caminho da luz. Continua-se girando até que uma franja

91

de ordem zero preta atravesse o ponto de ensaio. Quando isto ocorrer, a birrefringência

induzida pela deformação no revestimento é cancelada pelo compensador. Se a franja

preta não vier até o ponto de ensaio, e em lugar, a aparência da franja tornar-se mais

opaca com a adição de birrefringência do compensador, é porque o eixo longo do

compensador está alinhado com a deformação principal mínima (algebricamente). Neste

caso o compensador está adicionando birrefringência de mesmo sinal do revestimento e

o balanço-nulo é impossível. Neste caso retorna-se o registrador do compensador para

zero, solta-se o parafuso H e gira-se o polarizador/analisador de 90°. Isto alinhará o eixo

longo do compensador com a deformação principal máxima e permitirá o cancelamento

da birrefringência induzido pela deformação.

iv. Lê-se e registra-se a diferença das deformações principais no “display” digital. Note

que, após girar o analisador/polarizador em 90° graus, para permitir a compensação, a

orientação angular do eixo principal é indicada como complemento negativo do registro

do passo ii.

v. Os passos de i a iv são repetidos para medidas no mesmo ponto sob outras condições de

carregamento e para medidas em outros pontos de interesse.

5.5.2 REGISTRO FOTOGRÁFICO E ANÁLISE DE CAMPO COMPLETO

Além das leituras pontuais dos parâmetros fotoelásticos, foram realizados registros das

direções principais sobre toda à superfície por meio de fotografias. Mudando-se a escala

DIREÇÃO em incrementos de 15 até 75º, registra-se a família de isoclínica existente no

revestimento. A isoclínica de 90° deve ser igual à de 0° e não precisa ser fotografada. Nota-se

que se houver pontos isotrópicos (onde, εx - εy = 0, e N=0) no campo de visão, todas as

isoclínicas irão passar por este ponto. Efetuou-se ainda o registro fotográfico das condições

das isocromáticas sobre todo o modelo nas diferentes condições de carregamento e de

deslocamentos.

5.5.3 SEPARAÇÃO DE DEFORMAÇÕES

5.5.3.1 CONFIGURAÇÃO DO INSTRUMENTO E ALINHAMENTO PARA

MEDIÇÕES DE SEPARAÇÃO DE DEFORMAÇÕES

Quando em medições da ordem da franja sob incidência oblíqua, os eixos do

polarizador/analisador devem estar paralelos às direções principais no ponto em ensaio, assim

como o eixo de simetria dos espelhos no suporte. Então, de modo a alinhar simultaneamente

92

os eixos dos espelhos e os eixos do polarizador/analisador com os eixos principais, toda a

cabeça ótica do polariscópio deve ser girada até que uma isoclínica alcance o ponto de teste.

A mesma orientação do polariscópio é mantida tanto para medições da ordem de franja

normal como para oblíqua. O procedimento é o que se segue:

i. Com o polariscópio montado sobre o tripé, monta-se a armação suporte da cabeça de

espelhos para medida de incidência oblíqua. Ajusta-se o tripé e o suporte dos espelhos

para que o apontador na cabeça dos espelhos quase toque a superfície do revestimento e

aponte para o ponto de ensaio.

ii. Por meio do parafuso “H”, coloca-se a escala de direção em zero, alinhando os eixos do

polarizador/analisador com os eixos do espelho.

iii. Gira-se o parafuso “B” para “D” (direção). Observa-se o ponto de ensaio através do

analisador, mas não através dos espelhos, nem através da janela do compensador para

balanço nulo. Gira-se o instrumento no plano até que a isoclínica atinja o ponto de

ensaio. Os eixos óticos do analisador, do polariscópio e os eixos dos espelhos estão

agora paralelos às direções das deformações principais no ponto em ensaio. A

orientação do instrumento é apropriada para medidas por incidência normal e oblíqua,

usando a compensação por balanço nulo.

5.5.3.2 PROCEDIMENTO PARA MEDIDA DAS DEFORMAÇÕES

É conveniente a medida da ordem das franjas sob incidência normal e oblíqua em

seqüência direta para cada ponto. Como a cabeça do espelho dificulta as leituras de incidência

normal, o polariscópio pode ser temporariamente levantado ou abaixado para se realizar as

leituras.

Sob incidência oblíqua haverá uma birrefringência inicial antes da aplicação do

carregamento. Se não for corrigida, a birrefringência inicial irá causar erros em cada medida

de incidência oblíqua. Quando o carregamento por incrementos não é possível, a

birrefringência inicial na carga zero deve ser medida e a correção realizada como descrita no

Item 4.3.1. Segue o procedimento para a realização das medidas:

i. Com o apontador centrado no ponto de ensaio, retorna-se o parafuso B para M

(magnitude) e realiza-se a medida. Olha-se o ponto através do espelho. Se a imagem da

fonte de luz ou outra reflexão estiver presente, ajusta-se a fonte de luz e/ou o

polariscópio em relação à superfície para eliminar o reflexo.

93

ii. Enquanto observa-se o ponto através do espelho, mede-se a ordem de franja sob

incidência oblíqua, Nθ, usando a compensação por balanço nulo. Para qualquer método

de compensação é sempre necessária na separação das deformações principais com

medidas de incidência normal e oblíqua, a obtenção dos sinais corretos. iii. Sem alteração da orientação do polariscópio, move-se a cabeça de espelho do caminho o

suficiente para observar o ponto através do analisador. Mede-se a ordem da franja sob

incidência normal, Nn, usando compensação por balanço nulo.

5.5.3.3 REDUÇÃO DE DADOS

O primeiro passo é a correção da ordem da incidência oblíqua conforme descrito no

Item 4.3.1. O valor de Nθ e Nn podem então ser substituídos nas Equações 4.5 e 4.6. As

tensões individuais, σx e σy, podem ser calculadas, para a faixa de deformação elástica a partir

das Equações 4.7 e 4.8. Os coeficientes nas Equações 4.5 e 4.6 são função do coeficiente de

Poisson do revestimento fotoelástico (Measurements Group, 1984).

5.5.3.4 CONVENÇÃO DE SINAIS PARA USO COM MEDIDAS DE INCIDÊNCIA

OBLÍQUA E COMPENSAÇÃO POR BALANÇO NULO.

A convenção aqui apresentada é para uso somente na separação de deformações

principais pelo par incidência normal e oblíqua. Com a escala de direções em 0º, se a

compensação for possível (i.e., se a rotação no sentido anti-horário do compensador permite a

compensação), o sinal indicado da ordem da franja é negativo, quer isto ocorra na incidência

normal ou oblíqua. A direção de εx é paralela à linha radial através do parafuso H e

perpendicular ao plano da cabeça do espelho.

Se, com a direção em 0º, a compensação por balanço nulo não for possível, é

necessário soltar o parafuso H e colocar a escala de direção em 90º. A nova orientação é

compatível com os requisitos para medida sob incidência oblíqua, já que os eixos do

polarizador/analisador, estão agora paralelos ao eixo dos espelhos e aos eixos principais na

parte em ensaio. Quando a compensação é possível, com a escala da direção em 90º, o sinal

da ordem da franja é positivo. É importante observar que o sinal pode ser diferente na

incidência oblíqua quanto na normal. Com a escala da direção em 90º, a direção de εx não

coincide com a linha radial através do parafuso H, mas permanece em posição original,

perpendicular ao plano da cabeça do espelho.

94

5.5.4 EFEITO DE REFORÇO

Os ensaios realizados exigiram a correção da ordem das franjas devido ao reforço do

modelo pelo revestimento. A correção devido ao reforço em situações de tensão plana será,

para os modelos e resina fotoelástica utilizada:

074,1*.*1 =+= hECrp (5.2)

Onde:

Crp= fator pelo qual a ordem de franja observada no estado de tensão plana deve ser

multiplicada para se obter a ordem de franja corrigida;

E* = Er/Ep = 2,5/2,6 = 0,96; razão entre o módulo de elasticidade do revestimento fotoelástico

e o do objeto em ensaio;

h* = hr/hp = 1,0/13,0 = 0,077; razão entre a espessura do revestimento fotoelástico e a do

objeto em ensaio.

5.6 ANÁLISE FOTOELÁSTICA

Durante a realização dos ensaios os parâmetros fotoelásticos foram obtidos por meio de

um compensador acoplado a um indicador de deformação, obtendo diretamente uma leitura

digital da magnitude da diferença de deformações no ponto considerado após a compensação

por balanço nulo. Assim a Equação 4.2 será melhor apresentada, para efeito de redução de

dados, de acordo com a Equação 3.20:

).(102,9701

.2

)(2

6max yx

p

pyxyx xE

εεν

εεσστ −=

+

−=

−= − (5.3)

Onde:

τmax = tensão cisalhante máxima no plano da superfície da peça, em MPa;

(εx - εy) = diferença entre as deformações principais, em µε;

Ep e νp = módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson do modelo, iguais a 2600 MPa e

0,34 respectivamente.

