TURBULÊNCIA - PUC-Riomecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/TransCal_II_Mec2348/7...Angela Nieckele –PUC-Rio 1 TURBULÊNCIA Escoamento turbulento pode ser observado no nosso dia a dia,

Angela Nieckele – PUC-RioAngela Nieckele – PUC-Rio

1

TURBULÊNCIA

Escoamento turbulento pode ser

observado no nosso dia a dia,

seja pela fumaça de uma

chaminé, água em um rio ou

cachoeira, ou o sofro de um

vento forte.

Observando uma cachoeira,

observa-se imediatamente que o

escoamento é transiente,

irregular, parece aleatório e

caótico e certamente o

movimento de cada gota e

turbilhão é imprevisível.


2

Na pluma formada pelo motor de um foguete, pode-se observar movimento turbulento de muitas escalas.

Os vórtices maiores se quebram em vórtices menores sucessivamente

Uma importante característica da turbulência é sua habilidade de transportar e misturar fluidos de maneira muito mais efetiva que o escoamento laminar


3

A grande motivação para estudar a turbulência é a combinação dos seguintes itens:

A grande maioria dos escoamentos é turbulento

O transporte e mistura de matéria, momentum, energia em escoamentos é de grande importância prática.

A turbulência aumenta significativamente a taxas de transferência destes processos

A turbulência é caracterizada pela presença de agitação, perturbação

A turbulência deve satisfazer uma condição de irregularidade, sendo gerada por forças viscosas ao longo de superfícies sólidas ou por escoamento de camadas de fluidos com diferentes velocidades escoando sobre outras camadas.

O movimento turbulento de um fluido é a condição irregular do

escoamento, na qual as várias quantidades envolvidas apresentam

uma variação randômica no tempo e no espaço, tal que podem ser

diferenciados estatisticamente de seus valores médios.


4

Existem diferenças marcantes entre os dois tipos de geração de

turbulência, portanto é conveniente utilizar diferentes designações

para cada tipo de geração de turbulência.

Define-se com “turbulência de parede” quando a turbulência é

gerada por paredes sólidas fixas e é continuamente afetada por

estas.

A turbulência gerada na ausência de paredes é denominada de

“turbulência livre”.

No caso real de fluidos viscosos, o efeito da viscosidade resulta

em uma conversão de energia cinética do escoamento em calor.

Portanto, um escoamento turbulento é dissipativo, assim como

todos os tipos de escoamentos. Se não existe uma fonte externa

contínua de energia para a geração contínua do movimento

turbulento, o movimento irá decair.


5

A turbulência é chamada de isotrópica se as características

estatísticas não apresentarem nenhum preferência para

alguma direção particular, tal que perfeita desordem reina.

Neste caso, não haverá tensão cisalhante média e o

gradiente da velocidade média é nulo.

Para todos os outros casos, nos quais o gradiente da velocidade

média apresenta um gradiente, a turbulência será anisotrópica.

Dentro desta classe encontra-se a turbulência de parede, assim

como a turbulência livre anisotrópica.

Outro efeito da viscosidade é tornar a turbulência mais homogênea e torná-la menos dependente da direção. No caso extremo, a turbulência apresentará qualitativamente a mesma estrutura em todas as partes do escoamento. Neste caso a turbulência é considerada homogênea. O conceito de turbulência homogênea foi introduzido por von Kármán, para o caso de tensão média constante em todo o campo de escoamento, como é o caso do escoamento de Couette.


6

Regime de Escoamento:

Escoamento laminar: movimento regular

Escoamento Turbulento: aparecem turbilhões no

escoamento, causando um movimento de mistura.

O turbilhamento provoca um regime não

permanente. Porém o tempo característico de

flutuação turbulenta < < escala de tempo que define

o regime permanente ou transiente

•Se o escoamento é laminar,

eventuais perturbações serão

amortecidas e desaparecerão

(Fig. a). Durante a transição,

picos esporádicos de turbulência

surgirão (Fig. b). Durante o

regime turbulento, o escoamento

flutuará continuamente (Fig. c).

