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Método para la estimación del momento de inercia de máquinas de inducción trifásicas a partir de su peso y

altura de eje

TITULACIÓN: Ingeniería Técnica Industrial en Electricidad

AUTOR: Manuel Cereijo Neira

DIRECTOR: Luis Guasch Pesquer

FECHA: Septiembre de 2011.


altura de eje


1 ÍNDICE GENERAL



FECHA: Septiembre/2011.

Método para la estimación del momento de inercia de máquinas de inducción trifásicas a partir de su peso y altura del eje.

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1 ÍNDICE GENERAL....................................................................................... 2

2 MEMORIA .................................................................................................... 5

2.1 OBJETO DEL PROYECTO....................................................................8

2.2 ALCANCE...............................................................................................8

2.3 ANTECEDENTES ................................................................................11

2.4 NORMAS Y REFERENCIAS...............................................................12

2.4.1 Disposiciones legales y normas aplicadas......................................... 12

2.4.2 Bibliografía ....................................................................................... 12

2.4.3 Programa de cálculo .......................................................................... 13

2.4.4 Otras referencias............................................................................... 13

2.5 DEFINICIONES Y ABREVIATURAS ................................................13

2.6 REQUISITOS DE DISEÑO ..................................................................13

2.7 ANÁLISIS DE SOLUCIONES.............................................................16

2.8 RESULTADOS FINALES....................................................................16

2.8.1 Momento de inercia de un cilindro ................................................... 16

2.8.2 Par y momento de inercia.................................................................. 17

2.8.3 Relación entre el peso y la altura de la máquina con su momento de inercia ........................................................................................................... 19

2.8.4 Determinación del método ................................................................... 20

2.8.4.1 Interpretación de los parámetros de la recta de regresión. ......... 21

2.8.5 La calidad del ajuste.......................................................................... 22

2.8.5.1 Introducción................................................................................ 22

2.8.5.2 El coeficiente de determinación, r²............................................. 22

2.8.5.3 Coeficiente de correlación muestral, r. ...................................... 23

2.8.6 Análisis conjunto de todas las máquinas de la muestra .................... 23

2.8.7 Agrupación de la muestra por familias ............................................. 25

2.8.8 Velocidad de sincronismo ................................................................. 25

2.8.9 Tipo de carcasa.................................................................................. 31

2.8.10 Fabricante. ....................................................................................... 34

2.8.11 Potencia. .......................................................................................... 39

2.8.12 Peso. ................................................................................................ 44

2.8.13 Altura de eje. ................................................................................... 49

2.8.14 Clase de eficiencia........................................................................... 54

2.8.15 Agrupación de la muestra por velocidad de sincronismo y peso .... 61


4

2.8.16 Comprobación de resultados ........................................................... 81

2.9 PLANIFICACIÓN.................................................................................81

2.10 ORDEN DE PRIORIDAD ENTRE LOS DOCUMENTOS BÁSICOS81

3 ANEXOS...................................................................................................... 83

3.1 DOCUMENTACIÓN DE PARTIDA ...................................................85

3.1.1 Recogida de datos ............................................................................. 85

3.1.2 Criterios de selección ........................................................................ 85

3.2 CÁLCULOS ..........................................................................................87

3.2.1 Procesado de la información ............................................................. 87

3.2.2 Criterios y procedimiento de cálculo ................................................ 90

3.2.3 Obtención de resultados .................................................................... 93

3.2.4 Comparación de resultados ............................................................. 104


altura de eje


2 MEMORIA





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ÍNDICE MEMORIA

2 MEMORIA ................................................................................................... 5

2.1 OBJETO DEL PROYECTO....................................................................8

2.2 ALCANCE...............................................................................................8

2.3 ANTECEDENTES ................................................................................11

2.4 NORMAS Y REFERENCIAS...............................................................12

2.4.1 Disposiciones legales y normas aplicadas......................................... 12

2.4.2 Bibliografía ....................................................................................... 12

2.4.3 Programa de cálculo .......................................................................... 13

2.4.4 Otras referencias............................................................................... 13

2.5 DEFINICIONES Y.ABREVIATURAS................................................13

2.6 REQUISITOS DE DISEÑO ..................................................................13

2.7 ANÁLISIS DE SOLUCIONES.............................................................16

2.8 RESULTADOS FINALES....................................................................16

2.8.1 Momento de inercia de un cilindro ................................................... 16

2.8.2 Par y momento de inercia.................................................................. 17

2.8.3 Relación entre el peso y la altura de la máq. con su m. de inercia.... 19

2.6.4 Determinación del método ................................................................... 20

2.8.4.1 Interpretación de los parámetros de la recta de regresión. ......... 21

2.8.5 La calidad del ajuste.......................................................................... 22

2.8.5.1 Introducción................................................................................ 22

2.8.5.2 El coeficiente de determinación, r²............................................. 22

2.8.5.3 Coeficiente de correlación muestral, r. ..................................... 23

2.8.6 Análisis conjunto de todas las máquinas de la muestra .................... 23

2.8.7 Agrupación de la muestra por familias ............................................. 25

2.8.8 Velocidad de sincronismo ................................................................. 25

2.8.9 Tipo de carcasa.................................................................................. 31

2.8.10 Fabricante. ....................................................................................... 34

2.8.11 Potencia. .......................................................................................... 39

2.8.12 Peso. ................................................................................................ 44

2.8.13 Altura de eje. ................................................................................... 49

2.8.14 Clase de eficiencia........................................................................... 54

2.8.15 Agrupación de la muestra por velocidad de sincronismo y peso .... 61

2.8.16 Comprobación de resultados ........................................................... 81


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2.9 PLANIFICACIÓN…………………………………………………….81

2.10 ORDEN DE PRIORIDAD ENTRE LOS DOCUMENTOS BÁSICOS81


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2.1 OBJETO DEL PROYECTO El objeto de este proyecto consiste en proponer un método para la estimación del

momento de inercia en las máquinas de inducción trifásicas, con rotor en jaula de ardilla, partiendo de los datos de la altura del eje y el peso de la máquina sin necesidad de ensayos experimentales.

2.2 ALCANCE Para el análisis del comportamiento en régimen dinámico de un accionamiento

eléctrico constituido por una máquina de inducción trifásica y una máquina accionada, es necesario conocer (o estimar) los parámetros del modelo matemático. Entre estos parámetros existe uno de naturaleza mecánica que es el momento de inercia, y que es la suma aritmética de los momentos de inercia de todos los elementos del accionamiento que están calados sobre el eje: máquina de inducción trifásica, acoplamiento y máquina accionada.

En este proyecto se va a estimar, únicamente, el momento de inercia de la máquina de inducción trifásica.

Fig. 2.1. Máquina de inducción trifásica con rotor en jaula de ardilla.

Además del objetivo final que permite la estimación del momento de inercia en una máquina de inducción trifásica, el trabajo realizado queda reflejado en las siguientes tareas:

Búsqueda de catálogos actualizados de algunos de los principales fabricantes de máquinas de inducción trifásicas a nivel mundial.

Determinación de los datos y/o características que van a influir en la estimación del momento de inercia.


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Clasificación y agrupación de los datos obtenidos. Representación y análisis de los datos que permita la elección del método de

estimación más adecuado. Determinación de los aspectos constructivos de la máquina que pueden influir en

la estimación del momento de inercia. Propuesta de un modelo de estimación y cálculo de sus parámetros en función de

otras características de la máquina, como pueden ser: material de construcción, velocidad de sincronismo, potencia, etc.

El alcance del proyecto se concreta en el estudio de una muestra de máquinas agrupadas según sus características y que ofrece los siguientes datos:

Nº de máquinas: 2624 máquinas de inducción trifásicas con rotor en jaula de ardilla.

Margen de potencias:

• 0 - 1 kW: 265 máquinas

• 1.1 - 10 kW: 710 máquinas

• 11 - 100 kW: 967 máquinas

• 101 - 1000 kW: 682 máquinas

Frecuencia:

• 50 Hz: 1917 máquinas

• 60 Hz: 707 máquinas

Velocidades de sincronismo:

• 50 Hz:

o 3000 rpm: 572 máquinas





10

• 60Hz:





Nº de polos:

• 2 polos: 783 máquinas




Tipo constructivo:

• Acero: 68 máquinas

• Aluminio: 677 máquinas

• Hierro: 1879 máquinas

Tipo de eficiencia según catálogo:

• Clase IE1 : 590 máquinas




• Sin clasif. : 474 máquinas

Tipo de eficiencia calculada según Norma IEC 60034:30/2008:

• Clase IE1:_ 566 máquinas

• Clase IE2: 912 máquinas

• Clase IE3: 600 máquinas

• Sin clasif.: 546 máquinas


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Peso:

• 3,5 - 50 kg: 753 máquinas

• 51 - 200 kg: 575 máquinas

• 201 - 1000 kg: 769 máquinas

• 1001 - 4800 kg: 527 máquinas

Altura del eje (h):

• 56 - 100 mm: 517 máquinas

• 101 - 200 mm: 916 máquinas

• 20 - 300 mm: 551 máquinas

• 301 - 450 mm: 640 máquinas

2.3 ANTECEDENTES

El presente método parte de la necesidad de conocer el momento de inercia de una máquina de inducción trifásica cuando no disponemos de ese parámetro, bien porque el fabricante no facilita el dato o bien porque no disponemos de catálogo y no se puede, o quiere, recurrir a métodos experimentales para su estimación.

Un estudio similar ya se realizó en el capítulo 4 de la tesis doctoral del Dr. Adolfo Andrés Jaramillo Matta. Para este proyecto se ha actualizado y confeccionado una nueva base de datos de mayor tamaño (de 952 a 2.624 máquinas de inducción) y se ha procedido a realizar la estimación del momento de inercia en función de otras variables como puede ser el tipo constructivo de la máquina o la clase de rendimiento.

En el estudio previo del Dr. Jaramillo se observó la existencia de una relación prácticamente lineal entre el momento de inercia, J, y el producto de la masa por la altura del eje al cuadrado (M·h²). Esta relación presenta la ventaja de que tanto la masa como la altura del eje se pueden medir con relativa facilidad (para los casos en que no aparecen en el catálogo del fabricante o no dispongamos del mismo). En este proyecto se debe comprobar si con la nueva base de datos ampliada y actualizada se sigue cumpliendo esta relación prácticamente lineal, así como observar la influencia de otras variables en dicha relación.

El estudio del Dr. Jaramillo partía de una base de datos de 952 motores de inducción trifásicos con potencias comprendidas entre 0.75 kW y 800 kW. En este caso la muestra es de 2624 máquinas con potencias comprendidas entre 0.045 kW y 1000 kW. También se ha ampliado de 5 a 8 el número de los principales fabricantes de donde se toman los datos de este tipo de máquinas.


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A la hora de establecer las distintas relaciones según las características constructivas hay que destacar el hecho de haber tenido en cuenta la Norma IEC60034-30:2008 que proporciona una armonización global de las clases de rendimiento de los motores eléctricos y los clasifica según su eficiencia, dado que entre el 30 % y el 40 % de la energía eléctrica generada a nivel mundial está consumida por motores eléctricos en la industria. La mejora del rendimiento del sistema de accionamiento, incluyendo la aplicación, es un asunto primordial puesto que el potencial ahorro energético total de un sistema optimizado se estima que puede ser entre el 30 % y el 60 %.

Otra de las ampliaciones de este estudio es la relación que se puede establecer teniendo en cuenta el tipo constructivo de la carcasa o frame de la máquina, según sea de acero, aluminio o fundición de hierro, debido a que influyen decisivamente en el peso de la máquina y éste es uno de los factores que se tienen en cuenta a la hora de estimar el momento de inercia.

