Estatistica

123

4 ANLISE DE VARINCIA E

TESTES DE HIPTESES

Um problema que se apresenta com maior freqncia do que qualquer

outro na anlise estatstica o de avaliar se duas ou mais amostras diferem

significativamente com relao a alguma varivel.

Este tipo de problema ocorre to freqentemente porque os

pesquisadores muitas vezes propem experimentos para comparar dois ou

mais tratamentos (amostras) entre si. Por exemplo, uma nova tcnica de

aplicao de vermfugo em caprino comparada com a tcnica tradicional,

diferentes tipos de adubos orgnicos so avaliados na cultura do tomate,

diferentes variedades de milho forrageiro so avaliadas numa determinada

regio, etc..

Em funo disso, necessrio um mtodo estatstico para solucionar

problemas dessa natureza. Um dos mtodos mais utilizados para resolver tais

problemas conhecido como anlise de varincia.

4.1 Anlise de Varincia

A anlise de varincia foi introduzida por Fisher e essencialmente

um processo baseado na decomposio da variao total existente entre uma

srie de observaes, em partes que podem ser atribudas a causas conhecidas

e numa parte devida a causas desconhecidas ou no suscetveis de controle.

Como exemplo das causas conhecidas, pode-se citar o efeito de diferentes

inseticidas no controle do pulgo em batata (Solanum tuberosum L.) cv.

RADOSA, e como exemplo das causas desconhecidas, as diferenas existentes

entre as plantas (parcelas), condicionando um tipo diferente de resposta a um

mesmo inseticida. Os efeitos dessas causas desconhecidas, ou no

controlveis, contribuem para uma poro da variao total, que isolada na

anlise de varincia, recebendo a denominao de Erro ou Resduo.

124

A variao que contribui para o erro experimental pode ser de dois

tipos:

a) Inerente prpria variabilidade do material experimental;

b) Proveniente da falta de uniformidade do ambiente em que

conduzido o experimento.

Na anlise de varincia, quando a variao total decomposta, as

causas conhecidas e desconhecidas representam, respectivamente, a variao

entre amostragens (tratamentos) e a variao dentro de amostragens (erro ou

resduo).

Como a variao total medida em termos de varincia, calculada a

soma de quadrados total, bem como o nmero de graus de liberdade, as quais

representam, respectivamente, o numerador e o denominador de equao da

varincia. Atravs do desdobramento da soma de quadrados total de duas ou

mais amostras de dados, obtm-se as suas respectivas somas de quadrados

entre amostragens e dentro de amostragens.

Tais somas de quadrados divididas pelos seus respectivos graus de

liberdade fornecem os quadrados mdios (varincias) entre amostragens e

dentro de amostragens, respectivamente, os quais so confrontados atravs de

um teste de hiptese (por exemplo, o teste F) para verificar se as amostras

avaliadas diferem significativamente ou no com relao a alguma varivel.

Os dados relativos s somas de quadrados e aos graus de liberdade,

bem como os quadrados mdios sero colocados numa tabela, chamada de

Quadro de Anlise de Varincia. A composio desta tabela est explicitada

na TABELA 4.1.

TABELA 4.1 QUADRO DA ANLISE DE VARINCIA SEGUNDO UM NICO

CRITRIO*

Causa de

Variao

Graus de

Liberdade (GL)

Soma de

Quadrados (SQ)

Quadrados

Mdios (QM)

F Calculado

Entre

Amostragens

t 1

SQ1

QM1 = SQ1/

t 1

F = QM1/

QM2

Dentro de

Amostragens

t (r 1)

SQ2 = SQ Total

SQ1

QM2 = SQ2/

t (r 1)

Total

t . r 1

SQ Total

*: A anlise de varincia denominada segundo um nico critrio, porque, no caso apresentado, foi levado em considerao apenas um critrio, representado pelos efeitos

das vrias amostragens (tratamentos). Os experimentos planejados com base neste tipo de

anlise so denominados experimentos inteiramente casualizados.

125

As frmulas matemticas e o processo de anlise de varincia para

cada tipo de experimento, sero vistos em captulos posteriores, quando for

feita uma abordagem sobre cada delineamento estatstico.

4.1.1 Suposies da anlise de varincia

Alm de aprender as regras para levar a cabo uma anlise de varincia,

todo pesquisador deve buscar o domnio e a compreenso dos princpios

inerentes a mesma, para no defrontar-se com srios problemas, como por

exemplo, chegar a concluses que no tm justificativas ou no alcanar

concluses importantes porque os dados no foram analisados adequadamente.

Desse modo, para que a anlise de varincia possa ter validade, o

pesquisador deve atender s seguintes suposies:

a) Os efeitos principais devem ser aditivos Nos experimentos, os vrios efeitos devem ser aditivos, tanto que para cada delineamento

estatstico existe um modelo matemtico denominado modelo linear aditivo.

Para o delineamento inteiramente casualizado, este modelo Xij = m + ti + eij,

onde expressa que o valor de qualquer unidade experimental resultante de

uma mdia geral, mais um efeito de tratamentos e mais um efeito do erro

experimental. O modelo correspondente ao delineamento em blocos

casualizados : Xij = m + ti + bj + eij, onde o valor de qualquer unidade

experimental resultante de uma mdia geral, mais um efeito de tratamentos,

mais um efeito de blocos e mais um efeito do erro experimental. Para o

delineamento em quadrado latino, este modelo : Xijk = m + t(k)ij + lj + cj + eijk,

onde o valor de qualquer unidade experimental resultante de uma mdia

geral, mais um efeito de tratamentos, mais um efeito de linhas, mais um efeito

de colunas e mais um efeito do erro experimental. O aspecto importante, que

deve notar-se nestes modelos, que os efeitos se somam; da o nome de

modelo linear aditivo.

O modelo para o delineamento em blocos casualizados, por exemplo,

implica que um efeito de tratamento o mesmo para todos os blocos e que o

efeito de bloco o mesmo para todos os tratamentos. Em outras palavras,

encontra-se que um tratamento aumenta a produo em certa quantidade acima

da mdia geral, supomos que este tenha o mesmo efeito tanto nos blocos de

alta produo como nos blocos de baixa produo.

Caso o que foi exposto acima no se verifique, necessrio

transformar os dados experimentais para ajust-los ao modelo aditivo.

b) Os erros de observao devem ser independentes Cada observao possui um erro que deve ser independente dos demais. O princpio

da casualizao assegura a validade da estimativa do erro experimental, pois

permite uma distribuio independente do mesmo. A casualizao evita que

126

todas as parcelas que recebem o mesmo tratamento ocupem posies

adjacentes na rea experimental, visto que as parcelas adjacentes,

principalmente no campo, tendem a estar mais relacionadas entre si do que as

parcelas distribudas aleatoriamente.

c) Os erros de observao devem ser normalmente distribudos A nica fonte de variao dentro de amostragens so os erros aleatrios. Estes

devem ter distribuio normal (ou aproximadamente normal) com mdia igual

a zero e varincia igual a S2. Felizmente, as variaes da suposio de

normalidade no afetam muito seriamente a validade da anlise de varincia.

A normalidade dos dados pode ser verificada por um teste de

normalidade, como por exemplo, o teste do quiquadrado, desde que o nmero

de amostras com as quais esto trabalhando seja definitivamente grande.

Quando se verifica que falta normalidade aos dados, usam-se as

transformaes para que os mesmos sejam normalmente distribudos. De

modo geral, dados mdios de parcelas tm distribuio normal.

d) As varincias das diferentes amostras devem ser homogneas Na anlise de varincia, o valor do Quadrado Mdio do Resduo, que

corresponde estimativa da varincia do erro experimental, utilizado nas

frmulas matemticas dos testes de hipteses. Tais testes so utilizados para

verificar se existe ou no diferena significativa entre os tratamentos

avaliados. O Quadrado Mdio do Resduo nada mais que a mdia das

varincias de cada tratamento (amostra). Assim sendo, importante que as

varincias das diferentes amostras sejam homogneas, de modo que os

resultados obtidos dos testes de hipteses tenham validade.

Entre os vrios testes estatsticos utilizados para verificar a

homogeneidade de varincias, tem-se o teste F-mximo, proposto por Hartley.

O teste F-mximo simples e rpido, porm apresenta menor preciso

quando as amostras tm graus de liberdade diferentes.

A frmula do referido teste a seguinte:

F-mximo = mnimas

mximas2

2

onde:

s2 mxima = maior valor das estimativas das varincias entre as amostras;

s2 mnima = menor valor das estimativas das varincias entre as amostras.

O valor calculado de F-mximo confrontado com o valor de F-

mximo tabelado, com K = nmero de estimativas das varincias das

diferentes amostras e (N 1) graus de liberdade associados a cada estimativa

127

de varincia, sendo N = nmero de observao de cada amostra (TABELA

A.1).

Logo tem-se:

F-mximo calculado > F-mximo tabelado (1%) - ** (as estimativas

das varincias so estatisticamente diferentes no nvel de 1% de probabilidade,

isto , no h homogeneidade de varincias);

F-mximo calculado < F-mximo tabelado (1%) - recorre-se no nvel

de 5% de probabilidade;

F-mximo calculado > F-mximo tabelado (5%) - * (as estimativas

das varincias so estatisticamente diferentes no nvel de 5% de probabilidade,

isto , no h homogeneidade de varincias);

F-mximo calculado < F-mximo tabelado (5%) - ns (as estimativas

das varincias no diferem estatisticamente entre si no nvel de 5% de

probabilidade, isto , as varincias so homogneas).

Quando os graus de liberdade para cada amostra so diferentes, toma-

se a mdia aritmtica dos mesmos para usar a TABELA A.1.

Exemplo 1: Verificar se as varincias so homogneas pelo teste F-

mximo a partir dos dados da TABELA 4.2.