95

A correção relativa ao reforço do revestimento sobre o modelo, Crp = 1,074, pode ser

considerada diretamente na Equação 5.3. Tem-se portanto, para a obtenção da tensão

cisalhante, a seguinte equação:

)ε.(εxτ yx −= −6max 101042 (5.4)

A equação acima fornece diretamente o valor da tensão cisalhante atuante no modelo

após a determinação da diferença das deformações principais. Cada franja inteira visualizada

no revestimento corresponderá a uma tensão cisalhante de 1,97 MPa, já que para uma ordem

de franja (N) de 1, a diferença entre deformações principais é igual a 1890 µε.

Devido às diferenças entre os módulos de deformabilidade, as deformações induzidas

no modelo de resina epóxi são diferentes daquelas que irão ocorrer em uma rocha de mesma

geometria e conseqüentemente um fator de escala deve ser introduzido para inferir as tensões

na rocha a partir das tensões existentes no modelo após uma deformação equivalente. O fator

de escala, para condições elásticas de deformação, pode ser determinado a partir da seguinte

relação:

modelomodelo

.σσEErocha

rocha = (5.5)

Onde E e σ são o módulo de elasticidade e as tensões induzidas no modelo e rocha.

Deste modo, às tensões na rocha associadas com cada franja podem ser calculadas. A

resina epóxi dos modelos apresenta um módulo de elasticidade de 2,6 GPa e um coeficiente

de Poisson de 0,34, enquanto a maioria das rochas apresentam valores de módulo entre 25 e

100 GPa e coeficiente de Poisson entre 0,20 e 0,35. Deste modo, para aplicação em rochas

fraturadas e para um mesmo nível de deformações, as tensões no modelo deverão ser

multiplicadas por um fator entre 10 e 30 dependendo do valor do módulo para uma rocha em

particular. O fator a ser utilizado para a biotita-xisto é de 21. No entanto, devido à

variabilidade do módulo de elasticidade das rochas, todas as referências posteriores às

magnitudes de tensões serão relativas às tensões no modelo e não às tensões na rocha.

96

6 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO E ANÁLISE

FOTOELÁSTICA

A seguir são apresentados os resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados

nos modelos de descontinuidades representativos de diferentes graus de rugosidade, bem

como os resultados da análise fotoelástica. Os gráficos do comportamento das

descontinuidades são apresentados juntamente com os parâmetros que melhor o caracterizam.

Apresenta-se ainda um ensaio representativo de uma descontinuidade real, tendo como

objetivo o levantamento dos parâmetros fotoelásticos e a verificação da potencialidade da

técnica. A análise fotoelástica é também utilizada para visualização e discussão de alguns

aspectos da rugosidade que influem no comportamento ao cisalhamento e de fechamento das

descontinuidades.

6.1 RESULTADOS DOS ENSAIOS DE CISALHAMENTO DIRETO

Apresenta-se a seguir os resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados com

os modelos. A Figura 6.1 apresenta os gráficos de tensão versus deslocamento cisalhante e a

Figura 6.2 os gráficos de deslocamento vertical versus deslocamento horizontal dos ensaios

realizados nos modelos com descontinuidade serrada plana. Também são indicados pontos de

deslocamentos horizontais, nos quais foram realizados registros fotográficos dos parâmetros

fotoelásticos, isocromáticas e isoclínicas, e/ou leituras nodais desses parâmetros (pontos de

leitura). Antes da etapa de cisalhamento foi realizada a consolidação por um período de

aproximadamente 50 min, tempo necessário para a estabilização das deformações verticais.

Os valores de consolidação registrados para todas as descontinuidades ensaiadas foram de

pequena magnitude, variando entre 0,17 e 0,29% da altura dos modelos.

Os ensaios nos modelos com descontinuidade plana serviram para a determinação do

ângulo de atrito básico da resina, φb. A Figura 6.3 apresenta a envoltória de resistência de

Mohr-Coulomb para os resultados de tensão cisalhante máxima obtidos do ajuste (polinomial

de segunda ordem) das curvas de tensão-deslocamento. O ajuste fez-se necessário devido ao

comportamento típico de superfícies planas e lisas (não polidas) durante o cisalhamento, no

qual a resistência ao atrito é mobilizada até o momento em que ocorre o deslizamento brusco

da superfície livre, seguido de nova mobilização do atrito. Isso leva ao aspecto da curva

tensão-deslocamento observado na Figura 6.1. Como esperado, devido a ausência de

97

irregularidades significativas, não ocorreram deslocamentos verticais significativos (Figura

6.2). Da envoltória de resistência obteve-se um valor de ângulo de atrito básico igual a 10º.

Esse valor pode ser considerado igual ao ângulo de atrito residual, já que todos os modelos

ensaiados possuíam as superfícies não intemperizadas.

0

200

400

600

800

1000

1200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

De s locam e nto hor izontal (m m )

Te

ns

ão c

isal

han

te (

kP

a)

2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leituraTensões normais

Figura 6.1 - Gráficos de tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade plana.

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


De

slo

cam

en

to v

ert

ical

(m

m)


Figura 6.2 - Gráficos deslocamento vertical versus deslocamento horizontal para

descontinuidade plana.

A escolha dos modelos procurou representar diferentes graus de rugosidade para as

superfícies das descontinuidades. Inicialmente, os modelos foram baseados nos perfis de

rugosidade apresentados por Barton & Choubey (1977). A correta estimativa do coeficiente

98

de rugosidade das descontinuidades foi realizada por meio da retroanálise, a partir da Equação

2.6, dos resultados de pico (τf e σn) dos ensaios de cisalhamento realizados, sendo necessário,

portanto, a estimativa da resistência à compressão das paredes da descontinuidade

representada pelo parâmetro JCS.

τ = 0,171σn

R = 0,9926

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500

Tensão Normal (kPa)

Tens

ão C

isal

hant

e (k

Pa)

Figura 6.3 – Envoltória de resistência de Mohr-Coulomb para descontinuidade plana.

De acordo com Barton & Choubey (1977) se as descontinuidades não possuem nenhum

grau de intemperismo, a resistência à compressão das paredes da descontinuidade (JCS) pode

ser considerada igual à resistência à compressão não confinada da rocha, no caso desse

trabalho, igual à resistência da resina. Esse valor é apresentado na Tabela 5.2 e é igual a 65,0

MPa. Uma segunda metodologia para determinação do valor de JCS é por meio do martelo de

Schmidt aplicado diretamente nas paredes expostas da descontinuidade. Barton & Choubey

(1977) apresentam a seguinte formulação que correlaciona o número de impacto fornecido

pelo martelo e a resistência à compressão não confinada da rocha:

( ) 01,1..00088,0log10 += Rrc γσ (6.1)

Onde:

σc = resistência à compressão não confinada da superfície (em MPa);

99

γr = peso específico seco do material, igual a 11,32 kN/m3 para a resina;

R = número de reação obtido no martelo de Schmidt.

Para uma estimativa inicial do valor de JCS utilizou-se o martelo de Schmidt em um

cilindro de resina de 5,0 cm de diâmetro e 10 cm de altura, mesmas dimensões dos cilindros

utilizados nos ensaios convencionais de resistência a compressão, e nas superfícies das

descontinuidades dos modelos. Para tanto, de acordo com sugestão de Barton & Choubey

(1977), foram realizadas dez leituras em cada uma das descontinuidades, desprezando as

cinco menores leituras no cálculo da média final. A Tabela 6.1 apresenta os resultados

obtidos.

Tabela 6.1 - Resultados dos ensaios realizados com o martelo de Schmidt.

Rugosidade da superfície Valor R (MPa)

JCS (MPa)

Cilindro 80,0 64,1 Plana 77,1 60,0 Lisa 75,2 57,4

Ondulada lisa 72,4 53,9 Ondulada rugosa 67,0 47,6

O valor de resistência obtido para o cilindro é muito próximo do obtido nos ensaios

convencionais de compressão uniaxial, igual a 65,0 MPa. Este excelente ajuste se deve a

homogeneidade dos corpos-de-prova de resina. Em amostras de rocha esse valor tende a ser

mais disperso devido a presença de micro fissuras e de cristais de diferentes resistências e

tamanhos.

A diferença entre os valores obtidos no cilindro e na superfície plana deve-se

provavelmente às diferenças de dimensões e forma entre os corpos-de-prova. Observa-se

ainda a diminuição do valor de JCS com o aumento da rugosidade. Isso se deve ao fato de

parte da energia do impacto ser dissipada nas irregularidades da superfície. Numa escala

maior da descontinuidade, a superfície do martelo atingiria uma parcela plana da parede,

fornecendo resultados equivalentes à da descontinuidade plana, ou seja, da superfície da

parede propriamente dita. Devido às diferenças verificadas, o valor de JCS a ser utilizado

neste trabalho é o obtido dos resultados dos ensaios de compressão uniaxial, ou seja,

65,0 MPa.

Com a estimativa dos valores de JCS e φR a Equação 2.6 poderá ser reescrita da seguinte

forma:

100

−

=

'

'

65log

º10arctan

n

n

f

nJRC

σ

στ

(6.2)

Onde:

τf = resistência ao cisalhamento de pico; 'nσ = tensão efetiva normal;

JRCn = coeficiente nominal de rugosidade da descontinuidade.

