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All the theory for Moments of inertia (Only shapes in 2D)
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Esttica
2015-1 [MOMENTOS DE INERCIA DE REAS]
Profesor Herbert Ypez Castillo
Pgina 1 de 17
1. Momento de inercia de reas
El centroide de un rea es evaluado mediante las siguientes expresiones:
=
=
El trmino del numerador se denomina primer momento del rea. Una integral de segundo momento del
rea, tal como 2 o 2
, se conoce como momento de inercia.
Momento de inercia respecto al eje
= 2
Momento de inercia respecto al eje
= 2
Momento polar de inercia respecto al eje
= 2
Producto de Inercia =
= +
Momentos de inercia
(en funcin del radio de giro) =
2 = 2 =
2
Radios de giro de x, y, o , ,
2 =
2 + 2
Unidades [longitud]4: , , ,
[longitud] : , ,
Signos Positivo: , , , , , para cualquier
rea
Positivo o negativo:
Simetra Si un rea es simtrica respecto a un eje (x o y), su Producto de
Inercia es igual a cero. = 0
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1.1. Determinacin del momento de inercia por integracin simple
El momento de inercia puede ser determinado por integracin simple mediante dos procedimientos que se
presentan a continuacin.
1.1.1. Longitud del elemento diferencial orientada de forma paralela al eje.
= 2 =
2
= ( ) =
Entonces: Entonces:
= 2( ) =
2
= 2( )
0
= 2
0
= 3
12
=3
4
=2 2
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1.1.2. Longitud del elemento diferencial orientada perpendicular al eje.
Primero: Determinar el momento de inercia de un rectngulo.
= 2 =
2
= =
Entonces: Entonces:
= 2 =
2
= 2
0
= 2
0
= 3
3]
0
= 3
3]
0
= 3
3 =
3
3
Segundo: Determinar el momento de inercia de un elemento diferencial.
= 3
3 =
3
3
=3
3]
0
=3
3]
0
= 3
3 =
3
3
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Tercero: Emplear el momento de inercia del elemento diferencial en diferentes reas.
= 2 = 2 () =
3
3 ()
=2 3
7 =
23
15
= 2 = 3
3 () =
2 ()
= 3
21 =
3
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2. Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)
Por lo general son conocidos los momentos de inercia de reas tpicas (rectngulo, tringulo, etc.) respecto a
un eje que pasa por el centroide (inercias centroidales), sin embargo a menudo se requiere determinar el
momento de inercia respecto a otro eje paralelo, para lo cual se emplea el teorema de los ejes paralelos.
= + 2
= + 2
= +
rea = + 2
1
=46.08E6
2
=47.43E6
3
= -18.22E6
Total =75.30E6 mm4
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3. Momentos de inercia para un rea con respecto a ejes inclinados
Una prctica ingenieril muy conocida es calcular los momentos y el producto de inercia para un rea
respecto a ejes girados e , para lo cual, conocidos los valores de , e , se emplean ecuaciones de
transformacin.
=
2
=
2
=
= + = 2
= = 2
=
= +
2+
2
2 2
= +
2
2
2 + 2
=
2 2 + 2
= + = + = Respecto a 0, ambos sistemas tienen el
mismos centro de coordenadas
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4. Crculo de Mohr para momentos de inercia
Las ecuaciones de transformacin tienen una solucin grfica que se presenta a continuacin.
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Donde:
, Momentos y producto de Inercia
respecto a los ejes x e y
, Momentos y producto de Inercia
respecto a los ejes x e y
Centro del crculo de Mohr,
( , 0)
= +
2=
+ 2
= (
2)
2
+ 2
= (
2)
2
+ 2
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a) Determinar:
= =
=
Respecto a los ejes x e y que pasan por O.
b) Representar en el Crculo de Mohr los momentos de inercia de los ejes girados 30 anti-horario y 10
horario.