TABELA 4.2 PESOS DE 20 CAPULHOS, EM GRAMAS, DE VARIEDADES DE

ALGODO HERBCEO NO MUNICPIO DE VIOSA-AL

Variedades

I

II

III

IV

V

VI

Totais de Variedades

1 ALLEN - 333/57

78

90

90

75

70

88

491

2 AFC - 65/5236 100

65

78

92

85

90

510

3 IAC - 13.1

102

95 102

85

80

98

562

4 IPEANE - SU 01

98

70

85

85

88

80

506

FONTE: FERREIRA (1977).

As varincias de cada variedade so:

5

6

491553.40

1

22

2

2

1N

N

XX

s 74,5667

128

5

6

510098.44

1

22

2

2

2N

N

XX

s 149,6000

5

6

562062.53

1

22

2

2

3N

N

XX

s 84,2667

5

6

506098.43

1

22

2

2

4N

N

XX

s 85,0667

F-mximo = mnimas

mximas2

2

149,6000/74,5667 2,01

F-mximo tabelado (K = 4; N 1 = 5): 1% = 28,0; 5% = 13,7. Logo, F-mximo = 2,01 ns. Assim, chega-se concluso de que as

estimativas das varincias do peso de 20 capulhos de variedades de algodo

herbceo so homogneas.

Uma regra prtica e rpida para verificar a homogeneidade de

varincias que a relao entre a maior e a menor delas no pode ser superior

a mais de quatro vezes para que elas sejam homogneas.

Quando as varincias das diferentes amostras no so homogneas,

tem-se diversos cursos a seguir. Primeiro, pode-se separar as amostras em

grupos, de modo que as varincias dentro de cada grupo sejam homogneas.

Assim, a anlise de varincia poder ser efetuada para cada grupo. Segundo,

pode-se utilizar um mtodo descrito em textos mais avanados de estatstica, o

qual contempla um procedimento bastante complicado para ponderar mdias

de acordo com suas varincias. Terceiro, pode-se transformar os dados de tal

forma que eles fiquem homogneos. Este mtodo o mais utilizado na prtica.

4.1.2 Transformaes de dados

Como foi visto, na anlise de varincia, algumas condies so

exigidas para que os testes de hipteses tenham validade. Contudo, como tais

condies raramente so verificadas na prtica, vrios procedimentos so

utilizados com o fim de reparar (pelo menos aproximadamente) a falta de

verificao dessas condies. Dentre os procedimentos, geralmente utilizam-

se transformaes de dados.

129

Uma transformao qualquer alterao sistemtica num conjunto de

dados onde certas caractersticas so mudadas e outras permanecem

inalteradas.

As principais transformaes so:

a) Raiz quadrada Prpria para certos tipos de dados em que a mdia aproximadamente igual varincia, ou seja, para dados oriundos de

uma distribuio de Poisson (tipo de distribuio em que os dados apresentam

uma probabilidade muito baixa de ocorrncia em qualquer indivduo os fenmenos naturais so os exemplos mais bvios desse tipo de ocorrncia).

Tais tipos de dados ocorrem quando as variveis so oriundas de contagem

como: sementes por parcela, perodo de enraizamento de bulhos, insetos por

planta, carrapatos por animal, etc.. Os dados provenientes de uma escala de

notas tambm devem ser transformados atravs da raiz quadrada. Tambm os

dados de porcentagens, referentes contagens, quando variam de 0 a 20% ou

de 80 a 100%, podem ser transformados atravs da raiz quadrada. Neste caso,

as porcentagens entre 80 e 100% devem ser, de preferncia, subtrados de 100,

antes de se fazer a transformao. A transformao da raiz quadrada , ainda,

indicada no caso de porcentagens, fora dos limites acima considerados,

quando as observaes esto claramente numa escala contnua.

Neste caso tem-se: x .

Quando nesse tipo de transformao os dados variam de 0 a 10,

trabalha-se com 5,0x ou 1x , em lugar de x .

b) Logartmica usada sempre que tem-se dados em que os desvios padres das amostras so aproximadamente proporcionais s mdias,

ou seja, todas as amostras apresentam o mesmo coeficiente de variao.

Tambm quando os efeitos principais so multiplicativos, em vez de aditivos,

os dados devem ser transformados atravs desse tipo de transformao. Essas

transformaes satisfatria quando os dados se referem contagem de

bactrias, de esporos, de gros de plen, etc.. Dados provenientes de adio de

vitaminas em animais tambm devem ser transformados atravs da

transformao logartmica. utilizada, ainda, quando os dados so

apresentados por porcentagens que abrangem uma grande amplitude de

variao.

Nesse caso tem-se: log x.

Na transformao logartmica, quando a amostra possui dados iguais a

zero ou muito prximos de zero, trabalha-se com log (x + 1).

Essa transformao deve ser usada quando as varincias de cada

amostra possuem, no mnimo, 12 observaes.

c) Arcoseno ou angular Prpria para dados em que a mdia proporcional varincia, ou seja, para dados oriundos de uma distribuio

binomial (tipo de distribuio em que os dados apresentam uma probabilidade

130

calculvel de ocorrncia ou no em qualquer indivduo). Tais tipos de dados

ocorrem quando as variveis so oriundas de proporo como: porcentagem de

germinao de sementes, porcentagem de mortalidade de plantas infectadas

com vrus, porcentagem de sobrevivncia de bezerros da raa Nelore, etc..

Nesse caso tem-se: arco seno (%)x .

Na transformao arco seno, quando todos os dados esto entre 30 e

70% no precisa usar a transformao. Se os dados extrapolam esta amplitude,

usa-se ento a transformao.

Quando o nmero de observaes for menor que 50 (N < 50), a

proporo 0% deve ser substituda por 1/4 N e a proporo 100% para 100

1/4 N , antes de transformar os dados em arco seno (%)x .

Existe uma tabela prpria para esta transformao (TABELA A.2).

4.1.2.1 Escolha da melhor transformao

Em alguns casos fica-se sem saber qual seria a transformao mais

adequada. Quando defrontar-se com tais situaes, tem-se vrias maneiras

para escolher a melhor transformao. Entre as vrias maneiras, uma das mais

simples por meio de grficos, onde se coloca no eixo dos x e y as mdias e

varincias respectivas de cada amostra para cada transformao e seleciona-se

a que apresentar menor disperso.

Outro procedimento aplicar cada transformao para o maior e o

menor dado de cada amostra. A amplitude dentro de cada amostra

determinada e a razo entre a maior e a menor amplitude calculada. A

transformao que produz a menor razo a selecionada.

Exemplo 2: Escolher a melhor transformao a partir de dados da

TABELA 4.3.

131

TABELA 4.3 PERODO DE ENRAIZAMENTO (EM DIAS) DE CULTIVARES DE CEBOLA (Allium cepa L.) DE DIAS CURTOS. PIRACICABA SP

Cultivares

I

II

Totais de Cultivares

01 BAIA PERFORME

48,0

33,4

81,4

02 BAIA DO CEDO SMP-V 18,4 10,2 28,6

03 BAIS TRIUNFO SMJ-II 46,6 42,8 89,4

04 BARREIRO SMJ-II 14,0 32,0 46,0

05 COJUMATLAN L. 2691 10,6 2,4 13,0

06 CREOLA CATARINENSE 64,0 44,7 108,7

07 EXCEL BEMUDAS 986 31,0 14,8 45,8

08 IPA 2 17,0 10,8 27,8

09 PIRA OURO A/R 16,8 26,8 43,6

10 PIRA TROPICAL A/C 15,2 9,8 25,0

11 TEXAS GRANO 11,4 2,5 13,9

12 WHITE CREOLE 26,0 18,4 44,4

13 BAIA DO CEDO SMJ-III 24,2 8,4 32,6

14 BAIA SETE VOLTAS 19,4 18,2 37,6

15 BARREIRO ROXA SMP-IV 8,0 14,2 22,2

16 BARREIRO SMP-III 22,0 36,2 58,2

17 CIGANINHA 4,6 6,2 10,8

18 CREOLA 19,8 28,4 48,2

19 PIRA COUTO 16,2 22,2 38,4

20 PIRA GRANA 32,6 21,4 54,0

21 PIRA LOPES A/R 25,8 5,0 30,8

22 PIRA PERA A/C 19,4 16,0 35,4

23 PIRA LOPES A/C 18,6 8,0 26,6

24 ROXA CHATA SMP IV 13,0 5,4 18,4

25 TUBARO 19,2 13,2 32,4

FONTE: FERREIRA (1982).

Os resultados esto contidos no quadro a seguir:

132

Cultivares

Raiz Quadrada

Logartmica

Maior

Menor

Amplitude

Maior

Menor

Amplitude

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

6,9282

4,2895

6,8264

5,6569

3,2558

8,0000

5,5678

4,1231

5,1769

3,8987

3,3764

5,0990

4,9193

4,4045

3,7683

6,0166

2,4900

5,3292

4,7117

5,7096

5,0794

4,4045

4,3128

3,6056

4,3818

5,7793

3,1937

6,5422

3,7417

1,5492

6,6858

3,8471

3,2863

4,0988

3,1305

1,5811

4,2895

2,8983

4,2661

2,8284

4,6904

2,1448

4,4497

4,0249

4,6260

2,2361

4,0000

2,8284

2,3238

3,6332

1,1489

1,0958

0,2842

1,9152

1,7066

1,3142

1,7207

0,8368

1,0781

0,7682

1,7953

0,8095

2,0210

0,1384

0,9399

1,3262

0,3452

0,8795

0,6868

1,0836

2,8433

0,4045

1,4844

1,2818

0,7486

1,6812

1,2648

1,6684

1,5052

1,0253

1,8062

1,4914

1,2304

1,4281

1,1818

1,0569

1,4150

1,3838

1,2878

1,1523

1,5587

0,7924

1,4533

1,3464

1,5132

1,4116

1,2878

1,2695

1,1139

1,2833

1,5237

1,0086

1,6314

1,1461

0,3802

1,6503

1,1703

1,0334

1,2253

0,9912

0,3979

1,2648

0,9243

1,2601

0,9031

1,3424

0,6628

1,2967

1,2095

1,3304

0,6990

1,2041

0,9031

0,7324

1,1206

0,1575

0,2562

0,0370

0,3591

0,6451

0,1559

0,3211

0,1970

0,2028

0,1906

0,6590

0,1502

0,4595

0,0277

0,2492

0,2163

0,1296

0,1566

0,1369

0,1828

0,7126

0,0837

0,3664

0,3815

0,1627

Razo = Amplitude

Mxima/Amplitude

Mnima

2,8433/0,1384 20,54

0,7126/0,0277 25,73

Pelos resultados apresentados acima, verifica-se que a transformao

mais adequada a raiz quadrada, pois a mesma apresentou o menor

coeficiente entre as amplitudes (20,54).

