Estimadores ou Observadores de Estado - UFMGcpdee.ufmg.br/~palhares/aula19_tsl.pdf · autovalores de (A − bk) de forma arbitr´aria B Estados n˜ao dispon´ıveis: observador de

Estimadores ou Observadores de Estado

1. Estimadores ou Observadores de Estado: sistemas SISO

1. Extensoes para Sistemas a Tempo Discreto

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 19

Estimadores ou Observadores de Estado: sistemas SISO

Veja, a realimentacao pressupoe que todas as variaveis de estado compondo o

vetor de estado x estao disponıveis, ie, sao mensuraveis

u = r − kx

B Alguns estados podem nao ser/estar acessıveis

B Limitacao quanto ao numero de medidores

B E aı? Como realimentar?



Estimador de Estado – Malha Aberta Dados: A, b, c, u, y. Reconstruir x?

x = Ax + bu ; y = cx

˙x = Ax + bu

u

b

bx x

˙x x

A

A

Z

Z

c

y

+

+

+

+

Estimador



B Se x(0) = x(0), entao x(t) = x(t), ∀ t ≥ 0

B (A, c) observavel ⇐⇒ x(0) pode ser determinado atraves de u e y

I Desvantagens/Dificuldades

Ã computo de x(0)

Ã e se A for instavel?

Note, a saıda y(t) nao esta sendo usada. Ie, nao ha informacao adicional sobre o

comportamento do sistema original. Reavaliar... Pode-se incluir uma comparacao

entre a saıda do sistema original dada por cx(t) com a saıda do sistema que se

propoe a estimar: cx(t). Ponderada por um ganho constante l a ser ajustado



u

b

bx x

˙x xx

A

A

Z

Z

c

c

y

y

l+

+

+

+

+

−



Estimador assintotico ou em“malha fechada”

˙x = Ax + bu + l (y − cx)︸︷︷︸

inovacao

, l ∈ Rn×1

= (A − lc)x + bu + ly

Definindo-se o erro“de estimativa” e(t) , x(t) − x(t)

e = Ax+bu − (A − lc)x−bu − l(cx)

= (A − lc)(x − x)

= (A − lc)e

Boa nova: Se os autovalores de (A − lc) puderem ser arbitrariamente

alocados, atua-se na forma como o erro e(t) tende a zero!!



B Se o estado estimado x(t) vai ser usado para a realimentacao, os autovalores

do estimador devem ser mais“rapidos”do que os autovalores em malha fechada

do sistema controlado (isto e, parte real mais negativa), no contexto que a

dinamica do sistema seja dominada pelos autovalores do projeto de controle

Teorema Os autovalores de (A − lc) podem ser alocados arbitrariamente

atraves da escolha de um ganho l se e somente se o par (A, c) for observavel

Demonstracao Por dualidade, se (A′, c′) e controlavel, entao os autovalores

de (A′ − c′k) podem ser alocados arbitrariamente. Basta fazer l = k′... ¥


Observadores de Estado via Lyapunov

Projeto de estimador de ordem n para o sistema

x = Ax + bu

y = cx

via equacao de Lyapunov (procedimento dual a alocacao de polos)

1. Escolha uma matriz F ∈ Rn×n estavel com os autovalores desejados

(diferente de A)

2. Escolha l arbitrario tal que (F, l) seja controlavel

3. Obtenha a solucao unica T da equacao de Lyapunov

TA − FT = lc

=⇒ condicoes duais para que T seja nao singular


Observadores de Estado via Lyapunov

4. As equacoes

z = Fz + Tbu + ly

x = T −1z

geram um estimador para x

Definindo-se e , z − Tx, entao

e = z − T x

= Fz + Tbu + lcx − TAx − Tbu

e, como TA = FT + lc, tem-se

e = Fz + lcx − (FT + lc)x

= F (z − Tx) = Fe

Se F e estavel, e(t) → 0 quando t → ∞, e z → Tx, e portanto T −1z e um

estimador para x


Estimador de estado de ordem reduzida

x = Ax + bu

y = cx

Se o sistema e observavel, pode ser colocado na forma canonica observavel. Por

exemplo, para n = 4:

x =

−α1 1 0 0

−α2 0 1 0

−α3 0 0 1

−α4 0 0 0

x +

β1

β2

β3

β4

u

y =[

1 0 0 0]

