Estrutura da Turbulência em Escoamentos Junto à ...mecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/TransCal_II_Mec2348/7.1-TransCal_II... · s. A equação de energia se reduz a w T / w x | 0 0

Angela Nieckele – PUC-Rio

Estrutura da Turbulência em

Escoamentos Junto à Superfícies Sólidas

Os níveis de tensões de Reynolds em escoamentos turbulentos junto à

superfície sólidas são muito menores do que aqueles encontrados em

escoamentos livres, devido à ação inibidora da parede.

Por outro lado, devido à inibição do movimento do fluido na direção

normal à parede, a anisotropia das flutuações de velocidade junto à

parede é bem maior do que no caso de escoamento livre.

1

'' vut

tl


2

Uma descrição alternativa da turbulência pode ser obtida com uma

análise da freqüência.

Distribuição de espectro de da camada limite sobre uma placa

plana

2u

Os maiores valores de energia estão

associados as menores freqüências.

A medida que a freqüência cresce, o

espectro de energia varia de acordo

com a teoria de Kolmogorov,

F(n) n-5/3.

Para freqüências mais altas, o espectro

de energia decai mais rapidamente

devido a ação da viscosidade

cinemática. De acordo com

Heissenberg, F(n) n-7

A partir da distribuição do espectro de

energia, pode-se verificar que uma

corrente turbulenta possui turbilhões de

vários tamanhos, já que a freqüência é

inversamente proporcional ao

comprimento de onda.


Distribuição de Tensão Cisalhante Próximo à Parede

(Camada Limite)

3

y

u

y

utef

Para determinar o perfil de velocidade, vamos inicialmente determinar

a distribuição de tensão cisalhante. Pela definição de viscosidade

efetiva, como sendo a soma da viscosidade absoluta com a

turbulenta, temos

Introduzindo as simplificações de camada limite nas equações médias

de Navier-Stokes, obtemos

y

u

yxd

dP

y

uv

x

uu t

yxd

dP

y

uv

x

uu

Note que esta equação

acima é válida tanto para

regime laminar quanto

turbulento


4

Vamos nos concentrar na região relativamente próxima a parede tal

que é muito menor que os outros termos, podendo ser

desprezado.

Esta região geralmente se estende fora da sub-camada viscosa,

podendo em alguns casos incluir tanto quanto um terço de toda a

camada limite. Isto é chamado de aproximação de “Escoamento de

Couette”, sendo chamada de Região de Escoamento de Couette.

Com a hipótese de que , a equação de conservação de

quantidade de movimento torna-se uma equação diferencial

ordinária.

Sendo que pela continuidade

x

uu

)(yuu

0

0

y

v

x

uovctev


5

dy

d

xd

dP

yd

udvo

su ,0

ss

o

s

y

xd

dPuv

1

22

2

u

UCfs

suu *

Logo, a equação de quantidade de movimento torna-se

Integrando esta equação de y =0 , onde

Vamos introduzir agora variáveis adimensionais, referenciadas

freqüentemente com coordenadas de parede. Porém, primeiro vamos

definir a variável velocidade de atrito

até uma distância y arbitrária, temos


6

u

uu

yuy

u

vv o

32

u

dxdpp

)/(

ypuvos

1

0s /

Com a seguinte adimensionalização:

A equação acima só é valida na região onde a aproximação de

escoamento de Couete é válida, na fronteira externa da camada limite


Perfil de Velocidade na Região da Parede

Vamos agora estimar o perfil de velocidade em cada uma das

zonas na região próxima à parede, a partir das equações de

conservação, considerando

7

0p0ov

e

1s

yd

udts

Neste caso, na região de escoamento

de Couette, a equação de

conservação se reduz a

Para obter o perfil de velocidade

precisamos integrar

Inicialmente vamos considerar que a camada limite turbulenta

consiste de duas regiões distintas:

o sub-camada viscosa, onde >>> t

o região totalmente turbulenta onde <<< t.


