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ESTIMATIVA VIA CFD DA MASSA ADICIONAL DE UM
CASCO
Pietro Giorgio de Albuquerque Pereira
Projeto de Graduação apresentado ao Curso
de Engenharia Naval e Oceânica da Escola
Politécnica, Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro Naval e Oceânico.
Orientador: Alexandre Teixeira De Pinho
Alho, DSc.
Rio de Janeiro
Agosto de 2015
ESTIMATIVA VIA CFD DA MASSA ADICIONAL DE UM
CASCO
Pietro Giorgio de Albuquerque Pereira
PROJETO DE GRADUAÇÃO APRESENTADO AO CURSO DE ENGENHARIA
NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA, UNIVERSIDADE FEDERAL
DO RIO DE JANEIRO, COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS À
OBTENÇÃO DO TÍTULO DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO.
Examinado por:
_____________________________________
Alexandre Teixeira de Pinho Alho, D.Sc.
(Orientador)
_____________________________________
Carl Horst Albrecht, D.Sc.
_____________________________________
Murilo Augusto Vaz, D.Sc.
_____________________________________
Severino Fonseca da Silva Neto, D. Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
AGOSTO DE 2015
Pereira, Pietro Giorgio de Albuquerque
Estimativa via CFD da massa adicional de um casco. – Rio de Janeiro
38 p.:il.;29,7cm.
Orientador: Alexandre Teixeira de Pinho Alho
Projeto de Graduação – UFRJ/Escola Politécnica/Curso de Engenharia
Naval e Oceânica, 2015
Referências bibliográficas: p. 38
1. Massa adicional. 2. CFD. 3. Hidrodinâmica. I. Universidade Federal do
Rio de janeiro, Escola politécnica, Curso de Engenharia Naval e Oceânica.
II. Título.
Projeto Final apresentado ao DENO como parte dos requisitos necessários à obtenção do
grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
Estimativa via CFD da massa adicional de um casco
Pietro Giorgio de Albuquerque Pereira
Agosto/2015
Orientador: Alexandre Teixeira de Pinho Alho
Departamento: Engenharia Naval e Oceânica
Resumo do Trabalho:
O objetivo deste trabalho foi o desenvolvimento de um modelo numérico via CFD
para a estimativa da massa adicional de cascos de embarcações. Um casco convencional
de navio petroleiro foi adotado como referência para a validação do modelo numérico,
considerando em particular o movimento de afundamento (“heave”). Os resultados
numéricos obtidos foram validados através de modelos analíticos baseados na teoria
potencial.
Palavras-Chave: Massa Adicional, Hidrodinâmica, CFD.
Graduation Project presented to DENO as part of the necessary requirements to obtain
the degree of Naval Engineering.
CFD estimate for added mass of a hull
Pietro Giorgio de Albuquerque Pereira
August/2015
Advisor: Alexandre Teixeira de Pinho Alho
Departament: Engenharia Naval e Oceânica
Abstract of Project:
The objective of this work was the development of a numerical model using a
CFD to estimate the additional mass of boat hulls. A conventional hull oil tanker was
adopted as a reference for the validation of the numerical model, considering in particular
the heave motion. The numerical results were validated by analytical models based on
potential theory.
Key words: Added mass, Hydrodynamics, CFD.
Dedicatória
A Deus, minha mãe e meu
pai(in memorian)
Agradecimentos
Agradeço a Deus, por te me guiado até aqui. A minha querida mãe Vitória Cristina,
que me abraçou e zelou por mim nos momentos mais críticos que passei na minha vida,
você é fantástica. Agradeço aos meus irmãos Pablo e Paola, vocês são incríveis, sempre
torcendo pelo meu sucesso! E Pablo, na hora que mais precisei, tive seu integral apoio,
você é um grande exemplo, muito obrigado meu irmão. Agradeço a minha amada vó (in
memorian), por todo o aprendizado e o carinho que tive ao seu lado. Essa é a minha
família, meu alicerce, vocês participaram imensamente na formação do meu caráter e da
minha personalidade, amo vocês.
Agradeço ao meu mestre e orientador, Alho, um homem apaixonado pelo o que faz,
curioso de tal forma que consegue despertar essa curiosidade nos seus alunos, obrigado
pelas sábias palavras, que não foram só ligadas ao curso ou ao tema estudado neste
projeto, foram ligadas a vida, muito obrigado mesmo.
Meus sinceros agradecimentos aos meus amigos Pedro, Martha, Flávia, Felipe
Vieira, Felipe Nascimento, Igor Braga, Paula, Tamyris e Danilo, que diretamente e/ou
indiretamente também contribuíram para a minha formação, vocês são incríveis! Um
agradecimento especial ao meu amigo Lucas Castelli, um rapaz fantástico que me ensinou
o valor de uma amizade, obrigado pelo apoio nos momentos de angústia, pelos conselhos,
por todos esses anos de trabalho em grupo e principalmente meu amigo, pelo privilégio
de ter sido escolhido como o padrinho do seu filho, hoje tenho a oportunidade de conviver
com mais uma família fantástica por conta disso.
Por fim, agradeço a ANP, por esses anos de suporte técnico e financeiro, foi um
fator indispensável para a realização desse trabalho.
3
Sumário
SUMÁRIO ....................................................................................................................................... 3
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 4
1.1 Histórico ..................................................................................................... 5
1.2 Objetivo e Estratégia .................................................................................. 5
2. TRATAMENTO ANALÍTICO-EXPERIMENTAL ......................................................... 6
2.1 Formulação do problema ............................................................................ 6
2.2 Energia cinética do fluido ........................................................................... 8
2.3 Massa adicional do casco pela teoria potencial ........................................ 10
3. METODOLOGIA NUMÉRICA ....................................................................................... 14
3.1 Formulação matemática ............................................................................ 14
3.2 Formulação numérica ............................................................................... 16
3.3 Domínio computacional Inicial ................................................................ 18
3.4 Malha computacional estruturada ............................................................. 20
3.5 Configuração física ................................................................................... 26
3.6 Condições de contorno ............................................................................. 26
3.7 Verificação da coerência física ................................................................. 28
3.8 Independência de domínio ........................................................................ 29
3.9 Independência de malha ........................................................................... 32
3.10 Obtenção da massa adicional via CFD ................................................. 34
4. COMPARAÇÃO DO RESULTADO ................................................................................ 39
5. CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 39
6. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................ 39
4
1. Introdução
Ao analisar um corpo em movimento e imerso em um fluido, notou-se que a
interação com o fluido pode ser descrita por um campo vetorial de velocidade e um campo
escalar de pressão do escoamento. Este escoamento deve atender às leis de conservação
de massa, momento e energia desenvolvidas na mecânica dos fluidos, além disso deve
obedecer às condições de contorno impostas pelas fronteiras do domínio em questão.
Observa-se que existe uma fina interface de corpo/fluido na quais existem tensões
normais de pressão e tangenciais de cisalhamento e troca de energia.
Sabe-se da primeira Lei de Newton que um corpo de massa constante resiste a
qualquer tentativa de alterar o seu movimento. Esta resistência foi chamada de inércia.
Desta forma, quando o corpo está imerso e se movimentando, ele sofre uma resistência
adicional (inercial e viscosa) das partículas fluidas, devido ao acoplamento corpo/fluido.
Conclui-se que qualquer alteração do movimento do corpo deve ser acompanhada
de uma alteração do movimento do fluido, pois as relações de conservação e as condições
de contorno devem ser satisfeitas.
