Momento de Inércia de uma SuperfícieNuma viga em flexão pura, as forças internas em qualquer secção da viga são forças distribuídas cujas intensidades variam linearmente com a distância y entre o elemento A e um eixo baricêntrico:

F k y AA resultante de todas as forças elementares F é:

xR k y dA k y dA k S

O momento de cada força elementar em relação a x é:2

xM y F k y AA soma dos momentos de todas as forças elementares é:

2 2xM k y dA k y dA k I

Uma comporta circular está submersa em água. Representando por y a profundidade de um elemento elementar de área A, e por o peso específico da água, a pressão no elemento elementar é:p y

A resultante de todas as forças elementares F é:

xR y dA y dA S

O momento de cada força elementar em relação a x é:2

xM y F y AA soma dos momentos de todas as forças elementares é:

2 2xM y dA y dA I

A intensidade da força exercida em A é:

F p A y A

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Cálculo do Momento de Inércia de uma Superfície por Integração

Define-se momento de segunda ordem, ou momento de inércia de uma superfície de área A em relação ao eixo x e em relação ao eixo y como:

2 2x yI y dA I x dA

Aplicando a definição a um rectângulo dividido em faixas elementares paralelas ao eixo x, obtém-se:

dA b dy2 2

3 32

0

3

03 3

3

x x

h

x x

x

I y dA I y b dy

hI b y dy I b

bhI

Teorema dos Eixos ParalelosConsidere-se o momento de inércia I deuma superfície de área A relativamentea um eixo AA’:

2I y dATrace-se um eixo BB’ paralelo a AA’passando pelo centróide C da superfície, a este eixo chama-se eixo baricêntrico.Representando por y’ a distância do elemento dA a BB’, escreve-se: 'y y d

22 2 2'

2 2 2'

' ' 2 '

' 2 '

AA

BB

I y dA y d dA y y d d dA

y dA d y dA d dA I A d

(Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo genérico) =(Momento de inércia em relação a um eixo baricêntrico paralelo) +

(Área) x (distância entre os dois eixos)2

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Raio de GiraçãoConsidere-se uma superfície de área A quetem um momento de inércia Ix relativamente ao eixo x.Imagine-se que se concentra esta superfície numa faixa estreita paralela ao eixo x.Se se pretender que a superfície assim concentrada tenha o mesmo momento de inércia em relação a x, a faixa deverá ser colocada a uma distância ix, tal que:

2x xI i A

À distância ix chama-se raio de giração.

xx

IiA

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Exemplo de Tabelas de Inércia

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