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INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA

Escola Superior de Tecnologia e Gestão

MECÂNICA APLICADA II

Engenharia Civil – 2º ANO

EXERCICIOS PRÁTICOS

Ano lectivo 2005/2006

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E DE GESTÃO

DEPARTAMENTO DE MECÂNICA APLICADA

Ano lectivo: 2005/20061.º semestre

Curso: Engenharia Civil

Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos 1


I - Teoria do estado de tensão I.1 - Uma barra, com a secção quadrada de 40x40 mm2, está submetida a uma força de tracção de

16 kN, conforme se representa na figura.

Nestas condições determine:

a) a orientação α a dar a uma junta de colagem de forma a que a tensão normal não exceda

2 N/mm2.

b) qual a tensão tangencial correspondente?

I.2 - O estado de tensão num ponto referido a um referencial [ ]1 2 3, ,x x x é dado pelo seguinte tensor

das tensões:

σ = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

04004012050050100

[MPa]

a) Represente um elemento de volume no ponto, orientado segundo os eixos, com as tensões que o

actuam.

b) Calcule as tensões principais e as direcções principais (sua orientação em relação aos eixos

[ ]1 2 3, ,x x x ).

c) Calcule a tensão normal e a tensão tangencial numa faceta cuja normal faz ângulos de 45º e 60º,

respectivamente, com os eixos x1 e x2.

d) Represente um elemento de volume tridimensional com as tensões que o actuam orientado

segundo os eixos ' ' '1 2 3, ,x x x⎡ ⎤⎣ ⎦ que se obtém de [ ]1 2 3, ,x x x por rotação de 30º no sentido directo

em torno do eixo x2.

Junta colada

Secção 40 x 40 mm





2 Mecânica Aplicada II – Exercícios Práticos

I.3 - O tensor das tensões obtido num dado ponto de um corpo tem as seguintes componentes,

expressas em N/mm2.

σ = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0201020020102011σ

[N/mm2]

a) Determine a componente σ11 de modo que possa existir uma faceta, em torno do ponto,

relativamente à qual seja nulo o vector de tensão.

b) Determinar as componentes do vector normal unitário à referida faceta.

c) Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão no ponto considerado.

I.4 - Considere o estado de tensão no ponto P definido no referencial [ ]1 2 3, ,x x x pelo seguinte

tensor:

[ ]MPab

aa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

00030090

σ

Sabendo que:

- O valor da maior tensão principal é 110 MPa e ocorre numa faceta caracterizada pelo versor

normal ( )0,0,1n =%

;

- O valor de a e de b são positivos;

- O valor da tensão tangencial máxima no plano definido por [ ]1 2,x x é 39 MPa;

a) Determine os valores das constantes a e b.

b) Qual o valor das tensões principais?

c) Determine o versor da normal a uma faceta em que a tensão normal vale 80 MPa.

d) Determine as componentes do vector tensão que actua na faceta definida pelo versor

( )31 2, ,3 3n n=

%.






I.5 - Um cubo elementar destacado dum corpo, submetido a uma solicitação exterior, actuam as

tensões indicadas no esquema:

Determine:

a) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos

[ ]1 2,x x .

b) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos

principais de tensão.

b.1) analiticamente

b.2) graficamente

c) A orientação das normais às facetas onde actuam

as tensões principais.

d) As componentes da tensão numa faceta igualmente inclinada sobre as três faces do cubo, a

qual intersecta o cubo segundo as rectas a tracejado.

(Sol.: σN =16.7 MPa; τ =33.0 MPa)

e) As componentes isotrópica e tangencial do tensor das tensões. Qual destas componentes é

responsável pela variação de forma do corpo. Justifique.

I.6 - Num ponto de uma estrutura conhecem-se as seguintes condições relativamente ao estado de

tensão nas três facetas do elemento triangular infinitesimal representado na figura.

A tensão normal na faceta AB é nula.

A tensão tangencial na faceta BC é nula e a tensão

normal vale 10 N/mm2 com o sentido indicado.