4.1.2.2 Coeficiente de variao como indicativo para o uso de

transformaes

Uma indicao razovel do efeito favorvel das transformaes de

dados o coeficiente de variao (CV). Quando o valor do CV dos dados

transformados for menor que o valor do CV dos dados originais ou no

133

transformados, indica que a transformao foi vlida. Em caso contrrio, no

se justifica o seu uso.

Considerando os dados do Exemplo 2, tem-se:

Dados originais CV = 38,26%

Dados transformados em x CV = 21,35%

Dados transformados em log x CV = 32,49%

Realmente, as transformaes de dados foram vlidas, pois houve uma

reduo muito significativa nos coeficientes de variao em relao aos dados

originais, indicando que os dados experimentais foram ajustados de acordo

com as exigncias da anlise de varincia. Contudo, a transformao da raiz

quadrada foi novamente confirmada como sendo a melhor transformao para

tais dados.

4.1.2.3 Algumas consideraes

Quando utilizada uma transformao de dados, todas as

comparaes entre mdias de tratamentos so feitas na escala transformada.

Quando se achar prefervel no apresentar os resultados na escala

transformada, os dados finais devem ser transformados novamente para a

escala original. Isto feito elevando-se ao quadrado, no caso de x ; achando

o antilogartmo, no caso de log x; e procurando o valor correspondente na

tabela de arco seno (%)x , no caso de transformao angular.

Em certos casos, no existe nenhuma transformao que possibilite o

uso da anlise de varincia. Isto ocorre quando:

a) As mdias so aproximadamente iguais e as varincias

heterogneas;

b) As varincias so homogneas porm os nveis dos tratamentos so

heterogneos em forma;

c) As mdias variam independentemente das varincias.

Se alguns destes casos ocorrem, a anlise dos dados feita atravs de

mtodos no paramtricos.

4.2 Testes de Hipteses

A retirada de concluses sobre uma ou mais populaes feita atravs

da estimao de parmetros ou pelos testes de hipteses. A estimao de

parmetros (a mdia, o desvio padro, etc.) feita por diversos mtodos, os

134

quis j foram vistos no Captulo 3. Quanto aos testes de hipteses, os mesmos

so usados pelos pesquisadores para decidir sobre a aceitao ou rejeio de

hipteses. Hipteses so suposies acerca dos parmetros de uma ou mais

populaes. Por exemplo, pode-se estar interessado em testar a hiptese de

que no h diferena entre a produo mdia de duas variedades do sorgo

granfero sujeitas s mesmas condies climticas, ou testar se trs tipos de

raes proporcionam o mesmo ganho de peso em bezerros da raa Nelore. Os

referidos testes so utilizados para tomar tais decises, das quais so tiradas as

concluses.

Antes de aplicar tais testes, deve-se formular as hipteses estatsticas.

Pode-se considerar duas hipteses, so elas: H0 a hiptese que determina a

ausncia de efeito de tratamentos, ou seja, indica que no existe diferena

significativa entre os tratamentos (ela chamada de hiptese de nulidade); e

H1, chamada de hiptese alternativa, a que determina a presena de efeito de

tratamentos, ou seja, indica a existncia de diferena significativa entre os

tratamentos. A rejeio de H0 implica a aceitao da hiptese alternativa H1.

Considerando o exemplo das variedades de sorgo granfero, tem-se:

H0 : m A = m B

H1: m A m B

H1 : m A > m B

ou

H1 : m A < m B

Ao testar-se as hipteses pode-se cometer geralmente dois tipos de

erros, os quais so: rejeitar H0, quando ela verdadeira (erro tipo I); aceitar

H0, quando ela falsa (erro tipo II).

Dos dois tipos de erros o mais importante o do tipo I. Esse tipo de

erro, nos procedimentos de comparaes mltiplas, pode ser medido de duas

maneiras, a saber: A primeira, refere-se avaliao da probabilidade de se

rejeitar uma hiptese verdadeira em todas as possveis combinaes dos nveis

dos tratamentos tomados dois a dois, sendo conhecida por taxa de erro tipo I

por comparao. A segunda, refere-se medida do erro tipo I como a

probabilidade de se realizar pelo menos uma inferncia errada por

experimento e conhecida por taxa de erro tipo I por experimento. A

probabilidade de cometer-se o erro tipo I chamada nvel de significncia

( ). Os nveis de significncias mais usados na prtica so 5 e 1%.

135

Existe um outro tipo de erro, quase nunca considerado, que seria

classificar um nvel de tratamento como superior ao outro, quando de fato o

segundo nvel supera o primeiro (erro tipo III). Esse tipo de erro tem muita

importncia para a rea do melhoramento gentico de plantas, pois poder

alterar a classificao dos gentipos e fazer com que o fitomelhorista

recomende uma linhagem ou cultivar de pior desempenho.

Para que um teste de hiptese seja considerado um bom teste deve-se

ter uma pequena probabilidade de rejeitar H0 se esta for verdadeira, mas

tambm, uma grande probabilidade de rejeit-la se ela for falsa. A

probabilidade de rejeitar H0, quando ela for falsa, chamada poder do teste.

O quadro seguinte resume a natureza dos erros tipo I e tipo II

envolvidos no processo de deciso quando se testam as hipteses:

H0 Verdadeira

H0 Falsa

Rejeio H0

Erro Tipo I

Deciso Correta

Aceitao H0

Deciso Correta

Erro Tipo II

Na execuo de um teste de hiptese estatstica, para que o mesmo

tenha validade, deve-se levar em considerao as seguintes etapas:

a) Formulao das hipteses Deve-se, inicialmente, formular as hipteses de nulidade e alternativa.

b) Especificao do nvel de significncia ( ) A escolha do nvel de significncia deve ser feita antes de realizar os experimentos. Usa-se,

geralmente, igual a 5 ou 1% de probabilidade, de maneira a ter-se o erro

tipo I o menor possvel. Salvo em algumas situaes usam-se outros nveis.

c) Escolha do teste estatstico Em funo das hipteses que vo ser testadas, pode-se usar o teste t, F, x

2, etc., a partir dos dados de observao. O

teste escolhido deve ser adequado ao material e ao tipo de dados.

d) Determinao da regio crtica Dependendo do teste escolhido determinam-se s regies de aceitao e rejeio da hiptese de nulidade.

Geralmente quando o valor calculado for menor que a probabilidade especfica

por na tabela, aceita-se a hiptese de nulidade, enquanto que quando o valor

calculado for igual ou maior que a probabilidade especfica por na tabela,

rejeita-se a hiptese de nulidade.

e) Deciso final Baseados no valor obtido pelo teste estatstico e no valor tabelado, toma-se deciso final com respeito s hipteses. Geralmente

as concluses sobre os tratamentos so feitas observando-se as mdias

identificadas ou no por mesma letra. Quando no h um tratamento controle

ou testemunha convm responder as seguintes perguntas: (1) Qual o melhor

136

tratamento? (2) Quais so os tratamentos que no diferem significativamente

do melhor? (3) Qual o pior tratamento? (4) Quais so os tratamentos que no

diferem significativamente do pior? Por outro lado, quando um dos

tratamentos o controle ou testemunha as concluses so feitas em relao a

este tratamento e, em geral, procura-se responder s seguintes perguntas: (1)

Quais so os tratamentos melhores que o controle? (2) Quais so os

tratamentos que no diferem significativamente do controle? (3) Quais so os

tratamentos piores que o controle?

4.2.1 Teste F

O teste F tem seu maior emprego nas anlises de varincia dos

delineamentos experimentais. Ele usado para comparar varincias.

Como foi visto anteriormente, o F calculado o quociente do

quadrado mdio de tratamentos (QMT) pelo quadrado mdio do resduo

(QMR), ou seja:

F = QMR

QMT

Por que o teste F o quociente entre o QMT pelo QMR?

Se se calcular, por exemplo, a esperana matemtica dos quadrados

mdios [E (QM)] da anlise de varincia de um delineamento inteiramente

casualizado, admitindo-se o modelo matemtico aleatrio, tem-se:

Quadro da ANAVA

Causa de Variao

GL

QM

E(QM)

Tratamentos

Resduo

t 1

t (r 1)

s2

1

s2

2

s2

+ r. s2

t

s2

Total

t . r 1

De onde obtm-se:

s 2 = s 22 que a estimativa da varincia do erro experimental;

s 2 + r . s 2t = s2

1

137

s 2t = r

ss 221 que a estimativa da varincia de tratamentos.

Por essa observao v-se o porqu do teste F ser o quociente entre

QMT pelo QMR, ou seja,

F = QMR

QMT =

2

2

2

1

s

s =

2

2

t

2

s

s.rs

Nesta expresso est-se comparando a varincia de tratamentos com a

varincia do erro experimental.

Verifica-se, portanto, que tanto o QMT como o QMR estimam

varincias, e interpreta-se:

QMR = varincia do erro experimental;

QMT = varincia do erro experimental acrescida de uma possvel

varincia devida aos tratamentos.

O valor de F calculado comparado com o valor de F tabelado

(F > 1), com n1 = graus de liberdade de tratamentos e n2 = graus de liberdade

do resduo (TABELAS A.3 e A.4).