Angela Nieckele – PUC-Rio

7

a turbulência em geral surge de uma instabilidade do escoamento em

regime laminar, quando o número de Reynolds torna-se grande. As

instabilidades estão relacionadas com interações entre termos

viscosos e termos de inércia não lineares nas equações de

quantidade de movimento linear.

Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos

amplificadores de perturbações é geradores de instabilidades. Por

outro lado os efeitos difusivos são amortecedores ou inibidores da

formação de instabilidades.

A diferença no comportamento está associada com as forças que

atuam no elemento de fluido. Quanto as forças viscosas dominam

em relação as forças de inércia, o escoamento apresenta

comportamento laminar. Quando as forças de inércia dominam, o

escoamento se comporta como turbulento.

O número de Reynolds (Re) é definido como a razão entre os

efeitos advectivos e os efeitos difusivos.


8

O parâmetro que mede a razão entre as forças de inércia e

viscosas é o número de Reynolds, Re definido como

onde: r é a massa específica, m é a viscosidade absoluta. Vc

e Lc correspondem a velocidade e dimensão característica do

escoamento.

m

r cc LVRe


ESCOAMENTOS EXTERNOS

A velocidade característica é a velocidade de

aproximação do corpo U

A dimensão característica é o comprimento do corpo

na direção do escoamento, L

9

m

r LURe O número de Reynolds que caracteriza a

transição neste caso é

Re Rec= 5 x 105 laminar

Re > Rec= 5 x 105 turbulento


10

ESCOAMENTOS EXTERNOS: em geral desejamos

determinar as forças que atuam no corpo, isto é, força de arraste e

sustentação, assim como fluxo de calor.

Região afetada pela

presença do corpo

CAMADA LIMITE

Fora da camada limite, o

escoamento não é afetado

pela presença do corpo

forças viscosas não são

importantes

Quando o escoamento na camada limite é

desacelerado devido a uma diferença de

pressão, pode ocorrer uma reversão do

escoamento e a camada limite separa-se da

superfície do corpo, formando a esteira


11

ESCOAMENTOS INTERNOS: em geral desejamos

buscar a relação entre vazão e queda de pressão, fluxo

de calor e variação de temperatura

• Em um escoamento interno, longe da região de entrada, observa-se que o

escoamento não apresenta variações na sua própria direção, e a pressão varia

linearmente ao longo do escoamento. O escoamento é considerado como hidro

dinâmicamente desenvolvido. Como vimos, a condição de termicamente

desenvolvida também pode ser obtida.

• O comportamento na região de entrada de uma tubulação apresenta o mesmo

comportamento que o escoamento externo.


12

ESCOAMENTOS INTERNOS

O comprimento da região da entrada depende se o escoamento é

laminar ou turbulento. No caso laminar, para um duto circular, pode-

se estimar o comprimento da região da entrada como

Para o no. de Reynolds limite Re= 2300, temos que Le/D 140

Para o regime turbulento, como este está associado a uma maior

transferência de quantidade de movimento, o desenvolvimento do

escoamento ocorre para uma distância menor da entrada,

tipicamente, tem-se Le/D 40

m

r Due m06,0D

L


13

ESCOAMENTOS INTERNOS

Considerando que o escoamento como hidrodinâmicamente

desenvolvido.

A velocidade característica é a velocidade média um

A dimensão característica é o diâmetro hidráulico, Dh

dAuA

1

A

Qu

TTm

m

th

P

A4D

At é a área transversal do

escoamento e Pm é o perímetro

molhado, o fator 4 é introduzido por

conveniência.

m

r hm DuRe

O número de Reynolds que caracteriza a transição neste caso é

Re Rec=2300 laminar

Re > Rec=2300 turbulento


14

Experiência de ReynoldsLaminar:

filamento de

corante não

se mistura

Turbulento: o

corante mistura

rapidamente

O escoamento turbulento

ocorre a altas velocidades. A

transição é caracterizada pelo

no. de Reynolds

m

r DVRe

Reynolds altos esc. turbulento

Reynolds baixo esc. laminar

Filmes/Filmes-introducao/Exp_vel_LamTurb.mov




Filmes/Filmes-introducao/escLaminarTurb_ExpReynolds.mov





15

As equações de conservação que regem o escoamento independem do regime de escoamento. Porém o regime turbulento é sempre tri-dimensional e transiente.

