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Estadística Inferencial
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
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Sesión No. 10
Nombre: Números índice para datos económicos y administrativos. Parte I. Objetivo: Al finalizar la sesión, el estudiante conocerá cómo calcular índices
simples e índices agregados a precios y cómo deben interpretarse.
Contextualización
En 1764 el italiano G. L. Carli creó los primeros números índice y los incorporó
en un informe que elaboró sobre las fluctuaciones de precios en Europa entre los
años 1500 y 1750. No es sino hasta 1913, que se presenta por primera vez el
índice de costo de vida, conocido actualmente como índice de precios al
consumidor (IPC), y desde entonces se compila una larga lista de índices.
(Rodríguez Franco, Pierdant Rodríguez, & Rodríguez jiménez, 2014) (Lind,
Marchal, & Wathen, 2012).
Es importante que conozcas acerca de estos indicadores ya que, hoy en día
existen una gran variedad de índices gubernamentales y del sector privado que
ayudan a medir y entender la coyuntura y las perspectivas de la economía del
país en un momento dado.
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Introducción al Tema
¿Qué son y para qué sirven los números índices?
Imagen recuperada de: tendenciasfx.com
Un número índice es una medida estadística que permite estudiar la variación
relativa que se produce en una magnitud medida en distintos momentos, lugares
o circunstancias.
Los números índices son utilizados como herramientas para medir el desempeño
de las variables involucradas, o bien como instrumentos auxiliares en la toma de
decisiones en economía y finanzas, así como en otras áreas para explicar
diversos fenómenos.
En esta sesión podrás conocer la elaboración de índices simples, así como de
los índices agregados a precios.
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Explicación
5.1 Elaboración de índices simples
¿Qué es un número índice simple y cómo se elabora?
Si el número índice se utiliza para medir el cambio relativo de una sola magnitud
(precio, cantidad o valor) es un índice simple.
Para crear un índice simple se compara el precio, cantidad o valor de un año o
periodo a estudiar contra el precio, cantidad o valor de otro periodo que sirve de
referencia, conocido como año o periodo base. Lo que se calcula es una razón
expresada con base cien (no porcentajes). En general los números índice se
expresan en enteros, aunque en algunas ocasiones se hace en enteros con una
fracción decimal. El número índice en el año base siempre es 100 (Pierdant &
Rodríguez, 2012).
Definición. Sea 𝑋 una magnitud que posee una sola modalidad, de la que se
conoce su valor 𝑥0 en el periodo de referencia, y su valor en el periodo 𝑡, 𝑥𝑡.
Se define el índice en el tiempo 𝑡 como
𝑰 𝒕 =𝒙𝒕𝒙𝟎
(𝟏𝟎𝟎)
Ejemplo:
La siguiente tabla muestra el número de alumnos matriculados a nivel
licenciatura en cuatro periodos consecutivos según las estadísticas del Sistema
Educativo Nacional de la SEP.
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Con los datos de esta tabla es posible crear un
indicador. Primero se escoge la base, es decir,
el periodo de referencia contra el cual se desea
hacer la comparación. En este caso se desea
comparar la matrícula de alumnos a nivel
licenciatura respecto al periodo 2012 – 2013,
entonces este periodo que fue seleccionado, es
el periodo base.
Ahora se desea comparar el número de alumnos
inscritos a nivel licenciatura respecto al periodo
2010 – 2011 contra el periodo base. Esto se calcula así:
𝐼2010−2011 =2 659 8162 936 111
× 100 = 90.59
Este resultado de 90.59 indica que el número de alumnos inscritos a nivel
licenciatura en el ciclo escolar 2010 – 2011 fue menor que los que estuvieron
inscritos en el año base, puesto que representó el 90.59% de los inscritos en el
año base.