Logo, tem-se:

F calculado > F tabelado (1%) - ** (existe diferena significativa entre

os tratamentos no nvel de 1% de probabilidade, ou seja, com mais de 99% de

probabilidade deve existir pelo menos um contraste entre mdias de

tratamentos que difere de zero);

F calculado < F tabelado (1%) - recorre-se no nvel de 5% de

probabilidade;

F calculado > F tabelado (5%) - * (existe diferena significativa entre




F calculado < F tabelado (5%) - ns (no existe diferena significativa

entre os tratamentos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, com 95% de

probabilidade no existe nenhum contraste entre mdias de tratamentos que

difere de zero).

Quando se aplica o teste F na anlise de varincia est-se testando as

seguintes hipteses:

a) H0 : os tratamentos no diferem entre si;

b) H1: pelo menos dois deles diferem entre si.

No teste, sempre se aceita uma hiptese e rejeita-se a outra.

138

Obviamente, se no h efeito de tratamentos, os dois quadrados

mdios estimam a mesma varincia e, consequentemente, qualquer diferena

em ordem de grandeza entre eles ser devido ao acaso.

Exemplo 3: Verificar pelo teste F se existe ou no diferena

significativa entre os tratamentos referentes aos dados da TABELA 4.4.

TABELA 4.4 ANLISE DA VARINCIA E COEFICIENTE DE VARIAO DA

REAO DE RESISTNCIA DE POPULAES DE Cucurbita ssp. A

Colletotrichum gloeosporioides f. sp. cucurbitae. DADOS

TRANSFORMADOS EM x . PIRACICABA, SP

Causa da Variao

GL

SQ

QM

F

Populaes

Resduos

12

26

1,188133

0,794191

0,099011

0,030546

3,24

Total

38

1,982327

Coeficiente de Variao: %

10,09

FONTE: MELO e FERREIRA (1983).

As tabelas de F com n1 = 12 e n 2 = 26 fornecem os seguintes valores:

1% = 2,96 e 5% = 2,15.

Logo, F calculado (3,24) > F tabelado (1%) (2,96) - **. Assim, chega-

se concluso que existe diferena significativa, no nvel de 1% de

probabilidade, pelo teste F, na reao de populaes de Cucurbita ssp. a

Colletotrichum gloeosporioides f. sp. cucurbitae.

Quando se faz a anlise de varincia de um experimento com apenas

dois tratamentos, pelo prprio teste F pode-se chegar ao melhor deles,

simplesmente observando as mdias dos mesmos. Quando, porm, tem-se

mais de dois tratamentos, no se pode chegar ao melhor deles pelo referido

teste. Neste caso, h necessidade de aplicao de um teste de comparao de

mdias de tratamentos para chegar-se a tal concluso.

Como foi visto, espera-se quase sempre na anlise de varincia que

todos os quadrados mdios de tratamentos obtidos sejam iguais ou superiores

ao que se obtm do resduo. Nestas condies, s se justifica o uso das tabelas

de limites unilaterais de F (TABELAS A.3 e A.4). Quando, porm, esta

situao no se verifica, ou seja, quando o quadrado mdio de tratamentos

menor que o quadrado mdio do resduo, aconselhar-se- o uso das tabelas de

limites bilaterais de F (TABELAS A.5 e A.6).

139

Este fato, embora no deva ser esperado, pode ocorrer, e s vezes

sintoma de defeitos na anlise da varincia. Uma das explicaes possveis a

presena de erros grosseiros no clculo das somas de quadrados ou dos

nmeros de graus de liberdade. Outra explicao bem comum a de que o

resduo inclua alguma importante causa de variao que foi controlada, mas

no foi isolada na anlise da varincia.

s vezes, porm, nenhuma destas explicaes serve, mas isto no

causa de preocupao porque, do ponto de vista do Clculo de Probabilidades,

o caso, embora pouco provvel, no impossvel, logo dever ocorrer uma

vez ou outra.

Neste caso, quando se comparar o valor de F calculado com o valor de

F tabelado ( F < 1), com n1 = graus de liberdade de tratamentos e n2 = graus de

liberdade do resduo (TABELAS A.5 e A.6), basta apenas inverter os sinais do

caso anterior, ou seja:

F calculado < F tabelado (1%) - ** (existe diferena significativa entre




F calculado > F tabelado (1%) - recorre-se no nvel de 5% de

probabilidade;

F calculado < F tabelado (5%) - * (existe diferena significativa entre




F calculado > F tabelado (5%) - ns (no existe diferena significativa


probabilidade no existe nenhum contraste entre mdias de tratamentos que

difere de zero).


significativa entre os tratamentos referentes aos dados da TABELA 4.5.

140

TABELA 4.5 ANLISE DA VARINCIA E COEFICIENTE DE VARIAO DA REAO DE POPULAES SEGREGANTES DE PIMENTO

(Capsicum annuum L.) EM RELAO AO VRUS Y. DADOS

TRANSFORMADOS EM 5,0x . PIRACICABA, SP

Causa da Variao

GL

SQ QM

F

Populaes

Resduos

1

18

0,0092681

0,2794557

0,0092681

0,0155253

0,597

Total

19

0,2887238


13,90

FONTE: FERREIRA e MELO (1983).

As tabelas de F com n 1 = 1 e n2 = 18 fornecem os seguintes valores:

1% = 0,0000404 e 5% = 0,0010.

Logo, F calculado (0,597) > F tabelado (5%) (0,0010) - ns. Assim,

chega-se concluso de que no existe diferena significativa, no nvel de 5%

de probabilidade, pelo teste F, na reao de populaes segregantes de

pimento em relao ao vrus Y.

O teste F tambm pode ser utilizado quando se quer comparar as

varincias de duas amostras (s 21 e s2

2 ), supostas independentes.

Assim, admitindo-se s 21 , calculada com N1 dados e s2

2 , com N2 dados.

Diz-se, ento, que s 21 tem N1 1 graus de liberdade e, analogamente, s2

2 tem

N2 1 graus de liberdade. O F neste caso o quociente entre as duas varincias, ou seja:

F = 2

2

2

1

s

s

Admite-se sempre s 21 > s2

2 , de modo que tem-se F > 1.

O valor de F calculado comparado com o F tabelado, o qual obtido

em funo dos nmeros de graus de liberdade N1 1 e N2 1,

respectivamente, de s 21 e s2

2 .

Neste caso, quando se aplica o teste F est-se testando as seguintes

hipteses:

a) H0: S2

1 = S2

2 , isto , a hiptese de nulidade admite que as duas

populaes tm a mesma varincia;

141

b) H1: S2

1 > S2

2 , isto , a hiptese alternativa admite que a populao 1

tem maior varincia do que a populao 2.


significativa entre as varincias dos dois tratamentos a partir de dados da

TABELA 4.6.

TABELA 4.6 GANHOS DE PESO (kg), DE LEITOAS DUROC JERSEY

ALIMENTADAS COM FENO DE ALFAFA E FENO DE QUICUIO

POR UM PERODO DE TRS MESES

Feno de Alfafa

Feno de Quicuio

67,5 kg

70,5 kg

76,0 kg

67,5 kg

65,0 kg

58,5 kg

65,0 kg

64,0 kg

Mdias 70,4 kg 63,1 kg

FONTE: GOMES (1985).

Logo, tem-se:

s2 =

1

2

2

N

N

XX

2

1s =

3

4

5,2815,670,765,705,67

22222

= 16,062333

s 22 =

3

4

5,2520,640,655,580,65

22222

= 9,729000

F = 2

2

2

1

s

s =

729000,9

062333,16 1,65

As tabelas de F com n1 = 3 e n2 = 3 fornecem os seguintes valores:

1% = 29,46 e 5% = 9,28.

142

Desse modo, F calculado (1,65) < F tabelado (5%) (9,28) - ns. Assim,

chega-se concluso de que no existe diferena significativa, no nvel de 5%

de probabilidade, pelo teste F, entre as varincias dos tratamentos, ou seja, as

duas raes proporcionam o mesmo ganho de peso em leitoas Duroc Jersey.

4.2.2 Teste t

O teste t um teste clssico usado para comparar mdias de

tratamentos. mais complexo que o teste de Scheff, porm o teste de

menor rigor. Para a sua aplicao o pesquisador deve levar em conta os

seguintes requisitos:

a) As comparaes feitas pelo teste t devem ser escolhidas antes de

serem examinados os dados experimentais;

b) As comparaes feitas devem ser, no mximo, iguais ao nmero de

graus de liberdade de tratamentos;

c) O teste t exige que as comparaes definidas sejam contrastes

ortogonais.

Mas o que se deve entender por contraste e o que so contrastes

ortogonais?

Se ,m1 ,m2 3m e 4m so as mdias de quatro tratamentos de um

experimento, 1Y = 1m ,m2 2Y = 1m + 2m 2 3m e 3Y = 1m + 2m + 3m

3 4m so exemplos de contrastes. O que caracteriza um contraste que se as

mdias que nele ocorrem forem todas iguais, o contraste dever ser nulo. Para

que isto acontea, a soma algbrica dos coeficientes das mdias deve ser nula.

De fato, com 1m = 2m = 3m = 4m = 1, tem-se:

1Y = 1 1 = 0

2Y = 1 + 1 2 (1) = 0

3Y = 1 + 1 + 1 3 (1) = 0

Os contrastes podem ser:

a) simples quando envolve apenas dois tratamentos; b) mltiplos quando mais de dois tratamentos esto envolvidos. Os contrastes so ortogonais quando o somatrio da multiplicao dos

coeficientes de cada mdia em cada contraste igual a zero.

Considerando o exemplo a seguir, tem-se:

143

_______________________________________________________________

Y

1m

2m

3m

4m

1Y

2Y

3Y

1

1

1

1

1

1

0

2

1

0

0

3

=

1

1

0

0 = 0

__________________________________________________________________________

Diz-se ento que os contrastes 1Y , 2Y e 3Y so ortogonais.