Sabendo que se trata de um estado plano de tensão,

determine:

a) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos [ ]1 2,x x .

b) O tensor das tensões referido ao sistema de eixos principais de tensão.

σ

τ

τ

30 10

30 10

30

x1 x2

[Mpa]

x3






c) Represente um elemento orientado segundo os eixos principais com as tensões que o

actuam.

d) Determine o versor da normal a uma das facetas em que a tensão tangencial é de 2 N/mm2.

I.7 - Num ponto de uma superficie de uma placa verifica-se devido à actuação independente de duas

solicitações (solicitação 1 e solicitação 2), os estados de tensão planos indicados na figura.

τ ττ

τ

a) Qual a razão física que permite concluir que as tensões τ, assinaladas na figura, tanto na

solicitação 1 como na solicitação 2, são iguais a 30 N/mm2? Justifique matematicamente a

resposta.

b) Calcule as tensões normais e tangenciais máximas que se geram no ponto da placa em

questão devido à actuação simultânea das duas solicitações, indicando a orientação das facetas

em que tais tensões ocorrem.

I.8 – Determine em cada uma das alíneas seguintes as direcções principais dos estados de tensão

resultantes da sobreposição dos estados planos indicados :

I.9 - Resolva as alíneas do problema I.1 recorrendo ao círculo de Mohr.






I.10 - Numa chapa de aço que constitui a parede de uma caldeira (estado plano de tensão) verificou-

se num determinado ponto o seguinte estado de tensão:

σ11= 40 N/mm2 ; σ12= -20 N/mm2 ; σ22= 80 N/mm2

a) Qual o valor da tensão principal máxima? (R: 88.3 N/mm2)

b) Qual a máxima tensão tangencial a que pode ficar submetida uma faceta genérica centrada

no ponto ? Qual a tensão correspondente ? (R: τmáx=28.3 N/mm2 ; σ(n)=66.3 N/mm2)

I.11 - Um tubo oco de material isótropo está submetido simultaneamente, a uma tracção

longitudinal e a uma torção. As tensões produzidas por estes esforços nas facetas transversais (1) e

longitudinais (2) de um ponto na parede exterior do tubo são as seguintes :

Determine a orientação das facetas

submetidas à tracção pura.

I.12 - Determine e oriente as tensões principais dos estados planos de tensão indicados, conhecidas

as componentes de tensão normais em três direcções:

σ1= 60 N/mm2

σ2= -20 N/mm2

σ3= 0 N/mm2

a) α = β = 45º

b) α = β = 60º

I.13 - Determine e oriente as tensões principais do estado plano de tensão indicado, conhecidas as

componentes da tensão actuante em duas direcções.

Faceta 1: 1 36.33 MPaσ =

1 60ºα = 52.1ºθ =

Faceta 2:

43.66N MPaσ = 3.66 MPaτ =

2 30ºα = x

y

1σ

2Nσ2τ

1α

2α

θ

σ11= 60 N/mm2

σ12= -20 N/mm2

σ22= 0 N/mm2






I.14 - A figura representa um provete da rocha de fundação duma barragem, o qual vai ser

submetido a um ensaio triaxial para determinação da sua resistência. A pressão lateral a aplicar ao

provete é de p = 10 N/mm2. Admita que o estado de tensão no provete é uniforme.

a) Determine a máxima tensão de compressão axial que pode ser aplicada ao provete de forma

que a tensão tangencial máxima não exceda 20 N/mm2. Em que faceta(s) se verifica esta

tensão.

b) Calcule a tensão normal e tangencial numa faceta octaédrica, nas condições da alínea a).

c) Mostre que a tensão normal em qualquer faceta perpendicular ao plano xy é independente de

σ e é igual à pressão lateral.






II- Teoria do estado de deformação II.1 - Um elemento rectangular ABCD deforma-se ficando com a forma A’B’C’D’ como se indica

na figura. Admitindo a hipótese dos pequenos deslocamentos determine:

a) As componentes da deformação ε11,

ε12, ε22.

b) A extensão da diagonal AC em função

das componentes εij .