Se hace además una clasificación según los parámetros: fabricante, frecuencia, velocidad de sincronismo, peso y potencia del motor, indicando en cada uno de los apartados el tamaño de la muestra en cuanto a número de máquinas analizadas.

2.4 NORMAS Y REFERENCIAS

2.4.1 Disposiciones legales y normas aplicadas -NORMA UNE 60034:30/2010. Versión oficial en español de la Norma Europea

EN 60034:30/2009 que a su vez adopta la Norma Internacional IEC 60034:30/2008, por la que se especifican las clases de rendimiento para los motores trifásicos de inducción de jaula de velocidad única, de 50 y 60 Hz.

-NORMA UNE 60034-02-01 por la que se establecen los rendimientos a partir de ensayos y también para especificar métodos para obtener pérdidas específicas en máquinas eléctricas rotativas (excepto las máquinas para vehículos de tracción).

-REGLAMENTO CE 640/2009 de la Comisión del 22 de Julio de 2009 por el que se aplica la Directiva 2005/32/CE del Parlamento Europeo y del Consejo en lo relativo a los requisitos de diseño ecológico para los motores eléctricos.

-NORMA UNE 157001 por la que establecen los criterios generales para la elaboración de proyectos.

2.4.2 Bibliografía

- Aspectos básicos del Electromagnetismo. Miguel Ángel Rodríguez Pozueta.

http://personales.unican.es/rodrigma/primer/publicaciones.htm

- Máquinas asíncronas. Miguel Ángel Rodríguez Pozueta.


- Constitución de las máquinas eléctricas. Miguel Ángel Rodríguez Pozueta.



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- Regresión lineal simple. Josep Gibergans Bàguena.

www.uoc.edu

- Estadística. Métodos y aplicaciones. Variables bidimensionales. Regresión. Universidad de Málaga.

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/

- Regresión lineal. Ditutor

http://www.ditutor.com/estadistica_2/regresion.html

2.4.3 Programa de cálculo - Paquete integrado de Microsoft Office (Excel, Access, Word, Power Point)

- Minitab 16. Software de computadora diseñado para ejecutar funciones estadísticas básicas y avanzadas.

2.4.4 Otras referencias La obtención de los catálogos de fabricantes de las máquinas analizadas se hace

por Internet a través de su página web:

• ABB http://www.abb.com

• CMG http://www.cmggroup.com.au

• LEROY SOMER http://www.leroy-somer.com

• MARELLI http://www.marellimotori.com

• ROSSI http://www.rossi-group.com

• SIEMENS http://www.siemens.com

• VEM http://www.vem-group.com

• WEG http://www.weg.net

2.5 DEFINICIONES Y ABREVIATURAS No es de aplicación en este proyecto

2.6 REQUISITOS DE DISEÑO La finalidad del presente proyecto es proponer un método para la estimación del

momento de inercia de las máquinas de inducción trifásicas partiendo solamente para cada una de ellas de los datos correspondientes al peso total, M, y la altura del eje, h, sin tener que recurrir a otros sistemas o realizar ensayos experimentales.

Este método se justifica en situaciones en las que se necesita conocer el momento de inercia y este dato no está facilitado por el fabricante porque no lo ha incluido en el


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catálogo, en las especificaciones del manual de instrucciones o bien no se dispone del catálogo de la máquina objeto del estudio. Esto puede ocurrir sobre todo cuando la máquina es de baja potencia, motivo por el que el estudio se realiza partiendo de una muestra con máquinas desde 0.045 kW. El fabricante no suele facilitar el momento de inercia en la placa de características.

También se justifica cuando no se puede o no se quiere recurrir a métodos o ensayos experimentales que son más complejos, dificultosos y se requiere de más medios y tiempo para realizarlos.

Se requiere que el método se caracterice por su sencillez y rapidez en la ejecución, puesto que sólo se necesita conocer dos características físicas de la máquina como son el peso y la altura del eje. Estos datos sí se especifican generalmente en la placa de características y si no fuera así, son fácilmente cuantificables recurriendo a métodos de medida convencionales.

Fig. 2.2. Placa de características de una máquina con los datos del peso y altura del eje.

Existen varios tipos de máquinas eléctricas rotativas y la constitución general (estátor, rotor y entrehierro) puede ser muy diferente entre ellas, sobre todo en lo referido a los aspectos físicos y constructivos. Ya se ha detallado que el peso y la altura del eje de la máquina determinan el método propuesto para la estimación del momento de inercia. Para que dicho método resulte o se aproxime lo máximo posible al momento de inercia real, es preciso delimitar la muestra a aquellas máquinas que tengan esos aspectos constructivos lo más homogéneos posible.

En la práctica, las máquinas trifásicas de inducción con rotor en jaula de ardilla suponen un porcentaje muy destacado de uso o utilización dentro de toda la gama de máquinas eléctricas rotativas. Ésta es la causa principal por la que el método propuesto para la estimación del momento de inercia se circunscriba a la muestra obtenida de este tipo de máquinas, como ya había establecido previamente el Dr. Jaramillo.

Los datos necesarios de partida para el estudio del método no serán experimentales, sino que deben ser proporcionados por los propios fabricantes a través de sus últimos catálogos actualizados con la finalidad de cumplir con todos los


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requisitos referentes a normas y directivas de homologación que afectan a este tipo de máquinas, sobre todo las relacionadas con el etiquetado y la eficiencia energética.

La elección de los fabricantes representados en la muestra se establecerá de forma que tengan relevancia dentro de su sector, sobre todo en el mercado europeo y americano.

Con la finalidad de poder establecer las relaciones que puedan ayudar en el proceso de elaboración del método para la estimación del momento de inercia, los datos obtenidos del catálogo del fabricante se establecen en dos categorías: datos principales o relevantes y datos secundarios o auxiliares y son los siguientes:

Datos principales:

• Momento de inercia J (kg.m²)

• Peso M (kg)

• Altura del eje h (m)

• Potencia nominal (kW).

• Velocidad nominal (rpm)

• Nº de polos

• Frecuencia (Hz)

• Eficiencia (IE)

• Fabricante

• Rendimiento (η)

• Tipo de carcasa

Datos auxiliares:

• Factor de potencia (cosφ)

• Tensión nominal (V)

• Intensidad nominal (A)

• Intensidad de arranque/Intensidad nominal (IA/IN)

• Par nominal (N·m)

• Par de arranque/Par nominal (MA/MN)

• Par máximo/Par nominal (MK/MN)

• Nivel de presión sonora (dB)

• Año catálogo


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Una vez obtenidos todos los datos que se acaban de detallar, de los catálogos de los propios fabricantes es necesario establecer un método de análisis y relación entre los distintos parámetros y las variables momento de inercia (J), masa, (M) y altura del eje (h) y también la forma de representar estas relaciones gráficamente.

2.7 ANÁLISIS DE SOLUCIONES No es de aplicación en este proyecto

2.8 RESULTADOS FINALES

2.8.1 Momento de inercia de un cilindro El momento de inercia es una medida de la propiedad que tiene un cuerpo de no

modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la acción de una fuerza. Esta medida se refiere a la inercia rotacional de un cuerpo. Es una característica propia de dicho cuerpo referido a su eje de giro y su valor refleja la suma integral de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia de cada partícula a dicho eje.

Si el rotor de la máquina de inducción trifásica fuera perfectamente cilíndrico y homogéneo (es decir constituido por un único material de densidad constante), podría calcularse su momento de inercia a partir de la masa de capas cilíndricas diferenciales, tal como se observa en la Fig. 2.3.

Se toma un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la Fig (2.3).

��rrrrrrrrr

Z

L

R

x

dx

..

Fig. 2.3 Momento de inercia de un cilindro homogéneo


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La masa dm que contiene esta capa es:

2 2

22ππ

M Mdm xdx L xdxR L R

= ⋅ = (2.1)

El momento de inercia del cilindro es:

2 3 22

0

2 12

RMJ x dm x dx MR

R= = =⌠⎮

⌡∫ (2.2)

En el caso de que el rotor de una máquina de inducción fuera perfectamente cilíndrico y homogéneo ( rM M= y R r= ), el cálculo del momento de inercia del mismo vendría determinado por la expresión:

212 rJ M r= ⋅ (2.3)

2.8.2 Par y momento de inercia En los accionamientos eléctricos con motores de inducción trifásicos con rotor en

jaula de ardilla, el par motor que desarrollan éstos debe superar en el arranque al par resultante de la suma de tres pares resistentes: el par de la carga mecánica, el par de inercia del propio rotor y de la carga mecánica y por último, el par que corresponde al rozamiento. De esta forma, la ecuación mecánica correspondiente a estos accionamientos sería la siguiente:

[ ]( )L Ld J J Bdt

Γ Γ ω ω= + + ⋅ + ⋅ (2.4)

Donde:

Γ par motor,


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ΓL par resistente de la carga mecánica,

J momento de inercia de la máquina de inducción,

JL momento de inercia de la carga mecánica,

B coeficiente de rozamiento

ω velocidad angular del eje.

En este tipo de máquinas, cuando el rotor es en jaula de ardilla, se acostumbra a despreciar el coeficiente de rozamiento (B = 0), puesto que no existe ningún elemento como las escobillas que asegure la conexión eléctrica del circuito eléctrico del rotor. En consecuencia el único rozamiento sería el imputable a los rodamientos.

Si JT es el momento de inercia correspondiente al conjunto del accionamiento, es decir, la suma del momento de inercia de la máquina de inducción más el momento de inercia de la carga mecánica (J + JL) y consideramos la hipótesis de que J no varía en el tiempo, entonces la fórmula (2.4) se puede expresar de la siguiente forma:

L TdJdtωΓ Γ− = ⋅ (2.5)

Para poder solucionar la ecuación (2.5) se necesita conocer el momento de inercia de la máquina de inducción J, y de la carga mecánica JL. El momento de inercia de la máquina de inducción J no siempre lo proporciona el fabricante y para ello se ha llevado a cabo un análisis de 2624 máquinas comprendidas entre 0.045 kW y 1000 kW de potencia de forma que permita determinar un método para conocerlo de una manera rápida y sencilla. Este análisis comprende el estudio de las características constructivas y eléctricas de dichas máquinas donde sí se conoce el dato del momento de inercia, que está facilitado en el catálogo del fabricante.

Fig. 2.4. Altura del eje (h) necesaria para la estimación del momento de inercia de la máquina


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Sin embargo el fabricante, generalmente, no suele facilitar en las especificaciones de las máquinas de inducción la masa del rotor (Mr) ni el radio del mismo (r). Lo que sí suele aparecer en los catálogos es la masa total de la máquina (M) y la altura del eje de giro (h) representada en la Fig. 2.4. Si el fabricante no los incluyera en el catálogo, generalmente sí lo hace en la placa de características o se pueden conocer con relativa facilidad midiéndolos directamente sobre la máquina.

Serán por tanto estas dos características constructivas M y h las que se van a utilizar para determinar el método para la estimación del momento de inercia, J, de la máquina de inducción trifásica con rotor en jaula de ardilla.