Pode-se tolerar o uso do teste t para alguns contrastes no ortogonais,

desde que o seu nmero no exceda o nmero de graus de liberdade de

tratamentos.

Na anlise de varincia, quando se tem mais de dois tratamentos e o

teste F for significativo, pode-se utilizar o teste t na comparao de mdias de

tratamentos, cuja frmula a seguinte:

t = Ys0Y

2

onde:

Y = um constante qualquer;

s2 Y = a estimativa da varincia da estimativa de um contraste.

O valor de s2 Y obtido atravs da seguinte frmula:

a) Para o caso do delineamento inteiramente casualizado, tem-se:

s2 Y = 2

22

2

2

1 ...21

srN

CN

r

C

r

C

onde:

C = o coeficiente do contraste;

r = o nmero de repeties da mdia;

s2 = a estimativa da varincia do erro experimental, que corresponde ao

quadrado mdio do resduo.

144

Como, geralmente, na rea da agropecuria os pesquisadores tm mais

interesse pelos contrastes simples, a frmula de s2 Y fica da seguinte

maneira:

s2 Y = 2s

2r

1

1r

1

onde:




b) Para o caso do delineamento em blocos casualizados, tem-se:

b.1) Quando nos contrastes simples as mdias dos tratamentos

avaliados apresentam o mesmo nmero de repeties (sem parcela perdida), a

frmula de s2 Y fica da seguinte maneira:

s2 Y = 2s

r

2

onde:




b.2) Quando se tem apenas uma parcela perdida, a frmula de s2 Y

fica assim:

s2 Y =

2s

1t1rr

t

r

2

onde:

t = o nmero de tratamentos do experimento;

r = o nmero de repeties do experimento;



145

Esta frmula usada para comparar contrastes envolvendo a mdia do

tratamento com uma parcela perdida e a mdia de qualquer um dos

tratamentos sem parcela perdida.

b.3) Quando se tem mais de uma parcela perdida, a frmula de s2 Y

fica assim:

s2 Y = 2s

2r

1

1r

1

onde:

r = o nmero efetivo de repeties;



Os valores de r, nmero efetivo de repeties, so obtidos atravs da

regra prtica de Taylor, ou seja, considerando-se o contraste u1 mmY ,

entre as mdias dos tratamentos i e u . O tratamento i ter o seguinte nmero

efetivo de repeties: valor 1 para os blocos onde os tratamentos i e u

aparecem; valor t 2/t 1 nos blocos onde o tratamento i aparece e o tratamento u no aparece, sendo t = nmero de tratamentos do experimento;

valor 0 nos blocos onde o tratamento i no aparece (o tratamento u pode

aparecer ou no). A soma dos valores de todos os blocos constituir o nmero

efetivo de repeties do tratamento i. Para o tratamento u segue-se a mesma

regra.



tratamentos sem parcela perdida, bem como contraste envolvendo duas mdias

de tratamentos com parcelas perdidas.

c) Para o caso do delineamento em quadrado latino, tem-se:

c.1) Quando nos contrastes simples as mdias dos tratamentos

avaliados apresentam o mesmo nmero de repeties (sem parcela perdida), a

frmula de s2 Y fica da seguinte maneira:

s2 Y = 2s

r

2

onde:




146

c.2) Quando se tem apenas uma parcela perdida, a frmula de s2 Y

fica assim:

s2 Y =

2s

2r1r

1

r

2

onde:

r = o nmero de repeties do experimento;





tratamentos sem parcela perdida.

c.3) Quando se tem mais de uma parcela perdida, deve-se seguir o

mesmo procedimento visto para o delineamento em blocos casualizados.

Para verificar a significncia estatstica dos contrastes, compara-se o

valor de t calculado de cada contraste com o valor de t tabelado, com n1 =

nvel de significncia (o nvel de 5% de probabilidade o mais utilizado na

prtica) e n2 = graus de liberdade do resduo (TABELA A.7).

Logo, tem-se:

t calculado t tabelado (5%) - * (existe diferena significativa entre

os tratamentos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade

acima de 95% de que o contraste seja diferente de zero);

t calculado < t tabelado (5%) - ns (no existe diferena significativa


probabilidade o contraste no difere de zero).

Quando se aplica o teste t est-se testando as seguintes hipteses:

a) H0 : Y = 0 (tratamentos semelhantes);

b) H1 : Y 0 (tratamentos diferentes).

Exemplo 6: Verificar pelo teste t se existe ou no diferena

significativa em um grupo escolhido de contrastes ortogonais a partir de dados

da TABELA 4.7.

147

TABELA 4.7 PRODUO MDIA (kg DE ACAR/t DE CANA), E VALORES DE GLR, QMR E F DE VARIEDADES DE CANA-DE-ACAR

(Saccharum officinarum L.). PIRACICABA-SP

Variedades

Mdias 1/

1 Co 775 2 Co 740 3 Co 421 4 Co 678 5 Co 419 6 Co 413

133,75

133,10

120,43

118,46

114,77

113,92

GLR

18

QMR

83,3753

F

3,77 *

FONTE: CAMPOS (1984).

NOTA: (1/) Dados mdios provenientes de quatro repeties no delineamento inteiramente

casualizado.

Pode-se organizar diversos grupos de contrastes ortogonais com os

seis tratamentos, sendo que cada grupo dever ter, no mximo, cinco

contrastes.

Por exemplo, pode-se ter os seguintes contrastes ortogonais:

1Y = 654321 mmmmmm

2Y = 653 mmm2

3Y = 65 mm

4Y = 421 m2mm

5Y = 21 mm

Considerando-se que eles foram estabelecidos a priori, isto , no

foram sugeridos pelos prprios resultados, ento se pode aplicar o teste t.

Os resultados esto contidos na tabela a seguir:

148

Contraste

Valor

S2 ( Y )

t calculado

Y 1

36,19

125,0630 3,24 *

Y 2 12,17 125,0630 1,09 ns

Y 3 0,85 41,6877 0,13 ns

Y 4 29,93 125,0630 2,68 *

Y 5 0,65 41,6877 0,10 ns

t tabelado (5%)

2,10

De acordo com os resultados obtidos pode-se chegar s seguintes

concluses:

a) O contraste Y 1 foi significativo no nvel de 5% de probabilidade,

ou seja, a mdia dos rendimentos das variedades Co 775, Co 740 e Co 678

significativamente maior do que a mdia dos rendimentos das demais

variedades.

b) O contraste Y 2 no foi significativo no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, o rendimento mdio da variedade Co 421 no difere da

mdia do rendimento das variedades Co 419 e Co 413.

c) O contraste Y 3 no foi significativo no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, as variedades Co 419 e Co 413 apresentam rendimento

mdios semelhantes.

d) O contraste Y 4 foi significativo no nvel de 5% de probabilidade,

ou seja, a mdia dos rendimentos das variedades Co 775 e Co 740

significativamente maior do que o rendimento mdio da variedade Co 678.

e) O contraste Y 5 no foi significativo no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, as variedades Co 775 e Co 740 apresentam

rendimentos mdios semelhantes.

O teste t tambm pode ser utilizado quando se quer comparar as

mdias de duas amostras ( m 1 e m 2).

Assim, m 1 calculada com N1 dados e m 2 , com N2 dados. Diz-se,

ento, que m 1 tem N1 1 graus de liberdade e, analogamente, m 2 tem N2 1 graus de liberdade.

O valor de t dado pela frmula:

21

2

m

21

N

1

N

1s

mmt

149

onde:

s 2m = a mdia das varincias das duas amostras (s2

1 e s2

2 ).

O valor de s 2m dado pela frmula:

s 2m = 2

s s 222

1 =

2

11 2

2

2

2

1

1

2

2

N

N

XX

N

N

XX

Neste caso, o valor de t calculado comparado com o de t tabelado da

mesma forma como foi visto anteriormente. Contudo, o valor de t tabelado

obtido na tabela (TABELA A.7) com n1 = nvel de significncia (o nvel de

5% de probabilidade o mais utilizado na prtica) e n2 = graus de liberdade,

que igual a N1 + N2 2. Quando se aplica o teste t, nesta situao, est-se testando as seguintes

hipteses:

a) H0 : 1m = 2m , isto , a hiptese de nulidade admite que as duas

populaes tm a mesma mdia;

b) H1 : 2m 2m , isto , a hiptese alternativa admite que as duas

populaes tm mdias diferentes.

Exemplo 7: Verificar pelo teste t se existe ou no diferena

significativa entre as mdias dos dois tratamentos a partir de dados da

TABELA 4.8.

TABELA 4.8 PRODUO MDIA (quintais/acre) DE DUAS VARIEDADES DE

BATATINHA DURANTE CINCO ANOS

Variedades

Ano Mdias

1o 2

o 3

o 4

o 5

o

A

34

30

41

25

45

35

B 30 17 33 25 25 26

FONTE: CENTENO (1982).

Logo, tem-se:

150

1

2

2

2

N

N

XX

s

4

5

1754525413034

s

222222

2

1 65,5

4

5

1302525331730

s

222222

2

2 37,0

2

0,375,65s2m 51,25

1m = 5

175 = 35

2m = 5

130 = 26

21

2

m

21

N

1

N

1s

mmt

5

1

5

125,51

2635t 1,99 ns

t tabelado (5%) = 2,31

De acordo com o resultado obtido pode-se concluir que o contraste

no foi significativo no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, as duas

variedades de batatinha so igualmente produtivas.

4.2.3 Teste de Bonferroni (tB)

O teste de Bonferroni um aperfeioamento do teste t e para a sua

aplicao o pesquisador deve levar em conta os mesmos requisitos deste.

151

Esse aperfeioamento se deve ao fato de que o teste t aplicado para

dois ou mais contrastes num mesmo experimento no exato. Por exemplo, na

aplicao do teste t, onde se usaram os dados da TABELA 4.7 (Exemplo 6),

foi de 5% o nvel de significncia adotado para cada um dos cinco contrastes.