A aceleração do corpo imerso gera uma alteração na energia cinética do fluido ao
redor do casco, a variação desta energia está associada a um trabalho de uma força de
inércia adicional, chamada de força de inércia fluida. É necessário computar essa força
inercial fluida à equação de movimento do corpo no meio fluido, mas o problema
associado a isso é que ao corpo transferir energia ao meio, as partículas fluidas
perturbadas apresentam uma faixa grande de variações de velocidades, ou seja, existe
uma dificuldade associada a representação desse efeito físico na equação que exprime as
forças atuantes no corpo.
A massa adicional foi um conceito criado com o intuito de representar
matematicamente esse efeito físico, expressando-o como uma massa fluida acoplada ao
corpo, e, por conseguinte, uma massa fluida que possui a mesma aceleração que a
aceleração do casco. A discussão de como esse procedimento foi criado nesse projeto será
feita mais à frente.
A computação do efeito de massa adicional de vários corpos são focos de muitos
jornais e artigos, assim como em monografias. A importância desta quantidade para
embarcações é o fato da mesma exercer influência nas propriedades inerciais quando a
embarcação está em movimento. A massa adicional é especialmente importante no estudo
5
de manobrabilidade, comportamento em ondas e nos problemas de análise de vibração
local e global da embarcação.
1.1 Histórico
A noção de massa adicional foi introduzida por Dubua (BIRKHOFF, 1960) em
1776, ele experimentalmente estudou pequenas oscilações de um pêndulo esférico. Uma
expressão matemática exata para a massa adicional de uma esfera foi obtida por Green
em 1833 e Stokes em 1843 (LAMB, 1932). Posteriormente, com o esforço de muitos
pesquisadores, a noção de massa adicional foi generalizada para um corpo arbitrário se
movendo em diferentes regimes.
Como já foi dito, o movimento de um corpo imerso em um fluido incompressível
implica na geração de forças e torques de origem hidrodinâmica, e estes são determinados
pelas propriedades inerciais e viscosas do fluido. Com certas aproximações, pode-se
distinguir as forças e torques de origem inerciais, baseando-se na suposição de um fluido
não viscoso (Teoria potencial), que são obtidas em função das massas adicionais do corpo.
1.2 Objetivo e Estratégia
Este trabalho tem por objetivo obter a massa adicional devido ao movimento de
afundamento de uma seção transversal de um petroleiro, através do uso da dinâmica dos
fluidos computacional. Foi argumentado ao longo do relatório o que seria essa
modelagem numérica e algumas características importantes da mesma, assim como
análises que devem ser feitas para garantir que a modelagem está expressando
corretamente a realidade. As características da seção transversal da embarcação em
estudo estão evidenciadas na Tabela 1.
Tabela 1 - Medidas da seção transversal
Dimensões Principais
Pontal 27,4 m
Boca 43,6 m
Calado 21,6 m
Raio de Bojo 2 m
Além disso foi abordado uma forma de obtenção da massa adicional pela teoria
potencial, pois este método já está consagrado e é amplamente utilizado no setor naval, e
para a seção transversal do petroleiro em estudo, em conjunto com o movimento de
interesse, é garantido que ela fornece bons resultados. Para melhor entendimento, foi
desenvolvido a base teórica para a definição da massa adicional na teoria potencial. Este
6
valor da massa adicional será tomado como referência para a análise do resultado obtido
pela dinâmica dos fluidos computacional
2. Tratamento Analítico-Experimental
2.1 Formulação do problema
Este capítulo dedica-se a uma abordagem teórica para obtenção da massa adicional
pela teoria potencial (KOROTKIN, 2007). Assuma a existência de um corpo imerso, de
região submersa com área S, em um fluido infinito e homogêneo ideal. Supondo o fluido
não viscoso, implica na existência de uma função potencial 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡), tal que:
𝑣𝑥 =
𝜕𝜑
𝜕𝑥, 𝑣𝑦 =
𝜕𝜑
𝜕𝑦, 𝑣𝑧 =
𝜕𝜑
𝜕𝑧
(1)
Levando em conta a equação da continuidade e com a suposição de fluido
incompressível, obtém-se a equação de Laplace
𝜕2𝜑
𝜕𝑥2+
𝜕2𝜑
𝜕𝑦2+
𝜕2𝜑
𝜕𝑧2= 0
(2)
Existem algumas condições importantes a serem analisadas no problema em
questão:
1. A condição de impenetrabilidade na superfície S.
Esta condição implica que as partículas fluidas que estão em contato com a
superfície S devem ter a mesma velocidade projetada na direção normal da
superfície, ou seja:
𝜕𝜑
𝜕𝑛|𝑆
= 𝑢𝑛
Onde:
𝜕𝜑
𝜕𝑛|𝑆 é a projeção da velocidade do fluido na direção normal à superfície.
Observa-se que a normal é orientada para fora.
𝑢𝑛 é a projeção da velocidade de um ponto do corpo contido na superfície
na direção normal da mesma.
(3)
2. A condição estacionária no infinito:
lim𝑟→∞
𝜕𝜑
𝜕𝑥= lim
𝑟→∞
𝜕𝜑
𝜕𝑦= lim
𝑟→∞
𝜕𝜑
𝜕𝑧= 0
(4)
Onde 𝑟 é definido pelas coordenadas esféricas:
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
7
Pode-se reescrever a equação (3) de forma mais interessante para a problematização
em questão. Supondo que O seja a origem que coincide com um ponto arbitrário do corpo,
pode-se denotar a velocidade 𝑢𝑜⃗⃗⃗⃗ = 𝑢𝑜𝑥î + 𝑢𝑜𝑦𝑗̂ + 𝑢𝑜𝑧�̂� . Denota-se por �⃗⃗� a velocidade
angular do corpo no ponto O. Utilizando a teoria de corpo rígido, sabe-se que a velocidade
em um ponto arbitrário contido na superfície S é determinada pela seguinte relação:
�⃗� = 𝑢0⃗⃗⃗⃗ + �⃗⃗� 𝑥𝑟 (5)
Onde 𝑟 é definido vetor distância que liga o ponto de origem O ao ponto arbitrário
na superfície. A equação (5) pode ser aberta em termos dos seus componentes:
{
𝑢𝑥 = 𝑢𝑜𝑥 + 𝜔𝑦𝑧 − 𝜔𝑧𝑦𝑢𝑦 = 𝑢𝑜𝑦 + 𝜔𝑦𝑧 − 𝜔𝑧𝑦
𝑢𝑧 = 𝑢𝑜𝑧 + 𝜔𝑦𝑧 − 𝜔𝑧𝑦
(6)
Sabe-se que a velocidade normal a uma superfície pode ser escrita como a
decomposição dos componentes da velocidade no sistema de coordenadas utilizado, o
que implica em:
𝑢𝑛 = 𝑢𝑥 cos(𝑛, 𝑥) + 𝑢𝑦 cos(𝑛, 𝑦) + 𝑢𝑧 cos(𝑛, 𝑧) (7)
Onde os cossenos apresentados na equação (7) representam a projeção dos vetores
direcionais que definem os eixos cartesianos do sistema no vetor normal à superfície.