x

Note que y(t) = x1(t) (primeira variavel de estado), e portanto pode-se

construir um estimador de estado apenas para as demais variaveis xi,

i = 2, 3, . . . , n



Metodo por equacao de Lyapunov

1. Escolha F ∈ R(n−1)×(n−1) estavel com autovalores distintos de A

2. Escolha l arbitrario tal que (F, l) seja controlavel

3. Obtenha a solucao unica T ∈ R(n−1)×n da equacao de Lyapunov

TA − FT = lc

4. A equacao de estado (n − 1)-dimensional estima x

z = Fz + Tbu + ly

x =

c

T

−1

y

z



Note que a equacao

x =

c

T

−1

y

z

pode ser escrita da forma

y

z

=

c

T

x

e portanto y = cx e z = T x. Entao, y e um estimador para cx e z para Tx,

pois e = z − Tx e

e = z − T x

= Fz + Tbu + lcx − TAx − Tbu

= Fe

e, novamente, se F e estavel, entao e(t) → 0 quando t → ∞



Teorema Se A e F nao tem autovalores em comum, entao a matriz quadrada

P ,

c

T

com T solucao unica de TA − FT = lc e nao singular se e somente se (A, c)

for observavel e (F, l) for controlavel



Demonstracao Segue passos similares aos da demonstracao para a

realimentacao de estados. Considere n = 4 e

∆(s) = det(sI − A) = s4 + α1s3 + α2s2 + α3s + α4

Pode-se mostrar que (dual a (8.22), Chen, pg. 252)

−∆(F )T =[

l F l F 2l F 3l]

︸︷︷︸

C4

α3 α2 α1 1

α2 α1 1 0

α1 1 0 0

1 0 0 0

︸︷︷︸

Λ

c

cA

cA2

cA3

︸︷︷︸

O

e ∆(F ) e nao-singular se A e F nao tiverem autovalores em comum. Note que

F e 3 × 3 (ordem reduzida) e A e 4 × 4



A matriz Λ e sempre nao singular, O e a matriz de observabilidade de (A, c) e

C4 e a matriz de controlabilidade de (F, l) acrescida da coluna F 3l. Entao,

T = −∆−1(F )C4ΛO e a matriz P pode ser escrita da forma:

P =

c

T

=

c

−∆−1(F )C4ΛO

=

1 0

0 −∆−1(F )

c

C4ΛO

Note que n = 4, P , O e Λ sao 4 × 4; T e C4 sao 3 × 4 e ∆(F ) e 3 × 3

Se (F, l) nao e controlavel, C4 tem posto no maximo igual a 2, T tem posto no

maximo igual a 2 e P e singular. Se (A, c) nao e observavel, existe r ∈ R4×1

tal que Or = 0, o que implica cr = 0 e Pr = 0, e portanto P e singular. Isto

conclui a necessidade



Para mostrar a suficiencia, por contradicao, supoe-se P singular. Nesse caso,

existe r 6= 0 tal que Pr = 0, e

c

C4ΛO

r =

cr

C4ΛOr

= 0

Definindo a , ΛOr =[

a1 a2 a3 a4

]′

=[

a a4

]′

, isto e

a1

a2

a3

a4

=

α3 α2 α1 1

α2 α1 1 0

α1 1 0 0

1 0 0 0

c

cA

cA2

cA3

r

Portanto, a4 = cr e, da equacao anterior, cr = 0. Substituindo a4 = 0 em

C4ΛOr tem-se...



a4 = 0 7→ C4ΛOr obtem-se (lembrando a , ΛOr = [ a a4 ]′)

C4ΛOr = C4a = Ca = 0

sendo C a matriz de controlabilidade de (F, l) e, se o par (F, l) e controlavel,

Ca = 0 implica a = 0 e portanto a = 0

Considere agora ΛOr = a = 0. A matriz Λ e sempre nao singular. Se (A, c) e

observavel, O e nao singular e ΛOr = 0 implica r = 0, o que contradiz a

hipotese inicial

Assim, se (A, c) e observavel e (F, l) e controlavel, P e nao singular ¥


Realimentacao a partir de Estados Estimados

x = Ax + bu

y = cx

Se (A, b) e controlavel, a realimentacao de estados u = r − kx pode alocar os

autovalores de (A − bk) de forma arbitraria

B Estados nao disponıveis: observador de estados

Veja se (A, c) e observavel, entao um observador de estados de ordem completa

ou reduzida pode ser projetado com autovalores posicionados de forma arbitraria



B Estimador de ordem n (completa)

˙x = (A − lc)x + bu + ly

A escolha de l (ou melhor, dos autovalores de (A − lc)) determina a taxa com

que o estado estimado x aproxima-se do estado do sistema

Realimentando os estados estimados:

u = r − kx

B Os autovalores de (A − bk) e de (A − lc) se alteram devido a combinacao?

