Estatística

Aula 10

Medidas de dispersão

Prof. Diovani Milhorim

Medidas de dispersão

As Medidas de Tendência Central:representam de certa forma uma

determinada distribuição de dadossó elas não são suficientes para

caracterizar a distribuição.

Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética

Medidas de dispersão

Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos.

GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6

GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10

Média do grupo “A”: 5 Média do grupo “B”: 5

Medidas de dispersão

Os dois grupos apresentam a mesma média

O comportamento dos 2 grupos são bem distintos

GRUPO “A”: valores são mais homogêneo. GRUPO “B”: valores são dispersos em

relação à média

Medidas de dispersão

Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas:

a) Amplitude Totalb) Variânciac) Desvio Padrão

Medidas de dispersão

Amplitude Total – At

É a diferença entre o maior e o menor valor observados.

At = Limite superior - Limite Inferior

Exemplo 5: Idade de 20 alunos:

Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9

At = 9 – 1 At= 8

Medidas de dispersão

Amplitude Total – At

Dados agrupados – sem intervalo de classes.

At= Xmax – Xmin

Diferença entre o maior valor e o menor valor da amostra.

Medidas de dispersão

Amplitude Total – At

Dados agrupados – com intervalo de classes.

At= Lmax – lmin

Diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe.

Medidas de dispersão

Amplitude Total – At

Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que quase sempre invalida a idoneidade do resultado. Ela é uma indicação aproximada da dispersão ou variabilidade.

Medidas de dispersão

Variância:

A variância é a média aritmética do quadrado dos desvios de cada valor em relação à média.

Por que “Quadrado dos desvios” ???????

Resposta: Por que a soma dos desvios é sempre igual a zero !!

Σ di = Σ (Xi – X ) = 0

Medidas de dispersão

Variância: dados não agrupados

Representado a variância por s2

s2 = Σ (Xi – X )2_

n

Sendo: s2= variância amostra

Xi = vr. variável

n = nº elementos

X = média aritmética

Medidas de dispersão

Variância: dados agrupados sem classe

Representado a variância por s2

s2 = Σ fi (Xi – X )2_

n

Sendo: s2= variância amostra

Xi = vr. variável

n = nº elementos

X = média aritmética

Medidas de dispersão

Variância: dados agrupados com intervalo de classe

Representado a variância por s2

s2 = Σ fi (Xi – X )2_

n

Neste caso o valor de Xi é dado pelo valor médio do intervalo de classes

Medidas de dispersão

Variância:

Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que sob o ponto de vista prático é um inconveniente.

Por isto imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e interpretação prática, denominada desvio padrão.

Medidas de dispersão

Desvio padrão:

Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios (ou a raiz quadrada da variância).

para uma amostra s = s2

É a mais utilizadaRevela a dispersão do conjunto que se estuda

Medidas de dispersão

Desvio padrão:

Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo.

quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média

MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores

Medidas de dispersão

Desvio padrão:

Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo.

quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média

MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores

Medidas de dispersão

Coeficiente de variação:

CV = S S - desvio padrão

X X - média artitmética

o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição

Valor máximo é CV = 1

0 ≤ CV ≤ 1

Medidas de dispersão

Coeficiente de variação:

Ao contrário do desvio padrão o coeficiente de variação não possui unidade, ou seja podemos comparar amostras medidas em unidades diferentes utilizando este parâmetro.

Medidas de dispersão

Exercícios:

Dada a distribuição relativa a cem lançamentos de cinco moedas simultaneamente:

N. Caras 0 1 2 3 4 5

Freguência 4 14 34 29 16 3

Calcule o desvio padrão.

Medidas de dispersão

Exercícios:

Calcule o desvio padrão da distribuição

Classes 2 |-- 6|-- 10|-- 14|-- 18|-- 22

Freguência 5 12 21 15 7

Medidas de dispersão

Exercícios:

Em um exame final de matemática a Média da nota de um grupo de 150 alunos foi de 7,8 e o desvio padrão 0,80. Em estatística, entretanto, a nota média foi 7,3 e o desvio padrão 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão?