Estimação de Distribuições Bivariadas Discretaspolpo/cis/resumos/slides/vitor.pdf · Supraespinhoso Borda medial do joelho Trocanter maior. Estimação de Distribuições Bivariadas

Estimação deDistribuiçõesBivariadasDiscretas

VictorFossaluza

Introdução

SoluçõesFrequênciasobservadas

Aproximação PorUma DistribuiçãoContínua

Polinômios deBernstein

Estimação de Distribuições BivariadasDiscretas

Victor Fossaluza

Professor Substituto - DEs - UFSCARDoutorando - IME - USP

CONFERÊNCIA DE ESTATÍSTICA INDUTIVA


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Tópicos

1 Introdução

2 SoluçõesFrequências observadasAproximação Por Uma Distribuição ContínuaPolinômios de Bernstein


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Introdução

Trabalho realizado pelos alunos Marcel AugustoFerreira da Silva, Rodrigo Luiz Longo e Tiago Joãoda Silva do ultimo ano do bacharelado em estatísticano IME-USP durante o curso de Estatística Aplicada I(CEA) no semestre passado.

Este trabalho foi orientado por mim, juntamente commeus mestres e amigos: prof. Dr. Carlos Alberto deBragança Pereira e prof. Dr. Luís Gustavo Esteves.

Dados provenientes de diversas pesquisas realizadaspela profa. Dra. Amélia Pasqual Marques doDepartamento de Fonoaudiologia, Fisioterapia eTerapia Ocupacional da Faculdade de Medicina daUniversidade de São Paulo (FOFITO-FMUSP).


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Motivação

Essas pesquisas foram realizadas para estudar aqualidade de vida de pacientes com fibromialgia.

A fibromialgia é uma síndrome de dor crônica egeneralizada, que engloba também outrasmanifestações como fadiga, distúrbios do sono,dispnéia, depressão, etc.

O diagnóstico da fibromialgia é feito por meio dapalpação de pontos anatomicamente específicos,chamados tender points.


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Tender Points

A presença de dor (pressão suportada menor que2,6 kg/cm2) em ao menos 11 pontos entre os 18analizados caracteriza a síndrome.

Epicôndilo

lateral

Segunda junção

costo-condral

Glúteo

Occipital Cervical baixa

anterior

Trapézio

Supraespinhoso

Borda

medial do

joelho

Trocanter

maior


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Tender Points


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Motivação

Uma das formas de medir a qualidade de vida empacientes fibromialgicos é a avaliação da ansiedade,muito comum nesses indivíduos.

Para isso, foi utilizado o Inventário de AnsiedadeTraço-Estado (IDATE), que é considerado oinstrumento padrão na avaliação da ansiedade empacientes fibromiálgicos

Este inventário é composto por duas escalas, cadauma delas assume valores no conjunto {0, 1, ..., 60}:

ansiedade-traço que refere-se às diferençasindividuais relativamente estáveis para respostascomportamentais.ansiedade-estado que refere-se ao estado do pacienteem relação à ansiedade no momento da avaliação.


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Objetivo

Existe uma forte dependência entre as variáveis Traçoe Estado.

Como se tratam de variáveis discretas, a estimação dadistribuição conjunta baseado nas frequênciasobservadas fica limitada devido a presença de zeros.

Temos 453 (pares de) observações para as variáveisTraço e Estado e precisamos estimar 61× 61 = 3721pontos!

Objetivo: estimar a distribuição discreta bivariada,inclusive para os pares onde as freqûenciasobservadas foram iguais a zero.


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Objetivo

Existe uma forte dependência entre as variáveis Traçoe Estado.

Como se tratam de variáveis discretas, a estimação dadistribuição conjunta baseado nas frequênciasobservadas fica limitada devido a presença de zeros.

Temos 453 (pares de) observações para as variáveisTraço e Estado e precisamos estimar 61× 61 = 3721pontos!

Objetivo: estimar a distribuição discreta bivariada,inclusive para os pares onde as freqûenciasobservadas foram iguais a zero.


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Frequências observadas


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Funcão de Distribuição Empírica


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Frequências observadas: limitações

A estimação da distribuição discreta baseada emfrequências observadas é bastante limitada!

Os pares que não foram observados serão estimadascomo sendo zero! Isso não deve ser verdade e essalimitação esta bastante relacionada com o tamanho daamostra observada ser menor que o numero de pontosa serem estimados.

Portanto, é necessário procurar alternativas para aestimação de distribuições discretas.


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Exemplo: Aproximação Pela Normal - CasoUnivariado


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Exemplo: Aproximação Pela Normal - CasoUnivariado


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Exemplo: Aproximação Pela Normal


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Polinômios de Bernstein

Polinômio de Bernstein

Considere F : [0, 1]k → R e x = (x1, . . . , xk) ∈ [0, 1]k.O polinômio de Bernstein de ordem m para F é definidopor:

Bm

F (x) =

m∑v1=0

· · ·m∑

vk=0

F(v1m

, . . . ,vkm

) k∏i=1

(m

vi

)xvii (1−xi)

m−vi

(1)

Os polinômios de Bernstein tem boas propriedadesmatemáticas, dentre elas: é absolutamente contínuo ederivável em [0, 1]k (e sua derivada é fácil de serobtida). Além disso:

Bm

F (x) −−−−−−→m → ∞ F (x)


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A aproximação via polinômios de Bernstein parafunções de distribuição já foi utilizada na literatura.

Normalmente, em situações práticas onde a F não éconhecida, utiliza-se a distribuição empírica F̂ .

Seja Y1, . . . ,Yn uma amostra do vetor aleatório Y . Afunção de distribuição empírica F̂ é definida por:

F̂ (x1, . . . , xk) =1

n

n∑i=1

k∏j=1

1(Yij ≤ xj)


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ApêndiceBibliografia

O Grande Haríolo:Professor Carlinhos

Bibliografia

W. Feller.An Introduction to Probability Theory and its Applications Vol. IIWiley, New York, 1965.

G. J. Babu, A. J. Canty, Y. P. Chaubey.Application of Bernstein Polynomials for smooth estimation of a distributionand density function.Journal of Statistical Planning and Inference, 105:377-392, 2002.

S. Petrone.Random Bernstein polynomials.Scandinavian Journal of Statistics, 26(3):373-393, 1999a.

S. Petrone.Bayesian density estimation using Bernstein polynomials.The Canadian Journal of Statistics, 27(1):105-126. 1999b

S. Petrone e L. Wasserman.Consistency of bernstein polynomial posteriors.Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology),64(1):79-100, 2002.


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O Grande Haríolo: Professor Carlinhos

“The Statistician is the Wizard who makes ‘scientific’statements about invisible states and quantities. However,

contrary to the real wishes (or witches), he attachesuncertainties to his statements.”


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“The Statistician is the Wizard who makes ‘scientific’statements about invisible states and quantities. However,

contrary to the real wishes (or witches), he attachesuncertainties to his statements.”

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