ESTATÍSTICA - ueedgartito.files.wordpress.com · 2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2)Quando o nº de elementos é PAR ... • As Medidas de Tendência Central: – representam de

ESTATÍSTICA

1

• U.E PROF EDGAR TITO

PROF. RANILDO LOPEShttp://ueedgartito.wordpress.com

ESTATÍSTICA

•MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

•MEDIDAS DE DISPERSÃO

2

Estatística

• ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:

Medidas de posição

Medidas de variabilidade ou dispersão

3

Medidas de Tendência Central

• É um valor calculado para um grupo de dados

• usado para descrever esses dados.

• Tipicamente, desejamos que o valor sejarepresentativo de todos os valores do grupo

• os dados observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais.

4

Medidas de Tendência Central

• São Medidas de Tendência Central:

1. média;

2. mediana;

3. moda

5

1 - MÉDIA ARITMÉTICA

• definida como a soma dos valores divididapelo número de elementos.

• Sua aplicação é seguramente a mais usada

• podem ser:

– Média para dados simples

– Média para dados agrupados

– Média para dados agrupados em classes.

6

Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças

Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12

média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12

5

X = ∑xi

nsendo “ n “ o número de elementos

Assim: X = 40 = 85

Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos.

7

1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLESamostra: (X) população:

• Exemplo: Notas de 20 alunos:

Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 920

X = 1 . 3 + 2 . 3 + 3 . 4 + 5 . 6 + 6 . 3 + 9 .1 = 3+6+12+30+18+93 + 3 + 4 + 6 + 3 + 1 20

8

1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLESamostra: (X) população:

• Quando o conjunto de dados para os quaisprecisamos calcular a média é mais extenso,temos a necessidade de agrupar os dados.Assim, a média desse grupo é calculado daseguinte forma:

X = (Xi . fi )

fi

9

1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)

amostra: (X) população:

Xi fi Xi . fi

1 3 3 X = Xi . fi2 3 6 fi3 4 12 X = 78 = 3,9

5 6 30 20

6 3 18

9 1 9

- 20 78

Fonte: dados fictícios10

1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)


IDADE DE ALUNOS

Xi PM fi PM.fi

0 2.......... 1 3 1.3 = 3

2 4.......... 3 7 3.7 = 214 6.......... 5 6 5.6 = 30

6 8.......... 7 3 7.3 = 21

8 10.......... 9 1 9.1 = 9

total ......... 20 84

Fonte: Dados fictícios

X = (PM. Fi ) X = 84 X = 4,2

fi 20

11

1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES


2 – MEDIANA ( X )

• É o valor que se localiza no centro da distribuição

• é obtida a partir de seus valores centrais

• Pode ser:

2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES

2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES INTERVALARES

12

2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)

Há duas situações:

1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar

Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12

Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª

“ n “ o número de elementos ímparUma posição central - P

P = n +1 P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 82 2

~

posição central

Xi

~

13

2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)

2) Quando o número de elementos pesquisados é par

Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12

Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

~

X1 X2

~

P1 P2 (2 Posições centrais)

~

“ n = 6 número PAR de elementosDuas posições centrais - P1 e P2

P1 = n P1 = 6 = 3ª posição => X1 = 8, X = X1 + X2 = 8 + 102 2 2 2

P2 = é a próxima P2 = 4ª posição => X2= 10, X = 9

14


1)Quando o nº de elementos é IMPAR

Xi fi fac nº de elementos =

1 2 2 fi = 19 (ímpar)

2 3 5

3 4 9 uma posição central

5 6 15 P = fi +1 = 19+1

6 3 18 2 2

9 1 19 P = 10ª posição

- 19

15


Xi fi fac

1 2 2

2 3 5

3 4 9

5 6 15

6 3 18

9 1 19

Σ 19

Xi 1 1 2 2 2 3 3

posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª

Xi 3 3 5 5 5 5 5

posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª

Xi 5 6 6 6 9

posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª

16

2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

~

1) Quando o nº de elementos é IMPAR

Xi fi fac P = 10ª posição

1 2 2

2 3 5

3 4 9

Xi = 5 6 15

6 3 18 X = 5

9 1 19

- 19

17

2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

2)Quando o nº de elementos é PAR

Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par)1 2 2

2 3 5

3 4 9 duas posição centrais

5 6 15 P1 = fi = 20 = 10ª posição

6 3 18 2 2

9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição

- 20

18

2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS

~

2)Quando o nº de elementos é PAR

Xi fi fac P1 = 10ª posição

1 2 2 P2 = 11ª posição

2 3 5

3 4 9

X1= X2= 5 6 15

6 3 18 X = (X1+ X2) = 5 + 5

9 2 20 2 2

- 20 X = 5

19

2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”