Adotando a seguinte notação:
{
𝛼 = cos(𝑛, 𝑥)
𝛽 = cos(𝑛, 𝑦)𝛾 = cos(𝑛, 𝑧)
(8)
Pode-se substituir a equação (6) na (7), e utilizar esta formulação na condição de contorno
(3):
𝜕𝜑
𝜕𝑛|𝑆= 𝑢𝑜𝑥𝛼 + 𝑢𝑜𝑦𝛽 + 𝑢𝑜𝑧𝛾 + 𝜔𝑥(𝑦𝛾 − 𝑧𝛽) + 𝜔𝑦(𝑧𝛼 − 𝑥𝛾) + 𝜔𝑧(𝑥𝛽 − 𝑦𝛼)
(9)
Percebe-se que 𝛼, 𝛽, 𝛾, (𝑦𝛾 − 𝑧𝛽), (𝑧𝛼 − 𝑥𝛾), (𝑥𝛽 − 𝑦𝛼) são variáveis que
podem ser determinadas somente pelo conhecimento da forma do corpo. A movimentação
do corpo e a dinâmica do fluido é determinada por 𝑢𝑜𝑥, 𝑢𝑜𝑦, 𝑢𝑜𝑧 , 𝜔𝑥, 𝜔𝑦, 𝜔𝑧.
A linearidade do problema vinda da equação de Laplace (2) implica que as soluções
dos movimentos de translação e rotação de um corpo podem ser linearmente combinadas:
𝜑 = 𝑢𝑜𝑥𝜑1 + 𝑢𝑜𝑦𝜑2 + 𝑢𝑜𝑧𝜑3 + 𝜔𝑥𝜑4 + 𝜔𝑦𝜑5 + 𝜔𝑧𝜑6 (10)
8
A fórmula (10) evidencia que 𝜑𝑖, 𝑖 = 1, 2, 3 são escoamentos potenciais
correspondentes a movimentação do corpo ao longo do 𝑥, 𝑦 e 𝑧, respectivamente. E que
𝜑𝑖, 𝑖 = 4, 5, 6 são potenciais correspondentes a rotação do corpo.
Cada um desses potenciais pode ser formulado seguindo a mesma lógica, devido a
isso será feita apenas a formulação do 𝜑1. Sabe-se que este potencial deve satisfazer a
equação de Laplace, assim: ∆𝜑1 = 0. Além disso, analisando a equação (9), conclui-se
que:
𝜕𝜑1
𝜕𝑛|𝑆
= 𝛼
E condição de estacionaridade no infinito implica que:
lim𝑟→∞
𝜕𝜑1
𝜕𝑥= lim
𝑟→∞
𝜕𝜑1
𝜕𝑦= lim
𝑟→∞
𝜕𝜑1
𝜕𝑧= 0
Este mesmo procedimento pode ser formulado para as outras funções potenciais.
Um fato interessante a ser analisado, é que estas funções potenciais não dependem de 𝑢𝑜⃗⃗⃗⃗
ou �⃗⃗� . Elas dependem somente da forma da superfície S e da escolha do sistema de
coordenadas associado ao corpo.
2.2 Energia cinética do fluido
A energia cinética de todo o fluido confinado entre um corpo se movendo de área
S e uma esfera de raio 𝑎 contendo o corpo junto com o fluido que o circunda pode ser
definida pela soma das energias cinéticas de cada elemento fluido pertencente a este
domínio, isto pode se tornar mais claro por uma definição de integral:
𝑇 =
1
2𝜌∭𝑣2
𝑉
𝑑𝑉 (11)
Sabe-se que:
𝑣2 = (𝑢𝑥2 + 𝑢𝑦
2 + 𝑢𝑧2)
Utilizando a suposição de escoamento potencial:
𝑣2 = (
𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
(12)
Substituindo (12) no (11):
𝑇 =1
2𝜌∭ [(
𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
]𝑉
𝑑𝑉
9
Neste momento será necessário o uso da primeira identidade de Green, esta
identidade relaciona a integral de volume com a integral de área que circunda tal volume.
Supondo duas funções arbitrárias 𝛿 e 𝜓 definidas no R³ e supondo 𝜑 com segunda
derivada contínua, então:
∭(𝜓∆𝛿 + ∇𝛿. ∇𝜓)𝑑𝑉
𝑉
= −∬ 𝜓(∇𝛿. 𝒏)𝑑𝑆𝑆+Σ
(13)
Onde no caso em estudo: 𝑉 é a região de confinamento do fluido, S é superfície da
corpo e Σ representa a área superficial da esfera de raio 𝑎 que circunda a região. Como a
função potencial satisfaz as condições, pode-se supor que as funções arbitrárias sejam
𝛿 = 𝜓 = 𝜑, substituindo em (13):
∭(𝜑∆𝜑 + ∇𝜑. ∇𝜑)𝑑𝑉
𝑉
= −∬ 𝜑(∇𝜑. 𝒏)𝑑𝑆𝑆+Σ
(14)
Sabe-se que:
∇𝜑. ∇𝜑 = (𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
∇𝜑. 𝒏 =𝜕𝜑
𝜕𝑛
∆𝜑 = 0
Substituindo em (14):
∭ ((𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
)𝑑𝑉𝑉
= −∬ 𝜑 (𝜕𝜑
𝜕𝑛)𝑑𝑆
𝑆+Σ
Separando a integral do lado direito:
∭ ((𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
)𝑑𝑉𝑉
= −∬ 𝜑 (𝜕𝜑
𝜕𝑛)𝑑𝑆
𝑆
− ∬ 𝜑 (𝜕𝜑
𝜕𝑛) 𝑑𝑆
Σ
O sinal negativo é utilizado com o intuito de se obter um resultado positivo, pois o
corpo é considerado como um buraco no domínio, que é limitado pela própria área S do
corpo e da área Σ da esfera, e a normal aponta para o seu interior em S.
Supondo que o raio da esfera tenda a infinito, então, pela condição de
estacionaridade, o segundo termo do lado direito da equação tenderá a zero. Obtendo-se
por fim:
∭ ((𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
)𝑑𝑉𝑉
= −∬ 𝜑(𝜕𝜑
𝜕𝑛)𝑑𝑆
𝑆
Multiplicando ambos os lados por 𝜌
2:
10
𝜌
2∭ ((
𝜕𝜑
𝜕𝑥)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑦)2
+ (𝜕𝜑
𝜕𝑧)2
)𝑑𝑉𝑉
= −𝜌
2∬ 𝜑 (
𝜕𝜑
𝜕𝑛)𝑑𝑆
𝑆
Percebe-se que o lado esquerdo da equação é exatamente a definição da energia
cinética apresenta em (11), logo:
𝑇 = −
𝜌
2∬ 𝜑(
𝜕𝜑
𝜕𝑛)𝑑𝑆
𝑆
(15)
Pode-se substituir a equação (10) na (15), e escrevendo:
𝑢𝑜𝑥 = 𝑢1, 𝑢𝑜𝑦 = 𝑢2, 𝑢𝑜𝑧 = 𝑢3, … , 𝜔𝑧 = 𝑢6
Obtém-se:
𝑇 =1
2∑∑ 𝜆𝑖𝑘𝑢𝑖𝑢𝑘
6
𝑘=1
6
𝑖=1
(16)
Onde
𝜆𝑖𝑘 = −𝜌∬ 𝜑𝑘
𝜕𝜑𝑖
𝜕𝑛𝑑𝑆
𝑆
(17)
Percebe-se na equação (16) que existe um produto de duas velocidades, e pela
própria definição de energia cinética, que é metade da massa multiplicando a velocidade
ao quadrado, fica mais intuitivo deduzir que o termo 𝜆𝑖𝑘 explicitado na equação (17) é
chamado de massa adicional.
2.3 Massa adicional do casco pela teoria potencial
A teoria desenvolvida anteriormente foi considerada importante para ter o
entendimento físico do que é a interpretação da massa adicional, e este conceito será
utilizado posteriormente, para obter a massa adicional por CFD.
O cálculo da massa adicional pela teoria potencial consiste em inicialmente utilizar
o conceito previamente mostrado da massa adicional para calcular analiticamente a massa
adicional de um cilindro oscilando verticalmente em um meio fluido. Que é dado pela
equação (18).