Se diferentes escoamentos turbulentos são comparados, observa-se diferentes padrões de escoamento com diferentes tamanhos. Para descrever um escoamento turbulento é portanto necessário introduzir a noção de escala de turbulência. Escala de tempo e escala espacial. Para um escoamento turbulento em um tubo, por exemplo, espera-se que a escala de tempo seja da ordem da razão entre o diâmetro do tubo e a velocidade média do escoaento na seção transversal e a escala espacial seja da ordem de grandeza do diâmetro do duto.

Considerando ser possível definir a velocidade como a soma de um valor médio mais uma flutuação

uuu

O valor médio é obtido por

t

tdut

1u

sendo 0u


16

Somente a escala da turbulência não é suficiente para caracterizar o escoamento turbulento. É preciso ter uma noção sobre a "violência" do movimento. O valor médio da velocidade não pode ser uma medida da violência do movimento, pois é exatamente a violência das flutuações em relação a velocidade média que desejamos saber.

Como a velocidade média não é uma boa medida para a violência, é conveniente utilizar como definição de violência, a intensidade da turbulência, a qual foi definida por Dryden and Kuethe, 1930, como a raiz quadrada do valor médio da flutuação (root mean square)

2)(uu

As equações de conservação de massa e quantidade de movimento linear são não lineares e acopladas.

Como o escoamento turbulento é transiente e tridimensional, a solução numérica destas equações traz muitas complicações porque características importantes dos escoamento turbulentos estão contidos nas recirculações que possuem apenas alguns milímetros em tamanho para escoamento com domínios de muitos metros.

Mesmo o problema mais simples necessitaria uma malha muito fina.

Além disso, para captar a variação temporal dos turbilhões, passos de tempo muito pequenos são necessários.


17

Atualmente existem basicamente três métodos para se analisar um escoamento turbulento, os quais serão descritos a seguir.

DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de todas as escalas de comprimento da turbulência.

LES (Large Eddy Simulation): cálculo dos turbilhões de grandes escalas, com uma modelagem dos turbilhões de escala menor.

RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes): modelos da turbulência estatística baseado nas equações de Navier-Stokes médias no tempo.


18

u

t

transiente permanente

u'

A análise estatística baseia-se no fato de que o escoamento turbulento pode ser descrito por um valor médio e mais uma flutuação u’(muitas vezes da ordem de 1% a 10% de )u

'uuu

• Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o comportamento do valor médio.

u


19

Note que com relação ao valor médio, podemos fazer a hipótese de regime permanente, pois

Observamos ainda que se o vetor velocidade é dado por ,

poderemos fazer a hipótese de 2-D com relação aos valores médios.

0 tu /

kwjvviuuV

)()(

Dessa forma, podemos simplificar bastante o problema. Desejamos então determinar o campo médio de velocidades. Neste caso, é preciso obter equações de conservação para essa grandeza.


Equações Médias de Reynolds

Os modelos de turbulência baseados nas equações de

Navier-Stokes médias no tempo RANS (Reynolds

Averaged Navier-Stokes) serão descritos.

No estudo de um escoamento turbulento, como as

quantidades analisadas são caracterizadas por

apresentar flutuações randômicas em torno de um valor

médio, pode-se utilizar de métodos estatísticos. Uma

simples análise estatística é suficiente.