A Tabela 6.2 apresenta os valores estimados do coeficiente de rugosidade a partir da

média dos resultados dos ensaios de cisalhamento direto realizados com os modelos, para as

três tensões normais de ensaio.

Tabela 6.2 - Estimativa dos valores do coeficiente de rugosidade das descontinuidades.

Rugosidade da superfície JRC Lisa 3

Ondulada lisa 8 Ondulada rugosa 15

As Figuras 6.4 a 6.9 apresentam os resultados dos ensaios de cisalhamento realizados

nas descontinuidades com JRC de 3, 8 e 15, sob a forma dos gráficos de tensão versus

deslocamento cisalhante e de deslocamento vertical pelo deslocamento horizontal. Ressalta-

se que os ensaios não foram conduzidos a um deslocamento tangencial suficiente para a

definição da resistência residual, entretanto eles permitem a obtenção da resistência de pico e

a observação do comportamento de pré-pico.

O patamar estável de resistência limite (de pico) foi bem definido em todos os ensaios.

Os deslocamentos tangenciais de pico variaram de 2,5 a 6,3 mm, ou seja, de 1,9 a 4,8% do

comprimento dos modelos, com os maiores valores correspondendo aos modelos com

superfície mais rugosa.

Para caracterizar de forma mais apropriada o comportamento mecânico dos modelos

ensaiados, elaborou-se a Tabela 6.3, na qual podem ser comparadas as quantidades

acumuladas de dilatância. São indicados ainda os valores da tensão cisalhante e de

deslocamento tangencial de pico (up). A dilatância de pré-pico representa o valor do

deslocamento vertical no ponto de pico, ou seja, o valor correspondente à máxima tensão de

101

cisalhamento. O coeficiente médio de dilatância é igual à inclinação média da curva de

deslocamento vertical versus deslocamento horizontal e o ângulo de dilatância de pico a sua

inclinação máxima, que ocorre na mobilização da resistência de pico.

0

200

400

600

800

1000

1200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


Te

ns

ão c

isal

han

te (

kP

a)

2,0 MPa 0,5 MPa 1,0 MPa Pontos de leitura

Tensões normais

Figura 6.4 - Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC

igual a 3.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


De

slo

cam

en

to v

ert

ical

(m

m)



descontinuidade com JRC igual a 3.

A dilatância observada é bastante significativa em termos de influência sobre a

resistência ao cisalhamento, exceto na superfície lisa e plana, onde sua contribuição ao

mecanismo de atrito foi bastante reduzida. A dilatação diminui com a redução da rugosidade.

102

Os parâmetros de ângulo de dilatância médio e de pico apresentaram aumento com a

rugosidade (aumento do valor de JRC) e redução com o aumento da tensão normal. Exceção

ocorreu para a descontinuidade de JRC igual a 15 na qual o ângulo médio de dilatância

apresentou tendência de aumento com a tensão normal, entretanto os ângulos de dilatância de

pico apresentaram redução como esperado.

0

200

400

600

800

1000

1200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


Te

ns

ão c

isal

han

te (

kP

a)


Figura 6.6 - Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC

igual a 8.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


De

slo

cam

en

to v

ert

ical

(m

m)




103

0

200

400

600

800

1000

1200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


Te

ns

ão c

isal

han

te (

kP

a)


Figura 6.8 – Gráficos tensão versus deslocamento cisalhante para descontinuidade com JRC

igual a 15.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


De

slo

cam

en

to v

ert

ical

(m

m)




É importante observar que a dilatância máxima não ocorre no ponto de deslocamento

tangencial de pico. Parcela da dilatância ocorre após atingir a máxima resistência, ou seja,

acompanha o processo de deslocamento franco, o que reforça o fenômeno de galgamento de

irregularidades. De acordo com Xu & Freitas (1990) a ruptura do material que forma as

asperezas irá ocorrer em um deslocamento tangencial superior ao do ponto de resistência

104

máxima, justificando o fato do deslocamento tangencial para a dilatância máxima ser sempre

maior do que para resistência cisalhante de pico.

Tabela 6.3- Parâmetros mecânicos característicos.

JRC Tensão normal (MPa)

Tensão cisalhante máxima (MPa)

up (mm)

Dilatância pré-pico

(mm)

Coeficiente médio de dilatância

Ângulo médio de dilatância

(º)

Ângulo de dilatância

no pico (°)

0,5 0,15 2,88 0,22 0,09 5,4 8,1 1,0 0,28 3,65 0,29 0,09 5,2 7,2 3 2,0 0,46 4,78 0,29 0,08 4,5 5,5 0,5 0,26 2,48 0,40 0,17 9,7 14,0 1,0 0,47 4,26 0,57 0,15 8,4 13,7 8 2,0 0,76 4,90 0,57 0,13 7,3 13,0 0,5 0,48 4,37 0,67 0,16 9,0 17,1 1,0 0,74 5,31 0,74 0,16 9,3 14,5 15 2,0 1,14 6,26 0,90 0,17 9,9 13,7

O ponto de ruptura, denominado de ponto de pico do ensaio, corresponde ao par de

valores de tensão cisalhante (τf) e tensão normal (σn), a partir do qual caracteriza-se o estado

de mínima rigidez tangencial, onde reduzidos incrementos de carga tangencial são suficientes

para produzir taxas relativamente estáveis de deslocamentos tangenciais. As Figuras 6.10 a

6.12 apresentam as envoltórias de ruptura de acordo com os critérios de ruptura de Mohr-

Coulomb, Barton & Choubey e Denby & Scoble apresentados no Item 2.2. Para as

descontinuidades ondulada lisa e ondulada rugosa o critério de Mohr-Coulomb foi

apresentado de forma bi-linear de acordo com o conceito apresentado por Patton (1966).

De um modo geral os três critérios apresentaram um bom ajuste aos dados dos ensaios,

sendo que somente para a descontinuidade ondulada rugosa o critério de Barton apresentou

uma maior dispersão em relação à tensão normal de 2,0 MPa. Ressalta-se, entretanto, que

devido ao reduzido número de resultados (três pontos) para a determinação das envoltórias, os

modelos que utilizam ajustes de curva irão possuir melhor aderência aos dados.

O ajuste do critério de Denby & Scoble (curva de potência) mostrou-se coerente com os

princípios do modelo, onde os valores de A e B da Equação 2.11, variam usualmente entre 0 e

10 e 0,65 e 1, respectivamente. Baixos valores de A e altos valores de B correspondem as

descontinuidades de menor ângulo de dilatância ou de menor rugosidade, com envoltórias do

tipo linear. Altos valores de A e baixos valores de B correspondem a descontinuidades de

maior rugosidade. Esse comportamento é observado nas envoltórias obtidas.

105

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500

Te ns ão Norm al (k Pa)

Te

ns

ão C

isal

han

te (

kP

a)

Barton Mohr-Coulomb Denby & Scoble

M ohr-Coulombτ = σn.tg14º

Denby & Scoble

τ = 0,869σn0,829

Bartonτ = σn.tg[3.log10(65/σn)+10º]

Figura 6.10 - Envoltórias de resistência para a descontinuidade com JRC igual a 3.

Denby & Scoble

τ = 1,898σn0,791

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500


Te

ns

ão C

isal

han

te (

kP

a)

Barton Mohr-Coulomb Denby & Scoble

Bartonτ = σn.tg[8.log10(65/σn)+10º]

M ohr-Coulomb (bi-linear)τ = σn.tg27º (trecho1)

τ = 110 + σn.tg18º (trecho2)


106

0

500

1000

1500

2000

2500

0 500 1000 1500 2000 2500


Te

ns

ão C

isal

han

te (

kP

a)

Barton Denby & Scobley Mohr-Coulomb

M ohr-Coulomb (bi-linear)τ = σn.tg39º (trecho1)

τ = 340 + σn.tg22º (trecho2)Bartonτ = σn.tg[15.log10(65/σn)+10º]

Denby & Scoble

τ = 10,203σn0,620


No critério de Mohr-Coulomb foram obtidos, para a descontinuidade lisa e para o trecho

inicial das envoltórias das descontinuidades onduladas lisa e rugosa, ângulos de atrito de 14,

27 e 39º, respectivamente. Para o segundo trecho das envoltórias das descontinuidades

onduladas lisa e rugosa, foram estimados ângulos de 18 e 22°. As inclinações do primeiro

trecho são maiores devido ao menor nível de tensão normal, caracterizando a parcela da

envoltória de ruptura em que a inclinação da curva corresponde a (φR + i). Considerando que

o máximo ângulo de rugosidade para um dado tamanho de base pode ser medido para a

direção de deslizamento, a tangente deste ângulo multiplicado pelo comprimento da base

fornece o deslocamento (dilatação) que pode ocorre perpendicular a descontinuidade para um

deslocamento cisalhante igual ao comprimento da base (ISRM, 1977). Deste modo,

determinou-se geometricamente a máxima inclinação das asperezas para uma base

correspondente de 5,0 mm (valor que se aproxima da média do deslocamento tangencial de

pico) estimando-se valores de 7, 17 e 24°, respectivamente para os modelos de superfície lisa,

ondulada lisa e rugosa. Esses valores fornecem para o trecho inicial das envoltórias de ruptura

inclinações de 17, 27 e 34°, valores que se aproximam dos estimados para as envoltórias

estudadas. Para melhor ajuste da envoltória bilinear seria necessário a obtenção de mais

pontos para as envoltórias.

