Estatística

Aulas: 6 e 7

Probabilidades

Experimento:

Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior.

Seja:

x1 = número da face superior do 1º dado

x2 = número da face superior do 2º dado.

Exemplo 1 – Espaço Amostral

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Espaço Amostral “S”:

ESPAÇO AMOSTRAL: S

Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação

EVENTO : A

Sub-conjunto de resultados possíveis

Exemplo 1 – Operações

a) Intersecção de eventos: )( BA

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

B A

Consideremos os eventos:

A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

)( BA

SA B

a) União de eventos:

Exemplo 1 – Operações

)( BA

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

B A

Consideremos os eventos:

A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

)( BA

SAB

a) Evento complementar:

Exemplo 1 – Operações

)(B

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Consideremos o evento:

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

B

SB B

B

a) Eventos excludentes:

Exemplo 1 – Operações

)(se FE

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Consideremos os eventos:

E= x1=x2 = 1 = {(1,1)}

F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2), (4,1)}

E

SE

F

F

ESPAÇO AMOSTRAL: S

Conjunto de todos os resultados possíveis de uma variável do fenômeno em observação

EVENTO : A

Sub-conjunto de resultados possíveis

1)( SP

FUNÇÃO PROBABILIDADE: P

P : S [ 0, 1 ]

Probabilidades

PROBABILIDADE:

n

mAP )(

onde

m = número de resultados favoráveis ao evento A

n = número de resultados possíveis

Exemplo 1 – Propriedades

a) Intersecção de eventos: )( BA

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

B A

Consideremos os eventos:

A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

36

1)( BAP

?)( BAP

Propriedades:

)( BAa) União de eventos:

Exemplo 1 – Propriedades

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

B A

Consideremos os eventos:

A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

36

17

36

1

36

15

36

3)( BAP

)()()()( BAPBPAPBAP

36

17

36

19 1)( BAP

)(1)( BAPBAP

)( BAa) União de eventos:

Exemplo 1 – Propriedades

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Consideremos os eventos:

A= x1+x2 = 10 = {(4,6),(5,5),(6,4)}

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

36

17

36

19 1)( BAP

)(1)( BAPBAP

B

A

a) Evento complementar:

Exemplo 1 – Propriedades

)(B

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Consideremos o evento:

B = x1>x2 = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

B

)(1)( BPBP

Propriedade:

36

21

36

151)( BP

36

21)( BP

a) Eventos excludentes:

Exemplo 1 – Operações

)(se FE

0)( P

Propriedades:

)()()( FPEPFEP

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Consideremos os eventos:

E= x1=x2 = 1 = {(1,1)}

F = x1+x2 = 5 = {(1,4) , (2,3), (3,2)}

36

5

36

4

36

1)( FEP

F

E

a) Com base no diagrama de Venn, calcule o número de projetos que utilizam os softwares A ou B:

AB

Exercício

b) Com base no diagrama de Venn, calcule o número de projetos que utilizam os softwares A, B ou C. Obs: 14 utilizam os softwares A e B 9 utilizam os softwares B e C

B A C

Um escritório tem 70 projetos, dos quais 35 utilizam o software A 31 utilizam o software B 25 utilizam o software C

14

21

9

816

c) Com base no diagrama de Venn, calcule o número de projetos que

utilizam os softwares A, B ou C. Obs: 14 utilizam os softwares A e B

10 utilizam os softwares A e C 9 utilizam os softwares B e C 4 utilizam os softwares A, B e C

B

A

C

4

10

6

5

15

12

10

Um escritório tem 70 projetos, dos quais 35 utilizam o software A31 utilizam o software B25 utilizam o software C

Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior:

Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado.

ESPAÇO AMOSTRAL S

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4, 5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Consideremos os eventos:

A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}={(4,6),(5,5),(6,4)}

B = {(x1, x2) | x1 > x2} = {(2,1) , (3,1) , (3,2) , ... , (6,4) , (6,5)}

B A

Exemplo 1 – Probabilidade Condicionada

P(A) = 3/36 P(B) = 15/36 P(A B) = 1/36

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Experimento:

Dois dados equilibrados são lançados e observa-se o número da face superior:

Seja:: x1 = número 1º dado e x2 = número 2º dado.

Ocorreu o evento B P(A/B)=?

(2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)

ESPAÇO AMOSTRAL S

ESPAÇO AMOSTRAL S

A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36

B = {(x1, x2) | x1 > x2}

A

A

Ocorreu o evento B P(A|B)=1/15

Probabilidade Condicionada

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36

B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36

A

Probabilidade Condicionada

B

P(A B) = 1/36

15/136/15

36/1

)(

)()(

BP

BAPBAP

P(A)* P(B)* )()()()( ABPBAPBAPBAP

Propriedade

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

ESPAÇO AMOSTRAL S

A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10}

B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36

Probabilidade Condicionada

Ocorreu o evento A P(B/A)=?