20


Decomposição de Reynolds:

21

'

iii uuu 'ppp

'

t

dtt

1

0'

Φ Ψ

;

Generalizando podemos escrever:

onde o valor médio é obtido por

Antes de derivarmos as equações médias para um escoamento

turbulento, vamos sumarizar algumas regras que governam as médias

temporais das flutuações das propriedades

e suas combinações, derivadas e integrais


22

Essas equações podem ser facilmente demonstradas, ao notar que a

operação de média é uma operação de integração e, portanto a ordem

de diferenciação ou integração e obtenção de média temporal podem

ser invertidas.

0 '' Φ

ss

Φ dsds Φ

ΨΦ

ΨΦψψ

0 ψψ ''

;

;

;


Correlação entre variáveis

Vimos que a média de uma flutuação é nula. No entanto, a média do

produto de duas flutuações só é diferente de zero, se estas forem

correlacionadas, se estas não forem correlacionadas, a média é nula.

23

A figura a seguir ilustra o

conceito de flutuações de

variáveis que são

correlacionadas

A flutuação da variável a tem o

mesmo sinal que a variável b,

na maior parte do tempo,

resultando em > 0. Por outro

lado, a variável c não é

correlacionada com a e b,

então

ab

0ac 0bc


24

0vu ''

As flutuações da velocidade são

correlacionadas, então

''

''''''

ΨΦ

)ΦΨΨ(Φ))(Ψ(Φ

De um modo geral, tem-se


25

Uma vez que o divergente e o gradiente são

diferenciações, as regras acima podem ser estendidas para

um vetor com flutuação e sua combinação com um escalar

com flutuação

Aa

divdiv

)a()a()a( div)(divdivdiv A

Φgraddivgraddiv


26

0x

u

t j

j

rr

0x

u

j

j

As equações de Navier-Stokes médias no tempo são apresentadas a

seguir:

Equação da continuidade

para r constante 0

x

u

j

j

Note que subtraindo a equação acima da equação de conservação de massa

obtemos

isto é, as flutuações da velocidade assim como as velocidades médias

satisfazem a equação de conservação de massa incompressível.

0x

u

x

u

x

u

j

j

j

j

j

j

'


Equação de Conservação de Quantidade de

Movimento Linear

27

ij

k

k

i

j

j

i

ji

ij

iji

x

u

x

u

x

u

xg

x

p

x

uu

t

u

m

mr

rr

3

2

Para propriedades variáveis a equação média no tempo de Navier-Stokes é

j

jiij

k

k

i

j

j

i

j

iij

iji

x

uu

x

u

x

u

x

u

x

gx

p

x

uu

t

u

)( r

m

m

rrr

3

2

O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve os

componentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.

Com muita freqüência o tensor de Reynolds é definido

''ji uur

''ji uu


Equação de Conservação de um

Escalar

Considerando

A equação média da quantidade é obtida de forma análoga ao feito

anteriormente, isto é, calculando-se a média temporal da equação

28

rr

Sxxx

u

t jjj

j

r

rr

Suxxx

u

tj

jjj

j

''

'' r ju fluxo difusivo turbulento também precisa ser

determinado


29

''divgraddiv hutD

pDTk

tD

hD rmr

'' Tuxcpx

T

cp

k

xx

Tu

t

Tj

jjjj

jr

mrr

''1

1121

11 r

rrr

jjjjj

ju

xxD

xr

x

u

t

Equação de conservação de energia, sem geração

ou com propriedades constantes

Equação de difusão de massa para uma mistura binária


30

Modelos RANS

Determinar diretamente as Tensão de Reynolds e

fluxos turbulentos através de suas equações de

conservação

Modelos de Viscosidade Turbulenta


Viscosidade e Difusividade Turbulenta

Como vimos, o efeito da turbulência implica em uma

aumento de difusão. Baseados neste fato, pode-se

modelar o fluxo turbulento de um escalar utilizando uma

difusividade turbulenta t

Definindo a difusividade efetiva como ef t x, t

A equação de conservação do escalar médio é

31

r tju ''

r StD

Def


Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito

da viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877.

Boussinesq propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre

as tensões turbulentas e as tensões existentes no regime

laminar.

Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é

Em notação indicial a equação acima pode se escrita com

onde ij é o delta de Kronecker.

32

IV3

2VV T

div])grad(grad[ mm

ijk

k

i

j

j

iij

x

u

3

2

x

u

x

umm


Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensão

turbulenta é definida como:

onde mt é a viscosidade turbulenta. O termo r k é a parte isotrópica

do tensor e pode ser interpretado como a pressão dinâmica

associada aos turbilhões, em analogia à pressão estática,

termodinâmica. k é a energia cinética turbulenta, definida como

Com a substituição da expressão para a tensão de Reynolds na

equação média de Reynolds, obtêm-se a seguinte expressão para a

equação de conservação de quantidade de movimento linear para

regime turbulento baseada no conceito da viscosidade turbulenta

33

ijijk

kt

i

j

j

itji

x

u

x

u

x

uuu kr

m

mr

3

2

3

2

2222

i wvu2

1u

2

1 ''''k


( C )

onde P é a pressão modificada, definida como

e a viscosidade efetiva mef:

onde m é a viscosidade molecular e mt é a viscosidade turbulenta.

34

ijijk

kt

i

j

j

it

i

j

j

i

j

iij

ij

i

x

u

x

u

x

u

x

u

x

u

x

gx

p

x

uu

t

u

rk

mm

m

m

rr

3

2

3

2)(

ii

j

j

ief

jij

ij

i gx

u

x

u

xx

P

x

uu

t

urmr

kr

m

3

2

x

u

3

2pP

k

kt

)(x, ttef mmm


35

As equações médias apresentadas não constituem um modelo

de turbulência por si só, mas é a base para construção de um

grande número de modelos de turbulência simples e complexos,

cujo ponto de partida é a avaliação da viscosidade turbulenta mt.

A viscosidade turbulenta não é uma propriedade, e sim função

do escoamento. Analisando o escoamento próximo à parede,

observamos que na região imediatamente adjacente à parede, a

viscosidade turbulenta mt é desprezível em relação a

viscosidade absoluta m. Esta região é denominada sub-camada

laminar. Longe da parede, na região do núcleo turbulento, a

viscosidade absoluta m é de uma magnitude muito inferior à da

viscosidade turbulenta mt.

m << mt

m mt

m > > mt

núcleo turbulento

camada amortecedora

sub-camada laminar


36

Diferentes modelos têm sido propostos para a

avaliação da viscosidade turbulenta. Cada modelo

apresenta um grau de complexidade diferente e com

uma abrangência diferente.

Os modelos podem ser classificados em modelos:

modelos algébricos, modelos de zero equações

diferenciais

modelos de uma equação diferencial

modelos de duas equações diferenciais

modelos de n equações diferenciais


Modelos de Difusividade Turbulenta

37

jxtju

r ''

h

jjj x

h

x

h

x

Tj

cp

kkq

Pr

m

Para avaliar o fluxo de difusão turbulento de uma grandeza

escalar, também é possível fazer uma analogia com o fluxo

de difusão molecular.

onde t é a difusividade

turbulenta.

O fluxo difusivo de calor molecular é

Vamos supor que a equação de interesse é a equação da

energia e que a grandeza escalar é a entalpia,

logo, o coeficiente

de difusão é Pr

m onde Pr é o número de Prandtl.


38

t

tt

Pr

m

jt

t

jjj

x

T

xcp

q

x

Tu

t

T

PrPr

mr

m

A difusividade turbulenta pode

então ser definida como

Normalmente, Prt é dado como um valor constante. Alguns

dados empíricos são:

o jatos livres e esteiras: Prt = 0,5

o camadas limites formadas em paredes sólidas: Prt = 0,9

onde Prt é o número de Prandtl turbulento.