107

A diferença entre os ângulos de atrito das envoltórias lineares das descontinuidades

onduladas lisa e rugosa, que para o primeiro trecho é de 12° é reduzida para 4° no segundo

trecho, já que para níveis de tensões normais maiores a inclinação da envoltória tende para o

ângulo de atrito residual, igual para todos os modelos. O nível de tensões normais estudados

não foi suficiente para definir essa fase do comportamento das descontinuidades, não sendo

observadas zonas de ruptura ou plastificação nos ensaios realizados. O segundo trecho das

curvas corresponde ao trecho curvo da envoltória ainda não coincidente com o ângulo de

atrito residual, e nem caracterizado pela inclinação natural das asperezas.

6.2 EFEITO DAS CONDIÇÕES DE FRONTEIRA

Para a discussão dos resultados dos ensaios de cisalhamento realizados com os modelos

fotoelásticos faz-se a seguir algumas observações quanto à influência das condições de

fronteira nos ensaios. Para observar esse aspecto, os ensaios de cisalhamento em superfície

plana e lisa também foram realizados com o modelo revestido pela resina fotoelástica. Os

padrões das isocromáticas para as três tensões normais de ensaio e para os deslocamentos

horizontais de 0,0 e 2,5 a 2,8 mm (aproximadamente o deslocamento horizontal de pico) são

apresentados na Figura 6.13.

Da observação da birrefringência desenvolvida sob tensão normal, pode ser verificado

que a distribuição das isocromáticas é relativamente uniforme. Entretanto, com o aumento da

tensão normal ocorre maior nível de birrefringência na metade inferior, em particular junto às

paredes da caixa de cisalhamento. Isso se deve à situação de confinamento em que se encontra

o modelo. Esse comportamento é observado nos outros modelos ensaiados, mas com a

presença da rugosidade essa concentração de tensões é minimizada pela maior deformação

nas asperezas. Durante o cisalhamento a configuração das isocromáticas vai se redistribuindo

e para maiores deslocamentos essa concentração não mais existe. Não foi observada

birrefringência local nas extremidades superior e inferior devido ao carregamento normal, já

que cuidados especiais foram tomados no sentido de regularizar as superfícies externas dos

modelos.

108

u = 0,0 mm e σn = 0,5MPa u = 2,6 mm e σn = 0,5MPa



Figura 6.13 -Distribuição de isocromáticas em descontinuidade plana no ensaio de cisalhamento direto.

109

6.3 DESCRIÇÃO DE UM ENSAIO COMPLETO

Para apresentar a potencialidade e os resultados que a técnica fotoelástica pode oferecer,

apresenta-se de modo mais completo os resultados do ensaio realizado com tensão normal de

1,0 MPa sob descontinuidade cujo JRC é de 3,0. As Figuras 6.14 a 6.16 apresentam para os

deslocamentos horizontais de 0,0, 2,5 e 4,0 mm, a distribuição das isocromáticas e a das

isoclínicas de 0, 15, 30, 45, 60 e 75º (referência na vertical), com exceção do deslocamento de

4,0 mm no qual não foi feito o registro fotográfico da isoclínica de 75°. As figuras mostram

ainda as direções principais e o valor da tensão cisalhante máxima nos pontos de leitura

individual. As cruzetas das direções principais não possuem escala, indicando no eixo maior a

direção da deformação principal algebricamente menor e no eixo menor a direção da

deformação principal algebricamente maior. Ressalta-se que a notação do equipamento é de

sinal negativo para tensões de compressão e positivo para tensões de tração. Como na

geotecnia a convenção utilizada é inversa, optou-se por indicar as cruzetas de modo também

inverso.

De modo geral observa-se nos modelos um grande nível de deformação na parte inferior

junto aos extremos laterais, na aplicação da tensão normal, caracterizada pela birrefringência

inicial. Durante o cisalhamento o nível de tensão junto a lateral correspondente à aplicação da

carga cisalhante tende a aumentar enquanto no lado oposto a tendência é de diminuição, até o

momento da mobilização da rugosidade quando então a configuração das isocromáticas, e

conseqüentemente das tensões é definida pelas asperezas críticas.

A distribuição de tensões é não uniforme com variações quanto ao tipo (compressão ou

tração), magnitudes e direções principais. As alterações no nível de birrefringência e

conseqüentemente das deformações e tensões mostraram-se variáveis devido à influência da

rugosidade da superfície. As deformações principais maiores são de compressão, com valores

menores e de pequena ocorrência de tensões de tração. As maiores variações de magnitude e

direções ocorrem nas proximidades da superfície de rugosidade.

110

Distribuição de isocromáticas

0 2 4 6 8 10 12

-3

-1

1

3

Isoclínica 0º Isoclínica 15º



Figura 6.14 – Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e u = 0,0 mm.

32

21

14

0,35 0,21 0,360,00 0,00 0,35 1,17

0,59 0,23 0,00 0,00 0,44 1,50

0,71

0,88

0,69 0,03 0,40 0,68 1,37

0,65 0,92 0,39 0,09 0,00 0,45 0,00 0,66 1,98 0,88

1,11 0,52 1,31

0,65 0,00 0,00 0,99 0,26 1,66 2,70 1,060,77

0,90 0,56 0,14 0,40 1,30

0,74 0,18 0,39 2,00

111

Distribuição das isocromáticas 0 2 4 6 8 10 12

-3

-1

1

3

Isoclínica 0º

Isoclínica 15º

Isoclínica 30º

Isoclínica 45º

Isoclínica 60º

Isoclínica 75º

Figura 6.15 - Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e u = 2,5 mm.

32

21 14

0,61 0,80 0,56 0,73 1,14

1,15 1,21 0,57 0,34 0,81 1,38

0,92

0,47

1,46 0,56 0,74 0,44 1,24

0,73 1,34 1,09 0,49 0,00 0,65 0,95 0,09 1,98 0,55

0,81 0,19 2,89

0,57 0,00 0,45 1,52 0,00 0,99 2,08 0,301,13

1,21 0,32 0,35 0,41 0,71

0,65 0,75 0,10 1,41

0,52

0,86

112

Distribuição das isocromáticas 0 2 4 6 8 10 12

-3

-1

1

3



Isoclínica 60º

Figura 6.16 - Distribuição das isocromáticas, isoclínicas, direções de tensões principais e valores de tensão cisalhante máxima para descontinuidade com JRC de 3 e u = 4,0 mm.

32

21 14

0,98 1,94 1,23 1,02 1,34 1,15

0,71 2,29 1,04 0,94 1,07 0,96

2,05 2,07 0,72 0,27 0,96 1,62 0,76 0,79 0,57

0,85 1,53 4,49

0,99 0,38 0,97 2,15 0,39 0,40 0,68 0,001,93

1,77 0,65 0,54

1,21 1,08 0,32

0,27

113

Devido a redução da área de contato, a tendência das tensões cisalhantes máximas (e

deformações) é de aumento com o deslocamento, sendo a maior variação de 0,0 para 4,0 mm,

ocorrida no ponto 32, no valor de 3,18 MPa. A maior tensão principal individual identificada

foi de 7,52 MPa (compressão) no ponto 32 e a menor de 1,46 MPa (tração) no mesmo ponto.

A Figura 6.17 apresenta a evolução da máxima tensão cisalhante máxima que ocorre nos

contatos, com o deslocamento. Até o deslocamento de 2,5 mm, a tensão cisalhante apresenta

pequena variação, com aumento significativo a partir daí e até 4,0 mm, limite dos registros

realizados. Para este caso o deslocamento de pico foi de 3,7 mm, indicando que maior

variação de tensão ocorre para deslocamentos próximos ao de pico.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

Deslocamento horizontal (mm)

Máx

ima

tens

ão c

isal

hant

e m

áxim

a (M

Pa)

JRC = 3 - Tensão normal de 1,0MPa

Figura 6.17 - Evolução da máxima tensão cisalhante máxima com o deslocamento.

Nas regiões onde o nível de deformações é baixo e o gradiente de deformação é menor,

a birrefringência se apresenta sob a forma de áreas em cores com distribuição uniforme.

Nessas áreas a variação das direções principais também é pequena e as isoclínicas se

apresentam como grandes áreas negras. Essas regiões podem ser observadas nas partes mais

distantes da superfície de cisalhamento. Na região da descontinuidade os pontos de contato

apresentam maior deformação, caracterizada pela concentração e aumento do nível de

birrefringência e pela variação de cores. É importante observar que todas as isoclínicas

passam pelos pontos de contato direto (cargas concentradas) e também onde a diferença de

tensões principais é igual a zero.

Durante o cisalhamento a distribuição das isoclínicas se altera em função da

redistribuição das deformações. Nota-se ainda que com o aumento dos níveis de tensão as

114

áreas de distribuição uniforme das isocromáticas e das isoclínicas vão dando lugar a bandas

mais bem definidas, coloridas para as isocromáticas e negras para as isoclínicas.