𝜆33 = 𝜌𝜋𝑟2 (18)
Onde:
𝜌: Massa específica do fluido
r: Raio do cilindro
Para um cilindro em que metade do seu volume esteja submerso, na teoria
(KOROTKIN, 2007) foi visto que a integral que determina o valor da massa adicional em
heave fornece exatamente a metade do valor encontrado na equação (18).
11
Figura 1 - Cilindro em um meio fluido
Evidentemente para calcular a massa adicional de seções de navios não deve ser
utilizado a formulação direta obtida através do cilindro, uma vez que a forma da seção
não condiz com a forma do cilindro. Com isso, foi proposto o método da transformação
conforme (KOROTKIN, 2007), onde são determinados os resultados para seções típicas
do navio a partir dos resultados de uma seção circular.
A transformação conforme é realizada por expressões matemáticas que fazem a
conversão do contorno da forma do cilindro para a forma desejada do casco. As condições
de contorno utilizadas são de estacionaridade no infinito e impenetrabilidade, isto já foi
abordado anteriormente.
Figura 2 - Transformação Conforme
r
12
Como é visto na Figura 2, a seção está espelhada na superfície livre, este é um efeito
chamado de corpo duplo e a sua aplicação é interessante para o problema em estudo, já
que a forma da seção transversal estudada é simétrica.
Utilizando este conceito, foi possível obter a formulação para a massa adicional
devido ao movimento de heave de uma seção transversal de um navio. Esta é vista na
equação (19).
𝜆33 =
𝜌𝜋𝐵2
8𝑘33
(19)
Onde:
𝜌: Densidado do fluido
𝐵: Boca da seção
𝑘33: Coeficiente de correção da massa adicional devido a heave, baseado na
transformação conforme
Para obter o coeficiente 𝑘33 é necessário saber o coeficiente de área submersa 𝛽,
que é determinado por:
𝛽 =
𝑆
𝐵𝑇
(20)
Onde:
S: Área Submersa
B: Boca da seção
T: Calado da seção
O cálculo do coeficiente de massa adicional para águas profundas pode ser obtido
consultando a Figura 3, onde é necessário calcular razão de duas vezes o calado pela boca
e o coeficiente 𝛽 , para poder consulta-lo com base nos mapas conformes de Lewis e nos
trabalhos de Landweber.
13
Figura 3 - Curva para determinação de k33 em águas profundas
Para a seção em estudo:
𝛽 = 0,998
2𝑇
𝐵= 0,991
Aproximando ambos os valores para 1 e consultando a curva, obteve-se:
𝑘33 = 1,35
Assim, o valor da massa adicional é dado por:
𝜆33 =𝜌𝜋𝐵2
8𝑘33 = 1032,98𝑡/𝑚
Esta situação especial em que a massa adicional só depende de 2 parâmetros tem
que ser validada de acordo com a Figura 4. Caso os parâmetros estejam de 𝛽 e 𝐵
2𝑇 da seção
analisada forneçam um ponto dentro da área “III” , é recomendável a utilização deste
método. Como há garantia de que o ponto está nesta área, o método garante bons
resultados.
14
Figura 4 - Áreas de validação do método para obter a massa adicional pela teoria potencial
3. Metodologia numérica
3.1 Formulação matemática
A análise numérica foi feita utilizando um software de dinâmica dos fluidos
computacional (CFD). Esta ferramenta deve ser utilizada por usuários com conhecimento
aprofundado sobre o tema, pois é necessário ter tanto experiência teórica quanto prática
afim de evitar erros consideráveis sobre a análise em questão. Para melhor entendimento
sobre o tema, serão apresentados os fundamentos utilizados pela teoria.
Como já habitual no campo da hidrodinâmica, um problema de escoamento é
resolvido ao se obter o campo de pressões e velocidades do mesmo no volume de controle
de interesse. O CFD tem essa missão, logo, ele deve obedecer às leis de conservação de
massa, momento e energia previamente desenvolvidas na teoria da mecânica dos fluidos.
A teoria generalizada para obter a formulação que explicita a conservação de massa
pode ser obtida considerando um elemento de volume infinitesimal e realizando o balanço
de fluxo de massa através desse fluido (Utilizando a teoria de transporte de Reynolds), tal
formulação é explicitada na equação (21), que normalmente é chamada de equação da
continuidade:
15
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑥+
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑦+
𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑧= 0
(21)
Analogamente a teoria para obter a conservação da massa, pode-se obter a equação
do transporte da quantidade de movimento linear, que basicamente são as Leis de Newton
aplicadas ao fluido.
𝜕(𝜌𝑢)
𝜕𝑡+ ∇. (𝜌𝑢𝑈) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧+ 𝜌𝑓𝑥
(22)
𝜕(𝜌𝑣)
𝜕𝑡+ ∇. (𝜌𝑣𝑈) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧+ 𝜌𝑓𝑦
(23)
𝜕(𝜌𝑤)
𝜕𝑡+ ∇. (𝜌𝑤𝑈) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧+ 𝜌𝑓𝑦
(24)
Estas 3 últimas equações são chamadas de equação de Navier-Stokes, que são não-
lineares e acopladas, portanto elas apresentam grande complexidade e sua resolução
analítica ainda não foi demonstrada.
Como a complexidade associada a estas equações são grandes, existe forma
diferentes de representa-las. As principais características que as difere é como são tratadas
as análises de turbulência, as 3 principais são: Direct numerical simulation(DNS),
Reynolds-averaged Navier-Stokes(RANS), Large eddy simulation(LES).
O DNS é uma simulação representa mais fielmente as equações de Navier-Stokes,
assim não é usado nenhum modelo de turbulência, o que implica no fato de que toda a
escala temporal e espacial da turbulência precisa ser resolvida, resultando em um grande
esforço computacional (ONLINE, Direct Numerical Simulation (DNS), 2015).
O RANS se baseia em decompor a velocidade em uma parcela média e uma
flutuante, como pode ser visto na Figura 5. A parcela flutuante é resolvida por um modelo
de turbulência, enquanto a parcela média é calculada através da solução da Equação de
Navier-Stokes transformada, onde ela é representada em termos de valores médios
(ENGINEERING, 2015). Este será o modelo utilizado no trabalho, pois para problemas
de engenharia no geral os valores médios fornecem bons resultados para a análise global
dos escoamentos.
16
Figura 5 – Princípio do método de RANS. Fonte (NORÕES, 2015)
Existem alguns modelos clássicos para representar a turbulência, que utilizam as
equações de Reynolds. Dos clássicos, o que foi escolhido foi o modelo two-equation
model – k-휀. Este modelo inclui duas equações de transportes extras para
representar a turbulência, a primeira é a variável de transporte de energia cinética
turbulenta k, e a segunda é a dissipação turbulenta 휀. O motivo da escolha desse
modelo é pelo fato de ele já ter sido amplamente utilizado e validado, inclusive no
setor naval.
A LES é um modelo onde separam-se as turbulências grandes das pequenas, as
equações de dependência do tempo são resolvidas para as maiores turbulências em
conjunto com o escoamento principal, as menores turbulências são resolvidas por
modelos. De fato, as maiores turbulências interagem fortemente com o escoamento
principal (MALALASEKERA, 1995), devido a isso, essa modelagem costuma obter bons
resultados para compreender os efeitos principais da turbulência. O problema associado
a este modelo é o fato de ele ainda estar em desenvolvimento e o custo computacional
exigido pelo método não condiz com o mérito que o mesmo possui. Porém, com os
avanços das tecnologias computacionais, pode ser que essa perspectiva mude no futuro.