A equação da energia para fluidos incompressíveis,

desprezando a dissipação viscosa fica igual a


39

jj xxjSc

Dj 11121

mr

t

tt

Sc

m

jt

tSc

jjj

xScxr

xu

t

11

11 mr

m

De forma análoga, para uma mistura binária, o fluxo de

massa difusivo da espécie 1 em relação a mistura,

pode ser obtido em função da fração em massa como

A difusividade turbulenta pode então

ser definida como

A equação de difusão em massa de uma espécie é

onde Sct é o número de Schmidt turbulento


VISCOSIDADE TURBULENTA

Interpretação física:

De acordo com a teoria cinética dos gases, a viscosidade absoluta

(molecular) é resultante da transferência de quantidade de movimento

resultante da colisão de moléculas ( m r a x ), onde a é a velocidade do

som e x é o caminho médio livre entre colisões.

De forma análoga a viscosidade turbulenta é definida como sendo

resultante da transferência de quantidade de movimento da colisão de

turbilhões turbulentos, podendo ser estimada por

onde Vc e Lc são, respectivamente, a velocidade e o comprimento

característico ou típicos da escala de movimento.

Os diversos modelos para viscosidade turbulenta, diferem com respeito

a determinação dos valores característicos da escala turbulenta.

40

cct LVrm


Diferentes modelos têm sido propostos para a avaliação da viscosidade

turbulenta. Cada modelo apresenta um grau de complexidade diferente

e com uma abrangência diferente. Os modelos podem ser classificados

em modelos:

modelos algébricos, modelos de zero equações diferenciais

modelos de uma equação diferencial

modelos de duas equações diferenciais

modelos de n equações diferenciais

41


Modelos Algébricos

Os modelos algébricos também são chamados de modelos de zero

equações (diferencias)

Viscosidade Turbulenta Constante

Este é o modelo mais simples possível. Ocasionalmente, como uma

primeira aproximação, para alguns escoamentos, a viscosidade

turbulenta pode ser considerada como constante, onde o valor da

constante deveria ser ajustado a partir de dados experimentais, Este

modelo não é muito utilizado, por ser muito grosseiro.

42


Modelo de Prandtl para Camadas Cisalhantes Livres:

43

turbulento

irrotacional

U

Uc

Para a situação de escoamentos livres,

como por exemplo a esteira formada

atrás de um cilindro, a intensidade da

turbulência é muito elevada e

fortemente tridimensional. Na ausência

de gradientes de velocidade, ou outro

mecanismo de suprimento de energia,

a turbulência decai com a distância.

A tensão cisalhante de Reynolds é nula no centro da esteira devido à

condição de simetria e também tende a zero à medida que se aproxima

da borda da esteira, onde vigora o escoamento irrotacional. Neste tipo

de escoamento, a intensidade de é muito maior do que a de

, fazendo com que a esteira aumente rapidamente o seu

espalhamento, com a conseqüente queda da diferença de velocidade

U∞ - Uc, onde U∞ e Uc são as velocidades da corrente livre e da linha de

centro.

vu

yu /


Modelo de Prandtl para Camadas Cisalhantes Livres:

44

Prandtl propôs então

e L =

onde é a espessura da camada cisalhante, logo

O valor da constante C depende do tipo de escoamento. Por exemplo:

I. camadas de mistura: C = 0,010

II. jatos planos: C = 0,014

III. esteiras planas: C = 0,026

cc UUV

rm ct UUC


Modelo de Comprimento de Mistura:

A Hipótese do Comprimento de Mistura foi desenvolvida por Prandtl

(1925), considerando um escoamento turbulento simples com

Considere que em um escoamento turbulento ao longo de uma parede,

porções de fluido se juntam e se movimentam através de um

determinado comprimento m sem alterar sua quantidade de movimento

na direção x.