8

yd

uds Sub-camada viscosa: Nesta região , temos

integrando a equação, obtemos

esta equação pode ser rescrita como

yu s

yu

u

u *

* yu

A conclusão é que o perfil de velocidade de um escoamento

turbulento possui forma linear na região muito próxima à parede.

Podemos concluir ainda que u+ e y+ são variáveis de similaridade

para esta região.

Dados experimentais mostram que esta relação é válida para y+ < 5

Para o modelo de duas camada, amplia-se a região de validade

do perfil linear até y+ 11


A região seguinte, chamada de Região turbulenta ,

a tensão turbulenta domina, então

9

y

uts

Imediatamente acima da região laminar viscosa deve existir

uma região onde os efeitos das tensões laminares e

turbulentas possuem a mesma importância. É a camada

amortecedora. Esta região é mais difícil de ser modelada.

Infelizmente, não podemos integrar a equação acima, sem a

introdução de uma relação constitutiva que permita modelar o

termo turbulento.

Assumindo que próximo a parede a aproximação do comprimento

de mistura se aplica, podemos reescrever a tensão turbulenta

como

y

uyku

y

uu

y

uts

**


o coeficiente k é conhecido como a constante de von Kármán, e de

acordo com dados experimentais é aproximadamente igual a 0,4.

Integrando a equação anterior, obtemos

10

cteyk

u ln

1

Para paredes lisas o valor da constante de integração é determinado

considerando continuidade entre as duas camadas, isto é, para

1111 uy ;

donde se conclui que a constante de integração é igual a 5,0.

Esta equação logarítmica é muitas vezes chamada de lei da parede

ou perfil universal de velocidade

552 yu ln,


A figura abaixo ilustra uma comparação entre os perfis para a

região da sub-camada laminar e região turbulenta e dados

experimentais, onde observa-se excelente concordância

11


12

yd

udyunyun

yd

udts

22 1 exp(

yunyunyd

ud

22 11

1

exp(

y

dyyunyunu

5

122 115 )exp(

Como mencionado, na realidade existem três camadas na região

próxima a parede, sendo que a sub- camada viscosa só é válida até

y+ < 5, enquanto que a região totalmente turbulenta só é válida para

y+> 30.

Para avaliar o perfil de velocidade na camada amortecedora

podemos utilizar o modelo de turbulência de Deisser. Neste caso

Esta equação deve ser integrada a partir de y+=5, onde u+=y+. Como é

uma equação não linear deve ser integrada numericamente,

resultando na seguinte expressão aproximada


13

555

yu ln

apresenta boa concordância

com os dados experimentais

para 5 < y+ < 26, como pode

ser visto na figura a seguir

É importante notar que a Lei da Parede apresentada não pode ser

aplicada em diversas situações de interesse prático, como por exemplo

escoamentos envolvendo transferência de massa, regiões de separação,

regiões com gradientes elevados de pressão ou de massa específica, a

presença de força de corpo, etc. Para estas situações, nossas

expressões devem ser obtidas.


14

Perfil de Temperatura na Região da Parede

Simplificando a equação da energia com as hipóteses de camada

limite, temos

Procedendo de forma análoga ao feito com a equação de conservação

de quantidade de movimento, vamos rescrever esta equação utilizando

a definição de fluxo de calor

y

T

yy

Tv

x

Tu

t

t

PrPr

y

Tkkq t

y

T

c

q

t

t

p

PrPr

0

y

q

y

Tv

x

Tucp


15

Vamos considerar a região próxima a parede onde

Vamos considerar ainda que a temperatura da parede é constante

e igual a Ts . A equação de energia se reduz a

0 xT /

01

yd

qd

cyd

Tdv

po

s

sop

s q

TTvc

q

q )(

1

Integrando esta equação de y =0, onde ss qqTT ,

até uma distância y arbitrária, temos

u

uu

yuy

)/(

)(

ps

s

cq

uTTT

u

vv o

Tvq

qo

s1


16

Note a similaridade com a equação de

com a exceção de que não há o termo p+

s /

ypuvos

1

0ov 1sq

q

yd

Td

c

q

t

t

p

s

PrPr

De fato a analogia de comportamento entre a transferência de calor e

quantidade de movimento falha na presença de um gradiente de

pressão.