3.2 Formulação numérica
As equações para representar a equação de Navier-Stokes foram apresentadas na
seção passada, existem alguns métodos numéricos principais para resolverem as mesmas,
estes são: Finite Difference Method(FDM) ou método das diferenças finitas, Finite
17
Element Method(FEM) ou método dos elementos finitos e o Finite Volume
Method(FVM) ou método dos volumes finitos (ENGINEERING, 2015).
O modelo utilizado será o método dos volumes finitos (FVM), pois ele é o método
abordado pelo software em que será resolvido o problema em questão, este será o pacote
ANSYS CFX 13.0, o programa utilizado para modelar a seção, assim como a definição
do domínio e geração da malha será o ICEM CFD 13.0 fornecido pelo mesmo software.
Este modelo consiste em subdividir o domínio em que se deseja analisar em um
número finito de volumes de controle, esses volumes correspondem às células da malha.
As equações de transporte, adaptadas para obter os valores médios das propriedades da
malha, são calculadas em todos os vértices dos volumes de controle, em conjunto com o
modelo de turbulência utilizado, e interpoladas para o centro de cada volume de controle,
um exemplo de uma célula hexaédrica é mostrado na Figura 6. Esta informação será de
grande importância para poder utilizar o conceito de modelagem 2D de uma seção
transversal em um software que utiliza o método dos volumes finitos para obter a solução
do escoamento.
Figura 6 - Célula da malha hexaédrica
As simulações feitas neste trabalho são em modo transiente, ou seja, as iterações
são feitas através de um passo de tempo físico. Pode-se observar, desta forma, que as
propriedades podem ser analisadas ao longo do tempo, isto será importante, levando em
conta que a seção oscilará verticalmente, logo a sua posição varia temporalmente, e por
isso o fenômeno é intrinsicamente dependente de uma simulação transiente para ser
devidamente representado.
18
A superfície livre é tratada numericamente através do método do volume fluido
(VOF). Neste método associa-se uma função F, que representa a fração de volume, esta
varia de 0 a 1, 1 para uma célula inteiramente preenchida por um líquido e 0 para uma
célula inteiramente preenchida por um gás, a superfície livre se encontra no intervalo em
que função F está entre 0 e 1, pois no problema em questão, o líquido será a água e o gás
será o ar. Este método é simples e funcional para determinar a superfície livre, pois ele
atribui um valor numérico único para cada célula, assim como é atribuído os valores de
velocidade e pressão.
3.3 Domínio computacional Inicial
Como já mencionado, a modelagem da seção transversal da embarcação estudada
em conjunto com o domínio de interesse foi feita no programa ANSYS ICEM CFD 13.0.
O domínio computacional representa o volume de controle utilizado na simulação e, por
conseguinte, representará os limites do espaço físico em que a embarcação está sendo
simulada.
O objetivo é obter a massa adicional da seção transversal de um petroleiro que
realiza um movimento de heave. Mas para utilizar o método dos volumes finitos, vai ser
necessário utilizar uma pequena dimensão longitudinal, o método para utilizar essa
simulação como um resultado 2D será discutido na próxima seção. A forma da meia seção
transversal por ser vista em perspectiva na Figura 7.
Figura 7 - Dimensões da seção em estudo
19
A ideia é que o domínio esteja representando uma simulação em águas profundas,
ou seja, as dimensões do domínio devem ser tais que não influenciem no resultado do
campo de pressões e velocidades ao redor do casco (Como exemplo, reflexão de ondas
na parede do domínio geradas pela movimentação do casco). Na seção 3.7 foi detalhado
o método para garantia de que o domínio não está influenciando no resultado.
As dimensões do domínio inicial para meia seção transversal, com referencial de
altura e profundidade baseado na distância das mesmas ao calado da embarcação, têm as
configurações detalhadas na Tabela 2, estas também podem ser visualizadas na Figura 8,
mas é importante salientar que as dimensões da figura não estão proporcionais à realidade,
isso foi feito para tornar melhor a visualização, pois as proporções reais do modelo não
permitiam ver a figura com clareza já que são muito destoantes, a espessura do domínio
é de 1 metro e não foi evidenciada na Figura 8 pelo mesmo motivo.
Tabela 2 - Dimensões do domínio inicial
Domínio Inicial
Dimensão Valor relativo Valor numérico
Largura ~10 Bocas 480m
Altura 1 Pontal 27,6m
Profundidade 10 Calados 216m
Espessura - 1m
Figura 8 - Dimensões do domínio inicial
É importante notar que somente 1 bordo da seção foi modela, o motivo disso se dá
pelo fato de que o esforço computacional exigido será diminuído e se considerar que o
20
escoamento é simétrico em relação ao plano diametral, não há perdas em termos de
significado físico e só há ganhos em termos de custo.
3.4 Malha computacional estruturada
A malha computacional representa a discretização do volume de controle, que é o
domínio previamente mostrado. Uma das dificuldades do uso desse método é a boa
percepção de como obter uma boa definição de malha para o problema em estudo, ou
seja, como subdividir o domínio da melhor forma possível, sem exagerar nas subdivisões
em regiões que pouco influenciam no resultado, e refinar mais a malha em regiões em
que as propriedades do fluido variam mais intensamente.
Como já dito, foi necessário adotar uma espessura longitudinal para o domínio de
interesse, apesar de se querer analisar somente uma seção transversal. O conceito
utilizado para simular um evento 2D pelo método dos volumes finitos é simples, como já
foi abordado e exemplificado na Figura 6, as propriedades calculadas nos vértices das
edges das células e são interpoladas para o centro das mesmas, ou seja, para uma célula
só há um ponto com o conjunto de propriedades que definem seu estado. Utilizando este
conceito, se a malha for hexaédrica e garantindo a existência de somente dois nós ao
longo da mesma longidutinal, obrigatoriamente só existirá uma célula ao longo desta
longitudinal (A não ser das células vizinhas que compartilham da mesma aresta), o
conceito pode ser visto na Figura 9. Com isso, haverá um plano que intercepta o centro
de volume de todas as células e assim possui as propriedades delas, o que é a simulação
em 2D de interesse.
Figura 9 - Conceito para simulação em 2D
21
Para garantir que haverá somente 2 nós por aresta longitudinal, será utilizado o
conceito de malha estruturada. Normalmente a geração da malha se dá de forma aleatória,
apesar de o usuário conseguir refinar as regiões de interesse, ele não tem controle sobre a
quantidade de elementos de malha no domínio, nem sobre a quantidade deles por aresta.
A malha estruturada permite ao usuário controlar a quantidade de nós em cada
aresta, o que é extremamente vantajoso, principalmente para a necessidade de que se
tenha somente 2 nós ao longo de cada aresta longitudinal. Outra vantagem associada a
malha estruturada é que o custo computacional diminui se ela for bem-feita. Porém, é
necessário ter cautela para utiliza-la, ela é mais complexa de configurar.
Para poder utilizar a malha estruturada é necessário dividir o domínio em
subdomínios (Blocos), em quantos for de interesse, um exemplo é evidenciado na Figura
10, em que os blocos foram numerados afim de facilitar a visualização dos mesmos, só
foi feita uma representação 2D, mas os blocos são tridimensionais, e evidentemente
possuem a mesma espessura do domínio.
Figura 10 - Subdivisão do domínio
Percebe-se na Figura 10 que existem blocos dentro do casco, o que não faz sentido,
para isso existem ferramentas que permitem excluir, expandir e contrair blocos. Para
facilitar o processo de expansão/contração dos blocos afim de que eles tomem a forma da
geometria, associa-se as arestas dos blocos as curvas do domínio em que eles deveriam
estar e estas são deslocadas automaticamente para as curvas associadas, após todo o
procedimento, os blocos ficaram rearranjados de forma a incorporar a geometria do
problema, como mostra a Figura 11.