B O estimador altera a FT de r para y?



Combinando as equacoes usando u = r − kx

x = Ax − bkx + br

˙x = (A − lc)x + b(r − kx) + lcx

tem-se o sistema aumentado de dimensao 2n

x

˙x

=

A −bk

lc A − lc − bk

x

x

+

b

b

r

y =[

c 0

]

x

x



ur

xk

x = Ax + bu

y = cx

y+

−

Estimador



Transformacao de equivalencia

x

e

=

x

x − x

=

I 0

I −I

x

x

P ,

I 0

I −I

; P −1 = P



Sistema equivalente para realimentacao e erro de estimacao,[

x e]′

:

I 0

I −I

︸︷︷︸

P

A −bk

lc A − lc − bk

I 0

I −I

︸︷︷︸

P −1

=

A − bk −bk

0 A − lc

I 0

I −I

︸︷︷︸

P

b

b

=

b

0

[

c 0

]

I 0

I −I

︸︷︷︸

P −1

=[

c 0

]



Sistema equivalente para realimentacao e erro de estimacao:

x

e

=

A − bk bk

0 A − lc

x

e

+

b

0

r

y =[

c 0

]

x

e

B Autovalores da matriz dinamica sao a uniao dos autovalores de (A − bk) e

(A − lc); portanto o estimador nao altera os autovalores nem tem seus

autovalores modificados pela conexao – e denominado Princıpio da Separacao



B Note que o sistema aumentado e nao controlavel (forma canonica), e que a FT

do sistema e igual a da equacao x = (A − bk)x + br com y = cx, ie, dada por

Gf(s) = c(sI − A + bk)−1b =⇒ nao aparece o estimador!

B De fato, no computo de funcoes de transferencia, as condicoes iniciais sao

assumidas nulas: x(0) = x(0) = 0, entao

⇒ x(t) = x(t) ∀ t

⇒ FT de r para y nao e afetada pela presenca ou nao do estimador...


Sistemas a Tempo Discreto?

B Os procedimentos de alocacao de polos sao os mesmos tanto para

realimentacao quanto para o observador, lembrando apenas que o contexto de

estabilidade e o ponto que os difere

××

×

×

××

×

×

×

×

Plano-s Plano-z


Controle Baseado no Observador

B Faca δ[x(t)] representar x(t) ou x(k + 1)...

B Regulador: Lei de Controle + Observador

δ[x(t)] = (A − Bk − l C)︸︷︷︸

AC

x(t) + l︸︷︷︸

BC

y(t)

u(t) = − k︸︷︷︸

CC

x(t)

FT: =⇒U(ζ)

Y (ζ)= CC (ζI − AC)

−1BC

com ζ representado“s”ou“z”...



Exemplo Considere o modelo simplificado de um“satelite”da forma

G(s) = 1/s2, ie, y(t) = u(t), definindo-se

x1 = y; x2 = y

com

x1 = x2 e x2 = y = u

entao

x(t) =

0 1

0 0

︸︷︷︸

A

x(t) +

0

1

︸︷︷︸

B

u(t)

y(t) =[

1 0]

︸︷︷︸

C

x(t)



B Se alocar os polos do controlador em

s1,2 = −0.707 ± j0.707 (ξ = 0.707, ωn = 1rad/s)

obtem-se K =[

1 1.4142]

B Se os polos do estimador sao alocados em ωn = 5rad/s e ξ = 0.5, obtem-se

Lp =

5

25

FT do controlador baseado no observador:

D(s) =−40.4(s + 0.619)

(s + 3.21 + j4.77)(s + 3.21 − j4.77)


Controle Integral – Sistemas Discretos

Modelo considerado:

x(k + 1)] = Ax(k) + Bu(k) + Bw(k)

y(k) = Cx(k)

Resultado esperado?

1. y(t) → r(t) ≡ 1, ∀t > t0

2. rejeitar w = sinal constante, porem de magnitude desconhecida

O que fazer? Integrar o erro... De forma analoga ao caso contınuo (vide aula 18)

e(k) = y(t) − r(t), e portanto

e(k) = xI(k + 1) − xI(k) = Cx(k) − r(k)


Controle Integral

Definindo-se:

η(k) =[

xI(k) x(k)]T

Obtem-se o modelo aumentado:

η(k + 1) =

1 C

0 A

η(k) +

0

B

u(k) +

0

B

w(k) −

1

0

r(k)

y(k) =[

C 0

]

η(k)

B Controle ou Observador?


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