P = Fi P = 23 P = 11,5º posição

2 2

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA”

20

2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”

P = Fi P = 23 P = 11,5º posição

2 2

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA”

li

ls

21

2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição central -> P = 11,5º posição

Limite inferior da classe -> li = 2

Limite superior da classe -> ls = 4

Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2

Freqüência da classe -> fi = 10

Freqüência acumulada anterior -> faa = 3

li

ls

P - faa . hfi

+li=X~

11,5 - 3 . 210

+=~X 2

22

2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

li

ls

8,5 . 2 10

+2=X~

X = 2 + 0,85 . 2~

X = 2 + 1,70~

X = 3,70~

23

2 – MODA ( X )

• É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável

• Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência

^

24

2.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES ( X )

• Exemplo: Idade de 20 alunos:

Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

O valor que apareceu maior número de vezes é o 5

portanto => X = 5

^

^

25

2.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X )^

^

Maior valor de fiXi =

Xi = 5

Xi fi

1 2

2 3

3 4

5 6

6 3

9 1

- 19

26

2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES – MODA DE CZUBER - Xcz

fmax

Xi PM fi

0 2.......... 1 3

2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6

6 8.......... 7 3

8 10.......... 9 1

total ......... 23

1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax

^

27

2.3. MODA DE Czuber - XCZ

Xi PM fi

0 2.......... 1 3

2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6

6 8.......... 7 3

8 10.......... 9 1

total ......... 23

Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10

Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3

freqüência posterior => fpost = 6

Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2

1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7

2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4

li

ls

^

fant

fpos

fmax

28

2.3. MODA DE Czuber - XCZ^





1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7

2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4

Cálculo da moda de Czuber

Xcz = li + ___ 1 ___ . h

1 + 2

Xcz = 2 + __7__ . 2 = 2 + _7_ . 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 = 3,3

7 + 4 11 11

^

^

29

2.3. MODA DE KING - Xki

Xi PM fi

0 2.......... 1 3

2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6

6 8.......... 7 3

8 10.......... 9 1

total ......... 23





li

ls

^

fant

fpos

fmax

30

2.3. MODA DE KING - Xki^

^

^





Cálculo da moda de KING

Xki = li + fpost . h

fant + fpost

Xcz = 2 + 6 . 2 = 2 + 6 . 2 = 2 + 12 = 2 + 1,3 = 3,3

3 + 6 9 9

31

2.3. MODA DE Pearson - Xpe^

^

^

Cálculo da moda de PEARSON

Xpe = 3. X - 2. X

Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4

e a Moda = X = 4,2

A moda de Pearson será:

X = 3.4 - 2 . 4,2 = 12 – 8,4

X = 3,6

~

~

_

^

^

32

Outras separatrizes

• A Mediana divide a distribuição em duas partes.

• É o atributo que está no meio da distribuição:

– 50% dos valores acima da mediana

– 50% dos valores abaixo da mediana

33

Outras separatrizes

QUARTIS ou QUARTILHOS

• o Quartil divide a distribuição em 4 partes de igual freqüência.

• Seu cálculo é importante para as medidas de dispersão e variabilidade

• São três:

34

Outras separatrizes

Quartil

• São três:

• Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil. Tem 25% da distribuição abaixo de si

• Q2 = é a mediana ou quartil mediano

• Q3 = quartil superior ou terceiro quartil. Tem 75% da distribuição abaixo de si

35

Quartil

• 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi

4

• 2º quartil – Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi

4

• 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi

4

36

1º QUARTIL – Q1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL “ P1q ”

P1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição

4 4

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL – Q1”

37

1º QUARTIL – Q1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição 1º quartil -> P 1q= 5,75º posição






li

ls

P1q - faa . hfi

+li=Q1

5,75 - 3 . 210

+=Q1 2

38

1º QUARTIL – Q1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

li

ls

2,75 . 2 10

+2=Q1

Q1 = 2 + 0,55

Q1 = 2,55

39

3º QUARTIL – Q3

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL “ P3q ”

P3q = 3. Fi P3q = 3. 23 P 3q = 17,25º posição

4 4

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL – Q3”

40

3º QUARTIL – Q3

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 13 faa4 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição central -> P 3q= 17,25º posição






li

ls

P3q - faa . hfi

+li=Q3

17,25 - 13 .26

+=Q3 4

41

3º QUARTIL – Q3

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

li

ls

4,25 . 2 13

+4=Q3

Q3 = 4 + 0,65

Q3 = 4,65

42

Outras separatrizes

Decil

• Dividem a distribuição em 10 partes de igual freqüência.