Partiendo de (2.3) y estableciendo un análisis comparativo entre Jr y J se pueden suponer dos relaciones lineales: una entre el radio del rotor y la altura del eje de la máquina (r=α·h) y la otra entre la masa del rotor y la masa total de la máquina (Mr =α´·M). Es decir,

( ) 2 2 21 1´ ( ) .́ .( )2 2

J M h M hα α α α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (2.6)

Donde:

21a ´2α α= ⋅ ⋅ (2.7)

Por tanto:

2aJ M h= ⋅ ⋅ (2.8)

J Momento de inercia de la máquina (kg.m²)

a coeficiente de relación entre J y (M·h²)

M Masa de la máquina (kg)

h Altura del eje (m)

2.8.3 Relación entre el peso y la altura de la máquina con su momento de inercia

Una vez establecida la expresión (2.8) y ver que se corresponde con la ecuación de una recta que pasa por el origen de coordenadas, se trata de determinar el valor del coeficiente “a” y comprobar que el grado de correlación de la recta estimada tiene validez y fiabilidad. Para ello se parte de una muestra, obtenida a partir de catálogos actualizados, de la que se han obtenido el momento de inercia, el peso y la atura del eje de 2624 máquinas de inducción trifásicas con rotor en jaula de ardilla. Los máquinas son de diferentes fabricantes (ABB, CMG, Leroy Somer, Marelli, Rossi, Siemens, VEM y WEG), potencias entre 0.045 kW y 1000 kW, nº de polos entre 2 y 8, frecuencias de 50 Hz y 60 Hz, pesos entre 3.5 kg y 4800 kg y alturas de eje entre 56 mm y 450 mm.


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Fig.2.4. Máquinas de inducción de diferentes tipos y tamaños.

2.8.4 Determinación del método

Se trata de definir un modelo que describa la relación entre las variables J y M∙h² con el propósito de predecir los valores de una (J) a partir de los valores de la otra (M∙h²).

A partir de un conjunto de observaciones de las dos variables (J y M∙h²) sobre la muestra de las máquinas obtenida de los catálogos, el primer paso es representar esos datos en unos ejes de coordenadas y ver de qué forma se distribuyen espacialmente los pares de valores seleccionados. Una vez hecho, la representación gráfica que muestra es la siguiente:

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h² (kg.m²)

Real

Muestra: 2624 máquinas Fig.2.5. Momento de inercia en función de M·h2 para toda la muestra de máquinas.


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Como ya era de esperar aparece una tendencia lineal para la muestra de las 2624 máquinas entre J y M·h2. Por tanto se estimará el momento de inercia a partir de un modelo matemático de la regresión lineal simple.

En una regresión lineal, la representación gráfica o diagrama de dispersión puede ayudar además a encontrar algún valor atípico entre los datos de la muestra que pueda tener su origen en un error en la toma de datos de la muestra o a una máquina excepcional dentro de las analizadas. Una vez hecho el diagrama de dispersión, el siguiente paso es encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos, es decir, la recta de regresión.

La ecuación de una recta de regresión es de la forma:

a by x= + (2.9)

Donde:

y J (variable dependiente)

x M∙h² (variable independiente)

a pendiente de la recta

b ordenada en el origen de la recta

2.8.4.1 Interpretación de los parámetros de la recta de regresión.

Una vez determinada la recta de regresión es muy importante interpretar los parámetros de la ecuación en el contexto del fenómeno que se estudia.

• Interpretación de la pendiente de la recta a:

Este parámetro representa la estimación del incremento de la variable y (J) cuando x (M∙h²) aumenta en una unidad. Este parámetro nos informa de cómo están relacionados las dos variables en el sentido de que nos indica en qué cantidad (y si es positiva o negativa) varían los valores de y (J) cuando varían los valores de x (M∙h²) en una unidad. A este parámetro se llama coeficiente de regresión.

• Interpretación de la ordenada en origen b

Este parámetro representa la estimación del valor de y (J) cuando x (M∙h²) es igual a 0 (punto de corte con el eje de abscisas).

No siempre tiene una explicación práctica. Para que esto sea posible, es preciso que:


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1. Que x tome el valor x = 0, hecho que implicaría tener una máquina con: una masa total igual a 0, una altura de eje igual a cero, o ambas condiciones simultáneamente. Es imposible que ocurra cualquiera de las tres opciones.

2. Se tengan suficientes observaciones cercanas al valor 0. Esta es una apreciación relativa, el estar cerca o lejos no es una apreciación absoluta sino relativa. En cualquier caso se han seleccionado máquinas que representan una amplia gama de valores tanto en J como en M·h².

2.8.5 La calidad del ajuste

2.8.5.1 Introducción

La recta de regresión por mínimos cuadrados minimiza la suma de los cuadrados de los residuos o errores. La pregunta es si este ajuste es lo bastante bueno. Mirando si en el diagrama de dispersión los puntos experimentales quedan muy cerca de la recta de regresión obtenida, se puede tener una idea de si la recta se ajusta o no a los datos, pero hace falta un valor numérico que ayude a precisarlo.

2.8.5.2 El coeficiente de determinación, r²

Se quiere evaluar en qué grado el modelo de regresión lineal que se ha obtenido a partir del conjunto de datos explica las variaciones que se producen en la variable dependiente (en este caso J). La medida más importante de la bondad del ajuste es el coeficiente de determinación r². Este coeficiente indica el grado de ajuste de la recta de regresión a los valores de la muestra, y se define como la proporción de varianza explicada por la recta de regresión, es decir:

2 Varianza expresada por la recta de regresiónVarianza total de los datos

r = (2.10)

Varianza: Media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

El coeficiente de determinación lineal siempre estará comprendido entre 0 y 1:

0 ≤ r² ≤ 1, de manera que:

• r² = 1 Cuando el ajuste es perfecto, es decir, cuando todos los puntos se encuentran sobre la recta de regresión.

• r² = 0 Denota la inexistencia de relación entre las variables x (M∙h²) e y (J).

• Puesto que r² explica la proporción de variabilidad de los datos que queda explicada por el modelo de regresión, cuanto más cercano a la unidad esté, mejor es el ajuste.


23

2.8.5.3 Coeficiente de correlación muestral, r.

A partir del diagrama de dispersión se puede ver si hay algún tipo de relación entre dos variables x e y. Se suele decir que x e y tienen una relación positiva si los valores grandes x están aparejados con valores grandes y valores pequeños de x con valores pequeños de y. De manera análoga, se dice que x e y tienen una relación negativa si los valores grandes de x están aparejados con los valores pequeños de y y viceversa.

Por tanto, el coeficiente de correlación mide el grado de asociación entre dos variables.

El coeficiente de correlación se caracteriza por:

-1 ≤ r ≤ 1 de manera que:

• r = 1 o r = -1 cuando haya una asociación lineal entre las variables.

• -1 < r < 1 cuando la relación entre las dos variables no sea lineal de forma exacta.

• Una regla razonable es decir que la relación es débil si 0 < r < 0,5; fuerte si

0,8 < r < 1, y moderada si tiene cualquier otro valor.

2.8.6 Análisis conjunto de todas las máquinas de la muestra

El primer análisis se realiza con todas las máquinas de inducción trifásicas que componen la muestra, para comprobar si en su conjunto la relación entre J y M·h2 tiene un comportamiento razonablemente lineal. En la Fig. 2.6 se muestra mediante un punto cada una de las máquinas que compone la muestra, así como la recta de regresión obtenida.

En la Tabla 8.1 se muestran las características generales de toda la muestra y los parámetros vinculados a la regresión lineal de la misma: tamaño de la muestra, coeficiente de correlación lineal, coeficiente de determinación lineal, coeficiente de regresión o pendiente de la recta de regresión y ordenada en origen de la recta de regresión.


24

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

RealEstimado

Muestra: 2624 máquinas Fig.2.6. Momento de inercia en función de M·h2 para toda la muestra de máquinas y recta de regresión

correspondiente.

Tabla 2.1. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), pendiente (a) y

ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en la totalidad de la muestra de máquinas.

n r r² a b

2624 0.9361 0.8765 0.0375 -0.0023

Teniendo en cuenta lo detallado sobre la calidad del ajuste del método elegido para la estimación del momento de inercia, el siguiente paso es observar si se cumplen las condiciones que determinan la calidad del ajuste.

En este análisis se obtiene un coeficiente de determinación r2 de 0.8765, que nos indica que el 87.65% de la varianza queda explicada por la recta de regresión, o lo que es lo mismo, el 87.65% de la variación del momento de inercia J de toda la muestra de máquinas, se explica a través del comportamiento de M·h2.

Se observa que el grado del ajuste de la recta de regresión a los valores de la muestra es cercano a 1, por tanto, indica que se trata de un buen ajuste.

Se observa que entre las variables J y M·h² existe un fuerte grado de relación (r = 0.9361) y tienen una relación positiva, puesto que los valores elevados de J están aparejados con valores elevados de M·h² y viceversa.

Por lo tanto, en vista de los resultados analizados, se puede afirmar que tiene validez el método propuesto para la estimación del momento de inercia de las máquinas de inducción trifásicas con rotor en jaula de ardilla partiendo de los datos del peso y la altura del eje.


25

2.8.7 Agrupación de la muestra por familias Para poder realizar posteriores comparaciones, se toman 50 y 1000 como valores

máximos de las escalas de los ejes de coordenadas puesto que se corresponden con los valores máximos que pueden tomar los parámetros J y M·h².

Debido a que en alguna de las clasificaciones, los datos de J y M·h² pueden tomar unos valores muy pequeños con respecto a los valores máximos, se representarán además de la escala establecida, en otra más reducida para poder apreciar la disposición de los datos con mejor detalle.

A continuación se van a establecer distintas agrupaciones de máquinas, donde los datos obtenidos se mostrarán en tablas y se representarán gráficamente en figuras sobre ejes de coordenadas.

Aunque con la muestra completa de las 2624 máquinas se han obtenido unos coeficientes de determinación y correlación lineal que se pueden considerar suficientemente satisfactorios, en la Fig. 2.6 se observa que los puntos parecen agrupados por familias, de tal modo que la muestra total se asemeja a un abanico, donde quedan más marcadas ciertas zonas semejantes a las varillas del mismo. Es decir, parece que ciertas familias de puntos pudieran agruparse, y por tanto estimarse, mediante rectas con mejores coeficientes de correlación y determinación.

Es necesario por tanto, y a priori, determinar las características de la máquina que aparecen en el catálogo del fabricante que pueden servir para explicar el comportamiento de estos subgrupos de la muestra. Para ello se han escogido aquellas características que han parecido tener más relación con el momento de inercia: velocidad de sincronismo (que a su vez depende del número de polos y de la frecuencia), peso y tipo de carcasa, para observar si estas agrupaciones se correspondían con las observadas con toda la muestra completa.

Puesto que ya se iba a estudiar la muestra total por familias, y suponiendo también, a priori, que hay ciertas características que no tienen influencia en el momento de inercia, se ha querido constatar que así es, y por tanto también se ha realizado agrupaciones de la muestra por: fabricante, potencias, altura del eje y eficiencia.

2.8.8 Velocidad de sincronismo

En este caso la muestra total contiene máquinas con 8 velocidades de sincronismo diferentes:

• 3600 rpm: 211 máquinas. (Fig. 2.7).

• 3000 rpm: 572 máquinas. (Fig. 2.8).

• 1800 rpm: 215 máquinas. (Fig. 2.9).

• 1500 rpm: 588 máquinas. (Fig. 2.10).

• 1200 rpm: 162 máquinas. (Fig. 2.11).

• 1000 rpm: 478 máquinas. (Fig. 2.12).

• 900 rpm: 119 máquinas. (Fig. 2.13).

• 750 rpm: 279 máquinas. (Fig. 2.14).