As cruzetas indicativas da orientação das direções principais indicam uma tendência de

rotação no sentido horário com o deslocamento cisalhante, lembrando que a aplicação da

carga cisalhante na parte inferior do modelo ocorre da direita para esquerda. Já na região nas

proximidades das irregularidades essa tendência não é bem definida devido à influência da

rugosidade.

A Tabela 6.4 apresenta os parâmetros utilizados na separação das deformações e tensões

principais de três pontos, com leituras realizadas nos três deslocamentos horizontais

apresentados nas Figuras 6.14 a 6.16, e que encontram-se na mesma linha vertical. Os valores

de ordem de franja sob incidência normal (Nn) e sob incidência oblíqua (Nθ) foram obtidos de

acordo com os Itens 4.2.1 e 5.5.1. A correção de Nθ foi realizada conforme procedimento

apresentado no Item 4.3.1 e Equações 4.9 e 4.10, sendo determinado para a birrefringência

parasitária (ordem da franja) inicial (Ni) devido ao uso do adaptador de incidência oblíqua o

valor de 1100µε (1181µε com correção do reforço do revestimento) com um parâmetro de

isoclínica (βi) de 0°. Na separação das deformações principais individuais foram utilizadas as

Equações 4.5 e 4.6 e para a determinação das tensões principais individuais as Equações 4.7 e

4.8 apresentadas nos Itens 4.2.2 e 5.5.3. Os valores da ordem da franjas (Nn e Nθ) já estão com

sinais definidos em conformidade com a convenção de sinais para medidas de incidência

oblíqua apresentada no Item 5.5.3.4. A correção necessária devido ao reforço do modelo pelo

revestimento (realizada de acordo Item 4.3.2 e 5.5.4 e igual a 1,074) já foi aplicada nos

valores de Nn e Nθ. O sinal negativo nas deformações e tensões equivale à compressão.

Em todos os pontos indicados na Tabela 6.4 ocorre o aumento da diferença entre as

tensões principais, ou seja, da tensão cisalhante máxima durante o deslocamento horizontal,

caracterizado pelo aumento birrefringência nesses pontos. Estes se situam nas proximidades

de uma aspereza crítica, mobilizada durante o cisalhamento. De acordo com a posição do

ponto em relação a esta irregularidade, as tensões principais irão sofrer alterações de

diferentes maneiras. O ponto 14, o mais distante da irregularidade em análise, apresenta

redução de sua tensão de compressão (σx) de 4,92 para 3,55 MPa e a passagem de σy de uma

tensão de compressão no valor 3,54 MPa para tração de 1,04 MPa. O ponto 21, do

deslocamento de 0,0 para 4,0 mm, sofre pequeno aumento de compressão em σx e redução na

compressão em σy. Já o ponto 32, de maior nível de birrefringência, apresenta aumento de

compressão de 2,97 MPa em σx e passagem de uma tensão de compressão de 1,92 MPa para

115

tração de 1,46 MPa em σy. Em todos os pontos em que foram realizadas leituras, são

observados valores de compressão para σx. Em σy, além da variação de magnitude, ocorre

também a variação de sinal (compressão e tração).

Tabela 6.4 - Determinação das deformações e tensões principais individuais

Ponto de

leitura

Desloc. horiz. (mm)

Nn β (°)

Nθ sem correção

Nθ corrigido

εx (µε)

εy (µε)

σx (MPa)

σy (MPa)

σx-σy (MPa)

0,0 -0,4 -15 -1,2 -0,8 -1429 -720 -4,92 -3,54 1,38 2,5 -0,8 -6 -1,6 -1,0 -1424 80 -4,11 -1,19 2,92 14 4,0 -1,3 -5 -2,0 -1,4 -1500 863 -3,55 1,04 4,58 0,0 -0,5 -9 -1,4 -0,9 -1586 -662 -5,32 -3,53 1,79 2,5 -0,7 17 -1,5 -0,9 -1257 129 -3,57 -0,88 2,69 21 4,0 -1,1 38 -2,0 -1,4 -1918 198 -5,44 -1,34 4,11 0,0 -0,7 3 -1,6 -1,0 -1498 -145 -4,55 -1,92 2,63 2,5 -1,6 8 -2,4 -1,8 -2031 944 -5,03 0,74 5,77 32 4,0 -2,4 3 -3,3 -2,7 -3084 1545 -7,52 1,46 8,98

6.4 EFEITO DA RUGOSIDADE SOB COMPRESSÃO UNIAXIAL

As Figuras 6.18 a 6.20 apresentam a distribuição de isocromáticas nas descontinuidades

sob compressão uniaxial para as tensões de 0,25 MPa a 3,0 MPa, com exceção da

descontinuidade de JRC igual a 15 na qual não foram realizados registros com tensões

normais de 0,25 e 3,0 MPa.

As Figuras 6.18 a 6.20, nas quais as descontinuidades estão encaixadas, mostram como

a distribuição das isocromáticas evolui com o aumento da carga que age através da seção

transversal da superfície da descontinuidade. Nas três descontinuidades, as superfícies opostas

estão em contato em pequenas áreas, resultando em concentrações de tensões. Nota-se

adicionalmente que dois mecanismos operam com o aumento da carga. Primeiramente, as

cargas nos pontos de contato existentes aumentam progressivamente e secundariamente novos

pontos de contato são criados. Pode ser observado que os pontos de contato inicial apresentam

uma maior concentração de tensões do que aqueles criados posteriormente.

116

Tensão normal de 0,25 MPa Tensão normal de 0,50 MPa


Tensão normal de 3,00 MPa

Figura 6.18 - Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob compressão axial.

117





118




A comparação entre as diferentes rugosidades nas Figuras 6.18 a 6.20 indica que o

número de pontos de contatos gerados foi maior para as descontinuidades rugosas que para a

de menor grau de rugosidade. Como verificado, mesmo descontinuidades encaixadas não

apresentam contato em toda área, mas somente em pontos distintos. Existem porções do perfil

de rugosidade que funcionam com potenciais zonas de contato, que irão criar novos pontos de

concentração de tensões com o aumento da carga normal. O valor de JRC das

descontinuidades controla a largura e espaçamento médio destas zonas, ambas maiores para

descontinuidades lisas que para descontinuidades rugosas. É seguido que quando submetidos

ao aumento de carga, novos contatos serão criados para descontinuidades rugosas, enquanto

que pontos de contato pré-existentes irão tender a estender lateralmente para descontinuidades

lisas. Para a descontinuidade rugosa (JRC=15) as franjas isocromáticas tendem a apresentar-

se como pontos bem localizados indicando que elas são estreitas, enquanto que para

descontinuidades lisas (JRC = 3) as isocromáticas são bastante aplanadas, implicando em

119

zonas de contato mais largas. Também pode ser verificado que para a tensão normal de

3,0 MPa o nível de deformações é tal que todo o modelo apresenta um alto nível de

birrefringência. Deve ser considerado que para determinado nível de tensão normal irá ser

atingido o fechamento máximo da descontinuidade e qualquer aumento de carga será

absorvido pelo material do modelo (resina).

A relação entre o número de pontos criados, zona de influência das irregularidades e

nível de tensão cisalhante máxima mostrou-se complexa. Enquanto a criação de pontos de

contato é o mecanismo preponderante nas descontinuidades rugosas, para a lisa as zonas de

contato são mais amplas. A Figura 6.21 apresenta a evolução da máxima tensão cisalhante

máxima observada nos pontos de contato com a tensão normal para os três graus de

rugosidade estudados. Para menores valores de carga normal o maior nível de tensão pontual

foi observado na descontinuidade com JRC de 3, função do menor número de contatos. Para

altos valores de tensão normal os maiores valores de τmax, em irregularidades individuais,

foram observados para a superfície de JRC igual a 8. Os menores valores foram observados

para a descontinuidade com JRC de 15, que apresenta contatos estreitos mas em maior

número.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

Tensão normal (MPa)

Máx

ima

tens

ão c

isal

hant

e m

áxim

a (M

Pa)

JRC = 3 JRC = 8 JRC = 15

Figura 6.21 - Evolução da máxima tensão cisalhante máxima na compressão axial.

Para verificar qual o comportamento das isocromáticas em descontinuidade deslocada

(desencaixada) foram realizados carregamentos normais com as superfícies deslocadas de 2,5

mm (modelos com JRC de 3 e 8). A Figura 6.22 apresenta a distribuição das isocromáticas

para a superfície de JRC igual a 3.

120




Figura 6.22 - Distribuição de isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 sob compressão axial e deslocamento horizontal de 2,5 mm.

Com a descontinuidade deslocada o número de contatos criados com o carregamento

aumenta em menor proporção, e a compensação para isso é que as tensões transmitidas

através dos contatos individuais foram maiores. Isso confirma o fato das descontinuidades

121

deslocadas apresentarem menor rigidez como resultado da concentração de tensões sobre uma

área de contato real menor e a falta de confinamento das asperezas. Como no caso de

descontinuidades encaixadas, as zonas de contato individuais expandem mais rapidamente

para descontinuidades planas que para rugosas.