II.2 - Num ponto de um corpo deformado determinaram-se no plano [OXY] as seguintes

componentes de deformação :

εxx = 4 x 10-5 εyy = -2 x 10-5 εxy = 2 x 10-5

a) Traçe o círculo de Mohr correspondente a este estado de deformação e determine as

extensões principais e a sua orientação.

b) Quais as orientações em que é nula a extensão e qual o valor da distorção.

II.3 - Um estado de deformação na vizinhança de um ponto P é caracterizado por:

εI = 4 x 10-3 εII = 12 x 10-4 εIII = -3.5 x 10-4

Determine:

a) A extensão na direcção definida pelo vector ( )0.2, 0.3, 0.5a =%

.

b) Os invariantes de deformação.

c) A extensão volumétrica exata e na hipótese dos pequenos deslocamentos.






II.4 - No interior do maciço de amarração de uma ponte colocou-se a roseta espacial de

extensómetros esquematizada na figura. Sabe-se que a direcção em que está colocado o

extensómetro 3 é uma direcção principal de deformação. As medidas registadas nos extensómetros

foram:

ε1 = 200 x 10-8

ε2 = 113.397 x 10-8

ε3 = 200 x 10-8

ε4 = 286.603 x 10-8

a) Determine os valores das extensões principais.

b) Determine o valor da extensão no plano I-II numa direcção que faz com a parte positiva do

eixo I um ângulo de 30º no sentido dos ponteiros do relógio.

c) Qual a distorção máxima no plano I-II e entre que direcções se verifica ?

II.5 - A placa representada na figura (ν=0.2, E=200 GPa) está sujeita ao seguinte estado homogéneo

de deformação.

ε11=0.001

ε12=0.001

ε22=0.002

a) Qual o comprimento do lado AC após a deformação?

b) Qual o comprimento do lado DC após a deformação?

c) Determine as direcções entre as quais não existem variações angulares. Para essas direcções

qual o valor das extensões.






II.6 - A placa de dimensões 1x1 representada na figura (a) é sujeita a um campo de deformações

homogéneo ficando com a forma indicada na fig. (b).

(0.001;1.002)

(1.001;0.002)

Determine:

a) As componentes do tensor das deformações infinitésimais εij.

b) A distorção entre as fibras A e B, inicialmente ortogonais, após a deformação.

II.7 - A placa de aço (ν=0.3 , E=200 GPa) esquematizada na figura está sujeita a um estado de

deformação homogéneo plano. As variações de comprimento sofridas pelas arestas AB, AC e AD

são: ΔLAB= +(4x10-1) mm , ΔLAC= +(2√3x10-1) mm e ΔLAD= +(8x10-1) mm.

a) Determine o tensor das extensões no ponto A.

b) Em que direcção da placa se regista a máxima extensão? Qual o valor dessa extensão?






II.8 - No interior de uma estrutura submetida a um estado de deformação plano (no plano 1-2) está

colocada uma roseta de extensómetros conforme indicado na figura, tendo-se medido as seguintes

extensões:

εa = 100x10-6

εb = 200x10-6

εc = 100x10-6

εd = 10x10-6

a) Verifique se existe erro nas medições efectuadas. Justifique.

b) Considerando correctas as medições efectuadas nos extensómetros a, b e c, determine o

valor da extensão máxima que se verifica em torno do ponto P. Qual a direcção em que

ocorre?






III- Relações constitutivas para materiais elásticos lineares. Lei de Hooke.

III.1 - Uma placa de aço (E=210 GPa, ν=0.30), solicitada no seu plano, está submetida ao seguinte

estado plano de tensões:

σx= 91 MPa

σy= -49 MPa

σxy= 56 MPa

Calcule o valor das deformações principais e a orientação das respectivas fibras:

a) analiticamente;

b) graficamente.