26

Por tanto, se analizan cada una de estas 8 familias por separado, haciendo un estudio de regresión lineal para cada una de ellas y obteniendo los coeficientes r y r² que se muestran en la Tabla (2.2)

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

3600 rpm

Real

Estimado

Muestra: 211máquinas Fig. 2.7. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con una velocidad de sincronismo de 3600 rpm.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

3000 rpm

Real

Estimado

Muestra: 572 máquinas


27

Fig. 2.8. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con una velocidad de sincronismo de 3000 rpm.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

1800 rpm

Real

Estimado



0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

1500 rpm

Real

Estimado




28

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

1200 rpm

Real

Estimado

Muestra: 162 máquinas Fig. 2.11. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con una velocidad de sincronismo de 1200 rpm.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

1000 rpm

Real

Estimado




29

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg.m

²)

M·h²(Kg.m²)

900 rpm

Real

Estimado


0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²

M·h²(kg.m²)

750 rpm

Real

Estimado



30

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

750900100012001500180030003600

Fig. 2.15. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su

velocidad de sincronismo.


ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su velocidad de sincronismo.

Frecuencia ns n r r2 a b

3000 572 0.9856 0.9715 0.0207 -0.0808

50 Hz 1500 588 0.9948 0.9898 0.0310 0.0121

1000 478 0.9887 0.9776 0.0459 0.0074

750 279 0.9835 0.9673 0.0446 0.1188

3600 211 0.9861 0.9724 0.0248 -0.0269

60 Hz 1800 215 0.9742 0.9492 0.0378 0.0551

1200 162 0.9846 0.9696 0.0549 0.1388

900 119 0.9918 0.9838 0.0728 -0.2960

Se observa con esta clasificación que, como se suponía, agrupando la muestra total en función de la velocidad de sincronismo, se obtienen resultados notablemente mejores de los coeficientes de determinación y correlación que con el estudio de la muestra completa sin clasificar, lo que corrobora los pronósticos iniciales de que el momento de inercia está fuertemente vinculado con la velocidad de sincronismo.

Si se representan agrupadas las rectas de regresión obtenidas anteriormente en una misma gráfica (Fig.2.15), se confirma la disposición de las mismas como las varillas de abanico que se intuía al observar la gráfica inicial con la totalidad de la muestra y los datos sin agrupar.


31

2.8.9 Tipo de carcasa

La muestra está compuesta por máquinas con tres tipos de carcasa diferentes:

• Acero: 68 máquinas. Fig. (2.16)

• Aluminio: 677 máquinas. Fig. (2.17)

• Hierro: 1879 máquinas. Fig.(2.18)

•

Se analizan los datos de cada familia, se hace el estudio de regresión lineal para cada una de ellas y se obtienen los coeficientes r y r² y los parámetros de la recta a y b, que se muestran en la Tabla (2.3)

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

Acero

Real

Estimado


Fig. 2.16. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con carcasa de acero.


32

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

Aluminio

Real

Estimado

Muestra: 677 máquinas Fig. 2.17. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con carcasa de aluminio.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg.m

²)

M.h²(kg.m²)

Hierro

Real

Estimado

Muestra: 1879 máquinas Fig. 2.18. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con carcasa de hierro.


33

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

Acero

Aluminio

Hierro

Fig. 2.19. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su tipo de

carcasa.


ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según el tipo de carcasa.

Tipo carcasa n r r2 a b

Acero 68 0.8757 0.7670 0.0350 0.1670

Aluminio 677 0.9366 0.8773 0.0347 -0.0104

Hierro 1879 0.9318 0.8683 0.0376 0.0103

Con esta clasificación se observa que no existen diferencias apreciables en los parámetros más importantes (sobre todo en la pendiente a) que determinan la estimación del momento de inercia según el tipo de carcasa por lo que no se puede afirmar que el momento de inercia de una máquina esté vinculado con el tipo de carcasa de la misma en esta muestra. Hay que señalar, sin embargo, que en esta clasificación el número de máquinas es muy diferente para las tres familias de carcasa: 68 de acero, 677, de aluminio y 1879 de hierro.


34

2.8.10 Fabricante.

La muestra total se compone por máquinas de 8 fabricantes diferentes:

• ABB: 570 máquinas. Fig. (2.20).

• CMG: 47 máquinas. Fig. (2.21).

• Leroy Somer: 349 máquinas. Fig. (2.22).

• Marelli: 206 máquinas. Fig. (2.23).

• Rossi: 197 máquinas. Fig. (2.24).

• Siemens: 450 máquinas. Fig. (2.25).

• VEM: 216 máquinas. Fig. (2.26).

• WEG: 589 máquinas. Fig. (2.27).

Se analizan los datos de cada familia, se hace el estudio de regresión lineal para cada una de ellas y se obtienen los coeficientes r y r² y los parámetros de la recta a y b, que se muestran en la tabla (2.4)

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

ABB

Real

Estimado

Muestra: 570 máquinas Fig. 2.20. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por ABB


35

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

CMG

Real

Estimado

Muestra: 47 máquinasM·h²(kg.m²)

J(kg

.m²)

Fig. 2.21. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por CMG.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

LEROY SOMER

Real

Estimado

Muestra: 349 máquinas Fig. 2.22. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por Leroy Somer.


36

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

MARELLI

Real

Estimado


Fig. 2.23. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por Marelli.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

ROSSI

Real

Estimado

Muestra: 197 máquinas Fig. 2.24. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por Rosssi.


37

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

SIEMENS

Real

Estimado

Muestra: 450 máquinas Fig. 2.25. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por Siemens.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

VEM

Real

Estimado

Muestra: 216 máquinas Fig. 2.26. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por VEM.


38

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg.m

²)

M·h²(kg.m²)

WEG

Real

Estimado

Muestra: 589 máquinas Fig. 2.27. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas fabricadas por WEG.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

ABB

CMG

L.SOMER

ROSSI

SIEMENS

VEM

WEG

MARELLI

Fig. 2.28. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según el

fabricante que la produce.


39

Tabla 2.4. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a)

y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según el fabricante.

Fabricante n r r2 a b

ABB 570 0.9550 0.9122 0.0352 -0.0359

CMG 47 0.9003 0.8107 0.0367 -0.1577

L. Somer 349 0.9411 0.8858 0.0404 -0.3247

Marelli 206 0.9227 0.8515 0.0396 -0.1005

Rossi 197 0.9646 0.9306 0.0313 0.0005

Siemens 450 0.9491 0.9009 0.0364 -0.0624

VEM 215 0.9267 0.8589 0.0323 -0.0527

WEG 589 0.9112 0.8303 0.0487 -0.0975

Se observa con esta clasificación que la disposición de los datos y la pendiente de la recta es bastante similar para cualquier fabricante, excepto para las máquinas producidas por WEG, que se diferencia claramente de los demás, aunque examinando con más detalle los datos de esta clasificación, se observa que toda la muestra analizada de este fabricante está compuesta por máquinas que funcionan a una frecuencia 60 Hz, lo que indica que las velocidades de sincronismo son más elevadas y, como se ha visto en la Tabla (2.2), las pendientes de las rectas (a), también son más elevadas con las velocidades de sincronismo correspondientes a 60 Hz que las correspondientes a 50 Hz, por lo que se puede suponer que, más bien ése es el motivo de la diferencia observada en la gráfica.

Se podría concluir, por tanto, que el momento de inercia de una máquina no está determinado por el fabricante que la produce.

2.8.11 Potencia.

En este caso la muestra está formada por máquinas clasificadas en cuatro tramos diferentes de potencias:

• 0 - 1 kW: 265 máquinas. Fig. (2.29) y (2.30).

• 1.1 - 10 kW: 710 máquinas. Fig. (2.31) y (2.32).

• 11 - 100 kW: 967 máquinas. Fig. (2.33) y (2.34).

• 101 - 1000 kW: 682 máquinas. Fig. (2.35).

Se analizan los datos de cada familia, se hace el estudio de regresión lineal para cada una de ellas y se obtienen los coeficientes r y r² y los parámetros de la recta a y b, que se muestran en la tabla (2.5).


40

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J (K

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

0 - 1 kWReal

Estimado

Muestra: 265 máquinas Fig. 2.29. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias comprendidas entre 0 y 1 kW.

0

0,01

0,02

0,03

0 0,2 0,4 0,6

J (K

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

0 - 1 kWReal

Estimado

Muestra: 265 máquinas Fig. 2.30. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias

comprendidas entre 0 y 1 kW.


41

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

1.1 - 10 kW

Real

Estimado

Muestra: 710 máquinas Fig. 2.31. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias comprendidas entre 1.1 y 10

kW.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0 2 4 6 8

J(k

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

1.1 - 10 kW

Real

Estimado

Muestra: 710 máquinas Fig. 2.32. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias

comprendidas entre 1.1 y 10 kW.


42

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

11 - 100 kW

Real

Estimado


Fig. 2.33. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias comprendidas entre 11 y 100 kW.

0

2

4

6

0 20 40 60 80 100 120

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

11 - 100 kW

Real

Estimado


Fig. 2.34. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias comprendidas entre 11 y 100 kW.


43

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J (K

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

101 - 1000 kW

Real

Estimado

Muestra: 682 máquinas Fig.2.35. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con potencias comprendidas entre 101 y

1000 kW.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

0-1 kW

1.1-10 kW

11-100 kW

101-1000 kW


potencia.


44


y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su potencia.

Potencia n r r2 a b

0 – 1 kW 265 0.9440 0.8913 0.0293 -0.0002

1.1 – 10 kW 710 0.9140 0.8355 0.0417 -0.0074

11 – 100 kW 967 0.9182 0.8341 0.0419 -0.1155

101 – 1000 kW 682 0.8781 0.7711 0.0372 0.1161

Mediante la observación de los datos obtenidos para esta clasificación, no se puede afirmar que la potencia de la máquina sea un factor determinante del momento de inercia de la misma. En un principio, los datos parecen indicar que, proporcionalmente, a mayor potencia, menor momento de inercia, pero esa regla ya no se cumple si se trata de máquinas con potencias grandes, comprendidas entre 101 y 1000 kW.

2.8.12 Peso.

La muestra total se compone por cuatro tramos diferentes de peso de las máquinas:

• 0 - 50 kg. Fig. (2.37) y (2.38)

• 51 - 200 kg. Fig. (2.39) y (2.40).

• 201 - 1000 kg. Fig. (2.41) y (2.42).

• 1001 - 5000 kg. Fig. (2.43)



45

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h²(kg.m²)

0 - 50 kg

Real

Estimado

Muestra: 753 máquinas Fig. 2.37. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos comprendidas entre 0 y 50 kg.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0 0,5 1 1,5

J(k

g.m

²)

M·h²(kg.m²)

0 - 50 kg

Real

Estimado

Muestra: 753 máquinas Fig. 2.38. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos

comprendidas entre 0 y 50 kg.


46

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h²(kg.m²)

51 - 200 kg

Real

Estimado

Muestra: 576 máquinas Fig. 2.39. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos comprendidas entre 51 y 200 kg.

0

0,2

0,4

0,6

0 2 4 6 8 10 12

J(k

g.m

²)

M·h²(kg.m²)

51 - 200 kg

Real

Estimado

Muestra: 576 máquinas Fig. 2.40. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos



47

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J (k

g.m

²)

M·h² (kg.m²)

201 - 1000 kg

Real

Estimado

Muestra:768 máquinas Fig. 2.41. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos comprendidas entre 201 y 1000

kg.

0

2

4

6

0 20 40 60 80 100 120

J (k

g.m

²)

M·h² (kg.m²)

201 - 1000 kg

Real

Estimado

Muestra:768 máquinas Fig. 2.42. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos



48

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h² (kg.m²)

1001 - 5000 kg

Real

Estimado

Muestra: 539 máquinas Fig. 2.43. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con pesos comprendidas entre 1001 y 5000

kg.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

0 ‐ 50 kg

51 ‐ 200 kg

201‐1000 kg

1001‐5000 kg

Fig. 2.44. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su peso.


49

Tabla 2.6. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su peso.