Podemos agora integrar

para avaliar a temperatura

Considerando o caso particular sem injeção/sucção, isto é com


17

y

t

tp

sT

T

yd

c

qTd

s 0

PrPr

y

ttps

s yd

cq

uTT

0 1 Pr/)/(Pr/)/(

)(

y

tt

ydT

0 1 Pr/)/(Pr/

yT Pr

uT Pr

Rearrumando e introduzindo y+, obtemos

Na região da sub-camada laminar, a difusão laminar domina,

mas como nesta região o perfil de velocidade é linear, então


18

y

y tt

y

sub

sub ydydT

Pr/)/(Pr/10

y

t

t ydydT

2,13

2,13

0 /

PrPr

y

uts

y

u

u

uts

)/(

yk

yky

u

t

1

11

Para avaliar o perfil de velocidade na Região turbulenta , devemos

inicialmente definir o região de validade da sub-camada térmica.

Vimos que o limite da sub-camada viscosa é y+=11, porém, a

espessura efetiva da sub-camada térmica é maior, y+=13,2.

Quebrando a integral em duas partes, considerando a difusão

molecular dominante na sub-camada térmica e a difusão

turbulenta na região turbulenta, temos;

Utilizando novamente o modelo de comprimento de mistura de Prandtl


19

y

t

t ydydT

2,13

2,13

0 /

PrPr

213213

,ln

PrPr,

y

kT t

O número de Prandtl turbulento deve ser determinado a partir de

dados experimentais, mencionamos que o mesmo é

aproximadamente igual a Prt = 0,9.

6652131952 ,Pr,ln, yT

Neste caso a equação acima

pode ser rescrita como

A comparação da equação

acima com dados

experimentais pode ser visto

na figura ao lado


20

555

yu ln

y

tt

ydT

0 1 Pr/)/(Pr/

y

y ttsub

ydydT

Pr/)/(Pr/1Pr/1

5

0

dy

duts )(

yydud

t

// 5

111

)(

Pr

PrlnPr 1

515

yT

t

traamortecedo

camada

)(

Pr

PrlnPrPr 1

5155

yT

t

t

Para obter uma melhor estimativa do perfil de temperatura,

podemos considerar o resultado da sub-camada viscosa até y+=5.

Consideraremos a camada amortecedora de entre 5 < y+ < 30,

onde

mas

)/)(Pr(Pr/lnPr)/)(Pr/(Pr/

151515115

yy

ydT tt

y

traamortecedocamada


21

yt

t

ydyky

ydydT

30

30

5

5

0 1511

Pr

)/)(Pr/(Pr/Pr

305155

y

kT t

t

t lnPr

Pr

PrlnPrPr

turbulentonúcleo

raamortecedocamadasubcamadas TTTTT )(

Neste caso a distribuição de temperatura no núcleo turbulento

torna-se

Para avaliar a diferença

de temperatura entre a

corrente livre T e a

parede, devemos levar

em consideração três

regiões


22

turbulentonúcleo

raamortecedocamadasubcamada

TTTucq

TT

ps

s )/(

)(

turbulentonúcleo

raamortecedocamadasubcamada T

livrecorrente

t

T

t

T

yddyduy

ydydT

30

30

5

5

0 11511 )//(

Pr

)/)(Pr/(Pr/Pr

Pr5subcamada

T

155

tt

raamortecedocamada

TPr

PrlnPr

)ln(PrPrPr )(

)(

61530

30

uuuudT tyt

livrecorrente

u

t

turbulentonúcleo

y

u

ucq

TTt

ttt

ps

s PrPrPr/

lnPrPrPr

)/(

)(

6

155

logo a diferença de

temperatura é

para Prt constante


23

ss qTTh )(hq

TT

s

s 1

)(

uStU

u

Sth

uc

ucq

TT p

ps

s 111

)(

)/(

)(

Uc

hSt

p L

LStRePr

Nu

O coeficiente de transferência de calor pode ser determinado a

partir da equação acima, já que

número de Stanton

uT

U

uLU

k

c

Lh

k

h

uc

ucq

TTT

L

Lpp

ps

s 1

Nu

RePr)(

)/(

)(


24

Cf

U

u

Uu

s

22

2

22

61525

1

2 21 /PrPr/lnPrPrPr)/(PrPrRe /

tttft

f

L

L

C

CNu

combinando com a diferença de temperatura obtida e

rearrumando, temos

6155

1 32

231 /PrPr/lnPrPrPr/Pr

Pr

PrRe

/

/

ttttL

L

uu

Nu

mas

Próximo a parede

1tPr 6/1Pr5ln1Pr)2/(51

1

2PrRe 2/1

f

f

L

L

C

CNu


25

o A analogia entre a transferência de calor e coeficiente de atrito

representada pela equação anterior não é restrita a

escoamento paralelo sobre uma placa plana.

o Também pode ser utilizada para calcular a transferência de

calor de superfícies imersas em correntes externas na

presença de gradientes de pressão não muito grandes, e até

mesmo para escoamentos compressíveis.

o Também pode ser utilizada em escoamentos internos em dutos

circulares.

o Contudo não pode ser aplicada para metais líquidos, que

apresentam baixo número de Prandtl, já que os efeitos da

condutividade térmica molecular é apreciável no núcleo

turbulento.


26

Em um escoamento paralelo de um fluido com Pr 1 sobre uma placa

plana com temperatura constante, o coeficiente de transferência de calor

turbulento pode ser obtida da analogia de Reynolds como

Coeficiente de Transferência de Calor em

Placa Plana

Para determinar o coeficiente de transferência de calor, precisamos

determinar a tensão cisalhante na parede (isto é, o coeficiente de atrito).

As expressões anteriores para determinação do perfil de velocidade são

de difícil utilização, pode-se então utilizar um perfil mais simples, obtido

empiricamente para avaliar a velocidade na região da camada limite no

regime turbulento

2

f

L

LCNu

PrRe

7/1y

U

u


27

y/u

4/12

sU

U0233,0

x5/1

x Re

27010

Re

381,0

x

2/U

)x()x(Cf

2

s

5/1xRe

0592,0)x(Cf

Infelizmente, este perfil não é adequado para avaliar a

tensão cisalhante na parede, pois prevê

na parede. Recomenda-se a utilização do seguinte perfil empírico

A espessura da camada limite pode ser estimada a partir da seguinte

correlação empírica

para Rex > 5 x 105

para 5 x 105 Rex 107

O coeficiente de atrito local pode ser obtido por


28

A variação da tensão ao longo da superfície encontra-se ilustrada na

figura abaixo. Para determinar a força resultante em uma placa é preciso

levar em consideração que na parte anterior da placa, x < xc o regime é

laminar e a tensão cai com x - 1/2, e em xc ocorre uma mudança de

regime, a transferência de quantidade de movimento cresce, e a tensão

cisalhante cresce substancialmente, passando a cair com x - 1/5

x

x-1/5

x-1/2 turbulento

laminar

xc

A força sobre a placa é

sL

2L

xturb

x

0lam

2

L

0

2

sA

2

ssss

ACf2

Uxdb)x(Cfxdb)x(Cf

2

U

dxb)x(Cf2

UAd)x(Cf

2

UAd)x(AF

c

c

s


29

cx

0

lamturb

L

0

turbL xd)]x(Cf)x(Cf[xd)x(CfL

1Cf

L5/1

L

LRe

1740

Re

074,0Cf

L58,2

L

LRe

1610

Relog

455,0Cf

5/1L

LRe

074,0Cf

58,2L

LRelog

455,0Cf

(**)

(##)

(++)