A probabilidade de que um, pelo menos, seja significativo, por simples acaso,

, aproximadamente, de 5 X 5 = 25%. No geral, se o nvel de probabilidade for

para cada contraste, a probabilidade de que um pelo menos de n contrastes

ortogonais seja significativo de n. Para resolver esse problema, o teste de Bonferroni indica o uso, para

cada contraste, de um nvel de probabilidade = /n, pois ento, para o

conjunto tem-se n = . No Exemplo 6, com = 5% e n = 5, o valor de tB para cada contraste deve corresponder a uma probabilidade de 5/5 = 1%. O

resultado efetivo desse procedimento a alterao do nvel de significncia

para a determinao do valor tabelado de t (TABELA A.7), dividindo-se o

nvel nominal (o nvel de 5% de probabilidade o mais utilizado na prtica)

pelo nmero de contrastes ortogonais.

Na anlise de varincia, quando se tem mais de dois tratamentos e o

teste F for significativo, pode-se utilizar o teste de Bonferroni na comparao

de mdias de tratamentos, cuja frmula a seguinte:

tB = Ys0Y

2

onde:

Y = um constante qualquer;

s2 Y = a estimativa da varincia da estimativa de um contraste (ver teste t).

Para verificar a significncia estatstica dos contrastes, compara-se o

valor de tB calculado de cada contraste com o valor de tB tabelado, com n1 =

nvel de significncia = /n e n2 = graus de liberdade do resduo (TABELA A.7).

Logo, tem-se:

tB calculado tB tabelado () - existe diferena significativa entre os

tratamentos no nvel de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade acima de x% de que o contraste seja diferente de zero;

tB calculado < tB tabelado () - ns (no existe diferena significativa

entre os tratamentos no nvel de probabilidade, ou seja, com x% de probabilidade o contraste no difere de zero).

Quando se aplica o teste tB est-se testando as seguintes hipteses:


152


Considerando os dados do Exemplo 6, tm-se os seguintes resultados

que esto contidos na tabela a seguir:

Contraste

Valor

S2 ( Y )

tB calculado

Y 1

36,19

125,0630 3,24 **

Y 2 12,17 125,0630 1,09 ns

Y 3 0,85 41,6877 0,13 ns

Y 4 29,93 125,0630 2,68 ns

Y 5 0,65 41,6877 0,10 ns

tB tabelado (1%)

2,88


concluses:

a) O contraste Y 1 foi significativo no nvel de 1% de probabilidade,

ou seja, a mdia dos rendimentos das variedades Co 775, Co 740 e Co 678

significativamente maior do que a mdia dos rendimentos das demais

variedades.





probabilidade, ou seja, as variedades Co 419 e Co 413 apresentam rendimento

mdios semelhantes.

d) O contraste Y 4 no foi significativo no nvel de 1% de

probabilidade, ou seja, a mdia dos rendimentos das variedades Co 775 e Co

740 no difere do rendimento mdio da variedade Co 678.




Observa-se o rigor do teste de Bonferroni neste exemplo em relao

ao teste t, pois ele detectou diferena significativa entre os tratamentos apenas

no contraste Y 1, enquanto que o teste t encontrou diferena significativa

nos contrastes Y 1 e Y 4.

153

4.2.4 Teste LSD

O teste da diferena mnima significativa (LSD), apesar de sujeito a

severas restries, ainda um teste bastante empregado na comparao de

mdias de tratamentos. Apesar desse teste se basear no teste t, sua aplicao

muito mais simples, por ter apenas um valor do LSD para comparar com todos

os contrastes, o que no ocorre com o teste t. Desde que seja utilizado com

cuidado, no conduz a erros demasiados.

Na anlise de varincia, quando o teste F for significativo e se tem

mais de dois tratamentos, o teste LSD o mais utilizado quando se deseja

fazer comparaes planejadas (so comparaes definidas antes de serem

examinados os dados experimentais) de mdias pareadas. Neste caso, cada

mdia aparece em somente uma comparao.

Sua frmula a seguinte:

LSD (5%) = t (5%) . s ( Y ) = t (5%) r

s.2 2

onde:

t (5%) = o valor tabelado do teste t no nvel de 5% de probabilidade

(TABELA A.7);


quadrado mdio do resduo;

r = o nmero de repeties do experimento e/ou da mdia.

Quando as mdias dos tratamentos avaliados apresentarem nmero de

repeties diferentes (caso de parcelas perdidas) o valor de s ( Y ), que a raiz

quadrada da estimativa da varincia da estimativa de um contraste, depende do

delineamento estatstico utilizado (ver teste t).

O valor de cada contraste ( Y ) comparado com o valor de LSD.

Logo, tem-se:

Y LSD (5%) - * (existe diferena significativa entre os tratamentos

no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade acima de 95%

de que o contraste seja diferente de zero);

Y < LSD (5%) - ns (no existe diferena significativa entre os

tratamentos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, com 95% de


Quando se aplica o teste LSD, est-se testando as seguintes hipteses:



154

Exemplo 8: Verificar pelo teste LSD se existe ou no diferena

significativa entre as mdias pareadas a partir de dados da TABELA 4.9.

TABELA 4.9 EFEITO DA CEROSIDADE FOLIAR NA REAO DE VARIEDADES

DE CEBOLA (Allium cepa L.) A HERBICIDAS DE PS-EMERGNCIA

EM PLANTAS AVALIADAS AOS 54 DIAS APS A SEMEADURA,

EXPRESSO ATRAVS DE UMA ESCALA DE NOTAS, E VALORES DE

GL RESDUO, QM RESDUO, F E CV. PIRACICABA-SP

Variedades BENTAZON 1/ ________________________

A B

PROMETRIN 1/ ________________________

A B

BARREIRO SMP-IV

ROXA CHATA SMP-IV

BAIA PERIFORME

RED CREOLE

2,7 + 4,1

3,0 3,6

2,9 4,0

3,1 4,4

3,2 4,3

3,2 3,9

3,1 4,0

3,2 4,4

GL Resduo

60

QM Resduo

0,17154

F Variedades

14,07 **


11,50

FONTE: FERREIRA e COSTA (1982).

NOTAS: ( **) Significativo no nvel de 1% de probabilidade.

(1/) Herbicidas de ps-emergncia.

(A) Cerosidade foliar mantida.

(B) Cerosidade foliar removida.

(+) Dados mdios provenientes de quatro repeties no delineamento inteiramente

casualizado.

Considerando-se que os contrastes foram estabelecidos a priori, ento

se pode aplicar o teste LSD, cujos resultados esto na tabela a seguir:

155

Variedades BENTAZON

PROMETRIN

A B Y A B Y

BARREIRO SMP-IV

ROXA CHATA SMP-IV

BAIA PERIFORME

REF CREOLE

2,7 4,1 1,4 *

3,0 3,6 0,6 *

2,9 4,0 1,1 *

3,1 4,4 1,3 *

3,2 4,3 1,1 *

3,2 3,9 0,7 *

3,1 4,0 0,9 *

3,2 4,4 1,2 *

LSD (5%) 0,586

0,586

NOTA: (*) Significativo no nvel de 5% de probabilidade pelo teste DMS.


concluses:

a) Com relao ao herbicida de ps-emergncia BENTAZON, todos

os contrastes foram significativos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja,

em todas as variedades de cebola avaliadas, a cerosidade foliar mantida

apresentou menor ndice de injrias foliares do que a cerosidade foliar

removida.

b) Com relao ao herbicida de ps-emergncia PROMETRIN, todos

os contrastes foram significativos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja,

em todas as variedades de cebola avaliadas, a cerosidade foliar mantida

apresentou menor ndice de injrias foliares do que a cerosidade foliar

removida.

O teste LSD pode tambm ser utilizado na comparao de todas as

mdias com um tratamento controle ou testemunha, ou na comparao de

todas as mdias entre si. Porm, recomenda-se o uso do teste LSD em

comparaes planejadas de mdias pareadas, visto que tm testes especficos

para os outros tipos de comparaes.

4.2.5 Teste de Dunnett

O teste de Dunnett (d) usado na anlise de varincia quando se procura comparar todas as mdias de tratamentos com um controle ou

testemunha, desde que o teste F seja significativo e se tenha mais de dois

tratamentos. Sua aplicao muito simples, por ter apenas um valor de d para comparar com todos os contrastes.


d(5%) = t (5%) . s ( Y )

156

= t (5%) r

s.2 2

onde:

t (5%) = o valor tabelado do teste de Dunnett no nvel de 5% de

probabilidade (TABELAS A.8 e A.9);


quadrado mdio do resduo;


No caso de se querer usar o teste de Dunnett no nvel de 1% de

probabilidade, tem-se as mesmas tabelas (TABELAS A.8 e A.9) para se obter

o valor de t. A TABELA A.8 usada para as comparaes unilaterais, ou seja,

quando todas as mdias dos tratamentos forem inferiores ou superiores ao

controle, enquanto a TABELA A.9 usada para comparaes bilaterais, ou

seja, quando algumas mdias de tratamentos forem inferiores e outras

superiores ao controle.

Quando as mdias dos tratamentos avaliados apresentarem nmero de

repeties diferentes (caso de parcelas perdidas) o valor de s ( Y ), que a raiz

quadrada da estimativa da varincia da estimativa de um contrates, depende do

delineamento estatstico utilizado (ver teste t).

O valor de cada contraste ( Y ) comparado com o valor de d. Logo, tem-se:

Y d(5%) - * (existe diferena significativa entre os tratamentos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade acima de 95% de

que o contraste seja diferente de zero);

Y < d(5%) - ns (no existe diferena significativa entre os tratamentos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade de

95% de que o contraste no difere de zero).