(Solução: εI = 625E-6; εII = -60E-6; εIII = -485E-6)

III.2 - Devido a uma determinada solicitação instala-se numa barragem de gravidade um estado de

deformação plano (no plano transversal 1-2) de que se conhecem as seguintes componentes do

campo de deslocamentos (em centímetros):

u (x,y) = 62

212

22

11 10. x. xu x. xu −

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

( E= 26 GPa; ν= 0.20 )

a) Determine os valores das tensões principais no ponto (x1 = 10 cm; x2 = 20 cm) e a orientação

das facetas onde actuam. Oriente as tensões principais nas facetas onde actuam.

b) Devido a uma solicitação mediram-se, junto ao ponto P (no plano 1-2), extensões em 3

direcções fazendo ângulos de 45º, 90º e 135º com a direcção 1, como se ilustra na figura.






ε’1 = 100E-6

ε’2 = 50E-6

ε’3 = -100E-6

Determine, quando actuarem simultaneamente as duas solicitações, a orientação das direcções

entre as quais se observa a máxima distorção.

III.3 - A circunferência de Mohr da figura representa o estado de tensão no plano X-Y num corpo

constituído por um material isotrópico e submetido a um estado plano de deformação em que εZ=0.

Considerando para características do

material, E= 30 GPa e υ= 0.3, determine:

a) O tensor das tensões principais;

b) O tensor das extensões principais.






III.4 - A placa quadrada ABCD transformou-se no losango A’B’C’D’ após ter sido submetida a um

campo de deformações homogéneo e plano (ver figura abaixo).

Características do material da placa:

E = 30 GPa

υ = 0,2

a) Sabendo que 316 102πθ −⎛ ⎞= + ×⎜ ⎟

⎝ ⎠rad, determine as componentes do tensor das deformações.

A mesma placa foi submetida a outra solicitação de que se conhecem as componentes do tensor das

tensões referidas a um outro sistema de eixos rodado relativamente ao primeiro do ângulo de 30º

como mostra a figura:

?

200400400

'33

'12

'22

'11

=

−=

=

=

σ

σ

σ

σ

MPaMPaMPa

Sabendo que a este estado de tensão corresponde um estado plano de deformação em que a

deformação nula ocorre segundo a direcção 3, determine:

b) O valor de σ’33.

Nas questões seguintes considere a actuação simultânea das duas solicitações.

c) Qual o valor das extensões principais no plano [ ]1 2,x x ?

d) Qual a orientação das facetas em que a distorção é máxima?






IV- Critérios de segurança. Critérios de cedência e critérios de rotura. IV.1 – Considere, num ponto de uma peça de aço macio (Fe360), instalado o seguinte estado de

tensão:

σ =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

000014030030110

[MPa]

Admita que a tensão limite de elasticidade (ou tensão de cedência) é σced =235 MPa.

a) Utilizando um critério de cedência, apropriado ao material, averigue a sua segurança

relativamente à cedência. Justifique a resposta.

IV.2 – O estado plano de tensão representado na figura ocorre num ponto crítico dum pilar de aço

Fe360 (σced=235 Mpa) de um edificio.

a) Determinar o factor de segurança relativamente à cedência usando:

a.1) o critério de Tresca

a.2) o critério de Von-Mises

b) Represente gráficamente a superficie de cedência, em ambos os casos, e represente aí o ponto

correspondente ao estado de tensão. Compare os resultados.






IV.3 – Na secção crítica de uma viga metálica (Fe360, σced=235 MPa ), submetida a um

carregamento uniforme p (kN/m), determinaram-se os seguintes campos de tensões:

Determine o máximo valor da carga p que pode ser aplicada à viga de modo que a tensão de

cedência não seja ultrapassada. Utilize o critério de Von-Mises.

σ33 [kN/m2]

300

τT [kN/m2]

τ = 1847.6 p

τV [kN/m2]

307.5 p

230.8 p

230.8 p

INSTITUTO POLITÉCNICO DE BRAGANÇA

Escola Superior de Tecnologia e Gestão


Engenharia Civil – 2º ANO

APONTAMENTOS PARA AS AULAS PRÁTICAS

Ano lectivo 2005/2006

Escola Superior de Tecnologia e Gestão - Instituto Politécnico de Bragança

Apontamentos para as aulas práticas de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil 1

CAPÍTULO 1 – Teoria do Estado de Tensão Tensor das tensões:

σ11, σ22, σ33 – TENSÕES NORMAIS σij, i ≠ j – TENSÕES TANGENCIAIS

Convenção de sinais: Tensões em determinada faceta são positivas se orientadas para a parte positiva dos eixos coordenados. Equação fundamental da análise de tensões (Fórmula de Cauchy):

( ) ( ) ( )n n nj ij in n nσ σ σ σ σ σ= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⋅

r r

% %

)( nσr - vector tensão na faceta identificada pela normal nr ;

σ - tensor das tensões; nr - co-senos directores da normal à faceta;

( )

( )

( )

1 111 12 13

2 21 22 23 2

31 32 33 33

n

n

n

nnn

σ σ σ σσ σ σ σ

σ σ σσ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ×⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

σij – componentes do tensor das tensões; i – eixo normal à faceta em que actua a componente de tensão; j – direcção segundo a qual actua a componente de tensão;



Tensões e direcções principais - Via Analítica: As componentes principais do tensor das tensões (tensões principais) são os valores próprios da matriz do tensor e as direcções principais obtêm-se dos correspondentes vectors próprios. Da resolução da equação característica do tensor:

0=⋅− ijij δσσ

ou 032

2

1

3 =−⋅+⋅− III σσσ obtêm-se as 3 raízes (tensões principais):

IIIIII σσσσ ,,= em que:

σI > σII > σIII Invariantes da equação característica:

• 3322111 σσσ ++=I (traço ou 1ºinvariante ou invariante linear)

• 3331

1311

3332

2322

2221

1211

2 σσσσ

σσσσ

σσσσ

++=I

(2º invariante ou invariante quadrático)

•

333231

232221

131211

3

σσσσσσσσσ

=I (3º invariante ou invariante cúbico)

NOTA: um invariante é uma grandeza que não depende do sistema de eixos, isto é, não varia perante uma mudança de coordenadas. O sistema homogéneo de equações lineares:

( ) 0=⋅⋅− iijij nδσσ



fornecerá, para σ = σI, σ = σII e σ = σIII, os vectores ( ) ( ) ( )IIIIII nenn rrr , que definem os eixos principais de tensão. Mudança do sistema de eixos:

AAT ⋅⋅= σσ ' A – matriz de transformação (mudança de eixos);

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3'33

'23

'1

2'32

'22

'1

1'31

'21

'1

^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos

nnnnnnnnnnnnnnnnnn

A

Outras expressões importantes:

• nn

N ⊥= )(σσ •

2)(22 n

N σστ =+

• 2

IIIImáx

σστ −=

Circunferência de Mohr:

- Estado Plano de Tensão:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

σσσσ

σ , referido aos eixos X1 e X2.



• Determinação das tensões principais:

1) Marca-se num diagrama σN, τ o ponto representativo do eixo X1, que é o ponto de coordenadas σ11 e σ12 (σ12 marcado com o verdadeiro sinal). O ponto representativo do eixo X2 seria marcado com σ21 com o sinal trocado.

2) Define-se a posição do centro C da circunferência através da expressão:

22211 σσ +

=OC

e faz-se passar uma circunferência de centro em C pelo ponto representativo do eixo X1.

3) As tensões principais correspondem aos valores extremos das tens~es

normais, isto é, correspondem aos pontos em que a circunferência de Mohr intersepta o eixo das tensões normais.

2

12

2

22112211

2

12

2

22112211

22

22

σσσσσσ

σσσσσσ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+

=−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++

=+=

ROC

ROC

II

I

NOTA: Nestas expressões para o cálculo das tensões principais é necessário ter cuidado com os sinais! O ângulo θ que os eixos principais XI e XII estão rodados relativamente aos eixos X1 e X2 é metade do ângulo formado por [CX1] e o eixo σN, e o sentido de rotação na circunferência é o oposto ao real.





CAPÍTULO 2 – Teoria do Estado de Deformação Vector Deslocamento: Admitindo deformações homogéneas, o vector deslocamento é uma função linear de x e y.

( ) ( )( )yxvyxud ,;,= ,sólido contínuo e homogéneo

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

++==

FEyDxyxv

CByAxyxud

,

,

Extensão:

( )AB

AB

ABBA

ABAB

ε

ε

+⋅=

⇓

Δ=

1''



Componentes de deformação: Elementos do tensor das deformações.

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211,, εε

εεε YXO

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⋅===

dxdv

dydu

dydv

dxdu

21,, 122211 εεε

DISTORÇÃO:

1212 2 εγ ⋅= Extensão numa direcção d:

αεααεαεε 2

2212

2

11 ..cos..2cos. sensend ++= Extensão volumétrica: Valor exacto:

zyxzyzxyxzyxv εεεεεεεεεεεεε ..... ++++++= Na hipótese de pequenos deslocamentos:

1

0

0 IV

VVzyxv =++≈

−= εεεε



CAPÍTULO 3 – Relações constitutivas: Lei de Hooke generalizada

Relações deformação – tensão:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅−+⋅=

⋅−+⋅=

⋅−+⋅=

θνσνε

θνσνε

θνσνε

zz

yy

xx

E

E

E

11

11

11

em que: zyx σσσθ ++=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

G

G

G

yz

yz

xzxz

xy

xy

2

2

2

σε

σε

σε

Relações tensão - deformação:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+⋅=

+⋅=+⋅=

zz

yy

xx

GeGeGe

ελσελσελσ

222

em que: ( ) ( )

( )ν

νννλ

εεε

+=

−⋅+⋅

=

++=

12

211EG

ee zyx

λ - constante de Lamé

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅=

222

yzyz

xzxz

xyxy

GGG

εσεσεσ


O FORMULÁRIO SERÁ FORNECIDO NO DIA DO EXAME! Exemplo do Formulário para Exames de Mecânica Aplicada II – 2º Ano de Eng. Civil

( ) nn n

iij

n

j

rr ⋅=⇔⋅= σσσσ )( 032

2

1

3 =−⋅+⋅− III σσσ

3322111σσσ ++=I

3331

1311

3332

2322

2221

1211

2 σσσσ

σσσσ

σσσσ

++=I

333231

232221

131211

3

σσσσσσσσσ

=I ( ) 0ij ij iI nσ σ− ⋅ ⋅ =

AAT ⋅⋅= σσ '

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

3'33

'23

'1

2'32

'22

'1

1'31

'21

'1

^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos^cos

nnnnnnnnnnnnnnnnnn

A

( )( )

,

,

u x y Ax By Cd

v x y Dx Ey F

= + += = + +

ur AB

ABAB

ε∆

= 12

jiij

j i

dududx dx

ε

= ⋅ +

αεααεαεε 2

2212

2

11..cos..2cos. sensen

d++=

1

0

0 IV

VVzyxv

=++≈−

= εεεε

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

⋅−+⋅=

⋅−+⋅=

⋅−+⋅=

θνσνε

θνσνε

θνσνε

zz

yy

xx

E

E

E

11

11

11

em que: zyx

σσσθ ++=

=

=

=

G

G

G

yz

yz

xz

xz

xy

xy

2

2

2

σε

σε

σε

+⋅=

+⋅=+⋅=

zz

yy

xx

Ge

Ge

Ge

ελσ

ελσελσ

2

2

2

em que : ( ) ( )

( )

1 1 2

2 1

x y ze

E

EG

ε ε ε

νλ

ν ν

ν

= + +

⋅=

+ ⋅ − ⋅

=+

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MECÂNICA APLICADA II - ipb.ptmnvalente/2006-1sem/MA2/MA2-ExerciciosAulasPraticas.pdf · relativamente à qual seja nulo o vector de tensão. b) Determinar as componentes do vector