Peso n r r2 a b

0 – 50 kg 753 0.8949 0.8009 0.0275 -0.0003

51 – 200 kg 575 0.7872 0.6197 0.0317 -0.0049

201 – 1000kg 769 0.8264 0.6830 0.0349 -0.0199

1001 – 5000 kg 527 0.8515 0.7251 0.0363 0.5442

Tanto los datos numéricos como gráficos indican claramente que el momento de inercia de la máquina es directamente proporcional a su peso, lo que parece lógico, puesto que el peso de la máquina determina su momento de inercia, lo que induciría a tomar esta clasificación como válida para estimar, a partir de ella, el momento de inercia desconocido de una máquina. Sin embargo, el análisis por velocidad de sincronismo permite obtener un grado de correlación superior a cualquiera de los tramos de peso en los que se ha dividido la muestra.

2.8.13 Altura de eje.

En este caso la muestra está compuesta por máquinas clasificadas en cuatro tramos según su altura de eje:

• 56 - 100 mm. Fig. (2.45) y (2.46).

• 101 - 200 mm. Fig. (2.47) y (2.48).

• 201 - 300 mm. Fig. (2.49) y (2.50).

• 301 - 450 mm. Fig. (2.51)



50

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

56 - 100 mm

RealEstimado

Muestra: 517 máquinas Fig. 2.45. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de eje comprendida entre 56 y

100 mm.

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

56 - 100 mm

RealEstimado

Muestra: 517 máquinas Fig. 2.46. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de

eje comprendida entre 56 y 100 mm.


51

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

101 - 200 mm

RealEstimado


Fig. 2.47. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de eje comprendida entre 101 y 200 mm.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15 20

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

101 - 200 mm

RealEstimado


Fig. 2.48. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de eje comprendida entre 101 y 200 mm


52

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

201 - 300 mm

Real

Estimado

Muestra : 551 máquinas Fig. 2.49. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de eje comprendida entre 201 y

300 mm.

0

2

4

6

8

10

12

-10 40 90 140 190 240

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

201 - 300 mm

RealEstimado

Fig. 2.50. Detalle a escala reducida del momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de

eje comprendida entre 201 y 300 mm.


53

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

301 - 450 mm

RealEstimado

Muestra: 640 máquinas Fig. 2.51. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con altura de eje comprendida entre 301 y

450 mm.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

56 ‐ 100 mm

101 ‐ 200 mm

201 ‐ 300 mm

301 ‐ 450 mm

Fig. 2.52. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su altura de

eje.


54


y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su altura de eje. Altura de eje n r r2 a b

56 – 100 mm 517 0.8271 0.6841 0.0261 -0.0001

101 – 200 mm 916 0.8627 0.7444 0.0283 0.0029

201 – 300 mm 551 0.8623 0.7436 0.0578 -0.6024

301 – 450 mm 640 0.8798 0.7741 0.0377 -0.1009

Viendo los datos obtenidos, en principio se aprecia que a mayor altura de eje de la máquina, también le corresponde una pendiente mayor de la recta correspondiente a cada tramo de altura de eje, pero esto ya no se cumple en el tramo de 301 a 450 mm. Por otra parte los coeficientes de determinación, aunque pueden indicar una calidad de ajuste del método aceptable, no son tan buenos como los que se obtienen para otras clasificaciones, por lo que en este caso tampoco se puede establecer esta clasificación como la más aceptable para su utilización en el método de estimación del momento de inercia.

2.8.14 Clase de eficiencia En esta agrupación se van a establecer dos clasificaciones diferentes. Por una

parte se agrupan las máquinas según la clase de eficiencia declarada por los fabricantes en sus catálogos y por otra se agrupan las máquinas según la clase de eficiencia real calculada con arreglo a las exigencias de los límites nominales para las distintas clases que establece la Norma IEC 60034:30/2008. En ambos casos se establece otra agrupación formada por máquinas que por sus características en cuanto a potencia y número de polos no entra dentro del campo de aplicación de dicha Norma.

La primera clasificación está formada por las máquinas catalogadas por el fabricante según su nivel de eficiencia en cuatro clases y una quinta clasificación formada por máquinas que, por sus características, no están sujetas a dicha Norma:

Clase IE1: 590 máquinas. Fig. (2.53).




Sin clasificar: 471 máquinas. Fig. (2.57).



55

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

IE1

Real

Estimado

Muestra: 590 máquinas Fig. 2.53. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con clase de eficiencia catalogada por el

fabricante como IE1.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

IE2

Real

Estimado




56

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

IE3

Real

Estimado



0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

IE4

Real

Estimado




57

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M.h²(kg.m²)

Sin clasif.

Real

Estimado

Muestra: 474 máquinas Fig. 2.57. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas sin clasificación de eficiencia catalogada

por el fabricante.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

IE1

IE2

IE3

IE4

S/Clas.

Fig. 2.58. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su clase de

eficiencia.


58

Tabla 2.8. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su clasificación de eficiencia

tipo IE catalogada por el fabricante.

Clase eficiencia n r r² a b

IE1 590 0.9525 0.9074 0.0392 -0.1799

IE2 1127 0.9284 0.8621 0.0349 0.0321

IE3 376 0.8912 0.7943 0.0462 -0.1998

IE4 57 0.8958 0.8026 0.0506 -0.1288

S/Clas. 474 0.9450 0.8932 0.0375 0.0792

Mediante el análisis de estos datos no se puede sacar ninguna conclusión favorable en este tipo de agrupación, por lo que no se puede establecer que la clase de eficiencia influya de manera determinante en el momento de inercia.

La segunda clasificación la forman máquinas con la eficiencia calculada cumpliendo los requisitos de la Norma IEC 60034:30/2008 en tres clases y una cuarta que no está sujeta a dicha Norma.




Sin clasificar: 546 máquinas. Fig. (2.62).



59

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

IE1

IE1

Estimado

Muestra: 566 máquinas Fig. 2.59. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con eficiencia calculada según Norma IEC

60034:30/2008 tipo IE1.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

IE2

IE2

Estimado

Muestra:912 máquinas Fig. 2.60. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con eficiencia calculada según Norma IEC

60034:30/2008 tipo IE2.


60

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²

M·h²(kg.m²)

IE3

IE3

Estimado

Muestra: 600 máquinas Fig. 2.61. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con eficiencia calculada según Norma IEC

60034:30/2008 tipo IE3.

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

Sin clas.

Sin clas.

Estimado

Muestra: 546 máquinas Fig. 2.62. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas sin clase de eficiencia.


61

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

IE1

IE2

IE3

S/Clas.


eficiencia calculada según exigencias de la Norma IEC 60034:30/2008.

Tabla 2.9. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y

ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su clasificación de eficiencia tipo IE, calculada según exigencias de la Norma IEC 60034:30/2008.

Clase Efic. n r r² a b

IE1 566 0.9433 0.8900 0.0368 -0.1095

IE2 912 0.9189 0.8444 0.0377 -0.0804

IE3 600 0.9215 0.8492 0.0344 0.0220

S/Clas. 546 0.9692 0.9395 0.0472 0.2208

Con esta agrupación se obtienen unos resultados más favorables que en la anterior, pero tampoco se puede determinar que la clase de eficiencia calculada según la Norma IEC 60034:30/2008 influya en el momento de inercia de la máquina.

2.8.15 Agrupación de la muestra por velocidad de sincronismo y peso

Vistas todas las agrupaciones de máquinas y una vez analizados los datos numéricos y las gráficas correspondientes, se ha visto que, de todas las clasificaciones, en la agrupación a partir de la velocidad de sincronismo se obtienen los mejores coeficientes de determinación (que indica el grado de ajuste de la recta de regresión a los valores de la muestra) y correlación lineal (que indica el grado de relación entre las variables J y M·h²).


62

Por otra parte, en la agrupación de máquinas clasificadas por peso, se ha observado con mucha claridad que la pendiente (a) de las rectas según cada tramo de peso, sigue una tendencia progresiva en la que a mayor tramo de peso, también la pendiente va aumentando proporcionalmente, es decir, según aumenta el peso de la máquina, también lo hace el momento de inercia.

Aunque como ya se ha comentado, los coeficientes de determinación y correlación obtenidos cuando se agrupa la muestra por velocidad de sincronismo son muy elevados, se ha comprobado que al estimar el momento de inercia de las todas las máquinas que componen la muestra, los errores relativos que se observan en las máquinas cercanas al origen de coordenadas son muy elevados. Este hecho no se aprecia en las figuras puesto que, con la escala en que están representados, parece que los puntos están muy cercanos a la recta estimada, sin embargo como ya se ha comentado el error relativo es a veces muy elevado.

Este hecho ha inducido que se proponga una nueva clasificación que agrupe a la muestra no únicamente por la velocidad de sincronismo, sino también por su peso. De este modo se han conseguido momentos de inercia estimados con un error relativo mucho menor.

La muestra queda estructurada de la siguiente forma:

• 50 Hz

o 0 - 50 kg

3000 rpm: 177 máquinas. Fig. (2.64)




o 51 - 200 kg





o 201 - 1000 kg






63

o 1001 - 5000 kg





• 60 Hz

o 0 - 50 kg





o 51 - 200 kg





o 201 - 1000 kg





o 1001 - 5000 kg





En esta agrupación se han adaptado los valores máximos de las escalas de los ejes de coordenadas a los valores máximos del momento de inercia para cada tramo de peso- velocidad de sincronismo con la finalidad de poder observar con mejor detalle la distribución de los datos.

Se analizan los datos de cada tramo, se hace el estudio de regresión lineal para cada uno de ellos y se obtienen los coeficientes r y r² y los parámetros de la recta a y b, que se muestran en la Tabla (2.10).


64

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0-50 kg - 3000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)

Fig. 2.64. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con peso entre 0 y 50 kg y con velocidad de

sincronismo 3000 rpm

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0-50 kg - 1500 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




65

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0-50 kg - 1000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0-50kg - 750 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)


sincronismo 750 rpm


66

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51-200 kg - 3000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)

Fig. 2.68. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con peso entre 51 y 200 kg y con velocidad

de sincronismo 3000 rpm

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51-200 kg - 1500 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




67

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51-200 kg - 1000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51-200 kg - 750 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




68

0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201-1000 kg - 3000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)

Fig. 2.72. Momento de inercia en función de M·h2 para máquinas con peso entre 201 y 1500 kg y con

velocidad de sincronismo 3000 rpm

0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201-1000 kg - 1500 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




69

0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201-1000 kg - 1000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201-1000 kg - 750 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




70

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001-5000 kg - 3000 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001-5000 kg - 1500 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




71

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001-5000 kg - 1000rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001-5000 750

Real

Estimado


J(kg

.m²)




72

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 - 50 kg - 3600 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 - 50 kg - 1800 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




73

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 - 50 kg 1200 rpm

0-50 1200

Estimado


J(kg

.m²)



0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0 - 50 kg - 900 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)


sincronismo 900 rpm


74

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51 - 200 kg - 3600 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51 - 200 kg - 1800 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




75

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51 - 200 kg - 1200 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2 4 6 8 10 12

51 - 200 kg - 900 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




76

0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201 - 1000 kg - 3600 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201 - 1000 kg - 1800 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




77

0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201 - 1000 - 1200 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

1

2

3

4

5

6

0 20 40 60 80 100 120

201 - 1000 kg - 900 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




78

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001 - 5000 kg - 3600 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001 - 5000 kg - 1800 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)




79

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001 - 5000 kg - 1200 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)



0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

1001 - 5000 kg - 900 rpm

Real

Estimado


J(kg

.m²)


velocidad de sincronismo 900 rpm Tabla


80

2.10. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), pendiente (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su peso y velocidad de sincronismo (ns)