6.5 EFEITO DA RUGOSIDADE DURANTE O CISALHAMENTO

Apresenta-se nas Figuras 6.23 a 6.31 o padrão das isocromáticas, ou seja, da

distribuição das diferenças das deformações principais, nos modelos durante os ensaios de

cisalhamento direto. As fotos apresentam os modelos de descontinuidade com coeficientes de

rugosidade de 3, 8 e 15, em diferentes deslocamentos horizontais e para os três níveis de

tensão normal de ensaio.

Em todos os modelos e para todos os níveis de tensão normal existe a tendência do

movimento de afastamento das superfícies opostas, conjugada ao movimento tangencial, de

modo que a área real de contato das paredes fica restrita a algumas irregularidades

concentradas principalmente nos taludes das asperezas de maior inclinação e que,

efetivamente, passam a controlar o deslizamento. A dilatância observada nos ensaios, com

tensões normais relativamente baixas tendo-se em consideração a não ocorrência de ruptura

das irregularidades, é bastante significativa, exceto na superfície plana lisa, onde a dilatação

foi bastante reduzida.

No modo de ruptura comum em descontinuidades rochosas naturais o cisalhamento

começa com o galgamento das asperezas e continua com a ruptura e esmagamento da ponta

das asperezas. Isto é causado pelo aumento da concentração da tensão normal e cisalhante na

ponta das asperezas durante o cisalhamento. Entretanto, não foi observada ruptura das

asperezas em nenhum dos ensaios realizados. Algum nível de plastificação foi verificado nos

ensaios realizados nos modelos de descontinuidade ondulada e rugosa (JRC igual a 15). A

técnica da fotoelasticidade permite a definição das regiões que sofram plastificação, já que

após a retirada das cargas é possível observar se existe algum nível de birrefringência

residual. Nos modelos em que foi observado, o nível de birrefringência ao final dos ensaios

foi de no máximo 0,28 (N) que corresponde a uma tensão cisalhante máxima (τmáx) de 0,6

MPa, ocorrida no ensaio com tensão normal de 2,0 MPa. Este ensaio apresentou a maior

concentração de tensões no ponto de pico, atingindo uma tensão cisalhante máxima pontual

de 9,91 MPa (N≅5) ou uma diferença de deformações de 9510 µε. Para observação de ordens

de franja (N) superiores a 4 é necessário a utilização da lente monocromática (Item 5.4.2).

122

Deslocamento horizontal de 0,0 mm Deslocamento horizontal de 1,0 mm


Deslocamento horizontal de 4,0 mm

Figura 6.23 - Distribuição das isocromáticas em descontinuidade com JRC de 3 durante ensaio de cisalhamento direto com tensão normal de 0,5 MPa.

123





124





125





126





127





128





129





130





O arranjo no ensaio de cisalhamento pode causar um momento aplicado sobre o eixo

lateral na superfície da descontinuidade, devido à mobilização irregular de esforços

tangenciais. Isto produz uma rotação relativa das duas metades da amostra e uma distribuição

131

não uniforme das tensões sobre a superfície da descontinuidade. Para minimizar esse efeito, a

força de cisalhamento deveria ser inclinada em relação à direção do cisalhamento. Durante os

ensaios realizados nos modelos de descontinuidade com JRC de 8 e 15, pôde-se observar esse

efeito de momento induzido, de modo mais claro na descontinuidade de maior rugosidade

(Figuras 6.29 a 6.31) onde a partir da mobilização das irregularidades as tensões passam a se

concentrar principalmente na metade anterior do modelo, junto a lateral de carregamento

cisalhante. Na metade oposta inferior nenhum nível de birrefringência é observado (área

negra), sendo que essa área aumenta até o momento da ruptura. A concentração de tensões em

uma parcela do modelo devido a um momento induzido é característica do que se chama

ruptura progressiva. Caso os ensaios fossem conduzidos em um nível maior de tensão normal

e para deslocamentos tangenciais maiores poder-se-ia observar a ruptura das asperezas de

modo progressivo, com início junto a lateral de aplicação da carga.

Alguns aspectos chaves do comportamento das descontinuidades observados durante o

evento do cisalhamento e apresentados por Barton (1986) podem ser comprovados pela

técnica da fotoelasticidade. O primeiro aspecto observado foi de que o atrito é mobilizado

quanto inicia o cisalhamento. Em todos os modelos, no início do cisalhamento foi verificado

aumento dos valores da tensão com o deslocamento, entretanto nenhuma mudança da

configuração das isocromáticas era observada até que determinado valor de deslocamento

tangencial fosse atingido. Essa observação pode ser comprovada nas Figura 6.23 a 6.31, onde

para o deslocamento tangencial de 1,0 mm não existem alterações significativas no padrão das

isocromáticas, mas um aumento das tensões pode ser verificado nas leituras pontuais. Essa

elevação na tensão cisalhante máxima não foi superior a 0,6 MPa ou a uma diferença entre

deformações principais 548 µε.

O segundo aspecto observado é a dilatação, que começa quando a rugosidade é

mobilizada. Durante o início do deslocamento cisalhante o atrito residual é mobilizado

primeiro, seguido então pela rugosidade causando dilatação. De acordo com o conceito de

rugosidade mobilizada, o modelo de Barton e Bandis estabelece que até que o deslocamento

tangencial corrente atinja 30% do deslocamento de pico, a rugosidade não é mobilizada. Até

esse limite, somente parcelas do ângulo de atrito residual são mobilizadas, acumulando-se até

que, naquela proporção definida de deslocamento, obtém-se a mobilização do valor pleno do

ângulo de atrito residual.

Esse segundo aspecto do comportamento das descontinuidades também foi observado

nos ensaios, onde modificações no padrão das isocromáticas começam a ser observadas para

deslocamentos pouco superiores a 1,0 mm nos ensaios com tensão normal de 0,5 MPa e na

132

faixa de 1,5 a 2,0 mm para ensaios com tensão normal de 2,0 MPa. Esse comportamento é

compatível com o modelo de Barton e Bandis, no qual a rugosidade, para os valores de pico

dos modelos, seria mobilizada entre 0,7 e 1,3 mm para a tensão normal de 0,5 MPa e entre 1,4

e 1,9 mm para os ensaios com tensão normal de 2,0 MPa, sendo os menores valores

correspondentes as rugosidades mais planas.

Outro aspecto observado é que os maiores níveis de birrefringência e conseqüentemente

de tensões e deformações, não são observados no deslocamento cisalhante de pico. Apesar

dos ensaios não terem sido conduzidos até a dilatância máxima, acredita-se que esse ponto

corresponda ao maior nível de deformação localizado, quando para pequenos valores de

tensão normal o modelo tende ao equilíbrio estático pelo apoio nos pontos de contato e para

maiores níveis de carga normal à ruptura das asperezas.

Quando trabalhando com propriedades de descontinuidades, as tensões são calculadas

convencionalmente, isto é força divida pela área total. Isto é realizado devido às dificuldades

práticas na determinação da área de contato real, que pode ser menor em algumas ordens de

grandeza. De acordo com Fishman (1990), em descontinuidades os contatos das paredes

existem em um número limitado de pontos, geralmente entre 1 e 5% da área total.

Conseqüentemente, durante o cisalhamento somente uma parte das asperezas são colocadas

em ação, onde consideráveis tensões são concentradas.

Landanyi et al. em 1973 citado por Bandis (1990), apresentam uma variação da

Equação 2.9 da razão de área cisalhada (as), para a formulação de seu critério de resistência ao

cisalhamento máxima:

75,0

11

−−=

c

nsa σ

σ (6.3)

Essa equação estima para as tensões normais de 0,5; 1,0 e 2,0 MPa uma área de contato

na tensão cisalhante de pico de 0,6, 1,2 e 2,3% da área total da descontinuidade,

respectivamente. Barton & Choubey (1977) avaliaram que na resistência de pico a área real na

tensão cisalhante de pico é aproximadamente igual a:

JCSA

A n

total

real σ= (6.4)

133

Para as tensões normais de 0,5, 1,0 e 2,0 MPa tem-se uma área de contato na tensão

cisalhante de pico de 0,8, 1,5 e 3,1% da área total da descontinuidade. As estimativas obtidas

pela Equação 6.3 e 6.4 são próximas. O fato da área de contato no cisalhamento ser inferior à

área total da descontinuidade relaciona-se com a resistência das asperezas. Devido às altas

tensões nos contatos, as extremidades das asperezas provavelmente sofrerão ruptura, a não ser

quando a tensão normal total é relativamente baixa. Intuitivamente, a redução da área real no

cisalhamento pode ser observada nos registros fotográficos dos ensaios. Entretanto, a

determinação quantitativa dessa área exigiria a medição direta nos modelos, já que as

isocromáticas visíveis nas fotos representam zonas de influência dos contatos, dificultando a

quantificação das regiões de contato direto.

A distribuição dos contatos na descontinuidade de JRC igual a 3 é relativamente

uniforme quando comparados com padrão mais aleatório e variável dos contatos nas

descontinuidades de maior JRC.