Se xc< < L

para 5 x 105 Rex 109

para 5 x 105 Rex 107(**)

a camada limite sobre a placa é

praticamente toda turbulenta, pode-se

então aproximar o coeficiente de atrito

médio para

(++)

(##)


30

51

05920

/Re

,)(

x

xCf

PrRe0296,0 8,0xxNu

Substituindo o coeficiente de atrito local

na analogia de Reynolds, temos

para 5 105 < Rex < 107 e 0,5 < Pr < 1,0

51

02960

2 /Re

,

PrRex

f

x

xC

StNu


31

Ls

sA

ss

sssss dxxhL

TTAdTTxh

AqAdxqAqQ

s 0

1)(

)()()()(

c

c

L

x L

xturblam

s

s dxxhdxxhL

hTT

q

0

)()(1

)(

L x

lamturbturb

c

L dxxhxhdxxhL

h

0 0

)()()(1

312131

21

31 33203320

2

///

/

/ PrRe,PrReRe

,PrRe

)()()( xx

x

xlam

lamxCf

k

xxhxNu

PrRe,)(

)(,8002960 x

turbturb

k

xxhxNu

O fluxo de calor sobre placa é

o coeficiente de transferência de calor médio deve levar em

consideração que no começo da placa, a camada limite é laminar


32

cx

lamturbL

turbL xd

x

xNuxNuxd

x

xNu

k

LhNu

00

)]()([)(

L x

xxxL

cdx

xdx

xNu

0 0

31508080 33200296002960 /,,, PrRe,PrRe,PrRe,

31508080664003700370 /,,,

PrRe,PrRe,PrRe, ccLLNu

5105 cRe


33

Na região da camada limite, o perfil de velocidade e temperatura podem

ser avaliados com

Escoamento com Velocidade da Corrente

Livre Constante sobre uma Placa Semi-

infinita com Comprimento Inicial não

Aquecido

7/1y

U

u

71/

y

TT

TT

s

s


34

71

2

/

)(

)/(

f

s

ps C

TT

ucqSt

91109

12

//

x

CSt

fx

91

1092040 102960

//

,, Re,Pr

xSt xx

1202040

60102960

,,,

,Re,Pr

PrRe

xSt

Nuxx

x

x

O número de Stanton local na parede é

Introduzindo o fato de que a espessura da camada limite varia com a

potência 4/5, obtém-se

Uma aproximação que pode ser mais conveniente é


35

Neste caso, a distribuição do coeficiente de transferência de calor pode

ser obtida de

Escoamento com Velocidade da Corrente

Livre Constante sobre uma Placa Semi-

infinita com Fluxo de Calor Constante

Especificado

Este resultado é 4% mais alto do que o caso com temperatura de parede

constante. Note que no caso laminar esta diferença foi de 36%

A camada limite turbulenta é muito menos sensitiva a variações da

temperatura da superfície que a camada limite laminar.

Para altos números de Prandtl, esta afirmação é mais verdadeira ainda,

enquanto para baixos números de Prandtl, os grandes efeitos do tipo

laminar reaparecem.

2040

600300 ,,

,Re,Pr

PrRe

xx

x

x StNu


36

Neste caso, define-se um parâmetro de injeção como

Camada Limite com Transpiração

Para uma mesma coordenada x , com mesmo número de Reynolds, a

equação acima apresenta excelente concordância com dados

experimentais para o caso de velocidade constante da corrente livre.

Para gases, obtém-se a seguinte expressão

h

h

o B

B

St

St

1ln

St

Gm

St

UvB o

h

//

51

02960

2 /Re

,

PrRe x

f

o

x

xC

StNu

h

h

xB

BSt

)ln(

Re

,Pr

/

,

102960

51

40

Vimos que


37

yd

TT

TT

U

u

TTU

dyTTu

ss )(

)(

)(

)(1

0

02

250251

25050 11

012502

,,

,, )ln(Re,Pr h

h

hx B

B

BSt

250251

11

2

,,

)ln(h

h

h

o

x BB

B

St

St

Podemos apresentar o número de Stanton como função do

número de Reynolds baseado na espessura da entalpia,

definido Sto como o número de Stanton sem transpiração

correspondente ao mesmo valor de Re2


38

o A faixa de aplicação da equação anterior é muito grande, e a

mesma equação pode ser aplicada para Cf/Cfo se Bh for

substituído por Bf.

o O gráfico abaixo, ilustra uma comparação obtida com

diferentes de operação. Observa-se uma excelente

concordância entre os resultados medidos e a correlação

apresentada.