Frecuenc. Peso ns n r r2 a b

50 Hz 0 – 50 kg 3000 177 0,9561 0,9141 0,0194 -0,0006

1500 184 0,9606 0,9228 0,0287 -0,0002

1000 136 0,9543 0,9107 0,0313 0,0001

750 88 0,9613 0,9241 0,0300 0,0002

51-200 kg 3000 143 0,9482 0,8991 0,0151 0,0059

1500 127 0,9493 0,9012 0,0264 0,0021

1000 105 0,9628 0,9269 0,0361 -0,0047

750 56 0,9604 0,9224 0,0411 -0,0194

201-1000 kg 3000 152 0,9581 0,9179 0,0184 -0,0227

1500 168 0,9715 0,9438 0,0315 -0,0522

1000 132 0,9628 0,9270 0,0435 -0,0498

750 73 0,9523 0,9068 0,0427 -0,0371

1001-5000kg 3000 100 0,9729 0,9466 0,0227 -0,8053

1500 110 0,9868 0,9737 0,0302 0,3917

1000 106 0,9716 0,9441 0,0444 0,6926

750 59 0,9552 0,9124 0,0408 2,1319

60 Hz 0 – 50 kg 3600 59 0,9827 0,9657 0,0152 -0,0003

1800 52 0,9669 0,9348 0,0274 0,0001

1200 32 0,9924 0,9848 0,0492 -0,0013

900 23 0,9704 0,9416 0,0325 0,0002

51-200 kg 3600 47 0,9772 0,9549 0,0223 -0,0063

1800 46 0,9742 0,9490 0,0378 0,0016

1200 29 0,9826 0,9656 0,0646 -0,0315

900 25 0,9884 0,9770 0,0568 -0,0054

201-1000 kg 3600 72 0,9585 0,9188 0,0241 -0,0619

1800 72 0,9292 0,8635 0,0395 -0,0242

1200 53 0,9678 0,9367 0,0642 -0,1951

900 44 0,9515 0,9054 0,0586 -0,0729

1001-5000 kg 3600 32 0,9173 0,8414 0,0229 0,3982

1800 47 0,8846 0,7825 0,0333 1,0080

1200 46 0,9462 0,8952 0,0478 1,7439

900 27 0,9719 0,9445 0,0758 -0,8210


81

Examinando los resultados de la Tabla 2.10, se aprecian unos coeficientes de determinación con valores muy aceptables superando la gran mayoría de las veces el valor de 0.9, lo que indica un buen grado de ajuste de las rectas de regresión a los valores de las variables. También se aprecia dentro de cada tramo de peso que la pendiente de la recta suele seguir una tendencia inversamente proporcional a la velocidad de sincronismo y directamente proporcional al peso, lo que viene a significar que el momento de inercia es menor a mayor velocidad de sincronismo y mayor a mayor peso de la máquina y viceversa. Estas apreciaciones indican que, posiblemente, este tipo de agrupación sea la más adecuada de todas las descritas en este proyecto para utilizar en el método de estimación del momento de inercia, puesto que parece indicar que sería el más preciso de todos.

2.8.16 Comprobación de resultados

Para corroborar las suposiciones hechas en el apartado anterior y determinar cuál sería entonces la agrupación con el mejor ajuste entre J y M·h² se calcula en la hoja de datos el momento de inercia estimado con este método, tanto para la muestra en general como para las agrupaciones por velocidad de sincronismo y por velocidad de sincronismo-peso y se comparan los resultados con el momento de inercia real declarado en el catálogo por el fabricante, obteniendo también el error relativo para cada máquina.

Las desviaciones de los errores con respecto a la línea de tendencia pueden ser valores positivos o negativos, según estén gráficamente por encima o por debajo de dicha línea. Para determinar el promedio de las desviaciones se elevan al cuadrado las desviaciones absolutas y se comparan los resultados para cada agrupación.

El resultado obtenido arroja los mejores valores de la estimación del momento de inercia, para la agrupación de las máquinas por velocidad de sincronismo-peso, con un porcentaje de error promedio del ± 10.98%, confirmando las suposiciones hechas en el apartado anterior.

Se propone, por tanto, la utilización de los parámetros a y b de la Tabla (2.10) como los más adecuados para su utilización en la estimación del momento de inercia de una máquina de inducción trifásica con rotor en jaula de ardilla, conociendo solamente los datos de su peso y altura de eje, a través de la fórmula:

2a ( ) bJ M h= ⋅ ⋅ + (2.11)

2.9 PLANIFICACIÓN No es de aplicación en este proyecto.

2.10 ORDEN DE PRIORIDAD ENTRE LOS DOCUMENTOS BÁSICOS En caso de errores o frente a posibles discrepancias entre los diferentes

documentos del proyecto, el orden de prioridad de los documentos básicos será el siguiente:


82

• Índice

• Memoria

• Anexos


altura de eje


3 ANEXOS





84

ÍNDICE ANEXOS 3.0 ANEXOS.………………………………………………………………83

3.1 DOCUMENTACIÓN DE PARTIDA ...................................................85

3.1.1 Recogida de datos ............................................................................. 85

3.1.2 Criterios de selección ........................................................................ 85

3.2 CÁLCULOS ..........................................................................................87

3.2.1 Procesado de la información ............................................................. 87

3.2.2 Criterios y procedimiento de cálculo ................................................ 90

3.2.3 Obtención de resultados .................................................................... 93

3.2.4 Comparación de resultados ............................................................. 104


85

3.1 DOCUMENTACIÓN DE PARTIDA

3.1.1 Recogida de datos

La mayor parte de los datos de partida para la realización del proyecto se han obtenido de los catálogos de los propios fabricantes de las máquinas analizadas, que de forma pública los facilitan, bien a través de un contacto directo o a través de sus propios portales de Internet, de donde se han descargado. El único tratamiento que se ha realizado sobre ellos ha sido sobre las máquinas del fabricante WEG, donde se han convertido los datos de la altura de eje, par nominal, momento de inercia y peso, del Sistema Anglosajón de Unidades al Sistema Internacional de Unidades. La fiabilidad de los datos recogidos depende de los propios fabricantes que los han facilitado.

Al analizar una amplia muestra de máquinas (2624), también se ha pretendido que los datos recogidos estuvieran diversificados en un número amplio de fabricantes con el fin de que hubiera una importante representación por parte de éstos. Se han recogido datos de fabricantes europeos, americanos y australianos y son los que se detallan a continuación.

• ABB http://www.abb.com

• CMG http://www.cmggroup.com.au

• LEROY SOMER http://www.leroy-somer.com

• MARELLI http://www.marellimotori.com

• ROSSI http://www.rossi-group.com

• SIEMENS http://www.siemens.com

• VEM http://www.vem-group.com

• WEG http://www.weg.net

3.1.2 Criterios de selección

Los fabricantes incluyen dentro de sus catálogos una gran cantidad de datos referidos a los tipos de máquinas y a sus características eléctricas, mecánicas, constructivas, etc. Es necesario por tanto establecer unos criterios para seleccionar aquellos datos que pueden resultar útiles o importantes para llevar a cabo el objetivo del presente proyecto. En primer lugar se seleccionan las máquinas que se estudian para este método, que son las de inducción trifásicas con rotor en jaula de ardilla y de éstas se recopilan los datos que se consideran necesarios para la obtención del método de estimación del momento de inercia y también otros, que aunque no son imprescindibles, pueden resultar adecuados para comprender mejor el comportamiento de las mismas con respecto a su momento de inercia. Dentro de éstos datos se establecen principalmente dos límites de selección:


86

• Potencia. Se seleccionan las máquinas con potencias comprendidas entre 0 y 1000 kW. En este tramo se encuentran la gran mayoría de las máquinas para los distintos usos generales y sobre todo en los procesos industriales, pues es en este sector donde tiene su mayor aplicación. Las máquinas con potencias superiores a este límite, aparte de tener una cuota de mercado muy pequeña, suelen tener usos específicos con características propias de diseño y dimensionado y por tanto, desvirtuar los resultados obtenidos para la muestra de uso general.

• Nº de polos. Se seleccionan las máquinas hasta 8 polos. No se estudian las máquinas de 10 o más polos, sobre todo porque suponen una cuota de mercado prácticamente despreciable, incluso la cuota de utilización de máquinas con 8 polos es ya muy baja (del 1% o menos).

Se determinan los datos de los catálogos que se van a seleccionar para cada una de las máquinas de la muestra, y que se van a incorporar a la base de datos, resultando ser los que se relacionan a continuación:

• Fabricante

• Código de máquina

• Potencia

• Altura de eje

• Peso

• Momento de inercia

• Nº de polos

• Velocidad nominal

• Frecuencia

• Voltaje

• Tipo de carcasa

• Factor de potencia

• Intensidad nominal

• Intensidad de arranque

• Par nominal

• Par de arranque

• Par máximo

• Rendimiento

• Clase de eficiencia

• Nivel de presión sonora

• Tipo de motor


87

• Tipo de rotor

• Año de catálogo

3.2 CÁLCULOS

Una vez seleccionados y obtenidos todos los datos de partida relacionados en el apartado anterior, se procede a su introducción en una hoja de cálculo para el tratamiento y procesado de la información, obteniendo una matriz inicial de 2624 filas (máquinas) por 23 columnas (características), es decir, 60372 celdas de datos, que después será ampliada a 94464 al incorporar datos calculados, necesarios para el desarrollo y obtención del trabajo realizado.

3.2.1 Procesado de la información

El primer paso importante en el tratamiento de los datos es crear una nueva columna en la tabla y obtener para cada máquina la relación M·h² (kg·m²), a partir de los datos de su peso y altura de eje correspondientes.

También se calcula para cada máquina su velocidad de sincronismo. Se intuye que este dato puede tener su importancia porque el momento de inercia es una característica propia de un cuerpo, referido a su eje de giro, y en este caso se supone inicialmente que dicho momento de inercia es menor cuanto mayor sea su velocidad de rotación y viceversa.

Para calcular la velocidad de sincronismo (ns) se parte de la siguiente fórmula:

60s

fnp

= (3.1)

Donde:

ns velocidad de sincronismo

f frecuencia

p nº de pares de polos

Tanto la frecuencia como el nº de pares de polos son datos que, como se ha detallado en el capítulo (3.2), son facilitados por los fabricantes en sus catálogos.

Se ha querido también comprobar si la clase de eficiencia de cada máquina, declarada por el fabricante, se correspondía exactamente con la que determina la Norma que la regula. Estos cálculos son posibles puesto que se dispone de los datos necesarios para ello.

La clase de eficiencia de una máquina está establecida por la Comisión Electrotécnica Internacional (IEC). Se trata de una organización mundial con el objetivo de promover la cooperación internacional sobre todas las cuestiones relativas a


88

la normalización en los campos eléctrico y electrónico. La clase de eficiencia se desarrolla en la Norma IEC 60034:30/2008 en la que se establecen los requisitos exigidos en cuanto a rendimiento de una máquina de inducción trifásica con rotor en jaula de ardilla.

Las clases de eficiencia IE1, IE2 e IE3 relacionadas en la Norma están referidas a unos límites de rendimiento porcentual, teniendo en cuenta las características de la máquina en cuanto a su frecuencia, potencia y nº de polos y están establecidas en las siguientes Tablas 3.1 y 3.2.

Tabla 3.1. Límites nominales (%) para rendimientos IE1, IE2 e IE3 para máquinas a 50 Hz.