22
Figura 11 – Subdivisão do domínio
Percebe-se que existe uma quantidade maior de blocos em volta do casco, pois o
que se buscou foi uma melhor definição da malha nessa região, a malha pôde ser refinada
nas regiões em que os vetores de velocidade dos volumes finitos, assim como a pressão,
variam mais intensamente, necessitando de células de tamanhos menores.
O passo seguinte foi determinar a quantidade de nós e a forma como eles se
distribuem em cada edge pertencente aos blocos. Um conceito importante e intrínseco a
malha estruturada é que, ao configurar uma edge de um bloco, todas as edges que são
paralelas a essa configurada receberão a mesma configuração. A Figura 12 representa um
corte no domínio já mostrado e nela todas as edges que devem ser configuradas são
nomeadas de “A” a “J”, todas as outras edges do domínio são paralelas a essas, e
consequentemente serão automaticamente configuradas, percebe-se que as setas
evidenciadas na mesma figura direcionam o refinamento. Na Tabela 3 é evidenciado o
espaçamento inicial e final de nós pertencentes a cada edge, na direção proposta pela
Figura 12, e também a quantidade de nós.
23
Figura 12 - Configuração das edges
Tabela 3 – Refinamento das edges
Edge Refinamento [m] Nós
A 0,05 → 0,50 113
B 0,10 → 0,05 278
C 0,05 → 0,05 33
D 0,05 → 0,05 33
E 0,05 → 0,2 180
F 0,20 → 0,30 24
G 0,05 → 0,50 113
H 0,30 → 1,00 39
I 0,50 → 10,00 126
J 0,50 → 5,00 90
É altamente recomendável que arestas adjacentes possuam o mesmo distanciamento
de nós em relação ao vértice em comum. Caso uma célula mude muito a sua razão de
aspecto ou suas dimensões se comparada com a sua vizinha, a simulação pode sofrer erros
numéricos grandes e acabar divergindo.
Utilizando a configuração de blocos em conjunto com o refinamento proposto,
obteve-se a malha apresentada na Figura 13.
24
Figura 13 - Malha inicial - Visão global
Da visão global percebe-se que existem regiões muito afastadas do casco que
apresentam algo grau de refinamento. Como foi dito, ao se configurar uma aresta, todas
as arestas em paralelo a essa configurada recebem a mesma configuração, então, ao se
refinar uma aresta perto do casco, essa configuração é copiada pelas suas paralelas, o que
acaba por refinar regiões distantes do casco, o que evidentemente é desnecessário, mas
faz parte da própria definição de malha estruturada. Apesar disso, as simulações feitas
com esse tipo de malha costumam ser mais rápidas do que as de outro tipo, então não há
motivo para considerar isso um problema, já que o único problema que esse refinamento
exagerado poderia gerar é um tempo de simulação grande, o que não é caso.
É necessário garantir um bom refinamento no fundo do casco, assim como no bojo,
pois os volumes de controle presentes nessa região tenderão a sofrer maior variação no
campo de velocidades e na pressão, e é de se esperar que boa parte do resultado vindo da
massa adicional esteja localizado ao redor dessa zona (Figura 14).
25
Figura 14 - Malha Inicial - Visão do fundo/bojo
Para garantir uma expressão adequada da realidade física da oscilação em questão,
é necessário garantir que a região em volta da linha d’água esteja bem refinada (Figura
15), além disso, a malha prismática consegue representar bem a geração de ondas devido
a oscilação, o que influencia no resultado desejado. A primeira aresta horizontal do bloco,
de baixo para cima, está na altura do calado, assim a superfície livre estará em volta dessa
região.
Figura 15 - Malha inicial - Linha d'água
Para regiões mais distantes do casco buscou-se configurar um refinamento mais
aliviado, pois a tendência é que haja pouca variação das propriedades dessas células. O
número de células presentes nesta malha é de 432.213.
26
3.5 Configuração física
Alguns parâmetros físicos importantes são evidenciados na Tabela 4.
Tabela 4 - Parâmetros físicos
Parâmetros físicos
Tempo total de simulação 30 s
Graus de liberdade do casco Z(Heave)
Amplitude de oscilação em heave T/30
Período de Oscilação 6 s
Passo de tempo 0,02 s
Tipo de função de oscilação Senoidal
Fase da função de oscilação 0
Velocidade da corrente de água/ar 0 nós
Massa específica da água 1025 kg/m³
Massa específica do ar 1,184 kg/m³
Aceleração da gravidade 9,81 m/s²(-z)
A função que representa a oscilação do casco em heave pode ser vista abaixo
𝜂 =𝑇
30sen (
𝜋
3𝑡), onde “T” é o calado e “t” o tempo.
3.6 Condições de contorno
A Figura 16 evidencia a nomenclatura das superfícies, só a superfície OUTLET que
não foi evidenciada, pois ela é igual a superfície INLET, só que transladada em apenas 1
metro ao longo da espessura. Os tipos de condições de contorno utilizadas para as
superfícies de controle são (MALALASEKERA, 1995):
Parede(Wall): Representa uma superfície impenetrável, no qual, devido a
condição não escorregamento, a velocidade tangencial a superfície é zero. As
superfícies do casco (BOTTOMSHIP, BILGEKEEL, SIDESHIP, DECK), o
fundo(BOTTOM) e a lateral(SIDE) do domínio utilizam esta condição.
Simetria(Symmetry): Representa um plano de simetria imaginário. A tensão
cisalhante na simetria é nula. Três superfícies têm esta condição na modelagem em
questão, estas são: as superfícies que chamadas de INLET e OUTLET, e a
superfícies SYMM.
Aberto(Openning): Representa uma livre passagem do fluido através dessa
condição, obviamente as equação da continuidade deve continuar sendo satisfeita.
O topo do domínio tem essa condição de contorno, ele é chamado de TOP.
27
Figura 16 - Nomenclatura das superfícies
Além disso, foi implementado uma condição de movimentação da malha nas
condições de Wall impostas ao casco, pois ele oscilará, assim a malha ao redor dele tem
que se mover em conjunto com ele. Um resumo das condições de contorno pode ser visto
na Tabela 5, na especificação da movimentação de malha com deslocamento em Z
chamada “Osc”, esta representa a função de oscilação em do casco em heave, que foi
detalhada na seção 3.6:
Tabela 5 - Resumo das condições de contorno
Domínio Contornos
Domínio
Top
Tipo OPENING
Configurações
Movimentação da malha Não especificada
Turbulência Gradiente zero
Inlet, Outlet, Symm
Tipo SYMMETRY
Configurações
Movimentação da malha Não especificada
BilgeKeel, Bottomship, Sideship, Deck
Tipo WALL
Configurações
28
Velocidade da parede relativa a Movimentação da malha
Movimentação da malha Especificar Deslocamento
Deslocamento em X 0
Deslocamento em Y 0
Deslocamento em Z Osc
Bottom, Side
Tipo WALL
Configurações
Movimentação da malha Estacionário
3.7 Verificação da coerência física
Após simular o modelo com as configurações já comentadas, é necessário ter
garantia de que o mesmo está realizando a oscilação com a amplitude e frequência
desejada. Para isso, foi feita a análise do deslocamento da malha associada ao fundo do
casco, ao longo do tempo, e obteve-se o gráfico mostrado na Figura 17.