El resto de los valores indizados para el resto de los periodos escolares se
muestran en la siguiente tabla
Matrícula escolar a nivel licenciatura
Periodo Número de alumnos
2010 – 2011
2011 – 2012
2012 – 2013
2013 - 2014
2 659 816
2 810 613
2 936 111
3 042 546
Matrícula escolar a nivel licenciatura
Periodo Número de alumnos
Índice
2010 – 2011
2011 – 2012
2012 – 2013
2013 - 2014
2 659 816
2 810 613
2 936 111
3 042 546
90.59
95.73
100.00
103.62
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Se observa que el periodo 2012 – 2013, que es el periodo base muestra un valor
de 100, porque la cantidad de alumnos inscritos a nivel licenciatura en el periodo
base representan el 100 por ciento contra el cual se harán las comparaciones.
Como se puede ver con los números índice resulta más claro observar el
comportamiento de la matrícula escolar que si se hubiera hecho a través de los
valores absolutos.
El índice que se calculó es un número índice simple de cantidad, ya que se ha
comparado el número de alumnos inscritos a nivel licenciatura en un periodo
dado contra el número de alumnos que se inscribieron en el periodo base.
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo:
Según la información proporcionada por el Sistema Nacional de Información e
Integración de Mercados (SNIIM) de la Secretaría de Economía, el precio por
bulto de 50 kg del arroz pulido Morelos en 2012 fue de $19.51; en abril de 2016
fue de $21.09. ¿Cuál es el índice simple del precio del arroz pulido Morelos en
abril de 2016 tomando como año base 2012?
Solución:
𝐼2016 =21.0919.51
(100) = 108.1
Si el número índice es mayor a 100, esto indica que hubo un incremento. Para el
ejemplo, el precio por bulto de 50 kg del arroz pulido Morelos de 2016
comparado con el 2012 fue de 108.1, cifra que puede redondearse a 108. Esto
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significa que el precio del arroz se incrementó en 8 puntos porcentuales con
respecto al año base, 2012 (108 – 100 = 8).
Si el número índice es menor a 100 se tiene un decremento o disminución.
Ejemplo:
Retomando el ejemplo anterior ¿Cuál es el índice del precio del arroz pulido
Morelos en abril de 2016 tomando como año base 2015?
Solución:
𝐼2016 =21.0925.32
(100) ≈ 83.29
Por lo tanto, el precio por bulto de 50 kg del arroz pulido Morelos de 2016
disminuyó en 16.71% comparado con el 2015
5.2 Elaboración de índices agregados a precios
¿Qué son los índices agregados a precios y cómo se elaboran?
En muchas situaciones se desea combinar varios artículos y elaborar un índice
para comparar el costo de este agregado de artículos en dos periodos distintos.
Un índice de precios agregado se desarrolla con el propósito específico de medir
la variación combinada de un grupo de artículos (Anderson, Sweeney, &
Williams, Estadística para negocios y economía, 2012).
Índice agregado simple. Esto implica sumar los precios para cada uno de los
productos en cada año (año base y año dado), y luego comparar los totales o
cantidades agregadas igual que para construir un índice simple (Zubieta Badillo
& Martínez Preece, 2003).
Este índice se denota como 𝐼𝑡 y está dado por:
𝑰𝒕 =∑𝒑𝒕∑𝒑𝟎
× 𝟏𝟎𝟎
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Donde las sumas incluyen todos los artículos del grupo.
Ejemplo:
Suponiendo que una despensa básica del hogar consiste en los seis artículos
que se enlistan en la siguiente tabla y que se desea encontrar un índice de
precios para esta despensa.
Artículo Unidad Precio Venta - enero 2013
Precio Venta - enero 2015
Tortillas de maíz kg 11.20 10.25 Arroz Morelos kg 14.10 17.35 Frijol negro kg 19.90 16.73 Naranja kg 6.00 4.25 Aceite 1-2-3 litro 23.00 22.63 Huevo Bachoco rojo (18 piezas)
caja 32.81 32.00
TOTALES 107.01 103.21 Fuente: Índice de precios de la canasta básica de la DGACD. Secretaría de Desarrollo Económico
Si se considera a 2013 como el año base:
𝐼𝑡 =∑𝑝𝑡∑𝑝0
× 100 =103.21107.01
= 96.45
El resultado indica que el precio de la despensa fue menor un 3.55% en 2015
respecto del precio que tenía en 2013.