A Figura 6.32 apresenta um gráfico que relaciona a máxima tensão cisalhante máxima

detectada no deslocamento tangencial de pico com a tensão normal para as três

descontinuidades ensaiadas. A Tabela 6.5 apresenta os dados que deram origem ao gráfico e

os valores das deformações cisalhantes máximas.

Tabela 6.5 - Máxima diferença entre deformações principais e tensão cisalhante máxima.

(εx –εy)máxima (µε)

τmáximo (MPa)

σn (MPa)

Plana JRC = 3 JRC = 8 JRC = 15 Plana JRC = 3 JRC = 8 JRC = 150,5 1970 2610 2620 2630 2,05 2,72 2,73 2,74 1,0 1930 4310 4890 5310 2,01 4,49 5,10 5,53 2,0 2625 6900 8505 9510 2,74 7,19 8,86 9,91

As tensões apresentam aumento com a rugosidade e com a tensão normal. Para

descontinuidade plana o aumento é pequeno (0,69 MPa). O gradiente de aumento da tensão

cisalhante com a carga normal é maior para os maiores graus de rugosidade. A diferença entre

as tensões das descontinuidades com JRC de 3 e 15 na σn de 0,5 MPa foi de 0,02 MPa,

enquanto que para a σn de 2,0 MPa foi de 2,72 MPa.

134

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Tensão normal (MPa)

Máx

ima

tens

ão c

isal

hant

e m

áxim

a (M

Pa)

JRC = 3 JRC = 8 JRC = 15 Plana

Figura 6.32 - Evolução da máxima tensão cisalhante.

6.6 ESTUDO DO MODELO DE DESCONTINUIDADE REAL

As Figuras 6.33 e 6.34 apresentam as curvas tensão-deformação para a descontinuidade

de rocha e para o modelo desta em resina, respectivamente. Os ensaios na amostra de rocha

foram realizados com tensões normais de 2,0, 4,0 e 8,0 MPa. Devido ao equipamento e ao

menor módulo de deformabilidade da resina, os ensaios no modelo foram realizados com

tensões normais de 0,5, 1,0 e 2,0 MPa. Ressalta-se ainda que os ensaios em descontinuidade

real foram realizados em três diferentes amostras, o que leva a variações quanto à rugosidade

da superfície. O modelo foi obtido por moldagem a partir de uma quarta amostra.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


Te

ns

ão c

isal

han

te (

kP

a)

2,0 MPa 4,0 MPa 8,0 MPaTensões normais

Figura 6.33 - Gráficos tensão-deformação cisalhante para descontinuidade de biotita-xisto.

135

0

200

400

600

800

1000

1200

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0


Te

ns

ão c

isal

han

te (

kP

a)


Figura 6.34 - Gráficos tensão-deformação cisalhante para modelo.

Não foi possível determinar a tensão de ruptura em todos os ensaios. Para os modelos,

somente na tensão normal de 0,5 MPa definiu-se a resistência à ruptura e nos ensaios em

rocha somente na tensão de 4,0 MPa. Na Figura 6.35 são plotados os pontos de máxima

tensão cisalhante (e não de ruptura) obtidas nos ensaios de cisalhamento. Não houve um bom

ajuste do critério de Barton & Choubey (1977) para a descontinuidade de rocha. Contribuíram

para isso o pequeno número de corpos-de-prova ensaiados e a indefinição das tensões de

ruptura.

Para a determinação do coeficiente de rugosidade foi realizada a retroanálise a partir da

Equação 2.6, utilizando-se para a descontinuidade de rocha o coeficiente de resistência das

paredes da descontinuidade de 113 MPa e ângulo de atrito básico de 21° (Tabela 5.3). Os

coeficientes de rugosidade (JRC) determinados foram de 4 e 5 para o modelo e para a rocha,

respectivamente. As diferenças podem ser devido à obtenção do modelo a partir de somente

uma das amostras.

O registro fotográfico da distribuição das isocromáticas para as três tensões normais de

ensaio e para diferentes deslocamentos horizontais encontra-se nas Figuras 6.36 a 6.38.

136

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000


Te

ns

ão C

isal

han

te (

kP

a)

Modelo de resinaτ=σn.tg[4.log10(65/σn)+10º ]

Barton - Am ost ra de rocha τ=σn.tg[5.log10(113/σn)+21º ]

Figura 6.35 - Envoltórias de resistência para modelo e rocha.

Deslocamento horizontal = 0,0 mm Deslocamento horizontal = 1,0 mm


Figura 6.36 - Distribuição de isocromáticas no ensaio de cisalhamento com tensão normal de 0,5 MPa.

137




Foi observado nos ensaios com o modelo o tombamento da caixa de cisalhamento

superior. No início dos ensaios, com a carga normal aplicada, o ângulo de inclinação ficou

entre 3 e 4°. No máximo deslocamento horizontal de ensaio essa inclinação atingia um ângulo

de aproximadamente 6°. Esse tombamento pode ser creditado ao processo de moldagem do

modelo. Inspeção cuidadosa nos moldes permitiram verificar leve abaulamento na face de um

dos moldes de gesso após o corte. Essa anomalia levou a uma diferença no encaixe entre as

duas metades do modelo de modo que ocorreu a inclinação da parte superior. Esse

tombamento da caixa superior contribui para os altos valores de birrefringência observados.

Infelizmente essa influência nos resultados não pôde ser determinada e na análise dos padrões

fotoelásticos não se considerou esse fato.

A evolução da tensão cisalhante máxima com o deslocamento pode ser visualizada na

Figura 6.39, para as três tensões normais de ensaio. Na mesma figura encontram-se as

máximas diferenças entre as deformações principais que estariam agindo caso o modelo fosse

substituído pela rocha (biotita-xisto). A taxa de aumento da tensão cisalhante máxima com o

deslocamento horizontal é praticamente a mesma para as tensões normais de 1,0 e 2,0 MPa.

138

Para a tensão normal de 0,5 MPa observou-se uma queda no valor da tensão cisalhante, para

os deslocamentos de 3,0 para 4,0 mm. Isso se deve a redistribuição de tensões entre as

asperezas, visto que não ocorre ruptura das mesmas. A Figura 6.36, quando se compara as

fotos de deslocamentos de 2,5 e 4,0 mm, mostram que as tensões concentradas próximas ao

ponto 32, estão sendo deslocadas para contatos nas proximidades do ponto 38.




Tensões cisalhantes de até 11,8 MPa foram registradas para a tensão de 2,0 MPa. Nas

leituras de incidência oblíqua realizadas foram observadas tensões de compressão de até 15,0

MPa (ponto 32 para tensão normal de 2,0 MPa) e tensões de tração de até 3,0 MPa (ponto

acima do 32 para tensão normal de 1,0 MPa).

139

0,0

2,5

5,0

7,5

10,0

12,5

15,0

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0


Máx

ima

ten

são

cis

alh

ante

m

áxim

a (M

Pa)

0

100

200

300

400

500

600

700

Máx

ima

dif

ere

nça

en

tre

d

efo

rmaç

õe

s p

rin

cip

ais

()


Figura 6.39 - Evolução da máxima tensão cisalhante no modelo e da máxima diferença entre

deformações principais na rocha.

Caso as deformações fossem consideradas as mesmas na rocha (biotita-xisto), conforme

a Equação 5.5 as tensões agindo na rocha seriam 21 vezes superiores às observadas no

modelo, atingindo valores superiores a resistência à compressão da rocha. Por outro lado, a

distribuição de tensões no modelo fotoelástico é semelhante à distribuição na rocha para

idênticas condições de carga e de dimensões, sendo possível passar diretamente dos resultados

obtidos com o modelo para as tensões na rocha, já que as constantes elásticas dos materiais

não afetam em princípio a distribuição de tensões. Assim as deformações no modelo deveriam

ser multiplicadas por um fator de Emodelo/Erocha, igual a 1/21. Dessa forma, as máximas

deformações na rocha seriam aquelas indicadas na Figura 6.39.

140

7 CONCLUSÕES

7.1 MODELAGEM DO COMPORTAMENTO DAS DESCONTINUIDADES

As formulações apresentadas para a modelagem do comportamento mecânico das

descontinuidades rochosas representam o atual conhecimento sobre a sua deformabilidade e

resistência. Maior enfoque foi dado ao modelo empírico de Barton e Bandis, que além de

consagrado, incorpora todos os aspectos do comportamento das descontinuidades e considera

o efeito de escala pela redução dos parâmetros de resistência com o aumento das dimensões

da descontinuidade. Por este motivo a interpretação dos ensaios fotoelásticos procurou

relacionar os resultados obtidos com os princípios deste modelo, sendo possível confirmar

diversos aspectos importantes do comportamento das descontinuidades.