Figura 17 - Deslocamento da malha no fundo do casco
Percebe-se que ela descreve a função senoidal prescrita para a movimentação do
casco. Também foi analisado a distribuição de velocidades da malha quando o casco está
na velocidade máxima em afundamento, isto pode ser visto na Figura 18.
29
Figura 18 - Distribuição de velocidade da malha na velocidade máxima de de afundamento do casco
A distribuição de velocidades é mais intensa ao redor do casco e é reduzida com a
distância, o que faz sentido fisicamente. Logo há uma melhor percepção de que a
proposição de configuração do modelo está evidenciando a realidade física esperada.
3.8 Independência de domínio
É necessário garantir que o domínio não esteja interferindo no resultado. Para isso,
foi feito uma variação sistemática do mesmo e comparando a variação da força vertical
no fundo do casco de um modelo para o outro. Inicialmente foi variado a largura do
domínio e a simulação foi refeita, a largura foi aumentada até o resultado do parâmetro
comparativo se estabilizar com relação ao resultado da simulação anterior, e em seguida
será feito o mesmo procedimento para a profundidade. A altura do domínio pouco
influencia, o ar não terá efeito expressivo nessa simulação, logo não será gasto esforço
computacional fazendo simulações para modificar a altura do domínio.
O motivo de se escolher a força como padrão comparativo é pelo fato de o efeito da
massa adicional ser uma força reativa no fundo do casco quando o mesmo se movimenta,
a garantia de que esta força está estabilizada implica na garantia de que o modelo está
adequado para obter o valor da massa adicional.
De acordo com a Tabela 4, o tempo total de simulação são de 30 segundos, e o
período de oscilação são de 6, conclui-se a partir disto que são simuladas 5 oscilações
30
completas, o valor dessa força ao longo da última oscilação, para a malha inicial, pode
ser visto na Figura 19.
Figura 19 - Força vertical no fundo do casco - Domínio inicial
O domínio foi aumentado em uma boca e a simulação foi refeita seguindo todos os
parâmetros já listados. O resultado pode ser visto na Figura 20.
Figura 20 - Força vertical no fundo do casco - Largura do domínio inicial aumentado em uma boca
31
Os resultados foram comparados e inclusive as curvas foram sobrepostas no mesmo
gráfico, mas como elas são extremamente próximas, não há acréscimo de conhecimento
em compará-las visualmente, a Tabela 6 evidencia o erro máximo e o erro médio levando
em conta a diferença no valor das funções ao longo do tempo.
Tabela 6 - Independência da largura
Força no fundo do Caso
Erro Máximo 0,28%
Erro Médio 0,14%
Percebe-se que a diferença é extremamente pequena, logo há garantia de que a
largura do domínio inicial não interfere no resultado. O mesmo procedimento foi feito
para a profundidade, foi feita uma simulação para um domínio um calado mais profundo
e obteve-se o valor da força no fundo do casco ao longo da última oscilação, isto pode ser
visto na Figura 21.
Figura 21 - Força vertical no fundo do casco -Profundidade do domínio aumentada em um calado
O resultado obtido para esse novo domínio foi comparado com o já obtido para o
domínio inicial, a comparação da variação de um resultado para o outro pode ser vista na
Tabela 7.
Tabela 7 - Independência da profundidade
Força no fundo do Caso
Erro Máximo 0,41%
Erro Médio 0,19%
32
Novamente o resultado evidencia que a variação é muito pequena, isto mostra que
o domínio inicial já era grande o suficiente para validar a hipótese de que o domínio não
interfere no resultado, desta forma, continuou-se utilizando as dimensões propostas pelo
domínio inicial.
3.9 Independência de malha
Além da independência de domínio, é necessário provar que a resposta não varia de
acordo com o aumento do grau de refinamento da malha. Para isto, foi feito um aumento
do número de nós nas edges dos blocos, seguindo a mesma lógica que a já apresentada
pela Figura 12, as configurações das novas edges são mostradas na
Tabela 8 - Refinamento da malha inicial
Edge Refinamento [m] Nós
A 0,03 → 0,30 185
B 0,10 → 0,03 325
C 0,03 → 0,03 53
D 0,03 → 0,03 53
E 0,03 → 0,10 345
F 0,10 → 0,20 40
G 0,03 → 0,50 130
H 0,20 → 1,00 43
I 0,30 → 10,00 149
J 0,30 → 5,00 105
Percebe-se pelas Figura 22 e Figura 23 que houve um aumento expressivo no grau
de refinamento no fundo e também na região ao redor da linha d’água.
Figura 22 - Aumento do refinamento no fundo e bojo
33
Figura 23 - Aumento do refinamento da malha no costado e linha d´água
Esta configuração de malha contém 573.106 células, o que representa um aumento
de 33% com relação a malha inicial, e é importante perceber que esse aumento em grande
parte foi focado na malha ao redor do casco, que é onde efetivamente as propriedades do
campo vetorial de velocidade e o campo escalar de pressão variam com mais intensidade,
logo são as zonas que influenciam mais no resultado.
Assim como na independência de domínio, foi refeita a simulação para essa nova
configuração de malha e analisado o valor da força no fundo do casco ao longo da última
oscilação, o resultado pode ser visto na Figura 24.
Figura 24 - Força vertical no fundo do casco - Malha Refinada em relação a malha inicial
34
Novamente foi calculado a diferença percentual ao longo do tempo para o resultado
obtido desta malha mais refinada com relação a malha inicial, evidenciado na Tabela 9.
Tabela 9 - Independência de malha
Força no fundo do Caso
Erro Máximo 0,37%
Erro Médio 0,19%
Concluiu-se que a malha inicial está representando bem a realidade.
3.10 Obtenção da massa adicional via CFD
Para entender como a massa adicional será obtida por CFD é necessário
compreender o significado físico da massa adicional, e isto foi mostrado na teoria
potencial, ao longo da demonstração explicitada na seção 2.2, foi visto que ela foi obtida
através do cálculo da energia cinética de um fluido contido em um domínio infinito
inicialmente estático, e posteriormente perturbado por um corpo imerso no mesmo, ou
seja, para movimentar o corpo dentro do fluido é necessário transferir uma energia ao
próprio fluido para o mesmo se deslocar, a melhor forma de expressar essa energia extra
é expressando-a como um fator de massa/inércia extra na equação de movimento da
embarcação, para isso, vai ser necessário que esta grandeza tenha a mesma aceleração
linear/angular que a embarcação.
O problema associado a isso é o fato de que a oscilação do casco transfere energia
ao fluido de forma que as partículas fluidas apresentam diferentes variações de
velocidades, ou seja, diferentes acelerações, mas todas essas partículas receberam essa
energia transferida do casco, e devem ser computadas matematicamente.
Pela mecânica clássica sabe-se que a variação da energia cinética de partícula fluida
representa um trabalho, e trabalho é referenciando a uma força, então como casco realiza
uma força sobre o fluido, pela terceira Lei de Newton existe uma força de resistência à
direção de aceleração do objeto imerso no fluido, também se sabe que a derivada do
momento linear de cada partícula fluida representa a força necessária para variar a
velocidade da mesma. Com o resultado obtido do CFD é simples obter o momento linear
de cada volume fluido, somando todos os momentos lineares dos volumes fluidos para
cada instante de tempo, como é mostrado na (25), obtém-se um “Momento Linear” do
fluido pertencente ao domínio ao longo do tempo, como mostra a Figura 25.
