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EstatísticaMedidas de tendência central
Média aritmética
As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. A denominação “medida de tendência central”, se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos valores. São medidas de tendência central:
• Média aritmética• Média aritmética ponderada• Média geométrica• Mediana• Moda
Média aritmética é a razão entre a soma de todos os valores de determinada variável e o número total de valores.
n
x...xxx n21
Os valores seguintes referem-se às notas obtidas por um aluno em oito disciplinas do Ensino Médio em um certo bimestre do ano letivo: 7,5 – 6,0 – 4,2 – 3,9 – 4,6 – 6,2 – 8,2 – 5,4CALCULE a média aritmética desses valores.
8
5,48,26,24,63,94,267,5x
8
46 75,5
A média dos salários de quinze funcionários de uma loja de autopeças é R$ 790,00. Se forem contratados mais dois funcionários, com salários de R$ 855,00 e R$ 980,00, qual será a nova média salarial da loja?
79015
salários15790salários reais 11850
98085511850 reais 13685 soma) nova(
17
13685x reais 805
A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são
A) Balas W e Pizzaria Y. B) Chocolates X e Tecelagem Z. C) Pizzaria Y e Alfinetes V. D) Pizzaria Y e Chocolates X. E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
3
240220200: V
3
200230200:W
3
215210250:X
3
230230230:Y
3
245210160:Z
220
210
225
230
205
A) Balas W e Pizzaria Y. B) Chocolates X e Tecelagem Z. C) Pizzaria Y e Alfinetes V. D) Pizzaria Y e Chocolates X. E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
5
19%15%21%19%18%
%4,18
EstatísticaMedidas de tendência centralMédia aritmética ponderada
Dado um conjunto de valores X1, X2, X3, ..., Xn, cada um com um respectivo peso p1, p2, p3, ..., pn, a média ponderada desses valores é dada por:
n321
nn332211
p...ppp
px...pxpxpxp
Preço médio do quilo do peixe
3
953.A.M
67,5
61018
69105183.P.M
34
545054.P.M
65,4
Média de pontos – partida de futebol
Vitória – 3 pontos; empate – 1 ponto; derrota – nenhum ponto
100
015130355.P.M
95,1100
030165.P.M
015,0130,0355,0.P.M
95,1.P.M
EstatísticaMedidas de tendência central
Média geométrica
Dado um conjunto de n valores X1, X2, X3, ..., Xn, a média geométrica desses valores é dada por:
nn321 X...XXXmg
Calcular a média geométrica dos valores 1, 2 e 4.
3 421mg 3 8 2
Um retângulo tem lados com medidas 2 cm e 8 cm. Obtenha a medida do lado de um quadrado que possua a mesma área.
cm2
cm8
82 16
4
Um paralelepípedo retângulo tem dimensões a = 2 cm, b = 3 cm e c = 4,5 cm. Obtenha a medida da aresta de um cubo que tenha o mesmo volume.
cm2
cm3
cm5,4 x
3 5,432x 3 27x
3x
Nos dois últimos anos o faturamento de uma empresa cresceu da seguinte forma: 25% no primeiro ano e, após uma alavancada nos negócios, 80% no segundo. Em média, quanto cresceu por ano?
80,125,1mg 1,25 25% de oCresciment 1,80 80% de oCresciment
25,2mg
50,15,1mg ano. por 50% de médio
ocresciment um representa 1,50
EstatísticaMedidas de tendência central
Mediana
Dado um conjunto de valores ordenados, a mediana desses valores é dada• Pelo elemento central, no caso de um número ímpar de valores.• Pela média aritmética entre os dois valores centrais, no caso de número par de valores.
Calcular a mediana de cada um dos conjuntos de dados1. {9, 3, 7, 5, 1}2. {4, 5, 10, 12, 8, 6}
9 7, 5, 3, 1,
.112 10, 8, 6, 5, 4,
.2
72
86
10,73 $R .1
60,81 $R .2
00,82 $R .3
00,83 $R .4
00,84 $R .5
60,84 $R .6
30,85 $R .7
EstatísticaMedidas de tendência central
Moda
Em um conjunto de dados, MODA é o valor que ocorre com maior frequência, isto é, o valor mais comum. A moda não é necessariamente única, ao contrário da média ou da mediana.
• Bimodal: dois valores modais• Amodal: não possui moda• Multimodal: possui mais de duas modas
Dados referentes às numerações dos sapatos vendidos em uma loja em certo dia:
{35, 33, 36, 35, 37, 36, 39, 40, 42, 43, 35, 36, 42}
33, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 37, 39, 40, 42, 42, 43
Duas modas (bimodal): 35 e 36
1Moda
1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 5, 5, 63
2
42edianaM
EstatísticaMedidas de dispersão
Variância e desvio padrão
As medidas de dispersão servem para avaliar o quanto os dados são semelhantes, descreve então o quanto os dados distam do valor central. Deste modo, as medidas de dispersão servem também para avaliar qual o grau de representação da média.
• Variância• Desvio padrão
n
)²xx(...)²xx()²x - (x n212
por dada é variância a ,x por dada é aritmética
média cuja ),x, ... , x, x,(x dados n de conjunto um Dado n321
por dado é padrão desvio o E
n
)²xx(...)²xx()²x - (x n21
• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.• A variância é o quadrado do desvio padrão.
Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram seus três melhores saltos, em centímetros. Qual foi o atleta mais regular?
1553
150171144)X(Med
1563
152170146)Y(Med
1563
154169145)Z(Med
155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
3
)²155150()²155171()²155 - (144)X(
3
)²5()²16()²(-11
3
25256121)X(
3
402 58,11
58,11)X(
155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
3
)²156152()²156170()²156 - (146)Y(
3
)²4()²14()²(-10
3
16196100)X(
3
312 20,10
58,11)X(
20,10)Y(
155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
3
)²156154()²156169()²156 - (145)Z(
3
)²2()²13()²(-11
3
4169121)X(
3
294 90,9
58,11)X(
20,10)Y(
90,9)Z(
155)X(Med
156)Y(Med
156)Z(Med
58,11)X(
20,10)Y(
90,9)Z(
Como o atleta Z teve o menor desvio padrão, isso significa que seus resultados oscilaram menos em relação à média, comprovando que é o atleta mais regular.