• São nove

• o quinto decil é a mediana.

43

Decil

• 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi

10

• 2º decil – D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi

10

• 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi

10

44

1º DECIL – D1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL “ P1d ”

P1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição

10 10

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL – D1”

45

1º DECIL – D1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição 1º DECIL -> P 1d= 2,3º posição






li

ls

P1d - faa . hfi

+li=D1

2,3 – 0 . 23

+=D1 0

46

1º DECIL – D1

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

2,3 . 2 3

+0=D1

D1 = 1,53

47

9º DECIL – D9

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL “ P9d ”

P9d = 9. Fi P9d = 9. 23 P9d = 20,70º posição

10 10

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL – D9”

48

9º DECIL – D9

li

ls

P9d - faa . hfi

+li=D9

20,7 - 19 .23

+=D9 6

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 13 faa4 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição central -> P 9d= 20,7º posição





Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 49

9º DECIL – D9

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19 faa

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1,7 . 2 3

+6=D9

D9 = 6 + 1,13

D9 = 7,13

50

Outras separatrizes

Centil ou Percentil

• Dividem a distribuição em 100 partes de igual freqüência.

• São noventa e nove

• o qüinquagésimo centil é a mediana.

51

Percentil - Ci

• 1º percentil - C1 = assume a posição P1c= Σfi

100

• 2º percentil – C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi

100

• 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi

100

52

10º PERCENTIL – C10

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL “ P10c ”

P10c = 10 . Fi P10c = 10 .23 P 10c = 2,3º posição

100 100

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil – C10”

53


Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3 faa

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição 10º percentil -> P 10c= 2,3º posição






li

ls

P10c - faa . hfi

+li=C10

2,3 – 0 . 23

+=C10 0

54


Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

2,3 . 2 3

+0=C10

C10 = 1,53

55

90º percentil – C90

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL “ P90c ”

P90c = 90. Fi P90c = 9. 23 P90c = 20,70º posição

100 100

2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil – C90”

56


li

ls

P90c - faa . hfi

+li=C90

20,7 - 19 .23

+=C90 6

Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 13 faa4 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

Posição central -> P 90c= 20,7º posição





Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 57


Xi PM fi fac

0 2.......... 1 3 3

2 4.......... 3 10 134 6.......... 5 6 19

6 8.......... 7 3 22

8 10.......... 9 1 23

total ......... 23

1,7 . 2 3

+6=C90

C90 = 6 + 1,13

C90 = 7,13

58

Relações

Quartil Decil Percentil Mediana

D1 = C10

Q1 = = C25

Q2 = D5 = C50 = X

Q3 = = C75

D9 = C90

~

59

Outras médiasMÉDIA DE INTERVALO

É a média entre a menor e a maior observação em um conjunto de dados.

MÉDIA DAS JUNTAS ou Midhinge

É a média entre o primeiro e o terceiro quartil.

XMENOR + XMAIOR

2Média de Intevalo =

Outras médias

XMENOR + XMAIOR

2Média de Intevalo =

Q1 + Q3

2Midhinge =

60

Medidas de Dispersão

• As Medidas de Tendência Central:

– representam de certa forma uma determinada distribuição de dados

– só elas não são suficientes para caracterizar a distribuição.

• Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética

61


• Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos.

• GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6

• GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10

• Média do grupo “A”: 5

• Média do grupo “B”: 5

62


• Os dois grupos apresentam a mesma média

• O comportamento dos 2 grupos são bem distintos.

GRUPO “A”: valores são mais homogêneos

GRUPO “B”: valores são dispersos em

relação à média

63


• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas:– a) Amplitude Total

– b) Amplitude Interquartil

– c) Desvio Quartílico ou

Amplitude Semi-interquartílico

– d)Desvio Médio

– e) Variância

– f) Desvio Padrão64

a) Amplitude Total - R

– é a diferença entre o maior e o menor valor observados.

R = Limite superior - Limite Inferior

• Exemplo 5: Idade de 20 alunos:

Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

R = 9 – 1 = 8

65

b) Amplitude Interquartil – AIQou IQR ( InterQuartile Range )

é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.

AIQ ou IQR = Q3 - Q1

– Supera a dependência dos valores extremos

– Abrange 50% dos valores centrais, eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos

66

c) Desvio Quartílico ouAmplitude Semi-interquartílico

é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.