𝑀 = ∑ 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑒𝑚𝑍𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎
𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑛=1
. 𝜌á𝑔𝑢𝑎. 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎. 𝐹á𝑔𝑢𝑎
(25)
35
Onde
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑒𝑚𝑍𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎: Velocidade de cada volume fluido na direção Z
𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: Número total de células pertencente ao domínio
𝐹á𝑔𝑢𝑎: Fração de volume de água inclusa na célula
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎: Volume da célula
𝜌á𝑔𝑢𝑎: Densidade de água
𝑀: Momento linear do fluido
Figura 25 - Momento linear do fluido ao longo do tempo
Percebe-se pela Figura 25 que a primeira oscilação não está sendo avaliada, o
motivo disso é que a resolução numérica ainda estava estabilizando, logo os resultados
obtidos ao longo da primeira oscilação não devem ser contabilizados. Tendo o gráfico do
momento linear de todo o fluido ao longo do tempo, pode ser calculado a derivada do
mesmo, que representa uma força.
-1,50E+06
-1,00E+06
-5,00E+05
0,00E+00
5,00E+05
1,00E+06
1,50E+06
6 9 12 15 18 21 24 27 30
Momento Linear [N.m]
Momento Linear [N.m]
36
Figura 26 - "Força" propagada no domínio
Analisando a Figura 26, foi percebido que a força tem um comportamento senoidal,
para entender melhor a relação de frequência dessa senóide que representa a força, com a
senóide que representa a aceleração do casco, a amplitude de aceleração do casco foi
aumentada em milhão e plotada em conjunto com o gráfico da força, como mostra a
Figura 27.
Figura 27 - Força no domínio e Aceleração do casco
-1,00E+06
-8,00E+05
-6,00E+05
-4,00E+05
-2,00E+05
0,00E+00
2,00E+05
4,00E+05
6,00E+05
8,00E+05
1,00E+06
6 9 12 15 18 21 24 27 30
Força [N]
Força [N]
-1,00E+06
-8,00E+05
-6,00E+05
-4,00E+05
-2,00E+05
0,00E+00
2,00E+05
4,00E+05
6,00E+05
8,00E+05
1,00E+06
6,00E+00 1,10E+01 1,60E+01 2,10E+01 2,60E+01
Força [N]
Aceleração do casco * 10^6[m/s^2]
37
Ficou claro pela figura anterior que a senóide que representa a força e a senóide que
representa a aceleração do casco possuem a mesma frequência, mas estão defasados em
𝜋, motivo por trás disso é que o interesse é calcular a força reativa no casco devido a
oscilação do mesmo, esta é simétrica em relação ao eixo das abscissas a força obtida, e
pode ser vista na Figura 28.
Figura 28 - Força reativa no casco e a aceleração do casco
Como ficou claro que as funções são oscilatórias, de mesma frequência e estão em
fase, foi decidido utilizar o método dos mínimos quadrados para aproximar a curva de
força reativa para a melhor senóide que possui a mesma frequência que a frequência de
aceleração do casco. Para isso, foi utilizado a ferramenta solver proporcionada pelo
software Excel presente no pacote da Microsoft Office. A função senoidal encontrada foi
comparada graficamente com força ao longo do tempo, como mostra a Figura 29.
-1,00E+06
-8,00E+05
-6,00E+05
-4,00E+05
-2,00E+05
0,00E+00
2,00E+05
4,00E+05
6,00E+05
8,00E+05
1,00E+06
6,00E+00 1,10E+01 1,60E+01 2,10E+01 2,60E+01
Aceleração do casco * 10^6[m/s^2]
Força Reativa
38
Figura 29 - Função senoidal encontrada pelo método dos mínimos quadrados
Esta função apresenta as características listadas na Tabela 10.
Tabela 10 - Força senoidal aproximada
Função aproximada para a Força
Tipo de função Senoidal
Amplitude de oscilação 764566,05 [N]
Frequência de oscilação 𝜋
3 [rad/s]
Fase 0
Foi suposto que essa força é uma força pertencente a uma massa fluida que possui
exatamente a mesma aceleração que a aceleração do casco, como toda a massa fluida está
igualmente acelerada, pode-se trata-la nesse contexto como um corpo rígido, e utilizando
a segunda Lei de Newton, a massa adicional procurada será a razão entre a força reativa
pela aceleração da massa fluida, que é a mesma que a do casco.
𝜆33 =
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜𝑑𝑜𝑐𝑎𝑠𝑐𝑜
(26)
Substituindo na equação (26) o valor da função senoidal que representa a força,
assim como o da aceleração do casco, fica evidente que as senóides se anulam, sobrando
somente a razão entre as amplitudes de oscilação. O que confirma a massa adicional ser
tratada como constante ao longo do tempo pela teoria potencial. O valor dessa razão é
evidenciado abaixo:
𝜆33 =𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜𝑑𝑜𝑐𝑎𝑠𝑐𝑜=
764566,05 sen (𝜋3 𝑡)
𝑇270𝜋2 sen (
𝜋3 𝑡)
= 968334,21𝑘𝑔 = 968,33𝑡
-1000000
-800000
-600000
-400000
-200000
0
200000
400000
600000
800000
1000000
6 11 16 21 26
Função senoidal aproximadapara a Força
Força Reativa
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4. Comparação do resultado
A comparação entre os valores obtidos está de acordo com a Tabela 11.
Tabela 11 - Comparação dos resultados
Massa Adicional
Unidade
Teoria Potencial
1032,98 t
CFD 968,33 t
Diferença 6,26% -
Percebe-se que a diferença percentual é pequena, considerando que a teoria
potencial tem erros associados ao método. O gráfico fornecido para obter esse coeficiente
de correção é um pouco espaçado, o que pode ter ocasionado erros ao obter o valor exato
do coeficiente para a embarcação em estudo, então o valor obtido pelo CFD está de acordo
com o esperado.
5. Conclusão
O método se mostrou funcional, uma alternativa interessante para analisar
independência de domínio e malha seria comparar o momento linear do domínio ao longo
do tempo para os modelos. Pois ela mede de uma certa forma, o comportamento de todo
o domínio, e foi a grandeza utilizada no estudo para obter a massa adicional.
Não haverá diferença do método em si para obtenção da massa adicional devido
a heave para uma embarcação 3D completa, evidenciando que o método é generalizado,
e conceitualmente não é acreditado que ele mudará muito para analisar, por exemplo, a
inércia adicional devido a pitch, o que vai mudar é o conceito de momento do domínio,
em que será calculado o momento angular do mesmo com relação ao eixo de rotação, ao
invés do momento linear, como foi calculado em heave.
6. Bibliografia
BIRKHOFF, G. (Janeiro de 1960). Hydrodynamics: A study in logic, fact, and similitude.
Princeton: Princeton Univ.
ENGINEERING, L. (18 de 07 de 2015). Computational Fluid Dynamics (CFD) | RANS
& FVM. Fonte: YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=YGuLvNWKk2k
KOROTKIN, A. I. (2007). Added Masses of Ship Structures (2 ed.). Springer.
LAMB. (1932). G.: Hydrodynamics. Cambridge: Cambridge University Press.
40
MALALASEKERA, H. K. (1995). An introduction to Computational Fluid Dynamics.
Longman Group Ltd.
NORÕES, H. P. (2015). Análise numérica da injeção de ar para a redução da resistência
ao avanço de embarcações. Rio de Janeiro: UFRJ.
ONLINE, C. (18 de 07 de 2015). Direct Numerical Simulation (DNS). Fonte: CFD
Online: http://www.cfd-online.com/Wiki/Direct_numerical_simulation_(DNS)
ONLINE, C. (18 de 07 de 2015). Large eddy simulation(LES). Fonte: CFD Online:
http://www.cfd-online.com/Wiki/Large_eddy_simulation
WHITE, F. M. (2011). Mecânica dos fluidos (6 ed.). AMGH Editora Ltda.