=
+ 2
=
+ 2
= +
1 =4x1
4.00
=1x43/3
21.33
=4x13/3
1.33
=12x4
2/4
4.00
2 =2x1
2.00
=3-1
2.00
=1/2
0.50
=1x23/12
0.67
=2x13/3
0.67
8.67
2.00
Total (pie4) 22 10 6
= 30 = 10
= +
2+
2
2 2
= +
2
2
2 + 2
=
2 2 + 2
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5. Momentos principales de inercia.
Los puntos donde el Crculo de Mohr interseca al eje de las abscisas proporcionan los valores de los
momentos de inercia principales e . Cabe mencionar que, el producto de inercia es igual a cero
en estos puntos.
Ejes , Ejes ,
: Ejes cualesquiera que pasan por O.
: Ejes principales que pasan por O.
=
+ 2
: Momento de Inercia Mximo.
: Momento de Inercia Mnimo.
: Centro del crculo de Mohr ( , 0).
= (
2)
2
+ 2
Momentos de inercia principales respecto a los ejes principales A y B que pasan por .
2 =
2
ngulo de giro para alcanzar los momentos
principales
= +
2+ = + Momento de inercia mximo
= +
2 = Momento de inercia mnimo
= 0 Producto de inercia respecto a los ejes principales
que pasan por O.
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2 =
2
2 =
2
2 = [][+]
[+]= [][+] = [] 2 = []
[]
[+]= [][] = [+]
2 =
2
2 =
2
2 = [][]
[]= [][+] = [] 2 = []
[+]
[]= [][] = [+]
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Si se conoce que:
= 22 4
= 10 4
= 6 4
Entonces, determinar los Momentos Principales respecto a
los ejes que pasan por O.
2 = (
2
) = = (
2)
2
+ 2 =
= +
2+ = =
+ 2
=
= +
2 =
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6. Momentos principales centroidales de inercia.
Ejes , Ejes ,
: Ejes cualesquiera que pasan por O.
: Ejes centrales o centroidales
= +
2
Ejes , : Ejes principales centrales o principales centroidales
= (
2)
2
+ 2
: Momento de inercia central o centroidal mximo.
: Momento de inercia central o centroidal mnimo.
: Centro del Crculo de Mohr ( , 0).
Momentos de inercia principales centroidales respecto a los ejes A y B que pasan por el centroide del rea.
2 =
2
Angulo de giro para alcanzar los momentos
principales centroidales
= +
2+ Momento de inercia centroidal mximo
= +
2 Momento de inercia centroidal mnimo
= 0 Producto de inercia centroidal respecto ejes
principales centroidales
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Determinar:
a) Determinar los momentos principales centrales.
b) Determinar el mnimo momento de inercia de la figura.
=
+ 2
=
+ 2
=
+
1 =4x1
4.00
=1/2
0.50
=4/2
2.00
2.00
8.00
=1x43/3
21.33
=4x13/3
1.33
=12x4
2/4
4.00
2 =2x1
2.00
=3-1
2.00
=1/2
0.50
4.00
1.00
=1x23/12
0.67
=2x13/3
0.67
8.67
2.00
6.00 6.00 9.00 Total (pie4) 22 10 6
=
= 6/6 = 1.00 pie
=
= 6/9 = 1.50 pie
= 2 =
= 2 =
= =
2 = (
2
) = = (
2)
2
+ 2 =
= +
2 = =
+ 2
+ =
= +
2 =
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Resumen
Momentos y producto de inercia
para cualquier par de ejes que pasan por .
= +
2+
2
2 2
= +
2
2
2 + 2
=
2 2 + 2
Momentos de Inercia Principales
respecto a los ejes que pasan por .
2 =
2
= +
2+ = +
= +
2 =
= 0
Momentos de inercia principales centrales o centroidales
respecto a los ejes A y B
que pasan por el centroide.
2 =
2
= +
2+
= +
2
= 0