Quando se aplica o teste de Dunnett, est-se testando as seguintes

hipteses:

a) H0 : Y = 0 (tratamento semelhante ao controle);

b) H1 : Y 0 (tratamento diferente do controle).

Exemplo 9: Verificar pelo teste de Dunnett se existe ou no diferena

significativa dos tratamentos em relao ao controle a partir de dados da

TABELA 4.10.

157

TABELA 4.10 GANHOS DE PESO (kg), E VALORES DE GL RESDUO, QM RESDUO E F DE PORCOS ALIMENTADOS COM QUATRO

RAES

Raes

Mdia 1/

A (Controle)

B

C

D

26,0

39,0

32,0

22,0

GL Resduo 16

QM Resduo = s2

68,75

F 3,99 *

FONTE: GOMES (1985).

NOTA: (1/) Dados mdios provenientes de cinco repeties no delineamento inteiramente

casualizado.

Logo, tem-se:

d(5%) = t 5%r

s 22

= 2,63 5

75,68.212,2 13,79

0,390,26mmY BA1 13,0 ns

0,320,26mmY CA2 6,0 ns

0,220,26mmY DA3 4,0 ns

De acordo com os resultados, pode-se concluir que todos os contrastes

foram no significativos no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, as raes B,

C e D no diferem da rao A (controle) quanto ao ganho de peso em porcos.

4.2.6 Teste de Tukey

O teste de Tukey ( ) usado na anlise de varincia para comparar

todo e qualquer contraste entre duas mdias de tratamentos. o teste de

158

comparao de mdias de tratamentos mais usado na experimentao

agropecuria, por ser bastante rigoroso e de fcil aplicao. Ele mais exato

quando o nmero de repeties das mdias dos tratamentos avaliados so

iguais.

Quando o teste F no for significativo, norma geral no se aplicar o

teste de Tukey ou qualquer teste de comparao de mdias de tratamentos (se

estiver prximo da significncia aconselhvel a aplicao). Por outro lado,

pode ocorrer que o teste F tenha sido significativo e o teste de Tukey no

acuse nenhum contraste significativo. Nestes casos tem-se trs alternativas a

seguir, so elas:

a) Substitui-se o teste de Tukey pelo teste de Duncan que menos

rigoroso;

b) Aplica-se o teste de Tukey no nvel de 10% de probabilidade;

c) Simplesmente aceita-se o resultado (no significativo) admitindo-se

que o (s) contraste(s) significativo(s) que o teste F diz existir, envolve mais de

duas mdias, sendo portanto, geralmente, de pouco interesse prtico.

Quando as mdias de tratamentos apresentam o mesmo nmero de

repeties, sua frmula a seguinte:

(5%) = q r

s

onde:

q = o valor da amplitude total estudentizada no nvel de 5% de probabilidade

(TABELA A.10);

s = a estimativa do desvio padro do erro experimental, que corresponde

raiz quadrada do quadrado mdio do resduo;


No caso de querer-se usar o teste de Tukey no nvel de 1% de

probabilidade, tem-se a TABELA A.11 para obter-se o valor de q.

O valor de cada contraste ( Y ) comparado com o valor de . Logo,

tem-se:

Y (5%) - * (existe diferena significativa entre os tratamentos no

nvel de 5% de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade acima de 95% de


Y < (5%) - ns (no existe diferena significativa entre os




159


Exemplo 10: Verificar pelo teste de Tukey se existe ou no diferena

significativa entre os tratamentos a partir dos dados da TABELA 4.11.

TABELA 4.11 NMERO TOTAL DE FOLHAS POR PLANTA EM TRS CULTIVARES DE ALFACE (Lactuca sativa L.), E VALORES DE

GL RESDUO, QM RESDUO E F

Cultivares

Nmero total de folhas por planta 1/

1. MARAVILHA DE QUATRO ESTAES

2. MARAVILHA DE INVERNO

3. REPOLHUDA SEM RIVAL

25,80

29,53

25,73

GL Resduo 11

QM Resduo

6,673264

F

5,69 *

FONTE: SILVA e FERREIRA (1985).

NOTA: (1/) Dados mdios provenientes de oito repeties no delineamento em blocos

casualizados.

Logo, tem-se:

8

673264,682,3%)5(

r

sq 3,49

53,2980,25mmY 211 3,73 *

73,2580,25mmY 312 0,07 ns

73,2553,29mmY 323 3,80 *

De acordo com os resultados do teste de Tukey, pode-se concluir:

a) Apenas um contraste foi no significativo no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, as cultivares de alface MARAVILHA DE QUATRO

ESTAES e REPOLHODA SEM RIVAL so semelhantes quanto ao

nmero de folhas por planta.

b) Os demais contrastes foram significativos no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, a cultivar de alface MARAVILHA DE INVERNO

160

apresenta um maior nmero de folhas por planta do que as cultivares

MARAVILHA DE QUATRO ESTAES e REPOLHUDA SEM RIVAL.

Quando as mdias de tratamentos apresentam nmero de repeties

diferentes (caso de parcelas perdidas), a frmula do teste de Tukey a

seguinte:

2

Ysq%)5(

2

onde:

q = o valor da amplitude total estudentizada no nvel de 5% ou de 1% de

probabilidade (TABELAS A.10 e A.11);

s2 = a estimativa da varincia da estimativa de um contraste, que depender

do delineamento estatstico utilizado (ver teste t).

4.2.7 Teste de Duncan

O teste de Duncan (D) tambm usado na anlise de varincia para

comparar todo e qualquer contraste entre duas mdias de tratamentos. ,

porm, menos rigoroso do que o teste de Tukey, pois detecta diferena

significativa entre duas mdias quando o teste de Tukey no o faz. Alm disso,

sua aplicao um pouco mais trabalhosa, pois, levando em conta o nmero

de mdias abrangidas em cada contraste, deve-se calcular um valor de D para

cada contraste. Na sua aplicao deve-se ordenar as mdias de tratamentos em

ordem crescente ou decrescente. Quando o nmero de mdias de tratamentos

for elevado, por exemplo superior a dez, a aplicao do referido teste se torna

muito trabalhosa. um teste bastante usado em trabalhos de sementes e de

laboratrio. Tal como o teste de Tukey, ele exige, para ser exato, que todos os

tratamentos tenham o mesmo nmero de repeties.



D (5%) = zr

s

onde:

z = o valor da amplitude total estudentizada no nvel de 5% de probabilidade

(TABELA A.12);




161

No caso de querer-se usar o teste de Duncan no nvel de 1% de

probabilidade, tem-se a TABELA A.13 para obter-se os valores de z.

Como se deve ter vrios valores de D, os valores dos contrastes com o

mesmo nmero de mdias abrangidas pelos mesmos so comparados com o

seu respectivo valor de D. Logo, tem-se:

Y D (5%) - * (existe diferena significativa entre os tratamentos no



Y < D (5%) - ns (no existe diferena significativa entre os


probabilidade o contraste difere de zero).

Quando se aplica o teste de Duncan, est-se testando as seguintes

hipteses:



Exemplo 11: Verificar pelo teste de Duncan se existe ou no diferena

significativa entre os tratamentos a partir dos dados da TABELA 4.12.

TABELA 4.12 GERMINAO DE SEMENTES ESCARIFICADAS DE SEIS

ESPCIES DE Stylosanthes, E VALORES DE GL RESDUO, QM

RESDUO E F. DADOS TRANSFORMADOS EM ARCO SENO

100/%

Espcies

Mdias 1/

1 Stylosanthes humilis

67,54

2 Stylosanthes scabra 83,74

3 Stylosanthes leiocarpa 84,75

4 Stylosanthes hamata 87,97

5 Stylosanthes viscosa 88,98

6 Stylosanthes debilis 90,00

GL Resduo

72

QM Resduo 20,6518

F

300,32 **

FONTE: REIS (1984).

NOTA: (1/) Dados mdios provenientes de oito repeties no delineamento inteiramente

casualizado.

Logo, tem-se:

162

D2 (5%) = 8

6518,20821,2

r

sz2 4,53

74,8354,67mmY 211 16,20 *

75,8474,83mmY 322 1,01 ns

97,8775,84mmY 433 3,22 ns

98,8897,87mmY 544 1,01 ns

00,9098,88mmY 655 1,02 ns

D3 (5%) = 8

6518,20971,23

r

sz 4,77

75,8454,67 316 mmY 17,21 *

97,8774,83 427 mmY 4,23 ns

98,8875,84 538 mmY 4,23 ns

00,9097,87 649 mmY 2,03 ns

D4 (5%) = 8

6518,20071,32

r

sz 4,93

879754,67 4110 mmY 20,43 *

98,8874,83 5211 mmY 5,24 *

00,9075,84 6312 mmY 5,25 *

D5 (5%) = 8

6518,20134,32

r

sz 5,04

163

98,8854,67 5113 mmY 21,44 *

00,9074,83 6214 mmY 6,26 *

D6 (5%) = 8

6518,20194,32

r

sz 5,13

00,9054,67 6115 mmY 22,46 *

De acordo com os resultados do teste de Duncan, pode-se concluir:

a) Apenas sete contrastes foram no significativos no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, a germinao de sementes escarificadas foi semelhante

entre as seguintes espcies de Stylosanthes: S. scabra com S. leiocarpa e S.

hamata, S. leiocarpa com S. hamata e S. viscosa, S. hamata com S. viscosa e

S. debilis, e S. viscosa com S. debilis.


probabilidade, ou seja, a germinao de sementes escarificadas foi diferente

entre as seguintes espcies de Stylosanthes: S. humilis com todas as outras, S.

scabra com S. viscosa e S. debilis, e S. leiocarpa com S. debilis.

c) A espcie Stylosanthes humilis apresentou a menor germinao de

sementes escarificadas.

d) A espcie Stylosanthes debilis apresentou a maior germinao de

sementes escarificadas, apesar de no diferir estatisticamente das espcies

Stylosanthes viscosa e Stylosanthes hamata.


diferentes (caso de parcelas perdidas), a frmula do teste de Duncan a

seguinte:

2

%)5(

2 YszD

onde:

z = o valor da amplitude total estudentizada no nvel de 5% ou de 1% de

probabilidade (TABELAS A.12 e A. 13);

s2 )(Y = a estimativa da varincia da estimativa de um contraste, que

depender do delineamento estatstico utilizado (ver teste t).