45

Vamos analisar o movimento de uma porção de

fluido começando em y = - m e se deslocando

com velocidade v positiva (v' > 0) até a posição

y =0. Sua quantidade de movimento por unidade

de volume é . Considerando que o

fluido mantém sua quantidade de movimento, sua

velocidade na nova posição y=0 é menor do que a

velocidade a existente lá. A diferença entre as

velocidades na nova posição será

0wvyuu ;)(

v' >0

v' <0

)( mu

)(0u

)( mu

)( mu r

)()( m1 u0uu


esta diferença de velocidades pode ser estimada utilizando uma

expansão em série de Taylor

Considerando agora, uma porção de fluido se deslocando com

velocidade negativa (v' < 0), saindo de y = m até a posição y =0. Sua

velocidade será maior do que da nova posição e a diferença de

velocidades será

As diferenças no valor de velocidade originada pelo movimento

transversal podem ser interpretadas como as flutuações de velocidade

em y=0. O valor médio do módulo dessas flutuações de velocidade em

y=0 pode ser avaliado por

46

0ym1

y

uu

02

ym

y

uu

0y

m21y

uuu

2

1u

'


Analisando a equação anterior, pode-se interpretar o comprimento de

mistura, como sendo a distância que deve ser percorrida por uma

porção de fluido com sua velocidade original de tal forma que a

diferença entre os valores de sua velocidade e o da velocidade na

nova região seja igual ao valor médio da flutuação de velocidade

naquela região.

Considerando que o componente transversal de flutuação de

velocidade, v', seja da mesma ordem de grandeza que o componente

horizontal, u', isto é

onde 0 < c < 1.

47

0ym

y

ucucv

''


Para avaliar o produto , podemos notar que uma condição de

v' > 0 geralmente está associada a uma condição de u' < 0, já que

porções de fluido vindas de regiões com menores velocidades tendem

a produzir uma redução de velocidade (flutuação) no novo meio.

Usando o mesmo argumento, podemos associar à condição de v'<0

valores de u' > 0. Desta forma, a tensão cisalhante pode ser

escrita para o perfil de velocidade representado na figura como

que finalmente, pode ser rescrita em função da velocidade média como

onde a constante c foi incorporada na expressão para m , que ainda

não foi definida.

48

'' vu

'''' vucvu

'' vu

22m

y

uvu

''


A expressão anterior, deve ser modificada, para que o sinal da tensão

turbulenta seja coerente para diferentes perfis de velocidade, logo

Esta expressão é o principal resultado da

Hipótese de Comprimento de Mistura de Prandtl.

Finalmente, podemos determinar a viscosidade turbulenta, pois

Então sendo

já que

49

y

u

y

uvu 2

m''

y

uvu tmr ''

y

u2mt

rm

y

uV mc

mct V rm


A distribuição de m deve ser especificada algébricamente.

Para escoamentos mais gerais, a viscosidade turbulenta pode ser

obtida de

50

21

j

i

i

j

j

i2mt

x

u

x

u

x

u/

rm

O valor do comprimento de mistura m varia de acordo com o tipo de

escoamento:


camadas limites ao longo de paredes: Para

escoamentos ao longo de superfícies sólidas, espera-se

que à medida que se aproxima a superfície sólida, a

escala de comprimento da turbulência associada ao

tamanho dos vórtices diminua. Nestas situações, o

comprimento de mistura é definido como

51

)/(

)/(

y

yy

m

m

para

para

onde K= 0,435 e = 0,09 e é

a espessura da camada limite

local.

A figura ilustra alguns dados experimentais típicos para m em cinco

posições diferentes ao longo de uma superfície (d99 é a espessura da

camada limite, no ponto onde u/U=0,99).


52

Na região próxima à parede, o dados se ajustam ao perfil linear,

sendo a constante de proporcionalidade k 0,41, sendo

usualmente chamada de constante de von Kàrmàn.

O mesmo comportamento é observado com gradiente de pressão

adverso/favorável, com sucção/injeção, e as constantes

aparentemente são pouco afetadas pelas condições de contorno.

Estas observações são válidas para uma camada limite em

equilíbrio.