50 Hz IE1 IE2 IE3

kW 2 polos

4 polos

6 polos

2 polos

4 polos

6 polos

2 polos

4 polos

6 polos

0.75 72.10 72.10 70.00 77.40 79.60 75.90 80.70 82.50 78.901.10 75.00 75.00 72.90 79.60 81.40 78.10 82.70 84.10 81.001.50 77.20 77.20 75.20 81.30 82.80 79.80 84.20 85.30 82.502.20 79.70 79.70 77.70 83.20 84.30 81.80 85.90 86.70 84.303.00 81.50 81.50 79.70 84.60 85.50 83.30 87.10 87.70 85.604.00 83.10 83.10 81.40 85.80 86.60 84.60 88.10 88.60 86.805.50 84.70 84.70 83.10 87.00 87.70 86.00 89.20 89.60 88.007.50 86.00 86.00 84.70 88.10 88.70 87.20 90.10 90.40 89.10

11.00 87.60 87.60 86.40 89.40 89.80 88.70 91.20 91.40 90.3015.00 88.70 88.70 87.70 90.30 90.60 89.70 91.90 92.10 91.2018.50 89.30 89.30 88.60 90.90 91.20 90.40 92.40 92.60 91.7022.00 89.90 89.90 89.20 91.30 91.60 90.90 92.70 93.00 92.2030.00 90.70 90.70 90.20 92.00 92.30 91.70 93.30 93.60 92.9037.00 91.20 91.20 90.80 92.50 92.70 92.20 93.70 93.90 93.3045.00 91.70 91.70 91.40 92.90 93.10 92.70 94.00 94.20 93.7055.00 92.10 92.10 91.90 93.20 93.50 93.10 94.30 94.60 94.1075.00 92.70 92.70 92.60 93.80 94.00 93.70 94.70 95.00 94.6090.00 93.00 93.00 92.90 94.10 94.20 94.00 95.00 95.20 94.90

110.00 93.30 93.30 93.30 94.30 94.50 94.30 95.20 95.40 95.10132.00 93.50 93.50 93.50 94.60 94.70 94.60 95.40 95.60 95.40160.00 93.80 93.80 93.80 94.80 94.90 94.80 95.60 95.80 95.60

De 200.00

a 375.00 94.00 94.00 94.00 95.00 95.10 95.00 95.80 96.00 95.80


89

Tabla 3.2. Límites nominales (%) para rendimientos IE1, IE2 e IE3 para máquinas a 60 Hz.

60 Hz IE1 IE2 IE3

kW 2 polos

4 polos

6 polos

2 polos

4 polos

6 polos

2 polos

4 polos

6 polos

0.75 77.00 78.00 73.00 75.50 82.50 80.00 77.00 85.50 82.501.10 78.50 79.00 75.00 82.50 84.00 85.50 84.00 86.50 87.501.50 81.00 81.50 77.00 84.00 84.00 86.50 85.50 86.50 88.502.20 81.50 83.00 78.50 85.50 87.50 87.50 86.50 89.50 89.503.70 84.50 85.00 83.50 87.50 87.50 87.50 88.50 89.50 89.505.50 86.00 87.00 85.00 88.50 89.50 89.50 89.50 91.70 91.007.50 87.50 87.50 86.00 89.50 89.50 89.50 90.20 91.70 91.00

11.00 87.50 88.50 89.00 90.20 91.00 90.20 91.00 92.40 91.7015.00 88.50 89.50 89.50 90.20 91.00 90.20 91.00 93.00 91.7018.50 89.50 90.50 90.20 91.00 92.40 91.70 91.70 93.60 93.0022.00 89.50 91.00 91.00 91.00 92.40 91.70 91.70 93.60 93.0030.00 90.20 91.70 91.70 91.70 93.00 93.00 92.40 94.10 94.1037.00 91.50 92.40 91.70 92.40 93.00 93.00 93.00 94.50 94.1045.00 91.70 93.00 91.70 93.00 93.60 93.60 93.60 95.00 94.5055.00 92.40 93.00 92.10 93.00 94.10 93.60 93.60 95.40 94.5075.00 93.00 93.20 93.00 93.60 94.50 94.10 94.10 95.40 95.0090.00 93.00 93.20 93.00 94.50 94.50 94.10 95.00 95.40 95.00

110.00 93.00 93.50 94.10 94.50 95.00 95.00 95.00 95.80 95.80150.00 94.10 94.50 94.10 95.00 95.00 95.00 95.40 96.20 95.80

De 185.00

a 375.00. 94.10 94.50 94.10 95.40 95.40 95.00 95.80 96.20 95.80

El proceso se realiza partiendo de unas condiciones ordenadas en unas fórmulas creadas en la hoja de cálculo en las que se hacen comparaciones de valores dentro de un rango o matriz de datos y ver si se cumplen dichas condiciones para los valores declarados por el fabricante comparados con los valores establecidos por la Norma IEC 60034:30/2008.

A modo de ejemplo se detallan las fórmulas de la 1ª fila de la matriz de datos para cada límite de rendimiento establecido en las Tablas (3.1) y (3.2) que determinan las tres clases de eficiencia:


90

Rend.IE1=SI(F2<7;SI(H2=50;INDICE('IE150'!B$2:D$24;COINCIDIR(C2;'IE150'!A$2:A$24;1);Todos!F2/2);INDICE('IE160'!B$2:D$22;COINCIDIR(C2;'IE160'!A$2:A$22;1);Todos!F2/2));"") (3.2)

ClaseIE1=SI(J2<S2;"";1) (3.3)


Clase IE2=SI(J2<T2;"";1) (3.5)


Clase IE3=SI(J2<U2;"";1) (3.7)

3.2.2 Criterios y procedimiento de cálculo Como ya se ha determinado en la memoria del proyecto, existe una relación lineal

entre el momento de inercia de una máquina J (kg·m²) y el producto de su masa por la altura del eje al cuadrado M·h² (kg·m²).

Éstas serán las dos variables que se utilicen en todo el proceso para obtener los resultados, tanto a nivel general de la muestra como en las distintas agrupaciones de máquinas que se van a establecer, para observar el comportamiento que pueda tener su momento de inercia con respecto a dicha agrupación.

Para poder establecer la relación entre las dos citadas variables, se utilizan métodos de cálculo de regresión lineal. La regresión lineal tiene una parte de representación gráfica formada por la distribución espacial en forma de puntos de los datos obtenidos, y la línea de tendencia que permite vislumbrar el grado de relación entre ellos, y una parte de cálculo que hace posible estimar los parámetros de dicha línea de tendencia y los coeficientes de determinación y correlación lineal que permiten valorar el grado de relación entre dichas variables.

La ecuación de la recta de la línea de tendencia es de la forma:

a by x= + (3.8)

Donde:

y J (variable dependiente)

x M∙h² (variable independiente)


91

a pendiente de la recta

b ordenada en el origen de la recta

Sustituyendo los valores de x e y para este caso, se obtiene la fórmula general para el cálculo del momento de inercia conociendo solamente los datos del peso y altura de eje:

( )2a bJ M h= ⋅ ⋅ + (3.9)

Para el cálculo de la pendiente de la recta (a), también llamado coeficiente de regresión se utiliza la siguiente expresión:

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )

2 2

2 222 2 2

nna

n n

M h J M h Jx y x y

x x M h M h

⋅ ⋅ − ⋅⋅ −= =

− ⋅ − ⋅

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

(3.10)

Para el cálculo de la ordenada en origen o intersección (b), se utiliza la siguiente expresión:

( ) ( )( )2aa

b=n n

J M hy x − ⋅−=∑ ∑∑ ∑ (3.11)

Donde:

n nº de relaciones entre x e y (nº de máquinas analizadas)

x y⋅∑ suma de productos x·y (x1·y1 + x2·y2+.......+ xn·yn)

y∑ suma de valores y (y1 + y2 +…….+ yn)

x∑ suma de valores x (x1 + x2 +…….+ xn)

2x∑ suma de valores x2 (x12

+ x22

+……xn2)

También se calcula para cada recta de regresión, el coeficiente de correlación lineal, que es el indicativo que determina el grado de asociación entre las dos variables J y M·h². Se obtiene mediante la siguiente expresión:

r xy

x y

σσ σ

=⋅

(3.12)


92

Donde:

r Coeficiente de correlación lineal

xyσ Covarianza de la muestra

xσ Desviación típica de x (M·h²)

yσ Desviación típica de y (J)

Que a su vez se obtienen mediante las siguientes expresiones:

n

i i ixy

f x yX Yσ

⋅ ⋅= − ⋅∑ (3.13)

2

2

1 n

ni

xi

y Yσ=

= −∑ (3.14)

2

2

1 n

ni

yi

x Xσ=

= −∑ (3.15)

Donde:

X media aritmética de los valores de x (M·h²)

Y media aritmética de los valores de y (J)

Se hace el cálculo del coeficiente de determinación lineal, que es la medida más importante para ver la calidad del ajuste de la recta de regresión a los valores de la muestra mediante la expresión:

2

22 2r xy

x x

σσ σ

=⋅

(3.16)

Donde:

r² coeficiente de correlación lineal


93

3.2.3 Obtención de resultados El primer paso después de establecer el procedimiento de cálculo para todo el

proceso, es considerar el comportamiento de J y M·h² cuando se hace la relación para toda la muestra de máquinas analizadas. Los resultados obtenidos se presentan en las siguientes tabla y gráfica correspondientes:


ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en la totalidad de la muestra de máquinas.

n r r² a B

2624 0.9361 0.8765 0.0375 0.0023

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(k

g.m

²)

M·h² (Kg.m²)

RealEstimado

Muestra: 2624 máquinas Fig.3.1. Momento de inercia en función de M·h2 para toda la muestra de máquinas y recta de regresión

correspondiente.

Se obtienen unos coeficientes de correlación y determinación muy favorables que indican una buena calidad del ajuste del método de estimación.

También se procede a establecer otras agrupaciones de máquinas según sus características más relevantes con la finalidad de analizar el grado de relación que puedan tener con respecto a su momento de inercia. Para ello, dentro de cada agrupación, se dividen los datos en tramos significativos para poder comparar los resultados.

Se hacen las relaciones y se muestran los resultados mediante tablas y gráficas, de los cálculos obtenidos entre las dos variables para las siguientes agrupaciones de máquinas:


94

• Por velocidad de sincronismo

Tabla 3.4. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), pendiente (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su velocidad de sincronismo.

Frecuencia ns n r r2 a b

3000 572 0.9856 0.9715 0.0207 -0.0808

50 Hz 1500 588 0.9948 0.9898 0.0310 0.0121

1000 478 0.9887 0.9776 0.0459 0.0074

750 279 0.9835 0.9673 0.0446 0.1188

3600 211 0.9861 0.9724 0.0248 -0.0269

60 Hz 1800 215 0.9742 0.9492 0.0378 0.0551

1200 162 0.9846 0.9696 0.0549 0.1388

900 119 0.9918 0.9838 0.0728 -0.2960

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

750900100012001500180030003600


velocidad de sincronismo.

Los datos obtenidos mejoran claramente los que se obtuvieron para la muestra general sin agrupar. Se puede afirmar que la velocidad de sincronismo de la máquina influye de una forma inversamente proporcional en su momento de inercia.


95

• Por tipo de carcasa


ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según el tipo de carcasa.

Tipo carcasa n r r2 a b

Acero 68 0.8757 0.7670 0.0350 0.1670

Aluminio 677 0.9366 0.8773 0.0347 -0.0104

Hierro 1879 0.9318 0.8683 0.0376 0.0103

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

Acero

Aluminio

Hierro

Fig. 3.3. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su tipo de

carcasa.

No se puede afirmar en este caso, a la vista de los datos, que el tipo de carcasa de la máquina influya en el momento de inercia. Hay que tener en cuenta que el nº de máquinas de cada muestra es muy heterogéneo (68, 677 y 1879 máquinas).