Este tipo de índices es poco empleado en la práctica.
¿Cuáles crees que sean las desventajas de este índice?
Índice de precios de Laspeyres. A finales del siglo XVIII, Etienne Laspeyres
desarrolló un método para determinar un índice de precios ponderado con las
cantidades del periodo base como ponderaciones. Según dicho método, un
índice de precios ponderado se calcula mediante (Lind, Marchal, & Wathen,
2012):
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𝑃 =∑𝑝𝑡𝑞0∑ 𝑝0𝑞0
× 100
Donde:
𝑃 Es el índice de precios.
𝑝𝑡 Es el precio actual.
𝑝0 Es el precio en el periodo base.
𝑞0 Es la cantidad en el periodo base.
Este tipo de índice, se utiliza más para medir los cambios en los precios de los
mismos bienes a través del tiempo e indicadores que miden el cambio en
producción con precios fijos (Heath, 2012).
Ejemplo:
Los precios de los productos de alimentos del ejemplo anterior se repiten a
continuación. Suponiendo que 2013 y 2015, las cantidades mensuales de cada
uno de los productos que consume una familia promedio fueron las siguientes.
Artículo Unidad Precio 2013
Cantidad en 2013
Precio 2015
Cantidad en 2015
Tortillas de maíz kg 11.20 28 10.25 20 Arroz Morelos kg 14.10 10 17.35 9 Frijol negro kg 19.90 15 16.73 18 Naranja kg 6.00 8 4.25 12 Aceite 1-2-3 litro 23.00 1.50 22.63 1 Huevo Bachoco rojo (18 piezas)
caja 32.81 8 32.00 7.5
TOTALES 107.01 103.21
¿Cuál es el índice de precio del año 2015 tomando como año base el 2013?
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Como se necesita calcular el producto precio por cantidad para cada uno de los
artículos en cada uno de los periodos examinados agregamos dos columnas
más a la tabla:
Artículo Unidad 𝒑𝟎 2013
𝒒𝟎 2013
𝒑𝒕 2015 𝒑𝟎𝒒𝟎 𝒑𝒕𝒒𝟎
Tortillas de maíz kg 11.20 28.00 10.25 313.60 287.00 Arroz Morelos kg 14.10 10.00 17.35 141.00 173.50 Frijol negro kg 19.90 15.00 16.73 298.50 250.95 Naranja kg 6.00 8.00 4.25 48.00 34.00 Aceite 1-2-3 litro 23.00 1.50 22.63 34.50 33.95 Huevo Bachoco rojo (18 piezas)
caja 32.81 8.00 32.00 262.48 256.00
TOTALES 1 098.08 1 035.40
Y con los totales se calcula el índice ponderado de 2015, determinado por:
𝑃 =1 035.401 098.08
(100) = 94.29
El valor de este índice, muestra una disminución de 5.71% en el precio de la
despensa en el periodo de dos años. La ventaja de este método sobre el índice
agregado simple es que se considera la ponderación de cada artículo.
En los ejemplos, ¿cuál crees que sea el producto que representa la mayor
ponderación para determinar el índice ponderado simple?, y ¿en el índice de
Laspeyres cuál es el producto con la mayor ponderación?
Índice de precios de Paasche. Debe su nombre al economista alemán
Hermann Paasche (1851 – 1925). El método es similar a encontrar un índice de
Laspeyres. Esta forma de construir un número índice es mediante
ponderaciones que cambian en el tiempo. La expresión matemática para
conocer un índice ponderado de Paasche es la siguiente:
𝑃 =∑𝑝𝑡𝑞𝑡∑ 𝑝0𝑞𝑡
× 100
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Esta forma de construir un número índice se usa cuando se quiere incluir
cambios en el patrón de consumo (Heath, 2012).