Na região bem próxima a parede (a qual não é visível na figura

apresentada), observa-se grande discrepância entre os valores

medidos e previstos. Deissler (1955) e van Driest (1956)

apresentaram, respectivamente, as seguintes relações para avaliar

a viscosidade turbulenta


53

124,0;)exp(1 22

nyu

nyun

parededantoamortecimelexponenciadecaimento

aladimenisonsno.Reynold

molecularideia

t

m

rrm

*

222 26

4,0)exp(1r

mrm

Aek

y

u

A

yyk

parededantoamortecimelexponenciadecaimentomolecular

ideia

t

A relação de Deissler apresenta a vantagem de não envolver

nenhum gradiente, sendo mais fácil de ser tratada.


Modelos Diferenciais

Modelos de 1 equação diferencial: k - m

Velocidade característica: energia cinética turbulenta, equação

diferencial

Comprimento característico: m algébrico

Modelos de 1 equação diferencial: Modelo de Spalart-Allmaras

Equação diferencial para viscosidade turbulenta adimensional

54

kcV 222

2

1wvu k


Modelos De Duas Equações

Estes modelos consistem na solução de duas equações

diferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na

elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido

continuarmos utilizando a equação para a energia cinética

k, devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção.

Como podemos utilizar qualquer combinação das

grandezas relevantes para a segunda variável, várias

propostas surgiram ao longo dos anos:

Freqüência de vórtices f ( f = k ½ -1) (Kolmogorov, 1942)

Produto energia versus escala de comprimento k (Rodi e Spalding, 1970)

Vorticidade ( k -2 ) (Wilcox, 1988)

Dissipação e (e k 3/2 -1 ) da energia cinética turbulenta k

(Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)

55


Modelo ke

O modelo ke é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atenção

devido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972,

1973) e Launder e Spalding (1974).

Neste modelo a velocidade característica continua sendo Vc k 1/2

o comprimento característico é obtido em função da dissipação

(e Pot/ r L3= F u / r 3= Cd r u2 2 u/ r 3 u u 3 / u 3 / e

k 3 /2 / e .

A viscosidade turbulenta é (mt cm k 1/2 k 3/2 e -1 ), ou melhor

Para avaliar a energia cinética e a taxa de dissipação da energia

cinética, deriva-se uma equação de conservação para cada variável,

manipulando a equação de Navier-Stokes

e

rm

m2

t

kc

56


Equação de Conservação da Energia Cinética

Turbulenta k

A equação de conservação para k é obtida através das seguintes

etapas:

i. Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de

Navier-Stokes

ii. Produto escalar da flutuação com a equação resultante

iii. obter a média da equação resultante

57

Equação de Conservação da Dissipação da Energia

Cinética Turbulenta eA equação de conservação para e é obtida através das seguintes

etapas:

i. Subtrair a equação média de Navier-Stokes da equação de

Navier-Stokes

ii. Derivar a equação resultante em relação a xj

iii. Fazer um produto escalar com 2 u’i / xj

iv. obter a média da equação resultante


Equações de Conservação do Modelo ke Padrão

nas equações acima, as constantes empíricas são:

cm=0,09 ; c1e =1,44 ; c2e =1,92 ; sk =1,0 e se =1,3

erk

s

mmkr

kr

kk

j

t

j

jj xx

Puxt

k

eerk

e

s

mm

er

er

ee

e21 cPc

jxjxju

jxt

t

j

i

i

j

j

it

x

u

x

u

x

uP

mk e

krm m

2

t c

58


Deficiências do Modelo ke

Em algumas situações comuns de escoamento, o modelo

ke apresenta deficiências significativas. Exemplos destas

situações são:

Escoamento na presença de curvatura de linhas de

corrente

Escoamento sob ação de gradientes de pressão adversos

Escoamentos com regiões de separação

Jatos

Escoamentos sob ação de campos de força

Escoamentos com rotação ("swirl")

Necessidade de leis de parede

59

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TURBULÊNCIA - PUC-Riomecflu2.usuarios.rdc.puc-rio.br/TransCal_II_Mec2348/7...Angela Nieckele –PUC-Rio 1 TURBULÊNCIA Escoamento turbulento pode ser observado no nosso dia a dia,