B

(4,6) (5,5) (6,4)

B

Ocorreu o evento A P(B|A)=1/3

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

A={(x1,x2) | x1 + x2 = 10} P(A)=3/36

B = {(x1, x2) | x1 > x2} P(B)=15/36

A

Probabilidade Condicionada

B

P(A B) = 1/36

3/136/3

36/1

)(

)()(

AP

BAPABP

P(A)* P(B)* )()()()( ABPBAPBAPBAP

Propriedade

Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados

Consideremos os eventos :

A ={(x1 , x2) | x1 é par}

B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}

Eventos Independentes

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Observação : A , B são eventos independentes, não relacionados

“Saber que A ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocorrência de B ”

P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6

AB

Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados

Consideremos os eventos :

A ={(x1 , x2) | x1 é par}

B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}

Eventos Independentes

Ocorreu o evento A P(B/A)=?

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Ocorreu o evento A P(B|A)=6/18=1/3

)(3

1

1/2

1/6=

)(

)P(=P(B/A) BP

AP

BA

P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6

Retome o Exemplo 1: lançamento de 2 dados equilibrados

Consideremos os eventos :

A ={(x1 , x2) | x1 é par}

B ={(x1 , x2) | x2 = 5 ou x2 = 6}

Eventos Independentes

Ocorreu o evento B P(A/B)=?

Ocorreu o evento B P(A|B)=6/12=1/2

)(2

1

1/3

1/6=

)(

)P(=P(A/B) AP

BP

BA

(1,5) (1,6)

(2,5) (2,6)

(3,5) (3,6)

(4,5) (4,6)

(5,5) (5,6)

(6,5) (6,6)

P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6

No exemplo :

2

1)(P(A/B) AP

P(B)P(A))P(A).P(B/A=P(B)P(A/B) = B)P(A

3

1)(P(B/A) BP

Eventos Independentes

6

1

3

1

2

1 = B)P(A

P(A)=18/36=1/2 P(B)=12/36=1/3 P(A B)=6/36=1/6

P(A B) P(A) P(B)

Define-se :

A , B são eventos independentes

Num lote de 100 peças , temos :

20 Defeituosas

80 Não defeituosas

Escolhemos 2 peças , ao acaso:

– com reposição

– sem reposição

Consideremos os eventos :

A={primeira peça é defeituosa}

B={segunda peça é defeituosa}

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada

5

1

100

20)( AP

5

1

100

20)(BP

25

1

5

1

5

1)( BAP

COM REPOSIÇÃO:

Espaço amostral

Probabilidade

DD 1/5*1/5=1/25

DN 1/5*4/5=4/25

ND 4/5*1/5=4/25

NN 4/5*4/5=16/25

Espaço amostral

Probabilidade Evento

DD 1/5*1/5=1/25

DN 1/5*4/5=4/25

ND 4/5*1/5=4/25

NN 4/5*4/5=16/25

)( BA

)( BA

)( BA

)( BA

Num lote de 100 peças , temos :

20 Defeituosas

80 Não defeituosas

Consideremos os eventos :

A={primeira peça é defeituosa}

B={segunda peça é defeituosa}

Pede-se : P(A) e P(B)

COM REPOSIÇÃO:

5

1

100

20)( AP

5

1

100

20)(BP

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada

)(5/15/1

25/1

)(

)()( BP

AP

BAPABP

)(5/15/1

25/1

)(

)()( AP

BP

BAPBAP

)()()/()()()/()( BPAPABPAPBPBAPBAP

25/1)()/()( BPBAPBAP

CASO SEM REPOSIÇÃO

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada

Espaço amostral

Probabilidade Evento

DD 20/100*19/99==19/495

DN 20/100*80/99==80/495

ND 80/100*20/99==80/495

NN 80/100*79/99==316/495

)( BA

)( BA

)( BA

)( BA

)()/()()/()()()( APABPAPABPABPABPBP

A

A

B

5

1

100

20)( AP

CASO SEM REPOSIÇÃO

Exemplo 2 – Probabilidade Condicionada

Espaço amostral

Probabilidade Evento

DD 20/100*19/99==19/495

DN 20/100*80/99==80/495

ND 80/100*20/99==80/495

NN 80/100*79/99==316/495

)( BA

)( BA

)( BA

)( BA

)()/()()/()()()( APABPAPABPABPABPBP

5

1

495

99

495

80

495

19)()()( ABPABPBP

)(99/195/1

495/19

)(

)()( BP

AP

BAPABP

Eventos A e B não são independentes

Eventos: A, B são EXCLUDENTES ?

• NÃO:

• SIM:

Eventos: A, B são INDEPENDENTES ?

• NÃO:

• SIM:

)()()()( BAPBPAPBAP

)()()( BPAPBAP

0)( BAP

)()/()()/()( BPBAPAPABPBAP

)()()( APBPBAP

)()/( BPABP

)()/( APBAP

Probabilidades