96

• Por fabricante

Tabla 3.6. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según el fabricante.

Fabricante n r r2 a B

ABB 570 0.9550 0.9122 0.0352 -0.0359

CMG 47 0.9003 0.8107 0.0367 -0.1577

L. Somer 349 0.9411 0.8858 0.0404 -0.3247

Marelli 206 0.9227 0.8515 0.0396 -0.1005

Rossi 197 0.9646 0.9306 0.0313 0.0005

Siemens 450 0.9491 0.9009 0.0364 -0.0624

VEM 215 0.9267 0.8589 0.0323 -0.0527

WEG 589 0.9112 0.8303 0.0487 -0.0975

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

ABB

CMG

L.SOMER

ROSSI

SIEMENS

VEM

WEG

MARELLI

Fig. 3.4. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según el

fabricante que la produce.

Los datos obtenidos en la agrupación por fabricante indican que éste apenas influye en el momento de inercia de la máquina que fabrica.


97

• Por potencia

Tabla 3.7. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su potencia.

Potencia n r r2 a b

0 – 1 kW 265 0.9440 0.8913 0.0293 -0.0002

1.1 – 10 kW 710 0.9140 0.8355 0.0417 -0.0074

11 – 100 kW 967 0.9182 0.8341 0.0419 -0.1155

101 – 1000 kW 682 0.8781 0.7711 0.0372 0.1161

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

0-1 kW

1.1-10 kW

11-100 kW

101-1000 kW

Fig. 3.5. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su potencia.

Clasificar las máquinas por potencia no mejora el índice de correlación obtenido para toda la muestra en su conjunto.


98

• Por peso

Tabla 3.8. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su peso.

Peso n r r2 a B

0 – 50 kg 753 0.8949 0.8009 0.0275 -0.0003

51 – 200 kg 575 0.7872 0.6197 0.0317 -0.0049

201 – 1000kg 769 0.8264 0.6830 0.0349 -0.0199

1001 – 5000 kg 527 0.8515 0.7251 0.0363 0.5442

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

0 ‐ 50 kg

51 ‐ 200 kg

201‐1000 kg

1001‐5000 kg

Fig. 3.6. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su peso.

Los datos obtenidos reflejan un aumento progresivo de la pendiente (a), según va aumentando el tramo de peso de la máquina, por lo que se podría deducir que el peso influye su momento de inercia, aunque los coeficientes indican que la bondad del ajuste no es el mejor que se ha obtenido para otras agrupaciones.


99

• Por altura de eje

Tabla 3.9. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su altura de eje.

Altura de eje n r r2 a B

56 – 100 mm 517 0.8271 0.6841 0.0261 -0.0001

101 – 200 mm 916 0.8627 0.7444 0.0283 0.0029

201 – 300 mm 551 0.8623 0.7436 0.0578 -0.6024

301 – 450 mm 640 0.8798 0.7741 0.0377 -0.1009

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

56 ‐ 100 mm

101 ‐ 200 mm

201 ‐ 300 mm

301 ‐ 450 mm

Fig. 3.7. Rectas de regresión del momento de inercia estimado para máquinas clasificadas según su altura de

eje.

Aunque se observa una clara diferencia entre las rectas estimadas para cada agrupación de máquinas por altura de eje, no se puede afirmar que mayor altura de eje corresponda a mayor pendiente de la recta, o viceversa. En concreto para la muestra analizada, la recta estimada para las máquinas con una altura de eje comprendida entre 301 y 450 mm presenta una pendiente menor que la obtenida para las máquinas con altura de eje comprendida entre 201 y 300 mm, lo cual no parece lo más lógico a priori.


100

• Por clase de eficiencia o rendimiento declarado por el fabricante


y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su clasificación de eficiencia tipo IE catalogada por el fabricante.

Clase eficiencia n r r² a B

IE1 590 0.9525 0.9074 0.0392 -0.1799

IE2 1127 0.9284 0.8621 0.0349 0.0321

IE3 376 0.8912 0.7943 0.0462 -0.1998

IE4 57 0.8958 0.8026 0.0506 -0.1288

S/Clas. 474 0.9450 0.8932 0.0375 0.0792

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

IE1

IE2

IE3

IE4

S/Clas.


eficiencia.

Como se presuponía, la clase de eficiencia por la que el fabricante puede clasificar a una máquina no tiene influencia en el momento de inercia.


101

• Por clase de eficiencia o rendimiento calculado según Norma IEC 60034:30

Tabla 3.11. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), regresión lineal (a) y

ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su clasificación de eficiencia tipo IE, calculada según exigencias de la Norma IEC 60034:30/2008.

Clase Efic. n r r² a B

IE1 566 0.9433 0.8900 0.0368 -0.1095

IE2 912 0.9189 0.8444 0.0377 -0.0804

IE3 600 0.9215 0.8492 0.0344 0.0220

S/Clas. 546 0.9692 0.9395 0.0472 0.2208

0

10

20

30

40

50

0 200 400 600 800 1000

J(kg

.m²)

M·h²(kg.m²)

IE1

IE2

IE3

S/Clas.


eficiencia calculada según exigencias de la Norma IEC 60034:30/2008.

Al igual que en la anterior agrupación, en ésta tampoco se puede afirmar que la clase de eficiencia calculada según la Norma IEC 60034:30/2008, sea determinante en el momento de inercia de una máquina.


102

• Por velocidad de sincronismo-peso Una vez analizados los datos numéricos de parámetros y coeficientes y las

gráficas de las anteriores agrupaciones de máquinas, se ha visto que, de todas las clasificaciones, en la agrupación según la velocidad de sincronismo se obtienen los mejores coeficientes de determinación y correlación lineal, que indican los mejores grados de ajuste de las rectas de regresión a los valores de la muestra y los grados de asociación entre las variables J y M·h².

Por otra parte, en la agrupación de máquinas clasificadas por peso, se ha observado claramente que la pendiente (a) de las rectas según cada tramo de peso, sigue una tendencia progresiva en la que a mayor tramo de peso, también la pendiente va aumentando proporcionalmente, lo que viene a indicar que, según aumenta el peso de la máquina, también lo hace proporcionalmente su momento de inercia.

Aunque como ya se ha comentado, los coeficientes de determinación y correlación obtenidos cuando se agrupa la muestra por velocidad de sincronismo son muy elevados, se ha comprobado que al estimar el momento de inercia de las todas las máquinas que componen la muestra, los errores relativos que se observan en las máquinas cercanas al origen de coordenadas son muy elevados. Este hecho no se aprecia en las figuras puesto que, con la escala en que están representados, parece que los puntos están muy cercanos a la recta estimada, sin embargo como ya se ha comentado el error relativo es a veces muy elevado.

Este hecho ha inducido que se proponga una nueva clasificación que agrupe a la muestra no únicamente por la velocidad de sincronismo, sino también por su peso. De este modo se han conseguido momentos de inercia estimados con un error relativo mucho menor.

Se decide entonces agrupar las máquinas por los mismos tramos de peso anteriores y además, dentro de cada tramo, subdividirlo según las velocidades de sincronismo correspondientes.

Los resultados obtenidos del estudio de regresión lineal se muestran en la Tabla (3.12)


103

Tabla 3.12. Número de máquinas (n), coeficientes de correlación (r), determinación (r²), pendiente (a) y ordenada en origen (b) para la estimación del momento de inercia en máquinas según su peso y velocidad de sincronismo(ns) Frecuencia. Peso ns n r r2 a b

50 Hz 0 – 50 kg 3000 177 0,9561 0,9141 0,0194 -0,0006

1500 184 0,9606 0,9228 0,0287 -0,0002

1000 136 0,9543 0,9107 0,0313 0,0001

750 88 0,9613 0,9241 0,0300 0,0002

51-200 kg 3000 143 0,9482 0,8991 0,0151 0,0059

1500 127 0,9493 0,9012 0,0264 0,0021

1000 105 0,9628 0,9269 0,0361 -0,0047

750 56 0,9604 0,9224 0,0411 -0,0194

201-1000 kg 3000 152 0,9581 0,9179 0,0184 -0,0227

1500 168 0,9715 0,9438 0,0315 -0,0522

1000 132 0,9628 0,9270 0,0435 -0,0498

750 73 0,9523 0,9068 0,0427 -0,0371

1001-5000kg 3000 100 0,9729 0,9466 0,0227 -0,8053

1500 110 0,9868 0,9737 0,0302 0,3917

1000 106 0,9716 0,9441 0,0444 0,6926

750 59 0,9552 0,9124 0,0408 2,1319

Frecuencia. Peso ns n r r2 a b

60 Hz 0 – 50 kg 3600 59 0,9827 0,9657 0,0152 -0,0003

1800 52 0,9669 0,9348 0,0274 0,0001

1200 32 0,9924 0,9848 0,0492 -0,0013

900 23 0,9704 0,9416 0,0325 0,0002

51-200 kg 3600 47 0,9772 0,9549 0,0223 -0,0063

1800 46 0,9742 0,9490 0,0378 0,0016

1200 29 0,9826 0,9656 0,0646 -0,0315

900 25 0,9884 0,9770 0,0568 -0,0054

201-1000 kg 3600 72 0,9585 0,9188 0,0241 -0,0619

1800 72 0,9292 0,8635 0,0395 -0,0242

1200 53 0,9678 0,9367 0,0642 -0,1951

900 44 0,9515 0,9054 0,0586 -0,0729

1001-5000 kg 3600 32 0,9173 0,8414 0,0229 0,3982

1800 47 0,8846 0,7825 0,0333 1,0080

1200 46 0,9462 0,8952 0,0478 1,7439

900 27 0,9719 0,9445 0,0758 -0,8210


104

Examinando los resultados de la Tabla 3.12, se aprecian unos coeficientes de determinación con valores muy aceptables superando la gran mayoría de las veces el valor de 0.9, lo que indica un buen ajuste en la relación de las variables. También se aprecia dentro de cada tramo de peso que la pendiente de la recta es inversamente proporcional a la velocidad de sincronismo y directamente proporcional al peso, es decir, el momento de inercia es menor a mayor velocidad y mayor a mayor peso de la máquina.

3.2.4 Comparación de resultados Para determinar cuál sería entonces la agrupación con el mejor ajuste entre J y

M·h² se calcula en la hoja de datos el momento de inercia estimado con este método, tanto para la muestra en general como para las agrupaciones por velocidad de sincronismo y por velocidad de sincronismo-peso y se comparan los resultados con el momento de inercia real declarado en el catálogo por el fabricante, obteniendo también el error relativo para cada máquina.

Las desviaciones de los errores con respecto a la línea de tendencia pueden ser valores positivos o negativos según estén gráficamente por encima o por debajo de dicha línea. Para determinar el promedio de las desviaciones se elevan al cuadrado las desviaciones absolutas y se comparan los resultados para cada agrupación.

El resultado obtenido arroja los mejores valores de la estimación del momento de inercia, para la agrupación de las máquinas por velocidad de sincronismo-peso, con un porcentaje de error promedio acotado del ± 10.98%.

Se propone, por tanto, la utilización de los parámetros a y b de la Tabla (3.12) como los más adecuados para su utilización en la estimación del momento de inercia de una máquina de inducción trifásica con rotor en jaula de ardilla, conociendo solamente los datos de su peso y altura de eje, a través de la fórmula:

2a ( ) bJ M h= ⋅ ⋅ + (3.17)

Documents

Método para la estimación del momento de inercia de ...sauron.etse.urv.es/public/PROPOSTES/pub/pdf/1792pub.pdfmomento de inercia en las máquinas de inducción trifásicas, con rotor