Ejemplo:
Con la información de la despensa básica se quiere determinar el índice
ponderado con el método de Paasche.
Puedes observar en este caso que, si en lugar de ponderar las cantidades del
año base se hace con las cantidades del año dado, es decir, el año que se está
comparando, se estará calculando el índice ponderado con el método de
Paasche.
Artículo Unidad 𝒑𝟎 2013
𝒑𝒕 2015 𝒒𝒕 2015 𝒑𝟎𝒒𝒕 𝒑𝒕𝒒𝒕
Tortillas de maíz kg 11.20 10.25 20.00 224.00 205.00 Arroz Morelos kg 14.10 17.35 9.00 126.90 156.15 Frijol negro kg 19.90 16.73 18.00 358.20 301.14 Naranja kg 6.00 4.25 12.00 72.00 51.00 Aceite 1-2-3 litro 23.00 22.63 1.00 23.00 22.63 Huevo Bachoco rojo (18 piezas)
caja 32.81 32.00 7.50 246.08 240.00
TOTALES 1 050.18 975.92
El índice de Paasche es determinado por:
𝑃 =975.92
1 050.18(100) = 92.93
Este resultado indica una disminución de 7.07% de esta “canasta básica” de
artículos entre 2013 y 2015. Es decir, costó 7.07% menos comprar estos
artículos en 2015 que en 2013.
Índice ideal de Fisher. El índice de Laspeyres tiende a ponderar demasiado los
artículos cuyos precios aumentaron. Por otro lado, el de Paasche pondera
demasiado los artículos cuyos precios disminuyeron. En un intento para
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compensar estas desventajas, Irving Fisher, en The Making of Index Numbers,
publicado en 1922, propone un índice ideal de Fisher, compuesto por las medias
geométricas de los índices de Laspeyres y Paasche (Lind, Marchal, & Wathen,
2012). Este índice se puede calcular de la siguiente manera:
Í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝐹𝑛𝐹ℎ𝑛𝑒 = 𝐹 = �(í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝐿𝑖𝐹𝑝𝑛𝐿𝑒𝑛𝐹)(í𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑃𝑖𝑖𝐹𝑛ℎ𝑛)
𝐹 = ��∑𝑝𝑡𝑞0∑𝑝0𝑞0
(100)��∑𝑝𝑡𝑞𝑡∑ 𝑝0𝑞𝑡
(100)�
Ejemplo
Con base en los cálculos de los índices anteriores, ahora se quiere determinar el
índice de Fisher.
𝐹 = �(94.29)(92.93) = 93.61
Este índice de Fisher señala que, en conjunto, los precios han disminuido en
promedio un 6.39%.
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Conclusión
En esta sesión has podido ver que un número índice indica la variación relativa
de precios, cantidades o valores en un determinado periodo. Existen muchas
formas de construir un número índice. Para crear los índices simples únicamente
es necesario comparar el valor de la variable estudiada de un año contra el valor
que se utilizará como referencia o base.
Muchas veces es necesario crear índices que incluyan conjuntos de bienes o
servicios. Dado que cada componente tiene un peso diferente en la actividad
económica, el indicador final resulta ser un índice ponderado por la relativa
importancia de cada uno de sus componentes. Las dos formas más comunes
son mediante el índice de Laspeyres y el de Paasche. Además, conociste un
tercer índice que calcula el promedio geométrico de los dos anteriores y es
conocido como el índice de Fisher.
¿Qué harías para comparar dos o más series de números índice cuando éstas no tienen el mismo periodo base?
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Para aprender más
¿Quién fue Étienne Laspeyres?
• Étienne Laspeyres. (marzo de 2007). Índice (21), 2. Página Disponible en:
http://www.revistaindice.com/numero21/
¿Qué son los números índices?
• INEDifusión (21 de Mayo 2014). Números índices. [Archivo de video]
Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=v9VR7ud21ts
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Actividad de Aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de profundizar en los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, ahora tendrás que realizar las siguientes actividades:
1. Elabora un mapa mental sobre los subtemas vistos en esta sesión.
Puedes realizar esta actividad con algún programa especializado.
