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MOMENTOS DE INERCIA DE AREAS PLANASMSc. Ing. Eduardo Gutirrez Klinsky

Los momentos de inercia del rea A pueden determinarse como:

Cuando el eje de referencia es normal al plano del rea, la integral se llama segundo momento polar o momento polar de inercia Jo:

TEOREMA DEL EJE PARALELOMSc. Ing. Eduardo Gutirrez Klinsky

Cuando el momento de inercia de un rea se ha determinado en relacin a un eje determinado, el momento de inercia de en relacin a un eje paralelo podr obtenerse por medio del teorema de eje paralelo (a veces llamado tambin frmula de transferencia), una vez que uno de los ejes pase a travs del centro de gravedad del rea.El momento de inercia en relacin a x podr obtenerse como:

La integral de ydA es el momento esttico del rea en relacin al eje x. Si el eje pasa a travs del centro de gravedad del rea, el momento esttico es nulo, teniendo:

MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALESMSc. Ing. Eduardo Gutirrez Klinsky

El momento de inercia del rea A em relacin al eje xa travs de O ser variable con el ngulo . Los ejes xy es un par cualquiera pasando por O.

En base a la relacin arriba Ix ser mximo e Iy ser mnimo para un valor particular de .El conjunto de ejes para los cuales los momentos de inercia son mximos y mnimos son llamados ejes principales del rea a travs del punto O y son designados como ejes u, v.Los momentos de inercia de rea con relacin a estos ejes son llamados momentos principales de inercia y son designados como Iu, Iv. Existe apenas un par de ejes principales para un punto cualquier en un rea, a menos que todos los ejes tengan el mismo momento de inercia. Ej: crculo.MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALESUna rutina conveniente para determinar los momentos principales de inercia de un rea es expresar Ix como siendo una funcin de Ix,Iy,Ixy y y luego tomar la derivada de Ix en relacin a e igualar a cero de manera a obtener el valor de que proporciona los valores de inercia mximo y mnimo.

El ngulo 2 para el cual Ix es mximo puede obtenerse derivndose Ixen relacin a e igualarse a cero:

Donde:

MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALESDonde representa los dos valores de que localizan los ejes principales u,v. La ecuacin anterior proporciona dos valores de 2 desfasados 180 grados por tanto dos valores desfasados de 90 grados. Los momentos principales de inercia pueden obtenerse substituyendo los valores de en Ix. Se obtiene:

Reemplazando las ecuaciones arriba en:

El producto de inercia del elemento de rea de la figura anterior en relacin a xy es:

MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALESLuego el producto de inercia del rea ser:

El producto de inercia Ixy ser nulo cuando:El producto de inercia es nulo en relacin a los ejes principales y a cualquier eje de simetra por lo tanto cualquier eje de simetra se constituye en un eje principal para cualquier punto sobre el mismo.MOMENTOS DE INERCIA PRINCIPALESEjemplo: Determine los momentos de inercia mximo y mnimo del rea del angular de abas desiguales en relacin a los ejes que pasan por el centro de gravedad del rea.

yc=26.54 mmxc=16.54 mm

Empleando cualquiera de las frmulas arriba y empleando =28.5, =118.5 grados:

CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA DE AREASLos momentos de inercia principales para un rea pueden determinarse mediante el empleo del crculo de Mohr.Los momentos de inercia son representados a lo largo del eje principal y los productos de inercia sobre el eje vertical. Los momentos de inercia son siempre positivos y se representan a la derecha del origen.Los productos de inercia pueden ser positivos o negativos, siendo los valores positivos representados arriba del eje horizontal.Desde que la coordenada horizontal sobre cada punto representa um valor particular de Ix el momento mximo de inercia es representado por OF y su valor es:

Imax=OF=OC+CF=OC+CA

CIRCULO DE MOHR PARA MOMENTOS DE INERCIA DE AREASEjercicio: Resolver el problema anterior mediante el crculo de Mohr.

La viga ilustrada est sometida a um momento flector de 1200 N.m em la direccin a-a. Determinar:a) Momentos de Inercia Ix Iy en la direccin a-a. Tomando en cuenta que la recta a-a posee pendiente H:V 3:4Localice los ejes principales a travs del centro de gravedad del rea triangular y determine el radio de giro mnimo.

R. r=17.71 mm. =-16.85

Calcule Ix e IyA=4730 mm2Altura: 254 mmIx=37.75x10E4 mm4Iy=1.42x10E4 mm4Ix=36.65x10E6 mm4Iy=2.515x10E6 mm4Localice los ejes que pasan por O para los cuales se obtiene el mximo momento de Inercia

=-59.3Imax=18.87x10E6 mm4