7.2 ANÁLISE EXPERIMENTAL POR FOTOELASTICIDADE

A fotoelasticidade como método ótico para análise experimental da distribuição das

deformações e tensões apresentou perspectivas interessantes. A interpretação dos resultados

dos ensaios é extremamente ilustrativa. A técnica permite a visualização completa da

distribuição de isocromáticas, parâmetros que são diretamente associados com as deformações

e tensões geradas nos carregamentos. A simples visualização do modelo permite a

identificação de áreas críticas, realçando regiões com alto ou baixo nível de tensão e

potenciais áreas de ruptura. Em medidas pontuais permite a determinação da direção e da

diferença entre as deformações e tensões principais e seus valores individuais. É possível

ainda detectar plastificação e observar redistribuição de deformações na faixa plástica de

deformação, bem como medir tensões residuais. Devido à possibilidade de verificação da

ocorrência de deformações residuais é possível realizar ensaios com diferentes combinações

de carregamento sem novo revestimento ou fabricação de outro modelo.

Registros permanentes da distribuição das isocromáticas podem ser feitos por

fotografias. Neste trabalho foi realizado amplo registro fotográfico (aproximadamente 1000

fotos), utilizando máquina fotográfica digital, que facilitou a atividade posterior de análise.

Esse registro em conjunto com as medidas das direções principais, das diferenças de

deformações principais e dessas individualmente proporcionou uma ótima visualização do

desenvolvimento das deformações e tensões.

141

A aplicação da técnica da fotoelasticidade exige algum tempo de aprendizado do

usuário. A interpretação do padrão das franjas fotoelástica e a sua relação com o nível de

deformações e tensões exigem treinamento e prática por parte do operador. Atenção especial

deve ser dada à escolha do revestimento fotoelástico, tendo-se em vista os objetivos da análise

e o objeto ou modelo que será revestido. A correta escolha do material do qual o modelo será

fabricado também tem grande importância. Esse material deve ser o mais rígido possível, mas

fraco e deformável quando comparado com o material em estudo. A resina epóxi e o tipo de

revestimento fotoelástico utilizado neste trabalho mostraram-se adequados para a faixa de

tensões e resposta, em termos de isocromáticas, esperadas. Ressalta-se, entretanto, que o

manuseio e fabricação de modelos a partir da resina epóxi exigem estudos preliminares

quanto a porcentagem de catalisador e da temperatura e tempo de cura.

O correto preparo dos modelos foi necessário para não ocorrência de concentrações de

tensões devido a irregularidades. Os primeiros modelos serviram para avaliar os pontos que

mereciam maior atenção durante a preparação. Birrefringência nas extremidades e bordos dos

modelos era observada quando da aplicação de cargas normais. Esse problema foi contornado

com a preparação cuidadosa dessas regiões, através de corte, lixamento e regularização. A

colagem do revestimento quando má executada pode fazer com que durante os carregamentos

ocorram áreas sem a definição de birrefringência.

Os ensaios fotoelásticos exigiram a fabricação de uma caixa de cisalhamento que

permitisse a visualização e iluminação de toda a lateral do modelo, além da necessária

manutenção da estabilidade do modelo. A caixa utilizada mostrou-se adequada aos ensaios,

sendo observado inclinação da caixa superior somente para o ensaio com modelo da

descontinuidade real, devido a irregularidade no modelo.

A separação das deformações e tensões principais pela incidência oblíqua mostrou-se

bastante trabalhosa, exigindo habilidade e tempo do operador, além de ser limitada

fisicamente pela exigência do contato do adaptador com o ponto de estudo. Entretanto,

considerou-se essa opção mais satisfatória do que a definição das direções principais pela

fotoelasticidade para a orientação posterior de “strain gages” na obtenção das deformações

principais individualmente.

Apesar deste trabalho não contemplar a análise numérica dos casos estudados

experimentalmente, o trabalho conjunto da modelagem numérica e experimental parece ser

vantajoso. Não somente uma valida a outra como também fornecem informações

complementares reduzindo o trabalho de análise. Os resultados de fotoelasticidade permitem

o refinamento da malha dos elementos finitos em regiões críticas e os resultados numéricos

142

reduzem a necessidade de esforço experimental em casos especiais que sejam de difícil

obtenção em laboratório. Assim, poder-se-ia realizar a simulação numérica das

descontinuidades em ensaios de cisalhamento direto, com utilização do modelo de Barton-

Bandis, reproduzindo os mesmos perfis de rugosidade empregados nos ensaios fotoelásticos,

permitindo a comparação das distribuições de tensões obtidas pelos dois métodos.

7.3 ANÁLISE FOTOELÁSTICA DOS ENSAIOS

Neste trabalho foram realizados ensaios de cisalhamento em três modelos

representativos de descontinuidades com diferentes graus de rugosidade, além de uma

superfície plana e um modelo fabricado a partir de uma descontinuidade real. Os ensaios com

superfície plana serviram para definir a influência das condições de fronteira. Durante o

carregamento normal foi observado algum nível de birrefringência na parte inferior dos

modelos devido à situação de confinamento.

Durante a compressão uniaxial foi observada a concentração de tensões em pequenas

áreas e a ocorrência de dois mecanismos durante a compressão: aumento progressivo da carga

nos pontos de contato pré-existentes e criação de novos contatos. O número de novas áreas de

contato foi maior para as descontinuidades rugosas do que para a de menor grau de

rugosidade. Para esta última os pontos de contato pré-existentes estendem-se lateralmente.

Além disso, a rugosidade controla a largura e espaçamento médio destas zonas, ambas

maiores para descontinuidades mais lisas. Quando deslocadas, observou-se que a criação de

pontos ocorre em menor proporção, mas com maiores tensões transmitidas nos contatos.

As observações do comportamento das isocromáticas sob tensão normal podem ser

relacionadas com a rigidez da descontinuidade rugosa, para a qual o número de contatos, sua

largura e a distribuição do seu espaçamento são importantes parâmetros de controle. A rigidez

normal da descontinuidade reflete a natureza dos contatos entre as paredes opostas, a

justaposição das rugosidades, a resistência e deformabilidade da rocha intacta adjacente a

descontinuidade.

Os ensaios fotoelásticos permitiram acompanhar a redistribuição das deformações com

o cisalhamento por meio da variação na configuração das isocromáticas e isoclínicas. O

fenômeno da dilatância e a conseqüente redução de área puderam ser visualizados e a

fotoelasticidade permitiu avaliar a sua influência na redistribuição de tensões. Essa

distribuição é não uniforme com variações quanto ao tipo (compressão ou tração), magnitudes

e direções principais, sendo conseqüência do nível de tensão normal, do nível de

143

deslocamento no cisalhamento e da rugosidade da superfície. O aumento desses fatores

representa aumento das tensões no modelo.

Outros aspectos importantes do comportamento ao cisalhamento das descontinuidades

puderam ser observados nos ensaios. A partir da redistribuição das isocromáticas foi possível

visualizar a mobilização do atrito com o início do cisalhamento e posteriormente da

rugosidade. Os maiores níveis de tensão não ocorreram no deslocamento de pico e

continuaram a aumentar até a finalização dos ensaios. Apesar de não realizar os ensaios até a

dilatância máxima, esse ponto provavelmente corresponde ao de maior nível de deformação,

antecedendo a ruptura das irregularidades e diminuição da dilatância.

Os ensaios conduzidos no modelo da descontinuidade de biotita-xisto permitiram

verificar a real distribuição das tensões em sua superfície e a sua variação com as solicitações.

O modelo foi obtido por moldagem a partir de somente uma amostra. Melhor representação

poderia ser alcançada com modelos obtidos a partir de todos os corpos-de-prova de rocha

ensaiados, de modo a melhor relacionar os resultados em modelos com os resultados da

descontinuidade real. Apesar disso o coeficiente de rugosidade obtido para o modelo foi

semelhante ao da descontinuidade real (quatro e cinco, respectivamente), principal objetivo da

réplica. A obtenção da morfologia detalhada da superfície da descontinuidade pela utilização

de modelos fotoelásticos mostrou-se bastante confiável e forneceu informações adicionais

quanto ao seu comportamento.

As principais limitações dos estudos realizados em modelos fotoelásticos são as da

escala dos modelos, já que os ensaios foram restritos a corpos-de-prova de 13,0 cm de

comprimento, da análise do problema para uma condição de tensão plana, enquanto que o

problema é sabidamente de natureza tridimensional e de que as relações que permitem o

cálculo das tensões a partir da análise fotoelástica são válidas somente para deformações

elásticas.

7.4 SUGESTÕES PARA PESQUISAS FUTURAS

Para um melhor entendimento dos mecanismos envolvidos na resposta das

descontinuidades aos esforços de compressão e cisalhamento, recomenda-se para pesquisas

futuras:

• Condução dos ensaios de cisalhamento direto com um deslocamento que atinja a

resistência última, permitindo a observação da distribuição das isocromáticas e a sua

evolução no intervalo de pós-pico.

144

• Aprimorar a obtenção de réplicas para a fabricação de modelos que representem de forma

mais acurada o perfil de rugosidade de descontinuidades naturais.

• Realizar ensaios em modelos com perfil de rugosidade com formas regulares e irregulares,

como os utilizados por Patton (1966), procurando um melhor entendimento do modo de

ruptura local das asperezas.

• Realizar simulação numérica dos casos estudados. A análise conjunta dos resultados

obtidos com a simulação numérica e ensaios fotoelásticos serviria para a calibração e

ajuste da simulação numérica das descontinuidades.

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