39

o A figura a seguir mostra um exemplo de um degrau na injeção,

seguida de uma razão constante de injeção

o A equação

representa bem os dados experimentais, mesmo próximo ao degrau.

o Note que o efeito da transpiração na camada limite é de reduzir

substancialmente o número de Stanton, e portanto reduzir o coeficiente

de transferência de calor

Gm /

250251

25050 11

012502

,,

,, )ln(Re,Pr h

h

hx B

B

BSt


40

Mostrou-se anteriormente que a analogia de Reynolds é equivalente a

Prt=1. De acordo com evidências experimentais, pelo menos para o ar,

Prt realmente é próximo de 1, sendo que um valor próximo a 0,9 é mais

correto ao longo de quase toda a camada limite e bem acima de 1 é

observado bem próximo à parede.

Número de Prandtl Turbulento

O número de Prandtl turbulento é

difícil de medir com precisão. A

figura ilustra o efeito do gradiente

de pressão adverso na camada

limite. Observa-se que no núcleo

turbulento, a aproximação de

Prandtl turbulento constante é

satisfatória, porém falhando

próximo à parede.


41

o Observa-se que realmente Prt é aproximadamente da ordem de 1, de

tal forma que a analogia de Reynolds, com sua simplicidade, é uma

boa representação da realidade

o Próximo à parede Prt apresenta valores mais altos, decaindo e ficando

constante na região da lei da parede e na parte externa da camada

limite.

o Observa-se um pequeno efeito do gradiente de pressão em Prt. Já

dados experimentais mostram que a transpiração praticamente não

influencia Prt.

o Note que altos valores de Prt próximo à parede ocorrem dentro da

sub-camada onde o mecanismo de transferência turbulenta é menos

importante que a difusão molecular.


42

o Altos números de Prandtl na sub-camada indicam que na sub-camada,

a transferência de quantidade de movimento é maior que a de energia

por mecanismos turbulentos.

o A expressão a seguir, representa relativamente bem Prt sobre todo o

espectro de números de Prandtl, com a tendência correta próxima à

parede

ttt

tt

t

t

PeCPeCPeC

Prexp

PrPr

Pr

11

1

2

1

1

2

onde Pet = (t/ Pr

Prt, =constante, é o valor de Pr longe

da parede

C = constante empírica

C = 0,2 e Prt, =0,86.


43

O fator de recuperação para escoamento turbulento é definido da mesma

forma que para escoamento laminar, como

Fator de Recuperação para Escoamento

Turbulento

onde Taw é a temperatura que

seria atingida na parede

adiabática.

)/( p

aw

cU

TTr

22

Medidas experimentais mostram que a camada limite muda de seu

estado de regime laminar próximo a borda de ataque, onde r=Pr1/2, e

r cresce para um valor máximo ( 0,89 para ar) na transição de

laminar para turbulento e então atinge uma valor constante dado por


44

31/Prr

2211

211

2

4

24

22

2

4

21

2121

2121

PrPr)/(

Pr)/(ln

Pr

Pr

Pr

PrPr

Prarctan

Pr

Pr

/

//

//

r

Medidas experimentais

mostram que a camada limite

muda de seu estado de

regime laminar próximo a

borda de ataque, onde r=Pr1/2,

e r cresce para um valor

máximo ( 0,89 para ar) na

transição de laminar para

turbulento e então atinge uma

valor constante dado por

Para número de Prandtl diferente

da unidade, o fator de

recuperação pode ser avaliado por

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