Dq = Q3 - Q1

2

67

d) Desvio Médio - DM

é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Para uma amostra

DM = Σ Xi – X_

n - 1

Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável

n = nº elementos

X = média aritmética


Para uma população

DM = Σ Xi – _

n

Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável

n = nº elementos

= média aritmética


Exemplo 6: Dado o levantamento:

Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10

a) Calcule a média X = = = 4

b) Montar a tabela a seguir:

Σ Xin

4010


Xi Xi - x Xi – x

2 2 – 4 = - 2 2

2 2 – 4 = - 2 2

3 3 – 4 = - 1 1

3 3 – 4 = - 1 1

3 3 – 4 = - 1 1 DM = =

4 4 – 4 = 0 0

4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56

4 4 – 4 = 0 0

5 5 – 4 = 1 1

10 10 – 4 = 6 6

Σ 14

Σ Xi – x_n - 1

149

Considerando uma amostra

e) Variância – população: 2

amostra: s2

– é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética

– Revela a dispersão do conjunto que se estuda

Para uma amostra

s2 = Σ (Xi – X )2_

n - 1

Sendo: s2= variância amostra Xi = vr. variável

n = nº elementos

X = média aritmética


amostra: s2

Para uma população

2 = Σ (Xi – )2_

n

Sendo: 2 = variância população Xi = vr. variável

n = nº elementos

= média aritmética


amostra: s2

d.1) Variância - 2 – dados simples

Exemplo 7: Dado o levantamento:

Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10

a) Calcule a média X = = = 4

b) Montar a tabela a seguir:

Σ Xin

4010

d.1) Variância - s2 – dados simples

Xi Xi - x ( Xi – x )2

2 2 – 4 = - 2 22 = 4

2 2 – 4 = - 2 22 = 4

3 3 – 4 = - 1 12 = 1

3 3 – 4 = - 1 12 = 1

3 3 – 4 = - 1 12 = 1 s2 = =

4 4 – 4 = 0 02 = 0

4 4 – 4 = 0 02 = 0

4 4 – 4 = 0 02 = 0 s2 = = 5,33

5 5 – 4 = 1 12 = 1

10 10 – 4 = 6 62 = 36

Σ 48

Σ ( Xi – x )2

n - 1

489

d.2) Variância - s2 – dados agrupados

Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi

2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8

3 3 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3

4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0

5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 1

10 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36

Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48

se amostra

s2 =

s2 = = 5,33

Σ ( Xi – x )2 . fiΣ fi - 1

489

d.2) Variância - s2 – dados agrupados em classes

Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi

0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 32

2 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 16

4 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 0

6 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 24

8 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16

total .... 21 105 88

Σ ( PM – x )2 . fiΣ fi - 1

Σ ( PM.fi)Σ fi

X = = 105

21X = 5

s2 = =8820

s2 =

s2 = 4,4

d) Desvio Padrão

– Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios

– É a mais utilizada

– Revela a dispersão do conjunto que se estuda

para uma população = 2

para uma amostra s = s2

e) Desvio Padrão - “” ou “s”– Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão

é nulo.

– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média

– MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores



f) Coeficiente de Variação - CV

CV = - desvio padrão

X X - média artitmética

– o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição

– Valor máximo é CV = 1

0 ≤ CV ≤ 1

81

Coeficiente de Variação - CV

– Quanto mais próximo de 1:mais heterogênea é a distribuição

Os valores estão mais dispersos

– Quanto mais próximo de 0:mais homogênea é a distribuição

Os valores da variável estão mais próximos em torno da média

82

Coeficiente de Variação - CV

– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram:

• “a”: 60; 40; 50; 50

• “b”: 70; 70; 30; 30

• Qual foi mais regular ?

83


Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados:

1. expressos em diferentes unidades de medida

2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes.

84


Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida

Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO

XPESO = 20 kg XCOMPRIMENTO = 50 metros

PESO = 2 kg COMPRIMENTO = 4 metros

85


XPESO

PESOCVP =

COMPRIMENTO

XCOMPRIMENTO

CVC =

220

CVP =

450

CVC =

CVP = 0,10

CVC = 0,08

CVPESO = 0,10 ≥ CVCOMPRIMENTO = 0,08

PESO varia mais que o comprimento

86


expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes

Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ”

ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um processo:

XA = 80 % XB = 50 %

A = 2 % B = 1 %

87


ACVA =

XA

BCVB =

XB

280

CVP =

150

CVB =

CVA = 0,025

CVB = 0,020

CVA = 0,025 ≥ CVB = 0,020

O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processo

88

89

Estatística

• RANILDO LOPES

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