2. Investiga los precios de cinco productos de la canasta básica de tu ciudad
para los últimos tres años. Utiliza dos índices distintos para expresar los
cambios en el precio de los productos seleccionados.
3. En la siguiente tabla se muestran los datos relativos a destinos turísticos,
número de viajeros y costo de transporte desde una ciudad del interior de
la república para dos años distintos. Elabora los índices de Laspeyres,
Paasche y Fisher, tomando como año base 2014.
Destino 2007 2014
Número de viajeros Costo Número de viajeros Costo
Acapulco 10 578 3 270 15 321 4 044
Cancún 3 595 3 170 6 998 4 651
Huatulco 960 3 900 4 357 3 997
Mazatlán 3 264 3 720 5 235 4 274
Puedes realizar estas actividades en un procesador de textos, al final tendrás
que guardarla en un mismo archivo en formato PDF, y entregarlas de acuerdo a
las indicaciones de tu profesor.
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Recuerda que esta actividad te ayudará a comprender el concepto de número
índice, distinguir los diferentes tipos de índices, así como su elaboración e
interpretación.
Esta actividad representa el 5% de tu calificación y se tomará en cuenta lo
siguiente:
• Tus datos generales.
• Título de la actividad.
• Procedimiento y resultados correctos y completos.
• Ortografía y redacción.
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Bibliografía
• Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2008). Estadística
para administración y economía (10 ed.). México: Cengage Learning.
• Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2012). Estadística
para negocios y economía (11 ed.). México: Cengage Learning.
• García, R. J. A., Ramos González, C., & Ruíz Garzón, G. (2008).
Estadística administrativa. España: Universidad de Cádiz.
• Levin, R. I., & Rubin, D. S. (2004). Estadística para administración y
economía (7 ed.). México: Pearson Educación.
• Lind, D. A., Marchal, W. G., & Wathen, S. A. (2012). Estadística aplicada a
los negocios y economía (15 ed.). México: McGraw-Hill.
• Newbold, P., Carlson, W. L., & Thorne, B. M. (2008). Estadística para
administración y economía. España: Pearson Educación.
• Pérez, R., Caso, C., Río, M. d., & López, J. (2012). Introducción a la
estadística económica. España: Universidad de Oviedo.
• Pierdant, I., & Rodríguez, J. (2012). Estadística descriptiva y números
índice. México: Universidad Autónoma Metropolitana.
• Rodríguez, F. J., Pierdant, R. A. I., & Rodríguez, J. E. C. (2014).
Estadística aplicada II. Estadística en administración para la toma de
decisiones. México: Patria.
Cibergrafía
• Étienne Laspeyres. (marzo de 2007). Índice (21), 2. Página Disponible en:
ESTADÍSTICA INFERENCIAL
17
http://www.revistaindice.com/numero21/
• Heath, J. (2012). Lo que indican los indicadores: cómo utilizar la
información estadística para entender la realidad económica de México.
México: INEGI. Obtenido
de: http://www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/product
os/estudios/indican_indi/indica_v25iv12.pdf
• Secretaría de Desarrollo Económico (2013). Índice de precios de la
canasta básica de la DGACD. Obtenido
de: http://www.sedecodf.gob.mx/archivos/Canasta%20Basica/2013/ENER
O/4_INDICE%20DE%20PRECIOS%20DE%20CANASTA%20BASICA%2
0DE%20LA%20DGACD%20.pdf
• INEDifusión (21 de Mayo 2014). Números índices. [Archivo de video]
Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=v9VR7ud21ts
• Zubieta Badillo, C., & Martínez Preece, M. (2003). Números índices.
México: Universidad Autónoma Metropolitana. Unidad Azcapotzalco.
Obtenido
de http://www.uamenlinea.uam.mx/materiales/matematicas/otros/MARTIN
EZ_PREECE_MARISSA_R_Numeros_indices.pdf
Te invito a que consultes la Biblioteca Digital UNID