164

4.2.8 Teste de Student-Newman-Keuls (SNK)

O teste SNK pode ser usado na anlise de varincia para comparar

todo e qualquer contraste entre duas mdias de tratamentos. Em termos de

rigor intermedirio entre os testes de Tukey e de Duncan. Ele utiliza a

metodologia de Duncan com a tabela de Tukey.



SNK (5%) = qr

s

onde:

q = o valor da amplitude total estudentizada no nvel de 5% de probabilidade

(TABELA A.10);




No caso de querer-se usar o teste SNK no nvel de 1% de

probabilidade, tem-se a TABELA A.11 para obter-se os valores de q.

Como se deve ter vrios valores de SNK, o valor dos contrastes com o

mesmo nmero de mdias abrangidas pelos mesmos so comparados com o

seu respectivo valor de SNK. Logo, tem-se:

Y SNK (5%) - * (existe diferena significativa entre os tratamentos

no nvel de 5% de probabilidade, ou seja, h uma probabilidade acima de 95%

de que o contraste seja diferente de zero);

Y < SNK (5%) - ns (no existe diferena significativa entre os


probabilidade o contraste difere de zero).

Quando se aplica o teste de SNK, est-se testando as seguintes

hipteses:




NSK2 (5%) = 8

6518,20821,2

r

sz2 4,53

74,8354,67mmY 211 16,20 *

165

75,8474,83mmY 322 1,01 ns

97,8775,84mmY 433 3,22 ns

98,8897,87mmY 544 1,01 ns

00,9098,88mmY 655 1,02 ns

NSK3 (5%) = 8

6518,20971,23

r

sz 5,45

75,8454,67 316 mmY 17,21 *

97,8774,83 427 mmY 4,23 ns

98,8875,84 538 mmY 4,23 ns

00,9097,87 649 mmY 2,03 ns

NSK4 (5%) = 8

6518,20071,32

r

sz 5,99

879754,67 4110 mmY 20,43 *

98,8874,83 5211 mmY 5,24 ns

00,9075,84 6312 mmY 5,25 ns

NSK5 (5%) = 8

6518,20134,32

r

sz 6,38

98,8854,67 5113 mmY 21,44 *

00,9074,83 6214 mmY 6,26 ns

166

NSK6 (5%) = 8

6518,20194,32

r

sz 6,66

00,9054,67 6115 mmY 22,46 *

De acordo com os resultados do teste SNK, pode-se concluir:

a) Apenas dez contrastes foram no significativos no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, a germinao de sementes escarificadas foi semelhante

entre as seguintes espcies de Stylosanthes: S. scabra com S. leiocarpa, S.

hamata, S. viscosa e S. debilis, S. leiocarpa com S. hamata, S. viscosa e S.

debilis, S. hamata com S. viscosa e S. debilis, e S. viscosa com S. debilis.


probabilidade, ou seja, a germinao de sementes escarificadas foi diferente

entre as seguintes espcies de Stylosanthes: S. humilis com todas as outras.

c) A espcie Stylosanthes humilis apresentou a menor germinao de

sementes escarificadas.

d) A espcie Stylosanthes debilis apresentou a maior germinao de

sementes escarificadas, apesar de no diferir estatisticamente das espcies

Stylosanthes viscosa, Stylosanthes hamata, Stylosanthes leiocarpa e

Stylosanthes scabra.

Observa-se o rigor do teste SNK neste exemplo em relao ao teste de

Duncan, pois ele detectou diferena significativa entre os tratamentos em

apenas cinco contrastes, enquanto que o teste de Duncan encontrou diferena

significativa entre os tratamentos em oito contrastes.


diferentes (caso de parcelas perdidas), a frmula do teste SNK a seguinte:

2

%)5(

2 YszD

onde:

q = o valor da amplitude total estudentizada no nvel de 5% ou de 1% de

probabilidade (TABELAS A.10 e A. 11);

s2 )(Y = a estimativa da varincia da estimativa de um contraste, que

depender do delineamento estatstico utilizado (ver teste t).

4.2.9 Teste de Scott e Knott (SK)

167

O teste SK utiliza a razo de verossimilhana para testar

4.2.10 Teste de Scheff

O teste de Scheff usado na anlise de varincia de uma forma mais

abrangente que os testes de Tukey e de Duncan, pois permite julgar qualquer

contraste, ou seja, pode ser usado tanto para contrastes simples (contrastes que

envolvem apenas duas mdias) como para contrastes mltiplos (contrastes que

envolvem mais de duas mdias). Nos casos em que se tm contrastes

mltiplos, o referido teste o mais indicado. No recomendado o seu uso

para comparar mdias duas a duas. Quanto ao rigor, ele mais rigoroso que o

teste de Tukey.

Este teste de comparao de mdias de tratamentos s deve ser usado

quando o teste F for significativo. Se o valor de F obtido no for significativo,

nenhum contraste poder s-lo, e, pois, a aplicao do teste de Scheff no se

justifica. Quando, porm, o valor de F for significativo, pelo menos um dos

contrastes s-lo-. Mas o contraste em questo pode ser muito complicado ou

sem interesse prtico. E pode ainda acontecer que nenhum dos contrastes entre

duas mdias seja significativo:


)(%)5()1(%)5( 2 YsFtS

onde:

t = nmero de tratamentos do experimento;

F = valor de F tabelado no nvel de 5% de probabilidade (TABELAS: A.3

para F > 1; A.5 para F < 1);

s2 )(Y = estimativa da varincia da estimativa de um contraste, cujo valor

obtido atravs de uma frmula, que depende do delineamento

estatstico utilizado (ver teste t).

No caso de querer-se usar o teste de Scheff no nvel de 1% de

probabilidade, tem-se as TABELAS A.4 e A.6 a fim de obter-se os valores de

F, para, respectivamente, F > 1 e F < 1.

O valor de cada contraste( Y ) comparado com o valor de S. Logo,

tem-se:

Y S (5%) - * (existe diferena significativa entre os tratamentos no



168

Y S (5%) - ns (no existe diferena significativa entre os



Quando se aplica o teste Scheff est-se testando as seguintes

hipteses:




0630,125.77,2)16()()1( 21 YFstS = 41,62

0630,125.77,2)16()()1( 22 YFstS = 41,62

6877,41.77,2)16()()1( 23 YFstS = 24,03

0630,125.77,2)16()()1( 24 YFstS = 41,62

6877,41.77,2)16()()1( 25 YFstS = 24,03

Y 1 = 36,19 ns

Y 2 = 12,17 ns

Y 3 = 0,85 ns

Y 4 = 29,93 ns

Y 5 = 0,65 ns

De acordo com os resultados obtidos, pode-se chegar s seguintes

concluses:

a) O contraste Y 1 no foi significativo no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, a mdia dos rendimentos das variedades Co 775,

Co 740 e Co 678 no difere da mdia dos rendimentos das demais variedades.

169







d) O contraste Y 4 no foi significativo no nvel de 5% de

probabilidade, ou seja, a mdia dos rendimentos das variedades Co 775 e Co

740 no difere do rendimento mdio da variedade Co 678.




Observa-se o rigor do teste de Scheff neste exemplo, pois em

nenhum dos contrastes ele detectou diferena significativa entre os

tratamentos, enquanto que o teste t encontrou diferena significativa nos

contrastes Y 1 e Y 4.

4.3 Interpolao Linear e Harmnica

Muitas vezes quando se vai aplicar os testes de hipteses na avaliao

de tratamentos, no se dispe dos valores tabelados de F, t, q e z. Quando

defrontar-se com tais situaes, faz-se necessrio a utilizao da interpolao

para obteno de tais valores.

Tem-se dois tipos de interpolao: interpolao linear e

interpolao harmnica.

A interpolao linear de aplicao mais simples que a harmnica,

porm menos precisa.

Exemplo 14: Calcular o valor de F no nvel de 1% de probabilidade,

para o caso de F > 1, atravs da interpolao linear, sendo n1 = 5 graus de

liberdade de tratamentos e n2 = 34 graus de liberdade do resduo.

A TABELA A.4 fornece o seguinte:

Para n1 = 5 e n2 = 30 .......3,70;

Para n1 = 5 e n2 = 40 .......3,51.

Como v-se, o valor n1 = 5 existe na tabela, mas o valor n2 = 34 no

consta na mesma. Ento, tem-se:

Para 30 graus de liberdade do resduo - 3,70;

Para 40 graus de liberdade do resduo - 3,51.

Logo, uma diferena de 10 graus de liberdade do resduo d uma

variao de 0,19. Ento, arma-se a seguinte regra de trs:

10 -------------- 0,19

170

4 -------------- X

logo:

X = 10

19,0.4= 0,076

donde se deduz que o limite buscado 3,70 0,076 = 3,624. A interpolao harmnica, por ser mais precisa, a mais indicada e,

em alguns casos, a nica que pode ser utilizada. Neste tipo de interpolao,

usa-se a recproca do nmero de graus de liberdade para armar a regra de trs.

Exemplo 15: Calcular o valor de t no nvel de 5% de probabilidade

atravs da interpolao harmnica correspondente a 48 graus de liberdade do

resduo.

A TABELA A.7 fornece o seguinte:

Para 40 graus de liberdade do resduo - 2,02;

Para 60 graus de liberdade do resduo - 2,00.

Logo, uma diferena de 20 graus de liberdade do resduo d uma

variao de 0,02.

Arma-se, ento, a seguinte regra de trs:

120

1

60

1

40

1 - 0,02

240

1

48

1

40

1 - X

logo:

120

1

0

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